Soal dan Pembahasan – Suku Banyak/Polinomial (Tingkat SMA/Sederajat)

      Suku Banyak atau secara umum dikenal sebagai Polinomial adalah salah satu materi matematika tingkat SMA yang merupakan bagian besar dari ruang lingkup aljabar. Suku banyak adalah ekspresi aljabar yang berbentuk
$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + \cdots + a_1x + a_0$
untuk $n$ bilangan cacah, $a_1,a_2,\cdots a_n$ adalah koefisien masing-masing variabel, serta $a_0$ suatu konstanta dengan syarat $a_n \neq 0$. 

Contoh suku banyak:
$7x^4 + 3x^3 -10x^2 -9$
$x^{99} + x^{45} -\sqrt{3}x-10$
$x^{3} -\dfrac87x^2-12$

Noncontoh suku banyak:
$\sqrt{2}x^3 + \dfrac{1}{x} -4$
$\sqrt{2x^3} + x -10$
$x^{-1}+x^{-2}+x^{-3}-12$

Untuk menambah pemahaman tentang materi ini, berikut penulis sajikan sejumlah soal beserta pembahasannya yang dikumpulkan dari berbagai sumber. 
Semoga bermanfaat!

Quote by Robert T. Kiyosaki

In school we learn that mistakes are bad and we are punished for making them. Yet, if you look at the way humans are designed to learn, we learn by making mistakes. We learn to walk by falling down. If we never fell down, we would never walk.

Soal Nomor 1
Carilah nilai fungsi berikut dengan menggunakan metode skematik Horner. 
a) $P(2)$ jika $P(x) = 4x^2+3x+2$
b) $P(-1)$ jika $P(x) = 5-x^2+3x^4$

Penyelesaian

Jawaban a) 
Diketahui: $P(x) = 4x^2+3x+2$
Susun koefisien variabel $P(x)$ mulai dari terbesar ke terkecil, kemudian gunakan algoritma Horner. 
$\begin{array}{c|ccc} & 4 & 3 & 2 \\ 2 & \downarrow & 8 & 22 \\\hline & 4 & 11 & 24 \end{array}$
Jadi, nilai dari $\boxed{P(2)=24}$
Jawaban b) 
Diketahui: $P(x) = 5-x^2+3x^4$
Susun menjadi: $P(x) = 3x^4+0x^3-x^2+0x + 5$
Susun koefisien variabel $P(x)$ mulai dari terbesar ke terkecil, kemudian gunakan algoritma Horner. 
$\begin{array}{c|ccccc} & 3 & 0 & -1 & 0 & 5 \\ -1 & \downarrow & -3 & 3 & -2 & 2 \\\hline & 3 & -3 & 2 & -2 & 7 \end{array}$ 
Jadi, nilai dari $\boxed{P(-1) = 7}$

[collapse]

Soal Nomor 2
Tentukan hasil bagi dan sisa hasil bagi dari:
a) $3x^2-2x-7$ dibagi oleh $x-3$
b) $3x^4-7x-20$ dibagi oleh $x+2$

Penyelesaian

Jawaban a) 
Misal $P(x) = 3x^2-2x-7$
Cara 1: Metode Horner
Pembuat nol pembagi: $x = 3$
Dengan menggunakan metode Horner, diperoleh
$\begin{array}{c|ccc} & 3 & -2 & -7 \\ 3 & \downarrow & 9 & 21 \\ \hline & 3 & 7 & 14 \end{array}$ 
Diperoleh, hasil baginya adalah $H(x) = 3x+7$ dan sisa hasil baginya $S(x) = 14$.
Cara 2: Metode Pembagian Bersusun
$\dfrac{3x^2-2x-7}{x-3}$

Diperoleh, hasil baginya adalah $H(x) = 3x+7$ dan sisa hasil baginya $S(x) = 14$.

Jawaban b) 
Misal $P(x) = 3x^4+0x^3+0x^2-7x-20$
Cara 1: Metode Horner
Pembuat nol pembagi: $x = -2$
Dengan menggunakan metode Horner, diperoleh 
$\begin{array}{c|ccccc} & 3 & 0 & 0 & -7 & -20 \\ -2 & \downarrow & -6 & 12 & -24 & 62 \\\hline & 3 & -6 & 12 & -31 & 42 \end{array}$
Diperoleh, hasil baginya adalah $H(x) = 3x^3-6x^2+12x-31$ dan sisa hasil baginya $S(x) = 42$.
Cara 2: Metode Pembagian Bersusun
$\dfrac{3x^4+0x^3+0x^2-7x-20}{x+2}$




Diperoleh, hasil baginya adalah $H(x) = 3x^3-6x^2+12x-31$ dan sisa hasil baginya $S(x) = 42$.

[collapse]

Soal Nomor 3
Jika $P(x) = x^6 -x^3 + 2$ dibagi oleh $x^2-1$, maka sisa pembagiannya adalah $\cdots \cdot$
A. $-x+4$                  D. $-x-2$
B. $-x+3$                  E. $-x-3$
C. $-x+2$

Penyelesaian

Diketahui: $P(x) = x^6 -x^3 + 2$
Pembagi: $D(x) = x^2 -1 = (x+1)(x-1)$
Dalam hal ini, dapat ditulis
$x^6 -x^3 + 2 = (x+1)(x-1)H(x) + S(x)$
Karena pembagi (divisor) berbentuk polinomial berderajat dua, maka sisa hasil baginya berupa polinomial berderajat satu, yaitu $S(x) = ax + b$, sehingga
$$x^6 – x^3 + 2 = (x+1)(x-1)H(x) + (ax + b)$$Substitusi $x=-1$, diperoleh
$$\begin{aligned} (-1)^6 -(-1)^3 + 2 & = 0 + a(-1) + b \\ -a + b & = 4 && (\cdots 1) \end{aligned}$$Substitusi $x=1$, diperoleh
$\begin{aligned} (1)^6 -(1)^3 + 2 & = 0 + a(1) + b \\ a + b & = 2 && (\cdots 2) \end{aligned}$
Diperoleh SPLDV: $\begin{cases} -a+b=4 \\ a+b=2 \end{cases}$
Selesaikan sistem sehingga diperoleh $a=-1$ dan $b=3$. 
Jadi, sisa hasil baginya adalah $\boxed{S(x) = ax + b = -x + 3}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 4
Jika faktor-faktor $f(x) = 3x^3-5x^2+px+q$ adalah $(x+1)$ dan $(x-3)$, maka nilai $p$ dan $q$ berturut-turut adalah $\cdots \cdot$
A. $-11$ dan $-3$
B. $-11$ dan $3$
C. $11$ dan $-19$
D. $11$ dan $19$
E. $11$ dan $3$

Penyelesaian

Diketahui $f(x) = 3x^3-5x^2+px+q$ memiliki faktor $(x+1)$ dan $(x-3)$
Pembuat nol pembagi: $x = -1$
Dengan menggunakan metode Horner, diperoleh 
$\begin{array}{c|cccc} & 3 & -5 & p & q \\ -1 & \downarrow & -3 & 8 & -p-8 \\\hline & 3 & -8 & p+8 & q-p-8 \end{array}$
Karena $(x+1)$ merupakan faktor dari $f(x)$, maka berdasarkan Teorema Faktor, diperoleh $q-p-8=0 \Leftrightarrow q-p=8$
Pembuat nol pembagi: $x = 3$
Dengan menggunakan metode Horner, diperoleh 
$\begin{array}{c|cccc} & 3 & -5 & p & q \\ -1 & \downarrow & 9 & 12 & 3p+36 \\\hline & 3 & 4 & p+12 & q+3p+36 \end{array}$
Karena $(x-3)$ jugacmerupakan faktor dari $f(x)$, maka berdasarkan Teorema Faktor, diperoleh $q+3p+36=0 \Leftrightarrow q+3p=-36$ 
Diperoleh SPLDV: $\begin{cases} q-p = 8 \\ q+3p = -36 \end{cases}$
Penyelesaian sistem di atas adalah $p = -11$ dan $q = -3$. 
Jadi, nilai dari $\boxed{p=-11; q = -3}$ 
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 5
Diketahui dua polinom, yaitu $x^3-4x^2+5x+a$ dan $x^2+3x-2$. Jika kedua polinom ini dibagi dengan $(x+1)$ sehingga sisa hasil baginya sama, maka nilai $a = \cdots \cdot$
A. $-2$        B. $1$           C. $2$          D. $6$         E. $9$

Penyelesaian

Misalkan: 
$\begin{aligned} P(x) & = x^3-4x^2+5x+a \\ Q(x) & = x^2+3x-2 \end{aligned}$
dengan pembagi $D(x) = x +1$
Pembuat nol pembagi: $x = -1$
Dengan menggunakan metode Horner, untuk polinom $P(x)$ diperoleh 
$\begin{array}{c|cccc} & 1 & -4 & 5 & a \\ -1 & \downarrow & -1 & 5 & -10 \\ \hline & 1 & -5 & 10 & a-10 \end{array}$ 
Untuk polinom $Q(x)$ diperoleh 
$\begin{array}{c|ccc} & 1 & 3 & -2 \\ -1 & \downarrow & -1 & -2 \\ \hline & 1 & 2 & -4 \end{array}$
Karena sisa hasil baginya sama, didapat
$a – 10 = -4 \Leftrightarrow a = -4+10=6$
Jadi, nilai $\boxed{a=6}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 6
Diketahui $(x-2)$ adalah faktor $f(x) = 2x^3+ax^2+bx-2$. Jika $f(x)$ dibagi $(x+3)$, maka sisa hasil pembagiannya adalah $-50$. Nilai $a+b = \cdots \cdot$
A. $10$                        D. $-11$
B. $4$                          E. $-13$
C. $-6$

Penyelesaian

Diketahui $f(x) = 2x^3+ax^2+bx-2$ memiliki faktor $(x-2)$ 
Pembuat nol pembagi: $x = 2$
Dengan menggunakan metode Horner, diperoleh 
$\begin{array}{c|cccc} & 2 & a & b & -2 \\ 2 & \downarrow & 4 & 2a+8 & 4a+2b+16 \\ \hline & 2 & a+4 & 2a+b+8 & 4a+2b+14 \end{array}$
Karena $(x-2)$ merupakan faktor $f(x)$, maka $4a+2b+14=0 \Leftrightarrow 2a+b=-7$
Diketahui $f(x)$ dibagi $(x+3)$ memiliki sisa hasil bagi $-50$. 
Pembuat nol pembagi: $x = -3$
Dengan menggunakan metode Horner, diperoleh 
$$\begin{array}{c|cccc} & 2 & a & b & -2 \\ -3 & \downarrow & -6 & -3a+18 & 9a-3b-54 \\ \hline & 2 & a-6 & -3a+b+18 & 9a-3b-56 \end{array}$$Karena bersisa $-50$, maka diperoleh
$9a-3b-56=-50 \Leftrightarrow 3a-b=2$
Diperoleh SPLDV: $\begin{cases} 2a+b=-7 \\ 3a-b=2 \end{cases}$
Penyelesaian dari sistem di atas adalah $a=-1$ dan $b=-5$. 
Dengan demikian, nilai dari $\boxed{a+b=(-1)+(-5)=-6}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 7
$f(x)$ adalah suku banyak berderajat tiga. $(x^2+x-12)$ adalah faktor dari $f(x)$. Jika $f(x)$ dibagi oleh $(x^2+x-6)$ bersisa $(-6x+6)$, maka suku banyak tersebut adalah $\cdots \cdot$

A. $x^3-2x^2+13x+12$
B. $x^3+x^2-13x+12$
C. $x^3-13x+12$
D. $x^3-13x^2-12$
E. $x^3-2x^2+6$

Penyelesaian

Diketahui bahwa:
$$\begin{aligned} f(x) & = (x^2 + x -2)H_1(x) && (\cdots 1) \\ f(x) & = (x^2 + x – 6)H_2(x) + (-6x + 6) && (\cdots 2) \end{aligned}$$Catatan: Karena $(x^2+x-2)$ merupakan faktor dari $f(x)$, maka sisa hasil baginya adalah $0$.
Pada persamaan $2$, bentuk $x^2 + x -6$ dapat difaktorkan menjadi $(x + 3)(x-2)$, sehingga dapat ditulis
$f(x) = (x+3)(x-2)H_2(x) + (-6x + 6)$
Substitusi $x = -3$ menghasilkan
$f(-3) = 0 + (-6(-3) + 6) = 24$
Substitusi $x = 2$ menghasilkan
$f(2) = 0 + (-6(2) + 6) = -6$
Misalkan hasil bagi $f(x)$ oleh $(x^2+x-12)$ adalah $H_1(x) = ax + b$, sehingga dapat ditulis
$f(x) = (x^2 + x -2)(ax + b)$
Substitusi $x = -3$, diperoleh
$\begin{aligned} f(-3) & = ((-3)^2 + (-3) -12)(-3a + b) \\ 24 & = -6(-3a + b) \\ -3a + b & = -4 \end{aligned}$
Substitusi $x = 2$, diperoleh
$\begin{aligned} f(2) & = ((2)^2 + (2) -12)(2a + b) \\ -6 & = -6(2a + b) \\ 2a + b & = 1 \end{aligned}$
Diperoleh SPLDV: $\begin{cases} -3a + b = -4 \\ 2a + b = 1 \end{cases}$
Penyelesaian dari sistem di atas adalah $a = 1$ dan $b = -1$.
Dengan demikian,
$\begin{aligned} f(x) &= (x^2 + x -12)(x -1) \\ & = x^3 -13x + 12 \end{aligned}$
Jadi, suku banyak tersebut adalah $\boxed{x^3-13x+12}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 8
Diketahui $(x-2)$ dan $(x-1)$ adalah faktor-faktor suku banyak $x^3+ax^2-13x+b$. Jika $x_1, x_2$, dan $x_3$ adalah akar-akar suku banyak tersebut, maka nilai dari $x_1x_2x_3 = \cdots \cdot$
A. $-10$               C. $10$                   E. $20$
B. $8$                     D. $12$           

Penyelesaian

Karena $(x-2)$ dan $(x-1)$ adalah faktor-faktor suku banyak $x^3+ax^2-13x+b$, maka dapat ditulis
$x^3 + ax^2 -13x + b = (x-2)(x-1)H(x)$
dengan $H(x)$ sebagai hasil baginya.
Dengan menggunakan Metode Horner Dua Tingkat dengan pembuat nol pembagi $x = 2$ dan $x=1$, diperoleh
$\begin{array}{c|cccc} & 1 & a & -13 & b \\ 2 & \downarrow & 2 & 2a+4 & 4a-18 \\ \hline & 1 & a+2 & 2a-9 & \color{red}{4a+b-18} \\ 1 & \downarrow & 1 & a + 3 \\ \hline & 1 & a+3 & 3a-6 \end{array}$
Dari tahap II Skema Horner di atas, diperoleh $3a -6 = 0$, sehingga $a = \dfrac{6}{3} = 2$.
Dari tahap I Skema Horner di atas, diperoleh $4a + b -18 = 0$. Substitusi $a = 2$, diperoleh $4(2) + b – 18 = 0 \Leftrightarrow b = 10$
Dari baris terakhir Skema Horner, diperoleh hasil baginya adalah
$\begin{aligned} H(x) & = 1x + (a + 3) \\ & = x + (2 + 3) = x + 5 \end{aligned}$
Dengan demikian, suku banyak itu adalah $(x-2)(x-1)(x+5)$ dengan akar-akarnya adalah $x_1 = 2; x_2 = 1; x_3 = -5$, sehingga
$\boxed{x_1x_2x_3=(2)(1)(-5) = -10}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 9
Salah satu akar persamaan suku banyak $3x^3 + ax^2 -61x + 20$ adalah $4$. Jumlah akar-akar yang lain dari persamaan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $-7$                 C. $-\dfrac{14}{3}$              E. $2$
B. $-2$                 D. $\dfrac{14}{3}$          

Penyelesaian

Karena salah satu akar suku banyaknya adalah $4$, maka dapat ditulis
$3x^3 + ax^2 -61x + 20 = (x-4)H(x)$
dengan $H(x)$ sebagai hasil baginya.
Dengan menggunakan metode Horner dengan pembuat nol pembagi $x=4$, diperoleh 
$\begin{array}{c|cccc} & 3 & a & -61 & 20 \\ 4 & \downarrow & 12 & 4a+48 & 16a-52 \\ \hline &3 & a+12 & 4a-13 & 16a -32 \end{array}$
Diperoleh: $16a -32 = 0 \Leftrightarrow a = \dfrac{32}{16} = 2$
dengan hasil baginya $H(x) = 3x^2+(a+12)x+(4a-13)$.
Substitusi $a=2$, diperoleh $H(x) = 3x^2+14x-5$
Dengan demikian, suku banyaknya dapat ditulis
$\begin{aligned} & 3x^3 + 2x^2 -61x + 20 \\ & = (x-4)(3x^2+14x-5) \\ & = (x-4)(3x-1)(x+5) \end{aligned}$
Diperoleh dua akar yang lain, yaitu $x = \dfrac13; x = -5$.
Jumlah akarnya adalah $\boxed{\dfrac13 + (-5) = -\dfrac{14}{3}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 10
Suku banyak $f(x) = 2x^3-px^2-28x+15$ habis dibagi oleh $(x-5)$. Salah satu faktor linear lainnya adalah $\cdots \cdot$
A. $x-3$                    D. $2x+1$
B. $x+2$                    E. $3x-1$
C. $2x-1$

Penyelesaian

Diketahui: $f(x) = 2x^3-px^2-28x+15$
memiliki faktor $(x-5)$
Pembuat nol pembagi: $x = 5$. 
$$\begin{array}{c|cccc} & 2 & -p & -28 & 15 \\ 5 & \downarrow & 10 & -5p+50 & -25p+110 \\ \hline & 2 & -p+10 & -5p+22 & -25p+125 \end{array}$$Dengan demikian, diperoleh
$-25p+125=0 \Leftrightarrow p = \dfrac{0-125}{-25} = 5$
Hasil baginya adalah 
$H(x) = 2x^2+(-p+10)x+(-5p+22)$
Substitusi $p=5$, diperoleh
$H(x) = 2x^2+5x-3 = (2x-1)(x+3)$
Oleh karena itu, suku banyak tersebut dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} f(x) & = 2x^3 -5x^2 -28x + 15 \\ & = (2x-1)(x+3)(x-5) \end{aligned}$
Jadi, faktor linear lainnya dari $f(x)$ adalah $(2x-1)$ dan $(x+3)$.
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 11
Salah satu faktor suku banyak $P(x)=x^4-15x^2-10x+n$ adalah $(x+2)$. Faktor lainnya adalah $\cdots \cdot$
A. $x-4$                    D. $x-6$
B. $x+4$                    E. $x-8$
C. $x+6$

Penyelesaian

Diketahui: $P(x)=x^4+0x^3-15x^2-10x+n$
memiliki faktor $(x+2)$
Pembuat nol pembagi: $x = -2$. 
$\begin{array}{c|ccccc} & 1 & 0 & -15 & -10 & n \\ -2 & \downarrow & -2 & 4 & 22 & -24 \\ \hline & 1 & -2 & -11 & 12 & n-24 \end{array}$
Dengan demikian, diperoleh
$n-24=0 \Leftrightarrow n = 24$ 
Hasil baginya adalah
$H(x) = x^3 -2x^2 -11x + 12$
Perhatikan bahwa konstanta $12$ memiliki faktor bulat, yaitu $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 6$, dan $\pm 12$. 
Beberapa dari bilangan tersebut akan menjadi faktor dari $H(x)$. 
Substitusi $x=4$ pada $H(x)$, diperoleh
$\begin{aligned} H(4) & = 4^3 -2(4)^2 -11(4) + 12 \\ & = 64 -32 -44 + 12 = 0 \end{aligned}$
Karena $H(4) = 0$, maka $x-4$ merupakan salah satu faktor dari $H(x)$, sehingga sekarang dapat ditulis
$\begin{aligned} P(x) & = (x^3-2x^2-11x+12)(x+2) \\ & = (x^2+2x-3)(x-4)(x+2) \\ & = (x+3)(x-1)(x-4)(x+2) \end{aligned}$
Jadi, faktor lainnya dari $P(x)$ adalah $x-4$ (sesuai dengan alternatif pilihan yang diberikan). 
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 12
Diketahui $f(x)$ jika dibagi $(x-2)$ bersisa $13$, sedangkan jika dibagi dengan $(x+1)$ bersisa $-14$. Sisa pembagian $f(x)$ oleh $x^2-x-2$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-9x-7$                     D. $9x+5$
B. $9x-5$                         E. $-9x-5$
C. $-9x+5$

Penyelesaian

Diketahui:
$f(x)$ dibagi $(x-2)$ bersisa $13$;
$f(x)$ dibagi $(x+1)$ bersisa $-14$. 
Untuk itu, dapat ditulis
$\begin{cases} f(x) = (x-2)H_1(x) + 13 \\ f(x) = (x+1)H_2(x) -14 \end{cases}$
Substitusi $x = 2$ dan $x = -1$ berturut-turut pada persamaan pertama dan kedua, diperoleh
$\begin{cases} f(2) & = 13\\ f(-1) & = -14 \end{cases}$
Misalkan sisa hasil bagi $f(x)$ oleh $(x^2-x-2)$ adalah $(ax+b)$, yang satu derajat kurang dari pembaginya, sehingga
$\begin{aligned} f(x) & = (x^2-x-2)H(x) + ax + b \\ & = (x-2)(x+1)H(x) + ax + b \end{aligned}$
Substitusi $x = 2$ dan $x = -1$ berturut-turut pada persamaan di atas, sehingga diperoleh
$\begin{cases} f(2) & = 2a + b = 13 \\ f(-1) & = -a + b = -14 \end{cases}$
Selesaikan SPLDV di atas untuk memperoleh $a = 9$ dan $b=-5$. 
Dengan demikian, sisa hasil baginya adalah $\boxed{S(x) = ax + b = 9x -5}$. 
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 13
Suatu suku banyak berderajat 3 jika dibagi $(x^2-x-12)$ bersisa $(6x-2)$ dan jika dibagi $(x^2+2x+2)$ bersisa $(3x+4)$. Suku banyak itu adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{6}{13}x^3 -\dfrac{9}{13}x^2 + \dfrac{9}{13}x + \dfrac{10}{13}$
B. $\dfrac{6}{13}x^3 + \dfrac{9}{13}x^2 + \dfrac{9}{13}x + \dfrac{10}{13}$
C. $\dfrac{6}{13}x^3 -\dfrac{9}{13}x^2 -\dfrac{9}{13}x + \dfrac{10}{13}$
D. $\dfrac{6}{13}x^3 -\dfrac{9}{13}x^2 + \dfrac{9}{13}x -\dfrac{10}{13}$
E. $\dfrac{6}{13}x^3 + \dfrac{9}{13}x^2 -\dfrac{9}{13}x -\dfrac{10}{13}$

Penyelesaian

Karena $f(x)$ merupakan polinomial berderajat $3$, maka hasil baginya ketika dibagi oleh $(x^2-x-12)$ pasti dalam bentuk linear. Ini juga sama ketika $f(x)$ dibagi oleh $(x^2+2x+2)$.
Untuk itu, dapat ditulis
$$\begin{cases} f(x) = (x^2-x-12)(ax+b)+(6x-2) & (\cdots 1) \\ f(x) = (x^2+2x+2)(cx+d) + (3x + 4) & (\cdots 2) \end{cases}$$Faktorkan pembagi pada persamaan pertama sehingga 
$$\begin{cases} f(x) = (x-4)(x+3)(ax+b)+(6x-2) & (\cdots 1) \\ f(x) = (x^2+2x+2)(cx+d) + (3x + 4) & (\cdots 2) \end{cases}$$Substitusi $x = 4$ dan $x = -3$ berturut-turut pada persamaan pertama, sehingga diperoleh
$\begin{cases} f(4) = 6(4) -2 = 22 \\ f(-3) = 6(-3) -2 = -20 \end{cases}$
Sekarang, substitusi $x=4$ pada persamaan kedua. 
$$\begin{aligned} f(x) & = (x^2+2x+2)(cx+d) + (3x + 4) \\ f(4) & = (4^2+2(4)+2)(4c+d) + (3(4)+4) \\ 22 & = 26(4c+d) + 16 \\ 6 & = 26(4c+d) \\ 3 & = 13(4c +d) \Leftrightarrow 52c + 13d = 3 \end{aligned}$$Substitusi $x = -3$ menghasilkan
$$\begin{aligned} f(x) & = (x^2+2x+2)(cx+d) + (3x + 4) \\ f(-3) & = ((-3)^2+2(-3)+2)(-3c+d) + (3(-3)+4) \\ -20 & = 5(-3c+d) -5 \\ -15 & = 5(-3c+d) \Leftrightarrow -3c + d= -3 \end{aligned}$$
Diperoleh SPLDV: $\begin{cases} 52c+ 13d = 3 & (\cdots 1) \\ -3c +d = -3 & (\cdots 2) \end{cases}$
Dengan menggunakan metode eliminasi, diperoleh
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 52c + 13d & = 3 \\ -3c+d & = -3 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 13 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned} 52c+13d & = 3 \\ -39c + 13d & = -39 \end{aligned} \\ & \rule{3.3 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 91c & = 42 \\ c & = \dfrac{42}{91} = \dfrac{6}{13} \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusikan $c = \dfrac{6}{13}$ ke salah satu persamaan, misalkan pada persamaan kedua. 
$\begin{aligned} -3c + d & = -3 \\ -3\left(\dfrac{6}{13}\right) + d & = -3 \\ d & = -3 + \dfrac{18}{13} = -\dfrac{21}{13} \end{aligned}$
Dengan demikian, sekarang dapat ditulis
$$\begin{aligned} f(x) & = (x^2+2x+2)\left(\dfrac{6}{13}x-\dfrac{21}{13}\right) + (3x + 4) \\ & = \dfrac{6}{13}x^3 – \dfrac{9}{13}x^2 + \dfrac{9}{13}x + \dfrac{10}{13} \end{aligned}$$Jadi, suku banyak $f(x)$ adalah $\boxed{\dfrac{6}{13}x^3 -\dfrac{9}{13}x^2 + \dfrac{9}{13}x + \dfrac{10}{13}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 14
Diketahui $(x+2)$ dan $(x+1)$ adalah faktor-faktor dari suku banyak $f(x)=2x^4+tx^3-9x^2+nx+4$. Jika akar-akar persamaan suku banyak tersebut adalah $x_1,x_2,x_3$, dan $x_4$ untuk $x_1<x_2<x_3<x_4$, maka nilai $2(x_1+x_2+x_3)-x_4 = \cdots \cdot$
A. $-9$                    C. $-5$                        E. $-1$
B. $-7$                    D. $-3$        

Penyelesaian

Karena $(x+2)$ dan $(x+1)$ adalah faktor-faktor dari suku banyak $f(x)=2x^4+tx^3-9x^2+nx+4$, maka ditulis
$\begin{aligned} & 2x^4+tx^3-9x^2+nx+4 \\ & = (x+2)(x+1)H(x) \end{aligned}$
dengan $H(x)$ sebagai hasil baginya. 
Dengan menggunakan Metode Horner Dua Tingkat untuk pembuat nol pembagi $x = -2$ dan $x=-1$, diperoleh
$$\begin{array}{c|ccccc} & 2 & t & -9 & n & 4 \\ -2 & \downarrow & -4 & -2t+8 & 4t+2 & -2n-8t-4 \\ \hline & 2 & t-4 & -2t-1 & n+4t+2 & \color{red} -2n-8t \\ -1 & \downarrow & -2 & -t+6& 3t-5 \\ \hline & 2 & t-6 & -3t+5 & \color{blue}n+7t-3 \end{array}$$Diperoleh SPLDV:
$\begin{cases} -2n -8t = 0 \Leftrightarrow n + 4t = 0 \\ n + 7t -3 = 0 \Leftrightarrow n + 7t = 3 \end{cases}$
Penyelesaian dari sistem di atas adalah $n = -4$ dan $t = 1$. 
Dari barisan terakhir skema Horner di atas, diperoleh hasil baginya adalah
$H(x) = 2x^2 + (t-6)x + (-3t+5)$
Substitusi $t = 1$ menghasilkan
$H(x) = 2x^2-5x+2 = (2x-1)(x-2)$
Dengan demikian, suku banyak $f(x)$ dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} 2x^4+x^3&-9x^2-4x+4 = (x+2)\\ & (x+1)(2x-1)(x-2) \end{aligned}$
sehingga akar-akarnya adalah
$x_1 = -2; x_2 = -1, x_3 = \dfrac12; x_4 = 2$
Jadi, nilai dari $2(x_1+x_2+x_3)-x_4$ adalah $\boxed{2\left(-2+(-1)+\dfrac12\right)-2 = -7}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 15
Diketahui suku banyak $f(x) = 2x^4+(p+2)x^2+qx-8$. Jika $f(x)$ dibagi $(x+1)$ bersisa $-2$ dan jika $f(x)$ dibagi $(x-2)$ bersisa $22$, maka sisa pembagian suku banyak $f(x)$ oleh $(x-p) (x-q)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $90x+82$                  D. $-87x-89$
B. $89x-87$                   E. $-89x+87$
C. $87x-85$

Penyelesaian

Diketahui: $f(x) = 2x^4+0x^3+(p+2)x^2+qx-8$ 
$f(x)$ dibagi $(x+1)$ bersisa $-2$, sehingga dengan menggunakan metode Horner, didapat
$$\begin{array}{c|ccccc} & 2 & 0 & p+2 & q & -8 \\ -1 & \downarrow & -2 & 2 & -p-4 & -q+p+4 \\ \hline & 2 & -2 & p + 4 & q-p-4 & \color{red} {-q+p-4} \end{array}$$Karena bersisa $-2$, berarti
$-q + p -4 = -2 \Leftrightarrow p -q = 2$
Selanjutnya, $f(x)$ dibagi $(x-2)$ bersisa $22$, sehingga dengan menggunakan metode Horner, didapat
$$\begin{array}{c|ccccc} & 2 & 0 & p+2 & q & -8 \\ 2 & \downarrow & 4 & 8 & 2p+20 & 2q+4p+40 \\ \hline & 2 & 4 & p+10 & q+2p+20 & \color{red}{2q + 4p + 32} \end{array}$$Karena bersisa $22$, berarti
$2q + 4p + 32 = 22 \Leftrightarrow 2p + q = -5$
Diperoleh SPLDV: $\begin{cases} p -q = 2 \\ 2p + q = -5 \end{cases}$
Penyelesaian dari sistem di atas adalah $p = -1$ dan $q = -3$. 
Dengan demikian, 
$\begin{aligned} f(x) & = 2x^4 + (p+2)x^2+qx-8 \\ & = 2x^4 + x^2 -3x -8 \end{aligned}$
Misalkan $f(x)$ dibagi oleh $(x-p) (x-q) = (x+1)(x+3)$ bersisa $(ax + b)$, sehingga dapat ditulis
$f(x) = (x+1)(x+3)H(x) + (ax + b)$
Substitusi $x = -1$, didapat
$\begin{aligned} f(-1) & = -a + b \\ 2(-1)^4 + (-1)^2 -3(-1) -8 & = -a + b \\ 2 + 1 + 3 -8 & = -a+b \\ -2 & = -a + b \end{aligned}$
Substitusi $x = -3$, didapat
$\begin{aligned} f(-3) & = -3a + b \\ 2(-3)^4 + (-3)^2 – 3(-3) – 8 & = -3a + b \\ 162 + 9 + 9 -8 & = -3a+b \\ 172 & = -3a + b \end{aligned}$ 
Diperoleh SPLDV: $\begin{cases} -a + b & = -2 \\ -3a + b & = 172 \end{cases}$
Penyelesaian dari sistem di atas adalah $a = -87$ dan $b = -89$. 
Jadi, sisa hasil baginya adalah $\boxed{ax + b = -87x -89}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 16
Jika $x^4 + ax^3 + (b-10)x^2 + 24x -15$ $= f(x) (x-1)$ dengan $f(x)$ habis dibagi oleh $(x-1)$, maka nilai $b$ adalah $\cdots \cdot$
A. $8$          B. $6$           C. $4$          D. $2$           E. $1$

Penyelesaian

$f(x)$ dapat dinyatakan sebagai
$f(x) = \dfrac{x^4 + ax^3 + (b-10)x^2 + 24x -15}{x-1}$
Dengan menggunakan Metode Horner dua tingkat, diperoleh
$$\begin{array}{c|ccccc} & 1 & a & b-10 & 24 & -15 \\ 1 & \downarrow & 1 & a+1 & a+b-9 & a+b+15 \\ \hline & 1 & a+1 & a+b-9 & a+b+15 & \color{red}{a+b=0} \\ 1 & \downarrow & 1 & a+2 & 2a+b-7 \\ \hline & 1 & a+2 & 2a+b-7 & \color{red}{3a+2b+8=0} \end{array}$$Diperoleh SPLDV: $\begin{cases} a + b = 0 \\ 3a + 2b = -8 \end{cases}$
Dengan menggunakan metode eliminasi, diperoleh
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} a + b & = 0 \\ 3a + 2b & = -8 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 3 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned} 3a+3b & = 0 \\ 3a+2b & = -8 \end{aligned} \\ & \rule{2.8 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} b & = 8 \end{aligned} \end{aligned}$
Jadi, nilai $b$ adalah $\boxed{8}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 17
Polinom $P(x) = (x-a)^7 + (x -b)^6 + (x-3)$ habis dibagi oleh $f(x) = x^2 -(a+b)x + ab$. Jika $a \neq b, a \neq 4$, maka nilai $b = \cdots \cdot$
A. $\dfrac{3a-a^2+3}{4-a}$                D. $\dfrac{3a-a^2-3}{4-a}$
B. $\dfrac{3a+a^2+3}{4-a}$                E. $\dfrac{3a-a^2+3}{a-4}$
C. $\dfrac{3a+a^2-3}{4-a}$ 

Penyelesaian

Perhatikanlah bahwa 
$f(x) = x^2 – (a+b)x + ab = (x-a) (x-b)$
Ini artinya, $x=a$ dan $x=b$ akan mengakibatkan $p(x) = 0$, karena $(x-a) (x-b)$ merupakan faktornya. Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned} (x-a)^7 &^ + (x -b)^6 + (x-3) = (x-a)\\ & (x-b)H(x) \end{aligned}$
Substitusi $x=a$, diperoleh
$\begin{aligned} (a-a)^7 + (a-b)^6 + (a-3) & = 0 \\ (a-b)^6 & = 3-a \end{aligned}$
Substitusi $x=b$, diperoleh
$$\begin{aligned} (b-a)^7 + (b-b)^6 + (b-3) & = 0 \\ -(a-b)^7 + 0 + b – 3 & = 0 \\ -(a-b)(a-b)^6 + b – 3 & = 0 \\ \text{Substitusikan}~(a-b)^6 & = 3-a \\ -(a-b) (3-a) + b – 3 & = 0 \\ (-3a+3b+a^2-ab) +b-3 & = 0 \\ (4-a)b & = 3a-a^2+3 \\ b & = \dfrac{3a-a^2+3}{4-a} \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{b = \dfrac{3a-a^2+3}{4-a}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 18
Sisa pembagian $Ax^{2014} + x^{2015} -B(x-2)^2$ oleh $x^2-1$ adalah $5x-4$. 
Nilai $A+B$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-4$                      C. $0$                   E. $4$
B. $-2$                      D. $2$           

Penyelesaian

Misalkan $p(x) = Ax^{2014} + x^{2015} – B(x-2)^2$, sehingga dapat ditulis
$\begin{aligned} p(x) & = (x^2-1)H(x) + (5x-4) \\ & = (x+1)(x-1)H(x)+(5x-4) \end{aligned}$
Substitusi $x=-1$, diperoleh
$$\begin{aligned} p(-1) & = 5(-1)-4 \\ A(-1)^{2014} + (-1)^{2015} -B(-1-2)^2 & = -9 \\ A -1 -B(-3)^2 & = -9 \\ A -9B & = -8 \end{aligned}$$Substitusi $x=1$, diperoleh
$\begin{aligned} p(1) & = 5(1)-4 \\ A(1)^{2014} + (1)^{2015} -B(1-2)^2 & = 1 \\ A + 1 -B(-1)^2 & = 1 \\ A – B & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh SPLDV: $\begin{cases} A -9B & = -8 \\ A -B & = 0 \end{cases}$
Penyelesaian dari sistem di atas adalah $A = B = 1$, sehingga nilai dari $\boxed{A+B=1+1=2}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 19
Jika suku banyak $x^4-ax^3-(a-b)x^2$ $+ (3a+b+2)x -3a-b$ dibagi oleh $x^2+x-2$, maka sisanya adalah $x-3$. Tentukan nilai $a+b$.

Penyelesaian

Misalkan $p(x) = x^4-ax^3-(a-b)x^2$ $+ (3a+b+2)x -3a-b$
sehingga dapat ditulis
$\begin{aligned} p(x) & = (x^2+x-2)H(x) + (x-3) \\ & = (x+2)(x-1)H(x) + (x-3) \end{aligned}$
Jika $x = -2$, diperoleh $p(-2) = -5$. 
Jika $x=1$, diperoleh $p(1) = -2$. 
Dengan menggunakan Metode Horner untuk $x=-2$, diperoleh
$$\begin{array}{c|ccccc} & 1 & -a & -a+b & 3a+b+2 & -3a-b \\ -2 & \downarrow & -2 & 2a+4 & -2a-2b-8 & -2a+2b+12 \\ \hline & 1 & -a-2 & a+b+4 & a-b-6 & \color{red}-5a + b + 12 \end{array}$$Karena bersisa $p(-2) = -5$, maka diperoleh
$-5a + b + 12 =-5 \Leftrightarrow -5a+b=-17$
Dengan menggunakan Metode Horner untuk $x=1$, diperoleh
$$\begin{array}{c|ccccc} & 1 & -a & -a+b & 3a+b+2 & -3a-b \\ 1 & \downarrow & 1 & -a+1 & -2a+b+1 & a+2b+3 \\ \hline & 1 & -a+1 & -2a+b+1 & a+2b+3 & \color{red}{-2a+b+3} \end{array}$$Karena bersisa $p(1) = -2$, maka diperoleh
$-2a + b + 3=-2\Leftrightarrow -2a+b=-5$
Diperoleh SPLDV: $\begin{cases} -5a+b & = -17 \\ -2a + b & = -5 \end{cases}$
Penyelesaian sistem di atas adalah $a = 4$ dan $b = 3$. 
Jadi, nilai dari $\boxed{a=4; b = 3}$

[collapse]

Soal Nomor 20
Tentukan nilai $a$ dan $b$ sehingga $x^4 -ax^3 -(6a+5b)x^2 + abx + 144$ habis dibagi oleh $x^2+6x+8$.

Penyelesaian

Misalkan: $p(x) = x^4 -ax^3 -(6a+5b)x^2$ $+ abx + 144$
Pembagi: $D(x) = x^2+6x+8 =(x+4)(x+2)$
Dengan menggunakan Metode Horner untuk $x = -4$, diperoleh
$$\begin{array}{c|ccccc} & 1 & -a & -6a-5b & ab & 144 \\ -4 & \downarrow & -4 & 4a + 16& 8a+20b-64 & (1) \\ \hline & 1 & -a-4 & -2a-5b+16 & 8a+20b+ab-64 & \color{red}{(2)} \end{array}$$dengan $(1) = -32a-80b-4ab+256$ dan
$(2) = -32a -80b -4ab + 400$. 
Karena $(x+4)$ merupakan salah satu faktor $p(x)$, maka berlaku
$\color{blue}{-32a -80b -4ab + 400 = 0}$
Berikutnya, dengan menggunakan Metode Horner untuk $x = -2$, diperoleh

$$\begin{array}{c|ccccc} & 1 & -a & -6a-5b & ab & 144 \\ -2 & \downarrow & -2 & 2a + 4 & 8a+10b-8 & (3) \\ \hline & 1 & -a-2 & -4a-5b+4 & 8a+10b+ab-8 & \color{red}{(4)} \end{array}$$dengan $(3) = -16a-20b-2ab+16$ dan
$(4) = -16a -20b -2ab + 160$. 
Karena $(x+2)$ merupakan salah satu faktor $p(x)$, maka berlaku
$\color{blue}{-16a -20b -2ab + 160 = 0}$ 
Diperoleh SPL:
$\begin{cases} -32a -80b -4ab + 400 & = 0 \\ -16a -20b -2ab + 160 & = 0 \end{cases}$
Penyelesaian sistem di atas adalah $a = 6$ dan $b = 2$. 
Jadi, nilai $\boxed{a=6; b = 2}$

[collapse]

Soal Nomor 21
Diketahui $p(x) = ax^5+bx-1$, dengan $a$ dan $b$ konstan. Jika $p(x)$ dibagi oleh $(x-2.006)$ bersisa $3$, maka $p(x)(x+2.006)$ akan bersisa $\cdots \cdot$
A. $-1$                 C. $-3$              E. $-5$
B. $-2$                 D. $-4$       

Penyelesaian

Diketahui: $p(x) = ax^5+bx-1$
Karena $p(x)$ dibagi $(x-2.006)$ bersisa $3$, maka ditulis
$p(x) = (x-2.006)H(x) + 3$
dengan $H(x)$ sebagai hasil baginya. 
Substitusi $x=2.006$, diperoleh
$p(2.006) = 3 = a(2.006)^5 + 2.006b-1$
atau ditulis
$\color{red} {2.006b = 4 -a(2.006)^5}$
Misalkan $p(x)$ dibagi $(x+2.006)$ bersisa $m$, sehingga
$p(x) = (x+2.006)K(x) + m$
Substitusi $x=-2.006$, diperoleh
$$\begin{aligned} p(-2.006) & = m \\ m & =  a(-2.006)^5 -2.006b -1 \\  m & = a(-2.006)^5 -(\color{red} {4 -a(2.006)^5}) – 1 \\ m & = -4 -1 = -5 \end{aligned}$$Jadi, sisa hasil baginya adalah $\boxed{-5}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 22
Nilai $m+n$ yang mengakibatkan
$x^4-6ax^3+8a^2x^2-ma^3x+na^4$
habis dibagi oleh $(x-a)^2$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2$                     C. $0$                    E. $-2$
B. $1$                     D. $-1$          

Penyelesaian

Misalkan $f(x) = \dfrac{x^4-6ax^3+8a^2x^2-ma^3x+na^4}{(x-a)^2}$
Dengan menggunakan Metode Horner untuk $x = a$, diperoleh
$$\begin{array}{c|ccccc} & 1 & -6a & 8a^2 & -ma^3 & na^4 \\ a & \downarrow & a & -5a^2 & 3a^3 & (-m+3)a^4 \\ \hline & 1 & -5a & 3a^2 & (-m+3)a^3 & \color{red}{(-m+3+n)a^4 = 0} \\ a & \downarrow & a & & -4a^2 & -a^3 \\ \hline & 1 & -4a & -a^2 & \color{red}{(-m+2)a^3 = 0} \end{array}$$Dari persamaan $(-m+2)a^3 = 0$, diperoleh $-m + 2 = 0$, sehingga $m=2$. 
Substitusi $m=2$ pada persamaan $(-m+3+n)a^4 = 0$, sehingga didapat
$-2 + 3 + n= 0 \Leftrightarrow n = -1$
Jadi, nilai dari $\boxed{m+n=2+(-1)=1}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 23
Jika suku banyak $f(x)$ berderajat 5 habis dibagi $(x^2-4)$, maka sisa $f(x)$ dibagi oleh $(x-2)(x+2)(x+3)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac13f(3)(x+2)$
B. $\dfrac13f(3)(x-3)$
C. $\dfrac13f(3)(x^2-4)$
D. $\dfrac13f(3)(x^2-5x+6)$
E. $\dfrac13f(3)(x+3)$

Penyelesaian

Misalkan $f(x)$ dibagi oleh $(x-2)(x+2)(x+3)$ bersisa $(ax^2+bx+c)$ (sisanya polinomial berderajat dua karena pembaginya berderajat tiga). 
Dengan demikian, dapat ditulis
$f(x) = (x-2)(x+2)(x+3)H(x)$ $+ (ax^2+bx+c)$
Karena $f(x)$ habis dibagi oleh $x^2-4 = (x+2)(x-2)$, maka substitusi $x = 2$ menghasilkan
$f(2) = 4a + 2b + c = 0 \tag{1}$
dan substitusi $x=-2$ menghasilkan
$f(-2) = 4a -2b + c = 0 \tag{2}$
Eliminasi $b$ pada kedua persamaan di atas sehingga diperoleh
$8a + 2c = 0 \Leftrightarrow c = -4a$
Eliminasi $4a + c$ pada kedua persamaan di atas sehingga diperoleh $b = 0$. 
Selanjutnya, substitusi $x = 3$ pada $f(x)$, sehingga diperoleh
$f(3) = 9a + 3b + c$
Karena $b = 0$ dan $c = -4a$, maka
$f(3) = 9a + 0 + (-4a) \Leftrightarrow a = \dfrac15f(3)$
Dengan demikaian, 
$c = -4a = -4\left(\dfrac15f(3)\right) = -\dfrac45f(3)$
Untuk itu, 
$\begin{aligned} S(x) & = ax^2+bx+c \\ & = \dfrac15f(3)x^2 + 0 -\dfrac45f(3) \\ & = \dfrac15f(3)(x^2-4) \end{aligned}$
Jadi, sisa hasil baginya adalah $\boxed{\dfrac15f(3)(x^2-4)}$
(Jawaban C)

[collapse]

CategoriesSuku BanyakTags, , , , , , , ,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *