Materi, Soal, dan Pembahasan – Bilangan Prima

Bilangan prima (prime number) adalah bilangan bulat positif lebih besar daripada $1$ yang hanya memiliki tepat $2$ pembagi positif, yaitu $1$ dan dirinya sendiri. Sebagai contoh, $11$ merupakan bilangan prima karena hanya memiliki $2$ pembagi positif, yaitu $1$ dan $11.$ Namun, $9$ bukan bilangan prima karena memiliki lebih dari $2$ pembagi positif, yaitu $1, 3,$ dan $9.$ Tujuh bilangan prima pertama adalah $2, 3, 5, 7, 11, 13,$ dan $17.$  Himpunan bilangan prima sering kali disimbolkan dengan notasi $\mathbb{P}.$

Sementara itu, bilangan bulat positif yang lebih besar daripada $1,$ tetapi memiliki lebih dari $2$ pembagi positif disebut sebagai bilangan komposit (composite number). Sebagai contoh, $9$ dan $20$ merupakan bilangan komposit. Dengan definisi tersebut, setiap bilangan bulat positif yang lebih besar daripada $1$ dapat dipartisi dalam $2$ himpunan yang saling lepas, yaitu himpunan bilangan prima dan himpunan bilangan komposit.

Eksistensi bilangan prima menjadi begitu penting dalam kajian teori bilangan sebagai salah satu cabang matematika yang banyak digemari kalangan matematikawan. Eksplorasi terhadap sifat-sifat bilangan prima telah banyak memberikan kontribusi dalam perkembangan teknologi komputer hingga secanggih saat ini. Namun, bilangan prima masih menyimpan banyak misteri. Hal ini dapat diketahui dari banyaknya konjektur (dugaan) yang belum dapat dibuktikan kebenarannya terkait bilangan prima. Salah satu contoh konjektur yang paling terkenal tentang bilangan prima adalah konjektur Goldbach (Goldbach’s conjecture).

Perhatikan bahwa $16, 30,$ dan $100$ dapat dituliskan sebagai penjumlahan dari dua bilangan prima, yaitu sebagai berikut.
$$\begin{aligned} 16 & = 3 + 13 = 5 + 11 \\ 30 & = 7 + 23 = 11 + 19 = 13 + 17 \\ 100 & = 3 + 97 = 11 + 89 = 17 + 83 \\ & = 29 + 71 = 41 + 59 = 47 + 53 \end{aligned}$$Observasi ini membuat kita menduga bahwa bilangan genap positif selalu dapat dituliskan sebagai penjumlahan dari dua bilangan prima. Inilah yang saat ini kita kenal sebagai konjektur Goldbach.

Konjektur Goldbach
Visualisasi konjektur Goldbach (Sumber: https://towardsdatascience.com/)

Konjektur Goldbach menyatakan bahwa setiap bilangan bulat genap positif yang lebih besar daripada $2$ dapat dituliskan sebagai penjumlahan dari dua bilangan prima. Sesuai namanya, konjektur ini diajukan oleh matematikawan Prusia, Christian Goldbach, pada tahun 1742, dengan melibatkan diskusi surat-menyurat bersama Leonhard Euler. Konjektur ini terbukti benar untuk bilangan bulat yang lebih kecil daripada $4 \times 10^8.$ Namun, secara umum, konjektur ini belum dapat dibuktikan kebenarannya untuk setiap bilangan genap positif.

Berikutnya, mari kita bahas sejumlah soal yang berkaitan dengan bilangan prima. Soal-soal berikut diambil dari berbagai sumber, baik dalam negeri maupun luar negeri, yang secara kognitif diperuntukkan untuk siswa tingkat SMA/sederajat atau mahasiswa. Siswa SMP yang memiliki minat untuk berkecimpung dalam lomba matematika juga dapat mencoba mengerjakan soal-soal tersebut.

Quote by Oprah Winfrey

If you look at what you have in life, you’ll always have more. If you look at what you don’t have in life, you’ll never have enough.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1

Misalkan $x$ dan $y$ berturut-turut merupakan rata-rata dan median dari $10$ bilangan prima pertama. Nilai dari $\lceil x \rceil +y$ adalah $\cdots \cdot$
A. $23$                  C. $25$                 E. $27$
B. $24$                  D. $26$

Pembahasan

Diketahui $10$ bilangan prima pertama adalah
$$2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.$$Rata-ratanya diberikan oleh
$$\begin{aligned} x & = \dfrac{2+3+5+7+11+13+17+19+23+29}{10} \\ & = \dfrac{129}{10} \\ & = 12,\!9. \end{aligned}$$Sementara itu, mediannya ditentukan oleh nilai tengah di antara bilangan prima kelima dan keenam, yaitu $y = \dfrac{11+13}{2} = 12.$ Jadi, $$\lceil x \rceil +y = \lceil 12,\!9 \rceil + 12 = 13 + 12 = 25.$$Catatan: Notasi $\lceil x \rceil$ menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar daripada atau sama dengan $x.$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 2

Misalkan $a$ dan $b$ merupakan bilangan prima yang memenuhi $a + b = 99.$ Nilai dari $ab$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $99$                      D. $198$
B. $192$                    E. $225$
C. $194$

Pembahasan

Misalkan $a$ dan $b$ merupakan bilangan prima yang memenuhi $a + b = 99.$ Kombinasi penjumlahan dua bilangan sehingga menghasilkan bilangan ganjil adalah genap + ganjil (atau sebaliknya). Dengan demikian, tepat salah satu di antara $a$ atau $b$ haruslah merupakan bilangan genap. Karena satu-satunya bilangan prima genap adalah $2,$ dua bilangan tersebut pastilah $2$ dan $97.$ Akibatnya, $ab = 2(97) = 194.$
(Jawaban C)

[collapse]

Baca Juga: Cara Menentukan Bilangan Prima dengan Menggunakan Saringan Eratosthenes

Soal Nomor 3

Misalkan $p$ dan $q$ merupakan bilangan prima dengan $p > q$ sehingga $p^2 + pq + q^2$ merupakan bilangan kuadrat. Banyaknya pasangan $(p, q)$ yang memenuhi kondisi tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $0$                      C. $2$                    E. $5$
B. $1$                      D. $3$

Pembahasan

Misalkan $p$ dan $q$ merupakan bilangan prima dengan $p > q$ sehingga $k^2 = p^2 + pq + q^2$ untuk suatu bilangan bulat $k.$ Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} k^2 & = (p+q)^2-pq \\ pq & = (p+q)^2-k^2 \\ pq & = (p+q+k)(p+q-k). \end{aligned}$$Dari persamaan terakhir, tinjau dua kasus sebagai berikut.
Kasus 1:
Persamaan $pq = (p+q+k)(p+q-k)$ membuat $p+q+k=p$ dan $p+q-k = q.$ Namun, ini berakibat $q+k=0$ dan $p-k=0$ sehingga $p+q=0.$ Padahal, $p$ dan $q$ merupakan bilangan prima sehingga jumlah keduanya tidak mungkin sama dengan $0.$ Jadi, kasus pertama tidak menghasilkan solusi.
Kasus 2:
Persamaan $pq = (p+q+k)(p+q-k)$ membuat $p+q+k=pq$ dan $p+q-k = 1.$ Dari sini, didapat
$$\begin{aligned} 2p + 2q & = pq + 1 \\ pq-2p-2q+1 & = 0 \\ (p-2)(q-2) & = 3. \end{aligned}$$Karena $p$ dan $q$ prima dengan $p>q,$ persamaan terakhir hanya terpenuhi saat $p = 5$ dan $q = 3.$ Jadi, satu-satunya solusi dari kasus kedua adalah $(p, q) = (5, 3).$
Jadi, banyaknya pasangan $(p, q)$ yang memenuhi kondisi tersebut adalah $\boxed{1}.$
(Jawaban B)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 1

Buktikan bahwa setiap bilangan bulat positif yang lebih besar daripada $1$ pasti memiliki setidaknya satu pembagi prima.

Pembahasan

Dengan menggunakan metode kontradiksi, andaikan terdapat sejumlah bilangan bulat positif yang lebih besar daripada $1,$ tetapi tidak memiliki pembagi prima. Definisikan $S$ sebagai himpunan yang memuat bilangan-bilangan tersebut. Jelas bahwa $S \subseteq \mathbb{Z}^+$ dan $S \neq \emptyset$ berdasarkan pengandaian tadi. Artinya, $S$ terurut dengan baik sehingga berdasarkan definisi, $S$ memiliki elemen terkecil, katakanlah $n.$

Pandang bilangan bulat $a$ dengan $1 < a < n$ sehingga $a \mid n.$ Karena $a < n,$ haruslah $a \notin S.$ Namun, ini berarti $a$ memiliki pembagi prima, sebutlah $p,$ sehingga $p \mid a.$ Karena $p \mid a$ dan $a \mid n,$ haruslah $p \mid n$ berdasarkan teorema keterbagian. Hal ini kontradiktif dengan fakta bahwa $n$ tidak memiliki pembagi prima. Jadi, pengandaian salah. Disimpulkan bahwa setiap bilangan bulat positif yang lebih besar daripada $1$ pasti memiliki setidaknya satu pembagi prima. $\blacksquare$

[collapse]

Baca Juga: Materi, Soal, dan Pembahasan – Pembuktian dengan Menggunakan Kontradiksi 

Soal Nomor 2

Ada takberhingga banyaknya bilangan prima.

Pembahasan

Dengan menggunakan metode kontradiksi, andaikan ada berhingga banyaknya bilangan prima, yaitu $p_1, p_2, \cdots, p_n$ dengan $n$ merupakan bilangan bulat positif. Pandangan $Q_n$ sebagai hasil kali dari $n$ bilangan prima tersebut, kemudian ditambah $1,$ atau ditulis
$$Q_n = p_1p_2\cdots p_n + 1.$$Karena $Q_n > 1,$ haruslah $Q_n$ memiliki pembagi prima, katakanlah $q.$ Dalam hal ini, akan ditunjukkan bahwa $q$ merupakan bilangan prima yang tidak terdaftar sebelumnya. Untuk mencapai hal tersebut, gunakan metode kontradiksi kembali dengan mengandaikan bahwa $q = p_j$ untuk suatu $j = 1, 2, \cdots, n.$ Akibatnya,
$$p_j \mid Q_n-p_1p_2\cdots p_n = 1$$karena baik $Q_n$ maupun $p_1p_2\cdots p_n$ keduanya memuat faktor $p_j.$ Namun, ini mengakibatkan $p_j \mid 1.$ Faktanya, tidak ada bilangan prima yang membagi $1.$ Jadi, pengandaian salah. Disimpulkan bahwa $q$ merupakan bilangan prima yang tidak terdaftar sebelumnya. Akibatnya, pengandaian mula-mula juga salah dan berujung pada penarikan kesimpulan terakhir bahwa ada takberhingga banyaknya bilangan prima. $\blacksquare$

[collapse]

Soal Nomor 3

Tentukan semua bilangan prima yang dapat dituliskan sebagai selisih berpangkat empat dari dua bilangan bulat.

Pembahasan

Klaim bahwa tidak ada satu pun bilangan prima yang dapat dituliskan sebagai selisih berpangkat empat dari dua bilangan bulat. Bukti diberikan dengan menggunakan metode kontradiksi.
Andaikan terdapat bilangan prima $n = x^4-y^4$ dengan $x, y \in \mathbb{Z}.$ Karena $$n = x^4-y^4 = (x^2 + y^2)(x^2-y^2)$$ dan $n$ prima, haruslah $x^2 + y^2 = n$ dan $x^2-y^2 = 1.$ Kemudian, $x^2-y^2 = (x+y)(x-y) = 1$ yang mengimplikasikan $x+y=x-y=1$ atau $x+y=x-y=-1.$ Kedua kasus tersebut menghasilkan $x = \pm 1$ dan $y = 0.$ Namun, ini mengakibatkan $n = (pm 1)^4-0^4 = 1$ bukanlah bilangan prima. Jadi, pengandaian salah. Disimpulkan bahwa tidak ada satu pun bilangan prima yang dapat dituliskan sebagai selisih berpangkat empat dari dua bilangan bulat. $\blacksquare$

[collapse]

Soal Nomor 4

Tunjukkan bahwa tidak ada bilangan prima yang dapat dituliskan sebagai $n^3 + 1,$ kecuali $2 = 1^3 + 1.$

Pembahasan

Dengan menggunakan metode kontradiksi, andaikan terdapat bilangan prima $k = n^3+1$ dengan $n \ne 1.$ Karena $k$ prima, $n$ pasti merupakan bilangan bulat positif. Jika tidak, $k \le 1,$ jelas bukan bilangan prima. Perhatikan bahwa
$$k = n^3 + 1 = (n+1)(n^2-n+1)$$sehingga salah satu di antara $n+1$ dan $n^2-n+1$ haruslah sama dengan $1.$ Sementara itu, $n+1 \ne 1$ karena $n$ bulat positif. Akibatnya, ini memaksa $n^2-n+1 = 1.$ Namun, persamaan tersebut mengimplikasikan $n(n-1) = 0$ yang berarti $n = 0$ atau $n = 1.$ Jika $n = 0,$ didapat $k = 0^3+1 = 1$ bukan bilangan prima. Jadi, $n$ haruslah bernilai $1,$ yang kontradiktif dengan asumsi awal bahwa $n \ne 1.$ Jadi, pengandaian salah. Disimpulkan bahwa tidak ada bilangan prima yang dapat dituliskan sebagai $n^3 + 1,$ kecuali $2 = 1^3 + 1.$ $\blacksquare$

[collapse]

Soal Nomor 5

Buktikan bahwa jika $p$ dan $q$ adalah bilangan bulat dengan $p \neq q$ serta $p$ prima dan membagi $q,$ maka $q$ bukan prima.

Pembahasan

Misalkan $p$ dan $q$ adalah bilangan bulat dengan $p \neq q$ serta $p$ prima dan membagi $q.$ Dengan menggunakan metode kontradiksi, andaikan $q$ prima.
Karena $p$ membagi $q,$ ada bilangan bulat $a$ sedemikian sehingga $$q = ap.$$ Karena $p \neq q$, $a$ tidak boleh bernilai $1.$ Perhatikan juga bahwa jika $a = q$, maka $p = 1$, padahal $p$ merupakan bilangan prima. Jadi, haruslah $a \neq q.$ Dengan menggunakan definisi keterbagian, $q = ap$ menunjukkan bahwa $a$ membagi $q.$ Karena $a \neq 1$ dan $a \neq q,$ hal ini mengakibatkan kontradiktif dengan definisi bahwa $p$ merupakan bilangan prima. Jadi, pengandaian salah. Terbukti bahwa jika $p$ dan $q$ adalah bilangan bulat dengan $p \neq q$ serta $p$ prima dan membagi $q,$ maka $q$ bukan prima. $\blacksquare$

[collapse]

Soal Nomor 6

Buktikan bahwa untuk semua bilangan prima $p$, $p+7$ merupakan bilangan komposit.
Catatan: Bilangan komposit merupakan bilangan bulat positif $> 2$ yang bukan prima.

Pembahasan

Dengan menggunakan metode kontradiksi, andaikan terdapat bilangan prima $p$ sehingga $p+7$ juga prima. Untuk $p = 2,$ hal demikian tidak berlaku karena $2+7=9$ bukan bilangan prima. Tinjau bilangan prima $p > 2.$ Perhatikan bahwa $p$ pastilah merupakan ganjil. Akibatnya, $p+7$ genap (karena ganjil + ganjil = genap). Hal ini kontradiktif dengan fakta bahwa $p+7$ merupakan bilangan prima lebih besar dari dua (yang jelas tidak mungkin genap). Jadi, pengandaian salah. Disimpulkan bahwa untuk semua bilangan prima $p$, $p+7$ merupakan bilangan komposit. $\blacksquare$

[collapse]