Soal dan Pembahasan – Limit Tak Hingga

Jawaban a) 
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} (4x + 2) = 4(\infty) + 2 = \infty + 2 = \infty$
Jawaban b) 
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} (-x + 4) = -\infty + 4 = -\infty$
Jawaban c) 
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} -(3x^2 + 9) & = -(3(\infty)^2 + 9) \\ & = -(\infty + 9) = -\infty \end{aligned}$

Pendekatan formal:
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x^3+3x^2-5x+4}{2x^4 – 4x^2 + 9} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{x^4}{2x^3}+\dfrac{3x^2}{x^4}-\dfrac{5x} {x^4}+\dfrac{4}{x^4}}{\dfrac{2x^4}{x^4} – \dfrac{4x^2}{x^4} + \dfrac{9} {x^4}} \\ & = \dfrac{0-0-0+0}{2-0+0} = 0 \end{aligned}$
Pendekatan lain:
Perhatikan bahwa bagian pembilang dan penyebut fungsinya merupakan fungsi polinom. Karena derajat pembilang = $3$ < derajat penyebut = $4$, maka nilai limitnya adalah $\boxed{0}$.

Pendekatan formal:
Bagi setiap suku dengan variabel berpangkat tertinggi, yaitu $x^3$. 
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x^3+3x^2+7}{x^2+3x+4} & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{2x^3}{x^3} + \dfrac{3x^2}{x^3}+\dfrac{7}{x^3}} {\dfrac{x^2}{x^3}+\dfrac{3x} {x^3}+\dfrac{4}{x^3}} = \infty \end{aligned}$$
Pendekatan lain:
Perhatikan bahwa bagian pembilang dan penyebut fungsinya merupakan fungsi polinom. Karena derajat pembilang = $3$ > derajat penyebut = $2$, maka nilai limitnya adalah $\boxed{\infty}$. 
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x^3+3x^2+7}{x^2+3x+4} = \infty}$
(Jawaban A)

$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(3-x+\dfrac{x^2-2x} {x+5}\right) \\ & = \lim_{x \to \infty} \left(\dfrac{3-x} {x+5}+\dfrac{x^2-2x} {x+5}\right) \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^2-3x+3}{x+5} \\ & = \infty \end{aligned}$
Bentuk limit terakhir menghasilkan tak hingga karena derajat pembilang lebih besar dari derajat penyebut (Jawaban E). 

Jawaban a) 
Diketahui bahwa variabel derajat tertinggi pembilang dan penyebutnya sama, yaitu $x^3$. Pada pembilang, koefisien $x^3$ adalah $3$, sedangkan koefisien $x^3$ pada penyebut adalah $-5$. Jadi, 
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{3x^3-2x-10}{ 4x-2x^2-5x^3} = -\dfrac{3}{5}$
Jawaban b) 
Diketahui variabel berderajat tertinggi pada pembilang adalah $x^5$, sedangkan variabel berderajat tertinggi pada penyebut adalah $x^4$. Karena $5 > 4$, maka 
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^5-2x^4+x^3-3x^2+2x-7}{7-2x+3x^2-x^3+2x^4} = \infty$

Uraikan dan tinjau hanya pada variabel berpangkat tertinggi. 
Jawaban a) 
$$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{(1-2x)^3}{(x-1)(2x^2+x+1)} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{-8x^3 + \cdots} {2x^2+x+1}$$
Karena pangkat tertinggi pada pembilang lebih besar dari penyebut, maka nilai dari
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{(1-2x)^3}{(x-1)(2x^2+x+1)} = \infty$
Jawaban b) 
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{(3x-2)^3}{(4x+2)^3} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{27x^3 + \cdots} {64x^3 + \cdots} = \dfrac{27}{64}$

Diketahui bahwa
$\dfrac{f(x)} {x} = \dfrac{x + \dfrac{x^2}{\sqrt{x^2-2x}}} {x} = 1 + \dfrac{x} {\sqrt{x^2-2x}}$
Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)} {x} & = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{x} {\sqrt{x^2-2x}}\right) \\ & = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{\dfrac{x} {x}} {\sqrt{\dfrac{x^2-2x} {x^2}}}\right) \\ & = 1 + \dfrac{1}{\sqrt{1+0}} = 2 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)} {x}$ adalah $\boxed{2}$
(Jawaban D)

$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{\theta \to -\infty} \dfrac{\pi \theta^5}{\theta^5 – 5\theta^4} & = \lim_{\theta \to -\infty} \dfrac{\cancel{\theta^4}(\pi \theta)}{\cancel{\theta^4}(\theta – 5)} \\ & = \lim_{\theta \to -\infty} \dfrac{\pi \theta} {\theta – 5} \\ & = \lim_{\theta \to -\infty} \left(\dfrac{\pi(\theta – 5)} {\theta – 5} + \dfrac{5\pi} {\theta – 5}\right) \\ & = \lim_{\theta \to -\infty} \left(\pi + \dfrac{5\pi} {\theta – 5}\right) \\ & = \pi – 0 = \pi \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{\theta \to -\infty} \dfrac{\pi \theta^5}{\theta^5 – 5\theta^4} = \pi}$
Catatan: Tinjau bentuk $\dfrac{5\pi} {\theta – 5}$. Apabila nilai $\theta$ semakin kecil menuju negatif tak hingga, maka penyebutnya juga akan semakin kecil, dan nilai pecahannya akan semakin mendekati $0$.

Dengan menggunakan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^4+2x^3+4x^2}-\sqrt{x^4+2x^3-x^2}) \\ & = \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^4+2x^3+4x^2}-\sqrt{x^4+2x^3-x^2}) \\ &  \times \dfrac{\sqrt{x^4+2x^3+4x^2}+\sqrt{x^4+2x^3-x^2}} {\sqrt{x^4+2x^3+4x^2}+\sqrt{x^4+2x^3-x^2}} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{(x^4+2x^3+4x^2)-(x^4+2x^3-x^2)} {\sqrt{x^4+2x^3+4x^2}+\sqrt{x^4+2x^3-x^2}} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{5x^2}{\sqrt{x^4+2x^3+4x^2}+\sqrt{x^4+2x^3-x^2}} \\ & \text{Bagi setiap suku dengan}~x^2 \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{5x^2}{x^2}} {\sqrt{\dfrac{x^4}{x^4}+\dfrac{2x^3}{x^4}+\dfrac{4x^2}{x^4}}+\sqrt{\dfrac{x^4}{x^4}+\dfrac{2x^3}{x^4}-\dfrac{x^2}{x^4}}} \\ & = \dfrac{5}{\sqrt{1+0+0} + \sqrt{1+0-0}} = \dfrac{5}{2} \end{aligned}$$
Jadi, nilai dari limit tersebut adalah $\boxed{\dfrac{5}{2}}$ (Jawaban E)

Gunakan rumus
$$\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{ax^2+px+q}) = \dfrac{b-p} {2\sqrt{a}} }$$
Untuk kasus ini, diketahui bahwa
$a = 9, b = 5, p = -7$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{9x^2+5x+5}-\sqrt{9x^2-7x-4}) \\ & = \dfrac{5-(-7)} {2\sqrt{9}} = \dfrac{12}{6} = 2 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari limit tersebut adalah $\boxed{2}$ (Jawaban D)

Perhatikan bahwa 
$3x+1 = \sqrt{(3x+1)^2} = \sqrt{9x^2+6x+1}$
diberlakukan karena $x$ menuju tak hingga (nilainya dipastikan positif). 
Untuk itu, dengan menggunakan rumus 
$$\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{ax^2+px+q}) = \dfrac{b-p} {2\sqrt{a}} }$$
(Diketahui: $a = 9, b = 6, p = 4$)
diperoleh
$$\displaystyle \lim_{x \to \infty} (3x+1)-\sqrt{9x^2+4x-7}) = \dfrac{6-4}{2\sqrt{9}} = \dfrac{1}{3}$$
Jadi, nilai dari limit tersebut adalah $\boxed{\dfrac{1}{3}}$ (Jawaban D)

Perhatikan bahwa bentuk $-x+2$ dapat ditulis menjadi
$-(x-2) = -\sqrt{(x-2)^2} = -\sqrt{x^2-4x+4}$
Dengan demikian, diperoleh
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+3x+2}-(\sqrt{x^2-4x+4})$
Gunakan rumus 
$$\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{ax^2+px+q}) = \dfrac{b-p} {2\sqrt{a}} }$$
untuk $a = 1, b = 3, p = -4$, sehingga diperoleh
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+3x+2}-(\sqrt{x^2-4x+4}) \\ & = \dfrac{3-(-4)} {2\sqrt{1}} = \dfrac{7}{2} = 3,5 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari limit tersebut adalah $\boxed{3,5}$ (Jawaban B)

Bagi setiap suku dengan variabel berpangkat tertinggi, yaitu $x^2$. 
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{8x^2+1}} {x^2+4} & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{\dfrac{8x^2}{x^4}+\dfrac{1}{x^4}}}{\dfrac{x^2}{x^2}+\dfrac{4}{x^2}} \\ & = \dfrac{\sqrt{0 + 0}} {1 + 0} = 0 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{8x^2+1}} {x^2+4} = 0}$

Ingat bahwa
$$\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{ax+b} – \sqrt{cx + d}) = \begin{cases} \infty, &~\text{jika}~a > c \\ 0, &~\text{jika}~a = c \\ -\infty, &~\text{jika}~a < c \end{cases}}$$
Jawaban a) 
Diketahui: $a = 1$ dan $c = 1$, sehingga $a = c$. Berarti, 
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x+5}-\sqrt{x-3}) = 0$
Jawaban b) 
Diketahui: $a = 2$ dan $c = 1$, sehingga $a > c$. Berarti, 
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{2x-7}-\sqrt{x+3}) = \infty$
Jawaban c) 
Diketahui: $a = 1$ dan $c = 2$, sehingga $a < c$. Berarti, 
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x+5}-\sqrt{2x-3}) = -\infty$

Dengan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x – \sqrt{x}} – \sqrt{x + \sqrt{x}}) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x – \sqrt{x}} – \sqrt{x + \sqrt{x}}) \times \dfrac{\sqrt{x – \sqrt{x}} + \sqrt{x + \sqrt{x}}}{\sqrt{x – \sqrt{x}} + \sqrt{x + \sqrt{x}}} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{(x-\sqrt{x})-(x+\sqrt{x})} {\sqrt{x – \sqrt{x}} + \sqrt{x + \sqrt{x}}} \\ & =\lim_{x \to \infty} \dfrac{-2\sqrt{x}} {\sqrt{x – \sqrt{x}} + \sqrt{x + \sqrt{x}}} \end{aligned}$$
Bagi setiap sukunya dengan $\sqrt{x}$. 
$\displaystyle \begin{aligned} & \lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{-2\sqrt{x}} {\sqrt{x}}}{\dfrac{\sqrt{x – \sqrt{x}}} {\sqrt{x}} + \dfrac{\sqrt{x + \sqrt{x}}} {\sqrt{x}}} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{-2}{\sqrt{1-\dfrac{1}{\sqrt{x}}} + \sqrt{1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}}} \\ & = \dfrac{-2}{\sqrt{1-0} + \sqrt{1+0}} \\ & = \dfrac{-2}{1+1} = -1 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x – \sqrt{x}} – \sqrt{x + \sqrt{x}}) = -1}$ 
(Jawaban C)

$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} ( \sqrt{(2x-1)(x+2)} – (x\sqrt{2}+1)) \\ & = \lim_{x \to \infty} ((\sqrt{2x^2+3x-2} – \sqrt{2x^2}) – 1) \\ & = \dfrac{3-0}{2\sqrt{2}} – 1 \\ & = \dfrac{3}{2\sqrt{2}} – 1 \\ & = \dfrac{3}{4}\sqrt{2}-1 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $$\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} ( \sqrt{(2x-1)(x+2)} – (x\sqrt{2}+1)) = \dfrac{3}{4}\sqrt{2}-1}$$
(Jawaban B)

Kalikan dengan bentuk sekawannya, 
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} x(\sqrt{x^2+1} – x) \\ & = \lim_{x \to \infty} x(\sqrt{x^2+1} – x) \times \dfrac{\sqrt{x^2+1} + x} {\sqrt{x^2+1} + x} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{x(x^2+1-x^2)} {\sqrt{x^2+1}+x} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{x+1}{\sqrt{x^2+1}+x} \end{aligned}$
Bagi setiap suku dengan variabel berpangkat tertinggi, yaitu $x$. 
$\begin{aligned} \lim_{x \to \infty} \dfrac{x+1}{\sqrt{x^2+1}+x}  & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{x+1}{x}}{\sqrt{\dfrac{x^2+1}{x^2}}+\dfrac{x} {x} } \\ & = \dfrac{1 + 0}{\sqrt{1+0} + 1} = \dfrac{1}{2} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} x(\sqrt{x^2+1} – x) = \dfrac{1}{2}}$

Jawaban a) 
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{(x+5)(4x+7)} – \sqrt{(x+3)(4x+7)}) \\ & = \lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2 + 27x + 35} – \sqrt{4x^2+19x+21}) \\ & = \dfrac{27-19}{2\sqrt{4}} = \dfrac{8}{4} = 2 \end{aligned}$$
Jadi, nilai dari $$\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{(x+5)(4x+7)} – \sqrt{(x+3)(4x+7)}) = 2}$$
Jawaban b) 
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} (x – \sqrt{x^2 – 10x }) & = \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2} – \sqrt{x^2-10x}) \\ & = \dfrac{0 – (-10)} {2\sqrt{1}} = \dfrac{10}{2} = 5 \end{aligned}$$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} (x – \sqrt{x^2 – 10x }) = 5}$

$\begin{aligned}  & \displaystyle \lim_{x \to \infty} [\sqrt{(x+a) (x+b)} – x] \\ & = \lim_{x \to \infty} [\sqrt{x^2 + (a+b)x + ab} – \sqrt{x^2}] \\ & = \dfrac{(a+b)-0}{2\sqrt{1}} \\ & = \dfrac{a+b} {2} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} [\sqrt{(x+a) (x+b)} – x] = \dfrac{a+b} {2}$

Bagi setiap suku dengan variabel berpangkat tertinggi, yaitu $x$. 
$\begin{aligned}&  \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{18x^2-x+1}-3x} {\sqrt{x^2+2x}}\\  & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{1}{x}\sqrt{18x^2-x+1} – \dfrac{3x} {x}} {\dfrac{1}{x} \sqrt{x^2+2x}} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{\sqrt{18x^2-x+1}} {x^2} – \dfrac{3x} {x}} {\dfrac{\sqrt{x^2+2x}} {x^2}} \\ & = \dfrac{\sqrt{18-0+0} – 3}{\sqrt{1+0}} \\ & = \dfrac{\sqrt{18}-3}{1} = 3\sqrt{2}-3 = 3(\sqrt{2} – 1) \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{18x^2-x+1}-3x} {\sqrt{x^2+2x}} = 3(\sqrt{2}-1)}$
(Jawaban B)

$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2+8x} – \sqrt{x^2+1} – \sqrt{x^2+x}) \\ & = \lim_{x \to \infty} (2\sqrt{x^2+2x} – \sqrt{x^2+1} – \sqrt{x^2+x}) \\ & = \lim_{x \to \infty} ((\sqrt{x^2 + 2x} – \sqrt{x^2 + 1}) + (\sqrt{x^2+2x} – \sqrt{x^2 + x})) \\ & = \dfrac{2 – 0}{2\sqrt{1}} + \dfrac{2 – 1}{2\sqrt{1}} \\ & = \dfrac{2}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2} \end{aligned}$$

Bagi setiap suku dengan variabel berpangkat tertinggi, yaitu $x$. 
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{3x^2-2x-1}} {x+2.000} \\  & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{1}{x} \sqrt{3x^2-2x-1}} {\dfrac{1}{x}\left(x+2.000\right)} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{\dfrac{3x^2-2x-1}{x^2}}} {1 + \dfrac{2.000}{x}} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{3 – \dfrac{2}{x} – \dfrac{1}{x^2}}} {1 + \dfrac{2.000}{x}} \\ & = \dfrac{\sqrt{3 – 0 – 0}} {1 + 0} = \sqrt{3} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{3x^2-2x-1}} {x+2.000}$ adalah $\boxed{\sqrt{3}}$

Alternatif I: Pendekatan Intuitif
$$\begin{aligned} \displaystyle & \displaystyle \lim_{x\to\infty}(\sqrt[7]{x^7+x^6}-\sqrt[7]{x^7-x^6}) \\ = & \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt[7] {\left (x+\dfrac17\right)^7+O(x^5)}-\sqrt[7]{\left(x-\dfrac17 \right)^7+O(x^5)}\right) \\ = & \lim_{x\to\infty} \left(\sqrt[7]{\left(x+\dfrac17\right)^7}-\sqrt[7]{\left(x-\dfrac17\right)^7}\right) \\ = &\lim_{x\to\infty}\left(\left(x+\dfrac17\right) – \left(x-\dfrac17\right)\right) \\ = & \lim_{x \to \infty} \left(\dfrac17 + \dfrac17\right) \\ = &\boxed {\dfrac27} \end{aligned}$$
Catatan: Notasi $O(x^5)$ menyatakan polinomial berderajat $5$ yang didapat dari penguraian bentuk $\left(x+\dfrac{1}{7}\right)^7$. Karena $x$ menuju tak hingga, bentuk $\left(x+\dfrac{1}{7}\right)^7$ akan lebih cepat bertambah besar, sehingga $O(x^5)$ dapat diabaikan.
Alternatif II: Dalil L’Hospital (Turunan)
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x\to\infty}(\sqrt[7]{x^7+x^6}-\sqrt[7]{x^7-x^6})\\ = & \lim_{x\to\infty} \left(\sqrt[7]{x^7\left(x + \dfrac1x\right)}-\sqrt[7]{x^7\left(x – \dfrac1x\right)}\right) \\ = & \lim_{x\to\infty} x\left(\sqrt[7]{1 + \dfrac1x}-\sqrt[7]{1 – \dfrac1x}\right) \\ & \text{Misalkan}~x = \dfrac{1}{t} \\ = & \lim_{t \to 0} {{\sqrt[7]{1+t}-\sqrt[7]{1-t}}\over t} \\ \stackrel{\text{L’H}}{=} & \lim_{t \to 0} \left(\dfrac{1}{7}(1 + t)^{-\frac{6}{7}}(1) – \dfrac{1}{7}(1 – t)^{-\frac{6}{7}}(-1)\right) \\ = &  \dfrac{1}{7}(1 + 0)^{-\frac{6}{7}} + \dfrac{1}{7}(1 – 0)^{-\frac{6}{7}} \\ = & \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{7}\\ = & \boxed{\dfrac27} \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\displaystyle \lim_{x\to\infty}(\sqrt[7]{x^7+x^6}-\sqrt[7]{x^7-x^6})$ adalah $\boxed{\dfrac{2}{7}}$

$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{\theta \to \infty} \dfrac{\sin^2 \theta} {\theta^2 – 5} \\ & = \lim_{\theta \to \infty} \dfrac{\sin \theta} {\theta + \sqrt{5}} \times \dfrac{\sin \theta} {\theta – \sqrt{5}} \\ & = \lim_{\theta \to \infty} \dfrac{\sin \theta} {\theta} \times \dfrac{1}{1 + \dfrac{\sqrt{5}} {\theta}} \times \dfrac{\sin \theta} {\theta} \times \dfrac{1}{1 – \dfrac{\sqrt{5}} {\theta}} \\ & = (0 \times 1 \times 0 \times 1) = 0 \end{aligned}$$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{\theta \to \infty} \dfrac{\sin^2 \theta} {\theta^2 – 5} = 0}$

Jawaban a) 
Misalkan $y = \dfrac{1}{x}$ yang ekuivalen dengan $x = \dfrac{1}{y}$. 
Jika $x \to \infty$, maka $y \to 0$, sehingga bentuk limitnya dapat ditulis menjadi
$\displaystyle \lim_{y \to 0} \dfrac{1}{y} \tan y = 1$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} x \tan \dfrac{1}{x} = 1}$
Jawaban b) 
Ingat bahwa: $\boxed{\cot x = \dfrac{1}{\tan x}}$ 
Misalkan $y = \dfrac{1}{x}$. 
Jika $x \to \infty$, maka $y \to 0$, sehingga bentuk limitnya dapat ditulis menjadi
$\displaystyle \lim_{y \to 0} y \cot y = \lim_{y \to 0} \dfrac{y} {\tan y} = 1$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x} \cot \dfrac{1}{x} = 1}$
Jawaban c) 
Ingat bahwa: $\boxed{\csc x = \dfrac{1}{\sin x}}$
Misalkan $y = \dfrac{1}{x}$ yang ekuivalen dengan $x = \dfrac{1}{x}$
Jika $x \to \infty$, maka $y \to 0$, sehingga bentuk limitnya dapat ditulis menjadi
$\displaystyle \lim_{y \to 0} \dfrac{\csc y} {\frac{1}{y}} = \lim_{y \to 0} \dfrac{y} {\sin y} = 1$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\csc \frac{1}{x}} {x} = 1}$  

Jawaban a) 
Misalkan $y = \dfrac{1}{x}$. 
Jika $x \to \infty$, maka $y \to 0$. Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \tan \dfrac{5}{x} \csc \dfrac{2}{x} & = \lim_{y \to 0} \tan 5y \csc 2y \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{\tan 5y} {\sin 2y} = \dfrac{5}{2} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \tan \dfrac{5}{x} \csc \dfrac{2}{x} = \dfrac{5}{2}$
Jawaban b) 
Misalkan $y = x^{-1}$. 
Jika $x \to \infty$, maka $y \to 0$. Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \cot 3x^{-1} \sin x^{-1} & = \lim_{y \to 0} \cot 3y \sin y \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{\sin y} {\tan 3y} = \dfrac{1}{3} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \cot 3x^{-1} \sin x^{-1} = \dfrac{1}{3}}$
Jawaban c) 
Misalkan $y = \dfrac{1}{x}$. 
Jika $x \to \infty$, maka $y \to 0$. Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\cot \dfrac{1}{2x}} {\csc \dfrac{3}{x}} & = \lim_{y \to 0} \dfrac{\cot \dfrac{1}{2}y} {\csc 3y} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{\sin 3y} {\tan \dfrac{1}{2}y} \\ & = \dfrac{3}{\dfrac{1}{2}} = 6 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\cot \dfrac{1}{2x}} {\csc \dfrac{3}{x}} = 6}$

Misalkan $x = \dfrac{1}{\sqrt{y}}$, ekuivalen dengan $\sqrt{y} = \dfrac{1}{x}$. 
Jika $y \to \infty$, maka $x \to 0$. Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{y \to \infty} \sqrt{6y} \cos \dfrac{3}{\sqrt{y}} \sin \dfrac{5}{\sqrt{y}} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{6}} {x} \cos 3x \sin 5x \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 5x} {x} \cdot \sqrt{6} \cdot \cos 3x \\ & = 5 \cdot \sqrt{6} \cos 0 \\ & = 5\sqrt{6} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{y \to \infty} \sqrt{6y} \cos \dfrac{3}{\sqrt{y}} \sin \dfrac{5}{\sqrt{y}} = 5\sqrt{6}}$

Misalkan $y= \dfrac{1}{x}$. 
Jika $x \to \infty$, maka $y \to 0$. Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned}  \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{1-\cos \dfrac{4}{x}} {\dfrac{1}{x} \cdot \tan \dfrac{3}{x}} & = \lim_{y \to 0} \dfrac{1 – \cos 4y} {y \cdot \tan 3y} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{1 – (1 – 2 \sin^2 2y)} {y \cdot \tan 3y} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{2 \sin 2y \sin 2y} {y \cdot \tan 3y} \\ & = 2 \lim_{y \to 0} \dfrac{\sin 2y} {y} \cdot \dfrac{\sin 2y} {\tan 3y} \\ & = 2 \cdot 2 \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{3} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{1-\cos \dfrac{4}{x}} {\dfrac{1}{x} \cdot \tan \dfrac{3}{x}} = \dfrac{8}{3}}$

Misalkan $y = \dfrac{1}{x}$, ekuivalen dengan $x = \dfrac{1}{y}$. 
Jika $x \to \infty$, maka $y \to 0$. 
Untuk itu, dapat ditulis
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} 2x^2\left(1-\cos \dfrac{6}{x} \right) \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{2}{y^2}(1 – \cos 6y) \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{2}{y^2}(1 – \cos 6y) \times \dfrac{1+\cos 6y} {1+\cos 6y} \\ & = 2 \lim_{y \to 0} \dfrac{1 – \cos^2 6y} {y^2(1 + \cos 6y)} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{\sin 6y} {y} \cdot \dfrac{\sin 6y} {y} \cdot \dfrac{1}{1+\cos 6y} \\ & = 6 \cdot 6 \cdot \dfrac{1}{1+ \cos 0} \\ & = 18 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} 2x^2\left(1-\cos \dfrac{6}{x} \right) = 18}$

Misalkan $y = \dfrac{1}{x}$. Jika $x \to \infty$, maka $y \to 0$, sehingga ditulis
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(2 + \cos \dfrac{4}{x}\right) & = \lim_{y \to 0} (2 + \cos 4y) \\ & = 2 + \cos 0 = 3 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(2 + \cos \dfrac{4}{x}\right) = 3}$

Misalkan $y = \dfrac{1}{x}$, ekuivalen dengan $x = \dfrac{1}{y}$. Jika $x \to \infty$, maka $y \to 0$, sehingga ditulis
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(3x + \sin \dfrac{1}{x} \right) & = \lim_{y \to 0} \left(\dfrac{3}{y} + \sin y \right) \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{3}{y} + \lim_{y \to 0} \sin y \\ & = \infty + 0 = \infty \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(3x + \sin \dfrac{1}{x} \right) = \infty}$

Misalkan $y = \dfrac{1}{x}$, ekuivalen dengan $x = \dfrac{1}{y}$. Jika $x \to \infty$, maka $y \to 0$, sehingga ditulis
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\tan \dfrac{1}{x} – x\right) & = \lim_{y \to 0} \left(\tan y – \dfrac{1}{y} \right) \\ & = \tan 0 – \infty = -\infty \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\tan \dfrac{1}{x} – x\right) = -\infty}$

Misalkan $y = \dfrac{1}{x}$. Jika $x \to \infty$, maka $y \to 0$, sehingga ditulis 
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \sin \left(\dfrac{1}{x} – \dfrac{4 \pi} {3}\right) & = \lim_{y \to 0} \sin \left(y – \dfrac{4 \pi} {3}\right) \\ & = \sin \left(0-\dfrac{4 \pi} {3}\right) \\ & = -\sin 240^{\circ} = \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sin \left(\dfrac{1}{x} – \dfrac{4 \pi} {3}\right) = \dfrac{1}{2}\sqrt{3}}$

Misalkan $y = \dfrac{1}{x}$, ekuivalen dengan $x = \dfrac{1}{y}$.
Jika $x \to \infty$, maka $y \to 0$, sehingga dapat ditulis
$\begin{aligned} & \left(\sin \left(\dfrac{1}{x} – \dfrac{6 \pi} {7}\right) – 5x\right) \\ & = \lim_{y \to 0} \left(\sin \left(y – \dfrac{6 \pi}{7}\right) – \dfrac{5}{y}\right) \\ & = \lim_{y \to 0} \sin \left(y – \dfrac{6 \pi}{7}\right) – \lim_{y \to 0} \dfrac{5}{y} \\ & = -\sin \dfrac{6 \pi}{7} – \infty = -\infty \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\sin \left(\dfrac{1}{x} – \dfrac{6 \pi} {7}\right) – 5x\right) = -\infty}$

Misalkan $x= \dfrac{1}{y}$. 
Jika $y \to \infty$, maka $x \to 0$. Dengan demikian, dapat ditulis
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{y \to \infty} y \cdot \sin \dfrac{3}{y} \cdot \cos \dfrac{5}{y} & = \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x} \cdot \sin 3x \cdot \cos 5x \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 3x} {x} \cdot \cos 5x \\ & = 3 \cdot \cos 0 = 3 \end{aligned}$$
Jadi, nilai dari $\displaystyle \lim_{y \to \infty} y \cdot \sin \dfrac{3}{y} \cdot \cos \dfrac{5}{y}$ adalah $\boxed{3}$ (Jawaban D)

Misalkan $y= \dfrac{1}{x}$, ekuivalen dengan $x = \dfrac{1}{y}$. 
Jika $x \to \infty$, maka $y \to 0$. Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sin \dfrac{3}{x}} {\left(1-\cos \dfrac{2}{x} \right) \cdot x^2 \cdot \sin \dfrac{1}{x}} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{\sin 3y} {(1 – \cos 2y) \cdot \left(\dfrac{1}{y}\right)^2 \cdot \sin y} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{\sin 3y \cdot y^2}{(1 – \cos 2y) \cdot \sin y} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{\sin 3y} {\sin y} \cdot \dfrac{y^2}{1 – \cos 2y} \\ & = 3 \cdot \dfrac{0^2}{1 – \cos 0} = 3 \cdot 0 = 0 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sin \dfrac{3}{x}} {\left(1-\cos \dfrac{2}{x} \right) \cdot x^2 \cdot \sin \dfrac{1}{x}} = 0}$ 
(Jawaban A)

Misalkan $y= \dfrac{1}{\sqrt{x}}$, ekuivalen dengan $x = \dfrac{1}{y^2}$. 
Jika $x \to \infty$, maka $y \to 0$. Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} x \left(1- \cos \dfrac{1}{\sqrt{x}}\right) \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{1}{y^2} (1 – \cos y) \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{1-\cos y} {y^2} \times \dfrac{1+\cos y} {1 + \cos y} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{1-\cos^2 y} {y^2(1 + \cos y)} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{\sin y} {y} \cdot \dfrac{\sin y} {y} \cdot \dfrac{1}{1 + \cos y} \\ & = 1 \cdot 1 \cdot \dfrac{1}{1 + \cos 0} = \dfrac{1}{2} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} x \left(1- \cos \dfrac{1}{\sqrt{x}}\right) = \dfrac{1}{2}}$
(Jawaban B) 
Catatan:
Identitas trigonometri yang digunakan adalah
$$\boxed{\sin^2 x + \cos^2 x = 1 \iff 1 – \cos^2 x = \sin^2 x}$$

Misalkan $y= \dfrac{1}{x}$, ekuivalen dengan $x = \dfrac{1}{y}$. 
Jika $x \to \infty$, maka $y \to 0$. Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned} & \lim_{x \to \infty} 2x \cdot \tan \dfrac{1}{x} \cdot \sec \dfrac{2}{x} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{2}{y} \cdot \tan y \cdot \sec 2y \\ & = 2 \lim_{y \to 0} \dfrac{\tan y} {y} \cdot \sec 2y \\ & = 2 \cdot 1 \cdot \sec 0 \\ & = 2 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\lim_{x \to \infty} 2x \cdot \tan \dfrac{1}{x} \cdot \sec \dfrac{2}{x} = 2}$
(Jawaban C)

Misalkan $y = \dfrac{1}{x}$, ekuivalen dengan $x = \dfrac{1}{y}$. 
Jika $x \to \infty$, maka $y \to 0$. Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x^2 \tan \left(\dfrac{1}{x} \right) – x \sin \left(\dfrac{1}{x} \right) + \dfrac{1}{x}} {x \cos \left(\dfrac{2}{x} \right)} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{2\left(\dfrac{1}{y} \right)^2 \tan y – \dfrac{1}{y} \sin y + y} {\dfrac{1}{y} \cos 2y}\color{red} { \times \dfrac{y}{y}} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{2\left(\dfrac{1}{y} \right) \tan y – \sin y + y^2} {\cos 2y} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{2 \cdot \dfrac{\tan y}{y}- \sin y + y^2} {\cos 2y} \\ & = \dfrac{2 \cdot 1 – \sin 0 + 0^2}{\cos 0} \\ & = \dfrac{2 – 0}{1} = 2 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x^2 \tan \left(\dfrac{1}{x} \right) – x \sin \left(\dfrac{1}{x} \right) + \dfrac{1}{x}} {x \cos \left(\dfrac{2}{x} \right)} = 2}$

Dengan menggunakan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} 2x\left(\sqrt{9+\dfrac{10}{x}} – 3\right) \\ & = \lim_{x \to \infty} 2x\left(\sqrt{9+\dfrac{10}{x}} – 3\right) \times \dfrac{\sqrt{9+\dfrac{10}{x}} + 3}{\sqrt{9+\dfrac{10}{x}} + 3} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x \cdot \left(9+ \dfrac{10}{{x}} – 3^2\right)}{\sqrt{9+\dfrac{10}{x}} + 3} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{2 \cdot 10}{\sqrt{9+\dfrac{10}{x}} + 3} \\ & = \dfrac{20}{\sqrt{9+0} + 3} = \dfrac{10}{3} \end{aligned}$$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} 2x\left(\sqrt{9+\dfrac{10}{x}} – 3\right) = \dfrac{10}{3}}$ 
(Jawaban A)

Perhatikan bahwa bentuk
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{(x-2)\sqrt{(x+2) + \sqrt{4x}}}{x\sqrt{2x} – 2\sqrt{x} + 2\sqrt{2}}$
dapat dinyatakan sebagai
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{\left(\dfrac{(x-2)\sqrt{(x+2) + \sqrt{4x}}}{x\sqrt{2x} – 2\sqrt{x} + 2\sqrt{2}}\right)^2}$
Dengan demikian, diperoleh
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{\dfrac{(x^2 – 4x + 4)(x + 2 + \sqrt{4x})}{(\sqrt{2}x^{\frac32} – 2x^{\frac12} + 2\sqrt{2})^2}}$
Tinjau hanya pada variabel berpangkat tertingginya.
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{\dfrac{x^3 + \cdots}{2x^3 + \cdots}}$
Bagi setiap suku dengan $x^3$,
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{\dfrac{\dfrac{x^3}{x^3} + \cdots}{\dfrac{2x^3}{x^3} + \cdots}}$
Gunakan sifat limit tak hingga untuk memperoleh
$\sqrt{\dfrac{1 + 0}{2 + 0}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{1}{2}\sqrt{2}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{(x-2)\sqrt{(x+2) + \sqrt{4x}}}{x\sqrt{2x} – 2\sqrt{x} + 2\sqrt{2}} = \dfrac{1}{2}\sqrt{2}}$

$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{3^{x+1} + 2^x – 3}{3^{x+2} – 2^{x-1} + 4} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{3^{x+1} + 2^x – 3}{3^{x+2} – 2^{x-1} + 4} \times \dfrac{\frac{1}{3^{x+2}}} {\frac{1}{3^{x+2}}} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac13 + \frac{2^x} {3^{x+2}} – \dfrac{3}{3^{x+2}}} {1 – \frac{2^{x-1}}{3^{x+2}} + \dfrac{4}{3^{x+2}}} \\ & = \dfrac{\frac13 + 0 – 0}{1 – 0 + 0} = \dfrac13 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{3^{x+1} + 2^x – 3}{3^{x+2} – 2^{x-1} + 4} = \dfrac13}$
(Jawaban C)

Dengan menggunakan salah satu sifat akar:
$\boxed{\sqrt{(a+b) \pm 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} \pm \sqrt b}$
dan sejumlah sifat limit dasar, diperoleh
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{5(x-1)+2\sqrt{4x^2-23x-6}} \\ & = \lim_{x \to \infty} \sqrt{[(4x + 1)+(x – 6)] + 2\sqrt{(4x+1)(x-6)}} \\ & = \lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x+1} + \sqrt{x-6}) \\ & = \infty \end{aligned}$$
Penjelasan pada langkah terakhir: Karena $x$ nilainya menuju tak hingga, maka $\sqrt{4x+1}$ akan membesar nilainya, begitu juga dengan $\sqrt{x-6}$, sehingga bila dijumlahkan keduanya, hasilnya akan tak hingga. 
(Jawaban E)

Sederhanakan rumus fungsinya terlebih dahulu dengan memanfaatkan rumus pemfaktoran $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ dan konsep teleskopik.
$$\begin{aligned} & \left(1-\dfrac{1}{2^2}\right)\left(1-\dfrac{1}{3^2}\right)\left(1-\dfrac{1}{4^2}\right)\cdots\left(1-\dfrac{1}{n^2}\right) \\ & = \left(1-\dfrac12\right)\left(1+\dfrac12\right) \left(1-\dfrac13\right)\left(1+\dfrac13\right) \\ & \left(1-\dfrac14\right)\left(1+\dfrac14\right) \cdots \left(1-\dfrac{1}{n}\right)\left(1+\dfrac{1}{n}\right) \\ & = \dfrac12 \cdot \cancel{\dfrac32 \cdot \dfrac23 \cdot \dfrac43 \cdot \dfrac34 \cdot \dfrac54 \cdots \dfrac{n-1}{n}} \cdot \dfrac{n+1}{n} \\ & = \dfrac12 \cdot \dfrac{n+1}{n} = \dfrac{n+1}{2n} \end{aligned}$$
Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{n+1}{2n} & = \lim_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{n}{n}+\dfrac{1}{n}}{\dfrac{2n}{n}} \\ & = \dfrac{1+0}{2} = \dfrac12 \end{aligned}$
Jadi, hasil dari
$\boxed{\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(1-\dfrac{1}{2^2}\right)\left(1-\dfrac{1}{3^2}\right)\\ & \left(1-\dfrac{1}{4^2}\right)\cdots\left(1-\dfrac{1}{n^2}\right) = \dfrac12 \end{aligned}}$
(Jawaban D)

Faktorkan $2^x$ keluar dari akar,
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\sqrt[3]{8^x+3^x} – \sqrt{4^x-2^x}\right) \\ & = \lim_{x \to \infty} \left(\sqrt[3]{8^x\left(1 + \left(\dfrac38\right)^x\right)} – \sqrt{4^x\left(1 – \left(\dfrac12\right)^x\right)}\right) \\ & = \lim_{x \to \infty} \left(2^x \sqrt[3]{1 + \left(\dfrac38\right)^x} – 2^x \sqrt{1 – \left(\dfrac12\right)^x}\right) \end{aligned}$$
Selanjutnya, dengan menggunakan Aproksimasi (Pendekatan) Binomial, diperoleh
$$\begin{aligned} & \lim_{x \to \infty} \left(2^x \left(1 + \dfrac13\left(\dfrac38\right)^x\right) – 2^x \left(1-\dfrac12\left(\dfrac12\right)^x\right)\right) \\ & = \lim_{x \to \infty} \left(\cancel{2^x} + \dfrac13\left(\dfrac68\right)^x – \cancel{2^x} + \dfrac12\right) \\ & = \dfrac13(0) + \dfrac12 = \dfrac12 \end{aligned}$$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\sqrt[3]{8^x+3^x} – \sqrt{4^x-2^x}\right) = \dfrac12}$
(Jawaban D)