Soal dan Pembahasan – Barisan dan Deret Geometri

Berikut ini penulis sajikan soal-soal beserta pembahasannya tentang barisan dan deret aritmetika. Soal-soal ini dikumpulkan dari berbagai sumber termasuk soal UN maupun SBMPTN. Semoga bermanfaat.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Barisan dan Deret Aritmetika

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Soal Cerita (Aplikasi) Barisan dan Deret Geometri

Soal Nomor 1
Diketahui barisan geometri dengan suku pertama adalah 24 dan suku ke-3 adalah \dfrac{8}{3}. Suku ke-5 barisan tersebut adalah \cdots


A. \dfrac{8}{3}    B. \dfrac{8}{9}      C. \dfrac{8}{18}    D. \dfrac{8}{27}     E. \dfrac{8}{36}

Penyelesaian

Diketahui a = 24 dan \text{U}_3 = \dfrac{8}{3}. Langkah pertama adalah menentukan rasio barisan geometri ini terlebih dahulu.
\begin{aligned} \text{U}_n & = ar^{n-1} \\ \text{U}_3 & = \dfrac{8}{3} = 24r^{3-1} \\ \dfrac{8}{3} & = 24r^2 \\ r^2 & = \dfrac{8}{3} \cdot \dfrac{1}{24}  \\ r^2 & = \dfrac{1}{9} \\ r & = \dfrac{1}{3} \end{aligned}
Dengan demikian, didapat
\begin{aligned} \text{U}_5 & = ar^4 \\ & = 24\left(\dfrac{1}{3}\right)^4 \\ & = 24 \cdot \dfrac{1}{81} = \dfrac{8}{27} \end{aligned}
Jadi, suku ke-6 barisan geometri itu adalah \boxed{\dfrac{8}{27}} (Jawaban D) 

[collapse]

Soal Nomor 2
Suku pertama dari barisan geometri adalah \dfrac{5}{2} dan suku ke-4 adalah 20. Besar suku ke-6 dari barisan tersebut adalah \cdots
A. 80       B. 50           C. 25          D. -25          E. -80

Penyelesaian

Diketahui:
\begin{aligned} \text{U}_1 & = a = \dfrac{5}{2} \\ \text{U}_4 & = 20 \end{aligned}
Langkah pertama adalah mencari rasio barisan geometri ini.
Perhatikan bahwa,
\begin{aligned} \text{U}_4 & = 20 \\ ar^3 & = 20 \\ \dfrac{5}{2}r^3 & = 20 \\ r^3 & = 20 \times \dfrac{2}{5} \\ r^3 & = 8 \\ r & = \sqrt[3]{8} = 2 \end{aligned}
Selanjutnya, carilah suku ke-6.
\begin{aligned} \text{U}_6 & = ar^5 \\ & = \dfrac{5}{2} \times 2^5 \\ & = 80 \end{aligned}
Jadi, suku ke-6 barisan tersebut adalah \boxed{80} (Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 3
Diketahui barisan geometri dengan suku ke-5 = 162 dan suku ke-2 = -6. Rasio barisan tersebut adalah \cdots
A. -3                                       D. \dfrac{1}{2}
B. -2                                       E. 3
C. -\dfrac{1}{3}

Penyelesaian

Diketahui \text{U}_5 = 162 dan \text{U}_2 = -6. Dengan melakukan perbandingan antarsuku, diperoleh
\begin{aligned} \dfrac{\text{U}_5}{\text{U}_2} & = \dfrac{162}{-6} \\ \dfrac{\cancel{a}r^4}{\cancel{a}r} & = -27 \\ r^3 & = -27 \\ r & = -3 \end{aligned}
Jadi, rasio barisan geometri tersebut adalah \boxed{-3} (Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 4
Suatu barisan geometri dengan suku pertama 16 dan \text{U}_4 = 2. Jumlah 6 suku pertama barisan tersebut adalah \cdots
A. 31         B. 31,5       C. 32          D. 63           E. 64

Penyelesaian

Diketahui a = 16 dan \text{U}_4 = 2. Langkah pertama adalah menentukan rasionya terlebih dahulu.
\begin{aligned} \text{U}_4 & = 2 \\ ar^3 & = 2 \\ 16r^3 & = 2 \\ r^3 & = \dfrac{1}{8} \\ r & = \dfrac{1}{2} \end{aligned}
Dengan menggunakan rumus jumlah n suku pertama barisan geometri:
\boxed{S_n = \dfrac{a(1-r^n)}{1-r}}
diperoleh
\begin{aligned} S_6 & = \dfrac{16\left(1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^6 \right)}{1 - \dfrac{1}{2}} \\ & = \dfrac{16\left(1-\dfrac{1}{64}\right)}{\dfrac{1}{2}} \\ & = 16 \cdot \dfrac{63}{64} \cdot \dfrac{2}{1} \\ & = \dfrac{63}{4}  \cdot 2 = 31,5 \end{aligned}
Jadi, jumlah 6 suku pertama barisan geometri tersebut adalah \boxed{31,5} (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 5
Jika (2x-5), (x-4), (-3x+10) merupakan tiga suku pertama barisan geometri, maka nilai x yang bulat adalah \cdots
A. 3        B. 7         C. 9          D. 10        E. 13

Penyelesaian

Dalam barisan geometri, berlaku
\boxed{\text{U}_2^2 = \text{U}_1 \cdot \text{U}_3}
Dengan demikian, diperoleh
\begin{aligned} (x - 4)^2 & = (2x-5)(-3x+10) \\ x^2-8x+16 & = -6x^2 + 35x - 50 \\ 7x^2 - 43x + 66 & = 0 \\ (7x - 22)(x - 3) & = 0 \end{aligned}
Diperoleh x = \dfrac{22}{7} atau x = 3. Karena nilai x yang dimaksud berupa bilangan bulat, maka nilai x yang diambil adalah \boxed{3} (Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 6
Jika \text{U}_1,\text{U}_2, \text{U}_3,\cdots adalah barisan geometri yang memenuhi \text{U}_3 - \text{U}_6 = x dan \text{U}_2 - \text{U}_4 = y, serta r merupakan rasio barisan geometri tersebut, maka \dfrac{x} {y} = \cdots
A. \frac{r^3-r^2-r} {r-1}          D. \frac{r^3+r^2-r} {r-1}
B. \frac{r^3-r^2+r} {r-1}          E. \frac{r^3-r^2+r} {r+1}
C. \frac{r^3+r^2+r} {r+1} 

Penyelesaian

Dalam barisan geometri, rumus suku ke-n dinyatakan oleh \text{U}_n = ar^{n-1} di mana a sebagai suku pertama. Dengan demikian, 
\begin{aligned} \dfrac{x} {y} & = \dfrac{\text{U}_3 - \text{U}_6}{\text{U}_2 - \text{U}_4} \\ & = \dfrac{ar^2 - ar^5}{ar - ar^3} \\ & = \dfrac{\cancel{ar} (r - r^4)}{\cancel{ar} (1 - r^2)} \\ & = \dfrac{r-r^4}{1-r^2} \\ & = \dfrac{\cancel{(1 - r)} (r+r^2+r^3)} {\cancel{(1-r)}(1+r)} \\ & = \dfrac{r+r^2+r^3}{1+r} \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\dfrac{x} {y} = \dfrac{r^3+r^2+r}{r+1}}
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 7
Jumlah logaritma dari lima suku pertama deret geometri adalah 5 \log 3. Bila suku ke-4 deret tersebut adalah 12, maka suku ke-6 deret tersebut adalah \cdots
A. 192       B. 96       C. 16      D. 12      E. 2

Penyelesaian

Diketahui: \text{U}_4 = 12
Jumlah logaritma dari lima suku pertama deret geometri adalah 5 \log 3, sehingga ditulis
\begin{aligned} \log \text{U}_1 + \log \text{U}_2 & + \log \text{U}_3 + \log \text{U}_4 \\ & + \log \text{U}_5 = 5 \log 3 \end{aligned} 
Dengan menggunakan sifat logaritma dasar, diperoleh
\begin{aligned} \cancel{\log} (\text{U}_1 \cdot \text{U}_2 \cdot \text{U}_3 \cdot \text{U}_4 \cdot \text{U}_5) & = \cancel{\log} 3^5 \\ \text{U}_1 \cdot \text{U}_2 \cdot \text{U}_3 \cdot \text{U}_4 \cdot \text{U}_5 & = 3^5 \\ a(ar) (ar^2)(ar^3)(ar^4) & = 3^5 \\ a^5r^{10} & = 3^5 \\ (ar^2)^5 & = 3^5 \\ \text{U}_3 = ar^2 & = 3 \end{aligned}
Rasio barisan geometri ini adalah
r = \dfrac{\text{U}_4}{\text{U}_3} = \dfrac{12}{3} = 4
Dengan demikian, 
\begin{aligned} \text{U}_5 & = \text{U}_4 \cdot r = 12 \cdot 4 = 48 \\ \text{U}_6 & = \text{U}_5 \cdot r = 48 \cdot 4 = 192 \end{aligned}
Jadi, suku ke-6 barisan geometri itu adalah \boxed{192} (Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 8
Suku ke-n deret geometri adalah \text{U}_n. Jika \dfrac{\text{U}_6}{\text{U}_8} = 3 dan \text{U}_2 \cdot \text{U}_8 = \dfrac13, maka nilai \text{U}_{10} = \cdots
A. \dfrac{1}{27}                 D. \dfrac{\sqrt{3}} {9}
B. \dfrac19                   E. \dfrac13
C. \dfrac{\sqrt{3}} {27}

Penyelesaian

Diketahui \dfrac{\text{U}_6}{\text{U}_8} = 3, sehingga kita peroleh
\begin{aligned} \dfrac{\text{U}_6}{\text{U}_8} & = 3 \\ \dfrac{\cancel{a} r^5}{\cancel{a}r^7} & = 3 \\ r^{-2} & = 3 \\ r^2 & = \dfrac13 \\ (r^2)^4 & = \left(\dfrac13\right)^4 \\ r^8 & = \dfrac{1}{81} \end{aligned}
Diketahui juga bahwa \text{U}_2 \cdot \text{U}_8 = \dfrac13, sehingga kita peroleh
\begin{aligned} \text{U}_2 \cdot \text{U}_8 & = \dfrac13 \\ (ar) (ar^7) & = \dfrac13 \\ a^2r^8 & = \dfrac13 \\ \text{Substitusi}~r^8 & = \dfrac{1}{81} \\ a^2\left(\dfrac{1}{81}\right) & = \dfrac13 \\ a^2 & = \dfrac13 \cdot 81 \\ a^2 & = 27 \\ a & = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \end{aligned}
Karena r^2 = \dfrac13, maka r = \sqrt{\dfrac13} = \dfrac{1}{3}\sqrt{3}.
Dengan demikian, 

\begin{aligned} U_{10} & = ar^9 = ar^8 \cdot r \\ & = (3\sqrt{3}) \left(\dfrac{1}{81}\right) \left(\dfrac{1}{3}\sqrt{3}\right) = \dfrac{1}{27} \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\text{U}_{10} = \dfrac{1}{27}} 
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 9
Pada suatu barisan geometri naik dengan rasio positif, diketahui \text{U}_6 - \text{U}_4 = 4 dan \text{U}_4 - \text{U}_3 = \dfrac23. Nilai dari \text{U}_5 = \cdots 
A. \dfrac{16}{3}      B. \dfrac83        C. \dfrac43       D. \dfrac23      E. \dfrac13

Penyelesaian

Diketahui bahwa \text{U}_6 - \text{U}_4 = 4, sehingga kita peroleh
\begin{aligned} \text{U}_6 - \text{U}_4 & = 4 \\ ar^5 - ar^3 & = 4 \\ ar^2(r^3-r) & = 4 \\ ar^2 & = \dfrac{4}{r^3-r} \end{aligned}
Diketahui bahwa \text{U}_4 - \text{U}_3 = \dfrac23, sehingga kita peroleh
\begin{aligned} \text{U}_4 - \text{U}_3 & = \dfrac23 \\ ar^3 - ar^2 & = \dfrac23 \\ ar^2(r-1) & = \dfrac23 \\ \dfrac{4}{r^3-r} \cdot (r-1) & = \dfrac23 \\ \dfrac{4}{\cancel{(r-1)}(r^2+r)} \cdot \cancel{(r-1)} & = \dfrac23 \\ \dfrac{4}{r^2+r} & = \dfrac23 \\ r^2 + r & = 4 \cdot \dfrac32 \\ r^2+r & = 6 \\ r^2+r-6 & = 0 \\ (r + 3)(r - 2) & = 0 \end{aligned}
Diperoleh r = -3 atau r = 2. Karena rasionya bernilai positif, maka diambil r = 2
Untuk itu, 
\begin{aligned} \text{U}_6 - \text{U}_4 & = 4 \\ ar^5 - ar^3 & = 4 \\ a(r^5-r^3) & = 4 \\ a & = \dfrac{4}{r^5-r^3} \\ \text{Substitusi}~r & = 2 \\ a & = \dfrac{4}{2^5 - 2^3} = \dfrac{4}{24} = \dfrac{1}{6} \end{aligned}
Dengan demikian,
\boxed{ \text{U}_5 & = ar^4 = \dfrac16(2)^4 \\ & = \dfrac83}
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 10 (Soal SNMPTN Tahun 2009)
Misalkan \text{U}_n menyatakan suku ke-n barisan geometri. Jika diketahui \text{U}_5 = 12 dan \log \text{U}_4 + \log \text{U}_5 - \log \text{U}_6 = \log 3, maka nilai \text{U}_4 adalah \cdots
A. 12         B. 10           C. 8         D. 6           E. 4

Penyelesaian

Diketahui bahwa \log \text{U}_4 + \log \text{U}_5 - \log \text{U}_6 = \log 3, sehingga kita peroleh
\begin{aligned} \log \text{U}_4 + \log \text{U}_5 - \log \text{U}_6 & = \log 3 \\ \log ar^3 + \log ar^4 - \log ar^5 & = \log 3 \\ \log \left(\dfrac{ar^3 \cdot ar^4}{ar^5}\right) & = \log 3 \\ \log ar^2 & = \log 3 \\ \cancel{\log} \text{U}_3 & = \cancel{\log} 3 \\ \text{U}_3 & = 3 \end{aligned}
Diketahui juga \text{U}_5 = 12
Untuk itu, didapat
\text{U}_4 = \sqrt{\text{U}_3 \cdot \text{U}_5} = \sqrt{3 \cdot 12} = 6
Jadi, nilai dari \boxed{\text{U}_4 = 6}
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 11
Jika jumlah 6.036 suku pertama deret geometri adalah 1.141 dan jumlah 4.024 suku pertamanya adalah 780, maka jumlah 2.012 suku pertamanya adalah \cdots
A. 400                D. 1.021
B. 600                E. 1.521
C. 800

Penyelesaian

Dalam deret geometri, berlaku rumus berikut. 
\boxed{(\text{S}_{2n} - \text{S}_n)^2 = \text{S}_n(\text{S}_{3n} - \text{S}_{2n})}
Misalkan \text{S}_n = A, maka kita peroleh
\begin{aligned} (\text{S}_{4.024} - \text{S}_{2.012})^2 & = \text{S}_{2.012}(\text{S}_{6.036} - \text{S}_{4.024}) \\ (780 - A)^2 & = A(1.141 - 780) \\ 608.400 - 1.560A + A^2 & = 361A \\ A2 - 1.921A + 608.400 & = 0 \\ (A - 400)(A - 1.521) & = 0 \end{aligned}
Diperoleh A = 400 atau A = 1.521
Perhatikan bahwa \text{S}_{6.036} = 1.141 dan \text{S}_{4.012} = 780 menunjukkan tren menurun, sehingga pilih A = \text{S}_{2.012} = 400
Jadi, jumlah 2.012 suku pertamanya adalah \boxed{400} (Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 12
Jika jumlah 100 suku pertama deret geometri adalah \pi dan jumlah 200 suku pertamanya adalah 3\pi, maka jumlah 700 suku pertamanya adalah \cdots
A. 125\pi          D. 133\pi
B. 127\pi          E. 135\pi
C. 129\pi

Penyelesaian

Diketahui:
\begin{aligned} \text{S}_{100} & = \dfrac{a(r^{100}-1)} {r-1} = \pi \\ \text{S}_{200} & = \dfrac{a(r^{200}-1)} {r-1} = 3\pi \end{aligned}
Dari sini, berlaku
\begin{aligned} \dfrac{\cancel{a} (r^{100}-1)} {\bcancel{\pi}} & = \dfrac{\cancel{a}(r^{200}-1)} {3\bcancel{\pi}} \\ 3\cancel{(r^{100}-1)} & = \cancel{(r^{100}-1)} (r^{100}+1) \\ r^{100} & = 2 \end{aligned}
Sekarang, perhatikan bahwa jumlah 700 suku pertama deret geometri dapat ditulis menjadi
\begin{aligned} \text{S}_{700} & = \text{S}_{200} + r^{200}(a+ar^2+\cdots+ar^{199}) \\ & + r^{400}(a+ar^2+\cdots+ar^{199}) \\ & + r^{600}(a+ar^2+\cdots+ar^{99}) \end{aligned}
Selanjutnya, kita dapatkan
\begin{aligned} \text{S}_{700} & = \text{S}_{200} + (r^{100})^2(\text{S}_{200}) \\ &+ (r^{100})^4(\text{S}_{200}) + (r^{100})^6(\text{S}_{100}) \end{aligned}
Substitusikan \text{S}_{100} = \pi, \text{S}_{200} = 3\pi, dan r^{100} = 2
\begin{aligned} \text{S}_{700} & = 3\pi + (2)^2(3\pi) + (2)^4(3\pi) + (2)^6(\pi) \\ & = 3\pi + 12\pi + 48\pi + 64\pi = 127\pi \end{aligned}
Jadi, jumlah 700 suku pertamanya adalah \boxed{127\pi} (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 13
Diketahui suku keenam dari suatu deret geometri adalah 162. Jumlah logaritma suku kedua, ketiga, keempat, dan kelima sama dengan 4 \log 2 + 6 \log 3. Rasionya adalah \cdots
A. 1       B. 2         C. 3          D. 4           E. 5

Penyelesaian

Diketahui suku keenam bernilai 162, sehingga ditulis
\text{U}_6 = ar^5 = 162
Jumlah logaritma suku kedua, ketiga, keempat, dan kelima sama dengan 4 \log 2 + 6 \log 3, berarti kita peroleh
\begin{aligned} \log \text{U}_2 + \log \text{U}_3 + \log \text{U}_4 + \log \text{U}_5 & = 4 \log 2 + 6 \log 3 \\ \log ar + \log ar^2 + \log ar^3 + \log ar^4 & = \log 2^4 + \log 3^6 \\ \log (ar \cdot ar^2 \cdot ar^3 \cdot ar^4) & = \log (2^4 \cdot 3^6) \\ \cancel{\log} (a^4r^{10}) & =\cancel{\log} (2^43^6) \\ a^4r^{10} & = 2^43^6 \\ (a^2r^5)^2 & = (2^23^3)^2 \\ a^2r^5 & = 2^23^2 = 108 \\ r^5 & = \dfrac{108}{a^2} \end{aligned}
Substitusikan pada persamaan ar^5 = 162
\begin{aligned} a\left(\dfrac{108}{a^2}\right) & = 162 \\ a & = \dfrac{108}{162} \end{aligned}
Substitusikan pada persamaan ar^5 = 162 kembali. 
\begin{aligned} \dfrac{108}{162}r^5 & = 162 \\ r^5 & = 162 \times \dfrac{162}{108} \\ r^5 & = 243 \\ r & = \sqrt[5]{243} = 3 \end{aligned}
Jadi, rasio deret geometri tersebut adalah \boxed{3} (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 14
Suku ke-n suatu barisan geometri dirumuskan oleh \text{U}_n = 4^n. Jumlah n suku pertama dari barisan geometri tersebut adalah \cdots
A. \frac{1}{3}(4^{n+1} - 4)         D. \frac{1}{3}(4^{n+1} - n)
B. \frac{1}{3}(4^{n} - 4)              E. \frac{1}{3}(4^{n-1} + 4)
C. \frac{1}{3}(4^{n-1} - 4) 

Penyelesaian

Rasio barisan geometri tersebut dapat ditentukan dengan membagi suku ke-(n+1) dengan suku ke-n. Sebagai contoh, suku ke-2 dibagi suku ke-1.
\begin{aligned} r & = \dfrac{\text{U}_{n+1}} {\text{U}_n} \\ & = \dfrac{\text{U}_2}{\text{U}_1} = \dfrac{4^2}{4^1} = 4 \end{aligned}
Dari sini, juga didapat \text{U}_1 = a = 4
Dengan menggunakan rumus jumlah suku ke-n barisan geometri, diperoleh
\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{a(r^n-1)}{r - 1} \\ & = \dfrac{4(4^n - 1)} {4-1} \\ & = \dfrac{4}{3}(4^n - 1) \\ & = \dfrac{1}{3}(4^{n+1} - 4) \end{aligned}
Jadi, jumlah n suku pertama dari barisan geometri tersebut adalah \boxed{\text{S}_n = \dfrac{1}{3}(4^{n+1} - 4)} 
(Jawaban A)

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini
CategoriesBarisan dan DeretTags, , , ,

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *