Soal dan Pembahasan – Teorema Pythagoras

Teorema Pythagoras merupakan teorema yang sangat tenar dalam matematika. Berdasarkan namanya, teorema ini dicetuskan oleh Pythagoras, seorang ilmuwan legendaris dari Yunani Kuno.

Teorema Pythagoras

Kuadrat panjang sisi miring (hipotenusa) dari segitiga siku-siku adalah jumlah kuadrat dari dua panjang sisi lainnya.

Untuk memahami lebih lanjut mengenai penggunaan teorema ini dalam menyelesaikan soal, silakan cermati soal dan pembahasan berikut.

Soal Nomor 1
Perhatikan gambar!


Panjang $BC$ adalah …
A. $3~\text{cm}$                 C. $8~\text{cm}$
B. $6~\text{cm}$                 D. $9~\text{cm}$

Penyelesaian

Segitiga $ABC$ merupakan segitiga siku-siku sehingga berlaku Teorema Pythagoras.
Cara 1: Standar
$\begin{aligned} BC & = \sqrt{AB^2 – AC^2} \\ & = \sqrt{15^2-12^2} \\ & = \sqrt{225-144} = \sqrt{81} = 9~\text{cm} \end{aligned}$
Cara 2: Kelipatan
Karena $12$ dan $15$ dapat dibagi $3$ dan hasilnya menjadi $4$ dan $5$, maka dengan Teorema Pythagoras,
$x = \sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt9=3$
sehingga
$BC = 3x = 3(3) = 9~\text{cm}$
Jadi, panjang $BC$ adalah $\boxed{9~\text{cm}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Quote by Wilson Kanadi

Cara termudah jadi pandai adalah belajar dari hal terbodoh yang pernah kita lakukan.

Soal Nomor 2
Berikut ini adalah ukuran sisi-sisi dari empat buah segitiga:
1. $3$ cm, $4$ cm, $5$ cm
2. $7$ cm, $8$ cm, $9$ cm
3. $5$ cm, $12$ cm, $15$ cm
4. $7$ cm, $24$ cm, $25$ cm
Segitiga yang berbentuk segitiga siku-siku ditunjukkan oleh nomor …
A. $1$ dan $2$                 C. $2$ dan $3$
B. $1$ dan $3$                 D. $1$ dan $4$

Penyelesaian

Apabila 3 bilangan yang mewakili panjang sisi segitiga memenuhi rumus Pythagoras $a^2+b^2=c^2$ dengan $c$ sebagai panjang sisi terpanjang (hipotenusa), maka segitiga itu merupakan segitiga siku-siku.
Cek pernyataan 1:
$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$
(Segitiga siku-siku)
Cek pernyataan 2:
$7^2 + 8^2 = 49+64 = 113 > 9^2 = 81$
(Bukan segitiga siku-siku melainkan segitiga lancip)
Cek pernyataan 3:
$5^2+12^2 = 25+144=169 < 15^2=225$
(Bukan segitiga siku-siku melainkan segitiga tumpul)
Cek pernyataan 4:
$7^2+24^2 = 49+576=625 = 25^2$
(Segitiga siku-siku)
Jadi, segitiga yang berbentuk segitiga siku-siku ditunjukkan oleh nomor 1 dan 4 (Jawaban D).

[collapse]

Soal Nomor 3
Pada gambar berikut, panjang $FL = 12~\text{cm}$ dan $FM = DE = 16~\text{cm}$. Keliling bangun tersebut adalah …

A. $78~\text{cm}$                  C. $86~\text{cm}$

B. $80~\text{cm}$                  D. $92~\text{cm}$

Penyelesaian

Pertama, harus dicari panjang $FK$ terlebih dahulu. Karena segitiga $EDK$ merupakan segitiga siku-siku, maka berlaku Teorema Pythagoras.
$\begin{aligned} DK & = \sqrt{EK^2 – ED^2} \\ & = \sqrt{20^2-16^2} \\ & =\sqrt{400-256} \\ & = \sqrt{144} = 12~\text{cm} \end{aligned}$
Dengan demikian, $FK = DK – DF = 12 – 8 = 4~\text{cm}$
Keliling bangun tersebut adalah
$\begin{aligned} k & = ED + DM + ML + LF + FK + KE \\ & = 16 + 8 + 20 + 12 + 4 + 20 \\ & = 80~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, keliling bangun tersebut adalah $\boxed{80~\text{cm}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 4
Perhatikan gambar berikut!

Diketahui $CD = 8$ cm dan $AD = 17$ cm. Panjang $AB$ adalah …
A. $7~\text{cm}$             C. $5~\text{cm}$
B. $6~\text{cm}$             D. $4~\text{cm}$

Penyelesaian

Karena $\triangle ACD$ siku-siku, maka berlaku Teorema Pythagoras untuk mencari panjang $AC$, yakni
$\begin{aligned} AC & = \sqrt{AD^2 – CD^2} \\ & = \sqrt{17^2-8^2} \\ & =\sqrt{289-64} \\ & = \sqrt{225} = 15~\text{cm} \end{aligned}$
Dari gambar, diketahui bahwa $CD = CB = 8~\text{cm}$, sehingga
$\begin{aligned} AB & = AC – CB \\ & = 15~\text{cm} – 8~\text{cm} = 7~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang $AB$ adalah $\boxed{7~\text{cm}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 5
Perhatikan gambar trapesium berikut!

Panjang $BC$ adalah …

A. $23~\text{cm}$             C. $16~\text{cm}$
B. $17~\text{cm}$             D. $15~\text{cm}$

Penyelesaian

Tariklah garis $CE$ seperti gambar berikut.

Diketahui panjang $CE = AD = 15~\text{cm}$ dan panjang $EB = AB – EA = 33 – 25 = 8~\text{cm}$
Segitiga $CEB$ merupakan segitiga siku-siku.
Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned}BC & = \sqrt{EB^2 + CE^2} \\ & = \sqrt{8^2 + 15^2} \\ & = \sqrt{64+225} \\ & = \sqrt{289} = 17~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang $BC$ adalah $\boxed{17~\text{cm}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 6
Perhatikan gambar!

Luas daerah segienam itu adalah …

A. $188~\text{cm}^2$             C. $242~\text{cm}^2$
B. $216~\text{cm}^2$             D. $266~\text{cm}^2$

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Dari gambar, $ABCH$ merupakan persegi dengan panjang sisi $6~\text{cm}$ sehingga luasnya adalah
$L_{ABCH} = 6 \times 6 = 36~\text{cm}^2$
$CDGH$ merupakan trapesium sama kaki yang tingginya belum diketahui. Perhatikan segitiga siku-siku $CDE$. $CE$ merupakan tinggi trapesium sekaligus tinggi segitiga yang dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras.
$\begin{aligned} t = CE & = \sqrt{CD^2 – DE^2} \\ & = \sqrt{15^2 – 9^2} \\ & = \sqrt{225-81} \\ & = \sqrt{144} = 12~\text{cm} \end{aligned}$
Dengan demikian, luas trapesium $CDGH$ adalah

$\begin{aligned} L_{CDGH} & = \dfrac{GD + HC}{2} \times t \\ & = \dfrac{24 + 6}{\cancel{2}} \times \cancelto{6}{12} \\ & = 30 \times 6 = 180~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Jadi, luas daerah segienam itu dapat ditentukan dengan menjumlahkan luas persegi dan trapesium, yaitu
$\boxed{\begin{aligned} L_{ABCDGH} & = L_{ABCH} + L_{CDGH} \\ & = 36 + 180 = 216~\text{cm}^2 \end{aligned}}$ 
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 7
Perhatikan gambar berikut!

Panjang sisi $BC$ adalah …
A. $16~\text{cm}$                C. $13~\text{cm}$
B. $15~\text{cm}$                D. $12~\text{cm}$

Penyelesaian

Perhatikan segitiga siku-siku $ACD$. Panjang $AC$ dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras.
$\begin{aligned} AC & = \sqrt{AD^2 – CD^2} \\ & = \sqrt{17^2-8^2} \\ & = \sqrt{289-64} = \sqrt{225} = 15~\text{cm} \end{aligned}$
Selanjutnya, perhatikan segitiga siku-siku $ABC$. Panjang $BC$ dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras.

$\begin{aligned} BC & = \sqrt{AC^2 – AB^2} \\ & = \sqrt{15^2-9^2} \\ & = \sqrt{225-81} = \sqrt{144} = 12~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang $BC$ adalah $\boxed{12~\text{cm}}$

(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 8
Perhatikan gambar di bawah!

Diketahui panjang $AD = 16$ cm. Luas bangun $ABCDE$ adalah …
A. $188~\text{cm}^2$              C. $376~\text{cm}^2$
B. $316~\text{cm}^2$              D. $496~\text{cm}^2$

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Segitiga sama kaki $ADE$ tidak diketahui tingginya (panjang $AD$) sehingga harus ditentukan dengan menggunakan Teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku $DOE$.
$\begin{aligned} EO & = \sqrt{ED^2 – DO^2} \\ & = \sqrt{17^2-8^2} \\ & = \sqrt{289-64} = \sqrt{225} = 15~\text{cm} \end{aligned}$
Dengan demikian, luas $\triangle ADE$ adalah

$\begin{aligned} L_{ADE} & = \dfrac{AD \times EO}{2} \\ & = \dfrac{\cancelto{8}{16} \times 15}{\cancel{2}} \\ & = 8 \times 15 = 120~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Luas trapesium siku-siku $ABCD$ dapat langsung ditentukan luasnya, yaitu
$\begin{aligned} L_{ABCD} & = \dfrac{AB \times CD}{2} \times AD \\ & = \dfrac{20 + 12}{\cancel{2}} \times \cancelto{8}{16} \\ & = 32 \times 8 = 256~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Jadi, luas bangun $ABCDE$ adalah
$\boxed{\begin{aligned} L_{ABCDE} & = L_{ADE} + L_{ABCD} \\ & = 120 + 256 = 376~\text{cm}^2 \end{aligned}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 9
Habel mengamati dua mobil dari puncak menara yang jarak masing-masingnya ke Habel seperti tampak pada gambar berikut.

Jika tinggi menara $12~\text{m}$, maka jarak kedua mobil tersebut adalah …

A. $7~\text{m}$                    C. $11~\text{m}$
B. $10~\text{m}$                  D. $13~\text{m}$

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Perhatikan segitiga siku-siku $BCD$. Panjang $BC$ dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras.
$\begin{aligned} BC & = \sqrt{BD^2 – CD^2} \\ & = \sqrt{13^2-12^2} \\ & = \sqrt{169-144} = \sqrt{25} = 5~\text{m} \end{aligned}$
Selanjutnya, perhatikan segitiga siku-siku $ACD$. Panjang $AC$ dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras.
$\begin{aligned} AC & = \sqrt{AD^2 – CD^2} \\ & = \sqrt{20^2-12^2} \\ & = \sqrt{400-144} = \sqrt{256} = 16~\text{m} \end{aligned}$
Jarak kedua mobil tersebut adalah panjang $AB$, yaitu
$\boxed{AB = AC – BC = 16 – 5 = 11~\text{m}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 10
Perhatikan gambar di bawah!

$ABCD$ adalah jajar genjang dengan panjang $CD = 7~\text{cm}$, $AD = 25~\text{cm}$, dan $AE = 22~\text{cm}$. Panjang $CE$ adalah …
A. $17~\text{cm}$              C. $22~\text{cm}$
B. $20~\text{cm}$              D. $24~\text{cm}$

Penyelesaian

Diketahui bahwa $AD = BC = 25~\text{cm}$ dan $BE = AE – AB = 22 – 7 = 15~\text{cm}$ (perhatikan bahwa $AB = CD$). Karena segitiga $BEC$ merupakan segitiga siku-siku, maka berlaku Teorema Pythagoras, sehingga
$\begin{aligned} CE & = \sqrt{BC^2 – BE^2} \\ & = \sqrt{25^2 – 15^2} \\ & = \sqrt{625-225} \\ &= \sqrt{400} = 20~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang $CE$ adalah $\boxed{20~\text{cm}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 11
Perhatikan gambar di bawah!

Keliling bangun $ABCDE$ adalah …
A. $56~\text{cm}$             C. $74~\text{cm}$
B. $59~\text{cm}$             D. $86~\text{cm}$

Penyelesaian

Pertama-tama, akan dicari panjang $DE$. Perhatikan bahwa $AB = CE = 15~\text{cm}$. Karena segitiga $CDE$ siku-siku, maka berlaku
$\begin{aligned} DE & = \sqrt{CE^2 – CD^2} \\ & = \sqrt{15^2 – 9^2} \\ & = \sqrt{225-81} \\ &= \sqrt{144} = 12~\text{cm} \end{aligned}$
Dengan demikian, keliling bangun $ABCDE$ adalah

$\begin{aligned} k & = AB + BC + CD + DE + EA \\ & = 15 + 10 + 9 + 12 + 10 \\ & = 56~\text{cm} \end{aligned}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 12
Perhatikan gambar di bawah!

Daerah yang diarsir adalah sketsa tanah yang ditanami rumput.
Luas hamparan rumput tersebut adalah …
A. $954~\text{m}^2$             C. $454~\text{m}^2$
B. $904~\text{m}^2$             D. $404~\text{m}^2$

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Luas trapesium $ABCH$ tidak dapat ditentukan karena panjang $CH$ tidak diketahui. Sekarang, perhatikan segitiga siku-siku $BOC$ di mana $CO = AH = 20~\text{m}$ dan $BC = 25~\text{m}$, sehingga dengan menggunakan Teorema Pythagoras, didapat

$\begin{aligned} OB & = \sqrt{BC^2 – CO^2} \\ & = \sqrt{25^2 – 20^2} \\ & = \sqrt{625-400} \\ &= \sqrt{225} = 15~\text{m} \end{aligned}$
Untuk itu, $AO = AB – OB = 35 – 15 = 20~\text{m}$.
Perhatikan bahwa $AO = CH = 20~\text{m}$.
Dengan demikian, luas trapesium $ABCH$ adalah
$\begin{aligned} L_{ABCH} & = \dfrac{AB + CH}{2} \times CO \\ & = \dfrac{35 + 20}{\cancel{2}} \times \cancelto{10}{20} \\ & = 55 \times 10 = 550~\text{m}^2 \end{aligned}$
Luas persegi panjang $DEFG$ adalah
$L_{DEFG} = p \times l = 12 \times 8 = 96~\text{m}^2$
Luas hamparan rumput (luas daerah yang diarsir) dapat ditentukan dengan mengurangi luas trapesium $ABCH$ terhadap luas persegi panjang $DEFG$, yaitu
$\boxed{\begin{aligned} L_{\text{arsir}} & = L_{ABCH} – L_{DEFG} \\ & = 550 – 96 = 454~\text{cm}^2 \end{aligned}}$
(Jawaban C) 

[collapse]

Soal Nomor 13
Seorang pengamat berada pada puncak menara dengan ketinggian 120 m. Ia melihat perahu $A$ dengan jarak 130 m dan melihat perahu $B$ dengan jarak 150 m. Jika dasar menara, perahu $A$, dan perahu $B$ segaris, maka jarak perahu $A$ ke perahu $B$ adalah …
A. $140~\text{m}$                  C. $50~\text{m}$
B. $90~\text{m}$                    D. $40~\text{m}$

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut di mana titik $C$ merupakan puncak menara, sedangkan titik $D$ merupakan dasar menara.

Panjang garis $AD$ (jarak perahu $A$ ke dasar menara) dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku $ACD$.
$\begin{aligned} AD & = \sqrt{AC^2 – CD^2} \\ & = \sqrt{130^2-120^2} \\ & =\sqrt{16.900-14.400} \\ & = \sqrt{2.500} = 50~\text{m} \end{aligned}$
Panjang garis $BD$ (jarak perahu $B$ ke dasar menara) juga dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku $BCD$.
$\begin{aligned} BD& = \sqrt{BC^2 – CD^2} \\ & = \sqrt{150^2-120^2} \\ & =\sqrt{22.500-14.400} \\ & = \sqrt{8.100} = 90~\text{m} \end{aligned}$
Jarak kedua perahu (jarak titik $A$ dan $B$) adalah
$\boxed{AB = BD – AD = 90~\text{m} – 50~\text{m} = 40~\text{m}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 14
Kebun berbentuk belah ketupat dengan panjang diagonal $10~\text{m}$ dan $24~\text{m}$ akan dipasang kawat di sekelilingnya sebanyak 3 putaran. Jika harga $1~\text{m}$ kawat Rp5.000,00, maka harga seluruh kawat yang diperlukan adalah …
A. Rp260.000,00
B. Rp510.000,00
C. Rp580.000,00
D. Rp780.000,00

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar belah ketupat berikut.

Segitiga $ABO$ merupakan segitiga siku-siku.
Panjang sisi belah ketupat ($AB$) dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras.
$\begin{aligned} AB & = \sqrt{OA^2 + OB^2} \\ & = \sqrt{5^2 + 12^2} \\ & = \sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13~\text{m} \end{aligned}$
Keliling belah ketupatnya adalah
$k = 4 \times AB = 4 \times 13 = 52~\text{m}$
Karena kawat dipasangkan di sekeliling bangun belah ketupat sebanyak 3 putaran, maka panjang kawat yang dibutuhkan adalah
$p = 3 \times 52~\text{m} = 156~\text{m}$
Dengan demikian, harga seluruh kawat yang diperlukan sebesar
$\boxed{\text{Rp}5.000,00 \times 156 = \text{Rp}780.000,00}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 15
Sutan memiliki empat buah lidi yang masing-masing berukuran 4 cm, 5 cm, 9 cm, dan 10 cm. Dari keempat lidi tersebut akan dibuat segitiga. Segitiga yang mungkin dapat dibentuk Sutan dengan menggunakan lidi-lidi tersebut adalah …
A. sebuah segitiga tumpul
B. sebuah segitiga lancip dan dua buah segitiga tumpul
C. dua buah segitiga tumpul
D. dua buah segitiga lancip dan sebuah segitiga tumpul

Penyelesaian

Berdasarkan Aturan Ketaksamaan Segitiga (Triangle Inequality), tiga bilangan $(a, b, c)$ dapat menjadi panjang sisi segitiga bila jumlah dua panjang sisi lebih besar dari panjang sisi yang satunya.
Kemungkinan 1:
Tiga bilangan $(4, 5, 9)$ tidak dapat dibuat menjadi panjang sisi segitiga karena $4 + 5 = 9$.
Kemungkinan 2:

Tiga bilangan $(4, 5, 10)$ dapat dibuat menjadi panjang sisi segitiga.
Untuk memeriksa jenis segitiganya, gunakan Teorema Pythagoras.
$4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41 < 10^2 = 100$
Karena bertanda $<$, maka segitiga yang terbentuk adalah segitiga tumpul.
Kemungkinan 3:

Tiga bilangan $(4, 9, 10)$ dapat dibuat menjadi panjang sisi segitiga.
Untuk memeriksa jenis segitiganya, gunakan Teorema Pythagoras.
$4^2 + 9^2 = 16 + 81 = 97 < 10^2 = 100$
Karena bertanda $<$, maka segitiga yang terbentuk adalah segitiga tumpul.
Kemungkinan 4:

Tiga bilangan $(5, 9, 10)$ dapat dibuat menjadi panjang sisi segitiga.
Untuk memeriksa jenis segitiganya, gunakan Teorema Pythagoras.
$5^2 + 9^2 = 25 + 81 = 106 > 10^2 = 100$
Karena bertanda $>$, maka segitiga yang terbentuk adalah segitiga lancip.
Jadi, Sutan dapat membuat sebuah segitiga lancip dan dua buah segitiga tumpul dengan menggunakan lidi-lidi tersebut (Jawaban B)

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini
CategoriesTeorema PythagorasTags, ,

2 Replies to “Soal dan Pembahasan – Teorema Pythagoras”

  1. I am a new trainer in math, I hope you could give me links or sample papers that I could use in training. I saw your post about HKIMO sample papers, hoping you could give me a link to visit the flatform. Thank you very much in advance

    Rate
    1. I am sorry for the inconvenience, but the posts are already removed since spreading the past paper is considered as illegal action by the committee.
      Thank you for visiting the blog.

      Rate

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *