Mathcyber1997 – Mathematics is about Understanding, not about Calculations and Equations

Mei 17, 2018

Soal dan Pembahasan – Refleksi (Geometri)

Berikut ini adalah soal bab REFLEKSI yang diambil dari buku berjudul “Geometri Transformasi” oleh Rawuh (dengan sedikit modifikasi dan perbaikan).

Soal Nomor 1
Diketahui dua titik $A$ dan $B$ . Lukislah sebuah garis $g$ sehingga $M_g(A) = B$ . Tentukan pula $M_g(B)$ .

Penyelesaian Belum Tersedia

[collapse]

Soal Nomor 2
Apabila pada $V$ ada sistem sumbu ortogonal dan $A(1,3)$ sedangkan $B(-2,-1)$ . Tentukanlah persamaan sebuah garis $g$ sehingga $M_g(A) = B$ .

Penyelesaian Belum Tersedia

[collapse]

Soal Nomor 3
Diketahui $g = \{(x, y)~|~x = -3\}$
a) Apabila $A(2,1)$ , tentukan $A' = M_g(A)$
b) Tentukan $C$ apabila $M_g(C) = (-1,7)$
c) Apabila $P(x, y)$ sebuah titik sembarang, tentukanlah $M_g(P)$

Penyelesaian Belum Tersedia

[collapse]

Soal Nomor 4
Diketahui $g = \{(x, y)~|~y = 2\}$
a) Jika $A = (3, \sqrt{2})$ , tentukan $A' = M_g(A)$
b) Jika $D' =(2,-4)$ , tentukan prapeta $D'$ oleh $M_g$ .
c) Jika $P(x, y)$ , tentukan $M_g(P)$

Penyelesaian Belum Tersedia

[collapse]

Soal Nomor 5
Diketahui garis $h = \{(x, y)~|~y = x\}$
a) Jika $A = (2,-3)$ , tentukan $M_h(A)$
b) Jika $B'=(-3,5)$ , tentukan prapeta dari $B'$ oleh $M_h$
c) Apabila $P(x, y)$ sebuah titik sembarang, tentukan $M_h(P) = P'$

Penyelesaian Belum Tersedia

[collapse]

Soal Nomor 6
Diketahui garis $k = \{(x, y)~|~x + y =0\}$
a) Jika $A = (2,-3)$ , tentukan $M_h(A)$
b) Jika $B'=(-3,5)$ , tentukan prapeta dari $B'$ oleh $M_h$
c) Apabila $P(x, y)$ sebuah titik sembarang, tentukan $M_h(P) = P'$

Penyelesaian Belum Tersedia

[collapse]

Soal Nomor 7
Diketahui garis $g = \{(x, y)~|~x + y = 1\}$
a) Tentukan $M_g(0)$
b) Tentukan $M_g(A)$ dengan $A(1,2)$
c) Jika $P = (x, x+1)$ , tentukan $P$ apabila $M_g(P) = P$

Penyelesaian Belum Tersedia

[collapse]

Soal Nomor 8
Diketahui garis $g = \{(x, y)~|~x - 3y + 1=0\}$ dan sebuah titik $A = (2,k)$ . Tentukan $k$ apabila $M_g(A) = A$ .

Penyelesaian Belum Tersedia

[collapse]

Soal Nomor 9
Diketahui garis $k = \{(x, y)~|~ax - 3y + 1 = 0\}$ dan sebuah titik $B(3,-1)$ . Tentukan $a$ apabila $M_k(B) = B$ .

Penyelesaian Belum Tersedia

[collapse]

Soal Nomor 10
$T$ adalah sebuah transformasi yang ditentukan oleh $T(P) = (x - 5, y + 3)$ untuk semua titik $P(x, y) \in V$ . Selidiki apakah $T$ suatu isometri. Apakah sifat tersebut dapat diperluas secara umum?

Penyelesaian Belum Tersedia

[collapse]

Mei 16, 2018Mei 19, 2018

Soal dan Pembahasan – Transformasi (Geometri)

Berikut ini adalah soal bab TRANSFORMASI yang diambil dari buku berjudul “Geometri Transformasi” oleh Rawuh (dengan sedikit modifikasi dan perbaikan).

Soal Nomor 1
Andaikan $g$ dan $h$ dua garis yang sejajar pada bidang Euclides $V$ . $A$ sebuah titik yang terletak di tengah antara $g$ dan $h$ . Sebuah $T$ padanan dengan daerah asal $g$ didefinisikan sebagai berikut.
Apabila $P \in g$ , maka $P' = T(P) = \overleftrightarrow{PA} \cap h$
a) Apakah daerah nilai $T$ ?
b) Apabila $D \in g, E \in g, D \in E$ , buktikan bahwa $D'E'= DE; D' = T(D), E' = T(E)$
c) Apakah $T$ injektif?

Penyelesaian

Lukislah garis $g$ dan $h$ sebagai berikut ( $h$ sejajar dengan $g$ ).

Letakkan titik $P$ pada garis $g$ . Posisikan titik $A$ di tengah-tengah antara kedua garis itu. Tarik garis lurus yang melalui titik $A$ dan $P$ , sehingga nantinya garis tersebut memotong garis $h$ . Titik potongnya adalah $P' = T(P)$ dan merupakan daerah nilai (range) $T$ .
Jawaban a)
Daerah nilai $T$ adalah garis $h$ .
Jawaban b)
Perhatikan gambar berikut.

Perhatikan segitiga $ADE$ dan $AD'E'$ . Diketahui bahwa $\angle DAE = \angle D'AE'$ karena sudutnya bertolak belakang dan $DA = AD'$ serta $EA = AE'$ (sebab $A$ berada di tengah-tengah garis $g$ dan $h$ ). Berdasarkan teorema kekongruenan segitiga, dapat dikatakan bahwa kedua segitiga ini kongruen (sisi-sudut-sisi). Oleh karena itu, haruslah $D'E' = DE$ (terbukti).
Jawaban c)
Akan dibuktikan $T$ injektif.
Perhatikan gambar berikut.

Ambil dua titik $X$ dan $Y$ pada $g$ , dengan $X \neq Y$ . Akan ditunjukkan bahwa $T(X) \neq T(Y)$ dengan menggunakan kontradiksi. Andaikan $T(X) = T(Y)$ .
Perhatikan bahwa $T(X) = \overleftrightarrow{XA} \cap H$ dan $T(Y)=\overleftrightarrow{YA} \cap H$ . Dalam hal ini, $\overleftrightarrow{XA}$ dan $\overleftrightarrow{YA}$ memiliki dua titik sekutu (titik potong), yaitu titik $A$ dan $T(X) = T(Y)$ (dari pengandaian). Ini berarti, garis $\overleftrightarrow{XA}$ berhimpit dengan garis $\overleftrightarrow{YA}$ , sehingga haruslah $X = Y$ . Hal ini menghasilkan kontradiksi, sebab pada redaksi awal telah dikatakan bahwa $X \neq Y$ . Jadi, pengandaian diingkari. Dengan demikian, $T(X) \neq T(Y)$ dan dapat disimpulkan bahwa $T$ injektif (terbukti) $\blacksquare$ .

[collapse]

Soal Nomor 2
Diketahui sebuah titik $K$ dan ruas garis $\overline{AB}$ dengan $K \notin \overline{AB}$ . Ada sebuah garis $g$ sehingga $g \parallel \overleftrightarrow{AB}$ dan jarak antara $K$ dan $\overleftrightarrow{AB}$ adalah dua kali lebih panjang daripada jarak antara $K$ dan $g$ . Diberikan padanan $T$ dengan daerah asal $\overline{AB}$ dan daerah nilai $g$ sehingga apabila $P \in \overline{AB}$ , maka $T(P) = P' = \overleftrightarrow{KP} \cap g$ .
a) Apakah bentuk himpunan peta-peta $P'$ jika $P$ bergerak pada $\overline{AB}$ ?
b) Buktikan bahwa $T$ injektif.
c) Apabila $E$ dan $F$ dua titik pada $\overline{AB}$ , apa yang dapat dikatakan mengenai jarak $E'F'$ jika $E' = T(E)$ dan $F'= T(F)$ ?

Penyelesaian

Perhatikan gambar transformasi $T$ berikut dengan $P'K = 2KP$

Jawaban a)
Diketahui bahwa $K \notin \overline{AB}, g // \overleftrightarrow{AB}, T : \overline{AB} \to g$
Karena $P \in \overline{AB}$ dan $T(P) = P' = \overleftrightarrow{AB} \cap g$ , maka $P' \in g$ . Jadi, himpunan peta-peta $P'$ adalah ruas garis pada $g$ .
Jawaban b)
Akan dibuktikan $T$ injektif.
Ambil dua titik $X$ dan $Y$ pada $g$ , dengan $X \neq Y$ . Akan ditunjukkan bahwa $T(X) \neq T(Y)$ dengan menggunakan kontradiksi. Andaikan $T(X) = T(Y)$ .
Perhatikan bahwa $T(X) = \overleftrightarrow{KX} \cap g$ dan $T(Y)=\overleftrightarrow{KY} \cap g$ . Dalam hal ini, $\overleftrightarrow{KX}$ dan $\overleftrightarrow{KY}$ memiliki dua titik sekutu (titik potong), yaitu titik $K$ dan $T(X) = T(Y)$ (dari pengandaian). Ini berarti, garis $\overleftrightarrow{KX}$ berhimpit dengan garis $\overleftrightarrow{KY}$ , sehingga haruslah $X = Y$ . Hal ini menghasilkan kontradiksi, sebab pada redaksi awal telah dikatakan bahwa $X \neq Y$ . Jadi, pengandaian diingkari. Dengan demikian, $T(X) \neq T(Y)$ dan dapat disimpulkan bahwa $T$ injektif (terbukti) $\blacksquare$ .
Jawaban c)

Diketahui $E, F \in \overleftrightarrow{AB}$ , maka $E', F' \in g$ sehingga $EF \parallel E'F'$ .
Perhatikan segitiga $\KE'F'$ dan $KEF$ .
Diketahui bahwa
$\dfrac{F'K} {FK} = \dfrac{E'K} {EK} = \dfrac{1}{2}$ dan $\angle EKF = \angle E'KF$ sebab kedua sudutnya saling bertolak belakang. Jadi, kedua segitiga itu kongruen.
Akibatnya,
$\dfrac{E'F'} {EF} = \dfrac{F'K} {FK} = \dfrac{E'K} {EK} = \dfrac{1}{2}$
yang berarti $E'F' = \dfrac{1}{2}EF$ .
Jadi, jarak $E'F'$ adalah setengah kali jarak $EF$ .

[collapse]

Soal Nomor 3
Diketahui tiga titik $A, R, S$ berlainan dan tidak segaris. Ada padanan $T$ yang didefinisikan sebagai berikut.
Diberikan $T(A) = A, T(P) = P'$ , sehingga $P$ titik tengah $\overline{AP'}$
a) Lukislah $R' = T(R)$ .
b) Lukislah $Z$ sehingga $T(Z) = S$
c) Apakah $T$ suatu transformasi?

Penyelesaian

Jawaban a dan b)

Jawaban c)
Untuk membuktikan bahwa $T$ transformasi, harus dibuktikan bahwa $T$ surjektif dan injektif.
i) $T$ surjektif
$T$ surjektif jika $\forall Y \in V$ terdapat prapeta $X$ sehingga $Y = T(X)$ . Jika $Y = A$ , maka prapetanya adalah $A$ sendiri, karena $T(A) = A$ . Apabila $Y \neq1 A$ , maka terdapat $X$ tunggal dengan $X \in \overline{AY}$ sehingga $AX = AY$ . Didapat $X$ titik tengah $\overline{AY}$ . Artinya, $Y =T(X)$ . Dapat disimpulkan bahwa untuk setiap $Y \in V$ terdapat prapeta $X$ sehingga $Y = T(X)$ . Jadi, $T$ surjektif.
ii) $T$ injektif
Ambil titik $P, Q \neq A, P \neq Q, P, Q, A$ tidak segaris (kolinear). Andaikan $T(P) = T(Q)$ .
Oleh karena $T(P) \in \overleftrightarrow{AP}$ dan $T(Q) \in \overleftrightarrow{AQ}$ , maka dalam hal ini $\overleftrightarrow{AP}$ dan $\overleftrightarrow{AQ}$ memiliki dua titik sekutu, yaitu $A$ dan $T(P) = T(Q)$ . Ini berarti kedua garis itu berimpit, sehingga haruslah $Q \in \overleftrightarrow{AP}$ . Dengan kata lain, $P, Q, A$ segaris dan ini jelas kontradiksi dengan redaksi awal. Pengandaian salah dan harus diingkari. Jadi, $T(P) \neq T(Q)$ . Berarti, $T$ injektif.
Berdasarkan (i) dan (ii), $T$ adalah suatu transformasi.

[collapse]

Soal Nomor 4
Diketahui $P = (0,0), C_1 = \{(x, y)~ |~ x^2+y^2 = 1\}$ , dan $C_2 = \{(x, y)~|~x^2+y^2 = 25\}$ .
$T : C_1 \mapsto C_2$ sdalah suatu padanan yang didefinisikan sebagai berikut.
Apabila $X \in C_1$ , maka $T(X) = X' = \overrightarrow{PX} \cap C_2$ .
a) Apabila $A = (0,1)$ , tentukan $T(A)$
b) Tentukan prapeta dari $B(4,3)$
c) Apabila $Z$ sembarang titik pada daerah asal $T$ , tentukan jarak $ZZ'$ dengan $Z' = T(Z)$ .
d) Apabila $E$ dan $F$ dua titik pada daerah asal $T$ , apa yang dapat dikatakan tentang jarak $E'F'$ ?

Penyelesaian

Jawaban a)
Posisikan titik $A(0,1)$ pada koordinat Kartesius. Titik $A$ terletak pada $C_1$ . Tarik garis yang melalui titik $A$ dan $P$ sedemikian sehingga memotong $C_2$ di $(0,5)$ (tepat pads sumbu $Y$ . Jadi, $T(A) = (0,5)$ .
Jawaban b)
Perhatikan gambar berikut.

Perhatikan segitiga $APC$ dan $PQB$ . Kedua segitiga ini sebangun sehingga berlaku
$\begin{aligned} & \dfrac{PC} {PQ} = \dfrac{PA} {PB} = \dfrac{AC} {BQ} \\ & \dfrac{PC} {PQ} = \dfrac{PA} {PB} \Leftrightarrow \dfrac{PC} {4} = \dfrac{1}{5} \\ & PC = \dfrac{4}{5} \\ & \dfrac{AC} {BQ} = \dfrac{PA} {PB} \Leftrightarrow \dfrac{AC} {3}= \dfrac{1}{5} \\ & AC = \dfrac{3}{5} \end{aligned}$
Jadi, prapeta $B$ adalah $A = \left(\dfrac{4}{5}, \dfrac{3}{5}\right)$
Jawaban c)
Misalkan $Z$ berada pada $C_1$ dan $Z'$ berada pada $C_2$ sedemikian sehingga $Z' = T(Z)$ . Karena $PZ = 1$ (jari-jari lingkaran kecil 1) dan $PZ' = 5$ (jari-jari lingkaran besar 5), maka jarak $ZZ'$ dapat dinyatakan sebagai
$|ZZ'| = 5 - 1 = 4$
Jawaban d)
Misalkan $E, F \in C_1,E \neq F$ .
Panjang busur $EF$ dinyatakan sebagai
$|EF| = \dfrac{\angle EPF} {2\pi}. (2\pi(1)) = \angle EPF$
Selanjutnya, $E' = T(E)$ dan $F'= T(F)$ . Panjang busur $E'F'$ dinyatakan sebagai
$|E'F'| = \dfrac{\angle E'PF'} {2\pi}. (2\pi(5)) = 5\angle E'PF'$
Karena $P, E, E'$ segaris dan juga $P, F, F'$ segaris, maka besar sudut $E'PF'$ sama dengan besar sudut $EPF$ , sehingga
$|E'F'| = 5\angle E'PF' = 5\angle EPF = 5|EF|$
Jadi, panjang busur $E'F'$ sama dengan 5 kali panjang busur $EF$ .

[collapse]

Soal Nomor 5
Diketahui $f : V \mapsto V$ dengan $V$ adalah suatu bidang Euclides. Jika $P(x, y)$ , maka $f(P) = (|x|, |y|)$
a) Tentukan $f(A)$ jika $A = (-3,6)$
b) Tentukan semua prapeta dari titik $B(4,2)$
c) Apakah bentuk daerah nilai $f$ ?
d) Apakah $f$ suatu transformasi?

Penyelesaian

Jawaban a)
Jika $A(-3,6)$ , maka berdasarkan definisi fungsi $f$ , $f(A) = (|-3|, |6|) = (3,6)$ .
Jawaban b)
Dalam hal ini, harus dicari prapeta $A(x, y)$ sedemikian sehingga $f(A) = B = (4,2)$ . Koordinat $A$ yang mungkin ada $4$ , yaitu $(4,2), (4,-2), (-4, 2), (-4,-2)$ .
Jawaban c)
Daerah nilai $f$ adalah himpunan semua titik-titik di kuadran I, sumbu koordinat positif, atau titik pangkal (titik asal $(0,0$ )).
Jawaban d)
Ambil dua titik, misalnya $A_1 = (3,5) \in V, A_2 = (3,-5) \in V$ . Jelas bahwa $A_1 \neq A_2$ , tetapi $f(A_1) = f(A_2) = (3,5)$ . Jadi, terdapat $A_1 \neq A_2$ , tetapi $f(A_1) = f(A_2)$ sehingga dapat dikatakan bahwa $f$ tidak injektif. Oleh karenanya, $f$ bukanlah suatu transformasi.

[collapse]

Soal Nomor 6
Diketahui fungsi $g : \text{sumbu X} \mapsto V$ di mana $V$ bidang Euclides, didefinisikan sebagai berikut.
Apabila $P(x, 0)$ , maka $g(P) =(x, x^2)$
a) Tentukan peta $A(3,0)$ oleh $g$
b) Apakah $R(-14,196)$ anggota dari daerah nilai (daerah hasil/range) $g$ ?
c) Apakah $g$ surjektif?
d) Gambarlah daerah nilai $g$ .

Penyelesaian

Jawaban a)
Peta $A(3,0)$ oleh $g$ adalah $g(A) = (3, 3^2) = (3,9)$ .
Jawaban b)
$R(-14,196)$ adalah daerah nilai $g$ karena $R$ mempunyai prapeta, yaitu $(-14,0)$ .
Jawaban c)
Ambil titik $A' \in V$ dengan $A'(a, b)$ dan $b = a^2$ . Jelas terdapat $A(a, 0)$ sehingga $g(A) = A'$ . Jadi, $g$ surjektif.
Jawaban d)

[collapse]

Soal Nomor 7
Suatu transformasi $T : V \mapsto V$ didefinisikan sebagai berikut.
Apabila $P(x, y)$ , maka
i) $T(P) = (x + 1, y)$ , untuk $x \geq 0$
ii) $T(P) = (x - 1, y)$ , untuk $x>0$
a) Apakah $T$ injektif?
b) Apakah $T$ suatu transformasi?

