Soal dan Pembahasan – Transformasi (Geometri)

Berikut ini adalah soal bab TRANSFORMASI yang diambil dari buku berjudul “Geometri Transformasi” oleh Rawuh (dengan sedikit modifikasi dan perbaikan).

Soal Nomor 1
Andaikan g dan h dua garis yang sejajar pada bidang Euclides V. A sebuah titik yang terletak di tengah antara g dan h. Sebuah T padanan dengan daerah asal g didefinisikan sebagai berikut.
Apabila P \in g, maka P' = T(P) = \overleftrightarrow{PA} \cap h
a) Apakah daerah nilai T?
b) Apabila D \in g, E \in g, D \in E, buktikan bahwa D'E'= DE; D' = T(D), E' = T(E)
c) Apakah T injektif?

Penyelesaian

Lukislah garis g dan h sebagai berikut (h sejajar dengan g).

Letakkan titik P pada garis g. Posisikan titik A di tengah-tengah antara kedua garis itu. Tarik garis lurus yang melalui titik A dan P, sehingga nantinya garis tersebut memotong garis h. Titik potongnya adalah P' = T(P) dan merupakan daerah nilai (range) T.
Jawaban a)
Daerah nilai T adalah garis h.
Jawaban b)
Perhatikan gambar berikut.

Perhatikan segitiga ADE dan AD'E'. Diketahui bahwa \angle DAE = \angle D'AE' karena sudutnya bertolak belakang dan DA = AD' serta EA = AE' (sebab A berada di tengah-tengah garis g dan h). Berdasarkan teorema kekongruenan segitiga, dapat dikatakan bahwa kedua segitiga ini kongruen (sisi-sudut-sisi). Oleh karena itu, haruslah D'E' = DE (terbukti).
Jawaban c)
Akan dibuktikan T injektif.
Perhatikan gambar berikut.

Ambil dua titik X dan Y pada g, dengan X \neq Y. Akan ditunjukkan bahwa T(X) \neq T(Y) dengan menggunakan kontradiksi. Andaikan T(X) = T(Y).
Perhatikan bahwa T(X) = \overleftrightarrow{XA} \cap H dan T(Y)=\overleftrightarrow{YA} \cap H. Dalam hal ini, \overleftrightarrow{XA} dan \overleftrightarrow{YA} memiliki dua titik sekutu (titik potong), yaitu titik A dan T(X) = T(Y) (dari pengandaian). Ini berarti, garis \overleftrightarrow{XA} berhimpit dengan garis \overleftrightarrow{YA}, sehingga haruslah X = Y. Hal ini menghasilkan kontradiksi, sebab pada redaksi awal telah dikatakan bahwa X \neq Y. Jadi, pengandaian diingkari. Dengan demikian, T(X) \neq T(Y) dan dapat disimpulkan bahwa T injektif (terbukti) \blacksquare.

[collapse]

Soal Nomor 2
Diketahui sebuah titik K dan ruas garis \overline{AB} dengan K \notin \overline{AB}. Ada sebuah garis g sehingga g \parallel \overleftrightarrow{AB} dan jarak antara K dan \overleftrightarrow{AB} adalah dua kali lebih panjang daripada jarak antara K dan g. Diberikan padanan T dengan daerah asal \overline{AB} dan daerah nilai g sehingga apabila P \in \overline{AB}, maka T(P) = P' = \overleftrightarrow{KP} \cap g.
a) Apakah bentuk himpunan peta-peta P' jika P bergerak pada \overline{AB}?
b) Buktikan bahwa T injektif.
c) Apabila E dan F dua titik pada \overline{AB}, apa yang dapat dikatakan mengenai jarak E'F' jika E' = T(E) dan F'= T(F)?

Penyelesaian

Perhatikan gambar transformasi T berikut dengan P'K = 2KP

Jawaban a)
Diketahui bahwa K \notin \overline{AB}, g // \overleftrightarrow{AB}, T : \overline{AB} \to g
Karena P \in \overline{AB} dan T(P) = P' = \overleftrightarrow{AB} \cap g, maka P' \in g. Jadi, himpunan peta-peta P' adalah ruas garis pada g.
Jawaban b)
Akan dibuktikan T injektif.
Ambil dua titik X dan Y pada g, dengan X \neq Y. Akan ditunjukkan bahwa T(X) \neq T(Y) dengan menggunakan kontradiksi. Andaikan T(X) = T(Y).
Perhatikan bahwa T(X) = \overleftrightarrow{KX} \cap g dan T(Y)=\overleftrightarrow{KY} \cap g. Dalam hal ini, \overleftrightarrow{KX} dan \overleftrightarrow{KY} memiliki dua titik sekutu (titik potong), yaitu titik K dan T(X) = T(Y) (dari pengandaian). Ini berarti, garis \overleftrightarrow{KX} berhimpit dengan garis \overleftrightarrow{KY}, sehingga haruslah X = Y. Hal ini menghasilkan kontradiksi, sebab pada redaksi awal telah dikatakan bahwa X \neq Y. Jadi, pengandaian diingkari. Dengan demikian, T(X) \neq T(Y) dan dapat disimpulkan bahwa T injektif (terbukti) \blacksquare.
Jawaban c)

Diketahui E, F \in \overleftrightarrow{AB}, maka E', F' \in g sehingga EF \parallel E'F'.
Perhatikan segitiga \KE'F' dan KEF.
Diketahui bahwa
\dfrac{F'K} {FK} = \dfrac{E'K} {EK} = \dfrac{1}{2} dan \angle EKF = \angle E'KF sebab kedua sudutnya saling bertolak belakang. Jadi, kedua segitiga itu kongruen.
Akibatnya,
\dfrac{E'F'} {EF} = \dfrac{F'K} {FK} = \dfrac{E'K} {EK} = \dfrac{1}{2}
yang berarti E'F' = \dfrac{1}{2}EF.
Jadi, jarak E'F' adalah setengah kali jarak EF.

[collapse]

Soal Nomor 3
Diketahui tiga titik A, R, S berlainan dan tidak segaris. Ada padanan T yang didefinisikan sebagai berikut.
Diberikan T(A) = A, T(P) = P', sehingga P titik tengah \overline{AP'}
a) Lukislah R' = T(R).
b) Lukislah Z sehingga T(Z) = S
c) Apakah T suatu transformasi?

Penyelesaian

Jawaban a dan b)

Jawaban c)
Untuk membuktikan bahwa T transformasi, harus dibuktikan bahwa T surjektif dan injektif.
i) T surjektif
T surjektif jika \forall Y \in V terdapat prapeta X sehingga Y = T(X). Jika Y = A, maka prapetanya adalah A sendiri, karena T(A) = A. Apabila Y \neq1 A, maka terdapat X tunggal dengan X \in \overline{AY} sehingga AX = AY. Didapat X titik tengah \overline{AY}. Artinya, Y =T(X). Dapat disimpulkan bahwa untuk setiap Y \in V terdapat prapeta X sehingga Y = T(X). Jadi, T surjektif.
ii) T injektif
Ambil titik P, Q \neq A, P \neq Q, P, Q, A tidak segaris (kolinear). Andaikan T(P) = T(Q).
Oleh karena T(P) \in \overleftrightarrow{AP} dan T(Q) \in \overleftrightarrow{AQ}, maka dalam hal ini \overleftrightarrow{AP} dan \overleftrightarrow{AQ} memiliki dua titik sekutu, yaitu A dan T(P) = T(Q). Ini berarti kedua garis itu berimpit, sehingga haruslah Q \in \overleftrightarrow{AP}. Dengan kata lain, P, Q, A segaris dan ini jelas kontradiksi dengan redaksi awal. Pengandaian salah dan harus diingkari. Jadi, T(P) \neq T(Q). Berarti, T injektif.
Berdasarkan (i) dan (ii), T adalah suatu transformasi.

[collapse]

Soal Nomor 4
Diketahui P = (0,0), C_1 = \{(x, y)~ |~ x^2+y^2 = 1\}, dan C_2 = \{(x, y)~|~x^2+y^2 = 25\}.
T : C_1 \mapsto C_2 sdalah suatu padanan yang didefinisikan sebagai berikut.
Apabila X \in C_1, maka T(X) = X' = \overrightarrow{PX} \cap C_2.
a) Apabila A = (0,1), tentukan T(A)
b) Tentukan prapeta dari B(4,3)
c) Apabila Z sembarang titik pada daerah asal T, tentukan jarak ZZ' dengan Z' = T(Z).
d) Apabila E dan F dua titik pada daerah asal T, apa yang dapat dikatakan tentang jarak E'F'?

Penyelesaian


Jawaban a)
Posisikan titik A(0,1) pada koordinat Kartesius. Titik A terletak pada C_1. Tarik garis yang melalui titik A dan P sedemikian sehingga memotong C_2 di (0,5) (tepat pads sumbu Y. Jadi, T(A) = (0,5).
Jawaban b)
Perhatikan gambar berikut.

Perhatikan segitiga APC dan PQB. Kedua segitiga ini sebangun sehingga berlaku
\begin{aligned} & \dfrac{PC} {PQ} = \dfrac{PA} {PB} = \dfrac{AC} {BQ} \\ & \dfrac{PC} {PQ} = \dfrac{PA} {PB} \Leftrightarrow \dfrac{PC} {4} = \dfrac{1}{5} \\ & PC = \dfrac{4}{5} \\ & \dfrac{AC} {BQ} = \dfrac{PA} {PB} \Leftrightarrow \dfrac{AC} {3}= \dfrac{1}{5} \\ & AC = \dfrac{3}{5} \end{aligned}
Jadi, prapeta B adalah A = \left(\dfrac{4}{5}, \dfrac{3}{5}\right)
Jawaban c)
Misalkan Z berada pada C_1 dan Z' berada pada C_2 sedemikian sehingga Z' = T(Z). Karena PZ = 1 (jari-jari lingkaran kecil 1) dan PZ' = 5 (jari-jari lingkaran besar 5), maka jarak ZZ' dapat dinyatakan sebagai
|ZZ'| = 5 - 1 = 4
Jawaban d)
Misalkan E, F \in C_1,E \neq F.
Panjang busur EF dinyatakan sebagai
|EF| = \dfrac{\angle EPF} {2\pi}. (2\pi(1)) = \angle EPF
Selanjutnya, E' = T(E) dan F'= T(F). Panjang busur E'F' dinyatakan sebagai
|E'F'| = \dfrac{\angle E'PF'} {2\pi}. (2\pi(5)) = 5\angle E'PF'
Karena P, E, E' segaris dan juga P, F, F' segaris, maka besar sudut E'PF' sama dengan besar sudut EPF, sehingga
|E'F'| = 5\angle E'PF' = 5\angle EPF = 5|EF|
Jadi, panjang busur E'F' sama dengan 5 kali panjang busur EF

[collapse]

Soal Nomor 5
Diketahui f : V \mapsto V dengan V adalah suatu bidang Euclides. Jika P(x, y), maka f(P) = (|x|, |y|)
a) Tentukan f(A) jika A = (-3,6)
b) Tentukan semua prapeta dari titik B(4,2)
c) Apakah bentuk daerah nilai f?
d) Apakah f suatu transformasi?

Penyelesaian

Jawaban a)
Jika A(-3,6), maka berdasarkan definisi fungsi f, f(A) = (|-3|, |6|) = (3,6).
Jawaban b)
Dalam hal ini, harus dicari prapeta A(x, y) sedemikian sehingga f(A) = B = (4,2). Koordinat A yang mungkin ada 4, yaitu (4,2), (4,-2), (-4, 2), (-4,-2).
Jawaban c)
Daerah nilai f adalah himpunan semua titik-titik di kuadran I, sumbu koordinat positif, atau titik pangkal (titik asal (0,0)).
Jawaban d)
Ambil dua titik, misalnya A_1 = (3,5) \in V, A_2 = (3,-5) \in V. Jelas bahwa A_1 \neq A_2, tetapi f(A_1) = f(A_2) = (3,5). Jadi, terdapat A_1 \neq A_2, tetapi f(A_1) = f(A_2) sehingga dapat dikatakan bahwa f tidak injektif. Oleh karenanya,f bukanlah suatu transformasi.

[collapse]

Soal Nomor 6
Diketahui fungsi g : \text{sumbu X} \mapsto V di mana V bidang Euclides, didefinisikan sebagai berikut.
Apabila P(x, 0), maka g(P) =(x, x^2)
a) Tentukan peta A(3,0) oleh g
b) Apakah R(-14,196) anggota dari daerah nilai (daerah hasil/range) g?
c) Apakah g surjektif?
d) Gambarlah daerah nilai g.

Penyelesaian

Jawaban a)
Peta A(3,0) oleh g adalah g(A) = (3, 3^2) = (3,9).
Jawaban b)
R(-14,196) adalah daerah nilai g karena R mempunyai prapeta, yaitu (-14,0).
Jawaban c)
Ambil titik A' \in V dengan A'(a, b) dan b = a^2. Jelas terdapat A(a, 0) sehingga g(A) = A'. Jadi, g surjektif.
Jawaban d)

[collapse]

Soal Nomor 7
Suatu transformasi T : V \mapsto V didefinisikan sebagai berikut.
Apabila P(x, y), maka
i) T(P) = (x + 1, y), untuk x \geq 0
ii) T(P) = (x - 1, y), untuk x>0
a) Apakah T injektif?
b) Apakah T suatu transformasi?

Penyelesaian

Jawaban a)
Ambil titik P(x_1,y_1) dan Q(x_2,y_2) sehingga P \neq Q. Akan dibuktikan T(P) \neq T(Q).
Karena P \neq Q, maka x_1 \neq x_2 ATAU y_1 \neq y_2.
i) Untuk x \geq 0
T(P) = (x_1+1,y_1) dan T(Q) = (x_2+1,y_2)
Jelas x_1\neq x_2 mengimplikasikan x_1+1\neq x_2+1 atau y_1 \neq y_2. Jadi, T(P) \neq T(Q)
ii) Untuk x < 0
T(P) = (x_1-1,y_1) dan T(Q) = (x_2-1,y_2)
Jelas x_1\neq x_2 mengimplikasikan x_1-1\neq x_2-1 atau y_1 \neq y_2. Jadi, T(P) \neq T(Q)
Berdasarkan i) dan ii), dapat disimpulkan bahwa T injektif.
Jawaban b)
Untuk menunjukkan bahwa T suatu transformasi, harus ditunjukkan bahwa T injektif dan surjektif. T telah dibuktikan injektif pada jawaban a. Selanjutnya, akan ditunjukkan T surjektif.
i) Untuk x \geq 0
Andaikan A = (x', y')
Jika A memiliki prapeta B(x, y), maka haruslah berlaku T(A) = (x' + 1, y'). Jadi, x'+1=x, y'= y
atau
\begin{cases} x'=x-1 \\ y'=y \end{cases}
Jelas T(x-1,y) = ((x-1)+1,y) = (x, y)
Oleh karena x', y' selalu ada untuk sembarang nilai x, y, x \geq 0, maka A selalu ada sehingga T(A) = B.
ii) Untuk x < 0
Andaikan A = (x', y')
Jika A memiliki prapeta B(x, y), maka haruslah berlaku T(A) = (x' - 1, y'). Jadi, x'-1=x, y'= y
atau
\begin{cases} x'=x+1\\ y'=y \end{cases}
Jelas T(x+1,y) = ((x+1)-1,y) = (x, y)
Oleh karena x', y' selalu ada untuk sembarang nilai x, y, x < 0, maka A selalu ada sehingga T(A) = B.
Dari i) dan ii), disimpulkan bahwa T surjektif.
Untuk ini, T transformasi sebab bersifat surjektif dan injektif.

[collapse]

Soal Nomor 8
Diketahui sebuah garis S dan titik-titik A, B, C diposisikan seperti pada gambar.

Diketahui T : V \mapsto V didefinisikan sebagai berikut.
i) Jika P \in S, maka T(P) = P
ii) Jika P \in S, maka T(P) = P' sedemikian hingga garis S adalah sumbu ruas \overline{PP'}
a) Lukislah A' = T(A), B' = T(B)
b) Lukislah prapeta titik C.
c) Apakah T suatu transformasi?
d) Buktikan bahwa A'B' = AB.

Penyelesaian

Jawaban a dan b)

Jawaban c)
Akan ditunjukkan bahwa T transformasi, yaitu dengan menunjukkan bahwa T surjektif dan injektif.
Jelas setiap P pada V, ada prapeta P', sehingga T(P) = P'. Jika P \in S, maka P' = P dan jika P \notin S, maka P' adalah cermin dari P terhadap sumbu S. Jadi, T surjektif.
Untuk P, Q \in S, P \neq Q, jelas P' \neq Q'. Untuk P \notin S, ambillah dua titik A, B \notin S, A \neq B. Kita akan menyelidiki kedudukan A' dan B'. Andaikan A' = B'.
Karena S adalah sumbu ruas garis AA', maka S tegak lurus AA' dan karena S adalah sumbu dari ruas garis BB', maka S tegak lurus BB'.
Karena A'=B' dan kedua garis tegak lurus S, maka AA' dan BB' haruslah berimpit. Akibatnya, A = B. Ini suatu kontradiksi karena redaksi awal mengatakan bahwa A \neq B. Jadi, pengandaian diingkari, dan T injektif.
Dari kedua ini, dapat disimpulkan bahwa T suatu transformasi.
Jawaban d)
Akan dibuktikan A'B' = AB.

Misal D titik potong garis S dengan ruas garis \overline{A'A} dan E titik potong garis S dengan ruas garis \overline{B'B}. Perhatikan segitiga A'DE dan ADE.
A'D = AD (berdasarkan definisi S sebagai sumbu \overline{A'A} sehingga D tepat di tengah \overline{A'A}).
Juga diketahui bahwa \angle A'DE = \angle ADE = 90^{\circ} (karena S sumbu \overline{A'A}, maka S \perp \overline{A'A}). Berdasarkan teorema kekongruenan sisi-sudut-sisi, segitiga A'DE kongruen dengan segitiga ADE. Akibatnya, A'E = AE dan \angle A'ED = \angle AED.
Sekarang, perhatikan segitiga A'B'E dan ABE.
Diketahui A'E = AE~~~~~(i)
dan B'E = BE~~~~~(ii)
(berdasarkan definisi S sebagai sumbu \overline{B'B} sehingga E tepat di tengah \overline{B'B}).
Karena S sumbu \overline{B'B}, maka S \perp \overline{B'B} dan dapat ditulis
\begin{aligned} & \angle B'ED = \angle BED = 90^{\circ} \\ & \angle B'EA = \angle B'ED - \angle A'ED \\ & \angle BEA = \angle BED - \angle AED = \angle B'ED - \angle A'ED \end{aligned}
Berakibat
\angle B'EA = \angle BEA~~~~~~~~(iii)
Berdasarkan (i), (ii), dan (iii), maka menurut teorema kekongruenan sudut-sisi-sudut, segitiga A'B'E kongruen dengan segitiga ABE. Akibatnya, A'B' = AB (terbukti) \blacksquare.

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini

Soal dan Pembahasan – Ulangan Tengah Semester (UTS) Kalkulus Diferensial (FKIP Untan) Tahun 2016/2017

Berikut ini adalah soal ujian tengah semester (soal B) beserta pembahasannya mata kuliah Kalkulus Diferensial (Tahun Ajaran 2016/2017) yang diujikan kepada mahasiswa pendidikan matematika FKIP Untan semester 2 oleh Drs. Edy Yusmin, M. Pd pada tanggal 19 April 2017.

Soal Nomor 1
Tentukan HP dari pertidaksamaan berikut. 
a) \dfrac{x+1}{2-x} < \dfrac{x} {3+x}
b) 2|x| - |x - 3| \geq 3

Penyelesaian

Jawaban a) 
\begin{aligned} & \dfrac{x+1}{2-x} < \dfrac{x} {3+x} \\ & \dfrac{x+1}{2-x} - \dfrac{x}{3+x} < 0 \\ & \dfrac{(x+1)(3+x) - x(2-x)} {(2-x) (3+x)} < 0 \\ & \dfrac{2x^2 + 2x + 3}{(2-x)(3+x)} < 0 \end{aligned}
Pembilang pada pertidaksamaan terakhir definit positif, sehingga agar bernilai negatif, haruslah
(2-x) (3+x) < 0
dengan pembuat nol x = 2 atau x = -3. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah 
HP = \{x | -3 < x < 2\} 
Jawaban b) 
Gunakan definisi harga mutlak
|x| = \begin{cases} x, &~\text{jika}~x \geq 0 \\ -x, &~\text{jika}~x < 0 \end{cases}
dan
|x - 3| = \begin{cases} x - 3, &~\text{jika}~x \geq 3 \\ -x + 3, &~\text{jika}~x < 3 \end{cases}
Untuk x < 0, pertidaksamaan yang diberikan menjadi
\begin{aligned}& 2(-x) -(-x + 3) \geq 3 \\ & -x - 3 \geq 3 \\ & x \leq -6 \end{aligned}
Diperoleh HP_1 = \{x | x < 0 \land x \leq -6\} = \{x| x \leq -6\}
Untuk 0 \leq x < 3, pertidaksamaan menjadi
\begin{aligned} & 2x - (-x + 3) \geq 3 \\ & 3x \geq 6 \\ & x \geq 2 \end{aligned}
Diperoleh HP_2 = \{x | 0 \leq x < 3 \land x \geq 2\} = \{x | 2 \leq x < 3\}
Untuk x \geq 3, pertidaksamaan menjadi
\begin{aligned} 2x - (x - 3) \geq 3 \\ x \geq 0 \end{aligned}
Diperoleh HP_3 = \{x | x \geq 3 \land x \geq 0\} = \{x | x \geq 3\}
Hasil gabungan dari tiga himpunan penyelesaian tersebut adalah HP dari pertidaksamaan yang dimaksud, yaitu
HP = \{x | x \leq 6 \lor x \geq 2, x \in \mathbb{R}\}

[collapse]

Soal Nomor 2
Tentukan daerah asal (domain) dan daerah nilai dari fungsi f(x) = \sqrt{\dfrac{x-4}{3x-6}}

Penyelesaian

Syarat radikan tidak boleh negatif, jadi haruslah
\dfrac{x - 4}{3x - 6} \geq 0
Pembuat nol masing-masing bagian adalah x = 4 dan x = 2. Ambil titik uji, misalkan x = 0, lalu substitusikan ke pertidaksamaan itu, sehingga didapat \dfrac{-4}{-6} = \dfrac{2}{3} (positif), sehingga dari formasi garis bilangan yang dibuat, diperoleh penyelesaiannya adalah 
\{x~|~x \leq 2 \lor x \geq 4\}
Selain itu, penyebut juga tidak boleh bernilai nol, ditulis
\begin{aligned} & 3x - 6 \neq 0 \\ & x \neq 2\end{aligned}
Jadi, daerah asal (domain) fungsi f adalah \{x~|~ x < 2 \lor x \geq 4\}
Selanjutnya, daerah hasil (range) suatu bentuk akar kuadrat termasuk dalam kasus ini adalah \{y ~| ~y \geq 0\} (akar kuadrat dari suatu bilangan tidak mungkin menghasilkan bilangan negatif)

[collapse]

Soal Nomor 3
Diberikan fungsi f(x) = 2 + x^2 dan g(x) = \sqrt{2-x^2}
a) Tunjukkan apakah fungsi f \circ g terdefinisi. 
b) Tentukan persamaan fungsi komposisi f \circ g jika ada. 
c) Tentukan daerah definisi dan daerah nilai dari fungsi komposisi f \circ g

Penyelesaian

Jawaban a) 
Fungsi komposisi tersebut akan terdefinisi jika hasil irisan antara domain fungsi f dan range fungsi g bukan himpunan kosong. 
Perhatikan bahwa daerah asal (domain) fungsi f adalah \mathbb{R}, sedangkan daerah hasil (range) fungsi g terbatas dengan syarat 2 - x^2 \geq 0 atau diselesaikan sebagai berikut. 
\begin{aligned} & x^2 \leq 2 \\ & -\sqrt{2} < x < \sqrt{2} \end{aligned} 
Jelaslah bahwa irisan keduanya tidak kosong, sehingga fungsi komposisi f \circ g terdefinisi. 
Jawaban b) 
\begin{aligned}(f \circ g)(x) & = f(g(x)) = f(\sqrt{2-x^2}) \\ & = 2 + \left(\sqrt{2-x^2}\right)^2 \\ & = 2 + (2 - x^2) = 4 - x^2 \end{aligned}
Jawaban c) 
Daerah definisi (daerah asal/domain) fungsi f \circ g adalah \mathbb{R} (berapun nilai x yang dimasukkan, tidak membuat fungsi menjadi tak terdefinisi), sedangkan daerah hasilnya adalah \{</span><span style="font-family: verdana, geneva, sans-serif; font-size: 10pt;"> y~|~ y \leq 4, y \in \mathbb{R}\}, karena jika kita perhatikan bentuk 4 - x^2, kita dapat mengetahui bahwa nilai maksimum fungsinya adalah 4, dan jika x menjauh dari 0, maka nilai fungsinya justru semakin kecil.

[collapse]

Soal Nomor 4
Anda bermaksud membuat kolam ikan yang akan dipagari dengan kawat pagar siap jadi. Kolam tersebut dibagi menjadi dua bidang kolam berbentuk persegi panjang berdampingan yang identik, dengan luas masing-masing kolam adalah 300~m^2. Jika panjang masing-masing kolam dinyatakan dalam x dan lebarnya dinyatakan dalam y, nyatakan keliling pagar sebagai fungsi dari x.

Penyelesaian

Buatlah sketsa gambar seperti berikut. 

Dengan menggunakan konsep luas persegi panjang, diperoleh
xy = 300 \Rightarrow y = \dfrac{300}{x}
Selanjutnya, keliling pagar dinyatakan sebagai fungsi dari x adalah
\begin{aligned} f(x) & = x + x + x + x + y + y + y \\ & = 4x + 3y = 4x + 3\left(\dfrac{300}{x}\right) = \left(4x + \dfrac{900}{x}\right)~m \end{aligned}

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini

Soal dan Pembahasan – Ulangan Tengah Semester Kalkulus Diferensial (FKIP Untan) Tahun 2017/2018

Berikut ini adalah soal ujian tengah semester beserta pembahasannya mata kuliah Kalkulus Diferensial (Tahun Ajaran 2017/2018) yang diujikan kepada mahasiswa pendidikan matematika FKIP Untan semester 2 oleh Drs. Dian Ahmad B.S, M. Si pada tanggal 23 April 2018.

Soal Nomor 1
Carilah titik-titik potong fungsi f(x) = 21x^2 + 22x - 8 dengan sumbu X dan sumbu Y.

Penyelesaian

Titik potong fungsi pada sumbu X terjadi saat f(x) = y = 0, yaitu
0 = 21x^2 + 22x - 8 = (3x + 4)(7x - 2)
Dengan demikian, titik potongnya adalah \left(-\dfrac{4}{3}, 0\right) dan \left(\dfrac{2}{7}, 0\right)
Titik potong fungsi pada sumbu Y terjadi saat x = 0, yaitu
f(x) = y = 21(0)^2 + 22(0) - 8 = -8
Jadi, titik potongnya adalah (0,-8)

[collapse]

Soal Nomor 2
Selesaikanlah dengan dua cara (aljabar dan garis bilangan)
i) \dfrac{2}{3x} < 4
ii) \dfrac{-3}{2x} < \dfrac{1}{4}

Penyelesaian

Jawaban i)
Cara aljabar
\begin{aligned} & \dfrac{2}{3x} < 4 \\ & \dfrac{2}{3x} - 4 < 0 \\ & \dfrac{2-12x} {3x} < 0 \end{aligned}
Dua kemungkinan agar pertidaksamaan di atas bernilai benar adalah 1) 2 - 12x > 0 dan 3x < 0 atau 2) 2- 12x < 0 dan 3x > 0
Kemungkinan 1) menghasilkan x < \dfrac{1}{6} dan x < 0. Hasil irisannya adalah x < 0. Kemungkinan 2) menghasilkan x > \dfrac{1}{6} dan x > 0. Hasil irisannya adalah x > \dfrac{1}{6}
Gabungan dari kedua himpunan penyelesaian masing-masing kemungkinan tersebut adalah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan yang diberikan sebelumnya, yaitu \{x| x < 0 \lor x > \dfrac{1}{6}, x \in \mathbb{R}\}
Cara garis bilangan
Perhatikan bahwa \dfrac{2}{3x} < 4 ekuivalen dengan \dfrac{2-12x} {3x} < 0. Pembuat nol pada pembilang adalah x = \dfrac{1}{6}, sedangkan pada penyebut adalah x = 0.
Ujilah dengan titik-titik lain, misal diambil x = 1, diperoleh \dfrac{-10}{3} (bernilai negatif), sehingga dapat dibuat garis bilangan yang telah dilengkapi tanda kepositivan dan daerah penyelesaiannya sebagai berikut.

Jawaban ii)
Cara aljabar
\begin{aligned} & \dfrac{-3}{2x} < \dfrac{1}{4} \\ & \dfrac{-6 - x}{4x} < 0 \end{aligned}
Dua kemungkinan agar pertidaksamaan di atas bernilai benar adalah 1) -6 - x > 0 dan 4x < 0 atau 2) -6 - x < 0 dan 4x > 0
Kemungkinan 1) menghasilkan x < -6 dan x < 0. Hasil irisannya adalah x < -6. Kemungkinan 2) menghasilkan x > -6 dan x > 0. Hasil irisannya adalah x > 0. Gabungan dari kedua himpunan penyelesaian masing-masing kemungkinan tersebut adalah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan yang diberikan sebelumnya, yaitu \{x| x < -6 \lor x > 0, x \in \mathbb{R}\}
Cara garis bilangan
Perhatikan bahwa \dfrac{-3}{2x} < \dfrac{1}{4} ekuivalen dengan \dfrac{-6 - x} {4x} < 0
Pembuat nol pada pembilang adalah x = -6, sedangkan pada penyebut adalah x = 0
Ujilah dengan titik-titik lain, misal diambil x = 1, diperoleh \dfrac{-7}{4} (bernilai negatif), sehingga dapat dibuat garis bilangan yang telah dilengkapi tanda kepositivan dan daerah penyelesaiannya sebagai berikut.

[collapse]

Soal Nomor 3
Gambarkan grafik fungsi f dengan f(x) = \begin{cases} 5 - x, &~ \text{jika}~x \geq 3 \\ (x - 2)^2, &~\text{jika}~1 < x < 3 \\ \dfrac{1}{3}(x+2), &~\text{jika}~x \leq 1 \end{cases}

Tentukanlah nilai-nilai di bawah ini:
i) f\left(\dfrac{1}{2}\right)
ii) f(1)
iii) f(3)
iv) \displaystyle \lim_{x \to 1^{-}} f(x)
v) \displaystyle \lim_{x \to 1^{+}} f(x)
vi) \displaystyle \lim_{x \to 3^{-}} f(x)
vii) \displaystyle \lim_{x \to 3^{+}} f(x)

Penyelesaian


Jawaban i) Karena x = \dfrac{1}{2} \leq 1, maka f(x) = \dfrac{1}{3}(x+2), sehingga f\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{2} + 2\right) = \dfrac{5}{6}
Jawaban ii) Karena x = 1 \leq 1, maka f(x) = \dfrac{1}{3}(x+2), sehingga f(1) = \dfrac{1}{3}(1+2) = 1
Jawaban iii) Karena x = 3 \geq 3, maka f(x) = 5 - x, sehingga f(3) = 5 - 3 = 2
Jawaban iv) \displaystyle \lim_{x \to 1^{-}} f(x) = \lim_{x \to 1} \dfrac{1}{3}(x+2) = 1
Jawaban v) \displaystyle \lim_{x \to 1^{+}} f(x) = \lim_{x \to 1} (x-2)^2 = 1
Jawaban vi) \displaystyle \lim_{x \to 3^{-}} f(x) = \lim_{x \to 3} = (x - 2)^2 = 1
Jawaban vii) \displaystyle \lim_{x \to 3^{+}} f(x) = \lim_{x \to 3} 5 - x = 2
Catatan: Pada gambar, terlihat jelas bahwa grafik fungsi tidak kontinu di x = 3

[collapse]

Soal Nomor 4
Hitunglah \displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{8-x^3}{x-2}

Penyelesaian

Substitusi x = 2 pada fungsinya menghasilkan bentuk tak tentu \dfrac{0}{0}. Tetapi, dengan menggunakan metode pemfaktoran, diperoleh \begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{8-x^3}{x-2} & = \lim_{x \to 2} \dfrac{-(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}{x - 2} \\ & = \lim_{x \to 2} -(x^2 + 2x + 4) \\ & = -(2^2 + 2(2) + 4) = -12 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{8-x^3}{x-2} adalah -12.

[collapse]

Soal Nomor 5
Hitunglah \displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{2 - \dfrac{6}{x}}{x^2 - 9}

Penyelesaian

Substitusi x = 3 pada fungsinya menghasilkan bentuk tak tentu \dfrac{0}{0}. Tetapi, dengan menggunakan metode pemfaktoran, diperoleh \begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{2 - \dfrac{6}{x}}{x^2 - 9} & = \lim_{x \to 3} \dfrac{2\left(1 - \dfrac{3}{x}\right)}{x\left(1 - \dfrac{3}{x}\right)\left(x+3\right)} & = \lim_{x \to 3} \dfrac{2}{x(x+3)} \\ & = \dfrac{2}{3(3+3)} = \dfrac{1}{9} \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 6
Hitunglah \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 6x}{\sin 7x}

Penyelesaian

Substitusi x = 0 pada fungsinya menghasilkan bentuk tak tentu \dfrac{0}{0}. Dengan menggunakan teorema:
\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin ax} {\sin bx} = \dfrac{a} {b}
diperoleh bahwa
\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 6x}{\sin 7x} = \dfrac{6}{7}
Alternatif lain untuk menyelesaikan soal ini (termasuk soal nomor 4 dan 5) adalah dengan menggunakan Dalil L’Hospital/turunan (dengan syarat substitusi titik limit menghasilkan bentuk tak tentu). Jadi, \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 6x}{\sin 7x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{6 \cos 6x} {7 \cos 7x} = \dfrac{6}{7}

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini

Soal dan Pembahasan – Fungsi Kompleks, Limit, dan Turunannya

Berikut ini adalah kumpulan soal mengenai fungsi kompleks (dasar) serta limit dan turunan fungsi kompleks. Sebelumnya, Anda diharapkan sudah menguasai bilangan kompleks di link ini

Soal Nomor 1
Tentukan nilai fungsi f(z) jika z = 1 + i
a. f(z) = \dfrac{1}{z}
b. f(z) = iz
c, f(z) = z^2 + 1

Penyelesaian

(Jawaban a)
f(z) = \dfrac{1}{z} \Rightarrow f(1 + i) = \dfrac{1}{1 + i} = \boxed{\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}i}
(Jawaban b)
f(z) = iz \Rightarrow f(1 + i) = i(1 + i) = \boxed{-1 + i}
(Jawaban c)
f(z) = z^2 + 1 \Rightarrow f(1 + i) = (1 + i)^2 + 1 = \boxed{1 + 2i}

[collapse]

Soal Nomor 2
Tentukan fungsi kompleks f(z) = 2x^2 + iy dalam bentuk z

Penyelesaian

Misalkan z = x + iy dan \overline{z} = x - iy, berarti
x = \dfrac{z + \overline{z}} {2}
y = \dfrac{z - \overline{z}} {2i}
Jadi,
\begin{aligned} f(z) & = 2x^2 + iy \\ & = 2\left( \dfrac{z + \overline{z}} {2}\right) ^2 + i\left(\dfrac{z - \overline{z}}{2i} \right) \\ & = \boxed{\dfrac{1}{2}(z^2+ \overline{z}^2 + z - \overline{z}) + z\overline{z}} \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 3
Diketahui f(z) = x + iy + \dfrac{x - iy} {x^2+y^2}
a) Tentukan f(z) dalam z
b) Tentukan bagian real dan imajiner dalam f(z)
c) Tentukan f(1 +2i)

Penyelesaian

(Jawaban a)
Ingat!!
\boxed{\begin{aligned} & x = \dfrac{z + \overline{z}} {2} \\ & y = \dfrac{z - \overline{z}} {2i} \end{aligned}}
Berarti,
\begin{aligned} f(z) & = x + iy + \dfrac{x - iy} {x^2+y^2} \\& = \dfrac{z + \overline{z}} {2} + i\left(\dfrac{z - \overline{z}} {2i}\right) + \dfrac{\dfrac{z + \overline{z}}{2} + \dfrac{z - \overline{z}}{2i}}{z\overline{z}} \\ & = z + \dfrac{1}{z} \end{aligned}
(Jawaban b)
Dalam hal ini, u dan v masing-masing mewakili bagian real dan bagian imajiner dalam fungsi f.
\begin{aligned} f(z) & = x + iy + \dfrac{x - iy} {x^2+y^2} \\ & = \left(x + \dfrac{x}{x^2 + y^2}\right) + \left(y - \dfrac{y}{x^2 + y^2}\right)i \end{aligned}
Jadi, diperoleh u = \dfrac{x}{x^2 + y^2} dan v = y - \dfrac{y}{x^2 + y^2}
(Jawaban c)
Diketahui bahwa
f(z) = z + \dfrac{1}{z}
sehingga
f(1 + 2i) = (1 + 2i) + \dfrac{1}{1 + 2i} = \dfrac{6}{5} + \dfrac{8}{5}i

[collapse]




Soal Nomor 4
Jika z = 1 + 2i, tentukan
a) f(z) = \dfrac{x - iy} {1 + z}
b) f(z) = \dfrac{1}{|z|}

Penyelesaian

(Jawaban a)
\begin{aligned} f(1 + 2i) & = \dfrac{x - iy}{2 + 2i} \times \dfrac{2-2i} {2-2i} \\ & = \dfrac{2x - 2ix - 2iy + 2i^2y} {8} \\ & = \boxed{\dfrac{(x - y) +(-x-y) i} {4}} \end{aligned}
(Jawaban b)
f(1+2i) = \dfrac{1}{|1+2i|} = \dfrac{1}{\sqrt{5}} = \boxed{\dfrac{1}{5}\sqrt{5}}

[collapse]

Soal Nomor 5
Misalkan w = f(z) = z(2-z). Tentukan nilai w yang dinyatakan oleh
a) z = 1 + i
b) z = 2 - 2i

Penyelesaian

(Jawaban a)
Diketahui f(z) = z(2-z) berarti
f(1+i) = (1+i)(1-i) = 2
(Jawaban b)
Dengan prinsip yang sama,
f(2-2i) = (2-2i)(2i) = 4 + 4i

[collapse]

Soal Nomor 6
Jika w = f(z) = \dfrac{1+z} {1-z}, tentukan
a) f(i)
b) f(1-i)

Penyelesaian

(Jawaban a)
f(i) = \dfrac{1+i} {1-i} \times \dfrac{1+i} {1+i} = i
(Jawaban b)
f(1-i) = \dfrac{2-i} {i} = \dfrac{2i +1}{-1} =-1-2i

[collapse]

Soal Nomor 7
Jika f(z)=\dfrac{2z+1}{3z-2}, z \neq \dfrac{2}{3}, tentukanlah f(f(z))

Penyelesaian

\begin{aligned} f(f(z)) & = f\left(\dfrac{2z+1}{3z-2}\right) \\ & = \dfrac{2\left(\dfrac{2z+1}{3z-2}\right) +1} {3\left(\dfrac{2z+1}{3z-2}\right - 2} \\ & = \dfrac{4z + 2 + 3z -2}{6z + 3 - 6z + 4} \\ & = z \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 8
Tentukan nilai z sehingga f(z) = \dfrac{z+2}{2z-1}=i

Penyelesaian

Gunakan metode yang sudah kita ketahui sebelumnya, yaitu dengan mengelompokkan variabel z
\begin{aligned} & \dfrac{z+2}{2z-1}=i \\ & z + 2 = 2iz - i \\ & z(1-2i) = -i-2 \\ & z = \dfrac{-i-2}{1-2i} = -i \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 9
Pisahkan setiap fungsi kompleks berikut dalam bagian real dan khayalnya.
a) f(z) = 2z^2 - 3iz
b) f(z) = \dfrac{z+1}{2}

Penyelesaian

Ingat bahwa:
\boxed{z = x + iy}
(Jawaban a)
\begin{aligned} f(z) & = 2z^2 - 3iz \\ & = 2(x + iy)^2 -3i(x + iy) \\ & = 2x^2 + 4ixy - 2y^2 - 3ix + 3y \\ & = (2x^2 - 2y^2 + 3y) +(4xy - 3x)i \end{aligned}
Diperoleh bagian real (nyata) dalam f(z) adalah 2x^2 - 2y^2 + 3y, sedangkan bagian khayal (imajiner) dalam f(z) adalah 4xy -3x
(Jawaban b)
\begin{aligned} f(z) & = \dfrac{z+1}{2} \\ & = \dfrac{x + iy + 1}{2} \\ & = \dfrac{x +1}{2} + \dfrac{y} {2}i \end{aligned}
Diperoleh bagian real (nyata) dalam f(z) adalah \dfrac{x+1}{2}, sedangkan bagian khayal (imajiner) dalam f(z) adalah \dfrac{y}{2}

[collapse]

Soal Nomor 10
Diketahui f: D \mapsto \mathbb{C} dengan aturan f(z) =\dfrac{1}{z}. Tentukan range dari himpunan A = \{z : |z| \leq 4\}

Penyelesaian

Fungsi tersebut dapat ditulis menjadi
\begin{aligned} f(z) &= \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{x + iy} \\ & = \dfrac{x} {x^2+y^2}-\dfrac{y} {x^2+y^2}i \end{aligned}
Jika fungsinya diubah dalam koordinat polar, dengan
\begin{aligned} & r^2 = x^2 + y^2 \\ & x = r \cos \theta \\ & y = r \sin \theta \end{aligned}
diperoleh
f(z) = \dfrac{1}{r}\left(\cos \theta -i~sin \theta\right) 
Jika kita ubah dalam transformasi \mathbb{R}^2 ke \mathbb{R}^2, maka
f(r, \theta) = \left(\dfrac{1}{r} \cos \theta, -\dfrac{1}{r} \sin \theta\right)
Batas daerah A merupakan lingkaran dengan jari-jari 4, jadi ditulis

f(4, \theta) = \left(\dfrac{1}{4} \cos \theta, -\dfrac{1}{4} \sin \theta\right) 
Kita peroleh bahwa range A adalah lingkaran dengan jari-jari \dfrac{1}{4}. Semakin kecil jari-jari lingkaran pada domain, semakin besar jari-jari lingkaran pada rangenya (berbanding terbalik).

[collapse]

Soal Nomor 11
Diketahui u(x, y) = x^2 - y^2 + x dan v(x, y) = 2xy - y serta w = u(x, y) + iv(x, y). Bentuk fungsi w dalam variabel kompleks z adalah….

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
\boxed{\begin{aligned} & z = x + iy \\ & \overline{z} = x - iy \\ & z^2 = x^2 - y^2 + 2ixy \end{aligned}}
Berarti,
\begin{aligned} w & = u(x, y) + iv(x, y) \\ & = (x^2 - y^2 + x) + i(2xy - y) \\ & = (x^2 - y^2 + 2ixy) + (x - iy) \\ & = \boxed{z^2 + \overline{z}} \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 12
Limit dari fungsi kompleks (untuk z menuju i):
f(z) = \dfrac{z(z^2 + (2 - i)z - 2i)} {z - i}, & z \neq i adalah…

Penyelesaian

Substitusikan z = i sehingga bentuk limit f(z) menjadi \dfrac{0}{0}, berarti berlaku Dalil L’Hospital (turunan).
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{z \to i} f(z) & = \lim_{z \to i} f'(z) \\ & = \lim_{z \to i} \dfrac{3z^2 + 2(2-i)z - 2i}{1} \\ & = 3(i)^2 + 2(2-i) i - 2i \\ & = -1 + 2i \end{aligned}
Jadi, limit dari fungsi tersebut (untuk z mendekati i) adalah \boxed{-1 + 2i}

[collapse]

Soal Nomor 13
Jika z = x + iy, maka hasil dari
\displaystyle \lim_{x \to 3 - 4i} \dfrac{i \text{Re}(z)^2}{|z|} adalah…

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 14 (Soal ON-MIPA PT Seleksi Wilayah Tahun 2014)
Diketahui polinomial p(z) dan q(z) sehingga berlaku
p(z) \cos^2 z + q(z) \sin^2 z = 2
untuk setiap z \in \mathbb{C}.
Hitunglah p(1) + q(1)

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]
Ayo Beri Rating Postingan Ini

Soal dan Pembahasan – Ujian Akhir Semester (UAS) Landasan Matematika/Mathematics Foundation

Soal Nomor 1
Kalimat terbuka 2x + y = 11 mendefinisikan suatu relasi R pada W = \{1, 2, \cdots, 8\}. Tentukan
a) Domain R
b) Range R
c) Range R^{-1}

Penyelesaian

Domain R sama dengan himpunan W yaitu \{0, 1, \cdots, 8\}. Dengan menganggap y sebagai variabel terikat dan x sebagai variabel bebas pada persamaan 2x + y = 11, diperoleh bahwa untuk
x = 1 \Rightarrow y = 9 \notin W
x = 2 \Rightarrow y = 7 \in W
x = 3 \Rightarrow y = 5 \in W
x = 4 \Rightarrow y = 3 \in W
x = 5 \Rightarrow y = 1 \in W
x = 6 \Rightarrow y = -1 \notin W
x = 7 \Rightarrow y = -3 \notin W
x = 8 \Rightarrow y = -5\notin W
Dari sini, diperoleh range R adalah \{1, 3, 5, 7\}, sedangkan range R^{-1} (invers R) adalah \{2,3,4,5\}

[collapse]

Soal Nomor 2
Tuliskan definisi fungsi bijektif dan injektif.

Penyelesaian

Definisi fungsi injektif:
Fungsi A \mapsto B dikatakan fungsi injektif jika dan hanya jika \forall x \in f(A), f^{-1}(x) merupakan himpunan tunggal (himpunan yang memuat satu anggota). Secara simbolik, ditulis
f : A \mapsto B_{\text{injektif}} \Leftrightarrow \forall x, y \in A, x \neq y \Rightarrow f(x) \neq f(y)
atau dengan kontraposisinya,
f : A \mapsto B_{\text{injektif}} \Leftrightarrow \forall x, y \in A, f(x) = f(y) \Rightarrow x = y
Definisi fungsi bijektif:
Suatu fungsi disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika fungsi tersebut adalah fungsi injektif sekaligus fungsi surjektif (dua-duanya harus terpenuhi).
(Sebagai tambahan):
Definisi fungsi surjektif:
Suatu fungsi f : A \mapsto B dikatakan fungsi surjektif jika dan hanya jika daerah hasil (range) sama dengan daerah kawan (kodomain). Secara simbolik, ditulis
f : A \mapsto B_{\text{surjektif}} \Leftrightarrow \forall y \in B, \exists x \in A \ni f(x) = y

[collapse]

Soal Nomor 3
Apakah invers fungsi merupakan suatu fungsi? Jika iya, buktikan.

Penyelesaian

Invers dari suatu fungsi belum tentu merupakan suatu fungsi kecuali fungsi itu bijektif. Misalkan diberikan fungsi f : A \mapsto B merupakan fungsi bijektif, maka untuk setiap b \in B, f^{-1}(b) akan terdiri dari unsur tunggal dalam A (memiliki pasangan tepat satu ke A yang merupakan kodomainnya) sehingga memenuhi definisi fungsi. Jika tidak bijektif, maka akan ada anggota B yang memiliki pasangan tidak tunggal.

[collapse]

Soal Nomor 4
Jika R merupakan relasi ekuivalen, apakah R^{-1} juga merupakan relasi ekuivalen? Buktikan!

Penyelesaian

Karena R merupakan relasi ekuivalen, berlaku
R merupakan relasi refleksif, yaitu \forall a \in A, maka (a, a) \in R
R merupakan relasi simetri, yaitu \forall a,b \in A, jika (a, b) \in R, maka (b, a) \in R
R merupakan relasi transitif, yaitu \forall a, b, c \in A, jika (a, b) \in R dan (b, c) \in R, maka (a, c) \in R.
Untuk menunjukkan bahwa R^{-1} relasi yang ekuivalen, maka harus dibuktikan bahwa R^{-1} merupakan relasi refleksif, simetri, dan transitif (tiga-tiganya harus terpenuhi).
(Menunjukkan bahwa R^{-1} relasi refleksif) Diketahui bahwa untuk setiap a \in A berlaku (a, a) \in R. Berdasarkan definisi relasi invers, (a, a) \in R^{-1}, berarti R^{-1} merupakan relasi refleksif.
(Menunjukkan bahwa R^{-1} relasi simetri) Ambil sembarang a, b \in A dengan (a, b) \in R^{-1}. Akan ditunjukkan bahwa (b, a) \in R^{-1}. Perhatikan bahwa (a, b) \in R^{-1} ekuivalen dengan (b, a) \in R. Karena R simetri, maka berlaku (a, b) \in R, yang berarti (b, a) \in R^{-1}. Terbukti bahwa R^{-1} simetri.
(Menunjukkan bahwa R^{-1} relasi transitif) Ambil sembarang a, b, c \in A dengan (a, b) \in R^{-1} dan (b, c) \in R^{-1}. Akan ditunjukkan bahwa (a, c) \in R^{-1}
(a, b) \in R^{-1}, artinya (b, a) \in R
(b, c) \in R^{-1}, artinya (c, b) \in R
R transitif sehingga jika (c, b) \in R dan (b, a) \in R, maka berlaku (c, a) \in R. Berdasarkan definisi relasi invers, (c, a) \in R berarti (a, c) \in R^{-1}. Terbukti bahwa R^{-1} relasi transitif.
Karena R^{-1} merupakan relasi refleksif, simetri, dan transitif, maka R^{-1} merupakan relasi ekuivalen.

[collapse]

Soal Nomor 5
Diketahui fungsi f(x) = x^2. Apakah fungsi itu merupakan fungsi satu-satu (injektif)? Buktikan!

Penyelesaian

Suatu fungsi dikatakan fungsi injektif jika memenuhi
f(x) = f(y) \Rightarrow x = y, \forall x, y \in D_f
Perhatikan bahwa
f(x) = f(y) \Rightarrow x^2 = y^2 \Leftrightarrow x = \pm y
Karena tidak memenuhi definisi, maka fungsi f(x) = x^2 bukan fungsi injektif.

[collapse]

Soal Nomor 6
Jika logika matematika atau teori himpunan merupakan mata kuliah penting, maka mahasiswa mempelajarinya.
Logika matematika dan kalkulus merupakan mata kuliah penting.
Oleh karena itu, mahasiswa mempelajarinya.
a) Tentukan bentuk simbolik dari pernyataan di atas.
b) Buat tabel kebenaran dan tentukan nilai kebenarannya.
c) Apakah pernyataan itu valid atau tidak? Buktikan.

Penyelesaian Belum Tersedia

Misalkan 
p = Logika matematika merupakan mata kuliah penting.
q = Teori himpunan merupakan mata kuliah penting.
r = Kalkulus merupakan mata kuliah penting.
s = Mahasiswa mempelajarinya.
Berarti, bentuk simbolik dari pernyataan-pernyataan di atas adalah
{[(p \lor q) \Rightarrow s] \land (p \land r)} \Rightarrow s</span>

[collapse]
Ayo Beri Rating Postingan Ini