Penaksiran (estimation) adalah proses untuk memperkirakan nilai dari suatu parameter populasi dari sampel yang diambil. Dalam penaksiran, kita melakukan inferensi untuk menduga nilai parameter populasi yang terlibat sehingga sangat memungkinkan terjadinya galat (error). Meskipun begitu, peran statistika menjadi begitu krusial karena kita berusaha untuk meminimalisasi terjadinya galat tersebut agar bernilai sekecil-kecilnya. Lebih lanjut, parameter populasi yang dimaksud umumnya berupa rata-rata (mean), proporsi (proportion), dan varians (variance).
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Uji Rata-Rata Satu Populasi
Pada artikel ini, kita akan memfokuskan bahasan pada penaksiran selisih rata-rata dua populasi berpasangan.
Data yang diperoleh dikatakan “berpasangan” karena sebenarnya hanya melibatkan satu populasi, tetapi mendapat perlakuan yang berbeda sehingga diasumsikan sebagai dua populasi. Contoh data berpasangan adalah sebagai berikut.
- Berat badan sekelompok orang sebelum dan sesudah mengonsumsi suplemen tertentu.
- Nilai siswa sebelum dan sesudah pelaksanaan metode pembelajaran tertentu.
- Waktu yang diperlukan oleh seorang perawat untuk memasang infus sebelum dan sesudah mendapatkan pelatihan dari tim medis profesional.
Misalkan terdapat dua populasi berpasangan berukuran $n$ dengan rata-rata $\mu_1$ dan $\mu_2$ serta varians $\sigma_1^2$ dan $\sigma_2^2.$ Dari dua populasi berpasangan tersebut, diperoleh selisih populasi dengan observasi $x_i-y_i$ untuk setiap $1 \le i \le n.$ Misalkan rata-rata dan simpangan baku dari selisih populasi tersebut adalah $\mu_d$ dan $\sigma_d.$ Misalkan juga rata-rata dan simpangan baku dari selisih sampel dari populasi tersebut adalah $\overline{x}_d$ dan $s_d.$
Selang kepercayaan $100(1-\alpha)\%$ untuk $\mu_d$ dapat ditentukan oleh
$$p(-t_{\alpha/2;~n-1} < T < t_{\alpha/2;~n-1}) = 1-\alpha$$dengan $T = \dfrac{\overline{X}_d-\mu_d}{S_d/\sqrt{n}}$ dan $t_{\alpha/2;~n-1}$ adalah nilai-$t$ dengan derajat kebebasan $n-1$ yang berasosiasi dengan luas sebesar $\alpha/2$ di bawah kurva distribusi-$t.$
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Distribusi Peluang Diskret dan Kontinu
Konsep di atas mengantarkan kita untuk dapat menaksir rata-rata dari selisih dua populasi berpasangan secara statistis.
Selang Kepercayaan untuk $\mu_d$
$$\overline{x}_d -t_{\alpha/2;~n-1} \cdot \dfrac{s_d}{\sqrt{n}} < \mu_d < \overline{x}_d+t_{\alpha/2;~n-1} \cdot \dfrac{s_d}{\sqrt{n}}$$dengan $t_{\alpha/2;~n-1}$ adalah nilai-$t$ dengan derajat kebebasan $n-1$ yang berasosiasi dengan luas sebesar $\alpha/2$ di bawah kurva distribusi-$t.$
Jika Anda ingin mencari soal latihan yang lebih banyak, Anda dapat mengakses ke folder soal mathcyber1997.com dengan mendaftar di . Folder soal tersebut tidak hanya berisi soal UTBK-SNBT, melainkan juga soal persiapan CPNS-PPPK, soal psikotes, soal TPA, soal ujian masuk perguruan tinggi, soal kompetensi matematika, dan masih banyak lagi.
Artikel ini ditulis berdasarkan beberapa sumber, termasuk sumber berbahasa Inggris. Salah satu sumber yang digunakan di antaranya adalah buku “Probability & Statistics for Engineers & Scientists” yang ditulis oleh Ronald E. Walpole dkk. Oleh karena itu, untuk meminimalisasi kesalahan penafsiran, padanan untuk beberapa kata/istilah diberikan dalam tabel berikut.
$$\begin{array}{ccc} \hline \text{No.} & \text{Bahasa Indonesia} & \text{Bahasa Inggris} \\ \hline 1. & \text{Penaksiran} & \text{Estimation} \\ 2. & \text{Rata-Rata} & \text{Mean} \\ 3. & \text{Simpangan Baku} & \text{Standard Deviation} \\ 4. & \text{Galat Baku} & \text{Standard Error} \\ 5. & \text{Nilai-}t & t\text{-Value} \\ 6. & \text{Selang Kepercayaan} & \text{Confidence Interval} \\ 7. & \text{Taraf Signifikansi} & \text{Significance Value} \\ 8. & \text{Derajat Kebebasan} & \text{Degree of Freedom} \\ 9. & \text{Data Berpasangan} & \text{Paired Data} \\ \hline \end{array}$$
Quote by Nelson Mandela
Catatan: Hasil perhitungan yang dilakukan dalam setiap soal bisa jadi sedikit berbeda karena masalah pembulatan. Anda seharusnya tidak dianggap salah jika terjadi kasus seperti itu.
Bagian Uraian
Soal Nomor 1
Seorang binaragawan ingin mengetahui pengaruh penggunaan mesin lari (treadmill) terhadap berat badan penggunanya. Oleh karena itu, ia memilih secara acak $15$ orang pengunjung pusat kebugaran (fitness center). Binaragawan tersebut melakukan pengukuran berat badan sebelum dan sesudah menggunakan mesin lari selama $15$ menit dengan kecepatan yang konstan. Alhasil, diperoleh rata-rata berat badan sebelum dan sesudah penggunaan mesin lari berturut-turut adalah $55$ kg dan $52$ kg. Lebih lanjut, simpangan baku dari data selisih berat badan adalah $1$ kg. Tentukan selang kepercayaan $95\%$ untuk selisih rata-rata dua populasi tersebut.
Misalkan $D$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan selisih berat badan orang sebelum dan sesudah menggunakan mesin lari (dalam kg). Ini merupakan kasus penaksiran rata-rata dua populasi berpasangan. Oleh karena itu, penaksiran akan melibatkan nilai-$t.$
Rata-rata dan simpangan baku sampel untuk data selisih $(d_i)$ berturut-turut adalah $\overline{x}_d = 55-52=3$ kg dan $s_d = 1$ kg. Sementara itu, ukuran sampelnya adalah $n = 15.$
Diketahui $\alpha = 1-95\%=5%.$ Dengan menggunakan tabel-$t,$ nilai-$t$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!025$ dan derajat kebebasan $$\text{dk} =n-1=15-1=14$$ adalah $t_{\text{tabel}} = t_{0,025; 14} \approx 2,\!145.$ Dari sini, diperoleh
$$\begin{array}{ccccc} \overline{x}_d-t_{\alpha;~n-1} \cdot \dfrac{s_d}{\sqrt{n}} & < & \mu_d & < & \overline{x}_d + t_{\alpha;~n-1} \cdot \dfrac{s_d}{\sqrt{n}} \\ 3-2,\!145 \cdot \dfrac{1}{\sqrt{15}} & < & \mu_d & < & 3+2,\!145 \cdot \dfrac{1}{\sqrt{15}} \\ 2,\!4462 & < & \mu_d & < & 3,\!5538. \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $95\%$ untuk selisih rata-rata dua populasi tersebut adalah $$2,\!4462 < \mu_d < 3,\!5538.$$
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Penaksiran Varians Satu Populasi
Soal Nomor 2
Seorang mahasiswa semester akhir melakukan penelitian terhadap dampak penggunaan ChatGPT terhadap prestasi belajar siswa pada materi pengantar statistika inferensial. Mahasiswa tersebut melakukan tes awal dan tes akhir kepada sekelompok siswa, kemudian memilih secara acak nilai dari $6$ orang siswa untuk dianalisis lebih lanjut.
$$\begin{array}{c|cccccc} \textbf{Tes Awal} & 68 & 80 & 75 & 60 & 85 & 35 \\ \hline \textbf{Tes Akhir} & 78 & 88 & 80 & 80 & 82 & 55 \\ \end{array}$$Tentukan selang kepercayaan $99\%$ untuk selisih rata-rata dua populasi tersebut.
Misalkan $D$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan selisih nilai tes awal dan tes akhir siswa karena penggunaan ChatGPT. Ini merupakan kasus penaksiran rata-rata dua populasi berpasangan. Oleh karena itu, penaksiran akan melibatkan nilai-$t.$
Lengkapi tabel data yang diberikan dengan menambahkan baris/kolom selisih.
$$\begin{array}{c|cccccc} \textbf{Tes Awal} & 68 & 80 & 75 & 60 & 85 & 35 \\ \hline \textbf{Tes Akhir} & 78 & 88 & 80 & 80 & 82 & 55 \\ \hline \textbf{Selisih}~(d_i) & 10 & 8 & 5 & 20 & -3 & 20 \\ \end{array}$$Diketahui ukuran sampel $n = 6$ dan $\alpha = 1\% = 0,\!01.$ Rata-rata dan simpangan baku sampel untuk data selisih $(d_i)$ berturut-turut adalah
$$\overline{x}_d = \dfrac{\sum x_d}{n} = \dfrac{10 + 8 + 5 + \cdots + 20}{6} = 10$$dan
$$s_d = \dfrac{n \sum x_d^2-(\sum x_d)^2}{n-1} \approx 8,\!9219.$$Dengan menggunakan tabel-$t,$ nilai-$t$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!005$ dan derajat kebebasan $$\text{dk} =n-1=6-1=5$$ adalah $t_{\text{tabel}} = t_{0,005; 5} \approx 4,\!032.$ Dari sini, diperoleh
$$\begin{array}{ccccc} \overline{x}_d-t_{\alpha;~n-1} \cdot \dfrac{s_d}{\sqrt{n}} & < & \mu_d & < & \overline{x}_d + t_{\alpha;~n-1} \cdot \dfrac{s_d}{\sqrt{n}} \\ 10-4,\!032 \cdot \dfrac{8,\!9219}{\sqrt{6}} & < & \mu_d & < & 10+4,\!032 \cdot \dfrac{8,\!9219}{\sqrt{6}} \\ -4,\!6860 & < & \mu_d & < & 24,\!6860. \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $99\%$ untuk selisih rata-rata dua populasi tersebut adalah $$-4,\!6860 < \mu_d < 24,\!6860.$$
Soal Nomor 3
Pada tahun 1976, J.A. Wesson memeriksa pengaruh obat suksametonium klorida (sering dikenal sebagai succinychloline) terhadap kadar peredaran hormon androgen dalam darah. Sampel darah dari rusa liar yang hidup bebas di suatu kawasan diambil melalui urat nadi leher segera setelah suksametonium klorida disuntikkan pada otot rusa. Rusa kemudian diambil lagi darahnya kira-kira $30$ menit setelah suntikan. Setelah itu, rusa dilepaskan kembali ke alam liar. Kadar androgen sesaat setelah disuntik dan $30$ menit setelah disuntik diukur dalam nanogram per ml (ng/ml) untuk $15$ ekor rusa. Data disajikan dalam tabel berikut.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{No.} & \text{Kadar androgen sesaat} & \text{Kadar androgen 30 menit} & \text{Selisih} \\ & \text{setelah rusa disuntik (ng/ml)} & \text{setelah rusa disuntik (ng/ml)} & (d_i) \\ \hline 1. & 2,\!76 & 7,\!02 & 4,\!26 \\ 2. & 5,\!18 & 3,\!10 & -2,\!08 \\ 3. & 2,\!68 & 5,\!44 & 2,\!76 \\ 4. & 3,\!05 & 3,\!99 & 0,\!94 \\ 5. & 4,\!10 & 5,\!21 & 1,\!11 \\ 6. & 7,\!05 & 10,\!26 & 3,\!21 \\ 7. & 6,\!60 & 13,\!91 & 7,\!31 \\ 8. & 4,\!79 & 18,\!53 & 13,\!74 \\ 9. & 7,\!39 & 7,\!91 & 0,\!52 \\ 10. & 7,\!30 & 4,\!85 & -2,\!45 \\ 11. & 11,\!78 & 11,\!10 & -0,\!68 \\ 12. & 3,\!90 & 3,\!74 & -0,\!16 \\ 13. & 26,\!00 & 94,\!03 & 68,\!03 \\ 14. & 67,\!48 & 94,\!03 & 26,\!55 \\ 15. & 17,\!04 & 41,\!70 & 24,\!66 \\ \hline \end{array}$$Tentukan selang kepercayaan $95\%$ untuk selisih rata-rata dua populasi tersebut.
Misalkan $D$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan selisih kadar androgen 30 menit setelah rusa disuntik terhadap kadar androgen sesaat setelah disuntik (dalam ng/ml). Ini merupakan kasus penaksiran rata-rata dua populasi berpasangan. Oleh karena itu, penaksiran akan melibatkan nilai-$t.$
Diketahui ukuran sampel $n = 15$ dan $\alpha = 5\% = 0,\!05.$ Rata-rata dan simpangan baku sampel untuk data selisih $(d_i)$ berturut-turut adalah
$$\overline{x}_d = \dfrac{\sum x_d}{n} = \dfrac{4,\!26 + (-2,\!08) + 2,\!76 + \cdots + 24,\!66}{15} = 9,\!848$$dan
$$s_d = \dfrac{n \sum x_d^2-(\sum x_d)^2}{n-1} \approx 18,\!474.$$Dengan menggunakan tabel-$t,$ nilai-$t$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!025$ dan derajat kebebasan $$\text{dk} =n-1=15-1=14$$ adalah $t_{\text{tabel}} = t_{0,025; 14} \approx 2,\!145.$ Dari sini, diperoleh
$$\begin{array}{ccccc} \overline{x}_d-t_{\alpha;~n-1} \cdot \dfrac{s_d}{\sqrt{n}} & < & \mu_d & < & \overline{x}_d + t_{\alpha;~n-1} \cdot \dfrac{s_d}{\sqrt{n}} \\ 9,\!848-2,\!145 \cdot \dfrac{18,\!474}{\sqrt{15}} & < & \mu_d & < & 9,\!848+2,\!145 \cdot \dfrac{18,\!474}{\sqrt{15}} \\ -0,\!3836 & < & \mu_d & < & 20,\!0796. \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $95\%$ untuk selisih rata-rata dua populasi tersebut adalah $$-0,\!3836 < \mu_d < 20,\!0796.$$
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Penaksiran Rasio Varians Dua Populasi
Soal Nomor 4
Sebanyak $12$ mobil dengan ban biasa dipilih secara acak, lalu didata jarak tempuhnya (dalam km) untuk satu liter bahan bakar. Selanjutnya, ban biasa tersebut diganti menjadi ban radial pada $12$ mobil yang sama, lalu didata jarak tempuhnya (dalam km) untuk satu liter bahan bakar kembali.
$$\begin{array}{c|ccccccccccc} \textbf{Ban Biasa} & 4,\!1 & 4,\!9 & 6,\!2 & 6,\!9 & 6,\!8 & 4,\!4 & 5,\!7 & 5,\!8 & 6,\!9 & 4,\!7 & 6,\!0 & 4,\!9 \\ \hline \textbf{Ban Radial} & 4,\!2 & 4,\!7 & 6,\!6 & 7,\!0 & 6,\!7 & 4,\!5 & 5,\!7 & 6,\!0 & 7,\!4 & 4,\!9 & 6,\!1 & 5,\!2 \\ \end{array}$$Tentukan selang kepercayaan $95\%$ untuk selisih rata-rata dua populasi tersebut.
Misalkan $D$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan selisih jarak tempuh mobil dengan ban radial dan ban biasa. Ini merupakan kasus penaksiran rata-rata dua populasi berpasangan. Oleh karena itu, penaksiran akan melibatkan nilai-$t.$
Lengkapi tabel data yang diberikan dengan menambahkan baris/kolom selisih.
$$\begin{array}{c|ccccccccccc} \textbf{Ban Biasa} & 4,\!1 & 4,\!9 & 6,\!2 & 6,\!9 & 6,\!8 & 4,\!4 & 5,\!7 & 5,\!8 & 6,\!9 & 4,\!7 & 6,\!0 & 4,\!9 \\ \hline \textbf{Ban Radial} & 4,\!2 & 4,\!7 & 6,\!6 & 7,\!0 & 6,\!7 & 4,\!5 & 5,\!7 & 6,\!0 & 7,\!4 & 4,\!9 & 6,\!1 & 5,\!2 \\ \hline \textbf{Selisih}~(d_i) & -0,\!1 & 0,\!2 & -0,\!4 & -0,\!1 & 0,\!1 & -0,\!1 & 0 & -0,\!2 & -0,\!5 & -0,\!2 & -0,\!1 & -0,\!3 \end{array}$$Diketahui ukuran sampel $n = 12$ dan $\alpha = 5\% = 0,\!05.$ Rata-rata dan simpangan baku sampel untuk data selisih $(d_i)$ berturut-turut adalah
$$\overline{x}_d = \dfrac{\sum x_d}{n} = \dfrac{-0,\!1 + 0,\!2 + (-0,\!4) + \cdots + (-0,\!3)}{12} \approx -0,\!1417$$dan
$$s_d = \dfrac{n \sum x_d^2-(\sum x_d)^2}{n-1} \approx 0,\!1975.$$Dengan menggunakan tabel-$t,$ nilai-$t$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!025$ dan derajat kebebasan $$\text{dk} =n-1=12-1=11$$ adalah $t_{\text{tabel}} = t_{0,025; 11} \approx 2,\!201.$Dari sini, diperoleh
$$\begin{array}{ccccc} \overline{x}_d-t_{\alpha;~n-1} \cdot \dfrac{s_d}{\sqrt{n}} & < & \mu_d & < & \overline{x}_d + t_{\alpha;~n-1} \cdot \dfrac{s_d}{\sqrt{n}} \\ -0,\!1417-2,\!201 \cdot \dfrac{0,\!1975}{\sqrt{12}} & < & \mu_d & < & -0,\!1417+2,\!201 \cdot \dfrac{0,\!1975}{\sqrt{12}} \\ -0,\!2672 & < & \mu_d & < & -0,\!0162. \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $95\%$ untuk selisih rata-rata dua populasi tersebut adalah $$-0,\!2672 < \mu_d < -0,\!0162.$$
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Penaksiran Rata-Rata Satu Populasi
Soal Nomor 5
Divisi akademik di suatu fakultas melakukan survei terhadap dampak penerapan metode pembelajaran berbasis masalah kepada $8$ mahasiswa yang dipilih secara acak dari program studi Statistika. Dampak yang dimaksud adalah terkait ada tidaknya kenaikan terhadap IPK mahasiswa. Secara spesifik, IPK yang dicapai mahasiswa sebelum dan sesudah penerapan metode pembelajaran berbasis masalah dicatat dalam tabel berikut.
$$\begin{array}{c|ccccccccccc} \textbf{Sebelum} & 3,\!7 & 3,\!6 & 3,\!8 & 3,\!7 & 3,\!9 & 3,\!8 & 3,\!6 & 3,\!9 \\ \hline \textbf{Sesudah} & 3,\!6 & 3,\!7 & 3,\!7 & 3,\!6 & 3,\!6 & 3,\!4 & 3,\!5 & 3,\!5 \\ \end{array}$$Tentukan selang kepercayaan $95\%$ untuk selisih rata-rata dua populasi tersebut.
Misalkan $D$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan selisih IPK mahasiswa sebelum dan sesudah penerapan metode pembelajaran berbasis masalah. Ini merupakan kasus penaksiran rata-rata dua populasi berpasangan. Oleh karena itu, penaksiran akan melibatkan nilai-$t.$
Lengkapi tabel data yang diberikan dengan menambahkan baris/kolom selisih.
$$\begin{array}{c|ccccccccccc} \textbf{Sebelum} & 3,\!7 & 3,\!6 & 3,\!8 & 3,\!7 & 3,\!9 & 3,\!8 & 3,\!6 & 3,\!9 \\ \hline \textbf{Sesudah} & 3,\!6 & 3,\!7 & 3,\!7 & 3,\!6 & 3,\!6 & 3,\!4 & 3,\!5 & 3,\!5 \\ \hline \textbf{Selisih}~(d_i) & 0,\!1 & -0,\!1 & 0,\!1 & 0,\!1 & 0,\!3 & 0,\!4 & 0,\!1 & 0,\!4 \\ \end{array}$$Diketahui ukuran sampel $n = 8$ dan $\alpha = 5\% = 0,\!05.$ Rata-rata dan simpangan baku sampel untuk data selisih $(d_i)$ berturut-turut adalah
$$\overline{x}_d = \dfrac{\sum x_d}{n} = \dfrac{0,\!1 + (-0,\!1) + 0,\!1 + \cdots + 0,\!4}{8} \approx 0,\!175$$dan
$$s_d = \dfrac{n \sum x_d^2-(\sum x_d)^2}{n-1} \approx 0,\!1753.$$Dengan menggunakan tabel-$t,$ nilai-$t$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!025$ dan derajat kebebasan $$\text{dk} =n-1=8-1=7$$ adalah $t_{\text{tabel}} = t_{0,025; 7} \approx 2,\!365.$ Dari sini, diperoleh
$$\begin{array}{ccccc} \overline{x}_d-t_{\alpha;~n-1} \cdot \dfrac{s_d}{\sqrt{n}} & < & \mu_d & < & \overline{x}_d + t_{\alpha;~n-1} \cdot \dfrac{s_d}{\sqrt{n}} \\ 0,\!175-2,\!365 \cdot \dfrac{0,\!1753}{\sqrt{8}} & < & \mu_d & < & 0,\!175+2,\!365 \cdot \dfrac{0,\!1753}{\sqrt{8}} \\ 0,\!0284 & < & \mu_d & < & 0,\!3216. \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $95\%$ untuk selisih rata-rata dua populasi tersebut adalah $$0,\!0284 < \mu_d < 0,\!3216.$$
Soal Nomor 6
Seorang peracik obat herbal ingin mengetahui apakah obat herbal yang diproduksinya dapat berfungsi untuk menurunkan berat badan seseorang atau tidak. Ia memilih $7$ orang pelanggannya sebagai sampel untuk kemudian dicatat berat badan sebelum dan sesudah mereka mengonsumsi obat herbal. Adapun data berat badan tersebut disajikan dalam tabel berikut.
$$\begin{array}{c|ccccccc} \textbf{Sebelum} & 58,\!5 & 60,\!3 & 61,\!7 & 69,\!0 & 64,\!0 & 62,\!6 & 56,\!0 \\ \hline \textbf{Sesudah} & 60,\!0 & 54,\!9 & 58,\!1 & 62,\!1 & 58,\!5 & 59,\!9 & 54,\!4 \\ \end{array}$$Tentukan selang kepercayaan $90\%$ untuk selisih rata-rata dua populasi tersebut.
Misalkan $D$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan selisih berat badan pelanggan sebelum dan sesudah mengonsumsi obat herbal. Ini merupakan kasus penaksiran rata-rata dua populasi berpasangan. Oleh karena itu, penaksiran akan melibatkan nilai-$t.$
Lengkapi tabel data yang diberikan dengan menambahkan baris/kolom selisih.
$$\begin{array}{c|ccccccc} \textbf{Sebelum} & 58,\!5 & 60,\!3 & 61,\!7 & 69,\!0 & 64,\!0 & 62,\!6 & 56,\!0 \\ \hline \textbf{Sesudah} & 60,\!0 & 54,\!9 & 58,\!1 & 62,\!1 & 58,\!5 & 59,\!9 & 54,\!4 \\ \hline \textbf{Selisih}~(d_i) & -1,\!5 & 5,\!4 & 3,\!6 & 6,\!9 & 5,\!5 & 2,\!7 & 1,\!6 \\ \end{array}$$Diketahui ukuran sampel $n = 7$ dan $\alpha = 10\% = 0,\!1.$ Rata-rata dan simpangan baku sampel untuk data selisih $(d_i)$ berturut-turut adalah
$$\overline{x}_d = \dfrac{\sum x_d}{n} = \dfrac{-1,\!5 + 5,\!4 + 3,\!6 + \cdots + 1,\!6}{7} \approx 3,\!4571$$dan
$$s_d = \dfrac{n \sum x_d^2-(\sum x_d)^2}{n-1} \approx 2,\!8407.$$Dengan menggunakan tabel-$t,$ nilai-$t$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!05$ dan derajat kebebasan $$\text{dk} =n-1=7-1=6$$ adalah $t_{\text{tabel}} = t_{0,05; 6} \approx 1,\!943.$
Dari sini, diperoleh
$$\begin{array}{ccccc} \overline{x}_d-t_{\alpha;~n-1} \cdot \dfrac{s_d}{\sqrt{n}} & < & \mu_d & < & \overline{x}_d + t_{\alpha;~n-1} \cdot \dfrac{s_d}{\sqrt{n}} \\ 3,\!4571-1,\!943 \cdot \dfrac{2,\!8407}{\sqrt{7}} & < & \mu_d & < & 3,\!4571+1,\!943 \cdot \dfrac{2,\!8407}{\sqrt{7}} \\ 1,\!3709 & < & \mu_d & < & 5,\!5433. \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $90\%$ untuk selisih rata-rata dua populasi tersebut adalah $$1,\!3709 < \mu_d < 5,\!5433.$$
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Penaksiran Selisih Rata-Rata Dua Populasi Bebas
Soal Nomor 7
Penelitian yang dilakukan oleh dinas kesehatan setempat menghasilkan data berupa banyaknya residu asam sorbat (dalam satuan bagian per juta, atau parts per million [ppm]) yang terkandung dalam $8$ potong daging sebagai sampel segera setelah ditetesi larutan sorbat dan setelah $60$ hari penyimpanannya.
$$\begin{array}{c|ccccccc} \textbf{Sebelum Disimpan} & 224 & 270 & 400 & 444 & 590 & 660 & 1.400 & 680 \\ \hline \textbf{Setelah Disimpan} & 116 & 96 & 239 & 329 & 437 & 597 & 689 & 576 \\ \end{array}$$Tentukan selang kepercayaan $95\%$ untuk selisih rata-rata dua populasi tersebut.
Misalkan $D$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan selisih konsentrasi residu asam sorbat pada daging (dalam satuan bagian per juta) segera setelah larutan sorbat dan setelah disimpan selama $60$ hari. Ini merupakan kasus penaksiran rata-rata dua populasi berpasangan. Oleh karena itu, penaksiran akan melibatkan nilai-$t.$
Lengkapi tabel data yang diberikan dengan menambahkan baris/kolom selisih.
$$\begin{array}{c|ccccccc} \textbf{Sebelum Disimpan} & 224 & 270 & 400 & 444 & 590 & 660 & 1.400 & 680 \\ \hline \textbf{Setelah Disimpan} & 116 & 96 & 239 & 329 & 437 & 597 & 689 & 576 \\ \hline \textbf{Selisih}~(d_i) & 108 & 174 & 161 & 115 & 153 & 63 & 711 & 104 \end{array}$$Diketahui ukuran sampel $n = 8$ dan $\alpha = 5\% = 0,\!05.$ Rata-rata dan simpangan baku sampel untuk data selisih $(d_i)$ berturut-turut adalah
$$\overline{x}_d = \dfrac{\sum x_d}{n} = \dfrac{108 + 174 + 161 + \cdots + 104}{8} = 198,\!625$$dan
$$s_d = \dfrac{n \sum x_d^2-(\sum x_d)^2}{n-1} \approx 210,\!1652.$$Dengan menggunakan tabel-$t,$ nilai-$t$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!025$ dan derajat kebebasan $$\text{dk} =n-1=8-1=7$$ adalah $t_{\text{tabel}} = t_{0,025; 7} \approx 2,\!365.$ Dari sini, diperoleh
$$\begin{array}{ccccc} \overline{x}_d-t_{\alpha;~n-1} \cdot \dfrac{s_d}{\sqrt{n}} & < & \mu_d & < & \overline{x}_d + t_{\alpha;~n-1} \cdot \dfrac{s_d}{\sqrt{n}} \\ 198,\!625-2,\!365 \cdot \dfrac{210,\!1652}{\sqrt{8}} & < & \mu_d & < & 198,\!625+2,\!365 \cdot \dfrac{210,\!1652}{\sqrt{8}} \\ 22,\!8946 & < & \mu_d & < & 374,\!3554. \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $95\%$ untuk selisih rata-rata dua populasi tersebut adalah $$22,\!8946 < \mu_d < 374,\!3554.$$