Soal dan Pembahasan – Fungsi Eksponen (Pangkat)

Berikut disajikan sejumlah soal dan pembahasan terkait fungsi eksponen (pangkat) yang dipelajari saat kelas X pada mata pelajaran Matematika Peminatan. Gambar grafik yang disajikan di dalam postingan ini merupakan produk dari penggunaan aplikasi Geogebra. Soal juga dapat diunduh dalam format PDF dengan mengklik tautan berikut: Download (PDF, 340 KB).

Today Quote

One of the endlessly alluring aspects of mathematics is that its thorniest paradoxes have a way of blooming into beautiful theories.

Baca : Soal dan Pembahasan – Pangkat, Akar, dan Logaritma

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1
Diketahui grafik fungsi $f(x)=2 \cdot 3^{1-x}$. Grafik tersebut melalui titik $\cdots \cdot$
A. $\left(2, \dfrac13\right)$                   D. $(2, -3)$
B. $\left(2, \dfrac23\right)$                   E. $(2, -6)$
C. $\left(2, \dfrac43\right)$

Pembahasan

Berdasarkan opsi yang diberikan, semua titik memiliki absis $x=2$.
Untuk itu, kita uji nilai fungsi saat $x=2$.
Karena $f(x)=2 \cdot 3^{1-x}$, maka
$\begin{aligned} f(2) & = 2 \cdot 3^{1-\color{red}{2}} \\ & = 2 \cdot 3^{-1} \\ & = \dfrac23 \end{aligned}$
Ini artinya, nilai fungsi saat $x=2$ adalah $y = \dfrac23$. Dengan kata lain, fungsi tersebut melalui titik $\boxed{\left(2, \dfrac23\right)}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 2
Grafik fungsi $f(x)=k \cdot 2^{5x-8}$ melalui titik $(2, 20)$. Nilai $-3k$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-15$                  C. $-3$                    E. $15$
B. $-5$                    D. $5$

Pembahasan

Diketahui $f(x)=k \cdot 2^{5x-8}$.
Karena grafik fungsi melalui titik $(2, 20)$, yang artinya $\color{red}{x=2}$ dan $\color{blue}{y = f(2) = 20}$, kita peroleh
$\begin{aligned} \color{blue}{20} & = k \cdot 2^{5(2)-8} \\ 20 & = k \cdot 2^2 \\ k & = \dfrac{20}{4} = 5 \end{aligned}$
Dengan demikian, nilai dari $\boxed{-3k = -3(5) = -15}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 3
Grafik fungsi $f(x)=6^{x+1} + 6^{1-x}$ memotong sumbu-$Y$ di titik $\cdots \cdot$
A. $(0, 12)$                      D. $(6, 0)$
B. $(0, 6)$                        E. $(12, 0)$
C. $(0, 0)$

Pembahasan

Diketahui $f(x)=6^{x+1} + 6^{1-x}$.
Saat grafik fungsi memotong sumbu-$Y$, absis titik yang dilalui fungsi bernilai $0$, ditulis $x = 0$.
Untuk itu, kita peroleh
$\begin{aligned} f(0) & = 6^{0+1}+6^{1-0} \\ & = 6 + 6 = 12 \end{aligned}$
Dengan demikian, titik potong grafik fungsi $f(x)$ terhadap sumbu-$Y$ adalah $\boxed{(0, 12)}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 4
Jika $f(x)=2^x$, maka $f(m+n)$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $f(m)+f(n)$
B. $f(m) \cdot f(n)$
C. $f(m)-f(n)$
D. $\dfrac{f(m)}{f(n)}$
E. $[f(m)]^{f(n)}$

Pembahasan

Diketahui $f(x) = 2^x$, sehingga
$\begin{aligned} f(m+n) & = 2^{m+n} \\ & = 2^m \cdot 2^n \\ & = f(m) \cdot f(n) \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\boxed{f(m+n) = f(m) \cdot f(n)}$
(Jawaban B)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Fungsi Logaritma

Soal Nomor 5
Jika $f(x) = 2^x$, maka nilai dari $\dfrac{f(x+3)}{f(x-1)} = \cdots \cdot$
A. $f(2)$                    D. $f\left(\dfrac{x+3}{x-1}\right)$
B. $f(4)$                    E. $f(2x+2)$
C. $f(16)$

Pembahasan

Diketahui $f(x) = 2^x$. Ini berarti,
$f(x+3) = 2^{x+3}$ dan $f(x-1) = 2^{x-1}$.
Oleh karena itu, kita mendapat
$\begin{aligned} \dfrac{f(x+3)}{f(x-1)} & = \dfrac{2^{x+3}}{2^{x-1}} \\ & = \dfrac{\cancel{2^x} \cdot 2^3}{\cancel{2^x} \cdot 2^{-1}} \\ & = \dfrac{2^3}{2^{-1}} = 2^3 \times 2^1 = 2^4 \end{aligned}$
Karena $f(x) = 2^x \Rightarrow f(4) = 2^4$, maka hasil dari $\boxed{\dfrac{f(x+3)}{f(x-1)} = f(4)}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 6
Jika $f(x)=3^x$, maka $f(a+2b-c) = \cdots \cdot$
A. $f(a)+f(2b)-f(c)$
B. $\dfrac{2f(a) \cdot f(b)}{f(c)}$
C. $\dfrac{f(a) \cdot (f(b))^2}{f(c)}$
D. $\dfrac{f(a)+(f(b))^2}{f(c)}$
E. $f(a+2b)-f(c)$

Pembahasan

Diketahui $f(x) = 3^x$, sehingga
$\begin{aligned} f(a+2b-c) & = 3^{a+2b-c} \\ & = \dfrac{3^a \cdot 3^{2b}}{3^c} \\ & = \dfrac{3^a \cdot (3^{b})^2}{3^c} \\ & = \dfrac{f(a) \cdot (f(b))^2}{f(c)} \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\boxed{f(a+2b-c) =\dfrac{f(a) \cdot (f(b))^2}{f(c)}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 7
Jika $f(x)=4^{x+1}$, maka $f(a+b)= \cdots \cdot$
A. $f(a) \cdot f(b)$
B. $f(a)+f(b)$
C. $4f(a) \cdot f(b)$
D. $\dfrac14f(a) \cdot f(b)$
E. $\dfrac{1}{16}f(a) \cdot f(b)$

Pembahasan

Diketahui $f(x)=4^{\color{red}{x}+1}$.
Dengan demikian,
$\begin{aligned} f(a+b) & = 4^{\color{red}{(a+b)}+1} \\ & = 4^{(a+1)+(b+1)-1} \\ & = 4^{a+1} \cdot 4^{b+1} \cdot 4^{-1} \\ & = f(a) \cdot f(b) \cdot \dfrac14 \\ & =\dfrac14f(a) \cdot f(b) \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\boxed{f(a+b) = \dfrac14f(a) \cdot f(b)}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 8
Jarak kedua titik potong kurva $y = 2^{2x+1}-5 \cdot 2^x+2$ dengan sumbu-$X$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2$                     C. $4$                    E. $6$
B. $3$                     D. $5$

Pembahasan

Diketahui $y = 2^{2x+1}-5 \cdot 2^x+2$.
Saat grafik fungsi memotong sumbu-$X$, ordinat titik yang dilalui fungsi bernilai $0$, ditulis $y = 0$.
Untuk itu, kita peroleh
$\begin{aligned} 2^{2x+1}-5 \cdot 2^x+2 & = 0 \\ 2^{2x} \cdot 2^1-5 \cdot 2^x+2 & = 0 \\ (2^x)^2 \cdot 2-5 \cdot 2^x + 2 & = 0 \end{aligned}$
Misalkan $2^x = a$, maka didapat
$\begin{aligned} 2a^2-5a+2 & = 0 \\ (2a-1)(a-2) & =0 \end{aligned}$
Diperoleh $a = \dfrac12$ atau $a=2$.
Substitusi kembali:
$a = 2^x = \dfrac12 = 2^{-1} \Rightarrow x=-1$
$a=2^x = 2 = 2^1 \Rightarrow x = 1$
Jadi, koordinat titik potong grafik fungsi terhadap sumbu-$X$ adalah $(-1, 0)$ dan $(1,0)$.
Jarak kedua titik ini pada bidang Kartesius adalah $\boxed{1-(-1) = 2}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 9
Daerah hasil dari $y=f(x)=5+3^{2x-1}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{y \mid y<5, y \in \mathbb{R}\}$
B. $\{y \mid y>0, y \in \mathbb{R}\}$
C. $\{y \mid y>5, y \in \mathbb{R}\}$
D. $\{y \mid 0<y<5, y \in \mathbb{R}\}$
E. $\{y \mid 1<y<5, y \in \mathbb{R}\}$

Pembahasan

Diketahui $y = f(x) = 5 + 3^{2x-1}$.
Daerah hasil dibatasi oleh asimtot datar grafik fungsi.
Perhatikan bahwa rumus fungsi tersebut dapat kita tulis menjadi $3^{2x-1} = 5-y$.
Asimtot datar tercapai saat bentuk $a^n = 0$ sehingga haruslah
$5-y = 0 \Leftrightarrow y = 5$.
Dengan demikian, grafik fungsi memiliki nilai untuk setiap $y$ terkecuali untuk $y \leq 5$.
Jadi, daerah hasilnya adalah $\{y \mid y>5, y \in \mathbb{R}\}$.
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 10
Daerah hasil fungsi $f(x)=3^{2-9x}-4$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{y \mid y>-4\}$
B. $\{y \mid y>-3\}$
C. $\{y \mid y>0\}$
D. $\{y \mid y>3\}$
E. $\{y \mid y>4\}$

Pembahasan

Diketahui $y = f(x) = 3^{2-9x}-4$.
Misalkan $g(x) = 3^{2-9x}$. Perhatikan bahwa $g(x)$ memiliki asimtot datar $y = 0$, yang artinya $g(x) > 0$ untuk setiap $x \in \mathbb{R}$.
Untuk itu, $f(x) = 3^{2-9x}-4$ memiliki asimtot datar $y = 0-4 = -4$, yang artinya $f(x) > -4$ untuk setiap $x \in \mathbb{R}$.
Jadi, daerah hasilnya adalah $\{y \mid y>-4\}$.
(Jawaban A)

[collapse]

Baca : Soal dan Pembahasan – Pangkat, Akar, dan Logaritma (Versi HOTS dan Olimpiade

Soal Nomor 11
Persamaan grafik sesuai dengan gambar di bawah adalah $\cdots \cdot$
Fungsi Eksponen
A. $y = 2 \cdot 2^x$
B. $y = (-2) \cdot 3^{-x}$
C. $y = 2 \cdot 3^x$
D. $y = 3 \cdot 2^x$
E. $y = (-3) \cdot 2^x$

Pembahasan

Grafik fungsi melalui titik $(0, 2)$, $(1, 6)$, dan $(2, 18)$.
Tampak bahwa grafik fungsi eksponen tidak mengalami pergeseran ke atas/bawah karena asimtot datarnya $x = 0$ sehingga bentuk umumnya adalah $f(x) = k \cdot a^x$.
Karena grafik melalui $(0, 2)$, artinya $x = 0$ dan $y = 2$, diperoleh
$\begin{aligned} f(x) & = k \cdot a^x \\ \Rightarrow 2 & = k \cdot a^0 \\ 2 & = k \cdot 1 \\ k & = 2 \end{aligned}$
Fungsi eksponennya menjadi $f(x) = 2 \cdot a^x$.
Karena grafik melalui $(1, 6)$, artinya $x = 1$ dan $y = 6$, diperoleh
$\begin{aligned} f(x) & = 2 \cdot a^x \\ \Rightarrow 6 & = 2 \cdot a^1 \\ 6 & = 2 \cdot a \\ a & = 3 \end{aligned}$
Fungsi eksponennya menjadi $\boxed{f(x) = 2 \cdot 3^x}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 12
Fungsi yang sesuai dengan grafik berikut adalah $\cdots \cdot$
Fungsi Eksponen


A. $f(x)=2^x$
B. $f(x)=2^{x+1}$
C. $f(x)=2^x+1$
D. $f(x)=3^x+1$
E. $f(x)=3^x$

Pembahasan

Grafik fungsi melalui $(0, 2)$ dan $(1, 3)$ serta memiliki asimtot datar $x = 1$ (bergeser ke atas sejauh $1$ satuan) sehingga bentuk umumnya adalah $f(x) = k \cdot a^x + 1$.
Karena grafik melalui $(0, 2)$, artinya $x = 0$ dan $y = 2$, diperoleh
$\begin{aligned} f(x) & = k \cdot a^x + 1 \\ \Rightarrow 2 & = k \cdot a^0 + 1 \\ 2 & = k \cdot 1 + 1 \\ k & = 1 \end{aligned}$
Fungsi eksponennya menjadi $f(x) = 1 \cdot a^x + 1 = a^x+1$.
Karena grafik melalui $(1, 3)$, artinya $x = 1$ dan $y = 3$, diperoleh
$\begin{aligned} f(x) & =a^x + 1 \\ \Rightarrow 3 & = a^1 + 1 \\ 2 & = a^1 \\ a & = 2 \end{aligned}$
Fungsi eksponennya menjadi $\boxed{f(x) = 2^x+1}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 13
Fungsi yang sesuai dengan grafik berikut adalah $\cdots \cdot$
Fungsi Eksponen

A. $y = 6 \times 2^x$
B. $y = 6 \times 2^{x-1}$
C. $y = 6 \times 2^{1-x}$
D. $y = 3 \times 2^{x-1}$
E. $y = 3 \times 2^{1-x}$

Pembahasan

Grafik fungsi eksponen itu melalui titik $(0, 6)$. Fungsi eksponen itu monoton turun dan berasimtot datar $x=0$ dengan bentuk umum $y = k \cdot a^{-x}$.
Substitusi $x = 0$ dan $y = 6$ menghasilkan
$\begin{aligned} 6 & = k \cdot a^{-0} \\ 6 & = k \cdot 1 \\ k & = 6 \end{aligned}$
Rumus fungsinya menjadi $y = 6 \cdot a^{-x}$.
Berdasarkan opsi yang diberikan, kita ambil $a = 2$.
$\begin{aligned} y & = 6 \cdot 2^{-x} \\ & = 3 \cdot 2 \cdot 2^{-x} \\ & = 3 \cdot 2^{1-x} \end{aligned}$
Jadi, fungsi yang sesuai dengan grafik itu adalah $\boxed{y=3 \cdot 2^{1-x}}$
(Jawaban E)

[collapse]

Baca : Soal dan Pembahasan – Persamaan Eksponen

Soal Nomor 14
Grafik $f(x) = \left(\dfrac14\right)^x$ ditunjukkan oleh gambar $\cdots \cdot$
Fungsi Eksponen
Fungsi Eksponen
Fungsi Eksponen
Fungsi Eksponen
Fungsi Eksponen

Pembahasan

Diketahui $f(x) = \left(\dfrac14\right)^x$.
Plot titik-titik yang dilalui oleh fungsi tersebut pada bidang Kartesius menggunakan tabel seperti berikut.
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & 16 & 4 & 1 & \dfrac14 & \dfrac{1}{16} \\ \hline \end{array}$
Hubungkan kelima titik tersebut sehingga membentuk kurva lengkung seperti gambar. Perhatikan bahwa asimtot datarnya adalah $x = 0$.
Fungsi Eksponen
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 15
Sketsa grafik fungsi $y = 4-4 \cdot 2^x$ ditunjukkan oleh $\cdots \cdot$
Fungsi Eksponen
Fungsi Eksponen
Fungsi Eksponen
Fungsi Eksponen
Fungsi Eksponen

Pembahasan

Diketahui $f(x) = 4-4 \cdot 2^x$.
Plot titik-titik yang dilalui oleh fungsi tersebut pada bidang Kartesius menggunakan tabel seperti berikut.
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & 3 & 2 & 0 & -4 & -12 \\ \hline \end{array}$
Hubungkan kelima titik tersebut sehingga membentuk kurva lengkung seperti gambar. Perhatikan bahwa asimtot datarnya adalah $x = 4$.
Fungsi Eksponen
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 16
Sketsa grafik fungsi $f(x) = 10 \cdot \left(\dfrac15\right)^{1-x}$ ditunjukkan oleh $\cdots \cdot$
Fungsi Eksponen
Fungsi Eksponen
Fungsi Eksponen
Fungsi Eksponen
Fungsi Eksponen

Pembahasan

Diketahui $f(x) = 10 \cdot \left(\dfrac15\right)^{1-x}$.
Plot titik-titik yang dilalui oleh fungsi tersebut pada bidang Kartesius menggunakan tabel seperti berikut.
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & \dfrac{10}{125} & \dfrac{10}{25} & 2 & 10 & 50 \\ \hline \end{array}$
Tampak bahwa semakin besar nilai $x$, nilai $y$ juga jauh semakin besar.
Hubungkan tiga titik yang ada (pilih yang nilainya kecil saja) sehingga membentuk kurva lengkung seperti gambar. Perhatikan bahwa asimtot datarnya adalah $x = 0$.
Fungsi Eksponen
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 17
Perhatikan gambar berikut.
Dua fungsi eksponen

Jika $C_1$ merupakan grafik fungsi $y=f(x)=a^x$, $0<a<1$, maka $C_2$ merupakan grafik fungsi $\cdots \cdot$
A. $y = a^{x+2}$                D. $y = 2a^x$
B. $y = a^{x-2}$                 E. $y = (2a)^x$
C. $y = a^{2x}$

Pembahasan

Perhatikan bahwa $C_1$ melalui titik $(0, 1)$, sedangkan $C_2$ melalui titik $(0, 2)$. $C_1$ dan $C_2$ memiliki nilai basis yang sama, yaitu $a$ serta asimtot datarnya $y = 0$.
Karena itu, kemungkinan rumus fungsi dari $C_2$ adalah $2f(x) = 2a^x$.
Cek kesesuaian:
$2f(0) = 2a^0 = 2(1) = 2$
Artinya, grafik melalui titik $(0, 2)$.
Catatan: Informasi pada soal sebenarnya belum cukup untuk menentukan rumus eksak fungsi dari grafik $C_2$.
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 18 ($\bigstar$ HOTS $\bigstar$)
Pernyataan-pernyataan berikut berhubungan dengan grafik fungsi $f(x)=3^{2-x}-4$.

  1. Grafik fungsi $f(x)$ monoton naik.
  2. Grafik fungsi $f(x)$ monoton turun.
  3. Grafik fungsi $f(x)$ memotong sumbu-$Y$ di titik $(0,9)$.
  4. Untuk $x$ semakin besar, nilai $f(x)$ mendekati $-4$.

Pernyataan yang benar adalah $\cdots \cdot$
A. i dan iii                           D. ii dan v
B. i dan iv                           E. iii dan v
C. ii dan iv

Pembahasan

Diketahui $f(x)=3^{2-x}-4$.
Cek Pernyataan i dan ii:
$f(x)$ dikatakan monoton naik apabila $f(x_1) < f(x_2)$ dengan $x_1 < x_2$ untuk setiap $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$. Sederhananya secara geometris, grafik fungsinya semakin ke atas (naik) ketika nilai $x$ semakin membesar (ke kanan).
Tinjau $f(x+1) = 3^{2-(x+1)}-4$.
Dapat kita sederhanakan menjadi
$\begin{aligned} f(x+1) & = 3^{(2-x)-1}-4 \\ & = 3^{2x-1} \cdot 3^{-1}-4 \\ & = \dfrac13 \cdot 3^{2x-1}-4 \end{aligned}$
Karena $3^{2x-1} > 0$, maka jelas bahwa $\dfrac13 \cdot 3^{2x-1}-4 < 3^{2x-1}-4$, yang berarti $f(x+1) < f(x)$.
Dengan kata lain, semakin $x$ membesar, nilai fungsi justru semakin turun. Jadi, $f(x)$ adalah fungsi yang monoton turun.
Pernyataan i salah.
Pernyataan ii benar.
Cek Pernyataan iii:
Grafik fungsi $f(x)$ memotong sumbu-$Y$ saat $x = 0$.
Karena $f(x)=3^{2-x}-4$, maka kita peroleh $f(0) = 3^{2-0}-4 = 3^2-4 = 5$. Jadi, titik potongnya di $(0, 5)$.
Pernyataan iii salah.
Cek Pernyataan iv:
Grafik fungsi $f(x)=3^{2-x}-4$ mempunyai asimtot datar. Sebelumnya, kita tahu bahwa $3^{2-x}$ pasti positif berapapun nilai $x$ sehingga asimtot datarnya adalah $y = 0$.
Ini berarti, $f(x) = 3^{2-x}-4$ mempunyai asimtot datar dengan persamaan $y = 0-4 = -4$.
Pernyataan iv salah.
Cek Pernyataan v:
Berdasarkan hasil pengecekan di pernyataan iv, asimtot datar $f(x)$ adalah $y=-4$. Dapat dikatakan bahwa semakin besar nilai $x$, nilai $f(x)$ mendekati $-4$ (tetapi tidak pernah sampai).
Jadi, pernyataan v benar.
(Jawaban D)

[collapse]

Baca : Soal dan Pembahasan – Persamaan Pangkat (Eksponen) Sederhana

Soal Nomor 19 (Soal Seleksi Olimpiade)
Suatu fungsi dinyatakan sebagai $f(x) = \dfrac{e^x}{e^x + \sqrt{e}}$ dengan $e$ sebagai konstanta euler. Nilai dari $f\left(\dfrac{1}{2005}\right) + f\left(\dfrac{2}{2005}\right) + \cdots + f\left(\dfrac{2004}{2005}\right)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1$                           D. $2004$
B. $1002$                      E. $2005$
C. $1003$

Pembahasan

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} f\left(\dfrac{1}{2005}\right) + f\left(\dfrac{2004}{2005}\right) & = \left(\dfrac{e^{\frac{1}{2005}}}{e^{\frac{1}{2005}} + \sqrt{e}}\right) + \left(\dfrac{e^{\frac{2004}{2005}}}{e^{\frac{2004}{2005}} + \sqrt{e}}\right) \\ & = \dfrac{e^{\frac{1}{2005}}\left(e^{\frac{2004}{2005}} + \sqrt{e}\right) + e^{\frac{2004}{2005}}\left(e^{\frac{1}{2005}} + \sqrt{e}\right)}{\left(e^{\frac{1}{2005}} + \sqrt{e}\right)\left(e^{\frac{2004}{2005}} + \sqrt{e}\right)} \\ & = \dfrac{\color{red}{e} + \color{blue}{e^{\frac{1}{2005}}\sqrt{e}} + \color{red}{e} + \color{green}{e^{\frac{2004}{2005}}\sqrt{e}}}{\color{red}{e} + \color{blue}{e^{\frac{1}{2005}}\sqrt{e}} + \color{green}{e^{\frac{2004}{2005}} \sqrt{e}} + \color{red}{e}} \\ & = 1 \end{aligned}$$Prinsip yang sama juga berlaku untuk pasangan $f\left(\dfrac{2}{2005}\right) + f\left(\dfrac{2003}{2005}\right)$, dan seterusnya sampai $f\left(\dfrac{1002}{2005}\right) + f\left(\dfrac{1003}{2005}\right)$, yang semuanya bernilai $1$. Karena ada $1002$ pasang, maka nilai dari operasi fungsi tersebut adalah $\boxed{1002 \times 1 = 1002}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 20
Para ilmuwan meneliti suatu virus jenis baru di dalam laboratorium. Mereka menemukan bahwa banyaknya virus tersebut mengikuti fungsi eksponen $f(x) = 500 + 2^x$, dengan $x$ menunjukkan lamanya observasi (dalam satuan jam). Populasi virus dicatat setiap jam selama beberapa hari. Manakah yang tidak menunjukkan populasi virus yang tercatat setelah diobservasi selama jam tertentu?
A. $504$                       D. $756$
B. $524$                       E. $1.012$
C. $628$

Pembahasan

Diketahui $f(x) = 500 + 2^x$.
Perhatikan bahwa $x$ harus berupa bilangan bulat positif karena dicatat setiap jam.
Tabel berikut menunjukkan populasi virus saat jam-jam pertama.
$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Nilai}~x & \text{Nilai}~f(x) \\ \hline 1 & 500+2 = 502 \\ 2 & 500 + 4 = 504 \\ 3 & 500 + 8 = 508 \\ 4 & 500 + 16 = 516 \\ 5 & 500 + 32 = 532 \\ 6 & 500 + 64 = 564 \\ 7 & 500 + 128 = 628 \\ 8 & 500 + 256 = 756 \\ 9 & 500 + 512 = 1.012 \\ \hline \end{array}$
Berdasarkan nilai $f(x)$ di atas, yang tidak menunjukkan populasi virus adalah $\boxed{524}$
(Jawaban B)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 1
Diketahui fungsi $f(x)=3-4^{1+\frac12x}$. Tentukan:
a. titik potong terhadap sumbu-$Y$;
b. daerah asal fungsi $f(x)$;
c. daerah hasil fungsi $f(x)$.

Pembahasan

Diketahui $f(x) = 3-4^{1+\frac12x}$.
Jawaban a)
Titik potong terhadap sumbu-$Y$ tercapai ketika $x = 0$.
$\begin{aligned} f(0) & = 3-4^{1+\frac12(0)} \\ & = 3-4^{1+0} \\ & =3-4 = -1 \end{aligned}$
Jadi, koordinat titik potongnya adalah $(0, -1)$.
Jawaban b)
Daerah asal (domain) fungsi $f(x)$ adalah himpunan nilai $x$ yang membuat nilai fungsinya ada (terdefinisi). Setiap fungsi eksponen yang berbentuk $f(x) = k \cdot a^x + c$ memiliki domain berupa himpunan bilangan real, artinya setiap nilai $x$ yang kita masukkan akan menghasilkan nilai tertentu.
Jadi, daerah asal (domain) $f(x)$ adalah $D_f = \{x~|~x \in \mathbb{R}\}$.
Jawaban c)
Daerah hasil fungsi $f(x)$ dilihat dari asimtot datarnya.
Bentuk fungsi $g(x) = 4^{1+\frac12x}$ memiliki asimtot datar $x = 0$.
Karena $f(x) = 3-4^{1+\frac12x}$, maka asimtot datar $x = 3-0 = 3$.
Jadi, daerah hasilnya adalah himpunan semua bilangan real yang lebih dari $3$, ditulis $R_f = \{y~|~y > 3, y \in \mathbb{R}\}$

[collapse]

Soal Nomor 2
Andaikan $(0, 5)$ dan $(3, 40)$ adalah titik-titik yang terletak pada suatu grafik fungsi eksponen.

  1. Gunakan titik $(0, 5)$ dengan mensubstitusikannya ke bentuk umum fungsi eksponen $y = b \cdot a^x$ untuk menentukan tetapan $b$.
  2. Gunakan jawaban a dan substitusi $(3, 40)$ ke fungsi eksponen untuk menentukan tetapan $a$.
  3. Tulislah model fungsi eksponen tersebut.
  4. Hitunglah nilai fungsi untuk $x = -3$ dan $x = 5$.

Pembahasan

Bentuk umum persamaan fungsi eksponen adalah $y = b \cdot a^x$ untuk $a \neq 0$.
Jawaban a)
Karena koordinat titik yang dipakai adalah $(0, 5)$, maka substitusi $x = 0$ dan $y = 5$ pada persamaan fungsi eksponen tersebut menghasilkan
$$\begin{aligned} 5 & = b \cdot a^0 \\ 5 & = b \cdot 1 \\ b & = 5 \end{aligned}$$Jadi, nilai tetapan (konstanta) $b$ adalah $\boxed{5}$
Jawaban b)
Fungsi eksponen sekarang berbentuk $y = 5 \cdot a^x$.
Karena koordinat titik yang dipakai adalah $(3, 40)$, maka substitusi $x = 3$ dan $y = 40$ pada persamaan fungsi eksponen tersebut menghasilkan
$$\begin{aligned} 40 & = 5 \cdot a^3 \\ 8 & = a^3 \\ a & = 2 \end{aligned}$$Jadi, nilai tetapan (konstanta) $a$ adalah $\boxed{2}$
Jawaban c)
Sekarang, kita telah peroleh fungsi eksponen dengan model/rumus $f(x) = 5 \cdot 2^x$.
Jawaban d)
Akan dicari nilai $f(-3)$ dan $f(5)$.
$$\begin{aligned} f(-3) & = 5 \cdot 2^{-3} \\ & = 5 \cdot \dfrac18 = \dfrac58 \\ f(5) & = 5 \cdot 2^5 \\ & = 5 \cdot 32 = 160 \end{aligned}$$Jadi, nilai fungsi untuk $x = -3$ dan $x = 5$ berturut-turut adalah $f(-3) = \dfrac58$ dan $f(5) = 160$.

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan – Persamaan Logaritma

Soal Nomor 3 ($\bigstar$ HOTS $\bigstar$)
Grafik fungsi $f(x)=-4^{a-bx}$ memotong sumbu-$Y$ di titik $(0, -4)$. Jika grafik fungsi $f(x)$ digeser ke atas $3$ satuan akan menghasilkan grafik fungsi $g(x)$ yang melalui titik $(1,1)$. Tentukan persamaan grafik fungsi $g(x)$.

Pembahasan

Diketahui $y = f(x)=-4^{a-bx}$.
Karena grafik $f(x)$ melalui titik $(0, -4)$, artinya $x=0$ dan $y=-4$, kita peroleh
$\begin{aligned} -4 & = -4^{a-b(0)} \\ -4^1 & = -4^a \\ \Rightarrow a & = 1 \end{aligned}$
Sekarang, $f(x) = -4^{1-bx}$.
Jika grafik $f(x)$ digeser $3$ satuan ke atas menjadi $g(x)$, maka itu artinya $g(x) = f(x) + 3 = -4^{1-bx} + 3$.
Karena grafik $g(x)$ melalui titik $(1,1)$, artinya $x=1$ dan $y=1$, kita peroleh
$\begin{aligned} 1 & = -4^{1-b(1)}+3 \\ -2 & = -4^{1-b} \\ 2^1 & = 2^{2-2b} \\ 2-2b & = 1 \\ 2b & = 1 \\ b & = \dfrac12 \end{aligned}$
Jadi, dapat ditulis $g(x) = -4^{1-\frac12x} + 3$.
atau disederhanakan menjadi $\boxed{g(x) = -2^{2-x}+3}$

[collapse]

Soal Nomor 4 ($\bigstar$ HOTS $\bigstar$)
Grafik fungsi $f(x) = 4\left(\dfrac13\right)^x$ digeser ke kanan $1$ satuan, lalu digeser ke atas $3$ satuan menghasilkan grafik fungsi $h(x)$. Tentukan nilai $h(-1)-h(1)$.

Pembahasan

Diketahui $f(x) = 4\left(\dfrac13\right)^x$.
Dari informasi yang diberikan, kita dapatkan bahwa $h(x) = f(x-1) + 3$.
Dengan demikian,
$$\begin{aligned} h(-1)-h(1) & = (f(-1-1)+3)-(f(1-1) + 3) \\ & = f(-2)-f(0) \\ & = 4\left(\dfrac13\right)^{-2}- 4\left(\dfrac13\right)^{0} \\ & = 4(3)^2-4(1) \\ & = 36-4 = 32 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{h(-1)-h(1) = 32}$

[collapse]

4 Replies to “Soal dan Pembahasan – Fungsi Eksponen (Pangkat)”

Tinggalkan Balasan

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *