Soal dan Pembahasan – Barisan dan Deret Geometri

    Berikut ini penulis sajikan soal-soal beserta pembahasannya tentang barisan dan deret geometri. Soal-soal ini dikumpulkan dari berbagai sumber termasuk soal UN maupun SBMPTN. Semoga bermanfaat.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Barisan dan Deret Aritmetika

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Soal Cerita (Aplikasi) Barisan dan Deret Geometri

Soal Nomor 1
Diketahui barisan geometri dengan suku pertama adalah $24$ dan suku ke-$3$ adalah $\dfrac{8}{3}$. Suku ke-$5$ barisan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{8}{3}$      B. $\dfrac{8}{9}$       C. $\dfrac{8}{18}$      D. $\dfrac{8}{27}$      E. $\dfrac{8}{36}$

Penyelesaian

Diketahui $a = 24$ dan $\text{U}_3 = \dfrac{8}{3}$. Langkah pertama adalah menentukan rasio barisan geometri ini terlebih dahulu.
$\begin{aligned} \text{U}_n & = ar^{n-1} \\ \text{U}_3 & = \dfrac{8}{3} = 24r^{3-1} \\ \dfrac{8}{3} & = 24r^2 \\ r^2 & = \dfrac{8}{3} \cdot \dfrac{1}{24}  \\ r^2 & = \dfrac{1}{9} \\ r & = \dfrac{1}{3} \end{aligned}$
Dengan demikian, didapat
$\begin{aligned} \text{U}_5 & = ar^4 \\ & = 24\left(\dfrac{1}{3}\right)^4 \\ & = 24 \cdot \dfrac{1}{81} = \dfrac{8}{27} \end{aligned}$
Jadi, suku ke-$6$ barisan geometri itu adalah $\boxed{\dfrac{8}{27}}$
(Jawaban D)
 

[collapse]

Soal Nomor 2
Suku pertama dari barisan geometri adalah $\dfrac{5}{2}$ dan suku ke-$4$ adalah $20$. Besar suku ke-$6$ dari barisan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $80$                   C. $25$                 E. $-80$
B. $50$                   D. $-25$          

Penyelesaian

Diketahui:
$\begin{aligned} \text{U}_1 & = a = \dfrac{5}{2} \\ \text{U}_4 & = 20 \end{aligned}$
Langkah pertama adalah mencari rasio barisan geometri ini.
Perhatikan bahwa,
$\begin{aligned} \text{U}_4 & = 20 \\ ar^3 & = 20 \\ \dfrac{5}{2}r^3 & = 20 \\ r^3 & = 20 \times \dfrac{2}{5} \\ r^3 & = 8 \\ r & = \sqrt[3]{8} = 2 \end{aligned}$
Selanjutnya, carilah suku ke-$6$.
$\begin{aligned} \text{U}_6 & = ar^5 \\ & = \dfrac{5}{2} \times 2^5 \\ & = 80 \end{aligned}$
Jadi, suku ke-$6$ barisan tersebut adalah $\boxed{80}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 3
Diketahui barisan geometri dengan suku ke-$5 = 162$ dan suku ke-$2 = -6$. Rasio barisan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $-3$                   C. $-\dfrac{1}{3}$                E. $3$
B. $-2$                   D. $\dfrac{1}{2}$          
                              

Penyelesaian

Diketahui $\text{U}_5 = 162$ dan $\text{U}_2 = -6$. Dengan melakukan perbandingan antarsuku, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{\text{U}_5}{\text{U}_2} & = \dfrac{162}{-6} \\ \dfrac{\cancel{a}r^4}{\cancel{a}r} & = -27 \\ r^3 & = -27 \\ r & = -3 \end{aligned}$
Jadi, rasio barisan geometri tersebut adalah $\boxed{-3}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 4
Suatu barisan geometri dengan suku pertama $16$ dan $\text{U}_4 = 2$. Jumlah $6$ suku pertama barisan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $31$                        C. $32$                    E. $64$
B. $31,5$                     D. $63$           

Penyelesaian

Diketahui $a = 16$ dan $\text{U}_4 = 2$. Langkah pertama adalah menentukan rasionya terlebih dahulu.
$\begin{aligned} \text{U}_4 & = 2 \\ ar^3 & = 2 \\ 16r^3 & = 2 \\ r^3 & = \dfrac{1}{8} \\ r & = \dfrac{1}{2} \end{aligned}$
Dengan menggunakan rumus jumlah $n$ suku pertama barisan geometri:
$\boxed{S_n = \dfrac{a(1-r^n)}{1-r}}$
diperoleh
$\begin{aligned} S_6 & = \dfrac{16\left(1 -\left(\dfrac{1}{2}\right)^6 \right)}{1- \dfrac{1}{2}} \\ & = \dfrac{16\left(1-\dfrac{1}{64}\right)}{\dfrac{1}{2}} \\ & = 16 \cdot \dfrac{63}{64} \cdot \dfrac{2}{1} \\ & = \dfrac{63}{4}  \cdot 2 = 31,5 \end{aligned}$
Jadi, jumlah $6$ suku pertama barisan geometri tersebut adalah $\boxed{31,5}$
(Jawaban B) 

[collapse]

Soal Nomor 5
Jika $(2x-5), (x-4), (-3x+10)$ merupakan tiga suku pertama barisan geometri, maka nilai $x$ yang bulat adalah $\cdots \cdot$
A. $3$                       C. $9$                   E. $13$
B. $7$                       D. $10$         

Penyelesaian

Dalam barisan geometri, berlaku
$\boxed{\text{U}_2^2 = \text{U}_1 \cdot \text{U}_3}$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} (x – 4)^2 & = (2x-5)(-3x+10) \\ x^2-8x+16 & = -6x^2 + 35x -50 \\ 7x^2 -43x + 66 & = 0 \\ (7x -22)(x -3) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $x = \dfrac{22}{7}$ atau $x = 3$. Karena nilai $x$ yang dimaksud berupa bilangan bulat, maka nilai $x$ yang diambil adalah $\boxed{3}$
(Jawaban A)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Aplikasi (Soal Cerita) Barisan dan Deret Aritmetika

Soal Nomor 6
Jika $\text{U}_1,\text{U}_2, \text{U}_3,\cdots$ adalah barisan geometri yang memenuhi $\text{U}_3 -\text{U}_6 = x$ dan $\text{U}_2 -\text{U}_4 = y$, serta $r$ merupakan rasio barisan geometri tersebut, maka $\dfrac{x} {y} = \cdots \cdot$
A. $\dfrac{r^3-r^2-r} {r-1}$                  D. $\dfrac{r^3+r^2-r} {r-1}$
B. $\dfrac{r^3-r^2+r} {r-1}$                  E. $\dfrac{r^3-r^2+r} {r+1}$
C. $\dfrac{r^3+r^2+r} {r+1}$ 

Penyelesaian

Dalam barisan geometri, rumus suku ke-$n$ dinyatakan oleh $\text{U}_n = ar^{n-1}$ di mana $a$ sebagai suku pertama. Dengan demikian, 
$\begin{aligned} \dfrac{x} {y} & = \dfrac{\text{U}_3 -\text{U}_6}{\text{U}_2- \text{U}_4} \\ & = \dfrac{ar^2 -ar^5}{ar -ar^3} \\ & = \dfrac{\cancel{ar} (r- r^4)}{\cancel{ar} (1 -r^2)} \\ & = \dfrac{r-r^4}{1-r^2} \\ & = \dfrac{\cancel{(1- r)} (r+r^2+r^3)} {\cancel{(1-r)}(1+r)} \\ & = \dfrac{r+r^2+r^3}{1+r} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{x} {y} = \dfrac{r^3+r^2+r}{r+1}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 7
Jumlah logaritma dari lima suku pertama deret geometri adalah $5 \log 3$. Bila suku ke-$4$ deret tersebut adalah $12$, maka suku ke-$6$ deret tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $192$                  C. $16$                 E. $2$
B. $96$                    D. $12$      

Penyelesaian

Diketahui: $\text{U}_4 = 12$
Jumlah logaritma dari lima suku pertama deret geometri adalah $5 \log 3$, sehingga ditulis
$\begin{aligned} \log \text{U}_1 + \log \text{U}_2 & + \log \text{U}_3 + \log \text{U}_4 \\ & + \log \text{U}_5 = 5 \log 3 \end{aligned}$ 
Dengan menggunakan sifat logaritma dasar, diperoleh
$\begin{aligned} \cancel{\log} (\text{U}_1 \cdot \text{U}_2 \cdot \text{U}_3 \cdot \text{U}_4 \cdot \text{U}_5) & = \cancel{\log} 3^5 \\ \text{U}_1 \cdot \text{U}_2 \cdot \text{U}_3 \cdot \text{U}_4 \cdot \text{U}_5 & = 3^5 \\ a(ar) (ar^2)(ar^3)(ar^4) & = 3^5 \\ a^5r^{10} & = 3^5 \\ (ar^2)^5 & = 3^5 \\ \text{U}_3 = ar^2 & = 3 \end{aligned}$
Rasio barisan geometri ini adalah
$r = \dfrac{\text{U}_4}{\text{U}_3} = \dfrac{12}{3} = 4$
Dengan demikian, 
$\begin{aligned} \text{U}_5 & = \text{U}_4 \cdot r = 12 \cdot 4 = 48 \\ \text{U}_6 & = \text{U}_5 \cdot r = 48 \cdot 4 = 192 \end{aligned}$
Jadi, suku ke-$6$ barisan geometri itu adalah $\boxed{192}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 8
Suku ke-$n$ deret geometri adalah $\text{U}_n$. Jika $\dfrac{\text{U}_6}{\text{U}_8} = 3$ dan $\text{U}_2 \cdot \text{U}_8 = \dfrac13$, maka nilai $\text{U}_{10} = \cdots \cdot$
A. $\dfrac{1}{27}$                         D. $\dfrac{\sqrt{3}} {9}$
B. $\dfrac19$                           E. $\dfrac13$
C. $\dfrac{\sqrt{3}} {27}$

Penyelesaian

Diketahui $\dfrac{\text{U}_6}{\text{U}_8} = 3$, sehingga kita peroleh
$\begin{aligned} \dfrac{\text{U}_6}{\text{U}_8} & = 3 \\ \dfrac{\cancel{a} r^5}{\cancel{a}r^7} & = 3 \\ r^{-2} & = 3 \\ r^2 & = \dfrac13 \\ (r^2)^4 & = \left(\dfrac13\right)^4 \\ r^8 & = \dfrac{1}{81} \end{aligned}$
Diketahui juga bahwa $\text{U}_2 \cdot \text{U}_8 = \dfrac13$, sehingga kita peroleh
$\begin{aligned} \text{U}_2 \cdot \text{U}_8 & = \dfrac13 \\ (ar) (ar^7) & = \dfrac13 \\ a^2r^8 & = \dfrac13 \\ \text{Substitusi}~r^8 & = \dfrac{1}{81} \\ a^2\left(\dfrac{1}{81}\right) & = \dfrac13 \\ a^2 & = \dfrac13 \cdot 81 \\ a^2 & = 27 \\ a & = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \end{aligned}$
Karena $r^2 = \dfrac13$, maka $r = \sqrt{\dfrac13} = \dfrac{1}{3}\sqrt{3}$.
Dengan demikian, 

$\begin{aligned} U_{10} & = ar^9 = ar^8 \cdot r \\ & = (3\sqrt{3}) \left(\dfrac{1}{81}\right) \left(\dfrac{1}{3}\sqrt{3}\right) = \dfrac{1}{27} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\text{U}_{10} = \dfrac{1}{27}}$ 
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 9
Pada suatu barisan geometri naik dengan rasio positif, diketahui $\text{U}_6 – \text{U}_4 = 4$ dan $\text{U}_4 – \text{U}_3 = \dfrac23$. Nilai dari $\text{U}_5 = \cdots \cdot$ 
A. $\dfrac{16}{3}$        B. $\dfrac83$         C. $\dfrac43$        D. $\dfrac23$         E. $\dfrac13$

Penyelesaian

Diketahui bahwa $\text{U}_6 – \text{U}_4 = 4$, sehingga kita peroleh
$\begin{aligned} \text{U}_6 -\text{U}_4 & = 4 \\ ar^5 – ar^3 & = 4 \\ ar^2(r^3-r) & = 4 \\ ar^2 & = \dfrac{4}{r^3-r} \end{aligned}$
Diketahui bahwa $\text{U}_4 -\text{U}_3 = \dfrac23$, sehingga kita peroleh
$\begin{aligned} \text{U}_4 -\text{U}_3 & = \dfrac23 \\ ar^3 -ar^2 & = \dfrac23 \\ ar^2(r-1) & = \dfrac23 \\ \dfrac{4}{r^3-r} \cdot (r-1) & = \dfrac23 \\ \dfrac{4}{\cancel{(r-1)}(r^2+r)} \cdot \cancel{(r-1)} & = \dfrac23 \\ \dfrac{4}{r^2+r} & = \dfrac23 \\ r^2 + r & = 4 \cdot \dfrac32 \\ r^2+r & = 6 \\ r^2+r-6 & = 0 \\ (r + 3)(r -2) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $r = -3$ atau $r = 2$. Karena rasionya bernilai positif, maka diambil $r = 2$. 
Untuk itu, 
$\begin{aligned} \text{U}_6 -\text{U}_4 & = 4 \\ ar^5 -ar^3 & = 4 \\ a(r^5-r^3) & = 4 \\ a & = \dfrac{4}{r^5-r^3} \\ \text{Substitusi}~r & = 2 \\ a & = \dfrac{4}{2^5 -2^3} = \dfrac{4}{24} = \dfrac{1}{6} \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\boxed{ \text{U}_5 = ar^4 = \dfrac16(2)^4 = \dfrac83}$
(Jawaban B)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Deret Geometri Tak Hingga

Soal Nomor 10 (Soal SNMPTN Tahun 2009)
Misalkan $\text{U}_n$ menyatakan suku ke-$n$ barisan geometri. Jika diketahui $\text{U}_5 = 12$ dan $\log \text{U}_4 + \log \text{U}_5 -\log \text{U}_6 = \log 3$, maka nilai $\text{U}_4$ adalah $\cdots \cdot$
A. $12$                     C. $8$                      E. $4$
B. $10$                     D. $6$           

Penyelesaian

Diketahui bahwa $\log \text{U}_4 + \log \text{U}_5 – \log \text{U}_6 = \log 3$, sehingga kita peroleh
$\begin{aligned} \log \text{U}_4 + \log \text{U}_5 -\log \text{U}_6 & = \log 3 \\ \log ar^3 + \log ar^4 -\log ar^5 & = \log 3 \\ \log \left(\dfrac{ar^3 \cdot ar^4}{ar^5}\right) & = \log 3 \\ \log ar^2 & = \log 3 \\ \cancel{\log} \text{U}_3 & = \cancel{\log} 3 \\ \text{U}_3 & = 3 \end{aligned}$
Diketahui juga $\text{U}_5 = 12$. 
Untuk itu, didapat
$\text{U}_4 = \sqrt{\text{U}_3 \cdot \text{U}_5} = \sqrt{3 \cdot 12} = 6$
Jadi, nilai dari $\boxed{\text{U}_4 = 6}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 11
Jika jumlah $6.036$ suku pertama deret geometri adalah $1.141$ dan jumlah $4.024$ suku pertamanya adalah $780$, maka jumlah $2.012$ suku pertamanya adalah $\cdots \cdot$
A. $400$                D. $1.021$
B. $600$                E. $1.521$
C. $800$

Penyelesaian

Dalam deret geometri, berlaku rumus berikut. 
$\boxed{(\text{S}_{2n} -\text{S}_n)^2 = \text{S}_n(\text{S}_{3n}- \text{S}_{2n})}$
Misalkan $\text{S}_n = A$, maka kita peroleh
$$\begin{aligned} (\text{S}_{4.024} -\text{S}_{2.012})^2 & = \text{S}_{2.012}(\text{S}_{6.036} -\text{S}_{4.024}) \\ (780 – A)^2 & = A(1.141 -780) \\ 608.400 -1.560A + A^2 & = 361A \\ A2 – 1.921A + 608.400 & = 0 \\ (A -400)(A -1.521) & = 0 \end{aligned}$$Diperoleh $A = 400$ atau $A = 1.521$
Perhatikan bahwa $\text{S}_{6.036} = 1.141$ dan $\text{S}_{4.012} = 780$ menunjukkan tren menurun, sehingga pilih $A = \text{S}_{2.012} = 400$
Jadi, jumlah $2.012$ suku pertamanya adalah $\boxed{400}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 12
Jika jumlah $100$ suku pertama deret geometri adalah $\pi$ dan jumlah $200$ suku pertamanya adalah $3\pi$, maka jumlah $700$ suku pertamanya adalah $\cdots \cdot$
A. $125\pi$                 D. $133\pi$
B. $127\pi$                 E. $135\pi$
C. $129\pi$

Penyelesaian

Diketahui:
$\begin{aligned} \text{S}_{100} & = \dfrac{a(r^{100}-1)} {r-1} = \pi \\ \text{S}_{200} & = \dfrac{a(r^{200}-1)} {r-1} = 3\pi \end{aligned}$
Dari sini, berlaku
$\begin{aligned} \dfrac{\cancel{a} (r^{100}-1)} {\bcancel{\pi}} & = \dfrac{\cancel{a}(r^{200}-1)} {3\bcancel{\pi}} \\ 3\cancel{(r^{100}-1)} & = \cancel{(r^{100}-1)} (r^{100}+1) \\ r^{100} & = 2 \end{aligned}$
Sekarang, perhatikan bahwa jumlah $700$ suku pertama deret geometri dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} \text{S}_{700} & = \text{S}_{200} + r^{200}(a+ar^2+\cdots+ar^{199}) \\ & + r^{400}(a+ar^2+\cdots+ar^{199}) \\ & + r^{600}(a+ar^2+\cdots+ar^{99}) \end{aligned}$
Selanjutnya, kita dapatkan
$\begin{aligned} \text{S}_{700} & = \text{S}_{200} + (r^{100})^2(\text{S}_{200}) \\ &+ (r^{100})^4(\text{S}_{200}) + (r^{100})^6(\text{S}_{100}) \end{aligned}$
Substitusikan $\text{S}_{100} = \pi$, $\text{S}_{200} = 3\pi$, dan $r^{100} = 2$. 
$\begin{aligned} \text{S}_{700} & = 3\pi + (2)^2(3\pi) + (2)^4(3\pi) + (2)^6(\pi) \\ & = 3\pi + 12\pi + 48\pi + 64\pi = 127\pi \end{aligned}$
Jadi, jumlah $700$ suku pertamanya adalah $\boxed{127\pi}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 13
Diketahui suku keenam dari suatu deret geometri adalah $162$. Jumlah logaritma suku kedua, ketiga, keempat, dan kelima sama dengan $4 \log 2 + 6 \log 3$. Rasionya adalah $\cdots \cdot$
A. $1$            B. $2$           C. $3$           D. $4$           E. $5$

Penyelesaian

Diketahui suku keenam bernilai $162$, sehingga ditulis
$\text{U}_6 = ar^5 = 162$
Jumlah logaritma suku kedua, ketiga, keempat, dan kelima sama dengan $4 \log 2 + 6 \log 3$, berarti kita peroleh
$$\begin{aligned} \log \text{U}_2 + \log \text{U}_3 + \log \text{U}_4 + \log \text{U}_5 & = 4 \log 2 + 6 \log 3 \\ \log ar + \log ar^2 + \log ar^3 + \log ar^4 & = \log 2^4 + \log 3^6 \\ \log (ar \cdot ar^2 \cdot ar^3 \cdot ar^4) & = \log (2^4 \cdot 3^6) \\ \cancel{\log} (a^4r^{10}) & =\cancel{\log} (2^43^6) \\ a^4r^{10} & = 2^43^6 \\ (a^2r^5)^2 & = (2^23^3)^2 \\ a^2r^5 & = 2^23^2 = 108 \\ r^5 & = \dfrac{108}{a^2} \end{aligned}$$Substitusikan pada persamaan $ar^5 = 162$
$\begin{aligned} a\left(\dfrac{108}{a^2}\right) & = 162 \\ a & = \dfrac{108}{162} \end{aligned}$
Substitusikan pada persamaan $ar^5 = 162$ kembali. 
$\begin{aligned} \dfrac{108}{162}r^5 & = 162 \\ r^5 & = 162 \times \dfrac{162}{108} \\ r^5 & = 243 \\ r & = \sqrt[5]{243} = 3 \end{aligned}$
Jadi, rasio deret geometri tersebut adalah $\boxed{3}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 14
Suku ke-$n$ suatu barisan geometri dirumuskan oleh $\text{U}_n = 4^n$. Jumlah $n$ suku pertama dari barisan geometri tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{1}{3}(4^{n+1} -4)$         D. $\dfrac{1}{3}(4^{n+1} -n)$
B. $\dfrac{1}{3}(4^{n} -4)$              E. $\dfrac{1}{3}(4^{n-1} + 4)$
C. $\dfrac{1}{3}(4^{n-1} -4)$ 

Penyelesaian

Rasio barisan geometri tersebut dapat ditentukan dengan membagi suku ke-$(n+1)$ dengan suku ke-$n$. Sebagai contoh, suku ke-2 dibagi suku ke-1.
$r= \dfrac{\text{U}_{n+1}} {\text{U}_n} = \dfrac{\text{U}_2}{\text{U}_1} = \dfrac{4^2}{4^1} = 4 $
Dari sini, juga didapat $\text{U}_1 = a = 4$
Dengan menggunakan rumus jumlah suku ke-$n$ barisan geometri, diperoleh
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{a(r^n-1)}{r -1} \\ & = \dfrac{4(4^n -1)} {4-1} \\ & = \dfrac{4}{3}(4^n -1) \\ & = \dfrac{1}{3}(4^{n+1} -4) \end{aligned}$
Jadi, jumlah $n$ suku pertama dari barisan geometri tersebut adalah $\boxed{\text{S}_n = \dfrac{1}{3}(4^{n+1} -4)}$ 
(Jawaban A)

[collapse]

Today Quote

Bad people may come to you. They want to see everything wrong with you because there are nothing right in them.

 

CategoriesBarisan dan DeretTags, , , ,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *