Soal dan Pembahasan – Analisis Kompleks Tingkat Dasar Bagian II

Setelah mempelajari soal-soal pada analisis kompleks tingkat dasar bagian I di sini , sekarang akan disajikan soal lanjutan mengenai bentuk polar (kutub) bilangan kompleks, Teorema de Moivre, dan Rumus Euler.

Soal Nomor 1
Tentukan bentuk polar dari bilangan kompleks berikut.
a. 2 + 2\sqrt{3}i
b. -5 + 5i

Penyelesaian

(Jawaban a) Misal z = 2 + 2\sqrt{3}i, sehingga r = \sqrt{2^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{16} = 4
\theta = \arctan \dfrac{2\sqrt{3}}{2} = \arctan \sqrt{3} = 60^{\circ}
Jadi, bentuk polar dari bilangan kompleks tersebut adalah
z = r(\cos \theta + i~\sin \theta) = \boxed{4(\cos 60^{\circ} + i~\sin 60^{\circ})}
(Jawaban b) Misal z = -5 + 5i, sehingga r = \sqrt{(-5)^2 + 5^2} = 5\sqrt{2}
\theta = \arctan \dfrac{5}{-5} = \arctan -1 = 135^{\circ}
Jadi, bentuk polar dari bilangan kompleks tersebut adalah
z = r(\cos \theta + i~\sin \theta) = \boxed{5\sqrt{2}(\cos 135^{\circ} + i~\sin 135^{\circ})}

[collapse]

Soal Nomor 2
Diberikan z_1 = 1 + i dan z_2 = \sqrt{3} + i. Tentukan
\text{mod} (z_1z_2) dan \text{arg} (z_1z_2)

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
z_1z_2 = (1+i)(\sqrt{3}+i) = (\sqrt{3}-1)+(1+\sqrt{3})i
dan
\begin{aligned} \dfrac{z_1}{z_2} & = \dfrac{1+i} {\sqrt{3}+i} \\ & = \dfrac{1+i} {\sqrt{3}+i} \times \dfrac{\sqrt{3}-i}{\sqrt{3}-i} \\ & = \dfrac{(\sqrt{3}+1)+(-1 + \sqrt{3})i} {4} \end{aligned}
Keterangan: mod = modulus/nilai mutlak, arg = argumen (sudut polar)
\text{mod} (z_1z_2) = \sqrt{(\sqrt{3}-1)^2 + (1 + \sqrt{3})^2} = 2\sqrt{2}
\text{arg} (z_1z_2) = \arctan \dfrac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}=75^{\circ}

[collapse]

Soal Nomor 3
Buktikan bahwa
\cos \theta = \dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}

Penyelesaian

(Pembuktian dari ruas kanan)
Ingat!!
\boxed{e^{i\theta} = \cos \theta - i~\sin \theta}
Jadi,
\begin{aligned} \dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} & = \dfrac{(\cos \theta + i~\sin \theta) + (\cos \theta - i~\sin \theta)} {2} \\ & = \cos \theta \end{aligned} (Terbukti)

[collapse]

Soal Nomor 4
Jika z_1 = re^{i\theta_1} dan z_2 = re^{i\theta_2}, tentukan
a) z_1z_2
b) \dfrac{z_1}{z_2}
dalam bentuk polar.

Penyelesaian

(Jawaban a)
\begin{aligned} z_1z_2 &= r^2e^{i(\theta_1 + \theta_2)} \\& = r^2(\cos (\theta_1 + \theta_2) + i(\sin (\theta_1 +\theta_2)) \end{aligned}

(Jawaban b)
\begin{aligned} \dfrac{z_1}{z_2} &= e^{i(\theta_1 - \theta_2) \\ & = \cos (\theta_1 - \theta_2) + i~\sin (\theta_1 - \theta_2) \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 5 (Soal ON-MIPA PT Seleksi Untan Tahun 2017)
Nilai dari \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} e^{it}~dt adalah \cdots

Penyelesaian

Ingat bahwa
\boxed{e^{it} = \cos t + i~\sin t}
Jadi, integrannya dapat ditulis
\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi} {4}} (\cos t + i~\sin t) & = [\sin t - i~\cos t)]_{0}^{\frac{\pi} {4}} \\ & = \left(\dfrac{1}{2}\sqrt{2} - i~\dfrac{1}{2}\sqrt{2}\right) + i \\ & =\boxed{ \dfrac{1}{2}\sqrt{2} +i \left(1 - \dfrac{1}{2}\sqrt{2}\right)}

[collapse]

Soal Nomor 6
Identifikasi bentuk grafik yang terbentuk dari |z + 4 - 2i| = 3

Penyelesaian

\begin{aligned} |z + 4 - 2i| &= 3 \\ |(x+4) + (y - 2)i| & = 3 \\ (x+4)^2 + (y-2)^2 & = 9 \end{aligned}
Persamaan yang diperoleh adalah persamaan baku lingkaran sehingga grafik yang terbentuk adalah lingkaran yang berpusat di (-4, 2) dan berjari-jari 3.

[collapse]

Soal Nomor 7
Identifikasi dan gambar bentuk grafik dari himpunan A = \{z : |z - 4i| + |z + 4i| = 10\}

Penyelesaian

\begin{aligned} |z - 4i| + |z + 4i| & = 10 \\ \sqrt{x^2 + (y-4)^2} + \sqrt{x^2 + (y+4)^2} & = 10 \\ \sqrt{x^2+(y+4)^2} & = 10 - \sqrt{x^2 + (y-4)^2} \\ x^2 + (y-4)^2 & = 100 - 20\sqrt{x^2+(y+4)^2} + x^2 + (y+4)^2 \\ 4y + 25 &= 5\sqrt{x^2+(y+4)^2} \\ 16y^2 + 200y + 625 & = 25(x^2 + (y+4)^2) \\ 25x^2 + 9y^2 & = 225 \\ \dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{25} & = 1 \end{aligned}
Persamaan di atas adalah persamaan elips dengan titik pusat di (0, 0), jari-jari datar 3, jari-jari tegak 5, dan titik fokus di (0, \pm 4)

[collapse]

Soal Nomor 8
Tentukan setiap akar dari bilangan kompleks (-1+i)^{\frac{1}{3}}

Penyelesaian

r = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}
Sudut \theta yang memenuhi:
\sin \theta = \dfrac{1}{\sqrt{2}}
dan
\cos \theta = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}
adalah \theta = \dfrac{3\pi}{4}
Berdasarkan Teorema de Moivre, berlaku
(-1+i) ^{\frac{1}{3}} = (\sqrt{2})^{\frac{1}{3}}\left(\cos \dfrac{\dfrac{3\pi} {4} + 2k\pi} {3} + i~\sin \dfrac{\dfrac{3\pi} {4} + 2k\pi} {3}\right)
Untuk k = 0, diperoleh
(-1+i) ^{\frac{1}{3}} = (2)^{\frac{1}{6}}\left(\cos \dfrac{\pi} {4} + i~\sin \dfrac{\pi} {4}
Untuk k = 1, diperoleh
(-1+i) ^{\frac{1}{3}} = (2)^{\frac{1}{6}}\left(\cos \dfrac{11\pi} {12} + i~\sin \dfrac{11\pi} {12}
Untuk k = 2, diperoleh
(-1+i) ^{\frac{1}{3}} = (2)^{\frac{1}{6}}\left(\cos \dfrac{19\pi} {12} + i~\sin \dfrac{19\pi} {12}\right)

[collapse]

Soal Nomor 9
Hitunglah (-8 - 8\sqrt{3}i) ^{\frac{1}{4}} dan nyatakan hasilnya dalam bentuk x + iy

Penyelesaian

Modulus dari bilangan kompleks itu adalah
r = |-8 - 8\sqrt{3}i| = \sqrt{(-8)^2 + (-8\sqrt{3})^2} = 16
Selanjutnya, cari sudut \theta
\arctan \dfrac{-8\sqrt{3}}{-8} = \dfrac{4\pi}{3}
Jadi,
\begin{aligned} (-8 - 8\sqrt{3}i)^{\frac{1}{4}} & = 16^{\frac{1}{4}}\left[\cos \left(\dfrac{\dfrac{4\pi}{3} + 2k\pi} {4}\right) + i~\sin \left(\dfrac{\dfrac{4\pi}{3} + 2k\pi} {4}\right) \right] \\ & = 2\left[\cos \left(\dfrac{1}{3}\pi + \dfrac{1}{2}k\pi\right) + i~\sin \left(\dfrac{1}{3}\pi + \dfrac{1}{2}k\pi\right) \right]\end{aligned}
Untuk k = 0, kita dapatkan
(-8-8\sqrt{3}i)^{\frac{1}{4}} = 2\left(\text{cis}~\dfrac{1}{3}\pi\right) = 1 + \sqrt{3}i
Untuk k = 1, kita dapatkan
(-8-8\sqrt{3}i)^{\frac{1}{4}} = 2\left(\text{cis}~\dfrac{5}{6}\pi\right) = -\sqrt{3} + i
Untuk k = 2, kita dapatkan
(-8-8\sqrt{3}i)^{\frac{1}{4}} = 2\left(\text{cis}~\dfrac{4}{3}\pi\right) = -1 - \sqrt{3}i
Untuk k = 3, kita dapatkan
(-8-8\sqrt{3}i)^{\frac{1}{4}} = 2\left(\text{cis}~\dfrac{11}{6}\pi\right) = \sqrt{3} - i
Catatan: \text{cis}~\theta = \cos \theta + i~\sin \theta)

[collapse]

Soal dan Pembahasan – Analisis Kompleks Tingkat Dasar Bagian I

    Berikut ini adalah beberapa soal mengenai sistem bilangan kompleks, operasi dasar, aturan aljabar, grafik bilangan kompleks, dan nilai mutlak (modulus). Setiap soal telah disertai penyelesaiannya sehingga diharapkan dapat membantu Anda dalam mengenal analisis kompleks secara mendasar.

Soal Nomor 1
Selesaikan atau sederhanakan bentuk berikut.
a) (3 + 4i) + (3i - 2)
b) (3 + 2i)(3i - 2)
c) \dfrac{2 - 3i}{4 - i}
d) i^{123} - 4i^9 - 4i
e) \dfrac{i^4 + i^9 + i^{16}}{2 - i^5 + i^{10} - i^{15}}

Penyelesaian

Ingat bahwa
\boxed{\begin{aligned} & i = \sqrt{-1} \\ &  i^2 = -1 \\ & i^3 = -\sqrt{-1} = -i \\ & i^4 = 1\end{aligned}}
(Jawaban a)
\begin{aligned} (3 + 4i)+(3i-2) & = (4i + 3i)+(3-2) \\ & = \boxed{7i + 1} \end{aligned}
(Jawaban b)
\begin{aligned}(3+2i)(3i-2) & = (9i - 6)+(6i^2 - 4i) \\ & = 9i - 4i - 6 - 6 \\ & = \boxed{5i -12} \end{aligned}
(Jawaban c)
\begin{aligned} \dfrac{2-3i}{4-i}& = \dfrac{2-3i} {4-i} \times \dfrac{4+i}{4+i} \\ & = \dfrac{8 + 2i - 12i - 3i^2}{16 - i^2} \\ & = \boxed{ \dfrac{11 - 10i}{17}} \end{aligned}
(Jawaban d)
\begin{aligned} i^{123} - 4i^9 - 4i & = (i^{120})(i^3)-4(i^8)(i) - 4i \\ & = -i - 4i - 4i = \boxed{-9i} \end{aligned}
(Jawaban e)
\begin{aligned}\dfrac{i^4 + i^9 + i^{16}} {2-i^5+i^{10}-i^{15}} & = \dfrac{i^4 + (i^8)(i) + i^{16}}{2 - (i^4)(i) + (i^8)(i^2) - (i^{12}) (i^3)} \\ & = \dfrac{1 + i + 1}{2 - i + (-1) + i} \\ & = \dfrac{2 + i}{1} \\ & = 2 + i \end{aligned} 

[collapse]

Soal Nomor 2
Tunjukkan bahwa jika z = -1 - i, maka z^2 + 2z + 2 = 0

Penyelesaian

Diberikan z = -1 - i, sehingga
\begin{aligned} z^2 + 2z + 2 & = (-1 - i)^2 + 2(-1-i) +2 \\ & = 1 + 2i - 1 - 2 - 2i + 2 \\ & = 0 \end{aligned} (Terbukti)

[collapse]



Soal Nomor 3
Buktikan bahwa \overline{z_1z_2} = \overline{z_1}~\overline{z_2}

Penyelesaian

Misalkan z_1 = a + bi dan z_2 = c + di, sehingga konjugatnya adalah \overline{z_1} = a - bi dan \overline{z_2} = c - di
\begin{aligned} \overline{z_1z_2} & = \overline{(a+bi)(c+di)} \\ & = \overline{(ac - bd) + (ad + bc)i} \\ & = (ac - bd) - (ad + bc)i \\ & = (a - bi)(c - di) \\ & = \overline{z_1}~\overline{z_2} \end{aligned} (Terbukti) 

[collapse]

Soal Nomor 4
Tentukan bilangan real x dan y sedemikian sehingga
\begin{aligned} 2x - 3iy + 4ix - & 2y - 5 - 10i \\ & = (x + y - 2) - (y - x + 3)i \end{aligned}

Penyelesaian

Kelompokkan/faktorkan persamaan tersebut sebagai berikut berdasarkan bagian real dan imajinernya.
\begin{aligned}(2x - 2y - 5) & + (-3y + 4x - 10)i \\ & = (x + y - 2) + (x - y - 3)i \end{aligned}
Dengan menyamakan posisi real dan imajinernya, diperoleh
\begin{cases} 2x - 2y - 5 = x + y - 2 \\ -3y + 4x - 10 = x - y - 3 \end{cases}
Sederhanakan kembali.
\begin{cases} x - 3y = 3 \\ 3x - 2y = 7 \end{cases}
Selesaikan SPLDV ini sehingga diperoleh x =\dfrac{15}{7} dan y = -\dfrac{2}{7} 

[collapse]

Soal Nomor 5
Buktikan bahwa untuk setiap z berlaku
Re(z) = \dfrac{1}{2}(z + \overline{z})
dan
Im(z) = \dfrac{1}{2i}(z - \overline{z})

Penyelesaian

Perlu diperhatikan bahwa Re(z) dan Im(z) memiliki arti bagian real dan bagian imajiner dalam z (z adalah bilangan kompleks)
Misalkan z = a + bi sehingga \overline{z} = a - bi
Akan ditunjukkan bahwa Re(z) = a dan Im(z) = b, yaitu
Re(z) = \dfrac{1}{2}(z + \overline{z}) = \dfrac{1}{2}(a + bi + a - bi) = a
dan
Im(z) = \dfrac{1}{2i}(z - \overline{z}) = \dfrac{1}{2i}(a + bi - a + bi) = b
(Terbukti)

[collapse]

Soal Nomor 6
Tentukan modulus dari bilangan kompleks berikut.
a) z = -1 - i
b) z = \dfrac{2 + 3i}{1 - i}

Penyelesaian

Definisi modulus/harga mutlak.
Jika z = a + bi, maka modulus atau nilai mutlak dari z adalah z = \sqrt{a^2 + b^2}
(Jawaban a) Diberikan z = -1 - i, berarti |z| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}
(Jawaban b) Ubah bentuk z yang diberikan sebagai berikut.
\begin{aligned} z & = \dfrac{2+3i}{1-i} \times \dfrac{1+i}{1+i} \\ & = \dfrac{2 + 2i + 3i + 3i^2}{1 - i^2} \\ & = \dfrac{-1 + 5i}{2} \end{aligned}
Jadi,
|z| = \sqrt{\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{5}{2}\right)^2}} = \dfrac{1}{2}\sqrt{26}

[collapse]

Soal Nomor 7
Tentukan \left|\dfrac{\overline{z}}{z}\right|

Penyelesaian

Misalkan z = a + bi, berarti \overline{z} = a - bi. Perhatikan bahwa,
|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{a^2 + (-b)^2} = |\overline{z}|
Jadi, diperoleh |z| = |\overline{z}|, sehingga
\left|\dfrac{\overline{z}}{z}\right| = 1

[collapse]

Soal Nomor 8
Hitunglah setiap bentuk berikut jika z_1 = 1 - i, z_2 = -2 + 4i
a) |2z_2 - 3z_1|^2
b) |z_1\overline{z_2} + z_2\overline{z_1}|

Penyelesaian

(Jawaban a)
\begin{aligned} |2z_2 - 3z_1|^2 & = |2(-2 + 4i) - 3(1 - i)|^2 \\ & = |-7 + 9i|^2 \\ & = (-7)^2 + 9^2 = 130 \end{aligned}
(Jawaban b)
\begin{aligned} |z_1\overline{z_2} + z_2\overline{z_1}| & = |(1 - i)(-2 - 4i) + (-2 + 4i)(1 + i) \\ & = |-2 - 4i + 2i + 4 - 2 - 2i + 4i - 4| \\ & = |-4| = 4 \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 9
Gambarkan grafik dari bilangan kompleks berikut.
a) z = 3 + 2i
b) z = -2 - i

Penyelesaian

(Jawaban a) Diketahui Re(z) = 3 dan Im(z) = 2, sehingga titik koordinatnya adalah (3, 2)
(Jawaban b) Diketahui Re(z) = -2 dan Im(z) = -1, sehingga titik koordinatnya adalah (-2, -1)
Gambar grafiknya (berupa titik koordinat) sebagai berikut. Perhatikan bahwa sumbu X dan sumbu Y diganti menjadi sumbu real dan sumbu imajiner dalam sistem bilangan kompleks. 

[collapse]

Soal Nomor 10 (Soal ON-MIPA PT Seleksi Untan Tahun 2017)
Jika z = \dfrac{4 + 3i}{2 - 2i}, maka nilai dari Re(z), Im(z), dan |z| berturut-turut adalah \cdots
A. \dfrac{1}{4}, \dfrac{7}{4}, \dfrac{5}{4}\sqrt{2}

B. -\dfrac{1}{4}, \dfrac{7}{4}, \dfrac{5}{4}\sqrt{2}

C. -\dfrac{1}{4}, -\dfrac{7}{4}, \dfrac{5}{4}\sqrt{2}

D. \dfrac{1}{4}, \dfrac{7}{4}, -\dfrac{5}{4}\sqrt{2}

E. -\dfrac{1}{4}, \dfrac{7}{4}, -\dfrac{5}{4}\sqrt{2}

Penyelesaian

\begin{aligned}z & = \dfrac{4 + 3i}{2 - 2i} \\ & = \dfrac{4 + 3i}{2 - 2i} \times \dfrac{2 + 2i}{2 + 2i} \\ & = \dfrac{8 + 8i + 6i - 6}{4 + 4} \\ & = \dfrac{7i + 1}{4} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{7}{4}i \end{aligned}
Diperoleh Re(z) = \dfrac{1}{4} dan Im(z) = \dfrac{7}{4}
|z| = \sqrt{\left(\dfrac{7}{4}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{4}\right)^2} = \dfrac{5}{4}\sqrt{2} (Jawaban A)

[collapse]

Soal dan Pembahasan – Ujian Akhir Semester (UAS) Kalkulus Integral

Berikut ini adalah 5 soal UAS Kalkulus Integral (TA 2017/2018) yang diujikan pada tanggal 15 Januari 2018 oleh Drs. Ade Mirza, M.Pd. Materi yang diujikan mengenai perhitungan volume benda dengan integral, fungsi transenden dan turunannya, serta teknik integrasi tingkat lanjut.

Soal Nomor 1
Susunlah integral yang sesuai untuk menentukan volume benda yang terbentuk dengan menunjukkan sketsa jalur potongan dan hampirannya dari daerah R yang dibatasi oleh y = x^{-3}, x = 1, x = 3, dan y = 0 apabila diputar mengelilingi:
a) Sumbu Y
b) Garis y =-1

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 2
Hitunglah volume daerah yang terbentuk dan perlihatkan cara menentukannya pada daerah R yang dibatasi oleh kurva y = x^2, y = 2, dan x = 0 dan diputar mengelilingi y = 2 

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 3
Buktikan bahwa \sec(\tan^{-1} x) = \sqrt{1 + x^2}
(Gunakan hubungan \sec^2\beta = 1 + \tan^2 \beta)

Penyelesaian

Berangkat dari identitas trigonometri berikut.
\sec^2 \beta = 1 + \tan^2 \beta
Substitusi \beta = \tan^{-1} x, diperoleh
\sec^2 (\tan^{-1} x) = 1 + \tan^2 (\tan^{-1} x)
Gunakan fakta bahwa \tan(\tan^{-1} x) = x untuk mendapatkan
\sec^2 (\tan^{-1} x) = 1 + x^2
\sec(\tan^{-1} x) = \sqrt{1+x^2}
(Terbukti)

[collapse]



Soal Nomor 4
Tentukan \dfrac{dy}{dx} dari y =7 \cos^{-1}\sqrt{2x}

Penyelesaian

Ingat!!
\boxed{\dfrac{d}{dx} (\cos^{-1} u) = -\dfrac{u'}{\sqrt{1-u^2}}}
(u adalah fungsi dalam x)
Dalam kasus ini,
u =\sqrt{2x} \Rightarrow u' = \dfrac{1}{\sqrt{2x}}
Jadi, untuk y = 7 \cos^{-1}\sqrt{2x}
\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{-7}{\sqrt{2x}\sqrt{1-2x}} = \boxed{-\dfrac{7}{\sqrt{2x -4x^2}}}

[collapse]

Soal Nomor 5
Selesaikan integral berikut.
a) \displaystyle \int \dfrac{dx}{x\sqrt{x^2+9}}
b) \displaystyle \int \sqrt{x} \ln x~dx
c) \displaystyle \int \dfrac{2x^2+x-4}{x^3-x^2-2x} ~dx

Penyelesaian

(Jawaban a) Substitusi
u = \sqrt{x^2+9} \Leftrightarrow x^2 = u^2-9
sehingga diperoleh
du = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+9}}~dx atau ditulis
dx = \dfrac{\sqrt{x^2+9}} {x}
Jadi, integralnya dapat ditulis menjadi
\begin{aligned} \displaystyle \int \dfrac{1}{x\sqrt{x^2+9}} \times \dfrac{\sqrt{x^2+9}} {x} ~du & = \int \dfrac{1}{u^2-9}~du \\ & = \int \dfrac{1}{(u+3)(u-3)} ~du \end{aligned}
Selanjutnya, gunakan teknik dekomposisi pecahan parsial. Tinjau integrannya.
\begin{aligned} \dfrac{1}{(u+3)(u-3)} & = \dfrac{A}{u+3} + \dfrac{B} {u-3} \\ & = \dfrac{(A+B)u + (-3A+3B)}{(u+3)(u-3)} \end{aligned}
Diperoleh SPLDV
\begin{cases} A+B=0 \\ -3A+3B=1 \end{cases}
Selesaikan sehingga diperoleh A = - \dfrac{1}{6} dan B=\dfrac{1}{6}
Kembalikan pada integralnya.
\begin{aligned} \displaystyle \int \dfrac{1}{(u+3)(u-3)} ~du & = \int \left(-\dfrac{1}{6(u+3)} + \dfrac{1}{6(u-3)}\right)~du \\ & = \dfrac{1}{6}(\ln (u-3) - \ln (u+3)) + C \\ & = \dfrac{1}{6} \times \ln \left(\dfrac{u-3}{u+3}\right) + C\end{aligned}
Substitusikan kembali u = \sqrt{x^2+9}, sehingga diperoleh
\boxed{\dfrac{\ln \left(\dfrac{\sqrt{x^2+9} - 3}{\sqrt{x^2+9} + 3}\right)}{6} + C}

(Jawaban b)
Gunakan teknik integrasi parsial
\boxed{\int uv' = uv - \int u'v}
Misal u = \ln x dan v' = \sqrt{x}, berarti u' = \dfrac{1}{x} dan v = \dfrac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}
Jadi, diperoleh
\begin{aligned} \dfrac{2x^{\frac{3}{2}} \ln x}{3} - \displaystyle \int \dfrac{1}{x} \times \dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} ~dx & = \dfrac{2x^{\frac{3}{2}} \ln x}{3} - \dfrac{2}{3} \displaystyle \int \sqrt{x}~dx \\ & = \dfrac{2x^{\frac{3}{2}} \ln x}{3} - \dfrac{4}{9}x^{\frac{3}{2}} + C \\ & = \boxed{\dfrac{2x^{\frac{3}{2}} (3 \ln x - 2)} {9} + C} \end{aligned}}

(Jawaban c) Gunakan metode dekomposisi pecahan parsial karena penyebutnya dapat difaktorkan. Tinjau integrannya.
\begin{aligned} \dfrac{2x^2+x-4}{x^3-x^2-2x} & = \dfrac{2x^2+x-4}{x(x-2)(x+1)} \\& = \dfrac{A}{x} + \dfrac{B}{x-2} + \dfrac{C}{x+1} \\ & = \dfrac{A(x-2)(x+1) +Bx(x+1) + C(x)(x-2)}{x(x-2)(x+1)} \\ & = \dfrac{(A+B+C)x^2 + (-A+B-2C)x - 2A}{x(x-2)(x+1)} \end{aligned}
Bandingkan pembilangnya untuk memperoleh SPLTV berikut.
\begin{cases} A+B+C=2 \\ -A+B-2C = 1 \\-2A = -4 \end{cases}
Selesaikan sehingga diperoleh A = 2, B = 1, dan C = -1
Jadi, dapat ditulis
\begin{aligned} \displaystyle \int \dfrac{2x^2+x-4}{x^3-x^2-2x} ~dx & = \int \left(\dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{x-2} -\dfrac{1}{x+1}\right) ~dx \\ & = 2 \ln x + \ln (x - 2) -\ln (x +1) \\ &= \boxed{\ln \left(\dfrac{x^3-2x^2} {x+1}\right)} \end{aligned}

[collapse]

Soal dan Pembahasan – Ujian Akhir Semester (UAS) Geometri Analitik Datar


Berikut ini adalah 6 soal UAS Geometri Analitik Datar (TA 2017/2018) yang diujikan pada bulan Januari 2018 oleh Drs. Dian Ahmad B.S., M.Si.

Soal Nomor 1
Sisi-sisi segitiga dibentuk oleh garis 2x + 3y + 4 = 0, x - y + 3 = 0, dan 5x + 4y = 20. Carilah persamaan garis tinggi pada segitiga tersebut.

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 2
Carilah persamaan keluarga garis yang perpotongannya dengan dua sumbu koordinat membentuk segitiga yang luasnya 17 satuan luas.

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 3
Carilah persamaan lingkaran yang menyinggung garis x + 2y = 3 di titik (-1, 2) dan berpusat pada sumbu Y.

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 4
Carilah persamaan lingkaran yang menyinggung garis 5x + y = 3 di titik (2, -7) dan berpusat pada garis x - 2y = 19

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 5
Carilah persamaan lingkaran yang melalui titik-titik (0,3), (2, 4), dan (1, 0)

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 6
Carilah persamaan yang baru dari lingkaran x^2 + y^2 - 2x - 6y + 4 = 0 setelah titik asal O(0, 0) dipindahkan ke titik O'(2, 3).

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal dan Pembahasan – Ujian Akhir Semester (UAS) Teori Bilangan

Berikut ini adalah 6 soal UAS Teori Bilangan (TA 2017/2018) yang diujikan pada tanggal 10 Januari 2018 oleh Dr. Yulis Jamiah, M.Pd.

Soal Nomor 1
Tentukan dan urutkan pasangan bilangan berikut dari yang memiliki FPB paling kecil dan paling besar.
i) (247, 299)
ii) (299, 4453)

Penyelesaian

Gunakan algoritma pembagian untuk menentukan FPB dari (247, 299). Perhatikan bahwa,
299 = 1 \times 247 + 52
247 = 4 \times 52 + 39
52 = 1 \times 39 + 13
39 = 3 \times 13 + 0
Berarti, \text{FPB}(247,299) = 13
Dengan prinsip yang sama,
4453 = 14 \times 299 + 267
299 = 1 \times 267 + 32
267 = 8 \times 32 + 11
32 = 2 \times 11 + 10
11 = 1 \times 10 + 1
10 = 10 \times 1 + 0
Berarti, \text{FPB}(299,4453) = 1
Jadi, FPB paling besar adalah FPB dari (247,299), sedangkan FPB paling kecil adalah FPB dari (299,4543)

[collapse]

Soal Nomor 2
Di antara pernyataan 91 \equiv 0 (\text{mod}~7) dan -2 \equiv 2  (\text{mod}~8), manakah pernyataan yang benar? Jelaskan.

Penyelesaian

91 \equiv 0 (\text{mod 7}) merupakan pernyataan yang benar karena akan ditemukan bilangan bulat k = 13, sedemikian sehingga 91 - 0 = k \times 7
Di lain persoalan, -2 \equiv 2 (\text{mod 8}) merupakan pernyataan yang salah karena tidak ada bilangan bulat k yang memenuhi persamaan -2 - 2 = k \times 8

[collapse]

Soal Nomor 3
Diketahui 2 himpunan P = \{100, -5, 9, 10, 4\} dan Q = \{5, 11, 17, 23, -11\}. Manakah yang merupakan suatu sistem residu lengkap modulo 5? Jelaskan!

Penyelesaian

Tinjau himpunan P = \{100, -5, 9, 10, 4\}
100 = 0 (\text{mod 5})
-5 = 0 (\text{mod 5})
9 = 4 (\text{mod 5})
10 = 0 (\text{mod 5})
4 = 4 (\text{mod 5})
Tinjau himpuan Q = \{5, 11, 17, 23, -11\}
5 = 0 (\text{mod 5})
11 = 1 (\text{mod 5})
17 = 2 (\text{mod 5})
23 = 3 (\text{mod 5})
-11 = 4 (\text{mod 5})
Dari sini, dapat disimpulkan bahwa Q merupakan sistem residu lengkap modulo 5.

[collapse]

Soal Nomor 4
Diketahui 
a) Jika 12 | p, maka 3 | p
b) Jika 2 | p, maka 8 | p
c) Jika 15 | p, maka 3 | p
Di antara tiga pernyataan di atas, manakah yang benar? Jelaskan.

Penyelesaian

(Jawaban a) Pernyataan benar karena
12 | p \equiv 3.4 | p \Leftrightarrow 3 | p \lor 4 | p
(Jawaban b) Pernyataan salah karena pembagi pada bagian hipotesis lebih kecil dari pembagi pada bagian kesimpulan (2 < 8). Pernyataan yang benar: Jika 8 | p, maka 2 | p.
(Jawaban c) Pernyataan benar karena
15 | p \equiv 3.5 | p \Leftrightarrow 3 | p \lor 5 | p

[collapse]

Soal Nomor 5
Benarkah jika p.c \equiv q.c (\text{mod}~m), maka p \equiv q (\text{mod}~m)?
Berikan jawaban selengkap mungkin. Jika ya, berikan buktinya. Jika tidak, berikan contoh penyangkal.

Penyelesaian

Pernyataan tersebut salah. Akan diberikan contoh penyangkal sebagai berikut.
Misal diberikan 16 \times 5 \equiv 8 \times 5 (\text{mod 10}), merupakan pernyataan yang benar karena ada bilangan bulat k = 4 sedemikian sehingga berlaku 16 \times 5 - 8 \times 5 = k \times 10. Tetapi, 16 \equiv 8 (\text{mod 10}) merupakan pernyataan yang salah karena tidak ada bilangan bulat k yang memenuhi 16 - 8 = k \times 10.

[collapse]

Soal Nomor 6
Benarkah pernyataan “Jika a dan b bilangan cacah dengan b < a, maka a + (-b) = a - b“?
Berikan jawaban selengkap mungkin. Jika ya, berikan buktinya. Jika tidak, berikan contoh penyangkal.

Penyelesaian

Pernyataan tersebut bernilai benar. Buktinya sebagai berikut.
Jika b < a, maka ada bilangan asli k sedemikian sehingga a = b + k. Menurut definisi pengurangan bilangan cacah, a = b + k jhj a - b = k. Jadi, dengan menggunakan sifat komutatif penjumlahan, asosiasitif penjumlahan, identitas, dan invers penjumlahan, diperoleh
\begin{aligned} a + (-b) & = (b + k) + (-b) \\ & = (k + b) + (-b) \\ & = k + (b + (-b)) \\ & = k + 0 \\ & = k \\ &  = a - b \end{aligned}
(Terbukti)

[collapse]