Berikut ini merupakan soal dan pembahasan tentang limit tak hingga. Soal-soal tersebut diambil dari berbagai sumber referensi, termasuk dari soal Ujian Nasional, soal SBMPTN, dan soal tingkat olimpiade. Pembaca diharapkan sudah menguasai teori limit fungsi aljabar dan trigonometri.
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Limit Fungsi Aljabar dan Trigonometri
Beberapa teorema berikut sering kali digunakan untuk menyelesaikan persoalan terkait limit tak hingga.
Teorema Limit Tak Hingga
Keterhubungan Tak Hingga dan Nol
untuk
Ketakterhinggaan Fungsi Rasional Berbentuk Polinomial
Jika dan
adalah fungsi polinomial, maka
Ketakterhinggaan Selisih Bentuk Linear dalam Tanda Akar
Ketakterhinggaan Selisih Bentuk Kuadrat dalam Tanda Akar
Soal Nomor 1
Tentukan nilai dari
a)
b)
c)
Jawaban a)
Jawaban b)
Jawaban c)
Soal Nomor 2
Tentukan nilai dari
Pendekatan formal:
Pendekatan lain:
Perhatikan bahwa bagian pembilang dan penyebut fungsinya merupakan fungsi polinom. Karena derajat pembilang = < derajat penyebut =
, maka nilai limitnya adalah
.
Soal Nomor 3
Nilai dari adalah
A. B.
C.
D.
E.
Pendekatan formal:
Bagi setiap suku dengan variabel berpangkat tertinggi, yaitu .
Pendekatan lain:
Perhatikan bahwa bagian pembilang dan penyebut fungsinya merupakan fungsi polinom. Karena derajat pembilang = > derajat penyebut =
, maka nilai limitnya adalah
.
Jadi, nilai dari
(Jawaban A)
Soal Nomor 4
Nilai dari adalah
A. B.
C.
D.
E.
Bentuk limit terakhir menghasilkan tak hingga karena derajat pembilang lebih besar dari derajat penyebut (Jawaban E).
Soal Nomor 5
Tentukan nilai dari limit berikut.
a)
b)
Jawaban a)
Diketahui bahwa variabel derajat tertinggi pembilang dan penyebutnya sama, yaitu . Pada pembilang, koefisien
adalah
, sedangkan koefisien
pada penyebut adalah
. Jadi,
Jawaban b)
Diketahui variabel berderajat tertinggi pada pembilang adalah , sedangkan variabel berderajat tertinggi pada penyebut adalah
. Karena
, maka
Soal Nomor 6
Tentukan nilai dari limit berikut.
a)
b)
Uraikan dan tinjau hanya pada variabel berpangkat tertinggi.
Jawaban a)
Karena pangkat tertinggi pada pembilang lebih besar dari penyebut, maka nilai dari
Jawaban b)
Soal Nomor 7
Jika , maka
A. B.
C.
D.
E.
Diketahui bahwa
Dengan demikian, dapat ditulis
Jadi, nilai dari adalah
(Jawaban D)
Soal Nomor 8
Tentukan nilai dari
(Catatan: Notasi dibaca: pi, sedangkan notasi
dibaca: theta)
Jadi, nilai dari
Catatan: Tinjau bentuk . Apabila nilai
semakin kecil menuju negatif tak hingga, maka penyebutnya juga akan semakin kecil, dan nilai pecahannya akan semakin mendekati
.
Soal Nomor 9
Nilai dari adalah
A. B.
C.
D.
E.
Dengan menggunakan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
Jadi, nilai dari limit tersebut adalah (Jawaban E)
Soal Nomor 10
Nilai dari adalah
A. B.
C.
D.
E.
Gunakan rumus
Untuk kasus ini, diketahui bahwa
Dengan demikian, diperoleh
Jadi, nilai dari limit tersebut adalah (Jawaban D)
Soal Nomor 11
Nilai dari adalah
A. B.
C.
D.
E.
Perhatikan bahwa
diberlakukan karena menuju tak hingga (nilainya dipastikan positif).
Untuk itu, dengan menggunakan rumus
(Diketahui: )
diperoleh
Jadi, nilai dari limit tersebut adalah (Jawaban D)
Soal Nomor 12
Nilai dari adalah
A. B.
C.
D.
E.
Perhatikan bahwa bentuk dapat ditulis menjadi
Dengan demikian, diperoleh
Gunakan rumus
untuk , sehingga diperoleh
Jadi, nilai dari limit tersebut adalah (Jawaban B)
Soal Nomor 13
Tentukan nilai dari
Bagi setiap suku dengan variabel berpangkat tertinggi, yaitu .
Jadi, nilai dari
Soal Nomor 14
Tentukan nilai dari:
a)
b)
c)
Ingat bahwa
Jawaban a)
Diketahui: dan
, sehingga
. Berarti,
Jawaban b)
Diketahui: dan
, sehingga
. Berarti,
Jawaban c)
Diketahui: dan
, sehingga
. Berarti,
Soal Nomor 15
Nilai dari adalah
A. B.
C.
D.
E. tak ada
Dengan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
Bagi setiap sukunya dengan .
Jadi, nilai dari
(Jawaban C)
Soal Nomor 16
Nilai dari adalah
A.
B.
C.
D.
E.
Jadi, nilai dari
(Jawaban B)
Soal Nomor 17
Tentukan nilai dari
Kalikan dengan bentuk sekawannya,
Bagi setiap suku dengan variabel berpangkat tertinggi, yaitu .
Jadi, nilai dari
Soal Nomor 18
Tentukan nilai dari
a)
b)
Jawaban a)
Jadi, nilai dari
Jawaban b)
Jadi, nilai dari
Soal Nomor 19
Tentukan nilai dari
Jadi, nilai dari
Soal Nomor 20
Nilai dari adalah
A. D.
B. E.
C.
Bagi setiap suku dengan variabel berpangkat tertinggi, yaitu .
Jadi, nilai dari
(Jawaban B)
Soal Nomor 21
Tentukan nilai dari
Soal Nomor 22
Tentukan nilai dari
Jadi, nilai dari
Soal Nomor 23
Tentukan nilai dari
a)
b)
c)
Jawaban a)
Misalkan yang ekuivalen dengan
.
Jika , maka
, sehingga bentuk limitnya dapat ditulis menjadi
Jadi, nilai dari
Jawaban b)
Ingat bahwa:
Misalkan .
Jika , maka
, sehingga bentuk limitnya dapat ditulis menjadi
Jadi, nilai dari
Jawaban c)
Ingat bahwa:
Misalkan yang ekuivalen dengan
Jika , maka
, sehingga bentuk limitnya dapat ditulis menjadi
Jadi, nilai dari
Soal Nomor 24
Tentukan nilai dari
a)
b)
c)
Jawaban a)
Misalkan .
Jika , maka
. Dengan demikian, dapat ditulis
Jadi, nilai dari
Jawaban b)
Misalkan .
Jika , maka
. Dengan demikian, dapat ditulis
Jadi, nilai dari
Jawaban c)
Misalkan .
Jika , maka
. Dengan demikian, dapat ditulis
Jadi, nilai dari
Soal Nomor 25
Tentukan nilai dari
Misalkan , ekuivalen dengan
.
Jika , maka
. Dengan demikian, dapat ditulis
Jadi, nilai dari
Soal Nomor 26
Tentukan nilai dari
Misalkan .
Jika , maka
. Dengan demikian, dapat ditulis
Jadi, nilai dari
Soal Nomor 27
Tentukan nilai dari
Ingat identitas kebalikan trigonometri
dan salah satu sifat limit trigonometri tak hingga
Untuk itu, ditulis
Jadi, nilai dari
Soal Nomor 28
Tentukan nilai dari
Bagi setiap suku dengan variabel berpangkat tertinggi, yaitu .
Jadi, nilai dari adalah
Soal Nomor 29
Tentukan nilai dari
Misalkan , ekuivalen dengan
.
Jika , maka
.
Untuk itu, dapat ditulis
Jadi, nilai dari
Soal Nomor 30
Tentukan nilai dari
Misalkan . Jika
, maka
, sehingga ditulis
Jadi, nilai dari
Soal Nomor 31
Tentukan nilai dari
Misalkan , ekuivalen dengan
. Jika
, maka
, sehingga ditulis
Jadi, nilai dari
Soal Nomor 32
Tentukan nilai dari
Misalkan , ekuivalen dengan
. Jika
, maka
, sehingga ditulis
Jadi, nilai dari
Soal Nomor 33
Tentukan nilai dari
Misalkan . Jika
, maka
, sehingga ditulis
Jadi, nilai dari
Soal Nomor 34
Tentukan nilai dari
Misalkan , ekuivalen dengan
.
Jika , maka
, sehingga dapat ditulis
Jadi, nilai dari
Soal Nomor 35 (Soal SBMPTN Tahun 2017 Kode 165)
Nilai dari adalah
A. B.
C.
D.
E.
Misalkan .
Jika , maka
. Dengan demikian, dapat ditulis
Jadi, nilai dari adalah
(Jawaban D)
Soal Nomor 36 (Soal SBMPTN Tahun 2017 Kode 166)
Nilai dari adalah
A. B.
C.
D.
E.
Misalkan , ekuivalen dengan
.
Jika , maka
. Dengan demikian, dapat ditulis
Jadi, nilai dari
(Jawaban A)
Soal Nomor 37 (Soal SBMPTN Tahun 2017 Kode 167)
Nilai dari
A. B.
C.
D.
E.
Misalkan , ekuivalen dengan
.
Jika , maka
. Dengan demikian, dapat ditulis
Jadi, nilai dari
(Jawaban B)
Catatan:
Identitas trigonometri yang digunakan adalah
Soal Nomor 38 (Soal SBMPTN Tahun 2017 Kode 168)
Nilai dari
A. B.
C.
D.
E.
Misalkan , ekuivalen dengan
.
Jika , maka
. Dengan demikian, dapat ditulis
Jadi, nilai dari (Jawaban C)
Soal Nomor 39
Tentukan hasil dari
Alternatif I: Pendekatan Intuitif
Catatan: Notasi menyatakan polinomial berderajat
yang didapat dari penguraian bentuk
. Karena
menuju tak hingga, bentuk
akan lebih cepat bertambah besar, sehingga
dapat diabaikan.
Alternatif II: Dalil L’Hospital (Turunan)
Jadi, hasil dari adalah
thanks gan sangat bermanfaat 😀
materinya lengkap
Pembahasan soalnya sangat membantu dalam mengerjakan soal soal latihan.
Saya mengerti apa yang dibahas yaa walaupun saya belum masuk materi ini tapi jujur… Ini sangat membantu untuk latihan UN maupun yang lainnya seperti olimpiade.
Thanks banget ya kak
Keren pembahasannya, sukses selalu om! 😀