Soal dan Pembahasan – Fungsi Logaritma

Berikut disajikan sejumlah soal dan pembahasan terkait fungsi logaritma yang dipelajari saat kelas X pada mata pelajaran Matematika Peminatan. Gambar grafik yang disajikan di dalam postingan ini merupakan produk dari penggunaan aplikasi Geogebra.

Baca : Soal dan Pembahasan – Fungsi Eksponen (Pangkat)

Quote by Abraham Lincoln

You cannot escape the responsibility of tomorrow by evading it today.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1
Berikut ini yang termasuk fungsi logaritma adalah $\cdots \cdot$
A. $f(x) = \! ^2 \log (x+3)$
B. $f(x) = |x + 7|$
C. $f(x) = 3^{x+2}$
D. $f(x) = x^3 + x^2 + \log 8$
E. $f(x) = \log 5$

Pembahasan

Fungsi logaritma didefinisikan sebagai fungsi satu variabel dengan rumus umum $k \cdot \! ^a \log x$ untuk $a > 0$ dan $x > 0$. Dapat diperhatikan bahwa variabel fungsi harus terdapat pada numerus logaritma.
Berdasarkan opsi jawaban yang diberikan, kita dapatkan bahwa
Opsi A: fungsi logaritma
Opsi B: fungsi mutlak
Opsi C: fungsi eksponen
Opsi D: fungsi kubik
Opsi E: fungsi konstan
Jadi, yang termasuk fungsi logaritma adalah $\boxed{f(x) = \! ^2 \log (x+3)}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 2
Diketahui grafik fungsi $g(x) = 3 \cdot \, ^2 \log (x+4)$. Grafik fungsi logaritma tersebut melalui titik $\cdots \cdot$
A. $(0, 6)$                       D. $(4, 12)$
B. $(-3, 1)$                      E. $(6, 12)$
C. $(-2, 4)$

Pembahasan

Berdasarkan opsi yang diberikan, semua titik memiliki absis yang berbeda-beda sehingga harus diperiksa satu per satu.
Opsi A: $(0, 6)$
Substitusi $x=0$ pada $g(x) = 3 \cdot \, ^2 \log (x+4)$, diperoleh
$$\begin{aligned} g(0) & = 3 \cdot \, ^2 \log (0+4) \\ & = 3 \cdot 2 = 6 \end{aligned}$$Grafik fungsi logaritma tersebut melalui titik $(0, 6)$.
Opsi B: $(-3, 1)$
Substitusi $x=-3$ pada $g(x) = 3 \cdot \, ^2 \log (x+4)$, diperoleh
$$\begin{aligned} g(-3) & = 3 \cdot \, ^2 \log (-3+4) \\ & = 3 \cdot 0 = 0 \end{aligned}$$Grafik fungsi logaritma tersebut seharusnya melalui titik $(-3, 0)$.
Opsi C: $(-2, 4)$
Substitusi $x=-2$ pada $g(x) = 3 \cdot \, ^2 \log (x+4)$, diperoleh
$$\begin{aligned} g(-2) & = 3 \cdot \, ^2 \log (-2+4) \\ & = 3 \cdot 1 = 3 \end{aligned}$$Grafik fungsi logaritma tersebut seharusnya melalui titik $(-2, 3)$.
Opsi D: $(4, 12)$
Substitusi $x=4$ pada $g(x) = 3 \cdot \, ^2 \log (x+4)$, diperoleh
$$\begin{aligned} g(4) & = 3 \cdot \, ^2 \log (4+4) \\ & = 3 \cdot 3 = 9 \end{aligned}$$Grafik fungsi logaritma tersebut seharusnya melalui titik $(4, 9)$.
Opsi E: $(6, 12)$
Substitusi $x=6$ pada $g(x) = 3 \cdot \, ^2 \log (x+4)$, diperoleh
$$\begin{aligned} g(6) & = 3 \cdot \, ^2 \log (6+4) \\ & = 3 \cdot \, ^2 \log 10 \end{aligned}$$Grafik fungsi logaritma tersebut melalui titik $(6, 3 \cdot \, ^2 \log 10)$.
(Jawaban A)

[collapse]

Baca : Soal dan Pembahasan – Persamaan Eksponen

Soal Nomor 3
Grafik fungsi $f(x) = k \cdot \, ^3 \log x$ melalui titik $(9, 10)$. Nilai $2k$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0$                    C. $10$                   E. $30$
B. $5$                    D. $20$

Pembahasan

Diketahui $f(x) = k \cdot \, ^3 \log x$.
Karena grafik fungsi melalui titik $(9, 10)$, yang artinya $x = 9$ dan $y = f(9) = 10$, kita peroleh
$$\begin{aligned} 10 & = k \cdot \, ^3 \log 9 \\ 10 & = k \cdot 2 \\ k & = 5 \end{aligned}$$Dengan demikian, nilai $\boxed{2k = 2(5) = 10}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 4
Grafik fungsi $f(x) = \dfrac13 \cdot \, ^5 \log (x+25)$ memotong sumbu-$Y$ di titik $\cdots \cdot$
A. $\left(\dfrac23, 0\right)$                    D. $\left(0, 1\right)$
B. $\left(0, \dfrac13\right)$                    E. $\left(0, \dfrac43\right)$
C. $\left(0, \dfrac23\right)$

Pembahasan

Diketahui $f(x) = \dfrac13 \cdot \, ^5 \log (x+25)$.
Saat grafik fungsi memotong sumbu-$Y$, absis titik yang dilalui fungsi bernilai $0$, ditulis $x = 0$.
Untuk itu, kita peroleh
$$\begin{aligned} f(0) & = \dfrac13 \cdot \, ^5 \log (0+25) \\ & = \dfrac13 \cdot \, ^5 \log 25 \\ & = \dfrac13 \cdot 2 = \dfrac23 \end{aligned}$$Jadi, grafik fungsi $f$ memotong sumbu-$Y$ di titik $\left(0, \dfrac23\right)$.
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 5
Jika $f(x) = \log x^2$, maka $f(mn)$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $\log (m+n)^2$
B. $2 \log m + \log n$
C. $2(\log m + \log n)$
D. $\log m + \log n$
E. $\log 2mn$

Pembahasan

Diketahui $f(x) = \log x^2 = 2 \log x$, sehingga
$$\begin{aligned} f(mn) & = 2 \log (mn) \\ & = 2(\log m + \log n) \end{aligned}$$Jadi, $f(mn)$ sama dengan $\boxed{2(\log m + \log n)}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 6
Jika $f(x) = \log x$, maka nilai dari $\dfrac{f(x^a)}{f(x^b)}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{b}{a}$                       D. $a + b$
B. $\dfrac{a}{b}$                       E. $ab \log x$
C. $ab$

Pembahasan

Diketahui $f(x) = \log x$.
Dengan demikian, didapat
$$\begin{aligned} \dfrac{f(x^a)}{f(x^b)} & = \dfrac{\log x^a}{\log x^b} \\ & = \dfrac{a \cancel{\log x}}{b \cancel{\log x}} \\ & = \dfrac{a}{b} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{f(x^a)}{f(x^b)} = \dfrac{a}{b}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 7
Jika $f(x) = 3 \cdot \! ^2 \log (3x)$, maka nilai $x$ yang membuat fungsi $f$ bernilai $0$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x = \dfrac19$                    D. $x = 3$
B. $x = \dfrac13$                    E. $x = 9$
C. $x = 1$

Pembahasan

Diketahui $f(x) = 3 \cdot \! ^2 \log (3x)$.
Ubah $f(x)$ menjadi $0$, sehingga kita peroleh
$$\begin{aligned} 3 \cdot \! ^2 \log (3x) & = 0 \\ ^2 \log (3x) & = 0 \\ 3x & = 2^0 \\ 3x & = 1 \\ x & = \dfrac13 \end{aligned}$$Jadi, nilai $x$ yang membuat fungsi $f$ bernilai $0$ adalah $\boxed{x = \dfrac13}$
(Jawaban B)

[collapse]

Baca : Soal dan Pembahasan – Persamaan Pangkat (Eksponen) Sederhana

Soal Nomor 8
Manakah dari fungsi logaritma berikut yang tergolong ke dalam fungsi turun?
A. $f(x) = \! ^3 \log x$
B. $f(x) = \! ^5 \log (x+5)$
C. $f(x) = \! ^8 \log (x^2+4x+4)$
D. $f(x) = \! ^1 \log x$
E. $f(x) = \! ^{0,5} \log x + 4$

Pembahasan

Suatu fungsi logaritma yang berbentuk $f(x) = \! ^a \log x$ akan monoton naik (disebut fungsi naik) saat $a > 1$ dan monoton turun (disebut fungsi turun) saat $0 < a < 1$.
Dari kelima fungsi yang diberikan pada opsi, hanya opsi E yang menunjukkan fungsi logaritma dengan $0 < a < 1$, yaitu $a = 0,5$.
Jadi, $f(x) = \! ^{0,5} \log x + 4$ termasuk fungsi turun yang grafiknya sebagai berikut.(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 9
Daerah asal dari fungsi logaritma $f(x) = \dfrac14 \cdot \! ^3 \log (x^2-4)$ adalah $D_f = \cdots \cdot$
A. $\{x \mid x < -2~\text{atau}~x > 2, x \in \mathbb{R}\}$
B. $\{x \mid -2 < x < 2, x \in \mathbb{R}\}$
C. $\{x \mid x \le -2~\text{atau}~x \ge 2, x \in \mathbb{R}\}$
D. $\{x \mid x > 0, x \in \mathbb{R}\}$
E. $\{x \mid x \in \mathbb{R}\}$

Pembahasan

Daerah asal fungsi logaritma ditentukan dari numerus logaritmanya, yaitu dibatasi oleh syarat bahwa nilainya harus positif.
Diketahui $f(x) = \dfrac14 \cdot \! ^3 \log (x^2-4).$
Numerus logaritma dari fungsi tersebut adalah $x^2-4$, sehingga kita tuliskan
$$\begin{aligned} x^2-4 & > 0 \\ (x-2)(x+2) & > 0 \\ x < -2~\text{atau}&~x > 2 \end{aligned}$$Jadi, domain fungsi tersebut adalah $$\boxed{D_f = \{x \mid x < -2~\text{atau}~x > 2, x \in \mathbb{R}\}}$$(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 10
Jika $f(x) = x \log x$ dan $g(x) = 10^x$, maka $g(f(2))= \cdots \cdot$
A. $24$                    C. $4$                     E. $0,6$
B. $17$                    D. $2$

Pembahasan

Hitung $g(f(2))$ dengan menghitung $f(2)$ terlebih dahulu.
Diketahui $f(x) = x \log x$, sehingga $f(2) = 2 \log 2 = \log 2^2$.
Diketahui juga $g(x) = 10^x$, sehingga
$$\begin{aligned} g(f(2)) & = g(\log 2^2) \\ & = 10^{\log 2^2} \\ & = 10^{^{10} \log 4} \\ & = 4 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{g(f(2)) = 4}$
(Jawaban C)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Sistem Koordinat Kartesius

Soal Nomor 11
Jika $f(x) = 2^{3x-5}$, maka nilai dari $f^{-1}(15) = \cdots \cdot$
A. $\dfrac{^2 \log 15 + 3}{3}$
B. $\dfrac{^2 \log 3 + 15}{3}$
C. $\dfrac{^2 \log 15 + 3}{15}$
D. $\dfrac{^2 \log 3 + 15}{15}$
E. $\dfrac{^2 \log 3 + 3}{15}$

Pembahasan

Mencari nilai $f^{-1}(15)$ sama artinya dengan mencari nilai $x$ yang memenuhi persamaan $2^{3x-3} = 15$.
Dengan mengubah bentuk eksponen di atas menjadi logaritma, kita peroleh
$$\begin{aligned} ^2 \log 15 & = 3x-3 \\ ^2 \log 15 + 3 & = 3x \\ \dfrac{^2 \log 15 + 3}{3} & = x \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{f^{-1}(15) = \dfrac{^2 \log 15 + 3}{3}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 12
Jika $f(x) = 8^{x+1}$, $g(x) = \log x^2$, dan $h(x) = x^2+8x+16$, maka rumus fungsi $f^{-1}[g(h(x))]$ adalah $\cdots \cdot$
A. $^4 \log \left(\log \sqrt{x+4}\right)$
B. $^8 \log \left(\log \sqrt{x+4}\right)$
C. $^4 \log \left(\log \sqrt{x+8}\right)$
D. $^8 \log \left(\log \sqrt{x+8}\right)$
E. $^8 \log \left(\log \sqrt{x+16}\right)$

Pembahasan

Hitung dahulu $g(\color{red}{h(x)})$ dengan $h(x) = x^2+8x+16$ dan $g(x) = \log x^2$. Kita peroleh
$$\begin{aligned} g(\color{red}{h(x)}) & = g(\color{red}{x^2+8x+16}) \\ & = \log (x^2+8x+16)^2 \\ & = 2 \log (x^2+8x+16) \\ & = 2 \log (x+4)^2 \\ & = 4 \log (x+4) \end{aligned}$$Kita ditanya $f^{-1}[g(h(x))] = f^{-1}(4 \log (x+4)),$ sehingga kita perlu menentukan fungsi invers $f^{-1}$ dari $f(x) = 8^{x+1}$.
Tuliskan sebagai $y = 8^{x+1}$ terlebih dahulu. Selanjutnya, didapat
$$\begin{aligned} \log y & = \log 8^{x+1} \\ \log y & = (x+1) \log 8 \\ \dfrac{\log y}{\log 8} & = x+1 \\ ^8 \log y -1 & = x \end{aligned}$$Tuliskan $x$ sebagai $f^{-1}(y)$, kemudian ganti variabel $y$ dengan variabel $x$.
$$\begin{aligned} f^{-1}(y) & = \! ^8 \log y-1 \\ f^{-1}(x) & = \! ^8 \log x-1 \end{aligned}$$Sekarang, kita akan mencari $f^{-1}(4 \log (x+4))$.
$$\begin{aligned} f^{-1}(4 \log (x+4)) & = \! ^8 \log \left[4 \log (x+4)\right]-1 \\ & = \! ^8 \log \left[4 \log (x+4)\right]-^8 \log 8 \\ & = \! ^8 \log \left(\dfrac{4 \log (x+4)}{8}\right) \\ & = \! ^8 \log \left(\dfrac{\log (x+4)}{2}\right) \\ & = \! ^8 \log \left(\log (x+4)^{\frac12}\right) \\ & = \! ^8 \log \left(\log \sqrt{x+4} \right) \end{aligned}$$Jadi, rumus fungsi $f^{-1}[g(h(x))]$ adalah $$\boxed{f^{-1}[g(h(x))] = \! ^8 \log \left(\log \sqrt{x+4} \right)}$$(Jawaban B)

[collapse]

Baca : Soal dan Pembahasan – Pangkat, Akar, dan Logaritma

Soal Nomor 13
Nilai minimum dari $f(x) = \! ^2 \log (x^2-2x+9)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0$                      C. $2$                      E. $4$
B. $1$                      D. $3$

Pembahasan

Nilai absis fungsi logaritma tersebut ($a = 2$) lebih besar dari $1$, sehingga $f(x)$ minimum tercapai ketika nilai numerus $g(x) = x^2-2x+9$ juga minimum.
Karena $g(x)$ adalah fungsi kuadrat, maka nilai minimum $g(x)$ diperoleh ketika $x = -\dfrac{b}{2a}$ dengan $a, b$ masing-masing koefisien $x^2$ dan koefisien $x$. Kita tuliskan
$$\begin{aligned} x & = -\dfrac{b}{2a} \\ & = -\dfrac{(-2)}{2(1)} \\ & = 1 \end{aligned}$$Ini berarti $x = 1$ membuat $g(x)$ minimum, begitu juga dengan nilai fungsi logaritma $f(x)$.
Substitusi $x = 1$ pada $f(x)$, kita peroleh
$$\begin{aligned} f(1) & = \! ^2 \log (x^2-2x+9) \\ & = \! ^2 \log ((1)^2-2(1) + 9) \\ & = \! ^2 \log 8 \\ & = 3 \end{aligned}$$Jadi, nilai minimum $f(x) = \! ^2 \log (x^2-2x+9)$ adalah $\boxed{3}$, seperti yang tampak pada grafik berikut.



(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 14
Nilai maksimum dari $f(x) = \! ^{1/3} \log ((x+3)^2+1)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-2$                      C. $0$                   E. $2$
B. $-1$                      D. $1$

Pembahasan

Nilai absis fungsi logaritma tersebut ($a = \frac13$) lebih kecil dari $1$, sehingga $f(x)$ maksimum tercapai ketika nilai numerus $g(x) = (x+3)^2+1$ minimum.
Dapat dilihat bahwa bentuk $(x+3)^2$ minimum bernilai $0$, sehingga $g(x)$ minimum bernilai $0+1 = 1$, tercapai saat $x = -3$.
Ini berarti $x = -3$ membuat nilai fungsi logaritma $f(x)$ maksimum.
Substitusi $x = -3$ pada $f(x)$, kita peroleh
$$\begin{aligned} f(-3) & = \! ^{1/3} \log ((-3+3)^2+1) \\ & = \! ^{1/3} \log 1 \\ & = 0 \end{aligned}$$Jadi, nilai maksimum dari $f(x) = \! ^{1/3} \log ((x+3)^2+1)$ adalah $\boxed{0}$, seperti yang tampak pada grafik berikut.(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 15
Persamaan grafik fungsi seperti tampak pada gambar adalah $\cdots \cdot$
A. $y = \! ^3 \log x$                        D. $y = (-3)^x$
B. $y = \! ^{1/3} \log x$                    E. $y = 3^{-x}$
C. $y = \left(-\dfrac13\right)^x$

Pembahasan

Grafik di atas merupakan grafik umum fungsi logaritma dengan persamaan $y = \! ^a \log x$. Karena grafiknya monoton naik, maka nilai basis $a > 1$, sehingga satu-satunya opsi yang menunjukkan persamaan grafik adalah opsi A, yaitu $y = \! ^3 \log x$. Persamaan ini juga sesuai dengan fakta bahwa grafik melalui titik $(1, 0)$ dan $(3, 1)$.
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 16
Perhatikan gambar berikut.
Persamaan grafik pada gambar adalah $\cdots \cdot$
A. $y = \! ^3 \log x-2$
B. $y = \! ^3 \log (2x+1)-2$
C. $y = \! ^2 \log (x+4)-3$
D. $y = \! ^2 \log x-2$
E. $y = \! ^2 \log (x-2)$

Pembahasan

Perhatikan grafik dari fungsi logaritma umum dengan rumus $f(x) = \! ^2 \log x$ berikut.
Jika kita geser grafik tersebut $2$ satuan ke bawah, maka kita akan peroleh grafik tepat seperti gambar pada soal, sehingga persamaan grafik yang sesuai adalah $\boxed{y = \! ^2 \log x-2}$
(Jawaban D)

[collapse]

Baca : Soal dan Pembahasan – Pangkat, Akar, dan Logaritma (Versi HOTS dan Olimpiade

Bagian Uraian

Soal Nomor 1
Gambarlah grafik $f(x) = \! ^4 \log x$, kemudian dengan melakukan pergeseran, gambarlah grafik $h(x) = \! ^4 \log (x-1) + 2$.

Pembahasan

Plot beberapa titik latis (titik dengan koordinat bulat) dengan memilih nilai $x$ yang merupakan bentuk eksponen dari $4$.
$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 1 & 4 \\ \hline y & 0 & 1 \\ \hline \end{array}$$Asimtot tegak fungsi logaritma tersebut adalah $x = 0$, sehingga grafiknya akan tampak seperti gambar berikut.

Grafik $f(x) = \! ^4 \log x$ (warna merah) digeser ke kanan sebanyak $1$ satuan, sehingga asimtot tegaknya berubah menjadi $x = 1$ dan grafiknya tampak seperti kurva warna biru pada gambar di bawah. Dari sini, geser grafik ke atas sejauh $2$ satuan, sehingga diperoleh grafik $f(x) = \! ^4 \log (x-1) + 2$ yang ditandai dengan warna merah muda.

[collapse]

Baca : Soal dan Pembahasan – Persamaan Logaritma

2 Replies to “Soal dan Pembahasan – Fungsi Logaritma”

Tinggalkan Balasan

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *