Soal dan Pembahasan – Teorema Pythagoras

Teorema Pythagoras merupakan teorema yang sangat tenar dalam matematika. Berdasarkan namanya, teorema ini dicetuskan oleh Pythagoras, seorang ilmuwan legendaris dari Yunani Kuno. Teorema ini menyatakan bahwa kuadrat panjang sisi miring (hipotenusa) dari segitiga siku-siku adalah jumlah kuadrat dari dua panjang sisi lainnya. Untuk memahami lebih lanjut mengenai penggunaan teorema ini dalam menyelesaikan soal, silakan cermati soal dan pembahasan berikut.

Soal Nomor 1
Perhatikan gambar!

Panjang BC

adalah …
A. 3~\text{cm}                 C. 8~\text{cm}
B. 6~\text{cm}                 D. 9~\text{cm}

Penyelesaian

Segitiga ABC merupakan segitiga siku-siku sehingga berlaku Teorema Pythagoras.
Cara 1: Standar
\begin{aligned} BC & = \sqrt{AB^2 - AC^2} \\ & = \sqrt{15^2-12^2} \\ & = \sqrt{225-144} = \sqrt{81} = 9~\text{cm} \end{aligned}
Cara 2: Kelipatan
Karena 12 dan 15 dapat dibagi 3 dan hasilnya menjadi 4 dan 5, maka dengan Teorema Pythagoras,
x = \sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt9=3
sehingga
BC = 3x = 3(3) = 9~\text{cm}
Jadi, panjang BC adalah \boxed{9~\text{cm}}
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 2
Berikut ini adalah ukuran sisi-sisi dari empat buah segitiga:
1. 3 cm, 4 cm, 5 cm
2. 7 cm, 8 cm, 9 cm
3. 5 cm, 12 cm, 15 cm
4. 7 cm, 24 cm, 25 cm
Segitiga yang berbentuk segitiga siku-siku ditunjukkan oleh nomor …
A. 1 dan 2                 C. 2 dan 3
B. 1 dan 3                 D. 1 dan 4

Penyelesaian

Apabila 3 bilangan yang mewakili panjang sisi segitiga memenuhi rumus Pythagoras a^2+b^2=c^2 dengan c sebagai panjang sisi terpanjang (hipotenusa), maka segitiga itu merupakan segitiga siku-siku.
Cek pernyataan 1:
3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2
(Segitiga siku-siku)
Cek pernyataan 2:
7^2 + 8^2 = 49+64 = 113 > 9^2 = 81
(Bukan segitiga siku-siku melainkan segitiga lancip)
Cek pernyataan 3:
5^2+12^2 = 25+144=169 < 15^2=225
(Bukan segitiga siku-siku melainkan segitiga tumpul)
Cek pernyataan 4:
7^2+24^2 = 49+576=625 = 25^2
(Segitiga siku-siku)
Jadi, segitiga yang berbentuk segitiga siku-siku ditunjukkan oleh nomor 1 dan 4 (Jawaban D).

[collapse]

Soal Nomor 3
Pada gambar berikut, panjang FL = 12~\text{cm} dan FM = DE = 16~\text{cm}. Keliling bangun tersebut adalah …

A. 78~\text{cm}                  C. 86~\text{cm}

B. 80~\text{cm}                  D. 92~\text{cm}

Penyelesaian

Pertama, harus dicari panjang FK terlebih dahulu. Karena segitiga EDK merupakan segitiga siku-siku, maka berlaku Teorema Pythagoras.
\begin{aligned} DK & = \sqrt{EK^2 - ED^2} \\ & = \sqrt{20^2-16^2} \\ & =\sqrt{400-256} \\ & = \sqrt{144} = 12~\text{cm} \end{aligned}
Dengan demikian, FK = DK - DF = 12 - 8 = 4~\text{cm}
Keliling bangun tersebut adalah
\begin{aligned} k & = ED + DM + ML + LF + FK + KE \\ & = 16 + 8 + 20 + 12 + 4 + 20 \\ & = 80~\text{cm} \end{aligned}
Jadi, keliling bangun tersebut adalah \boxed{80~\text{cm}}
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 4
Perhatikan gambar berikut!

Diketahui CD = 8 cm dan AD = 17 cm. Panjang AB adalah …
A. 7~\text{cm}             C. 5~\text{cm}
B. 6~\text{cm}             D. 4~\text{cm}

Penyelesaian

Karena \triangle ACD siku-siku, maka berlaku Teorema Pythagoras untuk mencari panjang AC, yakni
\begin{aligned} AC & = \sqrt{AD^2 - CD^2} \\ & = \sqrt{17^2-8^2} \\ & =\sqrt{289-64} \\ & = \sqrt{225} = 15~\text{cm} \end{aligned}
Dari gambar, diketahui bahwa CD = CB = 8~\text{cm}, sehingga
\begin{aligned} AB & = AC - CB \\ & = 15~\text{cm} - 8~\text{cm} = 7~\text{cm} \end{aligned}
Jadi, panjang AB adalah \boxed{7~\text{cm}}
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 5
Perhatikan gambar trapesium berikut!

Panjang BC adalah …

A. 23~\text{cm}             C. 16~\text{cm}
B. 17~\text{cm}             D. 15~\text{cm}

Penyelesaian

Tariklah garis CE seperti gambar berikut.

Diketahui panjang CE = AD = 15~\text{cm} dan panjang EB = AB - EA = 33 - 25 = 8~\text{cm}
Segitiga CEB merupakan segitiga siku-siku.
Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
\begin{aligned}BC & = \sqrt{EB^2 + CE^2} \\ & = \sqrt{8^2 + 15^2} \\ & = \sqrt{64+225} \\ & = \sqrt{289} = 17~\text{cm} \end{aligned}
Jadi, panjang BC adalah \boxed{17~\text{cm}}
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 6
Perhatikan gambar!

Luas daerah segienam itu adalah …

A. 188~\text{cm}^2             C. 242~\text{cm}^2
B. 216~\text{cm}^2             D. 266~\text{cm}^2

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Dari gambar, ABCH merupakan persegi dengan panjang sisi 6~\text{cm} sehingga luasnya adalah
L_{ABCH} = 6 \times 6 = 36~\text{cm}^2
CDGH merupakan trapesium sama kaki yang tingginya belum diketahui. Perhatikan segitiga siku-siku CDE. CE merupakan tinggi trapesium sekaligus tinggi segitiga yang dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras.
\begin{aligned} t = CE & = \sqrt{CD^2 - DE^2} \\ & = \sqrt{15^2 - 9^2} \\ & = \sqrt{225-81} \\ & = \sqrt{144} = 12~\text{cm} \end{aligned}
Dengan demikian, luas trapesium CDGH adalah

\begin{aligned} L_{CDGH} & = \dfrac{GD + HC}{2} \times t \\ & = \dfrac{24 + 6}{\cancel{2}} \times \cancelto{6}{12} \\ & = 30 \times 6 = 180~\text{cm}^2 \end{aligned}
Jadi, luas daerah segienam itu dapat ditentukan dengan menjumlahkan luas persegi dan trapesium, yaitu
\boxed{\begin{aligned} L_{ABCDGH} & = L_{ABCH} + L_{CDGH} \\ & = 36 + 180 = 216~\text{cm}^2 \end{aligned}} 
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 7
Perhatikan gambar berikut!

Panjang sisi BC adalah …
A. 16~\text{cm}                C. 13~\text{cm}
B. 15~\text{cm}                D. 12~\text{cm}

Penyelesaian

Perhatikan segitiga siku-siku ACD. Panjang AC dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras.
\begin{aligned} AC & = \sqrt{AD^2 - CD^2} \\ & = \sqrt{17^2-8^2} \\ & = \sqrt{289-64} = \sqrt{225} = 15~\text{cm} \end{aligned}
Selanjutnya, perhatikan segitiga siku-siku ABC. Panjang BC dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras.

\begin{aligned} BC & = \sqrt{AC^2 - AB^2} \\ & = \sqrt{15^2-9^2} \\ & = \sqrt{225-81} = \sqrt{144} = 12~\text{cm} \end{aligned}
Jadi, panjang BC adalah \boxed{12~\text{cm}}

(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 8
Perhatikan gambar di bawah!

Diketahui panjang AD = 16 cm. Luas bangun ABCDE adalah …
A. 188~\text{cm}^2              C. 376~\text{cm}^2
B. 316~\text{cm}^2              D. 496~\text{cm}^2

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Segitiga sama kaki ADE tidak diketahui tingginya (panjang AD) sehingga harus ditentukan dengan menggunakan Teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku DOE.
\begin{aligned} EO & = \sqrt{ED^2 - DO^2} \\ & = \sqrt{17^2-8^2} \\ & = \sqrt{289-64} = \sqrt{225} = 15~\text{cm} \end{aligned}
Dengan demikian, luas \triangle ADE adalah

\begin{aligned} L_{ADE} & = \dfrac{AD \times EO}{2} \\ & = \dfrac{\cancelto{8}{16} \times 15}{\cancel{2}} \\ & = 8 \times 15 = 120~\text{cm}^2 \end{aligned}
Luas trapesium siku-siku ABCD dapat langsung ditentukan luasnya, yaitu
\begin{aligned} L_{ABCD} & = \dfrac{AB \times CD}{2} \times AD \\ & = \dfrac{20 + 12}{\cancel{2}} \times \cancelto{8}{16} \\ & = 32 \times 8 = 256~\text{cm}^2 \end{aligned}
Jadi, luas bangun ABCDE adalah
\boxed{\begin{aligned} L_{ABCDE} & = L_{ADE} + L_{ABCD} \\ & = 120 + 256 = 376~\text{cm}^2 \end{aligned}}
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 9
Habel mengamati dua mobil dari puncak menara yang jarak masing-masingnya ke Habel seperti tampak pada gambar berikut.

Jika tinggi menara 12~\text{m}, maka jarak kedua mobil tersebut adalah …

A. 7~\text{m}                    C. 11~\text{m}
B. 10~\text{m}                  D. 13~\text{m}

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Perhatikan segitiga siku-siku BCD. Panjang BC dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras.
\begin{aligned} BC & = \sqrt{BD^2 - CD^2} \\ & = \sqrt{13^2-12^2} \\ & = \sqrt{169-144} = \sqrt{25} = 5~\text{m} \end{aligned}
Selanjutnya, perhatikan segitiga siku-siku ACD. Panjang AC dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras.
\begin{aligned} AC & = \sqrt{AD^2 - CD^2} \\ & = \sqrt{20^2-12^2} \\ & = \sqrt{400-144} = \sqrt{256} = 16~\text{m} \end{aligned}
Jarak kedua mobil tersebut adalah panjang AB, yaitu
\boxed{AB = AC - BC = 16 - 5 = 11~\text{m}}
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 10
Perhatikan gambar di bawah!

ABCD adalah jajar genjang dengan panjang CD = 7~\text{cm}, AD = 25~\text{cm}, dan AE = 22~\text{cm}. Panjang CE adalah …
A. 17~\text{cm}              C. 22~\text{cm}
B. 20~\text{cm}              D. 24~\text{cm}

Penyelesaian

Diketahui bahwa AD = BC = 25~\text{cm} dan BE = AE - AB = 22 - 7 = 15~\text{cm} (perhatikan bahwa AB = CD). Karena segitiga BEC merupakan segitiga siku-siku, maka berlaku Teorema Pythagoras, sehingga
\begin{aligned} CE & = \sqrt{BC^2 - BE^2} \\ & = \sqrt{25^2 - 15^2} \\ & = \sqrt{625-225} \\ &= \sqrt{400} = 20~\text{cm} \end{aligned}
Jadi, panjang CE adalah \boxed{20~\text{cm}}
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 11
Perhatikan gambar di bawah!

Keliling bangun ABCDE adalah …
A. 56~\text{cm}             C. 74~\text{cm}
B. 59~\text{cm}             D. 86~\text{cm}

Penyelesaian

Pertama-tama, akan dicari panjang DE. Perhatikan bahwa AB = CE = 15~\text{cm}. Karena segitiga CDE siku-siku, maka berlaku
\begin{aligned} DE & = \sqrt{CE^2 - CD^2} \\ & = \sqrt{15^2 - 9^2} \\ & = \sqrt{225-81} \\ &= \sqrt{144} = 12~\text{cm} \end{aligned}
Dengan demikian, keliling bangun ABCDE adalah

\begin{aligned} k & = AB + BC + CD + DE + EA \\ & = 15 + 10 + 9 + 12 + 10 \\ & = 56~\text{cm} \end{aligned}
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 12
Perhatikan gambar di bawah!

Daerah yang diarsir adalah sketsa tanah yang ditanami rumput.
Luas hamparan rumput tersebut adalah …
A. 954~\text{m}^2             C. 454~\text{m}^2
B. 904~\text{m}^2             D. 404~\text{m}^2

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Luas trapesium ABCH tidak dapat ditentukan karena panjang CH tidak diketahui. Sekarang, perhatikan segitiga siku-siku BOC di mana CO = AH = 20~\text{m} dan BC = 25~\text{m}, sehingga dengan menggunakan Teorema Pythagoras, didapat

\begin{aligned} OB & = \sqrt{BC^2 - CO^2} \\ & = \sqrt{25^2 - 20^2} \\ & = \sqrt{625-400} \\ &= \sqrt{225} = 15~\text{m} \end{aligned}
Untuk itu, AO = AB - OB = 35 - 15 = 20~\text{m}.
Perhatikan bahwa AO = CH = 20~\text{m}.
Dengan demikian, luas trapesium ABCH adalah
\begin{aligned} L_{ABCH} & = \dfrac{AB + CH}{2} \times CO \\ & = \dfrac{35 + 20}{\cancel{2}} \times \cancelto{10}{20} \\ & = 55 \times 10 = 550~\text{m}^2 \end{aligned}
Luas persegi panjang DEFG adalah
L_{DEFG} = p \times l = 12 \times 8 = 96~\text{m}^2
Luas hamparan rumput (luas daerah yang diarsir) dapat ditentukan dengan mengurangi luas trapesium ABCH terhadap luas persegi panjang DEFG, yaitu
\boxed{\begin{aligned} L_{\text{arsir}} & = L_{ABCH} - L_{DEFG} \\ & = 550 - 96 = 454~\text{cm}^2 \end{aligned}}
(Jawaban C) 

[collapse]

Soal Nomor 13
Seorang pengamat berada pada puncak menara dengan ketinggian 120 m. Ia melihat perahu A dengan jarak 130 m dan melihat perahu B dengan jarak 150 m. Jika dasar menara, perahu A, dan perahu B segaris, maka jarak perahu A ke perahu B adalah …
A. 140~\text{m}                  C. 50~\text{m}
B. 90~\text{m}                    D. 40~\text{m}

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut di mana titik C merupakan puncak menara, sedangkan titik D merupakan dasar menara.

Panjang garis AD (jarak perahu A ke dasar menara) dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku ACD.
\begin{aligned} AD & = \sqrt{AC^2 - CD^2} \\ & = \sqrt{130^2-120^2} \\ & =\sqrt{16.900-14.400} \\ & = \sqrt{2.500} = 50~\text{m} \end{aligned}
Panjang garis BD (jarak perahu B ke dasar menara) juga dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku BCD.
\begin{aligned} BD& = \sqrt{BC^2 - CD^2} \\ & = \sqrt{150^2-120^2} \\ & =\sqrt{22.500-14.400} \\ & = \sqrt{8.100} = 90~\text{m} \end{aligned}
Jarak kedua perahu (jarak titik A dan B) adalah
\boxed{AB = BD - AD = 90~\text{m} - 50~\text{m} = 40~\text{m}}
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 14
Kebun berbentuk belah ketupat dengan panjang diagonal 10~\text{m} dan 24~\text{m} akan dipasang kawat di sekelilingnya sebanyak 3 putaran. Jika harga 1~\text{m} kawat Rp5.000,00, maka harga seluruh kawat yang diperlukan adalah …
A. Rp260.000,00
B. Rp510.000,00
C. Rp580.000,00
D. Rp780.000,00

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar belah ketupat berikut.

Segitiga ABO merupakan segitiga siku-siku.
Panjang sisi belah ketupat (AB) dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras.
\begin{aligned} AB & = \sqrt{OA^2 + OB^2} \\ & = \sqrt{5^2 + 12^2} \\ & = \sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13~\text{m} \end{aligned}
Keliling belah ketupatnya adalah
k = 4 \times AB = 4 \times 13 = 52~\text{m}
Karena kawat dipasangkan di sekeliling bangun belah ketupat sebanyak 3 putaran, maka panjang kawat yang dibutuhkan adalah
p = 3 \times 52~\text{m} = 156~\text{m}
Dengan demikian, harga seluruh kawat yang diperlukan sebesar
\boxed{\text{Rp}5.000,00 \times 156 = \text{Rp}780.000,00}
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 15
Sutan memiliki empat buah lidi yang masing-masing berukuran 4 cm, 5 cm, 9 cm, dan 10 cm. Dari keempat lidi tersebut akan dibuat segitiga. Segitiga yang mungkin dapat dibentuk Sutan dengan menggunakan lidi-lidi tersebut adalah …
A. sebuah segitiga tumpul
B. sebuah segitiga lancip dan dua buah segitiga tumpul
C. dua buah segitiga tumpul
D. dua buah segitiga lancip dan sebuah segitiga tumpul

Penyelesaian

Berdasarkan Aturan Ketaksamaan Segitiga (Triangle Inequality), tiga bilangan (a, b, c) dapat menjadi panjang sisi segitiga bila jumlah dua panjang sisi lebih besar dari panjang sisi yang satunya.
Kemungkinan 1:
Tiga bilangan (4, 5, 9) tidak dapat dibuat menjadi panjang sisi segitiga karena 4 + 5 = 9.
Kemungkinan 2:

Tiga bilangan (4, 5, 10) dapat dibuat menjadi panjang sisi segitiga.
Untuk memeriksa jenis segitiganya, gunakan Teorema Pythagoras.
4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41 < 10^2 = 100
Karena bertanda <, maka segitiga yang terbentuk adalah segitiga tumpul.
Kemungkinan 3:

Tiga bilangan (4, 9, 10) dapat dibuat menjadi panjang sisi segitiga.
Untuk memeriksa jenis segitiganya, gunakan Teorema Pythagoras.
4^2 + 9^2 = 16 + 81 = 97 < 10^2 = 100
Karena bertanda <, maka segitiga yang terbentuk adalah segitiga tumpul.
Kemungkinan 4:

Tiga bilangan (5, 9, 10) dapat dibuat menjadi panjang sisi segitiga.
Untuk memeriksa jenis segitiganya, gunakan Teorema Pythagoras.
5^2 + 9^2 = 25 + 81 = 106 > 10^2 = 100
Karena bertanda >, maka segitiga yang terbentuk adalah segitiga lancip.
Jadi, Sutan dapat membuat sebuah segitiga lancip dan dua buah segitiga tumpul dengan menggunakan lidi-lidi tersebut (Jawaban B)

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini
CategoriesTeorema PythagorasTags, ,

2 Replies to “Soal dan Pembahasan – Teorema Pythagoras”

  1. I am a new trainer in math, I hope you could give me links or sample papers that I could use in training. I saw your post about HKIMO sample papers, hoping you could give me a link to visit the flatform. Thank you very much in advance

    Rate
    1. I am sorry for the inconvenience, but the posts are already removed since spreading the past paper is considered as illegal action by the committee.
      Thank you for visiting the blog.

      Rate

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *