Soal dan Pembahasan – Analisis Faktor dan Kelipatan Bilangan

Berikut ini merupakan soal dan pembahasan mengenai analisis faktor dan kelipatan bilangan yang secara khusus melibatkan bilangan pecahan.

Today Quote

Life is too short to live the same day twice.

Bagian Pilihan Ganda 

Soal Nomor 1
Banyaknya bilangan asli $n$ yang menyebabkan $\dfrac{18}{n}$ juga bilangan asli adalah $\cdots \cdot$
A. $2$                         C. $5$                       E. $8$
B. $4$                         D. $6$

Pembahasan

Agar $\dfrac{18}{n}$ bilangan asli, $n$ harus merupakan faktor positif dari $18,$ yaitu $\{1, 2, 3, 6, 9, 18\}.$
$$\begin{array}{ccc} \hline \text{Faktor 18} &n & \dfrac{18}{n} \\ \hline 1 & 1 & 18 \\ 2 & 2 & 9 \\ 3 & 3 & 6 \\ 6 & 6 & 3 \\ 9 & 9 & 2 \\ 18 & 18 & 1 \\ \hline \end{array}$$Jadi, ada $\boxed{6}$ bilangan asli $n$ yang menyebabkan $\dfrac{18}{n}$ juga bilangan asli, yaitu $\{1, 2, 3, 6, 9, 18\}.$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 2
Banyaknya bilangan asli $n < 400$ yang menyebabkan $\dfrac{n}{25}$ juga bilangan asli adalah $\cdots \cdot$
A. $12$                      C. $15$                     E. $18$
B. $14$                     D. $16$

Pembahasan

Agar $\dfrac{n}{25}$ bilangan asli, $n$ harus merupakan kelipatan dari $25,$ yaitu $\{25, 50, 75, 100, \cdots, 375\}.$ Untuk setiap $n$ yang kita pilih tersebut, $\dfrac{n}{25}$ pasti bilangan asli. Ini menunjukkan bahwa banyak bilangan asli $n < 400$ yang menyebabkan $\dfrac{n}{25}$ juga bilangan asli sama dengan banyak bilangan kelipatan $25$ yang kurang dari $400,$ yaitu $\boxed{\dfrac{375}{25} = 15}$
(Jawaban C)

[collapse]

Baca Juga: Sistem Bilangan – Konversi dan Cara Hitungnya 

Soal Nomor 3
Misalkan $A$ menyatakan himpunan semua bilangan asli yang dapat dituliskan sebagai $\dfrac{n+4}{n-2}$ untuk suatu bilangan asli $n.$ Jumlah semua anggota $A$ adalah $\cdots \cdot$
A. $8$                             D. $16$
B. $12$                           E. $20$
C. $14$

Pembahasan

Perhatikan bahwa kita dapat menyatakan bentuk $\dfrac{n+4}{n-2}$ dalam bentuk yang lain.
$$\begin{aligned} \dfrac{n+4}{n-2} & = \dfrac{(n-2) + 6}{n-2} \\ & = \dfrac{n-2}{n-2} + \dfrac{6}{n-2} \\ & = 1 + \dfrac{6}{n-2} \end{aligned}$$Agar menghasilkan bilangan asli, $(n-2)$ harus merupakan faktor positif dari $6,$ yaitu $\{1, 2, 3, 6\}.$
$$\begin{array}{ccc} \hline \text{Faktor 6} & n & 1 + \dfrac{6}{n-2} \\ \hline 1 & 3 & 7 \\ 2 & 4 & 4 \\ 3 & 5 & 3 \\ 6 & 8 & 2 \\ \hline \end{array}$$Jadi, anggota $A$ ada empat, yaitu $\{2,3,4,7\}$ sehingga jumlah anggotanya adalah $\boxed{2+3+4+7=16}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 4
Misalkan $H$ menyatakan himpunan semua bilangan asli yang dapat dituliskan sebagai $\dfrac{6n}{n+3}$ untuk suatu bilangan asli $n.$ Hasil kali semua anggota $H$ adalah $\cdots \cdot$
A. $60$                          D. $270$
B. $120$                         E. $540$
C. $240$

Pembahasan

Perhatikan bahwa kita dapat menyatakan bentuk $\dfrac{6n}{n+3}$ dalam bentuk yang lain.
$$\begin{aligned} \dfrac{6n}{n+3} & = \dfrac{6(n+3)-18}{n+3} \\ & = \dfrac{6\cancel{(n+3)}}{\cancel{n+3}}-\dfrac{18}{n+3} \\ & = 6-\dfrac{18}{n+3} \end{aligned}$$Agar menghasilkan bilangan asli, $(n+3)$ harus merupakan faktor positif dari $18,$ yaitu $\{1, 2, 3, 6, 9, 18\}$ serta $\dfrac{18}{n+3}$ bernilai kurang dari $6.$ Kita mulai dari yang paling besar, yakni $18.$
$$\begin{array}{ccc} \hline \text{Faktor 18} & n & 6-\dfrac{18}{n+3} \\ \hline 18 & 15 & 5 \\ 9 & 6 & 4 \\ 6 & 3 & 3 \\ 3 & 0 & – \\ \hline \end{array}$$Analisis kita hentikan karena nilai $n$ bukan bilangan asli lagi. Jadi, anggota $H$ ada tiga, yaitu $\{3, 4, 5\}$ sehingga hasil kali anggotanya adalah $\boxed{3 \cdot 4 \cdot 5 = 60}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 5
Berapa banyak nilai bilangan bulat $n$ yang mengakibatkan $\dfrac{n-2}{n}$ dan $\dfrac{2n}{n+1}$ keduanya juga merupakan bilangan bulat?
A. $0$                        C. $2$                       E. $4$        
B. $1$                        D. $3$           

Pembahasan

Perhatikan bahwa kita dapat menyatakan bentuk $\dfrac{n-2}{n}$ dalam bentuk yang lain.
$$\begin{aligned} \dfrac{n-2}{n} & = \dfrac{n}{n}-\dfrac{2}{n} \\ & = 1-\dfrac{2}{n} \end{aligned}$$Agar menghasilkan bilangan bulat, $n$ harus merupakan faktor dari $2,$ yaitu $\{\pm 1, \pm 2\}.$
$$\begin{array}{ccc} \hline \text{Faktor 2} & n & 1-\dfrac{2}{n} \\ \hline 2 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 3 \\ -2 & -2 & 2 \\ \hline \end{array}$$Jadi, ada $4$ nilai $n$ yang memenuhi untuk membuat $\dfrac{n-2}{n}$ menjadi bilangan bulat, yaitu $\{\color{blue}{-2}, -1, \color{blue}{1}, 2\}.$
Selanjutnya, kita dapat menyatakan bentuk $\dfrac{2n}{n+1}$ dalam bentuk yang lain.
$$\begin{aligned} \dfrac{2n}{n+1} & = \dfrac{2(n+1)-2}{n+1} \\ & = \dfrac{2\cancel{(n+1)}}{\cancel{n+1}}-\dfrac{2}{n+1} \\ & = 2-\dfrac{2}{n+1} \end{aligned}$$Agar menghasilkan bilangan bulat, $(n+1)$ harus merupakan faktor dari $2,$ yaitu $\{\pm 1, \pm 2\}.$
$$\begin{array}{ccc} \hline \text{Faktor 2} & n & 2-\dfrac{2}{n+1} \\ \hline 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ -1 & -2 & 4 \\ -2 & -3 & 3 \\ \hline \end{array}$$Jadi, ada $4$ nilai $n$ yang memenuhi untuk membuat $\dfrac{2n}{n+1}$ menjadi bilangan bulat, yaitu $\{-3, \color{blue}{-2}, 0, \color{blue}{1}\}.$
Sekarang, dapat kita simpulkan bahwa nilai $n$ yang membuat kedua bentuk tersebut berupa bilangan bulat adalah $\{-2, 1\}.$ Dengan kata lain, ada $\boxed{2}$ nilai $n$ yang memenuhi kondisi tersebut.
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 6
Misalkan $D$ menyatakan himpunan semua bilangan asli yang dapat dituliskan sebagai $\dfrac{n^2-2n+4}{n+1}$ untuk suatu bilangan asli $n.$ Banyaknya anggota $D$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0$                       C. $2$                     E. $4$
B. $1$                       D. $3$   

Pembahasan

Perhatikan bahwa kita dapat menyatakan bentuk $\dfrac{n^2-2n+4}{n+1}$ dalam bentuk yang lain.
$$\begin{aligned} \dfrac{n^2-2n+4}{n+1} & = \dfrac{(n+1)^2-4n+3}{n+1} \\ & = \dfrac{(n+1)^2}{n+1}+\dfrac{-4n+3}{n+1} \\ & = (n+1)+\dfrac{-4(n+1)+7}{n+1} \\ & = (n+1)+\dfrac{-4\cancel{(n+1)}}{\cancel{n+1}} + \dfrac{7}{n+1} \\ & = (n+1)-4+\dfrac{7}{n+1} \\ & = n-3+\dfrac{7}{n+1} \end{aligned}$$Agar menghasilkan bilangan asli, $(n+1)$ harus merupakan faktor positif dari $7,$ yaitu $\{1, 7\}.$
$$\begin{array}{ccc} \hline \text{Faktor 7} & n & n-3+\dfrac{7}{n+1} \\ \hline 1 & 0 & – \\ 7 & 6 & 4 \\ \hline \end{array}$$Perhatikan bahwa $n$ harus merupakan bilangan asli. Jika kita memilih $1$ sebagai faktor dari $7,$ maka itu berakibat $n = 0$ (bukan bilangan asli).
Jadi, anggota $D$ hanya ada satu, yaitu $\{4\}.$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 7
Misalkan $H$ menyatakan himpunan semua bilangan asli yang dapat dituliskan sebagai $\dfrac{10n^2+25}{n+2}$ untuk suatu bilangan asli $n.$ Jumlah semua anggota $H$ adalah $\cdots \cdot$
A. $389$                         D. $867$
B. $576$                         E. $965$
C. $729$

Pembahasan

Perhatikan bahwa kita dapat menyatakan bentuk $\dfrac{10n^2+25}{n+2}$ dalam bentuk yang lain.
$$\begin{aligned} \dfrac{10n^2+25}{n+2} & = \dfrac{10(n+2)^2-40n-15}{n+2} \\ & = \dfrac{10(n+2)^2}{n+2}-\dfrac{40n+15}{n+2} \\ & = 10(n+2)-\dfrac{40(n+2)-65}{n+2} \\ & = 10(n+2)-\dfrac{40\cancel{(n+2)}}{\cancel{n+2}}+\dfrac{65}{n+2} \\ & = 10(n+2)-40+\dfrac{65}{n+2} \\ & = 10n-20+\dfrac{65}{n+2} \end{aligned}$$Agar menghasilkan bilangan asli, $(n+2)$ harus merupakan faktor positif dari $65,$ yaitu $\{1, 5, 13, 65\}.$
$$\begin{array}{ccc} \hline \text{Faktor 65} &n & 10n-20+\dfrac{65}{n+2} \\ \hline 1 & -1 & – \\ 5 & 3 & 23 \\ 13 & 11 & 95 \\ 65 & 63 & 611 \\ \hline & \text{Jumlah} & 729 \\ \hline \end{array}$$Jadi, anggota $H$ ada tiga, yaitu $\{23, 95, 611\}$ sehingga jumlah anggotanya adalah $\boxed{23+95+611=729}$
(Jawaban C)

[collapse]

Tinggalkan Balasan

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *