Soal dan Pembahasan – Matriks, Determinan, dan Invers Matriks (Versi HOTS dan Olimpiade)

Matriks merupakan salah satu materi matematika yang dipelajari saat tingkat SMA/Sederajat. Banyak rumor yang mengatakan bahwa matriks merupakan materi matematika yang paling gampang dipahami di tingkat SMA. Meskipun demikian, latihan soal tentang matriks tetap menjadi kunci utama untuk memahami materi tersebut. Setelah mempelajari mengenai soal dan pembahasan – matriks, determinan, dan invers matriksberikut penulis sajikan sejumlah soal tingkat lanjut terkait matriks (tipe soal HOTS dan Olimpiade).
Semoga bermanfaat dan selamat belajar!

Soal Nomor 1 
Jika diketahui A = \begin{pmatrix} 6 & -3 & 2 \\ 1 & 0 & 4 \\ 5 & 7 & 6 \end{pmatrix} dan B = \begin{pmatrix} 1 & -9 & 4 \\ 2 & 2 & -3 \\ 3 & 13 & -10 \end{pmatrix}

, maka nilai \det(B^{-1}(A^{-1}B^{-1})^{-1}A^{-1}) adalah \cdots
A. -1     B. 0       C. 1        D. 3       E. 5

Penyelesaian

Gunakan sifat invers berikut. 
\boxed{\begin{aligned}&  (A^{-1}B^{-1})^{-1} \\ & = BA \\ A^{-1} \cdot A & = A \cdot A^{-1} = I \\ I \cdot I = I \end{aligned}}
dan perhatikan juga bahwa determinan matriks identitas selalu 1
dengan I merupakan matriks identitas. 
Untuk itu, dapat dituliskan
\begin{aligned} \det(B^{-1}(A^{-1}B^{-1})^{-1}A^{-1}) & = \det(B^{-1}(BA)A^{-1}) \\ & = \det((B^{-1}B) (AA^{-1})) \\ & = \det(I \cdot I) \\ & = \det(I) = 1 \end{aligned}
Jadi, determinan dari B^{-1}(A^{-1}B^{-1})^{-1}A^{-1} adalah \boxed{1} (Jawaban C) 
(tanpa perlu memperhatikan entri matriks A dan B yang diberikan).

[collapse]

Soal Nomor 2
Jika M adalah matriks sehingga
M \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ a - c & b - d \end{pmatrix}, maka determinan matriks M adalah \cdots
A. -1     B. 0     C. 1       D. 2        E. 3

Penyelesaian

Diketahui M \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ a - c & b - d \end{pmatrix}
Untuk itu, dapat ditulis
\begin{aligned} |M| \cdot \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} & = \begin{vmatrix} a & b \\ a - c & b - d \end{vmatrix} \\ |M| \cdot (ad - bc) & = a(b - d) - b(a - c) \\ |M| \cdot (ad - bc) & = \cancel{ab} - ad \cancel{- ab} + bc \\ |M| \cdot (ad - bc) & = -(ad - bc) \\ |M| & = \dfrac{-(ad-bc)}{ad-bc} = -1 \end{aligned}
Jadi, determinan dari matriks M adalah \boxed{-1} (Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 3
Jika diketahui
\begin{vmatrix} a & b & c\\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = 3, maka
\begin{vmatrix} 2a + d& a & 4a+2d+g \\ 2b+e & b & 4b+2e+h \\ 2c+f & c & 4c+2f+i \end{vmatrix} = \cdots
A. -3     B. -2       C. 0        D. 2        E. 3

Penyelesaian

Diketahui ersamaan
\begin{vmatrix} a & b & c\\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = 3
Dengan melakukan penukaran entri baris pertama dan kedua, yang akibatnya menegatifkan determinan, diperoleh
\begin{vmatrix} d & e & f \\ a & b & c \\ g & h & i \end{vmatrix} = -3
Transposkan untuk memperoleh
\begin{vmatrix} d & a & g \\ e & b & h \\ f & c & i \end{vmatrix} = -3
(Transpos tidak mengubah determinan)
Selanjutnya, jumlahkan entri kolom pertama dengan dua kali entri kolom kedua yang bersesuaian (tidak mengubah determinan). 
\begin{vmatrix} 2a+d & a & g \\ 2b + e & b & h \\ 2c + f & c & i \end{vmatrix} = -3
Terakhir, jumlahkan entri kolom ketiga dengan dua kali entri kolom pertama yang bersesuaian (tidak mengubah determinan). 
\begin{vmatrix} 2a+d & a & 4a+2d+g\\ 2b + e & b & 4b+2e+h \\ 2c + f & c & 4c+2f+i \end{vmatrix} = -3 
Jadi, nilai dari
\boxed{\begin{vmatrix} 2a+d & a & 4a+2d+g\\ 2b + e & b & 4b+2e+h \\ 2c + f & c & 4c+2f+i \end{vmatrix} = -3} 
(Jawaban A) 

[collapse]

Soal Nomor 4
Jika matriks A = \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}, maka A^{27} + A^{31} + A^{40} adalah \cdots
A. \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 3 & -4 \end{pmatrix}
B. \begin{pmatrix} -7 & 14 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}
C. \begin{pmatrix} 7 & -14 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}
D. \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
E. \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

Penyelesaian

Diketahui A = \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}
Perhatikan bahwa
\begin{aligned} A^2 & = \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 7 \\ -1 & -3 \end{pmatrix} \\ A^3 & = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 2 & 7 \\ -1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = -I\end{aligned}
di mana I matriks identitas. 
Selanjutnya, 
\begin{aligned} A^{27} + A^{31} + A^{40} & = A^{27}(I + A^4 + A^{13}) \\ & = (A^3)^9(I + A^3A + (A^3)^4A) \\ & = (-I)^9(I - IA + (-I)^4A) \\ & = -I(I - A + A) \\ & = -I = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{aligned}
Jadi, 
\boxed{A^{27} + A^{31} + A^{40} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}}
(Jawaban E)
Catatan: Perpangkatan matriks identitas tetap menghasilkan matriks identitas.

[collapse]

Soal Nomor 5 (Soal SMPB 2006 Regional I) 
Jika konstanta k memenuhi persamaan
\begin{pmatrix} k & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x - 1 \\ y - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ k \end{pmatrix}
maka nilai x+y=\cdots
A. (2+k) (1+k)
B. (2-k) (1-k)
C. (2+k) (1-k)
D. (1-k) (1+k)
E. (2-k) (1+k)

Penyelesaian

Dengan menerapkan aturan perkalian matriks, diperoleh
\begin{aligned} \begin{pmatrix} k & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x - 1 \\ y - 1 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 0 \\ k \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} k(x-1) + 1(y-1) \\ 1(x-1) + 0(y-1) \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 0 \\ k \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} k(x-1)+(y-1) \\ x-1 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 0 \\ k \end{pmatrix} \end{aligned}
Dengan demikian, diperoleh
\begin{cases} k(x-1) + (y-1) = 0 & (\cdots 1) \\ x - 1 = k & (\cdots 2) \end{cases}
Substitusi persamaan 2 ke persamaan 1.
k(k) + y - 1 & = 0 \Leftrightarrow y = 1 - k^2
Untuk itu, didapat
\begin{aligned}x+y & =(k+1)+(1-k^2) \\ & =(k+1)+(k+1)(1-k) \\ & = (k+1)(1+(1-k)) = (k+1)(2-k) \end{aligned}
Jadi, nilai dari x+y adalah (k+1)(2-k) atau ditulis sebagai \boxed{(2-k) (1+k)}
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 6 (Soal UMPTN 1994)
Jika x : y = 5 : 4, maka nilai x dan y yang memenuhi persamaan matriks
\begin{pmatrix} 2 & 10 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & y \\ 4 & 5 \\ 30 & 25 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 \\ 10 \end{pmatrix} = 1.360
adalah \cdots
A. x = 1 dan y = \frac45
B. x=\dfrac45 dan y=1
C. x=5 dan y=4
D. x=-10 dan y=-8
E. x=10 dan y=8

Penyelesaian

Karena x : y = 5 : 4, maka dapat diasumsikan x = 5k dan y=4k untuk suatu bilangan real k
Dengan demikian, diperoleh
\begin{aligned} \begin{pmatrix} 2 & 10 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5k & 4k \\ 4 & 5 \\ 30 & 25 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 \\ 10 \end{pmatrix} & = 1.360 \\ \begin{pmatrix} 10k + 40 + 30 & 8k + 50 + 25 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \end{pmatrix} & = 1.360 \\ \begin{pmatrix} 10k + 70 & 8k + 75 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \end{pmatrix} & =1.360 \\ 5(10k+70) + 10(8k+75) & = 1.360 \\ \text{Bagi kedua ruas dengan}~& 5 \\10k+70 + 2(8k+75) & = 272 \\ 26k + 220 & = 272 \\ 26k & = 52 \\ k & = 2 \end{aligned}
Dengan demikian, diperoleh
\boxed{\begin{aligned} x & = 5k = 5(2) = 10 \\ y & =4k=4(2)=8 \end{aligned}}
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 7
Matriks A = \begin{pmatrix} 3 &2 \\ 4&11 \end{pmatrix} mempunyai hubungan dengan B = \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}. Jika matriks C = \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} dan matriks D hubungan yang serupa seperti matriks A dengan B, maka matriks C + D = \cdots
A. \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}
B. \begin{pmatrix} 0 & 7 \\ 7 & 0 \end{pmatrix}
C. \begin{pmatrix} 0 & -7 \\ -7 & 0 \end{pmatrix} 
D. \begin{pmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{pmatrix}
E. \begin{pmatrix} 7 & 7 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 8 (Soal SBMPTN 2016 Kode 337)
Jika A matriks berukuran 2 \times 2 yang mempunyai invers dan A^2 - 2A - I = 0, maka A - 2I = \cdots
A. (2A)^{-1}            D. A^2-2A
B. A^2+2A               E. A^{-1}
C. 2I-A

Penyelesaian

Dari persamaan A^2-2A-I=0 dengan I matriks identitas dan 0 matriks nol, diperoleh
\begin{aligned} A^2-2A & =I \\ A^2-2IA & = I \\ A(A - 2I) & = I \end{aligned}
Berdasarkan definisi invers matriks, B merupakan invers dari matriks A apabila berlaku AB = BA = I
Dengan demikian, kita peroleh bahwa
\boxed{A - 2I= A^{-1}}
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 9 (Soal SBMPTN 2016 Kode 326)
Jika matriks A = \begin{pmatrix} 2a & 2 \\ -4 & a \end{pmatrix} dan B = \begin{pmatrix} 2b & b \\ -4 & b \end{pmatrix} mempunyai invers, maka semua bilangan real b yang memenuhi \det(ABA^{-1}B^{-1})>0 adalah \cdots
A. b<0
B. b>0
C. b>-2
D. -2<b<0
E. b<-2 atau b>0

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 10
Diketahui A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 5 & 2 & 6 \\ -2 & -1 & -3 \end{pmatrix}
Nilai dari A^{2017} + 2017A^{2018} + 2I^{2018} adalah \cdots
A. O             D. 2017A+2I
B. 2I             E. A+2I
C. A

Penyelesaian

Perhatikanlah bahwa
\begin{aligned} A^2 & = A \times A \\ & = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 5 & 2 & 6 \\ -2 & -1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 5 & 2 & 6 \\ -2 & -1 & -3 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 9 \\ -1 & -1 & -3 \end{pmatrix} \\ A^3 & = A^2 \times A \\ & = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 9 \\ -1 & -1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 5 & 2 & 6 \\ -2 & -1 & -3 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{aligned}
Karena perkalian matriks nol dengan matriks apapun tetap menghasilkan matriks nol, sedangkan perpangkatan matriks identitas tetap menghasilkan matriks identitas, maka dapat ditulis
\begin{aligned} & A^{2017} + 2017A^{2018} + 2I^{2018} \\ & = O + 2017O + 2I = 2I \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{A^{2017} + 2017A^{2018} + 2I^{2018} = 2I}
(Jawaban B) 

Catatan:
O merupakan notasi matriks nol, sedangkan I adalah notasi matriks identitas.

[collapse]

Soal Nomor 11
Jika A = \begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, maka A^{2009} = \cdots
A. \begin{pmatrix} a^{1004} & 0 \\ 0 & a^{1004} \end{pmatrix}
B. \begin{pmatrix} 0 & a^{1005} \\ a^{1004} & 0 \end{pmatrix}
C. \begin{pmatrix} 0 & a^{1005} \\ a^{1005} & 0 \end{pmatrix}
D. \begin{pmatrix} a^{2008} & 0 \\ 0 & a^{1004) \end{pmatrix}
E. \begin{pmatrix} 0 & a^{1004} \\ a^{1004} & 0 \end{pmatrix}

Penyelesaian

Diketahui: A = \begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
Perhatikan hasil dari sejumlah perpangkatan matriks A berikut. 
\begin{aligned} A^2 & = A \times A = \begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix} \\ A^3 & = A^2 \times A = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & a^2 \\ 0 & a \end{pmatrix} \\ A^4 & = A^3 \times A = \begin{pmatrix} 0 & a^2 \\ 0 & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 & 0 \\ 0 & a^2 \end{pmatrix} \\ A^5 & = A^4 \times A = \begin{pmatrix} a^2 & 0 \\ 0 & a^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & a^3 \\ a^2 & 0 \end{pmatrix} \\ A^6 & = A^5 \times A = \begin{pmatrix} 0 & a^3 \\ a^2 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^3 & 0 \\ 0 & a^3 \end{pmatrix} \end{aligned}
Dari uraian di atas, ditemukan pola
A^n = \begin{pmatrix} a^{\frac{n} {2}} & 0 \\ 0 & a^{\frac{n} {2}} \end{pmatrix}
untuk n genap. 
A^n = \begin{pmatrix} 0 & a^{\frac{n+1} {2}} \\ a^{\frac{n-1} {2}} & 0\end{pmatrix}
untuk n ganjil. 
Karena 2009 adalah bilangan ganjil, maka kita dapatkan
A^{2009} = \begin{pmatrix} 0 & a^{\frac{2009+1} {2}} \\ a^{\frac{2009-1} {2}} & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & a^{1005} \\ a^{1004} & 0\end{pmatrix}
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 12
Tentukan semua nilai a, b, c jika diketahui A adalah matriks simetris, dengan
A = \begin{pmatrix} 2 & a - 2b + 2c & 2a+b+c \\ 3 & 5 & a + c \\ 0 & -2 & 7 \end{pmatrix}

Penyelesaian

Karena A matriks simetris, maka berlaku
\begin{aligned} A & = A^T \\ \begin{pmatrix} 2 & a - 2b + 2c & 2a+b+c \\ 3 & 5 & a + c \\ 0 & -2 & 7 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 0 \\ a - 2b + 2c & 5 & -2 \\ 2a+b+c & a+c & 7\end{pmatrix} \end{aligned}
Dengan demikian, diperoleh sistem persamaan linear
\begin{cases} a - 2b + 2c = 3~~~~(1) \\ 2a + b + c = 0~~~~(2)\\ a + c = -2~~~~~~~(3) \end{cases}
Eliminasi b pada persamaan 1 dan 2:
\begin{aligned} \! \begin{aligned} a-2b+2c & = 3 \\ 2a+b+c & = 0 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 2 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned} a-2b+2c & = 3 \\ 4a +2b+2c & = 0 \end{aligned} \\ & \noindent\rule{3.5 cm}{0.6pt} + \\ & \! \begin{aligned} 5a + 4c & = 3~~~~~~(4) \end{aligned} \end{aligned}
Cari nilai a dan c menggunakan persamaan 3 dan 4.
\begin{aligned} \! \begin{aligned} a + c& = -2 \\ 5a + 4c & = 3\end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 4 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned} 4a + 4c & = -8 \\ 5a + 4c & = 3 \end{aligned} \\ & \noindent\rule{2.5 cm}{0.6pt} - \\ & \! \begin{aligned} a & = 11 \end{aligned} \end{aligned}
Untuk a = 11, diperoleh
\begin{aligned} a + c & = -2 \\ 11 + c & = -2 \\ c & = -13 \end{aligned}
Substitusi nilai a dan c pada satu dari tiga persamaan pertama, misalnya persamaan 1.
\begin{aligned} a - 2b + 2c & = 3 \\ 11 - 2b + 2(-13) & = 3 \\ -15 - 2b & = 3 \\ -2b & = 18 \\ b & = -9 \end{aligned}
Jadi, nilai a, b, c berturut-turut adalah \color{red}{a = 11, b = -9}, dan \color{red}{c = -13}.

[collapse]

Soal Nomor 13
Tunjukkan bahwa nilai determinan matriks
\begin{pmatrix} \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ -\cos \theta & \sin \theta & 0 \\ \sin \theta \cos \theta & \sin \theta + \cos \theta & 1 \end{pmatrix}
tidak tergantung pada \theta.

Penyelesaian

Misalkan 
X = \begin{pmatrix} \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ -\cos \theta & \sin \theta & 0 \\ \sin \theta - \cos \theta & \sin \theta + \cos \theta & 1 \end{pmatrix} 
Dengan menggunakan Ekspansi Kofaktor sepanjang kolom ketiga, diperoleh
\begin{aligned} \det(X) & = 0 \begin{vmatrix} -cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta - \cos \theta & \sin \theta + \cos \theta \end{vmatrix} \\ & - 0 \begin{vmatrix} \sin \theta & \cos \theta \\ \sin \theta - \cos \theta & \sin \theta + \cos \theta \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} \sin \theta & \cos \theta \\ -\cos \theta & \sin \theta \end{vmatrix} \\ & = 0 - 0 + (\sin^2 \theta - (-\cos^2 \theta)) \\ & = \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \end{aligned}
Diperoleh determinan X selalu 1 dan ini menunjukkan bahwa nilai \theta tidak memengaruhi determinan matriks tersebut. 
Catatan:
Ingat sifat identitas Pythagoras dalam trigonometri
\boxed{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1}

[collapse]

Soal Nomor 14
Buktikan bahwa matriks
A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} dan B = \begin{pmatrix} d & e \\ 0 & f \end{pmatrix}
komutatif terhadap operasi perkalian matriks jika dan hanya jika
\begin{vmatrix} b & a-c \\ e & d-f \end{vmatrix} = 0

Penyelesaian

Pembuktian pernyataan di atas harus bersifat dua arah (memuat frasa “jika dan hanya jika”)
Pembuktian: p \impliedby q
Akan dibuktikan bahwa jika matriks
A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} dan B = \begin{pmatrix} d & e \\ 0 & f \end{pmatrix}
komutatif terhadap operasi perkalian matriks, maka \begin{vmatrix} b & a-c \\ e & d-f \end{vmatrix} = 0
——————
Anteseden memberlakukan persamaan 
AB = BA (sifat komutatif perkalian)
Untuk itu, diperoleh
\begin{aligned} \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} d & e \\ 0 & f \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} d & e \\ 0 & f \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} ad & ae+bf \\ 0 & cf \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} ad & bd + ce \\ 0 & cf \end{pmatrix} \end{aligned}
Persamaan terakhir menunjukkan bahwa
\begin{aligned} ae + bf & = bd + ce \\ (ae - ce) + (bf - bd) & = 0 \\ e(a-c) - b(d - f) & = 0 \\ b(d-f) - e(a-c) & = 0 \end{aligned}
Bentuk terakhir dapat dinyatakan dalam bentuk determinan matriks berordo 2 \times 2, yaitu
\begin{vmatrix} b & a-c \\ e & d-f \end{vmatrix} = 0
(Terbukti)



Pembuktian p \implies q 
Akan dibuktikan bahwa jika \begin{vmatrix} b & a-c \\ e & d-f \end{vmatrix} = 0, maka matriks A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} dan B = \begin{pmatrix} d & e \\ 0 & f \end{pmatrix}
komutatif terhadap operasi perkalian matriks
——————
Diketahui bahwa
\begin{aligned} \begin{vmatrix} b & a-c \\ e & d-f \end{vmatrix} & = 0 \\ b(d-f) - e(a - c) & = 0 \\ bd - bf - ae + ce & = 0 \\ ae + bf & = bd + ce \end{aligned}
Perhatikan bahwa
\begin{aligned} AB & = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} d & e \\ 0 & f \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} ad & ae+bf \\ 0 & cf \end{pmatrix} \\ \text{Substitusi}~ae + bf & = bd + ce \\ & = \begin{pmatrix} ad & bd + ce \\ 0 & cf \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} d & e \\ 0 & f \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \\ & = BA \end{aligned}
Karena berlaku AB = BA, maka matriks tersebut komutatif terhadap operasi perkalian matriks (terbukti)
Jadi, matriks A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} dan B = \begin{pmatrix} d & e \\ 0 & f \end{pmatrix} komutatif terhadap operasi perkalian matriks jika dan hanya jika
\begin{vmatrix} b & a-c \\ e & d-f \end{vmatrix} = 0 

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini
CategoriesMatriks, SOAL OLIMPIADETags, , , , , , , ,

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *