Soal dan Pembahasan – Barisan dan Deret Aritmetika

Berikut ini penulis sajikan soal-soal beserta pembahasannya tentang barisan dan deret aritmetika. Soal-soal ini dikumpulkan dari berbagai sumber termasuk soal UN maupun SBMPTN. Soal juga dapat diunduh melalui tautan berikut: Download (PDF, 171 KB).

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Soal Cerita (Aplikasi) Barisan dan Deret Aritmetika

Today Quote

Terima kasih Tuhan, karena dulu aku pernah gagal, sebab kegagalan itulah yang membangkitkan aku menjadi orang yang lebih baik. 

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1
Rumus umum suku ke-$n$ untuk barisan aritmetika $-1, 1, 3, 5, 7, \cdots$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\text{U}_n = n + 2$            
B. $\text{U}_n = 2n-1$            
C. $\text{U}_n = 2n-2$
D. $\text{U}_n = 2n-3$
E. $\text{U}_n = 3n-2$

Pembahasan

Barisan itu adalah barisan aritmetika karena memiliki selisih suku yang berdekatan tetap.
Diketahui $a =-1$ dan $b = 2$ sehingga
$\begin{aligned} \text{U}_n & = a + (n-1)b \\ & =-1 + (n-1) \times 2 \\ & =-1 + 2n- 2 \\ & = 2n-3. \end{aligned}$
Jadi, rumus umum suku ke-$n$ adalah $\boxed{\text{U}_n = 2n-3}$
(Jawaban D) 

[collapse]

Soal Nomor 2
Rumus umum dari barisan aritmetika $-8, 0,8,16, \cdots$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\text{U}_n = 2n$                  
B. $\text{U}_n = 2n+2$          
C. $\text{U}_n = 4n-6$
D. $\text{U}_n = 8n+16$
E. $\text{U}_n = 8n-16$   

Pembahasan

Barisan bilangan itu merupakan barisan aritmetika karena memiliki suku yang berdekatan sama/tetap.
Diketahui $a =-8$ dan $b = 8$.
Dengan menggunakan formula suku ke-$n$ barisan aritmetika, didapat
$\begin{aligned} \text{U}_n & = a +(n-1)b \\ & =-8 + (n-1)\times 8 \\ & =-8 + 8n- 8 \\ & = 8n-16. \end{aligned}$
Jadi, rumus umum barisan tersebut adalah $\boxed{\text{U}_n = 8n-16}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 3
Rumus suku ke-$n$ dari barisan aritmetika $-18,-15,-12,-9$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\text{U}_n =-3n + 15$            
B. $\text{U}_n =-3n-15$               
C. $\text{U}_n = 3n + 15$
D. $\text{U}_n = 3n + 21$
E. $\text{U}_n = 3n-21$

Pembahasan

Barisan itu adalah barisan aritmetika karena memiliki selisih suku yang berdekatan tetap. Diketahui $a =-18$ dan $b = 3$ sehingga
$\begin{aligned} \text{U}_n & = a + (n-1)b \\ & =-18 + (n-1) \times 3 \\ & =-18 + 3n-3 = 3n-21. \end{aligned}$
Jadi, rumus umum suku ke-$n$ adalah $\boxed{\text{U}_n = 3n-21}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 4
Rumus suku ke-$n$ dari barisan aritmetika $5, 2,-1,-4, \cdots$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\text{U}_n = 5n-3$
B. $\text{U}_n = 3n+2$
C. $\text{U}_n = 3n-8$
D. $\text{U}_n =-3n-8$
E. $\text{U}_n =-3n+8$

Pembahasan

Barisan di atas termasuk barisan aritmetika dengan suku pertama $a = 5$ dan $b =-3$. Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} \text{U}_n & = a + (n-1)b \\ & = 5 + (n-1)(-3) \\ & = 5-3n + 3 \\ & =-3n + 8. \end{aligned}$
Jadi, rumus suku ke-$n$ dari barisan tersebut adalah $\boxed{\text{U}_n =-3n + 8}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 5
Diketahui barisan aritmetika $6, 10, 14, \cdots$. Rumus umum suku ke-$n$ untuk barisan bilangan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $\text{U}_n =-4n-2$          
B. $\text{U}_n = 4n-2$              
C. $\text{U}_n = 4n+2$
D. $\text{U}_n = n-4$
E. $\text{U}_n = n+4$

Pembahasan

Barisan itu adalah barisan aritmetika karena memiliki selisih suku yang berdekatan tetap.
Diketahui $a = 6$ dan $b = 4$ sehingga
$\begin{aligned} \text{U}_n & = a + (n-1)b \\ & = 6 + (n-1) \times 4 \\ & = 6 + 4n- 4 \\ & = 4n + 2. \end{aligned}$
Jadi, rumus umum suku ke-$n$ adalah $\boxed{\text{U}_n = 4n + 2}$
(Jawaban C) 

[collapse]

Soal Nomor 6
Diketahui barisan aritmetika: $4, 1,-2,-5, \cdots$. Suku ke-10 barisan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $31$                   C. $-23$                E. $-31$
B. $23$                   D. $-26$        

Pembahasan

Diketahui: $a = 4$ dan $b =-3$. Dengan demikian,
$\begin{aligned} \text{U}_{n} & = a + (n-1)b \\ \text{U}_{10} & = 4 + (10-1) \times (-3) \\ & = 4 + 9 \times (-3) \\ & = 4-27 =-23. \end{aligned}$
Jadi, suku ke-10 barisan aritmetika tersebut adalah $\boxed{-23}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 7
Suku ke-$n$ suatu barisan bilangan dirumuskan $\text{U}_n = 15-3n$. Suku ke-$15$ dari barisan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $30$                    C. $0$                      E. $-30$
B. $15$                    D. $-15$       

Pembahasan

Diketahui $\text{U}_n = 15-3n$. Untuk $n = 15$, diperoleh
$\text{U}_{15} = 15-3(15) = 15-45 =-30.$
Jadi, suku ke-$15$ dari barisan tersebut adalah $\boxed{-30}$
(Jawaban E) 

[collapse]

Soal Nomor 8
Diketahui suku ke-$5$ dan suku ke-$9$ dari suatu barisan bilangan aritmetika adalah $18$ dan $6$. Suku ke-$3$ barisan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $9$                      C. $15$                  E. $24$
B. $12$                    D. $21$         

Pembahasan

Diketahui rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika adalah $\text{U}_n = a + (n-1)b$. Akan dicari nilai dari $b$ (beda) sebagai berikut.
$b = \dfrac{\text{U}_9- \text{U}_5}{9-5} = \dfrac{6-18}{4} =-3$
Selanjutnya, akan dicari nilai $a$ (suku pertama) dengan menggunakan persamaan $\text{U}_5 = 18$ sebagai berikut.
$\begin{aligned} \text{U}_5 = a + 4b & = 18 \\ a + 4(-3) & = 18 \\ a & = 30 \end{aligned}$
Suku ke-$3$ barisan tersebut adalah
$\boxed{\text{U}_3 = a + 2b = 30 + 2(-3) = 24}$
(Jawaban E) 

[collapse]

Soal Nomor 9
Diketahui suku ke-$3$ dan suku ke-$5$ dari barisan aritmetika secara berturut-turut adalah $-5$ dan $-9$. Suku ke-$10$ dari barisan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $20$                    C. $17$                    E. $-20$
B. $19$                    D. $-19$        

Pembahasan

Diketahui rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika adalah $\text{U}_n = a + (n-1)b$. Akan dicari nilai dari $b$ (beda) sebagai berikut.
$b = \dfrac{\text{U}_5- \text{U}_3}{5-3} = \dfrac{-9-(-5)}{2} =-2$
Selanjutnya, akan dicari nilai $a$ (suku pertama) dengan menggunakan persamaan $\text{U}_3 =-5$ sebagai berikut.
$\begin{aligned} \text{U}_3 = a + 2b & =-5 \\ a + 2(-2) & =-5 \\ a-4 & =-5 \\ a & =-1 \end{aligned}$
Suku ke-$10$ barisan tersebut adalah $\boxed{\text{U}_{10} = a + 9b =-1 + 9(-2) =-19}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 10
Diketahui suatu barisan aritmetika dengan $\text{U}_4 = 17$ dan $\text{U}_9 = 37$. Suku ketujuh barisan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $25$                    C. $32$                   E. $44$
B. $29$                    D. $40$          

Pembahasan

Diketahui rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika adalah $\text{U}_n = a + (n-1)b$. Akan dicari nilai dari $b$ (beda) sebagai berikut.
$b = \dfrac{\text{U}_9- \text{U}_4}{9-4} = \dfrac{37-17}{5} = 4$
Selanjutnya, akan dicari nilai $a$ (suku pertama) dengan menggunakan persamaan $\text{U}_4 = 17$ sebagai berikut.
$\begin{aligned} \text{U}_4 = a + 3b & = 17 \\ a + 3(4) & = 17 \\ a + 12 & = 17 \\ a & = 5 \end{aligned}$
Suku ke-$7$ barisan tersebut adalah
$\boxed{\text{U}_7 = a + 6b = 5 + 6(4) = 29}$
(Jawaban B) 

[collapse]

Soal Nomor 11
Diketahui barisan aritmetika dengan suku pertama $3$ dan suku ke-$5$ adalah $11.$ Suku ke-$25$ dari barisan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $73$                      C. $68$                    E. $51$
B. $70$                      D. $61$        

Pembahasan

Diketahui rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika adalah $\text{U}_n = a + (n-1)b$. Akan dicari nilai dari $b$ (beda) sebagai berikut.
$b = \dfrac{\text{U}_5-\text{U}_1}{5-1} = \dfrac{11-3}{4} = 2$
Suku ke-$25$ barisan tersebut adalah
$\boxed{\text{U}_{25} = a + 24b = 3 + 24(2) = 51}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 12
Diketahui barisan aritmetika dengan $\text{U} _5 =17$ dan $\text{U}_{10} = 32$. Suku ke-$20$ adalah $\cdots \cdot$
A. $57$                      C. $67$                   E. $77$
B. $62$                      D. $72$     

Pembahasan

Perhatikan bahwa $\text{U}_5 = 17$ dan $\text{U}_{10} = 32$.
Dari sini, kita mengetahui bahwa untuk setiap lima suku, bedanya adalah $32-17 = 15$.
Dengan demikian,
$\text{U}_{15} = 32+15 = 47$ dan $\text{U}_{20} = 47+15 = 62.$
Jadi, suku ke-$20$ barisan aritmetika tersebut adalah $\boxed{62}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 13
Dari suatu deret aritmetika, diketahui suku pertama adalah $20$ dan suku keenam adalah $40$. Jumlah sepuluh suku pertama dari deret tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $340$                  C. $360$                 E. $380$
B. $350$                  D. $370$       

