Soal dan Pembahasan – Integral Tak Wajar

Berikut ini merupakan soal-soal mengenai kekonvergenan integral tak wajar (improper integral) yang dikumpulkan dari berbagai referensi.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Limit Tak Hingga

Quote by Georg Cantor

The mathematician does not study pure mathematics because it is useful; he studies it because he delights in it and he delights in it because it is beautiful. 

Soal Nomor 1
Hitung dan periksa kekonvergenan dari
$\displaystyle \int_{1}^{\infty} x^{-2}~\text{d}x$

Penyelesaian

Menurut teorema integral tak tentu, definisi integral tak wajar, dan konsep limit tak hingga, berlaku
$\begin{aligned} \displaystyle \int_1^{\infty} x^{-2}~\text{d}x & = \lim_{b \to \infty} \int_1^b x^{-2}~\text{d}x \\ & = \lim_{b \to \infty} \left[-\dfrac{1}{x}\right]_1^b \\ & = \lim_{b \to \infty} \left(1-\dfrac{1}{b}\right) = 1 \end{aligned}$
Jadi, integral tersebut konvergen ke $1$

[collapse]

Soal Nomor 2
Hitung dan periksa kekonvergenan dari
$\displaystyle \int_1^{\infty} \dfrac{1}{(1+x)^2}~\text{d}x$

Penyelesaian

 Menurut teorema integral tak tentu, definisi integral tak wajar, dan konsep limit tak hingga, berlaku
$$\begin{aligned} \displaystyle \int_1^{\infty} \dfrac{1}{(1+x)^2}~\text{d}x & = \lim_{b \to \infty} \int_1^b \dfrac{1}{(1+x)^2}~\text{d}x \\ & = \lim_{b \to \infty} \left[-\dfrac{1}{1+x}\right]_1^b \\ & = \lim_{b \to \infty} \left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{1+b}\right) = \dfrac{1}{2} \end{aligned}$$
Jadi, integral tersebut konvergen ke $\dfrac{1}{2}$.

[collapse]

Soal Nomor 3
Hitung dan periksa kekonvergenan dari
$\displaystyle \int_{-\infty}^{1} e^{2x}~\text{d}x$

Penyelesaian

Menurut teorema integral tak tentu, definisi integral tak wajar, dan konsep limit tak hingga, berlaku
$\begin{aligned} \displaystyle \int_{-\infty}^{1} e^{2x}~\text{d}x & = \lim_{a \to -\infty} \int_a^1 e^{2x}~\text{d}x \\ & = \lim_{a \to -\infty} \left[\dfrac{1}{2}e^{2x}\right]_a^1 \\ & = \lim_{a \to -\infty} \left(\dfrac{1}{2}e^2 – \dfrac{1}{2}e^{2a}\right) \\ & = \dfrac{1}{2} \lim_{a \to -\infty} e^2 – \dfrac{1}{2} \lim_{a \to -\infty} e^{2a} \\ & = \dfrac{1}{2}e^2 – \dfrac{1}{2}(0)= \dfrac{1}{2}e^2 \end{aligned}$
Jadi, integral tersebut konvergen ke $\dfrac{1}{2}e^2$.

[collapse]

Soal Nomor 4
Hitung dan periksa kekonvergenan dari
$\displaystyle \int_{-\infty}^0 3^{8x}~\text{d}x$

Penyelesaian

Ingat bahwa $\int a^{nx}~\text{d}x = \dfrac{a^x}{n \ln a} + C$, dengan syarat $a > 0$ dan $a \neq 1$. 
Menurut teorema integral tak tentu, definisi integral tak wajar, dan konsep limit tak hingga, berlaku
$\begin{aligned} \displaystyle \int_{-\infty}^{0} 3^{8x}~\text{d}x & = \lim_{a \to -\infty} \int_a^0 3^{8x}~\text{d}x \\ & = \dfrac{1}{8 \ln 3} \lim_{a \to -\infty} [3^{8x}]_a^0 \\ & = \dfrac{1}{8 \ln 3} \lim_{a \to -\infty} (3^0 – 3^{8a}) \\ & = \dfrac{1}{8 \ln 3}(1 – 0) = \dfrac{1}{8 \ln 3} \end{aligned}$
Jadi, integral tersebut konvergen ke $\dfrac{1}{8 \ln 3}$.

[collapse]

Soal Nomor 5
Hitung dan periksa kekonvergenan dari
$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{1}{1+x^2}~\text{d}x$

Penyelesaian

Ingat bahwa 
$\displaystyle \int \dfrac{1}{a^2+u^2}~\text{d}u = \dfrac{1}{a} \arctan \left(\dfrac{u}{a}\right)+ C$. 
Menurut teorema integral tak tentu, definisi integral tak wajar, dan konsep limit tak hingga, berlaku
$$\begin{aligned} \displaystyle & \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{1}{1+x^2}~\text{d}x \\ & = \int_{-\infty}^{0} \dfrac{1}{1+x^2}~\text{d}x + \int_{0}^{\infty} \dfrac{1}{1+x^2}~\text{d}x \\ & = \lim_{a \to -\infty} \int_{a}^{0} \dfrac{1}{1+x^2}~\text{d}x + \lim_{b \to \infty} \int_{0}^{b} \dfrac{1}{1+x^2}~\text{d}x \\ & = \lim_{a \to -\infty} [\arctan x]_a^0 + \lim_{b \to \infty} [\arctan x]_0^b \\ & = \left(0 + \dfrac{\pi} {2}\right) + \left(\dfrac{\pi}{2} + 0\right) = \pi \end{aligned}$$
Jadi, integral tersebut konvergen ke $\pi$.

[collapse]

Soal Nomor 6
Hitung dan periksalah kekonvergenan dari
$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} xe^{-x^2}~\text{d}x$

Penyelesaian

Menurut teorema integral tak tentu, definisi integral tak wajar, dan konsep limit tak hingga, berlaku
$$\begin{aligned} \displaystyle & \int_{-\infty}^{\infty} xe^{-x^2}~\text{d}x \\ & = \int_{-\infty}^{0} xe^{-x^2}~\text{d}x + \int_{0}^{\infty} xe^{-x^2}~\text{d}x \\ & = \lim_{a \to -\infty} \int_{a}^{0} xe^{-x^2}~\text{d}x + \lim_{b \to \infty} \int_{0}^{b} xe^{-x^2}~\text{d}x \\ & = \lim_{a \to -\infty} \left[-\dfrac{1}{2}e^{-x^2}\right]_a^0 + \lim_{b \to \infty} \left[-\dfrac{1}{2}e^{-x^2}\right]_0^b \bigstar \\ & = \lim_{a \to -\infty} \left(-\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}e^{-a^2}\right) + \lim_{b \to \infty} \left(\dfrac{1}{2} – \dfrac{1}{2}e^{-b^2}\right) \\ & = -\dfrac{1}{2} + 0 +\dfrac{1}{2} – 0 = 0 \end{aligned}$$
Jadi, integral tersebut konvergen ke $0$. 
$\bigstar$ Cara mengintegralkan bentuk di atas adalah sbb. 
Misalkan $u = -x^2$, berarti $\text{d}u = -2x~\text{d}x$, sehingga
$\begin{aligned} \int xe^{-x^2}~\text{d}x & = -\dfrac{1}{2} \int e^u~\text{d}u \\ & = -\dfrac{1}{2}e^u + C = -\dfrac{1}{2}e^{-x^2} + C \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 7
Periksalah kekonvergenan dari
$\displaystyle \int_0^1 x^{-2}~\text{d}x$

Penyelesaian

Menurut teorema integral tak tentu, definisi integral tak berhingga di suatu titik ujung, dan konsep limit, berlaku
$\begin{aligned} \displaystyle \int_0^1 x^{-2}~\text{d}x & = \lim_{u \to 0^+} \int_u^1 \dfrac{1}{x^2}~\text{d}x \\ & = \lim_{u \to 0^+} \left[-\dfrac{1}{x}\right]_u^1 \\ & = \lim_{u \to 0^+} \left(-1 + \dfrac{1}{u}\right) = \infty \end{aligned}$
Karena limitnya tak hingga, maka integral tersebut divergen.

[collapse]

Soal Nomor 8
Periksalah kekonvergenan dari
$\displaystyle \int_0^1 \dfrac{\ln x} {x}~\text{d}x$

Penyelesaian

Menurut teorema integral tak tentu, definisi integral tak berhingga di suatu titik ujung, dan konsep limit, berlaku
$\begin{aligned} \displaystyle \int_0^1 \dfrac{\ln x}{x}~\text{d}x & = \lim_{u \to 0^+} \ln x~\text{d}(\ln x) \\ & = \dfrac{1}{2} \lim_{u \to 0^+} [\ln^2 x]_u^1 \\ & = \dfrac{1}{2} \lim_{u \to 0^+} (0 – \ln^2 u) = \infty \end{aligned}$
Karena limitnya tak hingga, maka integral tersebut divergen.

[collapse]

CategoriesIntegral Tak Wajar, Kalkulus IntegralTags, , , ,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *