Soal dan Pembahasan – Distribusi Normal

Bagilah arsiran menjadi dua daerah, yaitu daerah I pada interval $-0,\!50 < Z < 0$ dan daerah II pada interval $0 < Z < 2,\!25.$
Luas daerah I:
Cek tabel nilai $Z$ untuk bilangan $0,\!50.$ Lihat baris $0,\!5,$ kemudian pilih kolom $0$ seperti berikut.
Diperoleh bahwa luasnya adalah $P(-0,\!50 < Z < 0) = 0,\!1915.$
Luas daerah II:
Cek tabel nilai $Z$ untuk bilangan $2,\!25.$ Lihat baris $2,\!2,$ kemudian pilih kolom $5$ seperti berikut.
Diperoleh bahwa luasnya adalah $P(0 < Z < 2,\!25) = 0,\!4878.$
Luas daerah yang diberi arsir adalah jumlah luas keduanya, yakni
$$\begin{aligned} P(-0,\!50 < Z < 2,\!25) & = P(-0,\!50 < Z < 0) + P(0 < Z < 2,\!25) \\ & = 0,\!1915 + 0,\!4878 \\ & = 0,\!6793. \end{aligned}$$Jadi, luas daerah di bawah kurva normal baku tersebut adalah $\boxed{0,\!6793}$
(Jawaban D)

Luas arsir sama dengan luas setengah bagian daerah di bawah kurva normal dikurangi luas daerah pada interval $-1,\!30 < Z < 0.$
Luas daerah pada interval $-1,\!30 < Z < 0$:
Cek tabel nilai $Z$ untuk bilangan $1,\!30.$ Lihat baris $1,\!3,$ kemudian pilih kolom $0$ seperti berikut.
Diperoleh bahwa luasnya adalah $P(-1,\!30 < Z < 0) = 0,\!4032.$
Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} P(Z < -1,\!30) & = P(Z < 0)-P(-1,\!30 < Z < 0) \\ & = 0,\!5-0,\!4032 \\ & = 0,\!0968. \end{aligned}$$Jadi, luas daerah di bawah kurva normal baku tersebut adalah $\boxed{0,\!0968}$
(Jawaban B)

Bagilah arsiran menjadi dua daerah, yaitu daerah I pada interval $-1,\!22 < Z < 0$ dan daerah II pada interval $Z > 0.$
Luas daerah I:
Cek tabel nilai $Z$ untuk bilangan $1,\!22.$ Lihat baris $1,2,$ kemudian pilih kolom $2$ seperti berikut.
Diperoleh bahwa luasnya adalah $P(-1,\!22 < Z < 0) = 0,\!3888.$
Luas daerah II:
Karena daerahnya merupakan setengah bagian di bawah kurva distribusi normal, nilai $P(Z > 0) = 0,\!5.$
Luas daerah yang diberi arsir adalah jumlah luas keduanya, yakni
$$\begin{aligned} P(Z > -1,\!22) & = P(-1,\!22 < Z < 0) + P(Z > 0) \\ & = 0,\!3888 + 0,\!5 \\ & = 0,\!8888. \end{aligned}$$Jadi, luas daerah di bawah kurva normal baku tersebut adalah $\boxed{0,\!8888}$
(Jawaban A)

Luas arsir sama dengan luas seluruh daerah di bawah kurva distribusi normal (yaitu $1$) dikurangi dengan luas daerah I pada interval $-1,\!14 < Z < 0$ dan luas daerah II pada interval $0 < Z < 2,\!04.$
Luas daerah I: $-1,\!14 < Z < 0$
Cek tabel nilai $Z$ untuk bilangan $1,\!14.$ Lihat baris $1,1,$ kemudian pilih kolom $4$ seperti berikut.
Diperoleh bahwa luasnya adalah $P(-1,\!14 < Z < 0) = 0,\!3729.$
Luas daerah II: $0 < Z < 2,\!04$
Cek tabel nilai $Z$ untuk bilangan $2,\!04.$ Lihat baris $2,\!0,$ kemudian pilih kolom $4$ seperti berikut.
Diperoleh bahwa luasnya adalah $P(0 < Z < 2,\!04) = 0,\!4793.$
Luas daerah I + Luas daerah II adalah
$$\begin{aligned} P(-1,\!14 < Z < 2,\!04) & = P(-1,\!14 < Z < 0) + P(0 < Z < 2,\!04) \\ & = 0,\!3729 + 0,\!4793 \\ & = 0,\!8522. \end{aligned}$$Jadi, luas daerah di bawah kurva normal baku tersebut adalah $\boxed{1-0,\!8522 = 0,\!1478}$
(Jawaban C)

Arti dari notasi $X \sim N(200, 50)$ adalah data $X$ berdistribusi normal dengan rata-rata $\mu = 200$ dan simpangan baku $\sigma = 50.$
Pertama, transformasikan (ubah) nilai $X_1 = 210$ dan $X_2 = 260$ dalam $Z.$
$$\begin{aligned} Z_1 & = \dfrac{X_1-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{210-200}{50} = 0,\!20 \\ Z_2 & = \dfrac{X_2-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{260-200}{50} = 1,\!20 \end{aligned}$$Artinya, kita mencari luas di bawah kurva normal $P(0,\!20 < Z < 1,\!20).$
Dengan menggunakan Tabel Z, diperoleh
$$\begin{aligned} P(0,\!20 < Z < 1,\!20) & = P(0 < Z < 1,\!20)-P(0 < Z < 0,\!20) \\ & = 0,\!3849-0,\!0793 \\ & = 0,\!3056. \end{aligned}$$Jadi, peluang diperolehnya sampel dengan nilai di antara $210$ dan $260$ adalah $0,\!3056.$
Dengan demikian, perkiraan banyak sampel yang memiliki nilai antara 210 dan 260 adalah $\boxed{0,\!3056 \times 10.000 = 3.056}$
(Jawaban D)

Misalkan $X$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan tingkat kolesterol. Diketahui:
$\begin{aligned} \mu & = 180 \\ \sigma & = 30 \\ X & = 200 \end{aligned}$
Dengan demikian,
$$\begin{aligned} Z & = \dfrac{X-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{200-180}{30} \\ & = \dfrac{20}{30} = \dfrac23 \approx 0,\!67. \end{aligned}$$Peluang bahwa seorang remaja pria memiliki tingkat kolesterol lebih besar daripada $200$ dinotasikan oleh $P(X > 200) = P(Z > 0,\!67).$
Kurva distribusi normalnya ditunjukkan oleh gambar di bawah.
Cek tabel nilai $Z$ untuk skor $0,\!67$ seperti berikut dan akan diperoleh $P(0 < Z < 0,\!67) = 0,\!2486.$
Untuk mencari luas daerah yang diarsir, kita tuliskan
$$\begin{aligned} P(Z > 0,\!67) & = P(Z > 0)-P(0 < Z < 0,\!67) \\ & = 0,\!5-0,\!2486 \\ & = 0,\!2514. \end{aligned}$$Jadi, peluang kejadian tersebut terjadi adalah $\boxed{0,\!2514}$
(Jawaban E)

Misalkan $X$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan jumlah koper penumpang yang hilang. Diketahui:
$\begin{aligned} \mu & = 15,\!5 \\ \sigma & = 3,\!6 \\ X & = 20 \end{aligned}$
Dengan demikian,
$$\begin{aligned} Z & = \dfrac{X-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{20-15,\!5}{3,\!6} \\ & = \dfrac{4,\!5}{3,\!6} = 1,\!25. \end{aligned}$$Peluang pada minggu tertentu terdapat kejadian kehilangan kurang dari $20$ koper dinotasikan oleh $P(X < 20) = P(Z < 1,\!25).$
Kurva distribusi normalnya ditunjukkan oleh gambar di bawah.
Cek tabel nilai $Z$ untuk skor $1,\!25$ seperti berikut dan akan diperoleh $P(0 < Z < 1,\!25) = 0,\!3944.$
Untuk mencari luas daerah yang diarsir, kita tuliskan
$$\begin{aligned} P(Z < 1,\!25) & = P(Z < 0)+P(0 < Z < 1,\!25) \\ & = 0,\!5+0,\!3944 \\ & = 0,\!8944. \end{aligned}$$Jadi, peluang kejadian tersebut terjadi adalah $\boxed{0,\!8944}$
(Jawaban A)

Misalkan $X$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan tinggi mahasiswi dalam satuan cm. Diketahui:
$\begin{aligned} \mu & = 165 \\ \sigma & = 4 \\ X_1 & = 161 \\ X_2 & = 171 \end{aligned}$
Dengan demikian,
$$\begin{aligned} Z_1 & = \dfrac{X_1-\mu}{\sigma} = \dfrac{161-165}{4} = -1 \\ Z_2 & = \dfrac{X_2-\mu}{\sigma} = \dfrac{171-165}{4} = 1,\!5. \end{aligned}$$Peluang tinggi mereka akan berada di antara $161$ cm dan $171$ cm dinotasikan oleh $$P(161 < X < 171) = P(-1 < Z < 1,\!5).$$
Kurva distribusi normalnya ditunjukkan oleh gambar di bawah.
Cek tabel nilai $Z$ untuk skor $1,\!00$ dan $1,\!50$ seperti berikut dan akan diperoleh $P(-1,\!00 < Z < 0) = 0,\!3413$ dan $P(0 < Z < 1,\!50) = 0,\!4332.$
Untuk mencari luas daerah yang diarsir, kita tuliskan
$$\begin{aligned} P(-1,\!00 < Z < 1,\!50) & = P(-1,\!00 < Z < 0)+P(0 < Z < 1,\!50) \\ & = 0,\!3413 + 0,\!4332 \\ & = 0,\!7745. \end{aligned}$$Jadi, peluang kejadian tersebut terjadi adalah $\boxed{0,\!7745}$
(Jawaban D)

