Soal dan Pembahasan – Kesebangunan dan Kekongruenan

 

Berikut ini merupakan soal dan pembahasan mengenai kesebangunan dan kekongruenan yang dianjurkan untuk dipelajari oleh siswa tingkat SMP/Sederajat, terutama untuk menguatkan pemahaman konsep dan persiapan UNBK.

Soal Nomor 1
Perhatikan gambar berikut!

ABCD merupakan trapesium sama kaki. Banyak pasangan segitiga kongruen pada gambar tersebut adalah …

A. 4 pasang                C. 6 pasang
B. 5 pasang                D. 7 pasang

Penyelesaian

Perhatikan gambar berikut.Dari gambar di atas, terdapat 5 pasang segitiga yang kongruen (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 2
Dua segitiga pada gambar di bawah adalah kongruen.

Pasangan sisi yang sama panjang adalah …
A. AB dan EC
B. AD dan BE
C. AC dan CD
D. BC dan CD

Penyelesaian

Diketahui: \triangle ABC \cong \triangle CDE
Pasangan sisi yang sama panjang adalah AB = DE, BC = CE, dan AC = CD.
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 3
Perhatikan gambar berikut!

Panjang sisi BC adalah …
A. 25 cm               C. 22 cm
B. 24 cm               D. 20 cm

Penyelesaian

Berdasarkan prinsip kekongruenan, diperoleh
\begin{aligned} QR & = AC = 24~\text{cm} \\ PR & = AB = 20~\text{cm} \\ BC & = PQ = 25~\text{cm} \end{aligned}
Jadi, panjang sisi BC adalah \boxed{25~\text{cm}}
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 4
Pada gambar di bawah, segitiga ABC kongruen dengan segitiga DEF. Panjang EF adalah …

A. 5 cm                C. 6,5 cm
B. 6 cm                D. 7 cm

Penyelesaian

Diketahui: \triangle ABC \cong \triangle DEF
Pasangan sisi yang sama panjang adalah AB = DF = 5~\text{cm}, AC = DE = 6~\text{cm}, dan BC = EF =7~\text{cm}.
Jadi, panjang EF adalah \boxed{7~\text{cm}}
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 5
Pada \triangle ABC, diketahui besar \angle A=60\degree dan besar \angle B=55\degree, sedangkan pada \angle DEF diketahui besar \angle D=60\degree dan besar \angle E=65\degree.
Jika \triangle ABC dan \triangle DEF kongruen, maka dari pernyataan berikut:
1) AC = DE
2) AB = FE
3) BC = FE
4) BC = DE
yang benar adalah …
A. 1 dan 3                 C. 1 dan 4
B. 2 dan 3                 D. 3 dan 4

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar kedua segitiga berikut.

Dari gambar di atas, kita peroleh AB = DF, AC = DE, dan BC = FE. Pernyataan yang benar ditandai oleh nomor 1 dan 3 (Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 6
Diketahui \triangle ABC dan \triangle KLM dengan AB=LM,BC=KL, dan AC=KM. Pasangan sudut yang sama besar adalah …
A. \angle A = \angle K, \angle B = \angle L, \angle C = \angle M
B. \angle A = \angle L, \angle B = \angle M, \angle C = \angle K
C. \angle A = \angle K, \angle B = \angle M, \angle C = \angle L
D. \angle A = \angle M, \angle B = \angle L, \angle C = \angle K

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Karena \triangle ABC dan \triangle KLM kongruen, kita peroleh \angle A = \angle M, \angle B = \angle L, dan \angle C = \angle K.
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 7
Perhatikan gambar berikut!

Segitiga ABC kongruen dengan segitiga POT. Pasangan sudut yang sama besar adalah …
A. \angle BAC dan \angle POT
B. \angle BAC dan \angle PTO
C. \angle ABC dan \angle POT
D. \angle ABC dan \angle PTO

Penyelesaian

Diketahui: ABC \cong POT
Kedua segitiga memiliki persamaan panjang sisi:
AB = PO; AC = PT; BC = OT
dan sudut yang sama besar:

\angle BAC = \angle OPT; \angle ABC = \angle POT; \angle ACB = \angle PTO
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 8
Perhatikan gambar berikut!

Segitiga ABD kongruen dengan segitiga BAC karena memenuhi syarat …
A. sisi, sudut, sisi
B. sisi, sisi, sisi
C. sisi, sisi, sudut
D. sudut, sudut, sisi

Penyelesaian

Kedua segitiga memiliki satu pasang sudut yang sama besar, yaitu \angle BAD = \angle ABC. Sisi yang mengapit sudut tersebut juga sama panjang, yaitu sisi AD = BC dan sisi AB berimpit. Jadi, kedua segitiga kongruen karena memenuhi syarat: sisi, sudut, sisi (posisi “sudut” di tengah karena sudut yang sama besar itu diapit oleh sisi yang sama panjang).
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 9
Perhatikan gambar!

Perbandingan sisi pada \triangle ABC dan \triangle BCD yang sebangun adalah …
A. \frac{AB}{BD} = \frac{BC}{CD} = \frac{AC}{BC}
B. \frac{AD}{BD} = \frac{AB}{CD} = \frac{BD}{BC}
C. \frac{AB}{AD} = \frac{BC}{AB} = \frac{AC}{BD}
D. \frac{AB}{AD} = \frac{BC}{AB} = \frac{AC}{BC}

Penyelesaian

Diketahui \triangle ABC \sim BCD, sehingga AB \sim BD, BC \sim CD, dan AC \sim BC. Dengan demikian, berlaku perbandingan
\dfrac{AB}{BD} = \dfrac{BC}{CD} = \dfrac{AC}{BC}
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 10
Perhatikan gambar berikut!

Jika DE : AB = 2 \colon 3, maka panjang BD adalah …
A. 2 cm                C. 4 cm
B. 3 cm                D. 5 cm

Penyelesaian

Diketahui: DE = 8~\text{cm}; CE = 10~\text{cm}
Karena DE : AB = 2 : 3, maka
AB = \dfrac{3}{2} \times 8 = 12~\text{cm}
Pada segitiga siku-siku CDE, berlaku Teorema Pythagoras.
\begin{aligned} CD & = \sqrt{CE^2 - DE^2} \\ & = \sqrt{10^2-8^2} = \sqrt{36} = 6~\text{cm} \end{aligned}
\triangle CDE dan \triangle ABC sebangun dengan CD \sim CB dan DE \sim BA, sehingga
\begin{aligned} \dfrac{CD} {CB} & = \dfrac{DE} {BA} \\ \dfrac{6}{6 + DB} & = \dfrac{8}{12} \\ 6 + DB & = \dfrac{6 \times 12}{8} = 9 \\ DB & = 9 - 6 = 3~\text{cm} \end{aligned}
Jadi, panjang DB adalah \boxed{3~\text{cm}}
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 11
Perhatikan gambar berikut!

Trapesium ABCD sebangun dengan trapesium KLMN. Panjang MN adalah …
A. 15 cm                C. 20 cm
B. 18 cm                D. 24 cm

Penyelesaian

Karena trapesium KLMN \sim ABCD, maka berlaku MN \sim AD dan KL \sim BC, sehingga
\begin{aligned} \dfrac{MN} {AD} & = \dfrac{KL} {BC} \\ \dfrac{MN} {24} & = \dfrac{15}{18} \\ MN & = \dfrac{15 \times 24}{18} = 20~\text{cm} \end{aligned}
Jadi, panjang MN adalah \boxed{20~\text{cm}}
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 12
Perhatikan gambar berikut!

Segitiga ABC siku-siku sama kaki dengan panjang AB = BC = 3 cm. AD adalah garis bagi sudut A. Panjang BD adalah …
A. (3-3\sqrt{2})~\text{cm}            C. 3~\text{cm}
B. (3\sqrt{2}-3)~\text{cm}            D. 3\sqrt{2}~\text{cm}

Penyelesaian

Segitiga ABD dan segitiga ADE kongruen menurut syarat: sudut, sudut, sisi, sehingga berlaku AB = AE = 3~\text{cm}; BD = DE. Karena segitiga ABC siku-siku, maka berlaku Teorema Pythagoras, yaitu
\begin{aligned} AC & = \sqrt{AB^2 + BC^2} \\ & = \sqrt{3^2 + 3^2} = 3\sqrt{2}~\text{cm} \end{aligned}
Dengan demikian,
EC = AC - AE = (3\sqrt{2} - 3)~\text{cm}
Karena ECD segitiga sama kaki dengan EC = DE, dan juga karena DE = BD, maka panjang BD adalah \boxed{(3\sqrt{2} - 3)~\text{cm}}
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 13
Pada gambar di bawah, diketahui panjang AB = 9 cm dan AD = 5 cm. Panjang BC adalah …

A. 4 cm                    C. 6 cm
B. 5 cm                    D. 8 cm

Penyelesaian

Segitiga ABC dan segitiga BCD sebangun.
Diketahui: AB = 9~\text{cm}, AD = 5~\text{cm}
Panjang DB = AB - AD = 9 - 5 = 4~\text{cm}
Untuk itu, berlaku
\begin{aligned} \dfrac{AB}{BC} & = \dfrac{BC}{DB} \Rightarrow \dfrac{9}{BC} = \dfrac{BC}{4} \\ BC^2 & = 9 \times 4 \Leftrightarrow BC = 6~\text{cm} \end{aligned}
Jadi, panjang BC adalah \boxed{6~\text{cm}}
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 14
Gambar dua trapesium berikut adalah sebangun.

Luas trapesium B adalah …
A. 129~\text{cm}^2               C. 192~\text{cm}^2
B. 162~\text{cm}^2               D. 324~\text{cm}^2

Penyelesaian

Perhatikan gambar.

Tinggi trapesium A dapat dihitung dengan menerapkan rumus Pythagoras, yaitu
t_A = \sqrt{10^2-6^2} = \sqrt{64} = 8~\text{cm}
Pada trapesium B, sisi atas dapat ditentukan dengan perbandingan, yaitu
\dfrac{12}{18} = \dfrac{6}{x} \Leftrightarrow x = \dfrac{6 \times 18}{12} = 9~\text{cm}
Tinggi trapesium B juga dapat ditentukan dengan perbandingan.
\dfrac{12}{18} = \dfrac{8}{t_B} \Leftrightarrow t_B = \dfrac{18 \times 8}{12} = 12~\text{cm}
Dengan demikian, luas trapesium B adalah
L_B = \dfrac{(18 + 9)\times \cancelto{6}{12}}{\cancel{2}} = 27 \times 6 = 162~\text{cm}^2
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 15
Perhatikan gambar!

Diketahui AB = BC = CD. Panjang BF adalah …
A. 17 cm                  C. 15 cm
B. 16 cm                  D. 14 cm

Penyelesaian

Posisikan titik P seperti pada gambar di mana BP = CD = 18~\text{cm} dan BC = PD = 18~\text{cm}.

Perhatikan bahwa segitiga APE dan segitiga ABF sebangun, sehingga berlaku
\begin{aligned} \dfrac{AB} {AP} & = \dfrac{BF} {PE} \\ \dfrac{18}{18+18} & = \dfrac{BF} {18+12} \\ \dfrac12 & = \dfrac{BF} {30} \\ BF & = 15 \end{aligned}
Jadi, panjang BF adalah \boxed{15~\text{cm}}
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 16
Perhatikan gambar berikut!

E dan F adalah titik tengah AC dan BD. Panjang EF adalah …
A. 3 cm                  C. 6 cm
B. 4 cm                  D. 8 cm

Penyelesaian

Gunakan perhitungan skematik berikut.

Misalkan panjang AE = EC = x, sehingga

\begin{aligned} EF & = \dfrac{AB \times EC - CD \times AE} {AE + EC} \\ & = \dfrac{18x - 12x} {x + x} \\ & = \dfrac{6x} {2x} = 3~\text{cm} \end{aligned}
Jadi, panjang \boxed{EF = 3~\text{cm}}
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 17
Perhatikan gambar berikut!

Jika panjang LM = 30~\text{cm} dan LK = 24~\text{cm}, maka panjang KN adalah …
A. 4 cm                     C. 8 cm
B. 6 cm                      D. 9 cm

Penyelesaian

Karena \angle KNP dan \angle PNL berpelurus, maka
\angle PNL = 180\degree - \angle KNP = 180\degree - 105\degree = 75\degree
Perhatikan gambar segitiga MLK dan PLN berikut.

Kedua tersebut saling sebangun dengan perbandingan sisi yang bersesuaian, yaitu MK \sim NP, ML \sim NL, dan KL \sim PL
Misalkan panjang KN = x~\text{cm}, maka NL = (24-x)~\text{cm}.
Dengan prinsip kesebangunan, diperoleh
\begin{aligned} \dfrac{KM}{NP} & = \dfrac{ML}{NL} \Rightarrow \dfrac{\cancel{15}}{10} = \dfrac{\cancelto{2}{30}}{24 - x} \\ 24 - x & = 20 \\ x & = 4 \end{aligned}
Jadi, panjang KN adalah \boxed{4~\text{cm}} 
(Jawaban A)

[collapse]
 

Soal Nomor 18
Sebuah gedung mempunyai panjang bayangan 56 m di atas tanah mendatar. Pada saat yang sama, seorang siswa dengan tinggi 1,5 m mempunyai bayangan 3,5 m. Tinggi gedung sebenarnya adalah …
A. 18 m                 C. 22 m
B. 21 m                 D. 24 m

Penyelesaian

Misalkan tinggi gedung sebenarnya adalah x.
Dengan menggunakan konsep kesebangunan, diperoleh
\begin{aligned} \dfrac{\text{Tinggi Siswa}} {\text{Tinggi Gedung}} & = \dfrac{\text{Panjang Bayangan Siswa}} {\text{Panjang Bayangan Gedung}} \\ \dfrac{1,5}{x} & = \dfrac{3,5}{56} \\ x & = \dfrac{56 \times 1,5}{3,5} = 24~\text{m} \end{aligned}
Jadi, tinggi gedung itu adalah \boxed{24~\text{m}}
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 19
Tiang setinggi 2 meter mempunyai panjang bayangan 150 cm. Jika panjang bayangan sebuah gedung 24 meter, maka tinggi gedung tersebut adalah …
A. 32,0 m                 C. 20,5 m
B. 27,5 m                 D. 18,0 m

Penyelesaian

Misalkan tinggi gedung adalah x.
Panjang bayangan tiang diketahui 150~\text{cm} = 1,5~\text{m}
Dengan menggunakan konsep kesebangunan, diperoleh
\begin{aligned} \dfrac{\text{Tinggi Tiang}} {\text{Tinggi Gedung}} & = \dfrac{\text{Panjang Bayangan Tiang}} {\text{Panjang Bayangan Gedung}} \\ \dfrac{2}{x} & = \dfrac{1,5}{24} \\ x & = \dfrac{24 \times 2}{1,5} = 32~\text{m} \end{aligned}
Jadi, tinggi gedung itu adalah \boxed{32,0~\text{m}}
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 20
Sebuah foto ditempelkan pada karton seperti pada gambar. Di sebelah kiri dan kanan foto masih terdapat bagian karton masing-masing selebar 3 cm, sedangkan bagian atas dan bawah karton belum diketahui ukurannya. Diketahui bahwa foto dan karton sebangun.

Luas karton yang tidak tertutup foto adalah \cdots~\text{cm}^2

A. 288               C. 432
B. 324               D. 516

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Dalam sketsa gambar di atas, dimisalkan x sebagai lebar bagian atas dan bawah karton terhadap foto. Karena karton dan foto sebangun, maka berlaku

\begin{aligned} \dfrac{30}{40} & = \dfrac{24}{40-2x} \\ \dfrac34 & = \dfrac{24}{40-2x} \\ 3(40-2x) & = 4(24) \\ 120 - 6x & = 96 \\ 6x & = 24 \\ x & = 4 \end{aligned}
Lebar foto =40-2x=40-2(4)=32~\text{cm}
Luas karton yang tidak tertutup foto adalah luas karton dikurangi luas foto, yaitu
\begin{aligned} L & = L_{\text{karton}} - L_{\text{foto}} \\ & = (30 \times 40) - (24 \times 32) \\ & = 1.200 - 768 = 432~\text{cm}^2 \end{aligned}
(Jawaban C) 

[collapse]

Soal Nomor 21
Sebuah foto berukuran alas 16 cm dan tinggi 24 cm ditempel pada sebuah karton berbentuk persegi panjang. Jika foto dan karton sebangun dan lebar karton di sebelah kiri, kanan, dan atas foto 2 cm, lebar karton di bagian bawah foto adalah …
A. 6 cm                   C. 3 cm
B. 4 cm                   D. 2 cm

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Alas karton = 16 + 2 + 2 = 20~\text{cm} dan tinggi karton = 24 + 2 + x = (26 + x)~\text{cm}. Karena foto dan karton sebangun, maka berlaku
\begin{aligned} \dfrac{16}{20} & = \dfrac{24}{26+x} \Leftrightarrow \dfrac45 = \dfrac{24}{26+x} \\ 26 + x & = \dfrac{5 \times \cancelto{6}{24}}{\cancel{4}} = 30 \\ x & = 30 - 26 = 4 \end{aligned}
Jadi, lebar karton di bagian bawah foto adalah \boxed{4~\text{cm}}
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 22
Sutan ingin mengetahui lebar sungai. Di seberang sungai terdapat sebuah pohon. Untuk itu, dia menancapkan tongkat pada posisi A, B, C, dan D dengan jarak seperti gambar.

Sutan ingin mengukur lebar sungai dari tongkat D sampai pohon. Berapa lebar sungai tersebut?

A. 11 m                  C. 15 m
B. 12 m                  D. 16 m

Penyelesaian

Misalkan titik pada pohon itu kita sebut sebagai titik E.
Segitiga DCE dan ABE sebangun dan kita akan mencari panjang DE yang merupakan lebar sungai. Karena AB \sim DC dan AE \sim DE, maka berlaku
\begin{aligned} \dfrac{AB}{DC} & = \dfrac{AE}{DE} \Rightarrow \dfrac{\cancelto{4}{8}}{\cancelto{3}{6}} = \dfrac{DE + 4}{DE} \\ 4DE & = 3(DE + 4) \\ 4DE & = 3DE + 12 \\ DE&  = 12~\text{m} \end{aligned}
Jadi, lebar sungai tersebut adalah \boxed{12~\text{m}} 
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 23
Perhatikan gambar berikut!

Dua siswa bernama A dan B akan mengukur jarak dua pohon P dan Q di seberang sungai. Mereka membuat patok pada titik C, E, dan D seperti gambar. Jarak pohon P dan Q adalah …
A. 18 m                    C. 10 m
B. 12 m                    D. 9 m

Penyelesaian

Misalkan lebar sungai = CQ = x
Perhatikan bahwa segitiga ABQ sebangun dengan segitiga ECQ, sehingga berlaku
\begin{aligned} \dfrac{AB}{EC} & = \dfrac{BQ}{CQ} \Rightarrow \dfrac43 = \dfrac{6 + x}{x} \\ 4x & = 3(6 + x) \\ 4x & = 18 + 3x \\ x & = 18 \end{aligned}
Sekarang, perhatikan bahwa segitiga ECB sebangun dengan segitiga PQB, sehingga berlaku
\begin{aligned} \dfrac{PQ}{EC} & = \dfrac{QB}{CB} \Rightarrow \dfrac{PQ}{3} = \dfrac{18 + 6}{6} \\ \dfrac{PQ}{3} & = 4 \\ PQ & = 12~\text{m} \end{aligned}
Jadi, jarak kedua pohon itu adalah \boxed{12~\text{m}}
(Jawaban B)

[collapse]