Soal dan Pembahasan – Limit Tak Hingga

Berikut ini merupakan soal dan pembahasan tentang limit tak hingga. Soal-soal tersebut diambil dari berbagai sumber referensi, termasuk dari soal Ujian Nasional, soal SBMPTN, dan soal tingkat olimpiade. Pembaca diharapkan sudah menguasai teori limit fungsi aljabar dan trigonometri.

Beberapa teorema berikut sering kali digunakan untuk menyelesaikan persoalan terkait limit tak hingga.

Teorema Limit Tak Hingga

Keterhubungan Tak Hingga dan Nol
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{1}{x^n} = 0$ untuk $n \geq 1$

Ketakterhinggaan Fungsi Rasional Berbentuk Polinomial
Jika $f(x)$ dan $g(x)$ adalah fungsi polinomial, maka
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{g(x)} \\ & = \begin{cases} 0, &~\text{jika derajat}~f(x) < g(x) \\ \dfrac{\text{Koefisien derajat}~f(x)}{\text{Koefisien derajat}~g(x)}, &~\text{jika derajat}~f(x) = g(x) \\ \infty, &~\text{jika derajat}~f(x) > g(x) \end{cases} \end{aligned}$

Ketakterhinggaan Selisih Bentuk Linear dalam Tanda Akar
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{ax+b} - \sqrt{cx + d}) = \begin{cases} \infty, &~\text{jika}~a > c \\ 0, &~\text{jika}~a = c \\ -\infty, &~\text{jika}~a < c \end{cases}$

Ketakterhinggaan Selisih Bentuk Kuadrat dalam Tanda Akar
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{px^2+qx+r}) = \begin{cases} \infty,~\text{jika}~a > p \\ \dfrac{b-q} {2\sqrt{a}},~\text{jika}~ a = p \\ -\infty,~\text{jika}~a < p \end{cases}$

Soal Nomor 1
Tentukan nilai dari
a) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (4x + 2)$
b) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (-x + 4)$
c) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} -(3x^2 + 9)$

Penyelesaian

Jawaban a)
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} (4x + 2) = 4(\infty) + 2 = \infty + 2 = \infty$
Jawaban b)
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} (-x + 4) = -\infty + 4 = -\infty$
Jawaban c)
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} -(3x^2 + 9) = -(3(\infty)^2 + 9) = -(\infty + 9) = -\infty$

[collapse]

Soal Nomor 2
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x^3+3x^2-5x+4}{2x^4 - 4x^2 + 9}$

Penyelesaian

Pendekatan formal:
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x^3+3x^2-5x+4}{2x^4 - 4x^2 + 9} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{x^4}{2x^3}+\dfrac{3x^2}{x^4}-\dfrac{5x} {x^4}+\dfrac{4}{x^4}}{\dfrac{2x^4}{x^4} - \dfrac{4x^2}{x^4} + \dfrac{9} {x^4}} \\ & = \dfrac{0-0-0+0}{2-0+0} = 0 \end{aligned}$
Pendekatan lain:
Perhatikan bahwa bagian pembilang dan penyebut fungsinya merupakan fungsi polinom. Karena derajat pembilang = $3$ < derajat penyebut = $4$ , maka nilai limitnya adalah $\boxed{0}$ .

[collapse]

Soal Nomor 3
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x^3+3x^2+7}{x^2+3x+4}$ adalah $\cdots$
A. $\infty$ B. $0$ C. $-\infty$ D. $2$ E. $\frac{1}{2}$

Penyelesaian

Pendekatan formal:
Bagi setiap suku dengan variabel berpangkat tertinggi, yaitu $x^3$ .
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x^3+3x^2+7}{x^2+3x+4} & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{2x^3}{x^3} + \dfrac{3x^2}{x^3}+\dfrac{7}{x^3}} {\dfrac{x^2}{x^3}+\dfrac{3x} {x^3}+\dfrac{4}{x^3}} \\ & = \infty \end{aligned}$
Pendekatan lain:
Perhatikan bahwa bagian pembilang dan penyebut fungsinya merupakan fungsi polinom. Karena derajat pembilang = $3$ > derajat penyebut = $2$ , maka nilai limitnya adalah $\boxed{\infty}$ .
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x^3+3x^2+7}{x^2+3x+4} = \infty}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 4
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(3-x+\dfrac{x^2-2x} {x+5}\right)$ adalah $\cdots$
A. $-4$ B. $-3$ C. $-2$ D. $0$ E. $\infty$

Penyelesaian

$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(3-x+\dfrac{x^2-2x} {x+5}\right) \\ & = \lim_{x \to \infty} \left(\dfrac{3-x} {x+5}+\dfrac{x^2-2x} {x+5}\right) \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^2-3x+3}{x+5} \\ & = \infty \end{aligned}$
Bentuk limit terakhir menghasilkan tak hingga karena derajat pembilang lebih besar dari derajat penyebut (Jawaban E).

[collapse]

Soal Nomor 5
Tentukan nilai dari limit berikut.
a) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{3x^3-2x-10}{ 4x-2x^2-5x^3}$
b) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^5-2x^4+x^3-3x^2+2x-7}{7-2x+3x^2-x^3+2x^4}$

Penyelesaian

Jawaban a)
Diketahui bahwa variabel derajat tertinggi pembilang dan penyebutnya sama, yaitu $x^3$ . Pada pembilang, koefisien $x^3$ adalah $3$ , sedangkan koefisien $x^3$ pada penyebut adalah $-5$ . Jadi,
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{3x^3-2x-10}{ 4x-2x^2-5x^3} = -\dfrac{3}{5}$
Jawaban b)
Diketahui variabel berderajat tertinggi pada pembilang adalah $x^5$ , sedangkan variabel berderajat tertinggi pada penyebut adalah $x^4$ . Karena $5 > 4$ , maka
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^5-2x^4+x^3-3x^2+2x-7}{7-2x+3x^2-x^3+2x^4} = \infty$

[collapse]

Soal Nomor 6
Tentukan nilai dari limit berikut.
a) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{(1-2x)^3}{(x-1)(2x^2+x+1)}$
b) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{(3x-2)^3}{(4x+2)^3}$

Penyelesaian

Uraikan dan tinjau hanya pada variabel berpangkat tertinggi.
Jawaban a)
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{(1-2x)^3}{(x-1)(2x^2+x+1)} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{-8x^3 + \cdots} {2x^2+x+1}$
Karena pangkat tertinggi pada pembilang lebih besar dari penyebut, maka nilai dari
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{(1-2x)^3}{(x-1)(2x^2+x+1)} = \infty}$
Jawaban b)
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{(3x-2)^3}{(4x+2)^3} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{27x^3 + \cdots} {64x^3 + \cdots} = \dfrac{27}{64}$

[collapse]

Soal Nomor 7
Jika $f(x) = x + \dfrac{x^2}{\sqrt{x^2-2x}}$ , maka $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)} {x} = \cdots$
A. $-2$ B. $0$ C. $1$ D. $2$ E. $\infty$

Penyelesaian

Diketahui bahwa
$\dfrac{f(x)} {x} = \dfrac{x + \dfrac{x^2}{\sqrt{x^2-2x}}} {x} = 1 + \dfrac{x} {\sqrt{x^2-2x}}$
Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)} {x} & = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{x} {\sqrt{x^2-2x}}\right) \\ & = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{\dfrac{x} {x}} {\sqrt{\dfrac{x^2-2x} {x^2}}}\right) \\ & = 1 + \dfrac{1}{\sqrt{1+0}} = 2 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)} {x}$ adalah $\boxed{2}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 8
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{\theta \to -\infty} \dfrac{\pi \theta^5}{\theta^5 - 5\theta^4}$
(Catatan: Notasi $\pi$ dibaca: pi, sedangkan notasi $\theta$ dibaca: theta)

Penyelesaian

$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{\theta \to -\infty} \dfrac{\pi \theta^5}{\theta^5 - 5\theta^4} & = \lim_{\theta \to -\infty} \dfrac{\cancel{\theta^4}(\pi \theta)}{\cancel{\theta^4}(\theta - 5)} \\ & = \lim_{\theta \to -\infty} \dfrac{\pi \theta} {\theta - 5} \\ & = \lim_{\theta \to -\infty} \left(\dfrac{\pi(\theta - 5)} {\theta - 5} + \dfrac{5\pi} {\theta - 5}\right) \\ & = \lim_{\theta \to -\infty} \left(\pi + \dfrac{5\pi} {\theta - 5}\right) \\ & = \pi - 0 = \pi \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{\theta \to -\infty} \dfrac{\pi \theta^5}{\theta^5 - 5\theta^4} = \pi}$
Catatan: Tinjau bentuk $\dfrac{5\pi} {\theta - 5}$ . Apabila nilai $\theta$ semakin kecil menuju negatif tak hingga, maka penyebutnya juga akan semakin kecil, dan nilai pecahannya akan semakin mendekati $0$ .

[collapse]

Soal Nomor 9
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^4+2x^3+4x^2}-\sqrt{x^4+2x^3-x^2})$ adalah $\cdots$
A. $0$ B. $\frac{1}{2}$ C. $1$ D. $\frac{3}{2}$ E. $\frac{5}{2}$

Penyelesaian

Dengan menggunakan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^4+2x^3+4x^2}-\sqrt{x^4+2x^3-x^2}) \\ & = \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^4+2x^3+4x^2}-\sqrt{x^4+2x^3-x^2}) \\ & \times \dfrac{\sqrt{x^4+2x^3+4x^2}+\sqrt{x^4+2x^3-x^2}} {\sqrt{x^4+2x^3+4x^2}+\sqrt{x^4+2x^3-x^2}} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{(x^4+2x^3+4x^2)-(x^4+2x^3-x^2)} {\sqrt{x^4+2x^3+4x^2}+\sqrt{x^4+2x^3-x^2}} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{5x^2}{\sqrt{x^4+2x^3+4x^2}+\sqrt{x^4+2x^3-x^2}} \\ & \text{Bagi setiap suku dengan}~x^2 \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{5x^2}{x^2}} {\sqrt{\dfrac{x^4}{x^4}+\dfrac{2x^3}{x^4}+\dfrac{4x^2}{x^4}}+\sqrt{\dfrac{x^4}{x^4}+\dfrac{2x^3}{x^4}-\dfrac{x^2}{x^4}}} \\ & = \dfrac{5}{\sqrt{1+0+0} + \sqrt{1+0-0}} = \dfrac{5}{2} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari limit tersebut adalah $\boxed{\dfrac{5}{2}}$ (Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 10
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{9x^2+5x+5}-\sqrt{9x^2-7x-4})$ adalah $\cdots$
A. $0$ B. $\frac{1}{3}$ C. $1$ D. $2$ E. $3$

Penyelesaian

Gunakan rumus
$\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{ax^2+px+q}) = \dfrac{b-p} {2\sqrt{a}} }$
Untuk kasus ini, diketahui bahwa
$a = 9, b = 5, p = -7$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{9x^2+5x+5}-\sqrt{9x^2-7x-4}) & = \dfrac{5-(-7)} {2\sqrt{9}} \\ & = \dfrac{12}{6} = 2 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari limit tersebut adalah $\boxed{2}$ (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 11
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (3x+1-\sqrt{9x^2+4x-7})$ adalah $\cdots$
A. $9$ B. $6$ C. $3$ D. $\frac{1}{3}$ E. $\frac{1}{9}$

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
$3x+1 = \sqrt{(3x+1)^2} = \sqrt{9x^2+6x+1}$
diberlakukan karena $x$ menuju tak hingga (nilainya dipastikan positif).
Untuk itu, dengan menggunakan rumus
$\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{ax^2+px+q}) = \dfrac{b-p} {2\sqrt{a}} }$
(Diketahui: $a = 9, b = 6, p = 4$ )
diperoleh
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} (3x+1)-\sqrt{9x^2+4x-7}) = \dfrac{6-4}{2\sqrt{9}} = \dfrac{1}{3}$
Jadi, nilai dari limit tersebut adalah $\boxed{\dfrac{1}{3}}$ (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 12
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+3x+2}-x+2)$ adalah $\cdots$
A. $5$ B. $3,5$ C. $2,5$ D. $1,5$ E. $1$

Penyelesaian

Perhatikan bahwa bentuk $-x+2$ dapat ditulis menjadi
$-(x-2) = -\sqrt{(x-2)^2} = -\sqrt{x^2-4x+4}$
Dengan demikian, diperoleh
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+3x+2}-(\sqrt{x^2-4x+4})$
Gunakan rumus
$\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{ax^2+px+q}) = \dfrac{b-p} {2\sqrt{a}} }$
untuk $a = 1, b = 3, p = -4$ , sehingga diperoleh
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+3x+2}-(\sqrt{x^2-4x+4}) & = \dfrac{3-(-4)} {2\sqrt{1}} \\ &= \dfrac{7}{2} = 3,5 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari limit tersebut adalah $\boxed{3,5}$ (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 13
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{8x^2+1}} {x^2+4}$

Penyelesaian

Bagi setiap suku dengan variabel berpangkat tertinggi, yaitu $x^2$ .
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{8x^2+1}} {x^2+4} & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{\dfrac{8x^2}{x^4}+\dfrac{1}{x^4}}}{\dfrac{x^2}{x^2}+\dfrac{4}{x^2}} \\ & = \dfrac{\sqrt{0 + 0}} {1 + 0} = 0 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{8x^2+1}} {x^2+4} = 0}$

[collapse]

Soal Nomor 14
Tentukan nilai dari:
a) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x+5}-\sqrt{x-3})$
b) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{2x-7}-\sqrt{x+3})$
c) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x+5}-\sqrt{2x-3})$

Penyelesaian

Ingat bahwa
$\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{ax+b} - \sqrt{cx + d}) = \begin{cases} \infty, &~\text{jika}~a > c \\ 0, &~\text{jika}~a = c \\ -\infty, &~\text{jika}~a < c \end{cases}}$
Jawaban a)
Diketahui: $a = 1$ dan $c = 1$ , sehingga $a = c$ . Berarti,
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x+5}-\sqrt{x-3}) = 0$
Jawaban b)
Diketahui: $a = 2$ dan $c = 1$ , sehingga $a > c$ . Berarti,
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{2x-7}-\sqrt{x+3}) = \infty$
Jawaban c)
Diketahui: $a = 1$ dan $c = 2$ , sehingga $a < c$ . Berarti,
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x+5}-\sqrt{2x-3}) = -\infty$

[collapse]

Soal Nomor 15
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x - \sqrt{x}} - \sqrt{x + \sqrt{x}})$ adalah $\cdots$
A. $0,5$ B. $1$ C. $-1$ D. $0$ E. tak ada

Penyelesaian

Dengan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x - \sqrt{x}} - \sqrt{x + \sqrt{x}}) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x - \sqrt{x}} - \sqrt{x + \sqrt{x}}) \times \dfrac{\sqrt{x - \sqrt{x}} + \sqrt{x + \sqrt{x}}}{\sqrt{x - \sqrt{x}} + \sqrt{x + \sqrt{x}}} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{(x-\sqrt{x})-(x+\sqrt{x})} {\sqrt{x - \sqrt{x}} + \sqrt{x + \sqrt{x}}} \\ & =\lim_{x \to \infty} \dfrac{-2\sqrt{x}} {\sqrt{x - \sqrt{x}} + \sqrt{x + \sqrt{x}}} \end{aligned}$
Bagi setiap sukunya dengan $\sqrt{x}$ .
$\displaystyle \begin{aligned} & \lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{-2\sqrt{x}} {\sqrt{x}}}{\dfrac{\sqrt{x - \sqrt{x}}} {\sqrt{x}} + \dfrac{\sqrt{x + \sqrt{x}}} {\sqrt{x}}} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{-2}{\sqrt{1-\dfrac{1}{\sqrt{x}}} + \sqrt{1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}}} \\ & = \dfrac{-2}{\sqrt{1-0} + \sqrt{1+0}} \\ & = \dfrac{-2}{1+1} = -1 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x - \sqrt{x}} - \sqrt{x + \sqrt{x}}) = -1}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 16
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} ( \sqrt{(2x-1)(x+2)} - (x\sqrt{2}+1)})$ adalah $\cdots$
A. $3\sqrt{2}-4$
B. $\frac{3}{4}\sqrt{2}-1$
C. $\frac{3}{4}-\sqrt{2}$
D. $3-2\sqrt{2}$
E. $\sqrt{2}-1$

Penyelesaian

$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} ( \sqrt{(2x-1)(x+2)} - (x\sqrt{2}+1)}) \\ & = \lim_{x \to \infty} ((\sqrt{2x^2+3x-2} - \sqrt{2x^2}) - 1) \\ & = \dfrac{3-0}{2\sqrt{2}} - 1 \\ & = \dfrac{3}{2\sqrt{2}} - 1 \\ & = \dfrac{3}{4}\sqrt{2}-1 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} ( \sqrt{(2x-1)(x+2)} - (x\sqrt{2}+1)) = \dfrac{3}{4}\sqrt{2}-1}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 17
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} x(\sqrt{x^2+1} - x)$

Penyelesaian

Kalikan dengan bentuk sekawannya,
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} x(\sqrt{x^2+1} - x) \\ & = \lim_{x \to \infty} x(\sqrt{x^2+1} - x) \times \dfrac{\sqrt{x^2+1} + x} {\sqrt{x^2+1} + x} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{x(x^2+1-x^2)} {\sqrt{x^2+1}+x} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{x+1}{\sqrt{x^2+1}+x} \end{aligned}$
Bagi setiap suku dengan variabel berpangkat tertinggi, yaitu $x$ .
$\begin{aligned} \lim_{x \to \infty} \dfrac{x+1}{\sqrt{x^2+1}+x} & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{x+1}{x}}{\sqrt{\dfrac{x^2+1}{x^2}}+\dfrac{x} {x} } \\ & = \dfrac{1 + 0}{\sqrt{1+0} + 1} = \dfrac{1}{2} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} x(\sqrt{x^2+1} - x) = \dfrac{1}{2}}$

[collapse]

Soal Nomor 18
Tentukan nilai dari
a) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{(x+5)(4x+7)} - \sqrt{(x+3)(4x+7)})$
b) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (x - \sqrt{x^2 - 10x })$

Penyelesaian

Jawaban a)
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{(x+5)(4x+7)} - \sqrt{(x+3)(4x+7)}) \\ & = \lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2 + 27x + 35} - \sqrt{4x^2+19x+21}) \\ & = \dfrac{27-19}{2\sqrt{4}} = \dfrac{8}{4} = 2 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{(x+5)(4x+7)} - \sqrt{(x+3)(4x+7)}) = 2}$
Jawaban b)
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} (x - \sqrt{x^2 - 10x }) & = \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2} - \sqrt{x^2-10x}) \\ & = \dfrac{0 - (-10)} {2\sqrt{1}} = \dfrac{10}{2} = 5 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} (x - \sqrt{x^2 - 10x }) = 5}$

[collapse]

Soal Nomor 19
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} [\sqrt{(x+a) (x+b)} - x]$

Penyelesaian

$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} [\sqrt{(x+a) (x+b)} - x] \\ & = \lim_{x \to \infty} [\sqrt{x^2 + (a+b)x + ab} - \sqrt{x^2}] \\ & = \dfrac{(a+b)-0}{2\sqrt{1}} \\ & = \dfrac{a+b} {2} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} [\sqrt{(x+a) (x+b)} - x] = \dfrac{a+b} {2}$

[collapse]

Soal Nomor 20
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{18x^2-x+1}-3x} {\sqrt{x^2+2x}}$ adalah $\cdots$
A. $\sqrt{15}$ D. $3$
B. $3(\sqrt{2}-1)$ E. $4,5$
C. $3(\sqrt{2}+1)$

Penyelesaian

Bagi setiap suku dengan variabel berpangkat tertinggi, yaitu $x$ .
$\begin{aligned}& \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{18x^2-x+1}-3x} {\sqrt{x^2+2x}}\\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{1}{x}\sqrt{18x^2-x+1} - \dfrac{3x} {x}} {\dfrac{1}{x} \sqrt{x^2+2x}} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{\sqrt{18x^2-x+1}} {x^2} - \dfrac{3x} {x}} {\dfrac{\sqrt{x^2+2x}} {x^2}} \\ & = \dfrac{\sqrt{18-0+0} - 3}{\sqrt{1+0}} \\ & = \dfrac{\sqrt{18}-3}{1} = 3\sqrt{2}-3 = 3(\sqrt{2} - 1) \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{18x^2-x+1}-3x} {\sqrt{x^2+2x}} = 3(\sqrt{2}-1)}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 21
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2+8x} - \sqrt{x^2+1} - \sqrt{x^2+x})$

Penyelesaian

$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2+8x} - \sqrt{x^2+1} - \sqrt{x^2+x}) \\ & = \lim_{x \to \infty} (2\sqrt{x^2+2x} - \sqrt{x^2+1} - \sqrt{x^2+x}) \\ & = \lim_{x \to \infty} ((\sqrt{x^2 + 2x} - \sqrt{x^2 + 1}) \\ & + (\sqrt{x^2+2x - \sqrt{x^2 + x})) \\ & = \dfrac{2 - 0}{2\sqrt{1}} + \dfrac{2 - 1}{2\sqrt{1}} \\ & = \dfrac{2}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2} \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 22
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{3x^2-2x-1}} {x+2.000}$

Penyelesaian

Bagi setiap suku dengan variabel berpangkat tertinggi, yaitu $x$ .
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{3x^2-2x-1}} {x+2.000} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{1}{x} \sqrt{3x^2-2x-1}} {\dfrac{1}{x}\left(x+2.000\right)} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{\dfrac{3x^2-2x-1}{x^2}}} {1 + \dfrac{2.000}{x}} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{3 - \dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{x^2}}} {1 + \dfrac{2.000}{x}} \\ & = \dfrac{\sqrt{3 - 0 - 0}} {1 + 0} = \sqrt{3} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{3x^2-2x-1}} {x+2.000}$ adalah $\boxed{\sqrt{3}}$

[collapse]

Soal Nomor 23 ( $\bigstar~\text{HOTS}~\bigstar$ )
Tentukan hasil dari $\displaystyle \lim_{x\to\infty}(\sqrt[7]{x^7+x^6}-\sqrt[7]{x^7-x^6})$

Penyelesaian

Alternatif I: Pendekatan Intuitif
$\begin{aligned} \displaystyle & \displaystyle \lim_{x\to\infty}(\sqrt[7]{x^7+x^6}-\sqrt[7]{x^7-x^6}) \\ = & \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt[7] {\left (x+\dfrac17\right)^7+O(x^5)}-\sqrt[7]{\left(x-\dfrac17 \right)^7+O(x^5)}\right) \\ = & \lim_{x\to\infty} \left(\sqrt[7]{\left(x+\dfrac17\right)^7}-\sqrt[7]{\left(x-\dfrac17\right)^7}\right) \\ = &\lim_{x\to\infty}\left(\left(x+\dfrac17\right) - \left(x-\dfrac17\right)\right) \\ = & \lim_{x \to \infty} \left(\dfrac17 + \dfrac17\right) \\ = &\boxed {\dfrac27} \end{aligned}$
Catatan: Notasi $O(x^5)$ menyatakan polinomial berderajat $5$ yang didapat dari penguraian bentuk $\left(x+\dfrac{1}{7}\right)^7$ . Karena $x$ menuju tak hingga, bentuk $\left(x+\dfrac{1}{7}\right)^7$ akan lebih cepat bertambah besar, sehingga $O(x^5)$ dapat diabaikan.
Alternatif II: Dalil L’Hospital (Turunan)
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x\to\infty}(\sqrt[7]{x^7+x^6}-\sqrt[7]{x^7-x^6})\\ = & \lim_{x\to\infty} \left(\sqrt[7]{x^7\left(x + \dfrac1x\right)}-\sqrt[7]{x^7\left(x - \dfrac1x\right)}\right) \\ = & \lim_{x\to\infty} x\left(\sqrt[7]{1 + \dfrac1x}-\sqrt[7]{1 - \dfrac1x}\right) \\ & \text{Misalkan}~x = \dfrac{1}{t} \\ = & \lim_{t \to 0} {{\sqrt[7]{1+t}-\sqrt[7]{1-t}}\over t} \\ \stackrel{\text{L'H}}{=} & \lim_{t \to 0} \left(\dfrac{1}{7}(1 + t)^{-\frac{6}{7}}(1) - \dfrac{1}{7}(1 - t)^{-\frac{6}{7}}(-1)\right) \\ = & \dfrac{1}{7}(1 + 0)^{-\frac{6}{7}} + \dfrac{1}{7}(1 - 0)^{-\frac{6}{7}} \\ = & \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{7}\\ = & \boxed{\dfrac27} \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\displaystyle \lim_{x\to\infty}(\sqrt[7]{x^7+x^6}-\sqrt[7]{x^7-x^6})$ adalah $\boxed{\dfrac{2}{7}}$

[collapse]

Soal Nomor 24
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{\theta \to \infty} \dfrac{\sin^2 \theta} {\theta^2 - 5}$

Penyelesaian

$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{\theta \to \infty} \dfrac{\sin^2 \theta} {\theta^2 - 5} \\ & = \lim_{\theta \to \infty} \dfrac{\sin \theta} {\theta + \sqrt{5}} \times \dfrac{\sin \theta} {\theta - \sqrt{5}} \\ & = \lim_{\theta \to \infty} \dfrac{\sin \theta} {\theta} \times \dfrac{1}{1 + \dfrac{\sqrt{5}} {\theta}} \times \dfrac{\sin \theta} {\theta} \times \dfrac{1}{1 - \dfrac{\sqrt{5}} {\theta}} \\ & = (0 \times 1 \times 0 \times 1) = 0 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{\theta \to \infty} \dfrac{\sin^2 \theta} {\theta^2 - 5} = 0}$

[collapse]

Soal Nomor 25
Tentukan nilai dari
a) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} x \tan \dfrac{1}{x}$
b) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{1}{x} \cot \dfrac{1}{x}$
c) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\csc \frac{1}{x}} {x}$

Penyelesaian

Jawaban a)
Misalkan $y = \dfrac{1}{x}$ yang ekuivalen dengan $x = \dfrac{1}{y}$ .
Jika $x \to \infty$ , maka $y \to 0$ , sehingga bentuk limitnya dapat ditulis menjadi
$\displaystyle \lim_{y \to 0} \dfrac{1}{y} \tan y = 1$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} x \tan \dfrac{1}{x} = 1}$
Jawaban b)
Ingat bahwa: $\boxed{\cot x = \dfrac{1}{\tan x}}$
Misalkan $y = \dfrac{1}{x}$ .
Jika $x \to \infty$ , maka $y \to 0$ , sehingga bentuk limitnya dapat ditulis menjadi
$\displaystyle \lim_{y \to 0} y \cot y = \lim_{y \to 0} \dfrac{y} {\tan y} = 1$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x} \cot \dfrac{1}{x} = 1}$
Jawaban c)
Ingat bahwa: $\boxed{\csc x = \dfrac{1}{\sin x}}$
Misalkan $y = \dfrac{1}{x}$ yang ekuivalen dengan $x = \dfrac{1}{x}$
Jika $x \to \infty$ , maka $y \to 0$ , sehingga bentuk limitnya dapat ditulis menjadi
$\displaystyle \lim_{y \to 0} \dfrac{\csc y} {\frac{1}{y}} = \lim_{y \to 0} \dfrac{y} {\sin y} = 1$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\csc \frac{1}{x}} {x} = 1}$

[collapse]

Soal Nomor 26
Tentukan nilai dari
a) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \tan \dfrac{5}{x} \csc \dfrac{2}{x}$
b) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \cot 3x^{-1} \sin x^{-1}$
c) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\cot \dfrac{1}{2x}} {\csc \dfrac{3}{x}}$

Penyelesaian

Jawaban a)
Misalkan $y = \dfrac{1}{x}$ .
Jika $x \to \infty$ , maka $y \to 0$ . Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \tan \dfrac{5}{x} \csc \dfrac{2}{x} & = \lim_{y \to 0} \tan 5y \csc 2y \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{\tan 5y} {\sin 2y} = \dfrac{5}{2} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \tan \dfrac{5}{x} \csc \dfrac{2}{x} = \dfrac{5}{2}$
Jawaban b)
Misalkan $y = x^{-1}$ .
Jika $x \to \infty$ , maka $y \to 0$ . Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \cot 3x^{-1} \sin x^{-1} & = \lim_{y \to 0} \cot 3y \sin y \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{\sin y} {\tan 3y} = \dfrac{1}{3} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \cot 3x^{-1} \sin x^{-1} = \dfrac{1}{3}}$
Jawaban c)
Misalkan $y = \dfrac{1}{x}$ .
Jika $x \to \infty$ , maka $y \to 0$ . Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\cot \dfrac{1}{2x}} {\csc \dfrac{3}{x}} & = \lim_{y \to 0} \dfrac{\cot \dfrac{1}{2}y} {\csc 3y} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{\sin 3y} {\tan \dfrac{1}{2}y} \\ & = \dfrac{3}{\dfrac{1}{2}} = 6 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\cot \dfrac{1}{2x}} {\csc \dfrac{3}{x}} = 6}$

[collapse]

Soal Nomor 27
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{y \to \infty} \sqrt{6y} \cos \dfrac{3}{\sqrt{y}} \sin \dfrac{5}{\sqrt{y}}$

Penyelesaian

Misalkan $x = \dfrac{1}{\sqrt{y}}$ , ekuivalen dengan $\sqrt{y} = \dfrac{1}{x}$ .
Jika $y \to \infty$ , maka $x \to 0$ . Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{y \to \infty} \sqrt{6y} \cos \dfrac{3}{\sqrt{y}} \sin \dfrac{5}{\sqrt{y}} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{6}} {x} \cos 3x \sin 5x \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 5x} {x} \cdot \sqrt{6} \cdot \cos 3x \\ & = 5 \cdot \sqrt{6} \cos 0 \\ & = 5\sqrt{6} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{y \to \infty} \sqrt{6y} \cos \dfrac{3}{\sqrt{y}} \sin \dfrac{5}{\sqrt{y}} = 5\sqrt{6}}$

[collapse]

Soal Nomor 28
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{1-\cos \dfrac{4}{x}} {\dfrac{1}{x} \cdot \tan \dfrac{3}{x}}$

Penyelesaian

Misalkan $y= \dfrac{1}{x}$ .
Jika $x \to \infty$ , maka $y \to 0$ . Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{1-\cos \dfrac{4}{x}} {\dfrac{1}{x} \cdot \tan \dfrac{3}{x}} & = \lim_{y \to 0} \dfrac{1 - \cos 4y} {y \cdot \tan 3y} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{1 - (1 - 2 \sin^2 2y)} {y \cdot \tan 3y} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{2 \sin 2y \sin 2y} {y \cdot \tan 3y} \\ & = 2 \lim_{y \to 0} \dfrac{\sin 2y} {y} \cdot \dfrac{\sin 2y} {\tan 3y} \\ & = 2 \cdot 2 \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{3} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{1-\cos \dfrac{4}{x}} {\dfrac{1}{x} \cdot \tan \dfrac{3}{x}} = \dfrac{8}{3}}$

[collapse]

Soal Nomor 29
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x \cot \dfrac{2}{x} - 3 \cot \dfrac{2}{x}} {5x^2-2x}$

Penyelesaian

Ingat identitas kebalikan trigonometri
$\cot x = \dfrac{1}{\tan x}$
dan salah satu sifat limit trigonometri tak hingga
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x} {\tan x} = 1$
Untuk itu, ditulis
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x \cot \dfrac{2}{x} - 3 \cot \dfrac{2}{x}} {5x^2-2x} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{(2x-3) \cot \dfrac{2}{x}}{x(5x-2)} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x-3}{5x-2} \cdot \dfrac{\dfrac{1}{x}} {\tan \dfrac{1}{x}} \\ & = \dfrac{2}{5} \cdot 1 = \dfrac{2}{5} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x \cot \dfrac{2}{x} - 3 \cot \dfrac{2}{x}} {5x^2-2x} = \dfrac{2}{5}}$

[collapse]

Soal Nomor 30
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} 2x^2\left(1-\cos \dfrac{6}{x} \right)$

Penyelesaian

Misalkan $y = \dfrac{1}{x}$ , ekuivalen dengan $x = \dfrac{1}{y}$ .
Jika $x \to \infty}$ , maka $y \to 0$ .
Untuk itu, dapat ditulis
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} 2x^2\left(1-\cos \dfrac{6}{x} \right) \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{2}{y^2}(1 - \cos 6y) \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{2}{y^2}(1 - \cos 6y) \times \dfrac{1+\cos 6y} {1+\cos 6y} \\ & = 2 \lim_{y \to 0} \dfrac{1 - \cos^2 6y} {y^2(1 + \cos 6y)} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{\sin 6y} {y} \cdot \dfrac{\sin 6y} {y} \cdot \dfrac{1}{1+\cos 6y} \\ & = 6 \cdot 6 \cdot \dfrac{1}{1+ \cos 0} \\ & = 18 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} 2x^2\left(1-\cos \dfrac{6}{x} \right) = 18}$

[collapse]

Soal Nomor 31
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(2 + \cos \dfrac{4}{x}\right)$

Penyelesaian

Misalkan $y = \dfrac{1}{x}$ . Jika $x \to \infty$ , maka $y \to 0$ , sehingga ditulis
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(2 + \cos \dfrac{4}{x}\right) & = \lim_{y \to 0} \left(2 + \cos 4y) \\ & = 2 + \cos 0 = 3 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(2 + \cos \dfrac{4}{x}\right) = 3}$

[collapse]

Soal Nomor 32
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(3x + \sin \dfrac{1}{x} \right)$

Penyelesaian

Misalkan $y = \dfrac{1}{x}$ , ekuivalen dengan $x = \dfrac{1}{y}$ . Jika $x \to \infty$ , maka $y \to 0$ , sehingga ditulis
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(3x + \sin \dfrac{1}{x} \right) & = \lim_{y \to 0} \left(\dfrac{3}{y} + \sin y \right) \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{3}{y} + \lim_{y \to 0} \sin y \\ & = \infty + 0 = \infty \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(3x + \sin \dfrac{1}{x} \right) = \infty}$

[collapse]

Soal Nomor 33
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\tan \dfrac{1}{x} - x\right)$

Penyelesaian

Misalkan $y = \dfrac{1}{x}$ , ekuivalen dengan $x = \dfrac{1}{y}$ . Jika $x \to \infty$ , maka $y \to 0$ , sehingga ditulis
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\tan \dfrac{1}{x} - x\right) & = \lim_{y \to 0} \left(\tan y - \dfrac{1}{y} \right) \\ & = \tan 0 - \infty = -\infty \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\tan \dfrac{1}{x} - x\right) = -\infty}$

[collapse]

Soal Nomor 34
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sin \left(\dfrac{1}{x} - \dfrac{4 \pi} {3}\right)$

Penyelesaian

Misalkan $y = \dfrac{1}{x}$ . Jika $x \to \infty$ , maka $y \to 0$ , sehingga ditulis
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \sin \left(\dfrac{1}{x} - \dfrac{4 \pi} {3}\right) & = \lim_{y \to 0} \sin \left(y - \dfrac{4 \pi} {3}\right) \\ & = \sin \left(0-\dfrac{4 \pi} {3}\right) \\ & = -\sin 240\degree = \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sin \left(\dfrac{1}{x} - \dfrac{4 \pi} {3}\right) = \dfrac{1}{2}\sqrt{3}}$

[collapse]

Soal Nomor 35
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\sin \left(\dfrac{1}{x} - \dfrac{6 \pi} {7}\right) - 5x\right)$

Penyelesaian

Misalkan $y = \dfrac{1}{x}$ , ekuivalen dengan $x = \dfrac{1}{y}$ .
Jika $x \to \infty$ , maka $y \to 0$ , sehingga dapat ditulis
$\begin{aligned} & \left(\sin \left(\dfrac{1}{x} - \dfrac{6 \pi} {7}\right) - 5x\right) \\ & = \lim_{y \to 0} \left(\sin \left(y - \dfrac{6 \pi}{7}\right) - \dfrac{5}{y}\right) \\ & = \lim_{y \to 0} \sin \left(y - \dfrac{6 \pi}{7}\right) - \lim_{y \to 0} \dfrac{5}{y} \\ & = -\sin \dfrac{6 \pi}{7} - \infty = -\infty \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\sin \left(\dfrac{1}{x} - \dfrac{6 \pi} {7}\right) - 5x\right) = -\infty}$

[collapse]

Soal Nomor 36 (Soal SBMPTN Tahun 2017 Saintek Kode 165)
Nilai dari $\displaystyle \lim_{y \to \infty} y \cdot \sin \dfrac{3}{y} \cdot \cos \dfrac{5}{y}$ adalah $\cdots$
A. $0$ B. $1$ C. $2$ D. $3$ E. $4$

Penyelesaian

Misalkan $x= \dfrac{1}{y}$ .
Jika $y \to \infty$ , maka $x \to 0$ . Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{y \to \infty} y \cdot \sin \dfrac{3}{y} \cdot \cos \dfrac{5}{y} & = \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x} \cdot \sin 3x \cdot \cos 5x \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 3x} {x} \cdot \cos 5x \\ & = 3 \cdot \cos 0 = 3 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\displaystyle \lim_{y \to \infty} y \cdot \sin \dfrac{3}{y} \cdot \cos \dfrac{5}{y}$ adalah $\boxed{3}$ (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 37 (Soal SBMPTN Tahun 2017 Saintek Kode 166)
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sin \dfrac{3}{x}} {\left(1-\cos \dfrac{2}{x} \right) \cdot x^2 \cdot \sin \dfrac{1}{x}}$ adalah $\cdots$
A. $0$ B. $\dfrac{2}{3}$ C. $1$ D. $\dfrac{3}{2}$ E. $3$

Penyelesaian

Misalkan $y= \dfrac{1}{x}$ , ekuivalen dengan $x = \dfrac{1}{y}$ .
Jika $x \to \infty$ , maka $y \to 0$ . Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sin \dfrac{3}{x}} {\left(1-\cos \dfrac{2}{x} \right) \cdot x^2 \cdot \sin \dfrac{1}{x}} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{\sin 3y} {(1 - \cos 2y) \cdot \left(\dfrac{1}{y}\right)^2 \cdot \sin y} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{\sin 3y \cdot y^2}{(1 - \cos 2y) \cdot \sin y} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{\sin 3y} {\sin y} \cdot \dfrac{y^2}{1 - \cos 2y} \\ & = 3 \cdot \dfrac{0^2}{1 - \cos 0} = 3 \cdot 0 = 0 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sin \dfrac{3}{x}} {\left(1-\cos \dfrac{2}{x} \right) \cdot x^2 \cdot \sin \dfrac{1}{x}} = 0}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 38 (Soal SBMPTN Tahun 2017 Saintek Kode 167)
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} x \left(1- \cos \dfrac{1}{\sqrt{x}}\right) = \cdots$
A. $1$ B. $\dfrac{1}{2}$ C. $\dfrac{1}{3}$ D. $\dfrac{1}{4}$ E. $\dfrac{1}{5}$

Penyelesaian

Misalkan $y= \dfrac{1}{\sqrt{x}}$ , ekuivalen dengan $x = \dfrac{1}{y^2}$ .
Jika $x \to \infty$ , maka $y \to 0$ . Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} x \left(1- \cos \dfrac{1}{\sqrt{x}}\right) \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{1}{y^2} (1 - \cos y) \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{1-\cos y} {y^2} \times \dfrac{1+\cos y} {1 + \cos y} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{1-\cos^2 y} {y^2(1 + \cos y)} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{\sin y} {y} \cdot \dfrac{\sin y} {y} \cdot \dfrac{1}{1 + \cos y} \\ & = 1 \cdot 1 \cdot \dfrac{1}{1 + \cos 0} = \dfrac{1}{2} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} x \left(1- \cos \dfrac{1}{\sqrt{x}}\right) = \dfrac{1}{2}}$
(Jawaban B)
Catatan:
Identitas trigonometri yang digunakan adalah
$\boxed{\sin^2 x + \cos^2 x = 1 \iff 1 - \cos^2 x = \sin^2 x}$

[collapse]

Soal Nomor 39 (Soal SBMPTN Tahun 2017 Saintek Kode 168)
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} 2x \cdot \tan \dfrac{1}{x} \cdot \sec \dfrac{2}{x} = \cdots$
A. $0$ B. $1$ C. $2$ D. $3$ E. $4$

Penyelesaian

Misalkan $y= \dfrac{1}{x}$ , ekuivalen dengan $x = \dfrac{1}{y}$ .
Jika $x \to \infty$ , maka $y \to 0$ . Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned} & \lim_{x \to \infty} 2x \cdot \tan \dfrac{1}{x} \cdot \sec \dfrac{2}{x} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{2}{y} \cdot \tan y \cdot \sec 2y \\ & = 2 \lim_{y \to 0} \dfrac{\tan y} {y} \cdot \sec 2y \\ & = 2 \cdot 1 \cdot \sec 0 \\ & = 2 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\lim_{x \to \infty} 2x \cdot \tan \dfrac{1}{x} \cdot \sec \dfrac{2}{x} = 2}$ (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 40 (Soal SBMPTN Tahun 2017 Saintek Kode 129)
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x^2 \tan \left(\dfrac{1}{x} \right) - x \sin \left(\dfrac{1}{x} \right) + \dfrac{1}{x}} {x \cos \left(\dfrac{2}{x} \right)} = \cdots$
A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 E. -2

Penyelesaian

Misalkan $y = \dfrac{1}{x}$ , ekuivalen dengan $x = \dfrac{1}{y}$ .
Jika $x \to \infty$ , maka $y \to 0$ . Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x^2 \tan \left(\dfrac{1}{x} \right) - x \sin \left(\dfrac{1}{x} \right) + \dfrac{1}{x}} {x \cos \left(\dfrac{2}{x} \right)} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{2\left(\dfrac{1}{y} \right)^2 \tan y - \dfrac{1}{y} \sin y + y} {\dfrac{1}{y} \cos 2y} \begingroup \color{red} { \times \dfrac{y}{y}} \endgroup \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{2\left(\dfrac{1}{y} \right) \tan y - \sin y + y^2} {\cos 2y} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{2 \cdot \dfrac{\tan y}{y}- \sin y + y^2} {\cos 2y} \\ & = \dfrac{2 \cdot 1 - \sin 0 + 0^2}{\cos 0} \\ & = \dfrac{2 - 0}{1} = 2 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x^2 \tan \left(\dfrac{1}{x} \right) - x \sin \left(\dfrac{1}{x} \right) + \dfrac{1}{x}} {x \cos \left(\dfrac{2}{x} \right)} = 2}$

[collapse]

Soal Nomor 41
Hasil dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} 2x\left(\sqrt{9+\dfrac{10}{x}} - 3\right) = \cdots$
A. $\frac{10}{3}$ D. $\frac{5}{3}\sqrt{2}$
B. $-\frac{10}{3}$ E. $-\frac{5}{3}\sqrt{2}$
C. $\frac{5}{3}$

Penyelesaian

Dengan menggunakan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} 2x\left(\sqrt{9+\dfrac{10}{x}} - 3\right) \\ & = \lim_{x \to \infty} 2x\left(\sqrt{9+\dfrac{10}{x}} - 3\right) \times \dfrac{\sqrt{9+\dfrac{10}{x}} + 3}{\sqrt{9+\dfrac{10}{x}} + 3} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x \cdot \left(9+ \dfrac{10}{{x}} - 3^2\right)}{\sqrt{9+\dfrac{10}{x}} + 3} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{2 \cdot 10}{\sqrt{9+\dfrac{10}{x}} + 3} \\ & = \dfrac{20}{\sqrt{9+0} + 3} = \dfrac{10}{3} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} 2x\left(\sqrt{9+\dfrac{10}{x}} - 3\right) = \dfrac{10}{3}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 42
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{(x-2)\sqrt{(x+2) + \sqrt{4x}}}{x\sqrt{2x} - 2\sqrt{x} + 2\sqrt{2}} = \cdots$

Penyelesaian

Perhatikan bahwa bentuk
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{(x-2)\sqrt{(x+2) + \sqrt{4x}}}{x\sqrt{2x} - 2\sqrt{x} + 2\sqrt{2}}$
dapat dinyatakan sebagai
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{\left(\dfrac{(x-2)\sqrt{(x+2) + \sqrt{4x}}}{x\sqrt{2x} - 2\sqrt{x} + 2\sqrt{2}}\right)^2}$
Dengan demikian, diperoleh
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{\dfrac{(x^2 - 4x + 4)(x + 2 + \sqrt{4x})}{(\sqrt{2}x^{\frac32} - 2x^{\frac12} + 2\sqrt{2})^2}}$
Tinjau hanya pada variabel berpangkat tertingginya.
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{\dfrac{x^3 + \cdots}{2x^3 + \cdots}}$
Bagi setiap suku dengan $x^3$ ,
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{\dfrac{\dfrac{x^3}{x^3} + \cdots}{\dfrac{2x^3}{x^3} + \cdots}}$
Gunakan sifat limit tak hingga untuk memperoleh
$\sqrt{\dfrac{1 + 0}{2 + 0}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{1}{2}\sqrt{2}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{(x-2)\sqrt{(x+2) + \sqrt{4x}}}{x\sqrt{2x} - 2\sqrt{x} + 2\sqrt{2}} = \dfrac{1}{2}\sqrt{2}}$

[collapse]

Soal Tambahan

Soal Nomor 43
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{3^{x+1} + 2^x - 3}{3^{x+2} - 2^{x-1} + 4} = \cdots$
A. $1$ B. $\dfrac12$ C. $\dfrac13$ D. $\dfrac14$ E. $\dfrac16$

Penyelesaian

$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{3^{x+1} + 2^x - 3}{3^{x+2} - 2^{x-1} + 4} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{3^{x+1} + 2^x - 3}{3^{x+2} - 2^{x-1} + 4} \times \dfrac{\frac{1}{3^{x+2}}} {\frac{1}{3^{x+2}}} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac13 + \frac{2^x} {3^{x+2}} - \dfrac{3}{3^{x+2}}} {1 - \frac{2^{x-1}}{3^{x+2}} + \dfrac{4}{3^{x+2}}} \\ & = \dfrac{\frac13 + 0 - 0}{1 - 0 + 0} = \dfrac13 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{3^{x+1} + 2^x - 3}{3^{x+2} - 2^{x-1} + 4} = \dfrac13}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 44
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{5(x-1)+2\sqrt{4x^2-23x-6}}$ adalah $\cdots$
A. 1 B. 0 C. $-1$ D. $-2$ E. $\infty$

Penyelesaian

Dengan menggunakan salah satu sifat akar:
$\boxed{\sqrt{(a+b) \pm 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} \pm \sqrt b}$
dan sejumlah sifat limit dasar, diperoleh
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{5(x-1)+2\sqrt{4x^2-23x-6}} \\ & = \lim_{x \to \infty} \sqrt{[(4x + 1)+(x - 6)] + 2\sqrt{(4x+1)(x-6)}} \\ & = \lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x+1} + \sqrt{x-6}) \\ & = \infty \end{aligned}$
Penjelasan pada langkah terakhir: Karena $x$ nilainya menuju tak hingga, maka $\sqrt{4x+1}$ akan membesar nilainya, begitu juga dengan $\sqrt{x-6}$ , sehingga bila dijumlahkan keduanya, hasilnya akan tak hingga.
(Jawaban E)

[collapse]

3 Replies to “Soal dan Pembahasan – Limit Tak Hingga”

Izzudin Ahmad says:

February 4, 2019 at 9:12 am

thanks gan sangat bermanfaat 😀
materinya lengkap

Rate

Budi Utami says:

February 3, 2019 at 7:18 pm

Pembahasan soalnya sangat membantu dalam mengerjakan soal soal latihan.
Saya mengerti apa yang dibahas yaa walaupun saya belum masuk materi ini tapi jujur… Ini sangat membantu untuk latihan UN maupun yang lainnya seperti olimpiade.
Thanks banget ya kak

Rate

alifiardi says:

February 3, 2019 at 7:07 pm

Keren pembahasannya, sukses selalu om! 😀

Rate

Soal dan Pembahasan – Limit Tak Hingga

Artikel Terkait

3 Replies to “Soal dan Pembahasan – Limit Tak Hingga”

Leave a Reply Cancel reply