Soal dan Pembahasan – Barisan dan Deret (Versi HOTS/Olimpiade)

Diketahui $\text{S}_5 = 20$. 
Berdasarkan kalimat ke-$2$ pada soal di atas, diperoleh
$\begin{aligned} \text{U}_1-\text{U}_3 & = a-(a + 2b) =-2b \\ \text{U}_2- \text{U}_3 & = (a + b)-(a + 2b) =-b \\ \text{U}_4-\text{U}_3 & = (a + 3b)-(a + 2b) = b \\ \text{U}_5-\text{U}_3 & = (a + 4b)-(a + 2b) = 2b \end{aligned}$
berarti hasil kalinya menghasilkan
$\begin{aligned} (-2b) (-b) (b) (2b) & = 324 \\ 4b^4 & = 324 \\ b^4 & = 81 \\ b & = \pm 3 \end{aligned}$
Karena $\text{S}_5 = 20$, diperoleh
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a+(n-1)b) \\ \text{S}_5 & = \dfrac{5}{2}(2a + (5-1)b) \\ 20 & = \dfrac{5}{2}(2a + 4b) \\ 4 & = a + 2b \end{aligned}$
Untuk $b = 3$, diperoleh 
$a + 2(3) = 4 \Leftrightarrow a =-2.$
Untuk $b =-3$, diperoleh 
$a + 2(-3) = 4 \Leftrightarrow a = 10.$
Berikutnya, akan dicari nilai dari $\text{S}_8$. 
Untuk $a =-2$ dan $b = 3$, kita tulis
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a + (n-1)b) \\ \text{S}_8 & = \dfrac{8}{2}(2 \cdot (-2) + (8-1) \cdot 3) \\ & = 4(-4 + 21) = 4(17) = 68 \end{aligned}$
Untuk $a = 10$ dan $b =-3$, kita tulis
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a + (n-1)b) \\ \text{S}_{8} & = \dfrac{8}{2}(2 \cdot (10) + (8-1) \cdot (-3)) \\ & = 4(20-21) = 4(-1) =-4 \end{aligned}$
Jadi, jumlah $8$ suku pertama deret tersebut adalah $\boxed{-4}$ atau $\boxed{68}$
(Jawaban A)

Deret di atas merupakan deret aritmetika dengan suku pertama $a = \log 5$ dan $b = \log 11$. Untuk itu, 
$\text{U}_2 = \log 5 + \log 11 = \log 55.$
Dengan demikian, 
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a + (n-1)b) \\ \text{S}_{50} & = \dfrac{50}{2}(2 \cdot \log 5 + (50-1) \cdot \log 11) \\ & = 25(\log 25 + \log 11^{49}) \\ & = \log 25^{25} + \log (11^{49})^{25} \\ & = \log 25^{25} + \log 11^{1.225} \\ & = \log (25^{25} \cdot 11^{1.225}) \end{aligned}$
(Jawaban C)

Diketahui:
$\begin{aligned} \text{U}_1 & = ^y \log (x-1) && x > 1 \\ \text{U}_2 & = ^y \log (x+1) && x >-1 \\ \text{U}_3 & = ^y \log (3x-1) && x > \dfrac13 \end{aligned}$
Catatan: Dalam logaritma, numerus harus bernilai positif. Irisan dari ketiga syarat nilai $x$ untuk masing-masing numerus adalah $x > 1.$
Dalam barisan aritmetika, berlaku hubungan $\boxed{2\text{U}_2 = \text{U}_1 + \text{U}_3}$
Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} 2 \cdot ^y \log (x+1) & = \! ^y \log (x-1) + \! ^y \log (3x-1) \\ ^y \log (x+1)^2 & = \! ^y \log [(x-1)(3x-1)] \\ (x+1)^2 & = (x-1)(3x-1) \\ x^2+2x+1 & = 3x^2-4x+1 \\ 2x^2-6x & = 0 \\ 2x(x-3) & = 0 \end{aligned}$$Diperoleh nilai $x = 0$ atau $x = 3.$
Karena numerus memberikan syarat $x > 1$, maka nilai $x = 0$ tidak boleh dipilih. Jadi, nilai $x$ yang memenuhi hanya $x = 3.$
Karena jumlah ketiga suku tersebut adalah $6$, maka kita tulis
$$\begin{aligned} ^y \log (x-1) + \! ^y \log (x+1) + \! ^y \log (3x-1) & = 6 \\  \text{Substitusikan}~x & = 3 \\ ^y \log (3-1) + \! ^y \log (3+1) + \! ^y \log (3(3)-1) &  = 6 \\ ^y \log 2 + \! ^y \log 4 + \! ^y \log 8 & = \! ^y \log y^6 \\ ^y \log (2 \cdot 4 \cdot 8) & = \! ^y \log y^6 \\  2^6 & = y^6 \\ & y & = 2 \end{aligned}$$Catatan: $y$ tidak boleh bernilai $-2$ karena basis logaritma harus positif.
Jadi, nilai dari $\boxed{x+y=3+2=5}$
(Jawaban D)

Untuk setiap bilangan asli $n,$ diketahui 
$$1+3+5+\cdots+(2n-1) = n^2.$$PDengan demikian, $1+3+5+\cdots+25$ sama dengan $13^2$ karena $25 = 2(13)-1.$ Tripel Pythagoras yang memuat $13$ sebagai bilangan terbesar dan dua bilangan lainnya merupakan bilangan bulat adalah $(5, 12, 13).$
Ini berarti, deret $(1+3+5+\cdots+a) = 5^2$ sehingga $a = (5 \times 2)-1 = 9,$ sedangkan deret $(1+3+5+\cdots+b) = 12^2$ sehingga $b = (12 \times 2)-1 = 23.$
Jadi, nilai dari $\boxed{a+b=9+23=32}$
(Jawaban C)

Diketahui $\text{S}_n = 2n^2+n.$ Perhatikan bahwa $$\text{S}_{2n-1} = \text{U}_1 + \text{U}_3 + \text{U}_5 + \cdots + \text{U}_{2n-1}.$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} \text{S}_{2n-1} & = 2(2n-1)^2 + (2n-1) \\ & = 2(4n^2-4n+1)+(2n-1) \\ & = 8n^2-6n+1. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $$\boxed{\text{U}_1 + \text{U}_3 + \text{U}_5 + \cdots + \text{U}_{2n-1} = 8n^2-6n+1}$$(Jawaban C)

Misalkan tiga suku barisan geometri tersebut adalah $a, ar, ar^2$ sehingga berlaku
$$a + ar + ar^2 = 91~~~(\cdots 1)$$Suku ketiga dikurangi $13,$ diperoleh barisan aritmetika $a, ar, ar^2-13$ sehingga berlaku
$$\begin{aligned} a + (ar^2-13) & = 2ar \\ a + ar^2-2ar & = 13 && (\cdots 2) \end{aligned}$$Dari persamaan $(1)$ dan $(2)$, diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac{a+ar+ar^2}{a+ar^2-2ar} & = \dfrac{91}{13} \\ \dfrac{a(1+r+r^2)}{a(1+r^2-2r)} & = 7 \\ 7(1+r^2-2r) & = 1+r+r^2 \\ 6r^2-15r+6 & = 0 \\ 2r^2-5r+2 & = 0 \\ (2r-1)(r-2) & = 0 \\ r = \dfrac12~\text{atau}~r & = 2 \end{aligned}$$Substitusi $r = \dfrac12$ pada persamaan $(1)$ untuk memperoleh
$$\begin{aligned} a + ar + ar^2 & = 91 \\ a + a\left(\dfrac12\right) + a\left(\dfrac12\right)^2 & = 91 \\ a + \dfrac12a + \dfrac14a & = 91 \\ \dfrac74a & = 91 \\ a & = 91 \cdot \dfrac47 = \boxed{52} \end{aligned}$$Substitusi $r = 2$ pada persamaan $(1)$ untuk memperoleh
$$\begin{aligned} a + ar + ar^2 & = 91 \\ a + a\left(2\right) + a\left(2\right)^2 & = 91 \\ a + 2a + 4a & = 91 \\ \dfrac7a & = 91 \\ a & = \boxed{13} \end{aligned}$$Jadi, suku pertama barisan geometri tersebut adalah $\boxed{13~\text{atau}~52}$
(Jawaban D)

Karena $1, b, c-4$ merupakan barisan geometri, maka berlaku
$$\begin{aligned} 1 \cdot (c-4) & = b^2 \\ c-4 & = b^2 \\ -b^2+c & = 4 \end{aligned}$$Diketahui akar-akar persamaan kuadrat $x^2-b^2x+c=0$ adalah $q$ dan $3q.$ Jumlah akar dan hasil kali akar dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} q + 3q & = -\dfrac{-b^2}{1} \\ 4q & = b^2 && (\cdots 1) \\ q \cdot 3q & = \dfrac{c}{1} \\ 3q^2 & = c && (\cdots 2) \end{aligned}$$Dari persamaan $(1)$ dan $(2)$ diatas, diperoleh
$$\begin{aligned} c-b^2 & = 3q^2-4q \\ 4 & = 3q^2-4q \\ 3q^2-4q-4 & = 0 \\ (3q+2)(q-2) & = 0 \\ q = -\dfrac23~\text{atau}~q & = 2 \end{aligned}$$Karena $q > 0,$ maka $q = 2.$
Dengan demikian, $\boxed{\dfrac{-b^2+c}{q} = \dfrac{4}{2} = 2}$
(Jawaban E)

Misalkan lima suku barisan aritmetika tersebut kita tuliskan sebagai
$$\overline{a}, \overline{a} + \overline{b}, \overline{a} +2 \overline{b}, \overline{a} + 3\overline{b}, \overline{a} + 4\overline{b}$$Diketahui bahwa $\color{blue}{\overline{a}}, \color{red}{\overline{a} + \overline{b}}, \color{green}{\overline{a} + 4\overline{b}}$ merupakan barisan geometri sehingga berlaku
$$\begin{aligned} (\color{blue}{\overline{a}})(\color{green}{\overline{a} + 4\overline{b}}) & = (\color{red}{\overline{a} + \overline{b}})^2 \\ \overline{a}^2 + 4 \overline{a} \overline{b} & = \overline{a}^2 + 2 \overline{a} \overline{b} + \overline{b}^2 \\ 2 \overline{a} \overline{b} & = \overline{b}^2 \\ 2\overline{a} & = \overline{b} \end{aligned}$$Dengan demikian, kita akan peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{e}{b} & = \dfrac{\overline{a} + 4\overline{b}}{\overline{a} + \overline{b}} \\ & = \dfrac{\overline{a} + 4(2\overline{a})}{\overline{a} + (2\overline{a})} \\ & = \dfrac{9\overline{a}}{3\overline{a}} = 3 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{e}{b} = 3}$
(Jawaban C)

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} 1-2+3-4+\cdots+(n-2)-(n-1)+n & = 2001 \\ (1-2) + (3-4) + \cdots ((n-2)-(n-1)) + n & = 2001 \\ \underbrace{(-1) + (-1) + \cdots + (-1)}_{\text{Sebanyak}~(n-1)/2} + n & = 2001 \\ -1 \cdot \dfrac{n-1}{2} + n & = 2001 \\ (-n+1) + 2n & = 4002 && (\text{Kali}~2) \\ n & = 4001 \end{aligned}$$Jadi, jumlahan digit-digit dari $n$ adalah $\boxed{4+0+0+1=5}$
(Jawaban A)

Jumlah deret geometri takhingga dengan suku pertama $a$ dan rasio $r$ dinyatakan oleh
$$\boxed{\text{S}_{\infty} = \dfrac{a}{1-r}}$$Untuk suku pertama $2$ dan rasio $\dfrac{1}{1+r}$ serta $\text{S}_{\infty} = 8,$ kita peroleh
$$\begin{aligned} 8 & = \dfrac{2}{1-\dfrac{1}{1+r}} \color{red}{\times \dfrac{1+r}{1+r}} \\ 8 & = \dfrac{2(1+r)}{(1+r)-1} \\ 4 & = \dfrac{1+r}{r} \\ 4r & = 1 + r \\ 3r & = 1 \\ r & = \dfrac13 \end{aligned}$$Selanjutnya, kita akan mencari jumlah deret geometri takhingga dengan suku pertama $8$ dan rasio $\dfrac13.$
$$\begin{aligned} \text{S}_{\infty} & = \dfrac{8}{1-\dfrac13} \\ & = \dfrac{8}{\dfrac23} = 8 \cdot \dfrac32 = 12 \end{aligned}$$Jadi, jumlah takhingga deret geometri tersebut adalah $\boxed{12}$
(Jawaban B)

Perhatikan bahwa $1+2^x+2^{2x}+2^{3x}+\cdots$ merupakan deret geometri takhingga dengan $a = 1$ dan $r = 2^x$. Syarat agar deret ini konvergen adalah rasionya harus di antara $-1$ dan $1$ sehingga kita tuliskan
$$\begin{aligned} 2^x & > -1 \Rightarrow x \in \mathbb{R} \\ 2^x & < 1 \Rightarrow 2^x < 2^0 \Rightarrow \color{blue}{x < 0} \end{aligned}$$Pertidaksamaan dapat ditulis menjadi berikut.
$$\begin{aligned} 1+2^x+2^{2x}+2^{3x}+\cdots & > 2 \\ \dfrac{1}{1-2^x} & > 2 \\ \dfrac12 & > 1-2^x \\ -\dfrac12 & > -2^x \\ 2^x & > \dfrac12 \\ 2^x & > 2^{-1} \\ x & > -1 \end{aligned}$$Jadi, solusi pertidaksamaan tersebut adalah $-1 < x < 0.$ Dengan demikian, nilai $\boxed{a+b=-1+0=-1}$
(Jawaban A)

Jumlah deret geometri takhingga dengan suku pertama $a$ dan rasio $r$ dinyatakan oleh
$$\boxed{\text{S}_{\infty} = \dfrac{a}{1-r}}$$Untuk $\text{S}_{\infty} = \dfrac94,$ suku pertama $a,$ dan rasio $-\dfrac{1}{a},$ diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac94 & = \dfrac{a}{1-\left(-\dfrac{1}{a}\right)} \\ \dfrac94 & = \dfrac{a^2}{a+1} \\ 9a + 9 & = 4a^2 \\ 4a^2-9a-9 & = 0 \\ (4a+3)(a-3) & = 0 \end{aligned}$$Diperoleh $a = -\dfrac43$ (tidak memenuhi) atau $a = 3$ (memenuhi).
Untuk $a = 3,$ kita peroleh $r = -\dfrac13$ dan juga
$$\begin{aligned} 3\text{U}_6-\text{U}_5 & = 3 \left(3 \cdot \left(-\dfrac13\right)^5\right)- \left(3 \cdot \left(-\dfrac13\right)^4\right) \\ & = -\dfrac{1}{27}-\dfrac{1}{27} \\ & = -\dfrac{2}{27} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{3\text{U}_6-\text{U}_5 = -\dfrac{2}{27}}$
(Jawaban A)

Karena $12, x_1, x_2$ membentuk barisan aritmetika, maka berlaku
$$2 \text{U}_2 = \text{U}_1 + \text{U}_3 \Rightarrow 2x_1 = 12 + x_2$$Karena $x_1, x_2, 4$ membentuk barisan geometri, maka berlaku
$$\text{U}_2^2 = \text{U}_1 \text{U}_3 \Rightarrow \color{blue}{x_2^2 = 4x_1}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} 2x_1 & = 12 + x_2 \\ \color{blue}{4x_1} & = 24 + 2x_2 && (\text{Kali}~2) \\ \color{blue}{x_2^2} & = 24 + 2x_2 \\ x_2^2-2x_2-24 & = 0 \\ (x_2-6)(x_2+4) & = 0 \\ x_2 = 6~\text{atau}~x_2 & = -4 \end{aligned}$$Karena $x_2$ harus positif, maka diambil $x_2 = 6.$ Akibatnya, $2x_1 = 12 + \color{red}{6},$ sehingga didapat $x_1 = 9.$
Jadi, nilai $\boxed{x_1+x_2 = 9+6=15}$
(Jawaban E)

Diketahui $x_{10} = 2$ dan $y_5 = 7.$ Pertama, kita cari dulu $x_5.$ Substitusi $y_5 = 7$ pada persamaan garisnya.
$$\begin{aligned} \color{red}{y}+2x-3 & = 0 \\ 7+2x-3 & = 0 \\ 4+2x & = 0 \\ x & = -2 \end{aligned}$$Diperoleh $x_5 = -2.$
Sekarang, kita peroleh dua suku barisan aritmetika tersebut.
Misalkan suku pertama = $x_1 = a$ dan bedanya $b.$
Kita peroleh
$$\begin{aligned} x_5 & = a + 4b = -2 && (\cdots 1) \\ x_{10} & = a + 9b = 2 && (\cdots 2) \\ \Rightarrow 5b & = 4 \\ b & = \dfrac45 \end{aligned}$$Substitusi $b = \dfrac45$ pada $(1)$ atau $(2)$ selanjutnya menghasilkan $a = -\dfrac{26}{5}.$
Berikutnya, kita mencari nilai $x_7.$
$$\begin{aligned} x_7 & = a + 6b \\ & = -\dfrac{26}{5} + 6 \cdot \dfrac45 \\ & = -\dfrac25 \end{aligned}$$Substitusi $x_7 = -\dfrac25$ pada persamaan garis untuk memperoleh $y_7.$
$$\begin{aligned} y + 2\color{blue}{x}-3 & = 0 \\ y + 2 \left(-\dfrac25\right)-3 & = 0 \\ y-\dfrac45-3 & = 0 \\ y-\dfrac{19}{5} & = 0 \\ y & = \dfrac{19}{5} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{y_7 = \dfrac{19}{5}}$
(Jawaban A)

Karena $k, \ell, m$ membentuk barisan geometri, maka berlaku persamaan $km = \ell^2.$
Sekarang perhatikan bahwa persamaan di atas dapat kita tulis menjadi
$$\begin{aligned} \log km & = \log \ell^2 \\ \log k + \log m & = 2 \log \ell \end{aligned}$$Persamaan terakhir ini menunjukkan bahwa $\log k, \log \ell, \log m$ merupakan barisan aritmetika dengan beda $\log \ell-\log k = \log \dfrac{\ell}{k}.$
(Jawaban B)

Kelompokkan setiap $4$ suku pada barisan tersebut seperti berikut.
$$\begin{array}{cc} \hline \text{Sampai suku ke-}4 & 2, 3, 4, \color{red}{6} \\ \text{Sampai suku ke-}8 & 8, 9, 10, \color{red}{12} \\ \text{Sampai suku ke-}12 & 14, 15, 16, \color{red}{18} \\ \cdots & \cdots \\ \text{Sampai suku ke-}4n & 6n-4, 6n-3, 6n-2, \color{red}{6n} \\ \hline \end{array}$$Pengelompokan $4$ suku di atas menghasilkan pola untuk menentukan suku urutan kelipatan $4$, yaitu $6n$ untuk bilangan asli $n.$ Ganti $n$ menjadi $506$ dan kita peroleh
$$\begin{array}{cc} \hline \text{Sampai suku ke-}2.024 & \color{blue}{3.032}, 3.033, 3.034, \color{red}{3.036} \\ \hline \end{array}$$Bilangan $3.036$ merupakan suku ke-$2.024.$ Artinya, suku ke-$2.021$ adalah suku pertama pada kelompok tersebut, yaitu $\boxed{3.032}$
(Jawaban B)

Yang harus kita lakukan untuk mencari $u_1$ adalah mengubah $u_2, u_3, \cdots, u_{20}$ sehingga mengandung bentuk $u_1,$ kemudian substitusikan pada persamaan yang diberikan di soal.
Perhatikan bahwa kita punya
$$\begin{aligned} u_2-u_1 & = 1 && (\cdots 1) \\ u_3-u_2 & = 2 && (\cdots 2) \\ u_4-u_3 & = 1 && (\cdots 3) \\ \cdots \cdots \cdots & \cdots \\ u_{20}-u_{19} & = 1 && (\cdots 19) \end{aligned}$$Dari persamaan $(1),$ langsung kita peroleh $u_2 = u_1 + 1.$
Jumlahkan persamaan $(1)$ dan $(2)$ sehingga diperoleh
$$u_3-u_1 = 3 \Leftrightarrow u_3 = u_1 + 3.$$Dengan prinsip yang sama, jumlahkan persamaan $(1)$, $(2),$ dan $(3)$ sekaligus sehingga diperoleh $u_4=u_1+4.$
Pada akhirnya, kita peroleh bahwa $u_{20}$ didapat dengan menjumlahkan $19$ persamaan tersebut.
$$\begin{aligned} u_{20}-u_1 & = \underbrace{(1+2)+(1+2)+(1+2)+\cdots+(1+2)}_{\text{ada}~9}+1 \\ & = \underbrace{3+3+3+\cdots+3}_{\text{ada}~9}+1 \\ & = 3 \times 9 + 1 = 28 \end{aligned}$$Dari persamaan $u_1+u_2+u_3+\cdots+u_{20} = 360,$ didapat
$$\begin{aligned} u_1 + (u_1 + 1) + (u_1 + 3) + (u_1 + 4) + \cdots + (u_1 + 28) & = 360 \\ 20u_1 + (1 + 3 + 4 + 6 + 7 + 9 + \cdots + 27 + 28) & = 360 \\ 20u_1 + \underbrace{(1+2+3+4+5+6+\cdots+27+28)}_{\text{deret aritmetika}}-\underbrace{(2+5+8+11+\cdots+23+26)}_{\text{deret aritmetika}} & = 360 \\ 20u_1 + \dfrac{28}{2}(1+28)-\dfrac{9}{2}(2+26) & = 360 \\ 20u_1 + 406-126 & = 360 \\ 20u_1 + 280 & = 360 \\ 20u_1 & = 80 \\ u_1 & = 4. \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{u_1 = 4}$
(Jawaban A)

Misalkan
$$S = \dfrac12 + \dfrac44 + \dfrac98 + \dfrac{16}{16} + \dfrac{25}{32} + \cdots$$Jika kedua ruas dibagi $2,$ kita peroleh
$$\dfrac{S}{2} = \dfrac14 + \dfrac48 + \dfrac{9}{16} + \dfrac{16}{32} + \dfrac{25}{64} + \cdots$$sehingga
$$\begin{aligned} S-\dfrac{S}{2} & = \dfrac12 + \left(\dfrac44-\dfrac14\right) + \left(\dfrac98-\dfrac48\right) + \left(\dfrac{16}{16}-\dfrac{9}{16}\right) + \left(\dfrac{25}{32}-\dfrac{16}{32}\right) + \cdots \\ \dfrac{S}{2} & = \dfrac12 + \dfrac34 + \dfrac58 + \dfrac{7}{16} + \dfrac{9}{32} + \cdots \end{aligned}$$Jika kedua ruas dibagi $2$ lagi, kita peroleh
$$\dfrac{S}{4} = \dfrac14 + \dfrac38 + \dfrac{5}{16} + \dfrac{7}{32} + \dfrac{9}{64} + \cdots$$sehingga
$$\begin{aligned} \dfrac{S}{2}-\dfrac{S}{4} & = \dfrac12 + \left(\dfrac34-\dfrac14\right) + \left(\dfrac58-\dfrac38\right) + \left(\dfrac{7}{16}-\dfrac{5}{16}\right) + \left(\dfrac{9}{32}-\dfrac{7}{32}\right) + \cdots \\ \dfrac{S}{4} & = \dfrac12 + \underbrace{\dfrac12 + \dfrac14 + \dfrac18 + \dfrac{1}{16} + \cdots}_{\text{deret geometri takhingga}} \\ \dfrac{S}{4} & = \dfrac12 + 1 \\ \dfrac{S}{4} & = \dfrac32 \\ S & = 6. \end{aligned}$$Jadi, hasil jumlahnya adalah $6 = 2 \cdot 3$ (perkalian antara $2$ dan $3$ yang keduanya merupakan bilangan prima) sehingga jumlah kedua bilangan prima tersebut adalah $\boxed{2 + 3 = 5}$
(Jawaban B)

Pada barisan aritmetika, berlaku hubungan berikut.
$$\begin{aligned} \text{U}_k & = a + (k-1)b \\ \Rightarrow \text{U}_{k+2} & = a + (k+1)b \end{aligned}$$dengan $a$ sebagai suku pertama dan $b$ adalah beda antarsuku yang berdekatan. Diketahui bahwa $U_{k + 2} = \text{U}_2 + k \cdot \text{U}_{16}-2$ sehingga kita peroleh
$$\begin{aligned} U_{k + 2} & = (a + b) + k(a + 15b)-2 \\ & = a + b + ak + 15bk-2 \\ & = a + b + ak + bk + 14bk-2 \\ & = a + (k+1)b + k(a + 14b)-2 \\ & = \text{U}_{k+2} + k \text{U}_{15}-2. \end{aligned}$$Dengan mengurangi keduas ruas dengan $\text{U}_{k+2},$ kita peroleh $0 = k \text{U}_{15}-2$ sehingga $\text{U}_{15} = \dfrac{2}{k}.$
Berikutnya,
$$\begin{aligned} \text{U}_6 + \text{U}_{12} + \text{U}_{18} + \text{U}_{24} & = (a + 5b) + (a + 11b) + (a + 17b) + (a + 23b) \\ & = 4a + 56b \\ & = 4(a +14) \\ & = 4\text{U}_{15} \\ & = 4 \cdot \dfrac{2}{k} = \dfrac{8}{k}. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $$\boxed{\text{U}_6 + \text{U}_{12} + \text{U}_{18} + \text{U}_{24} = \dfrac{8}{k}}$$(Jawaban E)

Misalkan suku pertama $a_1 = a$ dan rasio barisannya $r.$
Diketahui $a_1 + a_4 = a + ar^3 = 20.$
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} & a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6 \\ & = a + ar + ar^2+ar^3 + ar^4 + ar^5 \\ & = (a+ar^3) + r(a + ar^3) + r^2(a + ar^3) \\ & = 20 + 20r + 20r^2 \\ & = 20 + 20(1+r^2) \\ & = 20(r^2+r+1) \\ & = 20\left(\left(r+\dfrac12\right)^2+\dfrac34\right) \end{aligned}$$Bentuk terakhir akan bernilai minimum ketika $\left(r+\dfrac12\right)^2 = 0$ sehingga diperoleh nilai minimumnya adalah $\boxed{20\left(0 + \dfrac34\right) = 15}$

Jika setiap suku pada barisan di atas diubah menjadi bentuk pangkat, kita akan peroleh
$$\begin{aligned} \text{U}_1 & = \sqrt2 = 2^{\frac12} \\ \text{U}_2 & = \sqrt{2\sqrt2} = 2^{\frac12 + \frac14} \\ \text{U}_3 & = \sqrt{2\sqrt{2\sqrt2}} = 2^{\frac12 + \frac14 + \frac18} \\ \text{U}_4 & = \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt2}}} = 2^{\frac12 + \frac14 + \frac18 + \frac{1}{16}} \end{aligned}$$Dari bentuk tersebut, tampak bahwa pangkatnya membentuk deret geometri dengan suku pertama $a = \dfrac12$ dan rasio $r = \dfrac12.$ Dengan demikian, rumus suku ke-$n$ dapat kita tentukan, yaitu $$\boxed{\text{U}_n = 2^{\frac12 + \frac14 + \frac18 + \cdots + \frac{1}{2^n}}}$$

Jawaban a)
Dua bilangan Ulam pertama telah didefinisikan, yaitu $\text{U}_1 = 1$ dan $\text{U}_2 = 2.$ Berikutnya, analisis setiap bilangan bulat setelahnya sampai ditemukan $6$ bilangan Ulam berikutnya.
$$\begin{array}{cc} \hline \text{Bilangan} & \text{Penjumlahan} & \text{Bilangan Ulam?} \\ \hline 3 & 1 + 2 & \text{Ya} \\ 4 & 1 + 3 & \text{Ya} \\ 5 & 1 + 4 = 2 + 3 & \text{Tidak} \\ 6 & 2 + 4 & \text{Ya} \\ 7 & 1 + 6 = 3 + 4 & \text{Ya} \\ 8 & 2 + 6 & \text{Ya} \\ 9 & 1 + 8 = 3 + 6 & \text{Tidak} \\ 10 & 2 + 8 = 4 + 6 & \text{Tidak} \\ 11 & 3 + 8 & \text{Ya} \\ 12 & 1 + 11 = 4 + 8 & \text{Tidak} \\ 13 & 2 + 11 & \text{Ya} \\ \hline \end{array}$$Jadi, $8$ bilangan Ulam pertama adalah $1, 2, 3, 4, 6, 8, 11,$ dan $13.$
Jawaban b)
Dengan menggunakan metode kontradiksi, andaikan ada berhingga banyaknya bilangan Ulam. Misalkan dua bilangan Ulam terbesar adalah $\text{U}_{n-1}$ dan $\text{U}_n.$ Akibatnya, bilangan $\text{U}_{n-1} + \text{U}_n$ juga merupakan bilangan Ulam karena hanya dapat dinyatakan sebagai penjumlahan seperti itu. Secara matematis, $\text{U}_i + \text{U}_j < \text{U}_{n-1} + \text{U}_n$ untuk setiap bilangan bulat positif $i$ dan $j$ dengan $i < n-1$ dan $j \le n$ atau $i = n-1$ dan $j < n.$ Fakta ini kontradiktif dengan asumsi bahwa $\text{U}_n$ sebagai bilangan Ulam terbesar. Jadi, pengandaian salah. Disimpulkan bahwa ada takberhingga banyaknya bilangan Ulam.

Jawaban a)
Dari gambar, jelas bahwa bilangan pentagon pertama sama dengan $p_1 = 1.$ Berikutnya, pandang $k$ pentagon bersarang dengan $k \ge 2.$ Banyaknya titik pada $k$ pentagon bersarang sama dengan banyaknya titik pada $k-1$ pentagon bersarang ditambah banyaknya titik pada tiga sisi (kiri atas, atas, kanan atas) dari pentagon luar yang melingkupinya. Setiap sisi memuat $k$ titik sehingga banyaknya titik secara keseluruhan di tiga sisi tersebut adalah $3k$, tetapi ada $2$ titik yang berada di perpotongan dua sisi. Untuk menghindari pencacahan ganda (double counting), banyaknya titik perlu dikurangi $2.$ Jadi, $p_k = p_{k-1} + (3k-2)$ untuk $k \ge 2.$
Jawaban b)
Misalkan $n \ge 2$ merupakan bilangan bulat positif.
$$\begin{aligned} p_n & = (3n-2) + p_{n-1} \\ & = (3n-2) + (3(n-1)-2) + p_{n-2} \\ & = (3n-2) + (3(n-1)-2) + (3(n-2)-2) + p_{n-3} \\ & = \cdots \\ & = \displaystyle \sum_{k=1}^n (3k-2). \end{aligned}$$Jawaban c)
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} p_n & = \displaystyle \sum_{k=1}^n (3k-2) \\ & = 3 \sum_{k=1}^n k-2 \sum_{k=1}^n 1 \\ & = 3 \cdot \dfrac{n(n+1)}{2}-2n \\ & = \dfrac{3n^2-n}{2}. \end{aligned}$$Jadi, rumus eksplisit untuk $p_n$ adalah $\dfrac{3n^2-n}{2}.$