Soal dan Pembahasan – Pangkat, Akar, dan Logaritma Versi HOTS dan Olimpiade

      Berikut ini merupakan soal mengenai pangkat, akar, dan logaritma bagian 2 (soal dengan tingkat HOTS dan Olimpiade) yang dikutip dari berbagai sumber referensi. Soal-soal berikut masing-masing telah disediakan pembahasannya.
Pelajari juga:
Soal dan Pembahasan – Pangkat, Akar, dan Logaritma (Bagian 1)

Today Quote

Aku berjuang hanya untuk dua hal: ORANG TUA yang harus bahagia di masa tua dan CINTA yang akan mendampingku selamanya.

Soal Nomor 1
Tentukan hasil dari
$\dfrac{3^{2014} – 3^{2011} + 130}{3^{2011} + 5}$

Penyelesaian

Dengan menggunakan pemfaktoran, kita peroleh
$\begin{aligned} \dfrac{3^{2014} – 3^{2011} + 130}{3^{2011} + 5} & = \dfrac{3^{2011}(3^3 – 1) + 130}{3^{2011} + 5} \\ & = \dfrac{26 \cdot 3^{2011} + 130}{3^{2011} + 5} \\ & = \dfrac{26(\cancel{3^{2011} + 5})}{\cancel{3^{2011} + 5}} \\ & = 26 \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\boxed{\dfrac{3^{2014} – 3^{2011} + 130}{3^{2011} + 5} = 26}$

[collapse]

Soal Nomor 2
Diketahui persamaan:
$\begin{aligned} ^2 \log [^3 \log (^5 \log a)] & = ^3 \log [^5 \log (^2 \log b)] \\ & = ^5 \log [^2 \log (^3 \log c)] = 0 \end{aligned} $
Nilai $a + b + c = \cdots$

Penyelesaian

Ingatlah sifat logaritma berikut. 
$\boxed{\begin{aligned} ^a \log a & = 1 \\ ^a \log 1 & = 0 \\ ^a \log a^n & = n \end{aligned}}$
Tinjau persamaan $^2 \log [^3 \log (^5 \log a)] = 0$. Dengan menggunakan sifat di atas, diperoleh
$\begin{aligned} ^3 \log (^5 \log a) & = 1 \\ ^5 \log a & = 3 \\ a & = 5^3 = 125 \end{aligned}$
Tinjau persamaan $^3 \log [^5 \log (^2 \log b)] = 0$. Dengan menggunakan sifat di atas, diperoleh
$\begin{aligned} ^5 \log (^2 \log b) & = 1 \\ ^2 \log b & = 5 \\ b & = 2^5 = 32 \end{aligned}$
Tinjau persamaan $^5 \log [^2 \log (^3 \log a)] = 0$. Dengan menggunakan sifat di atas, diperoleh
$\begin{aligned} ^2 \log (^3 \log c) & = 1 \\ ^3 \log c & = 2 \\ c & = 3^2 = 9 \end{aligned}$
Dengan demikian, 
$\boxed{a+b+c = 125+32+9= 166}$

[collapse]

Soal Nomor 3
Hitunglah $\dfrac{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)} {2^{32}-1}$

Penyelesaian

Faktorkan penyebutnya, sehingga dapat ditulis
$$\begin{aligned} & \dfrac{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)} {2^{32}-1} \\ & = \dfrac{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)} {(2^{16}+1)(2^{16}-1)} \\ & = \dfrac{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)} {(2^{16}+1)(2^8+1)(2^8-1)} \\ & = \dfrac{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)} {(2^{16}+1)(2^8+1)(2^4+1)(2^4-1)} \\ & = \dfrac{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)} {(2^{16}+1)(2^8+1)(2^4+1)(2^2+1)(2^2-1)} \\ & = \dfrac{\cancel{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)}} {\cancel{(2^{16}+1)(2^8+1)(2^4+1)(2^2+1)(2+1)} (2-1)} \\ & = \dfrac{1}{2-1} = 1 \end{aligned}$$
Jadi, nilai dari $\dfrac{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)} {2^{32}-1}$ adalah $\boxed{1}$

[collapse]

Soal Nomor 4
Jika $(5+4)(5^2+4^2)(5^4+4^4) = 5^x-2^y$, maka nilai $x+y = \cdots$

Penyelesaian

$\begin{aligned} & (5+4)(5^2+4^2)(5^4+4^4) \\ & = \dfrac{\cancel{5^2-4^2}}{5-4} \cdot \dfrac{\bcancel{5^4-4^4}}{\cancel{5^2-4^2}} \cdot \dfrac{5^8-4^8}{\bcancel{5^4-4^4}} \\ & = \dfrac{5^8-4^8}{5-4} \\ & = 5^8-4^8 = 5^8 – 2^{16} \end{aligned}$
Jadi, diperoleh $x = 8$ dan $y = 16$, sehingga $\boxed{x+y=8+16 = 24}$

[collapse]

Soal Nomor 5
Bilangan real positif $a, b$, dan $c$ memenuhi: $a^{^3 \log 7} = 27, b^{^7 \log 11} = 49$, dan $c^{^{11} \log 25} = \sqrt{11}$. Tentukan hasil dari
$a^{(^3 \log 7)^2} + b^{(^7 \log 11)^2} + c^{(^{11} \log 25)^2} $

Penyelesaian

Ingat sifat logaritma: $\boxed{a^{^a \log b} = b}$
Perhatikan bahwa:
$\begin{aligned} a^{(^3 \log 7)^2} & = \left[a^{^3 \log 7}\right]^{^3 \log 7} \\ & = 27^{^3 \log 7} \\ & = (3^3)^{^3 \log 7} \\ & = 3^{^3 \log 7^3} = 7^3 = 343 \end{aligned}$
Dengan prinsip yang sama, diperoleh
$\begin{aligned} b^{(^7 \log 11)^2} & = \left[b^{^7 \log 11}\right]^{^7 \log 11} \\ & = 49^{^7 \log 11} \\ & = (7^2)^{^7 \log 11} \\ & = 7^{^7 \log 11^2} = 11^2 = 121 \end{aligned}$
$\begin{aligned} c^{(^{11} \log 25)^2} & = \left[c^{^{11} \log 25}\right]^{^{11} \log 25} \\ & = (\sqrt{11})^{^{11} \log 25} \\ & = (11^{\frac{1}{2}})^{^{11} \log 25} \\ & = 11^{^{11} \log 25^{\frac{1}{2}}} = 25^{\frac{1}{2}} = 5 \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh
$\boxed{\begin{aligned} & a^{(^3 \log 7)^2} + b^{(^7 \log 11)^2} + c^{(^{11} \log 25)^2} \\ & = 343+121+5 = 469 \end{aligned}}$

[collapse]

Soal Nomor 6 
Misal $a,b,c$, dan $d$ adalah bilangan bulat positif yang memenuhi $^a \log b^2 = 3$ dan $^c \log d^4 = 5$, serta $a-c=9$, maka $b-d=\cdots$

Penyelesaian

Perhatikan bahwa,
$\begin{aligned} & ^a \log b^2 = 3 \iff a^3 = b^2 \iff a = b^{\frac{2}{3}} \\ & ^c \log d^4 = 5 \iff c^5 = d^4 \iff c = d^{\frac{4}{5}} \end{aligned}$
Karena $a$ dan $c$ harus berupa bilangan bulat positif, maka $b$ dan $d$ haruslah memenuhi persyaratan berikut.
$b$ harus berupa bilangan kubik: $1, 8, 27, 64, 125, \cdots$
Ini mengakibatkan nilai $a$ berturut-turut adalah: $1, 4, 9, 16, 25, \cdots$
$d$ merupakan bilangan hasil pangkat lima: $1, 32, 243, 1.024, 3.125, \cdots$
Ini mengakibatkan nilai $c$ berturut-turut adalah: $1, 16, 81, 256, 625, \cdots$
Karena diberikan $a-c=9$, maka nilai $a$ dan $c$ berturut-turut yang mungkin adalah $25$ dan $16$.
Jika $a = 25$, maka $b = 125$, sedangkan jika $c = 16$, maka $d = 32$, sehingga $\boxed{b – d = 125 – 32 = 93}$.

[collapse]

Soal Nomor 7
Jika $9^x + 9^{-x} – 3^{2+x} + 3^{2-x} + 16 = 0$, maka $3^x – 3^{-x}$ adalah $\cdots$

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} 9^x + 9^{-x} – 3^{2+x} + 3^{2-x} + 16 & = 0 \\ 3^{2x} + 3^{-2x} – 9 \cdot 3^x + 9 \cdot 3^{-x} + 16 & = 0 \\ 3^{2x} + 3^{-2x} & = 9 \cdot 3^x – 9 \cdot 3^{-x} – 16 \end{aligned}$$
Selanjutnya,
$\begin{aligned} (3^x – 3^{-x})^2 & = (3^{2x} + 3^{-2x}) – 2 \\ & = (9 \cdot 3^x – 9 \cdot 3^{-x} – 16) – 2 \\ & = 9(3^x – 3^{-x}) – 18 \end{aligned}$
Sekarang, misalkan $3^x – 3^{-x} = a$, maka
$\begin{aligned} a^2 & = 9a – 18 \\ a^2 – 9a + 18 & = 0 \\ (a – 6)(a-3) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $a = 6 \lor a = 3$
Ini berarti, $\boxed{3^x – 3^{-x} = 6}$ atau $\boxed{3^x – 3^{-x} = 3}$

[collapse]

Soal Nomor 8
Sederhanakanlah
$$\begin{aligned} (\sqrt{5} + \sqrt{6} + \sqrt{7}) & (\sqrt{5} + \sqrt{6} – \sqrt{7}) \\ & (\sqrt{5} – \sqrt{6} + \sqrt{7}) (-\sqrt{5} + \sqrt{6} + \sqrt{7}) \end{aligned}$$

Penyelesaian

Gunakan sifat pemfaktoran $a^2-b^2 = (a+b) (a-b)$ dan juga $(a \pm b)^2 = a^2+b^2 \pm 2ab$ untuk menyederhanakan bentuk akar di atas. 
Perhatikan bahwa, 
$\begin{aligned} & (\sqrt{5} + \sqrt{6} + \sqrt{7}) (\sqrt{5} + \sqrt{6} – \sqrt{7}) \\ & = (\sqrt{5}+\sqrt{6})^2 – (\sqrt{7})^2 \\ & = (5 + 6 + 2\sqrt{30}) – 7 \\ & = 4 + 2\sqrt{30} \end{aligned}$
Selanjutnya, 
$\begin{aligned} & (\sqrt{5} – \sqrt{6} + \sqrt{7}) (-\sqrt{5} + \sqrt{6} + \sqrt{7}) \\ & = [\sqrt{7} + (\sqrt{5} – \sqrt{6})][\sqrt{7} – (\sqrt{5} – \sqrt{6})] \\ & = (\sqrt{7})^2 – (\sqrt{5} – \sqrt{6})^2 \\ & = 7 – (5 + 6 – 2\sqrt{30}) \\ & = -4 + 2\sqrt{30} \end{aligned}$
Jadi, bentuk akar pada soal dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} (4+2\sqrt{30}) (-4+2\sqrt{30}) & = (2\sqrt{30})^2 – 4^2 \\  & = 120 – 16 = 104 \end{aligned}$
Dengan demikian, bentuk sederhananya adalah $\boxed{104}$

[collapse]

Soal Nomor 9
Carilah nilai
$$\dfrac{2.007^2 + 2.008^2 + 2.009^2 – 1.991^2 – 1.992^2- 1.993^2}{2^7 \cdot 5^2}$$

Penyelesaian

Dengan menggunakan sifat pemfaktoran: $\boxed{a^2-b^2=(a+b) (a-b)} $, diperoleh
$$\begin{aligned} & \dfrac{2.007^2 + 2.008^2 + 2.009^2 – 1.991^2 – 1.992^2- 1.993^2}{2^7 \cdot 5^2} \\ & = \dfrac{(2.009^2-1.991^2)+(2.008^2-1.992^2)+(2.007^2-1.993^2)} {2^7 \cdot 5^2} \\ & = \dfrac{(2.007+1.993)(2.007-1993)+(2.008+1.992)(2.008-1.992)}{2^7 \cdot 5^2}\\ & +\dfrac{(2.009+1.991)(2.009-1.991)} {2^7 \cdot 5^2} \\ & = \dfrac{4.000(14+16+18)} {2^7 \cdot 5^2} \\ & = \dfrac{2^2 \cdot 1.000 \cdot 48}{2^7 \cdot 5^2} \\ & = \dfrac{2^2 \cdot 2 \cdot 500 \cdot 2^4 \cdot 3}{2^7 \cdot 5^2} \\ & = \dfrac{\cancel{2^7} \cdot \bcancel{5^2} \cdot 20 \cdot 3}{\cancel{2^7} \cdot \bcancel{5^2}} \\ & = 20 \cdot 3 = 60 \end{aligned}$$
Jadi, nilai dari bentuk tersebut adalah $\boxed{60}$

[collapse]

Soal Nomor 10
Jika $A = \sqrt[5]{16} + \sqrt[5]{8} + \sqrt[5]{4} + \sqrt[5]{2} + 1$, carilah nilai $\left(1 + \dfrac{1}{A}\right)^{50}$

Penyelesaian

Pandang
$\begin{aligned} A & = \sqrt[5]{16} + \sqrt[5]{8} + \sqrt[5]{4} + \sqrt[5]{2} + 1 \\ \sqrt[5]{2}A & = \underbrace{\sqrt[5]{32}}_{= 2} + \sqrt[5]{16} + \sqrt[5]{8} + \sqrt[5]{4} + 1 \\ & = \sqrt[5]{16} + \sqrt[5]{8} + \sqrt[5]{4} + \sqrt[5]{2} + 2 \\ & \rule{4 cm}{0.8 pt}~- \\  (1 – \sqrt[5]{2})A & = -1 \Rightarrow A = \dfrac{1}{\sqrt[5]{2} – 1} \\  \dfrac{1}{A} & = \sqrt[5]{2} – 1 \\  \dfrac{1}{A} + 1 & = \sqrt[5]{2} = 2^{\frac{1}{5}} \end{aligned}$
Jadi, $\boxed{\left(1 + \dfrac{1}{A}\right)^{50} = (2^{\frac{1}{5}})^{50} = 2^{10} = 1.024}$

[collapse]

Soal Nomor 11
Misalkan $x, y, z > 1$ dan $w > 0$. Jika $^x \log w = 4, ^y \log w = 5$, dan $^{xyz} \log w = 2$, maka nilai dari $^z \log w$ adalah $\cdots$

Penyelesaian

Diketahui:
$\begin{aligned} ^x \log w & = 4 \iff ^w \log x = \dfrac{1}{4} \\ ^y \log w & = 5 \iff ^w \log y = \dfrac{1}{5} \end{aligned}$
Dengan menerapkan sifat logaritma pada persamaan $^{xyz} \log w = 2$, didapat
$$\begin{aligned} ^{xyz} \log w & = 2 \\ \dfrac{^w \log w}{^w \log (xyz)} & = 2 \\ \dfrac{^w \log w}{^w log x + ^w \log y + ^w \log z} & = 2 \\ \dfrac{1}{\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{5} + ^w \log z} & = 2 \\ \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{5} + ^w \log z & = \dfrac{1}{2} \\ ^w \log z & = \dfrac{1}{2} – \dfrac{1}{4} – \dfrac{1}{5} \\ ^w \log z & = \dfrac{10-5-4}{20} = \dfrac{1}{20} \\ ^z \log w = 20 \end{aligned}$$
Jadi, nilai dari $^z \log w$ adalah $\boxed{20}$ 

[collapse]

Soal Nomor 12
Diketahui
$\begin{aligned} a \log 2 + b \log 3 + c \log 5 &  + d \log 7 + e \log 9 + \\ &  f \log 11 = 2013 \end{aligned}$
Tentukan nilai dari $a + b + c + d + e + f$

Penyelesaian

Dengan menggunakan sifat logaritma
$\begin{aligned} n \cdot ^a \log b & = ^a \log b^n \\ ^a \log b + ^a \log c & = ^a \log bc \end{aligned}$
diperoleh
$$\begin{aligned} & a \log 2 + b \log 3 + c \log 5 + d \log 7 + e \log 9 +  f \log 11 = 2013 \\ & \log 2^a + \log 3^b + \log 5^c + \log 7^d + \log 9^e + \log 11^f  = 2013 \\ & \log (2^a3^b5^c7^d9^e11^f) = 2013 \\ & 2^a3^b5^c7^d9^e11^f = 10^{2013} \\ & 2^a3^b5^c7^d9^e11^f  = 2^{2013} \cdot 5^{2013} \end{aligned}$$
Persamaan terakhir menunjukkan bahwa nilai $a = 2013, b = 0, c = 2013, d = 0, e = 0$, dan $f = 0$
Jadi, nilai dari 

$\begin{aligned} & a+b+c+d+e+f \\ & =2013+0+2013+0+0+0=4026 \end{aligned}$  

[collapse]

Soal Nomor 13
Jika $6(3^{40})(^2 \log a) + 3^{41}(^2 \log a) = 3^{43}$, maka nilai $a$ adalah $\cdots$
A. $\dfrac{1}{8}$    B. $\dfrac{1}{4}$    C. $4$       D. $8$      E. $16$

Penyelesaian

Misalkan $^2 \log a = x$, maka persamaan di atas dapat ditulis menjadi $6(3^{40})x + 3^{41}x = 3^{43}$.
Bagi kedua ruasnya dengan $3^{40}$, kemudian sederhanakan untuk mencari nilai $x$.
$\begin{aligned} \dfrac{6(\cancel{3^{40}})x}{\cancel{3^{40}}} + \dfrac{\cancelto{3^{3}}{3^{41}}x}{\cancel{3^{40}}} & = \dfrac{\cancelto{3^{3}}{3^{43}}}{\cancel{3^{40}}} \\ 6x + 3x & = 3^3 = 27 \\ 9x & = 27 \\ x & = 3 \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh $^2 \log a = 3$ sehingga $a = 2^3 = 8$. Jadi, nilai $a$ adalah $\boxed{8}$ (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 14
Buktikan bahwa $^2 \log 3$ adalah bilangan irasional.

Penyelesaian

Dengan menggunakan pembuktian kontradiksi, andaikan $^2 \log 3$ adalah bilangan rasional.
Misalkan $x = ^2 \log 3 = \dfrac{a}{b}$. Karena $x > 0$, maka $a$ dan $b$ dapat diasumsikan sebagai suatu bilangan bulat positif.
Perhatikan bahwa, $x = ^2 \log 3 \iff 2^x = 3$ (sesuai dengan definisi logaritma). Ini berarti, $2^{\frac{a}{b}} = 3$, sehingga $2^a = 3^b$.
Jika $a, b$ bilangan bulat positif, maka $2^a$ adalah bilangan genap, sedangkan $3^b$ adalah bilangan ganjil. Ini jelas kontradiksi, sehingga pengandaian harus diingkari. Jadi, terbukti bahwa $^2 \log 3$ adalah bilangan irasional. $\blacksquare$

[collapse]

Soal Nomor 15
Diketahui $N = \dfrac{4}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt[4]{5} + 1)(\sqrt[8]{5} + 1)(\sqrt[16]{5} + 1)}$
Carilah nilai dari $(N + 1)^{48}$

Penyelesaian

Kalikan $N$ dengan
$\dfrac{(\sqrt{5} – 1)(\sqrt[4]{5} – 1)(\sqrt[8]{5} – 1)(\sqrt[16]{5} – 1)}{(\sqrt{5} -1)(\sqrt[4]{5} – 1)(\sqrt[8]{5} – 1)(\sqrt[16]{5} -1)}$ sehingga nantinya diperoleh

$\begin{aligned} N & = \dfrac{\bcancel{4}\cancel{(\sqrt{5} – 1)(\sqrt[4]{5} – 1)(\sqrt[8]{5} – 1)} (\sqrt[16]{5} – 1)}{\bcancel{(5-1)} \cancel{(\sqrt{5} – 1)(\sqrt[4]{5} – 1)(\sqrt[8]{5} – 1)} } \\ & = \sqrt[16]{5} – 1 \end{aligned}$
Dengan demikian,
$$\boxed{N + 1 = \sqrt[16]{5} \Rightarrow (N+1)^{48} = (5^{\frac{1}{16}})^{48} = 5^3 = 125}$$

[collapse]

Soal Nomor 16
Bila $x = \sqrt{19-18\sqrt{3}}$, carilah nilai $\dfrac{x^4 – 6x^3 – 2x^2 + 18x + 23}{(x-4)^2+1}$

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 17
Sederhanakan: $\dfrac{\sqrt[4]{86 – 14\sqrt{37}}}{\sqrt{9 – 2\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}} – \sqrt{6 + \sqrt{13 + 4\sqrt{3}}}}$

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 18
Sederhanakan bentuk dari

$$\dfrac{1}{1 + \sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} + \cdots + \dfrac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$$

Penyelesaian

Rasionalkan tiap sukunya sebagai berikut.
$$\begin{aligned} \dfrac{1}{1 + \sqrt{2}} & = \dfrac{1}{1 + \sqrt{2}} \times \dfrac{1 – \sqrt{2}}{1 – \sqrt{2}} = -1 + \sqrt{2} \\ \dfrac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} & = \dfrac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} \times \dfrac{\sqrt{2} – \sqrt{3}}{\sqrt{2} – \sqrt{3}} = -\sqrt{2} + \sqrt{3} \\ \dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} & = \dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} \times \dfrac{\sqrt{3} – \sqrt{4}}{\sqrt{3} – \sqrt{4}} = -\sqrt{3} + \sqrt{4} \\ \cdots \cdots \cdots & \cdots \cdots  \\ \dfrac{1}{\sqrt{99} + \sqrt{100}} & = \dfrac{1}{\sqrt{99} + \sqrt{100}} \times \dfrac{\sqrt{99} – \sqrt{100}}{\sqrt{99} – \sqrt{100}} \\ & = -\sqrt{99} + \sqrt{100} \end{aligned}$$
Dengan demikian, dapat ditulis
$$\begin{aligned} & \dfrac{1}{1 + \sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} + \cdots + \dfrac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}} \\ & = (-1 + \cancel{\sqrt{2}}) + (\cancel{-\sqrt{2}} + \cancel{\sqrt{3}}) + (\cancel{-\sqrt{3}} + \cancel{\sqrt{4}}) + \\ & \cdots + (\cancel{-\sqrt{99}} + \sqrt{100}) \\ & = -1 + \sqrt{100} = 9 \end{aligned}$$

[collapse]

Soal Nomor 19
Nilai dari $\sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 – \sqrt{5}} – 3$ adalah $\cdots$
A. $-2$       B. $-1$        C. $1$         D. $1,5$         E. $2$

Penyelesaian

Misalkan $\sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 – \sqrt{5}} = p$, maka
$$\begin{aligned} & \left(\sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 – \sqrt{5}}\right)^3 = p^3 \\ & (2 + \cancel{\sqrt{5}}) + (2 – \cancel{\sqrt{5}}) + 3\sqrt[3]{(2 + \sqrt{5})(2 – \sqrt{5})} \cdot p = p^3 \\ & 4 + 3\sqrt[3]{-1} \cdot p = p^3 \\ & 4 – 3p = p^3 \end{aligned}$$
Dengan menggunakan intuisi, nilai $p$ yang memenuhi adalah $p = 1$, karena $4 – 3(1) = 1^3 \Leftrightarrow 1 = 1$.
Dengan demikian,
$\boxed{\sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 – \sqrt{5}} – 3 = 1 – 3 = -2}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 20
Diketahui $\log x = 6$ dan $\log y = 12$. Tentukan nilai dari $\log \sqrt{x\sqrt{y{\sqrt{x{\sqrt{y \cdots}}}}}}$

Penyelesaian

Misalkan $p = \log \sqrt{x\sqrt{y{\sqrt{x{\sqrt{y \cdots}}}}}}$, maka kita peroleh
$\begin{aligned} 10^p & = \sqrt{x\sqrt{y{\sqrt{x{\sqrt{y \cdots}}}}}} \\ \text{Kuadratkan}~&\text{kedua ruas} \\ 10^{2p} & = x\sqrt{y{\sqrt{x{\sqrt{y \cdots}}}}} \\ \text{Kuadratkan}~&\text{kedua ruas} \\ 10^{4p} & = x^2y\underbrace{\sqrt{x{\sqrt{y \cdots}}}}_{10^p} \\ 10^{4p} & = x^2y(10^p) \\ 10^{3p} & = x^2y \\ \log 10^{3p} & = \log x^2y \\ 3p \log 10 & = \log x^2 + \log y \\ 3p \cdot 1 & = 2(6) + 12 \\ 3p & = 12 + 12 \\ p & = 8 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\log \sqrt{x\sqrt{y{\sqrt{x{\sqrt{y \cdots}}}}}} = 8}$

[collapse]

Soal Nomor 21
Bentuk sederhana dari $1 \cdot 2^1 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \cdots + 2018 \cdot 2^{2018}$ adalah
A. $2019 \cdot 2^{2018} + 2$
B. $2019 \cdot 2^{2019} + 2$
C. $2018 \cdot 2^{2019} + 2$
D. $2017 \cdot 2^{2019} + 2$
E. $2018 \cdot 2^{2020} + 2$

Penyelesaian

Misalkan:
$$p = 1 \cdot 2^1 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \cdots + 2018 \cdot 2^{2018}$$,
sehingga
$$2p = 1 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2^3 + 3 \cdot 2^4 + \cdots + 2018 \cdot 2^{2019}$$
Kurangi kedua persamaan tersebut (atas ke bawah):
$$\begin{aligned} p & = -2 + (2-1) \cdot 2^2 + (2-3) \cdot 2^3 + (3-4) \cdot 2^4 \\ & + \cdots + (2017-2018) \cdot 2^{2018} + 2018 \cdot 2^{2019} \\ & = -2 – 2^2 – 2^3 – 2^4 – \cdots – 2^{2018} + 2018 \cdot 2^{2019} \\ & = -(2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + \cdots + 2^{2018}) + 2018 \cdot 2^{2019} \\ & = -\left(\underbrace{\dfrac{2(2^{2018} – 1)}{2 – 1}}_{\text{Rumus}~\text{S}_n}\right) + 2018 \cdot 2^{2019} \\ & = 2018 \cdot 2^{2019} – 2^{2019} + 2 \\ & = 2017 \cdot 2^{2019} + 2 \end{aligned}$$
Jadi, bentuk sederhana darinya adalah $\boxed{2017 \cdot 2^{2019} + 2}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 22
Nilai dari $\sqrt{1+\sqrt{3 + \sqrt{13+4\sqrt{3}}}}$ adalah $\cdots$
A. $\frac16\sqrt2 + \frac12\sqrt2$
B. $\frac12\sqrt2 + \frac12\sqrt6$
C. $\frac16\sqrt2 – \frac12\sqrt2$
D. $\frac12\sqrt6 – \frac12\sqrt2$
E. $\frac12\sqrt2 – \frac16\sqrt2$

Penyelesaian

Gunakan salah satu sifat akar:
$\boxed{\sqrt{a} \pm \sqrt{b} = \sqrt{(a+b) \pm 2\sqrt{ab}}}$
Untuk itu, diperoleh
$\begin{aligned} & \sqrt{1+\sqrt{3 + \sqrt{13+4\sqrt{3}}}} \\ & = \sqrt{1+\sqrt{3 + \sqrt{13+2\sqrt{12}}}} \\ & = \sqrt{1+\sqrt{3 + \sqrt{(12+1)+2\sqrt{12 \cdot 1}}}} \\ & = \sqrt{1+\sqrt{3 + \sqrt{12} + \sqrt1}} \\ & = \sqrt{1 + \sqrt{4 + 2\sqrt3}} \\ & = \sqrt{1 + \sqrt{(3+1) + 2\sqrt{3 \cdot 1}}} \\ & = \sqrt{1 + \sqrt{3} + \sqrt{1}} \\ & = \sqrt{2 + \sqrt3} \\ & = \sqrt{2 + 2\sqrt{\dfrac34}} \\ & = \sqrt{\left(\dfrac32 + \dfrac12\right) + 2\sqrt{\dfrac32 \cdot \dfrac12}} \\ & = \sqrt{\dfrac32} + \sqrt{\dfrac12} \\ & = \dfrac12\sqrt6 + \dfrac12\sqrt2 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\sqrt{1+\sqrt{3 + \sqrt{13+4\sqrt{3}}}}$ adalah $\boxed{\frac12\sqrt2 + \frac12\sqrt6}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 23
Jika $x = \sqrt[3]{2+\sqrt5} + \sqrt[3]{2-\sqrt5}$ dan $y = 2019 – \sqrt{\dfrac{2020^3-2018^3-2}{6}}$, maka $\cdots$
A. $x<y$
B. $x=y$
C. $x>y$
D. $x+y=2$
E. hubungan $x$ dan $y$ tak dapat ditentukan

Penyelesaian

Pertama, akan disederhanakan bentuk $x$ terlebih dahulu.
Misalkan $a = 2 + \sqrt5$ dan $b = 2 – \sqrt5$, sehingga $a+b = 4$ dan $ab = (2)^2 – (\sqrt5)^2 = -1$.
Dengan demikian,
$\begin{aligned} x & = \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} \\ x^3 & = (\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})^3 \\ x^3 & = a + b + 3ab(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}) \\ x^3 & = 4 + 3(-1)(x) \\ 0 & = x^3 + 3x – 4 \\ 0 & = (x-1)(x^2 + x + 4) \end{aligned}$
Karena $x^2+x+4$ definit positif, maka satu-satunya penyelesaian dari persamaan di atas adalah $x = 1$.
Selanjutnya, akan disederhanakan bentuk dari $y$. Untuk mempersingkat penulisan, kita misalkan $a = 2018$.
$$\begin{aligned} y & = 2019 – \sqrt{\dfrac{2020^3-a^3-2}{6}} \\ & = 2019 – \dfrac{1}{\sqrt6}\sqrt{(2020-a)(2020^2+a^2+2020 \cdot a) – 2} \\ & = 2019 – \dfrac{1}{\sqrt6}\sqrt{2((a+2)^2+a^2+(a+2) \cdot a) – 2} \\ & = 2019 – \dfrac{1}{\sqrt3}\sqrt{(a+2)^2+a^2+(a+2) \cdot a – 1} \\ & = 2019 – \dfrac{1}{\sqrt3}\sqrt{(a^2 + 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2)+a^2+(a+2) \cdot a – 1} \\ & = 2019 – \dfrac{1}{\sqrt3}\sqrt{(a^2 + 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2)+a^2+ a^2 + 2 \cdot a – 1} \\ & = 2019 – \dfrac{1}{\sqrt3}\sqrt{(3 \cdot a^2 + 6 \cdot a + 3 } \\ & = 2019 – \sqrt{a^2 + 2 \cdot a + 1} \\ & = 2019 – \sqrt{(a + 1)^2} = 2019 – \sqrt{(2018+1)^2} \\ & = 2019 – 2019 = 0 \end{aligned}$$
Dengan demikian, $y = 0$.
Jadi, kesimpulan yang bisa ditarik adalah $\boxed{x > y}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 24
Bentuk sederhana dari $\sqrt[4]{\dfrac{3+2\sqrt2}{3-2\sqrt2}}$ adalah $\cdots$
A. $\sqrt2 + 1$                    D. $2\sqrt2 + 1$
B. $\sqrt2-1$                     E. $2\sqrt2-1$
C. $1-\sqrt2$

Penyelesaian

Dengan menerapkan sifat akar:
$\boxed{\sqrt{(a+b) \pm 2\sqrt{ab}}}$
diperoleh
$\begin{aligned} \sqrt[4]{\dfrac{3+2\sqrt2}{3-2\sqrt2}} & = \sqrt[4]{\dfrac{(2+1)+2\sqrt{2 \cdot 1}}{(2+1)-2\sqrt{2 \cdot 1}}} \\ & = \sqrt[4]{\dfrac{(\sqrt2 + \sqrt1)^2}{(\sqrt2 – \sqrt1)^2}} \\ & = \dfrac{\sqrt{\sqrt2+1}}{\sqrt{\sqrt2-1}} \times \color{red} {\dfrac{\sqrt{\sqrt2-1}}{\sqrt{\sqrt2-1}}} \\ & = \dfrac{\sqrt{2-1}}{\sqrt2-1} \\ & = \dfrac{1}{\sqrt2 – 1} \times \color{red} {\dfrac{\sqrt2+1}{\sqrt2+1}} \\ & = \dfrac{\sqrt2+1}{2-1} = \sqrt2+1 \end{aligned}$
Jadi, bentuk sederhana dari $\sqrt[4]{\dfrac{3+2\sqrt2}{3-2\sqrt2}}$ adalah $\boxed{\sqrt2+1}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 25
Jika $\dfrac{1}{\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5} = \dfrac{a\sqrt2 + b\sqrt3 + c\sqrt{30}}{12}$, maka nilai $a+b+c=\cdots$
A. $0$        B. $1$       C. $2$          D. $3$         E. $4$

Penyelesaian

Dengan menerapkan konsep merasionalkan penyebut bentuk akar pada bentuk pecahan, kita dapatkan
$\begin{aligned} & \dfrac{1}{(\sqrt2+\sqrt3)+\sqrt5} \\ & = \dfrac{1}{(\sqrt2+\sqrt3)+\sqrt5} \times \color{red}{ \dfrac{(\sqrt2+\sqrt3)-\sqrt5}{(\sqrt+\sqrt3)-\sqrt5}} \\ & = \dfrac{(\sqrt2+\sqrt3)-\sqrt5}{(\sqrt2+\sqrt3)^2-5} \\ & = \dfrac{(\sqrt2+\sqrt3)-\sqrt5}{(\cancel{2+3}+2\sqrt6)-\cancel{5}} \\ & = \dfrac{(\sqrt2+\sqrt3)-\sqrt5}{2\sqrt6} \times \color{red}{\dfrac{\sqrt6}{\sqrt6}} \\ & = \dfrac{\sqrt{12} + \sqrt{18} – \sqrt{30}}{12} \\ & = \dfrac{3\sqrt2 + 2\sqrt3 – \sqrt{30}}{12} \end{aligned}$
Karena diketahui bahwa $\dfrac{1}{\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5} = \dfrac{a\sqrt2 + b\sqrt3 + c\sqrt{30}}{12}$, diperoleh bahwa $a=3, b = 2, c = -1$, sehingga $\boxed{a+b+c=3+2+(-1)=4}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 26
Bentuk sederhana dari $\sqrt{\dfrac{\sqrt{41} + 4}{\sqrt{41} – 4}} – \sqrt{\dfrac{\sqrt{41} – 4}{\sqrt{41} + 4}}$ adalah $\cdots$
A. $-\dfrac85$         B. $0$         C. $\dfrac85$        D. $2$         E. $5\sqrt{41}$

Penyelesaian

Tinjau bentuk $\sqrt{\dfrac{\sqrt{41} + 4}{\sqrt{41} – 4}}$
Dengan pengalian akar sekawan dan penggunaan sifat-sifat akar, diperoleh 
$\begin{aligned} & \sqrt{\dfrac{\sqrt{41} + 4}{\sqrt{41} – 4}} \times \color{red}{\dfrac{\sqrt{41} + 4}{\sqrt{41} + 4}} \\ & = \dfrac{\sqrt{41 + 8\sqrt{41} + 16}}{\sqrt{41 – 16}} \\ & = \dfrac{\sqrt{57 + 8\sqrt{41}}}{5} \\ & = \dfrac{\sqrt{(41+16) + 2\sqrt{41 \times 16}}}{5} \\ & = \dfrac{\sqrt{41} + 4}{5} \end{aligned}$
Selanjutnya, tinjau bentuk $\sqrt{\dfrac{\sqrt{41} – 4}{\sqrt{41} + 4}}$
Analog dengan cara di atas, diperoleh 
$\begin{aligned} & \sqrt{\dfrac{\sqrt{41} – 4}{\sqrt{41} + 4}} \times \color{red}{\dfrac{\sqrt{41} – 4}{\sqrt{41} – 4}} \\ & = \dfrac{\sqrt{41 – 8\sqrt{41} + 16}}{\sqrt{41 – 16}} \\ & = \dfrac{\sqrt{57 – 8\sqrt{41}}}{5} \\ & = \dfrac{\sqrt{(41+16) – 2\sqrt{41 \times 16}}}{5} \\ & = \dfrac{\sqrt{41} – 4}{5} \end{aligned}$
Dengan demikian, dapat kita tuliskan
$\begin{aligned} & \sqrt{\dfrac{\sqrt{41} + 4}{\sqrt{41} – 4}} – \sqrt{\dfrac{\sqrt{41} – 4}{\sqrt{41} + 4}} \\ & = \left(\dfrac{\sqrt{41} + 4}{5}\right) – \left(\dfrac{\sqrt{41}-4}{5}\right) \\ & = \dfrac45 – \left(-\dfrac45\right) = \dfrac85 \end{aligned}$
Jadi, bentuk sederhana dari $\boxed{\sqrt{\dfrac{\sqrt{41} + 4}{\sqrt{41} – 4}} – \sqrt{\dfrac{\sqrt{41} – 4}{\sqrt{41} + 4}} = \dfrac85}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 27
Jika $$\sqrt{1 + ^2 \log x + \sqrt{1 + ^2 \log x + \sqrt{1 + ^2 \log x + \cdots}}} = 3$$, maka nilai dari $^{2x} \log 8 = \cdots$
A. $\dfrac14$        B. $\dfrac13$        C. $\dfrac12$          D. $\dfrac23$        E. $\dfrac32$

Penyelesaian

Dari persamaan yang diberikan, kuadratkan kedua ruas sehingga diperoleh
$$1 + ^2 \log x + \sqrt{1 + ^2 \log x + \sqrt{1 + ^2 \log x + \cdots}} = 3^2 = 9$$
Selanjutnya, substitusikan $\sqrt{1 + ^2 \log x + \sqrt{1 + ^2 \log x + \cdots}} = 3$ pada persamaan di atas, sehingga diperoleh
$\begin{aligned} 1 + ^2 \log x + 3 & = 9 \\ ^2 \log x & = 5 \\ x & = 2^5 \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\boxed{^{2x} \log 8 = ^{2(2^5)} \log 2^3 = \dfrac36 = \dfrac12}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 28
Nilai dari 
$$\sqrt{2015+2011\sqrt{2016+2012\sqrt{2017+2013\sqrt{2018+2014\sqrt{2019+2015\sqrt{2020+\cdots}}}}}}$$
adalah $\cdots$
A. $2013$                        D. $2016$
B. $2014$                        E. $2017$
C. $2015$

Penyelesaian

Perhatikanlah bahwa
$$\begin{aligned} 2013 & = \sqrt{2013^2} \\ & = \sqrt{4052169} \\ & = \sqrt{2015 + 4050154} \\ & = \sqrt{2015 + 2011(2014)} \\ & =\sqrt{2015 + 2011\sqrt{2014^2}} \\ & = \sqrt{2015 + 2011\sqrt{4056196}} \\ & = \sqrt{2015 + 2011\sqrt{2016+4054180}} \\ & = \sqrt{2015 + 2011\sqrt{2016+2012(2015)}}\\ & = \sqrt{2015 + 2011\sqrt{2016+2012\sqrt{2015^2}}} \\ & = \sqrt{2015 + 2011\sqrt{2016+2012\sqrt{4060225}}} \\ & = \sqrt{2015 + 2011\sqrt{2016+2012\sqrt{2017+4058208}}} \\ & = \sqrt{2015 + 2011\sqrt{2016+2012\sqrt{2017+2013(2016)}}}\\ & = \sqrt{2015 + 2011\sqrt{2016+2012\sqrt{2017+2013\sqrt{2016^2}}}}\\ & = \sqrt{2015 + 2011\sqrt{2016+2012\sqrt{2017+2013\sqrt{4064256}}}}\\ & = \sqrt{2015 + 2011\sqrt{2016+2012\sqrt{2017+2013\sqrt{2018+4062238}}}} \\ & = \sqrt{2015 + 2011\sqrt{2016+2012\sqrt{2017+2013\sqrt{2018+2014(2017)}}}} \\ & = \sqrt{2015 + 2011\sqrt{2016+2012\sqrt{2017+2013\sqrt{2018+2014\sqrt{2017^2}}}}} \\ & = \sqrt{2015 + 2011\sqrt{2016+2012\sqrt{2017+2013\sqrt{2018+2014\sqrt{4068289}}}}} \\ & = \sqrt{2015 + 2011\sqrt{2016+2012\sqrt{2017+2013\sqrt{2018+2014\sqrt{2019+4066270}}}}} \\ & = \sqrt{2015 + 2011\sqrt{2016+2012\sqrt{2017+2013\sqrt{2018+2014\sqrt{2019+2015(2018)}}}}} \\ & = \sqrt{2015 + 2011\sqrt{2016+2012\sqrt{2017+2013\sqrt{2018+2014\sqrt{2019+2015\sqrt{2018^2}}}}}} \\ & =\sqrt{2015 + 2011\sqrt{2016+2012\sqrt{2017+2013\sqrt{2018+2014\sqrt{2019+2015\sqrt{2018^2}}}}}} \\ & = \cdots \cdots \end{aligned}$$
Apabila dilanjutkan, kita telah dapat mendeduksi dengan melihat pola yang terbentuk bahwa
$$\boxed{2013 = \sqrt{2015+2011\sqrt{2016+2012\sqrt{2017+2013\sqrt{2018+2014\sqrt{2019+2015\sqrt{2020+\cdots}}}}}}}$$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 29
Buktikan pernyataan berikut.
$3^{\sqrt{^3 \log 7}} = 7^{\sqrt{^7 \log 3}}$

Penyelesaian

Gunakan definisi dan sifat logaritma berikut.
$\boxed{\begin{aligned} a^b & = c \iff ^a \log c = b \\ ^a \log b & = \dfrac{1}{^b \log a} \end{aligned}}$
Pembuktian dari ruas kiri.

Misalkan $^3 \log 7 = p$, sehingga
$7 = 3^p \Leftrightarrow 7^{\frac{1}{p}} = 3$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} 3^{\sqrt{^3 \log 7}} & = \left(7^{\frac{1}{p}}\right)^{\sqrt{p}} \\ & = 7^{\frac{\sqrt{p}}{p}} \\ &= 7^{\frac{1}{\sqrt{p}}} \\ & = 7^{\frac{1}{\sqrt{^3 \log 7}}} \\ & = 7^{\sqrt{^7 \log 3}} \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa
$\boxed{3^{\sqrt{^3 \log 7}} = 7^{\sqrt{^7 \log 3}}}$

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini