Soal dan Pembahasan – Matriks, Determinan, dan Invers Matriks (Versi HOTS dan Olimpiade)

Diketahui $A = \begin{pmatrix} 3 & 7 \\-1 &-2 \end{pmatrix}.$
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} A^2 & = \begin{pmatrix} 3 & 7 \\-1 &-2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 7 \\-1 &-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 7 \\-1 &-3 \end{pmatrix} \\ A^3 & = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 2 & 7 \\-1 &-3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 7 \\-1 &-2 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 0 &-1 \end{pmatrix} =- \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} =-I\end{aligned}$$dengan  $I$ sebagai matriks identitas. 
Selanjutnya, 
$\begin{aligned} & A^{27} + A^{31} + A^{40} \\ & = A^{27}(I + A^4 + A^{13}) \\ & = (A^3)^9(I + A^3A + (A^3)^4A) \\ & = (-I)^9(I- IA + (-I)^4A) \\ & =-I(I-A + A) \\ & =-I = \begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 0 &-1 \end{pmatrix} \end{aligned}$
Jadi, $\boxed{A^{27} + A^{31} + A^{40} = \begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 0 &-1 \end{pmatrix}}$
(Jawaban E)
Catatan: Perpangkatan matriks identitas tetap menghasilkan matriks identitas.

Dengan menerapkan aturan perkalian matriks, diperoleh
$\begin{aligned} \begin{pmatrix} k & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x- 1 \\ y- 1 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 0 \\ k \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} k(x-1) + 1(y-1) \\ 1(x-1) + 0(y-1) \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 0 \\ k \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} k(x-1)+(y-1) \\ x-1 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 0 \\ k \end{pmatrix} \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{cases} k(x-1) + (y-1) = 0 & (\cdots 1) \\ x- 1 = k & (\cdots 2) \end{cases}$
Substitusi persamaan 2 ke persamaan 1.
$k(k) + y- 1 = 0 \Leftrightarrow y = 1- k^2$
Untuk itu, didapat
$\begin{aligned}x+y & =(k+1)+(1-k^2) \\ & =(k+1)+(k+1)(1-k) \\ & = (k+1)(1+(1-k)) \\ & = (k+1)(2-k) \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $x+y$ adalah $(k+1)(2-k)$ atau ditulis sebagai $\boxed{(2-k) (1+k)}$
(Jawaban E)

Karena $x : y = 5 : 4$, maka dapat diasumsikan $x = 5k$ dan $y=4k$ untuk suatu bilangan real $k$. 
Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 2 & 10 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5k & 4k \\ 4 & 5 \\ 30 & 25 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 \\ 10 \end{pmatrix} & = 1.360 \\ \begin{pmatrix} 10k + 40 + 30 & 8k + 50 + 25 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \end{pmatrix} & = 1.360 \\ \begin{pmatrix} 10k + 70 & 8k + 75 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \end{pmatrix} & =1.360 \\ 5(10k+70) + 10(8k+75) & = 1.360 \\ \text{Bagi kedua ruas dengan}~& 5 \\10k+70 + 2(8k+75) & = 272 \\ 26k + 220 & = 272 \\ 26k & = 52 \\ k & = 2 \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$\boxed{\begin{aligned} x & = 5k = 5(2) = 10 \\ y & =4k=4(2)=8 \end{aligned}}$
(Jawaban E)

Diketahui $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}$ dan $B =\begin{pmatrix}-5 & 3 \\ 1 &-2 \end{pmatrix}.$
Hubungan kedua matriks ini sebagai berikut:
Entri diagonal utama matriks $A$ ditukar lalu dinegatifkan untuk mendapatkan entri diagonal utama matriks $B$.
Entri diagonal samping matriks $A$ ditukar untuk mendapatkan entri diagonal samping matriks $B$
Secara matematis, ditulis
$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \iff B = \begin{pmatrix}-d & c \\ b &-a \end{pmatrix}$
Karena $C = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 &-5 \end{pmatrix}$, maka dengan mengikuti hubungan di atas, diperoleh
$D = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 2 &-3 \end{pmatrix}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} C + D & = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 &-5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 2 &-3 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 8 & 3 \\ 3 &-8 \end{pmatrix} \end{aligned}$
(Jawaban B)

Dari persamaan $A^2-2A-I=0$ dengan $I$ matriks identitas dan $0$ matriks nol, diperoleh
$\begin{aligned} A^2-2A & =I \\ A^2-2IA & = I \\ A(A- 2I) & = I \end{aligned}$
Berdasarkan definisi invers matriks, $B$ merupakan invers dari matriks $A$ apabila berlaku $AB = BA = I$. 
Dengan demikian, kita peroleh bahwa
$\boxed{A- 2I= A^{-1}}$
(Jawaban E)

Perhatikan bahwa bentuk $AB(B^{-1}+A)A^{-1}$ dapat disederhanakan lebih lanjut dengan menggunakan sejumlah sifat operasi matriks.
$$\begin{aligned} & AB(B^{-1}+A)A^{-1} \\ & = AB(B^{-1}A^{-1} + AA^{-1}) && (\text{Sifat Dis}\text{tributif}) \\ & = AB((AB)^{-1} + I) && (\text{Sifat Inver}\text{s Ma}\text{triks}) \\ & = (AB)(AB^{-1}) + AB(I) && (\text{Sifat Dis}\text{tributif}) \\ & = I + AB && (\text{Sifat Inver}\text{s Ma}\text{triks}) \\ & = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $\boxed{AB(B^{-1}+A)A^{-1} = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}}$
(Jawaban B)

Perhatikan bahwa jika $A$ matriks yang memiliki invers, berlaku
$\begin{aligned} (A^T)^{-1} & = (A^{-1})^T \\ (A^{-1})^{-1} & = A \\ (A^T)^T & = A \end{aligned}$
Karena notasi transpos dan invers (pada soal) masing-masing muncul sebanyak genap, maka dapat ditulis
$$\begin{aligned} & \left(\left(\left(\left(\left(\left(\left(\left(AB\right)^T\right)^{-1}\right)^T\right)^{-1}\right)^T\right)^{-1}\right)^T\right)^{-1} \\ & = AB = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}-2 & 5 \\ 1 &-3 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix}-4 & 9 \\-5 & 11 \end{pmatrix} \end{aligned}$$(Jawaban B)

Perhatikanlah bahwa
$$\begin{aligned} A^2 & = A \times A \\ & = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 5 & 2 & 6 \\-2 &-1 &-3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 5 & 2 & 6 \\-2 &-1 &-3 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 9 \\-1 &-1 &-3 \end{pmatrix} \\ A^3 & = A^2 \times A \\ & = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 9 \\-1 &-1 &-3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 5 & 2 & 6 \\-2 &-1 &-3 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Karena perkalian matriks nol dengan matriks apapun tetap menghasilkan matriks nol, sedangkan perpangkatan matriks identitas tetap menghasilkan matriks identitas, maka dapat ditulis
$\begin{aligned} & A^{2017} + 2017A^{2018} + 2I^{2018} \\ & = O + 2017O + 2I = 2I \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{A^{2017} + 2017A^{2018} + 2I^{2018} = 2I}$
(Jawaban B) 
Catatan:
$O$ merupakan notasi matriks nol, sedangkan $I$ adalah notasi matriks identitas.

Diketahui:
$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}~~~~~B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
Akan dicari hasil dari $A^{2019}$ menggunakan pola.
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} A^2 & = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \\ A^3 & = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \\ A^4 & = A^3 \cdot A =\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Tampak bahwa hanya entri baris $2$ kolom $1$ matriks yang berubah sesuai dengan pangkat $A$. Dapat disimpulkan bahwa
$A^{2019} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2019 & 1 \end{pmatrix}.$
Dengan menggunakan prinsip yang sama, diperoleh
$B^{2020} = \begin{pmatrix} 1 & 2020 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$
Dengan demikian,
$$\begin{aligned} A^{2019} + B^{2020} & = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2019 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 2020 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 2 & 2020 \\ 2019 & 2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Kita dapatkan
$a = d = 2; b = 2020; c = 2019.$
Jadi, nilai dari $\boxed{a+b+c+d=4043}$
(Jawaban E)

Diketahui: $A = \begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.$
Perhatikan hasil dari sejumlah perpangkatan matriks $A$ berikut. 
$$\begin{aligned} A^2 & = A \times A = \begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix} \\ A^3 & = A^2 \times A = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & a^2 \\ a & 0 \end{pmatrix} \\ A^4 & = A^3 \times A = \begin{pmatrix} 0 & a^2 \\ a & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 & 0 \\ 0 & a^2 \end{pmatrix} \\ A^5 & = A^4 \times A = \begin{pmatrix} a^2 & 0 \\ 0 & a^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & a^3 \\ a^2 & 0 \end{pmatrix} \\ A^6 & = A^5 \times A = \begin{pmatrix} 0 & a^3 \\ a^2 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^3 & 0 \\ 0 & a^3 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Dari uraian di atas, ditemukan pola
$A^n = \begin{pmatrix} a^{\frac{n} {2}} & 0 \\ 0 & a^{\frac{n} {2}} \end{pmatrix}$
untuk $n$ genap dan
$A^n = \begin{pmatrix} 0 & a^{\frac{n+1} {2}} \\ a^{\frac{n-1} {2}} & 0\end{pmatrix}$
untuk $n$ ganjil. 
Karena $2009$ adalah bilangan ganjil, maka kita dapatkan
$$A^{2009} = \begin{pmatrix} 0 & a^{\frac{2009+1} {2}} \\ a^{\frac{2009-1} {2}} & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & a^{1005} \\ a^{1004} & 0\end{pmatrix}$$(Jawaban B)

$$\begin{aligned} \det A & = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^3 & b^3 & c^3 \end{vmatrix} \\ & = 1(bc^3-b^3c)- 1(ac^3-a^3c) + 1(ab^3-a^3b) \\ & = ab^3-bc^3 + bc^3-a^3b + ac^3-a^3c \\ & = (a-c)b^3 + (c^3-a^3)b + ac(c^2-a^2) \\ & = (a-c)b^3-(a-c)[(a^2+ac+c^2)b + ac(a+c)] \\ & = (a-c)\color{red}{[b^3- (a^2+ac+c^2)b + ac(a+c)]} \end{aligned}$$Selanjutnya, kita sederhanakan bentuk aljabar yang diberi warna merah di atas.
$$\begin{aligned} & b^3- (a^2+ac+c^2)b + ac(a+c) \\ & = b^3- a^2b-abc- bc^2 + a^2c + ac^2 \\ & = b^3-bc^2-a^2b + a^2c-abc + ac^2 \\ & = b(b^2-c^2)-(b-c)a^2- ac(b-c) \\ & = b(b-c)(b+c)- (b-c)a^2- ac(b-c) \\ & = (b-c)\color{blue}{[b(b+c)-a^2-ac]} \end{aligned}$$Selanjutnya lagi, kita sederhanakan bentuk aljabar yang diberi warna biru di atas.
$$\begin{aligned} b(b+c)- a^2-ac & = b^2+bc-a^2-ac \\ & = b^2-a^2+bc-ac \\ & = (b-a)(b+a)+c(b-a) \\ & = (b-a)(a+b+c) \end{aligned}$$Dengan demikian, dapat kita tulis
$\begin{aligned} \det A & = (a-c)(b-c)(b-a)(a+b+c) \\ & = (a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c) \end{aligned}$
Jadi, determinan dari matriks $A$ adalah $\boxed{(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)}$
(Jawaban A)

Diketahui:
$A = \begin{pmatrix} b &-\sin x \\ \sin x & b \end{pmatrix}$ $A^T = \begin{pmatrix} b & \sin x \\-\sin x & b \end{pmatrix}$
Dari persamaan $A^{-1} = A^T$, kalikan kedua ruas dengan $A$, sehingga selanjutnya dapat ditulis
$$\begin{aligned} A^{-1}A & = A^TA \\ I & = A^TA \\ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} b & \sin x \\-\sin x & b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b &-\sin x \\ \sin x & b \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} b^2 + \sin^2 x & 0 \\ 0 & \sin^2 x + b^2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Dari kesamaan entri matriks, diperoleh
$\begin{aligned} \sin^2 x + b^2 & = 1 \\ b^2 & = 1- \sin^2 x \\ b^2 & = \cos^2 x \\ b & = \pm \cos x \end{aligned}$
Hasil kali nilai-nilai $b$ adalah
$b_1b_2 = \cos x(-\cos x) =-\cos^2 x$
Jadi, hasil kali semua nilai $b$ yang memenuhi persamaan $A^{-1} = A^T$ adalah $\boxed{-\cos^2 x}$
(Jawaban B)

Akan diperiksa kebenaran dari setiap opsi yang diberikan.
Cek opsi A: Salah
Karena $A, B$ matriks persegi, maka dengan menggunakan sifat distributif, berlaku
$$\begin{aligned} (A+B)(A-B) &= A^2-AB+BA-B^2 \\ & \neq A^2-B^2 \end{aligned}$$Ketaksamaan terjadi karena $AB \neq BA$ (perkalian matriks tidak memberlakukan sifat komutatif).
Cek opsi B: Salah
Diketahui $AB = C$ dan $C$ memiliki $2$ kolom. Berdasarkan definisi perkalian matriks, banyaknya baris pada $A$ sama dengan banyaknya baris pada $C,$ sedangkan banyaknya kolom pada $B$ sama dengan banyaknya kolom pada $C$. Jadi, pernyataan bahwa $A$ juga memiliki $2$ kolom belum tentu benar.
Cek opsi C: Salah
Diketahui $BC = D$. Jika matriks-matriks kedua ruas diinverskan, diperoleh
$\begin{aligned} (BC)^{-1} & = D^{-1} \\ C^{-1}B^{-1} & = D^{-1} \end{aligned}$
Jadi, pernyataan yang diberikan salah.
Cek opsi D: Salah
Diketahui $AC = O$. Selain $A = O$ atau $C = O$, ada kemungkinan lain dari hasil kali kedua matriks untuk mendapatkan matriks nol, yakni ketika
$ACC^{-1} = OC^{-1} \Leftrightarrow A = C^{-1}$
Jadi, matriks yang memenuhi $A = C^{-1}$ adalah solusi persamaan matriks tersebut.
Cek opsi E: Benar
Diketahui $A$ dan $B$ adalah matriks berukuran $m \times n$. Untuk itu, $A^T$ dan $B^T$ keduanya berukuran $n \times m$. Dengan demikian, $AB^T$ adalah perkalian dua buah matriks berukuran $m \times n$ dan $n \times m$ sehingga terdefinisi, begitu juga $A^TB$.
(Jawaban E) 

Perhatikan bahwa determinan matriks $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ sama dengan determinan matriks $\begin{pmatrix} a-b & b \\ c-d & d \end{pmatrix}$.
Dengan menggunakan fakta ini, kita peroleh
$$\begin{aligned} & \det \begin{pmatrix} 3+2\sqrt5+\sqrt7 & 2\sqrt5 \\ 3-\sqrt5-\sqrt7 & 3-\sqrt7 \end{pmatrix} \\ & = \det \begin{pmatrix} 3+2\sqrt5+\sqrt7-\color{red}{2\sqrt5} & 2\sqrt5 \\ 3-\sqrt5-\sqrt7-(\color{red}{3-\sqrt7}) & 3-\sqrt7 \end{pmatrix} \\ & = \det \begin{pmatrix} 3+\sqrt7 & 2\sqrt5 \\ -\sqrt5 & 3-\sqrt7 \end{pmatrix} \\ & = (3+\sqrt7)(3-\sqrt7)-(-\sqrt5)(2\sqrt5) \\ & = (9-7)-(-2 \cdot 5) \\ & = 2-(-10) = 12 \end{aligned}$$Jadi, determinan dari $\boxed{\begin{pmatrix} 3+2\sqrt5+\sqrt7 & 2\sqrt5 \\ 3-\sqrt5-\sqrt7 & 3-\sqrt7 \end{pmatrix} = 12}$
(Jawaban D)

Diketahui $A_n = \begin{pmatrix} 3n & n \\ 4n & 2n \end{pmatrix}$ dengan $n \in \mathbb{N}$. Determinan matriks ini adalah
$\begin{aligned} \det(A_n) & = 3n(2n)-4n(n) \\ & = 6n^2-4n^2=2n^2 \end{aligned}$
Perhatikan bahwa $A_1+A_2+\cdots+A_t = A(1+2+\cdots+t)$ dengan $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$ dan $\det(A) = 3(2)-1(4)=2$ sehingga dengan menggunakan sifat $\det(n \cdot A) = n^2 \det(A)$ dengan $A$ matriks persegi berordo $2$ beserta persamaan determinasi, diperoleh
$\begin{aligned} \det(A_1 + A_2 + \cdots +A_t) & = 882 \\ \det(A(1+2+\cdots t)) & = 882 \\ \det(A) \cdot (1+2+\cdots + t)^2 & = 882 \\ 2(1+2+\cdots + t)^2 & = 882 \\ (1+2+\cdots+t)^2 & = 441 \\ 1+2+\cdots+t & = 21 \\ \dfrac{t}{2}(t+1) & = 21 \\ t^2+t-42 & = 0 \\ (t+7)(t-6) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $t = -7$ atau $t = 6$ (memenuhi karena $t \in \mathbb{N}$).
Jadi, nilai dari $\boxed{\det(A_{2 \cdot 6}) = A_{12} = 2 \cdot 12^2 = 288}$
(Jawaban A)

Diketahui bahwa $A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.
Kita akan mencari pola entri matriks untuk $A^n$.
Perhatikan bahwa:
$$\begin{aligned} A^2 & = \begin{pmatrix} 1 & \color{red}{-2} \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & \color{red}{-2} \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & \color{red}{-4} \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ A^3 & = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & \color{red}{-4} \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & \color{red}{-2} \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & \color{red}{-6} \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Dari sini, kita peroleh bahwa hanya entri pada baris pertama kolom kedua yang berubah dan berkelipatan $2$ untuk setiap perpangkatan $A$. Dapat kita tulis, $A^n = \begin{pmatrix} 1 & \color{red}{-2n} \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.
Diketahui bahwa $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$.
Kita akan mencari pola entri matriks untuk $B^n$.
Perhatikan bahwa:
$$\begin{aligned} B^2 & = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \color{blue}{-3} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \color{blue}{-3} & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \color{blue}{-6} & 1 \end{pmatrix} \\ B^3 & = B^2 \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \color{blue}{-6} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \color{blue}{-3} & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \color{blue}{-9} & 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Dari sini, kita peroleh bahwa hanya entri pada baris kedua kolom pertama yang berubah dan berkelipatan $3$ untuk setiap perpangkatan $B$. Dapat kita tulis, $B^n = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -3n & 1 \end{pmatrix}$.
Untuk itu,
$$\begin{aligned} & A^{2013} \cdot \begin{pmatrix}2 \\ 1 \end{pmatrix} + B^{2014} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 1 & -4026 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -6042 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} -4024 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ -6039 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4023 \\ -6044 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Jadi, hasil dari operasi matriks itu adalah $\boxed{\begin{pmatrix} -4023 \\ -6044 \end{pmatrix}}$
(Jawaban D)

Karena $A$ matriks simetris, maka berlaku
$$\begin{aligned} A & = A^T \\ \begin{pmatrix} 2 & a- 2b + 2c & 2a+b+c \\ 3 & 5 & a + c \\ 0 &-2 & 7 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 0 \\ a-2b + 2c & 5 &-2 \\ 2a+b+c & a+c & 7\end{pmatrix} \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh sistem persamaan linear
$\begin{cases} a- 2b + 2c & = 3 && (1)  \\ 2a + b + c  &= 0 && (2) \\ a + c & =-2 && (-3) \end{cases}$
Eliminasi $b$ pada persamaan $1$ dan $2$:
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} a-2b+2c & = 3 \\ 2a+b+c & = 0 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 2 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned} a-2b+2c & = 3 \\~4a +2b+2c & = 0 \end{aligned} \\ & \rule{3.5 cm}{0.6pt} + \\ & \! \begin{aligned} 5a + 4c & = 3~~~~~~(4) \end{aligned} \end{aligned}$$Cari nilai $a$ dan $c$ menggunakan persamaan $3$ dan $4$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} a + c& =-2 \\ 5a + 4c & = 3\end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 4 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~4a + 4c & =-8 \\~ 5a + 4c & = 3 \end{aligned} \\ & \rule{2.5 cm}{0.6pt}- \\ & \! \begin{aligned} a & = 11 \end{aligned} \end{aligned}$
Untuk $a = 11$, diperoleh
$\begin{aligned} a + c & =-2 \\ 11 + c & =-2 \\ c & =-13 \end{aligned}$
Substitusi nilai $a$ dan $c$ pada satu dari tiga persamaan pertama, misalnya persamaan $1$.
$\begin{aligned} a-2b + 2c & = 3 \\ 11- 2b + 2(-13) & = 3 \\-15-2b & = 3 \\-2b & = 18 \\ b & =-9 \end{aligned}$
Jadi, nilai $a, b, c$ berturut-turut adalah $\color{red}{a = 11, b =-9}$, dan $\color{red}{c =-13}$.

Misalkan 
$$X = \begin{pmatrix} \sin \theta & \cos \theta & 0 \\-\cos \theta & \sin \theta & 0 \\ \sin \theta- \cos \theta & \sin \theta + \cos \theta & 1 \end{pmatrix}.$$Dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang kolom ketiga, diperoleh
$$\begin{aligned} \det(X) & = 0 \begin{vmatrix}-cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta- \cos \theta & \sin \theta + \cos \theta \end{vmatrix} \\ &- 0 \begin{vmatrix} \sin \theta & \cos \theta \\ \sin \theta- \cos \theta & \sin \theta + \cos \theta \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} \sin \theta & \cos \theta \\-\cos \theta & \sin \theta \end{vmatrix} \\ & = 0- 0 + (\sin^2 \theta- (-\cos^2 \theta)) \\ & = \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \end{aligned}$$Diperoleh determinan $X$ selalu $1$ dan ini menunjukkan bahwa nilai $\theta$ tidak memengaruhi determinan matriks tersebut. 
Catatan:
Ingat Identitas Pythagoras dalam trigonometri. 
$\boxed{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1}$

Pembuktian pernyataan di atas harus bersifat dua arah (karena memuat frasa “jika dan hanya jika” yang berarti biimplikasi).
Pembuktian: $p \impliedby q$
Akan dibuktikan bahwa jika matriks
$A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix}$ dan $B = \begin{pmatrix} d & e \\ 0 & f \end{pmatrix}$
komutatif terhadap operasi perkalian matriks, maka $\begin{vmatrix} b & a-c \\ e & d-f \end{vmatrix} = 0.$

Anteseden memberlakukan persamaan 
$AB = BA$ (sifat komutatif perkalian).
Untuk itu, diperoleh
$\begin{aligned} \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} d & e \\ 0 & f \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} d & e \\ 0 & f \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} ad & ae+bf \\ 0 & cf \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} ad & bd + ce \\ 0 & cf \end{pmatrix} \end{aligned}$
Persamaan terakhir menunjukkan bahwa
$\begin{aligned} ae + bf & = bd + ce \\ (ae- ce) + (bf- bd) & = 0 \\ e(a-c)- b(d- f) & = 0 \\ b(d-f)- e(a-c) & = 0 \end{aligned}$
Bentuk terakhir dapat dinyatakan dalam bentuk determinan matriks berordo $2 \times 2$, yaitu
$\begin{vmatrix} b & a-c \\ e & d-f \end{vmatrix} = 0$
(Terbukti)

Pembuktian $p \implies q$ 
Akan dibuktikan bahwa jika $\begin{vmatrix} b & a-c \\ e & d-f \end{vmatrix} = 0$, maka matriks $A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix}$ dan $B = \begin{pmatrix} d & e \\ 0 & f \end{pmatrix}$
komutatif terhadap operasi perkalian matriks.

Diketahui bahwa
$\begin{aligned} \begin{vmatrix} b & a-c \\ e & d-f \end{vmatrix} & = 0 \\ b(d-f)- e(a- c) & = 0 \\ bd- bf- ae + ce & = 0 \\ ae + bf & = bd + ce \end{aligned}$
Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} AB & = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} d & e \\ 0 & f \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} ad & ae+bf \\ 0 & cf \end{pmatrix} \\ \text{Substitusi}~& ae + bf = bd + ce \\ & = \begin{pmatrix} ad & bd + ce \\ 0 & cf \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} d & e \\ 0 & f \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \\ & = BA \end{aligned}$
Karena berlaku $AB = BA$, maka matriks tersebut komutatif terhadap operasi perkalian matriks (Terbukti). 
Jadi, matriks $A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix}$ dan $B = \begin{pmatrix} d & e \\ 0 & f \end{pmatrix}$ komutatif terhadap operasi perkalian matriks jika dan hanya jika $\begin{vmatrix} b & a-c \\ e & d-f \end{vmatrix} = 0.$

Gunakan definisi invers matriks berikut: $\boxed{AA^{-1} = I}$
dengan $I$ sebagai matriks identitas.
Kita dapat tuliskan,
$(ABCD)^{-1}ABCD = I$
Kalikan kedua ruas dengan $D^{-1}$:
$\begin{aligned} (ABCD)^{-1}ABCDD^{-1} & = ID^{-1} \\ (ABCD)^{-1}ABC & = D^{-1} \end{aligned}$
Kalikan kedua ruas dengan $C^{-1}$:
$\begin{aligned} (ABCD)^{-1}ABCC^{-1} & = D^{-1}C^{-1} \\ (ABCD)^{-1}AB & = D^{-1}C^{-1} \end{aligned}$
Kalikan kedua ruas dengan $B^{-1}$:
$\begin{aligned} (ABCD)^{-1}ABB^{-1} & = D^{-1}C^{-1}B^{-1} \\ (ABCD)^{-1}A & = D^{-1}C^{-1}B^{-1} \end{aligned}$
Terakhir, kalikan kedua ruas dengan $A^{-1}$:
$\begin{aligned} (ABCD)^{-1}AA^{-1} & = D^{-1}C^{-1}B^{-1}A^{-1} \\ (ABCD)^{-1} & = D^{-1}C^{-1}B^{-1}A^{-1} \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa $(ABCD)^{-1} = D^{-1} \cdot C^{-1} \cdot B^{-1} \cdot A^{-1}$.

Untuk mempermudah perhitungan, gunakan Operasi Baris Elementer (OBE).
Diketahui $A = \begin{pmatrix} n & n + 1 & n + 2 \\ n + 1 & n + 2 & n + 3 \\ n + 2 & n+3 & n+4 \end{pmatrix}$.
Berdasarkan aturan OBE, lakukan langkah-langkah berikut, dimulai dari:
$|A| = \begin{vmatrix} n & n + 1 & n + 2 \\ n + 1 & n + 2 & n + 3 \\ n + 2 & n+3 & n+4 \end{vmatrix}$
Entri baris ke-3 dikurangi baris ke-2.
Entri baris ke-2 dikurangi baris ke-1.
$|A| = \begin{vmatrix} n & n+1 & n+2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$
Entri baris ke-3 dikurangi baris ke-2.
$|A| = \begin{vmatrix} n & n+1 & n+2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{vmatrix}$
Karena ada satu baris yang semua entrinya $0$, maka dapat disimpulkan bahwa determinan matriks tersebut adalah $\boxed{|A| = 0}$

Untuk mempermudah perhitungan, gunakan Operasi Baris/Kolom Elementer (OBE/OKE).
Diketahui $$A = \begin{pmatrix} n^2 & (n + 1)^2 & (n + 2)^2 \\ (n + 1)^2 & (n + 2)^2 & (n + 3)^2 \\ (n + 2)^2 & (n+3)^2 & (n+4)^2 \end{pmatrix}.$$Berdasarkan aturan OBE/OKE, lakukan langkah-langkah berikut, dimulai dari:
$|A| = \begin{vmatrix} n^2 & (n + 1)^2 & (n + 2)^2 \\ (n + 1)^2 & (n + 2)^2 & (n + 3)^2 \\ (n + 2)^2 & (n+3)^2 & (n+4)^2 \end{vmatrix}$.
Entri kolom ke-2 dikurangi kolom ke-1.
Entri kolom ke-3 dikurangi kolom ke-1.
$|A| = \begin{vmatrix} n^2 & 2n+1 & 4n+4 \\ (n + 1)^2 & 2n+3 & 4n + 8 \\ (n + 2)^2 & 2n+5 & 4n+12 \end{vmatrix}$
Entri baris ke-2 dikurangi baris ke-1.
Entri baris ke-3 dikurangi baris ke-1.
$|A| = \begin{vmatrix} n^2 & 2n+1 & 4n+4 \\ 2n+1 & 2 & 4 \\ 4n+4 & 4 & 8 \end{vmatrix}$
Faktorkan keluar $4$ pada kolom ke-3.
$|A| = 4\begin{vmatrix} n^2 & 2n+1 & n+1 \\ 2n+1 & 2 & 1 \\ 4n+4 & 4 & 2 \end{vmatrix}$
Faktorkan keluar $2$ pada baris ke-3.
$|A| = 8\begin{vmatrix} n^2 & 2n+1 & n+1 \\ 2n+1 & 2 & 1 \\ 2n+2 & 2 & 1 \end{vmatrix}$
Entri baris ke-3 dikurangi baris ke-2.
$|A| = 8\begin{vmatrix} n^2 & 2n+1 & n+1 \\ 2n+1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix}$
Lakukan ekspansi kofaktor pada baris ke-3:
$\begin{aligned}|A| & = 8 \cdot 1 \cdot \begin{vmatrix} 2n+1 & n+1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} \\ & = 8 \cdot [(2n+1)-2(n+1)] \\ & = 8(-1) = -8 \end{aligned}$
Jadi, determinan matriks tersebut adalah $\boxed{|A| = -8}$

Akan dibuktikan bahwa $$\begin{vmatrix} x & y & 1 \\ x_1 & y_1 & 1 \\ 1 & m & 0 \end{vmatrix} = 0$$ekuivalen dengan rumus persamaan garis bergradien $m$ dan melalui titik $(x_1, y_1)$, yakni
$$y = m(x-x_1)+y_1.$$Dengan menggunakan aturan Sarrus, kita peroleh
$$\begin{aligned} \begin{vmatrix} x & y & 1 \\ x_1 & y_1 & 1 \\ 1 & m & 0 \end{vmatrix} & = 0 \\ x(y_1) \cdot 0 + y \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot x_1 \cdot m & -1 \cdot y_1 \cdot 1-m \cdot 1 \cdot x-0 \cdot x_1 \cdot y = 0 \\ y + x_1m -y_1-mx & = 0 \\ y & = mx-x_1m+y_1 \\ y & = m(x-x_1)+y_1 \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa persamaan determinan tersebut merepresentasikan persamaan garis yang bergradien $m$ dan melalui titik $(x_1, y_1)$.