Soal dan Pembahasan – Fungsi (Tingkat Lanjut)

Berikut ini adalah soal-soal (disertai pembahasan) tentang fungsi (function) tingkat lanjut. Sumbernya berasal dari soal-soal perkuliahan, olimpiade tingkat SMP/SMA, dan sebagainya.

Baca: Soal dan Pembahasan – Relasi dan Fungsi

Baca: Soal dan Pembahasan – Komposisi dan Invers Fungsi

Quote by Merry Riana

Janganlah mengeluh karena tangan yang belum dapat menggapai bintang, tetapi bersyukurlah karena kaki masih dapat menginjak bumi.

Soal Nomor 1
Tentukan domain, kodomain, dan daerah hasil (range) dari diagram panah yang mewakili fungsi $f$ berikut.

Pembahasan

Daerah asal (domain) fungsi $f$ adalah
$D_f = \{1, 3, 5, 7, 9\}$
Daerah kawan (kodomain) fungsi $f$ adalah
$K_f = \{2, 4, 6, 8\}$
Daerah hasil (range) dari fungsi $f$ adalah anggota kodomain yang memiliki pasangan dengan anggota domain, yaitu
$R_f = \{2, 6, 8\}$ 

[collapse]

Soal Nomor 2
Diketahui $f(x) = x + 7, g(x) = x^2- 4x + 5$, dan $h(x) = x^3 + x^2- 2x + 8$. Tentukan hasil dari operasi aljabar fungsi berikut.
a. $(f + g + h)(x)$
b. $(f- g- 2h)(x)$
c. $(3f + h^2)(3)$
d. $\left(\dfrac{f}{h} + g^2\right)(1)$

Pembahasan

Jawaban a)
$$\begin{aligned} (f + g + h)(x) & = f(x) + g(x) + h(x) \\ & = (x + 7) + (x^2- 4x + 5) + (x^3 + x^2- 2x + 8) \\ & = x^3 + 2x^2- 5x + 20 \end{aligned}$$Jadi, diperoleh $\boxed{(f + g + h)(x) = x^3 + 2x^2- x + 20}$
Jawaban b)
$$\begin{aligned} (f- g- 2h)(x) & = f(x)- g(x)- 2h(x) \\ & = (3x + 7)- (x^2- 4x + 5)- 2(x^3 + x^2- 2x + 8) \\ & =-2x^3- 3x^2 + 11x- 6 \end{aligned}$$Jadi, diperoleh $\boxed{(f- g- 2h)(x) =-2x^3- 3x^2 + 11x- 6}$
Jawaban c)
Diketahui:
$\begin{aligned} f(3) & = 3 + 7 = 10 \\ h(3) & = 3^3 + 3^2- 2(3) + 8 \\ & = 27 + 9- 6 + 8 = 38 \end{aligned}$
Dengan demikian, didapat
$\begin{aligned} (3f + h^2)(3) & = 3f(3) + h^2(3) \\ & = 3(10) + (38)^2 \\ & = 30 + 1.444 = 1.474 \end{aligned}$
Jadi, diperoleh $\boxed{(3f + h^2)(3) = 1.474}$
Jawaban d)
Diketahui:
$\begin{aligned} f(1) & = 1 + 7 = 8 \\ g(1) & = 1^2- 4(1) + 5 = 2 \\ h(1) & = 1^3 + 1^2- 2(1) + 8 = 8 \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} \left(\dfrac{f}{h} + g^2\right)(1) & = \dfrac{f(1)}{h(1)} + g^2(1) \\ & = \dfrac{8}{8} + 2^2 = 5 \end{aligned}$

Jadi, diperoleh $\boxed{\left(\dfrac{f}{h} + g^2\right)(1) = 5}$

[collapse]

Soal Nomor 3
Fungsi-fungsi berikut adalah fungsi-fungsi dari himpunan $A = \{1, 2, 3\}$ ke himpunan $B = \{a,b,c\}$. Manakah yang merupakan fungsi surjektif?
a. $f = \{(1,a),(2,b),(3,c)\}$
b. $g = \{(1,a),(2,b),(3,b)\}$
c. $h = \{(1,c),(2,b),(3,a)\}$
d. $k = \{(1, b), (2,b),(3,c)\}$

Pembahasan

Jawaban a)
Perhatikan bahwa semua anggota himpunan $B$ (kodomain) memiliki pasangan pada anggota himpunan $A$ (domain). Karena kodomain = range, maka fungsi ini tergolong fungsi surjektif.
Jawaban b)
Perhatikan bahwa $c \in B$ tidak memiliki pasangan pada anggota himpunan $A$ (domain). Karena kodomain ≠ range, maka fungsi ini bukan fungsi surjektif
Jawaban c)
Perhatikan bahwa semua anggota himpunan $B$ (kodomain) memiliki pasangan pada anggota himpunan $A$ (domain). Karena kodomain = range, maka fungsi ini tergolong fungsi surjektif.
Jawaban d)
Perhatikan bahwa $a \in B$ tidak memiliki pasangan pada anggota himpunan $A$ (domain). Karena kodomain ≠ range, maka fungsi ini bukan fungsi surjektif.

[collapse]

Soal Nomor 4
Di antara fungsi-fungsi berikut, manakah yang merupakan fungsi injektif?
a. $y: f(x) = 5x-3$
b. $y: f(x) = 2x^2$
c. $y: f(x) = x^3-1$

Pembahasan

Jawaban a)
Misalkan $a, b$ anggota bilangan real yang merupakan domain dari fungsi $f$. Asumsikan $f(a) = f(b)$. Untuk itu, didapat
$\begin{aligned} f(a) & = f(b) \\ 5a- \cancel{3} & = 5b- \cancel{3} \\ 5a & = 5b \\ a & = b \end{aligned}$
Karena $f(a) = f(b)$ mengakibatkan $a = b$, maka fungsi tersebut adalah fungsi injektif.
Jawaban b)
Misalkan $a, b$ anggota bilangan real yang merupakan domain dari fungsi $f$. Asumsikan $f(a) = f(b)$. Untuk itu, didapat
$\begin{aligned} f(a) & = f(b) \\ 2a^2 & = 2b^2 \\ a^2 & = b^2 \\ a & = \pm b \end{aligned}$
Karena $f(a) = f(b)$ belum tentu mengakibatkan $a = b$, maka fungsi tersebut bukan fungsi injektif.
Jawaban c)
Misalkan $a, b$ anggota bilangan real yang merupakan domain dari fungsi $f$. Asumsikan $f(a) = f(b)$. Untuk itu, didapat
$\begin{aligned} f(a) & = f(b) \\ a^3- \cancel{1} & = b^3- \cancel{1} \\ a^3 & = b^3 \\ a &= b \end{aligned}$
Karena $f(a) = f(b)$ mengakibatkan $a = b$, maka fungsi tersebut adalah fungsi injektif.

[collapse]

Soal Nomor 5
Misalkan $\mathbb{Z}$ adalah himpunan semua bilangan bulat. Didefinisikan suatu aturan pengawanan $f: \mathbb{Z} \mapsto \mathbb{Z}$ dengan rumus $(\forall x \in \mathbb{Z}) f(x) = 2x^2- 2$.

  1. Selidiki apakah $f$ adalah fungsi dari $\mathbb{Z}$ ke $\mathbb{Z}$.
  2. Jika $f$ suatu fungsi, apakah $f$ merupakan fungsi injektif (1-1)?

Pembahasan

Jawaban a)
$f$ adalah fungsi yang memetakan bilangan bulat ke bilangan bulat. Kebenaran pernyataan ini dapat diidentifikasi dengan melihat rumus fungsinya, yaitu $f(x) = 2x^2- 2$. Jika $x$ bulat, maka $x^2$ juga bulat dan bila dikali $2$, kemudian dikurang $2$, hasilnya tetap bulat, karena perkalian dan pengurangan bilangan bulat bersifat tertutup.
Jawaban b)
Syarat suatu fungsi dengan $a, b \in \mathbb{D}$ dikatakan injektif: jika $f(a) = f(b) $, maka $a = b$.
Diketahui:
$f(a) = 2a^2- 2$ dan $f(b) = 2b^2-2$
Karena $f(a) = f(b)$, maka dapat ditulis
$\begin{aligned} 2a^2- 2 & = 2b^2- 2 \\ 2a^2 & = 2b^2 \\  a^2 & = b^2 \\ a & = \pm b \end{aligned}$
Oleh karena $f(a) \neq f(b)$ jika diambil $a =-b$, maka fungsi $f$ tidak injektif.
Catatan:
$\bigstar$ Jangan langsung “menghilangkan” pangkat dua (mengakarkuadratkan kedua ruas) pada bentuk $a^2 = b^2$. Hal ini kadang tidak menimbulkan masalah untuk kasus tertentu, tetapi kadang pula juga menimbulkan kekeliruan, bahkan fallacy.
$\bigstar$ simbol $\mathbb{D}$ menyatakan himpunan anggota domain fungsi.

[collapse]

Soal Nomor 6
Diberikan
$f\left(\dfrac{2x+2}{3x-4}\right) = 5x$
Tentukan $f(x)$.

Pembahasan

Misalkan $y = \dfrac{2x+2}{3x-4}$
Buat $x$ sebagai subjek persamaan sebagai berikut.
$\begin{aligned} y & = \dfrac{2x+2}{3x-4} \\ 3xy- 4y & = 2x+2 \\ 3xy- 2x & = 4y + 2 \\ x(3y- 2) & = 4y + 2 \\ x & = \dfrac{4y+2}{3y-2} \end{aligned} $
Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned} f\left(\dfrac{2x+2}{3x-4}\right) & = 5x \\ f(y) & = 5\left(\dfrac{4y+2}{3y-2}\right) \\ f(y) & = \dfrac{20y + 10}{3y- 2} \end{aligned}$
Dengan mengganti $y$ sebagai $x$, kita peroleh
$\boxed{f(x) = \dfrac{20x+10}{3x-2}} $

[collapse]

Soal Nomor 7
Jika $f(x) = \dfrac{x}{x-1}$, maka $f(3x)$ dapat dinyatakan dalam $f(x)$, yaitu $\cdots \cdot$

Pembahasan

Diketahui $f(x) = \dfrac{x}{x-1}$, sehingga
$\begin{aligned} f(3x) & = \dfrac{3x} {3x-1} = \dfrac{3x} {3x-1} \times \dfrac{\dfrac{1}{x-1}} {\dfrac{1}{x-1}} \\ & = \dfrac{\dfrac{3x} {x-1}} {\dfrac{3x-1}{x-1}} = \dfrac{3\left(\dfrac{x} {x-1}\right)} {\dfrac{2x +x-1}{x-1}} \\ & = \dfrac{3\left(\dfrac{x} {x-1}\right)} {\dfrac{2x} {x-1} + \dfrac{x-1}{x-1}} \\ & = \dfrac{3\left(\dfrac{x} {x-1}\right)} {2\left(\dfrac{x}{x-1}\right) + 1} \\ & = \dfrac{3f(x)} {2f(x) + 1} \end{aligned}$
Jadi, $f(3x)$ dapat dinyatakan dalam $f(x)$ sebagai berikut.
$\boxed{f(3x) = \dfrac{3f(x)} {f(x) +1}} $

[collapse]

Soal Nomor 8
Jika $f$ adalah fungsi yang memenuhi
$f\left(\dfrac{1}{x} \right) + \dfrac{1}{x} f(-x) = 2x$
untuk setiap bilangan real $x \neq 0$, tentukan nilai $f(2)$.

Pembahasan

Ambil $x =-2$, sehingga diperoleh
$f\left(-\dfrac{1}{2}\right)- \dfrac{1}{2}f(2) =-4~~~~~\bigstar$
Sekarang, ambil $x = \dfrac{1}{2}$, diperoleh
$f(2) + 2f\left(-\dfrac{1}{2}\right) = 1~~~~\bigstar \bigstar$
Diperoleh sistem persamaan linear dua variabel. Variabel yang dimaksud adalah $f\left(-\dfrac{1}{2}\right)$ dan $f(2)$. Karena nilai $f(2)$ yang akan dicari, kita hanya perlu mengeliminasi $f\left(-\dfrac{1}{2}\right)$ dengan menggunakan metode eliminasi.
Kalikan $2$ pada persamaan $\bigstar$, kemudian kurangi hasilnya dengan persamaan $\bigstar \bigstar$ untuk memperoleh
$\begin{aligned}-f(2)- f(2) & =-8- 1 \\-2f(2) & =-9 \\ f(2) & = \dfrac{9}{2} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $f(2)$ adalah $\dfrac{9}{2}$.

[collapse]

Soal Nomor 9
Jika $f(xy) = f(x + y)$ dan $f(7) = 7$, maka $f(1008) = \cdots \cdot$

Pembahasan

Misalkan diambil $x = n$ dan $y = 1$, didapat
$f(n \times 1) = f(n) = f(n + 1)$
Karena $f(7) = 7$, maka
$f(7) = f(8) = f(9) = \cdots = f(1008) = 7$
Jadi, nilai dari $f(1008)$ adalah $7$.

[collapse]

Soal Nomor 10
Misalkan $f$ adalah fungsi yang memenuhi $f(x) f(y)- f(xy) = x + y$ untuk setiap bilangan bulat positif $x$ dan $y$. Berapakah nilai $f(2004)$?

Pembahasan

Misalkan dipilih $x = 2004$ dan $y = 0$, didapat
$\begin{aligned} f(2004)f(0)- f(2004 \times 0) & = 2004 + 0 \\ f(2004)f(0)- f(0) & = 2004~~~~\bigstar \end{aligned} $
Dari bentuk di atas, kita mengetahui bahwa untuk mendapatkan nilai dari $f(2004)$, kita harus mencari nilai $f(0)$ terlebih dahulu.
Sekarang, misalkan diambil $x = 0$ dan $y = 0$, didapat
$\begin{aligned} f(0)f(0)- f(0) & = 0 + 0 \\ f(0)(f(0)- 1) & = 0 \end{aligned}$
Didapat nilai $f(0)=0$ atau $f(0)=1$. Suatu fungsi tidak mungkin memiliki nilai yang berbeda pada anggota domain yang sama (berdasarkan definisi fungsi) .Oleh karena itu, perlu dilakukan pemeriksaan lain.
Selanjutnya, ambil $x = 1$ dan $y = 0$, didapat
$\begin{aligned} f(1)f(0)- f(0) & = 1 + 0 \\ f(0)(f(1)- 1) & = 1 \end{aligned}$
Misalkan dipilih $f(0) = 0$, maka persamaan itu tidak akan pernah terpenuhi (perkalian 0 dengan berapapun akan menghasilkan 0, tidak mungkin 1). Jika diambil $f(0) = 1$, djperoleh $f(1) = 2$ agar persamaan itu terpenuhi. Ini berarti,nilai $f(0)$ adalah 1.
Kembali ke $\bigstar$, substitusikan $f(0)= 1$, didapat
$\begin{aligned} f(2004) \times 1- 1 & = 2004 \\ f(2004) & = 2005\end{aligned}$
Jadi, nilai $f(2004)$ adalah $2005$.

[collapse]

Soal Nomor 11 (Soal OSK 2003/South Carolina MC 1996)
Dimisalkan bahwa $f(x) = x^5 + ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$ dan $f(1) = f(2) = f(3) = f(4) = f(5)$. Tentukan nilai $a$.

Pembahasan

Misalkan $f(1) = f(2) = f(3) = f(4) = f(5) = \beta$. Ini berarti, dapat ditulis
$f(x) = \beta + (x-1)(x-2)(x-3)$ $(x-4)(x-5)$
Dengan demikian, akan didapat koefisien dari ekspresi $x^4$ dengan cara menguraikan bentuk $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$. Kalikan sesama $x$ sampai 4 kali (sehingga terbentuk $x^4$), kemudian kalikan dengan bilangan $\{1, 2, 3, 4, 5\}$. Selanjutnya, diperoleh koefisien $x^4$, yakni
$a =-(1 + 2 + 3 + 4 + 5) =-15$
Selain itu, dengan menggunakan Teorema Vieta, kita juga dapatkan
$\begin{aligned} x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 & =-\dfrac{\text{Koef.}~x^4}{\text{Koef.}~x^5} \\ 1+2+3+4+5 & =-\dfrac{a} {1} \\ a & =-15 \end{aligned}$
Jadi, nilai $a$ adalah $\boxed{-15}$.
 

[collapse]

Soal Nomor 12
Tentukan nilai terkecil yang mungkin dari fungsi
$f(x) = x^{2008}-2x^{2007} + 3x^{2006}-4x^{2005}$ + 5x^{2004}-\cdots-2006x^{3} +2007x^2-$ $2008x + 2009$ 
untuk sembarang bilangan real $x$.

Pembahasan

Perhatikanlah bahwa ternyata fungsi di atas dapat ditulis kembali menjadi
$$\begin{aligned} f(x) & = x^{2006}(x-1)^2 + 2x^{2004}(x-1)^2 \\ & + 3x^{2002}(x-1)^2 + \cdots + 1004(x-1)^2 + 1005 \end{aligned}$$
Bilangan kuadrat tidak pernah menghasilkan bilangan negatif, sehingga $f(x)$ akan minimum saat $x = 1$ karena nilai minimum bentuk kuadrat adalah 0. Dengan demikian, didapat
$\boxed{f(1) = 0 + 0 + \cdots + 0 + 1005 = 1005}$
Jadi, nilai minumum yang mungkin dari $f(x)$ adalah $1005$.

[collapse]

Soal Nomor 13
Nilai minimum dari fungsi
$f(x) = \dfrac{9x^2 \sin^2 x + 4}{x \sin x}$ untuk $0 < x < \pi$
adalah $\cdots \cdot$

Pembahasan

Perhatikanlah bahwa fungsi di atas dapat ditulis menjadi
$f(x) = 9x \sin x + \dfrac{4}{x \sin x}$
Dengan menggunakan Ketaksamaan Rataan Aritmetik-Geometrik (AM-GM), diperoleh
$\begin{aligned} 9x \sin x+\dfrac{4}{x \sin x} & \geq 2\sqrt{9x \sin x \times \dfrac{4}{x \sin x}} \\ & = 2\sqrt{36} = 12 \end{aligned}$
Jadi, nilai minimum dari fungsi tersebut adalah $12$.

[collapse]

Soal Nomor 14
Suatu fungsi $f: \mathbb{Z} \mapsto \mathbb{Q}$ mempunyai rumus
$f(x+1)= \dfrac{1+ f(x)} {1-f(x)}$
untuk setiap $x \in \mathbb{Z}$. Jika $f(2)=2$, maka tentukan $f(2009)$.

Pembahasan

Diketahui $f(2) = 2$.
Misalkan $x = 2$, diperoleh
$\begin{aligned} & f(2+1) = \dfrac{1 + f(2)} {1-f(2)} \\ & \Leftrightarrow f(3)= \dfrac{1+2}{1-2} =-3 \end{aligned}$
Misalkan $x = 3$, diperoleh
$\begin{aligned} & f(3+1) = \dfrac{1 + f(3)} {1-f(3)} \\ & \Leftrightarrow f(4)= \dfrac{1-3}{1+3} =-\dfrac{1}{2} \end{aligned}$
Misalkan $x = 4$, diperoleh
$\begin{aligned} & f(4+1) = \dfrac{1 + f(4)} {1-f(4)} \\ &  \Leftrightarrow f(5)= \dfrac{1-\dfrac{1}{2}}{1+\dfrac{1}{2}} = \dfrac{1}{3} \end{aligned}$
Misalkan $x = 5$, diperoleh
$\begin{aligned} f(5+1) & = \dfrac{1 + f(5)} {1-f(5)} \\ & \Leftrightarrow f(6)= \dfrac{1+\dfrac{1}{3}}{1-\dfrac{1}{3}} = 2 \end{aligned}$
Kita dapatkan $f(2) = f(6) = 2$.
Ini menunjukkan bahwa nilai fungsi ini memiliki pola yang berperiodik setiap 4 selang (mulai dari $x = 4$):
$-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, 2,-3,-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \cdots$
Karena $2009 = 4 \times 502 + 1$ dan dengan menggunakan pola yang didapat itu, maka
$\boxed{f(2009) = f(5) = \dfrac{1}{3}} $
Jadi, nilai dari $f(2009)$ adalah $\dfrac{1}{3}$.

[collapse]

Soal Nomor 15
Jika $f(x+1) = f(x)+3x+1$ dan $f(1)=1$, maka nilai $f(5)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $5$                       C. $22$                     E. $40$
B. $12$                     D. $35$

Pembahasan

Diketahui $f(x+1) = f(x)+3x+1$.
Karena $f(1) = 1$, maka substitusi $x = 1$ pada persamaan fungsi di atas menghasilkan
$\begin{aligned} f(\color{red}{1}+1) & = f(\color{red}{1})+3(\color{red}{1})+1 \\ f(2) & = 1 + 3 + 1 = 5 \end{aligned}$
Selanjutnya, substitusi $x = 2$ pada persamaan fungsi.
$\begin{aligned} f(\color{red}{2}+1) & = f(\color{red}{2})+3(\color{red}{2})+1 \\ f(3) & = 5 + 6 + 1 = 12 \end{aligned}$
Berikutnya, substitusi $x = 3$ pada persamaan fungsi.
$\begin{aligned} f(\color{red}{3}+1) & = f(\color{red}{3})+3(\color{red}{3})+1 \\ f(4) & = 12 + 9 + 1 = 22 \end{aligned}$
Terakhir, substitusi $x = 4$ pada persamaan fungsi.
$\begin{aligned} f(\color{red}{4}+1) & = f(\color{red}{4})+3(\color{red}{4})+1 \\ f(5) & = 22 + 12 + 1 = 35 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{f(5) = 35}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 16
Misalkan $\mathbb{R}$ menyatakan himpunan bilangan real, $A = \mathbb{R}- \{3\}$, dan $B = \mathbb{R}- \{1\}$.
Misalkan fungsi $f: A \mapsto B$ didefinisikan $f(x) = \dfrac{x- 2}{x- 3}$.

  1. Tunjukkan bahwa $f$ merupakan fungsi bijektif.
  2. Tentukan rumus untuk $f^{-1}$ (invers fungsi $f$).  
  3. Apakah $f^{-1}$ merupakan fungsi invers?

Pembahasan

Jawaban a)
Agar suatu fungsi disebut bijektif, maka fungsi itu harus injektif dan surjektif.
Suatu fungsi dikatakan injektif jika berlaku: $f(x) = f(y) \Rightarrow x = y$, untuk sembarang $x, y \in A$.
Suatu fungsi dikatakan surjektif jika ada $b \in B$ sedemikian sehingga $f(a) = b$ dengan $a \in A$.
Akan ditunjukkan bahwa fungsi itu injektif sebagai berikut.
Ambil $x, y \in A$ sehingga berlaku
$\begin{aligned}f(x) & = f(y) \\ \dfrac{x- 2}{x- 3} & = \dfrac{y- 2}{y-3} \\ (x- 2)(y- 3) & = (x- 3)(y- 2)\\ xy- 3x- 2y + 6 & = xy- 2x- 3y + 6 \\ x = y \end{aligned}$
Jadi, fungsi itu injektif.
Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa fungsi itu surjektif sebagai berikut.
Menunjukkan $f$ surjektif berarti semua anggota $B$ (kodomain) memiliki pasangan dengan anggota $A$ (domain). Ambil sembarang $t \in B$, maka kita harus menentukan pasangan $t$ di $A$. 
$\begin{aligned} & f(x) = t = \dfrac{x-2}{x-3} \\ & t(x- 3)= x-2 \\ & tx- x =-2 + 3t \\ & x(t- 1) =-2 + 3t \\ & x = \dfrac{3t- 2}{t- 1} \end{aligned}$
Jadi, pasangan $t$ adalah $\dfrac{3t-2}{t-1}$. Karena $t$ diambil sembarang dan $t \neq 1$ (himpunan $B$ tidak memuat 1), maka $f$ surjektif.
Oleh karena $f$ injektif dan surjektif, maka $f$ adalah fungsi bijektif.
Jawaban b) 
$f^{-1}(x) =\dfrac{3t-2}{t-1}, \forall t \in B$
Jawaban c) 
Karena $f$ fungsi bijektif, maka $f$ memiliki invers dan ini berarti $f^{-1}$ adalah fungsi invers.

[collapse]

Soal Nomor 17
Misalkan $\mathbb{R}$ adalah himpunan bilangan real dan fungsi $f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ didefinisikan
$f(x) = \begin{cases} x^2- 2, & \text{jika}~x \geq 2 \\ x + 2, & \text{jika}~x < 2 \end{cases}$
Apakah $f$ injektif, surjektif, atau bijektif?

Pembahasan

Karena $f$ adalah fungsi parsial (piecewise function), maka untuk menunjukkan $f$ injektif dan surjektif, harus dibagi menjadi 2 kasus. 
i) Akan ditunjukkan $f$ injektif
Ambil $x, y \in \mathbb{R}, x, y \geq 2$, sehingga
$\begin{aligned} f(x) & = f(y) \\ x^2-2 & = y^2- 2\\ x^2 & = y^2 \\ x & = y \end{aligned}$
Perhatikan bahwa $x, y \geq 2$ (positif), sehingga $x \neq-y$ (tidak mungkin negatif). 
Ambil $x, y \in \mathbb{R}, x, y < 2$, sehingga
$\begin{aligned} f(x) & = f(y) \\ x + 2 & = y + 2 \\ x & = y \end{aligned}$
Jadi, $f$ injektif (dari kedua kasus).
ii) Akan ditunjukkan $f$ surjektif

Ambil $t \in \mathbb{R}$. Akan dicari $x \in \mathbb{R}, x \geq 2$ sehingga $f(x) = t$. 
$\begin{aligned} f(x) = x^2- 2 & = t \\ x & = \sqrt{t+2} \end{aligned}$
Sekarang, akan dicari $x \in \mathbb{R}, x < 2$, sehingga $f(x) = t$. 
$\begin{aligned} f(x) & = x + 2 = t \\ x & = t- 2 \end{aligned}$
Dari sini, terbukti bahwa $f$ surjektif. 
Oleh karena $f$ injektif dan surjektif, maka $f$ adalah fungsi bijektif.

[collapse]

Soal Nomor 18 (Soal Prediksi UNBK SMP Versi HOTS)
Diketahui $f(x)$ adalah suatu fungsi yang memenuhi $f(x+y) = x + f(y)$ dan $f(0)=2$. Nilai dari $f(2019)$ adalah $\cdots$
A. $2018$                    C. $2020$
B. $2019$                    D. $2021$

Pembahasan

Diketahui $f(0)=2$. 
Substitusikan $y = 0$ pada rumus fungsinya. 
$\begin{aligned} f(x+y) & = x + f(y) \\ f(x+0) & = x + f(0) \\ f(x) & = x + 2 \end{aligned}$
Selanjutnya, substitusikan $x=2019$ pada rumus fungsi $f(x) =x+2$. 
$\begin{aligned} f(x) =x+2 \implies f(2019) & =2019+2 \\ & =2021 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $f(2019)$ adalah $\boxed{2021}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 19
Suatu fungsi ditentukan dengan rumus
$f(x) = \begin{cases} 2x+1, &\text{untuk}~x~\text{genap} \\ 2x-1, &\text{untuk}~x~\text{ganjil} \end{cases}$
Jika $a$ adalah bilangan asli, nilai yang tidak mungkin untuk $f(a)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $21$                      C. $61$
B. $39$                      D. $77$

Pembahasan

Untuk $x$ genap, dapat ditulis $x = 2n$ untuk $n$ bilangan bulat. Dengan demikian, rumus fungsinya dinyatakan oleh
$f(2n) = 2(2n)+1 = 4n+1$
Untuk $x$ ganjil, dapat ditulis $x = 2n+1$ untuk $n$ bilangan bulat. Dengan demikian, rumus fungsinya dinyatakan oleh
$f(2n+1) = 2(2n+1)-1 = 4n+1$
Jadi, baik $x$ genap maupun ganjil, nilai fungsinya selalu berbentuk $4n+1$.
Perhatikan bahwa,
$\begin{aligned} 21 & = 4(5) + 1 \\ 61 & = 4(15)+1 \\ 77 & = 4(19)+1 \end{aligned}$
sehingga nilai $f(a)$ yang tidak mungkin adalah $\boxed{39}$.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 20
Gambarkan grafik fungsi $f(x) = \dfrac{x+2}{x-5}$, kemudian tentukan daerah asal dan rangenya!

Pembahasan

Sketsakan titik-titik yang dilalui grafik fungsi tersebut dengan menggunakan tabel seperti di bawah.
$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x &-2 & 6 & 12 \\ \hline f(x) & 0 & 8 & 2 \\ \hline (x, f(x)) & (-2,0) & (6,8) & (12,2) \\ \hline \end{array}$
Asimtot datar ditentukan dari hasil bagi koefisien $x$ pada pembilang terhadap koefisien $x$ pada penyebut, yaitu
$\begin{aligned} y & = \dfrac{\text{Koefi}\text{sien}~x~\text{pada pem}\text{bilang}}{\text{Koefi}\text{sien}~x~\text{pada pen}\text{yebut}} \\ & = \dfrac{1}{1} = 1 \end{aligned}$

Asimtot tegak: $x = 5$
(ini dapat dilihat dari penyebutnya yang tidak boleh bernilai $0$).

Gambar grafik fungsinya sebagai berikut.




Daerah asal fungsi adalah $D_f = \{x~|~x \neq 5\}$.
Daerah hasil (range) fungsi adalah $R_f = \{y~|~y \neq 1\}$

[collapse]

Soal Nomor 21
Jika $f(x+x^{-1}) = x^3+x^{-3}$, tentukan $f(x)$.

Pembahasan

Perhatikan bahwa untuk setiap $a, b$ bilangan real, berlaku
$(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
Pilih $a = x$ dan $b = x^{-1}$ sehingga didapat
$$\begin{aligned} (x+x^{-1})^3 & = (x)^3+3(x)^2(x^{-1})+3(x)(x^{-1})^2+(x^{-1})^3 \\ & = x^3+3x+3x^{-1}+x^{-3} \\ & = (x^3+x^{-3})+3(x+x^{-1}) \\ x^3+x^{-3} & = (x+x^{-1})^3-3(x+x^{-1}) \end{aligned}$$Karena diketahui $f(x+x^{-1}) = x^3+x^{-3}$, maka
$f(x+x^{-1}) = (x+x^{-1})^3-3(x+x^{-1})$
Tetapkan $x + x^{-1} = u$ sehingga dapat ditulis $f(u) = u^3-3u$.
Substitusikan kembali $u = x$ dan diperoleh $\boxed{f(x) = x^3-3x}$

[collapse]

CategoriesFungsiTags, , , , , , ,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *