Soal dan Pembahasan – Teorema Pythagoras

Teorema Pythagoras merupakan teorema yang sangat tenar dalam matematika. Berdasarkan namanya, teorema ini dicetuskan oleh Pythagoras, seorang ilmuwan legendaris dari Yunani Kuno.

Teorema Pythagoras

Kuadrat panjang sisi miring (hipotenusa) dari segitiga siku-siku adalah jumlah kuadrat dari dua panjang sisi lainnya.

Dalam materi ini, kita akan mengenai istilah Tripel Pythagoras, yaitu tiga bilangan asli $(a, b, c)$ yang memenuhi rumus Pythagoras. Berikut ini merupakan tabel Tripel Pythagoras yang sering dimunculkan dalam soal.
Perhatikan bahwa jika $(3, 4, 5)$ merupakan Tripel Pythagoras, maka $(3k, 4k, 5k)$ dengan $k$ bilangan asli, juga merupakan Tripel Pythagoras, contohnya $(6, 8, 10)$, $(9, 12, 15)$, dan seterusnya, sehingga tidak dicantumkan dalam tabel berikut.
$\begin{array}{cc} \hline (3, 4, 5) & (5, 12, 13) \\ (7, 24, 25) & (8, 15, 17) \\ (9, 40, 41) & (11, 60, 61) \\ (12, 35, 37) & (13, 84, 85) \\ (15, 112, 113) & (16, 63, 65) \\ (20, 21, 29) & \\ \hline \end{array}$

Untuk memahami lebih lanjut mengenai penggunaan teorema ini dalam menyelesaikan soal, silakan cermati soal dan pembahasan berikut.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1
Perhatikan gambar berikut.


Panjang $BC$ adalah $\cdots \cdot$
A. $3~\text{cm}$                 C. $8~\text{cm}$
B. $6~\text{cm}$                 D. $9~\text{cm}$

Pembahasan

Segitiga $ABC$ merupakan segitiga siku-siku sehingga berlaku Teorema Pythagoras.
Cara 1: Standar
$\begin{aligned} BC & = \sqrt{AB^2- AC^2} \\ & = \sqrt{15^2-12^2} \\ & = \sqrt{225-144} = \sqrt{81} = 9~\text{cm} \end{aligned}$
Cara 2: Kelipatan
Karena $12$ dan $15$ dapat dibagi $3$ dan hasilnya menjadi $4$ dan $5$, maka dengan Teorema Pythagoras,
$x = \sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt9=3$
sehingga
$BC = 3x = 3(3) = 9~\text{cm}$
Jadi, panjang $BC$ adalah $\boxed{9~\text{cm}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Quote by Wilson Kanadi

Cara termudah jadi pandai adalah belajar dari hal terbodoh yang pernah kita lakukan.

Soal Nomor 2
Berikut ini adalah ukuran sisi-sisi dari empat buah segitiga:
1. $3$ cm, $4$ cm, $5$ cm
2. $7$ cm, $8$ cm, $9$ cm
3. $5$ cm, $12$ cm, $15$ cm
4. $7$ cm, $24$ cm, $25$ cm
Segitiga yang berbentuk segitiga siku-siku ditunjukkan oleh nomor $\cdots \cdot$
A. $1$ dan $2$                 C. $2$ dan $3$
B. $1$ dan $3$                 D. $1$ dan $4$

Pembahasan

Apabila 3 bilangan yang mewakili panjang sisi segitiga memenuhi rumus Pythagoras $a^2+b^2=c^2$ dengan $c$ sebagai panjang sisi terpanjang (hipotenusa), maka segitiga itu merupakan segitiga siku-siku.
Cek pernyataan 1:
$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$
(Segitiga siku-siku)
Cek pernyataan 2:
$7^2 + 8^2 = 49+64 = 113 > 9^2 = 81$
(Bukan segitiga siku-siku melainkan segitiga lancip)
Cek pernyataan 3:
$5^2+12^2 = 25+144=169 < 15^2=225$
(Bukan segitiga siku-siku melainkan segitiga tumpul)
Cek pernyataan 4:
$7^2+24^2 = 49+576=625 = 25^2$
(Segitiga siku-siku)
Jadi, segitiga yang berbentuk segitiga siku-siku ditunjukkan oleh nomor 1 dan 4 (Jawaban D).

[collapse]

Soal Nomor 3
Pada gambar berikut, panjang $FL = 12~\text{cm}$ dan $FM = DE = 16~\text{cm}$. Keliling bangun tersebut adalah $\cdots \cdot$

A. $78~\text{cm}$                  C. $86~\text{cm}$

B. $80~\text{cm}$                  D. $92~\text{cm}$

Pembahasan

Pertama, harus dicari panjang $FK$ terlebih dahulu. Karena segitiga $EDK$ merupakan segitiga siku-siku, maka berlaku Teorema Pythagoras.
$\begin{aligned} DK & = \sqrt{EK^2-ED^2} \\ & = \sqrt{20^2-16^2} \\ & =\sqrt{400-256} \\ & = \sqrt{144} = 12~\text{cm} \end{aligned}$
Dengan demikian, $FK = DK-DF = 12-8 = 4~\text{cm}$
Keliling bangun tersebut adalah
$\begin{aligned} k & = ED + DM + ML + LF + FK + KE \\ & = 16 + 8 + 20 + 12 + 4 + 20 \\ & = 80~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, keliling bangun tersebut adalah $\boxed{80~\text{cm}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 4
Perhatikan gambar berikut.

Diketahui $CD = 8$ cm dan $AD = 17$ cm. Panjang $AB$ adalah $\cdots \cdot$
A. $7~\text{cm}$             C. $5~\text{cm}$
B. $6~\text{cm}$             D. $4~\text{cm}$

Pembahasan

Karena $\triangle ACD$ siku-siku, maka berlaku Teorema Pythagoras untuk mencari panjang $AC$, yakni
$\begin{aligned} AC & = \sqrt{AD^2-CD^2} \\ & = \sqrt{17^2-8^2} \\ & =\sqrt{289-64} \\ & = \sqrt{225} = 15~\text{cm} \end{aligned}$
Dari gambar, diketahui bahwa $CD = CB = 8~\text{cm}$, sehingga
$\begin{aligned} AB & = AC-CB \\ & = 15~\text{cm}- 8~\text{cm} = 7~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang $AB$ adalah $\boxed{7~\text{cm}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 5
Perhatikan gambar trapesium berikut.

Panjang $BC$ adalah $\cdots \cdot$

A. $23~\text{cm}$             C. $16~\text{cm}$
B. $17~\text{cm}$             D. $15~\text{cm}$

Pembahasan

Tariklah garis $CE$ seperti gambar berikut.

Diketahui panjang $CE = AD = 15~\text{cm}$ dan panjang $EB = AB-EA = 33-25 = 8~\text{cm}$
Segitiga $CEB$ merupakan segitiga siku-siku.
Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned}BC & = \sqrt{EB^2 + CE^2} \\ & = \sqrt{8^2 + 15^2} \\ & = \sqrt{64+225} \\ & = \sqrt{289} = 17~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang $BC$ adalah $\boxed{17~\text{cm}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 6
Perhatikan gambar di bawah.

Luas daerah segienam itu adalah $\cdots \cdot$

A. $188~\text{cm}^2$             C. $242~\text{cm}^2$
B. $216~\text{cm}^2$             D. $266~\text{cm}^2$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Dari gambar, $ABCH$ merupakan persegi dengan panjang sisi $6~\text{cm}$ sehingga luasnya adalah
$L_{ABCH} = 6 \times 6 = 36~\text{cm}^2$
$CDGH$ merupakan trapesium sama kaki yang tingginya belum diketahui. Perhatikan segitiga siku-siku $CDE$. $CE$ merupakan tinggi trapesium sekaligus tinggi segitiga yang dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras.
$\begin{aligned} t = CE & = \sqrt{CD^2-DE^2} \\ & = \sqrt{15^2-9^2} \\ & = \sqrt{225-81} \\ & = \sqrt{144} = 12~\text{cm} \end{aligned}$
Dengan demikian, luas trapesium $CDGH$ adalah

$\begin{aligned} L_{CDGH} & = \dfrac{GD + HC}{2} \times t \\ & = \dfrac{24 + 6}{\cancel{2}} \times \cancelto{6}{12} \\ & = 30 \times 6 = 180~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Jadi, luas daerah segienam itu dapat ditentukan dengan menjumlahkan luas persegi dan trapesium, yaitu
$\boxed{\begin{aligned} L_{ABCDGH} & = L_{ABCH} + L_{CDGH} \\ & = 36 + 180 = 216~\text{cm}^2 \end{aligned}}$ 
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 7
Perhatikan gambar berikut.

Panjang sisi $BC$ adalah $\cdots \cdot$
A. $16~\text{cm}$                C. $13~\text{cm}$
B. $15~\text{cm}$                D. $12~\text{cm}$

Pembahasan

Perhatikan segitiga siku-siku $ACD$. Panjang $AC$ dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras.
$\begin{aligned} AC & = \sqrt{AD^2-CD^2} \\ & = \sqrt{17^2-8^2} \\ & = \sqrt{289-64} = \sqrt{225} = 15~\text{cm} \end{aligned}$
Selanjutnya, perhatikan segitiga siku-siku $ABC$. Panjang $BC$ dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras.

$\begin{aligned} BC & = \sqrt{AC^2-AB^2} \\ & = \sqrt{15^2-9^2} \\ & = \sqrt{225-81} = \sqrt{144} = 12~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang $BC$ adalah $\boxed{12~\text{cm}}$

(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 8
Perhatikan gambar di bawah.

Diketahui panjang $AD = 16$ cm. Luas bangun $ABCDE$ adalah $\cdots \cdot$
A. $188~\text{cm}^2$              C. $376~\text{cm}^2$
B. $316~\text{cm}^2$              D. $496~\text{cm}^2$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Segitiga sama kaki $ADE$ tidak diketahui tingginya (panjang $AD$) sehingga harus ditentukan dengan menggunakan Teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku $DOE$.
$\begin{aligned} EO & = \sqrt{ED^2-DO^2} \\ & = \sqrt{17^2-8^2} \\ & = \sqrt{289-64} = \sqrt{225} = 15~\text{cm} \end{aligned}$
Dengan demikian, luas $\triangle ADE$ adalah

$\begin{aligned} L_{ADE} & = \dfrac{AD \times EO}{2} \\ & = \dfrac{\cancelto{8}{16} \times 15}{\cancel{2}} \\ & = 8 \times 15 = 120~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Luas trapesium siku-siku $ABCD$ dapat langsung ditentukan luasnya, yaitu
$\begin{aligned} L_{ABCD} & = \dfrac{AB \times CD}{2} \times AD \\ & = \dfrac{20 + 12}{\cancel{2}} \times \cancelto{8}{16} \\ & = 32 \times 8 = 256~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Jadi, luas bangun $ABCDE$ adalah
$\boxed{\begin{aligned} L_{ABCDE} & = L_{ADE} + L_{ABCD} \\ & = 120 + 256 = 376~\text{cm}^2 \end{aligned}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 9
Habel mengamati dua mobil dari puncak menara yang jarak masing-masingnya ke Habel seperti tampak pada gambar berikut.

Jika tinggi menara $12~\text{m}$, maka jarak kedua mobil tersebut adalah $\cdots \cdot$

A. $7~\text{m}$                    C. $11~\text{m}$
B. $10~\text{m}$                  D. $13~\text{m}$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Perhatikan segitiga siku-siku $BCD$. Panjang $BC$ dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras.
$\begin{aligned} BC & = \sqrt{BD^2-CD^2} \\ & = \sqrt{13^2-12^2} \\ & = \sqrt{169-144} = \sqrt{25} = 5~\text{m} \end{aligned}$
Selanjutnya, perhatikan segitiga siku-siku $ACD$. Panjang $AC$ dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras.
$\begin{aligned} AC & = \sqrt{AD^2-CD^2} \\ & = \sqrt{20^2-12^2} \\ & = \sqrt{400-144} = \sqrt{256} = 16~\text{m} \end{aligned}$
Jarak kedua mobil tersebut adalah panjang $AB$, yaitu
$\boxed{AB = AC- BC = 16- 5 = 11~\text{m}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 10
Perhatikan gambar di bawah.

$ABCD$ adalah jajar genjang dengan panjang $CD = 7~\text{cm}$, $AD = 25~\text{cm}$, dan $AE = 22~\text{cm}$. Panjang $CE$ adalah $\cdots \cdot$
A. $17~\text{cm}$              C. $22~\text{cm}$
B. $20~\text{cm}$              D. $24~\text{cm}$

Pembahasan

Diketahui bahwa $AD = BC = 25~\text{cm}$ dan $BE = AE-AB = 22-7 = 15~\text{cm}$ (perhatikan bahwa $AB = CD$). Karena segitiga $BEC$ merupakan segitiga siku-siku, maka berlaku Teorema Pythagoras, sehingga
$\begin{aligned} CE & = \sqrt{BC^2-BE^2} \\ & = \sqrt{25^2-15^2} \\ & = \sqrt{625-225} \\ &= \sqrt{400} = 20~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang $CE$ adalah $\boxed{20~\text{cm}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 11
Perhatikan gambar di bawah.

Keliling bangun $ABCDE$ adalah $\cdots \cdot$
A. $56~\text{cm}$             C. $74~\text{cm}$
B. $59~\text{cm}$             D. $86~\text{cm}$

Pembahasan

Pertama-tama, akan dicari panjang $DE$. Perhatikan bahwa $AB = CE = 15~\text{cm}$. Karena segitiga $CDE$ siku-siku, maka berlaku
$\begin{aligned} DE & = \sqrt{CE^2-CD^2} \\ & = \sqrt{15^2-9^2} \\ & = \sqrt{225-81} \\ &= \sqrt{144} = 12~\text{cm} \end{aligned}$
Dengan demikian, keliling bangun $ABCDE$ adalah

$\begin{aligned} k & = AB + BC + CD + DE + EA \\ & = 15 + 10 + 9 + 12 + 10 \\ & = 56~\text{cm} \end{aligned}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 12
Perhatikan gambar di bawah.

Daerah yang diarsir adalah sketsa tanah yang ditanami rumput.
Luas hamparan rumput tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $954~\text{m}^2$                C. $454~\text{m}^2$
B. $904~\text{m}^2$                D. $404~\text{m}^2$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Luas trapesium $ABCH$ tidak dapat ditentukan karena panjang $CH$ tidak diketahui. Sekarang, perhatikan segitiga siku-siku $BOC$ di mana $CO = AH = 20~\text{m}$ dan $BC = 25~\text{m}$, sehingga dengan menggunakan Teorema Pythagoras, didapat

$\begin{aligned} OB & = \sqrt{BC^2-CO^2} \\ & = \sqrt{25^2-20^2} \\ & = \sqrt{625-400} \\ &= \sqrt{225} = 15~\text{m} \end{aligned}$
Untuk itu, $AO = AB- OB = 35- 15 = 20~\text{m}.$
Perhatikan bahwa $AO = CH = 20~\text{m}$.
Dengan demikian, luas trapesium $ABCH$ adalah
$\begin{aligned} L_{ABCH} & = \dfrac{AB + CH}{2} \times CO \\ & = \dfrac{35 + 20}{\cancel{2}} \times \cancelto{10}{20} \\ & = 55 \times 10 = 550~\text{m}^2 \end{aligned}$
Luas persegi panjang $DEFG$ adalah
$L_{DEFG} = p \times l = 12 \times 8 = 96~\text{m}^2$
Luas hamparan rumput (luas daerah yang diarsir) dapat ditentukan dengan mengurangi luas trapesium $ABCH$ terhadap luas persegi panjang $DEFG$, yaitu
$\boxed{\begin{aligned} L_{\text{arsir}} & = L_{ABCH}-L_{DEFG} \\ & = 550- 96 = 454~\text{cm}^2 \end{aligned}}$
(Jawaban C) 

[collapse]

Soal Nomor 13
Seorang pengamat berada pada puncak menara dengan ketinggian 120 m. Ia melihat perahu $A$ dengan jarak 130 m dan melihat perahu $B$ dengan jarak 150 m. Jika dasar menara, perahu $A$, dan perahu $B$ segaris, maka jarak perahu $A$ ke perahu $B$ adalah $\cdots \cdot$
A. $140~\text{m}$                  C. $50~\text{m}$
B. $90~\text{m}$                    D. $40~\text{m}$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut di mana titik $C$ merupakan puncak menara, sedangkan titik $D$ merupakan dasar menar
Panjang garis $AD$ (jarak perahu $A$ ke dasar menara) dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku $ACD$.
$\begin{aligned} AD & = \sqrt{AC^2-CD^2} \\ & = \sqrt{130^2-120^2} \\ & =\sqrt{16.900-14.400} \\ & = \sqrt{2.500} = 50~\text{m} \end{aligned}$
Panjang garis $BD$ (jarak perahu $B$ ke dasar menara) juga dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku $BCD$.
$\begin{aligned} BD& = \sqrt{BC^2-CD^2} \\ & = \sqrt{150^2-120^2} \\ & =\sqrt{22.500-14.400} \\ & = \sqrt{8.100} = 90~\text{m} \end{aligned}$
Jarak kedua perahu (jarak titik $A$ dan $B$) adalah
$\boxed{AB = BD-AD = 90~\text{m}-50~\text{m} = 40~\text{m}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 14
Kebun berbentuk belah ketupat dengan panjang diagonal $10~\text{m}$ dan $24~\text{m}$ akan dipasang kawat di sekelilingnya sebanyak 3 putaran. Jika harga $1~\text{m}$ kawat Rp5.000,00, maka harga seluruh kawat yang diperlukan adalah $\cdots \cdot$
A. Rp260.000,00
B. Rp510.000,00
C. Rp580.000,00
D. Rp780.000,00

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar belah ketupat berikut.
Segitiga $ABO$ merupakan segitiga siku-siku.
Panjang sisi belah ketupat ($AB$) dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras.
$\begin{aligned} AB & = \sqrt{OA^2 + OB^2} \\ & = \sqrt{5^2 + 12^2} \\ & = \sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13~\text{m} \end{aligned}$
Keliling belah ketupatnya adalah
$k = 4 \times AB = 4 \times 13 = 52~\text{m}$
Karena kawat dipasangkan di sekeliling bangun belah ketupat sebanyak 3 putaran, maka panjang kawat yang dibutuhkan adalah
$p = 3 \times 52~\text{m} = 156~\text{m}$
Dengan demikian, harga seluruh kawat yang diperlukan sebesar
$\boxed{\text{Rp}5.000,00 \times 156 = \text{Rp}780.000,00}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 15
Sutan memiliki empat buah lidi yang masing-masing berukuran $4$ cm, $5$ cm, $9$ cm, dan $10$ cm. Dari keempat lidi tersebut akan dibuat segitiga. Segitiga yang mungkin dapat dibentuk Sutan dengan menggunakan lidi-lidi tersebut adalah $\cdots \cdot$

  1. sebuah segitiga tumpul
  2. sebuah segitiga lancip dan dua buah segitiga tumpul
  3. dua buah segitiga tumpul
  4. dua buah segitiga lancip dan sebuah segitiga tumpul

Pembahasan

Berdasarkan Aturan Ketaksamaan Segitiga (Triangle Inequality), tiga bilangan $(a, b, c)$ dapat menjadi panjang sisi segitiga bila jumlah dua panjang sisi lebih besar dari panjang sisi yang satunya.
Kemungkinan 1:
Tiga bilangan $(4, 5, 9)$ tidak dapat dibuat menjadi panjang sisi segitiga karena $4 + 5 = 9$.
Kemungkinan 2:

Tiga bilangan $(4, 5, 10)$ tidak dapat dibuat menjadi panjang sisi segitiga karena $4 + 5 < 10$. Ingat bahwa jumlah dua bilangan harus lebih besar dari bilangan lainnya.
Kemungkinan 3:

Tiga bilangan $(4, 9, 10)$ dapat dibuat menjadi panjang sisi segitiga.
Untuk memeriksa jenis segitiganya, gunakan Teorema Pythagoras.
$4^2 + 9^2 = 16 + 81 = 97 < 10^2 = 100$
Karena bertanda $<$, maka segitiga yang terbentuk adalah segitiga tumpul.
Kemungkinan 4:

Tiga bilangan $(5, 9, 10)$ dapat dibuat menjadi panjang sisi segitiga.
Untuk memeriksa jenis segitiganya, gunakan Teorema Pythagoras.
$5^2 + 9^2 = 25 + 81 = 106 > 10^2 = 100$
Karena bertanda $>$, maka segitiga yang terbentuk adalah segitiga lancip.
Jadi, Sutan dapat membuat sebuah segitiga lancip dan sebuah segitiga tumpul dengan menggunakan lidi-lidi tersebut. Opsi yang memungkinkan adalah A.
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 16
A triangle $ABC$ has sides $a, b$ and $c$. For that triangle the following statements are given:

(i) if $b^2=a^2-c^2$, then $\angle B = 90^{\circ}$
(ii) if $c^2=a^2+b^2$, then $\angle C = 90^{\circ}$
(iii) if $a^2=b^2-c^2$, then $\angle B = 90^{\circ}$
(iv) if $b^2=a^2+c^2$, then $\angle A = 90^{\circ}$
Among the above statements, those which are true are $\cdots \cdot$
A. (i) and (iii)                   C. (ii) and (iii)
B. (ii) and (iv)                  D. (i) and (iv)

Pembahasan

Akan diperiksa kebenaran masing-masing pernyataan di atas.
Pernyataan (i):
Perhatikan bahwa
$b^2=a^2-c^2 \Leftrightarrow a^2 = b^2+c^2$
Berdasarkan Teorema Pythagoras, $\angle A = 90^{\circ}$.
Dengan demikian, pernyataan bernilai salah.
Pernyataan (ii):
Perhatikan bahwa
$c^2=a^2+b^2$
Berdasarkan Teorema Pythagoras, $\angle C = 90^{\circ}$.
Dengan demikian, pernyataan bernilai benar.
Pernyataan (iii):
Perhatikan bahwa
$a^2=b^2-c^2 \Leftrightarrow b^2 = a^2+c^2$
Berdasarkan Teorema Pythagoras, $\angle B = 90^{\circ}$.
Dengan demikian, pernyataan bernilai benar.
Pernyataan (iv):
Perhatikan bahwa
$b^2=a^2+c^2$
Berdasarkan Teorema Pythagoras, $\angle B = 90^{\circ}$.
Dengan demikian, pernyataan bernilai salah.
Jadi, pernyataan yang benar adalah pernyataan (ii) dan (iii).
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 17
A right triangle has two legs measuring $4x$ cm and $3x$ cm in length. If the length of its hypotenuse is $20$ cm, then the perimeter of the triangle is $\cdots \cdot$
A. $27$ cm                        C. $48$ cm
B. $34$ cm                        D. $54$ cm

Pembahasan

Suppose $y$ be the length of hypotenuse. By applying Pythagorean Theorem (since it is right triangle), we have
$\begin{aligned} y & = \sqrt{(4x)^2+(3x)^2} \\ 20 & = \sqrt{16x^2+9x^2} \\ 20 & = \sqrt{25x^2} \\ 20 & = 5x \\ x & = 4 \end{aligned}$
Thus, the length of sides of the right triangle are $4(4) = 16$ cm, $3(4) = 12$ cm and the hypotenuse itself, $20$ cm.
Hence, the perimeter of the triangle is $\boxed{16+12+20 = 48~\text{cm}}$
(Answer C)

[collapse]

Soal Nomor 18
Pada gambar berikut, $PQR$ merupakan segitiga sama sisi dengan panjang sisi $12$ cm. Panjang $RS$ adalah $\cdots \cdot$

A. $3$ cm                          C. $6$ cm
B. $3\sqrt3$ cm                     D. $6\sqrt3$ cm

Pembahasan

Karena $\triangle PQR$ sama sisi, maka $PQ = QR = PR = 12~\text{cm}$. $S$ merupakan titik tengah $PQ$ sehingga $PS = SQ = 6~\text{cm}$.
Tinjau segitiga siku-siku $RSQ$.
Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} RS & = \sqrt{RQ^2-SQ^2} \\ & = \sqrt{12^2-6^2} \\ & = \sqrt{144-36} \\ & = \sqrt{108} \\ & = \sqrt{36 \times 3} = 6\sqrt3~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang $RS$ adalah $\boxed{6\sqrt3~\text{cm}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 19
Luas sebuah belah ketupat adalah $240~\text{cm}^2$. Jika panjang salah satu diagonalnya $16~\text{cm}$, maka keliling belah ketupat itu adalah $\cdots \cdot$
A. $48$ cm                         C. $92$ cm
B. $68$ cm                         D. $102$ cm

Pembahasan

Diketahui $L = 240~\text{cm}^2$ dan $d_1 = 16~\text{cm}$.
Akan dicari panjang diagonal yang lain menggunakan rumus belah ketupat.
$\begin{aligned} L & = \dfrac{d_1 \times d_2}{2} \\ 240 & = \dfrac{\cancelto{8}{16} \times d_2}{\cancel{2}} \\ 240 & = 8 \times d_2 \\ d_2 & = 30~\text{cm} \end{aligned}$
Perhatikan gambar belah ketupat berikut.
Segitiga $AOB$ siku-siku di $O$ dengan $OB = \dfrac12 \times 30 = 15~\text{cm}$ dan $AO = \dfrac12 \times 16 = 8~\text{cm}$. Panjang hipotenusa $AB$ dapat dihitung dengan menerapkan rumus Pythagoras.
$\begin{aligned} AB & = \sqrt{AO^2+OB^2} \\ & = \sqrt{8^2+15^2 } \\ & = \sqrt{64+225} \\ & = \sqrt{289} = 17~\text{cm} \end{aligned}$
Panjang sisi belah ketupat adalah $17~\text{cm}$. Kelilingnya adalah $\boxed{4 \times 17 = 68~\text{cm}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 20
Panjang diagonal ruang sebuah kubus yang luas alasnya $64~\text{cm}^2$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\sqrt{128}~\text{cm}$                       C. $\sqrt{256}~\text{cm}$
B. $\sqrt{192}~\text{cm}$                       D. $\sqrt{768}~\text{cm}$

Pembahasan

Karena alas kubus berupa persegi, maka panjang rusuk kubus dapat ditentukan dengan menggunakan rumus luas persegi.
$\begin{aligned} L & = s^2 \\ 64 &= s^2 \\ s & = \sqrt{64} = 8~\text{cm} \end{aligned}$
Perhatikan gambar kubus berikut. Dalam hal ini, kita akan mencari panjang $AG$, yang merupakan salah satu dari empat diagonal ruang kubus.
Segitiga $ABC$ merupakan segitiga siku-siku (di $B$). Diketahui bahwa $AB = BC = 8~\text{cm}$.
Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} AC & = \sqrt{AB^2+BC^2} \\ & = \sqrt{8^2+8^2} \\ & = \sqrt{64+64} = \sqrt{128}~\text{cm} \end{aligned}$
Sekarang, perhatikan segitiga siku-siku $ACG$ (siku-sikunya di $C$).
Diketahui bahwa $CG = 8~\text{cm}$ dan $AC = \sqrt{128}~\text{cm}$.
Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} AG & = \sqrt{AC^2+CG^2} \\ & = \sqrt{(\sqrt{128})^2+8^2} \\ & = \sqrt{128+64} = \sqrt{192}~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang diagonal ruang kubus tersebut adalah $\boxed{\sqrt{192}~\text{cm}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 21

Pada layang-layang $ABCD$ di atas, panjang $AB = 20~\text{cm}$, $BC = 13~\text{cm}$, dan diagonal $BD = 24~\text{cm}$. Luas layang-layang $ABCD$ adalah $\cdots \cdot$
A. $252~\text{cm}^2$                     C. $396~\text{cm}^2$
B. $370~\text{cm}^2$                     D. $504~\text{cm}^2$

Pembahasan

Diketahui $BD = 24~\text{cm}$. Karena $E$ tepat di tengah sisi $BD$, maka $BE = \dfrac12 \times 24 = 12~\text{cm}$. Dengan menggunakan Teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku $BEC$, diperoleh
$\begin{aligned} EC & = \sqrt{BC^2-BE^2} \\ & = \sqrt{13^2-12^2} \\ & = \sqrt{169-144} = \sqrt{25} = 5~\text{cm} \end{aligned}$
engan menggunakan Teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku $AEB$, diperoleh

$\begin{aligned} AE & = \sqrt{AB^2-BE^2} \\ & = \sqrt{20^2-12^2} \\ & = \sqrt{400-144} = \sqrt{256} = 16~\text{cm} \end{aligned}$
Dengan demikian, diagonal $AC = AE + EC = 16 + 5 = 21~\text{cm}$.

Luas layang-layang $ABCD$ adalah
$\begin{aligned} L_{ABCD} & = \dfrac{AC \times BD}{2} \\ & = \dfrac{21 \times \cancelto{12}{24}}{\cancel{2}} \\ & = 252~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Jadi, luas layang-layang tersebut adalah $\boxed{252~\text{cm}^2}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 22
Pada persegi panjang $PQRS$ di atas, panjang $PR = 20~\text{cm}$ dan besar $\angle QPR = 30^{\circ}$. Luas persegi panjang $PQRS$ adalah $\cdots \cdot$
A. $50\sqrt2~\text{cm}^2$                    C. $100\sqrt2~\text{cm}^2$
B. $50\sqrt3~\text{cm}^2$                    D. $100\sqrt3~\text{cm}^2$

Pembahasan

Tinjau segitiga siku-siku $PQR$. Perbandingan antara panjang sisi di hadapan sudut di hadapan sudut $30^{\circ}$, sisi miring, dan sisi di hadapan sudut $60^{\circ}$ adalah $1 : 2 : \sqrt3$. 
Diketahui bahwa besar $\angle P = 30^{\circ}$, $\angle Q = 90^{\circ}$, dan $\angle R = 60^{\circ}$ sehingga perbandingan panjang sisi $QR : PR : PQ = 1 : 2 : \sqrt3$. Karena $PR = 20~\text{cm}$, maka dengan menggunakan perbandingan tersebut, diperoleh
$\begin{aligned} QR : PR & = 1 : 2 \\ QR : 20 & = 1 : 2 \\ QR & = \dfrac12 \times 20 = 10~\text{cm} \end{aligned}$
dan
$\begin{aligned} PQ : PR & = \sqrt3 : 2 \\ QR : 20 & = \sqrt3 : 2 \\ QR & = \dfrac12\sqrt3 \times 20 = 10\sqrt3~\text{cm} \end{aligned}$
Dengan demikian, luas persegi panjang tersebut adalah
$\boxed{\begin{aligned} L_{PQRS} & = PQ \times QR \\ & = 10\sqrt3 \times 10 = 100\sqrt3~\text{cm}^2 \end{aligned}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 23
Diketahui pasangan tiga bilangan berikut:
i) $21, 20, 29$
ii) $8, 11, \sqrt{175}$
iii) $50, 48, 14$
Dari pasangan tiga bilangan tersebut, yang merupakan Tripel Pythagoras adalah $\cdots \cdot$
A. (i) dan (ii)                        C. (ii) dan (iii)
B. (i) dan (iii)                       D. (i), (ii), dan (iii)

Pembahasan

Tiga bilangan $a, b, c$ dikatakan Tripel Pythagoras apabila memenuhi
$a^2+b^2 = c^2$
dengan $c$ sebagai bilangan terbesar.
Cek (i) $21, 20, 29$
$\begin{aligned} 20^2 + 21^2 & = 400+441 \\ & = 841 = 29^2 \end{aligned}$
Ini berarti, $(21, 20, 29)$ merupakan Tripel Pythagoras.
Cek (ii) $8, 11, \sqrt{175}$
$\begin{aligned} 8^2 + 11^2 & = 64+121 \\ & = 185 \neq (\sqrt{175})^2 = 175 \end{aligned}$
Ini berarti, $(8, 11, \sqrt{175})$ bukan Tripel Pythagoras.
Cek (iii) $50, 48, 14$
$\begin{aligned} 14^2 + 48^2 & = 196+2.304 \\ & = 2.500 = 50^2 \end{aligned}$
Ini berarti, $(50, 18, 14)$ merupakan Tripel Pythagoras.
Jadi, dari pasangan tiga bilangan tersebut, yang merupakan Tripel Pythagoras adalah (i) dan (iii).
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 24
Pada kubus $ABCD.EFGH$ di atas, panjang rusuk $AB = 8~\text{cm}$. Luas segitiga $AHB$ adalah $\cdots \cdot$
A. $32\sqrt2~\text{cm}^2$                     C. $64\sqrt2~\text{cm}^2$
B. $32\sqrt3~\text{cm}^2$                     D. $64\sqrt3~\text{cm}^2$

Pembahasan

Segitiga $AHB$ merupakan segitiga siku-siku di sudut $A$. Pertama, akan dicari panjang $AH$ terlebih dahulu.
Tinjau segitiga siku-siku $AFH$. Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} AH & = \sqrt{AE^2+EH^2} \\ & = \sqrt{8^2+8^2} \\ & = \sqrt{8^2(1+1)} \\ & = 8\sqrt2~\text{cm} \end{aligned}$
Selanjutnya, akan dicari luas segitiga $AHB$.
$\begin{aligned} L_{AHB} & = \dfrac{a \times t}{2} = \dfrac{AB \times AH}{2} \\ & = \dfrac{\cancelto{4}{8} \times 8\sqrt2}{\cancel{2}} = 32\sqrt2~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Jadi, luas segitiga $AHB$ adalah $\boxed{32\sqrt2~\text{cm}^2}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 25
Seseorang berjalan dari titik $X$ ke timur sejauh $1$ km, lalu ke $2$ km ke arah utara, $1$ km ke timur, $1$ km ke arah utara, $1$ km ke timur lagi, dan terakhir $1$ km ke arah utara sampai mencapai titik $Y$. Jarak titik $X$ ke $Y$ adalah $\cdots \cdot$
A. $8$ km                       C. $6$ km
B. $7$ km                       D. $5$ km

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar perjalanan orang tersebut.
Jarak titik $X$ dan $Y$ dapat ditentukan dengan menggunakan rumus Pythagoras, berdasarkan segitiga siku-siku $XZY$.
$\begin{aligned} XY & = \sqrt{XZ^2 + ZY^2} \\ & = \sqrt{3^2 + 4^2} \\ & = \sqrt{25} = 5 \end{aligned}$
Jadi, jarak kedua titik tersebut adalah $\boxed{5~\text{km}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 1
Di dalam sebuah persegi panjang dibuat dua buah setengah lingkaran yang ukurannya sama dan saling bersinggungan seperti tampak pada gambar di bawah.

Jika panjang dan lebar persegi panjang tersebut masing-masing $16$ cm dan $8$ cm, maka hitunglah panjang diameter setengah lingkaran tersebut.

Pembahasan

Misalkan panjang jari-jari lingkaran itu adalah $r$. Sekarang, perhatikan sketsa gambar berikut.

Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} r + x + r & = 16 \\ 2r + x & = 16 \\ x & = 16-2r \end{aligned}$
Pada segitiga siku-siku itu, berlaku rumus Pythagoras.
$$\begin{aligned} (r+r)^2 & = 8^2 + x^2 \\ (2r)^2 & = 64 + (16-2r)^2 \\ (2r)^2-(16-2r)^2 & = 64 \\ (2r+16-2r)(2r-16+2r) & = 64 \\ 16(4r-16) & = 64 \\ 4r-16 & = 4 \\ 4r & = 20 \\ r & = 5 \end{aligned}$$Karena panjang jari-jari lingkarannya $5$ cm, maka itu berarti panjang diameternya adalah $\boxed{2(5) = 10~\text{cm}}$

[collapse]

Soal Nomor 2
Berapa banyak segitiga siku-siku yang memiliki ukuran sisi bilangan bulat serta memiliki luas dan keliling yang nilainya sama?

Pembahasan

Karena segitiganya siku-siku, maka berlaku rumus Pythagoras. Misalkan panjang sisinya $(a, b, c)$ dengan $c$ sebagai hipotenusa. Tripel Pythagoras ini dapat ditulis juga sebagai
$\begin{aligned} a & = m^2-n^2 \\ b & = 2mn \\ c & = m^2+n^2 \end{aligned}$
untuk setiap bilangan bulat positif $m$ dan $n$ serta $m > n$.
Keliling segitiganya adalah
$\begin{aligned} \textbf{k} & = a + b + c \\ & = (m^2-n^2)+(2mn)+(m^2+n^2) \\ & = 2m^2+2mn \end{aligned}$
Luas segitiganya adalah
$\begin{aligned} \textbf{L} & = \dfrac{a \times b}{2} \\ & = \dfrac{(m^2-n^2)(2mn)}{2} \\ & = (m^2-n^2)mn \end{aligned}$
Karena nilai keliling dan luasnya sama, maka ditulis
$\begin{aligned} \textbf{k} & = \textbf{L} \\ 2m^2+2mn & = (m^2-n^2)mn \\ 2\cancel{m}\bcancel{(m+n)} & = \bcancel{(m+n)}(m-n)\cancel{m}n \\ 2 & = n(m-n) \end{aligned}$
Jika diselesaikan menurut $m$, kita peroleh $m = \color{red}{\dfrac{2}{n}} + n$.
Karena $m$ bulat positif, maka nilai $n$ yang mungkin adalah $1$ atau $2$.
Jika $n = 1$, didapat $m = \dfrac21+1=3$.
Jika $n=2$, didapat $m=\dfrac22+2=3$.
Dengan demikian, berturut-turut kita peroleh panjang sisi segitiganya sebagai berikut.
Untuk $(m, n) = (3, 1)$, diperoleh

$\begin{aligned} a & = m^2-n^2 = 3^2-1^2 = 8 \\ b & = 2mn = 2(3)(1) = 6 \\ c & = m^2+n^2 = 3^2+1^2=10 \end{aligned}$
Berarti, panjang sisinya $(6, 8, 10)$.
Untuk $(m, n) = (3, 2)$, diperoleh
$\begin{aligned} a & = m^2-n^2 = 3^2-2^2 = 5 \\ b & = 2mn = 2(3)(2) = 12 \\ c & = m^2+n^2 = 3^2+2^2=13\end{aligned}$
Berarti, panjang sisinya $(5, 12, 13)$.
Jadi, disimpulkan bahwa ada $\boxed{2}$ segitiga siku-siku yang memiliki ukuran sisi bilangan bulat serta memiliki nilai luas dan keliling yang sama.

[collapse]

5 Replies to “Soal dan Pembahasan – Teorema Pythagoras”

  1. cara agar lebih gampang
    Triple Pythagoras

    1 = 3,4,5
    2= 5,12,13
    3= 7,24,25
    4= 8,15,17
    5= 9,40,41
    6= 11,60,61
    7= 12,35,37
    8= 20,21,29

    semoga ngerti yaa
    ini adalah cara tergampang!
    cobain aja sendiri

  2. maaf..
    utk soal no 15, kiranya cuma dapat terbentuk satu sgtga lancip dan satu sgtga tumpul
    karena lidi dengan panjang 4, 5 dan 10 seharusnya tdk dpt terbentuk segitiga
    maaf jk ada kesalahan

Tinggalkan Balasan

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *