Soal dan Pembahasan – Barisan dan Deret Geometri

    Berikut ini penulis sajikan soal-soal beserta pembahasannya tentang barisan dan deret geometri. Soal-soal ini dikumpulkan dari berbagai sumber termasuk soal UN maupun SBMPTN. Semoga bermanfaat.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Barisan dan Deret Aritmetika

Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Soal Cerita (Aplikasi) Barisan dan Deret Geometri

Soal Nomor 1
Di antara rumus barisan berikut ini, yang merupakan barisan geometri adalah $\cdots \cdot$
A. $\text{U}_n = 4^n-5$
B. $\text{U}_n = 2^n \cdot n^{-2}$
C. $\text{U}_n = 2n^3-1$
D. $\text{U}_n = n^3 \cdot 2^{-n}$
E. $\text{U}_n = 2^{n+1} \cdot 3^{-n}$

Pembahasan

Barisan geometri memiliki rumus umum $\text{U}_n = ar^{n-1}$. Perhatikan bahwa rumus barisan geometri hanya terdiri dari $1$ suku (tidak ada penjumlahan dan pengurangan).
Opsi A: $\text{U}_n = 4^n-5$
Rumus barisan tersebut memiliki $2$ suku (ada pengurangan) sehingga jelas bukan barisan geometri.
Opsi B: $\text{U}_n = 2^n \cdot n^{-2}$
Rumus barisan tersebut bukan termasuk barisan geometri karena variabel $n$ muncul dengan posisi yang berbeda, yaitu sebagai pangkat dan basis.
Opsi C: $\text{U}_n = 2n^3-1$
Rumus barisan tersebut memiliki $2$ suku (ada pengurangan) sehingga jelas bukan barisan geometri.
Opsi D: $\text{U}_n = n^3 \cdot 2^{-n}$
Rumus barisan tersebut bukan termasuk barisan geometri karena variabel $n$ muncul dengan posisi yang berbeda, yaitu sebagai pangkat dan basis.
Opsi E: $\text{U}_n = 2^{n+1} \cdot 3^{-n}$
Perhatikan bahwa rumus barisan di atas dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} \text{U}_n & = 2^{n} \cdot 2^1 \cdot \dfrac{1}{3^n} \\ & = 2\left(\dfrac23\right)^n \end{aligned}$
Bentuk rumus terakhir menunjukkan bahwa ini adalah barisan geometri dengan suku pertama $a = 2$ dan rasio $r = \dfrac23$.
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 2
Diketahui barisan geometri dengan suku pertama adalah $24$ dan suku ke-$3$ adalah $\dfrac{8}{3}$. Suku ke-$5$ barisan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{8}{3}$      B. $\dfrac{8}{9}$       C. $\dfrac{8}{18}$      D. $\dfrac{8}{27}$      E. $\dfrac{8}{36}$

Pembahasan

Diketahui $a = 24$ dan $\text{U}_3 = \dfrac{8}{3}$. Langkah pertama adalah menentukan rasio barisan geometri ini terlebih dahulu.
$\begin{aligned} \text{U}_n & = ar^{n-1} \\ \text{U}_3 & = \dfrac{8}{3} = 24r^{3-1} \\ \dfrac{8}{3} & = 24r^2 \\ r^2 & = \dfrac{8}{3} \cdot \dfrac{1}{24}  \\ r^2 & = \dfrac{1}{9} \\ r & = \dfrac{1}{3} \end{aligned}$
Dengan demikian, didapat
$\begin{aligned} \text{U}_5 & = ar^4 \\ & = 24\left(\dfrac{1}{3}\right)^4 \\ & = 24 \cdot \dfrac{1}{81} = \dfrac{8}{27} \end{aligned}$
Jadi, suku ke-$6$ barisan geometri itu adalah $\boxed{\dfrac{8}{27}}$
(Jawaban D)
 

[collapse]

Soal Nomor 3
Suku pertama dari barisan geometri adalah $\dfrac{5}{2}$ dan suku ke-$4$ adalah $20$. Besar suku ke-$6$ dari barisan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $80$                   C. $25$                 E. $-80$
B. $50$                   D. $-25$          

Penyelesaian

Diketahui:
$\begin{aligned} \text{U}_1 & = a = \dfrac{5}{2} \\ \text{U}_4 & = 20 \end{aligned}$
Langkah pertama adalah mencari rasio barisan geometri ini.
Perhatikan bahwa,
$\begin{aligned} \text{U}_4 & = 20 \\ ar^3 & = 20 \\ \dfrac{5}{2}r^3 & = 20 \\ r^3 & = 20 \times \dfrac{2}{5} \\ r^3 & = 8 \\ r & = \sqrt[3]{8} = 2 \end{aligned}$
Selanjutnya, carilah suku ke-$6$.
$\begin{aligned} \text{U}_6 & = ar^5 \\ & = \dfrac{5}{2} \times 2^5 \\ & = 80 \end{aligned}$
Jadi, suku ke-$6$ barisan tersebut adalah $\boxed{80}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 4
Diketahui barisan geometri dengan suku ke-$5 = 162$ dan suku ke-$2 =-6$. Rasio barisan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $-3$                   C. $-\dfrac{1}{3}$                E. $3$
B. $-2$                   D. $\dfrac{1}{2}$          
                              

Pembahasan

Diketahui $\text{U}_5 = 162$ dan $\text{U}_2 =-6$. Dengan melakukan perbandingan antarsuku, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{\text{U}_5}{\text{U}_2} & = \dfrac{162}{-6} \\ \dfrac{\cancel{a}r^4}{\cancel{a}r} & =-27 \\ r^3 & =-27 \\ r & =-3 \end{aligned}$
Jadi, rasio barisan geometri tersebut adalah $\boxed{-3}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 5
Suatu barisan geometri dengan suku pertama $16$ dan $\text{U}_4 = 2$. Jumlah $6$ suku pertama barisan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $31$                        C. $32$                    E. $64$
B. $31,5$                     D. $63$           

Pembahasan

Diketahui $a = 16$ dan $\text{U}_4 = 2$. Langkah pertama adalah menentukan rasionya terlebih dahulu.
$\begin{aligned} \text{U}_4 & = 2 \\ ar^3 & = 2 \\ 16r^3 & = 2 \\ r^3 & = \dfrac{1}{8} \\ r & = \dfrac{1}{2} \end{aligned}$
Dengan menggunakan rumus jumlah $n$ suku pertama barisan geometri:
$\boxed{S_n = \dfrac{a(1-r^n)}{1-r}}$
diperoleh
$\begin{aligned} S_6 & = \dfrac{16\left(1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^6 \right)}{1- \dfrac{1}{2}} \\ & = \dfrac{16\left(1-\dfrac{1}{64}\right)}{\dfrac{1}{2}} \\ & = 16 \cdot \dfrac{63}{64} \cdot \dfrac{2}{1} \\ & = \dfrac{63}{4}  \cdot 2 = 31,5 \end{aligned}$
Jadi, jumlah $6$ suku pertama barisan geometri tersebut adalah $\boxed{31,5}$
(Jawaban B) 

[collapse]

Soal Nomor 6
Jika $(2x-5), (x-4), (-3x+10)$ merupakan tiga suku pertama barisan geometri, maka nilai $x$ yang bulat adalah $\cdots \cdot$
A. $3$                       C. $9$                   E. $13$
B. $7$                       D. $10$         

Pembahasan

Dalam barisan geometri, berlaku
$\boxed{\text{U}_2^2 = \text{U}_1 \cdot \text{U}_3}$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} (x- 4)^2 & = (2x-5)(-3x+10) \\ x^2-8x+16 & =-6x^2 + 35x-50 \\ 7x^2-43x + 66 & = 0 \\ (7x-22)(x-3) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $x = \dfrac{22}{7}$ atau $x = 3$. Karena nilai $x$ yang dimaksud berupa bilangan bulat, maka nilai $x$ yang diambil adalah $\boxed{3}$
(Jawaban A)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Aplikasi (Soal Cerita) Barisan dan Deret Aritmetika

Soal Nomor 7
Jika $\text{U}_1,\text{U}_2, \text{U}_3,\cdots$ adalah barisan geometri yang memenuhi $\text{U}_3-\text{U}_6 = x$ dan $\text{U}_2-\text{U}_4 = y$, serta $r$ merupakan rasio barisan geometri tersebut, maka $\dfrac{x} {y} = \cdots \cdot$
A. $\dfrac{r^3-r^2-r} {r-1}$                  D. $\dfrac{r^3+r^2-r} {r-1}$
B. $\dfrac{r^3-r^2+r} {r-1}$                  E. $\dfrac{r^3-r^2+r} {r+1}$
C. $\dfrac{r^3+r^2+r} {r+1}$ 

Pembahasan

Dalam barisan geometri, rumus suku ke-$n$ dinyatakan oleh $\text{U}_n = ar^{n-1}$ di mana $a$ sebagai suku pertama. Dengan demikian, 
$\begin{aligned} \dfrac{x} {y} & = \dfrac{\text{U}_3-\text{U}_6}{\text{U}_2- \text{U}_4} \\ & = \dfrac{ar^2-ar^5}{ar-ar^3} \\ & = \dfrac{\cancel{ar} (r- r^4)}{\cancel{ar} (1-r^2)} \\ & = \dfrac{r-r^4}{1-r^2} \\ & = \dfrac{\cancel{(1- r)} (r+r^2+r^3)} {\cancel{(1-r)}(1+r)} \\ & = \dfrac{r+r^2+r^3}{1+r} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{x} {y} = \dfrac{r^3+r^2+r}{r+1}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 8
Jumlah logaritma dari lima suku pertama deret geometri adalah $5 \log 3$. Bila suku ke-$4$ deret tersebut adalah $12$, maka suku ke-$6$ deret tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $192$                  C. $16$                 E. $2$
B. $96$                    D. $12$      

Pembahasan

Diketahui: $\text{U}_4 = 12$
Jumlah logaritma dari lima suku pertama deret geometri adalah $5 \log 3$, sehingga ditulis
$\begin{aligned} \log \text{U}_1 + \log \text{U}_2 & + \log \text{U}_3 + \log \text{U}_4 \\ & + \log \text{U}_5 = 5 \log 3 \end{aligned}$ 
Dengan menggunakan sifat logaritma dasar, diperoleh
$\begin{aligned} \cancel{\log} (\text{U}_1 \cdot \text{U}_2 \cdot \text{U}_3 \cdot \text{U}_4 \cdot \text{U}_5) & = \cancel{\log} 3^5 \\ \text{U}_1 \cdot \text{U}_2 \cdot \text{U}_3 \cdot \text{U}_4 \cdot \text{U}_5 & = 3^5 \\ a(ar) (ar^2)(ar^3)(ar^4) & = 3^5 \\ a^5r^{10} & = 3^5 \\ (ar^2)^5 & = 3^5 \\ \text{U}_3 = ar^2 & = 3 \end{aligned}$
Rasio barisan geometri ini adalah
$r = \dfrac{\text{U}_4}{\text{U}_3} = \dfrac{12}{3} = 4$
Dengan demikian, 
$\begin{aligned} \text{U}_5 & = \text{U}_4 \cdot r = 12 \cdot 4 = 48 \\ \text{U}_6 & = \text{U}_5 \cdot r = 48 \cdot 4 = 192 \end{aligned}$
Jadi, suku ke-$6$ barisan geometri itu adalah $\boxed{192}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 9
Suku ke-$n$ deret geometri adalah $\text{U}_n$. Jika $\dfrac{\text{U}_6}{\text{U}_8} = 3$ dan $\text{U}_2 \cdot \text{U}_8 = \dfrac13$, maka nilai $\text{U}_{10} = \cdots \cdot$
A. $\dfrac{1}{27}$                         D. $\dfrac{\sqrt{3}} {9}$
B. $\dfrac19$                           E. $\dfrac13$
C. $\dfrac{\sqrt{3}} {27}$

Pembahasan

Diketahui $\dfrac{\text{U}_6}{\text{U}_8} = 3$, sehingga kita peroleh
$\begin{aligned} \dfrac{\text{U}_6}{\text{U}_8} & = 3 \\ \dfrac{\cancel{a} r^5}{\cancel{a}r^7} & = 3 \\ r^{-2} & = 3 \\ r^2 & = \dfrac13 \\ (r^2)^4 & = \left(\dfrac13\right)^4 \\ r^8 & = \dfrac{1}{81} \end{aligned}$
Diketahui juga bahwa $\text{U}_2 \cdot \text{U}_8 = \dfrac13$, sehingga kita peroleh
$\begin{aligned} \text{U}_2 \cdot \text{U}_8 & = \dfrac13 \\ (ar) (ar^7) & = \dfrac13 \\ a^2r^8 & = \dfrac13 \\ \text{Substitusi}~r^8 & = \dfrac{1}{81} \\ a^2\left(\dfrac{1}{81}\right) & = \dfrac13 \\ a^2 & = \dfrac13 \cdot 81 \\ a^2 & = 27 \\ a & = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \end{aligned}$
Karena $r^2 = \dfrac13$, maka $r = \sqrt{\dfrac13} = \dfrac{1}{3}\sqrt{3}$.
Dengan demikian, 

$\begin{aligned} U_{10} & = ar^9 = ar^8 \cdot r \\ & = (3\sqrt{3}) \left(\dfrac{1}{81}\right) \left(\dfrac{1}{3}\sqrt{3}\right) = \dfrac{1}{27} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\text{U}_{10} = \dfrac{1}{27}}$ 
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 10
Pada suatu barisan geometri naik dengan rasio positif, diketahui $\text{U}_6- \text{U}_4 = 4$ dan $\text{U}_4- \text{U}_3 = \dfrac23$. Nilai dari $\text{U}_5 = \cdots \cdot$ 
A. $\dfrac{16}{3}$        B. $\dfrac83$         C. $\dfrac43$        D. $\dfrac23$         E. $\dfrac13$

Pembahasan

Diketahui bahwa $\text{U}_6- \text{U}_4 = 4$, sehingga kita peroleh
$\begin{aligned} \text{U}_6-\text{U}_4 & = 4 \\ ar^5- ar^3 & = 4 \\ ar^2(r^3-r) & = 4 \\ ar^2 & = \dfrac{4}{r^3-r} \end{aligned}$
Diketahui bahwa $\text{U}_4-\text{U}_3 = \dfrac23$, sehingga kita peroleh
$\begin{aligned} \text{U}_4-\text{U}_3 & = \dfrac23 \\ ar^3-ar^2 & = \dfrac23 \\ ar^2(r-1) & = \dfrac23 \\ \dfrac{4}{r^3-r} \cdot (r-1) & = \dfrac23 \\ \dfrac{4}{\cancel{(r-1)}(r^2+r)} \cdot \cancel{(r-1)} & = \dfrac23 \\ \dfrac{4}{r^2+r} & = \dfrac23 \\ r^2 + r & = 4 \cdot \dfrac32 \\ r^2+r & = 6 \\ r^2+r-6 & = 0 \\ (r + 3)(r-2) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $r =-3$ atau $r = 2$. Karena rasionya bernilai positif, maka diambil $r = 2$. 
Untuk itu, 
$\begin{aligned} \text{U}_6-\text{U}_4 & = 4 \\ ar^5-ar^3 & = 4 \\ a(r^5-r^3) & = 4 \\ a & = \dfrac{4}{r^5-r^3} \\ \text{Substitusi}~r & = 2 \\ a & = \dfrac{4}{2^5-2^3} = \dfrac{4}{24} = \dfrac{1}{6} \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\boxed{ \text{U}_5 = ar^4 = \dfrac16(2)^4 = \dfrac83}$
(Jawaban B)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Deret Geometri Tak Hingga

Soal Nomor 11 (Soal SNMPTN Tahun 2009)
Misalkan $\text{U}_n$ menyatakan suku ke-$n$ barisan geometri. Jika diketahui $\text{U}_5 = 12$ dan $\log \text{U}_4 + \log \text{U}_5-\log \text{U}_6 = \log 3$, maka nilai $\text{U}_4$ adalah $\cdots \cdot$
A. $12$                     C. $8$                      E. $4$
B. $10$                     D. $6$           

Pembahasan

Diketahui bahwa $\log \text{U}_4 + \log \text{U}_5- \log \text{U}_6 = \log 3$, sehingga kita peroleh
$\begin{aligned} \log \text{U}_4 + \log \text{U}_5-\log \text{U}_6 & = \log 3 \\ \log ar^3 + \log ar^4-\log ar^5 & = \log 3 \\ \log \left(\dfrac{ar^3 \cdot ar^4}{ar^5}\right) & = \log 3 \\ \log ar^2 & = \log 3 \\ \cancel{\log} \text{U}_3 & = \cancel{\log} 3 \\ \text{U}_3 & = 3 \end{aligned}$
Diketahui juga $\text{U}_5 = 12$. 
Untuk itu, didapat
$\text{U}_4 = \sqrt{\text{U}_3 \cdot \text{U}_5} = \sqrt{3 \cdot 12} = 6$
Jadi, nilai dari $\boxed{\text{U}_4 = 6}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 12
Jika jumlah $6.036$ suku pertama deret geometri adalah $1.141$ dan jumlah $4.024$ suku pertamanya adalah $780$, maka jumlah $2.012$ suku pertamanya adalah $\cdots \cdot$
A. $400$                D. $1.021$
B. $600$                E. $1.521$
C. $800$

Pembahasan

Dalam deret geometri, berlaku rumus berikut. 
$\boxed{(\text{S}_{2n}-\text{S}_n)^2 = \text{S}_n(\text{S}_{3n}- \text{S}_{2n})}$
Misalkan $\text{S}_n = A$, maka kita peroleh
$$\begin{aligned} (\text{S}_{4.024}-\text{S}_{2.012})^2 & = \text{S}_{2.012}(\text{S}_{6.036}-\text{S}_{4.024}) \\ (780- A)^2 & = A(1.141-780) \\ 608.400-1.560A + A^2 & = 361A \\ A2- 1.921A + 608.400 & = 0 \\ (A-400)(A-1.521) & = 0 \end{aligned}$$Diperoleh $A = 400$ atau $A = 1.521$
Perhatikan bahwa $\text{S}_{6.036} = 1.141$ dan $\text{S}_{4.012} = 780$ menunjukkan tren menurun, sehingga pilih $A = \text{S}_{2.012} = 400$
Jadi, jumlah $2.012$ suku pertamanya adalah $\boxed{400}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 13
Jika jumlah $100$ suku pertama deret geometri adalah $\pi$ dan jumlah $200$ suku pertamanya adalah $3\pi$, maka jumlah $700$ suku pertamanya adalah $\cdots \cdot$
A. $125\pi$                 D. $133\pi$
B. $127\pi$                 E. $135\pi$
C. $129\pi$

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} \text{S}_{100} & = \dfrac{a(r^{100}-1)} {r-1} = \pi \\ \text{S}_{200} & = \dfrac{a(r^{200}-1)} {r-1} = 3\pi \end{aligned}$
Dari sini, berlaku
$\begin{aligned} \dfrac{\cancel{a} (r^{100}-1)} {\bcancel{\pi}} & = \dfrac{\cancel{a}(r^{200}-1)} {3\bcancel{\pi}} \\ 3\cancel{(r^{100}-1)} & = \cancel{(r^{100}-1)} (r^{100}+1) \\ r^{100} & = 2 \end{aligned}$
Sekarang, perhatikan bahwa jumlah $700$ suku pertama deret geometri dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} \text{S}_{700} & = \text{S}_{200} + r^{200}(a+ar^2+\cdots+ar^{199}) \\ & + r^{400}(a+ar^2+\cdots+ar^{199}) \\ & + r^{600}(a+ar^2+\cdots+ar^{99}) \end{aligned}$
Selanjutnya, kita dapatkan
$\begin{aligned} \text{S}_{700} & = \text{S}_{200} + (r^{100})^2(\text{S}_{200}) \\ &+ (r^{100})^4(\text{S}_{200}) + (r^{100})^6(\text{S}_{100}) \end{aligned}$
Substitusikan $\text{S}_{100} = \pi$, $\text{S}_{200} = 3\pi$, dan $r^{100} = 2$. 
$\begin{aligned} \text{S}_{700} & = 3\pi + (2)^2(3\pi) + (2)^4(3\pi) + (2)^6(\pi) \\ & = 3\pi + 12\pi + 48\pi + 64\pi = 127\pi \end{aligned}$
Jadi, jumlah $700$ suku pertamanya adalah $\boxed{127\pi}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 14
Diketahui suku keenam dari suatu deret geometri adalah $162$. Jumlah logaritma suku kedua, ketiga, keempat, dan kelima sama dengan $4 \log 2 + 6 \log 3$. Rasionya adalah $\cdots \cdot$
A. $1$            B. $2$           C. $3$           D. $4$           E. $5$

Pembahasan

Diketahui suku keenam bernilai $162$, sehingga ditulis
$\text{U}_6 = ar^5 = 162$
Jumlah logaritma suku kedua, ketiga, keempat, dan kelima sama dengan $4 \log 2 + 6 \log 3$, berarti kita peroleh
$$\begin{aligned} \log \text{U}_2 + \log \text{U}_3 + \log \text{U}_4 + \log \text{U}_5 & = 4 \log 2 + 6 \log 3 \\ \log ar + \log ar^2 + \log ar^3 + \log ar^4 & = \log 2^4 + \log 3^6 \\ \log (ar \cdot ar^2 \cdot ar^3 \cdot ar^4) & = \log (2^4 \cdot 3^6) \\ \cancel{\log} (a^4r^{10}) & =\cancel{\log} (2^43^6) \\ a^4r^{10} & = 2^43^6 \\ (a^2r^5)^2 & = (2^23^3)^2 \\ a^2r^5 & = 2^23^2 = 108 \\ r^5 & = \dfrac{108}{a^2} \end{aligned}$$Substitusikan pada persamaan $ar^5 = 162$
$\begin{aligned} a\left(\dfrac{108}{a^2}\right) & = 162 \\ a & = \dfrac{108}{162} \end{aligned}$
Substitusikan pada persamaan $ar^5 = 162$ kembali. 
$\begin{aligned} \dfrac{108}{162}r^5 & = 162 \\ r^5 & = 162 \times \dfrac{162}{108} \\ r^5 & = 243 \\ r & = \sqrt[5]{243} = 3 \end{aligned}$
Jadi, rasio deret geometri tersebut adalah $\boxed{3}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 15
Suku ke-$n$ suatu barisan geometri dirumuskan oleh $\text{U}_n = 4^n$. Jumlah $n$ suku pertama dari barisan geometri tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{1}{3}(4^{n+1}-4)$         D. $\dfrac{1}{3}(4^{n+1}-n)$
B. $\dfrac{1}{3}(4^{n}-4)$              E. $\dfrac{1}{3}(4^{n-1} + 4)$
C. $\dfrac{1}{3}(4^{n-1}-4)$ 

Pembahasan

Rasio barisan geometri tersebut dapat ditentukan dengan membagi suku ke-$(n+1)$ dengan suku ke-$n$. Sebagai contoh, suku ke-$2$ dibagi suku ke-$1$.
$r= \dfrac{\text{U}_{n+1}} {\text{U}_n} = \dfrac{\text{U}_2}{\text{U}_1} = \dfrac{4^2}{4^1} = 4 $
Dari sini, juga didapat $\text{U}_1 = a = 4$
Dengan menggunakan rumus jumlah suku ke-$n$ barisan geometri, diperoleh
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{a(r^n-1)}{r-1} \\ & = \dfrac{4(4^n-1)} {4-1} \\ & = \dfrac{4}{3}(4^n-1) \\ & = \dfrac{1}{3}(4^{n+1}-4) \end{aligned}$
Jadi, jumlah $n$ suku pertama dari barisan geometri tersebut adalah $\boxed{\text{S}_n = \dfrac{1}{3}(4^{n+1}-4)}$ 
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 16
Suatu deret geometri mempunyai suku pertama $p^{-2}$ dan suku kedua $p^{2x}$. Jika suku kesepuluh $p^{88}$, maka nilai $x = \cdots \cdot$
A. $\dfrac14$                     C. $1$                      E. $4$
B. $\dfrac12$                     D. $2$

Pembahasan

Diketahui
$\begin{aligned} \text{U}_1 & = a = p^{-2} \\ \text{U}_2 & = p^{2x} \\ \text{U}_{10} & = p^{88} \end{aligned}$
Rasio deret geometri itu adalah
$r = \dfrac{p^{2x}}{p^{-2}} = p^{2x+2}$
Karena suku kesepuluh $p^{88}$, maka dengan menggunakan formula suku ke-$n$ barisan geometri, kita peroleh
$\begin{aligned} \text{U}_{10} & = p^{88} \\ ar^9 & = p^{88} \\ p^{-2} \cdot p^{18x+18} & = p^{88} \\ p^{18x+16} & = p^{88} \\ 18x+16 & = 88 \\ 18x & = 72 \\ \therefore x & = 4 \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{x=4}$
(Jawaban E)

[collapse]

Baca : Soal dan Pembahasan- Persamaan Pangkat (Eksponen) Sederhana

Soal Nomor 17
Jumlah $10$ suku pertama dari deret geometri $16-8+4-2+\cdots$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{231}{8}$                      D. $\dfrac{341}{32}$
B. $\dfrac{341}{8}$                      E. $\dfrac{361}{4}$
C. $\dfrac{341}{16}$

Pembahasan

Cara Matematis:
Diketahui deret geometri:
$16-8+4-2+\cdots$
Suku pertamanya adalah $a = 16$. Rasio barisan geometri yang bersesuaian dengan deret itu adalah $r =-\dfrac12$.
Dengan demikian, jumlah $10$ suku pertamanya dinyatakan oleh
$\begin{aligned} \text{S}_{n} & = \dfrac{a(1-r^n)}{1-r} \\ \text{S}_{10} & = \dfrac{16\left(1-\left(-\dfrac12\right)^{10}\right)}{1-\left(-\dfrac12\right)} \\ & = \dfrac{16\left(1-\dfrac{1}{1024}\right)}{1+\dfrac12} \\ & = \dfrac{\dfrac{1023}{64}}{\dfrac32} \\ & = \dfrac{\cancelto{341}{1023}}{\cancelto{32}{64}} \times \dfrac{\cancel{2}}{\cancel{3}} = \dfrac{341}{32} \end{aligned}$
Jadi, jumlah $10$ suku pertama deret geometri tersebut adalah $\boxed{\dfrac{341}{32}}$
Cara Manual:
Cara manual artinya kita menghitungnya satu per satu seperti yang biasanya dilakukan anak SD. Kelihatannya akan lebih efektif untuk soal ini karena yang ditanyakan hanya sampai $10$ suku pertama.
$$\begin{aligned} & (16-8+4-2+1)-\dfrac12+\dfrac14-\dfrac18+\dfrac{1}{16}-\dfrac{1}{32} \\ & = 11+\dfrac{-16+8-4+2-1}{32} \\ & = \dfrac{352}{32}-\dfrac{11}{32} = \dfrac{341}{32} \end{aligned}$$(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 18
Jika $6, x, y, z, 54$ membentuk barisan geometri, maka nilai dari $\dfrac{xz}{y} = \cdots \cdot$
A. $12$                       C. $18$                    E. $36$
B. $16$                       D. $24$

Pembahasan

Suku-suku ganjil pada barisan geometri itu adalah $6, y, 54$.
Karena kuadrat dari suku kedua sama dengan hasil kali suku pertama dan ketiga (berlaku pada barisan geometri), maka
$\begin{aligned} y^2 & = 6 \cdot 54 \\ y^2 & = 6^2 \cdot 3^2 \\ y & = 6 \cdot 3 = 18 \end{aligned}$
Dengan prinsip yang sama, tinjau barisan geometri: $6, x, 18$.
$\begin{aligned} x^2 & = 6 \cdot 18 \\ x^2 & = 6^2 \cdot 3 \\ x & = 6\sqrt3 \end{aligned}$
Selanjutnya, kita juga akan mendapatkan $z = 18\sqrt3$.
Jadi, nilai dari $\begin{aligned} \dfrac{xz}{y} & = \dfrac{6\sqrt3 \cdot \cancel{18}\sqrt3}{\cancel{18}} \\ & = 6(\sqrt3)^2 = 18 \end{aligned}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 19
Jika $x, y, z$ membentuk barisan geometri dengan suku-suku positif yang berbeda, maka nilai dari $\dfrac{1}{^x \log y}+\dfrac{1}{^z \log y} = \cdots \cdot$
A. $2$                       C. $1$                   E. $\dfrac12\sqrt2$
B. $\sqrt2$                  D. $\dfrac12$

Pembahasan

Karena $x, y, z$ membentuk barisan geometri, maka berlaku sifat bahwa kuadrat suku kedua sama dengan hasil kali suku pertama dan ketiga, ditulis
$y^2 = xz$.
Selanjutnya, dengan menggunakan sifat logaritma, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{1}{^x \log y}+\dfrac{1}{^z \log y} & = ^y \log x + ^y \log z \\ & = ^y \log \color{red}{xz} \\ \text{Substitusi}~y^2 & = xz \\ & = ^y \log y^2 = 2 \end{aligned}$
Jadi, nilai dar $\boxed{\dfrac{1}{^x \log y}+\dfrac{1}{^z \log y} = 2}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 20
Berikut ini adalah deret geometri:
$\dfrac34+\dfrac32+3+6+\cdots+P = \dfrac{765}{4}$
Nilai $P$ yang sesuai dengan deret di atas adalah $\cdots \cdot$
A. $86$                     C. $92$                   E. $102$
B. $90$                     D. $96$

Pembahasan

Deret geometri tersebut memiliki suku pertama $a = \dfrac34$ dan rasio $r = 2$.
Berdasarkan formula deret geometri, kita peroleh bahwa
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{a(r^n-1)}{r-1} \\ \dfrac{765}{4} & = \dfrac{\dfrac34\left(2^n-1\right)}{2-1} \\ \dfrac{765}{\cancel{4}} \cdot \dfrac{\cancel{4}}{3} & = 2^n-1 \\ 255 & = 2^n-1 \\ 256 & = 2^n \\ n & = 8 \end{aligned}$
Selanjutnya, akan dicari $\text{U}_8 = P$ dengan menggunakan formula barisan geometri $\text{U}_n = ar^{n-1}$.
$P = \text{U}_8 = \dfrac34(2)^{8-1} = \dfrac{3}{4}(2)^7 = 96 $
Jadi, nilai dari $\boxed{P = 96}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 21
Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jumlah ketiga bilangan itu adalah $26$ dan hasil kalinya $216$. Jumlah bilangan pertama dan ketiga dari barisan geometri itu adalah $\cdots \cdot$
A. $2$                         C. $18$                     E. $22$
B. $16$                       D. $20$

Pembahasan

Misal ketiga bilangan itu membentuk barisan geometri dalam bentuk: $\dfrac{a}{r}, a, ar$.
Hasil kalinya:
$\begin{aligned} \dfrac{a}{\cancel{r}} \times a \times a\cancel{r} & = 216 \\ a^3 & = 6^3 \\ a & = 6 \end{aligned}$
Sekarang, barisan geometrinya dapat ditulis dalam bentuk: $\dfrac{6}{r}, 6, 6r$.
Jumlah:
$\begin{aligned} \dfrac{6}{r}+6+6r & = 26 \\ \dfrac{6}{r}+6r & = 20 \\ 6\left(\dfrac{1}{r}+r\right) & = 20 \\ \dfrac{1}{r}+r & = \dfrac{20}{6} = \dfrac{10}{3} \\ r + \dfrac{1}{r} & = 3 + \dfrac{1}{3} \end{aligned}$
Persamaan terakhir menunjukkan bahwa $r = 3$ atau $r = \dfrac13$.
Penentuan barisan geometri:
Untuk $a = 6$ dan $r = 3$, maka
barisan geometrinya: $2, 6, 18$.
Untuk $a = 6$ dan $r = \dfrac13$, maka barisan geometrinya: $18, 6, 2$.
Jumlah bilangan pertama dan ketiganya sama meskipun ditukar posisinya, yaitu $\boxed{2 + 18 = 18 + 2 = 20}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 22 ($\bigstar$ HOTS $\bigstar$)
Perhatikan pola gambar berikut.


Apabila panjang sisi persegi pada pola pertama $x$ satuan, tentukan luas daerah yang diarsir pada pola ke-$1000$.

Pembahasan

Pada gambar 1, luas persegi tersebut adalah $L_1 = x^2$ satuan panjang.
Panjang sisi persegi pada gambar 2 dapat ditentukan dengan rumus Pythagoras, yaitu
$\begin{aligned} s & = \sqrt{\left(\dfrac12x\right)^2 + \left(\dfrac12x\right)^2} \\ & = \sqrt{\dfrac12x^2} \\ & = x\sqrt{\dfrac12} \end{aligned}$
Luas persegi pada gambar 2 adalah $L_2 = \left(x\sqrt{\dfrac12}\right)^2 = \dfrac12x^2$ yang merupakan setengah dari luas persegi pada gambar 1.
Analog dengan ini, kita peroleh bahwa luas tiap persegi membentuk barisan geometri dengan $a = x^2$ dan $r = \dfrac{1}{2}$, sehingga 

$\begin{aligned} & U_{n}  = ar^{n-1} \\ & U_{1000} = x^2\left(\dfrac{1}{2}\right)^{1000-1} = x^2\left(\dfrac{1}{2}\right)^{999} \end{aligned}$
Jadi, luas yang diarsir pada pola ke-$1000$ adalah $x^2\left(\dfrac{1}{2}\right)^{999}$ satuan luas.

[collapse]

Today Quote

Bad people may come to you. They want to see everything wrong with you because there are nothing right in them.

 

CategoriesBarisan dan DeretTags, , , ,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *