Soal dan Pembahasan – Relasi dan Fungsi (Tingkat SMP/Sederajat)

Relasi yang tepat adalah “pangkat tiga dari”, sebagaimana dinyatakan oleh hubungan:
$1$ merupakan pangkat tiga dari $1$;
$8$ merupakan pangkat tiga dari $2$;
$27$ merupakan pangkat tiga dari $3$.
(Jawaban B)

Relasi yang tepat adalah “setengah dari”, sebagaimana dinyatakan oleh hubungan:
$-3$ merupakan setengah dari $-6$;
$-1$ merupakan setengah dari $-2$;
$1$ merupakan setengah dari $2$;
$2$ merupakan setengah dari $4$;
(Jawaban B)

Relasi yang tepat adalah “setengah dari”, sebagaimana dinyatakan oleh hubungan:
$1$ merupakan setengah dari $2$;
$2$ merupakan setengah dari $4$;
$3$ merupakan setengah dari $6$;
$4$ merupakan setengah dari $8$, tetapi karena $8$ bukan anggota kodomain,maka $4$ tidak memiliki pasangan.
(Jawaban C)

Diagram panah di atas dapat dinyatakan dalam bentuk himpunan pasangan berurut $\{1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (4, 4)\}$.
Perhatikan bahwa $1$ faktor dari $2, 3$, dan $4$; $2$ merupakan faktor dari $2$ dan $4$; $4$ merupakan faktor dari $4$.
Jadi, relasi yang sesuai untuk ini adalah FAKTOR DARI.
Catatan: faktor adalah bilangan asli yang membagi habis bilangan yang lain.
(Jawaban A)

Pada bentuk pasangan berurut $(a, b)$, $a$ disebut anggota domain, sedangkan $b$ disebut anggota range.
Suatu relasi disebut sebagai pemetaan (fungsi) apabila setiap anggota domain mempunyai tepat satu (harus satu) pasangan dengan anggota kodomain.
Pada himpunan (1), semua anggota domain memiliki pasangan tepat satu ke kodomainnya sehingga disebut fungsi.
Pada himpunan (2), anggota domain yakni 2 memiliki dua pasangan sehingga bukan termasuk fungsi.
Pada himpunan (3), anggota domain yakni 3 memiliki dua pasangan sehingga bukan termasuk fungsi.
Pada himpunan (4), anggota domain yakni 3 memiliki dua pasangan sehingga bukan termasuk fungsi.
(Jawaban A) 

Suatu himpunan pasangan berurut termasuk fungsi apabila setiap anggota domain memiliki tepat satu pasangan ke anggota kodomain. 
Himpunan $P$ bukan termasuk fungsi karena anggota domain $2$ memiliki lebih dari satu pasangan, yakni pada pasangan berurut $(2, 0)$ dan $(2, 1)$. 
Himpunan $Q$ termasuk fungsi karena setiap anggota domain memiliki tepat satu pasang ke anggota kodomain. 
Himpunan $R$ bukan termasuk fungsi karena anggota domain $5$ memiliki lebih dari satu pasangan, yakni pada pasangan berurut $(5, a)$ dan $(5, b)$.
Himpunan $S$ bukan termasuk fungsi karena anggota domain $1$ memiliki lebih dari satu pasangan, yakni pada pasangan berurut $(1, 6), (1, 5)$ dan $(1, 4)$.
(Jawaban B)

Diketahui:
$\begin{aligned} A & = \{a, b, c\} \\ B & = \{1,2,3,4,5\} \end{aligned}$
Kita peroleh $\text{n}(A) = 3$ dan $\text{n}(B) = 5$ sehingga banyak pemetaan yang mungkin dari $A$ ke $B$ adalah $\boxed{\text{n}(B)^{\text{n}(A)} = 5^3 = 125}$
(Jawaban C)

Tuliskan dulu seluruh anggota himpunan $A$ dan $B$. 
$\begin{aligned} A & = \{1, 2, 3, 6\} \\ B & = \{2, 4, 6\} \end{aligned}$
Kita peroleh $\text{n}(A) = 4$ dan $\text{n}(B) = 3$ sehingga banyak pemetaan yang mungkin dari $B$ ke $A$ adalah $\boxed{\text{n}(A)^{\text{n}(B)} = 4^3 = 64}$
(Jawaban B)

Diketahui: $f(x) = 3-5x$. 
Substitusikan $x =-4$ sehingga diperoleh
$f(-4) = 3-5(-4) = 3 + 20 = 23$
Jadi, hasil dari $\boxed{f(-4) = 23}$
(Jawaban D)

Diketahui: $f(x) = 6-3x$. 
Substitusikan $x = 5$ sehingga diperoleh
$f(5) = 6-3(5) = 6-15 =-9$
Substitusikan $x =-4$ sehingga diperoleh
$f(-4) = 6-3(-4) = 6 + 12 = 18$
Jadi, hasil dari $\boxed{f(5) + f(-4) =-9 + 18 = 9}$
(Jawaban B)

Substitusikan nilai $x =-\dfrac{1}{2}$ pada fungsi $f$.
$\begin{aligned} f(x) & = 3x^2-2x-5 \\ f\left(-\dfrac{1}{2}\right) & = 3\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2-2\left(-\dfrac{1}{2}\right)-5 \\ & = 3 \times \dfrac{1}{4} + 1-5 \\ & = \dfrac{3}{4}-4 \\ & =-3\dfrac{1}{4} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{f\left(-\dfrac{1}{2}\right) =-3\dfrac{1}{4}}$
(Jawaban B)

Diketahui: $f(x) = 6x- 5$. 
Substitusikan $x = 3a + 1$ sehingga diperoleh
$\begin{aligned} f(3a+1) & = 6(3a+1)-5 \\ & = 18a+6-5 \\ & = 18a+1 \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\boxed{f(3a+1) = 18a+1}$
(Jawaban C)

Diketahui: $f(x) = 3x + 5$. 
Substitusikan $x = 2b-3$ sehingga diperoleh
$\begin{aligned} f(2b-3) & = 3(2b-3) + 5 \\ & = 6b-9 + 5 \\ & = 6b-4 \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\boxed{f(2b-3) = 6b- 4}$
(Jawaban C)

Diketahui: $f(3x+2)=6x+10$
Akan dicari nilai $x$ yang membuat $3x + 2 =-5$ sebagai berikut. 
$\begin{aligned} 3x + 2 & =-5 \\ 3x & =-7 \\ x & =-\dfrac{7}{3} \end{aligned}$
Substitusikan $x =-\dfrac73$ pada $f(x)$ sehingga diperoleh
$\begin{aligned} f\left(\cancel{3}\left(-\dfrac{7}{\cancel{3}}\right) + 2\right) & = \cancelto{2}{6}\left(-\dfrac{7}{\cancel{3}}\right) + 10 \\ f(-7+2) & = 2(-7) + 10 \\ f(-5) & =-4 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{f(-5) =-4}$
(Jawaban B)

Diketahui: $f(3x+3)=(x-4)(x+10)$
Akan dicari nilai $x$ yang membuat $3x + 3 = 21$ sebagai berikut. 
$\begin{aligned} 3x + 3 & = 21 \\ 3x & = 18 \\ x & = \dfrac{18}{3} = 6 \end{aligned}$
Substitusikan $x = 6$ pada $f(x)$ sehingga diperoleh
$\begin{aligned} f(3(6)+3) & = (6-4)(6+10) \\ f(18+3) & = 2 \times 16 \\ f(21) & = 32 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{f(21) = 32}$
(Jawaban C)

Diketahui: $f(x) = 2x + 5$ dan $f(a) = 11$
Substitusikan $x = a$ sehingga diperoleh
$\begin{aligned} f(a) & = 2a + 5 \\ 11 & = 2a + 5 \\ 6 & = 2a \\ a & = 3 \end{aligned}$
Jadi, nilai $a$ adalah $\boxed{3}$
(Jawaban B)

Diketahui: $f(x) = 4x- 1$. 
Substitusikan $x = a$ sehingga diperoleh
$\begin{aligned} f(a) & = 4a-1 \\-9 & = 4a-1 \\-8 & = 4a \\ a & =-2 \end{aligned}$
Substitusikan $x = 2$ sehingga diperoleh
$f(2) = 4(2)-1 = 8-1 = 7$
Ini berarti, nilai $b$ adalah $7$. 
Dengan demikian, hasil dari $\boxed{a-b =-2-7 =-9}$
(Jawaban A)

Diketahui: $f(x) = 4x + 3$. 
Substitusikan $x = a$ sehingga diperoleh
$\begin{aligned} f(a) & = 4a + 3 \\ 7 & = 4a + 3 \\ 4 & = 4a \\ a & = 1 \end{aligned}$
Substitusikan $x =-2$ sehingga diperoleh
$f(2) = 4(-2) + 3 =-8+3 =-5$
Ini berarti, nilai $b$ adalah $-5$. 
Dengan demikian, hasil dari $\boxed{a+b = 1 +(-5) =-4}$
(Jawaban C)

Diketahui: $f(x)= 2x-3$. 
Untuk $x = m$, diperoleh
$\begin{aligned} f(m) & = 2m-3 \\ 5 & = 2m-3 \\ 8 & = 2m \\ m & = 4 \end{aligned}$
Untuk $x =-2$, diperoleh
$f(-2) = 2(-2)-3 =-7$
sehingga nilai $n$ adalah $-7$. 
Jadi, nilai dari $\boxed{m+n=4+(-7)=-3}$
(Jawaban C)

Untuk $x = 2$, diperoleh
$f(2) = 2p + q = 5.$
Untuk $x =-2$, diperoleh
$f(-2) =-2p + q =-11.$
Diperoleh SPLDV: $\begin{cases} 2p+q = 5 \\-2p+q=-11 \end{cases}$
Dengan menggunakan metode gabungan, diperoleh
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2p + q & = 5 \\-2p+q & =-11 \end{aligned} \\  \rule{2.5 cm}{0.8pt}- \\ \! \begin{aligned} 4p & = 16 \\ p & = 4 \end{aligned} \end{aligned}$
Selanjutnya, substitusikan $p=4$ pada salah satu persamaan, misalnya $2p+q=5.$ 
$2(4)+q = 5 \Leftrightarrow q =-3.$ 
Jadi, nilai $\boxed{p=4}$ dan $\boxed{q=-3}$.
Dengan demikian, $f(x) = 4x-3.$
Untuk $x=-6$, diperoleh
$\boxed{f(-6) = 4(-6)-3 =-27}$
(Jawaban A)

Uji setiap pilihan yang disediakan.
Pilihan A: $f(x) = 2x + 7$
Untuk $x = 6$, diperoleh $f(6) = 2(6) + 7 = 19$ (salah), seharusnya $15$.
Pilihan B: $f(x) = 5x- 12$
Untuk $x = 6$, diperoleh $f(6) = 5(6)-12 = 18$ (salah), seharusnya $15$.
Pilihan C: $f(x) = 3x- 2$
Untuk $x = 6$, diperoleh $f(6) = 3(6)-2= 16$ (salah), seharusnya $15$.
Pilihan D: $f(x) = 2x + 3$
Untuk $x = 5$, diperoleh $f(5) = 2(5) + 3 = 13$ (benar).
Untuk $x = 6$, diperoleh $f(5) = 2(6) + 3 = 15$ (benar).
Untuk $x = 8$, diperoleh $f(5) = 2(8) + 3 = 19$ (benar).
(Jawaban D)

Uji setiap pilihan yang disediakan.
Pilihan A: $f(x) = 4(2x + 5)$
Untuk $x = 2$, diperoleh $f(2) = 4(2(2) + 5) = 4(9) = 36$ (salah), seharusnya $21$.
Pilihan B: $f(x) = 3(2x+3)$
Untuk $x = 2$, diperoleh $f(2) = 3(2(2) + 3) = 3(7) = 21$ (benar).
Untuk $x = 6$, diperoleh $f(6) = 3(2(6) + 3) = 3(15) = 45$ (benar).
Untuk $x = 10$, diperoleh $f(10) = 3(2(10) + 3) = 3(23) = 69$ (benar).
Pilihan C: $f(x) = 2(3x + 9)$
Untuk $x = 2$, diperoleh $f(2) = 2(3(2) + 9) = 2(15) = 30$ (salah), seharusnya $21$.
Pilihan D: $f(x) =\dfrac12(6x + 18) = 3x + 9$
Untuk $x = 2$, diperoleh $f(2) = 3(2) + 9 = 15$ (salah), seharusnya $21$.
(Jawaban B)

Diketahui $f(x) = \dfrac{1}{a}x+b$ dan $h(x)=bx-a$. Karena grafik $f(x)$ dan $h(x)$ sejajar, maka gradiennya harus sama, yaitu $m_f = m_g \Rightarrow \dfrac{1}{a} = b$, ekuivalen dengan $ab = 1$.
Selanjutnya, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{h(-1)}{f(1)} & = -\dfrac52 \\ \dfrac{b(-1)-a}{\dfrac{1}{a}(1)+b} & = -\dfrac52 \\ \dfrac{-a-b}{\dfrac{1}{a}+b} & = -\dfrac52 \\ \text{Kalikan kedua}~&\text{ruas dengan}~-1 \\ \dfrac{a+b}{\dfrac{1}{a}+b} \color{blue}{\times \dfrac{a}{a}} & = \dfrac52 \\ \dfrac{a^2+ab}{1+ab} & = \dfrac52 \\ \text{Substitusi}~& ab = 1 \\ \dfrac{a^2+1}{1+1} & = \dfrac52 \\ \dfrac{a^2+1}{2} & = \dfrac52 \\ a^2+1 & = 5 \\ a^2 & = 4 \\ a & = \pm 2 \end{aligned}$
Kita peroleh dua nilai yang mungkin untuk $a$, yaitu $a = 2$ atau $a = -2$. Dari $ab = 1$, kita bisa tentukan nilai $b$.

1. Jika $a = 2$, maka diperoleh $b = \dfrac12$ sehingga $b-a = \dfrac12-2 = -\dfrac32$.
2. Jika $a = -2$, maka diperoleh $b = -\dfrac12$ sehingga $b-a=-\dfrac12-(-2) = \dfrac32$.

Dengan demikian, akan ada dua nilai untuk $b-a$, yaitu $\boxed{\pm \dfrac32}$
(Jawaban B)

Diketahui $H(\sqrt{x+5}) = x$.
Ubahlah $x \to x-5$ sehingga didapat
$\begin{aligned} H\left(\sqrt{(x-5)+5}\right) & = x-5 \\ H(\sqrt{x}) = x-5 \end{aligned}$
Ubahlah $x \to x^4$ sehingga diperoleh
$\begin{aligned} H(\sqrt{x^4}) & = x^4-5 \\ H(x^2) & = x^4-5 \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh bahwa $a=4$ dan $b=5$ sehingga nilai $\boxed{a+b=4+5=9}$
(Jawaban B)

Suatu kurva yang digambarkan dalam bidang Kartesius dikatakan fungsi apabila setiap nilai $x$ tepat ada satu nilai $y$. Perhatikan bahwa sumbu horizontal disebut sebagai sumbu-$X$, sedangkan sumbu tegak disebut sebagai sumbu-$Y$. 
Mudahnya, kita buat garis putus-putus tegak yang memotong kurva. Bila kita menemukan lebih dari satu titik potong atau tidak ada titik potong sama sekali, maka kurva itu bukanlah grafik dari fungsi.
Jawaban a)
Kita hanya menemukan satu titik potong jika menarik garis putus-putus dari posisi manapun. Jadi, kurva itu mewakili suatu fungsi.
Jawaban b)
Kita hanya menemukan satu titik potong jika menarik garis putus-putus dari posisi manapun. Jadi, kurva itu mewakili suatu fungsi.
Jawaban c)
Kita menemukan dua titik potong jika menarik garis putus-putus dari posisi seperti di gambar. Jadi, kurva itu bukan mewakili suatu fungsi.
Jawaban d)
Kita menemukan dua titik potong jika menarik garis putus-putus dari posisi seperti di gambar. Jadi, kurva itu bukan mewakili suatu fungsi.
Jawaban e)
Kita menemukan dua titik potong jika menarik garis putus-putus dari posisi seperti di gambar. Jadi, kurva itu bukan mewakili suatu fungsi.
Jawaban f)
Kita menemukan tiga titik potong jika menarik garis putus-putus dari posisi seperti di gambar. Jadi, kurva itu bukan mewakili suatu fungsi.
Jawaban g)
Kita menemukan dua titik potong jika menarik garis putus-putus dari posisi seperti di gambar. Selain itu, bila kita tarik garis putus-putus yang berimpit dengan sumbu-$Y$, kita tidak akan menemukan titik potong. Jadi, kurva itu bukan mewakili suatu fungsi.