Soal dan Pembahasan – Teorema Pythagoras

Teorema Pythagoras merupakan teorema yang sangat tenar dalam matematika. Berdasarkan namanya, teorema ini dicetuskan oleh Pythagoras, seorang ilmuwan legendaris dari Yunani Kuno.

Teorema Pythagoras

Kuadrat panjang sisi miring (hipotenusa) dari segitiga siku-siku adalah jumlah kuadrat dari dua panjang sisi lainnya.

Untuk memahami lebih lanjut mengenai penggunaan teorema ini dalam menyelesaikan soal, silakan cermati soal dan pembahasan berikut.

Soal Nomor 1
Perhatikan gambar!


Panjang $BC$ adalah $\cdots \cdot$
A. $3~\text{cm}$                 C. $8~\text{cm}$
B. $6~\text{cm}$                 D. $9~\text{cm}$

Penyelesaian

Segitiga $ABC$ merupakan segitiga siku-siku sehingga berlaku Teorema Pythagoras.
Cara 1: Standar
$\begin{aligned} BC & = \sqrt{AB^2 – AC^2} \\ & = \sqrt{15^2-12^2} \\ & = \sqrt{225-144} = \sqrt{81} = 9~\text{cm} \end{aligned}$
Cara 2: Kelipatan
Karena $12$ dan $15$ dapat dibagi $3$ dan hasilnya menjadi $4$ dan $5$, maka dengan Teorema Pythagoras,
$x = \sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt9=3$
sehingga
$BC = 3x = 3(3) = 9~\text{cm}$
Jadi, panjang $BC$ adalah $\boxed{9~\text{cm}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Quote by Wilson Kanadi

Cara termudah jadi pandai adalah belajar dari hal terbodoh yang pernah kita lakukan.

Soal Nomor 2
Berikut ini adalah ukuran sisi-sisi dari empat buah segitiga:
1. $3$ cm, $4$ cm, $5$ cm
2. $7$ cm, $8$ cm, $9$ cm
3. $5$ cm, $12$ cm, $15$ cm
4. $7$ cm, $24$ cm, $25$ cm
Segitiga yang berbentuk segitiga siku-siku ditunjukkan oleh nomor $\cdots \cdot$
A. $1$ dan $2$                 C. $2$ dan $3$
B. $1$ dan $3$                 D. $1$ dan $4$

Penyelesaian

Apabila 3 bilangan yang mewakili panjang sisi segitiga memenuhi rumus Pythagoras $a^2+b^2=c^2$ dengan $c$ sebagai panjang sisi terpanjang (hipotenusa), maka segitiga itu merupakan segitiga siku-siku.
Cek pernyataan 1:
$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$
(Segitiga siku-siku)
Cek pernyataan 2:
$7^2 + 8^2 = 49+64 = 113 > 9^2 = 81$
(Bukan segitiga siku-siku melainkan segitiga lancip)
Cek pernyataan 3:
$5^2+12^2 = 25+144=169 < 15^2=225$
(Bukan segitiga siku-siku melainkan segitiga tumpul)
Cek pernyataan 4:
$7^2+24^2 = 49+576=625 = 25^2$
(Segitiga siku-siku)
Jadi, segitiga yang berbentuk segitiga siku-siku ditunjukkan oleh nomor 1 dan 4 (Jawaban D).

[collapse]

Soal Nomor 3
Pada gambar berikut, panjang $FL = 12~\text{cm}$ dan $FM = DE = 16~\text{cm}$. Keliling bangun tersebut adalah $\cdots \cdot$

A. $78~\text{cm}$                  C. $86~\text{cm}$

B. $80~\text{cm}$                  D. $92~\text{cm}$

Penyelesaian

Pertama, harus dicari panjang $FK$ terlebih dahulu. Karena segitiga $EDK$ merupakan segitiga siku-siku, maka berlaku Teorema Pythagoras.
$\begin{aligned} DK & = \sqrt{EK^2 -ED^2} \\ & = \sqrt{20^2-16^2} \\ & =\sqrt{400-256} \\ & = \sqrt{144} = 12~\text{cm} \end{aligned}$
Dengan demikian, $FK = DK -DF = 12 -8 = 4~\text{cm}$
Keliling bangun tersebut adalah
$\begin{aligned} k & = ED + DM + ML + LF + FK + KE \\ & = 16 + 8 + 20 + 12 + 4 + 20 \\ & = 80~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, keliling bangun tersebut adalah $\boxed{80~\text{cm}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 4
Perhatikan gambar berikut!

Diketahui $CD = 8$ cm dan $AD = 17$ cm. Panjang $AB$ adalah $\cdots \cdot$
A. $7~\text{cm}$             C. $5~\text{cm}$
B. $6~\text{cm}$             D. $4~\text{cm}$

Penyelesaian

Karena $\triangle ACD$ siku-siku, maka berlaku Teorema Pythagoras untuk mencari panjang $AC$, yakni
$\begin{aligned} AC & = \sqrt{AD^2 -CD^2} \\ & = \sqrt{17^2-8^2} \\ & =\sqrt{289-64} \\ & = \sqrt{225} = 15~\text{cm} \end{aligned}$
Dari gambar, diketahui bahwa $CD = CB = 8~\text{cm}$, sehingga
$\begin{aligned} AB & = AC -CB \\ & = 15~\text{cm} – 8~\text{cm} = 7~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang $AB$ adalah $\boxed{7~\text{cm}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 5
Perhatikan gambar trapesium berikut!

Panjang $BC$ adalah $\cdots \cdot$

A. $23~\text{cm}$             C. $16~\text{cm}$
B. $17~\text{cm}$             D. $15~\text{cm}$

Penyelesaian

Tariklah garis $CE$ seperti gambar berikut.

Diketahui panjang $CE = AD = 15~\text{cm}$ dan panjang $EB = AB -EA = 33 -25 = 8~\text{cm}$
Segitiga $CEB$ merupakan segitiga siku-siku.
Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned}BC & = \sqrt{EB^2 + CE^2} \\ & = \sqrt{8^2 + 15^2} \\ & = \sqrt{64+225} \\ & = \sqrt{289} = 17~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang $BC$ adalah $\boxed{17~\text{cm}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 6
Perhatikan gambar!

Luas daerah segienam itu adalah $\cdots \cdot$

A. $188~\text{cm}^2$             C. $242~\text{cm}^2$
B. $216~\text{cm}^2$             D. $266~\text{cm}^2$

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Dari gambar, $ABCH$ merupakan persegi dengan panjang sisi $6~\text{cm}$ sehingga luasnya adalah
$L_{ABCH} = 6 \times 6 = 36~\text{cm}^2$
$CDGH$ merupakan trapesium sama kaki yang tingginya belum diketahui. Perhatikan segitiga siku-siku $CDE$. $CE$ merupakan tinggi trapesium sekaligus tinggi segitiga yang dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras.
$\begin{aligned} t = CE & = \sqrt{CD^2 -DE^2} \\ & = \sqrt{15^2 -9^2} \\ & = \sqrt{225-81} \\ & = \sqrt{144} = 12~\text{cm} \end{aligned}$
Dengan demikian, luas trapesium $CDGH$ adalah

$\begin{aligned} L_{CDGH} & = \dfrac{GD + HC}{2} \times t \\ & = \dfrac{24 + 6}{\cancel{2}} \times \cancelto{6}{12} \\ & = 30 \times 6 = 180~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Jadi, luas daerah segienam itu dapat ditentukan dengan menjumlahkan luas persegi dan trapesium, yaitu
$\boxed{\begin{aligned} L_{ABCDGH} & = L_{ABCH} + L_{CDGH} \\ & = 36 + 180 = 216~\text{cm}^2 \end{aligned}}$ 
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 7
Perhatikan gambar berikut!

Panjang sisi $BC$ adalah $\cdots \cdot$
A. $16~\text{cm}$                C. $13~\text{cm}$
B. $15~\text{cm}$                D. $12~\text{cm}$

Penyelesaian

Perhatikan segitiga siku-siku $ACD$. Panjang $AC$ dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras.
$\begin{aligned} AC & = \sqrt{AD^2 -CD^2} \\ & = \sqrt{17^2-8^2} \\ & = \sqrt{289-64} = \sqrt{225} = 15~\text{cm} \end{aligned}$
Selanjutnya, perhatikan segitiga siku-siku $ABC$. Panjang $BC$ dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras.

$\begin{aligned} BC & = \sqrt{AC^2 -AB^2} \\ & = \sqrt{15^2-9^2} \\ & = \sqrt{225-81} = \sqrt{144} = 12~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang $BC$ adalah $\boxed{12~\text{cm}}$

(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 8
Perhatikan gambar di bawah!

Diketahui panjang $AD = 16$ cm. Luas bangun $ABCDE$ adalah $\cdots \cdot$
A. $188~\text{cm}^2$              C. $376~\text{cm}^2$
B. $316~\text{cm}^2$              D. $496~\text{cm}^2$

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Segitiga sama kaki $ADE$ tidak diketahui tingginya (panjang $AD$) sehingga harus ditentukan dengan menggunakan Teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku $DOE$.
$\begin{aligned} EO & = \sqrt{ED^2 -DO^2} \\ & = \sqrt{17^2-8^2} \\ & = \sqrt{289-64} = \sqrt{225} = 15~\text{cm} \end{aligned}$
Dengan demikian, luas $\triangle ADE$ adalah

$\begin{aligned} L_{ADE} & = \dfrac{AD \times EO}{2} \\ & = \dfrac{\cancelto{8}{16} \times 15}{\cancel{2}} \\ & = 8 \times 15 = 120~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Luas trapesium siku-siku $ABCD$ dapat langsung ditentukan luasnya, yaitu
$\begin{aligned} L_{ABCD} & = \dfrac{AB \times CD}{2} \times AD \\ & = \dfrac{20 + 12}{\cancel{2}} \times \cancelto{8}{16} \\ & = 32 \times 8 = 256~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Jadi, luas bangun $ABCDE$ adalah
$\boxed{\begin{aligned} L_{ABCDE} & = L_{ADE} + L_{ABCD} \\ & = 120 + 256 = 376~\text{cm}^2 \end{aligned}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 9
Habel mengamati dua mobil dari puncak menara yang jarak masing-masingnya ke Habel seperti tampak pada gambar berikut.

Jika tinggi menara $12~\text{m}$, maka jarak kedua mobil tersebut adalah $\cdots \cdot$

A. $7~\text{m}$                    C. $11~\text{m}$
B. $10~\text{m}$                  D. $13~\text{m}$

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Perhatikan segitiga siku-siku $BCD$. Panjang $BC$ dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras.
$\begin{aligned} BC & = \sqrt{BD^2 -CD^2} \\ & = \sqrt{13^2-12^2} \\ & = \sqrt{169-144} = \sqrt{25} = 5~\text{m} \end{aligned}$
Selanjutnya, perhatikan segitiga siku-siku $ACD$. Panjang $AC$ dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras.
$\begin{aligned} AC & = \sqrt{AD^2 -CD^2} \\ & = \sqrt{20^2-12^2} \\ & = \sqrt{400-144} = \sqrt{256} = 16~\text{m} \end{aligned}$
Jarak kedua mobil tersebut adalah panjang $AB$, yaitu
$\boxed{AB = AC – BC = 16 – 5 = 11~\text{m}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 10
Perhatikan gambar di bawah!

$ABCD$ adalah jajar genjang dengan panjang $CD = 7~\text{cm}$, $AD = 25~\text{cm}$, dan $AE = 22~\text{cm}$. Panjang $CE$ adalah $\cdots \cdot$
A. $17~\text{cm}$              C. $22~\text{cm}$
B. $20~\text{cm}$              D. $24~\text{cm}$

Penyelesaian

Diketahui bahwa $AD = BC = 25~\text{cm}$ dan $BE = AE -AB = 22 -7 = 15~\text{cm}$ (perhatikan bahwa $AB = CD$). Karena segitiga $BEC$ merupakan segitiga siku-siku, maka berlaku Teorema Pythagoras, sehingga
$\begin{aligned} CE & = \sqrt{BC^2 -BE^2} \\ & = \sqrt{25^2 -15^2} \\ & = \sqrt{625-225} \\ &= \sqrt{400} = 20~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang $CE$ adalah $\boxed{20~\text{cm}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 11
Perhatikan gambar di bawah!

Keliling bangun $ABCDE$ adalah $\cdots \cdot$
A. $56~\text{cm}$             C. $74~\text{cm}$
B. $59~\text{cm}$             D. $86~\text{cm}$

Penyelesaian

Pertama-tama, akan dicari panjang $DE$. Perhatikan bahwa $AB = CE = 15~\text{cm}$. Karena segitiga $CDE$ siku-siku, maka berlaku
$\begin{aligned} DE & = \sqrt{CE^2 -CD^2} \\ & = \sqrt{15^2 -9^2} \\ & = \sqrt{225-81} \\ &= \sqrt{144} = 12~\text{cm} \end{aligned}$
Dengan demikian, keliling bangun $ABCDE$ adalah

$\begin{aligned} k & = AB + BC + CD + DE + EA \\ & = 15 + 10 + 9 + 12 + 10 \\ & = 56~\text{cm} \end{aligned}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 12
Perhatikan gambar di bawah!

Daerah yang diarsir adalah sketsa tanah yang ditanami rumput.
Luas hamparan rumput tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $954~\text{m}^2$             C. $454~\text{m}^2$
B. $904~\text{m}^2$             D. $404~\text{m}^2$

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Luas trapesium $ABCH$ tidak dapat ditentukan karena panjang $CH$ tidak diketahui. Sekarang, perhatikan segitiga siku-siku $BOC$ di mana $CO = AH = 20~\text{m}$ dan $BC = 25~\text{m}$, sehingga dengan menggunakan Teorema Pythagoras, didapat

$\begin{aligned} OB & = \sqrt{BC^2 -CO^2} \\ & = \sqrt{25^2 -20^2} \\ & = \sqrt{625-400} \\ &= \sqrt{225} = 15~\text{m} \end{aligned}$
Untuk itu, $AO = AB – OB = 35 – 15 = 20~\text{m}$.
Perhatikan bahwa $AO = CH = 20~\text{m}$.
Dengan demikian, luas trapesium $ABCH$ adalah
$\begin{aligned} L_{ABCH} & = \dfrac{AB + CH}{2} \times CO \\ & = \dfrac{35 + 20}{\cancel{2}} \times \cancelto{10}{20} \\ & = 55 \times 10 = 550~\text{m}^2 \end{aligned}$
Luas persegi panjang $DEFG$ adalah
$L_{DEFG} = p \times l = 12 \times 8 = 96~\text{m}^2$
Luas hamparan rumput (luas daerah yang diarsir) dapat ditentukan dengan mengurangi luas trapesium $ABCH$ terhadap luas persegi panjang $DEFG$, yaitu
$\boxed{\begin{aligned} L_{\text{arsir}} & = L_{ABCH} -L_{DEFG} \\ & = 550- 96 = 454~\text{cm}^2 \end{aligned}}$
(Jawaban C) 

[collapse]

Soal Nomor 13
Seorang pengamat berada pada puncak menara dengan ketinggian 120 m. Ia melihat perahu $A$ dengan jarak 130 m dan melihat perahu $B$ dengan jarak 150 m. Jika dasar menara, perahu $A$, dan perahu $B$ segaris, maka jarak perahu $A$ ke perahu $B$ adalah $\cdots \cdot$
A. $140~\text{m}$                  C. $50~\text{m}$
B. $90~\text{m}$                    D. $40~\text{m}$

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut di mana titik $C$ merupakan puncak menara, sedangkan titik $D$ merupakan dasar menar

Panjang garis $AD$ (jarak perahu $A$ ke dasar menara) dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku $ACD$.
$\begin{aligned} AD & = \sqrt{AC^2 -CD^2} \\ & = \sqrt{130^2-120^2} \\ & =\sqrt{16.900-14.400} \\ & = \sqrt{2.500} = 50~\text{m} \end{aligned}$
Panjang garis $BD$ (jarak perahu $B$ ke dasar menara) juga dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku $BCD$.
$\begin{aligned} BD& = \sqrt{BC^2 -CD^2} \\ & = \sqrt{150^2-120^2} \\ & =\sqrt{22.500-14.400} \\ & = \sqrt{8.100} = 90~\text{m} \end{aligned}$
Jarak kedua perahu (jarak titik $A$ dan $B$) adalah
$\boxed{AB = BD -AD = 90~\text{m} -50~\text{m} = 40~\text{m}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 14
Kebun berbentuk belah ketupat dengan panjang diagonal $10~\text{m}$ dan $24~\text{m}$ akan dipasang kawat di sekelilingnya sebanyak 3 putaran. Jika harga $1~\text{m}$ kawat Rp5.000,00, maka harga seluruh kawat yang diperlukan adalah $\cdots \cdot$
A. Rp260.000,00
B. Rp510.000,00
C. Rp580.000,00
D. Rp780.000,00

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar belah ketupat berikut.

Segitiga $ABO$ merupakan segitiga siku-siku.
Panjang sisi belah ketupat ($AB$) dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras.
$\begin{aligned} AB & = \sqrt{OA^2 + OB^2} \\ & = \sqrt{5^2 + 12^2} \\ & = \sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13~\text{m} \end{aligned}$
Keliling belah ketupatnya adalah
$k = 4 \times AB = 4 \times 13 = 52~\text{m}$
Karena kawat dipasangkan di sekeliling bangun belah ketupat sebanyak 3 putaran, maka panjang kawat yang dibutuhkan adalah
$p = 3 \times 52~\text{m} = 156~\text{m}$
Dengan demikian, harga seluruh kawat yang diperlukan sebesar
$\boxed{\text{Rp}5.000,00 \times 156 = \text{Rp}780.000,00}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 15
Sutan memiliki empat buah lidi yang masing-masing berukuran $4$ cm, $5$ cm, $9$ cm, dan $10$ cm. Dari keempat lidi tersebut akan dibuat segitiga. Segitiga yang mungkin dapat dibentuk Sutan dengan menggunakan lidi-lidi tersebut adalah $\cdots \cdot$

  1. sebuah segitiga tumpul
  2. sebuah segitiga lancip dan dua buah segitiga tumpul
  3. dua buah segitiga tumpul
  4. dua buah segitiga lancip dan sebuah segitiga tumpul

Penyelesaian

Berdasarkan Aturan Ketaksamaan Segitiga (Triangle Inequality), tiga bilangan $(a, b, c)$ dapat menjadi panjang sisi segitiga bila jumlah dua panjang sisi lebih besar dari panjang sisi yang satunya.
Kemungkinan 1:
Tiga bilangan $(4, 5, 9)$ tidak dapat dibuat menjadi panjang sisi segitiga karena $4 + 5 = 9$.
Kemungkinan 2:

Tiga bilangan $(4, 5, 10)$ dapat dibuat menjadi panjang sisi segitiga.
Untuk memeriksa jenis segitiganya, gunakan Teorema Pythagoras.
$4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41 < 10^2 = 100$
Karena bertanda $<$, maka segitiga yang terbentuk adalah segitiga tumpul.
Kemungkinan 3:

Tiga bilangan $(4, 9, 10)$ dapat dibuat menjadi panjang sisi segitiga.
Untuk memeriksa jenis segitiganya, gunakan Teorema Pythagoras.
$4^2 + 9^2 = 16 + 81 = 97 < 10^2 = 100$
Karena bertanda $<$, maka segitiga yang terbentuk adalah segitiga tumpul.
Kemungkinan 4:

Tiga bilangan $(5, 9, 10)$ dapat dibuat menjadi panjang sisi segitiga.
Untuk memeriksa jenis segitiganya, gunakan Teorema Pythagoras.
$5^2 + 9^2 = 25 + 81 = 106 > 10^2 = 100$
Karena bertanda $>$, maka segitiga yang terbentuk adalah segitiga lancip.
Jadi, Sutan dapat membuat sebuah segitiga lancip dan dua buah segitiga tumpul dengan menggunakan lidi-lidi tersebut.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 16
A triangle $ABC$ has sides $a, b$ and $c$. For that triangle the following statements are given:

(i) if $b^2=a^2-c^2$, then $\angle B = 90^{\circ}$
(ii) if $c^2=a^2+b^2$, then $\angle C = 90^{\circ}$
(iii) if $a^2=b^2-c^2$, then $\angle B = 90^{\circ}$
(iv) if $b^2=a^2+c^2$, then $\angle A = 90^{\circ}$
Among the above statements, those which are true are $\cdots \cdot$
A. (i) and (iii)                   C. (ii) and (iii)
B. (ii) and (iv)                  D. (i) and (iv)

Penyelesaian

Akan diperiksa kebenaran masing-masing pernyataan di atas.
Pernyataan (i):
Perhatikan bahwa
$b^2=a^2-c^2 \Leftrightarrow a^2 = b^2+c^2$
Berdasarkan Teorema Pythagoras, $\angle A = 90^{\circ}$.
Dengan demikian, pernyataan bernilai salah.
Pernyataan (ii):
Perhatikan bahwa
$c^2=a^2+b^2$
Berdasarkan Teorema Pythagoras, $\angle C = 90^{\circ}$.
Dengan demikian, pernyataan bernilai benar.
Pernyataan (iii):
Perhatikan bahwa
$a^2=b^2-c^2 \Leftrightarrow b^2 = a^2+c^2$
Berdasarkan Teorema Pythagoras, $\angle B = 90^{\circ}$.
Dengan demikian, pernyataan bernilai benar.
Pernyataan (iv):
Perhatikan bahwa
$b^2=a^2+c^2$
Berdasarkan Teorema Pythagoras, $\angle B = 90^{\circ}$.
Dengan demikian, pernyataan bernilai salah.
Jadi, pernyataan yang benar adalah pernyataan (ii) dan (iii).
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 17
A right triangle has two legs measuring $4x$ cm and $3x$ cm in length. If the length of its hypotenuse is $20$ cm, then the perimeter of the triangle is $\cdots \cdot$
A. $27$ cm                        C. $48$ cm
B. $34$ cm                        D. $54$ cm

Penyelesaian

Suppose $y$ be the length of hypotenuse. By applying Pythagorean Theorem (since it is right triangle), we have
$\begin{aligned} y & = \sqrt{(4x)^2+(3x)^2} \\ 20 & = \sqrt{16x^2+9x^2} \\ 20 & = \sqrt{25x^2} \\ 20 & = 5x \\ x & = 4 \end{aligned}$
Thus, the length of sides of the right triangle are $4(4) = 16$ cm, $3(4) = 12$ cm and the hypotenuse itself, $20$ cm.
Hence, the perimeter of the triangle is $\boxed{16+12+20 = 48~\text{cm}}$
(Answer C)

[collapse]

Soal Nomor 18
Pada gambar berikut, $PQR$ merupakan segitiga sama sisi dengan panjang sisi $12$ cm. Panjang $RS$ adalah $\cdots \cdot$

A. $3$ cm                          C. $6$ cm
B. $3\sqrt3$ cm                     D. $6\sqrt3$ cm

Penyelesaian

Karena $\triangle PQR$ sama sisi, maka $PQ = QR = PR = 12~\text{cm}$. $S$ merupakan titik tengah $PQ$ sehingga $PS = SQ = 6~\text{cm}$.
Tinjau segitiga siku-siku $RSQ$.
Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} RS & = \sqrt{RQ^2-SQ^2} \\ & = \sqrt{12^2-6^2} \\ & = \sqrt{144-36} \\ & = \sqrt{108} \\ & = \sqrt{36 \times 3} = 6\sqrt3~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang $RS$ adalah $\boxed{6\sqrt3~\text{cm}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 19
Luas sebuah belah ketupat adalah $240~\text{cm}^2$. Jika panjang salah satu diagonalnya $16~\text{cm}$, maka keliling belah ketupat itu adalah $\cdots \cdot$
A. $48$ cm                         C. $92$ cm
B. $64$ cm                         D. $102$ cm

Penyelesaian

Diketahui $L = 240~\text{cm}^2$ dan $d_1 = 16~\text{cm}$.
Akan dicari panjang diagonal yang lain menggunakan rumus belah ketupat.
$\begin{aligned} L & = \dfrac{d_1 \times d_2}{2} \\ 240 & = \dfrac{\cancelto{8}{16} \times d_2}{\cancel{2}} \\ 240 & = 8 \times d_2 \\ d_2 & = 30~\text{cm} \end{aligned}$
Perhatikan gambar belah ketupat berikut.

Segitiga $AOB$ siku-siku di $O$ dengan $OB = \dfrac12 \times 30 = 15~\text{cm}$ dan $AO = \dfrac12 \times 16 = 8~\text{cm}$. Panjang hipotenusa $AB$ dapat dihitung dengan menerapkan rumus Pythagoras.
$\begin{aligned} AB & = \sqrt{AO^2+OB^2} \\ & = \sqrt{8^2+15^2 } \\ & = \sqrt{64+225} \\ & = \sqrt{289} = 17~\text{cm} \end{aligned}$
Panjang sisi belah ketupat adalah $17~\text{cm}$. Kelilingnya adalah $\boxed{4 \times 17 = 68~\text{cm}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 20
Panjang diagonal ruang sebuah kubus yang luas alasnya $64~\text{cm}^2$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\sqrt{128}~\text{cm}$                       C. $\sqrt{256}~\text{cm}$
B. $\sqrt{192}~\text{cm}$                       D. $\sqrt{768}~\text{cm}$

Penyelesaian

Karena alas kubus berupa persegi, maka panjang rusuk kubus dapat ditentukan dengan menggunakan rumus luas persegi.
$\begin{aligned} L & = s^2 \\ 64 &= s^2 \\ s & = \sqrt{64} = 8~\text{cm} \end{aligned}$
Perhatikan gambar kubus berikut. Dalam hal ini, kita akan mencari panjang $AG$, yang merupakan salah satu dari empat diagonal ruang kubus.

Segitiga $ABC$ merupakan segitiga siku-siku (di $B$). Diketahui bahwa $AB = BC = 8~\text{cm}$.
Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} AC & = \sqrt{AB^2+BC^2} \\ & = \sqrt{8^2+8^2} \\ & = \sqrt{64+64} = \sqrt{128}~\text{cm} \end{aligned}$
Sekarang, perhatikan segitiga siku-siku $ACG$ (siku-sikunya di $C$).
Diketahui bahwa $CG = 8~\text{cm}$ dan $AC = \sqrt{128}~\text{cm}$.
Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} AG & = \sqrt{AC^2+CG^2} \\ & = \sqrt{(\sqrt{128})^2+8^2} \\ & = \sqrt{128+64} = \sqrt{192}~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang diagonal ruang kubus tersebut adalah $\boxed{\sqrt{192}~\text{cm}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 21

Pada layang-layang $ABCD$ di atas, panjang $AB = 20~\text{cm}$, $BC = 13~\text{cm}$, dan diagonal $BD = 24~\text{cm}$. Luas layang-layang $ABCD$ adalah $\cdots \cdot$
A. $252~\text{cm}^2$                     C. $396~\text{cm}^2$
B. $370~\text{cm}^2$                     D. $504~\text{cm}^2$

Penyelesaian

Diketahui $BD = 24~\text{cm}$. Karena $E$ tepat di tengah sisi $BD$, maka $BE = \dfrac12 \times 24 = 12~\text{cm}$. Dengan menggunakan Teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku $BEC$, diperoleh
$\begin{aligned} EC & = \sqrt{BC^2-BE^2} \\ & = \sqrt{13^2-12^2} \\ & = \sqrt{169-144} = \sqrt{25} = 5~\text{cm} \end{aligned}$
engan menggunakan Teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku $AEB$, diperoleh

$\begin{aligned} AE & = \sqrt{AB^2-BE^2} \\ & = \sqrt{20^2-12^2} \\ & = \sqrt{400-144} = \sqrt{256} = 16~\text{cm} \end{aligned}$
Dengan demikian, diagonal $AC = AE + EC = 16 + 5 = 21~\text{cm}$.

Luas layang-layang $ABCD$ adalah
$\begin{aligned} L_{ABCD} & = \dfrac{AC \times BD}{2} \\ & = \dfrac{21 \times \cancelto{12}{24}}{\cancel{2}} \\ & = 252~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Jadi, luas layang-layang tersebut adalah $\boxed{252~\text{cm}^2}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 22

Pada persegi panjang $PQRS$ di atas, panjang $PR = 20~\text{cm}$ dan besar $\angle QPR = 30^{\circ}$. Luas persegi panjang $PQRS$ adalah $\cdots \cdot$
A. $50\sqrt2~\text{cm}^2$                    C. $100\sqrt2~\text{cm}^2$
B. $50\sqrt3~\text{cm}^2$                    D. $100\sqrt3~\text{cm}^2$

Penyelesaian

Tinjau segitiga siku-siku $PQR$. Perbandingan antara panjang sisi di hadapan sudut di hadapan sudut $30^{\circ}$, sisi miring, dan sisi di hadapan sudut $60^{\circ}$ adalah $1 : 2 : \sqrt3$. 
Diketahui bahwa besar $\angle P = 30^{\circ}$, $\angle Q = 90^{\circ}$, dan $\angle R = 60^{\circ}$ sehingga perbandingan panjang sisi $QR : PR : PQ = 1 : 2 : \sqrt3$. Karena $PR = 20~\text{cm}$, maka dengan menggunakan perbandingan tersebut, diperoleh
$\begin{aligned} QR : PR & = 1 : 2 \\ QR : 20 & = 1 : 2 \\ QR & = \dfrac12 \times 20 = 10~\text{cm} \end{aligned}$
dan
$\begin{aligned} PQ : PR & = \sqrt3 : 2 \\ QR : 20 & = \sqrt3 : 2 \\ QR & = \dfrac12\sqrt3 \times 20 = 10\sqrt3~\text{cm} \end{aligned}$
Dengan demikian, luas persegi panjang tersebut adalah
$\boxed{\begin{aligned} L_{PQRS} & = PQ \times QR \\ & = 10\sqrt3 \times 10 = 100\sqrt3~\text{cm}^2 \end{aligned}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 23
Diketahui pasangan tiga bilangan berikut:
i) $21, 20, 29$
ii) $8, 11, \sqrt{175}$
iii) $50, 48, 14$
Dari pasangan tiga bilangan tersebut, yang merupakan Tripel Pythagoras adalah $\cdots \cdot$
A. (i) dan (ii)                        C. (ii) dan (iii)
B. (i) dan (iii)                       D. (i), (ii), dan (iii)

Penyelesaian

Tiga bilangan $a, b, c$ dikatakan Tripel Pythagoras apabila memenuhi
$a^2+b^2 = c^2$
dengan $c$ sebagai bilangan terbesar.
Cek (i) $21, 20, 29$
$\begin{aligned} 20^2 + 21^2 & = 400+441 \\ & = 841 = 29^2 \end{aligned}$
Ini berarti, $(21, 20, 29)$ merupakan Tripel Pythagoras.
Cek (ii) $8, 11, \sqrt{175}$
$\begin{aligned} 8^2 + 11^2 & = 64+121 \\ & = 185 \neq (\sqrt{175})^2 = 175 \end{aligned}$
Ini berarti, $(8, 11, \sqrt{175})$ bukan Tripel Pythagoras.
Cek (iii) $50, 48, 14$
$\begin{aligned} 14^2 + 48^2 & = 196+2.304 \\ & = 2.500 = 50^2 \end{aligned}$
Ini berarti, $(50, 18, 14)$ merupakan Tripel Pythagoras.
Jadi, dari pasangan tiga bilangan tersebut, yang merupakan Tripel Pythagoras adalah (i) dan (iii).
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 24

Pada kubus $ABCD.EFGH$ di atas, panjang rusuk $AB = 8~\text{cm}$. Luas segitiga $AHB$ adalah $\cdots \cdot$
A. $32\sqrt2~\text{cm}^2$                     C. $64\sqrt2~\text{cm}^2$
B. $32\sqrt3~\text{cm}^2$                     D. $64\sqrt3~\text{cm}^2$

Penyelesaian

Segitiga $AHB$ merupakan segitiga siku-siku di sudut $A$. Pertama, akan dicari panjang $AH$ terlebih dahulu.
Tinjau segitiga siku-siku $AFH$. Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} AH & = \sqrt{AE^2+EH^2} \\ & = \sqrt{8^2+8^2} \\ & = \sqrt{8^2(1+1)} \\ & = 8\sqrt2~\text{cm} \end{aligned}$
Selanjutnya, akan dicari luas segitiga $AHB$.
$\begin{aligned} L_{AHB} & = \dfrac{a \times t}{2} = \dfrac{AB \times AH}{2} \\ & = \dfrac{\cancelto{4}{8} \times 8\sqrt2}{\cancel{2}} = 32\sqrt2~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Jadi, luas segitiga $AHB$ adalah $\boxed{32\sqrt2~\text{cm}^2}$
(Jawaban A)

[collapse]

CategoriesTeorema PythagorasTags, , , , ,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *