Materi, Soal, dan Pembahasan – Bilangan Prima

Diketahui $10$ bilangan prima pertama adalah
$$2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.$$Rata-ratanya diberikan oleh
$$\begin{aligned} x & = \dfrac{2+3+5+7+11+13+17+19+23+29}{10} \\ & = \dfrac{129}{10} \\ & = 12,\!9. \end{aligned}$$Sementara itu, mediannya ditentukan oleh nilai tengah di antara bilangan prima kelima dan keenam, yaitu $y = \dfrac{11+13}{2} = 12.$ Jadi, $$\lceil x \rceil +y = \lceil 12,\!9 \rceil + 12 = 13 + 12 = 25.$$Catatan: Notasi $\lceil x \rceil$ menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar daripada atau sama dengan $x.$
(Jawaban C)

Misalkan $a$ dan $b$ merupakan bilangan prima yang memenuhi $a + b = 99.$ Kombinasi penjumlahan dua bilangan sehingga menghasilkan bilangan ganjil adalah genap + ganjil (atau sebaliknya). Dengan demikian, tepat salah satu di antara $a$ atau $b$ haruslah merupakan bilangan genap. Karena satu-satunya bilangan prima genap adalah $2,$ dua bilangan tersebut pastilah $2$ dan $97.$ Akibatnya, $ab = 2(97) = 194.$
(Jawaban C)

Misalkan $p$ dan $q$ merupakan bilangan prima dengan $p > q$ sehingga $k^2 = p^2 + pq + q^2$ untuk suatu bilangan bulat $k.$ Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} k^2 & = (p+q)^2-pq \\ pq & = (p+q)^2-k^2 \\ pq & = (p+q+k)(p+q-k). \end{aligned}$$Dari persamaan terakhir, tinjau dua kasus sebagai berikut.
Kasus 1:
Persamaan $pq = (p+q+k)(p+q-k)$ membuat $p+q+k=p$ dan $p+q-k = q.$ Namun, ini berakibat $q+k=0$ dan $p-k=0$ sehingga $p+q=0.$ Padahal, $p$ dan $q$ merupakan bilangan prima sehingga jumlah keduanya tidak mungkin sama dengan $0.$ Jadi, kasus pertama tidak menghasilkan solusi.
Kasus 2:
Persamaan $pq = (p+q+k)(p+q-k)$ membuat $p+q+k=pq$ dan $p+q-k = 1.$ Dari sini, didapat
$$\begin{aligned} 2p + 2q & = pq + 1 \\ pq-2p-2q+1 & = 0 \\ (p-2)(q-2) & = 3. \end{aligned}$$Karena $p$ dan $q$ prima dengan $p>q,$ persamaan terakhir hanya terpenuhi saat $p = 5$ dan $q = 3.$ Jadi, satu-satunya solusi dari kasus kedua adalah $(p, q) = (5, 3).$
Jadi, banyaknya pasangan $(p, q)$ yang memenuhi kondisi tersebut adalah $\boxed{1}.$
(Jawaban B)

Dengan menggunakan metode kontradiksi, andaikan terdapat sejumlah bilangan bulat positif yang lebih besar daripada $1,$ tetapi tidak memiliki pembagi prima. Definisikan $S$ sebagai himpunan yang memuat bilangan-bilangan tersebut. Jelas bahwa $S \subseteq \mathbb{Z}^+$ dan $S \neq \emptyset$ berdasarkan pengandaian tadi. Artinya, $S$ terurut dengan baik sehingga berdasarkan definisi, $S$ memiliki elemen terkecil, katakanlah $n.$

Pandang bilangan bulat $a$ dengan $1 < a < n$ sehingga $a \mid n.$ Karena $a < n,$ haruslah $a \notin S.$ Namun, ini berarti $a$ memiliki pembagi prima, sebutlah $p,$ sehingga $p \mid a.$ Karena $p \mid a$ dan $a \mid n,$ haruslah $p \mid n$ berdasarkan teorema keterbagian. Hal ini kontradiktif dengan fakta bahwa $n$ tidak memiliki pembagi prima. Jadi, pengandaian salah. Disimpulkan bahwa setiap bilangan bulat positif yang lebih besar daripada $1$ pasti memiliki setidaknya satu pembagi prima. $\blacksquare$

Dengan menggunakan metode kontradiksi, andaikan ada berhingga banyaknya bilangan prima, yaitu $p_1, p_2, \cdots, p_n$ dengan $n$ merupakan bilangan bulat positif. Pandangan $Q_n$ sebagai hasil kali dari $n$ bilangan prima tersebut, kemudian ditambah $1,$ atau ditulis
$$Q_n = p_1p_2\cdots p_n + 1.$$Karena $Q_n > 1,$ haruslah $Q_n$ memiliki pembagi prima, katakanlah $q.$ Dalam hal ini, akan ditunjukkan bahwa $q$ merupakan bilangan prima yang tidak terdaftar sebelumnya. Untuk mencapai hal tersebut, gunakan metode kontradiksi kembali dengan mengandaikan bahwa $q = p_j$ untuk suatu $j = 1, 2, \cdots, n.$ Akibatnya,
$$p_j \mid Q_n-p_1p_2\cdots p_n = 1$$karena baik $Q_n$ maupun $p_1p_2\cdots p_n$ keduanya memuat faktor $p_j.$ Namun, ini mengakibatkan $p_j \mid 1.$ Faktanya, tidak ada bilangan prima yang membagi $1.$ Jadi, pengandaian salah. Disimpulkan bahwa $q$ merupakan bilangan prima yang tidak terdaftar sebelumnya. Akibatnya, pengandaian mula-mula juga salah dan berujung pada penarikan kesimpulan terakhir bahwa ada takberhingga banyaknya bilangan prima. $\blacksquare$

Klaim bahwa tidak ada satu pun bilangan prima yang dapat dituliskan sebagai selisih berpangkat empat dari dua bilangan bulat. Bukti diberikan dengan menggunakan metode kontradiksi.
Andaikan terdapat bilangan prima $n = x^4-y^4$ dengan $x, y \in \mathbb{Z}.$ Karena $$n = x^4-y^4 = (x^2 + y^2)(x^2-y^2)$$ dan $n$ prima, haruslah $x^2 + y^2 = n$ dan $x^2-y^2 = 1.$ Kemudian, $x^2-y^2 = (x+y)(x-y) = 1$ yang mengimplikasikan $x+y=x-y=1$ atau $x+y=x-y=-1.$ Kedua kasus tersebut menghasilkan $x = \pm 1$ dan $y = 0.$ Namun, ini mengakibatkan $n = (pm 1)^4-0^4 = 1$ bukanlah bilangan prima. Jadi, pengandaian salah. Disimpulkan bahwa tidak ada satu pun bilangan prima yang dapat dituliskan sebagai selisih berpangkat empat dari dua bilangan bulat. $\blacksquare$

Dengan menggunakan metode kontradiksi, andaikan terdapat bilangan prima $k = n^3+1$ dengan $n \ne 1.$ Karena $k$ prima, $n$ pasti merupakan bilangan bulat positif. Jika tidak, $k \le 1,$ jelas bukan bilangan prima. Perhatikan bahwa
$$k = n^3 + 1 = (n+1)(n^2-n+1)$$sehingga salah satu di antara $n+1$ dan $n^2-n+1$ haruslah sama dengan $1.$ Sementara itu, $n+1 \ne 1$ karena $n$ bulat positif. Akibatnya, ini memaksa $n^2-n+1 = 1.$ Namun, persamaan tersebut mengimplikasikan $n(n-1) = 0$ yang berarti $n = 0$ atau $n = 1.$ Jika $n = 0,$ didapat $k = 0^3+1 = 1$ bukan bilangan prima. Jadi, $n$ haruslah bernilai $1,$ yang kontradiktif dengan asumsi awal bahwa $n \ne 1.$ Jadi, pengandaian salah. Disimpulkan bahwa tidak ada bilangan prima yang dapat dituliskan sebagai $n^3 + 1,$ kecuali $2 = 1^3 + 1.$ $\blacksquare$

Misalkan $p$ dan $q$ adalah bilangan bulat dengan $p \neq q$ serta $p$ prima dan membagi $q.$ Dengan menggunakan metode kontradiksi, andaikan $q$ prima.
Karena $p$ membagi $q,$ ada bilangan bulat $a$ sedemikian sehingga $$q = ap.$$ Karena $p \neq q$, $a$ tidak boleh bernilai $1.$ Perhatikan juga bahwa jika $a = q$, maka $p = 1$, padahal $p$ merupakan bilangan prima. Jadi, haruslah $a \neq q.$ Dengan menggunakan definisi keterbagian, $q = ap$ menunjukkan bahwa $a$ membagi $q.$ Karena $a \neq 1$ dan $a \neq q,$ hal ini mengakibatkan kontradiktif dengan definisi bahwa $p$ merupakan bilangan prima. Jadi, pengandaian salah. Terbukti bahwa jika $p$ dan $q$ adalah bilangan bulat dengan $p \neq q$ serta $p$ prima dan membagi $q,$ maka $q$ bukan prima. $\blacksquare$

Dengan menggunakan metode kontradiksi, andaikan terdapat bilangan prima $p$ sehingga $p+7$ juga prima. Untuk $p = 2,$ hal demikian tidak berlaku karena $2+7=9$ bukan bilangan prima. Tinjau bilangan prima $p > 2.$ Perhatikan bahwa $p$ pastilah merupakan ganjil. Akibatnya, $p+7$ genap (karena ganjil + ganjil = genap). Hal ini kontradiktif dengan fakta bahwa $p+7$ merupakan bilangan prima lebih besar dari dua (yang jelas tidak mungkin genap). Jadi, pengandaian salah. Disimpulkan bahwa untuk semua bilangan prima $p$, $p+7$ merupakan bilangan komposit. $\blacksquare$