Pembahasan

Diketahui $a = 20$ dan $\text{U}_6 = 40$.
Langkah pertama adalah mencari nilai $b$ (beda) terlebih dahulu.
$\begin{aligned} \text{U}_6 & = 40 \\ a + 5b & = 40 \\ 20 + 5b & = 40 \\ 5b & = 20 \\ b & = 4 \end{aligned}$
Dengan demikian, akan dicari hasil dari $\text{S}_{10}$ sebagai berikut.
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a+(n-1)b)  \\ \text{S}_{10} & = \dfrac{10}{2}\left(2 \cdot 20 + (10-1) \cdot 4\right) \\ & = 5(40 + 36) \\ & = 5(76) = 380 \end{aligned}$
Jadi, jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah $\boxed{380}$
(Jawaban E) 

[collapse]

Soal Nomor 14
Diketahui $$a + (a+1)+(a+2)+\cdots+50=1.139.$$Jika $a$ bilangan bulat positif, maka nilai $a = \cdots \cdot$
A. $15$                     C. $17$                  E. $19$
B. $16$                     D. $18$          

Pembahasan

Perhatikan bahwa deret di atas merupakan deret aritmetika karena berselisih $1$ dengan suku yang berdekatan. 
Banyaknya suku deret itu adalah
$n = 50-a + 1 = 51-a.$
Diketahui $S_{n} = 1.139$ sehingga dapat ditulis
$$\begin{aligned} S_n & = \dfrac{n} {2}(\text{U}_1 + \text{U}_n) \\ 1.139 & = \dfrac{51-a} {2}(a + 50) \\ 51a + 2.550-a^2-50a & = 2.278 \\ a^2-a-272 & = 0 \\ (a-17)(a + 16) & = 0 \end{aligned}$$Jadi, diperoleh $a = 17$ atau $a =-16.$
Karena $a$ bulat positif, maka dipilih $\boxed{a=17}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 15
Hasil penjumlahan semua bilangan bulat di antara $\sqrt[3]{2.006}$ dan $\sqrt{2.006}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $908$                     C. $916$                E. $924$
B. $912$                     D. $920$       

Pembahasan

Misalkan $m$ adalah bilangan bulat yang terletak di antara $\sqrt[3]{2.006}$ dan $\sqrt{2.006}$, maka ditulis
$\sqrt[3]{2.006} < m < \sqrt{2.006}.$ 
Diketahui bahwa $12^3 = 1.728$, sedangkan $13^3 = 2.197$ sehingga pembulatan ke atas dari $\sqrt[3]{2.006}$ adalah $13$. 
Diketahui juga bahwa $44^2 = 1.936$ dan $45^2 = 2.025$ sehingga pembulatan ke bawah dari $\sqrt{2.006}$ adalah $44$. 
Dengan demikian, dapat ditulis
$13 \leq m \leq 44.$
Penjumlahan nilai-nilai $m$ akan membentuk deret aritmetika dengan $a = 13, n = 44-13+1 = 32$, dan $\text{U}_{32} = 44$ sehingga
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(a + \text{U}_n) \\ \text{S}_{32} & = \dfrac{32} {2}(13 + 44) \\ & = 16 \cdot 57 = 912. \end{aligned}$
Jadi, hasil penjumlahan semua bilangan bulat di antara $\sqrt[3]{2.006}$ dan $\sqrt{2.006}$ adalah $\boxed{912}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 16
Suku ketiga suatu deret aritmetika adalah $11$. Jumlah suku keenam hingga suku kesembilan ialah $134$. Suku pertama dan beda deret itu berturut-turut adalah $\cdots \cdot$
A. $1$ dan $3$                        D. $2$ dan $4$
B. $2$ dan $5$                        E. $1$ dan $5$
C. $1$ dan $4$

Pembahasan

Diketahui $\color{red} {\text{U}_3 = a + 2b = 11}$
Karena jumlah suku ke-6 sampai suku ke-9 adalah $134$, kita peroleh
$$\begin{aligned} \text{U}_6 + \text{U}_7 +\text{U}_8 + \text{U}_9 & = 134 \\ (a + 5b) + (a + 6b) + (a + 7b) + (a + 8b) & = 134 \\ 4a + 26b & = 134 \\ 4\color{red} {(a + 2b)} + 18b & = 134 \\ 4(11) + 18b & = 134 \\ 44 + 18b & = 134 \\ 18b & = 90 \\ b & = 5 \end{aligned}$$Karena $b = 5$, maka
$\begin{aligned} a + 2b = 11 & \Rightarrow a + 2(5) = 11 \\ & \Leftrightarrow a = 1. \end{aligned}$
Jadi, suku pertama dan beda deret itu berturut-turut adalah $\boxed{1}$ dan $\boxed{5}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 17
Suku pertama suatu barisan aritmetika adalah $5$. Diketahui suku kesepuluh adalah dua kali suku keempat. Jumlah enam suku pertama barisan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $55$                      C. $61$                  E. $67$
B. $58$                      D. $64$          

Pembahasan

Diketahui $\text{U}_1 = a = 5.$
Karena suku kesepuluh adalah dua kali suku keempat, kita peroleh
$\begin{aligned} \text{U}_{10} & = 2\text{U}_4 \\ a + 9b & = 2(a + 3b) \\ \text{Substitusi}~a&=5 \\ 5 + 9b & = 2(5+3b) \\ 5+9b&=10+6b \\ 9b-6b&=10-5 \\ 3b & = 5 \\ b & = \dfrac53. \end{aligned}$
Dengan demikian, 
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a+(n-1)b) \\ \text{S}_6 & = \dfrac{6}{2}\left(2 \times 5 + (6-1)\times \dfrac53\right) \\ & = 3\left(10 + \dfrac{25}{3}\right) \\ & = 30 + 25 = 55. \end{aligned}$
Jadi, jumlah enam suku pertama barisan tersebut adalah $\boxed{55}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 18
Di antara tiap dua suku bilangan $20, 68$, dan $116$ akan disisipkan $5$ bilangan sehingga membentuk barisan aritmetika. Jumlah seluruh bilangan yang disisipkan adalah $\cdots \cdot$
A. $680$                    C. $740$                   E. $889$
B. $694$                    D. $880$        

Pembahasan

Barisan aritmetika yang dimaksud adalah 
$\begin{aligned} & 20, \text{U}_2, \text{U}_3, \text{U}_4,\text{U}_5,\text{U}_6, \\ & 68, \text{U}_8,\text{U}_9,\text{U}_{10},\text{U}_{11},\text{U}_{12}, 116 \end{aligned}$
Diketahui:
$\color{red} {\text{U}_1 = a = 20}.$
Karena $\text{U}_7 = 68$, diperoleh
$\begin{aligned}\color{red} {a} + 6b & = 68 \\ 20+6b & = 68 \\ 6b &=48 \\ b&=8 \end{aligned}$
Selanjutnya, akan dihitung jumlah 13 suku pertama barisan itu. 
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a+(n-1)b) \\ \text{S}_{13} & = \dfrac{13}{2}(2 \times 20 + (13-1)\times 8) \\ & = \dfrac{13}{2}(40 + 96) \\ & = \dfrac{13}{\cancel{2}} \times \cancelto{68}{136} = 884. \end{aligned}$
Dengan demikian, jumlah semua bilangan yang disisipkan itu adalah
$$\boxed{\text{S}_{13}- 20- 68- 116 = 884-204 = 680}$$ (Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 19
Jumlah $n$ suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan $\text{S}_n = \dfrac{5}{2}n^2 + \dfrac{3}{2}n$. Suku ke-$10$ dari deret aritmetika tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $49$                               D. $33,5$
B. $47,5$                          E. $29$
C. $35$

Pembahasan

Ingat bahwa $\text{U}_n = \text{S}_n- \text{S}_{n-1}$. 
Dengan demikian, akan dicari nilai dari $\text{S}_{10}$ dan $\text{S}_9$ sebagai berikut. 
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{5}{2}n^2 + \dfrac{3}{2}n \\ \text{S}_{9} & = \dfrac{5}{2}(9)^2 + \dfrac{3}{2}(9) \\ & = \dfrac{5 \times 81}{2} + \dfrac{27}{2} \\ & = \dfrac{405 + 27}{2} = 216. \end{aligned}$
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{5}{2}n^2 + \dfrac{3}{2}n \\ \text{S}_{10} & = \dfrac{5}{2}(10)^2 + \dfrac{3}{\cancel{2}}(\cancelto{5}{10}) \\ & = \dfrac{5}{\cancel{2}}(\cancelto{50}{100})+ 15 \\ & = 250 + 15 = 265. \end{aligned}$ 
Dengan demikian, diperoleh
$\text{U}_{10} = \text{S}_{10}- \text{S}_9 = 265-216 = 49.$
Jadi, suku ke-$10$ dari deret aritmetika tersebut adalah $\boxed{49}$
(Jawaban A)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Barisan dan Deret Geometri

Soal Nomor 20
Jumlah $n$ suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan $\text{S}_n = 2n^2+4n$. Suku ke-$9$ dari deret aritmetika tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $30$                       C. $38$                    E. $46$
B. $34$                       D. $42$             

Pembahasan

Ingat bahwa $\text{U}_n = \text{S}_n- \text{S}_{n-1}$. 
Dengan demikian, akan dicari nilai dari $\text{S}_{9}$ dan $\text{S}_8$ sebagai berikut. 
$\begin{aligned} \text{S}_n & = 2n^2+4n \\ \text{S}_{8} & = 2(8)^2 + 4(8) \\ & = 128 + 32 = 160. \end{aligned}$
$\begin{aligned} \text{S}_n & = 2n^2+4n \\ \text{S}_9 & = 2(9)^2 + 4(9) \\ & = 162+36=198. \end{aligned}$ 
Dengan demikian, diperoleh
$\text{U}_{9} = \text{S}_{9}-\text{S}_8 = 198-160=38.$
Jadi, suku ke-$9$ dari deret aritmetika tersebut adalah $\boxed{38}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 21
Jumlah $20$ suku pertama suatu deret aritmetika ialah $500$. Jika suku pertama ialah $5$, maka suku terakhir deret itu adalah $\cdots \cdot$
A. $35$                       C. $45$                      E. $52$
B. $39$                       D. $48$      

Pembahasan

Diketahui: $\text{S}_{20} = 500; \text{U}_1=a=5.$
Dengan menggunakan rumus jumlah deret aritmetika, diperoleh
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(a + \text{U}_n) \\ \text{S}_{20} & = \dfrac{20} {2}(5 + \text{U}_{20}) \\ \cancelto{50}{500} & = \cancel{10}(5+\text{U}_{20}) \\ 50 & = 5 + \text{U}_{20} \\ \text{U}_{20} & = 50-5 = 45. \end{aligned}$
Jadi, suku terakhir deret itu adalah $\boxed{45}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 22
Jumlah bilangan genap antara $1$ dan $101$ yang tidak habis dibagi $3$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1.742$                        D. $1.724$
B. $1.734$                        E. $1.718$
C. $1.730$

Pembahasan

Bilangan genap yang habis dibagi $3$ adalah bilangan kelipatan $6$.
Barisan bilangan kelipatan $6$ dari $1$ sampai $101$ adalah
$6, 12, 18, 24, \cdots, 96.$
yang merupakan barisan aritmetika. 
Diketahui: $a=6, n = \dfrac{96}{6} = 16$, dan $\text{U}_n = \text{U}_{16} = 96$. 
Jumlah tiap suku barisan ini dinyatakan oleh
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(a+\text{U}_n) \\ \text{S}_{16} & = \dfrac{16}{2}(6+96) \\ & = 8(102) = 816. \end{aligned}$
Selanjutnya, akan dicari jumlah bilangan genap dari $1$ sampai $101$, yaitu jumlah tiap suku dari barisan $2,4,6,8,\cdots,100$ yang merupakan barisan aritmetika dengan $a=2, n = 50$, dan $\text{U}_{50} = 100$ sehingga 
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(a+\text{U}_n) \\ \text{S}_{50} & = \dfrac{50}{2}(2+100) \\ & = 25(102) = 2.550. \end{aligned}$
Dengan demikian, jumlah bilangan genap dari $1$ sampai $101$ yang tidak habis dibagi $3$ adalah $\boxed{\text{S} = 2.550-816 = 1.734}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 23
Jika $x_{k+1} = x_k + \dfrac12$ untuk $k = 1,2,3,\cdots$ dan $x_1=1$, maka nilai dari $x_1+x_2+x_3+\cdots+x_{400} = \cdots \cdot$
A. $40.000$                      D. $40.900$
B. $40.300$                      E. $41.200$
C. $40.600$

Pembahasan

Perhatikan bahwa $x_{k+1} = x_k + \dfrac12$ ekuivalen dengan $x_{k+1}-x_k = \dfrac12$. Selisih $x_{k+1}$ dan $x_k$ adalah konstan, yaitu $\dfrac12$ untuk setiap $k \geq 1$ sehingga $x_1+x_2+x_3+\cdots+x_{400}$ merupakan deret aritmetika dengan suku pertama $x_1 = a = 1$ dan $b = \dfrac{1}{2}$, serta $n = 400$. 
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} & x_1+x_2+x_3+\cdots+x_{400} \\ & = \dfrac{n} {2}(2a+(n-1)b) \\ & = \dfrac{400}{2}\left(2(1) + (400-1) \cdot \dfrac12\right) \\ & = 200\left(2 + \dfrac{399}{2}\right) \\ & = 400 + 39.900 = 40.300. \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\boxed{x_1+x_2+x_3+\cdots+x_{400} = 40.300}$ 
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 24
Diketahui barisan aritmetika dengan beda positif memiliki suku tengah $17$. Apabila jumlah $n$ suku pertama barisan aritmetika tersebut adalah $221$ dan selisih antara suku ke-$n$ dengan suku pertama adalah $24$, maka suku pertama barisan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $1$                         C. $5$                       E. $9$
B. $4$                         D. $6$           

Pembahasan

Selisih antara suku ke-$n$ dengan suku pertama adalah $24$ sehingga ditulis
$\text{U}_n- \text{U}_1 = 24 \Leftrightarrow \text{U}_n = \text{U}_1 + 24.$
Karena suku tengah barisan aritmetika itu adalah 17, maka diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{\text{U}_1 + \text{U}_n} {2} & = 17 \\ \text{U}_1 + ( \text{U}_1 + 24) & = 17 \cdot 2 \\ 2\text{U}_1 & = 10 \\ \text{U}_1 & = 5. \end{aligned}$
Jadi, suku pertama barisan tersebut adalah $\boxed{5}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 25
Dalam suatu deret aritmetika, jumlah suku ke-$3$ dan ke-$5$ adalah $14$, sedangkan jumlah $12$ suku pertamanya adalah $129$. Jika suku ke-$n$ adalah $193$, nilai $n = \cdots \cdot$
A. $118$                         D. $128$
B. $122$                         E. $130$
C. $126$

Pembahasan

Karena jumlah suku ke-$3$ dan ke-$5$ adalah $14$, kita peroleh
$$\begin{aligned} \text{U}_3 + \text{U}_5 & = 14 \\ (a + 2b) + (a + 4b) & = 14 \\ 2a + 6b & = 14 \\ 2a & = 14-6b && (\bigstar) \end{aligned}$$Karena jumlah $12$ suku pertamanya adalah $129$, kita peroleh
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a+(n-1)b) \\ \text{S}_{12} & = \dfrac{12}{2}((14-6b) + (12-1)b) \\ 129 & = 6(5b +14) \\ 129 & = 30b + 84 \\ 30b & = 45 \\ b & = \dfrac{45}{30} = \dfrac{3}{2}. \end{aligned}$
Substitusi nilai $b = \dfrac32$ ke persamaan $\bigstar.$ 
$\begin{aligned} 2a & = 14-\cancelto{3}{6}\left(\dfrac{3}{\cancel{2}} \right) \\ 2a & = 14- 9 \\ 2a & = 5 \\ a & = \dfrac52 \end{aligned}$
Diberikan bahwa suku ke-$n$ adalah $193$, maka kita tuliskan
$\begin{aligned} \text{U}_n & = a + (n-1)b \\ 193 & = \dfrac52 + (n-1)\left(\dfrac32\right) \\ \text{Kalikan}~2&~\text{di kedua ruas} \\ 386 & = 5 + (n-1)(3) \\ 381 & = 3(n-1) \\ n-1 & = \dfrac{381}{3} = 127 \\ n & = 128. \end{aligned}$
Jadi, nilai $n$ adalah $\boxed{128}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 26
Pada barisan aritmetika, nilai suku ke-$25$ tiga kali nilai suku ke-$5$. Suku yang bernilai dua kali suku pertama adalah suku ke-$\cdots \cdot$
A. $13$                         C. $9$                       E. $3$
B. $11$                         D. $7$            

Pembahasan

Diketahui $\text{U}_{25} = 3\text{U}_5$. 
Berdasarkan rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika, yaitu $\text{U}_n = a + (n-1)b$, diperoleh
$\begin{aligned} a + 24b & = 3(a + 4b) \\ a + 24b & = 3a + 12b \\ 2a & = 12b \\ a & = 6b. \end{aligned}$
Misalkan suku yang bernilai dua kali suku pertama adalah suku ke-$n$ sehingga kita tuliskan
$\begin{aligned} \text{U}_n & = 2\text{U}_1 \\ a + (n-1)b & = 2a \\ (n-1)b & = a \\ \text{Substitusi}~a & = 6b \\ (n-1)\cancel{b} & = 6\cancel{b} \\ n-1 & = 6 \\ n & = 7. \end{aligned}$
Jadi, suku yang bernilai dua kali suku pertama adalah suku ke-$7$.
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 27
Diketahui jumlah suku-suku suatu barisan aritmetika adalah $585$. Jika suku pertama ditambah $3$, suku kedua ditambah $9$, suku ketiga ditambah $15$, dan seterusnya, maka diperoleh jumlah suku-suku barisan yang baru senilai $1.092$. Jumlah suku pertama, suku tengah, dan suku terakhir barisan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $45$                    C. $135$                  E. $225$
B. $90$                    D. $180$           

Pembahasan

Misalkan jumlah suku-suku barisan aritmetika semula adalah $\text{S}_k = \text{U}_1 + \text{U}_2 + \cdots + \text{U}_k$, sedangkan jumlah suku-suku barisan aritmetika yang baru adalah $\text{S}_n$ dengan
$(\text{U}_1 + 3) + (\text{U}_2 + 9) + (\text{U}_3 + 15) +$ $\cdots + (\text{U}_k + x) = 1.092.$
Dengan mengelompokkan, kita tuliskan
$\begin{aligned} (\text{U}_1 & + \text{U}_2 + \text{U}_3 + \cdots  + \text{U}_k) + (3 \\ & + 9 + 15 + \cdots + x) = 1.092. \end{aligned}$ 
Dengan demikian, kita peroleh
$\begin{aligned} 585 + (3 + 9 + 15 + \cdots + x) & = 1.092 \\ 3 + 9 + 15 + \cdots + x & = 507. \end{aligned}$
Perhatikanlah bahwa deret $3 + 9 + 15 + \cdots + x$ merupakan deret aritmetika dengan suku pertama $a = 3, b = 6$ dan $\text{S}_n = 507.$
Akan dicari nilai dari $n$. 
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a + (n-1)b) \\ 507 & = \dfrac{n}{2}(2 \cdot 3 + (n-1) \cdot 6) \\ 507 & = \dfrac{n} {2} (6 + 6n- 6) \\ 507 & = 3n^2 \\ n^2 & = 169 \\ n & = 13 \end{aligned}$
Ini berarti, $n = k = 13$. 
Jumlah suku pertama dan suku terakhir barisan aritmetika semula dapat ditentukan dengan rumus $\text{S}_k$. 
$\begin{aligned} \text{S}_k & = \dfrac{k} {2}(\text{U}_1 + \text{U}_k) \\ 585 & = \dfrac{13} {2}(\text{U}_1 + \text{U}_{13}) \\ (\text{U}_1 + \text{U}_{13}) & = \dfrac{585 \times 2}{13} = 90 \end{aligned}$
Suku tengahnya adalah
$\text{U}_7 = \dfrac{\text{U}_1 + \text{U}_{13}} {2} = \dfrac{90}{2} = 45.$
Dengan demikian, hasil dari
$\text{U}_1 + \text{U}_7 + \text{U}_{13} = 90 + 45 = 135.$
Jadi, jumlah suku pertama, suku tengah, dan suku terakhir barisan tersebut adalah $\boxed{135}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 28
Jika $\text{U}_n$ menyatakan suku ke-$n$ suatu barisan aritmetika dan $\text{U}_{6}-\text{U}_{8}+\text{U}_{10}-\text{U}_{12}+\text{U}_{14}=20$, maka jumlah $19$ suku pertama barisan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $630$                           D. $190$
B. $380$                           E. $105$
C. $210$

Pembahasan

Pada barisan aritmetika, rumus suku ke-$n$ dirumuskan oleh $\text{U}_n = a + (n-1)b$.
Untuk itu, kita peroleh
$$\begin{aligned} \text{U}_{6}-\text{U}_{8}+\text{U}_{10}-\text{U}_{12}+\text{U}_{14}& =20 \\ (a+5b)-(a+7b)+(a+9b)-(a+11b)+(a+13b)&=20 \\ (a-a+a-a+a)+(5b-7b+9b-11b+13b)&=20 \\ a + 9b & = 20 \\ 2a + 18b & = 40. && (\text{Kali}~2) \end{aligned}$$Jumlah $19$ suku pertama barisan aritmetika itu dirumuskan oleh
$\begin{aligned} \text{S}_{19} & = \dfrac{19}{2}(\text{U}_1 + \text{U}_{19}) \\ & = \dfrac{19}{2}(a + (a + 18b)) \\ & = \dfrac{19}{2}(2a + 18b) \\ & = \dfrac{19}{\cancel{2}}(\cancelto{20}{40}) \\ & = 380. \end{aligned}$
Jadi, jumlah $19$ suku pertama barisan aritmetika tersebut adalah $\boxed{380}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 29
Diketahui $\alpha, \beta$, dan $\gamma$ berturut-turut adalah suku ke-$2$, suku ke-$4$, dan suku ke-$6$ dari suatu barisan aritmetika. Jika $\dfrac{\alpha + \beta + \gamma}{\beta+1} = 4$, maka nilai $\beta$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-4$                   C. $1$                   E. $4$
B. $-1$                   D. $2$

Pembahasan

Berdasarkan rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika: $\text{U}_n = a+(n-1)b$ dengan $a$ suku pertama dan $b$ beda antarsuku yang berdekatan, kita peroleh bahwa
$\begin{aligned} \text{U}_2 & = \alpha = a + b \\ \text{U}_4 & = \beta = a + 3b \\ \text{U}_6 & = \gamma = a + 5b. \end{aligned}$
Dengan demikian, didapat
$$\begin{aligned} \dfrac{\alpha + \beta + \gamma}{\beta+1} & = 4 \\ \dfrac{(a+b)+(a+3b)+(a+5b)}{(a+3b)+1} & = 4 \\ 3a + 9b & = 4a + 12b + 4 \\ a + 3b & =-4 \\ \text{U}_4 & = \beta =-4. \end{aligned}$$Jadi, nilai $\beta$ adalah $\boxed{-4}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 30
Misalkan $\text{U}_n$ adalah suku ke-$n$ suatu barisan aritmetika. Jika $\text{U}_{k+2} = \text{U}_2+k \cdot \text{U}_{16}-2$, maka nilai dari $\text{U}_{6}+\text{U}_{12}+\text{U}_{18}+\text{U}_{24} = \cdots \cdot$
A. $\dfrac{2}{k}$                  C. $\dfrac{4}{k}$                  E. $\dfrac{8}{k}$
B. $\dfrac{3}{k}$                  D. $\dfrac{6}{k}$

Pembahasan

Rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika dinyatakan oleh $\text{U}_n = a + (n-1)b$.
Artinya,
$\begin{aligned} \text{U}_{k+2} & = a+(k+2-1)b \\ & = a+(k+1)b. \end{aligned}$
Untuk itu,
$$\begin{aligned} \text{U}_{k+2} & = \text{U}_2+k \cdot \text{U}_{16}-2 \\ a+(k+1)b & = (a+b)+k(a+15b)-2 \\ \cancel{a}+kb+\cancel{b} & = \cancel{a+b}+ka + 15kb-2 \\ ka+14kb & = 2 \\ k(a + 14b) & = 2 \\ \color{red}{a + 14b} & = \color{red}{\dfrac{2}{k}} \end{aligned}$$sehingga
$$\begin{aligned} \text{U}_{6}+\text{U}_{12}+\text{U}_{18}+\text{U}_{24} & = (a+5b)+(a+11b)+(a+17b)+(a+23b) \\ & = 4a+56b \\ & = 4(\color{red}{a+14b}) \\ & = 4 \cdot \color{red}{\dfrac{2}{k}} = \dfrac{8}{k}. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\text{U}_{6}+\text{U}_{12}+\text{U}_{18}+\text{U}_{24} = \dfrac{8}{k}}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 31
Jika suku pertama barisan aritmetika adalah $-2$ dengan beda $3$, $\text{S}_n$ adalah jumlah $n$ suku pertama barisan aritmetika tersebut, dan $\text{S}_{n-2} = 68$, maka nilai $n$ adalah $\cdots \cdot$
A. $8$                      C. $11$                   E. $15$
B. $10$                   D. $12$

Pembahasan

Diketahui dalam barisan aritmetika tersebut berlaku
$$\begin{aligned} a & = -2 \\ b & = 3 \\ \text{S}_n & = \dfrac{n}{2}(2a+(n-1)b). \end{aligned}$$Karena $\text{S}_{n-2} = 68$, maka kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{n-2}{2}(2a+(n-3)b) & = 68 \\ (n-2)(2 \cdot (-2) + (n-3) \cdot 3) & = 136 \\ (n-2)(3n-13)-136 & = 0 \\ (3n^2-13n-6n+26)-136 & = 0 \\ 3n^2-19n-110 & = 0 \\ (3n+11)(n-10) & = 0 .\end{aligned}$$Persamaan terakhir menunjukkan bahwa nilai $n = -\dfrac{11}{3}$ atau $n = 10$, tetapi karena $n$ mewakili urutan suku, maka haruslah nilainya bilangan bulat positif. Jadi, diambil $\boxed{n = 10}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 32
Misalkan $a_1, a_2, a_3, \cdots$ adalah barisan aritmetika naik dengan suku-suku berupa bilangan bulat positif. Jika $a_3 = 19,$ maka nilai maksimum dari $a_{a_1} + a_{a_2}$ $+ a_{a_3} + a_{a_4}$ $+ a_{a_5}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $513$                       D. $815$
B. $692$                      E. $900$
C. $737$

Pembahasan

Diketahui $(a_n)$ merupakan barisan aritmetika. Anggap $a$ dan $b$ berturut-turut adalah suku pertama dan beda antarsuku sehingga berlaku
$$\boxed{a_n = a + (n-1)b}$$Oleh karena itu, $a_3 = a + 2b = 19$ sehingga
$$\begin{aligned} a_1+a_2+a_3+a_4+a_5 & = a + (a+b)+(a+2b)+(a+3b)+(a+4b) \\ & = 5a+10b \\ & = 5(a+2b) \\ & = 5(19) = 95 \end{aligned}$$Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} a_{a_1} & = a + (a_1-1)b \\ a_{a_2} & = a + (a_2-1)b \\ a_{a_3} & = a + (a_3-1)b \\ a_{a_4} & = a + (a_4-1)b \\ a_{a_5} & = a + (a_5-1)b \end{aligned}$$Jumlahkan kelima persamaan di atas.
$$\begin{aligned} & a_{a_1} + a_{a_2} + a_{a_3} + a_{a_4} + a_{a_5} \\ & = 5a + (\underbrace{a_1+a_2+a_3+a_4+a_5}_{95})b-5b \\ & = 5a + 95b-5b \\ & = 5(a+18b) \\ & = 5(\underbrace{(a+2b)}_{19}+16b) \\ & = \color{red}{5(19+16b)} \end{aligned}$$Bentuk terakhir menunjukkan bahwa $a_{a_1} + a_{a_2}$ $+ a_{a_3} + a_{a_4}$ $+ a_{a_5}$ akan bernilai maksimum jika $b$ dibuat maksimum. Karena barisan aritmetika tersebut terdiri dari suku-suku dengan bilangan bulat positif dan $a+2b = 19$, maka ambil nilai $a$ terendah yang mungkin, yakni $a = 1$ sehingga mengakibatkan $b = 9.$
Nilai maksimum jumlahan lima suku barisan tersebut adalah $\boxed{\color{red}{5(19+16(9))} = 815}$
(Jawaban D)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 1
Jika $1+2+3+\cdots+n = \overline{aaa}$, tentukan nilai $n$ dan $\overline{aaa}$, dengan $a$ adalah digit tak nol.

Pembahasan

Diberikan $$1+2+3+\cdots+n = \overline{aaa}.$$Berdasarkan rumus jumlah deret aritmetika (ruas kiri) dan penjabaran bilangan ratusan (ruas kanan), kita akan peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{n}{2}(1+n) & = 100a+10a+a \\ n(n+1) & = 222a \\ n(n+1) & = 2 \cdot 3 \cdot 37a \\ n(n+1) & = 6 \cdot 37a. \end{aligned}$$Nilai $a$ yang membuat munculnya perkalian dua bilangan berurutan (seperti bentuk pada ruas kiri) adalah $a = 6$ sehingga didapat
$$\begin{aligned} n(n+1) & = 6 \cdot 37(6) \\ n(n+1) & = 36 \cdot 37. \end{aligned}$$Jadi, diperoleh nilai $n = 36$ dan $\overline{aaa} = 666$.

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Barisan dan Deret (Versi HOTS/Olimpiade) 

8 Replies to “Soal dan Pembahasan – Barisan dan Deret Aritmetika”

  1. Suka bnget, akhirnya nemuin situs latihan soal mtk yang cocok. terima kasih banyaakk.. bener bner seneng bgt krna selama ini nyari situs bljar mtk yg pas tpi ga nemu nemu , akhirnya skrang bisa nemu juga dan bisa belajar dg nyaman .♡♥

  2. No. 22
    Karena yang dicari adalah jumlah bilangan genap dari 1 sampai 101 yang tidak habis dibagi 3 maka cara mencarinya:
    Sn (2,4,6 …) – Sn (6,12,18 …) = 50 * 51 = 2550 bukan
    Sn(1,2,3, …) – Sn (6,12,18, …) = 101 * 51 = 5151 (anda salah ketik 2550)

    Terima kasih

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *