Soal dan Pembahasan – Fungsi Eksponen (Pangkat)

Berdasarkan opsi yang diberikan, semua titik memiliki absis $x=2$.
Untuk itu, kita uji nilai fungsi saat $x=2$.
Karena $f(x)=2 \cdot 3^{1-x}$, maka
$\begin{aligned} f(2) & = 2 \cdot 3^{1-\color{red}{2}} \\ & = 2 \cdot 3^{-1} \\ & = \dfrac23 \end{aligned}$
Ini artinya, nilai fungsi saat $x=2$ adalah $y = \dfrac23$. Dengan kata lain, fungsi tersebut melalui titik $\boxed{\left(2, \dfrac23\right)}$
(Jawaban B)

Diketahui $f(x)=k \cdot 2^{5x-8}$.
Karena grafik fungsi melalui titik $(2, 20)$, yang artinya $\color{red}{x=2}$ dan $\color{blue}{y = f(2) = 20}$, kita peroleh
$\begin{aligned} \color{blue}{20} & = k \cdot 2^{5(2)-8} \\ 20 & = k \cdot 2^2 \\ k & = \dfrac{20}{4} = 5 \end{aligned}$
Dengan demikian, nilai dari $\boxed{-3k = -3(5) = -15}$
(Jawaban A)

Diketahui $f(x)=6^{x+1} + 6^{1-x}$.
Saat grafik fungsi memotong sumbu $Y,$ absis titik yang dilalui fungsi bernilai $0$, ditulis $x = 0$.
Untuk itu, kita peroleh
$\begin{aligned} f(0) & = 6^{0+1}+6^{1-0} \\ & = 6 + 6 = 12 \end{aligned}$
Dengan demikian, titik potong grafik fungsi $f(x)$ terhadap sumbu-$Y$ adalah $\boxed{(0, 12)}$
(Jawaban A)

Diketahui $f(x) = 2^x$ sehingga
$\begin{aligned} f(m+n) & = 2^{m+n} \\ & = 2^m \cdot 2^n \\ & = f(m) \cdot f(n) \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\boxed{f(m+n) = f(m) \cdot f(n)}$
(Jawaban B)

Diketahui $f(x) = 2^x$. Ini berarti,
$f(x+3) = 2^{x+3}$ dan $f(x-1) = 2^{x-1}.$
Oleh karena itu, kita mendapat
$\begin{aligned} \dfrac{f(x+3)}{f(x-1)} & = \dfrac{2^{x+3}}{2^{x-1}} \\ & = \dfrac{\cancel{2^x} \cdot 2^3}{\cancel{2^x} \cdot 2^{-1}} \\ & = \dfrac{2^3}{2^{-1}} = 2^3 \times 2^1 = 2^4 \end{aligned}$
Karena $f(x) = 2^x \Rightarrow f(4) = 2^4$, maka hasil dari $\boxed{\dfrac{f(x+3)}{f(x-1)} = f(4)}$
(Jawaban B)

Diketahui $f(x) = 3^x$ sehingga
$\begin{aligned} f(a+2b-c) & = 3^{a+2b-c} \\ & = \dfrac{3^a \cdot 3^{2b}}{3^c} \\ & = \dfrac{3^a \cdot (3^{b})^2}{3^c} \\ & = \dfrac{f(a) \cdot (f(b))^2}{f(c)} \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\boxed{f(a+2b-c) =\dfrac{f(a) \cdot (f(b))^2}{f(c)}}$
(Jawaban C)

Diketahui $f(x)=4^{\color{red}{x}+1}$.
Dengan demikian,
$\begin{aligned} f(a+b) & = 4^{\color{red}{(a+b)}+1} \\ & = 4^{(a+1)+(b+1)-1} \\ & = 4^{a+1} \cdot 4^{b+1} \cdot 4^{-1} \\ & = f(a) \cdot f(b) \cdot \dfrac14 \\ & =\dfrac14f(a) \cdot f(b) \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\boxed{f(a+b) = \dfrac14f(a) \cdot f(b)}$
(Jawaban D)

Diketahui $y = 2^{2x+1}-5 \cdot 2^x+2$.
Saat grafik fungsi memotong sumbu $X$, ordinat titik yang dilalui fungsi bernilai $0$, ditulis $y = 0$.
Untuk itu, kita peroleh
$\begin{aligned} 2^{2x+1}-5 \cdot 2^x+2 & = 0 \\ 2^{2x} \cdot 2^1-5 \cdot 2^x+2 & = 0 \\ (2^x)^2 \cdot 2-5 \cdot 2^x + 2 & = 0 \end{aligned}$
Misalkan $2^x = a$, maka didapat
$\begin{aligned} 2a^2-5a+2 & = 0 \\ (2a-1)(a-2) & =0 \end{aligned}$
Diperoleh $a = \dfrac12$ atau $a=2$.
Substitusi kembali:
$a = 2^x = \dfrac12 = 2^{-1} \Rightarrow x=-1$
$a=2^x = 2 = 2^1 \Rightarrow x = 1$
Jadi, koordinat titik potong grafik fungsi terhadap sumbu $X$ adalah $(-1, 0)$ dan $(1,0)$.
Jarak kedua titik ini pada bidang Kartesius adalah $\boxed{1-(-1) = 2}$
(Jawaban A)

Diketahui $y = f(x) = 5 + 3^{2x-1}$.
Daerah hasil dibatasi oleh asimtot datar grafik fungsi.
Perhatikan bahwa rumus fungsi tersebut dapat kita tulis menjadi $3^{2x-1} = y-5.$
Asimtot datar tercapai saat bentuk $a^n = 0$ sehingga haruslah
$y-5 = 0 \Leftrightarrow y = 5.$
Dengan demikian, grafik fungsi memiliki nilai untuk setiap $y,$ kecuali untuk $y \leq 5.$
Jadi, daerah hasilnya adalah $\{y \mid y>5, y \in \mathbb{R}\}.$
(Jawaban C)

Diketahui $y = f(x) = 3^{2-9x}-4$.
Misalkan $g(x) = 3^{2-9x}$. Perhatikan bahwa $g(x)$ memiliki asimtot datar $y = 0$, yang artinya $g(x) > 0$ untuk setiap $x \in \mathbb{R}.$
Untuk itu, $f(x) = 3^{2-9x}-4$ memiliki asimtot datar $y = 0-4 = -4$, yang artinya $f(x) > -4$ untuk setiap $x \in \mathbb{R}.$
Jadi, daerah hasilnya adalah $\{y \mid y>-4\}$.
(Jawaban A)

Grafik fungsi melalui titik $(0, 2)$, $(1, 6),$ dan $(2, 18)$.
Tampak bahwa grafik fungsi eksponen tidak mengalami pergeseran ke atas/bawah karena asimtot datarnya $x = 0$ sehingga bentuk umumnya adalah $f(x) = k \cdot a^x$.
Karena grafik melalui $(0, 2)$, artinya $x = 0$ dan $y = 2$, diperoleh
$\begin{aligned} f(x) & = k \cdot a^x \\ \Rightarrow 2 & = k \cdot a^0 \\ 2 & = k \cdot 1 \\ k & = 2 \end{aligned}$
Fungsi eksponennya menjadi $f(x) = 2 \cdot a^x$.
Karena grafik melalui $(1, 6)$, artinya $x = 1$ dan $y = 6$, diperoleh
$\begin{aligned} f(x) & = 2 \cdot a^x \\ \Rightarrow 6 & = 2 \cdot a^1 \\ 6 & = 2 \cdot a \\ a & = 3 \end{aligned}$
Fungsi eksponennya menjadi $\boxed{f(x) = 2 \cdot 3^x}$
(Jawaban C)

Grafik fungsi melalui $(0, 2)$ dan $(1, 3)$ serta memiliki asimtot datar $x = 1$ (bergeser ke atas sejauh $1$ satuan) sehingga bentuk umumnya adalah $f(x) = k \cdot a^x + 1.$
Karena grafik melalui $(0, 2),$ artinya $x = 0$ dan $y = 2$, diperoleh
$\begin{aligned} f(x) & = k \cdot a^x + 1 \\ \Rightarrow 2 & = k \cdot a^0 + 1 \\ 2 & = k \cdot 1 + 1 \\ k & = 1 \end{aligned}$
Fungsi eksponennya menjadi $f(x) = 1 \cdot a^x + 1 = a^x+1.$
Karena grafik melalui $(1, 3)$, artinya $x = 1$ dan $y = 3$, diperoleh
$\begin{aligned} f(x) & =a^x + 1 \\ \Rightarrow 3 & = a^1 + 1 \\ 2 & = a^1 \\ a & = 2 \end{aligned}$
Fungsi eksponennya menjadi $\boxed{f(x) = 2^x+1}$
(Jawaban C)

Grafik fungsi eksponen itu melalui titik $(0, 6)$. Fungsi eksponen itu monoton turun dan berasimtot datar $x=0$ dengan bentuk umum $y = k \cdot a^{-x}.$
Substitusi $x = 0$ dan $y = 6$ menghasilkan
$\begin{aligned} 6 & = k \cdot a^{-0} \\ 6 & = k \cdot 1 \\ k & = 6 \end{aligned}$
Rumus fungsinya menjadi $y = 6 \cdot a^{-x}.$
Berdasarkan opsi yang diberikan, kita ambil $a = 2.$
$\begin{aligned} y & = 6 \cdot 2^{-x} \\ & = 3 \cdot 2 \cdot 2^{-x} \\ & = 3 \cdot 2^{1-x} \end{aligned}$
Jadi, fungsi yang sesuai dengan grafik itu adalah $\boxed{y=3 \cdot 2^{1-x}}$
(Jawaban E)

Diketahui $f(x) = \left(\dfrac14\right)^x$.
Plot titik-titik yang dilalui oleh fungsi tersebut pada bidang Kartesius menggunakan tabel seperti berikut.
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & 16 & 4 & 1 & \dfrac14 & \dfrac{1}{16} \\ \hline \end{array}$
Hubungkan kelima titik tersebut sehingga membentuk kurva lengkung seperti gambar. Perhatikan bahwa asimtot datarnya adalah $x = 0$.
(Jawaban B)

Diketahui $f(x) = 4-4 \cdot 2^x.$
Plot titik-titik yang dilalui oleh fungsi tersebut pada bidang Kartesius menggunakan tabel seperti berikut.
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & 3 & 2 & 0 & -4 & -12 \\ \hline \end{array}$
Hubungkan kelima titik tersebut sehingga membentuk kurva lengkung seperti gambar. Perhatikan bahwa asimtot datarnya adalah $x = 4$.
(Jawaban C)

Diketahui $f(x) = 10 \cdot \left(\dfrac15\right)^{1-x}$.
Plot titik-titik yang dilalui oleh fungsi tersebut pada bidang Kartesius menggunakan tabel seperti berikut.
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & \dfrac{10}{125} & \dfrac{10}{25} & 2 & 10 & 50 \\ \hline \end{array}$
Tampak bahwa semakin besar nilai $x$, nilai $y$ juga jauh semakin besar.
Hubungkan tiga titik yang ada (pilih yang nilainya kecil saja) sehingga membentuk kurva lengkung seperti gambar. Perhatikan bahwa asimtot datarnya adalah $x = 0$.
(Jawaban A)

Perhatikan bahwa $C_1$ melalui titik $(0, 1)$, sedangkan $C_2$ melalui titik $(0, 2)$. $C_1$ dan $C_2$ memiliki nilai basis yang sama, yaitu $a$ serta asimtot datarnya $y = 0$.
Karena itu, kemungkinan rumus fungsi dari $C_2$ adalah $2f(x) = 2a^x$.
Cek kesesuaian:
$2f(0) = 2a^0 = 2(1) = 2.$
Artinya, grafik melalui titik $(0, 2)$.
Catatan: Informasi pada soal sebenarnya belum cukup untuk menentukan rumus eksak fungsi dari grafik $C_2$.
(Jawaban D)

Diketahui $f(x)=3^{2-x}-4$.
Cek Pernyataan i dan ii:
$f(x)$ dikatakan monoton naik apabila $f(x_1) < f(x_2)$ dengan $x_1 < x_2$ untuk setiap $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$. Sederhananya secara geometris, grafik fungsinya semakin ke atas (naik) ketika nilai $x$ semakin membesar (ke kanan).
Tinjau $f(x+1) = 3^{2-(x+1)}-4$.
Dapat kita sederhanakan menjadi
$\begin{aligned} f(x+1) & = 3^{(2-x)-1}-4 \\ & = 3^{2x-1} \cdot 3^{-1}-4 \\ & = \dfrac13 \cdot 3^{2x-1}-4 \end{aligned}$
Karena $3^{2x-1} > 0$, maka jelas bahwa $\dfrac13 \cdot 3^{2x-1}-4 < 3^{2x-1}-4$, yang berarti $f(x+1) < f(x)$.
Dengan kata lain, semakin $x$ membesar, nilai fungsi justru semakin turun. Jadi, $f(x)$ adalah fungsi yang monoton turun.
Pernyataan i salah.
Pernyataan ii benar.
Cek Pernyataan iii:
Grafik fungsi $f(x)$ memotong sumbu $Y$ saat $x = 0$.
Karena $f(x)=3^{2-x}-4$, maka kita peroleh $f(0) = 3^{2-0}-4 = 3^2-4 = 5$. Jadi, titik potongnya di $(0, 5)$.
Pernyataan iii salah.
Cek Pernyataan iv:
Grafik fungsi $f(x)=3^{2-x}-4$ mempunyai asimtot datar. Sebelumnya, kita tahu bahwa $3^{2-x}$ pasti positif berapapun nilai $x$ sehingga asimtot datarnya adalah $y = 0$.
Ini berarti, $f(x) = 3^{2-x}-4$ mempunyai asimtot datar dengan persamaan $y = 0-4 = -4$.
Pernyataan iv salah.
Cek Pernyataan v:
Berdasarkan hasil pengecekan di pernyataan iv, asimtot datar $f(x)$ adalah $y=-4$. Dapat dikatakan bahwa semakin besar nilai $x$, nilai $f(x)$ mendekati $-4$ (tetapi tidak pernah sampai).
Jadi, pernyataan v benar.
(Jawaban D)

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} f\left(\dfrac{1}{2.005}\right) + f\left(\dfrac{2.004}{2.005}\right) & = \left(\dfrac{e^{\frac{1}{2.005}}}{e^{\frac{1}{2.005}} + \sqrt{e}}\right) + \left(\dfrac{e^{\frac{2.004}{2.005}}}{e^{\frac{2.004}{2.005}} + \sqrt{e}}\right) \\ & = \dfrac{e^{\frac{1}{2.005}}\left(e^{\frac{2.004}{2.005}} + \sqrt{e}\right) + e^{\frac{2.004}{2.005}}\left(e^{\frac{1}{2.005}} + \sqrt{e}\right)}{\left(e^{\frac{1}{2.005}} + \sqrt{e}\right)\left(e^{\frac{2.004}{2.005}} + \sqrt{e}\right)} \\ & = \dfrac{\color{red}{e} + \color{blue}{e^{\frac{1}{2.005}}\sqrt{e}} + \color{red}{e} + \color{green}{e^{\frac{2.004}{2.005}}\sqrt{e}}}{\color{red}{e} + \color{blue}{e^{\frac{1}{2005}}\sqrt{e}} + \color{green}{e^{\frac{2.004}{2.005}} \sqrt{e}} + \color{red}{e}} \\ & = 1 \end{aligned}$$Prinsip yang sama juga berlaku untuk pasangan $f\left(\dfrac{2}{2.005}\right) + f\left(\dfrac{2.003}{2.005}\right)$, dan seterusnya sampai $f\left(\dfrac{1.002}{2.005}\right) + f\left(\dfrac{1.003}{2.005}\right)$, yang semuanya bernilai $1$. Karena ada $1.002$ pasang, maka nilai dari operasi fungsi tersebut adalah $\boxed{1.002 \times 1 = 1.002}$
(Jawaban B)

Diketahui $f(x) = 500 + 2^x$.
Perhatikan bahwa $x$ harus berupa bilangan bulat positif karena dicatat setiap jam.
Tabel berikut menunjukkan populasi virus saat jam-jam pertama.
$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Nilai}~x & \text{Nilai}~f(x) \\ \hline 1 & 500+2 = 502 \\ 2 & 500 + 4 = 504 \\ 3 & 500 + 8 = 508 \\ 4 & 500 + 16 = 516 \\ 5 & 500 + 32 = 532 \\ 6 & 500 + 64 = 564 \\ 7 & 500 + 128 = 628 \\ 8 & 500 + 256 = 756 \\ 9 & 500 + 512 = 1.012 \\ \hline \end{array}$
Berdasarkan nilai $f(x)$ di atas, yang tidak menunjukkan populasi virus adalah $\boxed{524}$
(Jawaban B)

Diketahui $f(x) = 3-4^{1+\frac12x}$.
Jawaban a)
Titik potong terhadap sumbu $Y$ tercapai ketika $x = 0$.
$\begin{aligned} f(0) & = 3-4^{1+\frac12(0)} \\ & = 3-4^{1+0} \\ & =3-4 = -1 \end{aligned}$
Jadi, koordinat titik potongnya adalah $(0, -1)$.
Jawaban b)
Daerah asal (domain) fungsi $f(x)$ adalah himpunan nilai $x$ yang membuat nilai fungsinya ada (terdefinisi). Setiap fungsi eksponen yang berbentuk $f(x) = k \cdot a^x + c$ memiliki domain berupa himpunan bilangan real, artinya setiap nilai $x$ yang kita masukkan akan menghasilkan nilai tertentu.
Jadi, daerah asal (domain) $f(x)$ adalah $D_f = \{x~|~x \in \mathbb{R}\}$.
Jawaban c)
Daerah hasil fungsi $f(x)$ dilihat dari asimtot datarnya.
Bentuk fungsi $g(x) = 4^{1+\frac12x}$ memiliki asimtot datar $x = 0$.
Karena $f(x) = 3-4^{1+\frac12x}$, maka asimtot datar $x = 3-0 = 3$.
Jadi, daerah hasilnya adalah himpunan semua bilangan real yang lebih dari $3$, ditulis $R_f = \{y~|~y > 3, y \in \mathbb{R}\}.$

Bentuk umum persamaan fungsi eksponen adalah $y = b \cdot a^x$ untuk $a \neq 0$.
Jawaban a)
Karena koordinat titik yang dipakai adalah $(0, 5)$, maka substitusi $x = 0$ dan $y = 5$ pada persamaan fungsi eksponen tersebut menghasilkan
$$\begin{aligned} 5 & = b \cdot a^0 \\ 5 & = b \cdot 1 \\ b & = 5 \end{aligned}$$Jadi, nilai tetapan (konstanta) $b$ adalah $\boxed{5}$
Jawaban b)
Fungsi eksponen sekarang berbentuk $y = 5 \cdot a^x$.
Karena koordinat titik yang dipakai adalah $(3, 40)$, maka substitusi $x = 3$ dan $y = 40$ pada persamaan fungsi eksponen tersebut menghasilkan
$$\begin{aligned} 40 & = 5 \cdot a^3 \\ 8 & = a^3 \\ a & = 2 \end{aligned}$$Jadi, nilai tetapan (konstanta) $a$ adalah $\boxed{2}$
Jawaban c)
Sekarang, kita telah peroleh fungsi eksponen dengan model/rumus $f(x) = 5 \cdot 2^x$.
Jawaban d)
Akan dicari nilai $f(-3)$ dan $f(5)$.
$$\begin{aligned} f(-3) & = 5 \cdot 2^{-3} \\ & = 5 \cdot \dfrac18 = \dfrac58 \\ f(5) & = 5 \cdot 2^5 \\ & = 5 \cdot 32 = 160 \end{aligned}$$Jadi, nilai fungsi untuk $x = -3$ dan $x = 5$ berturut-turut adalah $f(-3) = \dfrac58$ dan $f(5) = 160$.

Diketahui $y = f(x)=-4^{a-bx}$.
Karena grafik $f(x)$ melalui titik $(0, -4)$, artinya $x=0$ dan $y=-4$, kita peroleh
$\begin{aligned} -4 & = -4^{a-b(0)} \\ -4^1 & = -4^a \\ \Rightarrow a & = 1 \end{aligned}$
Sekarang, $f(x) = -4^{1-bx}$.
Jika grafik $f(x)$ digeser $3$ satuan ke atas menjadi $g(x)$, maka itu artinya $g(x) = f(x) + 3 = -4^{1-bx} + 3$.
Karena grafik $g(x)$ melalui titik $(1,1)$, artinya $x=1$ dan $y=1$, kita peroleh
$\begin{aligned} 1 & = -4^{1-b(1)}+3 \\ -2 & = -4^{1-b} \\ 2^1 & = 2^{2-2b} \\ 2-2b & = 1 \\ 2b & = 1 \\ b & = \dfrac12 \end{aligned}$
Jadi, dapat ditulis $g(x) = -4^{1-\frac12x} + 3.$
atau disederhanakan menjadi $\boxed{g(x) = -2^{2-x}+3}$

Diketahui $f(x) = 4\left(\dfrac13\right)^x$.
Dari informasi yang diberikan, kita dapatkan bahwa $h(x) = f(x-1) + 3.$
Dengan demikian,
$$\begin{aligned} h(-1)-h(1) & = (f(-1-1)+3)-(f(1-1) + 3) \\ & = f(-2)-f(0) \\ & = 4\left(\dfrac13\right)^{-2}- 4\left(\dfrac13\right)^{0} \\ & = 4(3)^2-4(1) \\ & = 36-4 = 32 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{h(-1)-h(1) = 32}$