Penyelesaian

Jawaban a)
Ambil titik $P(x_1,y_1)$ dan $Q(x_2,y_2)$ sehingga $P \neq Q$ . Akan dibuktikan $T(P) \neq T(Q)$ .
Karena $P \neq Q$ , maka $x_1 \neq x_2$ ATAU $y_1 \neq y_2$ .
i) Untuk $x \geq 0$
$T(P) = (x_1+1,y_1)$ dan $T(Q) = (x_2+1,y_2)$
Jelas $x_1\neq x_2$ mengimplikasikan $x_1+1\neq x_2+1$ atau $y_1 \neq y_2$ . Jadi, $T(P) \neq T(Q)$
ii) Untuk $x < 0$
$T(P) = (x_1-1,y_1)$ dan $T(Q) = (x_2-1,y_2)$
Jelas $x_1\neq x_2$ mengimplikasikan $x_1-1\neq x_2-1$ atau $y_1 \neq y_2$ . Jadi, $T(P) \neq T(Q)$
Berdasarkan i) dan ii), dapat disimpulkan bahwa $T$ injektif.
Jawaban b)
Untuk menunjukkan bahwa $T$ suatu transformasi, harus ditunjukkan bahwa $T$ injektif dan surjektif. $T$ telah dibuktikan injektif pada jawaban a. Selanjutnya, akan ditunjukkan $T$ surjektif.
i) Untuk $x \geq 0$
Andaikan $A = (x', y')$
Jika $A$ memiliki prapeta $B(x, y)$ , maka haruslah berlaku $T(A) = (x' + 1, y')$ . Jadi, $x'+1=x, y'= y$
atau
$\begin{cases} x'=x-1 \\ y'=y \end{cases}$
Jelas $T(x-1,y) = ((x-1)+1,y) = (x, y)$
Oleh karena $x', y'$ selalu ada untuk sembarang nilai $x, y, x \geq 0$ , maka $A$ selalu ada sehingga $T(A) = B$ .
ii) Untuk $x < 0$
Andaikan $A = (x', y')$
Jika $A$ memiliki prapeta $B(x, y)$ , maka haruslah berlaku $T(A) = (x' - 1, y')$ . Jadi, $x'-1=x, y'= y$
atau
$\begin{cases} x'=x+1\\ y'=y \end{cases}$
Jelas $T(x+1,y) = ((x+1)-1,y) = (x, y)$
Oleh karena $x', y'$ selalu ada untuk sembarang nilai $x, y, x < 0$ , maka $A$ selalu ada sehingga $T(A) = B$ .
Dari i) dan ii), disimpulkan bahwa $T$ surjektif.
Untuk ini, $T$ transformasi sebab bersifat surjektif dan injektif.

[collapse]

Soal Nomor 8
Diketahui sebuah garis $S$ dan titik-titik $A, B, C$ diposisikan seperti pada gambar.

Diketahui $T : V \mapsto V$ didefinisikan sebagai berikut.
i) Jika $P \in S$ , maka $T(P) = P$
ii) Jika $P \in S$ , maka $T(P) = P'$ sedemikian hingga garis $S$ adalah sumbu ruas $\overline{PP'}$
a) Lukislah $A' = T(A), B' = T(B)$
b) Lukislah prapeta titik $C$ .
c) Apakah $T$ suatu transformasi?
d) Buktikan bahwa $A'B' = AB$ .

Penyelesaian

Jawaban a dan b)

Jawaban c)
Akan ditunjukkan bahwa $T$ transformasi, yaitu dengan menunjukkan bahwa $T$ surjektif dan injektif.
Jelas setiap $P$ pada $V$ , ada prapeta $P'$ , sehingga $T(P) = P'$ . Jika $P \in S$ , maka $P' = P$ dan jika $P \notin S$ , maka $P'$ adalah cermin dari $P$ terhadap sumbu $S$ . Jadi, $T$ surjektif.
Untuk $P, Q \in S, P \neq Q$ , jelas $P' \neq Q'$ . Untuk $P \notin S$ , ambillah dua titik $A, B \notin S, A \neq B$ . Kita akan menyelidiki kedudukan $A'$ dan $B'$ . Andaikan $A' = B'$ .
Karena $S$ adalah sumbu ruas garis $AA'$ , maka $S$ tegak lurus $AA'$ dan karena $S$ adalah sumbu dari ruas garis $BB'$ , maka $S$ tegak lurus $BB'$ .
Karena $A'=B'$ dan kedua garis tegak lurus $S$ , maka $AA'$ dan $BB'$ haruslah berimpit. Akibatnya, $A = B$ . Ini suatu kontradiksi karena redaksi awal mengatakan bahwa $A \neq B$ . Jadi, pengandaian diingkari, dan $T$ injektif.
Dari kedua ini, dapat disimpulkan bahwa $T$ suatu transformasi.
Jawaban d)
Akan dibuktikan $A'B' = AB$ .

Misal $D$ titik potong garis $S$ dengan ruas garis $\overline{A'A}$ dan $E$ titik potong garis $S$ dengan ruas garis $\overline{B'B}$ . Perhatikan segitiga $A'DE$ dan $ADE$ .
$A'D = AD$ (berdasarkan definisi $S$ sebagai sumbu $\overline{A'A}$ sehingga $D$ tepat di tengah $\overline{A'A}$ ).
Juga diketahui bahwa $\angle A'DE = \angle ADE = 90^{\circ}$ (karena $S$ sumbu $\overline{A'A}$ , maka $S \perp \overline{A'A}$ ). Berdasarkan teorema kekongruenan sisi-sudut-sisi, segitiga $A'DE$ kongruen dengan segitiga $ADE$ . Akibatnya, $A'E = AE$ dan $\angle A'ED = \angle AED$ .
Sekarang, perhatikan segitiga $A'B'E$ dan $ABE$ .
Diketahui $A'E = AE~~~~~(i)$
dan $B'E = BE~~~~~(ii)$
(berdasarkan definisi $S$ sebagai sumbu $\overline{B'B}$ sehingga $E$ tepat di tengah $\overline{B'B}$ ).
Karena $S$ sumbu $\overline{B'B}$ , maka $S \perp \overline{B'B}$ dan dapat ditulis
$\begin{aligned} & \angle B'ED = \angle BED = 90^{\circ} \\ & \angle B'EA = \angle B'ED - \angle A'ED \\ & \angle BEA = \angle BED - \angle AED = \angle B'ED - \angle A'ED \end{aligned}$
Berakibat
$\angle B'EA = \angle BEA~~~~~~~~(iii)$
Berdasarkan (i), (ii), dan (iii), maka menurut teorema kekongruenan sudut-sisi-sudut, segitiga $A'B'E$ kongruen dengan segitiga $ABE$ . Akibatnya, $A'B' = AB$ (terbukti) $\blacksquare$ .

[collapse]

Mei 7, 2018Mei 17, 2018

Distribusi Poisson – Materi, Soal, dan Pembahasan

Dalam teori probabilitas dan statistika, distribusi Poisson adalah distribusi probabilitas diskrit yang menyatakan peluang jumlah peristiwa yang terjadi pada periode waktu tertentu apabila rata-rata kejadian tersebut diketahui dan dalam waktu yang saling bebas sejak kejadian terakhir (dikutip dari: alvinburhani.wordpress.com). Sesuai dengan namanya, distribusi peluang ini ditemukan oleh Simeon Denis Poisson (1781 – 1840), yang merupakan seorang matematikawan berkebangsaan Prancis.
Distribusi Poisson sebenarnya diperoleh dari distribusi binomial, apabila dalam distribusi binomial berlaku syarat berikut.
a) Banyak pengulangan eksperimennya sangat besar ( $n \to \infty$ )
b) Peluang terjadinya peristiwa yang ditinjau mendekati nol ( $p \to 0$ )
c) Perkalian $n \times p = \lambda$ , sehingga haruslah $p = \dfrac{\lambda}{n}$ .

Berikut ini akan diberikan penurunan fungsi peluang distribusi Poisson berdasarkan fungsi peluang distribusi binomial menggunakan persyaratan di atas.
$\begin{aligned} p(x) & = \displaystyle \binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x} \\ & = \dfrac{n!}{x!(n-x)!} \left(\dfrac{\lambda}{n}\right)^n \left(1 - \dfrac{\lambda}{n}\right)^{n-x} \\ & \dfrac{n(n-1)(n-2)\cdots (n - (x-1))}{x!} \left(\dfrac{\lambda}{n}\right)^x \left(1 - \dfrac{\lambda}{n}\right)^{n-x} \\ & = \dfrac{n.n\left(1 - \dfrac{1}{n}\right).n\left(1 - \dfrac{2}{n}\right)\cdots n\left(1 - \dfrac{x - 1}{n}\right)}{x!} \\ & \dfrac{\lambda^x}{n^x} \left(1 - \dfrac{\lambda}{n}\right)^n \left(1 - \dfrac{\lambda}{n}\right)^{-x} \\ & = \dfrac{n.n^{x-1}}{n^x} . \dfrac{\left(1 - \dfrac{1}{n}\right)\left(1 - \dfrac{2}{n}\right)\cdots \left(1 - \dfrac{x - 1}{n}\right)}{x!} \\ & \lambda^x . \left(1 - \dfrac{\lambda}{n}\right)^n \left(1 - \dfrac{\lambda}{n}\right)^{-x} \end{aligned}$
Limitkan kedua ruas sebagai berikut.
$\begin{aligned} \lim p(x) & = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{n.n^{x-1}}{n^x} . \dfrac{\left(1 - \dfrac{1}{n}\right).n\left(1 - \dfrac{2}{n}\right)\cdots \left(1 - \dfrac{x - 1}{n}\right)}{x!} \\ & \lambda^x . \left(1 - \dfrac{\lambda}{n}\right)^n \left(1 - \dfrac{\lambda}{n}\right)^{-x} \\ & = \dfrac{\lambda^x}{x!} \lim_{n \to \infty} \left[\left(1 - \dfrac{1}{n}\right)\left(1 - \dfrac{2}{n}\right)\cdots \\ & \left(1 - \dfrac{x - 1}{n}\right)\left(1 - \dfrac{\lambda}{n}\right)^n\left(1 - \dfrac{\lambda}{n}\right)^{-x} \right] \right]\end{aligned}$
Hitung limitnya satu per satu.
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(1 - \dfrac{1}{n}\right)\left(1 - \dfrac{2}{n}\right) \cdots \left(1 - \dfrac{x-1}{n}\right) \\ & = (1-0)(1-0)\cdots(1-0) = 1 \end{aligned}$
Limit berikut merupakan limit barisan Euler.
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(1 - \dfrac{\lambda}{n}\right)^n = e^{-\lambda}$
Selanjutnya,
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(1 - \dfrac{\lambda} {n} \right)^{-x} = (1 - 0)^{-x} = 1$
Jadi, akan diperoleh $\displaystyle \lim_{n \to \infty} p(x) = \dfrac{\lambda^x} {x!}.e^{-\lambda} = \dfrac{\lambda^xe^{-\lambda}} {x!}$
Dengan demikian, distribusi pendekatannya adalah
$p(x) = P(X = x) = \dfrac{\lambda^xe^{-\lambda}} {x}; x = 0,1,2,\cdots$
Definisi: Fungsi Peluang Poisson
Peubah acak $X$ dikatakan berdistribusi Poisson jika dan hanya jika fungsi peluangnya berbentuk
$P(X = x) = \dfrac{\lambda^xe^{-\lambda}} {x!}$
untuk $x$ bilangan cacah. Selain dari itu, nilai $P(X = x) = 0$ .
Dalam hal ini, $\lambda$ menyatakan rata-rata keberhasilan percobaan.
Dalam praktiknya, distribusi Poisson akan menjadi distribusi pendekatan yang baik dari distribusi binomial, jika dalam distribusi binomial berlaku:
$n \geq 100$ dan $np \leq 10$
atau $n \geq 20$ dan $p \leq 0,05$
di mana $n$ menyatakan banyaknya percobaan dan $p$ menyatakan peluang terjadinya sukses dalam percobaan itu.
Penulisan notasi dari peubah acak $X$ yang berdistribusi Poisson adalah $X\sim P(x; \lambda)$ atau $X\sim Poi(x; \lambda)$ artinya peubah acak $X$ berdistribusi Poisson dengan parameter $\lambda$ .

Teorema: Rataan Distribusi Poisson
Rataan $\mu$ dari peubah acak yang berdistribusi Poisson adalah $\mu = \lambda$

Bukti

Berdasarkan definisi rataan diskrit, maka
$\begin{aligned} \displaystyle \mu &= E(X) = \sum_{x} x.p(x) \\ & = \sum_{x = 0}^{\infty} x. \dfrac{\lambda^xe^{-\lambda}} {x!} \\ & = \sum_{x = 1}^{\infty} \dfrac{\lambda^xe^{-\lambda}} {(x-1)!}~~~\bigstar \end{aligned}$
Misalnya $y = x - 1$
Batas-batas:
Untuk $x = 1$ , maka $y = 0$
Untuk $x$ bernilai tak hingga, maka $y$ juga demikian.
Jadi, diperoleh
$\begin{aligned} \mu & = E(X) = \displaystyle \sum_{y = 0}^{\infty} \dfrac{\lambda^{y+1}e^{-\lambda}}{y!} \\ & = \lambda \sum_{y = 0}^{\infty} \dfrac{\lambda^ye^{-\lambda}} {y!} \\ & = \lambda(1) = \lambda~~~\bigstar \bigstar \end{aligned}$
Terbukti bahwa rataan Poisson setara dengan $\lambda$ .
Catatan:
$\bigstar$ Banyak orang yang bertanya mengapa batas bawah sumasi dapat berubah dari 0 menjadi 1. Ini dikarenakan ketika kita mensubstitusikan $x = 0$ pada bentuk sebelumnya, hasilnya adalah 0, sehingga dapat diabaikan. Ingat pula bahwa $n!$ untuk $n < 0$ didefinisikan sama dengan 0.
$\bigstar \bigstar$ Ingat bahwa $\displaystyle \sum_{x} p(x) = 1$ di mana $p(x)$ merupakan fungsi kepadatan peluang suatu distribusi.

[collapse]

Teorema: Varians Distribusi Poisson
Varians $\sigma^2$ dari peubah acak yang berdistribusi Poisson adalah $\sigma^2 = \lambda$

Bukti

Berdasarkan definisi varians, maka
$\begin{aligned} \sigma^2 & = Var(X) = E(X^2) - (E(X)) ^2 \\ & = E(X(X - 1) + X) - (E(X))^2 \\ & = E(X(X-1)) + E(X) - (E(X))^2 \end{aligned}$
Berdasarkan nilai ekspektasi diskrit, maka
$\begin{aligned} E(X(X-1)) & = \displaystyle \sum_{x} x(x-1).p(x) \\ & = \sum_{x = 0}^{\infty} x(x-1).\dfrac{\lambda^xe^{-\lambda}} {x!} \\ & = \sum_{x = 2}^{\infty} \dfrac{\lambda^xe^{-\lambda}} {(x-2)!} \end{aligned}$
Misalnya: $y = x - 2$
Batas-batasnya:
Untuk $x = 2$ , maka $y = 0$
Untuk $x = \infty$ , maka $y = \infty$
$\begin{aligned} E(X(X-1)) &= \displaystyle \sum_{y = 0}^{\infty} \dfrac{\lambda^{y+2}e^{-\lambda}} {y!} \\ & = \lambda^2 \sum_{y = 0}^{\infty} \dfrac{\lambda^ye^{-\lambda}} {y!} \\ & = \lambda^2(1) = \lambda^2 \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh
$\sigma^2 = Var(X) = \lambda^2 + \lambda - \lambda^2 = \lambda$
(Terbukti) $\blacksquare$

[collapse]

Teorema: Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Poisson
Fungsi pembangkit momen dari peubah acak $X$ yang berdistribusi Poisson adalah
$M_X(t) = e^{\lambda(e^t - 1)}, t \in \mathbb{R}$

Bukti

Berdasarkan definisi fungsi pembangkit momen diskrit, maka
$\begin{aligned} M_X(t) & = \displaystyle \sum_{x} e^{tx}.p(x) \\ & = \sum_{x = 0}^{\infty} e^{tx}. \dfrac{\lambda^xe^{-\lambda}} {x!} \\ & = e^{-\lambda} \sum_{x = 0}^{\infty} \dfrac{(\lambda e^t)^x} {x!}~~\bigstar \\ & = (e^{-\lambda}) (e^{\lambda e^t}) \\ & = e^{\lambda(e^t - 1)} \end{aligned}$
(Terbukti) $\blacksquare$
Catatan:
$\bigstar$ Gunakan sifat ekspansi dari deret Maclaurin berikut.
$\boxed{ \displaystyle \sum_{n = 0}^{\infty} \dfrac{x^n} {n!} = e^x}$

[collapse]

Berikut ini adalah beberapa contoh soal mengenai penggunaan distribusi Poisson beserta pembahasannya.

Catatan: Gunakan kalkulator saintifik bila diperlukan
Soal Nomor 1
Apakah artinya $Y \sim P(y; 2)$ ? Tuliskan bentuk fungsi peluangnya.

Penyelesaian

$Y \sim P(y; 2)$ artinya peubah acak $Y$ yang berdistribusi Poisson dengan parameter $\lambda = 2$ . Fungsi peluang dari $Y$ berbentuk:
$p(y) = \dfrac{2^ye^{-2}} {y!}; y = 0,1,2,3,\cdots$

[collapse]

Soal Nomor 2
Misalkan $X$ adalah peubah acak berdistribusi Poisson dengan parameter $\lambda$ . Jika $P(X = 0) = 0,2$ , maka nilai dari $P(X = 2)$ adalah $\cdots$

Penyelesaian

Fungsi peluang dari distribusi Poisson adalah
$P(X = x) = \dfrac{\lambda^xe^{-\lambda}} {x!}, x = 0,1,2,3,\cdots$
Langkah pertama adalah menentukan nilai $\lambda$ sebagai berikut.
$\begin{aligned} & P(X = 0) = 0,2 \\ & \dfrac{\lambda^0e^{-\lambda}} {0!} = 0,2 \\ & e^{-\lambda} = 0,2 \\ & \lambda \approx 1,6 \end{aligned}$
Jadi, diperoleh $\lambda = 1,6$
Selanjutnya, akan dicari nilai dari $P(X = 2)$ sebagai berikut.
$P(X = 2) = \dfrac{(1,6)^2e^{-1,6}} {2!} \approx 0,2584$

[collapse]

Soal Nomor 3
Pada tahun 2018 dilakukan penelitian di pedalaman desa $X$ . Diperoleh data bahwa rata-rata terdapat 2,5 orang albino dari 175 orang, di mana 525 orang diambil sebagai sampel percobaan. Dengan menggunakan pendekatan Poisson, tentukan peluang diperolehnya orang yang bukan albino.

Penyelesaian

Diketahui rata-rata hitung $\lambda = 2,5$ orang albino per $175$ populasi. Jumlah sampel yang diambil sebanyak $525$ , yaitu 3 kali lebih banyak dari populasi pada tahun 2018, sehingga rata-rata hitung $\lambda$ sekarang pada populasi $525$ orang adalah $2,5 \times 3 = 7,5$ .
Peluang dari sampel tersebut tidak diperoleh orang albino adalah
$P(X = 0) = \dfrac{(7,5)^0e^{-7,5}} {0!} \approx 0,00055$

[collapse]

Soal Nomor 4
Diketahui suatu perusahaan biasanya mendapatkan 360 e-mail setiap 6 jam kerja. Tentukan peluang bahwa dalam waktu 6 menit, perusahaan itu mendapatkan setidaknya 2 e-mail.

Penyelesaian

Peluang setidaknya 2 e-mail didapat sama dengan jumlah dari peluang mendapatkan $2,3,4,\cdots$ e-mail, dinotasikan
$P(X \geq 2) = P(X = 2) + P(X = 3) + \cdots = \displaystyle \sum_{x = 2}^{\infty} P(X = x)$
Manfaatkan bentuk komplemen peluang untuk menghitung peluang yang dimaksud, yaitu
$P(X \geq 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)]$
Dalam kasus ini, $\lambda = 10$ , yaitu rata-rata dari banyaknya e-mail yang diterima perusahaan dalam waktu 10 menit (6 jam = 360 menit, berarti dapat diasumsikan setiap 10 menit, terdapat 10 e-mail yang masuk). Jadi,
$\begin{aligned} & P(X = 0) = \dfrac{e^{-10}(10)^0}{0!} = e^{-10} \approx 0,00004539992 \\ & P(X = 1) = \dfrac{e^{-10}(10)^1}{1!} = 10e^{-10} \approx 0,0004539992 \end{aligned}$
Dengan demikian,
$P(X \geq 2) = 1 - (0,0000453992 + 0,0004539992) \approx 0,9995$
Jadi, peluang setidaknya 2 e-mail didapat perusahaan dalam waktu 10 menit adalah 0,9995.

[collapse]

Soal Nomor 5
Seorang pegawai asuransi jiwa menawarkan rata-rata 3 kebijakan asuransi setiap minggunya. Dengan menggunakan Hukum Poisson, tentukan peluang kejadian pegawai itu menawarkan setidaknya 1 kebijakan asuransi dalam rentang waktu seminggu.

Penyelesaian

Diketahui $\lambda = 3$ , sehingga dengan definisi fungsi peluang Poisson, diperoleh
$P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - \dfrac{e^{-3}(3)^0}{0!} = 0,95021$
Jadi, peluang yang dimaksud sebesar $0,95021$ .

[collapse]

Soal Nomor 6
Kendaraan melewati suatu pertigaan jalan dengan rata-rata 300 kendaraan setiap jamnya. Tentukan peluang kejadian tidak ada kendaraan yang melewati pertigaan itu dalam rentang waktu satu menit.

Penyelesaian

Rata-rata kendaraan melewati pertigaan jalan itu per menitnya adalah
$\lambda = \dfrac{300}{60} = 5$
Catatan: 1 jam = 60 menit.
Dengan menggunakan Hukum Poisson, didapat
$P(X = 0) = \dfrac{e^{-5}(5)^0}{0!} = 6,7389 \times 10^{-3}$
Jadi, peluang kejadian tidak ada kendaraan yang melewati pertigaan jalan itu dalam satu menit adalah $6,7389 \times 10^{-3}$ .

[collapse]

Soal Nomor 7
Ruang gawat darurat sebuah rumah sakit akan memiliki tingkat kedatangan rata-rata pasien sebanyak 4 orang per hari. Kedatangan pasien mengikuti proses Poisson. Berapa probabilitas kedatangan 2 pasien per hari?

Penyelesaian

Diketahui $\lambda = 4$ , di mana $\lambda$ menyatakan tingkat kedatangan rata-rata pasien per harinya. Karena kedatangan pasien mengikuti proses Poisson, maka berlaku
$P(X = 2) = \dfrac{4^2e^{-4}} {2!} \approx 0,1465$
Jadi, probabilitas kedatangan 2 pasien per hari adalah $0,1465$ .

[collapse]

Soal Nomor 8
Misalkan banyaknya sambungan telepon ke nomor $108$ antara pukul $23.00$ sampai pukul $00.00$ selama 1 bulan berdistribusi Poisson dengan rata-rata 5 sambungan per hari. Berdasarkan informasi tersebut, tentukan peluang bahwa terdapat 10 sambung pada hari tertentu saat rentang waktu tersebut.

Penyelesaian

Kasus ini tergolong kasus Distribusi Poisson dengan $\lambda = 5$ , sehingga berlaku
$P(X = 10) = \dfrac{5^{10}e^{-5}} {10!} \approx 0,0181$
Jadi, peluang bahwa terdapat 10 sambungan pada hari tertentu saat rentang waktu tersebut adalah $0,0181$ .

[collapse]

Soal Nomor 9
Jika peubah acak $X$ berdistribusi Poisson dengan parameter $\lambda$ , buktikan bahwa $E(X^2) = \lambda \times E(X + 1)$

Penyelesaian

Berdasarkan definisi rataan diskrit, diperoleh
$E(X^2)= \displaystyle \sum_{x = 0}^{\infty} x^2.\dfrac{\lambda^xe^{-\lambda}} {x!} = \sum_{x = 1}^{\infty} x. \dfrac{\lambda^xe^{-\lambda}} {(x-1)!}$
Misalkan $x - 1 = y \Leftrightarrow x = y + 1$ , didapat
$\begin{aligned} \displaystyle E(X^2) & = \sum_{y = 0} (y+1)\dfrac{\lambda^{y+1}e^{-\lambda}} {y!} \\ & = \lambda \left[\sum_{x = 0}^{\infty} x. \dfrac{\lambda^xe^{-\lambda}} {x!} + \sum_{x = 0}^{\infty} \dfrac{\lambda^xe^{-\lambda}} {x!} \right] \\ & = \lambda \sum_{x = 0}^{\infty} (x + 1)\dfrac{\lambda^xe^{-\lambda}} {x!} = \lambda \times E(X + 1) \end{aligned}$
(Terbukti) $\blacksquare$

[collapse]

Soal Nomor 10
Jika peubah acak $X$ berdistribusi Poisson dengan parameter $\lambda$ dan $E(X^2) = 6$ , maka hitunglah $E(X)$ .

Penyelesaian

Diketahui bahwa jika $X ~ Poi(\lambda)$ , maka rataannya adalah $\mu = E(X) = \lambda$ sedangkan variansnya adalah $\Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \lambda$ Substitusikan $E(X) = \lambda$ dan $E(X^2) = 6$ pada persamaan kedua, sehingga diperoleh $6 - \lambda^2 = \lambda \Lefrightarrow (\lambda + 3)(\lambda - 2) = 0$ Diperoleh $\lambda = -3$ atau $\lambda = 2$ . Karena $\lambda$ tidak mungkin negatif, maka diambil $\lambda = 2$ . Ini artinya, nilai dari $E(X)$ adalah $2$ .

[collapse]

Soal Nomor 11
Misalnya peubah acak $X$ berdistribusi Poisson dengan parameter $\lambda$ . Jika $P(X = 2) = \dfrac{2}{3}P(X = 1)$ , hitunglah $P(X = 0)$ dan $P(X = 1)$ .

Penyelesaian

Diketahui fungsi kepadatan peluang dari distribusi Poisson adalah
$P(X = x) = \dfrac{\lambda^xe^{-\lambda}} {x!}$
Karena $P(X = 2) = \dfrac{2}{3}P(X = 1)$ , maka berarti
$\begin{aligned} & \dfrac{\lambda^2e^{-\lambda}}{2!} = \dfrac{2}{3}. \dfrac{\lambda^1e^{-\lambda}} {1!} \\ & \dfrac{\lambda} {2} = \dfrac{2}{3} \\ & \lambda = \dfrac{4}{3} \end{aligned}$
Jadi, diperoleh $\lambda = \dfrac{4}{3}$ , sehingga
$P(X = 0) = \dfrac{\left(\dfrac{4}{3}\right)^0 e^{-\frac{4}{3}}}{0!} \approx 0,26360$
dan
$P(X = 1) = \dfrac{\left(\dfrac{4}{3}\right)^1 e^{-\frac{4}{3}}}{1!} \approx 0,35146$

[collapse]

Soal Nomor 12
Misalnya peubah acak $X$ berdistribusi Poisson dengan parameter $\lambda$ . Jika $P(X = 1) = 2.P(X = 2)$ , hitunglah
a) $P(X = 0)$ dan $P(X = 1)$
b) rataannya
c) variansnya

Penyelesaian

Jawaban a)
Diketahui fungsi kepadatan peluang dari distribusi Poisson adalah
$P(X = x) = \dfrac{\lambda^xe^{-\lambda}} {x!}$
Karena $P(X = 1) = 2P(X = 2)$ , maka berarti
$\begin{aligned} & \dfrac{\lambda^1e^{-\lambda}}{1!} = 2 \times \dfrac{\lambda^2e^{-\lambda}} {2!} \\ & \lambda = 1 \end{aligned}$
Jadi, diperoleh $\lambda = 1$ , sehingga
$P(X = 0) = \dfrac{1^0e^{-1}} {0!} = e^{-1}$
dan
$P(X = 1) = \dfrac{1^1e^{-1}} {1!} = e^{-1}$
Jawaban b)
Berdasarkan dalil rataan distribusi Poisson,
$\mu = \lambda = 1$
Jadi, rataannya adalah 1.
Jawaban c)
Berdasarkan dalil varians distribusi Poisson,
$\Var(X) = \lambda = 2$
Jadi, variansnya juga bernilai 1.

[collapse]

Soal Nomor 13
Misalnya peubah acak $X$ berdistribusi Poisson dengan parameter $\lambda$ . Jika $Y = X - \lambda$ , maka:
a) tentukan fungsi pembangkit momen dari $Y$
b) hitung $Var(Y)$ berdasarkan hasil jawaban a

Penyelesaian

Jawaban a)
Akan ditunjukkan bahwa fungsi pembangkit momen dari $Y$ adalah $M_Y(t) = e^{\lambda(e^t-t-1)}$ sebagai berikut.
$\begin{aligned} M_{Y}(t) & = \mathbb{E}(e^{tY}) \\ & = \mathbb{E}(e^{t(X-{\lambda})}) \\ & = \sum_{x=0}^{\infty} e^{t(x-{\lambda})}\frac{{\lambda}^{x}e^{-{\lambda}}}{x!} \\ & = e^{-(t+1){\lambda}}\sum_{x=0}^{\infty} \frac{({\lambda}{e^t})^x}{x!} \\ & = e^{-(t+1){\lambda}}{e^{{\lambda}{e^{t}}}} \\ & = e^{{\lambda}(e^{t}-t-1)} \end{aligned}$
(Terbukti)
Jawaban b)
Ingat hubungan fungsi pembangkit momen dan varians sebagai berikut.
$\begin{aligned} Var(Y) & = {\mathbb{E}}(Y^2) -{{\mathbb{E}}(Y)}^2 \\ & = {M''_{Y}(0)} - (M'_{Y}(0))^2 \end{aligned}$
Berikutnya, akan dicari turunan pertama dan turunan kedua dari $M_Y(t)$ .
Turunan pertamanya adalah
$M'_Y(t) = \lambda(e^t-1)e^{\lambda(e^t-t-1)}$
sehingga
$M'_Y(0) = 0$
Sedangkan turunan keduanya adalah
$M''_Y(t) = [(\lambda e^t - \lambda)^2 + \lambda e^t] e^{\lambda(e^t - t - 1)}$
sehingga
$M'_Y(0) = \lambda$
Jadi, haruslah
$Var(Y) = \lambda - 0^2 = \lambda$
Dapat disimpulkan bahwa variansnya adalah $\lambda$ .

[collapse]

Soal Nomor 14
Jika peubah acak $X$ berdistribusi Poisson dengan parameter $P(X = 1) = P(X = 2)$ , maka hitung $P(X = 1~\text{atau}~2)$ .

Penyelesaian

Karena $P(X = 1) = P(X = 2)$ , maka
$\dfrac{\lambda^1e^{-\lambda}} {1!} = \dfrac{\lambda^2e^{-\lambda}} {2!}$
Sederhanakan bentuk di atas sehingga nantinya diperoleh
$\lambda^2 - 2\lambda = \lambda(\lambda - 2) = 0$
Jadi, diambil $\lambda = 2$ .
Dengan demikian,
$\begin{aligned} P(X = 1~\text{atau}~2) & = P(X = 1) + P(X = 2) \\ & = \dfrac{2^1e^{-2}} {1!} + \dfrac{2^2e^{-2}} {2!} = \boxed{4e^{-2}} \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 15
Jika peubah acak $X$ berdistribusi Poisson dengan parameter $\lambda$ , maka buktikan bahwa $E(|X - 1|) = \dfrac{2\sigma}{e}$

Penyelesaian Belum Tersedia

[collapse]

Soal Nomor 16
Jika peubah acak $X$ berdistribusi Poisson dengan parameter $\lambda$ sehingga $P(X = 1) = P(X = 2)$ , hitunglah $P(X = 4)$ .

Penyelesaian

Karena $P(X = 1) = P(X = 2)$ , maka
$\dfrac{\lambda^1e^{-\lambda}} {1!} = \dfrac{\lambda^2e^{-\lambda}} {2!}$
Sederhanakan bentuk di atas sehingga nantinya diperoleh
$\lambda^2 - 2\lambda = \lambda(\lambda - 2) = 0$
Jadi, diambil $\lambda = 2$ .
Dengan demikian,
$\begin{aligned} P(X = 4) & = \dfrac{2^4e^{-2}} {4!} + \dfrac{2e^{-2}} {3} = \boxed{0,0902} \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 17
Misal $X$ peubah acak berdistribusi Poisson. Jika fungsi pembangkit momen dari $X$ adalah $\exp(4(e^t - 1))$ , hitung $P(|X - \mu| < 2\sigma)$ .

Penyelesaian Belum Tersedia

[collapse]

Soal Nomor 18
Jika peubah acak $X$ berdistribusi Poisson dengan parameter $\lambda$ dan $P(X = 0) = \dfrac{1}{2}$ , maka hitunglah $E(X)$

Penyelesaian

Diketahui $P(X = 0)= \dfrac{1}{2}$ . Karena $X$ berdistribusi Poisson, maka
$\begin{aligned} P(X = 0) & = \dfrac{\lambda^0e^{-\lambda}} {0!} = \dfrac{1}{2} \\ e^{-\lambda} & = \dfrac{1}{2} \\ \lambda & = - \ln \dfrac{1}{2} \approx 0,7 \end{aligned}$
Berdasarkan dalil ekspektasi/rataan diskrit Poisson, didapat $\boxed{E(X) = \mu = \lambda = 0,7}$

[collapse]

Soal Nomor 19
Jika peubah acak $Y$ berdistribusi Poisson dengan variansnya $3$ , maka hitunglah $P(Y = 2)$ .

Penyelesaian

Karena $Y$ berdistribusi Poisson dan berdasarkan dalil varians Poisson, maka $\Var(Y) = \lambda = 3$ , sehingga
$\boxed{P(Y = 2) = \dfrac{3^2e^{-3}} {2!} \approx 0,224}$

[collapse]

Soal Nomor 20
Misalkan $Y$ peubah acak berdistribusi Poisson. Jika $M_Y(t) = \exp(5e^t - 5)$ , maka hitunglah $P(2 \leq Y < 5)$ .

Penyelesaian

Karena $Y$ berdistribusi Poisson dan berdasarkan dalil fungsi pembangkit momen Poisson, yaitu $M_Y(t) = \exp(\lambda(e^t - 1))$ , maka dengan membandingkannya pada bentuk $M_Y(t) = \exp(5e^t - 5)$ , diperoleh $\lambda = 5$ . Dengan demikian,
$\begin{aligned} P(2 \leq Y < 5) & = P(Y = 2) + P(Y = 3) + P(Y = 4) \\ & \dfrac{5^2e^{-5}} {2!} + \dfrac{5^3e^{-5}} {3!} + \dfrac{5^4e^{-5}} {4!} \\ & \approx 0,084 + 0,14037 + 0,17546 \approx 0,4 \end{aligned}$
Catatan: Pembulatan jawaban (aproksimasi) ke $0,4$ .

[collapse]

Soal Nomor 21
Jika peubah acak $X$ berdistribusi Poisson dengan parameter $\lambda$ dan $P(X = 0) = 0,2$ , maka hitunglah $P(X > 2)$ .

Penyelesaian

Karena $X$ berdistribusi Poisson, maka
$\begin{aligned} P(X = 0) = 0,2 & = \dfrac{\lambda^0e^{-\lambda}} {0!} \\ e^{-\lambda} & = 0,2 \\ \lambda = - \ln 0,2 \approx 1,6094 \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} P(X > 2) & =1 - P(X \leq 2) \\ & = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X =2)] \\ & = 1 - \left[\dfrac{(1,6094)^0e^{-1,6094}} {0!} +\dfrac{(1,6094)^1e^{-1,6094}} {1!} \\ & +\dfrac{(1,6094)^2e^{-1,6094}} {2!} \Bigg] \\ & \approx 1-0,7809 = 0,2191\end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 22
Jika peubah acak $X$ berdistribusi Poisson dengan rataan $\mu = 100$ ,maka hitung batas bawah dari $P(75 < X < 125)$ .

Penyelesaian Belum Tersedia

[collapse]

Mei 3, 2018Mei 3, 2018

Soal dan Pembahasan – Ulangan Tengah Semester (UTS) Mata Kuliah Trigonometri Prodi Pendidikan Matematika FKIP Untan

Berikut ini adalah soal ujian tengah semester beserta pembahasannya mata kuliah Trigonometri (Tahun Ajaran 2017/2018) yang diujikan kepada mahasiswa pendidikan matematika FKIP Untan semester 2 oleh Drs. Romal Idjuddin, M.Pd pada tanggal 2 Mei 2018.

Soal Nomor 1
Tentukan nilai dari
a) $\sin 225^{\circ}$
b) $\cos 300^{\circ}$

Penyelesaian

Jawaban a)
$\begin{aligned} \sin 225^{\circ} & = \sin (180 + 45)^{\circ} \\ & = -\sin 45^{\circ} \\ & = -\dfrac{1}{2}\sqrt{2} \end{aligned}$
Jawaban b)
$\begin{aligned} \cos 300^{\circ} & = \cos (270 + 30)^{\circ} \\ & = \sin 30^{\circ} = \dfrac{1}{2} \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 2
Tentukan nilai dari
a) $\tan 495^{\circ}$
b $\csc (-570^{\circ})$

Penyelesaian

Jawaban a)
$\begin{aligned} \tan 495^{\circ} & = \tan (360 + 135)^{\circ} \\ & =\tan 135^{\circ} \\ & = \tan (90 + 45)^{\circ} \\ & = -\tan 45^{\circ} = -1 \end{aligned}$
Jawaban b)
$\begin{aligned} \csc (-570^{\circ}) & = -\csc (210^{\circ}) \\ & = -\dfrac{1}{\sin 210^{\circ}} \\ & = -\dfrac{1}{-\dfrac{1}{2}} = 2 \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 3
Tunjukkan bahwa
$\dfrac{\tan^2 x - \sin^2 x} {1 - \sin^2 x} = \tan^4 x$

Penyelesaian

Pembuktian dari ruas kiri sebagai berikut.
$\begin{aligned} \dfrac{\tan^2 x - \sin^2 x} {1 - \sin^2 x} & = \dfrac{\tan^2 x - \sin^2 x} {\cos^2 x} \\ & = \dfrac{\tan^2 x} {\cos^2 x} - \tan^2 x \\ & = \dfrac{\tan^2 x - \tan^2 x \times \cos^2 x} {\cos^2 x} \\ & = \dfrac{\tan^2 x(1 - \cos^2 x)} {\cos^2 x} \\ & = \dfrac{\tan^2 x \times \sin^2 x} {\cos^2 x} \\ & = \tan^2 \times \tan^2 x \\ & = \tan^4 x \end{aligned}$
(Terbukti) $\blacksquare$

[collapse]

Soal Nomor 4
Diketahui $\sin \theta = \dfrac{2}{\sqrt{5}}, 0 < \theta < \dfrac{\pi} {2}$
Tentukan:
a) $\sin 2\theta$
b) $\cos 2\theta$
c) $\tan 2\theta$

Penyelesaian

Karena $\theta$ berada dalam kuadran pertama, maka nilai perbandingan trigonometrinya adalah positif untuk setiap sudut $\theta$ yang dimaksud. Perhatikan gambar berikut yang datanya diambil dari perbandingan trigonometri
$\sin \theta = \dfrac{2}{\sqrt{5}}$

Ingat bahwa sinus adalah perbandingan panjang sisi depan sudut dan panjang hipotenusa dalam segitiga siku-siku. Dengan Teorema Pythagoras, didapat
$AB = \sqrt{5 - 4} = 1$
Oleh karenanya, kita peroleh
$\cos \theta = \dfrac{1}{\sqrt{5}}$
Jawaban a)
$\begin{aligned} \sin 2\theta & = 2 \sin \theta \cos \theta \\ & = 2\left(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right) \\ & = \dfrac{4}{5} \end{aligned}$
Jawaban b)
$\begin{aligned} \cos 2\theta & = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \\ & = \left(\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right)^2 - \left(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)^2 \\ & = -\dfrac{3}{5} \end{aligned}$
Jawaban c)
$\begin{aligned} \tan 2\theta & = \dfrac{\sin 2\theta} {\cos 2\theta} \\ & = \dfrac{\dfrac{4}{5}} {-\dfrac{3}{5}} \\ & = -\dfrac{4}{3} \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 5
Tunjukkan bahwa
$\dfrac{1-\sin x}{\cos x} = \dfrac{1}{\sec x + \tan x}$

Penyelesaian

Pembuktian dari ruas kiri sebagai berikut.
$\begin{aligned} \dfrac{1-\sin x} {\cos x} & = \dfrac{1}{\cos x} - \dfrac{\sin x} {\cos x} \\ & = \sec x - \tan x \\ & = \sec x - \tan x \times \dfrac{\sec x + \tan x} {\sec x + \tan x} \\ & = \dfrac{\sec^2 x - \tan^2 x}{\sec x + \tan x} \end{aligned}$
Dengan menggunakan teorema trigonometri
$\boxed{\sec^2 x = 1 + \tan^2 x}$ ,
didapat
$\dfrac{\sec^2 x - \tan^2 x} {\sec x + \tan x} = \dfrac{1}{\sec x + \tan x}$
(Terbukti) $\blacksquare$

[collapse]

April 26, 2018Mei 3, 2018

Soal dan Pembahasan – Ulangan Tengah Semester (UTS) Statistika Matematika – Prodi Pendidikan Matematika FKIP Untan

Berikut ini adalah soal ujian tengah semester beserta pembahasannya mata kuliah Statistika Matematika (Tahun Ajaran 2017/2018) yang diujikan kepada mahasiswa pendidikan matematika FKIP Untan semester 6 oleh Dr. Ahmad Yani T., M. Pd pada tanggal 23 April 2018.

Soal Nomor 1
Jika $X$ dan $Y$ peubah acak dengan variansi $\sigma_x^2 = \sigma_y^2 = 3$ dan kovariansi $\sigma_{xy} = 3$ , tentukan variansi peubah acak $Z = 2X - 3Y + 7$

Penyelesaian

$\begin{aligned} \sigma_Z^2 = \sigma_{2X-3Y+7} & = \sigma_{2X-3Y} \\ & = 4\sigma_x^2 - 12\sigma_{xy} + 9\sigma_y^2 \\ & = 4(3) - 12(3) + 9(3) = 3 \end{aligned}$
Jadi, variansi peubah acak $Z = 2X - 3Y + 7$ adalah 3.

[collapse]

Soal Nomor 2
Misalkan kita mengundi sebuah dadu yang seimbang sebanyak 8 kali. Tentukan peluang bahwa munculnya mata dadu 5 paling sedikit 6 kali.

Penyelesaian

Gunakan distribusi binomial.
Misalkan $x$ menyatakan banyak mata dadu yang muncul, dan dalam kasus ini, $n = 8$ dan $p = \dfrac{1}{6}$ , di mana $n$ menyatakan banyaknya percobaan dan $p$ menyatakan peluang munculnya mata dadu 5 saat satu kali pelemparan dadu. Fungsi peluang dari $X$ selanjutnya dinyatakan sebagai
$\begin{aligned} & P(X = x) = \displaystyle \binom{n} {x} p^x(1-p) ^{n-x} \\ & P(X \geq 6) = P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8) \\ & = P(X \geq 6) = \binom{8}{6}\left(\dfrac{1}{6}\right) ^6 \left(\dfrac{5}{6}\right)^2 + \binom{8}{7}\left(\dfrac{1}{6}\right) ^7 \left(\dfrac{5}{6}\right) \\ & + \binom{8}{8}\left(\dfrac{1}{6}\right) ^8 \left(\dfrac{5}{6}\right)^0 \\ & = \dfrac{700 + 40 + 1}{6^8} = 0,00044 \end{aligned}$
Jadi, peluang munculnya mata dadu 5 paling sedikit 6 kali adalah 0,00044.

[collapse]

Soal Nomor 3
Jika $X$ mempunyai fungsi peluang
$f(x) = \begin{cases} 2(1-x), &~\text{jika}~0 < x < 1 \\ 0, &~\text{untuk x yang lain} \end{cases}$
Tentukan nilai $E(6x + x^2)$ .

Penyelesaian

Dengan menggunakan definisi ekspektasi,
$\begin{aligned} \displaystylr E(6x + x^2) & = \int_0^1 (6x+x^2)(2(1-x))~dx \\ & = \int_0^1 (12x - 10x^2 - 2x^3)~dx \\ & = \left[6x^2 - \dfrac{10}{3}x^3 - \dfrac{1}{2}x^4\right]_0^1 \\ & = 6 -\dfrac{10}{3} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{13}{6} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $E(6x + x^2)$ adalah $\dfrac{13}{6}$

[collapse]

Soal Nomor 4
Dalam suatu kelas terdapat 20 orang siswa, 5 siswa di antaranya berbaju putih, 10 siswa berbaju coklat, dan 5 siswa lainnya berbaju merah. Dipilih secara acak 3 siswa satu per satu. Peluang kejadian dua siswa terpilih berbaju coklat dan satu siswa berbaju putih adalah $\cdots$

Penyelesaian

Ada 3 kemungkinan yang dapat terjadi, yaitu (C, C, P), (C, P, C), (P, C, C), di mana P menyatakan terpilihnya siswa berbaju putih dan C menyatakan terpilihnya siswa berbaju coklat. Karena pemilihannya satu per satu, maka peluang kejadian dua siswa terpilih berbaju coklat dan satu siswa berbaju putih (kejadiannya dinotasikan $X$ ) adalah
$\begin{aligned} P(X) & = \dfrac{10}{20} \times \dfrac{9}{19} \times \dfrac{5}{18} + \dfrac{10}{20} \times \dfrac{5}{19} \times \dfrac{9}{18} + \dfrac{5}{20} \times \dfrac{10}{19} \times \dfrac{9}{18} \\ & = 3 \times \dfrac{10}{20} \times \dfrac{9}{19} \times \dfrac{5}{18} = \dfrac{15}{76} \end{aligned}$
Catatan: Selain cara di atas, kita juga dapat menggunakan Aturan Kombinasi,
$\dfrac{C_3^{10} \times C_1^5}{C_3^{20}}$
Setelah diproses perhitungannya, jawaban akhirnya juga sama, yaitu $\dfrac{15}{76}$

[collapse]

Soal Nomor 5
Misalkan $X$ dan $Y$ memiliki fungsi peluang bersama
$f(x, y) = c(y^2-x^2)e^{-y}, -y \leq x \leq y, 0 < y < \infty$
Tentukan nilai $c$ .

Penyelesaian

Karena $X$ dan $Y$ fungsi peluang bersama, maka haruslah persamaan berikut terpenuhi.
$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y)~dx~dy = 1$ .
Untuk itu,
$\begin{aligned} 1 & = \displaystyle \int_{0}^{\infty} \int_{-y}^{y} c(y^2-x^2)e^{-y}~dx~dy \\ & = \int_0^{\infty} \left[c\left(y^2x - \dfrac{x^3}{3}\right e^{-y}\right]_{-y}^y~dy \\ & = \dfrac{4}{3}c \int_0^{\infty} e^{-y}y^3~dy \bigstar \\ & = \dfrac{4}{3}c(3!) \\ & = 8c \end{aligned}$ .
Dengan demikian, diperoleh
$1 = 8c \Rightarrow c = \dfrac{1}{8}$
Jadi, nilai $c$ yang memenuhi adalah $\dfrac{1}{8}$ .
Catatan: $\bigstar$ Gunakan teorema
$\boxed{\displaystyle \int_0^{\infty} e^{-y}y^n~dy = n!}$

[collapse]

Soal Nomor 6
Berdasarkan teori genetika, perbandingan seekor hamster betina akan melahirkan anak dengan warna bulu merah, hitam, dan putih adalah $8 : 4 : 4$ . Peluang akan lahirnya anak hamster dengan warna merah sebanyak 5 ekor, hitam 2 ekor, dan putih 1 ekor dari kelahiran 8 ekor adalah

Penyelesaian

Diketahui perbandingan seekor hamster betina melahirkan anaknya dengan warna bulu merah, hitam, putih adalah
$8 : 4 : 4 = 2 : 1 : 1$
Dengan menggunakan distribusi multinomial, didapat
$\begin{aligned} f\left(5;2;1;\dfrac{2}{4}, \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{4}\right) & = \binom{8}{5~2~1}\left(\dfrac{2}{4}\right)^5 \times \left(\dfrac{1}{4}\right) ^2 \times \left(\dfrac{1}{4}\right) \\ & = \dfrac{8!} {5!~2!~1!} \times \dfrac{1}{32 \times 16 \times 4} = \dfrac{3}{7} = 0,656 \end{aligned}$
Jadi, peluang lahirnya anak hamster dengan bulu berwarna merah, hitam, dan putih berturut-turut sebanyak 5, 2, dan 1 ekor adalah 0,656.

[collapse]

Bagian Esai
Soal Nomor 1
Buktikan teorema berikut.
Jika $X$ berdistribusi eksponen, dengan
$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{\lambda}e^{-\frac{x} {\lambda}}, &~\text{jika}~0 \leq x < \infty \\ 0, &~\text{untuk x yang lain} \end{cases}$
maka $E(X) = \lambda$ dan $Var(X) = \lambda^2$

Penyelesaian

Akan dibuktikan bahwa $E(X) = \lambda$ . Dengan menggunakan definisi ekspektasi,
$E(X) = \displaystyle \int_0^{\infty} x \times \dfrac{1}{\lambda}e^{-\frac{x} {\lambda}}~dx$
Sekarang, misalkan $y = \dfrac{x} {\lambda}$ , sehingga $dy = \dfrac{1}{\lambda}~dx$ , berarti
$\begin{aligned} E(X) & = \displaystyle \int_0^{\infty} ye^{-y}(\lambda)~dy \\ & = \lambda \int_0^{\infty} ye^{-y}~dy \end{aligned}$
Dengan menggunakan teorema,
$\boxed{n! = \displaystyle \int_0^{\infty} y^n~e^{-y}~dy}$
diperoleh
$E(X) = \lambda(1!) = \lambda$
Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa $Var(X) = \lambda^2$ .
Ingat bahwa, $Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ . Untuk itu, harus dicari dulu $E(X^2)$ sebagai berikut.
$\begin{aligned} E(X^2) & = \displaystyle \int_0^{\infty} x^2 \times \dfrac{1}{\lambda}e^{-\frac{x} {\lambda}}~dx \\ & = \int_0^{\infty} \lambda~\dfrac{x} {\lambda}~\dfrac{x} {\lambda}~e^{-\frac{x} {\lambda}}~dx \\ & \text{Substitusi}~y = \dfrac{x} {\lambda}~\text{dan}~dy = \dfrac{1}{\lambda}~dx \\ & = \int_0^{\infty} \lambda~y~y~e^{-y}~\lambda~dy \\ & = \lambda^2 \int_0^{\infty} y^2e^{-y}~dy \\ & = \lambda^2(2!) = 2\lambda^2 \end{aligned}$
Dengan demikian,
$Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 2\lambda^2 - \lambda^2 = \lambda^2$
(Terbukti)

[collapse]

Soal Nomor 2
Sebuah koin seimbang (dengan sisi muka dan belakang) dilantunkan sebanyak $7$ kali. Berapa peluang mendapatkan
a) tepat 3 belakang.
b) sekurang-kurangnya 5 belakang.
c) paling banyak 3 belakang.
d) antara 3 sampai 5 belakang.
e) 3 muka dan 4 belakang.

Penyelesaian

Diketahui banyak pelantunan koin $n = 7$ , peluang mendapatkan belakang koin adalah $p = \dfrac{1}{2}$ , begitu juga peluang tidak mendapatkan belakang koin $q = 1 - p = \dfrac{1}{2}$ . Misalkan $x$ menyatakan banyaknya muncul belakang koin, sehingga $x$ dapat bernilai $0,1,2,\cdots, 7$ .
Dengan distribusi binomial, diperoleh
$P(X = x) = \displaystyle \binom{7}{x} \left(\dfrac{1}{2}\right) ^x\left(\dfrac{1}{2}\right)^{7 - x}$
Jawaban a)
$\begin{aligned} P(X = 3) & = \displaystyle \binom{7}{3} \left(\dfrac{1}{2}\right) ^3\left(\dfrac{1}{2}\right)^4 \\ & = \dfrac{7!} {4!3!} \times \dfrac{1}{2^7} = \dfrac{35}{128} \end{aligned}$
Jadi, peluang munculnya belakang koin tepat 3 kali adalah $\dfrac{35}{128}$ .
Jawaban b)
$\begin{aligned} & P(X \geq 5) = P(X = 5) + P(X = 6) + P(X = 7) \\ & = \displaystyle \binom{7}{5} \left(\dfrac{1}{2}\right) ^5\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 +\displaystyle \binom{7}{6} \left(\dfrac{1}{2}\right)^6\left(\dfrac{1}{2}\right) +\displaystyle \binom{7}{7} \left(\dfrac{1}{2}\right)^7\left(\dfrac{1}{2}\right)^0 \\ & = \dfrac{7!} {4!3!} \times \dfrac{1}{2^7} \\ & = \dfrac{7!} {5!2!} \times \dfrac{1}{128} + \dfrac{7!} {6!1!} \times \dfrac{1}{128} + \dfrac{7!} {7!0!} \times \dfrac{1}{128} \\ & = \dfrac{21 + 7 + 1}{128} = \dfrac{29}{128} \end{aligned}$
Jadi, peluang munculnya belakang koin sekurang-kurangnya 5 kali adalah $\dfrac{29}{128}$ .
Jawaban c)
$\begin{aligned} & P(X \leq 3) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) \\ & = \displaystyle \binom{7}{1} \left(\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{1}{2}\right)^6 + \displaystyle \binom{7}{2} \left(\dfrac{1}{2}\right)^2\left(\dfrac{1}{2}\right)^5 + \displaystyle \binom{7}{3} \left(\dfrac{1}{2}\right)^3\left(\dfrac{1}{2}\right)^4 \\ & = \dfrac{7!} {6!1!} \times \dfrac{1}{128} + \dfrac{7!} {5!2!} \times \dfrac{1}{128} + \dfrac{7!} {4!3!} \times \dfrac{1}{128} \\ & = \dfrac{7 + 21 + 35}{128} = \dfrac{63}{128} \end{aligned}$
Jadi, peluang munculnya belakang koin paling banyak 3 kali adalah $\dfrac{63}{128}$ .
Jawaban d)
$\begin{aligned} & P(3 \leq X \leq 5) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) \\ & = \displaystyle \binom{7}{3} \left(\dfrac{1}{2}\right)^3\left(\dfrac{1}{2}\right)^4 + \displaystyle \binom{7}{4} \left(\dfrac{1}{2}\right)^4\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 + \displaystyle \binom{7}{5} \left(\dfrac{1}{2}\right)^5\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 \\ & = \dfrac{7!} {4!3!} \times \dfrac{1}{128} + \dfrac{7!} {3!4!} \times \dfrac{1}{128} + \dfrac{7!} {5!2!} \times \dfrac{1}{128} \\ & = \dfrac{35 + 35 + 21}{128} = \dfrac{91}{128} \end{aligned}$
Jadi, peluang munculnya belakang koin paling banyak 3 kali adalah $\dfrac{91}{128}$ .
Jawaban e)
Peluang munculnya 3 muka koin dan 4 belakang koin sama halnya dengan peluang munculnya tepat 3 belakang koin (karena 4 sisanya pastilah muka koin). Jadi, peluang munculnya 3 muka koin dan 4 belakang koin adalah $\dfrac{35}{128}$

[collapse]