Misalkan $X \sim N(\mu, \sigma).$ Diketahui $\mu = 50$ dan $P(X > 54) = P(Z > z)$ $= 9,\!18\% = 0,\!0918.$
Karena $X = 54$ lebih besar dari $\mu = 50,$ maka $Z$ bernilai positif sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} P(Z > z) & = P(Z > 0)-P(0 < Z < z) \\ 0,\!0918 & = 0,\!5-P(0<Z<z) \\ P(0<Z<z) & = 0,\!4082. \end{aligned}$$Berdasarkan tabel $Z$, diperoleh $z = 1,\!33 \approx \dfrac43.$
Berikutnya, tinggal dicari nilai simpangan baku $\sigma.$
$$\begin{aligned} Z & = \dfrac{X-\mu}{\sigma} \\ \sigma & = \dfrac{X-\mu}{Z} \\ \sigma & = \dfrac{54-50}{\frac43} = \dfrac{4}{\frac43} = 3 \end{aligned}$$Jadi, nilai simpangan baku untuk kasus distribusi normal tersebut adalah $\boxed{\sigma = 3}$
(Jawaban C)

Misalkan $X \sim N(\mu, \sigma).$ Diketahui $\sigma = 5$ dan $P(X > 55) = P(Z > z) $ $= 5,\!48\% = 0,\!0548.$ Dari sini, dapat diketahui juga bahwa $z$ harus bernilai positif karena $0,\!0548 < 0,\!50.$
Oleh karena itu, kita tuliskan
$$\begin{aligned} P(Z > z) & = P(Z > 0)- P(0 < Z < z) \\ 0,\!0548 & = 0,\!5-P(0 < Z < z) \\ P(0 < Z < z) & = 0,\!4452. \end{aligned}$$Dari tabel $Z$, diperoleh $z = 1,\!60.$
Selanjutnya, tinggal dicari nilai rata-rata $\mu.$
$$\begin{aligned} Z & = \dfrac{X-\mu}{\sigma} \\ 1,\!60 & = \dfrac{55-\mu}{5} \\ 8 & = 55-\mu \\ \mu & = 47 \end{aligned}$$Jadi, nilai rata-rata distribusi tersebut adalah $\boxed{47}$
(Jawaban D)

Misalkan suatu eksperimen dengan $n$ kali percobaan dengan peluang sukses dan gagal untuk tiap percobaan berturut-turut adalah $p$ dan $q = 1-p$ memenuhi distribusi binomial. Rata-rata dan simpangan bakunya dinyatakan oleh $\mu = np$ dan $\sigma = \sqrt{npq}.$
Distribusi normal dianggap bisa menjadi pendekatan bagi distribusi binomial jika nilai $\mu$ dan $\sigma$ keduanya lebih besar dari $5.$
Cek Opsi A:
Karena $n = 10$ dan $p = 0,\!3$, kita peroleh
$$\begin{aligned} \mu & = np = 10(0,\!3) = 3 \\ \sigma & = \sqrt{npq} = \sqrt{10(0,\!3)(0,\!7)} = \sqrt{2,\!1}. \end{aligned}$$Karena keduanya bernilai tidak lebih dari $5,$ kondisi ini tidak memenuhi.
Cek Opsi B:
Karena $n = 100$ dan $p = 0,\!2$, kita peroleh
$$\begin{aligned} \mu & = np = 100(0,\!2) = 20 \\ \sigma & = \sqrt{npq} = \sqrt{100(0,\!2)(0,\!8)} = \sqrt{16} = 4. \end{aligned}$$Karena $\sigma$ bernilai tidak lebih dari $5,$ kondisi ini tidak memenuhi.
Cek Opsi C:
Karena $n = 100$ dan $p = 0,\!01,$ kita peroleh
$$\begin{aligned} \mu & = np = 100(0,\!01) = 1 \\ \sigma & = \sqrt{npq} = \sqrt{10(0,\!01)(0,\!99)} = \sqrt{0,\!99}. \end{aligned}$$Karena keduanya bernilai tidak lebih dari $5$, kondisi ini tidak memenuhi.
Cek Opsi D:
Karena $n = 10$ dan $p = 0,\!8,$ kita peroleh
$$\begin{aligned} \mu & = np = 10(0,\!8) = 8 \\ \sigma & = \sqrt{npq} = \sqrt{10(0,\!8)(0,\!2)} = \sqrt{1,\!6}. \end{aligned}$$Karena $\sigma$ bernilai tidak lebih dari $5,$ kondisi ini tidak memenuhi.
Cek Opsi E:
Karena $n = 1000$ dan $p = 0,\!5,$ kita peroleh
$$\begin{aligned} \mu & = np = 1000(0,\!5) = 500 \\ \sigma & = \sqrt{npq} = \sqrt{1000(0,\!5)(0,\!5)} = \sqrt{250}. \end{aligned}$$Karena keduanya bernilai lebih dari $5,$kondisi ini memenuhi.
(Jawaban E)

Diketahui $n = 400$ dan $p = 0,\!20.$ Pertama, akan dihitung nilai rata-rata $\mu$ dan simpangan baku $\sigma.$
$$\begin{aligned} \mu & = np = 400(0,\!20) = 80 \\ \sigma & = \sqrt{npq} = \sqrt{400(0,\!20)(0,\!80)} = \sqrt{64} = 8 \end{aligned}$$Perhatikan bahwa nilai $\mu$ dan $\sigma$ keduanya lebih besar dari $5$ sehingga pendekatan distribusi normal terhadap distribusi binomial adalah layak.
Selanjutnya, kita hitung nilai $Z$ untuk $X = 96.$
$$\begin{aligned} Z & = \dfrac{X-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{96-80}{8} = 2,00 \end{aligned}$$Dengan menggunakan tabel Z untuk $z = 2,\!00$, kita peroleh
$$\begin{aligned} P(X \ge 96) & = P(X > 96) \\ & = P(Z > 2,\!00) \\ & = P(Z > 0)-P(0<Z<2,\!00) \\ & = 0,\!5-0,\!4772 = 0,\!0228. \end{aligned}$$Jadi, peluang dari variabel acak $X$ sama dengan atau lebih besar dari $96$ (ditulis $P(X \geq 96)$) adalah $\boxed{0,\!0228}$
(Jawaban D)

Misalkan $X \sim N(\mu, \sigma).$ Diketahui $\mu = 60$ dan $\sigma = 10.$
Ambil $X_1 = 40$ sehingga kita peroleh
$$\begin{aligned} Z_1 & = \dfrac{X_1-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{40-60}{10} \\ & = -2,\!00. \end{aligned}$$Berikutnya, ambil $X_2 = 70$ sehingga kita peroleh
$$\begin{aligned} Z_2 & = \dfrac{X_2-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{70-60}{10} \\ & = 1,\!00. \end{aligned}$$Dengan demikian, kita dapatkan
$$\begin{aligned} P(40 < X < 70) & = P(-2,\!00 < Z < 1,\!00) \\ & = P(-2,\!00 < Z < 0) + P(0 < Z < 1,\!00) \\ & = 0,\!4772 + 0,\!3413 \\ & = 0,\!8185. \end{aligned}$$Jadi, luas daerah yang dibatasi antara $X = 40$ dan $X = 70$ adalah $\boxed{0,\!8185}$ dengan gambar kurva distribusi normalnya seperti berikut.

Misalkan $X$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan volume minyak tanah yang dipasarkan oleh pemasok tersebut dalam satuan liter. Diketahui $\mu = 8.000$ dan $\sigma = 1.000.$
Permintaan minyak tanah melampaui $9.250$ liter per hari.
Ambil $X = 9.250$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} Z & = \dfrac{X-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{9.250-8.000}{1.000} \\ & = 1,\!25. \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} P(X > 9.250) & = P(Z > 1,\!25) \\ & = P(Z > 0)-P(0<Z<1,\!25) \\ & = 0,5-0,\!3944 \\ & = 0,\!1056. \end{aligned}$$Jadi, peluang bahwa permintaan minyak tanah pada suatu hari melampaui jumlah yang dapat ditawarkan tersebut adalah $\boxed{0,\!1056}$

Misalkan $X$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan besarnya upah karyawan dalam satuan rupiah. Diketahui $\mu = 15.000.000$ dan $\sigma = 3.500.000.$
Karyawan yang dipilih memiliki upah yang lebih besar daripada Rp16.260.000,00.
Ambil $X = 16.260.000$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} Z & = \dfrac{X-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{16.260.000-15.000.000}{3.500.000} \\ & = 0,\!36. \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} P(X > 16.260.000) & = P(Z > 0,\!36) \\ & = P(Z > 0)-P(0<Z<0,\!36) \\ & = 0,\!5-0,\!1406 \\ & = 0,\!3594. \end{aligned}$$Jadi, peluang terpilihnya karyawan yang upahnya lebih besar daripada Rp16.260.000,00 adalah $\boxed{0,\!3594}$

Misalkan $X$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan usia harapan hidup penduduk di wilayah tersebut dalam satuan tahun. Diketahui $\mu = 44,\!8$ dan $\sigma = 11,\!3.$
Jawaban a)
Penduduk memiliki harapan hidup dengan usia di atas $60$ tahun.
Ambil $X = 60$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} Z & = \dfrac{X-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{60-44,\!8}{11,\!3} \\ & \approx 1,\!35. \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} P(X > 60) & = P(Z > 1,\!35) \\ & = P(Z > 0)-P(0<Z<1,\!35) \\ & = 0,\!5-0,\!4115 \\ & = 0,\!0885. \end{aligned}$$Peluang harapan hidup di atas $60$ tahun sebesar $0,\!0885$. Ini artinya dari $110$ orang yang ada, diperkirakan terdapat $$\boxed{0,\!0885 \times 110 = 9,\!735 \approx 10}$$ orang penduduk yang memiliki harapan hidup dengan kriteria tersebut.
Jawaban b)
Penduduk memiliki harapan hidup dengan usia di atas $40$ tahun.
Ambil $X = 40$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} Z & = \dfrac{X-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{40-44,\!8}{11,\!3} \\ & \approx -0\!,42. \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} P(X > 40) & = P(Z > -0,\!42) \\ & = P(-0,\!42 < Z < 0) + P(Z > 0) \\ & = 0,\!1628 + 0,5 \\ & = 0,\!6628. \end{aligned}$$Peluang harapan hidup di atas $60$ tahun sebesar $0,\!6628$. Ini artinya dari $110$ orang yang ada, diperkirakan terdapat $$\boxed{0,\!6628 \times 110 = 72,\!908 \approx 73}$$ orang penduduk yang memiliki harapan hidup dengan kriteria tersebut.
Jawaban c)
Penduduk memiliki harapan hidup dengan usia di antara $45$ tahun dan $65$ tahun.
Ambil $X_1 = 45$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} Z_1 & = \dfrac{X_1-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{45-44,\!8}{11,\!3} \\ & \approx 0,\!02. \end{aligned}$$Berikutnya, ambil $X_2 = 65$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} Z_2 & = \dfrac{X_2-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{65-44,\!8}{11,\!3} \\ & \approx 1,\!79 \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} P(45 < X < 65) & = P(0,\!02 < Z < 1,\!79) \\ & = P(0 < Z < 1,\!79)-P(0<Z<0,02) \\ & = 0,\!4633-0,\!0080 \\ & = 0,\!4553. \end{aligned}$$Peluang harapan hidup di antara $45$ tahun dan $65$ tahun sebesar $0,\!4553.$ Ini artinya dari $110$ orang yang ada, diperkirakan terdapat $$\boxed{0,\!4553 \times 110 = 50,\!083 \approx 50}$$ orang penduduk yang memiliki harapan hidup dengan kriteria tersebut.
Jawaban d)
Penduduk memiliki harapan hidup dengan usia di antara $55$ tahun dan $60$ tahun.
Ambil $X_1 = 55$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} Z_1 & = \dfrac{X_1-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{55-44,\!8}{11,\!3} \\ & \approx 0,\!90. \end{aligned}$$Berikutnya, ambil $X_2 = 60$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} Z_2 & = \dfrac{X_2-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{60-44,\!8}{11,\!3} \\ & \approx 1,\!35. \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} P(55 < X < 60) & = P(0,\!90 < Z < 1,\!35) \\ & = P(0 < Z < 1,\!35)-P(0<Z<0,\!90) \\ & = 0,\!4115-0,\!3159 \\ & = 0,\!0956. \end{aligned}$$Peluang harapan hidup di antara $55$ tahun dan $60$ tahun sebesar $0,\!0956.$ Ini artinya dari $110$ orang yang ada, diperkirakan terdapat $$\boxed{0,\!0956 \times 110 = 10,\!516 \approx 11}$$ orang penduduk yang memiliki harapan hidup dengan kriteria tersebut.

Misalkan $X$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan waktu hidup lampu pijar tersebut dalam satuan jam. Diketahui $\mu = 750$ dan $\sigma = 110.$
Jawaban a)
Lampu pijar yang dipilih memiliki waktu hidup antara $600$ jam dan $900$ jam.
Ambil $X_1 = 600$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} Z_1 & = \dfrac{X_1-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{600-750}{110} \\ & = -\dfrac{15}{11} \approx -1,\!36. \end{aligned}$$Berikutnya, ambil $X_2 = 900$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} Z_1 & = \dfrac{X_2-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{900-750}{110} \\ & = \dfrac{15}{11} \approx 1,\!36. \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} P(-1,\!36 < Z < 1,\!36) & = 2 \cdot P(0 < Z < 1,\!36) \\ & = 2 \cdot 0,\!4131 \\ & = 0,\!8262. \end{aligned}$$Jadi, peluang bahwa lampu pijar yang dipilih memiliki waktu hidup antara $600$ jam dan $900$ jam adalah $\boxed{0,\!8262}$
Jawaban b)
Lampu pijar yang dipilih memiliki waktu hidup lebih dari $100$ jam.
Ambil $X = 100$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} Z & = \dfrac{X-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{100-750}{110} \\ & = -\dfrac{65}{11} \approx -5,\!91. \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} P(X > 100) & = P(Z > -5,\!91) \\ & = P(-5,\!91 < Z < 0) + P(Z > 0) \\ & = 0,\!4999 + 0,5 \\ & = 0,\!9999. \end{aligned}$$Jadi, peluang bahwa lampu pijar yang dipilih memiliki waktu hidup lebih besar dari $100$ jam adalah $\boxed{0,\!9999}$

Misalkan $X$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan penjualan perusahaan tersebut dalam satuan rupiah. Diketahui $\mu = \$2~\text{juta}$ dan $\sigma = \$250.000 = \$0,\!25~\text{juta}.$ 
Jawaban a)
Penjualan perusahaan melebihi $\$$2,5 juta.
Ambil $X = 2,\!5$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} Z & = \dfrac{X-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{2,\!5-2}{0,\!25} \\ & = \dfrac{0,\!5}{0,\!25} = 2. \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} P(X > 2,\!5) & = P(Z > 2) \\ & = P(Z > 0)-P(0 < Z < 2) \\ & = 0,\!5-0,\!4772 \\ & = 0,\!0228. \end{aligned}$$Jadi, peluang penjualan perusahaan melebihi $\$$2,5 juta adalah $\boxed{0,\!0228}$
Jawaban b)
penjualan perusahaan akan berada di bawah $\$$1.250.000 = $\$$1,25 juta.
Ambil $X = 1,25$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} Z & = \dfrac{X-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{1,\!25-2}{0,\!25} \\ & = -\dfrac{0,\!75}{0,\!25} = -3. \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} P(X < 1,\!25) & = P(Z < -3) \\ & = P(Z < 0)-P(-3 < Z < 0) \\ & = 0,\!5-0,\!4987 \\ & = 0,\!0013. \end{aligned}$$Jadi, peluang penjualan perusahaan akan berada di bawah $\$$1.250.000 adalah $\boxed{0,\!0013}$
Jawaban c)
Penjualan perusahaan melebihi tingkat pulang-pokok, yaitu sebesar  $\$$1,45 juta.
Ambil $X = 1,\!45$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} Z & = \dfrac{X-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{1,\!45-2}{0,\!25} \\ & = -\dfrac{0,\!55}{0,\!25} = -2,\!2.  \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} P(X > 1,\!45) & = P(Z > -2,\!2) \\ & = P(-2,\!2 < Z < 0) + P(Z > 0) \\ & = 0,\!4861 + 0,\!5 \\ & = 0,\!9861. \end{aligned}$$Jadi, peluang penjualan perusahaan akan melebihi tingkat pulang-pokok adalah $\boxed{0,\!9861}$
Jawaban d)
Tingkat penjualan yang diinginkan memiliki kesempatan $9\% = 0,09$ untuk dilampaui tahun depan. Kata “dilampaui” menunjukkan bahwa tingkat penjualan bakal lebih tinggi dari rata-rata $\mu$ sehingga nilai $Z$ bakal bernilai positif seperti yang ditunjukkan pada gambar kurva normal berikut.
Karena $P(Z > z) = 0,\!09,$ kita peroleh
$$\begin{aligned} P(Z > z) & = P(Z > 0) + P(0 < Z < z) \\ 0,\!09 & = 0,5 + P(0 < Z < z) \\ P(0 < Z < z) & = 0,\!5-0,\!09=0,\!41. \end{aligned}$$Berdasarkan tabel $Z,$ diperoleh $z \approx 1,\!34.$
Berikutnya, tinggal dicari $X$ dengan menggunakan nilai $Z$ tersebut.
$$\begin{aligned} Z & = \dfrac{X-\mu}{\sigma} \\ 1,\!34 & = \dfrac{X-2}{0,\!25} \\ X & = (1,\!34 \times 0,\!25) + 2 \\ X & = 2,\!335 \end{aligned}$$Jadi, tingkat penjualan yang dimaksud sebesar $\boxed{2,\!335~\text{juta}}$

Misalkan $X$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan nilai peserta ujian tersebut. Diketahui $\mu = 60$ dan $\sigma^2 = 64 \Rightarrow \sigma = 8.$
Jawaban a)
Peserta yang dipilih memperoleh nilai A, artinya ia memiliki nilai $X \geq 80.$
Ambil $X = 80$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} Z & = \dfrac{X-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{80-60}{8} \\ & = \dfrac{5}{2} \approx 2,\!50. \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} P(X \ge 80) & = P(X > 80) \\ & = P(Z > 2,\!50) \\ & = P(Z > 0)-P(0<Z<2,\!50) \\ & = 0,\!5-0,\!4938 \\ & = 0,\!0062. \end{aligned}$$Jadi, peluang peserta yang dipilih memperoleh nilai A adalah $\boxed{0,\!0062}$
Jawaban b)
Peserta yang dipilih memperoleh nilai B, artinya ia memiliki nilai $65 \le X < 80.$
Ambil $X_1 = 65$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} Z_1 & = \dfrac{X_1-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{65-60}{8} \\ & = \dfrac{5}{8} \approx 0,\!63 \end{aligned}$$Ambil $X_2 = 80$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} Z_2 & = \dfrac{X_2-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{80-60}{8} \\ & = \dfrac{5}{2} \approx 2,\!50. \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} P(65 \ge X < 80) & = P(65 < X < 80) \\ & = P(0,\!63 < Z < 2,\!50) \\ & = P(0 < Z < 2,\!50)-P(0 <Z<0,\!63) \\ & = 0,\!4938-0,\!2357 \\ & = 0,\!2581. \end{aligned}$$Jadi, peluang peserta yang dipilih memperoleh nilai B adalah $\boxed{0,\!2581}$
Jawaban c)
Peserta yang dipilih mengikuti ujian perbaikan, artinya ia memiliki nilai $X < 65.$
Ambil $X_1 = 65$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} Z & = \dfrac{X-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{65-60}{8} \\ & = \dfrac{5}{8} \approx 0,\!63. \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} P(X < 65) & = P(Z < 0,\!63) \\ & = P(Z < 0) + P(0 < Z < 0,\!63) \\ & = 0,\!5 + 0,\!2357  \\ & = 0,\!7357. \end{aligned}$$Jadi, peluang peserta yang dipilih mengikuti ujian perbaikan adalah $\boxed{0,\!7357}$

Misalkan $X$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan panjang jari telunjuk tangan kanan dalam satuan cm. Diketahui $\mu = 6$ dan $\sigma = 0,\!4.$
Jawaban a)
Panjang jari telunjuk tangan kanan lebih pendek dari $6,\!5$ cm.
Ambil $X = 6,\!5$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} Z & = \dfrac{X-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{6,\!5-6}{0,\!4} = 1,\!25. \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} P(X < 6,\!5) & = P(Z < 1,\!25) \\ & = P(Z < 0) + P(0 < Z < 1,\!25) \\ & = 0,\!5 + 0,\!3944 \\ & = 0,\!8944. \end{aligned}$$Jadi, peluang bahwa orang yang dipilih memiliki jari telunjuk tangan kanan lebih pendek dari $6,\!5$ cm adalah $\boxed{0,\!8944}$
Jawaban b)
Panjang jari telunjuk tangan kanan lebih panjang dari $5,\!5$ cm.
Ambil $X = 5,\!5$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} Z & = \dfrac{X-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{5,\!5-6}{0,\!4} = -1,\!25. \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} P(X > 5,\!5) & = P(Z > -1,\!25) \\ & = P(-1,\!25 < Z < 0) + P(Z > 0) \\ & = 0,\!3944 + 0,\!5 \\ & = 0,\!8944. \end{aligned}$$Jadi, peluang bahwa orang yang dipilih memiliki jari telunjuk tangan kanan lebih panjang dari $5,\!5$ cm adalah $\boxed{0,\!8944}$
Jawaban c)
Panjang jari telunjuk tangan kanan di antara $5$ cm dan $7,\!5$ cm.
Ambil $X_1 = 5$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} Z_1 & = \dfrac{X_1-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{5-6}{0,\!4} \\ & = -\dfrac52 = -2,\!50. \end{aligned}$$Berikutnya, ambil $X_2 = 7,\!5$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} Z_2 & = \dfrac{X_2-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{7,\!5-6}{0,\!4} \\ & = \dfrac{15}{4} = 3,\!75. \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} P(5 < X < 7,\!5) & = P(-2,\!50 < Z < 3,\!75) \\ & = P(-2,\!50 < Z < 0) + P(0 < Z < 3\!75) \\ & = 0,\!4938 + 0,\!4999 \\ & = 0,\!9937. \end{aligned}$$Jadi, peluang bahwa orang yang dipilih memiliki panjang jari telunjuk tangan kanan di antara $5$ cm dan $7,\!5$ cm adalah $\boxed{0,\!9937}$

Misalkan $X$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan pendapatan tahunan dalam satuan rupiah. Diketahui $\mu = 98.000.000$ dan $\sigma = 16.000.000.$
Jawaban a)
Pendapatan tahunan lebih besar dari Rp50.000.000,00.
Ambil $X = 50.000.000$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} Z & = \dfrac{X-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{50.000.000-98.000.000}{16.000.000} \\ & = -3,\!00. \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} P(X > 50.000.000) & = P(Z > -3,\!00) \\ & = P(-3,\!00 < Z < 0) + P(Z > 0) \\ & = 0,\!4987 + 0,\!5 \\ & = 0,\!9987. \end{aligned}$$Jadi, peluang bahwa orang yang dipilih memiliki pendapatan tahunan lebih besar dari Rp50.000.000,00 adalah $\boxed{0,\!9987}$
Jawaban b)
Pendapatan tahunan lebih besar dari Rp122.000.000,00.
Ambil $X = 122.000.000$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} Z & = \dfrac{X-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{122.000.000-98.000.000}{16.000.000} \\ & = 1,\!50. \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} P(X > 122.000.000) & = P(Z > 1,\!50) \\ & = P(Z > 0)-P(0 < Z < 1,\!50) \\ & = 0,\!5-0,\!4332 \\ & = 0,\!0668. \end{aligned}$$Jadi, peluang bahwa orang yang dipilih memiliki pendapatan tahunan lebih besar dari Rp122.000.000,00 adalah $\boxed{0,\!0668}$
Jawaban c)
Pendapatan tahunan di antara Rp85.200.000,00 dan Rp122.000.000,00.
Ambil $X_1 = 85.200.000$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} Z_1 & = \dfrac{X_1-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{85.200.000-98.000.000}{16.000.000} \\ & = -0,\!80. \end{aligned}$$Berikutnya, ambil $X_2 = 122.000.000$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} Z_2 & = \dfrac{X_2-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{122.000.000-98.000.000}{16.000.000} \\ & = 1,\!50. \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} P(85.200.000 < Z < 122.000.000) & = P(-0,\!80 < Z < 1,\!50) \\ & = P(-0,\!80 < Z < 0) + P(0 < Z < 1,\!50) \\ & = 0,\!2881 + 0,\!4332 \\ & = 0,\!7213. \end{aligned}$$Jadi, peluang bahwa orang yang dipilih memiliki pendapatan tahunan di antara Rp85.200.000,00 dan Rp122.000.000,00 adalah $\boxed{0,\!7213}$
Jawaban d)
Pendapatan tahunan di antara Rp114.000.000,00 dan Rp130.000.000,00.
Ambil $X_1 = 114.000.000$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} Z_1 & = \dfrac{X_1-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{114.000.000-98.000.000}{16.000.000} \\ & = 1,\!00. \end{aligned}$$Berikutnya, ambil $X_2 = 130.000.000$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} Z_2 & = \dfrac{X_2-\mu}{\sigma} \\ & = \dfrac{130.000.000-98.000.000}{16.000.000} \\ & = 2,\!00. \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} P(114.000.000 < X < 130.000.000) & = P(1,\!00 < Z < 2,\!00) \\ & = P(0 < Z < 2,\!00)-P(0 < Z < 1,\!00) \\ & = 0,\!4772-0,\!3413 \\ & = 0,\!1359. \end{aligned}$$Jadi, peluang bahwa orang yang dipilih memiliki pendapatan tahunan di antara Rp114.000.000,00 dan Rp130.000.000,00 adalah $\boxed{0,\!1359}$

Misalkan $X$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan lamanya waktu yang dihabiskan untuk bermain gim daring dalam satuan menit.
Diketahui $\sigma = 37$ dan $P(X > 230) = P(Z > z)$ $= 14\% = 0,\!14.$ Dari sini, dapat diketahui juga bahwa $z$ harus bernilai positif karena $0,\!14 < 0,\!50.$
Oleh karena itu, kita tuliskan
$$\begin{aligned} P(Z > z) & = P(Z > 0)- P(0 < Z < z) \\ 0,\!14 & = 0,\!5-P(0 < Z < z) \\ P(0 < Z < z) & = 0,\!36. \end{aligned}$$Dari tabel $Z$, diperoleh $z = 1,\!08$ (dibulatkan).
Selanjutnya, tinggal dicari nilai rata-rata $\mu.$
$$\begin{aligned} Z & = \dfrac{X-\mu}{\sigma} \\ 1,\!08 & = \dfrac{230-\mu}{37} \\ \mu & = 230-(1,\!08 \times 37) \\ \mu & = 230-39,\!96 = 190,\!04 \end{aligned}$$Jadi, rata-rata pemain bermain gim daring tersebut adalah $\boxed{190,\!04~\text{menit}}$