Soal dan Pembahasan – LGM SMP (LIMAS Ke-6) Himmat FKIP Untan

Pemenang LGM (LIMAS Ke-6)
              Pemenang LGM SMP (LIMAS Ke-6)

        Berikut ini adalah soal Lintas Graph Mathematics tingkat SMP/Sederajat (LIMAS Ke-6) beserta pembahasannya. Perlombaan ini diselenggarakan oleh Himmat FKIP Untan pada tanggal 26 November 2017. Perlu dicatat bahwa beberapa soal berikut (baik dari segi bahasa maupun penulisan) mengalami beberapa revisi/perbaikan, tetapi tidak mengubah inti soal yang dipertanyakan.
Unduh soal LGM SMP LIMAS Ke-6 di link berikut: Klik sini!
sedangkan soal dan pembahasan LGM SMA LIMAS Ke-6 dapat dilihat pada link ini

Pos Integer – Soal Level 1
Diberikan sebuah kerucut dengan jari-jari $30$ cm dan tinggi kerucutnya $40$ cm. Tentukan volume kerucut tersebut.

Penyelesaian

Diketahui
$r = 30~\text{cm}$
$t = 40~\text{cm}$
Volume kerucut dirumuskan oleh
$\begin{aligned} V & = \dfrac{1}{3}\pi r^2t \\ & = \dfrac{1}{3} \times 3,14 \times (30)^2 \times 40 \\ & = 37.680~\text{cm}^3 \end{aligned}$

Jadi, volume kerucut itu adalah $\boxed{37.680~\text{cm}^3}$

[collapse]

Pos Integer – Soal Level 2
Dua buah dadu dilempar bersama-sama sebanyak $72$ kali. Tentukan frekuensi harapan munculnya jumlah mata dadu lebih dari $4$.

Penyelesaian

Diketahui bahwa banyaknya anggota ruang sampel dari dua buah dadu tersebut adalah $n(S) = 36$. Misalnya $A$ adalah kejadian munculnya jumlah mata dadu dari $4$, sehingga
$A^c = \{(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)\}$
Ini berarti, $n(A^c) = 4$ dan akibatnya $n(A) = n(S)- n(A^c) = 36 -4 = 32$

Frekuensi harapan munculnya jumlah mata dadu lebih dari $4$ adalah
$f_h = \dfrac{n(A)}{n(S)} \times \text{banyak pelemparan}$
$f_h = \dfrac{32}{36} \times 72 = 64~\text{kali}$
Jadi, frekuensi harapannya adalah $\boxed{64~\text{kali}}$

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Peluang (Tingkat SMP/Sederajat)

Pos Integer – Soal Level 3
Perhatikan gambar berikut.


Diketahui bahwa segitiga $ABC$ adalah segitiga siku-siku di $B$ dan juga merupakan segitiga sama kaki dengan $BC = AB = 3~\text{cm}$. Jika $AD$ garis bagi dari titik sudut $A$, tentukan panjang $BD$.

Penyelesaian

Berdasarkan gambar di atas, $DE$ adalah garis tinggi pada segitiga $ACD$. Dengan konsep kesebangunan, kita ketahui bahwa $AB = BC = AE = 3~\text{cm}$. Kemudian dengan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} AC & = \sqrt{AB^2 + BC^2} \\ & = \sqrt{3^2 + 3^2} \\ & = 3\sqrt{2}~\text{cm} \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} CE & = AC -AE \\ & = 3\sqrt{2} -3 \\ & = 3(\sqrt{2} -1)~\text{cm} \end{aligned}$
Juga dengan konsep kesebangunan, $BD = DE = CE = 3(\sqrt{2} -1)~\text{cm}$
Jadi, panjang $BD$ adalah $\boxed{3(\sqrt{2} -1)~\text{cm}}$

[collapse]

Baca : Soal dan Pembahasan – Teorema Pythagoras

Pos Konstanta
Pada ulangan matematika, diketahui nilai rata-rata suatu kelas adalah $58$. Jika rata-rata nilai matematika untuk siswa laki-lakinya adalah $65$ dan untuk siswa perempuannya adalah $54$,  tentukan perbandingan banyaknya siswa laki-laki dan perempuan di kelas tersebut.

Penyelesaian

Misalnya banyak siswa di kelas itu adalah $n$ orang. Banyak siswa laki-laki dan perempuannya berturut-turut $n_1$ dan $n_2$ orang, sehingga $n = n_1 + n_2$. Dengan demikian, jumlah nilai seluruh siswa di kelas itu adalah $58n$, sedangkan jumlah nilai siswa laki-laki dan perempuan berturut-turut adalah $65n_1$ dan $54n_2$. Dalam hal ini, berlaku
$58n = 65n_1 + 54n_2$
$58(n_1 + n_2) = 65n_1 + 54n_2$
$4n_2 = 7n_1$
$\dfrac{n_1}{n_2} = \dfrac{4}{7}$
Jadi, perbandingan banyak siswa laki-laki dan perempuan di kelas itu adalah $\boxed{4 : 7}$

[collapse]

Pos Koefisien
Perhatikan gambar!

Jika $ST$ adalah garis singgung lingkaran kecil yang sepusat dengan lingkaran besar, $ST = 20$ cm, maka tentukanlah luas daerah yang diarsir.

Penyelesaian

Misalkan $R$ adalah jari-jari lingkaran besar, sedangkan $r$ adalah jari-jari lingkaran kecil. Perhatikan gambar berikut.

Garis singgung $ST$ pasti akan tegak lurus dengan jari-jari lingkaran kecil $r$, sehingga terbentuk segitiga siku-siku dengan hipotenusa $R$. Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, berlaku
$\left(\dfrac{ST}{2}\right)^2 + r^2 = R^2$
Karena $ST = 20$ cm, maka $\dfrac{ST}{2} = 10$ cm, berarti,
$10^2 + r^2 = R^2 \Leftrightarrow R^2 -r^2 = 100$
Luas daerah yang diarsir merupakan selisih luas lingkaran besar dengan luas lingkaran kecil, yaitu
$\begin{aligned} L & = L_B -L_k \\ & = \pi R^2 -\pi r^2 \\ & = \pi(R^2 -r^2) \end{aligned}$
Substitusikan $R^2 -r^2 = 100$, diperoleh
$L = \pi(100) = 100\pi~\text{cm}^2$
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah $100\pi~\text{cm}^2$

[collapse]

Pos Busur
Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah akar penyelesaian dari persamaan $3^{2x} -3^{3 -2x} -28 = 0$, maka tentukan jumlah kuadrat dari kedua akar tersebut!

Penyelesaian

Persamaan $3^{2x} -3^{3 -2x} -28 = 0$ dapat ditulis menjadi $3^{2x} -\dfrac{27}{3^{2x}}- 28 = 0$ dengan menggunakan sifat eksponen. Sekarang, misalkan $3^{2x} = a$, sehingga persamaan itu ditulis
$a -\dfrac{27}{a} -28 = 0$
Kalikan $a$ di kedua ruas,
$a^2 -28a -27 = 0$
$(a -27)(a -1) = 0$
$a = 27 \lor a = 1$
Substitusikan kembali $a = 3^{2x}$
$3^{2x} = 27 \lor 3^{2x} = 1$
$3^{2x} = 3^3 \lor 3^{2x} = 3^0$
$x = \dfrac{3}{2} \lor x = 0$
Dengan demikian, jumlah kuadrat kedua akar tersebut adalah
$\boxed{x_1^2 + x_2^2 = \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 + 0^2 = \dfrac{9}{4}}$

[collapse]

Pos Venn
Jika diketahui luas suatu persegi panjang $195~\text{cm}^2$ dan kelilingnya $56$ cm, tentukan panjang diagonal persegi panjang itu!

Penyelesaian

Diketahui $L = pl = 195$ dan $k = 2(p + l) = 56 \Leftrightarrow p + l = 28$. Sama dengan konsep persamaan kuadrat, kita harus mencari nilai $p$ dan $l$ sedemikian sehingga persamaan tersebut bernilai benar. Pikirkan dua bilangan yang bila dikalikan hasilnya $195$ dan bila dijumlahkan hasilnya $28$. Dua bilangan itu adalah $13$ dan $15$.
Jadi, ambil $p = 15$ dan $l = 13$ (terbalik/tertukar tidak mengubah hasil). Sekarang, panjang diagonalnya dapat dihitung dengan Teorema Pythagoras.
Misal panjang diagonalnya adalah $x$, maka
$\begin{aligned} x & = \sqrt{15^2 + 13^2} \\ & = \sqrt{225 + 169} \\ & = \sqrt{394}~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang diagonal persegi panjang itu adalah $\boxed{\sqrt{394}~\text{cm}}$

[collapse]

Pos Pecahan
Diberikan algoritma tebak-tebakan tanggal dan bulan lahir:
1. Minta target mengalikan bulan lahirnya (dalam angka) dengan $2$.
2. Hasilnya ditambah $5$.
3. Kalikan dengan $50$.
4. Tambahkan dengan tanggal lahirnya.
5. Minta target menyebutkan hasil akhirnya. Secara diam-diam, kamu sendiri mengurangi hasilnya itu dengan $250$.
Contoh: Misal target lahir pada tanggal 18 Juli. Jadi, target akan mengalikan 7 (Juli adalah bulan ke-7) dengan 2, diperoleh 14. Lalu, $14 + 5 = 19$, $19 \times 50 = 950$, dan $950 + 18 = 968$. Ia akan menyebutkan $968$. Kurangi angka ini dengan $250$ (secara diam-diam), lalu sebutkan hasilnya, yaitu $718$ (bulan $7$ tanggal $18$)

Pertanyaan: Analisis/buktikan kebenaran permainan matematika itu dengan menggunakan konsep aljabar.

Penyelesaian

Misalkan $a = \text{tanggal lahir}$ dan $b = \text{bulan lahir}$. Berdasarkan algoritma di atas, diperoleh operasi aritmetika sebagai berikut:
$\begin{aligned} & (a \times 2 + 5) \times 50 + b- 250 \\ & = 100a + 250 + b -250 \\ & = \boxed{100a + b} \end{aligned}$
Dari bentuk terakhir ini, kita dapat menyimpulkan bahwa selama hasilnya dapat diubah menjadi bentuk itu, maka kita dapat menebak tanggal dan bulan lahir target dengan mudah. Seperti contoh pada soal, $718$ dapat ditulis $100 \times 7 + 18$.

[collapse]

Pos Linear
Perhatikan gambar berikut.

Jika $\angle{MKN}$ dan $\angle{NOM}$ saling berpelurus, tentukan panjang dari garis $KN$ dan $MK$!

Penyelesaian

Misalkan $\angle{MKN} = \angle{MKL} = \alpha$. Karena saling berpelurus, maka $\angle{NOM} = 180^{\circ} -\alpha$. Perhatikan bahwa sudut $NOM$ dan $NOL$ saling berpelurus, sehingga $\angle{NOL} = 180^{\circ} -(180^{\circ} -\alpha) = \alpha$. Tinjau juga $\angle{KLM} = \angle{OLN}$ karena berimpit. Jadi, $\Delta{OLN} \cong \Delta{KLM}$.
Dengan konsep kesebangunan, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{KL}{OL} & = \dfrac{ML}{NL} \\ \dfrac{KN + 15}{12} & = \dfrac{20}{15} = \dfrac43 \\ 3(KN+15) & = 48 \\ KN+15 & = 16 \\ KN & = 1~\text{cm} \end{aligned}$
dan
$\begin{aligned} \dfrac{MK}{NO} & = \dfrac{ML}{NL} \\ \dfrac{MK}{12} & = \dfrac{20}{15} \\ \dfrac{MK}{12} & = \dfrac43 \\ MK & = \dfrac{4}{\cancel{3}} \times \cancelto{4}{12} = 16~\text{cm} \end{aligned}$

Jadi, panjang garis $KN$ dan $MK$ berturut-turut adalah $1$ cm dan $16$ cm.

[collapse]

Pos Variabel
Jumlah tiga suku barisan aritmetika adalah $24$. Jika bilangan pertama dikurangi $1$ dan bilangan kedua dikurangi $2$, ketiga bilangan itu membentuk barisan geometri. Carilah pola barisan geometri tersebut.

Penyelesaian

Misalkan tiga bilangan itu adalah $a, b, c$ sedemikian sehingga $a + b + c = 24$. Karena $a,b,c$ membentuk barisan aritmetika, maka berlaku $b -a = c -b$ atau ditulis $2b =a+c$. Substitusikan ke persamaan $a + b + c = 24$, sehingga diperoleh $b + 2b = 24$, yang berarti $b = 8$. Setelah ini, kita dapatkan $a + c = 24 -8 = 16$. Diketahui juga barisan $a -1, b -2, c$ atau $a-1, 6, c$ membentuk barisan geometri, sehingga berlaku
$\dfrac{6}{a-1} = \dfrac{c}{6}$
$(a-1)(c) = 36$
Substitusikan $c = 16 – a$
$(a-1)(16-a) = 36$
$a^2 -17a + 52 = 0$
$(a -13)(a -4) = 0$
Jadi, $a = 13 \lor a = 4$
Dengan mudah, kita peroleh $c = 12$ untuk $a =4$ atau $c = 3$ untuk $a = 13$.
Barisan aritmetika: $4, 8, 12$ atau $13, 8, 3$ dan barisan geometri: $3, 6, 12$ atau $12, 6, 3$. Rumus suku ke-$n$ barisan geometri itu adalah
$\begin{aligned} \text{U}_n & = 3(2)^{n-1} \lor \text{U}_n \\ & = 12\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1} \\ & = 24\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \end{aligned}$ 

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Barisan dan Deret Aritmetika

CategoriesLIMASTags,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *