Materi, Soal, dan Pembahasan – Persamaan Logaritma

Persamaan logaritma diartikan sebagai persamaan yang memuat notasi logaritma dengan basis dan/atau numerusnya memuat variabel. Sebagai contoh,
$$\begin{aligned} ^3 \log x & = 9 \\ ^x \log (x+2) & = x \\ ^{x+3} \log (x^2+6x+9)-3 & = 0 \\ ^{1/2} \log \sqrt[4]{x} & = \dfrac15 \end{aligned}$$Persamaan logaritma memiliki beberapa bentuk khusus agar dapat diselesaikan secara analitis. Ini menjadi penting untuk diperhatikan karena tidak semua persamaan logaritma dapat dicari penyelesaiannya tanpa melibatkan program komputasi.

Persamaan Logaritma Berbentuk $^a \log f(x) = b$

Jika $a > 0$ dan $a \neq 1$, maka persamaan logaritma $^a \log f(x) = b$ ekuivalen dengan $f(x) = a^b$. .

Persamaan Logaritma Berbentuk $^a \log f(x) = \! ^a \log b$

Jika $a > 0$ dan $a \neq 1$ serta $b > 0$, maka persamaan logaritma $^a \log f(x) = \! ^a \log b$ ekuivalen dengan $f(x) = b$.

Persamaan Berbentuk $^a \log f(x) \pm \! ^a \log g(x) = b$

Pertama, bentuklah logaritma tunggal di ruas kiri dengan menggunakan sifat logaritma bahwa
$$\begin{aligned} ^a \log b + \! ^a \log c & = \! ^a \log bc \\ ^a \log b- \! ^a \log c & = \! ^a \log \dfrac{b}{c} \end{aligned}$$Dengan demikian, kita akan peroleh bahwa pada persamaan $^a \log f(x) + \! ^a \log g(x) = b$ berlaku
$$\begin{aligned} ^a \log \left[f(x) \cdot g(x)\right] & = b \\ f(x) \cdot g(x) & = a^b \end{aligned}$$Demikian juga untuk persamaan $^a \log f(x) -\! ^a \log g(x) = b$ berlaku
$$\begin{aligned} ^a \log \dfrac{f(x)}{g(x)} & = b \\ \dfrac{f(x)}{g(x)} & = a^b \end{aligned}$$Perlu diperhatikan bahwa nilai $x$ yang diperoleh nanti harus memenuhi syarat numerus. Setiap numerus yang memuat variabel $x$ harus hernilai positif. Dalam hal ini, $f(x)>0$, begitu juga dengan $g(x)>0$.

Menyelesaikan Persamaan Logaritma Dengan Pemisalan

Terkadang kita lebih mudah menyelesaikan suatu persamaan logaritma dengan memisalkan bentuk logaritma tertentu dengan suatu variabel baru, misalnya $a$, sehingga $u$ dapat ditentukan dalam konteks persamaan polinomial. Langkah terakhir adalah dengan melakukan substitusi $a$ kembali ke pemisalan semula, sehingga variabel $x$ yang ditanya dapat kita tentukan.

Berikut ini disediakan sejumlah soal dan pembahasan mengenai persamaan logaritma. Soal juga telah tersedia dalam format PDF yang dapat diunduh dengan mengklik tautan berikut: Download (PDF, 170 KB).

Quote by Napoleon Hill

If you cannot do great things, do small things in a great way.

 Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1
Penyelesaian dari $^2 \log (2x-5) = 4$ adalah $x = \cdots \cdot$
A. $5\dfrac12$                       D. $10\dfrac14$
B. $7\dfrac12$                       E. $10\dfrac12$
C. $8\dfrac12$

Pembahasan

Diketahui $^{\color{red}{2}} \log (\color{blue}{2x-5}) = \color{red}{4}.$
Dengan mengubah bentuk logaritma di atas menjadi bentuk pangkat, kita akan memperoleh
$$\begin{aligned} \color{blue}{2x-5} & =\color{red}{2^4} \\ 2x-5 & = 16 \\ 2x & = 16 + 5 \\ 2x & = 21 \\ x & = \dfrac{21}{2} = 10\dfrac12 \end{aligned}$$Jadi, penyelesaian persamaan logaritma tersebut adalah $\boxed{x = 10\dfrac12}$
(Jawaban E)

[collapse]

Baca : Soal dan Pembahasan – Persamaan Pangkat (Eksponen) Sederhana

Soal Nomor 2
Penyelesaian dari $^4 \log (3x-1) = 2$ adalah $x = \cdots \cdot$
A. $5\dfrac13$                      D. $7\dfrac23$
B. $5\dfrac23$                      E. $9\dfrac13$
C. $7\dfrac13$

Pembahasan

Diketahui $^{\color{red}{4}} \log (\color{blue}{3x-1}) = \color{red}{2}.$
Dengan mengubah bentuk logaritma di atas menjadi bentuk pangkat, kita akan memperoleh
$$\begin{aligned} \color{blue}{3x-1} & =\color{red}{4^2} \\ 3x-1 & = 16 \\ 3x & = 16 + 1 \\ 3x & = 17 \\ x & = \dfrac{17}{3} = 5\dfrac23 \end{aligned}$$Jadi, penyelesaian persamaan logaritma tersebut adalah $\boxed{x = 5\dfrac23}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 3
Himpunan penyelesaian dari $^3 \log (x^2+x+15) = 3$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{-4, -3\}$                     D. $\{-3, 4\}$
B. $\{-4, 3\}$                        E. $\{3, 4\}$
C. $\{-3, 3\}$

Pembahasan

Diketahui $^{\color{red}{3}} \log (\color{blue}{x^2+x+15}) = \color{red}{3}.$
Dengan mengubah bentuk logaritma di atas menjadi bentuk pangkat, kita akan memperoleh
$$\begin{aligned} \color{blue}{x^2+x+15} & =\color{red}{3^3} \\ x^2+x+15 & = 27 \\ x^2+x-12 & = 0 \\ (x+4)(x-3) & = 0 \\ x = -4~\text{atau}~x & = 3 \end{aligned}$$Jadi, himpunan penyelesaian persamaan logaritma tersebut adalah $\boxed{\{-4, 3\}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 4
Jumlah akar-akar dari persamaan $\log (x^2-1) = \log 8$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-6$                    C. $0$                     E. $6$
B. $-3$                    D. $3$

Pembahasan

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} \cancel{\log} (x^2-1) & = \cancel{\log} 8 \\ x^2-1 & = 8 \\ x^2-9 & = 0 \\ (x+3)(x-3) & = 0 \\ x_1 = -3~\text{atau}~x_2 & = 3 \end{aligned}$$Jadi, jumlah akar-akar dari persamaan logaritma tersebut adalah $\boxed{x_1+x_2 = (-3)+3 = 0}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 5
Penyelesaian dari persamaan $^x \log (4x + 12) = 2$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x = -6$                 D. $x = 6$
B. $x = -2$                 E. $x = -2$ atau $x = 6$
C. $x = 2$

Pembahasan

Diketahui $^x \log (4x + 12) = 2$.
Dengan mengubah bentuk logaritma di atas menjadi bentuk pangkat, kita akan memperoleh
$$\begin{aligned} x^2 & = 4x + 12 \\ x^2-4x-12 & = 0 \\ (x-6)(x+2) & = 0 \\ x = 6~\text{atau}~x &= -2 \end{aligned}$$Cek syarat bahwa numerus harus positif dan tidak sama dengan $1$. Perhatikan bahwa substitusi $x = -2$ membuat numerus bertanda negatif, sehingga penyelesaian ini ditolak.
Jadi, penyelesaian persamaan logaritma tersebut adalah $\boxed{x = 6}$
(Jawaban D)

[collapse]

Baca : Soal dan Pembahasan – Persamaan Eksponen

Soal Nomor 6
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $\log \sqrt{^2 \log x + 8} = 1$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2^{82}$                 C. $2^{90}$                  E. $4^{92}$
B. $2^{84}$                 D. $2^{92}$

Pembahasan

Ingat bahwa prinsip logaritma adalah: $a^c = b \iff ^a \log b = c$.
Untuk itu, diperoleh
$$\begin{aligned} \log \sqrt{^2 \log x + 8} & = 1 \\ \cancel{\log} \sqrt{^2 \log x + 8} & = \cancel{\log} 10 \\ \sqrt{^2 \log x + 8} & = 10 \\ ^2 \log x + 8 & = 100 && (\text{Kuadratkan kedua ruas}) \\ ^2 \log x & = 92 \\ x &= 2^{92} \end{aligned}$$Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{x = 2^{92}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 7
Nilai $x$ yang memenuhi $^x \log \left(\dfrac{2}{9}\right)^3 =-2$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{27}{2}$                      D. $\dfrac{27}{4}\sqrt2$
B. $\dfrac{27}{4}$                      E. $\dfrac{27}{8}\sqrt2$
C. $\dfrac{27}{2}\sqrt2$

Pembahasan

Berdasarkan hubungan pangkat dan logaritma beserta sifat-sifat eksponen, kita dapatkan
$\begin{aligned} x^{-2} & = \left(\dfrac{2}{9}\right)^3 \\ (x^{-2})^{-\frac{1}{2}} & = \left(\left(\dfrac{2}{9}\right)^3\right)^{-\frac{1}{2}} \\ x & = \left( \dfrac{9}{2}\right)^{\frac{3}{2}} = \dfrac{27}{2\sqrt{2}} = \dfrac{27}{4}\sqrt{2} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{x = \dfrac{27}{4}\sqrt{2}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 8
Jika $a$ memenuhi persamaan $^2 \log 2x + \! ^3 \log 3x = \! ^4 \log 4x^2$, maka $^a \log 3 = \cdots \cdot$
A. $-3$                    C. $-1$                   E. $2$
B. $-2$                    D. $1$

Pembahasan

Diketahui $^2 \log 2x + \! ^3 \log 3x = \! ^4 \log 4x^2.$
Persamaan di atas dapat kita tuliskan menjadi
$$\begin{aligned} ^2 \log 2x + (^3 \log 3 + \! ^3 \log x) & = \! ^4 \log (2x)^2 \\ \cancel{^2 \log 2x} + (1 + \! ^3 \log x) & = \! \cancel{^2 \log 2x} \\ 1 + \! ^3 \log x & = 0 \\ ^3 \log x & = -1 \\ x & = 3^{-1} \end{aligned}$$Jadi, nilai $a = 3^{-1}$, sehingga $\boxed{^a \log 3 = \! ^{3^{-1}} \log 3 = -1}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 9
Jika $^4 \log \! ^4 \log x-^4 \log \! ^4 \log \! ^4 \log 16 = 2$, maka $x = \cdots \cdot$
A. $4^2$                  C. $4^8$                 E. $4^{32}$
B. $4^4$                  D. $4^{16}$

Pembahasan

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} ^4 \log \! ^4 \log x- \! ^4 \log \! ^4 \log \! ^4 \log 16 & = 2 \\ ^4 \log \! ^4 \log x- \! ^4 \log \! ^4 \log 2 & = 2 \\ ^4 \log \! ^4 \log x- \! ^4 \log \dfrac{1}{2} & = 2 \\ ^4 \log \! ^4 \log x- \! ^{2^2} \log 2^{-1} & = 2 \\ ^4 \log \! ^4 \log x + \dfrac{1}{2} & = 2 \\ ^4 \log \! ^4 \log x & = \dfrac{3}{2} \\ ^4 \log x & = 4^{\frac{3}{2}} = (2^2)^{\frac{3}{2}} = 8 \\ x = 4^8 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $x$ adalah $\boxed{x = 4^8}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 10
Salah satu nilai $p$ yang memenuhi $$4 \cdot \! ^{p} \log 2-^2 \log p^2 = -7$$adalah $\cdots \cdot$
A. $2$                      C. $8$                       E. $32$
B. $4$                      D. $16$

Pembahasan

Pada bentuk logaritma, posisi basis dan numerus dapat dibalik dengan menggunakan sifat
$$^a \log b = \! ^b \log a$$Oleh karena itu, persamaan di atas dapat ditulis menjadi
$$4 \cdot \dfrac{1}{^{2} \log p}-2 \cdot \! ^2 \log p = -7$$Sekarang, misalkan $^2 \log p = x$, sehingga kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{4}{x}-2x & = -7 \\ \text{Kalikan kedua ruas}&~\text{dengan}~x \\ 4-2x^2 & = -7x \\ 2x^2-7x-4 & = 0 \\ (2x+1)(x-4) & = 0 \\ x = -\dfrac12~\text{atau}~&x = 4 \end{aligned}$$Substitusi balik dan kita peroleh
$$\begin{aligned} ^2 \log p = -\dfrac12 & \Rightarrow p = 2^{-1/2} \\ ^2 \log p = 4 & \Rightarrow p = 2^4 = 16 \end{aligned}$$Jadi, salah satu nilai $p$ yang memenuhi persamaan adalah $\boxed{p=16}$
(Jawaban D)

[collapse]

Baca : Soal dan Pembahasan – Fungsi Eksponen (Pangkat)

Soal Nomor 11
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $\dfrac{x^{\log 15x}} {27x^{\log 5x}} = 9$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1.000$                     D. $1.000.000$
B. $10.000$                   E. $10.000.000$
C. $100.000$

Pembahasan

Dengan menggunakan sifat pangkat dan logaritma, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{x^{\log 15x}} {27x^{\log 5x}} & = 9 \\ \dfrac{1}{27} \times \dfrac{x^{\log 15x}} {x^{\log 5x}} & = 9 \\ x^{\log 15x-\log 5x} & = 9 \times 27 \\ x^{\log \frac{15\cancel{x} } {5\cancel{x}}} & = 3^2 \times 3^3 \\ x^{\log 3} & = 3^5 \end{aligned}$
Berdasarkan hubungan pangkat dan logaritma, bentuk terakhir dapat ditulis $\begin{aligned} ^x \log 3^5 & = \log 3 \\ ^x \cancel{\log 3^5} & = ^{10^5} \cancel{\log 3^5}\\ x & = 10^5 = 100.000\end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{x = 100.000}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 12
Hasil kali semua nilai $x$ yang memenuhi persamaan $\dfrac{x^2}{10.000} = \dfrac{10.000}{x^{2(^{10} \log x)-8}}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $100$                      D. $100.000$
B. $1.000$                   E. $1.000.000$
C. $10.000$

Pembahasan

Dengan menggunakan sifat-sifat eksponen dan logaritma, kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{x^2}{10.000} & = \dfrac{10.000}{x^{2(^{10} \log x)-8}} \\ x^{2 + 2 \log x-8} & = 10.000 \cdot 10.000 \\ x^{2 \log x-6} & = 10^8 \\ (x^{\log x-3})^2 & = (10^4)^2 \\ x^{\log x-3} & = 10^4 \\ \text{Tarik logarit}\text{ma di}&~\text{kedua ruas} \\ \log x^{\log x-3} & = \log 10^4 \\ (\log x-3)(\log x) & = 4 \\ \log^2 x-3 \log x-4 & = 0 \\ (\log x-4)(\log x+1) & = 0 && (\text{Difaktorkan}) \\ \log x = 4~\text{atau}~&\log x = -1 \end{aligned}$$Dengan demikian, didapat
$$\begin{aligned} \log x = 4 & \Rightarrow x_1 = 10^4 \\ \log x = -1 & \Rightarrow x_2 = 10^{-1} \end{aligned}$$Jadi, hasil kali semua nilai $x$ dari persamaan logaritma tersebut adalah $$\boxed{x_1x_2 = 10^4 \cdot 10^{-1} = 10^3 = 1.000}$$(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 13
Jika $6(3^{40})(^2 \log a) + 3^{41}(^2 \log a) = 3^{43}$, maka nilai $a = \cdots \cdot$
A. $2$                    C. $8$                  E. $16$
B. $3$                    D. $9$

Pembahasan

Dengan menggunakan sifat pangkat dan logaritma, diperoleh
$\begin{aligned} 6(3^{40})(^2 \log a) + 3^{41}(^2 \log a) & = 3^{43} \\ 2.3(3^{40})(^2 \log a) + 3^{41}(^2 \log a) & = 3^{41} \cdot 3^2 \\ 2\cancel{(3^{41})}(^2 \log a) + \cancel{3^{41}}(^2 \log a) & = \cancel{3^{41}} \cdot 9 \\ 2(^2 \log a) + \! ^2 \log a & = 9 \\ 3(^2 \log a) & = 9 \\ ^2 \log a & = \dfrac{9}{3}=3 \\ a & = 2^3 = 8 \end{aligned}$
Jadi, nilai $a$ adalah $\boxed{8}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 14
Nilai $x$ yang memenuhi $8^{x+1} = 24^{x-1}$ adalah $a \cdot ^3 \log 2 + b$ dengan $a, b$ bilangan bulat positif. Nilai dari $a + b = \cdots \cdot$
A. $3$                     C. $6$                   E. $9$
B. $5$                     D. $7$

Pembahasan

Persamaan berpangkat tersebut tidak dapat diselesaikan dengan cara standar karena $8$ dan $24$ tidak memiliki basis pangkat yang sama.
Logaritmakan kedua ruas, kemudian gunakan sifat-sifat logaritma untuk mencari nilai $x$ sebagai berikut.
$$\begin{aligned} 8^{x+1} & = 24^{x-1} \\ \log 8^{x+1} & = \log 24^{x-1} \\ (x+1) \log 8 & = (x-1) \log 24 \\ x \log 8 + \log 8 & = x \log 24-\log 24 \\ x \log 8- x \log 24 & =-\log 24-\log 8 \\ x(\log 8-\log 24) & =-\log 24-\log 8 \\ x & = \dfrac{-\log 24-\log 8}{\log 8-\log 24} = \dfrac{\log 24 + \log 8}{\log 24-\log 8} \\ x & = \dfrac{\log (8 \times 3) + \log 8}{\log \frac{24}{8}} \\ x & = \dfrac{\log 8 + \log 3 + \log 8}{\log 3} \\ x & = \dfrac{2 \log 8 + \log 3}{\log 3} \\ x & = \dfrac{2 \log 2^3 + \log 3}{\log 3} \\ x & = \dfrac{6 \log 2 + \log 3}{\log 3} \\ x & = \dfrac{6 \log 2}{\log 3} + \dfrac{\log 3}{\log 3} \\ x & = 6 \cdot \! ^3 \log 2 + 1 \end{aligned}$$Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan berpangkat di atas adalah $\boxed{x = 6 \cdot \! ^3 \log 2 + 1}$, sehingga $a = 6$ dan $b = 1$, dan itu artinya, $\boxed{a + b = 6 + 1 = 7}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 15
Persamaan $$^{x^2-6x+14} \log (x-3) = \! ^{4x^2-4x+1} \log (x^2-6x+9)$$ akan bernilai benar apabila nilai $x$ adalah $\cdots \cdot$
A. $3$                           D. $-3$ atau $5$
B. $5$                           E. $5$ atau $7$
C. $3$ atau $5$

Pembahasan

Perhatikan ruas kanan persamaan tersebut. Dengan menggunakan sifat bahwa $\boxed{a^n \log b^n = a \log b}$, diperoleh
$$\begin{aligned} ^{4x^2-4x+1} \log (x^2-6x+9) & = \! ^{(2x-1)^2} \log (x-3)^2 \\ & = \! ^{2x-1} \log (x-3) \end{aligned}$$Dengan demikian, persamaannya dapat ditulis sebagai berikut. $\begin{aligned} ^{x^2-6x+14} \cancel{\log (x-3)} & = \! ^{2x-1} \cancel{\log (x-3)} \\ x^2-6x+14 & = 2x-1 \\ x^2-8x + 15 & = 0 \\ (x-3)(x-5) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $x = 3$ atau $x = 5$
Sekarang, ingat bahwa numerus logaritma haruslah positif, sehingga $x-3 > 0 \iff \boxed{x > 3}$
Untuk itu, hanya $x = 5$ yang memenuhi syarat ini, sehingga agar persamaan yang diberikan bernilai benar, nilai $x$ adalah $\boxed{x=5}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 16
Jika $u=x^2$ dan $^x \log 10 = \! ^u \log (5u-40)$, maka nilai $u$ adalah $\cdots \cdot$
A. $25$                    C. $27$                   E. $29$
B. $26$                    D. $28$          

Pembahasan

Substitusikan $u=x^2$ pada persamaan logaritma tersebut. 
$\begin{aligned} ^x \log 10 & = \! ^u \log (5u-40) \\ ^x \log 10 & = \! ^{x^2} \log (5u-40) \\ ^x \log 10 & = \dfrac{1}{2} \cdot \! ^x \log (5u-40) \\ \bcancel{^x \log} 10 & = \bcancel{^x \log} \sqrt{5u-40} \\ 10 & = \sqrt{5u-40} \\ \text{Kuadratkan}~&\text{kedua ruas} \\ 10^2 & = (\sqrt{5u-40})^2 \\ 100 & = 5u-40 \\ 140 & = 5u \\ u & = \dfrac{140}{5} = 28 \end{aligned}$
Jadi, nilai $u$ adalah $\boxed{28}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 17
Jika $x \log 2- y \log 3 + z \log 5 = 10$ maka $2x + 8y-3z = \cdots \cdot$
A. $-20$                  C. $0$                 E. $20$
B. $-10$                  D. $10$        

Pembahasan

Dengan menggunakan sifat logaritma, diperoleh
$\begin{aligned} x \log 2-y \log 3 + z \log 5 & = 10 \\ \log 2^x-\log 3^y + \log 5^z & = 10 \\ \cancel{\log} \left(\dfrac{2^x \cdot 5^z} {3^y}\right) & = \cancel{\log} 10^{10} \\ \dfrac{2^x \cdot 5^z} {3^y} & = 10^{10} \end{aligned}$
Karena $2, 3, 5$ merupakan bilangan prima, maka bentuk pecahan $\dfrac{2^x \cdot 5^z} {3^y}$ sudah dalam bentuk paling sederhana. Ini berarti $3^y$ haruslah bernilai $1$ (jika tidak, hasilnya akan berupa pecahan). 
Jadi, $y$ yang memenuhi adalah $0$.
Untuk itu, $2^x \cdot 5^z = 10^{10}$.
Pilih $x = z = 10$, sehingga
$2^{10} \cdot 5^{10} = (2 \cdot 5)^{10} = 10^{10}$.
Jadi, hasil dari
$\boxed{\begin{aligned} 2x + 8y-3z & = 2(10) + 8(0)- 3(10) \\ &  =-10 \end{aligned}}$
(Jawaban B) 

[collapse]

Soal Nomor 18
Jika $x \neq y$ memenuhi persamaan $5x \cdot \! ^3 \log 2^y = x \cdot \! ^3 \log 2^x + y  \cdot \! ^3 \log 2^{4y}$, maka nilai $\dfrac{x}{y}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1$                      C. $3$                  E. $5$
B. $2$                      D. $4$           

Pembahasan

Sederhanakan persamaan yang diberikan.
$$\begin{aligned} 5x~^3 \log 2^y & = x~^3 \log 2^x + y~^3 \log 2^{4y} \\ 5xy ~\cancel{^3 \log 2} & = x^2~\cancel{^3 \log 2} + 4y^2~\cancel{^3 \log 2} \\ 5xy & = x^2 + 4y^2 \\ x^2-5xy + 4y^2 & = 0 \\ (x-y)(x-4y) & = 0 \end{aligned}$$Persamaan terakhir menunjukkan bahwa $x = y$ atau $x = 4y$, tetapi karena diberikan bahwa $x \neq y$ (pada soal), maka dipilih $x = 4y$. Dengan demikian,
$\boxed{\dfrac{x}{y} = \dfrac{4y}{y} = 4}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 19
Jika $b > 1, x > 0$ dan $(2x)^{^b \log 2} = (3x)^{^b \log 3}$, maka $x = \cdots \cdot$
A. $\dfrac{1}{216}$               C. $1$               E. $216$        
B. $\dfrac16$                   D. $6$     

Pembahasan

Logaritmakan kedua ruas, kemudian sederhanakan dengan menggunakan sifat-sifat logaritma.
$$\begin{aligned} (2x)^{^b \log 2} & = (3x)^{^b \log 3} \\ ^b \log (2x)^{^b \log 2} & = \! ^b \log (3x)^{^b \log 3} \\ ^b \log 2 \cdot \! ^b \log 2x & = \! ^b \log 3 \cdot \! ^b \log 3x \\ ^b \log 2 \cdot (^b \log 2 + \! ^b \log x) & = \! ^b \log 3 \cdot (^b \log 3 + \! ^b \log x) \\ (^b \log 2)^2 + ^b \log 2 \cdot \! ^b \log x & = (^b \log 3)^2 + \! ^b \log 3 \cdot \! ^b \log x \\ (^b \log 2)^2-(^b \log 3)^2 &= \! ^b \log 3 \cdot \! ^b \log x- \! ^b \log 2 \cdot \! ^b \log x \\ (^b \log 2 + \! ^b \log 3)(^b \log 2-\! ^b \log 3) & = \! ^b \log x(^b \log 3- \! ^b \log 2) \\ ^b \log 6 \cdot \cancel{^b \log \dfrac23} & = ^b \log x \cdot (-1) \cancel{^b \log \dfrac23} \\ \cancel{^b \log} 6 & = \cancel{^b \log} x^{-1} \\ x^{-1} & = 6 \\ x & = \dfrac16 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $x$ adalah $\boxed{\dfrac16}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 20
Jika $x$ dan $y$ memenuhi $^2 \log x^2 + \! ^3 \log \dfrac{1}{y^3} = 4$ dan $^2 \log x + \! ^3 \log y^4 = 13$, maka nilai dari $^4 \log x- \! ^9 \log y = \cdots \cdot$
A. $\dfrac12$                  C. $\dfrac52$                   E. $\dfrac92$
B. $\dfrac32$                  D. $\dfrac72$

Pembahasan

Kedua persamaan logaritma di atas membentuk sistem persamaan yang dapat ditulis menjadi berikut.
$$\begin{cases} 2 \cdot ^2 \log x -3 ^3 \log y & = 4 \\ ^2 \log x + 4 \cdot \! ^3 \log y & = 13 \end{cases}$$Misalkan $^2 \log x = a$ dan $^3 \log y = b$, sehingga diperoleh SPLDV:
$$\begin{cases} 2a-3b & = 4 && (\cdots 1) \\ a+4b & = 13 && (\cdots 2) \end{cases}$$Selesaikan, kita peroleh $a = 5$ dan $b = 2$. Dengan demikian, substitusi balik menghasilkan
$$\begin{aligned} ^2 \log x = 5 & \Rightarrow x = 2^5 \\ ^3 \log y = 2 & \Rightarrow y = 3^2 \end{aligned}$$Jadi, kita peroleh
$$\boxed{\begin{aligned} ^4 \log x- \! ^9 \log y & = \! ^4 \log 2^5- \! ^9 \log 3^2 \\ & = \dfrac52-1 = \dfrac32 \end{aligned}}$$(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 21
Diketahui $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar persamaan $^2 \log (4^x + 6) = 3 + x$. Nilai dari $x_1 + x_2$ adalah $\cdots \cdot$
A. $^2 \log 3$                        D. $^2 \log 72$
B. $^2 \log 6$                        E. $^2 \log 312$
C. $3$

Pembahasan

Diketahui $^2 \log (4^x + 6) = 3 + x.$
Dengan mengubah bentuk logaritma di atas menjadi bentuk pangkat, kita akan peroleh
$$\begin{aligned} 4^x + 6 & = 2^{3 + x} \\ (2^x)^2 + 6 & = 2^3 \cdot 2^x \\ (2^x)^2 + 6 & = 8 \cdot 2^x \end{aligned}$$Selanjutnya, misalkan $2^x = a$, sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} a^2 + 6 & = 8a \\ a^2-8a+6 & = 0 \end{aligned}$$Hasil kali akar dari persamaan kuadrat terakhir adalah
$$\begin{aligned} a_1 \cdot a_2 & = \dfrac{\text{Konst}\text{anta}}{\text{Koef}\text{isien}~a^2} \\ 2^{x_1} \cdot 2^{x_2} & = \dfrac{6}{1} \\ 2^{x_1 + x_2} & = 6 \\ x_1 + x_2 & = \! ^2 \log 6 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $x_1 + x_2$ adalah $\boxed{^2 \log 6}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 22
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $4^{\log x}-3 \cdot 2^{1+\log x} + 8 = 0$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1$ atau $3$
B. $2$ atau $4$
C. $2$ atau $8$
D. $1$ atau $10$
E. $10$ atau $100$

Pembahasan

Diketahui $4^{\log x}-3 \cdot 2^{1+\log x} + 8 = 0.$
Perhatikan bahwa persamaan di atas dapat ditulis menjadi
$$\begin{aligned} (2^2)^{\log 3}-3 \cdot 2 \cdot 2^{\log x} + 8 & = 0 \\ \left(2^{\log 3}\right)^2-6 \cdot 2^{\log x} + 8 & = 0 \end{aligned}$$Misalkan $2^{\log x} = a$, maka diperoleh persamaan kuadrat
$$\begin{aligned} a^2-6a+8 & = 0 \\ (a-2)(a-4) & = 0 \end{aligned}$$Diperoleh $a = 2$ atau $a = 4$.
Untuk $a = 2^{\color{red}{\log x}} = 2 = 2^{\color{red}{1}}$, kita peroleh $\color{red}{\log x = 1} \Rightarrow x = 10$.
Untuk $a = 2^{\color{blue}{\log x}} = 4 = 2^{\color{blue}{2}}$, kita peroleh $\color{blue}{\log x = 2} \Rightarrow x = 10^2 = 100$.
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan $4^{\log x}-3 \cdot 2^{1+\log x} + 8 = 0$ adalah $\boxed{10~\text{atau}~100}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 23 (SIMAK UI 2015 Matdas)
Diketahui $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat positif yang tidak sama dengan $1$, sehingga $$^a \log x \cdot \! ^b \log x = \! \dfrac{^x \log b}{^x \log a}.$$Nilai $(a+b)x$ adalah $\cdots \cdot$
A. $ab+b^2$ atau $\dfrac{a}{b}+1$
B. $a^2b + ab$ atau $\dfrac{a^2}{b}+a$
C. $ab+a^2$ atau $\dfrac{b}{a}+1$
D. $ab+ab^2$ atau $\dfrac{b^2}{a}+a$
E. $2a+2b^2$ atau $\dfrac{a+b}{2}$

Pembahasan

Gunakan sifat logaritma berikut.
$$\boxed{^a \log b = \! \dfrac{^c \log b}{^c \log a}}$$Kita peroleh
$$\begin{aligned} ^a \log x \cdot \! ^b \log x & = \! \dfrac{^x \log b}{^x \log a} \\ \dfrac{\log x}{\cancel{\log a}} \cdot \dfrac{\log x}{\log b} & = \dfrac{\log b}{\cancel{\log a}} \\ (\log x)(\log x) & = (\log b)(\log b) \\ (\log x)^2 & = (\log b)^2 \end{aligned}$$Ada dua kemungkinan yang memenuhi persamaan logaritma di atas.
Kemungkinan pertama:
$$\log x = \log b \Rightarrow x = b,$$sehingga
$$\begin{aligned} (a+b)x & = (a+b)b \\ & = ab + b^2 \end{aligned}$$Kemungkinan kedua:
$$\log x = -\log b \Rightarrow x = b^{-1},$$sehingga
$$\begin{aligned} (a+b)x & = (a+b)b^{-1} \\ & = \dfrac{a}{b}+1 \end{aligned}$$Jadi, nilai $(a+b)x$ adalah $$\boxed{ab+b^2~\text{atau}~\dfrac{a}{b}+1}$$(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 24 (NTU Singapore EE)
Misalkan $x_0$ adalah penyelesaian dari persamaan $2^{3 \cdot \! \log x} \cdot 5^{\log x} = 1.600$. Jumlah digit penyusun bilangan $x_0$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0$                     C. $2$                     E. $5$
B. $1$                     D. $4$

Pembahasan

Dengan menggunakan sifat-sifat eksponen dan logarjtma, kita akan memperoleh
$$\begin{aligned} 2^{3 \cdot \! \log x} \cdot 5^{\log x} & = 1.600 \\ \left(2^{\log x}\right)^3 \cdot 5^{\log x} & = 1.600 \\ \left(2^{\log x}\right)^2 \cdot 2^{\log x} \cdot 5^{\log x} & = 1.600 \\ \left(2^{\log x}\right)^2 \cdot 10^{\log x} & = 1.600 \\ \left(2^{\log x}\right)^2 \cdot x & = 1.600 && (a^{^a \log b} = b) \\ \log \left[\left(2^{\log x}\right)^2 \cdot x\right] & = \log 1.600 && (\text{Tarik Logari}\text{tma}) \\ \log \left(2^{\log x}\right)^2 + \log x & = \log 1.600 \\ 2 \log x \log 2 + \log x & = \log 1.600 \\ \log x(2 \log 2 + 1) & = \log 1.600 \\ \log x(\log 2^2 + \log 10) & = \log 1.600 \\ \log x(\log 40) & = \log 1.600 \\ \log x & = \dfrac{\log 1.600}{\log 40} = ^{40} \log 1.600 = 2 \\ x & = 10^2 = 100 \end{aligned}$$Jadi, penyelesaian persamaan logaritma itu adalah $x_0 = 100$ dengan jumlah digit penyusunnya adalah $\boxed{1+0+0 = 1}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 25
Jumlah dari semua bilangan $x$ sehingga $^2 \log (x^2-4x-1)$ merupakan bilangan bulat adalah $\cdots \cdot$
A. $0$                     C. $2$                    E. $6$
B. $1$                     D. $4$

Pembahasan

Misalkan $^2 \log (x^2-4x-1) = p$ untuk suatu bilangan bulat $p \geq 0$, sehingga bila diubah menjadi bentuk pangkat, diperoleh $x^2-4x-1 = 2^p$. Perhatikan bahwa $p$ tidak mungkin negatif karena kita tahu bahwa $x^2-4x-1$ pasti bulat ketika $x$ bulat.
Selanjutnya,
$$\begin{aligned} \left[(x-2)^2-4\right]-1 & = 2^p \\ (x-2)^2-5 & = 2^p \\ (x-2)^2 & = 2^p + 5 \end{aligned}$$Misalkan $2^p + 5 = a^2$.
Jelas $a$ ganjil, sehingga $a = 2k + 1$ untuk suatu bilangan bulat $k$.
Kita tuliskan
$$\begin{aligned} 2^p + 5 & = (2k + 1)^2 \\ 2^p + 5 & = 4k^2+4k+1 \\ 2^p & =4k^2+4k-4 \\ 2^p & = 4(k^2+k-1) \end{aligned}$$Berarti $2^p$ habis dibagi $4$, sehingga $p \geq 2$.
Kita juga dapat tuliskan
$$2^{p-2} = k^2+k-1$$Perhatikan bahwa berapapun nilai $k$, ruas kanan selalu bernilai ganjil, sehingga ruas kiri juga harus demikian.
Akibatnya, $2^{p-2} = 1$ (satu-satunya hasil perpangkatan $2$ yang ganjil).
Akhirnya, kita peroleh $p = 2$.
Untuk $p = 2$, diperoleh
$$\begin{aligned} x^2-4x-1 & = 2^2 \\ x^2-4x-5 & = 0 \\ (x-5)(x+1) & = 0 \end{aligned}$$Diperoleh $x_0 = -1$ atau $x_1 = 5$. Kedua penyelesaian bulat ini dapat diterima karena substitusi membuat numerus bernilai positif.
Jadi, jumlah semua nilai $x$ yang dimaksud adalah $\boxed{x_0+x_1 = (-1) + 5 = 4}$
(Jawaban D)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 1
Carilah nilai $x$ yang memenuhi persamaan logaritma berikut.
a. $^2 \log x = \! ^2 \log 15$
b. $^2 \log (4x) = 2$

Pembahasan

Jawaban a)
Diketahui $^2 \log x = \! ^2 \log 15$.
Karena bilangan pokok (basis) sudah sama, maka kita langsung peroleh $\boxed{x = 15}$
Jawaban b)
Diketahui $^2 \log (4x) = 2$.
Dari sini, kita peroleh
$$\begin{aligned} 4x & = 2^2 \\ 4x & = 4 \\ x & = 1 \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{x = 1}$

[collapse]

Soal Nomor 2
Carilah nilai $x$ yang memenuhi persamaan logaritma berikut.
a. $^c \log x^2 = \! ^c \log (4x-4)$
b. $^p \log (x^2-12) = \! ^p \log x$

Pembahasan

Jawaban a)
Diketahui $^c \log x^2 = \! ^c \log (4x-4).$
Karena basisnya sudah sama, maka kita peroleh persamaan pada bagian numerus.
$$\begin{aligned} x^2 & = 4x-4 \\ x^2-4x+4 & = 0 \\ (x-2)^2 & = 0 \end{aligned}$$Diperoleh $\boxed{x = 2}$
Jawaban b)
Diketahui $^p \log (x^2-12) = \! ^p \log x.$
Karena basisnya sudah sama, maka kita peroleh persamaan pada bagian numerus.
$$\begin{aligned} x^2-12 & = x \\ x^2-x-12 & = 0 \\ (x-4)(x+3) & = 0 \end{aligned}$$Diperoleh dua nilai $x$, yaitu $x = 4$ atau $x = -3$, tetapi perhatikan bahwa substitusi $x = -3$ membuat numerus bernilai negatif, sehingga penyelesaian ini ditolak.
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi adalah $\boxed{x = 4}$

[collapse]

Soal Nomor 3
Carilah nilai $x$ yang memenuhi persamaan logaritma berikut.
a. $^2 \log x + \! ^2 \log (x-6) = 4$
b. $^5 \log (2x+4)- \! ^5 \log (x-1) = 1$

Pembahasan

Jawaban a)
Diketahui $^2 \log x + \! ^2 \log (x-6) = 4.$
Gunakan sifat penjumlahan logaritma, lalu selesaikan.
$$\begin{aligned} ^2 \log \left[x(x-6)\right] & = 4 \\ x(x-6) & = 2^4 \\ x^2-6x & = 16 \\ x^2-6x-16 & = 0 \\ (x-8)(x+2) & = 0 \end{aligned}$$Diperoleh dua nilai $x$, yaitu $x = 8$ atau $x = -2$, tetapi perhatikan bahwa substitusi $x = -2$ membuat numerus bernilai negatif, sehingga penyelesaian ini ditolak.
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi adalah $\boxed{x = 8}$
Jawaban b)
Diketahui $^5 \log (2x+4)- \! ^5 \log (x-1) = 1.$
Gunakan sifat pengurangan logaritma, lalu selesaikan.
$$\begin{aligned} ^5 \log \dfrac{2x+4}{x-1} & = 1 \\ \dfrac{2x+4}{x-1} & = 5^1 \\ 2x+4 & = 5(x-1) \\ 2x+4 & = 5x-5 \\ 3x & = 9 \\ x & = 3 \end{aligned}$$Jadi, nilai $x$ yang memenuhi adalah $\boxed{x = 3}$

[collapse]

Soal Nomor 4
Carilah nilai $x$ yang memenuhi persamaan logaritma berikut.
a. $\log x + \log (x+1) = \log 2$
b. $\log (10x)-\log (2+\sqrt{x}) = 1$

Pembahasan

Jawaban a)
Diketahui $\log x + \log (x+1) = \log 2.$
Gunakan sifat penjumlahan logaritma, lalu selesaikan.
$$\begin{aligned} \log \left[x(x+1)\right] & = \log 2 \\ x(x+1) & = 2 \\ x^2+x & = 2 \\ x^2+x-2 & = 0 \\ (x+2)(x-1) & = 0 \end{aligned}$$Diperoleh dua nilai $x$, yaitu $x = -2$ atau $x = 1$, tetapi perhatikan bahwa substitusi $x = -2$ membuat numerus bernilai negatif, sehingga penyelesaian ini ditolak.
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi adalah $\boxed{x = 1}$
Jawaban b)
Diketahui $^5 \log (2x+4)- \! ^5 \log (x-1) = 1.$
Gunakan sifat pengurangan logaritma, lalu selesaikan.
$$\begin{aligned} ^5 \log \dfrac{2x+4}{x-1} & = 1 \\ \dfrac{2x+4}{x-1} & = 5^1 \\ 2x+4 & = 5(x-1) \\ 2x+4 & = 5x-5 \\ 3x & = 9 \\ x & = 3 \end{aligned}$$Jadi, nilai $x$ yang memenuhi adalah $\boxed{x = 3}$

[collapse]

Soal Nomor 5
Carilah nilai $x$ yang memenuhi persamaan logaritma berikut.
$$\log (x-3) + \log (x-2) = \log (2x+24)$$

Pembahasan

Diketahui $$\log (x-3) + \log (x-2) = \log (2x+24).$$Gunakan sifat penjumlahan logaritma, lalu selesaikan.
$$\begin{aligned} \log \left[(x-3)(x-2)\right] & = \log (2x+24) \\ (x-3)(x-2) & = 2x+24 \\ x^2-5x+6 & = 2x+24 \\ x^2-7x-18 & = 0 \\ (x-9)(x+2) & = 0 \end{aligned}$$Diperoleh dua nilai $x$, yaitu $x = 9$ atau $x = -2$, tetapi perhatikan bahwa substitusi $x = -2$ membuat numerus bernilai negatif, sehingga penyelesaian ini ditolak.
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi adalah $\boxed{x = 9}$

[collapse]

Soal Nomor 6
Carilah nilai $x$ yang memenuhi persamaan logaritma berikut untuk $x > 0$.
$$^{\frac{4}{x}} \log (x^2-6) = 2$$

Pembahasan

Diketahui $^{\frac{4}{x}} \log (x^2-6) = 2.$
Dengan mengubah bentuk logaritma di atas menjadi bentuk pangkat, diperoleh
$$\begin{aligned} x^2-6 & = \left(\dfrac{4}{x}\right)^2 \\ x^2-6 & = \dfrac{16}{x^2} \\ \text{Kalikan kedua}~&\text{ruas dengan}~x^2 \\ x^4-6x^2 & = 16 \\ x^4-6x^2-16 & = 0 \\ (x^2-8)(x^2+2) & = 0 \end{aligned}$$Diperoleh $$x^2 = 8 \Rightarrow x = \pm 2\sqrt2$$atau $$x^2 = -2 \Rightarrow x = \emptyset$$Karena $x > 0$, maka satu-satunya penyelesaian persamaan logaritma tersebut adalah $\boxed{x = 2\sqrt2}$

[collapse]

Soal Nomor 7
Carilah nilai $x$ yang memenuhi persamaan logaritma berikut.
a. $^3 \log ^3 \log x = 1$.
b. $\log \log x = 2$.

Pembahasan

Jawaban a)
Diketahui $^3 \log \color{blue}{^3 \log x} = 1$.
Ubah bentuk logaritma di atas menjadi bentuk pangkat (prosesnya dua kali).
$$\begin{aligned} \color{blue}{^3 \log x} & = 3^1 = 3 \\ x & = 3^3 = 27 \end{aligned}$$Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan itu adalah $\boxed{x=27}$
Jawaban b)
Diketahui $\log \color{blue}{\log x} = 2$.
Perhatikan bahwa bila bilangan pokok (basis) pada bentuk logaritma tidak ditulis, maka itu artinya nilai basisnya $10$.
Ubah bentuk logaritma di atas menjadi bentuk pangkat (prosesnya dua kali).
$$\begin{aligned} \log x & = 10^2 = 100 \\ x & = 10^{100} \end{aligned}$$Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan itu adalah $\boxed{x=10^{100}}$

[collapse]

Soal Nomor 8
Carilah nilai $x$ yang memenuhi persamaan logaritma berikut.
a. $^3 \log x^3 = \! ^3 \log^2 x$.
b. $^2 \log^2 x = 9$.

Pembahasan

Jawaban a)
Diketahui $^3 \log x^3 = \! ^3 \log^2 x$.
Perhatikan bahwa persamaan logaritma di atas dapat kita tulis menjadi
$$\begin{aligned} 3 \cdot \! ^3 \log x-\! ^3 \log^2 x & = 0 \\ ^3 \log x(3-\! ^3 \log x) & = 0 \end{aligned}$$Diperoleh
$$\begin{aligned} ^3 \log x = 0 & \Rightarrow x = 3^0 = 1 \\ ^3 \log x = 3 & \Rightarrow x = 3^3 = 27 \end{aligned}$$Jadi, ada dua nilai $x$ yang memenuhi persamaan, yakni $\boxed{x=1~\text{atau}~x=27}$
Jawaban b)
Diketahui $^2 \log^2 x = 9$.
Tarik akar kuadrat dan kita peroleh
$$^2 \log x = \pm 3$$Dengan demikian, didapat
$$\begin{aligned} ^2 \log x = 3 & \Rightarrow x = 2^3 = 8 \\ ^2 \log x = -3 & \Rightarrow x = 2^{-3} = \dfrac18 \end{aligned}$$Jadi, ada dua nilai $x$ yang memenuhi persamaan itu, yakni $\boxed{x = 8~\text{atau}~x = \dfrac18}$

[collapse]

Soal Nomor 9
Carilah semua nilai $x$ yang memenuhi persamaan $^3 \log (5x+1) = \! ^9 \log (5(x+1)^2).$

Pembahasan

Diketahui $^3 \log (5x+1) = \! ^9 \log (5(x+1)^2).$
Dari persamaan tersebut, samakan bilangan pokok (basis) dengan menguadratkan basis dan numerus pada bentuk logaritma di ruas kiri. Selanjutnya, kita gunakan persamaan numerusnya untuk mencari nilai $x$.
$$\begin{aligned} ^{3^2} \log (5x+1)^2 & = \! ^9 \log (5(x+1)^2) \\ ^{9} \log (5x+1)^2 & = \! ^9 \log (5(x+1)^2) \\ (5x+1)^2 & = 5(x+1)^2 \\ (5x+1)^2 & = (\sqrt5x + \sqrt5)^2 \\ (5x+1)^2-(\sqrt5x + \sqrt5)^2 & = 0 \\ (5x+1+\sqrt5x+\sqrt5)(5x+1-\sqrt5x-\sqrt5) & = 0 && (a^2-b^2 = (a+b)(a-b)) \end{aligned}$$Kita memperoleh dua kemungkinan.
Kemungkinan pertama:
$$\begin{aligned} 5x+1+\sqrt5x+\sqrt5 & = 0 \\ (5+\sqrt5)x & = -1-\sqrt5 \\ x & = -\dfrac{1+\sqrt5}{5+\sqrt5} \color{red}{\times \dfrac{5-\sqrt5}{5-\sqrt5}} && (\text{dirasionalkan}) \\ x & = \dfrac{5-\sqrt5+5\sqrt5-5}{25-5} \\ x & = -\dfrac{4\sqrt5}{20} = -\dfrac15\sqrt5 \end{aligned}$$Namun, nilai $x = -\dfrac15\sqrt5$ bila disubstitusi pada numerus logaritma $^3 \log (5x+1)$ menghasilkan nilai $5\left(-\dfrac15\sqrt5\right) + 1 = -\sqrt5 + 1$ (bertanda negatif), sehingga penyelesaian ini ditolak.
Kemungkinan kedua:
$$\begin{aligned} 5x+1-\sqrt5x-\sqrt5 & = 0 \\ (5-\sqrt5)x & = \sqrt5-1 \\ x & = -\dfrac{\sqrt5-1}{5-\sqrt5} \color{red}{\times \dfrac{5+\sqrt5}{5+\sqrt5}} && (\text{dirasionalkan}) \\ x & = \dfrac{5\sqrt5+5-5-\sqrt5}{25-5} \\ x & = \dfrac{4\sqrt5}{20} = \dfrac15\sqrt5 \end{aligned}$$Penyelesaian ini diterima karena substitusi pada numerus logaritma menghasilkan tanda positif.
Jadi, hanya ada $1$ nilai $x$ yang memenuhi persamaan logaritma tersebut, yaitu $\boxed{x = \dfrac15\sqrt5}$

[collapse]

Soal Nomor 10
Selesaikan persamaan logaritma berikut.
a. $10^{4 \log x}- 7\left(10^{2 \log x}\right) + 10 = 0$
b. $10^{6 \log x}-4\left(10^{3 \log x}\right)-12 = 0$

Pembahasan

Jawaban a)
Diketahui $10^{^4 \log x}- 7\left(10^{^2 \log x}\right) + 10 = 0.$
Perhatikan bahwa persamaan di atas dapat ditulis menjadi
$$\begin{aligned} \left(10^{\log x}\right)^4- 7\left(10^{\log x}\right)^2 + 10 & = 0 \\ x^4-7x^2 + 10 & = 0 && (a^{^a \log b} = b) \\ (x^2-5)(x^2-2) & = 0 \end{aligned}$$Selanjutnya, kita peroleh
$$\begin{aligned} x^2 = 5 & \Rightarrow x = \pm \sqrt5 \\ x^2 = 2 & \Rightarrow x = \pm \sqrt2 \end{aligned}$$Perhatikan bahwa nilai $x = -\sqrt2$ atau $x = -\sqrt5$ membuat numerus logaritma bernilai negatif, sehingga kedua penyelesaian ini ditolak.
Jadi, penyelesaian persamaan logaritma tersebut adalah $\boxed{x = \sqrt2~\text{atau}~x = \sqrt5}$
Jawaban b)
Diketahui $10^{6 \log x}-4\left(10^{3 \log x}\right)= 12.$
Perhatikan bahwa persamaan di atas dapat ditulis menjadi
$$\begin{aligned} \left(10^{\log x}\right)^6- 4\left(10^{\log x}\right)^3 -12 & = 0 \\ x^6-4x^3-12 & = 0 && (a^{^a \log b} = b) \\ (x^3-6)(x^3+2) & = 0 \end{aligned}$$Selanjutnya, kita peroleh
$$\begin{aligned} x^3 = 6 & \Rightarrow x = \sqrt[3]{6} \\ x^3 = -2 & \Rightarrow x = \sqrt[3]{-2} \end{aligned}$$Perhatikan bahwa nilai $x = \sqrt[3]{-2}$ membuat numerus logaritma bernilai negatif, sehingga penyelesaian ini ditolak.
Jadi, penyelesaian persamaan logaritma tersebut adalah $\boxed{x = \sqrt[3]{6}}$

[collapse]

Soal Nomor 11
Selesaikan persamaan logaritma berikut.
$$^4 \log x = \! ^x \log 256$$

Pembahasan

Diketahui $^4 \log x = \! ^x \log 256.$
Perhatikan bahwa persamaan logaritma di atas dapat ditulis menjadi
$$\begin{aligned} ^4 \log x & = \! ^x \log 4^4 \\ ^4 \log x & = 4 \cdot \! ^x \log 4 \\ ^4 \log x & = 4 \cdot \dfrac{1}{^4 \log x} \end{aligned}$$Misalkan $^4 \log x = a$, maka kita peroleh
$$\begin{aligned} a & = 4 \cdot \dfrac{1}{a} \\ a^2 & = 4 \\ a & = \pm 2 \end{aligned}$$Untuk $a = 2$, diperoleh $^4 \log x = 2$, sehingga $x = 4^2 = 16$.
Untuk $a = -2$, diperoleh $^4 \log x = -2$, sehingga $x = 4^{-2} = \dfrac{1}{16}$.
Jadi, penyelesaian persamaan logaritma tersebut adalah $\boxed{x=\dfrac{1}{16}~\text{atau}~x = 16}$

[collapse]

Soal Nomor 12
Selesaikan persamaan logaritma berikut.
$$^x \log (5x^3-4x) = ^x \log x^5$$

Pembahasan

Diketahui $^x \log (5x^3-4x) = ^x \log x^5.$
Karena bilangan pokok (basis) logaritma sudah sama, maka kita bisa langsung ambil persamaan numerusnya.
$$\begin{aligned} 5x^3-4x & = x^5 \\ x^5-5x^3+4x & = 0 \\ x(x^4-5x^2+4) & = 0 \\ x\color{red}{(x^2-4)}\color{blue}{(x^2-1)} & = 0 \\ x\color{red}{(x+2)(x-2)}\color{blue}{(x+1)(x-1)} & = 0 \end{aligned}$$Dari persamaan terakhir, diperoleh $5$ nilai $x$, yaitu $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$. Namun, nilai $x = -2$, $x = -1$, $x = 0$, atau $x = -1$ keempatnya tidak memenuhi syarat bahwa basis harus positif dan tidak sama dengan $1$, serta numerus juga harus positif. Dengan kata lain, hanya $x=2$ yang memenuhi semua syarat.
Jadi, penyelesaian persamaan logaritma tersebut adalah $\boxed{x=2}$

[collapse]

Soal Nomor 13
Anggap bahwa $a$ dan $b$ merupakan bilangan positif berbeda yang memenuhi $a^b = b^a$ dan $b = 9a$. Berapakah nilai $a$?

Pembahasan

Diketahui $a^b = b^a$.
Karena bilangan pokok (basis) berbeda, maka satu-satunya cara untuk menurunkan eksponen adalah menarik logaritma pada kedua ruas.
$$\begin{aligned} a^b & = b^a \\ \log a^b & = \log b^a \\ \color{red}{b} \log a & = a \log \color{red}{b} \\ \text{Substitusi}~b & = 9a \\ 9\cancel{a} \log a & = \cancel{a} \log 9a \\ 9 \log a & = \log 9a \\ \log a^9 & = \log 9a \\ a^9 & = 9a \\ a(a^8-9) & = 0 \\ a = 0~\text{atau}~a^8 & = 9 \end{aligned}$$Karena $a$ diketahui adalah bilangan positif, maka nilai $a = 0$ ditolak.
Dengan demikian,
$$\begin{aligned} a^8 & = 9 \\ a^8 & = 3^2 \\ a & = 3^{2/8} = 3^{1/4} = \sqrt[4]{3} \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{a = \sqrt[4]{3}}$

[collapse]

2 Replies to “Materi, Soal, dan Pembahasan – Persamaan Logaritma”

Tinggalkan Balasan

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *