Soal dan Pembahasan Super Lengkap – Persamaan Eksponen Sederhana

Persamaan bentuk eksponen sederhana dijumpai dalam tiga bentuk berikut.

Untuk $a \in$ himpunan bilangan real tak nol, selalu berlaku:

  1. Jika $a^{f(x)} = a^p$, maka $f(x) = p$.
  2. Jika $a^{f(x)} = a^{g(x)}$, maka $f(x) = g(x)$. 
  3. Jika $(f(x))^{a} = (g(x))^{a}$, maka ada sejumlah kemungkinan yang menjadi penyelesaian persamaan, yakni
    $$\begin{cases} f(x) = g(x) & (1) \\ f(x) = -g(x)~\text{dengan syarat}~a~\text{genap} & (2) \end{cases}$$

Today Quote

Your cell phone has already replaced your watch, camera, calendar and alarm clock. Don’t let it replace your lovely family.

Contoh 1
Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan:
a. $7^x = 49$
b. $3^{-x} = 81$
c. $8^x = \sqrt2$
d. $3^{2x-1} = \dfrac{1}{27}$

Pembahasan:
Semua persamaan tersebut berbentuk $a^{f(x)} = a^p$ yang memiliki penyelesaian dari persamaan $f(x) = p$.
Jawaban a)
$7^x = 49 \Leftrightarrow 7^x = 7^2 \Rightarrow \therefore x = 2$
Jawaban b)
$\begin{aligned} 3^{-x} & = 81 \\ 3^{-x} & = 3^4 \\ -x & = 4 \\ \therefore x & = -4 \end{aligned}$
Jawaban c)
$\begin{aligned} 8^x & = \sqrt2 \\ (2^3)^x & = 2^{\frac12} \\ 2^{3x} & = 2^{\frac12} \\ 3x & = \dfrac12 \\ \therefore x & = \dfrac16 \end{aligned}$
Jawaban d)
$\begin{aligned} 3^{2x-1} & = \dfrac{1}{27} \\ 3^{2x-1} & = 3^{-3} \\ 2x-1 & = -3 \\ 2x & = -2 \\ \therefore x & = -1 \end{aligned}$

Contoh 2
Tentukan penyelesaian dari setiap persamaan berikut.
a. $9^{3x-4} = \dfrac{1}{81^{2x-5}}$
b. $4^{1+2x} \cdot 3^{4x+1} = 432$

Pembahasan:
Semua persamaan tersebut berbentuk $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ yang memiliki penyelesaian dari persamaan $f(x) = g(x)$.
Jawaban a)
$\begin{aligned} 9^{3x-4} & = \dfrac{1}{81^{2x-5}} \\ 9^{3x-4} & = (81)^{5-2x} \\ 9^{3x-4} & = (9^2)^{5-2x} \\ 9^{3x-4} & = 9^{10-4x} \\ \Rightarrow 3x-4 & = 10-4x \\ 3x+4x & = 10+4 \\ 7x & = 14 \\ x & = 2 \end{aligned}$
Jadi, penyelesaian persamaan ini adalah $\boxed{x=2}$
Jawaban b)
$\begin{aligned} 4^{1+2x} \cdot 3^{4x+1} & = 432 \\ (4^1 \cdot 4^{2x}) \cdot (3^{4x} \cdot 3^1) & = 432 \\ 4^{2x} \cdot (3^2)^{2x} & = \dfrac{432}{4 \cdot 3} \\ 4^{2x} \cdot 9^{2x} & = 36 \\ 36^{2x} & = 36 \\ \Rightarrow 2x & = 1 \\ x & = \dfrac12 \end{aligned}$
Jadi, penyelesaian persamaan ini adalah $\boxed{x=\dfrac12}$

Agar lebih memahami submateri ini, berikut disajikan soal-soal beserta pembahasannya yang super lengkap. Semoga bermanfaat, ya!

Baca : Soal dan Pembahasan – Pangkat, Akar, dan Logaritma

Soal Nomor 1

Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $2^{x+1} = 8$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2$                      C. $0$                     E. $-2$
B. $1$                      D. $-1$

Pembahasan

Persamaan di atas berbentuk $a^{f(x)} = a^p$ yang berarti $f(x) = p$.
$\begin{aligned} 2^{x+1} & = 8 \\ 2^{x+1} & = 2^3 \\ \Rightarrow x+1 & = 3 \\ x & = 2 \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{x=2}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 2

Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $3^{2-x} = 27$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2$                       C. $0$                     E. $-2$
B. $1$                       D. $-1$

Pembahasan

Persamaan di atas berbentuk $a^{f(x)} = a^p$ yang berarti $f(x) = p$.
$\begin{aligned} 3^{2-x} & = 27 \\ 3^{2-x} & = 3^3 \\ \Rightarrow 2-x & = 3 \\ x & = -1 \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{x=-1}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 3

Himpunan penyelesaian dari persamaan $2^x = \dfrac{1}{32}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{-5\}$                 C. $\{0\}$                   E. $\{5\}$
B. $\{-3\}$                 D. $\{3\}$

Pembahasan

Persamaan di atas berbentuk $a^{f(x)} = a^p$ yang berarti $f(x) = p$.
$\begin{aligned} 2^{x} & = \dfrac{1}{32} \\ 2^{x} & = 2^{-5} \\ \Rightarrow x & = -5 \end{aligned}$
Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan tersebut adalah $\boxed{\{-5\}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 4

Penyelesaian dari persamaan $4^{x+1} = 128$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x=1,5$                         D. $x=3,0$         
B. $x=2,0$                         E. $x=3,5$
C. $x=2,5$

Pembahasan

Persamaan di atas berbentuk $a^{f(x)} = a^p$ yang berarti $f(x) = p$.
$\begin{aligned} 4^{x+1} & = 128 \\ (2^2)^{x+1} & = 2^7 \\ 2^{2x+2} & = 2^7 \\ \Rightarrow 2x+2 & = 7 \\ 2x & = 5 \\ x & = \dfrac52 = 2,5 \end{aligned}$
Jadi, penyelesaian persamaan tersebut adalah $\boxed{x=2,5}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 5

Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $5^{4+x} = 0,2^x$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-5$                      C. $-3$                    E. $2$
B. $-4$                      D. $-2$

Pembahasan

Persamaan di atas berbentuk $a^{f(x)} = a^p$ yang berarti $f(x) = p$.
$\begin{aligned} 5^{4+x} & = 0,2^x \\ 5^{4+x} & = \left(\dfrac15\right)^x \\ 5^{4+x} & = 5^{-x} \\ \Rightarrow 4+x & = -x \\ 2x & = -4 \\ x & = -2 \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{x=-2}$
(Jawaban D)

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan – Fungsi Eksponen (Pangkat)

Soal Nomor 6

Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $\left(\dfrac25\right)^{\frac12} = \left(\dfrac52\right)^{x+1}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac32$                  C. $0$                       E. $-\dfrac32$
B. $\dfrac12$                  D. $-\dfrac12$

Pembahasan

Persamaan di atas berbentuk $a^{f(x)} = a^p$ yang berarti $f(x) = p$.
$\begin{aligned} \left(\dfrac25\right)^{\frac12} & = \left(\dfrac52\right)^{x+1} \\ \left(\dfrac25\right)^{\frac12} & = \left(\dfrac25\right)^{-x-1} \\ \Rightarrow \dfrac12 & = -x-1 \\ \dfrac32 & = -x \\ x & = -\dfrac32 \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{x=-\dfrac32}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 7

Persamaan yang ekuivalen dengan persamaan $8^x = 2^{y+1}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $3x-y-1=0$
B. $3x-y+1=0$
C. $3x+y-1=0$
D. $x-3y-1=0$
E. $x+3y-1=0$

Pembahasan

Persamaan di atas berbentuk $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ yang berarti $f(x) = g(x).$
$\begin{aligned} 8^x & = 2^{y+1} \\ 2^{3x} & = 2^{y+1} \\ \Rightarrow 3x & = y+1 \\ 3x-y-1 & = 0 \end{aligned}$
Jadi, persamaan yang ekuivalen dengan persamaan tersebut adalah $\boxed{3x-y-1=0}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 8

Persamaan kuadrat yang ekuivalen dengan persamaan $3^{x^2-5x-3} = 27$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x^2-5x-3=0$
B. $x^2-5x-6=0$
C. $x^2-5x=0$
D. $x^2+5x-6=0$
E. $x^2+5x-3=0$

Pembahasan

Persamaan di atas berbentuk $a^{f(x)} = a^p$ yang berarti $f(x) = p$.
$\begin{aligned} 3^{x^2-5x-3} & = 27 \\ 3^{x^2-5x-3} & = 3^3 \\ \Rightarrow x^2-5x-3 & = 3 \\ x^2-5x-6 & = 0 \end{aligned}$
Jadi, persamaan yang ekuivalen dengan persamaan tersebut adalah $\boxed{x^2-5x-6=0}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 9

Penyelesaian dari persamaan $2^{3x-2} = \left(\dfrac14\right)^{x-9}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x=-4$                          D. $x=2$
B. $x=-2$                          E. $x=4$
C. $x=0$

Pembahasan

Persamaan di atas berbentuk $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ yang berarti $f(x) = g(x).$
$\begin{aligned} 2^{3x-2} & =\left(\dfrac14\right)^{x-9} \\ 2^{3x-2} & = (2^{-2})^{x-9} \\ 2^{3x-2} & = 2^{-2x+18} \\ \Rightarrow 3x-2 & = -2x+18 \\ 3x+2x & = 18+2 \\ 5x & = 20 \\ x & = 4 \end{aligned}$
Jadi, penyelesaian dari persamaan tersebut adalah $\boxed{x=4}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 10

Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $4^{2x-3} + 16^{x-1} = \dfrac{5}{64}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-4$                       C. $0$                     E. $4$
B. $-2$                       D. $2$

Pembahasan

Persamaan di atas dapat disederhanakan sehingga memunculkan bentuk $a^{f(x)} = a^p$.
$\begin{aligned} 4^{2x-3} + 16^{x-1} & = \dfrac{5}{64} \\ 4^{2x-3} + (4^2)^{x-1} & = \dfrac{5}{4^3} \\ 4^{2x-3} + 4^{2x-2} & = 5 \cdot 4^{-3} \\ 4^{2x} \cdot 4^{-3} + 4^{2x} \cdot 4^{-2} & = 5 \cdot 4^{-3} \\ \text{Kali}~4^{3}~\text{pada kedua}~&\text{ruas} \\ 4^{2x} + 4^{2x} \cdot 4 & = 5 \\ (1+4) \cdot 4^{2x} & = 5 \\ 5 \cdot 4^{2x} & = 5 \\ 4^{2x} & = 1 \\ 4^{2x} & = 4^0 \\ \Rightarrow 2x & = 0 \\ x & = 0 \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{x=0}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 11

Nilai $n$ yang memenuhi persamaan $\left\{\left(\dfrac{1}{25}\right)^{2n+6}\right\}^{\frac16} = 5^{-4}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1$                      C. $5$                     E. $9$
B. $3$                      D. $7$

Pembahasan

Persamaan di atas berbentuk $a^{f(n)} = a^p$ yang berarti $f(n) = p.$
$\begin{aligned} \left\{\left(\dfrac{1}{25}\right)^{2n+6}\right\}^{\frac16} & = 5^{-4} \\ \left\{(5^{-2})^{2n+6}\right\}^{\frac16} & = 5^{-4} \\ 5^{(-2)(2n+6)\left(\frac{1}{6}\right)} & = 5^{-4} \\ 5^{-\frac{2n+6}{3}} & = 5^{-4} \\ \Rightarrow -\dfrac{2n+6}{3} & = -4 \\ -(2n+6) & = -12 \\ 2n+6 & = 12 \\ 2n & = 6 \\ n & = 3 \end{aligned}$
Jadi, nilai $n$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{n=3}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 12

Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $25^{x^2-5x+7} = \left(\dfrac{1}{25}\right)^{x-x^2-15}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-6$                    C. $-2$                      E. $6$
B. $-4$                    D. $4$

Pembahasan

Persamaan di atas berbentuk $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ yang berarti $f(x) = g(x).$
$\begin{aligned} 25^{x^2-5x+7} & = \left(\dfrac{1}{25}\right)^{x-x^2-15} \\ 25^{x^2-5x+7} & = (25^{-1})^{x-x^2-15} \\ 25^{x^2-5x+7} & = {25}^{x^2-x+15} \\ \Rightarrow \cancel{x^2}-5x+7 & = \cancel{x^2}-x+15\\ -5x+x & = 15-7 \\ -4x & = 8 \\ x & = -2 \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{x=-2}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 13

Himpunan penyelesaian dari persamaan $10^{2-3x} = 10^{5x-6}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{~\}$                 C. $\{1\}$                  E. $\{1, 2\}$
B. $\{0\}$                D. $\{2\}$

Pembahasan

Persamaan di atas berbentuk $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ yang berarti $f(x) = g(x).$
$\begin{aligned} 10^{2-3x} & = 10^{5x-6} \\ \Rightarrow 2-3x & = 5x-6 \\ -3x-5x & = -6-2 \\ -8x & = -8 \\ x & = 1 \end{aligned}$
Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan tersebut adalah $\boxed{\{1\}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 14

Penyelesaian persamaan $3^{2x+1}=81^{x-2}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0$                     C. $4\dfrac12$                E. $16$
B. $4$                     D. $6\dfrac12$

Pembahasan

Persamaan tersebut berbentuk $a^{f(x)} = a^p$ yang memiliki penyelesaian dari persamaan $f(x) = p$.
$\begin{aligned} 3^{2x+1} & =81^{x-2} \\ 3^{2x+1} & = (3^4)^{x-2} \\ 3^{2x+1} & = 3^{4x-8} \\ \Rightarrow 2x+1 & = 4x-8 \\ 2x-4x & = -8-1 \\ -2x & = -9 \\ x & = \dfrac92 = 4\dfrac12 \end{aligned}$
Jadi, penyelesaian persamaan itu adalah $\boxed{4\dfrac12}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 15

Jika $x$ memenuhi persamaan $\left(\dfrac{1}{9^{2x}}\right)^{\frac13} = \dfrac{(27^x)^2}{81^{x-2}}$, maka nilai $(-5x)$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $-12$                C. $0$                E. $12$
B. $-8$                  D. $8$

Pembahasan

Persamaan tersebut berbentuk $a^{f(x)} = a^p$ yang memiliki penyelesaian dari persamaan $f(x) = p$.
$\begin{aligned} \left(\dfrac{1}{9^{2x}}\right)^{\frac13} & = \dfrac{(27^x)^2}{81^{x-2}} \\ ((3^{-2})^{2x})^{\frac13} & = \dfrac{3^{6x}}{3^{4(x-2)}} \\ 3^{-\frac43x} & = 3^{6x-4x+8} \\ 3^{-\frac43x} & = 3^{2x+8} \\ \Rightarrow -\dfrac43x & = 2x + 8 \\ \text{Kali}~3&~\text{pada kedua ruas} \\ -4x & = 6x+24 \\ -10x & = 24 \\ -5x & = 12 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{(-5x) = 12}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 16

Nilai $x$ yang $\dfrac{\sqrt[3]{4^{5-x}}}{8} = \dfrac{1}{2^{2x+1}}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-4$                  C. $-\dfrac12$                E. $2$
B. $-1$                  D. $\dfrac14$

Pembahasan

Persamaan tersebut berbentuk $a^{f(x)} = a^p$ yang memiliki penyelesaian dari persamaan $f(x) = p$.
$\begin{aligned} \dfrac{\sqrt[3]{4^{5-x}}}{8} & = \dfrac{1}{2^{2x+1}} \\ \dfrac{\left((2^2)^{5-x}\right)^{\frac13}}{2^3} & = (2^{-1})^{2x+1} \\ 2^{\frac23(5-x)-3} & = 2^{-2x-1} \\ \Rightarrow \dfrac23(5-x)-3 & = -2x-1 \\ \dfrac23(5-x) & = -2x+2 \\ 2(5-x) & = 3(-2x+2) \\ 10-2x & = -6x+6 \\ -2x+6x & = 6-10 \\ 4x & = -4 \\ x & = -1 \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{x=-1}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 17

Jumlah semua akar real dari persamaan $3^{2x^2-7x-7} = 9$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1,5$                    C. $3,5$                  E. $5,5$
B. $2,5$                    D. $4,5$

Pembahasan

Persamaan di atas dapat diubah sehingga berbentuk $a^{f(x)} = a^p$ yang ekuivalen dengan $f(x) = p$.
$\begin{aligned} 3^{2x^2-7x-7} & = 9 \\ 3^{2x^2-7x-7} & = 3^2 \\ \Rightarrow 2x^2-7x-7 & = 2 \\ \color{blue}{2}x^2\color{red}{-7}x\color{green}{-9} & = 0 \end{aligned}$
Kita peroleh sebuah persamaan kuadrat. Diskriminan persamaan kuadrat ini dapat dicari menggunakan rumus $D = \color{red}{b}^2-4\color{blue}{a}\color{green}{c}$. Kita dapatkan
$\begin{aligned} D & = (-7)^2-4(2)(-9) \\ & = 49+72 \\ &  = 121 > 0 \end{aligned}$
Karena diskriminannya bernilai lebih dari $0$, maka akar persamaan kuadratnya adalah dua bilangan real (nyata) berbeda.
Tanpa pemfaktoran, kita dapat menentukan jumlah akar real dengan menggunakan rumus
$\begin{aligned} x_1 + x_2 & = -\dfrac{\color{red}{b}}{\color{blue}{a}} \\ \Rightarrow x_1+x_2 & = -\dfrac{-7}{2} = 3,5 \end{aligned}$
Jadi, jumlah semua akar real dari persamaan eksponen di atas adalah $\boxed{3,5}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 18

Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $3^{2x+3}= \sqrt[3]{27^{x-5}}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-8$                      C. $-4$                     E. $8$
B. $-6$                      D. $0$

Penyelesaian

Dengan menggunakan sifat pangkat, diperoleh
$\begin{aligned} 3^{2x+3} & = \sqrt[3]{(3^3)^{x-5}} \\ 3^{2x+3} & = 3^{3 \times (x-5) \times \frac{1}{3}} \\ \cancel{3}^{2x+3} & = \cancel{3}^{x-5} \\ 2x + 3 & = x -5 \\ 2x – x & = -5 -3 \\ x & = -8 \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan itu adalah $\boxed{x=-8}$
(Jawaban A)

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan – Persamaan Eksponen (Lanjut)

Soal Nomor 19

Jika diketahui $3^{x+2} = 6^{x-1}$, maka nilai dari $2^x + 3^{\frac{6}{x-1}} = \cdots \cdot$
A. $58$                   C. $54$                E. $50$
B. $56$                   D. $52$     

Penyelesaian

Ubah bentuk pada masing-masing ruas sehingga mengandung $3^x.$
$\begin{aligned} 3^{x+2} & = 6^{x-1} \\ 9 \cdot 3^x & = \dfrac{1}{6} \cdot (2 \cdot 3)^x \\ 54 \cdot \cancel{3^x} & = 2^x \cdot \cancel{3^x} \\ 2^x & = 54 && (\bigstar) \\ 2^x & = 2 \cdot 3^3 \\ 2^{x-1} & = 3^3 \\ 2^{2(x-1)} & = 3^6 \\ 2^2 & = 3^{\frac{6}{x-1}} && (\bigstar) \end{aligned}$

Dengan demikian, kita peroleh
$\boxed{2^x + 3^{\frac{6}{x-1}} = 54 + 2^2 = 58}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 20

Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah penyelesaian persamaan $\left(\dfrac49\right)^{x^2-3}\left(\dfrac{8}{27}\right)^{1-x} = \dfrac32$, maka $(x_1-x_2)^2 = \cdots \cdot$
A. $\dfrac94$                      C. $\dfrac{41}{4}$                E. $25$
B. $\dfrac{25}{4}$                   D. $\dfrac{25}{2}$

Pembahasan

Persamaan di atas dapat diubah sehingga berbentuk $a^{f(x)} = a^p$ yang ekuivalen dengan $f(x) = p$.
$\begin{aligned} \left(\dfrac49\right)^{x^2-3}\left(\dfrac{8}{27}\right)^{1-x} & = \dfrac32 \\ \left(\dfrac23\right)^{2(x^2-3)}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{3(1-x)} & = \left(\dfrac23\right)^{-1} \\ \left(\dfrac23\right)^{2x^2-6}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{3-3x} & = \left(\dfrac23\right)^{-1} \\ \left(\dfrac23\right)^{(2x^2-6) + (3-3x)} & = \left(\dfrac23\right)^{-1} \\ \left(\dfrac23\right)^{2x^2-3x-3} & = \left(\dfrac23\right)^{-1} \\ \Rightarrow 2x^2-3x-3 & = -1 \\ 2x^2-3x-2 & = 0 \\ (2x+1)(x-2) & = 0\end{aligned}$
Diperoleh dua akar, yaitu
$2x+1 = 0 \Rightarrow x_1 = -\dfrac12$
$x-2=0 \Rightarrow x_2 =2$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} (x_1-x_2)^2 & = \left(-\dfrac12-2\right)^2 \\ & = \left(\dfrac52\right)^2 = \dfrac{25}{4} \end{aligned}$
Catatan: Perhatikan bahwa $(x_1-x_2)^2 = (x_2-x_1)^2$, artinya hasilnya selalu sama meskipun nilai $x_1$ dan $x_2$ ditukar.
(Jawaban B)

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan – Persamaan Logaritma

Soal Nomor 21

Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $5^3=(x+2)^3$ adalah $\cdots \cdot$
A. $5$                   C. $1$                E. $-5$
B. $3$                   D. $-3$

Pembahasan

Persamaan di atas berbentuk $p^{a} = (f(x))^a$ yang berarti $f(x) = p$ (pangkatnya sama, basisnya berbeda).
$\begin{aligned} 5^3 & = (x+2)^3 \\ \Rightarrow 5 & = x+2 \\ x & = 3 \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{x=3}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 22

Jika $(1-x)^5 = (2x-1)^5$, maka nilai $x$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $\dfrac23$                   C. $\dfrac43$                   E. $2$
B. $1$                     D. $\dfrac53$

Pembahasan

Persamaan di atas berbentuk $(f(x))^{p} = (g(x))^{p}$ yang berarti hanya memungkinkan bila $f(x) = g(x)$ karena $p = 5$ ganjil.
$\begin{aligned} (1-x)^5 & = (2x-1)^5 \\ \Rightarrow 1-x & = 2x-1 \\ -x-2x & =-1-1 \\ -3x & = -2 \\ x & = \dfrac23 \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ adalah $\boxed{\dfrac23}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 23

Penyelesaian persamaan $(2x-1)^8 = (-2+x)^8$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x = -1$ saja
B. $x = 0$ saja
C. $x = 1$ saja
D. $x = -1$ atau $x = 1$
E. $\text{tidak ada penyelesaian}$

Pembahasan

Persamaan di atas berbentuk $(f(x))^{p} = (g(x))^{p}$ dengan $p$ genap sehingga ada dua kemungkinan penyelesaian, yaitu $f(x) = g(x)$ atau $f(x) = -g(x)$
Kondisi pertama:
$\begin{aligned} f(x) & = g(x) \\ 2x-1 & = -2+x \\ 2x-x &= -2+1 \\ x & = -1 \end{aligned}$
Kondisi kedua:
$\begin{aligned} f(x) & = -g(x) \\ 2x-1 & = -(-2+x) \\ 2x-1 & = 2-x \\ 2x+x & = 2+1 \\ 3x & = 3 \\ x & = 1 \end{aligned}$
Jadi, penyelesaian persamaan tersebut adalah $\boxed{x=-1~\text{atau}~x=1}$
(Jawaban D)

[collapse]

Baca Juga: Materi, Soal, dan Pembahasan – Pertumbuhan dan Peluruhan

Soal Nomor 24

Diberikan bilangan bulat $a$ dan $b$ yang memenuhi
$\begin{cases} 3^a & = 81^{b+2} \\ 125^b & = 5^{a-3} \end{cases}$
Nilai dari $ab$ adalah $\cdots \cdot$
A. $10$                   C. $60$                  E. $2018$
B. $29$                   D. $64$

Pembahasan

Sederhanakan masing-masing persamaan sehingga nantinya terbentuk sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV).
$\begin{aligned} 3^a & = 81^{b+2} \\ 3^a & = (3^4)^{b+2} \\ 3^a & = 3^{4b+8} \\ a & = 4b + 8 \\ a-4b & = 8 && (\cdots 1) \end{aligned}$


$\begin{aligned} 125^b & = 5^{a-3} \\ (5^3)^b & = 5^{a-3} \\ 5^{3b} & = 5^{a-3} \\ 3b & = a-3 \\ -a+3b & = -3 && (\cdots 2) \end{aligned}$ 
Eliminasi $a$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} a-4b & =8 \\ -a+3b & = -3 \end{aligned} \\ \rule{2.9 cm}{0.6pt} + \\  \! \begin{aligned} -b & = 5 \\ b & = -5 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $b = -5$ pada persamaan $(1)$.

$\begin{aligned} a-4\color{red}{b} & = 8 \\ \implies a-4(-5) & = 8 \\ a+20 & = 8 \\ a & = -12 \end{aligned}$
Dengan demikian, nilai dari $\boxed{ab = (-12)(-5) = 60}$
(Jawaban C)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Fungsi Logaritma

Soal Nomor 25

Diketahui persamaan $$25^x + 25^x + 25^x + 25^x + 25^x = 5^{2.021}.$$ Nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $1.008$                     D. $2.018$
B. $1.010$                     E. $2.020$
C. $1.012$

Pembahasan

Gunakan sifat-sifat pangkat.
$$\begin{aligned} \underbrace{25^x + 25^x + 25^x + 25^x + 25^x}_{\text{ada}~5} & = 5^{2.021} \\ 5 \cdot 25^x & = 5^{2.021} \\ 5^1 \cdot (5^2)^x & = 5^{2.021} \\ 5^{1+2x} & = 5^{2.021} \\ \Rightarrow 1+2x & = 2.021 \\ 2x & = 2.020 \\ x & = 1.010 \end{aligned}$$Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{1.010}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 26

Jika $x$ adalah bilangan real positif yang memenuhi $\dfrac{\sqrt[3]{a^2} \sqrt{x}}{\sqrt{a\sqrt[3]{ab}}} = \sqrt{a\sqrt[3]{b^2}}$, maka $ax = \cdots \cdot$
A. $a^2$                  C. $a^2b$                 E. $a^2b^2$
B. $ab$                  D. $ab^2$

Pembahasan

Semua ekspresi pada persamaan tersebut berbentuk akar (pangkatnya pecahan) dan dapat dihilangkan dengan memangkatkan kedua ruas dengan $6$.
Sebelumnya, kita dapat ubah bentuk akar menjadi pangkat dengan mengingat bahwa $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.
Untuk itu, diperoleh
$\begin{aligned} \left(\dfrac{\sqrt[3]{a^2} \sqrt{x}}{\sqrt{a\sqrt[3]{ab}}}\right)^6 & = \left(\sqrt{a\sqrt[3]{b^2}}\right)^6 \\ \dfrac{a^{\frac23 \cdot 6} x^{\frac12 \cdot 6}}{a^{\frac12 \cdot 6} (ab)^{\frac13 \cdot \frac12 \cdot 6}} & = a^{\frac12 \cdot 6} b^{\frac23 \cdot \frac12 \cdot 6} \\ \dfrac{\cancel{a^4}x^3}{\cancel{a^3}(\cancel{a}b)} & = a^3b^2 \\ \dfrac{x^3}{b} & = a^3b^2 \\ x^3 & = a^3b^3 \\ x & = ab \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{ax = a(ab) = a^2b}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 27

Persamaan $64^x + 2^{x+6} = 2^{x+7}$ berlaku untuk $x = \cdots \cdot$
A. $\dfrac76$                   C. $\dfrac54$                   E. $\dfrac23$
B. $\dfrac65$                   D. $\dfrac43$

Pembahasan

Dengan menggunakan sifat dasar perpangkatan, kita peroleh
$$\begin{aligned} 64^x + 2^{x+6} & = 2^{x+7} \\ (2^6)^x & = 2^{x+7}-2^{x+6} \\ 2^{6x} & = 2^{x+6}(2-1) \\ 2^{6x} & = 2^{x+6} \\ \Rightarrow 6x & = x+6 \\ 5x & = 6 \\ x & = \dfrac65 \end{aligned}$$Jadi, persamaan tersebut berlaku untuk $\boxed{x=\dfrac65}$
(Jawaban B)

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan – Pangkat, Akar, dan Logaritma (Versi HOTS dan Olimpiade

Soal Nomor 28

Jika $a$ dan $b$ bilangan bulat positif yang memenuhi $a^b = 2^{20}-2^{19}$, maka nilai $a+b = \cdots \cdot$
A. $3$                       C. $19$                     E. $23$
B. $7$                       D. $21$

Pembahasan

Dengan menggunakan sifat pangkat dan sifat distributif, kita peroleh
$$\begin{aligned} a^b & = 2^{19} \cdot 2-2^{19} \\ & = 2^{19}(2-1) \\ & = 2^{19} \end{aligned}$$Dari sini, kita peroleh $a = 2$ dan $b = 19$ sehingga $\boxed{a+b=2+19=21}$
(Jawaban D)

[collapse]

0 0 votes
Article Rating

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Subscribe
Notify of
guest
8 Comments
Newest
Oldest Most Voted
Inline Feedbacks
View all comments
User

Sangatt membantuu 🙂 terimakasih 😀

lia

min, boleh minta bentuk pdf-nya?

Hildaa

Sangat membantu

Fira aulia

Penjelasanf nya mudah di pahami

Sindi Lestari

Penjelasan nya bagus lengkap mudah dipahami

Bainur Asifah Rifani

Menurut saya penjelasan materinya sangat lengkap dan mudah untuk dipahami..

Zen

Ka mau tanya, no 1 bagian d
Emang √27 = 1/27 ya?, bukannya (27)^1/2 ya?