Soal dan Pembahasan – Komposisi dan Invers Fungsi

Perhatikan bahwa pada fungsi $f$, bilangan $5$ dipetakan ke $13$ sehingga menjadi $(5,13)$. 
Lalu pada fungsi $g$, bilangan $13$ dipetakan ke $52$ sehingga menjadi $(13,52)$. 
Terakhir pada fungsi $h$, bilangan $52$ dipetakan ke $-47$ sehingga menjadi $(52,-47)$. 
Jadi, hasil dari $\boxed{(h \circ g \circ f) (5) =-47}$
(Jawaban A)

Diketahui $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(3x-1).$
Karena fungsi $g(x) = 2x^2-3$, maka
$$\begin{aligned} g(3x-1) & = 2(3x-1)^2-3 \\ & = 2(3x-1)(3x-1)-3 \\ & = 2(9x^2-3x-3x + 1)-3 \\ & = 18x^2-6x-6x + 2-3 \\ & = 18x^2-12x-1 \end{aligned}$$Jadi, $\boxed{(g \circ f)(x) = 18x^2-12x- 1}$
(Jawaban E)

Diketahui $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(3x + 5)$
Karena $f(x) = x^2-4x + 2$, maka
$$\begin{aligned} f(3x+5) & = (3x+5)^2- 4(3x+5) + 2 \\ & = (9x^2 + 30x + 25)- 12x-20 + 2 \\ & = 9x^2 + 18x + 7 \end{aligned}$$Jadi, fungsi komposisi $\boxed{(f \circ g)(x) = 9x^2 + 18x + 7}$
(Jawaban D)

Diketahui $g(x) = 2x-4$ sehingga
$\begin{aligned} (f \circ g) (x) & = f(g(x)) \\ & = f(2x-4) \\ & = \dfrac{7x+3}{5x-9} \end{aligned}$
Agar, $f(2) = f(2x-4)$ terpenuhi, maka haruslah persamaan $2 = 2x-4$ berlaku sehingga nilai $x = 3$. Selanjutnya,
$\begin{aligned} f(2(3)-4) &= \dfrac{7(3)+3}{5(3)-9} \\ f(2) & = 4 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $f(2)$ adalah $\boxed{4}$
(Jawaban D)

Diketahui $f(x) = 2x- 1$ sehingga dapat ditulis
$$\begin{aligned} (g \circ f) (x) = g(f(x)) & =  4x^2-10x+5 \\ g(2x-1) & = 4x^2-10x+5 \end{aligned}$$Dalam hal ini, $2x-1 = 1$ karena yang ditanyakan adalah $g(-1)$, dan selanjutnya diperoleh
$\begin{aligned} 2x & = 0 \\ x & = 0 \end{aligned}$
Jadi, untuk $x = 0$, didapat
$g(-1) = 4(0)^2-10(0) + 5 = 5.$
Jadi, nilai dari $g(-1)$ adalah $\boxed{5}$
(Jawaban D)

Alternatif 1:
Diketahui $g(x-2)= 2x-3$ sehingga
$\begin{aligned} (f \circ g) (x-2) & = f(g(x-2)) \\ & = f(2x-3) \\ & = 4x^2-8x + 3 \end{aligned}$
Dalam hal ini, $2x-3 =-3$ atau nantinya diperoleh $x = 0$ karena yang ditanyakan adalah $f(-3)$.
Jadi, untuk $x = 0$, diperoleh
$f(-3) = 4(0)^2-8(0) + 3 = 3.$
Alternatif 2: Membentuk unsur fungsi
$$\begin{aligned} (f \circ g) (x-2) = f(g(x-2)) & = f(2x-3) = 4x^2-8x + 3 \\ f(2x-3) & = (2x-3)^2 + 4x-6 \\ f(2x-3) & = (2x-3)^2 + 2(x-3) \\ f(x) & = x^2 + 2x \end{aligned}$$Jadi, haruslah $f(-3) = (-3)^2 + 2(-3)= 9-6 = 3.$
(Jawaban C)

Akan dicari $(g \circ f) (x)$ sebagai berikut.
$\begin{aligned} (g \circ f) (x) &= g(f(x)) \\ & = g\left(\dfrac{2x-4}{5-x}\right) \\ & = 3\left(\dfrac{2x-4}{5-x}\right) +7 \\ & = \dfrac{6x-12}{5-x} + \dfrac{7(5- x)} {5-x} \\ & = \dfrac{-x+23}{5-x} \end{aligned} $
Misalkan $y = (g \circ f) (x)$, maka diperoleh
$\begin{aligned} y & = \dfrac{-x+23}{5-x} \\ 5y-xy & =-x + 23 \\ 5y-23 & = x(-1 + y) \\ x = (g \circ f)^{-1} (y) & = \dfrac{5y-23}{-1+y} \end{aligned}$
Jadi, diperoleh
$\boxed{(g \circ f)^{-1}(x) = \dfrac{5x-23}{-1+x}} $
(Jawaban A)

Informasi pada soal memberikan
$\begin{aligned} (f \circ g) (x) & = (g \circ f) (x) \\ f(g(x)) & = g(f(x)) \\ f(2x + a + 1) & = g(2-x) \\ 2-(2x + a + 1) & = 2(2-x) +a + 1 \\ 2-2x-a-1 & = 4-2x + a + 1 \\-a + 1 & = a + 5 \\-2a & = 4 \\ a & =-2 \end{aligned}$
Jadi, nilai $a$ adalah $\boxed{-2}$
(Jawaban B)

Informasi pada soal memberikan
$\begin{aligned} (f \circ g)(x) & = (g \circ f)(x) \\ f(g(x)) & = g(f(x)) \\ f(3x-6) & = g(2p+8) \\ 2p + 8 & = 3(2p+8)-6 \\ 6 & = 2(2p +8) \\ 3 & = 2p + 8 \\-5 & = 2p \\ p & =-\dfrac{5}{2} \end{aligned}$
Jadi, nilai $p$ yang memenuhi adalah $\boxed{-\dfrac{5}{2}}$
(Jawaban A)

Misalkan $g(x) = y$ sehingga fungsi $g$ di atas dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} y & = \dfrac{x+1}{2x-3} \\ y(2x-3) & = x + 1 \\ 2xy- 3y- x & = 1 \\ x(2y-1) & = 1 + 3y \\ x & = \dfrac{1+3y}{2y-1} = \dfrac{3y + 1}{2y-1} \\ g^{-1}(y) & = \dfrac{3y + 1}{2y-1} \\ g^{-1}(x) & = \dfrac{3x + 1}{2x-1} \end{aligned}$
Jadi, fungsi invers $g$ adalah $\boxed{\dfrac{3x + 1}{2x-1}}$ dengan syarat $x \neq \dfrac{1}{2}$ (agar penyebutnya tak nol)
(Jawaban B)

Diketahui
$\begin{aligned} (g \circ f)(x) & = g(f(x)) \\ & = g(4x+2) \\ & = \dfrac{(4x+2)-3}{(4x+2)+1} \\ & = \dfrac{4x-1}{4x+3} \end{aligned}$
Langkah selanjutnya adalah mencari invers dari fungsi komposisi $f$ dan $g$. Misalkan $y = (g \circ f)(x)$ sehingga dapat ditulis
$\begin{aligned} y & = \dfrac{4x-1}{4x+3} \\ y(4x+3) & = 4x-1 \\ 4xy + 3y & = 4x-1 \\ 4xy-4x & =-3y-1 \\ x(4y-4) & =-3y-1 \\ x& = \dfrac{-3y-1}{4y-4} \\ (f \circ g)(y)^{-1}& = \dfrac{-3y-1}{4y-4} \\ (f \circ g)(x)^{-1}& = \dfrac{-3x-1}{4x-4} \\ (f \circ g)(x)^{-1}& = \dfrac{3x+1}{4-4x} \end{aligned}$
Jadi, invers dari $(g \circ f)(x)$ adalah $\boxed{(f \circ g)(x)^{-1} = \dfrac{3x+1}{4-4x}, x \neq 1}$
(Jawaban D)

Akan dicari invers dari fungsi $g$. Misalkan $g(x) = y$, maka diperoleh
$\begin{aligned} y & = \dfrac{8-3x}{4-x} \\ y(4-x) & = 8-3x \\ 4y-xy + 3x & = 8 \\ x(3-y) & = 8-4y \\ x = g^{-1}(y) & = \dfrac{8-4y} {3-y} \\ g^{-1}(x) & = \dfrac{8-4x} {3-x} \end{aligned}$
Jadi, invers fungsi $g$ adalah $g^{-1}(x) = \dfrac{8-4x} {3-x}$ sehingga $\boxed{g^{-1}(4) = \dfrac{8-4(4)}{3-4}= \dfrac{-8}{-1} = 8}$
(Jawaban D)

Misalkan $f(x) = y$, maka diperoleh
$\begin{aligned} y & = \dfrac{5-4x} {7x-3} \\ y(7x-3) & = 5-4x \\ 7xy-3y + 4x & = 5 \\ x(7y + 4) & = 5 + 3y \\ x = f^{-1}(y) & = \dfrac{5+3y} {7y+4} \\ f^{-1}(x) & = \dfrac{5+3x} {7x+4} \end{aligned}$
Jadi, invers dari fungsi $f(x)$ adalah $\boxed{f^{-1}(x) = \dfrac{5+3x}{7x+4}} $
(Jawaban A)

Perhatikan bahwa fungsi $f$ memasangkan $1$ ke $2$, sedangkan fungsi komposisi $g \circ f$ memasangkan $1$ ke $5$. Ini berarti fungsi $g$ memasangkan $2$ ke $5$. Analog dengan ini, fungsi $g$ memasangkan $3$ ke $6$, $4$ ke $7$, dan $5$ ke $8$.
$\color{blue}{1 \longrightarrow 2 \longrightarrow 5}$
$\color{blue}{2 \longrightarrow 3 \longrightarrow 6}$
$\color{blue}{3 \longrightarrow 4 \longrightarrow 7}$
$\color{blue}{4 \longrightarrow 5 \longrightarrow 8}$
atau ditulis $g = \{(2,5), (3,6), (4,7), (5,8)\}$
sehingga $g^{-1} = \{(5,2), (6,3), \color{red}{(7,4)}, (8,5)\}$.
Jadi, $\boxed{g^{-1}(7) = 4}$
(Jawaban C)

Misalkan $f^{-1}(1) = a$, maka $f(a) = 1$. Diketahui $f\left(\dfrac{3}{2x-3}\right) = \dfrac{2x+3}{x+4}$
sehingga untuk $a = \dfrac{3}{2x-3}$, maka haruslah
$\begin{aligned} \dfrac{2x+3}{x+4} & = 1 \\ 2x+3 & = x + 4 \\ x & = 1 \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned}a & = \dfrac{3}{2x-3} \\ & = \dfrac{3}{2(1)-3} = \dfrac{3}{-1} =-3 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{f^{-1}(1) =-3}$
(Jawaban B)

Diketahui bahwa
$\begin{aligned} (g^{-1} \circ f^{-1}) (x) & = (f \circ g)^{-1}(x) \\ &  =-2x + 4 \end{aligned}$
Misalkan $(f \circ g)^{-1}(x) = y$, maka diperoleh
$\begin{aligned} y & =-2x + 4 \\ y-4 & =-2x \\ x& = \dfrac{4-y} {2} \end{aligned}$
Jadi, diperoleh $(f \circ g) (x) = f(g(x)) = \dfrac{4-x} {2}.$
Sekarang, misalkan $g(x) = y$, dan diketahui juga $f(x) = \dfrac{-x-2}{2x-10}$, maka didapat
$$\begin{aligned} f(y) & = \dfrac{4-x} {2} \\ \dfrac{-y-2}{2y-10} & = \dfrac{4-x}{2} \\-2y-4 & =-2xy + 8y + 10x-40 \\ y(-10 + 2x) & = 10x-36 \\ y = g(x) & = \dfrac{10x-36}{-10+2x} \end{aligned}$$Jadi,
$\boxed{g(6) = \dfrac{10(6)-36}{-10+2(6)} = \dfrac{24}{2} = 12}$
(Jawaban B)

Akan dicari $(f \circ g) (x) $ sebagai berikut.
$\begin{aligned} (f \circ g) (x) & = f(g(x)) \\ & = f\left(\dfrac{4x-5}{2x+1}\right) \\ & = 3\left(\dfrac{4x-5}{2x+1}\right) +4 \\ & = \dfrac{12x-15}{2x+1} + \dfrac{4(2x+1)} {2x+1} \\ & = \dfrac{20x-11}{2x+1} \end{aligned}$
Sekarang, misalkan $y = (f \circ g) (x)$, maka diperoleh
$\begin{aligned} y &= \dfrac{20x-11}{2x+1} \\ y(2x+1) & = 20x-11 \\ 2xy + y & = 20x-11 \\ y + 11 & = 20x-2xy \\ y + 11 & = x(-2y + 20) \\ x = (f \circ g)^{-1}(y) & = \dfrac{y+11}{-2y+20} \end{aligned}$
Jadi, diperoleh invers $(f \circ g) (x) $, yaitu
$\boxed{(f \circ g)^{-1}(x) = \dfrac{x+11}{-2x+20}, x \neq 10}$
(Jawaban A)

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} (g^{-1} \circ f^{-1})(2) & = \dfrac{7}{2} \\ (f \circ g)^{-1}(2) & = \dfrac{7}{2} \\ (f \circ g)\left(\dfrac{7}{2}\right) &= 2 \\ f\left(g\left(\dfrac{7}{2}\right)\right) & = 2 \\ f\left(\dfrac{7}{2}-2\right) & = 2 && (\text{Ingat}~g(x) = x-2) \\ f\left(\dfrac{3}{2}\right) & = 2 \\ \dfrac{\dfrac{3}{2}a + 1}{3\left(\dfrac{3}{2}\right)-1} & = 2 && \left(\text{ Ingat}~f(x) = \dfrac{ax+1}{3x-1}\right)\\ \dfrac{3}{2}a + 1 & = 9-2 = 7 \\ a & = 6 \times \dfrac{2}{3} \\ a & = 4 \end{aligned}$$Jadi, nilai $a$ adalah $\boxed{4}$
(Jawaban B)

Tinjau fungsi $f(x^2 + x) = 2x + 1$. Misalkan $y = x^2 + x$, berarti diperoleh
$\begin{aligned} y & = \left(x + \dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4} \\ y + \dfrac{1}{4} & = \left(x + \dfrac{1}{2}\right)^2 \\ x + \dfrac{1}{2} & = \sqrt{y + \dfrac{1}{4}} \\ x & = \sqrt{y + \dfrac{1}{4}}-\dfrac{1}{2} \end{aligned}$
Substitusikan ke fungsinya.
$\begin{aligned} f(y) & = 2\left(\sqrt{y + \dfrac{1}{4}}-\dfrac{1}{2}\right) + 1 \\ f(y) & = 2\sqrt{y + \dfrac{1}{4}} \\ f(x) & = 2\sqrt{x + \dfrac{1}{4}} \end{aligned}$
Selanjutnya, tinjau fungsi $g(x) = \dfrac{3x-1}{x-1}$. Akan dicari invers dari fungsi $g$.
Misalkan $g(x) = y$, maka diperoleh
$\begin{aligned} y & = \dfrac{3x-1}{x-1} \\ (x-1)y & = 3x- 1 \\ xy-y- 3x & =-1 \\ x(y-3) & =-1 + y \\ x & = \dfrac{-1+y}{y-3} \\ g^{-1}(y) & = \dfrac{-1+y}{y-3} \\ g^{-1}(x) & = \dfrac{-1+x}{x-3} \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} (f \circ g^{-1})(x) & = 3 \\ f(g^{-1}(x)) & = 3 \\ f\left(\dfrac{-1+x}{x-3}\right) & = 3 \\ 2\sqrt{\dfrac{-1+x}{x-3} +\dfrac{1}{4}} & = 3 \\ \sqrt{\dfrac{-1+x}{x-3} + \dfrac{1}{4}} & = \dfrac{3}{2} \\ \text{Kuadratkan kedua ruas} & \\ \dfrac{-1+x}{x-3} + \dfrac{1}{4} & = \dfrac{9}{4} \\ \dfrac{-1+x}{x-3} & = 2 \\ 1-x & = 2(x-3) \\-1+x & = 2x- 6 \\ x & = 5 \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi $(f \circ g^{-1})(x) = 3$ adalah $\boxed{5}$
(Jawaban D)

Diketahui: $f(2x) = g(x-3).$ Ini berarti, $f^{-1}(g(x-3)) = 2x$. 
Misalkan $g(x-3) = y$. Dengan demikian, $g^{-1}(y) = x- 3$, yang ekuivalen dengan $x = g^{-1}(y) + 3.$
Untuk itu, dapat kita tuliskan
$\begin{aligned} f^{-1}(g(x-3)) & = 2x \\ f^{-1}(y) & = 2(g^{-1}(y) + 3) \\ f^{-1}(x) & = 2g^{-1}(x) + 6 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $f^{-1}(x)$ adalah $\boxed{2g^{-1}(x) + 6}$
(Jawaban E)

Diketahui bahwa $f(x+2) = g(x-3).$ Persamaan ini ekuivalen dengan $f(x) = g(x-5)$.
Misalkan $h(x) = x-5$ sehingga $h^{-1}(x) = x+5$. Dengan demikian,
$f(x) = g(h(x)) = (g \circ h)(x).$
Akibatnya,
$\begin{aligned} f^{-1}(x) & = (g \circ h)^{-1}(x) \\ & = (h^{-1} \circ g^{-1})(x) \\ & = h^{-1}(g^{-1}(x)) \\ & = g^{-1}(x) + 5 \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\boxed{f^{-1}(x) = g^{-1}(x) + 5}$
(Jawaban A)

Dari persamaan $(f \circ g) (1) = \dfrac{1}{2}$, diperoleh
$\begin{aligned} f(g(1)) & = \dfrac{1}{2} \\ f(1^2 + b) & = \dfrac{1}{2} \\ f(1 + b) & = \dfrac{1}{2} \\ \dfrac{1}{(1 + b) + a} & = \dfrac{1}{2} \\ 1 + b + a & = 2 \\ a &= 1- b && (\cdots 1) \end{aligned}$
Dari persamaan $(g \circ f) (1) = 2$, diperoleh
$\begin{aligned} g(f(1)) & = 2 \\ g\left(\dfrac{1}{1+a}\right) & = 2 \\ \left(\dfrac{1}{1+a}\right)^2 + b & = 2 \\ \text{Substitusikan}~\text{pers.}~&1 \\ \left(\dfrac{1}{1+(1-b) }\right)^2 & = 2-b \\ \dfrac{1}{(2-b)^2} & = 2-b \\ (2- b)^3 & = 1 \\ b & = 1 \end{aligned}$
Untuk $b = 1$, diperoleh
$a = 1-b = 1-1 = 0$ sehingga $ab = 0(1) = 0.$
Jadi, nilai dari $ab$ adalah $\boxed{0}$
(Jawaban B)

Dengan menggunakan metode eliminasi pada penyelesaian SPLDV, diperoleh
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} f(x)+g(x) & = 3x+5 \\ f(x)-g(x) & = 5x + 7 \end{aligned} \\ \rule{4 cm}{0.6pt} + \\ \! \begin{aligned} 2f(x) & = 8x + 12\\ f(x) & = 4x + 6 \end{aligned} \end{aligned}$
dan
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} f(x)+g(x) & = 3x+5 \\ f(x)-g(x) & = 5x + 7 \end{aligned} \\ \rule{4 cm}{0.6pt}- \\ \! \begin{aligned} 2g(x) & =-2x-2 \\ g(x) & =-x-1 \end{aligned} \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} (f \circ g \circ f)(-1) & = f(g(f(-1))) \\ & = f(g(4(-1)+6)) \\ & = f(g(2)) \\ & = f(-2-1) = f(-3) \\ & = 4(-3)+6 =-6 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{(f \circ g \circ f)(-1) =-6}$
(Jawaban A)

Diketahui:
$f(x) = x^2-2|x|$
$g(x) = x^2+1$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} (f \circ g)(x) & = f(g(x)) \\ & = f(x^2+1) \\ & = (x^2+1)^2- 2|x^2+1| \end{aligned}$
Karena ekspresi $x^2+1$ definit positif untuk setiap $x$, maka tanda mutlak dapat langsung dihilangkan. Selanjutnya, kita peroleh
$$\begin{aligned} (f \circ g)(x) & = (x^2+1)^2-2(x^2+1) \\ & = (x^2+1)((x^2+1)- 2) && (\text{difaktorkan}) \\ & = (x^2+1)(x^2-1) \end{aligned}$$Persamaan $(f \circ g)(x) = 0$, yakni $(x^2+1)(x^2-1) = 0$ hanya terpenuhi jika $x^2-1 = 0$, yaitu $x = \pm 1$.
Dengan demikian, $x_1 + x_2 = 1 + (-1) = 0.$
Jadi, jumlah semua nilai $x$ yang memenuhi persamaan $(f \circ g)(x) = 0$ adalah $\boxed{0}$
(Jawaban B)

Diketahui $f(-x) =-f(x), x \in \mathbb{R}$.
Perhatikan bahwa $f(3) =-5$ ekuivalen dengan $-f(3) = 5$. Dengan menggunakan sifat fungsi $f$ di atas, diperoleh $\color{red}{f(-3) = 5}$.
Karena $f(-5) = 1$, maka dengan menggunakan sifat fungsi $f$ di atas, diperoleh $-f(5) = 1$, ekuivalen dengan $\color{blue}{f(5) =-1}$.
Dengan demikian,
$\boxed{f(\color{red}{f(-3)}) = \color{blue}{f(5)} =-1}$
(Jawaban D)

Tinjau fungsi $g(3-x) = x$.
$3-x$ harus bernilai $1$ sehingga kita tulis $3-x = 1 \Leftrightarrow x = 2.$
Dengan demikian, $g(3-2) = \color{red}{g(1) = 2}.$
Tinjau fungsi $f(2x+4) = x$.
$2x+4$ harus bernilai $2$ sehingga kita tulis $2x+4 = 2 \Leftrightarrow x =-1.$
Dengan demikian, $f(2(-1)+4) = \color{blue}{f(2) =-1}.$
Tinjau fungsi $g(3-x) = x$.
$3-x$ harus bernilai $-1$ sehingga kita tulis $3-x =-1 \Leftrightarrow x = 4.$
Dengan demikian, $g(3-4) = \color{green}{g(-1) = 4}.$
Untuk itu, kita dapatkan
$\begin{aligned} f(\color{red}{g(1)}) + g(\color{blue}{f(2)}) & = \color{blue}{f(2)} + \color{green}{g(-1)} \\ & =-1+4 = 3 \end{aligned}$
(Jawaban B)

Grafik fungsi $g$ berupa garis lurus yang melalui titik $(-2, 0)$ dan $(2, 0)$. Persamaan garisnya adalah $-2y + 2x = (-2)(2)$ atau ekuivalen dengan $g(x) = y = x + 2$. 
Grafik fungsi $f$ berupa parabola yang memotong sumbu $X$ di titik $(1, 0)$ dan $(5, 0)$, serta melalui titik $(0, 5)$. Fungsi kuadrat yang memotong sumbu $X$ di dua titik berbeda dirumuskan oleh $y = a(x-x_1)(x-x_2)$.
Anggap $a = 1$ sehingga kita peroleh $y = (x-1)(x-5)$.
Cek: Jika kita substitusikan $x = 0$ dan $y = 5$ (karena grafiknya melalui titik $(0, 5)$), kita peroleh $5 = (0-1)(0-5) = (-1)(-5)$, merupakan pernyataan yang benar. Dengan demikian, $f(x) = (x-1)(x-5).$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} (f \circ g)(4) & = f(g(4)) \\ & = f(4 + 2) \\ & = f(6) \\ & = (6-1)(6-5) \\ & = 5(1) = 5 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{(f \circ g)(4) = 5}$
(Jawaban D)

Diketahui:
$f(x) = x^2-1$
$g(x) = \sqrt{x-3}$
Karena diberikan $(g \circ f)(a) = 0$, kita peroleh
$\begin{aligned} g(f(a)) & = 0 \\ g(a^2-1) & = 0 \\ \sqrt{\color{blue}{a^2-1}-3} & = 0 \\ \sqrt{a^2-4} & = 0 \\ \text{Kuadratkan}&~\text{kedua ruas} \\ a^2-4 & = 0 \\ (a+2)(a-2) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $a = \pm 2$.
Diberikan juga bahwa $(f \circ g)(b) = 0$ sehingga
$\begin{aligned} f(g(b)) & = 0 \\ f(\sqrt{b-3}) & = 0 \\ (\color{blue}{\sqrt{b-3}})^2-1 & = 0 \\ (b-3)-1 & = 0 \\ b & = 4 \end{aligned}$
Selisih $a$ dan $b$ akan maksimum bila diambil $a = -2$ dan $b = 4$ sehingga selisihnya: $\boxed{b-a = 4-(-2) = 6}$
(Jawaban C)

Penghasilan total karyawan itu sama dengan gaji pokoknya ditambah bonus penjualan. Oleh karena itu, fungsi $f$ dinyatakan oleh $f(x) = 4.500.000 + 5.000x$.
Misalkan $y = f(x)$, maka
$\begin{aligned} y & = 4.500.000+5.000x \\ y-4.500.000 & = 5.000x \\ x & = \dfrac{y-4.500.000}{5.000} \\ x & = \dfrac{1}{5.000}y-900 \\ f^{-1}(x) & = \dfrac{1}{5.000}x-900 \end{aligned}$
Jadi, invers dari fungsi $f$ adalah $\boxed{f^{-1}(x) = \dfrac{1}{5.000}x-900}$
(Jawaban B)

Banyak tepung beras yang diproduksi bergantung kepada banyak beras yang tersedia.
Diketahui: $y = f(x) = \dfrac19x^2-x+5$ dan $g(y) = 7y+3$.
Berdasarkan aturan komposisi fungsi, diperoleh
$\begin{aligned} (g \circ f)(x) & = g(f(x)) \\ & = g\left(\dfrac19x^2-x+5\right) \\ & = 7\left(\dfrac19\color{red}{x}^2-\color{red}{x}+5\right)+3 \end{aligned}$
Karena banyak beras yang tersedia sebanyak $9$ ton, artinya $x = 9$, kita peroleh
$\begin{aligned} (g \circ f)(9) & = 7\left(\dfrac19 \cdot \color{red}{9}^2-\color{red}{9}+5\right)+3 \\ & = 7(9-9+5)+3 \\ & = 7(5) + 3 = 38 \end{aligned}$
Jadi, banyak tepung beras yang dihasilkan adalah $\boxed{38}$ ton.
(Jawaban C)

Masalah di atas melibatkan dua fungsi yang saling terkait. Fungsi komposisi yang terbentuk oleh masalah di atas adalah $(n \circ A)(P) = n(A(P))$, yang merepresentasikan nilai yang didapat peserta diklat. 
Perhatikan bahwa $80\%$ dari $25$ kegiatan yang diikuti berarti sebanyak
$80\% \times 25 = \dfrac{80}{\cancelto{4}{100}} \cdot \cancel{25} = 20$ kegiatan. 
Artinya, $P = 20$. 
Dengan demikian, kita peroleh
$\begin{aligned} n(A(P)) & = n(4P + 6) \\ & = \dfrac{3(4P+6)+22}{4} \\ & = \dfrac{12P + 40} {4} \\ & = 3P + 10 \\  n(A(20)) & = 3(20) + 10 = 70 \end{aligned}$
Jadi, nilai yang didapat Denih adalah $\boxed{70}$
(Jawaban C)

Pengeluaran untuk perawatan mesin sebesar Rp65.000,00 (ditulis $65$, karena menggunakan satuan ribu rupiah) dan diketahui biaya perawatannya ditentukan oleh $g(x) = 10x + 5$ untuk $x$ banyak mesin cetak. Untuk itu, harus dicari invers dari $g(x)$ terlebih dahulu, yaitu $g^{-1}(x) = \dfrac{x-5}{10}.$
Substitusi $x = 65$ untuk mendapati $g^{-1}(x) = \dfrac{65-5}{10} = 6.$
Jadi, banyak mesin cetaknya ada $6$ unit. 
Untuk mencetak $x$ eksemplar novel dalam sehari, diperlukan $f(x) = \dfrac{1}{500}(x+100)$ unit mesin cetak. 
Karena diperoleh ada $6$ unit mesin cetak, maka perlu ditentukan invers $f(x)$ terlebih dahulu, yaitu $f^{-1}(x) = 500x-100.$
Untuk $x = 6$, diperoleh $f^{-1}{x} = 500(6)-100 = 2.900.$
Artinya, novel yang dicetak sebanyak $2.900$ eksemplar. 
Jadi, notasi komposisi fungsi yang tepat untuk menentukan banyaknya eksemplar novel yang dicetak adalah $\boxed{(f^{-1} \circ g^{-1}) (65)}$
(Jawaban B)

Diketahui: $f(x) = 2x-1$ dan $g(x) = x^2-3x$. Ini berarti,
$\begin{aligned} h(x) & = (g \circ f)(x) = g(f(x)) \\ & = g(2x-1) \\ & = (2x-1)^2-3(2x-1) \\ & = (4x^2-4x+1)-6x+3 \\ & = 4x^2-10x+4 \end{aligned}$
Jadi, fungsi yang menyatakan jumlah kertas yang dihasilkan oleh produksi tersebut adalah $\boxed{h(x)=4x^2-10x+4}$
(Jawaban D)

Perhatikan bahwa jika $f(x) = y,$ maka menukarkan posisi $x$ dan $y$ memunculkan bentuk invers, yakni $f^{-1}(y) = x.$ Substitusi kembali pada bentuk pertama sehingga diperoleh $f(f^{-1}(y)) = y$ yang setara dengan $f(f^{-1}(x)) = x.$ Hal demikian juga berlaku sedemikian sehingga $f^{-1}(f(x)) = x.$
Misalkan $g(x) = f^{-1}(x)$ karena memenuhi $f(f^{-1}(x)) = x$ dan $f^{-1}(f(x)) = x.$ Jadi, kita tinggal menentukan invers dari fungsi $f(x).$
$$\begin{aligned} y & = (ax^2 + b)^3 \\ y^{1/3} & = ax^2 + b \\ y^{1/3}-b & = ax^2 \\ \dfrac{y^{1/3}-b}{a} & = x^2 \\ \left(\dfrac{y^{1/3}-b}{a}\right)^{1/2} & = x \\ \left(\dfrac{x^{1/3}-b}{a}\right)^{1/2} & = f^{-1}(x) \end{aligned}$$Jadi, $g(x)$ yang memenuhi persamaan tersebut dinyatakan oleh $\boxed{g(x) = \left(\dfrac{x^{1/3}-b}{a}\right)^{1/2}}$
(Jawaban E)

Jawaban a)
Diagram panah fungsi komposisi $(g \circ h)$ ditunjukkan oleh gambar berikut.

Jadi, $$(g \circ h) = \{(0,-6), (1, 3), (2, 2), (3,8)\}.$$Jawaban b)
Diagram panah fungsi komposisi $(f \circ g)$ ditunjukkan oleh gambar berikut.

Jadi, $$(f \circ g) = \{(-4, 4), (2, 3), (3, 5), (7, 1)\}.$$Jawaban c)
Diagram panah fungsi komposisi $(f \circ (g \circ h))$ ditunjukkan oleh gambar berikut.

Jadi, $$(f \circ (g \circ h)) = \{(-4, 4), (2, 3), (3, 5), (7, 1)\}.$$Jawaban d)
Diagram panah fungsi komposisi $((f \circ g) \circ h)$ ditunjukkan oleh gambar berikut.

Jadi, $$((f \circ g) \circ h) = \{(-4, 4), (2, 3), (3, 5), (7, 1)\}.$$

Jawaban a)
$\begin{aligned} (f \circ g)(x) & = 9x^2-12x + 5 \\ f(g(x)) & = 9x^2-12x + 5 \\ f(3x-1) & = 9x^2-12x + 5 \end{aligned}$
Misalkan $y = 3x-1$, berarti $x = \dfrac{y+1}{3}.$
Dengan demikian, dapat ditulis
$$\begin{aligned} f(3x-1) & = 9x^2-12x + 5 \\ f(y) & = 9\left(\dfrac{y+1}{3}\right)^2-\cancelto{4}{12}\left(\dfrac{y+1}{\cancel{3}}\right) + 5 \\ f(y) & = \cancel{9}\left(\dfrac{(y+1)^2}{\cancel{9}}\right)-4(y + 1) + 5 \\ f(y) & = (y^2 + 2y + 1)-4y-4+ 5 \\ f(y) & = y^2-2y \\ f(x) & = x^2-2x \end{aligned}$$Jadi, $\boxed{f(x) = x^2-2x}$
Jawaban b)
$\begin{aligned} (f \circ g)(x) & = 9x^2-12x + 5 \\ f(g(x)) & = 9x^2-12x + 5 \\ 3g(x)-1 & = 9x^2-12x + 5 \\ 3g(x) & = 9x^2-12x + 6 \\ g(x) & = \dfrac{9x^2-12x+6}{3} \\ & = 3x^2-4x+2 \end{aligned}$
Jadi, $\boxed{g(x) = 3x^2-4x + 2}$

Jawaban a)
$\begin{aligned} (f \circ g)(x) & = x^2-5x + 10 \\ f(g(x)) & = x^2-5x + 10 \\ f(x- 3) & = x^2-5x + 10 \end{aligned}$
Misalkan $y = x-3$, berarti $x = y + 3.$
Dengan demikian, dapat ditulis
$$\begin{aligned} f(x-3) & = x^2-5x + 10 \\ f(y) & = (y + 3)^2-5(y + 3) + 10 \\ f(y) & = (y^2 + 6y + 9)-5y-15 + 10 \\ f(y) & = y^2 + y + 4 \\ f(x) & = x^2 + x + 4\end{aligned}$
Jadi, $\boxed{f(x) = x^2 + x + 4}$$Jawaban b)
$\begin{aligned} (f \circ g)(x) & = x^2-5x + 10 \\ f(g(x)) & = x^2-5x + 10 \\ g(x)-3 & = x^2-5x + 10 \\ g(x) & = x^2-5x + 13 \end{aligned}$
Jadi, $\boxed{g(x) = x^2-5x + 13}$

Akan ditentukan rumus fungsi dari $(g \circ f \circ h)(x)$.
$$\begin{aligned} (f \circ h)(x) & = f(h(x)) \\ & = f(x^2 + 4) \\ & = 3(x^2 + 4)-5 && (\bigstar f(x) = 3x-5) \\ & = 3x^2 + 7 \end{aligned}$$Dengan demikian,
$$\begin{aligned} (g \circ f \circ h)(x) & = g((f \circ h)(x)) \\ & = g(3x^2 + 7) \\ & = \dfrac{1}{(3x^2+7)-2} && \left(\bigstar g(x) = \dfrac{1}{x-2}\right) \\ & = \dfrac{1}{3x^2+5} \end{aligned}$$Jadi, $\boxed{(g \circ f \circ h)(x) = \dfrac{1}{3x^2+5}}$
Selanjutnya, akan ditentukan rumus fungsi dari $(h \circ f \circ g)(x)$.
$$\begin{aligned} (f \circ g)(x) & = f(g(x)) \\ & = f\left(\dfrac{1}{x-2}\right) \\ & = 3\left(\dfrac{1}{x-2}\right)-5 && (\bigstar f(x) = 3x-5) \\ & = \dfrac{3}{x-2}- \dfrac{5(x-2)}{x-2} \\ & = \dfrac{-5x + 13}{x-2} \end{aligned}$$Dengan demikian,
$$\begin{aligned} (h \circ f \circ g)(x) & = h((f \circ g)(x)) \\ & = h\left(\dfrac{-5x + 13}{x-2}\right) \\ & = \left(\dfrac{-5x+13}{x-2}\right)^2 + 4 \\ & = \dfrac{(-5x + 13)^2}{(x-2)^2} + \dfrac{4(x-2)^2}{(x-2)^2} \\ & = \dfrac{25x^2- 130x + 169 + 4x^2-16x + 16}{(x-2)^2} \\ & = \dfrac{29x^2-146x + 185}{(x-2)^2} \end{aligned}$$Jadi, $\boxed{(h \circ f \circ g)(x) = \dfrac{29x^2-146x + 185}{(x-2)^2}}$

Akan ditentukan rumus fungsi dari $(f \circ h \circ g)(x)$.
$\begin{aligned} (h \circ g)(x) & = h\left(\dfrac{3}{x+2}\right) \\ & = \dfrac{1}{\dfrac{3}{x+2}-5} \\ & = \dfrac{1}{\dfrac{3}{x+2}-\dfrac{5(x+2)}{x+2}} \\ & = \dfrac{1}{\dfrac{-5x-7}{x+2}} \\ & = \dfrac{x + 2}{-5x-7} \end{aligned}$
Dengan demikian,
$$\begin{aligned} (f \circ h \circ g)(x) & = f((h \circ g)(x)) \\ & = f\left(\dfrac{x + 2}{-5x-7}\right) \\ & = \dfrac{1}{\left(\dfrac{x + 2}{-5x-7}\right)^2-1} \\ & = \dfrac{1}{\dfrac{(x+2)^2}{(-5x-7)^2}-\dfrac{(-5x-7)^2}{(-5x-7)^2}} \\ & = \dfrac{1}{\dfrac{x^2 + 4x + 4-25x^2-70x- 49}{25x^2 + 70x + 49}} \\ & = \dfrac{25x^2 + 70x + 49}{-24x^2-66x-45} \end{aligned}$$Jadi, $\boxed{(f \circ h \circ g)(x) = \dfrac{25x^2 + 70x + 49}{-24x^2-66x- 45}}$
Akan ditentukan rumus fungsi dari $(g \circ f \circ h)(x)$.
$\begin{aligned} (f \circ h)(x) & = f(h(x)) \\ & = f\left(\dfrac{1}{x-5}\right) \\ & = \dfrac{1}{\left(\dfrac{1}{x-5}\right)^2-1} \\ & = \dfrac{1}{\dfrac{1}{(x-5)^2}- \dfrac{(x-5)^2}{(x-5)^2}} \\ & = \dfrac{1}{\dfrac{1-x^2 + 10x- 25}{x^2-10x + 25}} \\ & = \dfrac{x^2-10x + 25}{-x^2 + 10x-24} \end{aligned}$
Dengan demikian,
$$\begin{aligned} (g \circ f \circ h)(x) & = g((f \circ h)(x)) \\ & = g\left(\dfrac{x^2-10x + 25}{-x^2 + 10x-24}\right) \\ & = \dfrac{3}{\dfrac{x^2- 10x + 25}{-x^2 + 10x-24} + 2} \\ & = \dfrac{3}{\dfrac{x^2-10x + 25}{-x^2 + 10x-24} + \dfrac{2(-x^2 + 10x-24)}{-x^2 + 10x-24}} \\ & = \dfrac{3}{\dfrac{-x^2 + 10x-23}{-x^2 + 10x-24}} \\ & = \dfrac{-3x^2 + 30x-72}{-x^2 + 10x- 23} \end{aligned}$$Jadi, $\boxed{(g \circ f \circ h)(x) = \dfrac{-3x^2 + 30x-72}{-x^2 + 10x-23}}$

Diketahui $f(x) = x^2 + 2$ dan $g(x) = 5x-1.$ Kita peroleh
$\begin{aligned} (f \circ g \circ g)(x) & = f(g(g(x))) \\ & = f(g(5x-1)) \\ & = f(5(5x-1)- 1) \\ & = f(25x-6) \\ & = (25x-6)^2 + 2 \\ & = 625x^2-300x + 38 \end{aligned}$
Jadi, $\boxed{(f \circ g \circ g)(x) = 625x^2-300x + 38}$

Jawaban a)
$\begin{aligned} (h \circ f \circ g)(x) & = 6 \\ h(f(g(x))) & = 6 \\ h(f(3-2x)) & = 6 \\ h(3-2x + 2) & = 6 \\ h(5- 2x) & = 6 \\ (5-2x)^2 + 3(5-2x)-4 & = 6 \\ 4x^2- 20x + 25 + 15-6- 4 & = 6 \\ 4x^2-26x + 30 & = 0 \\ 2x^2-13x + 15 & = 0 \\ (2x-3)(x-5) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $2x- 3 = 0 \iff x = \dfrac{3}{2}$ atau $x = 5$.
Jawaban b)
$\begin{aligned} (g \circ h \circ f)(x) & = 11 \\ g(h(f(x))) & = 11 \\ g(h(x + 2)) & = 11 \\ g((x+2)^2 + 3(x + 2)-4) & = 11 \\ g(x^2 + 7x + 6) & = 11 \\ 3-2(x^2 + 7x + 6) & = 11 \\-2x^2-14x-20 & = 0 \\ x^2 + 7x + 10 & = 0 \\ (x + 2)(x + 5) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $x =-2$ atau $x =-5.$

Ingat konsep logaritma dan invers berikut.
$\boxed{\begin{aligned} & ^a \log x = b \Rightarrow a^b = x \\ & ^a \log x^n = n \cdot \! ^a \log x \\ & f(x) = y \Rightarrow f^{-1}(y) = x \end{aligned}}$
Misalkan $f(x) = y$, maka dapat ditulis
$\begin{aligned} y & = 5^{2x} +3 \\ 5^{2x} & = y-3 \\ ^5 \log (y- 3)& = 2x \\ x & = \dfrac{1}{2}(^5 \log (y-3)) \\ x & = \! ^5 \log (y-3)^{\frac{1}{2}} \\ f^{-1}(y) & = \! ^5 \log \sqrt{y-3}\\ f^{-1}(x) & = \! ^5 \log \sqrt{x-3} \end{aligned}$
Jadi, invers dari fungsi $f(x)$ adalah $\boxed{f^{-1}(x) = ^5 \log \sqrt{x-3}} $

Jawaban a) 
Akan dicari invers fungsi $g$ sebagai berikut. 
$\begin{aligned} g(x) & = cx + d \\ \text{Misalkan}~&~g(x) = y \\ y & = cx + d \\ y-d & = cx \\ x & = \dfrac{y-d} {c} \\ g^{-1}(y) & = \dfrac{y-d} {c} \\ g^{-1}(x) & = \dfrac{x-d} {c} \end{aligned}$
Agar $f$ menjadi invers $g$, maka haruslah
$\begin{aligned} f(x) & = g^{-1}(x) \\ ax + b & = \dfrac{x-d} {c} \\ ax + b & = \dfrac{1} {c}x-\dfrac{d} {c} \end{aligned}$
Persamaan terakhir mengharuskan
$a = \dfrac{1}{c}$ dan $b =-\dfrac{d} {c}$ agar $f$ menjadi invers $g$.
Jawaban b) 
Akan dicari invers fungsi $f$ sebagai berikut. 
$\begin{aligned} f(x) & = ax + b \\ \text{Misalkan}~&~f(x) = y \\ y & = ax + b \\ y-b & = ax \\ x & = \dfrac{y-b} {a} \\ f^{-1}(y) & = \dfrac{y-b} {a} \\ f^{-1}(x) & = \dfrac{x-b} {a} \end{aligned}$
Agar $g$ menjadi invers $f$, maka haruslah
$\begin{aligned} g(x) & = f^{-1}(x) \\ cx + d & = \dfrac{x-b} {a} \\ cx + d & = \dfrac{1} {a}x-\dfrac{b} {a} \end{aligned}$
Persamaan terakhir mengharuskan
$c = \dfrac{1}{a}$ dan $d =-\dfrac{b} {a}$ agar $g$ menjadi invers $f$.

Diberikan $g(x) = x + 1$. Dengan demikian, 
$\begin{aligned} (f \circ g) (3) & = a \\ f(g(3)) & = a \\ f(3 + 1) & = a \\ f(4) & = a \end{aligned}$
Dengan prinsip yang sama, didapat
$\begin{aligned} & (f \circ g) (-2) = b \Rightarrow f(-1) = b \\ & (f \circ g) (5) = c \Rightarrow f(6) = c \\ & (f \circ g) (9) = d \Rightarrow f(10) = d \end{aligned}$
Jadi, nilai fungsi $f(x)$ untuk $x =-1, 4, 6, 10$ berturut-turut adalah $b, a, c$, dan $d$.

Menentukan $(f \circ g)^{-1}(3)$
$\begin{aligned} (f \circ g) (x) & = f(g(x)) \\ & = f(^5 \log x) \\ & = (^5 \log x)^2- 1 \end{aligned}$
Dengan demikian, $(f \circ g)^{-1}((^5 \log x)^2-1) = x$
Untuk $(^5 \log x)^2-1 = 3$, diperoleh
$\begin{aligned} (^5 \log x)^2 & = 4 \\ ^5 \log x & = 2 \\ x & = 25 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $(f \circ g)^{-1}(3) = 25.$
Menentukan $(g \circ f)^{-1}(3)$
$\begin{aligned} (g \circ f) (x) & = g(f(x)) \\ & = g(x^2-1)  \\ & = ^5 \log (x^2-1) \end{aligned}$
Dengan demikian, $(g \circ f)^{-1}(^5 \log (x^2-1)) = x.$
Untuk $^5 \log (x^2-1) = 3,$ diperoleh
$\begin{aligned} x^2-1 & = 5^3 \\ x^2 & = 126 \\ x & = \pm \sqrt{126} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{(g \circ f)^{-1}(3) = \pm \sqrt{126}}$

Diketahui $f^{-1}(x^3) = g(2x-1)$ sehingga $x^3 = f(g(2x-1)).$
Misal $\color{blue}{g(2x-1) = y}$, berarti diperoleh
$\begin{aligned} 2x-1 & = g^{-1}(y) \\ 2x & = g^{-1}(y)+1 \\ \color{red}{x} & \color{red}{= \dfrac{g^{-1}(y)+1}{2}} \end{aligned}$
Sekarang dari $\color{red}{x}^3 = f(\color{blue}{g(2x-1)})$, diperoleh
$\begin{aligned} \left(\color{red}{\dfrac{g^{-1}(y)+1}{2}}\right)^3 & = f(\color{blue}{y}) \\ \left(\dfrac{g^{-1}(x)+1}{2}\right)^3 & = f(x) \end{aligned}$
Jadi, rumus $f(x)$ bila dinyatakan dalam $g^{-1}(x)$ adalah $\boxed{f(x) = \left(\dfrac{g^{-1}(x)+1}{2}\right)^3}$

Jawaban a)
Diketahui: $f(x) = \dfrac{1}{5}x^2 + x$ dan $g(x) = \dfrac{3}{4}x + \dfrac{1}{5}$. Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} h & = (g \circ f)(x) = g(f(x)) \\ & = g\left(\dfrac{1}{5}x^2 + x\right) \\ & = \dfrac{3}{4}\left(\dfrac{1}{5}x^2 + x\right) + \dfrac{1}{5} \\ & = \dfrac{3}{20}x^2 + \dfrac{3}{4}x + \dfrac{1}{5} \end{aligned}$
Jadi, fungsi $h$ dinyatakan oleh rumus $\boxed{h(x) = \dfrac{3}{20}x^2 + \dfrac{3}{4}x + \dfrac{1}{5}}$
Jawaban b)
Untuk $x = 10$, diperoleh
$\begin{aligned} h(10) & = \dfrac{3}{20}(10)^2 + \dfrac{3}{4}(10) + \dfrac{1}{5} \\ & = \dfrac{3}{\cancel{20}}(\cancelto{5}{100}) + \dfrac{15}{2} + \dfrac{1}{5} \\ & = 15 + 7,5 + 0,2 = 22,7 \end{aligned}$
Jadi, banyaknya kain yang dihasilkan pabrik tersebut adalah $\boxed{22,7~\text{ton}}$

Diketahui $f(x) = \dfrac{2x-4}{x}$.
Perhatikan bahwa,
$\begin{aligned} f(1) & = \dfrac{2(1)-4}{1} = -2 \\ f^2(1) = f(-2) & = \dfrac{2(-2)-4}{-2} = 4 \\ f^3(1) = f(4) & = \dfrac{2(4)-4}{4} = 1 \\ f^4(1) = f(1) & = \cdots \end{aligned}$
Nilai fungsi periodik (berulang) dengan
$\begin{aligned} f^{3n}(1) & = 1 \\ f^{3n+1}(1) & = -2 \\ f^{3n+2}(1) & = 4 \end{aligned}$
untuk $n$ bilangan bulat.
Dengan demikian, $f^{2020}(1) = f^{3n+1}(1) = -2.$
Jadi, nilai dari $\boxed{f^{2020}(1) = -2}$