Soal dan Pembahasan – Konsep, Sifat, dan Aturan dalam Perhitungan Turunan (Bagian Dasar)

 

Turunan (atau secara luas dikenal dengan istilah diferensial) merupakan materi matematika yang dipelajari saat kelas XI SMA. Sebelum mempelajari materi ini, siswa diharuskan sudah menguasai konsep mengenai limit fungsi karena definisi turunan beranjak dari sana. Nah, untuk memperkuat pemahaman mengenai konsep turunan dasar, yakni perhitungan turunan dengan melibatkan limit fungsi, berikut disediakan soal beserta pembahasannya. Soal ini diambil dari Buku Matematika untuk SMA Kelas XI oleh Bapak Drs. Sukino pada Bab Turunan, Latihan Kompetensi Siswa 1.

Quote by Polya George

Mathematics is the cheapest science. Unlike physics or chemistry, it does not require any expensive equipment. All one needs is a pencil and paper.

Soal Pilihan Ganda

Soal Nomor 1
Gradien garis singgung suatu kurva dengan persamaan $y = x^2-4x+3$ pada titik $(2, -1)$ adalah $\cdots$
A. $0$         B. $1$         C. $2$          D. $3$          E. $4$

Penyelesaian

Diketahui $f(x) = y = x^2-4x+3$. Karena absis titik singgung yang diminta adalah $2$, maka diperoleh
$$\begin{aligned} m_{\tan} & = \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) – f(x)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{[(x+h)^2-4(x+h)+3]-(x^2-4x+3)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{(\bcancel{x^2}+2hx+h^2)-\bcancel{4x}-4h+\bcancel{3}-\bcancel{x^2}+\bcancel{4x}-\bcancel{3}}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{2hx+h^2-4h}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{\cancel{h}(2x+h-4)}{\cancel{h}} \\ & = \lim_{h \to 0} (2x+h-4) \\ & = (2x+0-4) = 2x -4 \\ & = 2(2)- 4 && (\text{Substitusi}~x=2) \\ & = 0 \end{aligned}$$
Jadi, gradien garis singgungnya adalah $\boxed{0}$ (Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 2
Gradien garis sekan pada kurva $y = \dfrac{1}{x}+1$ di titik $\left(1,\dfrac12\right)$ adalah $\cdots$
A. $-1$                                 D. $\dfrac{1}{2h+4}$
B. $0$                                      E. $-\dfrac{1}{2h+4}$
C. $\dfrac{1}{1+h}$

Penyelesaian

Gradien garis sekan ditentukan oleh 
$m_{\sec} = \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$
Diketahui $f(x) = y = \dfrac{1}{x+1}$, sehingga gradien garis sekannya pada saat $x=1$ adalah
$\begin{aligned} m_{\sec} & =\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h} \\ & = \dfrac{\dfrac{1}{1+h+1} – \dfrac{1}{1+1}}{h} \\ & = \dfrac{\dfrac{1}{2+h}- \dfrac12}{h} \\ & = \dfrac{2 -(2 + h)}{(2+h)(2)(h)} \\ & = \dfrac{-\cancel{h}}{(2+h)(2)(\cancel{h})} \\ & = -\dfrac{1}{2h + 4} \end{aligned}$
Jadi, gradien garis sekan pada kurva $y = \dfrac{1}{x+1}$ di titik $\left(1,\dfrac12\right)$ adalah $\boxed{-\dfrac{1}{2h + 4}}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 3
Gradien garis sekan dari kurva $y = \sqrt[3]{x}$ pada titik $(8,2)$ adalah $\cdots$
A. $\dfrac{1}{\sqrt[3]{(8+h)^2} + 2\sqrt[3]{8+h} + 4}$
B. $\dfrac{1}{\sqrt[3]{(8+h)^2}-2\sqrt[3]{8+h} + 4}$
C. $\dfrac{1}{\sqrt[3]{(8+h)^2} + 2\sqrt[3]{8+h}-4}$
D. $\sqrt[3]{(8+h)^2} + 2\sqrt[3]{8+h} + 4$
E. $\sqrt[3]{(8+h)^2}-2\sqrt[3]{8+h} + 4$

Penyelesaian

Gradien garis sekan ditentukan oleh 
$m_{\sec} = \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$
Diketahui $f(x) = y = \sqrt[3]{x}$, sehingga gradien garis sekannya pada saat absis $x=8$ adalah
$$\begin{aligned} m_{\sec} & =\dfrac{f(8+h)-f(8)}{h} \\ & = \dfrac{\sqrt[3]{8+h} -\sqrt[3]{8}}{h} \\ & = \dfrac{(8+h)^{\frac13} -2}{h} \color{red}{\times \dfrac{(8+h)^{\frac23} + 2(8+h)^{\frac13} + 4}{(8+h)^{\frac23} + 2(8+h)^{\frac13} + 4}} \\ & = \dfrac{(8+h) – 8}{h((8+h)^{\frac23} + 2(8+h)^{\frac13} + 4)} \\ & = \dfrac{\cancel{h}}{\cancel{h}((8+h)^{\frac23} + 2(8+h)^{\frac13} + 4)} \\ & = \dfrac{1}{\sqrt[3]{(8+h)^2} + 2\sqrt[3]{8+h} + 4} \end{aligned}$$
Catatan: Untuk merasionalkan bentuk yang memuat akar pangkat tiga, gunakan $(a^3-b^3) =(a-b)(a^2+ab+b^2)$
Jadi, gradien garis sekan dari kurva $y = \sqrt[3]{x}$ pada titik $(8,2)$ adalah $\boxed{\dfrac{1}{\sqrt[3]{(8+h)^2} + 2\sqrt[3]{8+h} + 4}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 4
Turunan pertama $f(x) = 1 -x^2$ pada $x = 3$ adalah $\cdots$
A. $-6$                  C. $-2$                E. $2$
B. $-4$                  D. $0$

Penyelesaian

Diketahui $f(x) = 1-x^2$. Dengan menggunakan definisi turunan, diperoleh turunan pertama fungsi $f$.
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{(1-(x+h)^2)-(1-x^2)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{\bcancel{1}-(\bcancel{x^2}+2hx+h^2)-1+\bcancel{x^2}}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{-2hx-h^2}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} (-2x-h) \\ & = -2x -0 = -2x \end{aligned}$
Substitusi $x = 3$ menghasilkan $-2(2) = -4$ 
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 5
Diberikan $p(x)=x^2-x$. Turunan pertama fungsi itu pada $x=6$ adalah $\cdots$
A. $35$                   C. $12$                 E. $10$
B. $23$                   D. $11$

Penyelesaian

Diketahui $p(x) = x^2-x$. Dengan menggunakan definisi turunan, diperoleh turunan pertama fungsi $p$.
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{p(x+h)-p(x)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{((x+h)^2-(x+h))-(x^2-x)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{((\bcancel{x^2}+2hx+h^2)-(\bcancel{x}+h))-\bcancel{x^2}+\bcancel{x}}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{2hx+h^2-h}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} (2x+h-1) \\ & = 2x -1 \end{aligned}$$
Substitusi $x = 6$ menghasilkan $\boxed{2(6)-1 = 11}$ 
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 6
Diberikan $f(x)=x^2-x+4$. Nilai $\dfrac{\text{d}f(4)}{\text{d}x}$ adalah $\cdots$
A. $16$                    C. $7$                   E. $1$
B. $8$                      D. $4$

Penyelesaian

Diketahui $f(x) = x^2-x+4$. Dengan menggunakan definisi turunan, diperoleh turunan pertama fungsi $f$.
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{((x+h)^2-(x+h)+4)-(x^2-x+4)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{((x^2+2hx+h^2)-(x+h)+4)-x^2+x-4}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{2hx+h^2-h}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} (2x+h-1) \\ & = 2x -1 \end{aligned}$$
Notasi Leibniz untuk turunan fungsi $f$ ketika $x=4$ adalah $\dfrac{\text{d}f(4)}{\text{d}x}$. Substitusi $x = 4$ menghasilkan $\boxed{2(4)-1=7}$ 
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 7
Jika $g(x)=2-x^3$, maka $\dfrac{\text{d}g}{\text{d}x}$ pada $x=-2$ adalah $\cdots$
A. $-12$                  C. $0$                   E. $12$
B. $-10$                  D. $10$

Penyelesaian

Diketahui $g(x) = x^2-x$. Dengan menggunakan definisi turunan, diperoleh turunan pertama fungsi $g$.
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{g(x+h)-g(x)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{(2-(x+h)^3)-(2-x^3)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{(\bcancel{2}-(\bcancel{x^3}+3hx^2+3h^2x + h^3))-\bcancel{2}+\bcancel{x^3}}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{-3hx^2-3h^2x-h^3}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} (-3x^2-3hx-h^2) \\ & = -3x^2 \end{aligned}$$
Substitusi $x = -2$ menghasilkan $\boxed{-3(-2)^2=-3(4)=-12}$ 
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 8
Diberikan $f(x)=\dfrac{4}{5x}$. Hasil bagi diferensial $f$ terhadap $x$ untuk $x=2$ adalah $\cdots$
A. $-10$                      C. $-0,1$                  E. $5$
B. $-5$                        D. $-0,2$

Penyelesaian

Diketahui $f(x)=\dfrac{4}{5x}$.
Hasil bagi diferensial fungsi $f$ terhadap $x$ saat $x=2 dinyatakan oleh
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}f(x)}{\text{d}x} & = \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ \dfrac{\text{d}f(2)}{\text{d}x} & = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(2+h)-f(2)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{\dfrac{4}{5(2+h)}- \dfrac{4}{5(2)}}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{\dfrac{4}{10+5h} -\dfrac{2}{5}}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{5(4) – 2(10+5h)}{(10+5h)(5)h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{-10\cancel{h}}{(10+5h)(5)\cancel{h}} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{-10}{(10+5h)(5)} \\ & = \dfrac{-10}{(10+5(0))(5)} \\ & = -\dfrac15 = -0,2 \end{aligned}$
Jadi, hasil bagi diferensial $f$ terhadap $x$ untuk $x=2$ adalah $\boxed{-0,2}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 9
Diberikan kurva dengan persamaan $f(x) = x^2+8x-5$. Gradien garis yang tegak lurus dengan persamaan garis singgung kurva di titik $P(1,4)$ adalah $\cdots$
A. $10$                        C. $1$                        E. $0,1$
B. $5$                          D. $0,2$

Penyelesaian

Secara geometris, turunan pertama fungsi $f(x)=x^2+8x-5$ saat $x = 1$ adalah gradien garis singgung kurva pada titik tersebut.
Untuk itu, kita dapatkan
$$\begin{aligned} f'(x) & = \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ f'(1) & = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(1+h)-f(1)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{((1+h)^2+8(1+h)-5)-(1^2+8(1)-5)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{(1+2h+h^2+8+8h-5)-4}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{h^2+10h}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} (h + 10) \\ & = 0+10 = 10 \end{aligned}$$
Misalkan gradien garis singgung kurva di titik $P(1, 4)$ adalah $f'(1) = m_{\tan} = 4$, sehingga gradien garis yang tegak lurus adalah
$\boxed{m_{\perp} = -\dfrac{1}{m_{\tan}} = -\dfrac{1}{10} = -0,1}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 10
Perbandingan diferensial dari fungsi $f(x) = 2x^2-2$ adalah $\cdots$
A. $2x^2$                 C. $2x$                  E. $-2$
B. $4x$                    D. $2$

Penyelesaian

Diketahui $f(x)=2x^2-2$.
Perbandingan diferensial fungsi $f$ dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}f(x)}{\text{d}x} & = \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{(2(x+h)^2-2)-(2x^2-2)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{(\bcancel{2x^2} + 4hx + 2h^2-\bcancel{2})-(\bcancel{2x^2}-\bcancel{2})}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{4hx + 2h^2}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} (4x + 2h) \\ & = 4x + 2(0) = 4x \end{aligned}$$
Jadi, perbandingan diferensial fungsi $f$ tersebut adalah $\boxed{\dfrac{\text{d}f(x)}{\text{d}x} = 4x}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 11
Hasil bagi diferensial dari fungsi $y = \dfrac{2}{\sqrt{x-1}}$ adalah $\cdots$
A. $(x-1)\sqrt{x-1}$                  D. $\dfrac{1}{(x-1)\sqrt{x-1}}$
B. $\sqrt{x-1}$                                 E. $\dfrac{-1}{(x-1)\sqrt{x-1}}$
C. $x-1$

Penyelesaian

Misalkan $f(x)=y=\dfrac{2}{\sqrt{x-1}}$. 
$$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{\dfrac{2}{\sqrt{x+h-1}}- \dfrac{2}{\sqrt{x-1}}}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{2\sqrt{x-1}-2\sqrt{x+h-1}}{h(\sqrt{x+h-1})(\sqrt{x-1})} \color{red}{\times \dfrac{2\sqrt{x-1}+2\sqrt{x+h-1}}{2\sqrt{x-1}+2\sqrt{x+h-1}}} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{4(x-1)-4(x+h-1)}{h(\sqrt{x+h-1})(\sqrt{x-1})(2\sqrt{x-1}+2\sqrt{x+h-1})} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{-4\cancel{h}}{\cancel{h}(\sqrt{x+h-1})(\sqrt{x-1})(2\sqrt{x-1}+2\sqrt{x+h-1})} \\ & = \dfrac{-4}{(\sqrt{x-1})(\sqrt{x-1})(2\sqrt{x-1}+2\sqrt{x-1})} \\ & = \dfrac{-4}{(x-1)(4\sqrt{x-1})} \\ & = \dfrac{-1}{(x-1)\sqrt{x-1}} \end{aligned}$$
Jadi, hasil bagi diferensial dari fungsi $y = \dfrac{2}{\sqrt{x-1}}$ adalah $\boxed{\dfrac{-1}{(x-1)\sqrt{x-1}}}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 12
Diketahui $T(x)=5x^3+2x^2+3x+4$. Nilai koefisien diferensial pada $x=2$ adalah $\cdots$
A. $82$                      C. $61$                   E. $50$
B. $71$                      D. $51$

Penyelesaian

Diketahui $T(x)=5x^3+2x^2+3x+4$. Koefisien diferensial fungsi $T$ untuk $x = 2$ dinyatakan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} T'(x) & = \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{T(x+h)-T(x)}{h} \\ T'(2) & = \lim_{h \to 0} \dfrac{T(2+h)-T(2)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{\left[5(2+h)^3+2(2+h)^2+3(2+h)+4\right]-\left[5(2)^3+2(2)^2+3(2)+4\right]}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{\left[40 + 60h + 30h^2 + 5h^3 + 8 + 8h + 2h^2 + 6 + 3h + 4\right] -\left[40+8+6+4\right]}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{(\cancel{58} + 71h + 32h^2 + 5h^3) -\cancel{58}}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{\cancel{h}(71 + 32h + 5h^2)}{\cancel{h}} \\ & = 71 + 32(0) + 5(0)^2 = 71 \end{aligned}$$
Jadi, koefisien diferensial fungsi $T$ untuk $x=2$ adalah $\boxed{71}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 13
Nilai hasil bagi diferensial dari fungsi $g(x)=x^3+2x^2-3x+5$ pada $x=2$ adalah $\cdots$
A. $20$                       C. $17$                    E. $15$
B. $18$                       D. $16$

Penyelesaian

Diketahui $g(x)=x^3+2x^2-3x+5$. Hasil bagi diferensial dari fungsi $g$ pada $x = 2$ dinyatakan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}g(x)}{\text{d}x} & = \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{g(x+h)-g(x)}{h} \\ \dfrac{\text{d}g(2)}{\text{d}x} & = \lim_{h \to 0} \dfrac{g(2+h)-g(2)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{\left[(2+h)^3+2(2+h)^2-3(2+h)+5\right]-\left[(2)^3+2(2)^2-3(2)+5\right]}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{\left[8 + 12h + 6h^2 + h^3 + 8 + 8h + 2h^2- 6- 3h + 5\right] -\left[8+8-6+5\right]}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{(\cancel{15} + 17h + 8h^2 + h^3) -\cancel{15}}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{\cancel{h}(17+ 8h +h^2)}{\cancel{h}} \\ & = 17 + 8(0) + (0)^2 = 17 \end{aligned}$$
Jadi, nilai hasil bagi diferensial dari fungsi $g(x)$ pada $x=2$ adalah $\boxed{17}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 14
Jika $f(x)=x^2-1$ dan $\displaystyle \lim_{p \to 0} \dfrac{f(x+p)-f(x)}{p} = \cdots$
A. $0$                       C. $2$                    E. $x^3$
B. $1$                       D. $2x$

Penyelesaian

Diketahui $f(x)=x^2-1$, sehingga
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{p \to 0} \dfrac{f(x+p)-f(x)}{p} \\ & = \lim_{p \to 0} \dfrac{[(x+p)^2-1]-[x^2-1]}{p} \\ & = \lim_{p \to 0} \dfrac{(\bcancel{x^2} + 2px-\bcancel{1})-(\bcancel{x^2}-\bcancel{1})}{p} \\ & = \lim_{p \to 0} \dfrac{2\cancel{p}x}{\cancel{p}} \\ & = 2x \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\boxed{\displaystyle \lim_{p \to 0} \dfrac{f(x+p)-f(x)}{p} = 2x}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 15
Jika $f(x)=4x^{\frac32}$, maka $f’\left(\dfrac19\right) = \cdots$
A. $2$                    C. $6$                      E. $18$
B. $4$                    D. $12$

Penyelesaian

Diketahui $f(x) = 4x^{\frac32}$. Dengan menggunakan definisi turunan, kita peroleh
$$\begin{aligned} f'(x) & = \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{4(x+h)^{\frac32}- 4x^{\frac32}}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{4\sqrt{(x+h)^3}- 4\sqrt{x^3}}{h} \color{red}{\times \dfrac{4\sqrt{(x+h)^3}+4\sqrt{x^3}}{4\sqrt{(x+h)^3}+4\sqrt{x^3}}} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{16(x+h)^3-16x^3}{h(4\sqrt{(x+h)^3}+4\sqrt{x^3})} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{16(x^3+3x^2h+3xh^2+h^3)-16x^3}{h(4\sqrt{(x+h)^3}+4\sqrt{x^3})} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{48x^2h + 48xh^2+16h^3}{h(4\sqrt{(x+h)^3}+4\sqrt{x^3})} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{48x^2 + 48xh + 16h^2}{4\sqrt{(x+h)^3}+4\sqrt{x^3}} \\ & = \dfrac{48x^2+48x(0) + 16(0)^2}{4\sqrt{(x+0)^3}+4\sqrt{x^3}} \\ & = \dfrac{48x^2}{8\sqrt{x^3}} \\ & = 6x^{\frac12} \end{aligned}$$
Substitusi $x = \dfrac19$ untuk mendapatkan
$\begin{aligned} f’\left(\dfrac19\right) & = 6\left(\dfrac19\right)^{\frac12} \\ & = 6\left(\dfrac13\right) = 2 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{f’\left(\dfrac19\right) = 2}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 16
Jika $T(x)=3x^2-2ax+7$ dan $T'(1)=0$, maka $T'(2)=\cdots$
A. $1$          B. $2$         C. $4$          D. $6$          E. $8$

Penyelesaian

Diketahui $T(x)=3x^2-2ax+7$ dan $T'(1)=0$.
Pertama, akan dicari nilai $a$ dengan menggunakan definisi turunan (konsep limit).
$$\begin{aligned} T'(x) & = \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{T(x+h)-T(x)}{h} \\ T'(1) & = \lim_{h \to 0} \dfrac{T(1+h)-T(1)}{h} \\ 0 & = \lim_{h \to 0} \dfrac{[3(1+h)^2-2a(1+h)+7]-[3(1)^2-2a(1)+7]}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{(3 + 6h + h^2-2a-2ah+7)-(10-2a)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{6h+h^2-2ah}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} (6 + h -2a) \\ 0 & = 6-2a \\ a & = 3 \end{aligned}$$
Ini berarti, $T(x)=3x^2-6x+7$
Selanjutnya, akan dicari nilai dari $T'(2)$.
$$\begin{aligned} T'(x) & = \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{T(x+h)-T(x)}{h} \\ T'(2) & = \lim_{h \to 0} \dfrac{T(2+h)-T(2)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{[3(2+h)^2-6(2+h)+7]-[3(2)^2-6(2)+7]}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{(12+12h+3h^2-12-6h+7)-7}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{6h + 3h^2}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} (6 + 3h) \\ & = 6 + 3(0) = 6 \end{aligned}$$
Jadi, nilai dari $\boxed{T'(2) = 6}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 17
Jika $R(x)=\dfrac{-2}{\sqrt{x}}$, maka $R(x)+2x~R'(x)$ sama dengan $\cdots$
A. $0$                     C. $\sqrt{x}$              E. $x\sqrt{x}$
B. $1$                     D. $x$

Penyelesaian

Diketahui $R(x)=\dfrac{-2}{\sqrt{x}}$. Pertama, akan dicari hasil dari $R'(x)$ dengan menggunakan definisi turunan (konsep limit).
$$\begin{aligned} R'(x) & = \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{R(x+h)-R(x)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{\dfrac{-2}{\sqrt{x+h}}-\dfrac{-2}{\sqrt{x}}}{h} \\ & = -2 \lim_{h \to 0} \dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{x+h}}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}}{h} \\ &= -2 \lim_{h \to 0} \dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{x+h}}{h(\sqrt{x+h})(\sqrt{x})} \color{red}{\times \dfrac{\sqrt{x} + \sqrt{x+h}}{\sqrt{x} + \sqrt{x+h}}} \\ & = -2 \lim_{h \to 0} \dfrac{x -(x + h)}{h(\sqrt{x+h})(\sqrt{x})(\sqrt{x}+\sqrt{x+h})} \\ & = -2 \lim_{h \to 0} \dfrac{-\cancel{h}}{\cancel{h}(\sqrt{x+h})(\sqrt{x})(\sqrt{x}+\sqrt{x+h})} \\ & = 2 \cdot \dfrac{1}{(\sqrt{x})(\sqrt{x})(\sqrt{x}+\sqrt{x})} \\ & = 2 \cdot \dfrac{1}{x(2\sqrt{x})} \\ & = \dfrac{1}{x\sqrt{x}} \end{aligned}$$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} R(x)+2x~R'(x) & = \dfrac{-2}{\sqrt{x}} + 2\cancel{x}~\cdot \dfrac{1}{\cancel{x}\sqrt{x}} \\ & = \dfrac{-2}{\sqrt{x}} + \dfrac{2}{\sqrt{x}} = 0 \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\boxed{R(x)+2x~R'(x) = 0}$ 
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 18
Jika $T(t) = \sqrt[3]{t}$, maka $T(t)-3t~T'(t)=\cdots$
A. $0$                     C. $2\sqrt[3]{t}$              E. $t\sqrt[3]{t}$
B. $1$                     D. $3\sqrt[3]{t}$

Penyelesaian

Diketahui $T(t)=\sqrt[3]{t}$. Pertama, akan dicari hasil dari $T'(t)$ dengan menggunakan definisi turunan (konsep limit).
$$\begin{aligned} T'(t) & = \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{T(t+h)-T(t)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{\sqrt[3]{t+h}-\sqrt[3]{t}}{h} \color{red}{\times \dfrac{(t+h)^{\frac23} + (t+h)^{\frac13}t^{\frac13} + t^{\frac23}}{(t+h)^{\frac23} + (t+h)^{\frac13}t^{\frac13} + t^{\frac23}}} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{(t + h)-t}{h((t+h)^{\frac23} + (t+h)^{\frac13}t^{\frac13} + t^{\frac23})} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{\cancel{h}}{\cancel{h}((t+h)^{\frac23} + (t+h)^{\frac13}t^{\frac13} + t^{\frac23})} \\ & = \dfrac{1}{t^{\frac23} + t^{\frac13} \cdot t^{\frac13} + t^{\frac23}} \\ & = \dfrac{1}{3t^{\frac23}} \end{aligned}$$
Catatan: Untuk merasionalkan bentuk yang memuat akar pangkat tiga, gunakan $(a-b)^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} T(t)-3t~T'(t) & = \sqrt[3]{t}-3t \cdot \dfrac{1}{3t^{\frac23}} \\ & = \sqrt[3]{t} -\sqrt[3]{t} = 0 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{T(t)-3t~T'(t)=0}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 19
Jika melalui titik $P(1,1)$ pada parabola $y=3x^2+5x-7$ dibuat garis singgung, maka koefisien arah garis singgung itu sama dengan $\cdots$
A. $14$                    C. $5$                     E. $0$
B. $11$                    D. $1$

Penyelesaian

Misalkan $f(x) = y = 3x^2+5x-7$.
Koefisien arah (gradien) garis singgung kurva $y$ di titik dengan absis $x = 1$ dinyatakan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} m_{\tan} & = \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(1+h)-f(1)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{[3(1+h)^2+5(1+h)-7]-[3(1)^2+5(1)-7]}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{(3 + 6h + h^2 + 5 + 5h-7)-(3+5-7)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{1 + 11h + h^2 -1}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{\cancel{h}(11+h)}{\cancel{h}} \\ & = 11+0=11 \end{aligned}$$
Jadi, koefisien arah garis singgung kurva yang melalui titik $P(1,1)$ adalah $\boxed{11}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 20
Jika $K(x)=nx^3+9x+2$ dan $K'(1)=0$, maka $K'(-1)=\cdots$
A. $18$                   C. $0$                     E. $-18$
B. $9$                     D. $-9$

Penyelesaian

Diketahui $K(x)=nx^3+9x+2$ dan $K'(1)=0$.
Pertama, akan dicari nilai $n$ dengan menggunakan definisi turunan (konsep limit).
$$\begin{aligned} K'(x) & = \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{K(x+h)-K(x)}{h} \\ K'(1) & = \lim_{h \to 0} \dfrac{K(1+h)-K(1)}{h} \\ 0 & = \lim_{h \to 0} \dfrac{[n(1+h)^3+9(1+h)+2]-[n(1)^3+9(1)+2]}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{(\bcancel{n} + 3hn + 3h^2n + h^3 + \bcancel{9} + 9h + \bcancel{2})-(\bcancel{n}+\bcancel{11})}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{3hn + 3h^2n + h^3 + 9h}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} (3n + 3hn + h^2 + 9) \\ 0 & = 3n + 9 \\ n & = -3 \end{aligned}$$
Ini berarti, $K(x)= -3x^3 + 9x + 2$
Selanjutnya, akan dicari nilai dari $K'(-1)$.
$$\begin{aligned} K'(x) & = \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{K(x+h)-K(x)}{h} \\ K'(-1) & = \lim_{h \to 0} \dfrac{K(-1+h)-K(-1)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{[-3(-1+h)^3 + 9(-1+h) + 2]-[-3(-1)^3 + 9(-1) + 2]}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{(3 + 9h -9h^2-3h^3-9+9h+2)-(3 -9+2)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{18h-9h^2-3h^3}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} (18-9h-3h^2) \\ & = 18-9(0)-3(0)^2 = 18 \end{aligned}$$
Jadi, nilai dari $\boxed{K'(-1) = 18}$
(Jawaban A)

[collapse]

Baca Juga : Soal dan Pembahasan – Integral Dengan Substitusi Aljabar dan Trigonometri