Diposkan pada

Soal dan Pembahasan – Integral Tak Wajar

 

Berikut ini merupakan soal-soal mengenai kekonvergenan integral tak wajar (improper integral) yang dikumpulkan dari berbagai referensi.

Soal Nomor 1
Hitung dan periksa kekonvergenan dari
\displaystyle \int_{1}^{\infty} x^{-2}~\text{d}x

Penyelesaian

Menurut teorema integral tak tentu, definisi integral tak wajar, dan konsep limit tak hingga, berlaku
\begin{aligned} \displaystyle \int_1^{\infty} x^{-2}~\text{d}x & = \lim_{b \to \infty} \int_1^b x^{-2}~\text{d}x \\ & = \lim_{b \to \infty} \left[-\dfrac{1}{x}\right]_1^b \\ & = \lim_{b \to \infty} \left(1-\dfrac{1}{b}\right) = 1 \end{aligned}
Jadi, integral tersebut konvergen ke 1

[collapse]

Soal Nomor 2
Hitung dan periksa kekonvergenan dari
\displaystyle \int_1^{\infty} \dfrac{1}{(1+x)^2}~\text{d}x

Penyelesaian

 Menurut teorema integral tak tentu, definisi integral tak wajar, dan konsep limit tak hingga, berlaku
\begin{aligned} \displaystyle \int_1^{\infty} \dfrac{1}{(1+x)^2}~\text{d}x & = \lim_{b \to \infty} \int_1^b \dfrac{1}{(1+x)^2}~\text{d}x \\ & = \lim_{b \to \infty} \left[-\dfrac{1}{1+x}\right]_1^b \\ & = \lim_{b \to \infty} \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{1+b}\right) = \dfrac{1}{2} \end{aligned}
Jadi, integral tersebut konvergen ke \dfrac{1}{2}.

[collapse]

Soal Nomor 3
Hitung dan periksa kekonvergenan dari
\displaystyle \int_{-\infty}^{1} e^{2x}~\text{d}x

Penyelesaian

Menurut teorema integral tak tentu, definisi integral tak wajar, dan konsep limit tak hingga, berlaku
\begin{aligned} \displaystyle \int_{-\infty}^{1} e^{2x}~\text{d}x & = \lim_{a \to -\infty} \int_a^1 e^{2x}~\text{d}x \\ & = \lim_{a \to -\infty} \left[\dfrac{1}{2}e^{2x}\right]_a^1 \\ & = \lim_{a \to -\infty} \left(\dfrac{1}{2}e^2 - \dfrac{1}{2}e^{2a}\right) \\ & = \dfrac{1}{2} \lim_{a \to -\infty} e^2 - \dfrac{1}{2} \lim_{a \to -\infty} e^{2a} \\ & = \dfrac{1}{2}e^2 - \dfrac{1}{2}(0)= \dfrac{1}{2}e^2 \end{aligned}
Jadi, integral tersebut konvergen ke \dfrac{1}{2}e^2.

[collapse]

Soal Nomor 4
Hitung dan periksa kekonvergenan dari
\displaystyle \int_{-\infty}^0 3^{8x}~\text{d}x

Penyelesaian

Ingat bahwa \int a^{nx}~\text{d}x = \dfrac{a^x}{n \ln a} + C, dengan syarat a > 0 dan a \neq 1. 
Menurut teorema integral tak tentu, definisi integral tak wajar, dan konsep limit tak hingga, berlaku
\begin{aligned} \displaystyle \int_{-\infty}^{0} 3^{8x}~\text{d}x & = \lim_{a \to -\infty} \int_a^0 3^{8x}~\text{d}x \\ & = \dfrac{1}{8 \ln 3} \lim_{a \to -\infty} [3^{8x}]_a^0 \\ & = \dfrac{1}{8 \ln 3} \lim_{a \to -\infty} (3^0 - 3^{8a}) \\ & = \dfrac{1}{8 \ln 3}(1 - 0) = \dfrac{1}{8 \ln 3} \end{aligned}
Jadi, integral tersebut konvergen ke \dfrac{1}{8 \ln 3}.

[collapse]

Soal Nomor 5
Hitung dan periksa kekonvergenan dari
\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{1}{1+x^2}~\text{d}x

Penyelesaian

Ingat bahwa 
\displaystyle \int \dfrac{1}{a^2+u^2}~\text{d}u = \dfrac{1}{a} \arctan \left(\dfrac{u}{a}\right)+ C. 
Menurut teorema integral tak tentu, definisi integral tak wajar, dan konsep limit tak hingga, berlaku
\begin{aligned} \displaystyle & \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{1}{1+x^2}~\text{d}x \\ & = \int_{-\infty}^{0} \dfrac{1}{1+x^2}~\text{d}x + \int_{0}^{\infty} \dfrac{1}{1+x^2}~\text{d}x \\ & = \lim_{a \to -\infty} \int_{a}^{0} \dfrac{1}{1+x^2}~\text{d}x + \lim_{b \to \infty} \int_{0}^{b} \dfrac{1}{1+x^2}~\text{d}x \\ & = \lim_{a \to -\infty} [\arctan x]_a^0 + \lim_{b \to \infty} [\arctan x]_0^b \\ & = \left(0 + \dfrac{\pi} {2}\right) + \left(\dfrac{\pi}{2} + 0\right) = \pi \end{aligned}
Jadi, integral tersebut konvergen ke \pi.

[collapse]

Soal Nomor 6
Hitung dan periksalah kekonvergenan dari
\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} xe^{-x^2}~\text{d}x

Penyelesaian

Menurut teorema integral tak tentu, definisi integral tak wajar, dan konsep limit tak hingga, berlaku
\begin{aligned} \displaystyle & \int_{-\infty}^{\infty} xe^{-x^2}~\text{d}x \\ & = \int_{-\infty}^{0} xe^{-x^2}~\text{d}x + \int_{0}^{\infty} xe^{-x^2}~\text{d}x \\ & = \lim_{a \to -\infty} \int_{a}^{0} xe^{-x^2}~\text{d}x + \lim_{b \to \infty} \int_{0}^{b} xe^{-x^2}~\text{d}x \\ & = \lim_{a \to -\infty} \left[-\dfrac{1}{2}e^{-x^2}\right]_a^0 + \lim_{b \to \infty} \left[-\dfrac{1}{2}e^{-x^2}\right]_0^b \bigstar \\ & = \lim_{a \to -\infty} \left(-\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}e^{-a^2}\right) + \lim_{b \to \infty} \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}e^{-b^2}\right) \\ & = -\dfrac{1}{2} + 0 +\dfrac{1}{2} - 0 = 0 \end{aligned}
Jadi, integral tersebut konvergen ke 0. 
\bigstar Cara mengintegralkan bentuk di atas adalah sbb. 
Misalkan u = -x^2, berarti \text{d}u = -2x~\text{d}x, sehingga
\begin{aligned} \int xe^{-x^2}~\text{d}x & = -\dfrac{1}{2} \int e^u~\text{d}u \\ & = -\dfrac{1}{2}e^u + C = -\dfrac{1}{2}e^{-x^2} + C \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 7
Periksalah kekonvergenan dari
\displaystyle \int_0^1 x^{-2}~\text{d}x

Penyelesaian

Menurut teorema integral tak tentu, definisi integral tak berhingga di suatu titik ujung, dan konsep limit, berlaku
\begin{aligned} \displaystyle \int_0^1 x^{-2}~\text{d}x & = \lim_{u \to 0^+} \int_u^1 \dfrac{1}{x^2}~\text{d}x \\ & = \lim_{u \to 0^+} \left[-\dfrac{1}{x}\right]_u^1 \\ & = \lim_{u \to 0^+} \left(-1 + \dfrac{1}{u}\right) = \infty \end{aligned}
Karena limitnya tak hingga, maka integral tersebut divergen.

[collapse]

Soal Nomor 8
Periksalah kekonvergenan dari
\displaystyle \int_0^1 \dfrac{\ln x} {x}~\text{d}x

Penyelesaian

Menurut teorema integral tak tentu, definisi integral tak berhingga di suatu titik ujung, dan konsep limit, berlaku
\begin{aligned} \displaystyle \int_0^1 \dfrac{\ln x}{x}~\text{d}x & = \lim_{u \to 0^+} \ln x~\text{d}(\ln x) \\ & = \dfrac{1}{2} \lim_{u \to 0^+} [\ln^2 x]_u^1 \\ & = \dfrac{1}{2} \lim_{u \to 0^+} (0 - \ln^2 u) = \infty \end{aligned}
Karena limitnya tak hingga, maka integral tersebut divergen.

[collapse]