Soal dan Pembahasan LGM SMA (LIMAS Ke-6) Himmat FKIP Untan

Berikut ini adalah soal Lintas Graph Mathematics tingkat SMA/Sederajat  (LIMAS Ke-6) beserta pembahasannya. Perlombaan ini diselenggarakan oleh Himmat FKIP Untan pada tanggal 19 November 2017. Perlu dicatat bahwa beberapa soal berikut (baik dari segi bahasa maupun penulisan) mengalami beberapa revisi/perbaikan, tetapi tidak mengubah inti soal yang dipertanyakan.

Pemenang LGM (LIMAS Ke-6)
                Pemenang LGM SMA (LIMAS Ke-6)

Unduh soal LGM SMA (LIMAS Ke-6) di link berikut: Klik sini!
sedangkan soal dan pembahasan LGM SMP (LIMAS Ke-6) dapat dilihat di link ini.

Pos Delta- Soal Level 1
Diketahui $f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x^2-2}}$ dan $(f \circ g)(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 6x + 7}}$. Tentukan $g(x + 2)$.

Pembahasan

$(f \circ g)(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 6x + 7}}$
$\dfrac{1}{\sqrt{(g(x))^2-2}} = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 6x + 7}}$
$(g(x))^2-2 = x^2 + 6x + 7$
$(g(x))^2 = x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2$
$g(x) = x + 3 \lor g(x) =-x-3$
Untuk $g(x) = x + 3$, diperoleh $\boxed{g(x+2) = x + 5}$, sedangkan untuk $g(x) =-x-3$, diperoleh $\boxed{g(x+2) =-x-5}$ 

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan- Komposisi dan Invers Fungsi

Pos Delta- Soal Level 2
Diberikan data frekuensi panjang daun pada tabel berikut.
$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Ukuran panjang (mm)} & \text{Frekuensi} \\ \hline 118-126 & 3 \\ 127-135 & 5 \\ 136-144 & 9 \\ 145-153 & 12 \\ 154-162 & 5 \\ 163-171 & 4 \\ 172-180 & 2 \\ \hline \end{array}$
Berdasarkan tabel di atas, tentukanlah $P_{83}$ (persentil ke-$83$)!

Pembahasan

Diketahui $\sum F = 40$. Langkah pertama yang harus dilakukan adalah menentukan letak $P_{83}$. Letaknya ada pada data ke-$\left(\dfrac{83}{100}\right) \times 40 = 33,2 \approx 33$. Sekarang, buat kolom frekuensi kumulatif seperti berikut.
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Ukuran panjang (mm)} & f & f_k \\ \hline 118-126 & 3 & 3 \\ 127-135 & 5 & 8 \\ 136-144 & 9 & 17 \\ 145-153 & 12 & 29 \\ 154-162 & 5 & 34 \\ 163-171 & 4 & 38 \\ 172-180 & 2 & 40 \\ \hline \end{array}$
Dengan mencermati tabel di atas, kita peroleh bahwa kelas persentil ke-$83$ ada pada interval $154-162$. 
Diketahui:
$L_b  = 154-0,5 = 153,5$
$n = 40; F_{k83} = 29; f_{83} = 5$
$c (\text{kelas interval}) = 9$

(Catatan: $F_{k83}$ adalah frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-$83$, sedangkan $f_{83}$ adalah frekuensi kelas persentil ke-$83$)
$P_{83} = L_b + \dfrac{\dfrac{83}{100} \times n-F_{k83}}{f_{83}} \times c$
$P_{83} = 153,5 + \dfrac{\dfrac{83}{100} \times 40-29}{5} \times 9$
$P_{83} = 153,5 + \dfrac{4,2}{5} \times 9$
$P_{83} = 153,5 + 7,56 = 161,06$
Jadi, persentil ke-$83$ dari data tersebut adalah $161,06$ mm.

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Statistika (Tingkat SMA/Sederajat)

Pos Delta- Soal Level 3
Tentukan nilai $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{3x-\sin 2x}{4x-\tan 3x}$.

Pembahasan

Periksa apakah ketika kita mensubstitusikan $x = 0$ ke dalam fungsi, kita peroleh bentuk tak tentu.
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{3x-\sin 2x}{4x-\tan 3x}$
$ = \dfrac{3(0)-\sin 2(0)}{4(0)-\tan 3(0)} = \dfrac{0}{0}$
Karena kita peroleh bentuk $\dfrac{0}{0}$ (bentuk tak tentu), maka kita bisa menghitung limitnya dengan Dalil L’Hospital.
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{3x-\sin 2x}{4x-\tan 3x}$
(Terapkan Dalil L’Hospital)
$= \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{3-2 \cos 2x}{4-3 \sec^2 3x}$
$ = \dfrac{3-2(1)}{4-3(1)} = 1$
Jadi, $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{3x-\sin 2x}{4x-\tan 3x} = 1}$

[collapse]

Baca : Soal dan Pembahasan- Limit Fungsi Aljabar

Baca : Soal dan Pembahasan- Limit Fungsi Trigonometri

Pos Epsilon
Agar deret geometri tak hingga $\dfrac{x-1}{x} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x(x-1)} + \cdots$ memiliki jumlah limit, tentukan nilai $x$ yang memenuhi.

Pembahasan

Diketahui rasio dari deret geometri tersebut adalah $\dfrac{1}{x-1}$. Agar memiliki jumlah limit, haruslah memenuhi
$\left|\dfrac{1}{x-1}\right| < 1$
$|x-1| > 1$
$x-1 > 1 \lor x-1 <-1$
$x > 2 \lor x < 0$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi adalah $\{x \in \mathbb{R}| x < 0 \lor x > 2\}$

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Deret Geometri Tak Hingga

Pos Sigma
Misalkan $A = \begin{bmatrix} ^x\log a & \log (4a- 14) \\ \log(b-4) & 1 \end{bmatrix}$ dan $B= \begin{bmatrix} \log b & 1 \\ \log a & 1 \end{bmatrix}$. Jika $A = B$, tentukan nilai $x$ yang memenuhi.

Pembahasan

Tinjau entri baris kedua kolom pertama pada persamaan matriks $A = B$, diperoleh
$\log (4a- 14) = 1 = \log 10$
$ 4a- 14 = 10 \Leftrightarrow a = 6$
Selanjutnya, tinjau entri pada baris pertama kolom kedua, didapat
$\log(b-4) = \log a = \log 6$
$b- 4 = 6 \Leftrightarrow b = 10$
Terakhir, tinjau entri pada baris dan kolom pertamanya.
$^x \log a = \log b \Rightarrow ^x \log 6 = \log 10$
Dari persamaan di atas, diperolehlah nilai $\boxed{x = 6}$

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan- Matriks, Determinan, dan Invers Matriks

Baca : Soal dan Pembahasan- Pangkat, Akar, dan Logaritma

Pos Gamma
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh $y = x^2-2x$ dan $y = 2x-3$ dengan batas interval $0 \leq x \leq 3$

Komentar

Soal ini tidak valid (sudah dikonfirmasi oleh pihak panitia pembuat soal LIMAS Ke-6) karena daerah pada interval $0 \leq x \leq 1$ tidak terbatas (sumbu x tidak disebutkan sebagai pembatas). Perhatikan gambar berikut agar lebih jelasnya.




Jikalau memang ditanyakan luasnya, jawaban yang mungkin adalah $\infty$ (tak terhingga), tetapi pada kenyataannya, tidak ada kasus yang demikian ditemukan.

[collapse]

Pos Alpha
Akar-akar persamaan kuadrat $x^2 + 4x + k = 0$ adalah $x_1$ dan $x_2$ dengan $x_1 > x_2$. Jika $x_1^2-x_2^2 =-32$, tentukan nilai $k$.

Pembahasan

Diketahui $x_1 + x_2 =-4$ dan $x_1x_2 = k$
Diketahui juga dari soal bahwa $x_1^2- x_2^2 =-32$
Persamaan di atas dapat diubah menjadi
$(x_1 + x_2)(x_1-x_2) =-32$
Substitusikan $x_1 + x_2 =-4$,
$(-4)(x_1- x_2) =-32$
$x_1- x_2 = 8$
Dengan menggunakan metode penyelesaian SPLDV pada sistem
$\begin{cases} x_1 + x_2 =-4 \\ x_1-x_2 = 8 \end{cases}$
diperoleh $x_1 = 2~\text{dan}~x_2 =-6$
Dengan demikian, $x_1x_2 = 2(-6) =-12$. Berarti, nilai $k$ adalah $-12$.

[collapse]

Baca : Soal dan Pembahasan- Teorema Pythagoras

Pos Theta
Diketahui limas segitiga beraturan $T.ABC$. Diketahui panjang rusuk $AB = 6$ cm dan $TA = 6 \sqrt{3}$ cm. Jika sudut antara $TC$ dan bidang alas $ABC$ adalah $\alpha$, maka nilai $\tan \alpha$ adalah $\cdots \cdot$

Pembahasan

Perhatikan gambar berikut.

Karena bayangan proyeksi rusuk $TC$ jatuh pada garis $CQ$, maka bidang $ABC$ dapat diwakili oleh garis $CP$. $P$ adalah titik tengah $AB$, sedangkan $CP$ adalah simetri lipat segitiga sama sisi $ABC$. Diketahui, $AB = 6$ cm, sehingga $PB = \dfrac{1}{2} \times AB = \dfrac{1}{2} \times 6 = 3~\text{cm}$. Dengan menggunakan Teorema Pythagoras pada segitiga $BCP$:
$\begin{aligned} CP & = \sqrt{BC^2-PB^2} \\ & = \sqrt{6^2-3^2} \\ & = 3\sqrt{3}~\text{cm} \end{aligned}$
Tinjau kembali gambar di atas. Segitiga $TCQ$ adalah segitiga siku-siku (di $Q$) dengan $CQ = \dfrac{2}{3} \times CP = \dfrac{2}{3} \times  3\sqrt{3} = 2\sqrt{3}~\text{cm}$ dan $TC = 6\sqrt{3}~\text{cm}$

Dengan demikian,
$\begin{aligned} TQ & = \sqrt{TC^2-CQ^2} \\ & = \sqrt{(6\sqrt3)^2-(2\sqrt3)^2} \\ & = \sqrt{108-12} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}~\text{cm} \end{aligned}$
Terakhir, gunakan konsep trigonometri untuk tangen.

$\boxed{\tan \alpha = \dfrac{TQ}{QC} = \dfrac{4\sqrt{6}}{2\sqrt{3}} = 2\sqrt{2}}$

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Dimensi Tiga (Konsep Sudut)

Pos Lambda
Jika diketahui $y = f(x)$ dengan $f(0) = 5$ dan $f'(x) =-3x + 2\displaystyle \int_{0}^{2} f(x)~\text{d}x$, maka tentukan nilai maksimum dari $y = f(x)$.

Pembahasan

Misalkan $\displaystyle \int_{0}^{2} f(x)~\text{d}x = k$, sehingga $f'(x)$ dapat ditulis menjadi
$f'(x) =-3x + 2k$
Integrasikan kedua ruas terhadap $x$,
$\int f'(x) = \int (-3x + 2k)~\text{d}x$
$f(x) =-\dfrac{3}{2}x^2 + 2kx + C$
Diketahui $f(0) = 5$, sehingga bila disubstitusikan ke persamaan di atas, diperoleh
$5 =-\dfrac{3}{2}(0)^2 + 2k(0) + C \Leftrightarrow C = 5$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} \displaystyle \int_{0}^{2} f(x)~\text{d}x & k \\ \int_{0}^{2} \left(-\dfrac{3}{2}x^2 + 2kx + 5\right) ~\text{d}x & = k \\ \left[-\dfrac{1}{2}x^3 + kx^2 + 5x\right]_{0}^{2} & = k \\ -4 + 4k + 10 = k \\ 4k-k & =-6 \\ 3k & =-6 \\ k & =-2 \end{aligned}$
Berarti, $y = f(x) = -\dfrac{3}{2}x^2-4x + 5$
Untuk mencari nilai maksimum, syaratnya adalah $y’ =-3x-4 = 0$, sehingga diperolehlah $x =-\dfrac{4}{3}$. Cari nilai fungsi $f$ ketika $x =-\dfrac{4}{3}$, yaitu
$\begin{aligned} f\left(-\dfrac{4}{3}\right) & =  -\dfrac{3}{2}\left(-\dfrac{4}{3}\right)^2-4\left(-\dfrac{4}{3}\right) + 5 \\ & = 7\dfrac{2}{3} \end{aligned}$
Jadi, nilai maksimum (terbesar) dari $y = f(x)$ adalah $\boxed{7\dfrac{2}{3}}$

[collapse]

Pos Omega
Isilah lingkaran-lingkaran kosong pada gambar berikut dengan angka $2, 3, 4, 5, 7, 8$, dan $9$, sehingga pada setiap garis lurus yang menembus $3$ lingkaran itu, jumlah angka pada ketiga lingkarannya adalah $18$.

Sertakan dengan proses pengerjaannya.

Komentar

Soal ini berkaitan dengan aturan pengambilan angka yang ditetapkan oleh panitia penjaga pos saat kegiatan LGM sedang berlangsung. Jadi, tidak dapat diselesaikan jika soalnya tidak diberi ketentuan.

[collapse]
CategoriesLIMASTags,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *