Soal dan Pembahasan – Aproksimasi Kuadrat Terkecil

Aproksimasi kuadrat terkecil (least squares approximation) adalah teknik dalam aljabar linear yang digunakan untuk menemukan solusi terbaik yang mendekati serangkaian data dengan galat sekecil mungkin. Tujuan utamanya adalah untuk menemukan struktur yang paling cocok dengan data yang diberikan, meskipun struktur ersebut mungkin tidak sepenuhnya merepresentasikan data tersebut dengan sempurna. Untuk memecahkan masalah terkait aproksimasi tersebut, kita dapat menggunakan pendekatan aljabar linear dengan menerapkan metode kuadrat terkecil untuk mencari solusi terbaik.

Penerapan aproksimasi kuadrat terkecil sangat luas. Fisika dan teknik menjadi dua bidang yang banyak menerapkan teknik tersebut. Manusia dapat menggunakan model matematika untuk memprediksi pergerakan benda atau fenomena alam, hingga ekonomi dan ilmu sosial, termasuk mengestimasi tren pasar atau pola perilaku manusia. Dengan alat ini, manusia dapat mengambil data yang kompleks dan menemukan pola atau hubungan yang berharga berdasarkan informasi yang diberikan.

Berikut ini telah disertakan sejumlah soal dan pembahasan terkait aproksimasi kuadrat terkecil. Semoga dapat menjadi salah satu sumber belajar. Sebagai informasi, kami juga menyediakan paket soal premium yang diintegrasikan dalam satu folder Drive. Folder tersebut berisi ratusan paket soal dari situs web mathcyber1997.com. Jika berminat, silakan daftar melalui tautan . Pantau juga informasi dari kanal Telegram kami di t.me/Akses_Soal.


Today Quote

Manusia diciptakan untuk berguna, bukan sempurna.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1

Di antara lima opsi persamaan garis berikut, manakah yang memberikan nilai galat kuadrat terkecil paling kecil untuk pasangan data $(1, 2),$ $(2, 2),$ dan $(3, 4)?$
A. $y = 1 + x$
B. $y = 1 -x$
C. $y = -2-2x$
D. $y = x$
E. $y = \dfrac23 + x$

Pembahasan

Misalkan $\lVert \textbf{e} \rVert$ menyatakan besar galat kuadrat terkecil dengan $\textbf{e} = (\epsilon_1, \epsilon_2, \epsilon_3).$ Ini berarti, $\lVert \textbf{e} \rVert = \sqrt{\epsilon_1^2 + \epsilon_2^2 + \epsilon_3^2}.$
Cek opsi A: $y = 1 + x$
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} (1, 2) & \rightarrow \epsilon_1 = |2-(1+1)| = 0 \\ (2, 2) & \rightarrow \epsilon_2 = |2-(1+2)| = 1 \\ (3, 4) & \rightarrow \epsilon_3 = |4-(1+3)| = 0. \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} \lVert \textbf{e} \rVert & = \sqrt{\epsilon_1^2 + \epsilon_2^2 + \epsilon_3^2} \\ & = \sqrt{(0)^2 + (1)^2 + (0)^2} \\ & = 1. \end{aligned}$$Jadi, nilai galat kuadrat terkecil yang diberikan oleh persamaan garis $y=1+x$ adalah $\boxed{1}.$
Cek opsi B: $y = 1 -x$
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} (1, 2) & \rightarrow \epsilon_1 = |2-(1-1)| = 2 \\ (2, 2) & \rightarrow \epsilon_2 = |2-(1-2)| = 3 \\ (3, 4) & \rightarrow \epsilon_3 = |4-(1-3)| = 6. \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} \lVert \textbf{e} \rVert & = \sqrt{\epsilon_1^2 + \epsilon_2^2 + \epsilon_3^2} \\ & = \sqrt{(2)^2 + (3)^2 + (6)^2} \\ & = 7. \end{aligned}$$Jadi, nilai galat kuadrat terkecil yang diberikan oleh persamaan garis $y=1-x$ adalah $\boxed{7}.$
Cek opsi C: $y = -2 -2x$
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} (1, 2) & \rightarrow \epsilon_1 = |2-(-2-2(1))| = 6 \\ (2, 2) & \rightarrow \epsilon_2 = |2-(-2-2(2))| = 8 \\ (3, 4) & \rightarrow \epsilon_3 = |4-(-2-2(3))| = 12. \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} \lVert \textbf{e} \rVert & = \sqrt{\epsilon_1^2 + \epsilon_2^2 + \epsilon_3^2} \\ & = \sqrt{(6)^2 + (8)^2 + (12)^2} \\ & = 2\sqrt{61}. \end{aligned}$$Jadi, nilai galat kuadrat terkecil yang diberikan oleh persamaan garis $y=-2-2x$ adalah $\boxed{2\sqrt{61}}.$
Cek opsi D: $y = x$
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} (1, 2) & \rightarrow \epsilon_1 = |2-1| = 1 \\ (2, 2) & \rightarrow \epsilon_2 = |2-2| = 0 \\ (3, 4) & \rightarrow \epsilon_3 = |4-3| = 1. \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} \lVert \textbf{e} \rVert & = \sqrt{\epsilon_1^2 + \epsilon_2^2 + \epsilon_3^2} \\ & = \sqrt{(1)^2 + (0)^2 + (1)^2} \\ & = \sqrt2. \end{aligned}$$Jadi, nilai galat kuadrat terkecil yang diberikan oleh persamaan garis $y=x$ adalah $\boxed{\sqrt2}.$
Cek opsi E: $y = \dfrac23 + x$
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} (1, 2) & \rightarrow \epsilon_1 = |2-\left(\dfrac23+1\right)| = \dfrac13 \\ (2, 2) & \rightarrow \epsilon_2 = |2-\left(\dfrac23+2\right)| = \dfrac23 \\ (3, 4) & \rightarrow \epsilon_3 = |4-\left(\dfrac23+3\right)| = \dfrac13. \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} \lVert \textbf{e} \rVert & = \sqrt{\epsilon_1^2 + \epsilon_2^2 + \epsilon_3^2} \\ & = \sqrt{\left(\dfrac13\right)^2 + \left(\dfrac23\right)^2 + \left(\dfrac13\right)^2} \\ & = \dfrac13\sqrt6. \end{aligned}$$Jadi, nilai galat kuadrat terkecil yang diberikan oleh persamaan garis $y=\dfrac23+x$ adalah $\boxed{\dfrac13\sqrt6}.$


Secara geometris, kelima persamaan garis tersebut memiliki grafik sebagai berikut.Aproksimasi kuadrat terkecil

Dari perhitungan di atas, diketahui bahwa $$\dfrac13\sqrt6 < 1 < \sqrt2 < 7 < 2\sqrt{61}.$$Jadi, persamaan garis yang memberikan nilai galat kuadrat terkecil paling kecil untuk pasangan data $(1, 2),$ $(2, 2),$ dan $(3, 4)$ adalah $\boxed{y = \dfrac23 + x}.$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 2

Diketahui persamaan $$\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \textbf{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}.$$Besar galat kuadrat terkecil sebagai akibat dari aproksimasi solusi untuk $\textbf{x}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac45\sqrt2$
B. $\dfrac25\sqrt5$
C. $\dfrac45\sqrt5$
D. $\dfrac65\sqrt5$
E. $\dfrac54\sqrt5$

Pembahasan

Misalkan $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$ dan $\text{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}.$ Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} A^TA & = \begin{pmatrix} 2 & 4 & -2 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 24 & 8 \\ 8 & 6 \end{pmatrix} \end{aligned}$$dan
$$\begin{aligned} A^T\textbf{b} & = \begin{pmatrix} 2 & 4 & -2 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 12 \\ 8 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$Dengan demikian, sistem normal yang berasosiasi dengan sistem linear tersebut adalah
$$A^TA\textbf{x} = \textbf{b} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 24 & 8 \\ 8 & 6 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 12 \\ 8 \end{pmatrix}.$$Selanjutnya, kita perlu mencari nilai $x_1$ dan $x_2$ yang memenuhi sistem persamaan
$$\begin{cases} 24x_1 +8x_2 = 12 \\ 8x_1 + 6x_2 = 8. \end{cases}$$Dengan menggunakan berbagai metode penyelesaian sistem linear, diperoleh $x_1 = \dfrac{1}{10}$ dan $x_2 = \dfrac{6}{5}.$ Jadi, solusi kuadrat terkecil dari persamaan linear $A\textbf{x} = \textbf{b}$ tersebut adalah $\textbf{x} = \begin{pmatrix} \frac{1}{10} \\ \frac65 \end{pmatrix}.$ Lebih lanjut, vektor galat kuadrat terkecil $\textbf{e} = \textbf{b}-A\textbf{x}$ adalah
$$\begin{aligned} \textbf{e} & = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{10} \\ \frac65 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \frac{7}{5} \\ \frac{14}{5} \\ 1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} \frac{8}{5} \\ -\frac{4}{5} \\ 0 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$Ini berarti, besar galat kuadrat terkecilnya adalah
$$\lVert \textbf{e} \rVert = \sqrt{\left(\dfrac85\right)^2 + \left(-\dfrac45\right)^2 + 0^2} = \dfrac45\sqrt5.$$(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 3

Persamaan linear yang memberikan aproksimasi kuadrat terkecil untuk pasangan titik $(0, 0),$ $(1, 2),$ dan $(2, 7)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $y = -\dfrac12 + \dfrac72x$
B. $y = -\dfrac12-\dfrac72x$
C. $y = \dfrac12 + \dfrac72x$
D. $y = \dfrac12-\dfrac72x$
E. $y = -1+7x$

Pembahasan

Misalkan persamaan linear yang memberikan aproksimasi kuadrat terkecil untuk pasangan data tersebut adalah $y = a + bx.$ Substitusi nilai $x$ dan $y$ untuk masing-masing titik akan menghasilkan
$$\begin{aligned} (0, 0) & \rightarrow 0=a \\ (1, 2) & \rightarrow 2 = a+b \\ (2, 7) & \rightarrow 7 = a+2b. \end{aligned}$$Dengan demikian, kita memperoleh persamaan matriks $A\textbf{x} = \textbf{b}$ dengan
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}, \textbf{x} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}, \textbf{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix}.$$Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} A^TA & = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} \end{aligned}$$dan
$$\begin{aligned} A^T\textbf{b} & = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 9 \\ 16 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$Dengan demikian, sistem normal yang berasosiasi dengan sistem linear tersebut adalah
$$A^TA\textbf{x} = \textbf{b} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 9 \\ 16 \end{pmatrix}.$$Selanjutnya, kita perlu mencari nilai $a$ dan $b$ yang memenuhi sistem persamaan
$$\begin{cases} 3a+3b & = 9 \\ 3a+5b & = 16 \end{cases}$$Dengan menggunakan berbagai metode penyelesaian sistem linear, diperoleh $a = -\dfrac12$ dan $b = \dfrac72.$ Jadi, persamaan linear yang memberikan aproksimasi kuadrat terkecil untuk pasangan titik $(0, 0),$ $(1, 2),$ dan $(2, 7)$ adalah $\boxed{y = -\dfrac12 + \dfrac72x}.$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 4

Persamaan linear yang memberikan aproksimasi kuadrat terkecil untuk pasangan titik $(0, 1),$ $(2, 0),$ $(3, 1),$ dan $(3, 2)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $y = \dfrac16 + \dfrac23x$
B. $y = \dfrac23- \dfrac16x$
C. $y = -\dfrac23-\dfrac16x$
D. $y = -\dfrac23 + \dfrac16x$
E. $y = \dfrac23 + \dfrac16x$

Pembahasan

Misalkan persamaan linear yang memberikan aproksimasi kuadrat terkecil untuk pasangan data tersebut adalah $y = a + bx.$ Substitusi nilai $x$ dan $y$ untuk masing-masing titik akan menghasilkan
$$\begin{aligned} (0, 1) & \rightarrow 1=a \\ (2, 0) & \rightarrow 0 = a+2b \\ (3, 1) & \rightarrow 1 = a+3b \\ (3, 2) & \rightarrow 2 = a + 3b. \end{aligned}$$Dengan demikian, kita memperoleh persamaan matriks $A\textbf{x} = \textbf{b}$ dengan
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \\ 1 & 3 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}, \textbf{x} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}, \textbf{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}.$$Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} A^TA & = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 3 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \\ 1 & 3 \\ 1 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 8 \\ 8 & 22 \end{pmatrix} \end{aligned}$$dan
$$\begin{aligned} A^T\textbf{b} & = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 3 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 4 \\ 9 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$Dengan demikian, sistem normal yang berasosiasi dengan sistem linear tersebut adalah
$$A^TA\textbf{x} = \textbf{b} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 4 & 8 \\ 8 & 22\end{pmatrix}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 \\ 9 \end{pmatrix}.$$Selanjutnya, kita perlu mencari nilai $a$ dan $b$ yang memenuhi sistem persamaan
$$\begin{cases} 4a+8b & = 4 \\ 8a+22b & = 9 \end{cases}$$Dengan menggunakan berbagai metode penyelesaian sistem linear, diperoleh $a = \dfrac23$ dan $b = \dfrac16.$ Jadi, persamaan linear yang memberikan aproksimasi kuadrat terkecil untuk pasangan titik $(0, 1),$ $(2, 0),$ $(3, 1),$ dan $(3, 2)$ adalah $\boxed{y = \dfrac23 + \dfrac16x}.$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 5

Persamaan kuadrat yang memberikan aproksimasi kuadrat terkecil untuk pasangan titik $(-1, 1),$ $(0, -1),$ $(1, 0),$ dan $(2, 2)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $y = -\dfrac{7}{10}-\dfrac35x+x^2$
B. $y = -\dfrac{7}{10}+\dfrac35x+x^2$
C. $y = -\dfrac{7}{10}+\dfrac35x-x^2$
D. $y = \dfrac{7}{10}-\dfrac35x+x^2$
E. $y = \dfrac{7}{10}+\dfrac35x+x^2$

Pembahasan

Misalkan persamaan kuadrat yang memberikan aproksimasi kuadrat terkecil untuk pasangan data tersebut adalah $y = a + bx + cx^2.$ Substitusi nilai $x$ dan $y$ untuk masing-masing data akan menghasilkan
$$\begin{aligned} (-1, 1) & \rightarrow 1=a-b+c \\ (0, -1) & \rightarrow -1 = a \\ (1, 0) & \rightarrow 0 = a+b+c \\ (2, 2) & \rightarrow 2 = a + 2b + 4c. \end{aligned}$$Dengan demikian, kita memperoleh persamaan matriks $A\textbf{x} = \textbf{b}$ dengan
$$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix}, \textbf{x} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}, \textbf{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}.$$Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} A^TA & = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 6 \\ 2 & 6 & 8 \\ 6 & 8 & 18 \end{pmatrix} \end{aligned}$$dan
$$\begin{aligned} A^T\textbf{b} & = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 9 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$Dengan demikian, sistem normal yang berasosiasi dengan persamaan matriks tersebut adalah
$$A^TA\textbf{x} = \textbf{b} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 4 & 2 & 6 \\ 2 & 6 & 8 \\ 6 & 8 & 18\end{pmatrix}\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 9\end{pmatrix}.$$Selanjutnya, kita perlu mencari nilai $a, b,$ dan $c$ yang memenuhi sistem persamaan
$$\begin{cases} 4a+2b+6c & = 2 \\ 2a+6b+8c & = 3 \\ 6a+8b+18c & = 9 \end{cases}$$Dengan menggunakan berbagai metode penyelesaian sistem linear, diperoleh $a = -\dfrac{7}{10},$ $b = -\dfrac35,$ dan $c = 1.$
Jadi, persamaan kuadrat yang memberikan aproksimasi kuadrat terkecil untuk pasangan titik $(-1, 1),$ $(0, -1),$ $(1, 0),$ dan $(2, 2)$ adalah $\boxed{y = -\dfrac{7}{10}-\dfrac35x+x^2}.$
(Jawaban A)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 1

Tentukan sistem normal yang berasosiasi dengan sistem linear berikut.
$$\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}$$

Pembahasan

Misalkan $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$ dan $\text{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}.$ Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} A^TA & = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ -1 & 3 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 21 & 25 \\ 25 & 35 \end{pmatrix} \end{aligned}$$dan
$$\begin{aligned} A^T\textbf{b} & = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ -1 & 3 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 20 \\ 20 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$Dengan demikian, sistem normal yang berasosiasi dengan sistem linear tersebut adalah
$$A^TA\textbf{x} = \textbf{b} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 21 & 25 \\ 25 & 35 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 20 \end{pmatrix}.$$

[collapse]

Soal Nomor 2

Tentukan sistem normal yang berasosiasi dengan sistem linear berikut.
$$\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 3 & 1 & 2 \\ -1 & 4 & 5 \\ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$$

Pembahasan

Misalkan $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 3 & 1 & 2 \\ -1 & 4 & 5 \\ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix}$ dan $\textbf{b} =\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}.$ Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} A^TA & = \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 4 & 2 \\ 0 & 2 & 5 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 3 & 1 & 2 \\ -1 & 4 & 5 \\ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 15 & -1 & 5 \\ -1 & 22 & 30 \\ 5 & 30 & 45 \end{pmatrix} \end{aligned}$$dan $$\begin{aligned} A^T\textbf{b} & = \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 4 & 2 \\ 0 & 2 & 5 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} -1 \\ 9 \\ 13 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$Dengan demikian, sistem normal yang berasosiasi dengan sistem linear tersebut adalah
$$A^TA\textbf{x} = \textbf{b} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 15 & -1 & 5 \\ -1 & 22 & 30 \\ 5 & 30 & 45 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ 9 \\ 13 \end{pmatrix}.$$

[collapse]

Soal Nomor 3

Tentukan solusi kuadrat terkecil dari persamaan linear $A\textbf{x} = \textbf{b}$ berikut.
$$\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}$$Kemudian, tentukan vektor galat kuadrat terkecil $\textbf{e} = \textbf{b}-A\textbf{x}$ sebagai akibat dari aproksimasi solusi $\textbf{x}.$

Pembahasan

Berdasarkan jawaban soal nomor 1, sistem normal yang berasosiasi dengan sistem tersebut adalah $$A^TA\textbf{x} = \textbf{b} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 21 & 25 \\ 25 & 35 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 20 \end{pmatrix}.$$Ini berarti, kita hanya perlu mencari nilai $x_1$ dan $x_2$ yang memenuhi sistem persamaan
$$\begin{cases} 21x_1 + 25x_2 = 20 \\ 25x_1 + 35x_2 = 20. \end{cases}$$Dengan menggunakan berbagai metode penyelesaian sistem linear, diperoleh $x_1 = \dfrac{20}{11}$ dan $x_2 = -\dfrac{8}{11}.$ Jadi, solusi kuadrat terkecil dari persamaan linear $A\textbf{x} = \textbf{b}$ tersebut adalah $\textbf{x} = \begin{pmatrix} \frac{20}{11} \\ -\frac{8}{11} \end{pmatrix}.$ Lebih lanjut, vektor galat kuadrat terkecil $\textbf{e} = \textbf{b}-A\textbf{x}$ adalah
$$\begin{aligned} \textbf{e} & = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{20}{11} \\ -\frac{8}{11} \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \frac{28}{11} \\ \frac{16}{11} \\ \frac{40}{11} \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} -\frac{6}{11} \\ -\frac{27}{11} \\ \frac{15}{11} \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

[collapse]

Soal Nomor 4

Tentukan solusi kuadrat terkecil dari persamaan linear $A\textbf{x} = \textbf{b}$ berikut.
$$\begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 1 & 1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$$Kemudian, tentukan vektor galat kuadrat terkecil $\textbf{e} = \textbf{b}-A\textbf{x}$ sebagai akibat dari aproksimasi solusi $\textbf{x}.$

Pembahasan

Misalkan $A = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 1 & 1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ dan $\text{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}.$ Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} A^TA & = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 1 & 1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 & 0 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} \end{aligned}$$dan
$$\begin{aligned} A^T\textbf{b} & = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ -2 & 1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$Dengan demikian, sistem normal yang berasosiasi dengan sistem linear tersebut adalah
$$A^TA\textbf{x} = \textbf{b} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 14 & 0 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ -4 \end{pmatrix}.$$Selanjutnya, nilai $x_1$ dan $x_2$ yang memenuhi sistem tersebut akan dicari. Karena $A^TA$ merupakan matriks diagonal, perhitungan sederhana akan menghasilkan $x_1 = \dfrac{3}{7}$ dan $x_2 = -\dfrac{2}{3}.$ Jadi, solusi kuadrat terkecil dari persamaan linear $A\textbf{x} = \textbf{b}$ tersebut adalah $\textbf{x} = \begin{pmatrix} \frac{3}{7} \\ -\frac{2}{3} \end{pmatrix}.$ Lebih lanjut, vektor galat kuadrat terkecil $\textbf{e} = \textbf{b}-A\textbf{x}$ adalah
$$\begin{aligned} \textbf{e} & = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 1 & 1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{3}{7} \\ -\frac{2}{3} \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \frac{46}{21} \\ -\frac{5}{21} \\ \frac{13}{21} \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} -\frac{4}{21} \\ -\frac{16}{21} \\ \frac{8}{21} \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

[collapse]

Soal Nomor 5

Tentukan solusi kuadrat terkecil dari persamaan linear $A\textbf{x} = \textbf{b}$ berikut.
$$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ -7 \end{pmatrix}$$Kemudian, tentukan vektor galat kuadrat terkecil $\textbf{e} = \textbf{b}-A\textbf{x}$ sebagai akibat dari aproksimasi solusi $\textbf{x}.$

Pembahasan

Misalkan $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ dan $\text{b} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ -7 \end{pmatrix}.$ Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} A^TA & = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -2 & 6 \end{pmatrix} \end{aligned}$$dan
$$\begin{aligned} A^T\textbf{b} & = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ -7 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 14 \\ -7 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$Dengan demikian, sistem normal yang berasosiasi dengan sistem linear tersebut adalah
$$A^TA\textbf{x} = \textbf{b} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -2 & 6 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 14 \\ -7 \end{pmatrix}.$$Selanjutnya, kita perlu mencari nilai $x_1$ dan $x_2$ yang memenuhi sistem persamaan
$$\begin{cases} 3x_1 -2x_2 = 14 \\ -2x_1 + 6x_2 = -7. \end{cases}$$Dengan menggunakan berbagai metode penyelesaian sistem linear, diperoleh $x_1 = 5$ dan $x_2 = \dfrac{1}{2}.$ Jadi, solusi kuadrat terkecil dari persamaan linear $A\textbf{x} = \textbf{b}$ tersebut adalah $\textbf{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ \frac12\end{pmatrix}.$ Lebih lanjut, vektor galat kuadrat terkecil $\textbf{e} = \textbf{b}-A\textbf{x}$ adalah
$$\begin{aligned} \textbf{e} & = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ \frac12 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \frac{11}{2} \\ -\frac{9}{2} \\ -4 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} \frac{3}{2} \\ \frac{9}{2} \\ 11 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

[collapse]

Soal Nomor 6

Tentukan solusi kuadrat terkecil dari persamaan linear $A\textbf{x} = \textbf{b}$ berikut.
$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 9 \\ 3 \end{pmatrix}$$Kemudian, tentukan vektor galat kuadrat terkecil $\textbf{e} = \textbf{b}-A\textbf{x}$ sebagai akibat dari aproksimasi solusi $\textbf{x}.$

Pembahasan

Misalkan $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$ dan $\text{b} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 9 \\ 3 \end{pmatrix}.$ Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} A^TA & = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & -2 & 0 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 4 & -6 \\ 4 & 3 & -3 \\ -6 & -3 & 6 \end{pmatrix} \end{aligned}$$dan
$$\begin{aligned} A^T\textbf{b} & = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & -2 & 0 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 9 \\ 3 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 18 \\ 12 \\ -9 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$Dengan demikian, sistem normal yang berasosiasi dengan sistem linear tersebut adalah
$$A^TA\textbf{x} = \textbf{b} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 7 & 4 & -6 \\ 4 & 3 & -3 \\ -6 & -3 & 6 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 18 \\ 12 \\ -9 \end{pmatrix}.$$Selanjutnya, kita perlu mencari nilai $x_1, x_2,$ dan $x_3$ yang memenuhi sistem persamaan
$$\begin{cases} 7x_1+4x_2-6x_3 = 18 \\ 4x_1+3x_2-3x_3 = 12 \\ -6x_1-3x_2+6x_3 = -9. \end{cases}$$Dengan menggunakan berbagai metode penyelesaian sistem linear, diperoleh $x_1 = 12,$ $x_2 = -3,$ dan $x_3 = 9.$ Jadi, solusi kuadrat terkecil dari persamaan linear $A\textbf{x} = \textbf{b}$ tersebut adalah $\textbf{x} = \begin{pmatrix} 12 \\ -3 \\ 9 \end{pmatrix}.$ Lebih lanjut, vektor galat kuadrat terkecil $\textbf{e} = \textbf{b}-A\textbf{x}$ adalah
$$\begin{aligned} \textbf{e} & = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 9 \\ 3 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 12 \\ -3 \\ 9 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 9 \\ 3 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 9 \\ 0 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

[collapse]

Soal Nomor 7

Misalkan Budi berinvestasi dalam emas dan bitcoin. Keuntungan/kerugian total sebagai fungsi dari keuntungan/kerugian investasi-investasi tersebut per bulan (dalam seratus juta rupiah) diberikan dalam tabel berikut.
$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Keuntungan/kerugian emas} & \text{Keuntungan/kerugian bitcoin} & \text{Keuntungan/kerugian total} \\ \hline 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 3 \\ 0 & -1 & 4 \\ \hline \end{array}$$Misalkan fungsi $z = f(x, y) = Bx + Cy + D$ menyatakan keuntungan/kerugian total yang bergantung pada keuntungan/kerugian investasi emas $(x)$ dan bitcoin $(y).$
a. Tentukan nilai $B, C,$ dan $D$ dengan metode aproksimasi kuadrat terkecil.
b. Estimasikan keuntungan/kerugian total jika kerugian emas sebesar $200$ juta rupiah dan keuntungan bitcoin sebesar $100$ juta rupiah.

Pembahasan

Diketahui fungsi $z = f(x, y) = Bx + Cy + D$ menyatakan keuntungan/kerugian total yang bergantung pada keuntungan/kerugian investasi emas $(x)$ dan bitcoin $(y).$
Jawaban a)
Berdasarkan tabel yang diberikan, diperoleh
$$\begin{aligned} f(1, 0) & = B(1) + C(0) + D = B + D = 0 \\ f(0, 1) & = B(0) + C(1) + D = C + D = 1 \\ f(-1, 0) & = B(-1) + C(0) + D = -B + D = 3 \\ f(0, -1) & = B(0) + C(-1) + D = -C + D = 4. \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh sistem linear
$$\begin{cases} B + D & = 0 \\ C + D & = 1 \\ -B + D & = 3 \\ -C + D = 4 \end{cases}$$atau jika dinyatakan dalam bentuk matriks, sistem tersebut menjadi
$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B \\ C \\ D \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}.$$Misalkan $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$ dan $\text{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}.$ Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} A^TA & = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} \end{aligned}$$dan
$$\begin{aligned} A^T\textbf{b} & = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 8 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$Dengan demikian, sistem normal yang berasosiasi dengan sistem linear tersebut adalah
$$A^TA\textbf{x} = \textbf{b} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix} A \\ B \\ C \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 8 \end{pmatrix}.$$Selanjutnya, nilai $B, C,$ dan $D$ yang memenuhi sistem tersebut akan dicari. Karena $A^TA$ merupakan matriks diagonal, perhitungan sederhana akan menghasilkan $B = C = -\dfrac32$ dan $D = 2.$ Jadi, solusi kuadrat terkecil dari persamaan linear $A\textbf{x} = \textbf{b}$ tersebut adalah $\textbf{x} = \begin{pmatrix} -\frac32 \\ -\frac32 \\ 2 \end{pmatrix}.$ Dengan kata lain, nilai $B, C,$ dan $D$ dengan metode aproksimasi kuadrat terkecil berturut-turut adalah $-\dfrac32, -\dfrac32,$ dan $2.$
Jawaban b)
Berdasarkan perhitungan nilai $B, C,$ dan $D$ sebelumnya, diperoleh $f(x, y) = -\dfrac32x-\dfrac32y+2.$ Untuk $x = -2$ dan $y = 1,$ diperoleh
$$\begin{aligned} f(-2, 1) & = -\dfrac32(-2)-\dfrac32(1) + 2 \\ & = 3-\dfrac32+2 \\ & = 3,\!5. \end{aligned}$$Ini berarti, keuntungan total yang diperoleh dari investasi emas dan bitcoin sebesar itu diestimasikan sebesar Rp350 juta rupiah.

[collapse]

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *