Mathcyber1997 – God used beautiful mathematics in creating the world

Berikut ini merupakan soal dan pembahasan mengenai kesebangunan dan kekongruenan yang dianjurkan untuk dipelajari oleh siswa tingkat SMP/Sederajat, terutama untuk menguatkan pemahaman konsep dan persiapan UNBK.

Soal Nomor 1
Perhatikan gambar berikut!

$ABCD$ merupakan trapesium sama kaki. Banyak pasangan segitiga kongruen pada gambar tersebut adalah …
A. 4 pasang C. 6 pasang
B. 5 pasang D. 7 pasang

Penyelesaian

Perhatikan gambar berikut.Dari gambar di atas, terdapat 5 pasang segitiga yang kongruen (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 2
Dua segitiga pada gambar di bawah adalah kongruen.

Pasangan sisi yang sama panjang adalah …
A. $AB$ dan $EC$
B. $AD$ dan $BE$
C. $AC$ dan $CD$
D. $BC$ dan $CD$

Penyelesaian

Diketahui: $\triangle ABC \cong \triangle CDE$
Pasangan sisi yang sama panjang adalah $AB = DE, BC = CE$ , dan $AC = CD$ .
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 3
Perhatikan gambar berikut!

Panjang sisi $BC$ adalah …
A. 25 cm C. 22 cm
B. 24 cm D. 20 cm

Penyelesaian

Berdasarkan prinsip kekongruenan, diperoleh
$\begin{aligned} QR & = AC = 24~\text{cm} \\ PR & = AB = 20~\text{cm} \\ BC & = PQ = 25~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang sisi $BC$ adalah $\boxed{25~\text{cm}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 4
Pada gambar di bawah, segitiga $ABC$ kongruen dengan segitiga $DEF$ . Panjang $EF$ adalah …

A. 5 cm C. 6,5 cm
B. 6 cm D. 7 cm

Penyelesaian

Diketahui: $\triangle ABC \cong \triangle DEF$
Pasangan sisi yang sama panjang adalah $AB = DF = 5~\text{cm}, AC = DE = 6~\text{cm}$ , dan $BC = EF =7~\text{cm}$ .
Jadi, panjang $EF$ adalah $\boxed{7~\text{cm}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 5
Pada $\triangle ABC$ , diketahui besar $\angle A=60\degree$ dan besar $\angle B=55\degree$ , sedangkan pada $\angle DEF$ diketahui besar $\angle D=60\degree$ dan besar $\angle E=65\degree$ .
Jika $\triangle ABC$ dan $\triangle DEF$ kongruen, maka dari pernyataan berikut:
1) $AC = DE$
2) $AB = FE$
3) $BC = FE$
4) $BC = DE$
yang benar adalah …
A. 1 dan 3 C. 1 dan 4
B. 2 dan 3 D. 3 dan 4

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar kedua segitiga berikut.

Dari gambar di atas, kita peroleh $AB = DF, AC = DE$ , dan $BC = FE$ . Pernyataan yang benar ditandai oleh nomor 1 dan 3 (Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 6
Diketahui $\triangle ABC$ dan $\triangle KLM$ dengan $AB=LM,BC=KL$ , dan $AC=KM$ . Pasangan sudut yang sama besar adalah …
A. $\angle A = \angle K, \angle B = \angle L, \angle C = \angle M$
B. $\angle A = \angle L, \angle B = \angle M, \angle C = \angle K$
C. $\angle A = \angle K, \angle B = \angle M, \angle C = \angle L$
D. $\angle A = \angle M, \angle B = \angle L, \angle C = \angle K$

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Karena $\triangle ABC$ dan $\triangle KLM$ kongruen, kita peroleh $\angle A = \angle M, \angle B = \angle L$ , dan $\angle C = \angle K$ .
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 7
Perhatikan gambar berikut!

Segitiga $ABC$ kongruen dengan segitiga $POT$ . Pasangan sudut yang sama besar adalah …
A. $\angle BAC$ dan $\angle POT$
B. $\angle BAC$ dan $\angle PTO$
C. $\angle ABC$ dan $\angle POT$
D. $\angle ABC$ dan $\angle PTO$

Penyelesaian

Diketahui: $ABC \cong POT$
Kedua segitiga memiliki persamaan panjang sisi:
$AB = PO; AC = PT; BC = OT$
dan sudut yang sama besar:
$\angle BAC = \angle OPT; \angle ABC = \angle POT; \angle ACB = \angle PTO$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 8
Perhatikan gambar berikut!

Segitiga $ABD$ kongruen dengan segitiga $BAC$ karena memenuhi syarat …
A. sisi, sudut, sisi
B. sisi, sisi, sisi
C. sisi, sisi, sudut
D. sudut, sudut, sisi

Penyelesaian

Kedua segitiga memiliki satu pasang sudut yang sama besar, yaitu $\angle BAD = \angle ABC$ . Sisi yang mengapit sudut tersebut juga sama panjang, yaitu sisi $AD = BC$ dan sisi $AB$ berimpit. Jadi, kedua segitiga kongruen karena memenuhi syarat: sisi, sudut, sisi (posisi “sudut” di tengah karena sudut yang sama besar itu diapit oleh sisi yang sama panjang).
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 9
Perhatikan gambar!

Perbandingan sisi pada $\triangle ABC$ dan $\triangle BCD$ yang sebangun adalah …
A. $\frac{AB}{BD} = \frac{BC}{CD} = \frac{AC}{BC}$
B. $\frac{AD}{BD} = \frac{AB}{CD} = \frac{BD}{BC}$
C. $\frac{AB}{AD} = \frac{BC}{AB} = \frac{AC}{BD}$
D. $\frac{AB}{AD} = \frac{BC}{AB} = \frac{AC}{BC}$

Penyelesaian

Diketahui $\triangle ABC \sim BCD$ , sehingga $AB \sim BD, BC \sim CD$ , dan $AC \sim BC$ . Dengan demikian, berlaku perbandingan
$\dfrac{AB}{BD} = \dfrac{BC}{CD} = \dfrac{AC}{BC}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 10
Perhatikan gambar berikut!

Jika $DE : AB = 2 \colon 3$ , maka panjang $BD$ adalah …
A. 2 cm C. 4 cm
B. 3 cm D. 5 cm

Penyelesaian

Diketahui: $DE = 8~\text{cm}; CE = 10~\text{cm}$
Karena $DE : AB = 2 : 3$ , maka
$AB = \dfrac{3}{2} \times 8 = 12~\text{cm}$
Pada segitiga siku-siku $CDE$ , berlaku Teorema Pythagoras.
$\begin{aligned} CD & = \sqrt{CE^2 - DE^2} \\ & = \sqrt{10^2-8^2} = \sqrt{36} = 6~\text{cm} \end{aligned}$
$\triangle CDE$ dan $\triangle ABC$ sebangun dengan $CD \sim CB$ dan $DE \sim BA$ , sehingga
$\begin{aligned} \dfrac{CD} {CB} & = \dfrac{DE} {BA} \\ \dfrac{6}{6 + DB} & = \dfrac{8}{12} \\ 6 + DB & = \dfrac{6 \times 12}{8} = 9 \\ DB & = 9 - 6 = 3~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang $DB$ adalah $\boxed{3~\text{cm}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 11
Perhatikan gambar berikut!

Trapesium $ABCD$ sebangun dengan trapesium $KLMN$ . Panjang $MN$ adalah …
A. 15 cm C. 20 cm
B. 18 cm D. 24 cm

Penyelesaian

Karena trapesium $KLMN \sim ABCD$ , maka berlaku $MN \sim AD$ dan $KL \sim BC$ , sehingga
$\begin{aligned} \dfrac{MN} {AD} & = \dfrac{KL} {BC} \\ \dfrac{MN} {24} & = \dfrac{15}{18} \\ MN & = \dfrac{15 \times 24}{18} = 20~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang $MN$ adalah $\boxed{20~\text{cm}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 12
Perhatikan gambar berikut!

Segitiga ABC siku-siku sama kaki dengan panjang $AB = BC$ = 3 cm. $AD$ adalah garis bagi sudut $A$ . Panjang $BD$ adalah …
A. $(3-3\sqrt{2})~\text{cm}$ C. $3~\text{cm}$
B. $(3\sqrt{2}-3)~\text{cm}$ D. $3\sqrt{2}~\text{cm}$

Penyelesaian

Segitiga $ABD$ dan segitiga $ADE$ kongruen menurut syarat: sudut, sudut, sisi, sehingga berlaku $AB = AE = 3~\text{cm}; BD = DE$ . Karena segitiga $ABC$ siku-siku, maka berlaku Teorema Pythagoras, yaitu
$\begin{aligned} AC & = \sqrt{AB^2 + BC^2} \\ & = \sqrt{3^2 + 3^2} = 3\sqrt{2}~\text{cm} \end{aligned}$
Dengan demikian,
$EC = AC - AE = (3\sqrt{2} - 3)~\text{cm}$
Karena $ECD$ segitiga sama kaki dengan $EC = DE$ , dan juga karena $DE = BD$ , maka panjang $BD$ adalah $\boxed{(3\sqrt{2} - 3)~\text{cm}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 13
Pada gambar di bawah, diketahui panjang $AB$ = 9 cm dan $AD$ = 5 cm. Panjang $BC$ adalah …

A. 4 cm C. 6 cm
B. 5 cm D. 8 cm

Penyelesaian

Segitiga $ABC$ dan segitiga $BCD$ sebangun.
Diketahui: $AB = 9~\text{cm}, AD = 5~\text{cm}$
Panjang $DB = AB - AD = 9 - 5 = 4~\text{cm}$
Untuk itu, berlaku
$\begin{aligned} \dfrac{AB}{BC} & = \dfrac{BC}{DB} \Rightarrow \dfrac{9}{BC} = \dfrac{BC}{4} \\ BC^2 & = 9 \times 4 \Leftrightarrow BC = 6~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang $BC$ adalah $\boxed{6~\text{cm}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 14
Gambar dua trapesium berikut adalah sebangun.

Luas trapesium $B$ adalah …
A. $129~\text{cm}^2$ C. $192~\text{cm}^2$
B. $162~\text{cm}^2$ D. $324~\text{cm}^2$

Penyelesaian

Perhatikan gambar.

Tinggi trapesium $A$ dapat dihitung dengan menerapkan rumus Pythagoras, yaitu
$t_A = \sqrt{10^2-6^2} = \sqrt{64} = 8~\text{cm}$
Pada trapesium $B$ , sisi atas dapat ditentukan dengan perbandingan, yaitu
$\dfrac{12}{18} = \dfrac{6}{x} \Leftrightarrow x = \dfrac{6 \times 18}{12} = 9~\text{cm}$
Tinggi trapesium $B$ juga dapat ditentukan dengan perbandingan.
$\dfrac{12}{18} = \dfrac{8}{t_B} \Leftrightarrow t_B = \dfrac{18 \times 8}{12} = 12~\text{cm}$
Dengan demikian, luas trapesium $B$ adalah
$L_B = \dfrac{(18 + 9)\times \cancelto{6}{12}}{\cancel{2}} = 27 \times 6 = 162~\text{cm}^2$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 15
Perhatikan gambar!

Diketahui $AB = BC = CD$ . Panjang $BF$ adalah …
A. 17 cm C. 15 cm
B. 16 cm D. 14 cm

Penyelesaian

Posisikan titik $P$ seperti pada gambar di mana $BP = CD = 18~\text{cm}$ dan $BC = PD = 18~\text{cm}$ .

Perhatikan bahwa segitiga $APE$ dan segitiga $ABF$ sebangun, sehingga berlaku
$\begin{aligned} \dfrac{AB} {AP} & = \dfrac{BF} {PE} \\ \dfrac{18}{18+18} & = \dfrac{BF} {18+12} \\ \dfrac12 & = \dfrac{BF} {30} \\ BF & = 15 \end{aligned}$
Jadi, panjang $BF$ adalah $\boxed{15~\text{cm}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 16
Perhatikan gambar berikut!

$E$ dan $F$ adalah titik tengah $AC$ dan $BD$ . Panjang $EF$ adalah …
A. 3 cm C. 6 cm
B. 4 cm D. 8 cm

Penyelesaian

Gunakan perhitungan skematik berikut.

Misalkan panjang $AE = EC = x$ , sehingga
$\begin{aligned} EF & = \dfrac{AB \times EC - CD \times AE} {AE + EC} \\ & = \dfrac{18x - 12x} {x + x} \\ & = \dfrac{6x} {2x} = 3~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang $\boxed{EF = 3~\text{cm}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 17
Perhatikan gambar berikut!

Jika panjang $LM = 30~\text{cm}$ dan $LK = 24~\text{cm}$ , maka panjang $KN$ adalah …
A. 4 cm C. 8 cm
B. 6 cm D. 9 cm

Penyelesaian

Karena $\angle KNP$ dan $\angle PNL$ berpelurus, maka
$\angle PNL = 180\degree - \angle KNP = 180\degree - 105\degree = 75\degree$
Perhatikan gambar segitiga $MLK$ dan $PLN$ berikut.

Kedua tersebut saling sebangun dengan perbandingan sisi yang bersesuaian, yaitu $MK \sim NP, ML \sim NL$ , dan $KL \sim PL$ .
Misalkan panjang $KN = x~\text{cm}$ , maka $NL = (24-x)~\text{cm}$ .
Dengan prinsip kesebangunan, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{KM}{NP} & = \dfrac{ML}{NL} \Rightarrow \dfrac{\cancel{15}}{10} = \dfrac{\cancelto{2}{30}}{24 - x} \\ 24 - x & = 20 \\ x & = 4 \end{aligned}$
Jadi, panjang $KN$ adalah $\boxed{4~\text{cm}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 18
Sebuah gedung mempunyai panjang bayangan 56 m di atas tanah mendatar. Pada saat yang sama, seorang siswa dengan tinggi 1,5 m mempunyai bayangan 3,5 m. Tinggi gedung sebenarnya adalah …
A. 18 m C. 22 m
B. 21 m D. 24 m

Penyelesaian

Misalkan tinggi gedung sebenarnya adalah $x$ .
Dengan menggunakan konsep kesebangunan, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{\text{Tinggi Siswa}} {\text{Tinggi Gedung}} & = \dfrac{\text{Panjang Bayangan Siswa}} {\text{Panjang Bayangan Gedung}} \\ \dfrac{1,5}{x} & = \dfrac{3,5}{56} \\ x & = \dfrac{56 \times 1,5}{3,5} = 24~\text{m} \end{aligned}$
Jadi, tinggi gedung itu adalah $\boxed{24~\text{m}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 19
Tiang setinggi 2 meter mempunyai panjang bayangan 150 cm. Jika panjang bayangan sebuah gedung 24 meter, maka tinggi gedung tersebut adalah …
A. 32,0 m C. 20,5 m
B. 27,5 m D. 18,0 m

Penyelesaian

Misalkan tinggi gedung adalah $x$ .
Panjang bayangan tiang diketahui $150~\text{cm} = 1,5~\text{m}$
Dengan menggunakan konsep kesebangunan, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{\text{Tinggi Tiang}} {\text{Tinggi Gedung}} & = \dfrac{\text{Panjang Bayangan Tiang}} {\text{Panjang Bayangan Gedung}} \\ \dfrac{2}{x} & = \dfrac{1,5}{24} \\ x & = \dfrac{24 \times 2}{1,5} = 32~\text{m} \end{aligned}$
Jadi, tinggi gedung itu adalah $\boxed{32,0~\text{m}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 20
Sebuah foto ditempelkan pada karton seperti pada gambar. Di sebelah kiri dan kanan foto masih terdapat bagian karton masing-masing selebar 3 cm, sedangkan bagian atas dan bawah karton belum diketahui ukurannya. Diketahui bahwa foto dan karton sebangun.

Luas karton yang tidak tertutup foto adalah $\cdots~\text{cm}^2$
A. 288 C. 432
B. 324 D. 516

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Dalam sketsa gambar di atas, dimisalkan $x$ sebagai lebar bagian atas dan bawah karton terhadap foto. Karena karton dan foto sebangun, maka berlaku
$\begin{aligned} \dfrac{30}{40} & = \dfrac{24}{40-2x} \\ \dfrac34 & = \dfrac{24}{40-2x} \\ 3(40-2x) & = 4(24) \\ 120 - 6x & = 96 \\ 6x & = 24 \\ x & = 4 \end{aligned}$
Lebar foto $=40-2x=40-2(4)=32~\text{cm}$
Luas karton yang tidak tertutup foto adalah luas karton dikurangi luas foto, yaitu
$\begin{aligned} L & = L_{\text{karton}} - L_{\text{foto}} \\ & = (30 \times 40) - (24 \times 32) \\ & = 1.200 - 768 = 432~\text{cm}^2 \end{aligned}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 21
Sebuah foto berukuran alas 16 cm dan tinggi 24 cm ditempel pada sebuah karton berbentuk persegi panjang. Jika foto dan karton sebangun dan lebar karton di sebelah kiri, kanan, dan atas foto 2 cm, lebar karton di bagian bawah foto adalah …
A. 6 cm C. 3 cm
B. 4 cm D. 2 cm

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Alas karton = $16 + 2 + 2 = 20~\text{cm}$ dan tinggi karton = $24 + 2 + x = (26 + x)~\text{cm}$ . Karena foto dan karton sebangun, maka berlaku
$\begin{aligned} \dfrac{16}{20} & = \dfrac{24}{26+x} \Leftrightarrow \dfrac45 = \dfrac{24}{26+x} \\ 26 + x & = \dfrac{5 \times \cancelto{6}{24}}{\cancel{4}} = 30 \\ x & = 30 - 26 = 4 \end{aligned}$
Jadi, lebar karton di bagian bawah foto adalah $\boxed{4~\text{cm}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 22
Sutan ingin mengetahui lebar sungai. Di seberang sungai terdapat sebuah pohon. Untuk itu, dia menancapkan tongkat pada posisi $A, B, C$ , dan $D$ dengan jarak seperti gambar.

Sutan ingin mengukur lebar sungai dari tongkat $D$ sampai pohon. Berapa lebar sungai tersebut?
A. 11 m C. 15 m
B. 12 m D. 16 m

Penyelesaian

Misalkan titik pada pohon itu kita sebut sebagai titik $E$ .
Segitiga $DCE$ dan $ABE$ sebangun dan kita akan mencari panjang $DE$ yang merupakan lebar sungai. Karena $AB \sim DC$ dan $AE \sim DE$ , maka berlaku
$\begin{aligned} \dfrac{AB}{DC} & = \dfrac{AE}{DE} \Rightarrow \dfrac{\cancelto{4}{8}}{\cancelto{3}{6}} = \dfrac{DE + 4}{DE} \\ 4DE & = 3(DE + 4) \\ 4DE & = 3DE + 12 \\ DE& = 12~\text{m} \end{aligned}$
Jadi, lebar sungai tersebut adalah $\boxed{12~\text{m}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 23
Perhatikan gambar berikut!

Dua siswa bernama $A$ dan $B$ akan mengukur jarak dua pohon $P$ dan $Q$ di seberang sungai. Mereka membuat patok pada titik $C, E$ , dan $D$ seperti gambar. Jarak pohon $P$ dan $Q$ adalah …
A. 18 m C. 10 m
B. 12 m D. 9 m

Penyelesaian

Misalkan lebar sungai $= CQ = x$
Perhatikan bahwa segitiga $ABQ$ sebangun dengan segitiga $ECQ$ , sehingga berlaku
$\begin{aligned} \dfrac{AB}{EC} & = \dfrac{BQ}{CQ} \Rightarrow \dfrac43 = \dfrac{6 + x}{x} \\ 4x & = 3(6 + x) \\ 4x & = 18 + 3x \\ x & = 18 \end{aligned}$
Sekarang, perhatikan bahwa segitiga $ECB$ sebangun dengan segitiga $PQB$ , sehingga berlaku
$\begin{aligned} \dfrac{PQ}{EC} & = \dfrac{QB}{CB} \Rightarrow \dfrac{PQ}{3} = \dfrac{18 + 6}{6} \\ \dfrac{PQ}{3} & = 4 \\ PQ & = 12~\text{m} \end{aligned}$
Jadi, jarak kedua pohon itu adalah $\boxed{12~\text{m}}$
(Jawaban B)

[collapse]