Soal dan Pembahasan – Matriks, Determinan, dan Invers Matriks (Versi HOTS dan Olimpiade)

      Matriks merupakan salah satu materi matematika yang dipelajari saat tingkat SMA/Sederajat. Banyak rumor yang mengatakan bahwa matriks merupakan materi matematika yang paling gampang dipahami di tingkat SMA. Meskipun demikian, latihan soal tentang matriks tetap menjadi kunci utama untuk memahami materi tersebut. Setelah mempelajari mengenai Soal dan Pembahasan – Matriks, Determinan, dan Invers matriksberikut penulis sajikan sejumlah soal tingkat lanjut terkait matriks (tipe soal HOTS dan Olimpiade).
Semoga bermanfaat dan selamat belajar!

Quote by Arthur Ashe

Sukses adalah sebuah perjalanan, bukan sebuah tujuan. Usaha sering lebih penting daripada hasilnya.

Soal Nomor 1 
Jika diketahui $A = \begin{pmatrix} 6 & -3 & 2 \\ 1 & 0 & 4 \\ 5 & 7 & 6 \end{pmatrix}$ dan $B = \begin{pmatrix} 1 & -9 & 4 \\ 2 & 2 & -3 \\ 3 & 13 & -10 \end{pmatrix}$, maka nilai $\det(B^{-1}(A^{-1}B^{-1})^{-1}A^{-1})$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-1$     B. $0$       C. $1$        D. $3$       E. $5$

Penyelesaian

Gunakan sifat invers berikut. 
$\boxed{\begin{aligned}&  (A^{-1}B^{-1})^{-1} \\ & = BA \\ A^{-1} \cdot A & = A \cdot A^{-1} = I \\ I \cdot I = I \end{aligned}}$
dan perhatikan juga bahwa determinan matriks identitas $I$ selalu bernilai $1$. 
Untuk itu, dapat dituliskan
$\begin{aligned} & \det(B^{-1}(A^{-1}B^{-1})^{-1}A^{-1}) \\ & = \det(B^{-1}(BA)A^{-1}) \\ & = \det((B^{-1}B) (AA^{-1})) \\ & = \det(I \cdot I) \\ & = \det(I) = 1 \end{aligned}$
Jadi, determinan dari $B^{-1}(A^{-1}B^{-1})^{-1}A^{-1}$ adalah $\boxed{1}$ (Jawaban C) 
(tanpa perlu memperhatikan entri matriks $A$ dan $B$ yang diberikan).

[collapse]

Soal Nomor 2
Jika $M$ adalah matriks sehingga
$M \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ a – c & b – d \end{pmatrix}$, maka determinan matriks $M$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-1$       B. $0$       C. $1$        D. $2$        E. $3$

Penyelesaian

Diketahui $M \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ a – c & b – d \end{pmatrix}$
Untuk itu, dapat ditulis
$\begin{aligned} |M| \cdot \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} & = \begin{vmatrix} a & b \\ a – c & b – d \end{vmatrix} \\ |M| \cdot (ad – bc) & = a(b – d) – b(a – c) \\ |M| \cdot (ad – bc) & = \cancel{ab} – ad \cancel{- ab} + bc \\ |M| \cdot (ad – bc) & = -(ad – bc) \\ |M| & = \dfrac{-(ad-bc)}{ad-bc} = -1 \end{aligned}$
Jadi, determinan dari matriks $M$ adalah $\boxed{-1}$ (Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 3
Jika diketahui
$\begin{vmatrix} a & b & c\\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = 3$, maka
$\begin{vmatrix} 2a + d& a & 4a+2d+g \\ 2b+e & b & 4b+2e+h \\ 2c+f & c & 4c+2f+i \end{vmatrix} = \cdots \cdot$
A. $-3$     B. $-2$       C. $0$        D. $2$        E. $3$

Penyelesaian

Diketahui ersamaan
$\begin{vmatrix} a & b & c\\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = 3$
Dengan melakukan penukaran entri baris pertama dan kedua, yang akibatnya menegatifkan determinan, diperoleh
$\begin{vmatrix} d & e & f \\ a & b & c \\ g & h & i \end{vmatrix} = -3$
Transposkan untuk memperoleh
$\begin{vmatrix} d & a & g \\ e & b & h \\ f & c & i \end{vmatrix} = -3$
(Transpos tidak mengubah determinan)
Selanjutnya, jumlahkan entri kolom pertama dengan dua kali entri kolom kedua yang bersesuaian (tidak mengubah determinan). 
$\begin{vmatrix} 2a+d & a & g \\ 2b + e & b & h \\ 2c + f & c & i \end{vmatrix} = -3$
Terakhir, jumlahkan entri kolom ketiga dengan dua kali entri kolom pertama yang bersesuaian (tidak mengubah determinan). 
$\begin{vmatrix} 2a+d & a & 4a+2d+g\\ 2b + e & b & 4b+2e+h \\ 2c + f & c & 4c+2f+i \end{vmatrix} = -3$ 
Jadi, nilai dari
$\boxed{\begin{vmatrix} 2a+d & a & 4a+2d+g\\ 2b + e & b & 4b+2e+h \\ 2c + f & c & 4c+2f+i \end{vmatrix} = -3}$ 
(Jawaban A) 

[collapse]

Soal Nomor 4
Jika matriks $A = \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}$, maka $A^{27} + A^{31} + A^{40}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 3 & -4 \end{pmatrix}$
B. $\begin{pmatrix} -7 & 14 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$
C. $\begin{pmatrix} 7 & -14 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$
D. $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
E. $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

Penyelesaian

Diketahui $A = \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}$
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} A^2 & = \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 7 \\ -1 & -3 \end{pmatrix} \\ A^3 & = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 2 & 7 \\ -1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = – \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = -I\end{aligned}$$
dengan  $I$ matriks identitas. 
Selanjutnya, 
$$\begin{aligned} & A^{27} + A^{31} + A^{40} \\ & = A^{27}(I + A^4 + A^{13}) \\ & = (A^3)^9(I + A^3A + (A^3)^4A) \\ & = (-I)^9(I – IA + (-I)^4A) \\ & = -I(I -A + A) \\ & = -I = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$
Jadi, 
$\boxed{A^{27} + A^{31} + A^{40} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}}$
(Jawaban E)
Catatan: Perpangkatan matriks identitas tetap menghasilkan matriks identitas.

[collapse]

Soal Nomor 5 (Soal SMPB 2006 Regional I) 
Jika konstanta $k$ memenuhi persamaan
$\begin{pmatrix} k & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x -1 \\ y -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ k \end{pmatrix}$, 
maka nilai $x+y=\cdots \cdot$
A. $(2+k) (1+k)$
B. $(2-k) (1-k)$
C. $(2+k) (1-k)$
D. $(1-k) (1+k)$
E. $(2-k) (1+k)$

Penyelesaian

Dengan menerapkan aturan perkalian matriks, diperoleh
$\begin{aligned} \begin{pmatrix} k & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x – 1 \\ y – 1 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 0 \\ k \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} k(x-1) + 1(y-1) \\ 1(x-1) + 0(y-1) \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 0 \\ k \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} k(x-1)+(y-1) \\ x-1 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 0 \\ k \end{pmatrix} \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{cases} k(x-1) + (y-1) = 0 & (\cdots 1) \\ x – 1 = k & (\cdots 2) \end{cases}$
Substitusi persamaan 2 ke persamaan 1.
$k(k) + y – 1 = 0 \Leftrightarrow y = 1 – k^2$
Untuk itu, didapat
$$\begin{aligned}x+y & =(k+1)+(1-k^2) \\ & =(k+1)+(k+1)(1-k) \\ & = (k+1)(1+(1-k)) = (k+1)(2-k) \end{aligned}$$
Jadi, nilai dari $x+y$ adalah $(k+1)(2-k)$ atau ditulis sebagai $\boxed{(2-k) (1+k)}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 6 (Soal UMPTN 1994)
Jika $x : y = 5 : 4$, maka nilai $x$ dan $y$ yang memenuhi persamaan matriks
$\begin{pmatrix} 2 & 10 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & y \\ 4 & 5 \\ 30 & 25 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 \\ 10 \end{pmatrix} = 1.360$
adalah $\cdots \cdot$
A. $x = 1$ dan $y = \frac45$
B. $x=\dfrac45$ dan $y=1$
C. $x=5$ dan $y=4$
D. $x=-10$ dan $y=-8$
E. $x=10$ dan $y=8$

Penyelesaian

Karena $x : y = 5 : 4$, maka dapat diasumsikan $x = 5k$ dan $y=4k$ untuk suatu bilangan real $k$. 
Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 2 & 10 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5k & 4k \\ 4 & 5 \\ 30 & 25 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 \\ 10 \end{pmatrix} & = 1.360 \\ \begin{pmatrix} 10k + 40 + 30 & 8k + 50 + 25 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \end{pmatrix} & = 1.360 \\ \begin{pmatrix} 10k + 70 & 8k + 75 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \end{pmatrix} & =1.360 \\ 5(10k+70) + 10(8k+75) & = 1.360 \\ \text{Bagi kedua ruas dengan}~& 5 \\10k+70 + 2(8k+75) & = 272 \\ 26k + 220 & = 272 \\ 26k & = 52 \\ k & = 2 \end{aligned}$$
Dengan demikian, diperoleh
$\boxed{\begin{aligned} x & = 5k = 5(2) = 10 \\ y & =4k=4(2)=8 \end{aligned}}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 7
Diketahui matriks $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}$ memiliki hubungan dengan matriks $B =\begin{pmatrix} -5 & 3 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$. Jika matriks $C = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -5 \end{pmatrix}$ dan matriks $D$ memiliki hubungan yang serupa, maka hasil dari $C + D = \cdots \cdot$
A. $\begin{pmatrix} 8 & 3 \\ 3 & 8 \end{pmatrix}$              D. $\begin{pmatrix} 3 & 8 \\ 8 & 3 \end{pmatrix}$
B. $\begin{pmatrix} 8 & 3 \\ 3 & -8 \end{pmatrix}$           E. $\begin{pmatrix} -8 & -3 \\ -3 & 8 \end{pmatrix}$
C. $\begin{pmatrix} 3 & 8 \\ -8 & 3 \end{pmatrix}$

Penyelesaian

Diketahui $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}$ dan $B =\begin{pmatrix} -5 & 3 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$
Hubungan kedua matriks ini sebagai berikut:
Entri diagonal utama matriks $A$ ditukar lalu dinegatifkan untuk mendapatkan entri diagonal utama matriks $B$.
Entri diagonal samping matriks $A$ ditukar untuk mendapatkan entri diagonal samping matriks $B$
Secara matematis, ditulis
$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \iff B = \begin{pmatrix} -d & c \\ b & -a \end{pmatrix}$
Karena $C = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -5 \end{pmatrix}$, maka dengan mengikuti hubungan di atas, diperoleh
$D = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} C + D & = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 8 & 3 \\ 3 & -8 \end{pmatrix} \end{aligned}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 8 (Soal SBMPTN 2016 Kode 337)
Jika $A$ matriks berukuran $2 \times 2$ yang mempunyai invers dan $A^2 -2A -I = 0$, maka $A -2I = \cdots \cdot$
A. $(2A)^{-1}$                  D. $A^2-2A$
B. $A^2+2A$               E. $A^{-1}$
C. $2I-A$

Penyelesaian

Dari persamaan $A^2-2A-I=0$ dengan $I$ matriks identitas dan $0$ matriks nol, diperoleh
$\begin{aligned} A^2-2A & =I \\ A^2-2IA & = I \\ A(A – 2I) & = I \end{aligned}$
Berdasarkan definisi invers matriks, $B$ merupakan invers dari matriks $A$ apabila berlaku $AB = BA = I$. 
Dengan demikian, kita peroleh bahwa
$\boxed{A – 2I= A^{-1}}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 9
Misal terdapat matriks $A$ dan $B$ yang berordo $2 \times 2$ serta keduanya memiliki invers. Diketahui bahwa $AB = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$. Hasil dari $AB(B^{-1}+A)A^{-1}$ adalah $\cdots \cdot$

A. $\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$          D. $\begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$
B. $\begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}$          E. $\begin{pmatrix} 1 & 9 \\ 6 & 1 \end{pmatrix}$
C. $\begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$

Penyelesaian

Perhatikan bahwa bentuk $AB(B^{-1}+A)A^{-1}$ dapat disederhanakan lebih lanjut dengan menggunakan sejumlah sifat operasi matriks.
$$\begin{aligned} & AB(B^{-1}+A)A^{-1} \\ & = AB(B^{-1}A^{-1} + AA^{-1}) && (\text{Sifat_Distributif}) \\ & = AB((AB)^{-1} + I) && (\text{Sifat Invers_Matriks}) \\ & = (AB)(AB^{-1}) + AB(I) && (\text{Sifat_Distributif}) \\ & = I + AB && (\text{Sifat Invers_Matriks}) \\ & = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} \end{aligned}$$
Jadi, hasil dari $\boxed{AB(B^{-1}+A)A^{-1} = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 10
Jika $A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$ dan $B = \begin{pmatrix} -2 & 5 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}$, maka matriks yang dinyatakan dengan
$\left(\left(\left(\left(\left(\left(\left(\left(AB\right)^T\right)^{-1}\right)^T\right)^{-1}\right)^T\right)^{-1}\right)^T\right)^{-1}$
adalah $\cdots \cdot$
A. $\begin{pmatrix} -4 & -5 \\ 9 & 11 \end{pmatrix}$          D. $\begin{pmatrix} 11 & 5 \\ -9 & -4 \end{pmatrix}$
B. $\begin{pmatrix} -4 & 9 \\ -5 & 11 \end{pmatrix}$          E. $\begin{pmatrix} -9 & 11 \\ 5 & -4 \end{pmatrix}$
C. $\begin{pmatrix} 11 & -9 \\ 5 & -4 \end{pmatrix}$

Penyelesaian

Perhatikan bahwa jika $A$ matriks yang memiliki invers, berlaku
$\begin{aligned} (A^T)^{-1} & = (A^{-1})^T \\ (A^{-1})^{-1} & = A \\ (A^T)^T & = A \end{aligned}$
Karena notasi transpos dan invers (pada soal) masing-masing muncul sebanyak genap, maka dapat ditulis
$$\begin{aligned} & \left(\left(\left(\left(\left(\left(\left(\left(AB\right)^T\right)^{-1}\right)^T\right)^{-1}\right)^T\right)^{-1}\right)^T\right)^{-1} \\ & = AB = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & 5 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} -4 & 9 \\ -5 & 11 \end{pmatrix} \end{aligned}$$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 11
Diketahui $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 5 & 2 & 6 \\ -2 & -1 & -3 \end{pmatrix}$
Nilai dari $A^{2017} + 2017A^{2018} + 2I^{2018}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $O$              D. $2017A+2I$
B. $2I$             E. $A+2I$
C. $A$

Penyelesaian

Perhatikanlah bahwa
$$\begin{aligned} A^2 & = A \times A \\ & = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 5 & 2 & 6 \\ -2 & -1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 5 & 2 & 6 \\ -2 & -1 & -3 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 9 \\ -1 & -1 & -3 \end{pmatrix} \\ A^3 & = A^2 \times A \\ & = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 9 \\ -1 & -1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 5 & 2 & 6 \\ -2 & -1 & -3 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$$
Karena perkalian matriks nol dengan matriks apapun tetap menghasilkan matriks nol, sedangkan perpangkatan matriks identitas tetap menghasilkan matriks identitas, maka dapat ditulis
$\begin{aligned} & A^{2017} + 2017A^{2018} + 2I^{2018} \\ & = O + 2017O + 2I = 2I \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{A^{2017} + 2017A^{2018} + 2I^{2018} = 2I}$
(Jawaban B) 

Catatan:
$O$ merupakan notasi matriks nol, sedangkan $I$ adalah notasi matriks identitas.

[collapse]

Soal Nomor 12
Jika $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ dan $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, maka $A^{2019} + B^{2020} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ dipenuhi oleh $a + b + c + d = \cdots \cdot$
A. $2020$                       D. $4040$
B. $2036$                       E. $4043$
C. $4038$

Penyelesaian

Diketahui:
$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}~~~~~B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
Akan dicari hasil dari $A^{2019}$ menggunakan pola.
Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} A^2 & = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \\ A^3 & = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \\ A^4 & = A^3 \cdot A =\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$
Tampak bahwa hanya entri baris $2$ kolom $1$ matriks yang berubah sesuai dengan pangkat $A$. Dapat disimpulkan bahwa
$A^{2019} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2019 & 1 \end{pmatrix}$
Dengan menggunakan prinsip yang sama, diperoleh
$B^{2020} = \begin{pmatrix} 1 & 2020 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} A^{2019} + B^{2020} & = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2019 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 2020 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 2 & 2020 \\ 2019 & 2 \end{pmatrix} \end{aligned}$
Kita dapatkan
$a = d = 2; b = 2020; c = 2019$
Jadi, nilai dari $\boxed{a+b+c+d=4043}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 13
Jika $A = \begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, maka $A^{2009} = \cdots \cdot$
A. $\begin{pmatrix} a^{1004} & 0 \\ 0 & a^{1004} \end{pmatrix}$            D. $\begin{pmatrix} a^{2008} & 0 \\ 0 & a^{1004} \end{pmatrix}$
B. $\begin{pmatrix} 0 & a^{1005} \\ a^{1004} & 0 \end{pmatrix}$            E. $\begin{pmatrix} 0 & a^{1004} \\ a^{1004} & 0 \end{pmatrix}$
C. $\begin{pmatrix} 0 & a^{1005} \\ a^{1005} & 0 \end{pmatrix}$

Penyelesaian

Diketahui: $A = \begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$
Perhatikan hasil dari sejumlah perpangkatan matriks $A$ berikut. 
$$\begin{aligned} A^2 & = A \times A = \begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix} \\ A^3 & = A^2 \times A = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & a^2 \\ 0 & a \end{pmatrix} \\ A^4 & = A^3 \times A = \begin{pmatrix} 0 & a^2 \\ 0 & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 & 0 \\ 0 & a^2 \end{pmatrix} \\ A^5 & = A^4 \times A = \begin{pmatrix} a^2 & 0 \\ 0 & a^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & a^3 \\ a^2 & 0 \end{pmatrix} \\ A^6 & = A^5 \times A = \begin{pmatrix} 0 & a^3 \\ a^2 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^3 & 0 \\ 0 & a^3 \end{pmatrix} \end{aligned}$$
Dari uraian di atas, ditemukan pola
$A^n = \begin{pmatrix} a^{\frac{n} {2}} & 0 \\ 0 & a^{\frac{n} {2}} \end{pmatrix}$
untuk $n$ genap. 
$A^n = \begin{pmatrix} 0 & a^{\frac{n+1} {2}} \\ a^{\frac{n-1} {2}} & 0\end{pmatrix}$
untuk $n$ ganjil. 
Karena $2009$ adalah bilangan ganjil, maka kita dapatkan
$$A^{2009} = \begin{pmatrix} 0 & a^{\frac{2009+1} {2}} \\ a^{\frac{2009-1} {2}} & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & a^{1005} \\ a^{1004} & 0\end{pmatrix}$$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 14
Tentukan semua nilai $a, b, c$ jika diketahui $A$ adalah matriks simetris, dengan
$A = \begin{pmatrix} 2 & a – 2b + 2c & 2a+b+c \\ 3 & 5 & a + c \\ 0 & -2 & 7 \end{pmatrix}$

Penyelesaian

Karena $A$ matriks simetris, maka berlaku
$$\begin{aligned} A & = A^T \\ \begin{pmatrix} 2 & a – 2b + 2c & 2a+b+c \\ 3 & 5 & a + c \\ 0 & -2 & 7 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 0 \\ a -2b + 2c & 5 & -2 \\ 2a+b+c & a+c & 7\end{pmatrix} \end{aligned}$$
Dengan demikian, diperoleh sistem persamaan linear
$\begin{cases} a – 2b + 2c = 3~~~~(1) \\ 2a + b + c = 0~~~~(2)\\ a + c = -2~~~~~~~(3) \end{cases}$
Eliminasi $b$ pada persamaan $1$ dan $2$:
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} a-2b+2c & = 3 \\ 2a+b+c & = 0 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 2 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned} a-2b+2c & = 3 \\~4a +2b+2c & = 0 \end{aligned} \\ & \rule{3.5 cm}{0.6pt} + \\ & \! \begin{aligned} 5a + 4c & = 3~~~~~~(4) \end{aligned} \end{aligned}$
Cari nilai $a$ dan $c$ menggunakan persamaan $3$ dan $4$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} a + c& = -2 \\ 5a + 4c & = 3\end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 4 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~4a + 4c & = -8 \\~ 5a + 4c & = 3 \end{aligned} \\ & \rule{2.5 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} a & = 11 \end{aligned} \end{aligned}$
Untuk $a = 11$, diperoleh
$\begin{aligned} a + c & = -2 \\ 11 + c & = -2 \\ c & = -13 \end{aligned}$
Substitusi nilai $a$ dan $c$ pada satu dari tiga persamaan pertama, misalnya persamaan $1$.
$\begin{aligned} a -2b + 2c & = 3 \\ 11 – 2b + 2(-13) & = 3 \\ -15 -2b & = 3 \\ -2b & = 18 \\ b & = -9 \end{aligned}$
Jadi, nilai $a, b, c$ berturut-turut adalah $\color{red}{a = 11, b = -9}$, dan $\color{red}{c = -13}$.

[collapse]

Soal Nomor 15
Tunjukkan bahwa nilai determinan matriks
$\begin{pmatrix} \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ -\cos \theta & \sin \theta & 0 \\ \sin \theta \cos \theta & \sin \theta + \cos \theta & 1 \end{pmatrix}$
tidak tergantung pada $\theta$.

Penyelesaian

Misalkan 
$X = \begin{pmatrix} \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ -\cos \theta & \sin \theta & 0 \\ \sin \theta – \cos \theta & \sin \theta + \cos \theta & 1 \end{pmatrix}$ 
Dengan menggunakan Ekspansi Kofaktor sepanjang kolom ketiga, diperoleh
$$\begin{aligned} \det(X) & = 0 \begin{vmatrix} -cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta – \cos \theta & \sin \theta + \cos \theta \end{vmatrix} \\ & – 0 \begin{vmatrix} \sin \theta & \cos \theta \\ \sin \theta – \cos \theta & \sin \theta + \cos \theta \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} \sin \theta & \cos \theta \\ -\cos \theta & \sin \theta \end{vmatrix} \\ & = 0 – 0 + (\sin^2 \theta – (-\cos^2 \theta)) \\ & = \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \end{aligned}$$
Diperoleh determinan $X$ selalu $1$ dan ini menunjukkan bahwa nilai $\theta$ tidak memengaruhi determinan matriks tersebut. 
Catatan:
Ingat sifat identitas Pythagoras dalam trigonometri
$\boxed{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1}$

[collapse]

Soal Nomor 16
Jika $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^3 & b^3 & c^3 \end{pmatrix}$, maka $\det(A) = \cdots \cdot$
A. $(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$
B. $(a-b)(b-c)(c-a)(a+b-c)$
C. $(a-b)(b-c)(c-a)(a-b+c)$
D. $(a-b)(b-c)(c+a)(a-b-c)$
E. $(a-b)(b-c)(c+a)(a-b+c)$

Penyelesaian

$$\begin{aligned} \det A & = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^3 & b^3 & c^3 \end{vmatrix} \\ & = 1(bc^3 -b^3c)- 1(ac^3 -a^3c) + 1(ab^3 -a^3b) \\ & = ab^3 -bc^3 + bc^3 -a^3b + ac^3 -a^3c \\ & = (a-c)b^3 + (c^3-a^3)b + ac(c^2-a^2) \\ & = (a-c)b^3 -(a-c)[(a^2+ac+c^2)b + ac(a+c)] \\ & = (a-c)\color{red}{[b^3- (a^2+ac+c^2)b + ac(a+c)]} \end{aligned}$$
Selanjutnya, kita sederhanakan bentuk aljabar yang diberi warna merah di atas.
$$\begin{aligned} & b^3 – (a^2+ac+c^2)b + ac(a+c) \\ & = b^3 – a^2b -abc- bc^2 + a^2c + ac^2 \\ & = b^3 -bc^2 -a^2b + a^2c -abc + ac^2 \\ & = b(b^2-c^2) -(b-c)a^2 – ac(b -c) \\ & = b(b-c)(b+c) – (b-c)a^2 – ac(b -c) \\ & = (b-c)\color{blue}{[b(b+c) -a^2 -ac]} \end{aligned}$$
Selanjutnya lagi, kita sederhanakan bentuk aljabar yang diberi warna biru di atas.
$$\begin{aligned} b(b+c) – a^2 -ac & = b^2+bc-a^2-ac \\ & = b^2-a^2+bc-ac \\ & = (b-a)(b+a)+c(b-a) \\ & = (b-a)(a+b+c) \end{aligned}$$
Dengan demikian, dapat kita tulis
$\begin{aligned} \det A & = (a-c)(b-c)(b-a)(a+b+c) \\ & = (a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c) \end{aligned}$
Jadi, determinan dari matriks $A$ adalah $\boxed{(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 17
Diberikan $A = \begin{pmatrix} b & -\sin x \\ \sin x & b \end{pmatrix}$. Hasil kali semua nilai $b$ yang memenuhi persamaan $A^{-1} = A^T$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-\sin^2 x$              D. $\cos x$
B. $-\cos^2 x$              E. $\cos^2 x$
C. $-\cos x$

Penyelesaian

Diketahui:
$$A = \begin{pmatrix} b & -\sin x \\ \sin x & b \end{pmatrix}~~~~A^T = \begin{pmatrix} b & \sin x \\ -\sin x & b \end{pmatrix}$$
Dari persamaan $A^{-1} = A^T$, kalikan kedua ruas dengan $A$, sehingga selanjutnya dapat ditulis
$$\begin{aligned} A^{-1}A & = A^TA \\ I & = A^TA \\ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} b & \sin x \\ -\sin x & b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b & -\sin x \\ \sin x & b \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} b^2 + \sin^2 x & 0 \\ 0 & \sin^2 x + b^2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$
Dari kesamaan entri matriks, diperoleh
$\begin{aligned} \sin^2 x + b^2 & = 1 \\ b^2 & = 1 – \sin^2 x \\ b^2 & = \cos^2 x \\ b & = \pm \cos x \end{aligned}$
Hasil kali nilai-nilai $b$ adalah
$b_1b_2 = \cos x(-\cos x) = -\cos^2 x$
Jadi, hasil kali semua nilai $b$ yang memenuhi persamaan $A^{-1} = A^T$ adalah $\boxed{-\cos^2 x}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 18
Pernyataan berikut yang benar mengenai perkalian matriks adalah $\cdots \cdot$
A. Jika $A$ dan $B$ merupakan matriks persegi, maka $(A+B)(A-B) = A^2-B^2$
B. Jika $AB = C$ dan $C$ memiliki $2$ kolom, maka $A$ juga memiliki $2$ kolom
C. Jika $BC = D$, maka $B^{-1}C^{-1} = D^{-1}$
D. Jika $AC=O$, maka berlaku $A=O$ atau $C=O$
E. Jika $A$ dan $B$ adalah matriks berukuran $m \times n$, maka $AB^T$ dan $A^TB$ keduanya terdefinisi

Penyelesaian

Akan diperiksa kebenaran dari setiap opsi yang diberikan.
Cek opsi A: Salah
Karena $A, B$ matriks persegi, maka dengan menggunakan sifat distributif, berlaku
$\begin{aligned} (A+B)(A-B) &= A^2-AB+BA-B^2 \\ & \neq A^2-B^2 \end{aligned}$
Ketaksamaan terjadi karena $AB \neq BA$ (perkalian matriks tidak memberlakukan sifat komutatif).
Cek opsi B: Salah
Diketahui $AB = C$ dan $C$ memiliki $2$ kolom. Berdasarkan definisi perkalian matriks, banyaknya baris pada $A$ sama dengan banyaknya baris pada $C$, sedangkan banyaknya kolom pada $B$ sama dengan banyaknya kolom pada $C$. Jadi, pernyataan bahwa $A$ juga memiliki $2$ kolom belum tentu benar.
Cek opsi C: Salah
Diketahui $BC = D$. Jika matriks-matriks kedua ruas diinverskan, diperoleh
$\begin{aligned} (BC)^{-1} & = D^{-1} \\ C^{-1}B^{-1} & = D^{-1} \end{aligned}$
Jadi, pernyataan yang diberikan salah.
Cek opsi D: Salah
Diketahui $AC = O$. Selain $A = O$ atau $C = O$, ada kemungkinan lain dari hasil kali kedua matriks untuk mendapatkan matriks nol, yakni ketika
$ACC^{-1} = OC^{-1} \Leftrightarrow A = C^{-1}$
Jadi, matriks yang memenuhi $A = C^{-1}$ adalah solusi persamaan matriks tersebut.
Cek opsi E: Benar
Diketahui $A$ dan $B$ adalah matriks berukuran $m \times n$. Untuk itu, $A^T$ dan $B^T$ keduanya berukuran $n \times m$. Dengan demikian, $AB^T$ adalah perkalian dua buah matriks berukuran $m \times n$ dan $n \times m$ sehingga terdefinisi, begitu juga $A^TB$.
(Jawaban E) 

[collapse]

Soal Nomor 19
Buktikan bahwa matriks
$A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix}$ dan $B = \begin{pmatrix} d & e \\ 0 & f \end{pmatrix}$
komutatif terhadap operasi perkalian matriks jika dan hanya jika
$\begin{vmatrix} b & a-c \\ e & d-f \end{vmatrix} = 0$

Penyelesaian

Pembuktian pernyataan di atas harus bersifat dua arah (memuat frasa “jika dan hanya jika”)
Pembuktian: $p \impliedby q$
Akan dibuktikan bahwa jika matriks
$A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix}$ dan $B = \begin{pmatrix} d & e \\ 0 & f \end{pmatrix}$
komutatif terhadap operasi perkalian matriks, maka $\begin{vmatrix} b & a-c \\ e & d-f \end{vmatrix} = 0$
——————
Anteseden memberlakukan persamaan 
$AB = BA$ (sifat komutatif perkalian)
Untuk itu, diperoleh
$\begin{aligned} \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} d & e \\ 0 & f \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} d & e \\ 0 & f \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} ad & ae+bf \\ 0 & cf \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} ad & bd + ce \\ 0 & cf \end{pmatrix} \end{aligned}$
Persamaan terakhir menunjukkan bahwa
$\begin{aligned} ae + bf & = bd + ce \\ (ae – ce) + (bf – bd) & = 0 \\ e(a-c) – b(d – f) & = 0 \\ b(d-f) – e(a-c) & = 0 \end{aligned}$
Bentuk terakhir dapat dinyatakan dalam bentuk determinan matriks berordo $2 \times 2$, yaitu
$\begin{vmatrix} b & a-c \\ e & d-f \end{vmatrix} = 0$
(Terbukti)



Pembuktian $p \implies q$ 
Akan dibuktikan bahwa jika $\begin{vmatrix} b & a-c \\ e & d-f \end{vmatrix} = 0$, maka matriks $A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix}$ dan $B = \begin{pmatrix} d & e \\ 0 & f \end{pmatrix}$
komutatif terhadap operasi perkalian matriks
——————
Diketahui bahwa
$\begin{aligned} \begin{vmatrix} b & a-c \\ e & d-f \end{vmatrix} & = 0 \\ b(d-f) – e(a – c) & = 0 \\ bd – bf – ae + ce & = 0 \\ ae + bf & = bd + ce \end{aligned}$
Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} AB & = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} d & e \\ 0 & f \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} ad & ae+bf \\ 0 & cf \end{pmatrix} \\ \text{Substitusi}~ae + bf & = bd + ce \\ & = \begin{pmatrix} ad & bd + ce \\ 0 & cf \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} d & e \\ 0 & f \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \\ & = BA \end{aligned}$
Karena berlaku $AB = BA$, maka matriks tersebut komutatif terhadap operasi perkalian matriks (terbukti)
Jadi, matriks $A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix}$ dan $B = \begin{pmatrix} d & e \\ 0 & f \end{pmatrix}$ komutatif terhadap operasi perkalian matriks jika dan hanya jika
$\begin{vmatrix} b & a-c \\ e & d-f \end{vmatrix} = 0$ 

[collapse]

CategoriesMatriks, SOAL OLIMPIADETags, , , , , , , ,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *