Uji rata-rata satu populasi merupakan salah satu uji hipotesis yang digunakan untuk mengetahui apakah suatu populasi memiliki rata-rata dengan nilai sama dengan, lebih dari, atau kurang dari suatu nilai rata-rata tertentu yang diduga/ditetapkan sebelumnya. Pengujian diawali dengan pengambilan sampel dengan ukuran tertentu yang harus diambil secara acak.
Uji rata-rata satu populasi dapat dilakukan dengan menggunakan dua alternatif, yaitu uji-$z$ dan uji-$t.$ Jika varians populasi diketahui, uji rata-rata satu populasi dapat dijalankan dengan menggunakan uji-$z$ sehingga nantinya akan melibatkan tabel-$z.$ Sebaliknya, jika varians populasi tidak diketahui, uji rata-rata satu populasi harus dijalankan dengan menggunakan uji-$t$ sehingga nantinya akan melibatkan tabel-$t.$ Dalam konteks dunia nyata, varians populasi jarang diketahui sehingga uji-$t$ lebih sering dipakai.
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Distribusi Peluang Diskret dan Kontinu
Uji-$z$
Uji-$z$ dipakai sebagai uji rata-rata satu populasi jika varians populasi diketahui. Sampel harus diambil secara acak dan berasal dari populasi yang berdistribusi normal. Kalaupun tidak, banyaknya sampel yang diambil harus cukup besar, biasanya berukuran $\ge 30.$
Rumusan hipotesis dibagi menjadi dua macam, yaitu hipotesis untuk uji dua arah dan uji satu arah. Parameter populasi yang akan diuji adalah rata-rata populasi $\mu.$ Notasi $\mu_0$ menyatakan rata-rata tertentu yang diduga/ditetapkan sebelumnya.
$$\text{Uji dua arah} \begin{cases} H_0: \mu = \mu_0. \\ H_1: \mu \ne \mu_0. \end{cases}$$ $$\text{Uji satu arah (kiri)} \begin{cases} H_0: \mu \ge \mu_0. \\ H_1: \mu < \mu_0. \end{cases}$$ $$\text{Uji satu arah (kanan)} \begin{cases} H_0: \mu \le \mu_0. \\ H_1: \mu > \mu_0. \end{cases}$$
Statistik uji yang digunakan dalam uji-$z$ adalah
$$z_{\text{hitung}} = \dfrac{\overline{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$$dengan $z_{\text{hitung}}$ adalah nilai-$z$ hitung, $\overline{x}$ adalah rata-rata sampel, $\sigma$ adalah simpangan baku populasi, dan $n$ adalah ukuran sampel. Lebih lanjut, rumus $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ disebut sebagai galat baku (standard error, sering disingkat SE).
Untuk memutuskan apakah hipotesis yang diajukan ditolak atau tidak, nilai kritis harus ditentukan terlebih dahulu. Untuk uji dua arah, nilai kritisnya adalah $-z_{1-\alpha/2}$ dan $z_{1-\alpha/2}.$
Lebih lanjut, untuk uji satu arah, jika $H_1: \mu < \mu_0,$ maka nilai kritisnya adalah $-z_{1-\alpha}.$ Sebaliknya, jika $H_1 :\mu > \mu_0,$ maka nilai kritisnya adalah $z_{1-\alpha}.$
Nilai dari $z_{1-\alpha/2}$ maupun $z_{1-\alpha}$ dapat ditentukan dengan menggunakan tabel-$z.$
Baca: Soal dan Pembahasan – Distribusi Normal
Pengambilan keputusan: Dalam uji dua arah, $H_0$ ditolak jika $|z_{\text{hitung}}| < z_{\alpha/2}.$ Di sisi lain, dalam uji satu arah, $H_0$ ditolak jika $z_{\text{hitung}} < -z_{\alpha}$ untuk $H_1: \mu < \mu_0$ dan $z_{\text{hitung}} > z_{\alpha}$ untuk $H_1: \mu > \mu_0.$
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Uji Selisih Rata-Rata Dua Populasi Bebas
Uji-$t$
Uji-$t$ dipakai sebagai uji rata-rata satu populasi jika varians populasi tidak diketahui. Sampel harus diambil secara acak dan berasal dari populasi yang berdistribusi normal. Kalaupun tidak, banyaknya sampel yang diambil harus cukup besar, biasanya berukuran $\ge 30.$
Rumusan hipotesis dibagi menjadi dua macam, yaitu hipotesis untuk uji dua arah dan uji satu arah. Parameter populasi yang akan diuji adalah rata-rata populasi $\mu.$ Notasi $\mu_0$ menyatakan rata-rata tertentu yang diduga/ditetapkan sebelumnya.
$$\text{Uji dua arah} \begin{cases} H_0: \mu = \mu_0. \\ H_1: \mu \ne \mu_0. \end{cases}$$ $$\text{Uji satu arah (kiri)} \begin{cases} H_0: \mu \ge \mu_0. \\ H_1: \mu < \mu_0. \end{cases}$$ $$\text{Uji satu arah (kanan)} \begin{cases} H_0: \mu \le \mu_0. \\ H_1: \mu > \mu_0. \end{cases}$$
Statistik uji yang digunakan dalam uji-$t$ adalah
$$t_{\text{hitung}} = \dfrac{\overline{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}$$dengan $t_{\text{hitung}}$ adalah nilai-$t$ hitung, $\overline{x}$ adalah rata-rata sampel, $s$ adalah simpangan baku sampel, dan $n$ adalah ukuran sampel. Lebih lanjut, rumus $\dfrac{s}{\sqrt{n}}$ disebut sebagai galat baku (standard error, sering disingkat SE).
Untuk memutuskan apakah hipotesis yang diajukan ditolak atau tidak, nilai kritis harus ditentukan terlebih dahulu. Untuk uji dua arah, nilai kritisnya adalah $-t_{\alpha/2; ~\text{dk}}$ dan $t_{\alpha/2; ~\text{dk}}.$
Lebih lanjut, untuk uji satu arah, jika $H_1: \mu < \mu_0,$ maka nilai kritisnya adalah $-t_{\alpha;~ \text{dk}}.$
Sebaliknya, jika $H_1 :\mu > \mu_0,$ maka nilai kritisnya adalah $t_{\alpha; ~\text{dk}}.$
Dalam hal ini, $\text{dk}$ merupakan derajat kebebasan yang nilainya sama dengan $n-1.$ Nilai dari $t_{\alpha/2; ~\text{dk}}$ maupun $t_{\alpha; ~\text{dk}}$ dapat ditentukan dengan menggunakan tabel-$t.$
Pengambilan keputusan: Dalam uji dua arah, $H_0$ ditolak jika $|t_{\text{hitung}}| < t_{\alpha/2;~\text{dk}}.$ Di sisi lain, dalam uji satu arah, $H_0$ ditolak jika $t_{\text{hitung}} < -t_{\alpha;~\text{dk}}$ untuk $H_1: \mu < \mu_0$ dan $t_{\text{hitung}} > t_{\alpha;~\text{dk}}$ untuk $H_1: \mu > \mu_0.$
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Uji Selisih Rata-Rata Dua Populasi Berpasangan
Artikel ini ditulis berdasarkan beberapa sumber, termasuk sumber berbahasa Inggris. Salah satu sumber yang digunakan di antaranya adalah buku “Probability & Statistics for Engineers & Scientists” yang ditulis oleh Ronald E. Walpole dkk. Oleh karena itu, untuk meminimalisasi kesalahan penafsiran, padanan untuk beberapa kata/istilah diberikan dalam tabel berikut.
$$\begin{array}{ccc} \hline \text{No.} & \text{Bahasa Indonesia} & \text{Bahasa Inggris} \\ \hline 1. & \text{Uji Hipotesis} & \text{Hypothesis Testing} \\ 2. & \text{Rata-Rata} & \text{Mean} \\ 3. & \text{Simpangan Baku} & \text{Standard Deviation} \\ 4. & \text{Galat Baku} & \text{Standard Error} \\ 5. & \text{Uji-}z & z\text{-Test} \\ 6. & \text{Uji-}t & t\text{-Test} \\ 7. & \text{Nilai Kritis} & \text{Critical Value} \\ 8. & \text{Daerah Kritis} & \text{Critical Region} \\ 9. & \text{Hipotesis Nol} & \text{Null Hypothesis} \\ 10. & \text{Hipotesis Alternatif} & \text{Alternative Hypothesis} \\ 11. & \text{Statistik Uji} & \text{Test Statistic} \\ 12. & \text{Selang Kepercayaan} & \text{Confidence Interval} \\ 13. & \text{Taraf Signifikansi} & \text{Significance Value} \\ 14. & \text{Uji Satu Arah} & \text{One-Tailed Test} \\ 15. & \text{Uji Dua Arah} & \text{Two-Tailed Test} \\ 16. & \text{Derajat Kebebasan} & \text{Degree of Freedom} \\ \hline \end{array}$$
Quote by Helen Keller
Catatan: Hasil perhitungan yang dilakukan dalam setiap soal bisa jadi sedikit berbeda karena masalah pembulatan. Anda seharusnya tidak dianggap salah jika terjadi kasus seperti itu.
Bagian Uraian
Soal Nomor 1
Berdasarkan $100$ laporan kematian di AS yang diambil secara acak, diperoleh bahwa rata-rata usia hidup orang AS adalah $71,\!8$ tahun dengan simpangan baku $8,\!9$ tahun. Hal ini memberikan dugaan bahwa rata-rata usia hidup orang AS lebih dari $70$ tahun. Dengan taraf signifikansi $5\%,$ ujilah kebenaran dugaan tersebut.
Misalkan $X$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan usia hidup orang AS. Diketahui $\mu_0=70;$ $\overline{x}=71,\!8;$ $s=8,\!9;$ $n=100;$ dan $\alpha=5\% = 0,\!05.$ Ini merupakan kasus uji rata-rata satu populasi yang varians populasinya tidak diketahui. Oleh karena itu, akan digunakan uji-$t.$
Rumusan hipotesis:
Parameter populasi yang akan diuji adalah $\mu,$ yaitu rata-rata usia hidup dari populasi orang AS.
$$\begin{array}{cc} \text{Hipotesis nol} & H_0: \mu\le 70. \\ \text{Hipotesis alternatif} & H_1: \mu > 70. \\ \end{array}$$Statistik uji:
$$t_{\text{hitung}} = \dfrac{\overline{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}} = \dfrac{71,\!8-70}{8,\!9/\sqrt{100}} \approx 2,\!02.$$Daerah kritis:
Perhatikan bahwa uji yang dilakukan merupakan uji satu arah (kanan). Dengan menggunakan tabel-$t,$ nilai-$t$ dengan $\alpha = 0,\!05$ dan derajat kebebasan $\text{dk} = n-1=100-1=99$ adalah $t_{\text{tabel}} = t_{0,05; ~99} \approx 1,\!66.$ Dengan demikian, daerah kritis terletak di $t > 1,\!66.$ Keputusan:
Karena $t_{\text{hitung}} = 2,\!02 > 1,\!66 = t_{\text{tabel}},$ disimpulkan bahwa statistik uji jatuh pada daerah kritis. Dengan demikian, $H_0$ ditolak.
Kesimpulan:
Jadi, dugaan bahwa rata-rata usia hidup orang AS lebih dari 70 tahun benar adanya.
Soal Nomor 2
Para peneliti dari program studi teknik elektro melakukan studi terhadap besarnya pemakaian listrik (dalam kilowatt jam, disingkat kWh) karena penggunaan penyedot debu (vacuum cleaner) di suatu kabupaten. Sebelumnya ada dugaan bahwa penyedot debu rata-rata mengomsumsi listrik sebesar $46$ kWh per tahun. Jika sampel acak dari $12$ rumah diambil dan didapatkan informasi bahwa rata-rata konsumsi listrik karena penggunaan penyedot debu adalah sebesar $42$ kWh dengan simpangan baku $11,\!9$ kWh, apakah dapat disimpulkan bahwa rata-rata konsumsi listriknya kurang dari $46$ kWh setiap tahunnya? Gunakan taraf signifikansi $5\%$ dan asumsikan populasi besarnya konsumsi listrik tersebut berdistribusi normal.
Misalkan $X$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan besarnya konsumsi listrik (dalam kWh) karena penggunaan penyedot debu. Diketahui $\mu_0=46;$ $\overline{x}=42;$ $s=11,\!9;$ $n=12;$ dan $\alpha=5\% = 0,\!05.$ Ini merupakan kasus uji rata-rata satu populasi yang varians populasinya tidak diketahui. Oleh karena itu, akan digunakan uji-$t.$
Rumusan hipotesis:
Parameter populasi yang akan diuji adalah $\mu,$ yaitu rata-rata konsumsi listrik karena penggunaan penyedot debu (dalam kWh).
$$\begin{array}{cc} \text{Hipotesis nol} & H_0: \mu \le 46. \\ \text{Hipotesis alternatif} & H_1: \mu > 46. \\ \end{array}$$Statistik uji:
$$t_{\text{hitung}} = \dfrac{\overline{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}} = \dfrac{42-46}{11,\!9/\sqrt{12}} \approx -1,\!16.$$Daerah kritis:
Perhatikan bahwa uji yang dilakukan merupakan uji satu arah (kanan). Dengan menggunakan tabel-$t,$ nilai-$t$ dengan $\alpha = 0,\!05$ dan derajat kebebasan $\text{dk} = n-1=12-1=11$ adalah $t_{\text{tabel}} = t_{0,05;~ 11} \approx 1,\!796.$ Dengan demikian, daerah kritis terletak di $t > 1,\!796.$
Keputusan:
Karena $t_{\text{hitung}} = -1,\!16 < 1,\!796 = t_{\text{tabel}},$ disimpulkan bahwa statistik uji tidak jatuh pada daerah kritis. Dengan demikian, $H_0$ tidak ditolak.
Kesimpulan:
Jadi, rata-rata konsumsi listrik karena penggunaan penyedot debu di kabupaten tersebut tidak secara signifikan kurang dari $46$ kWh.
Soal Nomor 3
Berikut ini adalah data lamanya pengeboran oleh suatu mesin pada pengeboran minyak dalam satuan jam.
$$\begin{array}{cc} \hline 14,\!5 & 13,\!8 & 13,\!6 & 14,\!6 & 14,\!1 & 13,\!5 \\ 14,\!3 & 13,\!3 & 13,\!8 & 14,\!3 & 13,\!3 & 13,\!8 \\ \hline \end{array}$$Dengan taraf signifikansi $5\%,$ ujilah hipotesis bahwa rata-rata lamanya pengeboran oleh mesin tersebut di atas $14$ jam dengan asumsi bahwa lamanya pengeboran berdistribusi normal.
Misalkan $X$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan lamanya pengeboran oleh mesin tersebut dalam satuan jam. Diketahui $\mu_0=14,$ $n = 12,$ dan $\alpha = 5\% = 0,\!05.$ Lebih lanjut, dapat dicari nilai $\overline{x} \approx 13,\!9083$ dan $s \approx 0,\!4481.$ Ini merupakan kasus uji rata-rata satu populasi yang varians populasinya tidak diketahui. Oleh karena itu, akan digunakan uji-$t.$
Rumusan hipotesis:
Parameter populasi yang akan diuji adalah $\mu,$ yaitu rata-rata lamanya pengeboran oleh mesin tersebut dalam satuan jam.
$$\begin{array}{cc} \text{Hipotesis nol} & H_0: \mu\le 14. \\ \text{Hipotesis alternatif} & H_1: \mu > 14. \\ \end{array}$$Statistik uji:
$$t_{\text{hitung}} = \dfrac{\overline{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}} = \dfrac{13,\!9083-14}{0,\!4481/\sqrt{12}} \approx 0,\!7089.$$Daerah kritis:
Perhatikan bahwa uji yang dilakukan merupakan uji satu arah (kanan). Dengan menggunakan tabel-$t,$ nilai-$t$ dengan $\alpha = 0,\!05$ dan derajat kebebasan $\text{dk} = n-1=12-1=11$ adalah $t_{\text{tabel}} = t_{0,05;~11} \approx 1,\!796.$ Dengan demikian, daerah kritis terletak di $z > 1,\!796.$
Keputusan:
Karena $t_{\text{hitung}} = 0,\!7089 < 1,\!796 = t_{\text{tabel}},$ disimpulkan bahwa statistik uji tidak jatuh pada daerah kritis. Dengan demikian, $H_0$ tidak ditolak.
Kesimpulan:
Jadi, tidak cukup bukti untuk mengatakan bahwa rata-rata lamanya pengeboran oleh mesin tersebut lebih dari 14 jam.
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Uji Varians Satu Populasi
Soal Nomor 4
Suatu perusahaan alat olahraga mengembangkan jenis batang pancing sintetis yang dikatakan mempunyai kekuatan dengan rata-rata $8$ kilogram dan simpangan baku $0,\!5$ kilogram. Ujilah hipotesis bahwa $\mu = 8$ kilogram dengan hipotesis alternatif $\mu \ne 8$ kilogram jika suatu sampel acak $50$ batang pancing itu memberikan kekuatan rata-rata $7,\!8$ kilogram. Gunakan taraf signifikansi sebesar $1\%.$
Misalkan $X$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan kekuatan batang pancing sintetis dalam satuan kilogram. Diketahui $\mu_0=8,$ $\overline{x} = 7,\!8;$ $\sigma = 0,\!5;$ $n = 50;$ dan $\alpha = 1\% = 0,\!01.$ Ini merupakan kasus uji rata-rata satu populasi yang varians populasinya diketahui. Oleh karena itu, akan digunakan uji-$z.$
Rumusan hipotesis:
Parameter populasi yang akan diuji adalah $\mu,$ yaitu rata-rata kekuatan batang pancing sintetis dalam satuan jam.
$$\begin{array}{cc} \text{Hipotesis nol} & H_0: \mu = 8. \\ \text{Hipotesis alternatif} & H_1: \mu \ne 8. \\ \end{array}$$Statistik uji:
$$z_{\text{hitung}} = \dfrac{\overline{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} = \dfrac{7,\!8-8}{0,\!5/\sqrt{50}} \approx -2,\!83.$$Daerah kritis: Perhatikan bahwa uji yang dilakukan merupakan uji dua arah. Dengan menggunakan tabel-$z,$ nilai-$z$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!005$ adalah $$z_{\text{tabel}} = z_{1-\alpha/2} = z_{0,995} \approx 2,\!575.$$Dengan demikian, daerah kritis terletak di $z < -2,\!575$ dan $z > 2,\!575.$
Keputusan:
Karena $|z_{\text{hitung}}| = 2,\!83 > 2,\!575 = z_{\text{tabel}},$ disimpulkan bahwa statistik uji jatuh pada daerah kritis. Dengan demikian, $H_0$ ditolak.
Kesimpulan:
Jadi, rata-rata kekuatan batang pancing sintetis tidak sama dengan $8$ kilogram.
Soal Nomor 5
Seorang peneliti berencana mendata berat badan penduduk di Desa Makmur Sentosa. Diketahui bahwa berat badan penduduk di desa tersebut berdistribusi normal dengan simpangan baku $\sigma = 10$ kilogram. Karena keterbatasan waktu, ia mengambil sampel acak berupa $30$ orang penduduk dan memperoleh informasi bahwa rata-rata berat badan mereka adalah $50$ kilogram. Dengan menggunakan taraf signifikansi $5\%,$ ujilah dugaan bahwa rata-rata berat badan penduduk di Desa Makmur Sentosa kurang dari $52$ kilogram.
Misalkan $X$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan berat badan penduduk Desa Makmur Sentosa dalam satuan kilogram. Diketahui $\mu_0=52,$ $\overline{x} = 50;$ $\sigma = 10;$ $n = 30;$ dan $\alpha = 5\% = 0,\!05.$ Ini merupakan kasus uji rata-rata satu populasi yang varians populasinya diketahui. Oleh karena itu, akan digunakan uji-$z.$
Rumusan hipotesis:
Parameter populasi yang akan diuji adalah $\mu,$ yaitu rata-rata berat badan penduduk Desa Makmur Sentosa dalam satuan kilogram.
$$\begin{array}{cc} \text{Hipotesis nol} & H_0: \mu \ge 52. \\ \text{Hipotesis alternatif} & H_1: \mu < 52. \\ \end{array}$$Statistik uji:
$$z_{\text{hitung}} = \dfrac{\overline{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} = \dfrac{50-52}{10/\sqrt{30}} \approx -1,\!10.$$Daerah kritis:
Perhatikan bahwa uji yang dilakukan merupakan uji satu arah (kiri). Dengan menggunakan tabel-$z,$ nilai-$z$ dengan $\alpha = 0,\!05$ adalah $$z_{\text{tabel}} = z_{1-\alpha} = z_{0,95} \approx 1,\!645.$$Dengan demikian, daerah kritis terletak di $z < -1,\!645.$
Keputusan:
Karena $z_{\text{hitung}} = -1,\!10 > -1,\!645 = z_{\text{tabel}},$ disimpulkan bahwa statistik uji tidak jatuh pada daerah kritis. Dengan demikian, $H_0$ tidak ditolak.
Kesimpulan:
Jadi, tidak cukup bukti untuk mengatakan bahwa rata-rata berat badan penduduk di Desa Makmur Sentosa kurang dari $52$ kilogram.
Soal Nomor 6
Berikut ini merupakan data tekanan darah sistolik (dalam mmHg) dari $14$ pasien yang menjalani terapi penyembuhan hipertensi.
$$\begin{array}{cc} \hline 183 & 152 & 178 & 157 & 194 & 163 & 144 \\ 194 & 163 & 114 & 178 & 152 & 118 & 158 \\ \hline \end{array}$$Diasumsikan tekanan darah sistolik berdistribusi normal. Dengan menggunakan taraf signifikansi $5\%,$ dapatkah disimpulkan bahwa rata-rata tekanan darah pasien kurang dari $165$ mmHg?
Misalkan $X$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan tekanan darah sistolik (dalam mmHg). Diketahui $\mu_0=165,$ $n = 14,$ dan $\alpha = 5\% = 0,\!05.$ Lebih lanjut, dapat dicari nilai $\overline{x} \approx 160,\!5714$ dan $s \approx 24,\!4626.$ Ini merupakan kasus uji rata-rata satu populasi yang varians populasinya tidak diketahui. Oleh karena itu, akan digunakan uji-$t.$
Rumusan hipotesis:
Parameter populasi yang akan diuji adalah $\mu,$ yaitu rata-rata tekanan darah sistolik (dalam mmHg).
$$\begin{array}{cc} \text{Hipotesis nol} & H_0: \mu \ge 165. \\ \text{Hipotesis alternatif} & H_1: \mu < 165. \\ \end{array}$$Statistik uji:
$$t_{\text{hitung}} = \dfrac{\overline{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}} = \dfrac{160,\!5714-165}{24,\!4626/\sqrt{14}} \approx -0,\!67.$$Daerah kritis:
Perhatikan bahwa uji yang dilakukan merupakan uji satu arah (kiri). Dengan menggunakan tabel-$t,$ nilai-$t$ dengan $\alpha = 0,\!05$ dan derajat kebebasan $\text{dk} = n-1=14-1=13$ adalah $t_{\text{tabel}} = t_{0,05;~ 13} \approx 1,\!771.$ Dengan demikian, daerah kritis terletak di $t < -1,\!771.$ Keputusan:
Karena $t_{\text{hitung}} = -0,\!67 > -1,\!771 = t_{\text{tabel}},$ disimpulkan bahwa statistik uji tidak jatuh pada daerah kritis. Dengan demikian, $H_0$ tidak ditolak.
Kesimpulan:
Jadi, tidak dapat disimpulkan bahwa rata-rata tekanan darah pasien kurang dari $165$ mmHg.
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Uji Kesamaan Varians dari Dua Populasi
Soal Nomor 7
Sebanyak $10$ kaleng suatu produk minuman diambil secara acak dan diukur volume bersihnya dalam satuan mililiter, kemudian hasilnya dituangkan dalam tabel berikut.
$$\begin{array}{cc} \hline 500,\!2 & 500,\!9 & 500,\!7 & 500,\!1 & 499,\!8 \\ 499,\!9 & 500,\!4 & 500,\!3 & 499,\!8 & 500,\!3 \\ \hline \end{array}$$Dengan menggunakan taraf signifikansi $1\%,$ ujilah hipotesis bahwa rata-rata volume bersih dari minuman kaleng tersebut adalah $500$ mililiter dengan asumsi bahwa populasinya berdistribusi normal.
Misalkan $X$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan volume bersih dari minuman kaleng tersebut dalam satuan mililiter. Diketahui $\mu_0=500,$ $n = 10,$ dan $\alpha = 1\% = 0,\!01.$ Lebih lanjut, dapat dicari nilai $\overline{x} = 500,\!24$ dan $s \approx 0,\!3658.$ Ini merupakan kasus uji rata-rata satu populasi yang varians populasinya tidak diketahui. Oleh karena itu, akan digunakan uji-$t.$
Rumusan hipotesis:
Parameter populasi yang akan diuji adalah $\mu,$ yaitu rata-rata volume bersih dari minuman kaleng dalam satuan mililiter.
$$\begin{array}{cc} \text{Hipotesis nol} & H_0: \mu = 500. \\ \text{Hipotesis alternatif} & H_1: \mu \ne 500. \\ \end{array}$$Statistik uji:
$$t_{\text{hitung}} = \dfrac{\overline{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}} = \dfrac{500,\!24-500}{0,\!3658/\sqrt{10}} \approx 2,\!075.$$Daerah kritis:
Perhatikan bahwa uji yang dilakukan merupakan uji dua arah. Dengan menggunakan tabel-$t,$ nilai-$t$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!005$ dan derajat kebebasan $\text{dk} = n-1=10-1=9$ adalah $t_{\text{tabel}} = t_{0,005;~ 9} = 3,\!250.$ Dengan demikian, daerah kritis terletak di $t < -3,\!250$ dan $t > 3,\!250.$
Keputusan:
Karena $$|t_{\text{hitung}}| = 2,\!075 < 3,\!250 = t_{\text{tabel}},$$disimpulkan bahwa statistik uji tidak jatuh pada daerah kritis. Dengan demikian, $H_0$ tidak ditolak.
Kesimpulan:
Jadi, bukti telah cukup untuk mengatakan bahwa rata-rata volume bersih dari minuman kaleng tersebut adalah $500$ mililiter.
Soal Nomor 8
Seorang narablog ingin menargetkan situs yang ia miliki dikunjungi oleh lebih dari $100$ pengunjung/hari dalam satu tahun. Ia memilih $12$ hari secara acak dan mendapatkan informasi terkait banyaknya pengunjung situs pada hari-hari tersebut.
$$\begin{array}{cc} \hline 100 & 101 & 95 & 77 & 87 & 130 \\ 120 & 105 & 110 & 120 & 99 & 103 \\ \hline \end{array}$$Dengan menggunakan taraf signifikansi $10\%,$ ujilah dugaan bahwa situs narablog tersebut dikunjungi oleh tidak lebih dari $100$ pengunjung.
Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya pengunjung situs narablog tersebut per hari. Diketahui $\mu_0=100,$ $n = 12,$ dan $\alpha = 10\% = 0,\!1.$ Lebih lanjut, dapat dicari nilai $\overline{x} \approx 103,\!9167$ dan $s \approx 14,\!6936.$ Ini merupakan kasus uji rata-rata satu populasi yang varians populasinya tidak diketahui. Oleh karena itu, akan digunakan uji-$t.$
Rumusan hipotesis:
Parameter populasi yang akan diuji adalah $\mu,$ yaitu rata-rata banyaknya pengunjung situs narablog tersebut per hari.
$$\begin{array}{cc} \text{Hipotesis nol} & H_0: \mu \le 100. \\ \text{Hipotesis alternatif} & H_1: \mu > 100. \\ \end{array}$$Statistik uji:
$$t_{\text{hitung}} = \dfrac{\overline{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}} = \dfrac{103,\!9167-100}{14,\!6936/\sqrt{12}} \approx 0,\!923.$$Daerah kritis:
Perhatikan bahwa uji yang dilakukan merupakan uji satu arah (kanan). Dengan menggunakan tabel-$t,$ nilai-$t$ dengan $\alpha = 0,\!1$ dan derajat kebebasan $\text{dk} = n-1=12-1=11$ adalah $t_{\text{tabel}} = t_{0,1;~ 11} \approx 1,\!363.$ Dengan demikian, daerah kritis terletak di $t > 1,\!363.$
Keputusan:
Karena $t_{\text{hitung}} = 0,\!923 < 1,\!363 = t_{\text{tabel}},$ disimpulkan bahwa statistik uji tidak jatuh pada daerah kritis. Dengan demikian, $H_0$ tidak ditolak.
Kesimpulan:
Jadi, dugaan bahwa situs narablog tersebut dikunjungi oleh tidak lebih dari $100$ pengunjung benar adanya.
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Penaksiran Rata-Rata Satu Populasi
Soal Nomor 9
Petugas parkir kampus melakukan pengamatan dengan menghitung banyaknya mahasiswa yang memakai sepeda ke kampus. Pengamatan dilakukan selama $20$ hari kerja dan dicatat dalam tabel berikut.
$$\begin{array}{cc} \hline 27 & 39 & 33 & 32 & 31 \\ 42 & 38 & 43 & 38 & 35 \\ 40 & 34 & 42 & 36 & 36 \\ 40 & 37 & 38 & 41 & 43 \\ \hline \end{array}$$Pengamatan tersebut dilakukan terhadap mahasiswa dalam rangka untuk mengecek apakah imbauan untuk menggunakan sepeda sudah terpenuhi, yaitu lebih dari $40$ mahasiswa/hari. Dengan menggunakan taraf signifikansi $5\%,$ ujilah hipotesis terkait terpenuhinya imbauan tersebut.
Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya mahasiswa yang menggunakan sepeda ke kampus per hari. Diketahui $\mu_0=40,$ $n = 20,$ dan $\alpha = 5\% = 0,\!05.$ Lebih lanjut, dapat dicari nilai $\overline{x} = 37,\!25$ dan $s \approx 4,\!3149.$ Ini merupakan kasus uji rata-rata satu populasi yang varians populasinya tidak diketahui. Oleh karena itu, akan digunakan uji-$t.$
Rumusan hipotesis:
Parameter populasi yang akan diuji adalah $\mu,$ yaitu rata-rata banyaknya mahasiswa yang menggunakan sepeda ke kampus per hari.
$$\begin{array}{cc} \text{Hipotesis nol} & H_0: \mu \le 40. \\ \text{Hipotesis alternatif} & H_1: \mu > 40. \\ \end{array}$$Statistik uji:
$$t_{\text{hitung}} = \dfrac{\overline{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}} = \dfrac{37,\!25-40}{4,\!3149/\sqrt{20}} \approx -2,\!85.$$Daerah kritis:
Perhatikan bahwa uji yang dilakukan merupakan uji satu arah (kanan). Dengan menggunakan tabel-$t,$ nilai-$t$ dengan $\alpha = 0,\!05$ dan derajat kebebasan $\text{dk} = n-1=20-1=19$ adalah $t_{\text{tabel}} = t_{0,\!05;~ 19} \approx 1,\!729.$ Dengan demikian, daerah kritis terletak di $t > 1,\!729.$
Keputusan:
Karena $t_{\text{hitung}} = -2,\!85 < 1,\!729 = t_{\text{tabel}},$ disimpulkan bahwa statistik uji tidak jatuh pada daerah kritis. Dengan demikian, $H_0$ tidak ditolak.
Kesimpulan:
Jadi, imbauan untuk menggunakan sepeda ke kampus sudah terpenuhi.
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Penaksiran Selisih Rata-Rata Dua Populasi Bebas
no 2 bukannya (42-46)/(11,9*sqrt(12)) = -0,09703 ya? kenapa bisa jadi -1,16?
Halo, Kak. Itu $11,\!9 / \sqrt{12}$ yaa. Penyebutnya, itu dibagi, bukan dikali.
Manteppp
keren inii
Bagus dan lengkap