Soal dan Pembahasan – Barisan dan Deret Aritmetika

Berikut ini penulis sajikan soal-soal beserta pembahasannya tentang barisan dan deret aritmetika. Soal-soal ini dikumpulkan dari berbagai sumber termasuk soal UN maupun SBMPTN. Semoga bermanfaat.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Soal Cerita (Aplikasi) Barisan dan Deret Aritmetika

Today Quote

Terima kasih Tuhan, karena dulu aku pernah gagal, sebab kegagalan itulah yang membangkitkan aku menjadi orang yang lebih baik. 

Soal Nomor 1
Rumus umum suku ke-$n$ untuk barisan $-1, 1, 3, 5, 7, \cdots$ adalah $\cdots$
A. $\text{U}_n = n + 2$            D. $\text{U}_n = 2n-3$
B. $\text{U}_n = 2n-1$           E. $\text{U}_n = 3n-2$
C. $\text{U}_n = 2n-2$

Penyelesaian

Barisan itu adalah barisan aritmetika karena memiliki selisih suku yang berdekatan tetap.
Diketahui $a = -1$ dan $b = 2$, sehingga
$\begin{aligned} \text{U}_n & = a + (n-1)b \\ & = -1 + (n – 1) \times 2 \\ & = -1 + 2n – 2 \\ & = 2n – 3 \end{aligned}$
Jadi, rumus umum suku ke-$n$ adalah $\boxed{\text{U}_n = 2n – 3}$ (Jawaban D) 

[collapse]

Soal Nomor 2
Rumus umum dari barisan bilangan $-8, 0,8,16, \cdots$ adalah $\cdots$
A. $\text{U}_n = 2n$                D. $\text{U}_n = 8n+16$
B. $\text{U}_n = 2n+2$          E. $\text{U}_n = 8n-16$
C. $\text{U}_n = 4n-6$   

Penyelesaian

Barisan bilangan itu merupakan barisan aritmetika karena memiliki suku yang berdekatan sama/tetap.
Diketahui $a = -8$ dan $b = 8$.
Dengan menggunakan formula suku ke-$n$ barisan aritmetika, didapat
$\begin{aligned} \text{U}_n & = a +(n-1)b \\ & = -8 + (n-1)\times 8 \\ & -8 + 8n – 8 \\ & = 8n -16 \end{aligned}$
Jadi, rumus umum barisan tersebut adalah $\boxed{\text{U}_n = 8n-16}$ (Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 3
Rumus suku ke-$n$ dari barisan aritmetika: $-18, -15, -12, -9$ adalah $\cdots$
A. $\text{U}_n = -3n + 15$             D. $\text{U}_n = 3n + 21$
B. $\text{U}_n = -3n – 15$               E. $\text{U}_n = 3n – 21$
C. $\text{U}_n = 3n + 15$

Penyelesaian

Barisan itu adalah barisan aritmetika karena memiliki selisih suku yang berdekatan tetap. Diketahui $a = -18$ dan $b = 3$, sehingga
$\begin{aligned} \text{U}_n & = a + (n-1)b \\ & = -18 + (n – 1) \times 3 \\ & = -18 + 3n – 3 = 3n – 21 \end{aligned}$
Jadi, rumus umum suku ke-$n$ adalah $\boxed{\text{U}_n = 3n-21}$ (Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 4
Rumus suku ke-$n$ dari barisan bilangan: $5, 2, -1, -4, \cdots$ adalah $\cdots$
A. $\text{U}_n = 5n-3$
B. $\text{U}_n = 3n+2$
C. $\text{U}_n = 3n-8$
D. $\text{U}_n = -3n-8$
E. $\text{U}_n = -3n+8$

Penyelesaian

Barisan di atas termasuk barisan aritmetika dengan suku pertama $a = 5$ dan $b = -3$. Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} \text{U}_n & = a + (n-1)b \\ & = 5 + (n-1)(-3) \\ & = 5 – 3n + 3 \\ & = -3n + 8 \end{aligned}$
Jadi, rumus suku ke-$n$ dari barisan tersebut adalah $\boxed{\text{U}_n = -3n + 8}$ (Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 5
Diketahui barisan bilangan: $6, 10, 14, \cdots$. Rumus umum suku ke-$n$ untuk barisan bilangan tersebut adalah $\cdots$
A. $\text{U}_n = -4n-2$          D. $\text{U}_n = n-4$
B. $\text{U}_n = 4n-2$             E. $\text{U}_n = n+4$
C. $\text{U}_n = 4n+2$

Penyelesaian

Barisan itu adalah barisan aritmetika karena memiliki selisih suku yang berdekatan tetap.
Diketahui $a = 6$ dan $b = 4$, sehingga
$\begin{aligned} \text{U}_n & = a + (n-1)b \\ & = 6 + (n – 1) \times 4 \\ & = 6 + 4n – 4 \\ & = 4n + 2 \end{aligned}$
Jadi, rumus umum suku ke-$n$ adalah $\boxed{\text{U}_n = 4n + 2}$ (Jawaban C) 

[collapse]

Soal Nomor 6
Diketahui barisan aritmetika: $4, 1, -2, -5, \cdots$. Suku ke-10 barisan tersebut adalah $\cdots$
A. $31$                C. $-23$               E. $-31$
B. $23$                D. $-26$        

Penyelesaian

Diketahui: $a = 4$ dan $b = -3$. Dengan demikian,
$\begin{aligned} \text{U}_{n} & = a + (n – 1)b \\ \text{U}_{10} & = 4 + (10 – 1) \times (-3) \\ & = 4 + 9 \times (-3) \\ & = 4 – 27 = -23 \end{aligned}$
Jadi, suku ke-10 barisan aritmetika tersebut adalah $\boxed{-23}$ (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 7
Suku ke-$n$ suatu barisan bilangan dirumuskan $\text{U}_n = 15 – 3n$. Suku ke-$15$ dari barisan tersebut adalah $\cdots$
A. $30$                C. $0$                      E. $-30$
B. $15$                D. $-15$       

Penyelesaian

Diketahui $\text{U}_n = 15-3n$. Untuk $n = 15$, diperoleh
$\text{U}_{15} = 15 – 3(15) = 15-45 = -30$
Jadi, suku ke-$15$ dari barisan tersebut adalah $\boxed{-30}$ (Jawaban E) 

[collapse]

Soal Nomor 8
Diketahui suku ke-$5$ dan suku ke-$9$ dari suatu barisan bilangan aritmetika adalah $18$ dan $6$. Suku ke-$3$ barisan tersebut adalah $\cdots$
A. $9$                   C. $15$                 E. $24$
B. $12$                 D. $21$         

Penyelesaian

Diketahui rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika adalah $\text{U}_n = a + (n-1)b$. Akan dicari nilai dari $b$ (beda) sebagai berikut.
$b = \dfrac{\text{U}_9 – \text{U}_5}{9 – 5} = \dfrac{6-18}{4} = -3$
Selanjutnya, akan dicari nilai $a$ (suku pertama) dengan menggunakan persamaan $\text{U}_5 = 18$ sebagai berikut.
$\begin{aligned} \text{U}_5 = a + 4b & = 18 \\ a + 4(-3) & = 18 \\ a & = 30 \end{aligned}$
Suku ke-$3$ barisan tersebut adalah
$\boxed{\text{U}_3 = a + 2b = 30 + 2(-3) = 24}$ (Jawaban E) 

[collapse]

Soal Nomor 9
Diketahui suku ke-$3$ dan suku ke-$5$ dari barisan aritmetika secara berturut-turut adalah $-5$ dan $-9$. Suku ke-$10$ dari barisan tersebut adalah $\cdots$
A. $20$               C. $17$                 E. $-20$
B. $19$               D. $-19$        

Penyelesaian

Diketahui rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika adalah $\text{U}_n = a + (n-1)b$. Akan dicari nilai dari $b$ (beda) sebagai berikut.
$b = \dfrac{\text{U}_5 – \text{U}_3}{5 – 3} = \dfrac{-9 – (-5)}{2} = -2$
Selanjutnya, akan dicari nilai $a$ (suku pertama) dengan menggunakan persamaan $\text{U}_3 = -5$ sebagai berikut.
$\begin{aligned} \text{U}_3 = a + 2b & = -5 \\ a + 2(-2) & = -5 \\ a – 4 & = -5 \\ a & = -1 \end{aligned}$
Suku ke-$10$ barisan tersebut adalah $\boxed{\text{U}_{10} = a + 9b = -1 + 9(-2) = -19}$ (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 10
Diketahui suatu barisan aritmetika dengan $\text{U}_4 = 17$ dan $\text{U}_9 = 37$. Suku ketujuh barisan tersebut adalah $\cdots$
A. $25$                 C. $32$                E. $44$
B. $29$                 D. $40$          

Penyelesaian

Diketahui rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika adalah $\text{U}_n = a + (n-1)b$. Akan dicari nilai dari $b$ (beda) sebagai berikut.
$b = \dfrac{\text{U}_9 – \text{U}_4}{9 – 4} = \dfrac{37-17}{5} = 4$
Selanjutnya, akan dicari nilai $a$ (suku pertama) dengan menggunakan persamaan $\text{U}_4 = 17$ sebagai berikut.
$\begin{aligned} \text{U}_4 = a + 3b & = 17 \\ a + 3(4) & = 17 \\ a + 12 & = 17 \\ a & = 5 \end{aligned}$
Suku ke-$7$ barisan tersebut adalah
$\boxed{\text{U}_7 = a + 6b = 5 + 6(4) = 29}$
(Jawaban B) 

[collapse]

Soal Nomor 11
Diketahui barisan aritmetika dengan suku pertama $3$ dan suku ke-$5$ adalah $11$. Suku ke-$25$ dari barisan tersebut adalah $\cdots$
A. $73$              C. $68$               E. $51$
B. $70$              D. $61$        

Penyelesaian

Diketahui rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika adalah $\text{U}_n = a + (n-1)b$. Akan dicari nilai dari $b$ (beda) sebagai berikut.
$b = \dfrac{\text{U}_5 – \text{U}_1}{5 – 1} = \dfrac{11 – 3}{4} = 2$
Suku ke-$25$ barisan tersebut adalah
$\boxed{\text{U}_{25} = a + 24b = 3 + 24(2) = 51}$ (Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 12
Diketahui barisan aritmetika dengan $\text{U} _5 =17$ dan $\text{U}_{10} = 32$. Suku ke-$20$ adalah $\cdots$
A. $57$                   C. $67$                 E. $77$
B. $62$                   D. $72$     

Penyelesaian

Perhatikan bahwa $\text{U}_5 = 17$ dan $\text{U}_{10} = 32$.
Dari sini, kita mengetahui bahwa untuk setiap lima suku, bedanya adalah $32-17 = 15$.
Dengan demikian,
$\text{U}_{15} = 32+15 = 47$ dan $\text{U}_{20} = 47+15 = 62$
Jadi, suku ke-$20$ barisan aritmetika tersebut adalah $\boxed{62}$ (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 13
Dari suatu deret aritmetika, diketahui suku pertama adalah $20$ dan suku keenam adalah $40$. Jumlah sepuluh suku pertama dari deret tersebut adalah $\cdots$
A. $340$                C. $360$                E. $380$
B. $350$                D. $370$       

Penyelesaian

Diketahui $a = 20$ dan $\text{U}_6 = 40$.
Langkah pertama adalah mencari nilai $b$ (beda) terlebih dahulu.
$\begin{aligned} \text{U}_6 & = 40 \\ a + 5b & = 40 \\ 20 + 5b & = 40 \\ 5b & = 20 \\ b & = 4 \end{aligned}$
Dengan demikian, akan dicari hasil dari $\text{S}_{10}$ sebagai berikut.
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a+(n-1)b)  \\ \text{S}_{10} & = \dfrac{10}{2}\left(2 \cdot 20 + (10-1) \cdot 4\right) \\ & = 5(40 + 36) \\ & = 5(76) = 380 \end{aligned}$
Jadi, jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah $\boxed{380}$
(Jawaban E) 

[collapse]

Soal Nomor 14
Diketahui
$a + (a+1)+(a+2)+\cdots+50=1.139$
Jika $a$ bilangan bulat positif, maka nilai $a = \cdots$
A. $15$                 C. $17$                 E. $19$
B. $16$                 D. $18$          

Penyelesaian

Perhatikan bahwa deret di atas merupakan deret aritmetika karena berselisih $1$ dengan suku yang berdekatan. 
Banyaknya suku deret itu adalah
$n = 50 – a + 1 = 51 – a$
Diketahui $S_{n} = 1.139$, sehingga dapat ditulis
$\begin{aligned} S_n & = \dfrac{n} {2}(\text{U}_1 + \text{U}_n) \\ 1.139 & = \dfrac{51 – a} {2}(a + 50) \\ 51a + 2.550 – a^2 – 50a & = 2.278 \\ a^2-a-272 & = 0 \\ (a – 17)(a + 16) & = 0 \end{aligned}$
Jadi, diperoleh $a = 17$ atau $a = -16$
Karena $a$ bulat positif, maka dipilih $\boxed{a=17}$ (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 15
Hasil penjumlahan semua bilangan bulat di antara $\sqrt[3]{2.006}$ dan $\sqrt{2.006}$ adalah $\cdots$
A. $908$              D. $920$
B. $912$               E. $924$
C. $916$

Penyelesaian

Misalkan $m$ adalah bilangan bulat yang terletak di antara $\sqrt[3]{2.006}$ dan $\sqrt{2.006}$, maka ditulis
$\sqrt[3]{2.006} < m < \sqrt{2.006}$ 
Diketahui bahwa $12^3 = 1.728$, sedangkan $13^3 = 2.197$, sehingga pembulatan ke atas dari $\sqrt[3]{2.006}$ adalah $13$. 
Diketahui juga bahwa $44^2 = 1.936$ dan $45^2 = 2.025$, sehingga pembulatan ke bawah dari $\sqrt{2.006}$ adalah $44$. 
Dengan demikian, dapat ditulis
$13 \leq m \leq 44$
Penjumlahan nilai-nilai $m$ akan membentuk deret aritmetika dengan $a = 13, n = 44-13+1 = 32$, dan $\text{U}_{32} = 44$, sehingga
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(a + \text{U}_n) \\ \text{S}_{32} & = \dfrac{32} {2}(13 + 44) \\ & = 16 \cdot 57 = 912 \end{aligned}$
Jadi, hasil penjumlahan semua bilangan bulat di antara $\sqrt[3]{2.006}$ dan $\sqrt{2.006}$ adalah $\boxed{912}$ (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 16
Suku ketiga suatu deret aritmetika adalah $11$. Jumlah suku keenam hingga suku kesembilan ialah $134$. Suku pertama dan beda deret itu berturut-turut adalah $\cdots$
A. $1$ dan $3$                D. $2$ dan $4$
B. $2$ dan $5$                E. $1$ dan $5$
C. $1$ dan $4$

Penyelesaian

Diketahui $\color{red} {\text{U}_3 = a + 2b = 11}$
Karena jumlah suku ke-6 sampai suku ke-9 adalah $134$, kita peroleh
$$\begin{aligned} \text{U}_6 + \text{U}_7 +\text{U}_8 + \text{U}_9 & = 134 \\ (a + 5b) + (a + 6b) + (a + 7b) + (a + 8b) & = 134 \\ 4a + 26b & = 134 \\ 4\color{red} {(a + 2b)} + 18b & = 134 \\ 4(11) + 18b & = 134 \\ 44 + 18b & = 134 \\ 18b & = 90 \\ b & = 5 \end{aligned}$$
Karena $b = 5$, maka
$a + 2b = 11 \Rightarrow a + 2(5) = 11 \Leftrightarrow a = 1$
Jadi, suku pertama dan beda deret itu berturut-turut adalah $\boxed{1}$ dan $\boxed{5}$ (Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 17
Suku pertama suatu barisan aritmetika adalah $5$. Diketahui suku kesepuluh adalah dua kali suku keempat. Jumlah enam suku pertama barisan tersebut adalah $\cdots$
A. $55$                    C. $61$                  E. $67$
B. $58$                    D. $64$          

Penyelesaian

Diketahui $\text{U}_1 = a = 5$
Karena suku kesepuluh adalah dua kali suku keempat, kita peroleh
$\begin{aligned} \text{U}_{10} & = 2\text{U}_4 \\ a + 9b & = 2(a + 3b) \\ \text{Substitusi}~a&=5 \\ 5 + 9b & = 2(5+3b) \\ 5+9b&=10+6b \\ 9b-6b&=10-5 \\ 3b & = 5 \\ b & = \dfrac53 \end{aligned}$
Dengan demikian, 
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a+(n-1)b) \\ \text{S}_6 & = \dfrac{6}{2}\left(2 \times 5 + (6-1)\times \dfrac53\right) \\ & = 3\left(10 + \dfrac{25}{3}\right) \\ & = 30 + 25 = 55 \end{aligned}$
Jadi, jumlah enam suku pertama barisan tersebut adalah $\boxed{55}$ (Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 18
Di antara tiap dua suku bilangan $20, 68$, dan $116$ akan disisipkan $5$ bilangan sehingga membentuk barisan aritmetika. Jumlah seluruh bilangan yang disisipkan adalah $\cdots$
A. $680$               D. $880$
B. $694$               E. $889$
C. $740$

Penyelesaian

Barisan aritmetika yang dimaksud adalah 
$\begin{aligned} & 20, \text{U}_2, \text{U}_3, \text{U}_4,\text{U}_5,\text{U}_6, \\ & 68, \text{U}_8,\text{U}_9,\text{U}_{10},\text{U}_{11},\text{U}_{12}, 116 \end{aligned}$
Diketahui:
$\color{red} {\text{U}_1 = a = 20}$
Karena $\text{U}_7 = 68$, diperoleh
$\begin{aligned}\color{red} {a} + 6b & = 68 \\ 20+6b & = 68 \\ 6b &=48 \\ b&=8 \end{aligned}$
Selanjutnya, akan dihitung jumlah 13 suku pertama barisan itu. 
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a+(n-1)b) \\ \text{S}_{13} & = \dfrac{13}{2}(2 \times 20 + (13-1)\times 8) \\ & = \dfrac{13}{2}(40 + 96) \\ & = \dfrac{13}{\cancel{2}} \times \cancelto{68}{136} = 884 \end{aligned}$
Dengan demikian, jumlah semua bilangan yang disisipkan itu adalah
$\boxed{\text{S}_{13} – 20 – 68 – 116 = 884-204 = 680}$ 
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 19
Jumlah $n$ suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan $\text{S}_n = \dfrac{5}{2}n^2 + \dfrac{3}{2}n$. Suku ke-$10$ dari deret aritmetika tersebut adalah $\cdots$
A. $49$                D. $33,5$
B. $47,5$             E. $29$
C. $35$

Penyelesaian

Ingat bahwa $\text{U}_n = \text{S}_n – \text{S}_{n-1}$. 
Dengan demikian, akan dicari nilai dari $\text{S}_{10}$ dan $\text{S}_9$ sebagai berikut. 
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{5}{2}n^2 + \dfrac{3}{2}n \\ \text{S}_{9} & = \dfrac{5}{2}(9)^2 + \dfrac{3}{2}(9) \\ & = \dfrac{5 \times 81}{2} + \dfrac{27}{2} \\ & = \dfrac{405 + 27}{2} = 216 \end{aligned}$
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{5}{2}n^2 + \dfrac{3}{2}n \\ \text{S}_{10} & = \dfrac{5}{2}(10)^2 + \dfrac{3}{\cancel{2}}(\cancelto{5}{10}) \\ & = \dfrac{5}{\cancel{2}}(\cancelto{50}{100})+ 15 \\ & = 250 + 15 = 265 \end{aligned}$ 
Dengan demikian, diperoleh
$\text{U}_{10} = \text{S}_{10} – \text{S}_9 = 265-216 = 49$
Jadi, suku ke-$10$ dari deret aritmetika tersebut adalah $\boxed{49}$ (Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 20
Jumlah $n$ suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan $\text{S}_n = 2n^2+4n$. Suku ke-$9$ dari deret aritmetika tersebut adalah $\cdots$
A. $30$                C. $38$               E. $46$
B. $34$                D. $42$             

Penyelesaian

Ingat bahwa $\text{U}_n = \text{S}_n – \text{S}_{n-1}$. 
Dengan demikian, akan dicari nilai dari $\text{S}_{9}$ dan $\text{S}_8$ sebagai berikut. 
$\begin{aligned} \text{S}_n & = 2n^2+4n \\ \text{S}_{8} & = 2(8)^2 + 4(8) \\ & = 128 + 32 = 160 \end{aligned}$
$\begin{aligned} \text{S}_n & = 2n^2+4n \\ \text{S}_9 & = 2(9)^2 + 4(9) \\ & = 162+36=198 \end{aligned} $ 
Dengan demikian, diperoleh
$\text{U}_{9} = \text{S}_{9} – \text{S}_8 = 198-160=38$
Jadi, suku ke-$9$ dari deret aritmetika tersebut adalah $\boxed{38}$ (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 21
Jumlah $20$ suku pertama suatu deret aritmetika ialah $500$. Jika suku pertama ialah $5$, maka suku terakhir deret itu adalah $\cdots$
A. $35$                   C. $45$                 E. $52$
B. $39$                   D. $48$      

Penyelesaian

Diketahui: $\text{S}_{20} = 500; \text{U}_1=a=5$
Dengan menggunakan rumus jumlah deret aritmetika, diperoleh
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(a + \text{U}_n) \\ \text{S}_{20} & = \dfrac{20} {2}(5 + \text{U}_{20}) \\ \cancelto{50}{500} & = \cancel{10}(5+\text{U}_{20}) \\ 50 & = 5 + \text{U}_{20} \\ \text{U}_{20} & = 50-5 = 45 \end{aligned}$
Jadi, suku terakhir deret itu adalah $\boxed{45}$ (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 22
Jumlah bilangan genap antara $1$ dan $101$ yang tidak habis dibagi $3$ adalah $\cdots$
A. $1.742$            D. $1.724$
B. $1.734$            E. $1.718$
C. $1.730$

Penyelesaian

Bilangan genap yang habis dibagi $3$ adalah bilangan kelipatan $6$.
Barisan bilangan kelipatan $6$ dari $1$ sampai $101$ adalah
$6, 12, 18, 24, \cdots, 96$
yang merupakan barisan aritmetika
Diketahui: $a=6, n = \dfrac{96}{6} = 16$, dan $\text{U}_n = \text{U}_{16} = 96$. 
Jumlah tiap suku barisan ini dinyatakan oleh
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(a+\text{U}_n) \\ \text{S}_{16} & = \dfrac{16}{2}(6+96) \\ & = 8(102) = 816 \end{aligned}$
Selanjutnya, akan dicari jumlah bilangan dari $1$ sampai $101$, yaitu jumlah tiap suku dari barisan
$1,2,3,4,\cdots, 101$
yang merupakan barisan aritmetika dengan $a=1, n = 101$, dan $\text{U}_{101} = 101$, sehingga 
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(a+\text{U}_n) \\ \text{S}_{101} & = \dfrac{101}{2}(1+101) \\ & = \dfrac{101}{\cancel{2}}(\cancelto{51}{102}) = 2.550 \end{aligned}$
Dengan demikian, jumlah bilangan genap dari $1$ sampai $101$ yang tidak habis dibagi $3$ adalah
$\boxed{\text{S} = 2.550-816 = 1.734}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 23
Jika $x_{k+1} = x_k + \dfrac12$ untuk $k = 1,2,3,\cdots$ dan $x_1=1$, maka nilai dari $x_1+x_2+x_3+\cdots+x_{400} = \cdots$
A. $40.000$                D. $40.900$
B. $40.300$                E. $41.200$
C. $40.600$

Penyelesaian

Perhatikan bahwa $x_{k+1} = x_k + \dfrac12$ ekuivalen dengan $x_{k+1} – x_k = \dfrac12$. Selisih $x_{k+1}$ dan $x_k$ adalah konstan, yaitu $\dfrac12$ untuk setiap $k \geq 1$, sehingga $x_1+x_2+x_3+\cdots+x_{400}$ merupakan deret aritmetika dengan suku pertama $x_1 = a = 1$ dan $b = \dfrac{1}{2}$, serta $n = 400$. 
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} & x_1+x_2+x_3+\cdots+x_{400} \\ & = \dfrac{n} {2}(2a+(n-1)b) \\ & = \dfrac{400}{2}\left(2(1) + (400-1) \cdot \dfrac12\right) \\ & = 200\left(2 + \dfrac{399}{2}\right) \\ & = 400 + 39.900 = 40.300 \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\boxed{x_1+x_2+x_3+\cdots+x_{400} = 40.300}$ 
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 24
Diketahui barisan aritmetika dengan beda positif memiliki suku tengah $17$. Apabila jumlah $n$ suku pertama barisan aritmetika tersebut adalah $221$ dan selisih antara suku ke-$n$ dengan suku pertama adalah $24$, maka suku pertama barisan tersebut adalah $\cdots$
A. $1$           B. $4$          C. $5$             D. $6$            E. $9$

Penyelesaian

Selisih antara suku ke-$n$ dengan suku pertama adalah $24$, sehingga ditulis
$\text{U}_n – \text{U}_1 = 24 \Leftrightarrow \text{U}_n = \text{U}_1 + 24$
Karena suku tengah barisan aritmetika itu adalah 17, maka diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{\text{U}_1 + \text{U}_n} {2} & = 17 \\ \text{U}_1 + ( \text{U}_1 + 24) & = 17 \cdot 2 \\ 2\text{U}_1 & = 10 \\ \text{U}_1 & = 5 \end{aligned}$
Jadi, suku pertama barisan tersebut adalah $\boxed{5}$ (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 25
Dalam suatu deret aritmetika, jumlah suku ke-$3$ dan ke-$5$ adalah $14$, sedangkan jumlah $12$ suku pertamanya adalah $129$. Jika suku ke-$n$ adalah $193$, nilai $n = \cdots$
A. $118$                         D. $128$
B. $122$                         E. $130$
C. $126$

Penyelesaian

Karena jumlah suku ke-$3$ dan ke-$5$ adalah $14$, kita peroleh
$\begin{aligned} \text{U}_3 + \text{U}_5 & = 14 \\ (a + 2b) + (a + 4b) & = 14 \\ 2a + 6b & = 14 \\ 2a & = 14-6b && (\bigstar) \end{aligned}$
Karena jumlah $12$ suku pertamanya adalah $129$, kita peroleh
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a+(n-1)b) \\ \text{S}_{12} & = \dfrac{12}{2}((14-6b) + (12-1)b) \\ 129 & = 6(5b +14) \\ 129 & = 30b + 84 \\ 30b & = 45 \\ b & = \dfrac{45}{30} = \dfrac{3}{2} \end{aligned}$
Substitusi nilai $b = \dfrac32$ ke persamaan $\bigstar$, 
$\begin{aligned} 2a & = 14-\cancelto{3}{6}\left(\dfrac{3}{\cancel{2}} \right) \\ 2a & = 14 – 9 \\ 2a & = 5 \\ a & = \dfrac52 \end{aligned}$
Diberikan bahwa suku ke-$n$ adalah $193$, maka kita tuliskan
$\begin{aligned} \text{U}_n & = a + (n-1)b \\ 193 & = \dfrac52 + (n-1)\left(\dfrac32\right) \\ \text{Kalikan}~2&~\text{di kedua ruas} \\ 386 & = 5 + (n-1)(3) \\ 381 & = 3(n-1) \\ n-1 & = \dfrac{381}{3} = 127 \\ n & = 128 \end{aligned}$
Jadi, nilai $n$ adalah $\boxed{128}$ (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 26 ($\bigstar$ HOTS $\bigstar$)
Jumlah $5$ suku pertama deret aritmetika adalah $20$. Jika masing-masing suku dikurangi dengan suku ke-$3$, maka hasil kali suku ke-$1$, ke-$2$, ke-$4$, dan ke-$5$ adalah $324$. Jumlah $8$ suku pertama deret tersebut adalah $\cdots$
A. $-4$ atau $68$
B. $-52$ atau $116$
C. $-64$ atau $88$
D. $-44$ atau $124$
E. $-56$ atau $138$

Penyelesaian

Diketahui $\text{S}_5 = 20$. 
Berdasarkan kalimat ke-$2$ pada soal di atas, diperoleh
$\begin{aligned} \text{U}_1 – \text{U}_3 & = a – (a + 2b) = -2b \\ \text{U}_2 – \text{U}_3 & = (a + b) – (a + 2b) = -b \\ \text{U}_4 – \text{U}_3 & = (a + 3b) – (a + 2b) = b \\ \text{U}_5 – \text{U}_3 & = (a + 4b) – (a + 2b) = 2b \end{aligned}$
berarti hasil kalinya menghasilkan
$\begin{aligned} (-2b) (-b) (b) (2b) & = 324 \\ 4b^4 & = 324 \\ b^4 & = 81 \\ b & = \pm 3 \end{aligned}$
Karena $\text{S}_5 = 20$, diperoleh
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a+(n-1)b) \\ \text{S}_5 & = \dfrac{5}{2}(2a + (5-1)b) \\ 20 & = \dfrac{5}{2}(2a + 4b) \\ 4 & = a + 2b \end{aligned}$
Untuk $b = 3$, diperoleh 
$a + 2(3) = 4 \Leftrightarrow a = -2$
Untuk $b = -3$, diperoleh 
$a + 2(-3) = 4 \Leftrightarrow a = 10$
Berikutnya, akan dicari nilai dari $\text{S}_8$. 
Untuk $a = -2$ dan $b = 3$, kita tulis
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a + (n-1)b) \\ \text{S}_8 & = \dfrac{8}{2}(2 \cdot (-2) + (8-1) \cdot 3) \\ & = 4(-4 + 21) = 4(17) = 68 \end{aligned}$
Untuk $a = 10$ dan $b = -3$, kita tulis
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a + (n-1)b) \\ \text{S}_{8} & = \dfrac{8}{2}(2 \cdot (10) + (8-1) \cdot (-3)) \\ & = 4(20 – 21) = 4(-1) = -4 \end{aligned}$
Jadi, jumlah $8$ suku pertama deret tersebut adalah $\boxed{-4}$ atau $\boxed{68}$ (Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 27
Pada barisan aritmetika, nilai suku ke-$25$ tiga kali nilai suku ke-$5$. Suku yang bernilai dua kali suku pertama adalah suku ke-$\cdots$
A. $13$       B. $11$           C. $9$           D. $7$            E. $3$

Penyelesaian

Diketahui $\text{U}_{25} = 3\text{U}_5$. 
Berdasarkan rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika, yaitu $\text{U}_n = a + (n-1)b$, diperoleh
$\begin{aligned} a + 24b & = 3(a + 4b) \\ a + 24b & = 3a + 12b \\ 2a & = 12b \\ a & = 6b \end{aligned}$
Misalkan suku yang bernilai dua kali suku pertama adalah suku ke-$n$, sehingga kita tuliskan
$\begin{aligned} \text{U}_n & = 2\text{U}_1 \\ a + (n-1)b & = 2a \\ (n-1)b & = a \\ \text{Substitusi}~a & = 6b \\ (n-1)\cancel{b} & = 6\cancel{b} \\ n – 1 & = 6 \\ n & = 7 \end{aligned}$
Jadi, suku yang bernilai dua kali suku pertama adalah suku ke-$7$. (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 28
Diketahui jumlah suku-suku suatu barisan aritmetika adalah $585$. Jika suku pertama ditambah $3$, suku kedua ditambah $9$, suku ketiga ditambah $15$, dan seterusnya, maka diperoleh jumlah suku-suku barisan yang baru senilai $1.092$. Jumlah suku pertama, suku tengah, dan suku terakhir barisan tersebut adalah $\cdots$
A. $45$               D. $180$
B. $90$               E. $225$
C. $135$

Penyelesaian

Misalkan jumlah suku-suku barisan aritmetika semula adalah $\text{S}_k = \text{U}_1 + \text{U}_2 + \cdots + \text{U}_k$, sedangkan jumlah suku-suku barisan aritmetika yang baru adalah $\text{S}_n$, dengan
$\begin{aligned} (\text{U}_1 + 3) + (\text{U}_2 + 9) & + (\text{U}_3 + 15) + \cdots + \\ & (\text{U}_k + x) = 1.092 \end{aligned}$
Dengan mengelompokkan, kita tuliskan
$\begin{aligned} (\text{U}_1 & + \text{U}_2 + \text{U}_3 + \cdots  + \text{U}_k) + (3 \\ & + 9 + 15 + \cdots + x) = 1.092 \end{aligned}$ 
Dengan demikian, kita peroleh
$\begin{aligned} 585 + (3 + 9 + 15 + \cdots + x) & = 1.092 \\ 3 + 9 + 15 + \cdots + x & = 507 \end{aligned}$
Perhatikanlah bahwa deret $3 + 9 + 15 + \cdots + x$ merupakan deret aritmetika dengan suku pertama $a = 3, b = 6$, dan $\text{S}_n = 507$
Akan dicari nilai dari $n$. 
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a + (n-1)b) \\ 507 & = \dfrac{n}{2}(2 \cdot 3 + (n-1) \cdot 6) \\ 507 & = \dfrac{n} {2} (6 + 6n – 6) \\ 507 & = 3n^2 \\ n^2 & = 169 \\ n & = 13 \end{aligned}$
Ini berarti, $n = k = 13$. 
Jumlah suku pertama dan suku terakhir barisan aritmetika semula dapat ditentukan dengan rumus $\text{S}_k$. 
$\begin{aligned} \text{S}_k & = \dfrac{k} {2}(\text{U}_1 + \text{U}_k) \\ 585 & = \dfrac{13} {2}(\text{U}_1 + \text{U}_{13}) \\ (\text{U}_1 + \text{U}_{13}) & = \dfrac{585 \times 2}{13} = 90 \end{aligned}$
Suku tengahnya adalah
$\text{U}_7 = \dfrac{\text{U}_1 + \text{U}_{13}} {2} = \dfrac{90}{2} = 45$
Dengan demikian, hasil dari
$\text{U}_1 + \text{U}_7 + \text{U}_{13} = 90 + 45 = 135$
Jadi, jumlah suku pertama, suku tengah, dan suku terakhir barisan tersebut adalah $\boxed{135}$ (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 29 ($\bigstar$ HOTS $\bigstar$)
Jumlah $50$ suku pertama dari deret $\log 5 + \log 55 + \log 605 + \log 6.655 + \cdots$ adalah $\cdots$
A. $\log (55^{1.150})$
B. $\log (5^{25} \cdot 11^{1.225})$
C. $\log (25^{25} \cdot 11^{1.225})$
D. $\log (275^{1.150})$
E. $1.150 \log 5$

Penyelesaian

Deret di atas merupakan deret aritmetika dengan suku pertama $a = \log 5$ dan $b = \log 11$. Untuk itu, 
$\text{U}_2 = \log 5 + \log 11 = \log 55$
Dengan demikian, 
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a + (n-1)b) \\ \text{S}_{50} & = \dfrac{50}{2}(2 \cdot \log 5 + (50-1) \cdot \log 11) \\ & = 25(\log 25 + \log 11^{49}) \\ & = \log 25^{25} + \log (11^{49})^{25} \\ & = \log 25^{25} + \log 11^{1.225} \\ & = \log (25^{25} \cdot 11^{1.225}) \end{aligned}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 30
Bilangan $^y \log (x-1), ^y \log (x+1)$, dan $^y \log (3x-1)$ merupakan tiga suku deret aritmetika yang berurutan. Jika jumlah tiga bilangan itu adalah $6$, maka nilai $x + y$ adalah $\cdots$
A. $2$         B. $3$            C. $4$               D. $5$             E. $8$

Penyelesaian

Diketahui:
$\begin{aligned} \text{U}_1 & = ^y \log (x-1) && x > 1 \\ \text{U}_2 & = ^y \log (x+1) && x > -1 \\ \text{U}_3 & = ^y \log (3x-1) && x > \dfrac13 \end{aligned}$
Catatan: Dalam logaritma, numerus harus bernilai positif. Irisan dari ketiga syarat nilai $x$ untuk masing-masing numerus adalah $x > 1$. 
Dalam barisan aritmetika, berlaku hubungan $\boxed{2\text{U}_2 = \text{U}_1 + \text{U}_3}$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} 2 ^y \log (x+1) & = ^y \log (x-1) + ^y \log (3x-1) \\ ^y \log (x+1)^2 & = ^y \log [(x-1)(3x-1)] \\ (x+1)^2 & = (x-1)(3x-1) \\ x^2+2x+1 & = 3x^2-4x+1 \\ 2x^2-6x & = 0 \\ 2x(x-3) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh nilai $x = 0$ atau $x = 3$. 
Karena numerus memberikan syarat $x > 1$, maka nilai $x = 0$ tidak boleh dipilih. Jadi, nilai $x$ yang memenuhi hanya $x = 3$. 
Karena jumlah ketiga suku tersebut adalah $6$, maka kita tulis
$$\begin{aligned} & ^y \log (x-1) + ^y \log (x+1) + ^y \log (3x-1) = 6 \\ & \text{Substitusikan}~x = 3 \\ & ^y \log (3-1) + ^y \log (3+1) + ^y \log (3(3)-1) = 6 \\ & ^y \log 2 + ^y \log 4 + ^y \log 8 = ^y \log y^6 \\ & ^y \log (2 \cdot 4 \cdot 8) = ^y \log y^6 \\ & 2^6 = y^6 \\ & y = 2 \end{aligned}$$
Catatan: $y$ tidak boleh bernilai $-2$ karena dapat menimbulkan fallacy (sesat nalar) bila disubstitusikan kembali ke bentuk logaritmanya. 
Jadi, nilai dari $\boxed{x+y=3+2=5}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 31
Jika diketahui
$\begin{aligned} (1+3+5 & +\cdots+a) +(1+3+5+\cdots+b) \\ & = 1+3+5+\cdots+25 \end{aligned}$, 
maka nilai $a+b$ adalah $\cdots$
A. $24$                  C. $32$                  E. $40$
B. $28$                  D. $36$        

Penyelesaian

Berdasarkan deret bilangan ganjil, diketahui
$1+3+5+\cdots+n = \left(\dfrac{n+1}{2}\right)^2$
Perhatikan bahwa deret $1+3+5+\cdots+25$ sama dengan $\left(\dfrac{25+1}{2}\right)^2 = 13^2$
Berdasarkan rumus Pythagoras, tripel Pythagoras yang memuat 13 sebagai bilangan terbesar dan dua bilangan lainnya merupakan bilangan bulat adalah $(5, 12, 13)$. 
Ini berarti, deret $(1+3+5+\cdots+a) = 5^2$, sehingga $a = (5 \times 2) – 1 = 9$, sedangkan deret $(1+3+5+\cdots+b) = 12^2$, sehingga $b = (12 \times 2) – 1 = 23$
Jadi, nilai dari $\boxed{a+b=9+23=32}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 32
Diketahui rumus jumlah suku ke-$n$ suatu barisan aritmetika adalah $\text{S}_n = 2n^2+n$. Nilai dari $\text{U}_1 + \text{U}_3 + \text{U}_5 + \cdots + \text{U}_{2n-1}$ adalah $\cdots$
A. $6n^2+8n+1$
B. $6n^2-8n+1$ 
C. $8n^2-6n+1$
D. $8n^2+6n+1$
E. $8n^2-6n-1$

Penyelesaian

Cara 1: Standar
Diketahui: $\text{S}_n = 2n^2+n$.
Substitusi $n=1$, diperoleh
$\text{S}_1 = 2(1)^2+1=3$
Substitusi $n=2$, diperoleh
$\text{S}_2 = 2(2)^2+2=10$
Substitusi $n=1$, diperoleh
$\text{S}_3 = 2(3)^2+3=21$ 
Dari sini, didapat 
$\begin{aligned} \text{U}_1 & = \text{S}_1 = 3 \\ \text{U}_2 & = \text{S} _2 – \text{S}_1 = 10-3=7 \\ \text{U}_3 & = \text{S} _3 – \text{S}_2 = 21-10=11 \end{aligned}$
Barisan aritmetika: $3, 7, 11, \cdots$
dengan $a=3$ dan $b=4$. 
Rumus suku ke-$n$ barisan tersebut adalah
$\begin{aligned} \text{U}_n & = a+(n-1)b \\ & = 3+(n-1)(4) \\ & = 4n – 1 \end{aligned}$
Dengan demikian, 
$\begin{aligned} & \text{U}_1 + \text{U}_3 + \text{U}_5 + \cdots + \text{U}_{2n-1} \\ & = 3 + 11 + 19 + \cdots + 4(2n-1)-1 \\ & = \underbrace{\dfrac{2n-1}{2}(3 + 4(2n-1) – 1)}_{\text{rumus S}_n} \\ & = \dfrac{2n-1}{2}(8n-2) \\ & = \dfrac{16n^2-12n+2}{2} = 8n^2-6n+1 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $$\boxed{\text{U}_1 + \text{U}_3 + \text{U}_5 + \cdots + \text{U}_{2n-1} =8n^2-6n+1}$$
Cara 2: Trik Cepat
Diketahui: $\text{S}_n = 2n^2+n$.
Substitusi $n=1$, diperoleh
$\text{S}_1 = 2(1)^2+1=3$ 
Cek pilihan gandanya sekarang. 
Substitusi $n=1$ juga harus menghasilkan $3$.
Pilihan C memenuhi: $8n^2-6n+1 = 8(1)^2-6(1)+1=3$
sedangkan pilihan lainnya tidak. 
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 33
Misal $\text{U}_n$ suatu barisan aritmetika dengan suku pertama $a$ dan $b$. Jika $b=2a$ dan $\text{U}_1 + \text{U}_3 + \text{U}_5 + \text{U}_7 + \text{U}_{9} = 90$, maka nilai dari $\text{U}_8 + \text{U}_{10} + \text{U}_{12} + \text{U}_{14} + \text{U}_{16} = \cdots$
A. $210$                      D. $240$
B. $220$                      E. $250$
C. $230$

Penyelesaian

Diketahui:
$\begin{aligned} & b = 2a \\ & \text{U}_1 + \text{U}_3 + \text{U}_5 + \text{U}_7 + \text{U}_{9} = 90 \end{aligned}$
Akan dicari nilai $a$ dan $b$ terlebih dahulu sebagai berikut.
$$\begin{aligned} \text{U}_1 + \text{U}_3 + \text{U}_5 + \text{U}_7 + \text{U}_{9} & = 90 \\ a + (a + 2b) + (a+4b)+(a+6b)+ (a+8b) & = 90 \\  5a + 20b & = 90 \\ a+ 4b & = 18 \\ \text{Substitusikan}~& b= 2a \\ a + 4(2a) & = 18 \\ 9a & = 18 \\  a &= 2 \end{aligned}$$
Substitusi $a = 2$ pada $b=2a$, sehingga didapat $b = 2(2)= 4$.
Untuk itu,
$$\begin{aligned} & \text{U}_8 + \text{U}_{10} + \text{U}_{12} + \text{U}_{14} + \text{U}_{16}\\ & = (a + 7b) + (a + 9b)+ (a+11b)+ (a+13b)+ (a+15b) \\ & = 5a + 55b \\ & = 5(2) + 55(4) = 230 \end{aligned}$$
Jadi, nilai dari $\text{U}_8 + \text{U}_{10} + \text{U}_{12} + \text{U}_{14} + \text{U}_{16}$ adalah $\boxed{230}$
(Jawaban C)

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini
CategoriesBarisan dan DeretTags, , , , , , ,

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *