Soal dan Pembahasan – Komposisi dan Invers Fungsi

    Berikut ini adalah kumpulan beberapa soal mengenai komposisi dan invers fungsi (tingkat SMA/Sederajat) disertai pembahasannya. Soal juga dapat diunduh dengan mengklik tautan berikut: Download (PDF)
Catatan: Setiap fungsi dalam hal ini selalu terdefinisi untuk $x$ tertentu. Sebagai contoh, jika suatu fungsi $f(x) = \dfrac{a} {bx}$ diberikan, maka syarat fungsi tersebut terdefinisi adalah $x \neq 0$. Syarat ini biasanya ditulis di samping rumus fungsinya (untuk menekankan syarat fungsi itu agar terdefinisi). Kadang pula tidak ditulis karena dianggap sudah lazim untuk mengetahui bahwa nilai variabel yang bersangkutan sudah pasti di luar domain.

Quote by Maria Robinson

Tidak ada seorang pun yang bisa kembali ke masa lalu dan memulai awal yang baru lagi, tetapi semua orang bisa memulai hari ini dan membuat akhir yang baru.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1
Diketahui $f = \{(2,4), (3,7), (5,13), (7,19)\}$, $g = \{(5,20), (7,28), (13,52)\}$, dan $h = \{(20,-15), (28,-23), (52,-47)\}$. Hasil dari $(h \circ g \circ f) (5)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-47$                     D. $20$
B. $-23$                     E. $28$
C. $-15$

Pembahasan

Perhatikan bahwa pada fungsi $f$, bilangan $5$ dipetakan ke $13$ sehingga menjadi $(5,13)$. 
Lalu pada fungsi $g$, bilangan $13$ dipetakan ke $52$ sehingga menjadi $(13,52)$. 
Terakhir pada fungsi $h$, bilangan $52$ dipetakan ke $-47$ sehingga menjadi $(52,-47)$. 
Jadi, hasil dari $\boxed{(h \circ g \circ f) (5) =-47}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 2 (Soal UN Matematika SMA Tahun 2012)
Diketahui fungsi $f(x) = 3x-1$ dan $g(x) = 2x^2-3$. Fungsi komposisi $(g \circ f)(x) = \cdots \cdot$
A. $9x^2-3x + 1$
B. $9x^2-6x + 3$
C. $9x^2-6x + 6$
D. $18x^2-12x + 2$
E. $18x^2-12x-1$

Pembahasan

Diketahui $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(3x-1)$
Karena fungsi $g(x) = 2x^2-3$, maka
$\begin{aligned} g(3x-1) & = 2(3x-1)^2-3 \\ & = 2(3x-1)(3x-1)-3 \\ & = 2(9x^2-3x-3x + 1)-3 \\ & = 18x^2-6x-6x + 2-3 \\ & = 18x^2-12x-1 \end{aligned}$
Jadi, $\boxed{(g \circ f)(x) = 18x^2-12x- 1}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 3 (Soal UN Matematika SMA Tahun 2013)
Diketahui $f(x) = x^2-4x + 2$ dan $g(x) = 3x + 5$. Fungsi komposisi $(f \circ g)(x) = \cdots \cdot$
A. $3x^2-4x + 5$
B. $3x^2-12x + 7$
C. $3x^2-12x + 11$
D. $9x^2 + 18x + 7$
E. $9x^2 + 26x + 7$

Pembahasan

Diketahui $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(3x + 5)$
Karena $f(x) = x^2-4x + 2$, maka
$$\begin{aligned} f(3x+5) & = (3x+5)^2- 4(3x+5) + 2 \\ & = (9x^2 + 30x + 25)- 12x-20 + 2 \\ & = 9x^2 + 18x + 7 \end{aligned}$$Jadi, fungsi komposisi $\boxed{(f \circ g)(x) = 9x^2 + 18x + 7}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 4
Diketahui $g(x) = 2x- 4$ dan $(f \circ g) (x) = \dfrac{7x+3}{5x-9}$. Nilai dari $f(2)= \cdots \cdot$
A. $0$                     C. $2$                    E. $5$
B. $1$                     D. $4$

Pembahasan

Diketahui $g(x) = 2x-4$, sehingga
$\begin{aligned} (f \circ g) (x) & = f(g(x)) \\ & = f(2x-4) \\ & = \dfrac{7x+3}{5x-9} \end{aligned}$
Agar, $f(2) = f(2x-4)$ terpenuhi, maka haruslah persamaan $2 = 2x-4$ berlaku, sehingga nilai $x = 3$. Selanjutnya,
$\begin{aligned} f(2(3)-4) &= \dfrac{7(3)+3}{5(3)-9} \\ f(2) & = 4 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $f(2)$ adalah $\boxed{4}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 5
Diketahui $f(x) = 2x-1$ dan $(g \circ f) (x) = 4x^2-10x + 5$. Nilai $g(-1)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0$                     C. $3$                  E. $7$
B. $1$                     D. $5$            

Pembahasan

Diketahui $f(x) = 2x- 1$, sehingga dapat ditulis
$\begin{aligned} (g \circ f) (x) = g(f(x)) = & = 4x^2-10x+5 \\ g(2x-1) & = 4x^2-10x+5 \end{aligned}$
Dalam hal ini, $2x-1 = 1$ karena yang ditanyakan adalah $g(-1)$, dan selanjutnya diperoleh
$\begin{aligned} 2x & = 0 \\ x & = 0 \end{aligned}$
Jadi, untuk $x = 0$, didapat
$g(-1) = 4(0)^2-10(0) + 5 = 5$
Jadi, nilai dari $g(-1)$ adalah $\boxed{5}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 6
Jika $g(x- 2) = 2x-3$ dan $(f \circ g) (x-2) = 4x^2-8x + 3$, maka $f(-3) = \cdots \cdot$
A. $0$                     C. $3$                     E.$7$
B. $1$                     D. $5$

Pembahasan

Alternatif 1:
Diketahui $g(x-2)= 2x-3$, sehingga
$\begin{aligned} (f \circ g) (x-2) & = f(g(x-2)) \\ & = f(2x-3) = 4x^2-8x + 3 \end{aligned}$
Dalam hal ini, $2x-3 =-3$ atau nantinya diperoleh $x = 0$, karena yang ditanyakan adalah $f(-3)$.
Jadi, untuk $x = 0$, diperoleh
$f(-3) = 4(0)^2-8(0) + 3 = 3$
Alternatif 2: Membentuk unsur fungsi
$$\begin{aligned} (f \circ g) (x-2) = f(g(x-2)) & = f(2x-3) = 4x^2-8x + 3 \\ f(2x-3) & = (2x-3)^2 + 4x-6 \\ f(2x-3) & = (2x-3)^2 + 2(x-3) \\ f(x) & = x^2 + 2x \end{aligned}$$Jadi, haruslah $f(-3) = (-3)^2 + 2(-3)= 9-6 = 3$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 7
Diketahui fungsi $f(x) = \dfrac{2x-4}{5-x}, x \neq 5$, dan $g(x) = 3x + 7$. Fungsi invers dari $(g \circ f) (x)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $ (g \circ f)^{-1}(x) = \dfrac{5x-23}{-1+x}$
B. $ (g \circ f)^{-1}(x) = \dfrac{5x+23}{-1+x}$
C. $ (g \circ f)^{-1}(x) = \dfrac{5x+23}{1+x}$
D. $ (g \circ f)^{-1}(x) = \dfrac{5x-23}{1+x}$
E. $ (g \circ f)^{-1}(x) = \dfrac{-5x-23}{1+x}$

Pembahasan

Akan dicari $(g \circ f) (x)$ sebagai berikut.
$\begin{aligned} (g \circ f) (x) &= g(f(x)) \\ & = g\left(\dfrac{2x-4}{5-x}\right) \\ & = 3\left(\dfrac{2x-4}{5-x}\right) +7 \\ & = \dfrac{6x-12}{5-x} + \dfrac{7(5- x)} {5-x} \\ & = \dfrac{-x+23}{5-x} \end{aligned} $
Misalkan $y = (g \circ f) (x)$, maka diperoleh
$\begin{aligned} y & = \dfrac{-x+23}{5-x} \\ 5y-xy & =-x + 23 \\ 5y-23 & = x(-1 + y) \\ x = (g \circ f)^{-1} (y) & = \dfrac{5y-23}{-1+y} \end{aligned}$
Jadi, diperoleh
$\boxed{(g \circ f)^{-1}(x) = \dfrac{5x-23}{-1+x}} $
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 8
Diketahui $f(x) = 2-x$ dan $g(x) = 2x + a + 1$. Jika $(f \circ g) (x) = (g \circ f) (x) $, berapa nilai $a$?
A. $-4$                       C. $0$                   E. $4$
B. $-2$                       D. $2$

Pembahasan

Informasi pada soal memberikan
$\begin{aligned} (f \circ g) (x) & = (g \circ f) (x) \\ f(g(x)) & = g(f(x)) \\ f(2x + a + 1) & = g(2-x) \\ 2-(2x + a + 1) & = 2(2-x) +a + 1 \\ 2-2x-a-1 & = 4-2x + a + 1 \\-a + 1 & = a + 5 \\-2a & = 4 \\ a & =-2 \end{aligned}$

Jadi, nilai $a$ adalah $\boxed{-2}$.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 9
Jika $f(x) = 2p + 8$ dan $g(x) = 3x-6$, serta $(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x)$, nilai $p$ yang memenuhi adalah $\cdots \cdot$
A. $-\dfrac52$                 C. $-\dfrac12$                   E. $\dfrac52$
B. $-\dfrac32$                 D. $\dfrac32$ 

Pembahasan

Informasi pada soal memberikan
$\begin{aligned} (f \circ g)(x) & = (g \circ f)(x) \\ f(g(x)) & = g(f(x)) \\ f(3x-6) & = g(2p+8) \\ 2p + 8 & = 3(2p+8)-6 \\ 6 & = 2(2p +8) \\ 3 & = 2p + 8 \\-5 & = 2p \\ p & =-\dfrac{5}{2} \end{aligned}$
Jadi, nilai $p$ yang memenuhi adalah $\boxed{-\dfrac{5}{2}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 10 (Soal UN Matematika SMA Tahun 2013)
Diketahui fungsi $g(x) = \dfrac{x+1}{2x-3}, x \neq \dfrac{3}{2}$. Invers fungsi $g$ adalah $g^{-1}(x) = \cdots \cdot$
A. $\dfrac{3x-1}{2x-1}, x \neq \dfrac{1}{2}$
B. $\dfrac{3x+1}{2x-1}, x \neq \dfrac{1}{2}$
C. $\dfrac{-3x-1}{2x-1}, x \neq \dfrac{1}{2}$
D. $\dfrac{3x-1}{2x+1}, x \neq-\dfrac{1}{2}$
E. $\dfrac{-3x + 1}{2x+1}, x \neq-\dfrac{1}{2}$

Pembahasan

Misalkan $g(x) = y$, sehingga fungsi $g$ di atas dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} y & = \dfrac{x+1}{2x-3} \\ y(2x-3) & = x + 1 \\ 2xy- 3y- x & = 1 \\ x(2y-1) & = 1 + 3y \\ x & = \dfrac{1+3y}{2y-1} = \dfrac{3y + 1}{2x-1} \\ f^{-1}(y) & = \dfrac{3y + 1}{2y-1} \\ f^{-1}(x) & = \dfrac{3x + 1}{2x-1} \end{aligned}$
Jadi, fungsi invers $g$ adalah $\boxed{\dfrac{3x + 1}{2x-1}}$ dengan syarat $x \neq \dfrac{1}{2}$ (agar penyebutnya tak nol)
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 11 (Soal UN Matematika SMA Tahun 2014)
Diketahui $f(x) = 4x + 2$ dan $g(x) = \dfrac{x-3}{x+1}, x \neq-1$. Invers dari $(g \circ f)(x)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $(g \circ f)^{-1}(x) = \dfrac{4x+1}{3x+4}, x \neq-\dfrac{4}{3}$
B. $(g \circ f)^{-1}(x) = \dfrac{4x-1}{-3x+4}, x \neq-\dfrac{4}{3}$
C. $(g \circ f)^{-1}(x) = \dfrac{3x-1}{4x+4}, x \neq-1$
D. $(g \circ f)^{-1}(x) = \dfrac{3x+1}{4-4x}, x \neq 1$
E. $(g \circ f)^{-1}(x) = \dfrac{3x+4}{4x+4}, x \neq-1$

Pembahasan

Diketahui
$\begin{aligned} (g \circ f)(x) & = g(f(x)) \\ & = g(4x+2) \\ & = \dfrac{(4x+2)-3}{(4x+2)+1} \\ & = \dfrac{4x-1}{4x+3} \end{aligned}$

Langkah selanjutnya adalah mencari invers dari fungsi komposisi $f$ dan $g$. Misalkan $y = (g \circ f)(x)$, sehingga dapat ditulis
$\begin{aligned} y & = \dfrac{4x-1}{4x+3} \\ y(4x+3) & = 4x-1 \\ 4xy + 3y & = 4x-1 \\ 4xy-4x & =-3y-1 \\ x(4y-4) & =-3y-1 \\ x& = \dfrac{-3y-1}{4y-4} \\ (f \circ g)(y)^{-1}& = \dfrac{-3y-1}{4y-4} \\ (f \circ g)(x)^{-1}& = \dfrac{-3x-1}{4x-4} \\ (f \circ g)(x)^{-1}& = \dfrac{3x+1}{4-4x} \end{aligned}$
Jadi, invers dari $(g \circ f)(x)$ adalah $\boxed{(f \circ g)(x)^{-1} = \dfrac{3x+1}{4-4x}, x \neq 1}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 12
Jika $g^{-1}$ adalah invers dari $g(x) = \dfrac{8-3x} {4-x}, x \neq 4$, maka nilai $g^{-1}(4) = \cdots \cdot$
A. $-8$                    C. $4$                   E. $16$
B. $0$                       D. $8$

Pembahasan

Akan dicari invers dari fungsi $g$. Misalkan $g(x) = y$, maka diperoleh
$\begin{aligned} y & = \dfrac{8-3x}{4-x} \\ y(4-x) & = 8-3x \\ 4y-xy + 3x & = 8 \\ x(3-y) & = 8-4y \\ x = g^{-1}(y) & = \dfrac{8-4y} {3-y} \\ g^{-1}(x) & = \dfrac{8-4x} {3-x} \end{aligned}$
Jadi, invers fungsi $g$ adalah $g^{-1}(x) = \dfrac{8-4x} {3-x}$ sehingga $\boxed{g^{-1}(4) = \dfrac{8-4(4)}{3-4}= \dfrac{-8}{-1} = 8}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 13
Diketahui $f(x) = \dfrac{5-4x} {7x-3}$. Bila $f^{-1}(x)$ adalah invers dari $f(x)$, maka $f^{-1}(x)= \cdots \cdot$
A. $\dfrac{5+3x}{7x+4}$                     D. $\dfrac{3x-5}{7x+4}$
B. $\dfrac{5-3x}{7x+4}$                     E. $\dfrac{3x-5}{7x-4}$
C. $\dfrac{5-3x}{7x-4}$

Pembahasan

Misalkan $f(x) = y$, maka diperoleh
$\begin{aligned} y & = \dfrac{5-4x} {7x-3} \\ y(7x-3) & = 5-4x \\ 7xy-3y + 4x & = 5 \\ x(7y + 4) & = 5 + 3y \\ x = f^{-1}(y) & = \dfrac{5+3y} {7y+4} \\ f^{-1}(x) & = \dfrac{5+3x} {7x+4} \end{aligned}$
Jadi, invers dari fungsi $f(x)$ adalah $\boxed{f^{-1}(x) = \dfrac{5+3x}{7x+4}} $
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 14
Diketahui fungsi $f = \{(1, 2), (2,3), (3,4), (4,5)\}$, dan $(g \circ f) = \{(1,5), (2,6), (3,7), (4,8)\}$, maka $g^{-1}(7) = \cdots \cdot$
A. $2$                    C. $4$                  E. $7$
B. $3$                    D. $6$

Pembahasan

Perhatikan bahwa fungsi $f$ memasangkan $1$ ke $2$, sedangkan fungsi komposisi $g \circ f$ memasangkan $1$ ke $5$. Ini berarti fungsi $g$ memasangkan $2$ ke $5$. Analog dengan ini, fungsi $g$ memasangkan $3$ ke $6$, $4$ ke $7$, dan $5$ ke $8$.
$\color{blue}{1 \longrightarrow 2 \longrightarrow 5}$
$\color{blue}{2 \longrightarrow 3 \longrightarrow 6}$
$\color{blue}{3 \longrightarrow 4 \longrightarrow 7}$
$\color{blue}{4 \longrightarrow 5 \longrightarrow 8}$
atau ditulis 
$g = \{(2,5), (3,6), (4,7), (5,8)\}$,
sehingga $g^{-1} = \{(5,2), (6,3), \color{red}{(7,4)}, (8,5)\}$.
Jadi, $\boxed{g^{-1}(7) = 4}$.
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 15
Jika $f\left(\dfrac{3}{2x-3}\right) = \dfrac{2x+3}{x+4}$, maka nilai $f^{-1}(1)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-5$                    C. $-1$                  E. $5$
B. $-3$                    D. $3$

Pembahasan

Misalkan $f^{-1}(1) = a$, maka $f(a) = 1$. Diketahui $f\left(\dfrac{3}{2x-3}\right) = \dfrac{2x+3}{x+4}$
sehingga untuk $a = \dfrac{3}{2x-3}$, maka haruslah
$\begin{aligned} \dfrac{2x+3}{x+4} & = 1 \\ 2x+3 & = x + 4 \\ x & = 1 \end{aligned}$
Dengan demikian,
$a = \dfrac{3}{2x-3} = \dfrac{3}{2(1)-3} = \dfrac{3}{-1} =-3$
Jadi, nilai dari $\boxed{f^{-1}(1) =-3}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 16
Diketahui $(g^{-1} \circ f^{-1}) (x) =-2x + 4$ dengan $f^{-1}$ dan $g^{-1}$ berturut-turut adalah invers fungsi $f$ dan $g$. Jika $f(x) = \dfrac{-x-2}{2x-10}, x \neq 5$, maka $g(6)=\cdots \cdot$
A. $8$                       C. $16$                    E. $24$
B. $12$                     D. $18$

Pembahasan

Diketahui bahwa
$(g^{-1} \circ f^{-1}) (x) = (f \circ g)^{-1}(x) =-2x + 4$
Misalkan $(f \circ g)^{-1}(x) = y$, maka diperoleh
$\begin{aligned} y & =-2x + 4 \\ y-4 & =-2x \\ x& = \dfrac{4-y} {2} \end{aligned}$
Jadi, diperoleh $(f \circ g) (x) = f(g(x)) = \dfrac{4-x} {2}$
Sekarang, misalkan $g(x) = y$, dan diketahui juga $f(x) = \dfrac{-x-2}{2x-10}$, maka didapat
$\begin{aligned} f(y) & = \dfrac{4-x} {2} \\ \dfrac{-y-2}{2y-10} & = \dfrac{4-x}{2} \\-2y-4 & =-2xy + 8y + 10x-40 \\ y(-10 + 2x) & = 10x-36 \\ y = g(x) & = \dfrac{10x-36}{-10+2x} \end{aligned}$
Jadi,
$\boxed{g(6) = \dfrac{10(6)-36}{-10+2(6)} = \dfrac{24}{2} = 12}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 17
Diketahui fungsi $f(x) = 3x+4$ dan $g(x) = \dfrac{4x-5}{2x+1}, x \neq-\dfrac{1}{2}$. Invers $(f \circ g) (x)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $(f \circ g)^{-1}(x) = \dfrac{x+11}{-2x+20}, x \neq 10$
B. $(f \circ g)^{-1}(x) = \dfrac{x+11}{2x+20}, x \neq -10$
C. $(f \circ g)^{-1}(x) = \dfrac{x+11}{2x-20}, x \neq 10$
D. $(f \circ g)^{-1}(x) = \dfrac{-x+11}{-2x+20}, x \neq 10$
E. $(f \circ g)^{-1}(x) = \dfrac{-x-11}{-2x+20}, x \neq 10$

Pembahasan

Akan dicari $(f \circ g) (x) $ sebagai berikut.
$\begin{aligned} (f \circ g) (x) & = f(g(x)) \\ & = f\left(\dfrac{4x-5}{2x+1}\right) \\ & = 3\left(\dfrac{4x-5}{2x+1}\right) +4 \\ & = \dfrac{12x-15}{2x+1} + \dfrac{4(2x+1)} {2x+1} \\ & = \dfrac{20x-11}{2x+1} \end{aligned}$
Sekarang, misalkan $y = (f \circ g) (x)$, maka diperoleh
$\begin{aligned} y &= \dfrac{20x-11}{2x+1} \\ y(2x+1) & = 20x-11 \\ 2xy + y & = 20x-11 \\ y + 11 & = 20x-2xy \\ y + 11 & = x(-2y + 20) \\ x = (f \circ g)^{-1}(y) & = \dfrac{y+11}{-2y+20} \end{aligned}$
Jadi, diperoleh invers $(f \circ g) (x) $, yaitu
$\boxed{(f \circ g)^{-1}(x) = \dfrac{x+11}{-2x+20}, x \neq 10}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 18
Diketahui $f(x) = \dfrac{ax+1}{3x-1}$, $g(x) = x-2$, dan $(g^{-1} \circ f^{-1})(2) = \dfrac{7}{2}$. Nilai $a$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2$                      C. $8$                      E. $12$
B. $4$                      D. $10$

Pembahasan

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} (g^{-1} \circ f^{-1})(2) & = \dfrac{7}{2} \\ (f \circ g)^{-1}(2) & = \dfrac{7}{2} \\ (f \circ g)\left(\dfrac{7}{2}\right) &= 2 \\ f\left(g\left(\dfrac{7}{2}\right)\right) & = 2 \\ f\left(\dfrac{7}{2}-2\right) & = 2 && (\text{Ingat}~g(x) = x-2) \\ f\left(\dfrac{3}{2}\right) & = 2 \\ \dfrac{\dfrac{3}{2}a + 1}{3\left(\dfrac{3}{2}\right)-1} & = 2 && \left(\text{ Ingat}~f(x) = \dfrac{ax+1}{3x-1}\right)\\ \dfrac{3}{2}a + 1 & = 9-2 = 7 \\ a & = 6 \times \dfrac{2}{3} \\ a & = 4 \end{aligned}$$Jadi, nilai $a$ adalah $\boxed{4}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 19
Diketahui $f(x^2+x) = 2x + 1$ dan $g(x) = \dfrac{3x-1}{x-1}$. Nilai $x$ yang memenuhi $(f \circ g^{-1})(x) = 3$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2$                       C. $4$                     E. $6$
B. $3$                       D. $5$            

Pembahasan

Tinjau fungsi $f(x^2 + x) = 2x + 1$. Misalkan $y = x^2 + x$, berarti diperoleh
$\begin{aligned} y & = \left(x + \dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4} \\ y + \dfrac{1}{4} & = \left(x + \dfrac{1}{2}\right)^2 \\ x + \dfrac{1}{2} & = \sqrt{y + \dfrac{1}{4}} \\ x & = \sqrt{y + \dfrac{1}{4}}-\dfrac{1}{2} \end{aligned}$
Substitusikan ke fungsinya.
$\begin{aligned} f(y) & = 2\left(\sqrt{y + \dfrac{1}{4}}-\dfrac{1}{2}\right) + 1 \\ f(y) & = 2\sqrt{y + \dfrac{1}{4}} \\ f(x) & = 2\sqrt{x + \dfrac{1}{4}} \end{aligned}$
Selanjutnya, tinjau fungsi $g(x) = \dfrac{3x-1}{x-1}$. Akan dicari invers dari fungsi $g$.
Misalkan $g(x) = y$, maka diperoleh
$\begin{aligned} y & = \dfrac{3x-1}{x-1} \\ (x-1)y & = 3x- 1 \\ xy-y- 3x & =-1 \\ x(y-3) & =-1 + y \\ x & = \dfrac{-1+y}{y-3} \\ g^{-1}(y) & = \dfrac{-1+y}{y-3} \\ g^{-1}(x) & = \dfrac{-1+x}{x-3} \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} (f \circ g^{-1})(x) & = 3 \\ f(g^{-1}(x)) & = 3 \\ f\left(\dfrac{-1+x}{x-3}\right) & = 3 \\ 2\sqrt{\dfrac{-1+x}{x-3} +\dfrac{1}{4}} & = 3 \\ \sqrt{\dfrac{-1+x}{x-3} + \dfrac{1}{4}} & = \dfrac{3}{2} \\ \text{Kuadratkan kedua ruas} & \\ \dfrac{-1+x}{x-3} + \dfrac{1}{4} & = \dfrac{9}{4} \\ \dfrac{-1+x}{x-3} & = 2 \\ 1-x & = 2(x-3) \\-1+x & = 2x- 6 \\ x & = 5 \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi $(f \circ g^{-1})(x) = 3$ adalah $\boxed{5}$ (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 20
Jika fungsi $f$ dan $g$ memiliki invers dan memenuhi $f(2x) = g(x-3)$, maka $f^{-1}(x) =\cdots \cdot$
A. $g^{-1}\left(\dfrac{x} {2}-\dfrac{2}{3}\right)$
B. $g^{-1}\left(\dfrac{x} {2}\right)-\dfrac{2}{3}$
C. $g^{-1}(2x+6)$
D. $2g^{-1}(x)-6$
E. $2g^{-1}(x) +6$

Pembahasan

Diketahui: $f(2x) = g(x-3)$
Ini berarti, $f^{-1}(g(x-3)) = 2x$. 
Misalkan $g(x-3) = y$. Dengan demikian, $g^{-1}(y) = x- 3$, yang ekuivalen dengan $x = g^{-1}(y) + 3$
Untuk itu, dapat kita tuliskan
$\begin{aligned} f^{-1}(g(x-3)) & = 2x \\ f^{-1}(y) & = 2(g^{-1}(y) + 3) \\ f^{-1}(x) & = 2g^{-1}(x) + 6 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $f^{-1}(x)$ adalah $\boxed{2g^{-1}(x) + 6}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 21
Jika fungsi $f$ dan $g$ mempunyai invers dan memenuhi $f(x+2) = g(x-3)$, maka $f^{-1}(x)= \cdots \cdot$
A. $g^{-1}(x)+5$                    D. $g^{-1}(x-5)$
B. $g^{-1}(x+5)$                    E. $g^{-1}(x)-5$
C. $g^{-1}(5x)$

Pembahasan

Diketahui bahwa $f(x+2) = g(x-3)$. Persamaan ini ekuivalen dengan $f(x) = g(x-5)$.
Misalkan $h(x) = x-5$, sehingga $h^{-1}(x) = x+5$. Dengan demikian,
$f(x) = g(h(x)) = (g \circ h)(x)$
Akibatnya,
$\begin{aligned} f^{-1}(x) & = (g \circ h)^{-1}(x) \\ & = (h^{-1} \circ g^{-1})(x) \\ & = h^{-1}(g^{-1}(x)) \\ & = g^{-1}(x) + 5 \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\boxed{f^{-1}(x) = g^{-1}(x) + 5}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 22
Jika diketahui $f(x) = \dfrac{1}{x+a}, g(x) = x^2+b$, dan $(f \circ g) (1) = \dfrac{1}{2}$, serta $(g \circ f) (1) = 2$, maka nilai dari $ab$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-1$                    C. $\dfrac{1}{2}$                     E. $2$
B. $0$                       D. $\dfrac{3}{2}$         

Pembahasan

Dari persamaan $(f \circ g) (1) = \dfrac{1}{2}$, diperoleh
$\begin{aligned} f(g(1)) & = \dfrac{1}{2} \\ f(1^2 + b) & = \dfrac{1}{2} \\ f(1 + b) & = \dfrac{1}{2} \\ \dfrac{1}{(1 + b) + a} & = \dfrac{1}{2} \\ 1 + b + a & = 2 \\ a &= 1- b && (\cdots \cdot\cdot1) \end{aligned}$
Dari persamaan $(g \circ f) (1) = 2$, diperoleh
$\begin{aligned} g(f(1)) & = 2 \\ g\left(\dfrac{1}{1+a}\right) & = 2 \\ \left(\dfrac{1}{1+a}\right)^2 + b & = 2 \\ \text{Substitusikan}~\text{pers.}~&1 \\ \left(\dfrac{1}{1+(1-b) }\right)^2 & = 2-b \\ \dfrac{1}{(2-b)^2} & = 2-b \\ (2- b)^3 & = 1 \\ b & = 1 \end{aligned}$
Untuk $b = 1$, diperoleh
$a = 1-b = 1-1 = 0$, sehingga $ab = 0(1) = 0$
Jadi, nilai dari $ab$ adalah $\boxed{0}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 23
Dua fungsi $f$ dan $g$ memenuhi
$\begin{cases} f(x) + g(x) = 3x+5 \\ f(x)-g(x) = 5x+7 \end{cases}$ 
untuk semua bilangan real $x$. Nilai $(f \circ g \circ f)(-1) = \cdots \cdot$
A. $-6$                     C. $-3$                     E. $6$
B. $-4$                     D. $4$         

Pembahasan

Dengan menggunakan metode eliminasi pada penyelesaian SPLDV, diperoleh
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} f(x)+g(x) & = 3x+5 \\ f(x)-g(x) & = 5x + 7 \end{aligned} \\ \rule{4 cm}{0.6pt} + \\ \! \begin{aligned} 2f(x) & = 8x + 12\\ f(x) & = 4x + 6 \end{aligned} \end{aligned}$
dan
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} f(x)+g(x) & = 3x+5 \\ f(x)-g(x) & = 5x + 7 \end{aligned} \\ \rule{4 cm}{0.6pt}- \\ \! \begin{aligned} 2g(x) & =-2x-2 \\ g(x) & =-x-1 \end{aligned} \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} (f \circ g \circ f)(-1) & = f(g(f(-1))) \\ & = f(g(4(-1)+6)) \\ & = f(g(2)) \\ & = f(-2-1) = f(-3) \\ & = 4(-3)+6 =-6 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{(f \circ g \circ f)(-1) =-6}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 24 (UM Undip 2019 Saintek Kode 324)
Diberikan dua fungsi real $f(x) = x^2-2|x|$ dan $g(x) = x^2+1$. Jumlah semua nilai $x$ yang memenuhi persamaan $(f \circ g)(x) = 0$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-2$                     C. $1$                    E. $3$
B. $0$                        D. $2$         

Pembahasan

Diketahui:
$f(x) = x^2-2|x|$
$g(x) = x^2+1$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} (f \circ g)(x) & = f(g(x)) \\ & = f(x^2+1) \\ & = (x^2+1)^2- 2|x^2+1| \end{aligned}$
Karena ekspresi $x^2+1$ definit positif untuk setiap $x$, maka tanda mutlak dapat langsung dihilangkan. Selanjutnya, kita peroleh
$$\begin{aligned} (f \circ g)(x) & = (x^2+1)^2-2(x^2+1) \\ & = (x^2+1)((x^2+1)- 2) && (\text{difaktorkan}) \\ & = (x^2+1)(x^2-1) \end{aligned}$$Persamaan $(f \circ g)(x) = 0$, yakni $(x^2+1)(x^2-1) = 0$ hanya terpenuhi jika $x^2-1 = 0$, yaitu $x = \pm 1$.
Dengan demikian,
$x_1 + x_2 = 1 + (-1) = 0$
Jadi, jumlah semua nilai $x$ yang memenuhi persamaan $(f \circ g)(x) = 0$ adalah $\boxed{0}$.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 25
Diketahui suatu fungsi $f$ bersifat $f(-x) =-f(x)$ untuk setiap bilangan real $x$. Jika $f(3) =-5$ dan $f(-5) = 1$, maka $f(f(-3)) = \cdots \cdot$
A. $5$                      C. $0$                     E. $-5$
B. $1$                      D. $-1$         

Pembahasan

Diketahui $f(-x) =-f(x), x \in \mathbb{R}$.
Perhatikan bahwa $f(3) =-5$ ekuivalen dengan $-f(3) = 5$. Dengan menggunakan sifat fungsi $f$ di atas, diperoleh $\color{red}{f(-3) = 5}$.
Karena $f(-5) = 1$, maka dengan menggunakan sifat fungsi $f$ di atas, diperoleh $-f(5) = 1$, ekuivalen dengan $\color{blue}{f(5) =-1}$.
Dengan demikian,
$\boxed{f(\color{red}{f(-3)}) = \color{blue}{f(5)} =-1}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 26
Jika $f(2x+4) = x$ dan $g(3-x) = x$, maka nilai $f(g(1)) + g(f(2)) = \cdots \cdot$
A. $4$                         C. $2$                       E. $0$
B. $3$                         D. $1$             

Pembahasan

Tinjau fungsi $g(3-x) = x$.
$3-x$ harus bernilai $1$ sehingga kita tulis
$3-x = 1 \Leftrightarrow x = 2$
Dengan demikian,
$g(3-2) = \color{red}{g(1) = 2}$.
Tinjau fungsi $f(2x+4) = x$.
$2x+4$ harus bernilai $2$ sehingga kita tulis
$2x+4 = 2 \Leftrightarrow x =-1$
Dengan demikian,
$f(2(-1)+4) = \color{blue}{f(2) =-1}$.
Tinjau fungsi $g(3-x) = x$.
$3-x$ harus bernilai $-1$ sehingga kita tulis
$3-x =-1 \Leftrightarrow x = 4$
Dengan demikian,
$g(3-4) = \color{green}{g(-1) = 4}$.
Untuk itu, kita dapatkan
$\begin{aligned} f(\color{red}{g(1)}) + g(\color{blue}{f(2)}) & = \color{blue}{f(2)} + \color{green}{g(-1)} \\ & =-1+4 = 3 \end{aligned}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 27
Gambar berikut merupakan grafik fungsi dari $f(x)$ dan $g(x)$.

Nilai komposisi fungsi $(f \circ g)(4)$ dari grafik fungsi tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $-18$                   C. $-1$                  E. $6$
B. $-3$                     D. $5$

Pembahasan

Grafik fungsi $g$ berupa garis lurus yang melalui titik $(-2, 0)$ dan $(2, 0)$. Persamaan garisnya adalah $-2y + 2x = (-2)(2)$ atau ekuivalen dengan $g(x) = y = x + 2$. 
Grafik fungsi $f$ berupa parabola yang memotong sumbu-$X$ di titik $(1, 0)$ dan $(5, 0)$, serta melalui titik $(0, 5)$. Fungsi kuadrat yang memotong sumbu-$X$ di dua titik berbeda dirumuskan oleh $y = a(x-x_1)(x-x_2)$.
Anggap $a = 1$, sehingga kita peroleh $y = (x-1)(x-5)$.
Cek: Jika kita substitusikan $x = 0$ dan $y = 5$ (karena grafiknya melalui titik $(0, 5)$), kita peroleh $5 = (0-1)(0-5) = (-1)(-5)$, merupakan pernyataan yang benar. Dengan demikian, $f(x) = (x-1)(x-5)$.
Dengan demikian,
$\begin{aligned} (f \circ g)(4) & = f(g(4)) \\ & = f(4 + 2) \\ & = f(6) \\ & = (6-1)(6-5) \\ & = 5(1) = 5 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{(f \circ g)(4) = 5}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 28
Diketahui $f(x) = x^2-1$ dan $g(x) = \sqrt{x-3}$. Jika $a$ dan $b$ bilangan real sehingga $(g \circ f)(a) = (f \circ g)(b) = 0$, maka maksimum selisih nilai $a$ dan $b$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2$                    C. $6$                  E. $10$
B. $4$                    D. $8$

Pembahasan

Diketahui:
$f(x) = x^2-1$
$g(x) = \sqrt{x-3}$
Karena diberikan $(g \circ f)(a) = 0$, kita peroleh
$\begin{aligned} g(f(a)) & = 0 \\ g(a^2-1) & = 0 \\ \sqrt{\color{blue}{a^2-1}-3} & = 0 \\ \sqrt{a^2-4} & = 0 \\ \text{Kuadratkan}&~\text{kedua ruas} \\ a^2-4 & = 0 \\ (a+2)(a-2) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $a = \pm 2$.
Diberikan juga bahwa $(f \circ g)(b) = 0$, sehingga
$\begin{aligned} f(g(b)) & = 0 \\ f(\sqrt{b-3}) & = 0 \\ (\color{blue}{\sqrt{b-3}})^2-1 & = 0 \\ (b-3)-1 & = 0 \\ b & = 4 \end{aligned}$
Selisih $a$ dan $b$ akan maksimum bila diambil $a = -2$ dan $b = 4$ sehingga selisihnya: $\boxed{b-a = 4-(-2) = 6}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 29
Penghasilan per bulan seorang karyawan terdiri atas gaji pokok dan bonus penjualan. Gaji pokok karyawan tersebut adalah Rp4.500.000,00. Bonus penjualannya sebesar $g(x) = 5.000x$ rupiah dengan $x$ menyatakan banyaknya unit barang yang laku dijual olehnya selama sebulan. Jika $f(x)$ menyatakan penghasilan total karyawan tersebut, rumus invers $f$ adalah $\cdots \cdot$
A. $f^{-1}(x) = \dfrac{1}{5.000}x+900$                 
B. $f^{-1}(x) = \dfrac{1}{5.000}x-900$                  
C. $f^{-1}(x) = 900-\dfrac{1}{5.000}x$
D. $f^{-1}(x) =\dfrac{1}{900}x-5.000$
E. $f^{-1}(x) = \dfrac{1}{900}x+5.000$

Pembahasan

Penghasilan total karyawan itu sama dengan gaji pokoknya ditambah bonus penjualan. Oleh karena itu, fungsi $f$ dinyatakan oleh $f(x) = 4.500.000 + 5.000x$.
Misalkan $y = f(x)$, maka
$\begin{aligned} y & = 4.500.000+5.000x \\ y-4.500.000 & = 5.000x \\ x & = \dfrac{y-4.500.000}{5.000} \\ x & = \dfrac{1}{5.000}y-900 \\ f^{-1}(x) & = \dfrac{1}{5.000}x-900 \end{aligned}$
Jadi, invers dari fungsi $f$ adalah $\boxed{f^{-1}(x) = \dfrac{1}{5.000}x-900}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 30
Suatu pabrik tepung dengan bahan dasar beras $(x)$ memproduksi tepung beras melalui dua tahap. Tahap pertama menggunakan mesin I menghasilkan bahan tepung beras setengah jadi $(y)$ dengan mengikuti fungsi $y = f(x) = \dfrac19x^2-x+5$. Tahap kedua menggunakan mesin II menghasilkan tepung beras dengan fungsi $g(y) = 7y+3$, dengan $x, y$ dalam satuan ton. Jika beras yang tersedia untuk suatu produksi sebanyak $9$ ton, banyak tepung beras yang dihasilkan adalah $\cdots \cdot$ ton.
A. $34$                   C. $38$                  E. $46$
B. $36$                    D. $42$             

Pembahasan

Banyak tepung beras yang diproduksi bergantung kepada banyak beras yang tersedia.
Diketahui: $y = f(x) = \dfrac19x^2-x+5$ dan $g(y) = 7y+3$.
Berdasarkan aturan komposisi fungsi, diperoleh
$\begin{aligned} (g \circ f)(x) & = g(f(x)) \\ & = g\left(\dfrac19x^2-x+5\right) \\ & = 7\left(\dfrac19\color{red}{x}^2-\color{red}{x}+5\right)+3 \end{aligned}$
Karena banyak beras yang tersedia sebanyak $9$ ton, artinya $x = 9$, kita peroleh
$\begin{aligned} (g \circ f)(9) & = 7\left(\dfrac19 \cdot \color{red}{9}^2-\color{red}{9}+5\right)+3 \\ & = 7(9-9+5)+3 \\ & = 7(5) + 3 = 38 \end{aligned}$
Jadi, banyak tepung beras yang dihasilkan adalah $\boxed{38}$ ton.
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 31
Nilai $(n)$ peserta diklat dipengaruhi oleh keaktifan selama kegiatan di dalam kelas, ditentukan oleh rumus $n(A)=\dfrac{3A+22}{4}$. Keaktifan peserta diklat bergantung pada banyaknya program kegiatan ($P$), ditentukan oleh rumus $A(P) = 4P+6$. Jika Denih adalah seorang peserta diklat yang mampu melaksanakan $80\%$ dari $25$ kegiatan yang ada dalam diklat tersebut, maka nilai yang diperoleh Denih adalah $\cdots \cdot$
A. $60$                      C. $70$                      E. $80$
B. $65$                      D. $75$

Pembahasan

Masalah di atas melibatkan dua fungsi yang saling terkait. Fungsi komposisi yang terbentuk oleh masalah di atas adalah $(n \circ A)(P) = n(A(P))$, yang merepresentasikan nilai yang didapat peserta diklat. 
Perhatikan bahwa $80\%$ dari $25$ kegiatan yang diikuti berarti sebanyak
$80\% \times 25 = \dfrac{80}{\cancelto{4}{100}} \cdot \cancel{25} = 20$ kegiatan. 
Artinya, $P = 20$. 
Dengan demikian, kita peroleh
$\begin{aligned} n(A(P)) & = n(4P + 6) \\ & = \dfrac{3(4P+6)+22}{4} \\ & = \dfrac{12P + 40} {4} \\ & = 3P + 10 \\  n(A(20)) & = 3(20) + 10 = 70 \end{aligned}$
Jadi, nilai yang didapat Denih adalah $\boxed{70}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 32
Untuk mencetak $x$ eksemplar novel dalam sehari, diperlukan $f(x) = \dfrac{1}{500}(x+100)$ unit mesin cetak. Padahal jika digunakan $x$ unit mesin cetak, biaya perawatan harian yang harus dikeluarkan adalah $g(x) = 10x + 5$ (dalam ribuan rupiah). Jika pengeluaran untuk perawatan mesin hari ini sebesar Rp65.000,00, maka banyak eksemplar novel yang dicetak adalah $\cdots \cdot$
A. $(g^{-1} \circ f^{-1})(65)$            D. $(g \circ f)(65)$
B. $(f^{-1} \circ g^{-1})(65)$            E. $(f \circ g)(65)$
C. $(f \cdot g)(65)$ 

Pembahasan

Pengeluaran untuk perawatan mesin sebesar Rp65.000,00 (ditulis $65$, karena menggunakan satuan ribu rupiah) dan diketahui biaya perawatannya ditentukan oleh $g(x) = 10x + 5$ untuk $x$ banyak mesin cetak. Untuk itu, harus dicari invers dari $g(x)$ terlebih dahulu, yaitu
$g^{-1}(x) = \dfrac{x-5}{10}$
Substitusi $x = 65$ untuk mendapati $g^{-1}(x) = \dfrac{65-5}{10} = 6$
Jadi, banyak mesin cetaknya ada $6$ unit. 
Untuk mencetak $x$ eksemplar novel dalam sehari, diperlukan $f(x) = \dfrac{1}{500}(x+100)$ unit mesin cetak. 
Karena diperoleh ada $6$ unit mesin cetak, maka perlu ditentukan invers $f(x)$ terlebih dahulu, yaitu
$f^{-1}(x) = 500x-100$
Untuk $x = 6$, diperoleh
$f^{-1}{x} = 500(6)-100 = 2.900$
Artinya, novel yang dicetak sebanyak $2.900$ eksemplar. 
Jadi, notasi komposisi fungsi yang tepat untuk menentukan banyaknya eksemplar novel yang dicetak adalah $\boxed{(f^{-1} \circ g^{-1}) (65)}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 33
Suatu pabrik kertas berbahan dasar kayu memproduksi kertas melalui dua tahap. Tahap pertama dengan menggunakan mesin I yang menghasilkan bahan kertas setengah jadi dan tahap kedua dengan menggunakan mesin II yang menghasilkan kertas jadi. Dalam produksinya, mesin I menghasilkan bahan setengah jadi dengan mengikuti fungsi $f(x) = 2x-1$ dan mesin II mengikuti fungsi $g(x)=x^2-3x$, dengan $x$ merupakan banyak bahan dasar kayu dalam satuan ton. Fungsi yang menyatakan jumlah kertas yang dihasilkan oleh produksi tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $h(x) = 2x^2-6x-1$
B. $h(x) = 2x^2-6x-7$
C. $h(x) = 4x^2-10x+3$
D. $h(x) = 4x^2-10x+4$
E. $h(x) = 4x^2-10x+7$

Pembahasan

Diketahui: $f(x) = 2x-1$ dan $g(x) = x^2-3x$. Ini berarti,
$\begin{aligned} h(x) & = (g \circ f)(x) = g(f(x)) \\ & = g(2x-1) \\ & = (2x-1)^2-3(2x-1) \\ & = (4x^2-4x+1)-6x+3 \\ & = 4x^2-10x+4 \end{aligned}$
Jadi, fungsi yang menyatakan jumlah kertas yang dihasilkan oleh produksi tersebut adalah $\boxed{h(x)=4x^2-10x+4}$
(Jawaban D)

[collapse]

Bagian Esai

Soal Nomor 1
Misalkan fungsi $f, g$, dan $h$ dinyatakan dalam bentuk pasangan berurut sebagai berikut:
$\begin{aligned} f & = \{(-6, 4), (3, 3), (2,5), (8, 1)\} \\ g & = \{(-4,-6),(2,3),(3,2),(7,8)\} \\ h & = \{(0,-4), (1,2),(2,3),(3,7)\} \end{aligned}$
Tentukan fungsi-fungsi berikut dalam bentuk pasangan berurut.
a. $(g \circ h)$
b. $(f \circ g)$
c. $(f \circ (g \circ h))$
d. $((f \circ g) \circ h)$

Pembahasan

Jawaban a)
Diagram panah fungsi komposisi $(g \circ h)$ ditunjukkan oleh gambar berikut.



Jadi, $(g \circ h) = \{(0,-6), (1, 3), (2, 2), (3,8)\}$
Jawaban b)
Diagram panah fungsi komposisi $(f \circ g)$ ditunjukkan oleh gambar berikut.

Jadi, $(f \circ g) = \{(-4, 4), (2, 3), (3, 5), (7, 1)\}$
Jawaban c)
Diagram panah fungsi komposisi $(f \circ (g \circ h))$ ditunjukkan oleh gambar berikut.

Jadi, $(f \circ (g \circ h)) = \{(-4, 4), (2, 3), (3, 5), (7, 1)\}$
Jawaban d)
Diagram panah fungsi komposisi $((f \circ g) \circ h)$ ditunjukkan oleh gambar berikut.

Jadi, $((f \circ g) \circ h) = \{(-4, 4), (2, 3), (3, 5), (7, 1)\}$

[collapse]

Soal Nomor 2
Diketahui $(f \circ g)(x) = 9x^2-12x + 5$. Tentukan:
a. $f(x)$ jika $g(x) = 3x-1$
b. $g(x)$ jika $f(x) = 3x-1$

Pembahasan

Jawaban a)
$\begin{aligned} (f \circ g)(x) & = 9x^2-12x + 5 \\ f(g(x)) & = 9x^2-12x + 5 \\ f(3x-1) & = 9x^2-12x + 5 \end{aligned}$
Misalkan $y = 3x-1$, berarti $x = \dfrac{y+1}{3}$.
Dengan demikian, dapat ditulis
$$\begin{aligned} f(3x-1) & = 9x^2-12x + 5 \\ f(y) & = 9\left(\dfrac{y+1}{3}\right)^2-\cancelto{4}{12}\left(\dfrac{y+1}{\cancel{3}}\right) + 5 \\ f(y) & = \cancel{9}\left(\dfrac{(y+1)^2}{\cancel{9}}\right)-4(y + 1) + 5 \\ f(y) & = (y^2 + 2y + 1)-4y-4+ 5 \\ f(y) & = y^2-2y \\ f(x) & = x^2-2x \end{aligned}$$Jadi, $\boxed{f(x) = x^2-2x}$
Jawaban b)
$\begin{aligned} (f \circ g)(x) & = 9x^2-12x + 5 \\ f(g(x)) & = 9x^2-12x + 5 \\ 3g(x)-1 & = 9x^2-12x + 5 \\ 3g(x) & = 9x^2-12x + 6 \\ g(x) & = \dfrac{9x^2-12x+6}{3} \\ & = 3x^2-4x+2 \end{aligned}$
Jadi, $\boxed{g(x) = 3x^2-4x + 2}$

[collapse]

Soal Nomor 3
Diketahui $(f \circ g)(x) = x^2-5x + 10$. Tentukan:
a. $f(x)$ jika $g(x) = x-3$
b. $g(x)$ jika $f(x) = x-3$

Pembahasan

Jawaban a)
$\begin{aligned} (f \circ g)(x) & = x^2-5x + 10 \\ f(g(x)) & = x^2-5x + 10 \\ f(x- 3) & = x^2-5x + 10 \end{aligned}$
Misalkan $y = x-3$, berarti $x = y + 3$.
Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned} f(x-3) & = x^2-5x + 10 \\ f(y) & = (y + 3)^2-5(y + 3) + 10 \\ f(y) & = (y^2 + 6y + 9)-5y-15 + 10 \\ f(y) & = y^2 + y + 4 \\ f(x) & = x^2 + x + 4\end{aligned}$
Jadi, $\boxed{f(x) = x^2 + x + 4}$
Jawaban b)
$\begin{aligned} (f \circ g)(x) & = x^2-5x + 10 \\ f(g(x)) & = x^2-5x + 10 \\ g(x)-3 & = x^2-5x + 10 \\ g(x) & = x^2-5x + 13 \end{aligned}$
Jadi, $\boxed{g(x) = x^2-5x + 13}$

[collapse]

Soal Nomor 4
Jika $f(x) = 3x-5, g(x) = \dfrac{1}{x-2}$, dan $h(x)=x^2+4$,
tentukan $(g \circ f \circ h)(x)$ dan $(h \circ f \circ g)(x)$.

Pembahasan

Akan ditentukan rumus fungsi dari $(g \circ f \circ h)(x)$.
$$\begin{aligned} (f \circ h)(x) & = f(h(x)) \\ & = f(x^2 + 4) \\ & = 3(x^2 + 4)-5 && (\bigstar f(x) = 3x-5) \\ & = 3x^2 + 7 \end{aligned}$$
Dengan demikian,
$$\begin{aligned} (g \circ f \circ h)(x) & = g((f \circ h)(x)) \\ & = g(3x^2 + 7) \\ & = \dfrac{1}{(3x^2+7)-2} && \left(\bigstar g(x) = \dfrac{1}{x-2}\right) \\ & = \dfrac{1}{3x^2+5} \end{aligned}$$
Jadi, $\boxed{(g \circ f \circ h)(x) = \dfrac{1}{3x^2+5}}$
Selanjutnya, akan ditentukan rumus fungsi dari $(h \circ f \circ g)(x)$.
$$\begin{aligned} (f \circ g)(x) & = f(g(x)) \\ & = f\left(\dfrac{1}{x-2}\right) \\ & = 3\left(\dfrac{1}{x-2}\right)-5 && (\bigstar f(x) = 3x-5) \\ & = \dfrac{3}{x-2}- \dfrac{5(x-2)}{x-2} \\ & = \dfrac{-5x + 13}{x-2} \end{aligned}$$
Dengan demikian,
$$\begin{aligned} (h \circ f \circ g)(x) & = h((f \circ g)(x)) \\ & = h\left(\dfrac{-5x + 13}{x-2}\right) \\ & = \left(\dfrac{-5x+13}{x-2}\right)^2 + 4 \\ & = \dfrac{(-5x + 13)^2}{(x-2)^2} + \dfrac{4(x-2)^2}{(x-2)^2} \\ & = \dfrac{25x^2- 130x + 169 + 4x^2-16x + 16}{(x-2)^2} \\ & = \dfrac{29x^2-146x + 185}{(x-2)^2} \end{aligned}$$
Jadi, $\boxed{(h \circ f \circ g)(x) = \dfrac{29x^2-146x + 185}{(x-2)^2}}$

[collapse]

Soal Nomor 5
Tentukan $(f \circ h \circ g)(x)$ dan $(g \circ f \circ h)(x)$
jika $f(x) = \dfrac{1}{x^2-1}, g(x) = \dfrac{3}{x+2}$, dan $h(x) = \dfrac{1}{x-5}$.

Pembahasan

Akan ditentukan rumus fungsi dari $(f \circ h \circ g)(x)$.
$\begin{aligned} (h \circ g)(x) & = h\left(\dfrac{3}{x+2}\right) \\ & = \dfrac{1}{\dfrac{3}{x+2}-5} \\ & = \dfrac{1}{\dfrac{3}{x+2}-\dfrac{5(x+2)}{x+2}} \\ & = \dfrac{1}{\dfrac{-5x-7}{x+2}} \\ & = \dfrac{x + 2}{-5x-7} \end{aligned}$
Dengan demikian,
$$\begin{aligned} (f \circ h \circ g)(x) & = f((h \circ g)(x)) \\ & = f\left(\dfrac{x + 2}{-5x-7}\right) \\ & = \dfrac{1}{\left(\dfrac{x + 2}{-5x-7}\right)^2-1} \\ & = \dfrac{1}{\dfrac{(x+2)^2}{(-5x-7)^2}-\dfrac{(-5x-7)^2}{(-5x-7)^2}} \\ & = \dfrac{1}{\dfrac{x^2 + 4x + 4-25x^2-70x- 49}{25x^2 + 70x + 49}} \\ & = \dfrac{25x^2 + 70x + 49}{-24x^2-66x-45} \end{aligned}$$Jadi, $\boxed{(f \circ h \circ g)(x) = \dfrac{25x^2 + 70x + 49}{-24x^2-66x- 45}}$
Akan ditentukan rumus fungsi dari $(g \circ f \circ h)(x)$.
$\begin{aligned} (f \circ h)(x) & = f(h(x)) \\ & = f\left(\dfrac{1}{x-5}\right) \\ & = \dfrac{1}{\left(\dfrac{1}{x-5}\right)^2-1} \\ & = \dfrac{1}{\dfrac{1}{(x-5)^2}- \dfrac{(x-5)^2}{(x-5)^2}} \\ & = \dfrac{1}{\dfrac{1-x^2 + 10x- 25}{x^2-10x + 25}} \\ & = \dfrac{x^2-10x + 25}{-x^2 + 10x-24} \end{aligned}$
Dengan demikian,
$$\begin{aligned} (g \circ f \circ h)(x) & = g((f \circ h)(x)) \\ & = g\left(\dfrac{x^2-10x + 25}{-x^2 + 10x-24}\right) \\ & = \dfrac{3}{\dfrac{x^2- 10x + 25}{-x^2 + 10x-24} + 2} \\ & = \dfrac{3}{\dfrac{x^2-10x + 25}{-x^2 + 10x-24} + \dfrac{2(-x^2 + 10x-24)}{-x^2 + 10x-24}} \\ & = \dfrac{3}{\dfrac{-x^2 + 10x-23}{-x^2 + 10x-24}} \\ & = \dfrac{-3x^2 + 30x-72}{-x^2 + 10x- 23} \end{aligned}$$Jadi, $\boxed{(g \circ f \circ h)(x) = \dfrac{-3x^2 + 30x-72}{-x^2 + 10x-23}}$

[collapse]

Soal Nomor 6
Tentukan $(f \circ g \circ g)(x)$ jika $f(x) = x^2+2$ dan $g(x) = 5x-1$.

Pembahasan

Diketahui $f(x) = x^2 + 2$ dan $g(x) = 5x-1$
$\begin{aligned} (f \circ g \circ g)(x) & = f(g(g(x))) \\ & = f(g(5x-1)) \\ & = f(5(5x-1)- 1) \\ & = f(25x-6) \\ & = (25x-6)^2 + 2 \\ & = 625x^2-300x + 38 \end{aligned}$
Jadi, $\boxed{(f \circ g \circ g)(x) = 625x^2-300x + 38}$

[collapse]

Soal Nomor 7
Diketahui fungsi $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, dan $h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dengan $f(x) = x + 2, g(x) = 3-2x$, dan $h(x)=x^2+3x-4$. Tentukan $x$ jika:
a. $(h \circ f \circ g)(x) = 6$;
b. $(g \circ h \circ f)(x) = 11$.

Pembahasan

Jawaban a)
$\begin{aligned} (h \circ f \circ g)(x) & = 6 \\ h(f(g(x))) & = 6 \\ h(f(3-2x)) & = 6 \\ h(3-2x + 2) & = 6 \\ h(5- 2x) & = 6 \\ (5-2x)^2 + 3(5-2x)-4 & = 6 \\ 4x^2- 20x + 25 + 15-6- 4 & = 6 \\ 4x^2-26x + 30 & = 0 \\ 2x^2-13x + 15 & = 0 \\ (2x-3)(x-5) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $2x- 3 = 0 \iff x = \dfrac{3}{2}$ atau $x = 5$.
Jawaban b)
$\begin{aligned} (g \circ h \circ f)(x) & = 11 \\ g(h(f(x))) & = 11 \\ g(h(x + 2)) & = 11 \\ g((x+2)^2 + 3(x + 2)-4) & = 11 \\ g(x^2 + 7x + 6) & = 11 \\ 3-2(x^2 + 7x + 6) & = 11 \\-2x^2-14x-20 & = 0 \\ x^2 + 7x + 10 & = 0 \\ (x + 2)(x + 5) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $x =-2$ atau $x =-5$

[collapse]

Soal Nomor 8
Diketahui $f: x \mapsto \mathbb{R}$ (baca: fungsi $f$ memetakan $x$ ke himpunan bilangan real) dengan $f(x) = 5^{2x} +3$. Tentukan invers fungsi $f(x)$.

Pembahasan

Ingat konsep logaritma dan invers berikut.
$\boxed{\begin{aligned} & ^a \log x = b \Rightarrow a^b = x \\ & ^a \log x^n = n. ^a \log x \\ & f(x) = y \Rightarrow f^{-1}(y) = x \end{aligned}}$
Misalkan $f(x) = y$, maka dapat ditulis
$\begin{aligned} y & = 5^{2x} +3 \\ 5^{2x} & = y-3 \\ ^5 \log (y- 3)& = 2x \\ x & = \dfrac{1}{2}(^5 \log (y-3)) \\ x & = ^5 \log (y-3)^{\frac{1}{2}} \\ f^{-1}(y) & = ^5 \log \sqrt{y-3}\\ f^{-1}(x) & = ^5 \log \sqrt{x-3} \end{aligned}$
Jadi, invers dari fungsi $f(x)$ adalah $\boxed{f^{-1}(x) = ^5 \log \sqrt{x-3}} $

[collapse]

Soal Nomor 9 ($\bigstar$ HOTS $\bigstar$)
Misalkan $f(x) = ax+b$ dengan $a \neq 0$ dan $g(x) = cx + d$ dengan $c \neq 0$. 
a) Tentukan nilai $a$ dan $b$ agar $f$ merupakan invers $g$.
b) Tentukan nilai $c$ dan $d$ agar $g$ merupakan invers $f$.

Pembahasan

Jawaban a) 
Akan dicari invers fungsi $g$ sebagai berikut. 
$\begin{aligned} g(x) & = cx + d \\ \text{Misalkan}~&~g(x) = y \\ y & = cx + d \\ y-d & = cx \\ x & = \dfrac{y-d} {c} \\ g^{-1}(y) & = \dfrac{y-d} {c} \\ g^{-1}(x) & = \dfrac{x-d} {c} \end{aligned}$
Agar $f$ menjadi invers $g$, maka haruslah
$\begin{aligned} f(x) & = g^{-1}(x) \\ ax + b & = \dfrac{x-d} {c} \\ ax + b & = \dfrac{1} {c}x-\dfrac{d} {c} \end{aligned}$
Persamaan terakhir mengharuskan
$a = \dfrac{1}{c}$ dan $b =-\dfrac{d} {c}$ agar $f$ menjadi invers $g$.
Jawaban b) 
Akan dicari invers fungsi $f$ sebagai berikut. 
$\begin{aligned} f(x) & = ax + b \\ \text{Misalkan}~&~f(x) = y \\ y & = ax + b \\ y-b & = ax \\ x & = \dfrac{y-b} {a} \\ f^{-1}(y) & = \dfrac{y-b} {a} \\ f^{-1}(x) & = \dfrac{x-b} {a} \end{aligned}$
Agar $g$ menjadi invers $f$, maka haruslah
$\begin{aligned} g(x) & = f^{-1}(x) \\ cx + d & = \dfrac{x-b} {a} \\ cx + d & = \dfrac{1} {a}x-\dfrac{b} {a} \end{aligned}$
Persamaan terakhir mengharuskan
$c = \dfrac{1}{a}$ dan $d =-\dfrac{b} {a}$ agar $g$ menjadi invers $f$.

[collapse]

Soal Nomor 10
Diberikan fungsi $(f \circ g) (x)$ untuk beberapa titik dengan aturan:
$(f \circ g)(3)= a, (f \circ g) (-2)= b, (f \circ g) (5) = c$, dan $(f \circ g) (9)= d$ dan formula fungsi $g(x) = x +1$. Tentukanlah nilai fungsi $f(x)$ untuk $x =-1, 4, 6, 10$.

Pembahasan

Diberikan $g(x) = x + 1$. Dengan demikian, 
$\begin{aligned} (f \circ g) (3) & = a \\ f(g(3)) & = a \\ f(3 + 1) & = a \\ f(4) & = a \end{aligned}$
Dengan prinsip yang sama, didapat
$\begin{aligned} & (f \circ g) (-2) = b \Rightarrow f(-1) = b \\ & (f \circ g) (5) = c \Rightarrow f(6) = c \\ & (f \circ g) (9) = d \Rightarrow f(10) = d \end{aligned}$
Jadi, nilai fungsi $f(x)$ untuk $x =-1, 4, 6, 10$ berturut-turut adalah $b, a, c$, dan $d$.

[collapse]

Soal Nomor 11
Diketahui $f(x) = x^2-1$ dan $g(x) = ^5 \log x$, tentukan nilai dari $(f \circ g)^{-1}(3)$ dan $(f \circ g)^{-1}(3)$.

Pembahasan

Menentukan $(f \circ g)^{-1}(3)$
$\begin{aligned} (f \circ g) (x) & = f(g(x)) \\ & = f(^5 \log x) \\ & = (^5 \log x)^2- 1 \end{aligned}$
Dengan demikian,
$(f \circ g)^{-1}((^5 \log x)^2-1) = x$

Untuk $(^5 \log x)^2-1 = 3$, diperoleh
$\begin{aligned} (^5 \log x)^2 & = 4 \\ ^5 \log x & = 2 \\ x & = 25 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $(f \circ g)^{-1}(3) = 25$
Menentukan $(g \circ f)^{-1}(3)$
$\begin{aligned} (g \circ f) (x) & = g(f(x)) \\ & = g(x^2-1)  \\ & = ^5 \log (x^2-1) \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} (g \circ f)^{-1}(^5 \log (x^2-1)) = x \end{aligned}$

Untuk $^5 \log (x^2-1) = 3$, diperoleh
$\begin{aligned} x^2-1 & = 5^3 \\ x^2 & = 126 \\ x & = \pm \sqrt{126} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{(g \circ f)^{-1}(3) = \pm \sqrt{126}}$

[collapse]

Soal Nomor 12
Jika $f^{-1}(x^3) = g(2x-1)$, tentukan rumus $f(x)$ bila dinyatakan dalam $g^{-1}(x)$.

Pembahasan

Diketahui $f^{-1}(x^3) = g(2x-1)$, sehingga
$x^3 = f(g(2x-1))$.
Misal $\color{blue}{g(2x-1) = y}$, berarti diperoleh
$\begin{aligned} 2x-1 & = g^{-1}(y) \\ 2x & = g^{-1}(y)+1 \\ \color{red}{x} & \color{red}{= \dfrac{g^{-1}(y)+1}{2}} \end{aligned}$
Sekarang dari $\color{red}{x}^3 = f(\color{blue}{g(2x-1)})$, diperoleh
$\begin{aligned} \left(\color{red}{\dfrac{g^{-1}(y)+1}{2}}\right)^3 & = f(\color{blue}{y}) \\ \left(\dfrac{g^{-1}(x)+1}{2}\right)^3 & = f(x) \end{aligned}$
Jadi, rumus $f(x)$ bila dinyatakan dalam $g^{-1}(x)$ adalah $\boxed{f(x) = \left(\dfrac{g^{-1}(x)+1}{2}\right)^3}$

[collapse]

Soal Nomor 13
Suatu pabrik kain berbahan dasar kapas memproduksi kain melalui dua tahap. Tahap pertama dengan bahan dasar kapas menggunakan mesin I menghasilkan benang bahan kain yang banyaknya dinyatakan dengan $\left(\dfrac{1}{5}x^2 + x\right)$, kemudian bahan dasar benang diproses pada tahap selanjutnya menggunakan mesin II menghasilkan kain yang banyaknya dinyatakan dengan $\left(\dfrac{3}{4}x + \dfrac{1}{5}\right)$, dengan $x$ merupakan banyak bahan yang diproses oleh mesin dalam satuan ton.

  1. Dengan memisalkan mesin I menghasilkan bahan benang dengan fungsi $f$ dan mesin II menghasilkan kain dengan fungsi $g$, tuliskan fungsi $h$ sebagai komposisi $f$ dan $g$ dari masalah di atas dalam variabel $x$.
  2. Dengan menggunakan fungsi $h$ yang didapat dari jawaban a, tentukan banyak kain yang dihasilkan pabrik tersebut jika bahan dasar kapas yang tersedia untuk produksi sebanyak $10$ ton.

Pembahasan

Jawaban a)
Diketahui: $f(x) = \dfrac{1}{5}x^2 + x$ dan $g(x) = \dfrac{3}{4}x + \dfrac{1}{5}$. Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} h & = (g \circ f)(x) = g(f(x)) \\ & = g\left(\dfrac{1}{5}x^2 + x\right) \\ & = \dfrac{3}{4}\left(\dfrac{1}{5}x^2 + x\right) + \dfrac{1}{5} \\ & = \dfrac{3}{20}x^2 + \dfrac{3}{4}x + \dfrac{1}{5} \end{aligned}$
Jadi, fungsi $h$ dinyatakan oleh rumus $\boxed{h(x) = \dfrac{3}{20}x^2 + \dfrac{3}{4}x + \dfrac{1}{5}}$
Jawaban b)
Untuk $x = 10$, diperoleh
$\begin{aligned} h(10) & = \dfrac{3}{20}(10)^2 + \dfrac{3}{4}(10) + \dfrac{1}{5} \\ & = \dfrac{3}{\cancel{20}}(\cancelto{5}{100}) + \dfrac{15}{2} + \dfrac{1}{5} \\ & = 15 + 7,5 + 0,2 = 22,7 \end{aligned}$
Jadi, banyaknya kain yang dihasilkan pabrik tersebut adalah $\boxed{22,7~\text{ton}}$

[collapse]

Soal Nomor 14 (OLIMPIADE)
Diketahui $f(x) = \dfrac{2x-4}{x}, x \neq 0$. Dinotasikan $f^2(x) = f(f(x))$, $f^3(x) = f(f(f(x)))$, dan seterusnya. Tentukan nilai dari $f^{2020}(1)$.

Pembahasan

Diketahui $f(x) = \dfrac{2x-4}{x}$.
Perhatikan bahwa,
$\begin{aligned} f(1) & = \dfrac{2(1)-4}{1} = -2 \\ f^2(1) = f(-2) & = \dfrac{2(-2)-4}{-2} = 4 \\ f^3(1) = f(4) & = \dfrac{2(4)-4}{4} = 1 \\ f^4(1) = f(1) & = \cdots \end{aligned}$
Nilai fungsi periodik (berulang) dengan
$\begin{aligned} f^{3n}(1) & = 1 \\ f^{3n+1}(1) & = -2 \\ f^{3n+2}(1) & = 4 \end{aligned}$
untuk $n$ bilangan bulat.
Dengan demikian, $f^{2020}(1) = f^{3n+1}(1) = -2$.
Jadi, nilai dari $\boxed{f^{2020}(1) = -2}$

[collapse]

4 Replies to “Soal dan Pembahasan – Komposisi dan Invers Fungsi”

  1. Bismillah,
    Barakallahu Fiik, semoga Allah selalu meberkahi bapak.

    Izinkan saya mempelajari matematika di website ini.

  2. Orang pintar itu banyak, tapi orang pintar yang mau berbagi, tidak banyak. Anda luar biasa, terima kasih sudah mau berbagi. Semoga Allah segera membalas kebaikan hati anda.

Tinggalkan Balasan

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *