Persamaan bentuk eksponen sederhana dijumpai dalam tiga bentuk berikut.
Untuk $a \in$ himpunan bilangan real tak nol, selalu berlaku:
- Jika $a^{f(x)} = a^p$, maka $f(x) = p$.
- Jika $a^{f(x)} = a^{g(x)}$, maka $f(x) = g(x)$.
- Jika $(f(x))^{a} = (g(x))^{a}$, maka ada sejumlah kemungkinan yang menjadi penyelesaian persamaan, yakni
$$\begin{cases} f(x) = g(x) & (1) \\ f(x) = -g(x)~\text{dengan syarat}~a~\text{genap} & (2) \end{cases}$$
Today Quote
Contoh 1
Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan:
a. $7^x = 49$
b. $3^{-x} = 81$
c. $8^x = \sqrt2$
d. $3^{2x-1} = \dfrac{1}{27}$
Pembahasan:
Semua persamaan tersebut berbentuk $a^{f(x)} = a^p$ yang memiliki penyelesaian dari persamaan $f(x) = p$.
Jawaban a)
$7^x = 49 \Leftrightarrow 7^x = 7^2 \Rightarrow \therefore x = 2$
Jawaban b)
$\begin{aligned} 3^{-x} & = 81 \\ 3^{-x} & = 3^4 \\ -x & = 4 \\ \therefore x & = -4 \end{aligned}$
Jawaban c)
$\begin{aligned} 8^x & = \sqrt2 \\ (2^3)^x & = 2^{\frac12} \\ 2^{3x} & = 2^{\frac12} \\ 3x & = \dfrac12 \\ \therefore x & = \dfrac16 \end{aligned}$
Jawaban d)
$\begin{aligned} 3^{2x-1} & = \dfrac{1}{27} \\ 3^{2x-1} & = 3^{-3} \\ 2x-1 & = -3 \\ 2x & = -2 \\ \therefore x & = -1 \end{aligned}$
Contoh 2
Tentukan penyelesaian dari setiap persamaan berikut.
a. $9^{3x-4} = \dfrac{1}{81^{2x-5}}$
b. $4^{1+2x} \cdot 3^{4x+1} = 432$
Pembahasan:
Semua persamaan tersebut berbentuk $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ yang memiliki penyelesaian dari persamaan $f(x) = g(x)$.
Jawaban a)
$\begin{aligned} 9^{3x-4} & = \dfrac{1}{81^{2x-5}} \\ 9^{3x-4} & = (81)^{5-2x} \\ 9^{3x-4} & = (9^2)^{5-2x} \\ 9^{3x-4} & = 9^{10-4x} \\ \Rightarrow 3x-4 & = 10-4x \\ 3x+4x & = 10+4 \\ 7x & = 14 \\ x & = 2 \end{aligned}$
Jadi, penyelesaian persamaan ini adalah $\boxed{x=2}$
Jawaban b)
$\begin{aligned} 4^{1+2x} \cdot 3^{4x+1} & = 432 \\ (4^1 \cdot 4^{2x}) \cdot (3^{4x} \cdot 3^1) & = 432 \\ 4^{2x} \cdot (3^2)^{2x} & = \dfrac{432}{4 \cdot 3} \\ 4^{2x} \cdot 9^{2x} & = 36 \\ 36^{2x} & = 36 \\ \Rightarrow 2x & = 1 \\ x & = \dfrac12 \end{aligned}$
Jadi, penyelesaian persamaan ini adalah $\boxed{x=\dfrac12}$
Agar lebih memahami submateri ini, berikut disajikan soal-soal beserta pembahasannya yang super lengkap. Semoga bermanfaat, ya!
Baca : Soal dan Pembahasan – Pangkat, Akar, dan Logaritma
Soal Nomor 1
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $2^{x+1} = 8$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2$ C. $0$ E. $-2$
B. $1$ D. $-1$
Persamaan di atas berbentuk $a^{f(x)} = a^p$ yang berarti $f(x) = p$.
$\begin{aligned} 2^{x+1} & = 8 \\ 2^{x+1} & = 2^3 \\ \Rightarrow x+1 & = 3 \\ x & = 2 \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{x=2}$
(Jawaban A)
Soal Nomor 2
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $3^{2-x} = 27$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2$ C. $0$ E. $-2$
B. $1$ D. $-1$
Persamaan di atas berbentuk $a^{f(x)} = a^p$ yang berarti $f(x) = p$.
$\begin{aligned} 3^{2-x} & = 27 \\ 3^{2-x} & = 3^3 \\ \Rightarrow 2-x & = 3 \\ x & = -1 \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{x=-1}$
(Jawaban D)
Soal Nomor 3
Himpunan penyelesaian dari persamaan $2^x = \dfrac{1}{32}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{-5\}$ C. $\{0\}$ E. $\{5\}$
B. $\{-3\}$ D. $\{3\}$
Persamaan di atas berbentuk $a^{f(x)} = a^p$ yang berarti $f(x) = p$.
$\begin{aligned} 2^{x} & = \dfrac{1}{32} \\ 2^{x} & = 2^{-5} \\ \Rightarrow x & = -5 \end{aligned}$
Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan tersebut adalah $\boxed{\{-5\}}$
(Jawaban A)
Soal Nomor 4
Penyelesaian dari persamaan $4^{x+1} = 128$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x=1,5$ D. $x=3,0$
B. $x=2,0$ E. $x=3,5$
C. $x=2,5$
Persamaan di atas berbentuk $a^{f(x)} = a^p$ yang berarti $f(x) = p$.
$\begin{aligned} 4^{x+1} & = 128 \\ (2^2)^{x+1} & = 2^7 \\ 2^{2x+2} & = 2^7 \\ \Rightarrow 2x+2 & = 7 \\ 2x & = 5 \\ x & = \dfrac52 = 2,5 \end{aligned}$
Jadi, penyelesaian persamaan tersebut adalah $\boxed{x=2,5}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 5
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $5^{4+x} = 0,2^x$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-5$ C. $-3$ E. $2$
B. $-4$ D. $-2$
Persamaan di atas berbentuk $a^{f(x)} = a^p$ yang berarti $f(x) = p$.
$\begin{aligned} 5^{4+x} & = 0,2^x \\ 5^{4+x} & = \left(\dfrac15\right)^x \\ 5^{4+x} & = 5^{-x} \\ \Rightarrow 4+x & = -x \\ 2x & = -4 \\ x & = -2 \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{x=-2}$
(Jawaban D)
Baca: Soal dan Pembahasan – Fungsi Eksponen (Pangkat)
Soal Nomor 6
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $\left(\dfrac25\right)^{\frac12} = \left(\dfrac52\right)^{x+1}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac32$ C. $0$ E. $-\dfrac32$
B. $\dfrac12$ D. $-\dfrac12$
Persamaan di atas berbentuk $a^{f(x)} = a^p$ yang berarti $f(x) = p$.
$\begin{aligned} \left(\dfrac25\right)^{\frac12} & = \left(\dfrac52\right)^{x+1} \\ \left(\dfrac25\right)^{\frac12} & = \left(\dfrac25\right)^{-x-1} \\ \Rightarrow \dfrac12 & = -x-1 \\ \dfrac32 & = -x \\ x & = -\dfrac32 \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{x=-\dfrac32}$
(Jawaban E)
Soal Nomor 7
Persamaan yang ekuivalen dengan persamaan $8^x = 2^{y+1}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $3x-y-1=0$
B. $3x-y+1=0$
C. $3x+y-1=0$
D. $x-3y-1=0$
E. $x+3y-1=0$
Persamaan di atas berbentuk $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ yang berarti $f(x) = g(x).$
$\begin{aligned} 8^x & = 2^{y+1} \\ 2^{3x} & = 2^{y+1} \\ \Rightarrow 3x & = y+1 \\ 3x-y-1 & = 0 \end{aligned}$
Jadi, persamaan yang ekuivalen dengan persamaan tersebut adalah $\boxed{3x-y-1=0}$
(Jawaban A)
Soal Nomor 8
Persamaan kuadrat yang ekuivalen dengan persamaan $3^{x^2-5x-3} = 27$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x^2-5x-3=0$
B. $x^2-5x-6=0$
C. $x^2-5x=0$
D. $x^2+5x-6=0$
E. $x^2+5x-3=0$
Persamaan di atas berbentuk $a^{f(x)} = a^p$ yang berarti $f(x) = p$.
$\begin{aligned} 3^{x^2-5x-3} & = 27 \\ 3^{x^2-5x-3} & = 3^3 \\ \Rightarrow x^2-5x-3 & = 3 \\ x^2-5x-6 & = 0 \end{aligned}$
Jadi, persamaan yang ekuivalen dengan persamaan tersebut adalah $\boxed{x^2-5x-6=0}$
(Jawaban B)
Soal Nomor 9
Penyelesaian dari persamaan $2^{3x-2} = \left(\dfrac14\right)^{x-9}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x=-4$ D. $x=2$
B. $x=-2$ E. $x=4$
C. $x=0$
Persamaan di atas berbentuk $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ yang berarti $f(x) = g(x).$
$\begin{aligned} 2^{3x-2} & =\left(\dfrac14\right)^{x-9} \\ 2^{3x-2} & = (2^{-2})^{x-9} \\ 2^{3x-2} & = 2^{-2x+18} \\ \Rightarrow 3x-2 & = -2x+18 \\ 3x+2x & = 18+2 \\ 5x & = 20 \\ x & = 4 \end{aligned}$
Jadi, penyelesaian dari persamaan tersebut adalah $\boxed{x=4}$
(Jawaban E)
Soal Nomor 10
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $4^{2x-3} + 16^{x-1} = \dfrac{5}{64}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-4$ C. $0$ E. $4$
B. $-2$ D. $2$
Persamaan di atas dapat disederhanakan sehingga memunculkan bentuk $a^{f(x)} = a^p$.
$\begin{aligned} 4^{2x-3} + 16^{x-1} & = \dfrac{5}{64} \\ 4^{2x-3} + (4^2)^{x-1} & = \dfrac{5}{4^3} \\ 4^{2x-3} + 4^{2x-2} & = 5 \cdot 4^{-3} \\ 4^{2x} \cdot 4^{-3} + 4^{2x} \cdot 4^{-2} & = 5 \cdot 4^{-3} \\ \text{Kali}~4^{3}~\text{pada kedua}~&\text{ruas} \\ 4^{2x} + 4^{2x} \cdot 4 & = 5 \\ (1+4) \cdot 4^{2x} & = 5 \\ 5 \cdot 4^{2x} & = 5 \\ 4^{2x} & = 1 \\ 4^{2x} & = 4^0 \\ \Rightarrow 2x & = 0 \\ x & = 0 \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{x=0}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 11
Nilai $n$ yang memenuhi persamaan $\left\{\left(\dfrac{1}{25}\right)^{2n+6}\right\}^{\frac16} = 5^{-4}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1$ C. $5$ E. $9$
B. $3$ D. $7$
Persamaan di atas berbentuk $a^{f(n)} = a^p$ yang berarti $f(n) = p.$
$\begin{aligned} \left\{\left(\dfrac{1}{25}\right)^{2n+6}\right\}^{\frac16} & = 5^{-4} \\ \left\{(5^{-2})^{2n+6}\right\}^{\frac16} & = 5^{-4} \\ 5^{(-2)(2n+6)\left(\frac{1}{6}\right)} & = 5^{-4} \\ 5^{-\frac{2n+6}{3}} & = 5^{-4} \\ \Rightarrow -\dfrac{2n+6}{3} & = -4 \\ -(2n+6) & = -12 \\ 2n+6 & = 12 \\ 2n & = 6 \\ n & = 3 \end{aligned}$
Jadi, nilai $n$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{n=3}$
(Jawaban B)
Soal Nomor 12
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $25^{x^2-5x+7} = \left(\dfrac{1}{25}\right)^{x-x^2-15}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-6$ C. $-2$ E. $6$
B. $-4$ D. $4$
Persamaan di atas berbentuk $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ yang berarti $f(x) = g(x).$
$\begin{aligned} 25^{x^2-5x+7} & = \left(\dfrac{1}{25}\right)^{x-x^2-15} \\ 25^{x^2-5x+7} & = (25^{-1})^{x-x^2-15} \\ 25^{x^2-5x+7} & = {25}^{x^2-x+15} \\ \Rightarrow \cancel{x^2}-5x+7 & = \cancel{x^2}-x+15\\ -5x+x & = 15-7 \\ -4x & = 8 \\ x & = -2 \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{x=-2}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 13
Himpunan penyelesaian dari persamaan $10^{2-3x} = 10^{5x-6}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{~\}$ C. $\{1\}$ E. $\{1, 2\}$
B. $\{0\}$ D. $\{2\}$
Persamaan di atas berbentuk $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ yang berarti $f(x) = g(x).$
$\begin{aligned} 10^{2-3x} & = 10^{5x-6} \\ \Rightarrow 2-3x & = 5x-6 \\ -3x-5x & = -6-2 \\ -8x & = -8 \\ x & = 1 \end{aligned}$
Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan tersebut adalah $\boxed{\{1\}}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 14
Penyelesaian persamaan $3^{2x+1}=81^{x-2}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0$ C. $4\dfrac12$ E. $16$
B. $4$ D. $6\dfrac12$
Persamaan tersebut berbentuk $a^{f(x)} = a^p$ yang memiliki penyelesaian dari persamaan $f(x) = p$.
$\begin{aligned} 3^{2x+1} & =81^{x-2} \\ 3^{2x+1} & = (3^4)^{x-2} \\ 3^{2x+1} & = 3^{4x-8} \\ \Rightarrow 2x+1 & = 4x-8 \\ 2x-4x & = -8-1 \\ -2x & = -9 \\ x & = \dfrac92 = 4\dfrac12 \end{aligned}$
Jadi, penyelesaian persamaan itu adalah $\boxed{4\dfrac12}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 15
Jika $x$ memenuhi persamaan $\left(\dfrac{1}{9^{2x}}\right)^{\frac13} = \dfrac{(27^x)^2}{81^{x-2}}$, maka nilai $(-5x)$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $-12$ C. $0$ E. $12$
B. $-8$ D. $8$
Persamaan tersebut berbentuk $a^{f(x)} = a^p$ yang memiliki penyelesaian dari persamaan $f(x) = p$.
$\begin{aligned} \left(\dfrac{1}{9^{2x}}\right)^{\frac13} & = \dfrac{(27^x)^2}{81^{x-2}} \\ ((3^{-2})^{2x})^{\frac13} & = \dfrac{3^{6x}}{3^{4(x-2)}} \\ 3^{-\frac43x} & = 3^{6x-4x+8} \\ 3^{-\frac43x} & = 3^{2x+8} \\ \Rightarrow -\dfrac43x & = 2x + 8 \\ \text{Kali}~3&~\text{pada kedua ruas} \\ -4x & = 6x+24 \\ -10x & = 24 \\ -5x & = 12 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{(-5x) = 12}$
(Jawaban E)
Soal Nomor 16
Nilai $x$ yang $\dfrac{\sqrt[3]{4^{5-x}}}{8} = \dfrac{1}{2^{2x+1}}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-4$ C. $-\dfrac12$ E. $2$
B. $-1$ D. $\dfrac14$
Persamaan tersebut berbentuk $a^{f(x)} = a^p$ yang memiliki penyelesaian dari persamaan $f(x) = p$.
$\begin{aligned} \dfrac{\sqrt[3]{4^{5-x}}}{8} & = \dfrac{1}{2^{2x+1}} \\ \dfrac{\left((2^2)^{5-x}\right)^{\frac13}}{2^3} & = (2^{-1})^{2x+1} \\ 2^{\frac23(5-x)-3} & = 2^{-2x-1} \\ \Rightarrow \dfrac23(5-x)-3 & = -2x-1 \\ \dfrac23(5-x) & = -2x+2 \\ 2(5-x) & = 3(-2x+2) \\ 10-2x & = -6x+6 \\ -2x+6x & = 6-10 \\ 4x & = -4 \\ x & = -1 \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{x=-1}$
(Jawaban B)
Soal Nomor 17
Jumlah semua akar real dari persamaan $3^{2x^2-7x-7} = 9$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1,5$ C. $3,5$ E. $5,5$
B. $2,5$ D. $4,5$
Persamaan di atas dapat diubah sehingga berbentuk $a^{f(x)} = a^p$ yang ekuivalen dengan $f(x) = p$.
$\begin{aligned} 3^{2x^2-7x-7} & = 9 \\ 3^{2x^2-7x-7} & = 3^2 \\ \Rightarrow 2x^2-7x-7 & = 2 \\ \color{blue}{2}x^2\color{red}{-7}x\color{green}{-9} & = 0 \end{aligned}$
Kita peroleh sebuah persamaan kuadrat. Diskriminan persamaan kuadrat ini dapat dicari menggunakan rumus $D = \color{red}{b}^2-4\color{blue}{a}\color{green}{c}$. Kita dapatkan
$\begin{aligned} D & = (-7)^2-4(2)(-9) \\ & = 49+72 \\ & = 121 > 0 \end{aligned}$
Karena diskriminannya bernilai lebih dari $0$, maka akar persamaan kuadratnya adalah dua bilangan real (nyata) berbeda.
Tanpa pemfaktoran, kita dapat menentukan jumlah akar real dengan menggunakan rumus
$\begin{aligned} x_1 + x_2 & = -\dfrac{\color{red}{b}}{\color{blue}{a}} \\ \Rightarrow x_1+x_2 & = -\dfrac{-7}{2} = 3,5 \end{aligned}$
Jadi, jumlah semua akar real dari persamaan eksponen di atas adalah $\boxed{3,5}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 18
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $3^{2x+3}= \sqrt[3]{27^{x-5}}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-8$ C. $-4$ E. $8$
B. $-6$ D. $0$
Dengan menggunakan sifat pangkat, diperoleh
$\begin{aligned} 3^{2x+3} & = \sqrt[3]{(3^3)^{x-5}} \\ 3^{2x+3} & = 3^{3 \times (x-5) \times \frac{1}{3}} \\ \cancel{3}^{2x+3} & = \cancel{3}^{x-5} \\ 2x + 3 & = x -5 \\ 2x – x & = -5 -3 \\ x & = -8 \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan itu adalah $\boxed{x=-8}$
(Jawaban A)
Baca: Soal dan Pembahasan – Persamaan Eksponen (Lanjut)
Soal Nomor 19
Jika diketahui $3^{x+2} = 6^{x-1}$, maka nilai dari $2^x + 3^{\frac{6}{x-1}} = \cdots \cdot$
A. $58$ C. $54$ E. $50$
B. $56$ D. $52$
Ubah bentuk pada masing-masing ruas sehingga mengandung $3^x.$
$\begin{aligned} 3^{x+2} & = 6^{x-1} \\ 9 \cdot 3^x & = \dfrac{1}{6} \cdot (2 \cdot 3)^x \\ 54 \cdot \cancel{3^x} & = 2^x \cdot \cancel{3^x} \\ 2^x & = 54 && (\bigstar) \\ 2^x & = 2 \cdot 3^3 \\ 2^{x-1} & = 3^3 \\ 2^{2(x-1)} & = 3^6 \\ 2^2 & = 3^{\frac{6}{x-1}} && (\bigstar) \end{aligned}$
Dengan demikian, kita peroleh
$\boxed{2^x + 3^{\frac{6}{x-1}} = 54 + 2^2 = 58}$
(Jawaban A)
Soal Nomor 20
Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah penyelesaian persamaan $\left(\dfrac49\right)^{x^2-3}\left(\dfrac{8}{27}\right)^{1-x} = \dfrac32$, maka $(x_1-x_2)^2 = \cdots \cdot$
A. $\dfrac94$ C. $\dfrac{41}{4}$ E. $25$
B. $\dfrac{25}{4}$ D. $\dfrac{25}{2}$
Persamaan di atas dapat diubah sehingga berbentuk $a^{f(x)} = a^p$ yang ekuivalen dengan $f(x) = p$.
$\begin{aligned} \left(\dfrac49\right)^{x^2-3}\left(\dfrac{8}{27}\right)^{1-x} & = \dfrac32 \\ \left(\dfrac23\right)^{2(x^2-3)}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{3(1-x)} & = \left(\dfrac23\right)^{-1} \\ \left(\dfrac23\right)^{2x^2-6}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{3-3x} & = \left(\dfrac23\right)^{-1} \\ \left(\dfrac23\right)^{(2x^2-6) + (3-3x)} & = \left(\dfrac23\right)^{-1} \\ \left(\dfrac23\right)^{2x^2-3x-3} & = \left(\dfrac23\right)^{-1} \\ \Rightarrow 2x^2-3x-3 & = -1 \\ 2x^2-3x-2 & = 0 \\ (2x+1)(x-2) & = 0\end{aligned}$
Diperoleh dua akar, yaitu
$2x+1 = 0 \Rightarrow x_1 = -\dfrac12$
$x-2=0 \Rightarrow x_2 =2$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} (x_1-x_2)^2 & = \left(-\dfrac12-2\right)^2 \\ & = \left(\dfrac52\right)^2 = \dfrac{25}{4} \end{aligned}$
Catatan: Perhatikan bahwa $(x_1-x_2)^2 = (x_2-x_1)^2$, artinya hasilnya selalu sama meskipun nilai $x_1$ dan $x_2$ ditukar.
(Jawaban B)
Soal Nomor 21
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $5^3=(x+2)^3$ adalah $\cdots \cdot$
A. $5$ C. $1$ E. $-5$
B. $3$ D. $-3$
Persamaan di atas berbentuk $p^{a} = (f(x))^a$ yang berarti $f(x) = p$ (pangkatnya sama, basisnya berbeda).
$\begin{aligned} 5^3 & = (x+2)^3 \\ \Rightarrow 5 & = x+2 \\ x & = 3 \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{x=3}$
(Jawaban B)
Soal Nomor 22
Jika $(1-x)^5 = (2x-1)^5$, maka nilai $x$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $\dfrac23$ C. $\dfrac43$ E. $2$
B. $1$ D. $\dfrac53$
Persamaan di atas berbentuk $(f(x))^{p} = (g(x))^{p}$ yang berarti hanya memungkinkan bila $f(x) = g(x)$ karena $p = 5$ ganjil.
$\begin{aligned} (1-x)^5 & = (2x-1)^5 \\ \Rightarrow 1-x & = 2x-1 \\ -x-2x & =-1-1 \\ -3x & = -2 \\ x & = \dfrac23 \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ adalah $\boxed{\dfrac23}$
(Jawaban A)
Soal Nomor 23
Penyelesaian persamaan $(2x-1)^8 = (-2+x)^8$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x = -1$ saja
B. $x = 0$ saja
C. $x = 1$ saja
D. $x = -1$ atau $x = 1$
E. $\text{tidak ada penyelesaian}$
Persamaan di atas berbentuk $(f(x))^{p} = (g(x))^{p}$ dengan $p$ genap sehingga ada dua kemungkinan penyelesaian, yaitu $f(x) = g(x)$ atau $f(x) = -g(x)$
Kondisi pertama:
$\begin{aligned} f(x) & = g(x) \\ 2x-1 & = -2+x \\ 2x-x &= -2+1 \\ x & = -1 \end{aligned}$
Kondisi kedua:
$\begin{aligned} f(x) & = -g(x) \\ 2x-1 & = -(-2+x) \\ 2x-1 & = 2-x \\ 2x+x & = 2+1 \\ 3x & = 3 \\ x & = 1 \end{aligned}$
Jadi, penyelesaian persamaan tersebut adalah $\boxed{x=-1~\text{atau}~x=1}$
(Jawaban D)
Baca Juga: Materi, Soal, dan Pembahasan – Pertumbuhan dan Peluruhan
Soal Nomor 24
Diberikan bilangan bulat $a$ dan $b$ yang memenuhi
$\begin{cases} 3^a & = 81^{b+2} \\ 125^b & = 5^{a-3} \end{cases}$
Nilai dari $ab$ adalah $\cdots \cdot$
A. $10$ C. $60$ E. $2018$
B. $29$ D. $64$
Sederhanakan masing-masing persamaan sehingga nantinya terbentuk sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV).
$\begin{aligned} 3^a & = 81^{b+2} \\ 3^a & = (3^4)^{b+2} \\ 3^a & = 3^{4b+8} \\ a & = 4b + 8 \\ a-4b & = 8 && (\cdots 1) \end{aligned}$
$\begin{aligned} 125^b & = 5^{a-3} \\ (5^3)^b & = 5^{a-3} \\ 5^{3b} & = 5^{a-3} \\ 3b & = a-3 \\ -a+3b & = -3 && (\cdots 2) \end{aligned}$
Eliminasi $a$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} a-4b & =8 \\ -a+3b & = -3 \end{aligned} \\ \rule{2.9 cm}{0.6pt} + \\ \! \begin{aligned} -b & = 5 \\ b & = -5 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $b = -5$ pada persamaan $(1)$.
$\begin{aligned} a-4\color{red}{b} & = 8 \\ \implies a-4(-5) & = 8 \\ a+20 & = 8 \\ a & = -12 \end{aligned}$
Dengan demikian, nilai dari $\boxed{ab = (-12)(-5) = 60}$
(Jawaban C)
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Fungsi Logaritma
Soal Nomor 25
Diketahui persamaan $$25^x + 25^x + 25^x + 25^x + 25^x = 5^{2.021}.$$ Nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $1.008$ D. $2.018$
B. $1.010$ E. $2.020$
C. $1.012$
Gunakan sifat-sifat pangkat.
$$\begin{aligned} \underbrace{25^x + 25^x + 25^x + 25^x + 25^x}_{\text{ada}~5} & = 5^{2.021} \\ 5 \cdot 25^x & = 5^{2.021} \\ 5^1 \cdot (5^2)^x & = 5^{2.021} \\ 5^{1+2x} & = 5^{2.021} \\ \Rightarrow 1+2x & = 2.021 \\ 2x & = 2.020 \\ x & = 1.010 \end{aligned}$$Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{1.010}$
(Jawaban B)
Soal Nomor 26
Jika $x$ adalah bilangan real positif yang memenuhi $\dfrac{\sqrt[3]{a^2} \sqrt{x}}{\sqrt{a\sqrt[3]{ab}}} = \sqrt{a\sqrt[3]{b^2}}$, maka $ax = \cdots \cdot$
A. $a^2$ C. $a^2b$ E. $a^2b^2$
B. $ab$ D. $ab^2$
Semua ekspresi pada persamaan tersebut berbentuk akar (pangkatnya pecahan) dan dapat dihilangkan dengan memangkatkan kedua ruas dengan $6$.
Sebelumnya, kita dapat ubah bentuk akar menjadi pangkat dengan mengingat bahwa $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.
Untuk itu, diperoleh
$\begin{aligned} \left(\dfrac{\sqrt[3]{a^2} \sqrt{x}}{\sqrt{a\sqrt[3]{ab}}}\right)^6 & = \left(\sqrt{a\sqrt[3]{b^2}}\right)^6 \\ \dfrac{a^{\frac23 \cdot 6} x^{\frac12 \cdot 6}}{a^{\frac12 \cdot 6} (ab)^{\frac13 \cdot \frac12 \cdot 6}} & = a^{\frac12 \cdot 6} b^{\frac23 \cdot \frac12 \cdot 6} \\ \dfrac{\cancel{a^4}x^3}{\cancel{a^3}(\cancel{a}b)} & = a^3b^2 \\ \dfrac{x^3}{b} & = a^3b^2 \\ x^3 & = a^3b^3 \\ x & = ab \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{ax = a(ab) = a^2b}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 27
Persamaan $64^x + 2^{x+6} = 2^{x+7}$ berlaku untuk $x = \cdots \cdot$
A. $\dfrac76$ C. $\dfrac54$ E. $\dfrac23$
B. $\dfrac65$ D. $\dfrac43$
Dengan menggunakan sifat dasar perpangkatan, kita peroleh
$$\begin{aligned} 64^x + 2^{x+6} & = 2^{x+7} \\ (2^6)^x & = 2^{x+7}-2^{x+6} \\ 2^{6x} & = 2^{x+6}(2-1) \\ 2^{6x} & = 2^{x+6} \\ \Rightarrow 6x & = x+6 \\ 5x & = 6 \\ x & = \dfrac65 \end{aligned}$$Jadi, persamaan tersebut berlaku untuk $\boxed{x=\dfrac65}$
(Jawaban B)
Baca: Soal dan Pembahasan – Pangkat, Akar, dan Logaritma (Versi HOTS dan Olimpiade
Soal Nomor 28
Jika $a$ dan $b$ bilangan bulat positif yang memenuhi $a^b = 2^{20}-2^{19}$, maka nilai $a+b = \cdots \cdot$
A. $3$ C. $19$ E. $23$
B. $7$ D. $21$
Dengan menggunakan sifat pangkat dan sifat distributif, kita peroleh
$$\begin{aligned} a^b & = 2^{19} \cdot 2-2^{19} \\ & = 2^{19}(2-1) \\ & = 2^{19} \end{aligned}$$Dari sini, kita peroleh $a = 2$ dan $b = 19$ sehingga $\boxed{a+b=2+19=21}$
(Jawaban D)
Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!
Sangatt membantuu 🙂 terimakasih 😀
min, boleh minta bentuk pdf-nya?
Sangat membantu
Penjelasanf nya mudah di pahami
Penjelasan nya bagus lengkap mudah dipahami
Menurut saya penjelasan materinya sangat lengkap dan mudah untuk dipahami..
Ka mau tanya, no 1 bagian d
Emang √27 = 1/27 ya?, bukannya (27)^1/2 ya?
Oh ya, ada kesalahan pengetikan. Seharusnya, soalnya itu 1/27. Sudah diperbaiki ya