Soal dan Pembahasan – Fungsi (Tingkat Lanjut)

Berikut ini adalah soal-soal (disertai pembahasan) tentang fungsi (function) tingkat lanjut. Sumbernya berasal dari soal-soal perkuliahan, olimpiade tingkat SMP/SMA, dan sebagainya.

Soal Nomor 1
Misalkan \mathbb{Z} adalah himpunan semua bilangan bulat. Didefinisikan suatu aturan pengawanan f: \mathbb{Z} \mapsto \mathbb{Z} dengan rumus (\forall x \in \mathbb{Z}) f(x) = 2x^2 - 2.
a) Selidiki apakah f fungsi dari \mathbb{Z} ke \mathbb{Z}
b) Jika f suatu fungsi, apakah f merupakan fungsi injektif (1-1)?

Penyelesaian

Jawaban a)
f adalah fungsi yang memetakan bilangan bulat ke bilangan bulat. Kebenaran pernyataan ini dapat diidentifikasi dengan melihat rumus fungsinya, yaitu f(x) = 2x^2 - 2. Jika x bulat, maka x^2 juga bulat dan bila dikali 2, kemudian dikurang 2, hasilnya tetap bulat, karena perkalian dan pengurangan bilangan bulat bersifat tertutup.
Jawaban b)
Syarat suatu fungsi dengan a, b \in \mathbb{D} dikatakan injektif: jika f(a) = f(b), maka a = b.
Diketahui:
f(a) = 2a^2 - 2 dan f(b) = 2b^2-2
Karena f(a) = f(b), maka dapat ditulis
\begin{aligned} 2a^2 - 2 & = 2b^2 - 2 \\ 2a^2 & = 2b^2 \\  a^2 & = b^2 \\ a & = \pm b \end{aligned}
Oleh karena f(a) \neq f(b) jika diambil a = -b, maka fungsi f tidak injektif.
Catatan:
\bigstar Jangan langsung “menghilangkan” pangkat dua (mengakarkuadratkan kedua ruas) pada bentuk a^2 = b^2. Hal ini kadang tidak menimbulkan masalah untuk kasus tertentu, tetapi kadang pula juga menimbulkan kekeliruan, bahkan fallacy.
\bigstar simbol \mathbb{D} menyatakan himpunan anggota domain fungsi.

[collapse]

Soal Nomor 2
Diberikan
f\left(\dfrac{2x+2}{3x-4}\right) = 5x
Tentukan f(x).

Penyelesaian

Misalkan y = \dfrac{2x+2}{3x-4}
Buat x sebagai subjek persamaan sebagai berikut.
\begin{aligned} y & = \dfrac{2x+2}{3x-4} \\ 3xy - 4y & = 2x+2 \\ 3xy - 2x & = 4y + 2 \\ x(3y - 2) & = 4y + 2 \\ x & = \dfrac{4y+2}{3y-2} \end{aligned}
Dengan demikian, dapat ditulis
\begin{aligned} f\left(\dfrac{2x+2}{3x-4}\right) & = 5x \\ f(y) & = 5\left(\dfrac{4y+2}{3y-2}\right) \\ f(y) & = \dfrac{20y + 10}{3y - 2} \end{aligned}
Dengan mengganti y sebagai x, kita peroleh
\boxed{f(x) = \dfrac{20x+10}{3x-2}}

[collapse]

Soal Nomor 3
Jika f(x) = \dfrac{x}{x-1}, maka f(3x) dapat dinyatakan dalam f(x), yaitu \cdots

Penyelesaian

Diketahui f(x) = \dfrac{x}{x-1}, sehingga
\begin{aligned} f(3x) & = \dfrac{3x} {3x - 1} = \dfrac{3x} {3x-1} \times \dfrac{\dfrac{1}{x-1}} {\dfrac{1}{x-1}} \\ & = \dfrac{\dfrac{3x} {x-1}} {\dfrac{3x-1}{x-1}} = \dfrac{3\left(\dfrac{x} {x-1}\right)} {\dfrac{2x +x - 1}{x-1}} \\ & = \dfrac{3\left(\dfrac{x} {x-1}\right)} {\dfrac{2x} {x-1} + \dfrac{x-1}{x-1}} = \dfrac{3\left(\dfrac{x} {x-1}\right)} {2\left(\dfrac{x}{x-1}\right) + 1} = \dfrac{3f(x)} {2f(x) + 1} \end{aligned}
Jadi, f(3x) dapat dinyatakan dalam f(x) sebagai berikut.
\boxed{f(3x) = \dfrac{3f(x)} {f(x) +1}}

[collapse]

Soal Nomor 4
Jika f adalah fungsi yang memenuhi
f\left(\dfrac{1}{x} \right) + \dfrac{1}{x} f(-x) = 2x
untuk setiap bilangan real x \neq 0, tentukan nilai f(2).

Penyelesaian

Ambil x = -2, sehingga diperoleh
f\left(-\dfrac{1}{2}\right) - \dfrac{1}{2}f(2) = -4~~~~~\bigstar
Sekarang, ambil x = \dfrac{1}{2}, diperoleh
f(2) + 2f\left(-\dfrac{1}{2}\right) = 1~~~~\bigstar \bigstar
Diperoleh sistem persamaan linear dua variabel. Variabel yang dimaksud adalah f\left(-\dfrac{1}{2}\right) dan f(2). Karena nilai f(2) yang akan dicari, kita hanya perlu mengeliminasi f\left(-\dfrac{1}{2}\right) dengan menggunakan metode eliminasi.
Kalikan 2 pada persamaan \bigstar, kemudian kurangi hasilnya dengan persamaan \bigstar \bigstar untuk memperoleh
\begin{aligned} -f(2) - f(2) & = -8 - 1 \\ -2f(2) & = -9 \\ f(2) & = \dfrac{9}{2} \end{aligned}
Jadi, nilai dari f(2) adalah \dfrac{9}{2}.

[collapse]

Soal Nomor 5
Jika f(xy) = f(x + y) dan f(7) = 7, maka f(1008) = \cdots

Penyelesaian

Misalkan diambil x = n dan y = 1, didapat
f(n \times 1) = f(n) = f(n + 1)
Karena f(7) = 7, maka
f(7) = f(8) = f(9) = \cdots = f(1008) = 7
Jadi, nilai dari f(1008) adalah 7.

[collapse]

Soal Nomor 6
Misalkan f adalah fungsi yang memenuhi f(x) f(y) - f(xy) = x + y untuk setiap bilangan bulat positif x dan y. Berapakah nilai f(2004)?

Penyelesaian

Misalkan dipilih x = 2004 dan y = 0, didapat
\begin{aligned} f(2004)f(0) - f(2004 \times 0) & = 2004 + 0 \\ f(2004)f(0) - f(0) & = 2004~~~~\bigstar \end{aligned}
Dari bentuk di atas, kita mengetahui bahwa untuk mendapatkan nilai dari f(2004), kita harus mencari nilai f(0) terlebih dahulu.
Sekarang, misalkan diambil x = 0 dan y = 0, didapat
\begin{aligned} f(0)f(0) - f(0) & = 0 + 0 \\ f(0)(f(0) - 1) & = 0 \end{aligned}
Didapat nilai f(0)=0 atau f(0)=1. Suatu fungsi tidak mungkin memiliki nilai yang berbeda pada anggota domain yang sama (berdasarkan definisi fungsi) .Oleh karena itu, perlu dilakukan pemeriksaan lain.
Selanjutnya, ambil x = 1 dan y = 0, didapat
\begin{aligned} f(1)f(0) - f(0) & = 1 + 0 \\ f(0)(f(1) - 1) & = 1 \end{aligned}
Misalkan dipilih f(0) = 0, maka persamaan itu tidak akan pernah terpenuhi (perkalian 0 dengan berapapun akan menghasilkan 0, tidak mungkin 1). Jika diambil f(0) = 1, djperoleh f(1) = 2 agar persamaan itu terpenuhi. Ini berarti,nilai f(0) adalah 1.
Kembali ke \bigstar, substitusikan f(0)= 1, didapat
\begin{aligned} f(2004) \times 1 - 1 & = 2004 \\ f(2004) & = 2005\end{aligned}
Jadi, nilai f(2004) adalah 2005.

[collapse]

Soal Nomor 7
Dimisalkan bahwa f(x) = x^5 + ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e dan f(1) = f(2) = f(3) = f(4) = f(5). Tentukan nilai a.

Penyelesaian

Misalkan
f(1) = f(2) = f(3) = f(4) = f(5) = k.
Buatlah fungsi baru g, yaitu
\begin{aligned} g(x) & = x^5 + ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e - k \\ & = f(x) - k \end{aligned}
Dari bentuk g(x) = f(x) - k, kita mendapatkan bahwa x = 1,2,3,4,5 akan membuat g(x) = 0. Sebagai contoh, ambil x = 1, berarti g(1) = f(1) - k = k - k = 0 (ingat bahwa f(1) = k).
Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa 1, 2, 3,4,5 adalah akar-akar (pembuat nol) dari g(x).
Selanjutnya, dengan menggunakan
Teorema Vieta dengan x_1, x_2, \cdots, x_5 sebagai akarnya, diperoleh
\begin{aligned} x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 & = -\dfrac{\text{koefisien}~x^5}{\text{koefisien}~x^4} \\ 1+2+3+4+5 & = -\dfrac{a} {1} \\ a & = -15 \end{aligned}
Jadi, nilai a adalah -15.

[collapse]

Soal Nomor 8
Tentukan nilai terkecil yang mungkin dari fungsi
\begin{aligned} f(x) & = x^{2008} - 2x^{2007} + 3x^{2006} - 4x^{2005} + \\ & 5x^{2004} - \cdots - 2006x^{3} + 2007x^2 - 2008x + 2009 \end{aligned} 
untuk sembarang bilangan real x.

Penyelesaian

Perhatikanlah bahwa ternyata fungsi di atas dapat ditulis kembali menjadi
\begin{aligned} f(x) & = x^{2006}(x-1)^2 + 2x^{2004}(x-1)^2 \\ & + 3x^{2002}(x-1)^2 + \cdots + 1004(x-1)^2 + 1005 \end{aligned}
Bilangan kuadrat tidak pernah menghasilkan bilangan negatif, sehingga f(x) akan minimum saat x = 1 karena nilai minimum bentuk kuadrat adalah 0. Dengan demikian, didapat
\boxed{f(1) = 0 + 0 + \cdots + 0 + 1005 = 1005}
Jadi, nilai minumum yang mungkin dari f(x) adalah 1005.

[collapse]

Soal Nomor 9
Nilai minimum dari fungsi
f(x) = \dfrac{9x^2 \sin^2 x + 4}{x \sin x} untuk 0 < x < \pi
adalah \cdots

Penyelesaian

Perhatikanlah bahwa fungsi di atas dapat ditulis menjadi
f(x) = 9x \sin x + \dfrac{4}{x \sin x}
Dengan menggunakan Ketaksamaan Rataan Aritmetik-Geometrik (AM-GM), diperoleh
\begin{aligned} 9x \sin x+\frac{4}{x \sinx} & \geq 2\sqrt{9x \sin x \times \dfrac{4}{x \sin x} \\ & = 2\sqrt{36} = 12 \end{aligned}
Jadi, nilai minimum dari fungsi tersebut adalah 12.

[collapse]

Soal Nomor 10
Suatu fungsi f: \mathbb{Z} \mapsto \mathbb{Q} mempunyai rumus
f(x+1)= \dfrac{1+ f(x)} {1-f(x)}
untuk setiap x \in \mathbb{Z}. Jika f(2)=2, maka tentukan f(2009).

Penyelesaian

Diketahui f(2) = 2.
Misalkan x = 2, diperoleh
f(2+1) = \dfrac{1 + f(2)} {1-f(2)} \Leftrightarrow f(3)= \dfrac{1+2}{1-2} = -3
Misalkan x = 3, diperoleh
f(3+1) = \dfrac{1 + f(3)} {1-f(3)} \Leftrightarrow f(4)= \dfrac{1-3}{1+3} = -\dfrac{1}{2}
Misalkan x = 4, diperoleh
f(4+1) = \dfrac{1 + f(4)} {1-f(4)} \Leftrightarrow f(5)= \dfrac{1-\dfrac{1}{2}}{1+\dfrac{1}{2}} = \dfrac{1}{3}
Misalkan x = 5, diperoleh
f(5+1) = \dfrac{1 + f(5)} {1-f(5)} \Leftrightarrow f(6)= \dfrac{1+\dfrac{1}{3}}{1-\dfrac{1}{3}} = 2
Kita dapatkan f(2) = f(6) = 2.
Ini menunjukkan bahwa nilai fungsi ini memiliki pola yang berperiodik setiap 4 selang (mulai dari x = 4):
-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, 2, -3, -\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \cdots
Karena 2009 = 4 \times 502 + 1 dan dengan menggunakan pola yang didapat itu, maka
\boxed{f(2009) = f(5) = \dfrac{1}{3}}
Jadi, nilai dari f(2009) adalah \dfrac{1}{3}.

[collapse]

Soal Nomor 11
Misal diberikan fungsi f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R} dengan f(1)=1 dan untuk sembarang x \in \mathbb{R} memenuhi f(x+5) \geq f(x) + 5 dan f(x+1) \leq f(x) + 1. Jika g(x) = f(x) - x + 1, maka tentukanlah g(2012).

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 12
Misalkan \mathbb{R} menyatakan himpunan bilangan real, A = \mathbb{R} - \{3\}, dan B = \mathbb{R} - \{1\}.
Misalkan fungsi f: A \mapsto B didefinisikan
f(x) = \dfrac{x - 2}{x - 3}
a) Tunjukkan bahwa f merupakan fungsi bijektif.
b) Tentukan rumus untuk f^{-1} (invers fungsi f).
c) Apakah f^{-1} merupakan fungsi invers?

Penyelesaian

Jawaban a)
Agar suatu fungsi disebut bijektif, maka fungsi itu harus injektif dan surjektif.
Suatu fungsi dikatakan injektif jika berlaku: f(x) = f(y) \Rightarrow x = y, untuk sembarang x, y \in A.
Suatu fungsi dikatakan surjektif jika ada b \in B sedemikian sehingga f(a) = b dengan a \in A.
Akan ditunjukkan bahwa fungsi itu injektif sebagai berikut.
Ambil x, y \in A sehingga berlaku
\begin{aligned}f(x) & = f(y) \\ \dfrac{x - 2}{x - 3} & = \dfrac{y - 2}{y-3} \\ (x - 2)(y - 3) & = (x - 3)(y - 2)\\ xy - 3x - 2y + 6 & = xy - 2x - 3y + 6 \\ x = y \end{aligned}
Jadi, fungsi itu injektif.
Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa fungsi itu surjektif sebagai berikut.
Menunjukkan f surjektif berarti semua anggota B (kodomain) memiliki pasangan dengan anggota A (domain). Ambil sembarang t \in B, maka kita harus menentukan pasangan t di A
\begin{aligned} & f(x) = t = \dfrac{x-2}{x-3} \\ & t(x - 3)= x -2 \\ & tx - x = -2 + 3t \\ & x(t - 1) = -2 + 3t \\ & x = \dfrac{3t - 2}{t - 1} \end{aligned}
Jadi, pasangan t adalah \dfrac{3t-2}{t-1}. Karena t diambil sembarang dan t \neq 1 (himpunan B tidak memuat 1), maka f surjektif.
Oleh karena f injektif dan surjektif, maka f adalah fungsi bijektif.
Jawaban b) 
f^{-1}(x) =\dfrac{3t-2}{t-1}, \forall t \in B
Jawaban c) 
Karena f fungsi bijektif, maka f memiliki invers dan ini berarti f^{-1} adalah fungsi invers.

[collapse]

Soal Nomor 13
Misalkan \mathbb{R} adalah himpunan bilangan real dan fungsi f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R} didefinisikan
f(x) = \begin{cases} x^2 - 2, & \text{jika}~x \geq 2 \\ x + 2, & \text{jika}~x < 2 \end{cases}
Apakah f injektif, surjektif, atau bijektif?

Penyelesaian

Karena f adalah fungsi parsial (piecewise function), maka untuk menunjukkan f injektif dan surjektif, harus dibagi menjadi 2 kasus. 
i) Akan ditunjukkan f injektif
Ambil x, y \in \mathbb{R}, x, y \geq 2, sehingga
\begin{aligned} f(x) & = f(y) \\ x^2-2 & = y^2 - 2\\ x^2 & = y^2 \\ x & = y \end{aligned}
Perhatikan bahwa x, y \geq 2 (positif), sehingga x \neq -y (tidak mungkin negatif). 
Ambil x, y \in \mathbb{R}, x, y < 2, sehingga
\begin{aligned} f(x) & = f(y) \\ x + 2 & = y + 2 \\ x & = y \end{aligned}
Jadi, f injektif (dari kedua kasus).
ii) Akan ditunjukkan f surjektif

Ambil t \in \mathbb{R}. Akan dicari x \in \mathbb{R}, x \geq 2 sehingga f(x) = t
\begin{aligned} f(x) = x^2 - 2 & = t \\ x & = \sqrt{t+2} \end{aligned}
Sekarang, akan dicari x \in \mathbb{R}, x < 2, sehingga f(x) = t
\begin{aligned} f(x) & = x + 2 = t \\ x & = t - 2 \end{aligned}
Dari sini, terbukti bahwa f surjektif. 
Oleh karena f injektif dan surjektif, maka f adalah fungsi bijektif.

[collapse]

 

Ayo Beri Rating Postingan Ini

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *