Materi, Soal, dan Pembahasan – Distribusi Peluang Diskret dan Kontinu

Misalkan seseorang mengetos $3$ keping koin dengan sisi angka $(A)$ dan sisi gambar $(G).$ Percobaan pengetosan koin tersebut menghasilkan sejumlah keluaran (outcome). Lebih lanjut, percobaan yang menghasilkan keluaran seperti itu disebut sebagai eksperimen statistik (statistical experiment). Keluaran yang dimaksud merupakan anggota dari ruang sampel $S$ (sering disebut sebagai titik sampel (sample point)) berikut.
$$S = \{AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG\}$$Ketika seseorang memusatkan perhatiannya pada banyak sisi angka yang muncul, setiap titik sampel berasosiasi dengan nilai numerik berupa $0, 1, 2,$ atau $3.$ Sebagai contoh, titik sampel $GAA$ berasosiasi dengan nilai $2$ karena sisi angka muncul sebanyak $2$ kali. Nilai numerik yang acak tersebut tergantung pada titik sampel yang muncul. Oleh karena itu, kita menamainya variabel acak. Definisi formalnya diberikan sebagai berikut.

Definisi: Variabel Acak

Variabel acak (random variable) adalah fungsi yang mengasosiasikan suatu bilangan real dengan masing-masing anggota dari ruang sampel.

Variabel acak umumnya menggunakan huruf kapital dalam alfabet Latin modern, misalnya $X,$ sedangkan huruf kecil yang bersesuaian dengannya, yaitu $x,$ disebut sebagai realisasi (realization) dari variabel acak $X.$ Dengan demikian, jika $X$ menyatakan banyaknya sisi angka yang muncul pada percobaan pengetosan $3$ keping koin, $X$ memberikan nilai $2$ pada setiap anggota dari $E \subseteq S.$
$$E = \{AAG, AGA, GAA\}$$

Baca: Soal dan Pembahasan – Distribusi Peluang Binomial 

Ruang sampel selanjutnya dibagi menjadi dua macam, yaitu ruang sampel diskret (discrete sample space) dan ruang sampel kontinu (continuous sample space), yang dituangkan dalam definisi berikut.

Definisi: Ruang Sampel Diskret

Jika suatu ruang sampel memuat sejumlah berhingga kemungkinan atau barisan takhingga yang anggotanya sebanyak bilangan bulat, maka ruang sampel tersebut dinamakan ruang sampel diskret.

Pada kebanyakan kasus, ruang sampel diskret didapat dari data cacah (count data), artinya data yang diperoleh dari hasil mencacah/membilang. Contoh ruang sampel diskret adalah: (1) hasil pengetosan beberapa dadu, (2) susunan berfoto sejumlah orang, dan sebagainya. Pada ruang sampel diskret, kita bisa mendaftarkan setiap anggotanya, baik secara langsung ataupun menggunakan elipsis (…).

Definisi: Ruang Sampel Kontinu

Jika suatu ruang sampel memuat sejumlah takhingga kemungkinan yang setara dengan banyaknya titik pada suatu ruas garis, maka ruang sampel tersebut dinamakan ruang sampel kontinu.

Pada kebanyakan kasus, ruang sampel kontinu didapat dari data terukur (measured data), artinya data yang diperoleh dari hasil mengukur. Contoh ruang sampel kontinu adalah tinggi badan seseorang dan waktu yang diperlukan pesawat untuk mengitari Bumi. Eksperimen yang orang lakukan untuk mengukur tinggi badan tidak benar-benar akurat dan hasilnya telah dibulatkan. Dengan ketelitian (akurasi) yang amat sempurna, tinggi badan seharusnya diasosiasikan dengan bilangan real yang kemungkinannya sangatlah banyak dan padat sehingga tidak mungkin untuk mendaftarkan setiap kemungkinannya.

Berkaitan dengan dua macam ruang sampel tersebut, variabel acak yang berkorespondensi dengannya juga dinamakan serupa, yaitu variabel acak diskret (discrete random variable) dan variabel acak kontinu (continuous random variable). Berkaitan dengan itu, kita selanjutnya mendefinisikan distribusi peluang pada dua macam variabel acak tersebut.

Definisi: Fungsi Peluang (Diskret)

Himpunan pasangan berurut $(x, f(x))$ disebut sebagai fungsi peluang, fungsi massa peluang, atau distribusi peluang dari suatu variabel acak diskret $X$ jika untuk masing-masing keluaran $x$ yang mungkin, berlaku

  1. $f(x) \ge 0.$
  2. $\displaystyle \sum_{x} f(x) = 1.$
  3. $p(X = x) = f(x).$

Pada variabel acak diskret, nilai peluang sama dengan nilai fungsi peluangnya (seperti yang dituliskan dalam sifat ke-3 di atas).

Definisi: Fungsi Distribusi Kumulatif (Diskret)

Fungsi distribusi kumulatif dari suatu variabel acak diskret $X$ dengan fungsi peluang $f(x)$ dinyatakan oleh
$$F(x) = P(X \le x) = \displaystyle \sum_{t \le x} f(t)$$untuk $-\infty < x < \infty.$

Definisi: Fungsi Kepadatan Peluang (Kontinu)

Fungsi $f(x)$ merupakan fungsi kepadatan peluang dari variabel acak kontinu $X$ yang didefinisikan pada himpunan bilangan real jika

  1. $f(x) \ge 0$ untuk setiap $x \in \mathbb{R}.$
  2. $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x)~\text{d}x = 1.$
  3. $p(a < X < b) = \displaystyle \int_a^b f(x)~\text{d}x.$

Pada variabel acak kontinu, nilai peluang tidak sama dengan nilai fungsi kepadatan peluangnya. Lebih lanjut, batas atas dan bawah integral saat perhitungan peluang pada variabel acak kontinu bergantung pada interval realisasinya. Kemudian, nilai peluang di satu titik sampel pada variabel acak kontinu akan selalu bernilai $0.$ Sebagai contoh, jika variabel acak $X$ menyatakan jarak rumah ke sekolah (dalam km), nilai dari $p(X = 5) = 0.$ Hal ini terjadi karena kita sejatinya tidak dapat mengukur jarak tersebut sehingga benar-benar tepat $5$ km (galat pasti ada, meskipun sangat kecil). Oleh karena itu, fungsi kepadatan peluang selalu melibatkan nilai interval dari realisasi variabel acaknya.

Definisi: Fungsi Distribusi Kumulatif (Kontinu)

Fungsi distribusi kumulatif dari suatu variabel acak kontinu $X$ dengan fungsi kepadatan $f(x)$ dinyatakan oleh
$$F(x) = P(X \le x) = \displaystyle \int_{-\infty}^x f(t)~\text{d}t$$untuk $-\infty < x < \infty.$

Definisi di atas secara langsung mengakibatkan bahwa
$$P(a < X < b) = F(b)-F(a)$$dan $$f(x) = \dfrac{\text{d}F(x)}{\text{d}x}$$jika turunannya ada.


Artikel ini ditulis berdasarkan beberapa sumber, termasuk sumber berbahasa Inggris. Dua sumber yang digunakan di antaranya adalah buku “Discrete Mathematics and Its Applications” yang ditulis oleh Kenneth H. Rosen dan buku “Probability & Statistics for Engineers & Scientists” yang ditulis oleh Ronald E. Walpole dkk. Oleh karena itu, untuk meminimalisasi kesalahan penafsiran, padanan untuk beberapa kata/istilah diberikan dalam tabel berikut.

$$\begin{array}{ccc} \hline \text{No.} & \text{Bahasa Indonesia} & \text{Bahasa Inggris} \\ \hline 1. & \text{Eksperimen Statistik} & \text{Statistical Experiment} \\ 2. & \text{Ruang Sampel} & \text{Sample Space} \\ 3. & \text{Titik Sampel} & \text{Sample Point} \\ 4. & \text{Keluaran} & \text{Outcome} \\ 5. & \text{Ruang Sampel Diskret} & \text{Discrete Sample Space} \\  6. & \text{Ruang Sampel Kontinu} & \text{Continuous Sample Space} \\ 7. & \text{Data Cacah} & \text{Count Data} \\ 8. & \text{Data Terukur} & \text{Measured Data} \\ 9. & \text{Variabel Acak Diskret} & \text{Discrete Random Variable} \\ 10. & \text{Variabel Acak Kontinu} & \text{Continuous Random Variable} \\ 11. & \text{Realisasi} & \text{Realization} \\  12. & \text{Fungsi Peluang} & \text{Probability Function} \\ 13. & \text{Fungsi Kepadatan Peluang} & \text{Probability Density Function} \\  14. & \text{Distribusi Peluang} & \text{Probability Distribution} \\ 15. & \text{Fungsi Massa Peluang} & \text{Probability Mass Function} \\ \hline \end{array}$$


Di bawah ini telah disediakan sejumlah soal dan pembahasan tentang distribusi peluang diskret dan kontinu. Sebagian soal dibuat oleh penulis sendiri dan sebagian lainnya diadaptasi dari literatur.

Baca Juga: Materi, Soal, dan Pembahasan – Peluang Bersyarat 

Today Quote

Every year you make a resolution to change yourself. This year, make resolution to be yourself.

Bagian Uraian

Soal Nomor 1

Kategorikan variabel acak berikut sebagai diskret atau kontinu.

  1. $A$: Banyak kecelakaan kendaraan bermotor di Kota Pontianak sepanjang tahun 2023.
  2. $B$: Lamanya waktu yang diperlukan untuk berangkat dari rumah menuju bandara.
  3. $C$: Banyak susu sapi (dalam satuan liter) yang diproduksi setiap tahunnya di Indonesia.
  4. $D$: Tinggi rata-rata orang Indonesia.
  5. $E$: Jumlah nelayan yang menghuni Pulau Kalimantan.

Pembahasan

Variabel acak $A$ dan $E$ keduanya dikategorikan sebagai variabel acak diskret karena nilainya berupa bilangan bulat (bukan selang dan tidak padat). Variabel acak $B, C,$ dan $D$ ketiganya dikategorikan sebagai variabel acak kontinu karena berupa bilangan real (selang dan padat).

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan – Distribusi Normal 

Soal Nomor 2

Misalkan $W$ merupakan variabel acak yang menyatakan banyaknya sisi angka dikurangi banyaknya sisi gambar yang muncul pada percobaan pengetosan tiga keping koin. Daftarkan anggota ruang sampel $S$ untuk pengetosan tiga keping koin tersebut dan berikan nilai $w$ dari $W$ untuk setiap titik sampel yang ada, kemudian tentukan nilai dari $p(W = -1).$

Pembahasan

Misalkan $A$ dan $G$ berturut-turut merupakan kejadian diperolehnya sisi angka dan gambar pada pengetosan koin. Tabel berikut menyatakan anggota ruang sampel $S$ beserta nilai $w$ untuk variabel acak $W$ yang dimaksud.
$$\begin{array}{cc} \hline \text{Anggota} & w \\ \hline AAA & 3-0 = 3 \\ AAG & 2-1 = 1 \\ AGA & 2-1 = 1 \\ GAA & 2-1 = 1 \\ AGG & 1-2 = -1 \\ GAG & 1-2=-1 \\ GGA & 1-2=-1 \\ GGG & 0-3 = -3 \\ \hline \end{array}$$Dari tabel tersebut, ada tiga titik sampel yang berkorespondensi dengan nilai $w = -1,$ yaitu $AGG,$ $GAG,$ dan $GAA$ sehingga $p(W = -1) = \dfrac{3}{8}.$

[collapse]

Soal Nomor 3

Dari $20$ laptop sejenis yang dipasok ke suatu gerai retail, $3$ laptop di antaranya cacat. Jika suatu perusahaan melakukan pembelian $2$ laptop itu secara acak di gerai tersebut, tentukan distribusi peluang terkait banyaknya laptop cacat yang dibeli.

Pembahasan

Misalkan $X$ adalah variabel acak (diskret) yang menyatakan banyak banyaknya laptop cacat yang dibeli oleh perusahaan tersebut. Dengan demikian, $x$ hanya mungkin bernilai $0, 1,$ atau $2.$
Diketahui bahwa ada $3$ laptop cacat dan $17$ laptop takcacat. Peluang perusahaan membeli $2$ laptop takcacat adalah
$$f(0) = P(X = 0) = \dfrac{\displaystyle \binom{3}{0} \binom{17}{2}}{\displaystyle \binom{20}{2}} = \dfrac{68}{95}.$$Berikutnya, peluang perusahaan membeli $1$ laptop cacat dan $1$ laptop takcacat adalah
$$f(1) = P(X = 1) = \dfrac{\displaystyle \binom{3}{1} \binom{17}{1}}{\displaystyle \binom{20}{2}} = \dfrac{51}{190}.$$Terakhir, peluang perusahaan membeli $2$ laptop cacat adalah
$$f(2) = P(X = 2) = \dfrac{\displaystyle \binom{3}{2} \binom{17}{0}}{\displaystyle \binom{20}{2}} = \dfrac{3}{190}.$$Jadi, distribusi peluang dari $X$ adalah sebagai berikut.
$$\begin{array}{cccc} \hline x & 0 & 1 & 2 \\ \hline f(x) & \dfrac{68}{95} & \dfrac{51}{190} & \dfrac{3}{190} \\ \hline \end{array}$$

[collapse]

Soal Nomor 4

Dalam populasi rusa, kerentanan terhadap suatu penyakit secara genetik ditentukan di lokus tunggal. Di dalamnya terdapat gen yang memiliki dua alel, yaitu $\textbf{B}$ dan $\textbf{b}.$ Penyakit itu terkait dengan alel resesif $\textbf{b}$ sehingga rusa dengan genotipe $\textbf{bb}$ akan terserang penyakit tersebut, sedangkan rusa dengan genotipe $\textbf{Bb}$ hanya berperan sebagai pembawa (carrier). Misalkan sepasang rusa (betina dan jantan) yang sama-sama memiliki genotipe $\textbf{Bb}$ dikawinkan. Definisikan variabel acak $T$ sebagai banyak alel $\textbf{b}$ pada genotipe anak rusa yang dihasilkan dari perkawinan tersebut. Tuliskan distribusi peluang untuk variabel acak $T.$

Pembahasan

Misalkan $T$ adalah variabel acak (diskret) yang menyatakan banyaknya alel $\textbf{b}$ pada genotipe anak rusa yang dihasilkan dari perkawinan sepasang rusa dengan genotipe $\textbf{Bb}.$ Dengan demikian, akan ada $4$ kemungkinan genotipe berbeda yang dapat dimiliki oleh anak rusa, yaitu $\textbf{BB},$ $\textbf{Bb},$ $\textbf{bB},$ dan $\textbf{bb}.$ Lebih lanjut, $$\begin{aligned} T(\textbf{BB}) & = 0 \\ T(\textbf{Bb}) & = 1 \\ T(\textbf{bB}) & = 1 \\ T(\textbf{bb}) & = 2. \end{aligned}$$Jadi, distribusi peluang untuk variabel acak $T$ adalah sebagai berikut.
$$p(T = t) = \begin{cases} \dfrac14, & t = 0 \\ \dfrac12, & t = 1 \\ \dfrac14, & t = 2 \\ 0, & t~\text{lainnya} \end{cases}$$

[collapse]

Soal Nomor 5

Dalam populasi rusa, kerentanan terhadap suatu penyakit secara genetik ditentukan di lokus tunggal. Di dalamnya terdapat gen yang memiliki dua alel, yaitu $\textbf{B}$ dan $\textbf{b}.$ Penyakit itu terkait dengan alel resesif $\textbf{b}$ sehingga rusa dengan genotipe $\textbf{bb}$ akan terserang penyakit tersebut, sedangkan rusa dengan genotipe $\textbf{Bb}$ hanya berperan sebagai pembawa (carrier). Misalkan sepasang rusa (betina dan jantan) yang sama-sama memiliki genotipe $\textbf{Bb}$ dikawinkan dan menghasilkan $3$ ekor anak rusa. Misalkan $X$ adalah variabel acak yang menyatakan banyaknya anak rusa yang menderita penyakit tersebut dengan distribusi peluang sebagai berikut.
$$\begin{array}{cc} \hline x & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline P(X=x) & \dfrac{27}{64} & \dfrac{27}{64} & \dfrac{9}{64} & \dfrac{1}{64} \\ \hline \end{array}$$Hitung peluang bahwa

  1. tidak ada anak rusa yang menderita penyakit;
  2. setidaknya satu ekor anak rusa menderita penyakit;
  3. semua anak rusa menderita penyakit.

Pembahasan

Jawaban a)
Berdasarkan tabel distribusi peluang di atas, peluang bahwa tidak ada anak rusa yang menderita penyakit dinyatakan oleh
$$p(X = 0) = \dfrac{27}{64}.$$Jawaban b)
Berdasarkan tabel distribusi peluang di atas, peluang bahwa setidaknya satu anak rusa yang menderita penyakit dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} p(X \ge 1) & = p(X = 1) + p(X = 2) + p(X = 3) \\ & = \dfrac{27}{64} + \dfrac{9}{64} + \dfrac{1}{64} \\ & = \dfrac{37}{64}. \end{aligned}$$Jawaban c)
Berdasarkan tabel distribusi peluang di atas, peluang bahwa semua anak rusa menderita penyakit dinyatakan oleh
$$p(X = 3) = \dfrac{1}{64}.$$

[collapse]

Soal Nomor 6

Misalkan $Y$ adalah variabel acak yang menyatakan banyaknya sisi angka dikali banyaknya sisi gambar yang muncul pada percobaan pengetosan tiga keping koin. Jika koin tersebut bias sehingga peluang munculnya gambar dua kali lipatnya daripada peluang munculnya angka, tentukan distribusi peluang dari variabel acak $Y.$

Pembahasan

Misalkan $A$ dan $G$ berturut-turut merupakan kejadian diperolehnya sisi angka dan gambar pada pengetosan koin dengan $p(A) = \dfrac13$ dan $p(G) = \dfrac23.$ $Y$ merupakan variabel acak yang menyatakan banyaknya sisi angka dikali banyaknya sisi gambar yang muncul pada percobaan pengetosan tiga keping koin. Sebagai contoh, pada keluaran $AAA,$ banyak sisi angka dan gambar berturut-turut adalah $3$ dan $0$ sehingga $Y = (3)(0) = 0.$ Dengan cara yang serupa, kita dapat mendistribusikan setiap keluaran. Dari sini, kita peroleh
$$\begin{aligned} p(Y = 0) & = p(AAA) + p(GGG) \\ & = \left(\dfrac13\right)^3 + \left(\dfrac23\right)^3 = \dfrac{1}{3} \\ p(Y = 2) & = p(AAG) + p(AGA) + p(GAA) + p(GGA) + p(GAG) + p(AGG) \\ & = 3 \cdot \left(\dfrac13\right)^2 \cdot \dfrac23 + 3 \cdot \left(\dfrac23\right)^2 \cdot \dfrac13 \\ & = \dfrac{6}{27} + \dfrac{12}{27}= \dfrac23. \end{aligned}$$Jadi, distribusi peluang untuk variabel acak $Y$ adalah
$$\begin{array}{ccc} \hline y & 0 & 2 \\ \hline P(Y = y) & 1/3 & 2/3 \\ \hline \end{array}$$

[collapse]

Soal Nomor 7

Tentukan nilai $c$ sehingga masing-masing fungsi berikut bisa menjadi distribusi peluang dari variabel acak diskret $X$.

  1. $f(x) = c(x^2 + 9)$ untuk $x = 0, 1, 2, 3.$
  2. $f(x) = c\displaystyle \binom{2}{x} \binom{3}{3-x}$ untuk $x = 0, 1, 2.$

Pembahasan

Syarat agar $f(x)$ merupakan distribusi peluang dari suatu variabel acak diskret adalah $\displaystyle \sum_{x} f(x) = 1.$ Syarat lain yang perlu diperiksa adalah nilai fungsi tersebut selalu nonnegatif untuk setiap nilai $x$ yang didefinisikan.
Jawaban a)
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{x} f(x) & = 1 \\ \sum_{x = 0}^3 c(x^2 + 9) & = 1 \\ c\left(\sum_{x = 0}^3 x^2 + \sum_{x = 0}^3 9\right) & = 1 \\ c\left((0+1+4+9) + 4(9)\right) & = 1 \\ c(50) & = 1 \\ c & = \dfrac{1}{50}. \end{aligned}$$Lebih lanjut, dapat diperiksa bahwa $f(x) = \dfrac{1}{50}(x^2 + 9)$ bernilai nonnegatif untuk $x = 0, 1, 2, 3.$
Jadi, nilai $c$ yang memenuhi adalah $\boxed{\dfrac{1}{50}}$
Jawaban b)
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{x} f(x) & = 1 \\ \sum_{x = 0}^2 c\displaystyle \binom{2}{x} \binom{3}{3-x} & = 1 \\ c\left[\binom{2}{0} \binom{3}{3} + \binom{2}{1} \binom{3}{2} + \binom{2}{2} \binom{3}{1}\right] & = 1 \\ c(1(1) + 2(3) + 1(3)) & = 1 \\ c(10) & = 1 \\ c & = \dfrac{1}{10}.\end{aligned}$$Lebih lanjut, dapat diperiksa bahwa $f(x) = \dfrac{1}{10} \displaystyle \binom{2}{x} \binom{3}{3-x}$ bernilai nonnegatif untuk $x = 0, 1, 2.$
Jadi, nilai $c$ yang memenuhi adalah $\boxed{\dfrac{1}{10}}$

[collapse]

Baca: Materi, Soal dan Pembahasan – Distribusi Poisson

Soal Nomor 8

Diketahui tinggi mahasiswa di suatu kampus berkisar antara $1,\!5$ m dan $1,\!75$ m. Misalkan $H$ menyatakan tinggi mahasiswa (dalam meter) dengan fungsi kepadatan peluangnya sebagai berikut.
$$f(h) = \begin{cases} 4, & 1,\!5 < h < 1,\!75 \\ 0, & h~\text{lainnya} \end{cases}$$

  1. Verifikasi bahwa $f(h)$ memang merupakan fungsi kepadatan peluang.
  2. Berapa peluang tinggi seorang mahasiswa lebih dari $1,\!7$ m?

Pembahasan

Syarat agar $f(h)$ merupakan fungsi kepadatan peluang dari suatu variabel acak kontinu adalah $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(h)~\text{d}h = 1.$ Syarat lain yang perlu diperiksa adalah nilai fungsi tersebut selalu nonnegatif untuk setiap nilai $h$ yang didefinisikan.
Jawaban a)
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(h)~\text{d}h & = \displaystyle\int_{-\infty}^{1,5} 0~\text{d}h + \int_{1,5}^{1,75} 4~\text{d}h + \int_{1,75}^{\infty} 0~\text{d}h \\ & = 0 + [4h]_{1,5}^{1,75} + 0 \\ & = 4(1,\!75-1,\!5) \\ & = 1. \end{aligned}$$Lebih lanjut, karena $4 \ge 0,$ $f(h)$ akan bernilai nonnegatif untuk setiap bilangan real $h.$ Jadi, $f(h)$ terverifikasi sebagai fungsi kepadatan peluang.
Jawaban b)
Dengan menggunakan definisi fungsi kepadatan peluang, didapat
$$\begin{aligned} p(H > 1,\!7) & = \displaystyle \int_{1,7}^{1,75} 4~\text{d}h \\ & = [4h]_{1,7}^{1,75} \\ & = 4(1,\!75-1,\!7) \\ & = 0,\!2. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{p(H > 1,\!7) = 0,\!2}$

[collapse]

Soal Nomor 9

Misalkan galat suhu reaksi $($dalam satuan $^\circ\text{C})$ pada suatu percobaan laboratorium kontrol adalah variabel acak kontinu $X$ dengan fungsi kepadatan peluang sebagai berikut.
$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2}{3}, & -1<x<2 \\ 0, & x~\text{lainnya} \end{cases}$$

  1. Verifikasi bahwa $f(x)$ memang merupakan fungsi kepadatan peluang.
  2. Tentukan $p(0 < X \le 1).$

Pembahasan

Syarat agar $f(x)$ merupakan fungsi kepadatan peluang dari suatu variabel acak kontinu adalah $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x)~\text{d}x = 1.$ Syarat lain yang perlu diperiksa adalah nilai fungsi tersebut selalu nonnegatif untuk setiap nilai $x$ yang didefinisikan.
Jawaban a)
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x)~\text{d}x & = \displaystyle\int_{-\infty}^{-1} 0~\text{d}x + \int_{-1}^{2} \dfrac{x^2}{3}~\text{d}x + \int_{2}^{\infty} 0~\text{d}x \\ & = 0 + \dfrac19\left[x^3\right]_{-1}^2 + 0 \\ & = \dfrac19\left(2^3-(-1)^3\right) \\ & = 1. \end{aligned}$$Lebih lanjut, karena $x^2 \ge 0$ untuk setiap bilangan real $x,$ haruslah $\dfrac{x^2}{3} \ge 0.$ Dengan demikian, $f(x)$ akan bernilai nonnegatif untuk setiap bilangan real $x.$ Jadi, $f(x)$ terverifikasi sebagai fungsi kepadatan peluang.
Jawaban b)
Dengan menggunakan definisi fungsi kepadatan peluang, didapat
$$\begin{aligned} p(0 < X \le 1) & = \displaystyle \int_0^1 \dfrac{x^2}{3}~\text{d}x \\ & = \dfrac19\left[x^3\right]_{0}^1 \\ & = \dfrac19\left(1^3-0^3\right) \\ & = \dfrac19. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{p(0 < X \le 1) = \dfrac19}$

[collapse]

Soal Nomor 10

Diberikan fungsi kepadatan peluang berikut.
$$f(x) = \begin{cases} k\sqrt{x}, & 0 < x < 1 \\ 0, & x~\text{lainnya} \end{cases}$$

  1. Hitung nilai $k.$
  2. Tentukan fungsi distribusi kumulatif $F(x),$ kemudian gunakan untuk menentukan nilai $p(0,\!3 < X < 0,\!6).$

Pembahasan

Jawaban a)
Berdasarkan definisi fungsi kepadatan peluang pada variabel acak kontinu, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \int_0^1 k\sqrt{x}~\text{d}x & = 1 \\ k \left[\dfrac23x^{3/2}\right]_0^1 & = 1 \\ \dfrac23k(1-0) & = 1 \\ k & = \dfrac32. \end{aligned}$$Jadi, nilai $k$ yang memenuhi adalah $\boxed{\dfrac32}$
Jawaban b)
Diketahui $$f(x) = \begin{cases} \dfrac32\sqrt{x}, & 0 < x < 1 \\ 0, & x~\text{lainnya} \end{cases}$$
Dengan mengintegralkan $f(x)$ pada selang $0 < x < 1,$ diperoleh
$$\begin{aligned} F(x) & = \displaystyle \int_0^x \dfrac32\sqrt{t}~\text{d}t \\ & = \dfrac32\left[\dfrac23t^{3/2}\right]_0^x \\ & = x^{3/2}. \end{aligned}$$Jadi, fungsi distribusi kumulatifnya dinyatakan oleh
$$F(x) = \begin{cases} x^{3/2}, & 0 < x < 1 \\ 0, & x~\text{lainnya} \end{cases}$$Dengan demikian,
$$\begin{aligned} p(0,\!3 < X < 0,\!6) & = F(0,\!6)-F(0,\!3) \\ & = (0,\!6)^{3/2}-(0,\!3)^{3/2} \\ & \approx 0,\!3004. \end{aligned}$$

[collapse]

Soal Nomor 11

Dalam satuan hari, umur simpan (shelf life) botol obat tertentu merupakan variabel acak yang fungsi kepadatannya dinyatakan sebagai berikut.
$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{20.000}{(x + 100)^3}, & x > 0 \\ ~~~~~~~~0, & x~\text{lainnya} \end{cases}$$Tentukan peluang botol obat tersebut memiliki umur simpan selama

  1. setidaknya $200$ hari;
  2. di antara $80$ dan $120$ hari.

Pembahasan

Misalkan $X$ adalah variabel acak yang menyatakan lama umur simpan botol obat tersebut dalam satuan hari. $X$ merupakan variabel acak kontinu.
Jawaban a)
Peluang botol obat tersebut memiliki umur simpan selama setidaknya $200$ hari adalah
$$\begin{aligned} p(X > 200) & = \displaystyle \int_{200}^{\infty} \dfrac{20.000}{(x + 100)^3}~\text{d}x \\ & = 20.000 \int_{200}^{\infty} (x + 100)^{-3}~\text{d}x \\ & = 20.000 \cdot \left[\dfrac{1}{-2} \cdot \dfrac{1}{(x + 100)^2}\right]_{200}^{\infty} \\ & = -10.000 \left[\lim_{x \to \infty} \dfrac{1}{(x + 100)^2}-\dfrac{1}{(200 + 100)^2}\right] \\ & = -10.000\left(0-\dfrac{1}{90.000}\right) \\ & = \dfrac19. \end{aligned}$$Jawaban b)
Peluang botol obat tersebut memiliki umur simpan selama di antara $80$ dan $120$ hari adalah
$$\begin{aligned} p(80 < X < 120) & = \displaystyle \int_{80}^{120} \dfrac{20.000}{(x + 100)^3}~\text{d}x \\ & = -10.000 \left[\dfrac{1}{(x + 100)^2}\right]_{80}^{120} \\ & = -10.000\left(\dfrac{1}{(120 + 100)^2}-\dfrac{1}{(80+100)^2}\right) \\ & = -10.000 \cdot \left(-\dfrac{1}{98.010}\right) \\ & = \dfrac{1.000}{9.801}. \end{aligned}$$

[collapse]

Soal Nomor 12

Dalam satuan $100$ jam, lamanya penggunaan penyedot debu (vacuum cleaner) yang digunakan oleh suatu keluarga dalam kurun waktu setahun merupakan variabel acak kontinu $X$ yang memiliki fungsi kepadatan peluang seperti berikut.
$$f(x) = \begin{cases} ~~~~x, & 0<x<1 \\ 2-x, & 1\le x < 2 \\ ~~~~0, & x~\text{lainnya} \end{cases}$$Dalam kurun waktu setahun, tentukan peluang suatu keluarga menggunakan penyedot debu selama

  1. kurang dari $110$ jam;
  2. di antara $50$ dan $100$ jam.

Pembahasan

Jawaban a)
Dalam kurun waktu setahun, peluang suatu keluarga menggunakan penyedot debu selama kurang dari $110$ jam adalah
$$\begin{aligned} p(X < 1,\!1) & = \displaystyle \int_{-\infty}^{1,1} f(x)~\text{d}x \\ & = \int_0^1 x~\text{d}x + \int_1^{1,1} (2-x)~\text{d}x \\ & = \left[\dfrac12x^2\right]_0^1 + \left[2x-\dfrac12x^2\right]_1^{1,1} \\ & = \dfrac12 + \dfrac{19}{200} \\ & = \dfrac{119}{200}. \end{aligned}$$Jawaban b)
Dalam kurun waktu setahun, peluang suatu keluarga menggunakan penyedot debu selama di antara $50$ dan $100$ jam adalah
$$\begin{aligned} p(0,\!5 < X < 1) & = \displaystyle \int_{0,5}^{1} f(x)~\text{d}x \\ & = \int_{0,5}^{1} x~\text{d}x \\ & = \left[\dfrac12x^2\right]_{0,5}^1 \\ & = \dfrac12(1^2-(0,\!5)^2) \\ & = \dfrac38. \end{aligned}$$

[collapse]

Soal Nomor 13

Perbandingan orang yang menekan tombol suka (like) pada suatu unggahan video di media sosial merupakan variabel acak kontinu $X$ yang memiliki fungsi kepadatan peluang seperti berikut.
$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{2(x+2)}{5}, & 0<x<1 \\ ~~~~~~~0, & x~\text{lainnya} \end{cases}$$

  1. Tunjukkan bahwa $p(0 < X < 1) = 1.$
  2. Tentukan peluang bahwa lebih dari $1/4,$ tetapi kurang dari $1/2,$ dari populasi orang menekan tombol suka pada unggahan video tersebut.

Pembahasan

Jawaban a)
Berdasarkan definisi fungsi kepadatan peluang dari variabel acak kontinu, berlaku
$$\begin{aligned} \displaystyle p(0 < X < 1) & = \int_0^1 f(x)~\text{d}x \\ & = \int_0^1 \dfrac{2(x+2)}{5}~\text{d}x \\ & = \dfrac25 \left[\dfrac12x^2 + 2x\right]_0^1 \\ & = \dfrac25\left(\dfrac12(1^2-0^2) + 2(1-0)\right) \\ & = \dfrac25\left(\dfrac12 + 2\right) \\ & = 1. \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $p(0 < X < 1) = 1.$
Jawaban b)
Dalam kasus ini, akan dicari nilai dari $p\left(\dfrac14 < X < \dfrac12\right),$ yaitu
$$\begin{aligned} p\left(\dfrac14 < X < \dfrac12\right) & = \displaystyle \int_{1/4}^{1/2} f(x)~\text{d}x \\ & = \int_{1/4}^{1/2} \dfrac{2(x+2)}{5}~\text{d}x \\ & = \\ & = \dfrac25 \left[\dfrac12x^2 + 2x\right]_{1/4}^{1/2} \\ & = \dfrac25\left(\dfrac12\left(\left(\dfrac12\right)^2 -\left(\dfrac14\right)^2\right) + 2\left(\dfrac12-\dfrac14\right)\right) \\ & = \dfrac25\left(\dfrac{3}{32}+\dfrac12\right) \\ & = \dfrac{19}{80}. \end{aligned}$$

[collapse]

Soal Nomor 14

Diketahui fungsi distribusi kumulatif dari suatu variabel acak kontinu sebagai berikut.
$$F(x) = \begin{cases} ~~~~~~~~~~0, &x \le 3 \\ \dfrac{x^2-6x+9}{16}, & 3 < x \le 7 \\ ~~~~~~~~~~1, & x > 7 \end{cases}$$Tentukan fungsi kepadatan peluang dari variabel acak kontinu tersebut.

Pembahasan

Berdasarkan definisi fungsi distribusi kumulatif dari variabel acak kontinu, fungsi kepadatan peluang didapat dengan menurunkan fungsi distribusi kumulatif sebanyak satu kali terhadap variabel yang berpadanan sesuai dengan intervalnya. Secara matematis, ditulis $f(x) = \dfrac{\text{d} F(x)}{\text{d}x}.$
Diketahui fungsi distribusi kumulatif berikut.
$$F(x) = \begin{cases} ~~~~~~~~~~0, &x \le 3 \\ \dfrac{x^2-6x+9}{16}, & 3 < x \le 7 \\ ~~~~~~~~~~1, & x > 7 \end{cases}$$Turunan pertama dari fungsi $F(x)$ pada interval $x \le 3,$ $3 < x \le 7,$ dan $x > 7$ berturut-turut dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}}{\text{d}x}(0) & = 0 \\ \dfrac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\dfrac{x^2-6x+9}{16}\right) & = \dfrac{2x-6}{16} = \dfrac{x-3}{8} \\ \dfrac{\text{d}}{\text{d}x}(1) & = 0. \end{aligned}$$Jadi, fungsi kepadatan peluang yang sesuai adalah
$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x-3}{8}, & 3 < x \le 7 \\ 0, & x~\text{lainnya}. \end{cases}$$

[collapse]

Soal Nomor 15

Banyaknya gol yang dicetak oleh timnas sepak bola negara $X$ saat menjamu lawannya dapat dipandang sebagai variabel acak $A$ dengan fungsi peluang berikut.
$$\begin{array}{cccccc} \hline a & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline P(A = a) & 0,\!15 & 0,\!50 & 0,\!25 & 0,\!08 & 0,\!02 \\ \hline \end{array}$$Pada suatu hari, $X$ kembali menjamu lawan yang sama. Tentukan

  1. peluang timnas sepak bola negara $X$ mencetak kurang dari $3$ gol;
  2. peluang timnas sepak bola negara $X$ mencetak dari $1$ sampai $3$ gol;
  3. fungsi distribusi kumulatif $F(a)$ dan gambarkan grafiknya.

Pembahasan

Misalkan $A$ adalah variabel acak (diskret) yang menyatakan banyaknya gol yang dicetak oleh timnas sepak bola negara $X$ saat menjamu lawannya dengan fungsi peluang berikut.
$$\begin{array}{cccccc} \hline a & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline P(A = a) & 0,\!15 & 0,\!50 & 0,\!25 & 0,\!08 & 0,\!02 \\ \hline \end{array}$$
Jawaban a)
Peluang timnas sepak bola negara $X$ mencetak kurang dari $3$ gol; dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} p(A < 3) & = p(A = 0) + p(A = 1) + p(A = 2) \\ & = 0,\!15 + 0,\!50 + 0,\!25 \\ & = 0,\!90. \end{aligned}$$Jawaban b)
Peluang timnas sepak bola negara $X$ mencetak dari $1$ sampai $3$ gol dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} p(1 \le A \le 3) & = p(A = 1) + p(A = 2) + p(A = 3) \\ & = 0,\!50 + 0,\!25 + 0,\!08 \\ & = 0,\!83. \end{aligned}$$Jawaban c)
Fungsi distribusi kumulatif yang bersesuaian dengan fungsi peluang $f(y)$ adalah
$$F(a) = \begin{cases} 0,\!00 & a < 0 \\ 0,\!15, & a = 0 \\ 0,\!65, & a = 1 \\ 0,\!90, & a = 2 \\ 0,\!98, & a = 3 \\ 1,\!00 & a \ge 4. \end{cases}$$dengan gambar grafiknya seperti berikut.

[collapse]

Soal Nomor 16

Misalkan simpangan pengukuran suatu alat ukur untuk mengetahui tingkat curah hujan di suatu daerah sebesar $0,\!5$ mm. Asumsikan bahwa alat ukur tersebut tidak akan menyimpang di luar batas itu dan fungsi peluangnya seragam di selang tersebut. Jika $Y$ adalah variabel acak yang menyatakan besarnya simpangan pengukuran dari alat ukur tersebut dalam satuan mm, tentukan

  1. peluang alat ukur melakukan kesalahan di antara $-0,\!25$ mm dan $0,\!2$ mm;
  2. peluang alat ukur melakukan kesalahan berupa kelebihan pengukuran sebesar lebih dari $0,\!2$ mm;
  3. fungsi distribusi kumulatif $F(y)$ dan gambarkan grafiknya.

Pembahasan

Misalkan $Y$ adalah variabel acak (kontinu) yang menyatakan besarnya simpangan pengukuran dari alat ukur tersebut dalam satuan mm. Karena simpangan pengukurannya sebesar $0,\!5$ mm, fungsi peluangnya diberikan sebagai berikut.
$$f(y) = \begin{cases} 1, & -0,\!5 < y < 0,\!5 \\ 0, & y~ \text{lainnya} \end{cases}$$Jawaban a)
Peluang alat ukur melakukan kesalahan di antara $-0,\!25$ mm dan $0,\!2$ mm dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} p(-0,\!25 < Y < 0,\!2) & = \displaystyle \int_{-0,25}^{0,2} f(y)~\text{d}y \\ & = \int_{-0,25}^{0,2} 1~\text{d}y \\ & = \left[t\right]_{-0,25}^{0,2} \\ & = 0,\!2-(-0,\!25) \\ & = 0,\!45. \end{aligned}$$Jawaban b)
Peluang alat ukur melakukan kesalahan berupa kelebihan pengukuran sebesar lebih dari $0,\!2$ mm dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} p(Y > 0,\!2) & = \displaystyle 1-p(Y \le 0,\!2) \\ & = 1-\left(\int_{-\infty}^{-0,5} 0~\text{d}y + \int_{-0,5}^{-0,2} 1~\text{d}y\right) \\ & = 1-\left(0 + 0,\!7 \right) \\ & = 0,\!3. \end{aligned}$$Jawaban c)
Fungsi distribusi kumulatif yang bersesuaian dengan fungsi peluang $f(y)$ akan dicari sesuai interval $y.$
Untuk $y < -0,\!5,$ diperoleh
$$\begin{aligned} F(y) & = \displaystyle \int_{-\infty}^{y} f(y)~\text{d}y \\ & = \int_{-\infty}^{y} 0~\text{d}y \\ & = 0. \end{aligned}$$Untuk $-0,\!5 < y < 0,\!5,$ diperoleh
$$\begin{aligned} F(y) & = \displaystyle \int_{-\infty}^{y} f(y)~\text{d}y \\ & = \int_{-\infty}^{-0,5} 0~\text{d}y + \int_{-0,5}^{y} 1~\text{d}y \\ & = y + 0,\!5. \end{aligned}$$Untuk $y > 0,\!5,$ diperoleh
$$\begin{aligned} F(y) & = \displaystyle \int_{-\infty}^{y} f(y)~\text{d}y \\ & = \int_{-\infty}^{-0,5} 0~\text{d}y + \int_{-0,5}^{0,5} 1~\text{d}y + \int_{0,5}^{\infty} 0~\text{d}y \\ & = 1. \end{aligned}$$Jadi, fungsi distribusi kumulatifnya adalah
$$F(y) = \begin{cases} 0, & y < -0,\!5 \\ y + \dfrac12, & -0,\!5 < y < 0,\!5 \\ 1, & y > 0,\!5 \end{cases}$$dengan gambar grafiknya seperti berikut.



[collapse]

Soal Nomor 17

Pihak asurador (penjamin asuransi) melakukan analisis mendalam terhadap kemungkinan seorang nasabah mengalami sakit parah. Hasil analisis tersebut terwujud dalam fungsi distribusi kumulatif berikut dari variabel acak kontinu $T$ yang menyatakan lamanya waktu (dalam satuan tahun) seorang nasabah untuk mengalami sakit parah.
$$F(t) = \begin{cases} \frac18, & t < 1 \\ \frac14, & 1 \le t < 3 \\ \frac12, & 3 \le t < 5 \\ \frac34, & 5 \le t < 7 \\ 1, & t \ge 7 \end{cases}$$Tentukan
a. $p(T = 5);$
b. $p(T > 2);$
c. $p(1,\!5 < T < 6);$
d. $p(T \le 5 \mid T \ge 2).$

Pembahasan

Jawaban a)
Karena $T$ merupakan variabel acak kontinu, peluang kejadian di satu titik tertentu selalu sama dengan nol. Jadi, peluang seorang nasabah mengalami sakit parah ketika tepat $5$ tahun mendatang dinyatakan oleh $p(T = 5) = 0.$
Jawaban b)
Peluang seorang nasabah mengalami sakit parah ketika lebih dari $2$ tahun mendatang dinyatakan oleh
$$p(T > 2) = 1-p(T \le 2) = 1-F(2) = 1-\dfrac14 = \dfrac34.$$Jawaban c)
Peluang seorang nasabah mengalami sakit parah ketika di antara $1,\!5$ dan $6$ tahun mendatang dinyatakan oleh
$$p(1,\!5 < T < 6) = F(6)-F(1,\!5) = \dfrac34-\dfrac14 = \dfrac12.$$Jawaban d)
Peluang seorang nasabah mengalami sakit parah ketika kurang dari atau tepat $5$ tahun mendatang setelah diketahui bahwa ia akan mengalami sakit parah ketika lebih dari $2$ tahun mendatang dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} p(T \le 5 \mid T \ge 2) & = \dfrac{p(2 \le T \le 5)}{p(T \ge 2)} \\ & = \dfrac{F(5)-F(2)}{1-F(2)} \\ & = \dfrac{\dfrac34-\dfrac14}{1-\dfrac14} \\ & = \dfrac23. \end{aligned}$$

[collapse]

Soal Nomor 18

Waktu yang diperlukan bagi suatu radar untuk mendeteksi pancaran sinyal di laut lepas (dalam satuan jam) adalah variabel acak kontinu $X$ dengan fungsi distribusi kumulatif seperti berikut.
$$F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ 1-e^{-8x}, & x \ge 0 \end{cases}$$Tentukan peluang radar tersebut mendeteksi pancaran sinyal selama kurang dari $12$ menit dengan menggunakan

  1. fungsi distribusi kumulatif dari $X;$
  2. fungsi kepadatan peluang dari $X.$

Pembahasan

Jawaban a)
Karena $12$ menit sama dengan $0,\!2$ jam, peluang radar tersebut mendeteksi pancaran sinyal selama kurang dari $12$ menit dengan menggunakan fungsi distribusi kumulatif dari $X$ dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} p(X < 0,\!2) & = p(X \le 0,\!2) \\ & = F(0,\!2) \\ & = 1-e^{-8(0,2)} \\ & \approx 0,\!7981. \end{aligned}$$Jawaban b)
Fungsi kepadatan peluang dari $X$ adalah turunan pertama dari $F(x),$ yaitu
$$f(x) = F'(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ 8e^{-8x}, & x \ge 0 \end{cases}$$Dengan demikian, peluang radar tersebut mendeteksi pancaran sinyal selama kurang dari $12$ menit dengan menggunakan fungsi kepadatan peluang dari $X$ dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} p(X < 0,\!2) & = \displaystyle \int_{-\infty}^{0,2} f(x)~\text{d}x \\ & = \int_{-\infty}^{0} 0~\text{d}x + \int_{0}^{0,2} 8e^{-8x}~\text{d}x \\ & = 0 + 8\left[-\dfrac18e^{-8x}\right]_0^{0,2} \\ & = -(e^{-1,6}-e^0) \\ & \approx 0,\!7981. \end{aligned}$$

[collapse]

Soal Nomor 19

Seorang analis risiko melakukan observasi pada Perusahaan Asuransi A berkenaan dengan banyaknya klaim yang datang ke perusahaan tersebut. Misalkan variabel acak $X$ menyatakan banyak klaim yang datang sampai ditemukan klaim bernilai di atas $33$ juta rupiah. Jika fungsi peluang untuk $X$ dirumuskan sebagai
$$P(X = x) = \begin{cases} \dfrac23\left(\dfrac13\right)^{x-1}, & x = 1, 2, 3, \cdots \\ 0, & x~\text{lainnya}, \end{cases}$$

  1. Tentukan peluang bahwa setidaknya $5$ klaim yang datang ke Perusahaan A sampai ditemukan klaim bernilai di atas $33$ juta rupiah.
  2. Tentukan fungsi distribusi kumulatif dan fungsi kesintasan (survival function) dari $X$ beserta gambarnya.

Pembahasan

Jawaban a)
Peluang bahwa setidaknya $5$ klaim yang datang ke Perusahaan A sampai ditemukan klaim bernilai di atas $33$ juta rupiah dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} P(X \ge 5) & = 1-P(X < 5) \\ & = 1-\left(P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)\right) \\ & = 1-\left(\dfrac23\left(\dfrac13\right)^0 + \dfrac23\left(\dfrac13\right)^1 + \dfrac23\left(\dfrac13\right)^2 + \dfrac23\left(\dfrac13\right)^3\right) \\ & = 1-\dfrac23\left(\left(\dfrac13\right)^0 + \left(\dfrac13\right)^1 + \left(\dfrac13\right)^2 + \left(\dfrac13\right)^3\right) \\ & = 1-\dfrac23\left(\dfrac{40}{27}\right) \\ & = 1-\dfrac{80}{81} \\ & = \dfrac{1}{81}. \end{aligned}$$Jawaban b)
Untuk menentukan fungsi distribusi kumulatif dari $X,$ bagilah kasus untuk nilai-nilai $X$ yang didefinisikan.
Untuk $x = 1, 2, 3, \cdots,$ diperoleh
$$\begin{aligned} F(x) & = \displaystyle \sum_{t \le x} P(X = t) \\ & = \sum_{t \le x} \dfrac23\left(\dfrac13\right)^t \\ & = \dfrac23 \cdot \dfrac{1\left(1-\left(\dfrac13\right)^x\right)}{1-\dfrac13} \\ & = 1-\left(\dfrac13\right)^x. \end{aligned}$$Untuk $x$ lainnya, jelas diperoleh $F(x) = 0.$
Jadi, fungsi distribusi kumulatif dari $X$ adalah
$$F(x) = \begin{cases} 1-\left(\dfrac13\right)^x, & x = 1, 2, 3, \cdots \\ 0, & x~\text{lainnya}. \end{cases}$$Fungsi kesintasan $S(x)$ didefinisikan sebagai $S(x) = 1-F(x).$ Untuk $x = 1, 2, 3, \cdots,$ diperoleh
$$S(x) = 1-\left(1-\left(\dfrac13\right)^x\right) = \left(\dfrac13\right)^x.$$Untuk $x = 0,$ diperoleh $S(x) = 1-0 = 1.$ Jadi, fungsi kesintasan dari $X$ adalah
$$S(x) = \begin{cases} \left(\dfrac13\right)^x, & x = 1, 2, 3, \cdots \\ 1, & x~\text{lainnya}. \end{cases}$$

[collapse]

Soal Nomor 20

Diberikan grafik fungsi distribusi kumulatif dari variabel acak kontinu $X$ sebagai berikut.
Nyatakan grafik tersebut dalam bentuk tertulis, kemudian tentukan fungsi kepadatan peluang dari $X.$

Pembahasan

Dengan membaca grafik fungsi distribusi peluang yang diberikan, termasuk menentukan persamaan garis untuk setiap interval nilai $x,$ diperoleh fungsi distribusi kumulatif dari $X$ sebagai berikut.
$$F(x) = \begin{cases} 0, & x \le 0 \\ \dfrac12x, & 0 < x \le 1 \\ \dfrac12, & 1 < x \le 2 \\ \dfrac12x-\dfrac12, & 2 <x \le 3 \\ 1, & x > 3. \end{cases}$$Adapun fungsi kepadatan peluang dari $X$ dapat dicari dengan menentukan turunan pertama dari $F(x)$ sesuai dengan nilai interval $x.$
$$f(x) = \begin{cases} 0, & x \le 0 \\ \dfrac12, & 0 < x \le 1 \\ 0, & 1 < x \le 2 \\ \dfrac12, & 2 < x \le 3 \\ 0, & x > 3  \end{cases}$$atau dapat disederhanakan menjadi
$$f(x) = \begin{cases} \dfrac12, & 0 < x \le 1~\text{atau}~2 < x \le 3 \\ 0, & x~\text{lainnya}. \end{cases}$$

[collapse]

0 0 votes
Article Rating

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini jika ada kesalahan pengetikan sekecil apa pun, seperti kesalahan pengetikan, kode LaTeX yang tidak berjalan, atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Subscribe
Notify of
guest

0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments
0
Would love your thoughts, please comment.x
()
x