Posted on

Soal dan Pembahasan – Aturan Sinus, Aturan Cosinus, dan Luas Segitiga dalam Trigonometri

 

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Perbandingan Trigonometri Dasar

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 9
Diketahui \triangle ABC dengan panjang sisi a = 4~\text{cm}

, \angle A = 120\degree, dan \angle B = 30\degree. Panjang sisi c = \cdots
A. 2\sqrt2~\text{cm}
B. \frac43\sqrt3~\text{cm}
C. \frac34\sqrt3~\text{cm}
D. \frac34\sqrt2~\text{cm}
E. \sqrt3~\text{cm}

Soal Nomor 70
Panjang sisi-sisi pada \triangle ABC berbanding 6 : 5 : 4. Cosinus sudut yang terbesar dari segitiga tersebut adalah \cdots
A. \dfrac12        B. \dfrac23        C. \dfrac34         D. \dfrac45      E. \dfrac56

Soal Nomor 90
Jika panjang sisi-sisi segitiga ABC berturut-turut adalah AB=4~\text{cm},BC=6~\text{cm}, dan AC=5~\text{cm}, sedangkan \angle BAC = \alpha, \angle ABC = \beta, dan \angle BCA = \gamma, maka \sin \alpha : \sin \beta : \sin \gamma = \cdots
A. 4 : 5 : 6                D. 4 : 6 : 5
B. 5 : 6 : 4                E. 6 : 4 : 5
C. 6 : 5 : 4

Soal Nomor 16
Dalam sebuah lingkaran yang berjari-jari 8~\text{cm} dibuat segi-12 beraturan. Panjang sisi segi-12 beraturan tersebut adalah \cdots~\text{cm}
A. 8\sqrt{2 - \sqrt3}}          D. 8\sqrt{3 - \sqrt3}}
B. 8\sqrt{2 - \sqrt2}}          E. 8\sqrt{3 + \sqrt2}}
C. 8\sqrt{3 - \sqrt2}}

Soal Nomor 92
Nilai \cos \theta pada gambar di bawah adalah \cdots
A. -1        B. -\dfrac57         C. -\dfrac23          D. 1        E. \dfrac23

Tarik garis dari titik A ke titik C, sebut saja garis AC.
Perhatikan bahwa \angle ABC = \theta, sehingga besar sudut di hadapannya adalah \angle ADC = 180\degree - \theta
Catatan: Jumlah sudut yang berhadapan pada segiempat tali busur lingkaran adalah 180\degree
Dengan menggunakan Aturan Cosinus pada \triangle ABC dan \triangle ADC, diperoleh kesamaan panjang AC, yakni
\begin{aligned} AB^2+BC^2-2(AB)(BC) & \cos \theta = AD^2+CD^2- \\ & 2(AD)(CD) \cos (180\degree-\theta) \end{aligned}
Diketahui bahwa AB = 1, BC = 2, CD = 3, dan AD = 4, serta \cos (180\degree-\theta) = -\cos \theta, sehingga
\begin{aligned} (1)^2+(2)^2-2(1)(2) \cos \theta & = (4)^2+(3)^2-2(3)(4)(-\cos \theta) \\ 5-4 \cos \theta & = 25+24 \cos \theta \\ 28 \cos \theta & = -20 \\ \cos \theta & = -\dfrac{20}{28} = -\dfrac57 \end{aligned}
Jadi, nilai \boxed{\cos \theta = -\dfrac57}
(Jawaban B) [/spoiler]

Soal Nomor 15
Perhatikan gambar segiempat PQRS berikut.

Panjang RS = \cdots
A. 6\sqrt2~\text{cm}            D. 9\sqrt2~\text{cm}
B. 6\sqrt3~\text{cm}             E. 9\sqrt3~\text{cm}
C. 12~\text{cm}

Soal Nomor 14
Pada \triangle PQR, diketahui besar \angle Q = 45\degree dan garis tinggi dari titik R. Jika QR = a dan PT = a\sqrt2, maka panjang PR adalah \cdots
A. 2a\sqrt2              D. \frac12a\sqrt{10}
B. \frac12a\sqrt5                      E. a\sqrt2
C. 2

Soal Nomor 19
Luas segi-12 beraturan dengan masing-masing panjang sisinya 4~\text{cm} adalah \cdots
A. (96+48\sqrt3)~\text{cm}^2           D. (96\sqrt3+48)~\text{cm}^2
B. (24+12\sqrt3)~\text{cm}^2           E. (96\sqrt3+12)~\text{cm}^2
C. (24\sqrt3+12)~\text{cm}^2

Soal Nomor 24
Sebuah mobil melaju dari tempat A sejauh 16~\text{km} dengan arah 40\degree, kemudian berbelok sejauh 24~\text{km} ke tempat B dengan arah 160\degree. Jarak A dan B adalah \cdots
A. 21~\text{km}               D. 32~\text{km}
B. 8\sqrt7~\text{km}                E. 8\sqrt{19}~\text{km}
C. 8\sqrt{10}~\text{km}

Soal Nomor 11
Keliling suatu segienam beraturan adalah 84~\text{cm}. Luas segienam tersebut adalah \cdots
A. 588\sqrt3~\text{cm}^2             D. 245\sqrt3~\text{cm}^2
B. 392\sqrt3~\text{cm}^2             E. 147\sqrt3~\text{cm}^2
C. 294\sqrt3~\text{cm}^2

Bagian Uraian

Soal Nomor 83
Buktikan bahwa dalam segitiga sembarang ABC berlaku \dfrac{a - b}{c} = \dfrac{\sin A - \sin B}{\sin C}

Dalam segitiga sembarang ABC, berlaku
\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}
Dalam bentuk lain, ditulis
a = \dfrac{b \sin A}{\sin B} dan c = \dfrac{b \sin C}{\sin B}
Dengan demikian, kita dapatkan
\begin{aligned} \dfrac{a-b}{c} & = \dfrac{\dfrac{b \sin A}{\sin B} - b}{\dfrac{b \sin C}{\sin B}} \\ & = \dfrac{\dfrac{b \sin A}{\cancel{\sin B}} - \dfrac{b \sin B}{\cancel{\sin B}}}{\dfrac{b \sin C}{\cancel{\sin B}}} \\ & = \dfrac{b \sin A - b \sin B}{b \sin C} \\ & = \dfrac{\sin A - \sin B}{\sin C} \end{aligned}
Jadi, terbukti bahwa dalam segitiga sembarang ABC berlaku \dfrac{a - b}{c} = \dfrac{\sin A - \sin B}{\sin C}
[/spoiler]

Soal Nomor 69
Buktikan bahwa luas segiempat tali busur ABCD pada gambar di bawah adalah L = \dfrac12(ab + cd) \sin \theta

Soal Nomor 68
Pada gambar di bawah, ABCD adalah segiempat tali busur lingkaran (besar sudut yang berhadapan jumlahnya 180\degree). Buktikan bahwa
\cos \theta = \dfrac{c^2+d^2-a^2-b^2}{2(ab+cd)}

Soal Nomor 71
Diketahui \triangle ABC dengan CD adalah garis berat, yaitu garis yang membagi dua sama panjang sisi AB. Dengan menggunakan Aturan Cosinus, buktikan bahwa:
a. CD^2 = \dfrac12a^2 + \dfrac12b^2 - \dfrac14c^2
b. 4CD^2 = a^2+b^2+2ab \cos C

Soal Nomor 65
Buktikan bahwa luas segiempat ABCD sembarang pada gambar di bawah adalah L = \dfrac12 \cdot AC \cdot BD \cdot \sin \theta

Soal Nomor 72
Perhatikan gambar berikut ini.

O adalah pusat lingkaran yang berjari-jari R.
a. Nyatakan luas \triangle BOC dalam R dan A, luas \triangle COA dalam R dan B, dan luas \triangle AOB dalam R dan C.
b. Gunakan hasil jawaban a untuk membuktikan bahwa pada \triangle ABC berlaku:
\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4 \sin A \sin B \sin C
Petunjuk: Gunakan Aturan Sinus.