Soal dan Pembahasan LGM SMA (LIMAS Ke-6) Himmat FKIP Untan


Pemenang LGM (LIMAS Ke-6)
                Pemenang LGM SMA (LIMAS Ke-6)

Berikut ini adalah soal Lintas Graph Mathematics tingkat SMA/Sederajat  (LIMAS Ke-6) beserta pembahasannya. Perlombaan ini diselenggarakan oleh Himmat FKIP Untan pada tanggal 19 November 2017. Perlu dicatat bahwa beberapa soal berikut (baik dari segi bahasa maupun penulisan) mengalami beberapa revisi/perbaikan tetapi tidak mengubah inti soal yang dipertanyakan.
Unduh soal LGM SMA (LIMAS Ke-6) di link berikut: Klik sini!
Sedangkan soal dan pembahasan LGM SMP (LIMAS Ke-6) dapat dilihat di link ini.

Pos Delta – Soal Level 1
Diketahui f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 -2}} dan (f \circ g)(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 6x + 7}}. Tentukan g(x + 2).

Penyelesaian

(f \circ g)(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 6x + 7}}
\dfrac{1}{\sqrt{(g(x))^2 -2}} = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 6x + 7}}
(g(x))^2 - 2 = x^2 + 6x + 7
(g(x))^2 = x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2
g(x) = x + 3 \lor g(x) = -x - 3
Untuk g(x) = x + 3, diperoleh \boxed{g(x+2) = x + 5}, sedangkan untuk g(x) = -x - 3, diperoleh \boxed{g(x+2) = -x - 5}.

[collapse]

Pos Delta – Soal Level 2
Diberikan data frekuensi panjang daun pada tabel berikut.

Berdasarkan tabel di atas, tentukanlah P_{83} (persentil ke-83)!

Penyelesaian

Diketahui \sum F = 40. Langkah pertama yang harus dilakukan adalah menentukan letak P_{83}. Letaknya ada pada data ke-\left(\dfrac{83}{100}\right) \times 40 = 33,2 \approx 33. Sekarang, buat kolom frekuensi kumulatif seperti berikut.

Dengan melihat tabel di atas, kita peroleh bahwa kelas persentil ke-83 ada pada interval 154 – 162. 
Diketahui:
L_b  = 154 - 0,5 = 153,5
n = 40; F_{k83} = 29; f_{83} = 5
L (\text{kelas interval}) = 9

(Catatan: F_{k83} adalah frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-83, sedangkan f_{83} adalah frekuensi kelas persentil ke-83)
P_{83} = L_b + \dfrac{\dfrac{83}{100} \times n - F_{k83}}{f_{83}} \times L
P_{83} = 153,5 + \dfrac{\dfrac{83}{100} \times 40 - 29}{5} \times 9
P_{83} = 153,5 + \dfrac{4,2}{5} \times 9
P_{83} = 153,5 + 7,56 = 161,06
Jadi, persentil ke-83 dari data tersebut adalah 161,06 mm.

[collapse]

Pos Delta – Soal Level 3
Tentukan nilai \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{3x - \sin 2x}{4x - \tan 3x}

Penyelesaian

Periksa apakah ketika kita mensubstitusikan x = 0 ke dalam fungsi, kita peroleh bentuk tak tentu.
\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{3x - \sin 2x}{4x - \tan 3x}
= \dfrac{3(0)- \sin 2(0)}{4(0) - \tan 3(0)} = \dfrac{0}{0}
Karena kita peroleh bentuk \dfrac{0}{0} (bentuk tak tentu), maka kita bisa menghitung limitnya dengan Dalil L’Hospital.
\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{3x - \sin 2x}{4x - \tan 3x}
(Terapkan Dalil L’Hospital)
= \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{3 - 2 \cos 2x}{4 - 3 \sec^2 3x}
= \dfrac{3 - 2(1)}{4 - 3(1)} = 1
Jadi, \boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{3x - \sin 2x}{4x - \tan 3x} = 1}

[collapse]

Pos Epsilon
Agar deret geometri tak hingga \dfrac{x-1}{x} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x(x-1)} + \cdots memiliki jumlah limit, tentukan nilai x yang memenuhi.

Penyelesaian

Diketahui rasio dari deret geometri tersebut adalah \dfrac{1}{x-1}. Agar memiliki jumlah limit, haruslah memenuhi
\left|\dfrac{1}{x-1}\right| < 1
|x - 1| > 1
x - 1 > 1 \lor x - 1 < -1
x > 2 \lor x < 0
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah \left\{x \in \mathbb{R}| x < 0 \lor x > 2\}

[collapse]

Pos Sigma
Misalkan A = \begin{bmatrix} ^x\log a & \log (4a - 14) \\ \log(b-4) & 1 \end{bmatrix} dan B= \begin{bmatrix} \log b & 1 \\ \log a & 1 \end{bmatrix}. Jika A = B, tentukan nilai x yang memenuhi.

Penyelesaian

Tinjau entri baris kedua kolom pertama pada persamaan matriks A = B, diperoleh
\log (4a - 14) = 1 = \log 10
4a - 14 = 10 \Leftrightarrow a = 6
Selanjutnya, tinjau entri pada baris pertama kolom kedua, didapat
\log(b-4) = \log a = \log 6
b - 4 = 6 \Leftrightarrow b = 10
Terakhir, tinjau entri pada baris dan kolom pertamanya.
^x \log a = \log b \Rightarrow ^x \log 6 = \log 10
Dari persamaan di atas, diperolehlah nilai \boxed{x = 6}

[collapse]

Pos Gamma
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh y = x^2 - 2x dan y = 2x-3 dengan batas interval 0 \leq x \leq 3

Penyelesaian

Soal ini tidak valid (sudah dikonfirmasi oleh pihak panitia pembuat soal LIMAS Ke-6) karena daerah pada interval 0 \leq x \leq 1 tidak terbatas (sumbu x tidak disebutkan sebagai pembatas). Perhatikan gambar berikut agar lebih jelasnya.

Jikalau memang ditanyakan luasnya, jawaban yang mungkin adalah \infty (tak terhingga), tetapi pada kenyataannya, tidak ada kasus yang demikian ditemukan.

[collapse]

Pos Alpha
Akar-akar persamaan kuadrat x^2 + 4x + k = 0 adalah x_1 dan x_2 dengan x_1 > x_2. Jika x_1^2 - x_2^2 = -32, tentukan nilai k.

Penyelesaian

Diketahui x_1 + x_2 = -4 dan x_1x_2 = k
Diketahui juga dari soal bahwa x_1^2 - x_2^2 = -32
Persamaan di atas dapat diubah menjadi
(x_1 + x_2)(x_1 - x_2) = -32
Substitusikan x_1 + x_2 = -4,
(-4)(x_1 - x_2) = -32
x_1 - x_2 = 8
Dengan menggunakan metode penyelesaian SPLDV pada sistem
\begin{cases} x_1 + x_2 = -4 \\ x_1 - x_2 = 8 \end{cases}
diperoleh x_1 = 2~\text{dan}~x_2 = -6
Dengan demikian, x_1x_2 = 2(-6) = -12. Berarti, nilai k adalah -12.

[collapse]

Pos Theta
Diketahui limas segitiga beraturan T.ABC. Diketahui panjang rusuk AB = 6 cm dan TA = 6 \sqrt{3} cm. Jika sudut antara TC dan bidang alas ABC adalah \alpha, maka nilai \tan \alpha adalah …

Penyelesaian

Perhatikan gambar berikut (diambil dari: Les Sukses Privat)

Karena bayangan proyeksi rusuk TC jatuh pada garis CQ, maka bidang ABC dapat diwakili oleh garis CP. P adalah titik tengah AB, sedangkan CP adalah simetri lipat segitiga sama sisi ABC. Diketahui, AB = 6 cm, sehingga PB = \dfrac{1}{2} \times AB = \dfrac{1}{2} \times 6 = 3~\text{cm}. Dengan menggunakan Teorema Pythagoras pada segitiga BCP:
CP = \sqrt{BC^2 - PB^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = 3\sqrt{3}~\text{cm}
Tinjau kembali gambar di atas. Segitiga TCQ adalah segitiga siku-siku (di Q) dengan CQ = \dfrac{2}{3} \times CP = \dfrac{2}{3} \times  3\sqrt{3} = 2\sqrt{3}~\text{cm} dan TC = 6\sqrt{3}~\text{cm}

Berarti, TQ = \sqrt{TC^2 - CQ^2} = \sqrt{108 - 12} = 4\sqrt{6}~\text{cm}. Terakhir, gunakan konsep trigonometri untuk tangen.
\boxed{\tan \alpha = \dfrac{TQ}{QC} = \dfrac{4\sqrt{6}}{2\sqrt{3}} = 2\sqrt{2}}

[collapse]

Pos Lambda
Jika diketahui y = f(x) dengan f(0) = 5 dan f'(x) = -3x + 2\displaystyle \int_{0}^{2} f(x)~dx, maka tentukan nilai maksimum dari y = f(x).

Penyelesaian

Misalkan \displaystyle \int_{0}^{2} f(x)~dx = k, sehingga f'(x) dapat ditulis menjadi
f'(x) = -3x + 2k
Integrasikan kedua ruas terhadap x,
\int f'(x) = \int (-3x + 2k)~dx
f(x) = -\dfrac{3}{2}x^2 + 2kx + C
Diketahui f(0) = 5, sehingga bila disubstitusikan ke persamaan di atas, diperoleh
5 = -\dfrac{3}{2}(0)^2 + 2k(0) + C \Leftrightarrow C = 5
Dengan demikian,
\displaystyle \int_{0}^{2} f(x)~dx = \int_{0}^{2} \left(-\dfrac{3}{2}x^2 + 2kx + 5\right) ~dx = k
\left[-\dfrac{1}{2}x^3 + kx^2 + 5x\right]_{0}^{2} = k
-4 + 4k + 10 = k \Leftrightarrow k = -2
Berarti, y = f(x) = -\dfrac{3}{2}x^2 - 4x + 5
Untuk mencari nilai maksimum, syaratnya adalah y' = -3x - 4 = 0, sehingga diperolehlah x = -\dfrac{4}{3}. Cari nilai fungsi f ketika x = -\dfrac{4}{3}, yaitu
f\left(-\dfrac{4}{3}\right) =  -\dfrac{3}{2}\left(-\dfrac{4}{3}\right)^2 - 4\left(-\dfrac{4}{3}\right) + 5 = 7\dfrac{2}{3}
Jadi, nilai maksimum (terbesar) dari y = f(x) adalah \boxed{7\dfrac{2}{3}}

[collapse]

Pos Omega
Isilah lingkaran-lingkaran kosong pada gambar berikut dengan angka 2, 3, 4, 5, 7, 8, dan 9, sehingga pada setiap garis lurus yang menembus 3 lingkaran itu, jumlah angka pada ketiga lingkarannya adalah 18.

Sertakan dengan proses pengerjaannya.

Komentar

Soal ini berkaitan dengan aturan pengambilan angka yang ditetapkan oleh panitia penjaga pos saat kegiatan LGM sedang berlangsung. Jadi, tidak dapat diselesaikan jika soalnya tidak diberi ketentuan.

[collapse]
Ayo Beri Rating Postingan Ini
KategoriLIMASTag,

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *