Soal dan Pembahasan – Barisan dan Deret Aritmetika

Berikut ini penulis sajikan soal-soal beserta pembahasannya tentang barisan dan deret aritmetika. Soal-soal ini dikumpulkan dari berbagai sumber termasuk soal UN maupun SBMPTN. Semoga bermanfaat.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Soal Cerita (Aplikasi) Barisan dan Deret Aritmetika

Today Quote

Terima kasih Tuhan, karena dulu aku pernah gagal, sebab kegagalan itulah yang membangkitkan aku menjadi orang yang lebih baik. 

Soal Nomor 1
Rumus umum suku ke-$n$ untuk barisan $-1, 1, 3, 5, 7, \cdots$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\text{U}_n = n + 2$            
B. $\text{U}_n = 2n-1$            
C. $\text{U}_n = 2n-2$
D. $\text{U}_n = 2n-3$
E. $\text{U}_n = 3n-2$

Pembahasan

Barisan itu adalah barisan aritmetika karena memiliki selisih suku yang berdekatan tetap.
Diketahui $a =-1$ dan $b = 2$, sehingga
$\begin{aligned} \text{U}_n & = a + (n-1)b \\ & =-1 + (n-1) \times 2 \\ & =-1 + 2n- 2 \\ & = 2n-3 \end{aligned}$
Jadi, rumus umum suku ke-$n$ adalah $\boxed{\text{U}_n = 2n-3}$
(Jawaban D) 

[collapse]

Soal Nomor 2
Rumus umum dari barisan bilangan $-8, 0,8,16, \cdots$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\text{U}_n = 2n$                  
B. $\text{U}_n = 2n+2$          
C. $\text{U}_n = 4n-6$
D. $\text{U}_n = 8n+16$
E. $\text{U}_n = 8n-16$   

Pembahasan

Barisan bilangan itu merupakan barisan aritmetika karena memiliki suku yang berdekatan sama/tetap.
Diketahui $a =-8$ dan $b = 8$.
Dengan menggunakan formula suku ke-$n$ barisan aritmetika, didapat
$\begin{aligned} \text{U}_n & = a +(n-1)b \\ & =-8 + (n-1)\times 8 \\ & =-8 + 8n- 8 \\ & = 8n-16 \end{aligned}$
Jadi, rumus umum barisan tersebut adalah $\boxed{\text{U}_n = 8n-16}$ (Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 3
Rumus suku ke-$n$ dari barisan aritmetika: $-18,-15,-12,-9$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\text{U}_n =-3n + 15$            
B. $\text{U}_n =-3n-15$               
C. $\text{U}_n = 3n + 15$
D. $\text{U}_n = 3n + 21$
E. $\text{U}_n = 3n-21$

Pembahasan

Barisan itu adalah barisan aritmetika karena memiliki selisih suku yang berdekatan tetap. Diketahui $a =-18$ dan $b = 3$, sehingga
$\begin{aligned} \text{U}_n & = a + (n-1)b \\ & =-18 + (n-1) \times 3 \\ & =-18 + 3n-3 = 3n-21 \end{aligned}$
Jadi, rumus umum suku ke-$n$ adalah $\boxed{\text{U}_n = 3n-21}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 4
Rumus suku ke-$n$ dari barisan bilangan: $5, 2,-1,-4, \cdots$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\text{U}_n = 5n-3$
B. $\text{U}_n = 3n+2$
C. $\text{U}_n = 3n-8$
D. $\text{U}_n =-3n-8$
E. $\text{U}_n =-3n+8$

Pembahasan

Barisan di atas termasuk barisan aritmetika dengan suku pertama $a = 5$ dan $b =-3$. Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} \text{U}_n & = a + (n-1)b \\ & = 5 + (n-1)(-3) \\ & = 5-3n + 3 \\ & =-3n + 8 \end{aligned}$
Jadi, rumus suku ke-$n$ dari barisan tersebut adalah $\boxed{\text{U}_n =-3n + 8}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 5
Diketahui barisan bilangan: $6, 10, 14, \cdots$. Rumus umum suku ke-$n$ untuk barisan bilangan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $\text{U}_n =-4n-2$          
B. $\text{U}_n = 4n-2$              
C. $\text{U}_n = 4n+2$
D. $\text{U}_n = n-4$
E. $\text{U}_n = n+4$

Pembahasan

Barisan itu adalah barisan aritmetika karena memiliki selisih suku yang berdekatan tetap.
Diketahui $a = 6$ dan $b = 4$, sehingga
$\begin{aligned} \text{U}_n & = a + (n-1)b \\ & = 6 + (n-1) \times 4 \\ & = 6 + 4n- 4 \\ & = 4n + 2 \end{aligned}$
Jadi, rumus umum suku ke-$n$ adalah $\boxed{\text{U}_n = 4n + 2}$
(Jawaban C) 

[collapse]

Soal Nomor 6
Diketahui barisan aritmetika: $4, 1,-2,-5, \cdots$. Suku ke-10 barisan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $31$                   C. $-23$                E. $-31$
B. $23$                   D. $-26$        

Pembahasan

Diketahui: $a = 4$ dan $b =-3$. Dengan demikian,
$\begin{aligned} \text{U}_{n} & = a + (n-1)b \\ \text{U}_{10} & = 4 + (10-1) \times (-3) \\ & = 4 + 9 \times (-3) \\ & = 4-27 =-23 \end{aligned}$
Jadi, suku ke-10 barisan aritmetika tersebut adalah $\boxed{-23}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 7
Suku ke-$n$ suatu barisan bilangan dirumuskan $\text{U}_n = 15-3n$. Suku ke-$15$ dari barisan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $30$                    C. $0$                      E. $-30$
B. $15$                    D. $-15$       

Pembahasan

Diketahui $\text{U}_n = 15-3n$. Untuk $n = 15$, diperoleh
$\text{U}_{15} = 15-3(15) = 15-45 =-30$
Jadi, suku ke-$15$ dari barisan tersebut adalah $\boxed{-30}$
(Jawaban E) 

[collapse]

Soal Nomor 8
Diketahui suku ke-$5$ dan suku ke-$9$ dari suatu barisan bilangan aritmetika adalah $18$ dan $6$. Suku ke-$3$ barisan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $9$                      C. $15$                  E. $24$
B. $12$                    D. $21$         

Pembahasan

Diketahui rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika adalah $\text{U}_n = a + (n-1)b$. Akan dicari nilai dari $b$ (beda) sebagai berikut.
$b = \dfrac{\text{U}_9- \text{U}_5}{9-5} = \dfrac{6-18}{4} =-3$
Selanjutnya, akan dicari nilai $a$ (suku pertama) dengan menggunakan persamaan $\text{U}_5 = 18$ sebagai berikut.
$\begin{aligned} \text{U}_5 = a + 4b & = 18 \\ a + 4(-3) & = 18 \\ a & = 30 \end{aligned}$
Suku ke-$3$ barisan tersebut adalah
$\boxed{\text{U}_3 = a + 2b = 30 + 2(-3) = 24}$
(Jawaban E) 

[collapse]

Soal Nomor 9
Diketahui suku ke-$3$ dan suku ke-$5$ dari barisan aritmetika secara berturut-turut adalah $-5$ dan $-9$. Suku ke-$10$ dari barisan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $20$                    C. $17$                    E. $-20$
B. $19$                    D. $-19$        

Pembahasan

Diketahui rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika adalah $\text{U}_n = a + (n-1)b$. Akan dicari nilai dari $b$ (beda) sebagai berikut.
$b = \dfrac{\text{U}_5- \text{U}_3}{5-3} = \dfrac{-9-(-5)}{2} =-2$
Selanjutnya, akan dicari nilai $a$ (suku pertama) dengan menggunakan persamaan $\text{U}_3 =-5$ sebagai berikut.
$\begin{aligned} \text{U}_3 = a + 2b & =-5 \\ a + 2(-2) & =-5 \\ a-4 & =-5 \\ a & =-1 \end{aligned}$
Suku ke-$10$ barisan tersebut adalah $\boxed{\text{U}_{10} = a + 9b =-1 + 9(-2) =-19}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 10
Diketahui suatu barisan aritmetika dengan $\text{U}_4 = 17$ dan $\text{U}_9 = 37$. Suku ketujuh barisan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $25$                    C. $32$                   E. $44$
B. $29$                    D. $40$          

Pembahasan

Diketahui rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika adalah $\text{U}_n = a + (n-1)b$. Akan dicari nilai dari $b$ (beda) sebagai berikut.
$b = \dfrac{\text{U}_9- \text{U}_4}{9-4} = \dfrac{37-17}{5} = 4$
Selanjutnya, akan dicari nilai $a$ (suku pertama) dengan menggunakan persamaan $\text{U}_4 = 17$ sebagai berikut.
$\begin{aligned} \text{U}_4 = a + 3b & = 17 \\ a + 3(4) & = 17 \\ a + 12 & = 17 \\ a & = 5 \end{aligned}$
Suku ke-$7$ barisan tersebut adalah
$\boxed{\text{U}_7 = a + 6b = 5 + 6(4) = 29}$
(Jawaban B) 

[collapse]

Soal Nomor 11
Diketahui barisan aritmetika dengan suku pertama $3$ dan suku ke-$5$ adalah $11$. Suku ke-$25$ dari barisan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $73$                      C. $68$                    E. $51$
B. $70$                      D. $61$        

Pembahasan

Diketahui rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika adalah $\text{U}_n = a + (n-1)b$. Akan dicari nilai dari $b$ (beda) sebagai berikut.
$b = \dfrac{\text{U}_5-\text{U}_1}{5-1} = \dfrac{11-3}{4} = 2$
Suku ke-$25$ barisan tersebut adalah
$\boxed{\text{U}_{25} = a + 24b = 3 + 24(2) = 51}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 12
Diketahui barisan aritmetika dengan $\text{U} _5 =17$ dan $\text{U}_{10} = 32$. Suku ke-$20$ adalah $\cdots \cdot$
A. $57$                      C. $67$                   E. $77$
B. $62$                      D. $72$     

Pembahasan

Perhatikan bahwa $\text{U}_5 = 17$ dan $\text{U}_{10} = 32$.
Dari sini, kita mengetahui bahwa untuk setiap lima suku, bedanya adalah $32-17 = 15$.
Dengan demikian,
$\text{U}_{15} = 32+15 = 47$ dan $\text{U}_{20} = 47+15 = 62$
Jadi, suku ke-$20$ barisan aritmetika tersebut adalah $\boxed{62}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 13
Dari suatu deret aritmetika, diketahui suku pertama adalah $20$ dan suku keenam adalah $40$. Jumlah sepuluh suku pertama dari deret tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $340$                  C. $360$                 E. $380$
B. $350$                  D. $370$       

Pembahasan

Diketahui $a = 20$ dan $\text{U}_6 = 40$.
Langkah pertama adalah mencari nilai $b$ (beda) terlebih dahulu.
$\begin{aligned} \text{U}_6 & = 40 \\ a + 5b & = 40 \\ 20 + 5b & = 40 \\ 5b & = 20 \\ b & = 4 \end{aligned}$
Dengan demikian, akan dicari hasil dari $\text{S}_{10}$ sebagai berikut.
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a+(n-1)b)  \\ \text{S}_{10} & = \dfrac{10}{2}\left(2 \cdot 20 + (10-1) \cdot 4\right) \\ & = 5(40 + 36) \\ & = 5(76) = 380 \end{aligned}$
Jadi, jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah $\boxed{380}$
(Jawaban E) 

[collapse]

Soal Nomor 14
Diketahui
$a + (a+1)+(a+2)+\cdots+50=1.139$
Jika $a$ bilangan bulat positif, maka nilai $a = \cdots \cdot$
A. $15$                     C. $17$                  E. $19$
B. $16$                     D. $18$          

Pembahasan

Perhatikan bahwa deret di atas merupakan deret aritmetika karena berselisih $1$ dengan suku yang berdekatan. 
Banyaknya suku deret itu adalah
$n = 50-a + 1 = 51-a$
Diketahui $S_{n} = 1.139$, sehingga dapat ditulis
$\begin{aligned} S_n & = \dfrac{n} {2}(\text{U}_1 + \text{U}_n) \\ 1.139 & = \dfrac{51-a} {2}(a + 50) \\ 51a + 2.550-a^2-50a & = 2.278 \\ a^2-a-272 & = 0 \\ (a-17)(a + 16) & = 0 \end{aligned}$
Jadi, diperoleh $a = 17$ atau $a =-16$
Karena $a$ bulat positif, maka dipilih $\boxed{a=17}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 15
Hasil penjumlahan semua bilangan bulat di antara $\sqrt[3]{2.006}$ dan $\sqrt{2.006}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $908$                     C. $916$                E. $924$
B. $912$                     D. $920$       

Pembahasan

Misalkan $m$ adalah bilangan bulat yang terletak di antara $\sqrt[3]{2.006}$ dan $\sqrt{2.006}$, maka ditulis
$\sqrt[3]{2.006} < m < \sqrt{2.006}$ 
Diketahui bahwa $12^3 = 1.728$, sedangkan $13^3 = 2.197$, sehingga pembulatan ke atas dari $\sqrt[3]{2.006}$ adalah $13$. 
Diketahui juga bahwa $44^2 = 1.936$ dan $45^2 = 2.025$, sehingga pembulatan ke bawah dari $\sqrt{2.006}$ adalah $44$. 
Dengan demikian, dapat ditulis
$13 \leq m \leq 44$
Penjumlahan nilai-nilai $m$ akan membentuk deret aritmetika dengan $a = 13, n = 44-13+1 = 32$, dan $\text{U}_{32} = 44$, sehingga
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(a + \text{U}_n) \\ \text{S}_{32} & = \dfrac{32} {2}(13 + 44) \\ & = 16 \cdot 57 = 912 \end{aligned}$
Jadi, hasil penjumlahan semua bilangan bulat di antara $\sqrt[3]{2.006}$ dan $\sqrt{2.006}$ adalah $\boxed{912}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 16
Suku ketiga suatu deret aritmetika adalah $11$. Jumlah suku keenam hingga suku kesembilan ialah $134$. Suku pertama dan beda deret itu berturut-turut adalah $\cdots \cdot$
A. $1$ dan $3$                        D. $2$ dan $4$
B. $2$ dan $5$                        E. $1$ dan $5$
C. $1$ dan $4$

Pembahasan

Diketahui $\color{red} {\text{U}_3 = a + 2b = 11}$
Karena jumlah suku ke-6 sampai suku ke-9 adalah $134$, kita peroleh
$$\begin{aligned} \text{U}_6 + \text{U}_7 +\text{U}_8 + \text{U}_9 & = 134 \\ (a + 5b) + (a + 6b) + (a + 7b) + (a + 8b) & = 134 \\ 4a + 26b & = 134 \\ 4\color{red} {(a + 2b)} + 18b & = 134 \\ 4(11) + 18b & = 134 \\ 44 + 18b & = 134 \\ 18b & = 90 \\ b & = 5 \end{aligned}$$Karena $b = 5$, maka
$a + 2b = 11 \Rightarrow a + 2(5) = 11 \Leftrightarrow a = 1$
Jadi, suku pertama dan beda deret itu berturut-turut adalah $\boxed{1}$ dan $\boxed{5}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 17
Suku pertama suatu barisan aritmetika adalah $5$. Diketahui suku kesepuluh adalah dua kali suku keempat. Jumlah enam suku pertama barisan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $55$                      C. $61$                  E. $67$
B. $58$                      D. $64$          

Pembahasan

Diketahui $\text{U}_1 = a = 5$
Karena suku kesepuluh adalah dua kali suku keempat, kita peroleh
$\begin{aligned} \text{U}_{10} & = 2\text{U}_4 \\ a + 9b & = 2(a + 3b) \\ \text{Substitusi}~a&=5 \\ 5 + 9b & = 2(5+3b) \\ 5+9b&=10+6b \\ 9b-6b&=10-5 \\ 3b & = 5 \\ b & = \dfrac53 \end{aligned}$
Dengan demikian, 
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a+(n-1)b) \\ \text{S}_6 & = \dfrac{6}{2}\left(2 \times 5 + (6-1)\times \dfrac53\right) \\ & = 3\left(10 + \dfrac{25}{3}\right) \\ & = 30 + 25 = 55 \end{aligned}$
Jadi, jumlah enam suku pertama barisan tersebut adalah $\boxed{55}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 18
Di antara tiap dua suku bilangan $20, 68$, dan $116$ akan disisipkan $5$ bilangan sehingga membentuk barisan aritmetika. Jumlah seluruh bilangan yang disisipkan adalah $\cdots \cdot$
A. $680$                    C. $740$                   E. $889$
B. $694$                    D. $880$        

Pembahasan

Barisan aritmetika yang dimaksud adalah 
$\begin{aligned} & 20, \text{U}_2, \text{U}_3, \text{U}_4,\text{U}_5,\text{U}_6, \\ & 68, \text{U}_8,\text{U}_9,\text{U}_{10},\text{U}_{11},\text{U}_{12}, 116 \end{aligned}$
Diketahui:
$\color{red} {\text{U}_1 = a = 20}$
Karena $\text{U}_7 = 68$, diperoleh
$\begin{aligned}\color{red} {a} + 6b & = 68 \\ 20+6b & = 68 \\ 6b &=48 \\ b&=8 \end{aligned}$
Selanjutnya, akan dihitung jumlah 13 suku pertama barisan itu. 
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a+(n-1)b) \\ \text{S}_{13} & = \dfrac{13}{2}(2 \times 20 + (13-1)\times 8) \\ & = \dfrac{13}{2}(40 + 96) \\ & = \dfrac{13}{\cancel{2}} \times \cancelto{68}{136} = 884 \end{aligned}$
Dengan demikian, jumlah semua bilangan yang disisipkan itu adalah
$\boxed{\text{S}_{13}- 20- 68- 116 = 884-204 = 680}$ 
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 19
Jumlah $n$ suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan $\text{S}_n = \dfrac{5}{2}n^2 + \dfrac{3}{2}n$. Suku ke-$10$ dari deret aritmetika tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $49$                             D. $33,5$
B. $47,5$                          E. $29$
C. $35$

Pembahasan

Ingat bahwa $\text{U}_n = \text{S}_n- \text{S}_{n-1}$. 
Dengan demikian, akan dicari nilai dari $\text{S}_{10}$ dan $\text{S}_9$ sebagai berikut. 
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{5}{2}n^2 + \dfrac{3}{2}n \\ \text{S}_{9} & = \dfrac{5}{2}(9)^2 + \dfrac{3}{2}(9) \\ & = \dfrac{5 \times 81}{2} + \dfrac{27}{2} \\ & = \dfrac{405 + 27}{2} = 216 \end{aligned}$
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{5}{2}n^2 + \dfrac{3}{2}n \\ \text{S}_{10} & = \dfrac{5}{2}(10)^2 + \dfrac{3}{\cancel{2}}(\cancelto{5}{10}) \\ & = \dfrac{5}{\cancel{2}}(\cancelto{50}{100})+ 15 \\ & = 250 + 15 = 265 \end{aligned}$ 
Dengan demikian, diperoleh
$\text{U}_{10} = \text{S}_{10}- \text{S}_9 = 265-216 = 49$
Jadi, suku ke-$10$ dari deret aritmetika tersebut adalah $\boxed{49}$
(Jawaban A)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Barisan dan Deret Geometri

Soal Nomor 20
Jumlah $n$ suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan $\text{S}_n = 2n^2+4n$. Suku ke-$9$ dari deret aritmetika tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $30$                       C. $38$                    E. $46$
B. $34$                       D. $42$             

Pembahasan

Ingat bahwa $\text{U}_n = \text{S}_n- \text{S}_{n-1}$. 
Dengan demikian, akan dicari nilai dari $\text{S}_{9}$ dan $\text{S}_8$ sebagai berikut. 
$\begin{aligned} \text{S}_n & = 2n^2+4n \\ \text{S}_{8} & = 2(8)^2 + 4(8) \\ & = 128 + 32 = 160 \end{aligned}$
$\begin{aligned} \text{S}_n & = 2n^2+4n \\ \text{S}_9 & = 2(9)^2 + 4(9) \\ & = 162+36=198 \end{aligned} $ 
Dengan demikian, diperoleh
$\text{U}_{9} = \text{S}_{9}-\text{S}_8 = 198-160=38$
Jadi, suku ke-$9$ dari deret aritmetika tersebut adalah $\boxed{38}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 21
Jumlah $20$ suku pertama suatu deret aritmetika ialah $500$. Jika suku pertama ialah $5$, maka suku terakhir deret itu adalah $\cdots \cdot$
A. $35$                       C. $45$                      E. $52$
B. $39$                       D. $48$      

Pembahasan

Diketahui: $\text{S}_{20} = 500; \text{U}_1=a=5$
Dengan menggunakan rumus jumlah deret aritmetika, diperoleh
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(a + \text{U}_n) \\ \text{S}_{20} & = \dfrac{20} {2}(5 + \text{U}_{20}) \\ \cancelto{50}{500} & = \cancel{10}(5+\text{U}_{20}) \\ 50 & = 5 + \text{U}_{20} \\ \text{U}_{20} & = 50-5 = 45 \end{aligned}$
Jadi, suku terakhir deret itu adalah $\boxed{45}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 22
Jumlah bilangan genap antara $1$ dan $101$ yang tidak habis dibagi $3$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1.742$                        D. $1.724$
B. $1.734$                        E. $1.718$
C. $1.730$

Pembahasan

Bilangan genap yang habis dibagi $3$ adalah bilangan kelipatan $6$.
Barisan bilangan kelipatan $6$ dari $1$ sampai $101$ adalah
$6, 12, 18, 24, \cdots, 96$
yang merupakan barisan aritmetika
Diketahui: $a=6, n = \dfrac{96}{6} = 16$, dan $\text{U}_n = \text{U}_{16} = 96$. 
Jumlah tiap suku barisan ini dinyatakan oleh
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(a+\text{U}_n) \\ \text{S}_{16} & = \dfrac{16}{2}(6+96) \\ & = 8(102) = 816 \end{aligned}$
Selanjutnya, akan dicari jumlah bilangan dari $1$ sampai $101$, yaitu jumlah tiap suku dari barisan
$1,2,3,4,\cdots, 101$
yang merupakan barisan aritmetika dengan $a=1, n = 101$, dan $\text{U}_{101} = 101$, sehingga 
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(a+\text{U}_n) \\ \text{S}_{101} & = \dfrac{101}{2}(1+101) \\ & = \dfrac{101}{\cancel{2}}(\cancelto{51}{102}) = 2.550 \end{aligned}$
Dengan demikian, jumlah bilangan genap dari $1$ sampai $101$ yang tidak habis dibagi $3$ adalah
$\boxed{\text{S} = 2.550-816 = 1.734}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 23
Jika $x_{k+1} = x_k + \dfrac12$ untuk $k = 1,2,3,\cdots$ dan $x_1=1$, maka nilai dari $x_1+x_2+x_3+\cdots+x_{400} = \cdots \cdot$
A. $40.000$                      D. $40.900$
B. $40.300$                      E. $41.200$
C. $40.600$

Pembahasan

Perhatikan bahwa $x_{k+1} = x_k + \dfrac12$ ekuivalen dengan $x_{k+1}-x_k = \dfrac12$. Selisih $x_{k+1}$ dan $x_k$ adalah konstan, yaitu $\dfrac12$ untuk setiap $k \geq 1$, sehingga $x_1+x_2+x_3+\cdots+x_{400}$ merupakan deret aritmetika dengan suku pertama $x_1 = a = 1$ dan $b = \dfrac{1}{2}$, serta $n = 400$. 
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} & x_1+x_2+x_3+\cdots+x_{400} \\ & = \dfrac{n} {2}(2a+(n-1)b) \\ & = \dfrac{400}{2}\left(2(1) + (400-1) \cdot \dfrac12\right) \\ & = 200\left(2 + \dfrac{399}{2}\right) \\ & = 400 + 39.900 = 40.300 \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\boxed{x_1+x_2+x_3+\cdots+x_{400} = 40.300}$ 
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 24
Diketahui barisan aritmetika dengan beda positif memiliki suku tengah $17$. Apabila jumlah $n$ suku pertama barisan aritmetika tersebut adalah $221$ dan selisih antara suku ke-$n$ dengan suku pertama adalah $24$, maka suku pertama barisan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $1$                         C. $5$                       E. $9$
B. $4$                         D. $6$           

Pembahasan

Selisih antara suku ke-$n$ dengan suku pertama adalah $24$, sehingga ditulis
$\text{U}_n- \text{U}_1 = 24 \Leftrightarrow \text{U}_n = \text{U}_1 + 24$
Karena suku tengah barisan aritmetika itu adalah 17, maka diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{\text{U}_1 + \text{U}_n} {2} & = 17 \\ \text{U}_1 + ( \text{U}_1 + 24) & = 17 \cdot 2 \\ 2\text{U}_1 & = 10 \\ \text{U}_1 & = 5 \end{aligned}$
Jadi, suku pertama barisan tersebut adalah $\boxed{5}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 25
Dalam suatu deret aritmetika, jumlah suku ke-$3$ dan ke-$5$ adalah $14$, sedangkan jumlah $12$ suku pertamanya adalah $129$. Jika suku ke-$n$ adalah $193$, nilai $n = \cdots \cdot$
A. $118$                         D. $128$
B. $122$                         E. $130$
C. $126$

Pembahasan

Karena jumlah suku ke-$3$ dan ke-$5$ adalah $14$, kita peroleh
$\begin{aligned} \text{U}_3 + \text{U}_5 & = 14 \\ (a + 2b) + (a + 4b) & = 14 \\ 2a + 6b & = 14 \\ 2a & = 14-6b && (\bigstar) \end{aligned}$
Karena jumlah $12$ suku pertamanya adalah $129$, kita peroleh
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a+(n-1)b) \\ \text{S}_{12} & = \dfrac{12}{2}((14-6b) + (12-1)b) \\ 129 & = 6(5b +14) \\ 129 & = 30b + 84 \\ 30b & = 45 \\ b & = \dfrac{45}{30} = \dfrac{3}{2} \end{aligned}$
Substitusi nilai $b = \dfrac32$ ke persamaan $\bigstar$, 
$\begin{aligned} 2a & = 14-\cancelto{3}{6}\left(\dfrac{3}{\cancel{2}} \right) \\ 2a & = 14- 9 \\ 2a & = 5 \\ a & = \dfrac52 \end{aligned}$
Diberikan bahwa suku ke-$n$ adalah $193$, maka kita tuliskan
$\begin{aligned} \text{U}_n & = a + (n-1)b \\ 193 & = \dfrac52 + (n-1)\left(\dfrac32\right) \\ \text{Kalikan}~2&~\text{di kedua ruas} \\ 386 & = 5 + (n-1)(3) \\ 381 & = 3(n-1) \\ n-1 & = \dfrac{381}{3} = 127 \\ n & = 128 \end{aligned}$
Jadi, nilai $n$ adalah $\boxed{128}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 26 ($\bigstar$ HOTS $\bigstar$)
Jumlah $5$ suku pertama deret aritmetika adalah $20$. Jika masing-masing suku dikurangi dengan suku ke-$3$, maka hasil kali suku ke-$1$, ke-$2$, ke-$4$, dan ke-$5$ adalah $324$. Jumlah $8$ suku pertama deret tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $-4$ atau $68$
B. $-52$ atau $116$
C. $-64$ atau $88$
D. $-44$ atau $124$
E. $-56$ atau $138$

Pembahasan

Diketahui $\text{S}_5 = 20$. 
Berdasarkan kalimat ke-$2$ pada soal di atas, diperoleh
$\begin{aligned} \text{U}_1-\text{U}_3 & = a-(a + 2b) =-2b \\ \text{U}_2- \text{U}_3 & = (a + b)-(a + 2b) =-b \\ \text{U}_4-\text{U}_3 & = (a + 3b)-(a + 2b) = b \\ \text{U}_5-\text{U}_3 & = (a + 4b)-(a + 2b) = 2b \end{aligned}$
berarti hasil kalinya menghasilkan
$\begin{aligned} (-2b) (-b) (b) (2b) & = 324 \\ 4b^4 & = 324 \\ b^4 & = 81 \\ b & = \pm 3 \end{aligned}$
Karena $\text{S}_5 = 20$, diperoleh
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a+(n-1)b) \\ \text{S}_5 & = \dfrac{5}{2}(2a + (5-1)b) \\ 20 & = \dfrac{5}{2}(2a + 4b) \\ 4 & = a + 2b \end{aligned}$
Untuk $b = 3$, diperoleh 
$a + 2(3) = 4 \Leftrightarrow a =-2$
Untuk $b =-3$, diperoleh 
$a + 2(-3) = 4 \Leftrightarrow a = 10$
Berikutnya, akan dicari nilai dari $\text{S}_8$. 
Untuk $a =-2$ dan $b = 3$, kita tulis
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a + (n-1)b) \\ \text{S}_8 & = \dfrac{8}{2}(2 \cdot (-2) + (8-1) \cdot 3) \\ & = 4(-4 + 21) = 4(17) = 68 \end{aligned}$
Untuk $a = 10$ dan $b =-3$, kita tulis
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a + (n-1)b) \\ \text{S}_{8} & = \dfrac{8}{2}(2 \cdot (10) + (8-1) \cdot (-3)) \\ & = 4(20-21) = 4(-1) =-4 \end{aligned}$
Jadi, jumlah $8$ suku pertama deret tersebut adalah $\boxed{-4}$ atau $\boxed{68}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 27
Pada barisan aritmetika, nilai suku ke-$25$ tiga kali nilai suku ke-$5$. Suku yang bernilai dua kali suku pertama adalah suku ke-$\cdots \cdot$
A. $13$                         C. $9$                       E. $3$
B. $11$                         D. $7$            

Pembahasan

Diketahui $\text{U}_{25} = 3\text{U}_5$. 
Berdasarkan rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika, yaitu $\text{U}_n = a + (n-1)b$, diperoleh
$\begin{aligned} a + 24b & = 3(a + 4b) \\ a + 24b & = 3a + 12b \\ 2a & = 12b \\ a & = 6b \end{aligned}$
Misalkan suku yang bernilai dua kali suku pertama adalah suku ke-$n$, sehingga kita tuliskan
$\begin{aligned} \text{U}_n & = 2\text{U}_1 \\ a + (n-1)b & = 2a \\ (n-1)b & = a \\ \text{Substitusi}~a & = 6b \\ (n-1)\cancel{b} & = 6\cancel{b} \\ n-1 & = 6 \\ n & = 7 \end{aligned}$
Jadi, suku yang bernilai dua kali suku pertama adalah suku ke-$7$.
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 28
Diketahui jumlah suku-suku suatu barisan aritmetika adalah $585$. Jika suku pertama ditambah $3$, suku kedua ditambah $9$, suku ketiga ditambah $15$, dan seterusnya, maka diperoleh jumlah suku-suku barisan yang baru senilai $1.092$. Jumlah suku pertama, suku tengah, dan suku terakhir barisan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $45$                    C. $135$                  E. $225$
B. $90$                    D. $180$           

Pembahasan

Misalkan jumlah suku-suku barisan aritmetika semula adalah $\text{S}_k = \text{U}_1 + \text{U}_2 + \cdots + \text{U}_k$, sedangkan jumlah suku-suku barisan aritmetika yang baru adalah $\text{S}_n$, dengan
$\begin{aligned} (\text{U}_1 + 3) + (\text{U}_2 + 9) & + (\text{U}_3 + 15) + \cdots + \\ & (\text{U}_k + x) = 1.092 \end{aligned}$
Dengan mengelompokkan, kita tuliskan
$\begin{aligned} (\text{U}_1 & + \text{U}_2 + \text{U}_3 + \cdots  + \text{U}_k) + (3 \\ & + 9 + 15 + \cdots + x) = 1.092 \end{aligned}$ 
Dengan demikian, kita peroleh
$\begin{aligned} 585 + (3 + 9 + 15 + \cdots + x) & = 1.092 \\ 3 + 9 + 15 + \cdots + x & = 507 \end{aligned}$
Perhatikanlah bahwa deret $3 + 9 + 15 + \cdots + x$ merupakan deret aritmetika dengan suku pertama $a = 3, b = 6$, dan $\text{S}_n = 507$
Akan dicari nilai dari $n$. 
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a + (n-1)b) \\ 507 & = \dfrac{n}{2}(2 \cdot 3 + (n-1) \cdot 6) \\ 507 & = \dfrac{n} {2} (6 + 6n- 6) \\ 507 & = 3n^2 \\ n^2 & = 169 \\ n & = 13 \end{aligned}$
Ini berarti, $n = k = 13$. 
Jumlah suku pertama dan suku terakhir barisan aritmetika semula dapat ditentukan dengan rumus $\text{S}_k$. 
$\begin{aligned} \text{S}_k & = \dfrac{k} {2}(\text{U}_1 + \text{U}_k) \\ 585 & = \dfrac{13} {2}(\text{U}_1 + \text{U}_{13}) \\ (\text{U}_1 + \text{U}_{13}) & = \dfrac{585 \times 2}{13} = 90 \end{aligned}$
Suku tengahnya adalah
$\text{U}_7 = \dfrac{\text{U}_1 + \text{U}_{13}} {2} = \dfrac{90}{2} = 45$
Dengan demikian, hasil dari
$\text{U}_1 + \text{U}_7 + \text{U}_{13} = 90 + 45 = 135$
Jadi, jumlah suku pertama, suku tengah, dan suku terakhir barisan tersebut adalah $\boxed{135}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 29 ($\bigstar$ HOTS $\bigstar$)
Jumlah $50$ suku pertama dari deret $\log 5 + \log 55 + \log 605 + \log 6.655 + \cdots$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\log (55^{1.150})$
B. $\log (5^{25} \cdot 11^{1.225})$
C. $\log (25^{25} \cdot 11^{1.225})$
D. $\log (275^{1.150})$
E. $1.150 \log 5$

Pembahasan

Deret di atas merupakan deret aritmetika dengan suku pertama $a = \log 5$ dan $b = \log 11$. Untuk itu, 
$\text{U}_2 = \log 5 + \log 11 = \log 55$
Dengan demikian, 
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a + (n-1)b) \\ \text{S}_{50} & = \dfrac{50}{2}(2 \cdot \log 5 + (50-1) \cdot \log 11) \\ & = 25(\log 25 + \log 11^{49}) \\ & = \log 25^{25} + \log (11^{49})^{25} \\ & = \log 25^{25} + \log 11^{1.225} \\ & = \log (25^{25} \cdot 11^{1.225}) \end{aligned}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 30
Bilangan $^y \log (x-1), ^y \log (x+1)$, dan $^y \log (3x-1)$ merupakan tiga suku deret aritmetika yang berurutan. Jika jumlah tiga bilangan itu adalah $6$, maka nilai $x + y$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2$                         C. $4$                         E. $8$
B. $3$                         D. $5$             

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} \text{U}_1 & = ^y \log (x-1) && x > 1 \\ \text{U}_2 & = ^y \log (x+1) && x >-1 \\ \text{U}_3 & = ^y \log (3x-1) && x > \dfrac13 \end{aligned}$
Catatan: Dalam logaritma, numerus harus bernilai positif. Irisan dari ketiga syarat nilai $x$ untuk masing-masing numerus adalah $x > 1$. 
Dalam barisan aritmetika, berlaku hubungan $\boxed{2\text{U}_2 = \text{U}_1 + \text{U}_3}$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} 2 ^y \log (x+1) & = ^y \log (x-1) + ^y \log (3x-1) \\ ^y \log (x+1)^2 & = ^y \log [(x-1)(3x-1)] \\ (x+1)^2 & = (x-1)(3x-1) \\ x^2+2x+1 & = 3x^2-4x+1 \\ 2x^2-6x & = 0 \\ 2x(x-3) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh nilai $x = 0$ atau $x = 3$. 
Karena numerus memberikan syarat $x > 1$, maka nilai $x = 0$ tidak boleh dipilih. Jadi, nilai $x$ yang memenuhi hanya $x = 3$. 
Karena jumlah ketiga suku tersebut adalah $6$, maka kita tulis
$$\begin{aligned} & ^y \log (x-1) + ^y \log (x+1) + ^y \log (3x-1) = 6 \\ & \text{Substitusikan}~x = 3 \\ & ^y \log (3-1) + ^y \log (3+1) + ^y \log (3(3)-1) = 6 \\ & ^y \log 2 + ^y \log 4 + ^y \log 8 = ^y \log y^6 \\ & ^y \log (2 \cdot 4 \cdot 8) = ^y \log y^6 \\ & 2^6 = y^6 \\ & y = 2 \end{aligned}$$Catatan: $y$ tidak boleh bernilai $-2$ karena dapat menimbulkan fallacy (sesat nalar) bila disubstitusikan kembali ke bentuk logaritmanya. 
Jadi, nilai dari $\boxed{x+y=3+2=5}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 31
Jika diketahui
$\begin{aligned} (1+3+5 & +\cdots+a) +(1+3+5+\cdots+b) \\ & = 1+3+5+\cdots+25 \end{aligned}$
maka nilai $a+b$ adalah $\cdots \cdot$
A. $24$                      C. $32$                   E. $40$
B. $28$                      D. $36$        

Pembahasan

Berdasarkan deret bilangan ganjil, diketahui
$1+3+5+\cdots+n = \left(\dfrac{n+1}{2}\right)^2$
Perhatikan bahwa deret $1+3+5+\cdots+25$ sama dengan $\left(\dfrac{25+1}{2}\right)^2 = 13^2$
Berdasarkan rumus Pythagoras, Tripel Pythagoras yang memuat $13$ sebagai bilangan terbesar dan dua bilangan lainnya merupakan bilangan bulat adalah $(5, 12, 13)$. 
Ini berarti, deret $(1+3+5+\cdots+a) = 5^2$, sehingga $a = (5 \times 2)-1 = 9$, sedangkan deret $(1+3+5+\cdots+b) = 12^2$, sehingga $b = (12 \times 2)-1 = 23$
Jadi, nilai dari $\boxed{a+b=9+23=32}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 32
Diketahui rumus jumlah suku ke-$n$ suatu barisan aritmetika adalah $\text{S}_n = 2n^2+n$. Nilai dari $\text{U}_1 + \text{U}_3 + \text{U}_5 + \cdots + \text{U}_{2n-1}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $6n^2+8n+1$
B. $6n^2-8n+1$ 
C. $8n^2-6n+1$
D. $8n^2+6n+1$
E. $8n^2-6n-1$

Pembahasan

Cara 1: Standar
Diketahui: $\text{S}_n = 2n^2+n$.
Substitusi $n=1$, diperoleh
$\text{S}_1 = 2(1)^2+1=3$
Substitusi $n=2$, diperoleh
$\text{S}_2 = 2(2)^2+2=10$
Substitusi $n=1$, diperoleh
$\text{S}_3 = 2(3)^2+3=21$ 
Dari sini, didapat 
$\begin{aligned} \text{U}_1 & = \text{S}_1 = 3 \\ \text{U}_2 & = \text{S} _2- \text{S}_1 = 10-3=7 \\ \text{U}_3 & = \text{S} _3-\text{S}_2 = 21-10=11 \end{aligned}$
Barisan aritmetika: $3, 7, 11, \cdots$
dengan $a=3$ dan $b=4$. 
Rumus suku ke-$n$ barisan tersebut adalah
$\begin{aligned} \text{U}_n & = a+(n-1)b \\ & = 3+(n-1)(4) \\ & = 4n- 1 \end{aligned}$
Dengan demikian, 
$\begin{aligned} & \text{U}_1 + \text{U}_3 + \text{U}_5 + \cdots + \text{U}_{2n-1} \\ & = 3 + 11 + 19 + \cdots + 4(2n-1)-1 \\ & = \underbrace{\dfrac{2n-1}{2}(3 + 4(2n-1)-1)}_{\text{rumus S}_n} \\ & = \dfrac{2n-1}{2}(8n-2) \\ & = \dfrac{16n^2-12n+2}{2} = 8n^2-6n+1 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $$\boxed{\text{U}_1 + \text{U}_3 + \text{U}_5 + \cdots + \text{U}_{2n-1} =8n^2-6n+1}$$
Cara 2: Trik Cepat
Diketahui: $\text{S}_n = 2n^2+n$.
Substitusi $n=1$, diperoleh
$\text{S}_1 = 2(1)^2+1=3$ 
Cek pilihan gandanya sekarang. 
Substitusi $n=1$ juga harus menghasilkan $3$.
Pilihan C memenuhi: $8n^2-6n+1 = 8(1)^2-6(1)+1=3$
sedangkan pilihan lainnya tidak. 
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 33
Jika $\text{U}_n$ menyatakan suku ke-$n$ suatu barisan aritmetika dan $\text{U}_{6}-\text{U}_{8}+\text{U}_{10}-\text{U}_{12}+\text{U}_{14}=20$, maka jumlah $19$ suku pertama barisan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $630$                           D. $190$
B. $380$                           E. $105$
C. $210$

Pembahasan

Pada barisan aritmetika, rumus suku ke-$n$ dirumuskan oleh $\text{U}_n = a + (n-1)b$.
Untuk itu, kita peroleh
$$\begin{aligned} \text{U}_{6}-\text{U}_{8}+\text{U}_{10}-\text{U}_{12}+\text{U}_{14}& =20 \\ (a+5b)-(a+7b)+(a+9b)-(a+11b)+(a+13b)&=20 \\ (a-a+a-a+a)+(5b-7b+9b-11b+13b)&=20 \\ a + 9b & = 20 \\ 2a + 18b & = 40 && (\text{Kali}~2) \end{aligned}$$Jumlah $19$ suku pertama barisan aritmetika itu dirumuskan oleh
$\begin{aligned} \text{S}_{19} & = \dfrac{19}{2}(\text{U}_1 + \text{U}_{19}) \\ & = \dfrac{19}{2}(a + (a + 18b)) \\ & = \dfrac{19}{2}(2a + 18b) \\ & = \dfrac{19}{\cancel{2}}(\cancelto{20}{40}) \\ & = 380 \end{aligned}$
Jadi, jumlah $19$ suku pertama barisan aritmetika tersebut adalah $\boxed{380}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 34
Misal $\text{U}_n$ suatu barisan aritmetika dengan suku pertama $a$ dan $b$. Jika $b=2a$ dan $\text{U}_1 + \text{U}_3 + \text{U}_5 + \text{U}_7 + \text{U}_{9} = 90$, maka nilai dari $\text{U}_8 + \text{U}_{10} + \text{U}_{12} + \text{U}_{14} + \text{U}_{16} = \cdots \cdot$
A. $210$                            D. $240$
B. $220$                            E. $250$
C. $230$

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} & b = 2a \\ & \text{U}_1 + \text{U}_3 + \text{U}_5 + \text{U}_7 + \text{U}_{9} = 90 \end{aligned}$
Akan dicari nilai $a$ dan $b$ terlebih dahulu sebagai berikut.
$$\begin{aligned} \text{U}_1 + \text{U}_3 + \text{U}_5 + \text{U}_7 + \text{U}_{9} & = 90 \\ a + (a + 2b) + (a+4b)+(a+6b)+ (a+8b) & = 90 \\  5a + 20b & = 90 \\ a+ 4b & = 18 \\ \text{Substitusikan}~& b= 2a \\ a + 4(2a) & = 18 \\ 9a & = 18 \\  a &= 2 \end{aligned}$$Substitusi $a = 2$ pada $b=2a$, sehingga didapat $b = 2(2)= 4$.
Untuk itu,
$$\begin{aligned} & \text{U}_8 + \text{U}_{10} + \text{U}_{12} + \text{U}_{14} + \text{U}_{16}\\ & = (a + 7b) + (a + 9b)+ (a+11b)+ (a+13b)+ (a+15b) \\ & = 5a + 55b \\ & = 5(2) + 55(4) = 230 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\text{U}_8 + \text{U}_{10} + \text{U}_{12} + \text{U}_{14} + \text{U}_{16}$ adalah $\boxed{230}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 35
Diketahui $\alpha, \beta$, dan $\gamma$ berturut-turut adalah suku ke-$2$, suku ke-$4$, dan suku ke-$6$ dari suatu barisan aritmetika. Jika $\dfrac{\alpha + \beta + \gamma}{\beta+1} = 4$, maka nilai $\beta$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-4$                     C. $1$                    E. $4$
B. $-1$                     D. $2$

Pembahasan

Berdasarkan rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika: $\text{U}_n = a+(n-1)b$ dengan $a$ suku pertama dan $b$ beda antarsuku yang berdekatan, kita peroleh bahwa
$\begin{aligned} \text{U}_2 & = \alpha = a + b \\ \text{U}_4 & = \beta = a + 3b \\ \text{U}_6 & = \gamma = a + 5b \end{aligned}$
Dengan demikian, didapat
$\begin{aligned} \dfrac{\alpha + \beta + \gamma}{\beta+1} & = 4 \\ \dfrac{(a+b)+(a+3b)+(a+5b)}{(a+3b)+1} & = 4 \\ 3a + 9b & = 4a + 12b + 4 \\ a + 3b & =-4 \\ \text{U}_4 & = \beta =-4 \end{aligned}$
Jadi, nilai $\beta$ adalah $\boxed{-4}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 36
Keliling dari lima buah lingkaran membentuk barisan aritmetika.
Jika luas terkecil $154~\text{cm}^2$ dan luas terbesar $1.386~\text{cm}^2$, maka jumlah keliling seluruh lingkaran tersebut adalah $\cdots \cdot$ $\left(\pi = \dfrac{22}{7}\right)$
A. $220~\text{cm}$                    D. $660~\text{cm}$
B. $330~\text{cm}$                    E. $880~\text{cm}$
C. $440~\text{cm}$

Pembahasan

Jari-jari lingkaran terkecil dengan luas $154~\text{cm}^2$ adalah
$\begin{aligned} r & = \sqrt{L \div \pi} \\ & = \sqrt{154 \div \dfrac{22}{7}} \\ & = \sqrt{\cancelto{7}{154} \times \dfrac{7}{\cancel{22}}} = 7~\text{cm} \end{aligned}$
Keliling lingkaran terkecil ini adalah
$k = 2 \pi r = 2 \cdot \dfrac{22}{\cancel{7}} \cdot \cancel{7} = 44~\text{cm}$
Jari-jari lingkaran terbesar dengan luas $1.386~\text{cm}^2$ adalah
$\begin{aligned} R & = \sqrt{L \div \pi} \\ & = \sqrt{1.386 \div \dfrac{22}{7}} \\ & = \sqrt{\cancelto{63}{1.386} \times \dfrac{7}{\cancel{22}}} \\ & = \sqrt{3^2 \cdot 7^2} = 21~\text{cm} \end{aligned}$
Keliling lingkaran terbesar ini adalah
$K = 2 \pi R = 2 \cdot \dfrac{22}{\cancel{7}} \cdot \cancelto{3}{21} = 132~\text{cm}$
Jumlah seluruh keliling lingkaran tersebut adalah jumlah lima suku pertama barisan aritmetika dengan $n = 5$, $a = 44$, dan $\text{U}_n = 132$, yaitu
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n}{2}(a + \text{U}_n) \\ \text{S}_5 & = \dfrac{5}{2}(44 + 132) \\ & = \dfrac{5}{\cancel{2}}(\cancelto{88}{176}) \\ & = 440~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, jumlah keliling kelima lingkaran adalah $440~\text{cm}$.
(Jawaban C)

[collapse]
 

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Lingkaran (Tingkat SD)

CategoriesBarisan dan DeretTags, , , , , , ,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *