Soal dan Pembahasan – Komposisi dan Invers Fungsi

Berikut ini adalah kumpulan beberapa soal mengenai komposisi dan invers fungsi (tingkat SMA/Sederajat). Beberapa soal dikumpulkan dari Ujian Nasional tahun-tahun sebelumnya. Jikalau ada pembahasan yang membingungkan, silakan ditanyakan melalui kolom komentar di bawah postingan ini.

Catatan: Setiap fungsi dalam hal ini selalu terdefinisi untuk x tertentu. Jika suatu fungsi f(x) = \dfrac{a} {bx} diberikan, maka syarat fungsi tersebut terdefinisi adalah x \neq 0. Syarat ini biasanya ditulis di samping rumus fungsinya (untuk menekankan syarat fungsi itu agar terdefinisi). Kadang pula tidak ditulis karena dianggap sudah lazim untuk mengetahui bahwa nilai variabel yang bersangkutan sudah pasti di luar domain.

Soal Nomor 1 (Soal UN Matematika SMA Tahun 2012)
Diketahui fungsi f(x) = 3x - 1 dan g(x) = 2x^2 - 3. Komposisi fungsi (g \circ f)(x) = \cdots
A. 9x^2 - 3x + 1
B. 9x^2 - 6x + 3
C. 9x^2 - 6x + 6
D. 18x^2 - 12x + 2
E. 18x^2 - 12x - 1

Penyelesaian

(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(3x - 1)
Karena fungsi g(x) = 2x^2 - 3, maka
g(3x - 1) = 2(3x - 1)^2 - 3 = 2(3x-1)(3x-1)-3
= 2(9x^2 - 3x - 3x + 1) - 3
= 18x^2 - 6x - 6x + 2 - 3
= 18x^2 - 12x - 1
Jadi, (g \circ f)(x) = 18x^2 - 12x - 1

[collapse]

Soal Nomor 2 (Soal UN Matematika SMA Tahun 2013)
Diketahui f(x) = x^2 - 4x + 2 dan g(x) = 3x + 5. Fungsi komposisi (f \circ g)(x) = \cdots
A. 3x^2 - 4x + 5
B. 3x^2 - 12x + 7
C. 3x^2 - 12x + 11
D. 9x^2 + 18x + 7
E. 9x^2 + 26x + 7

Penyelesaian

(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(3x + 5)
Karena f(x) = x^2 - 4x + 2, maka
f(3x+5) = (3x+5)^2 - 4(3x+5) + 2
= (9x^2 + 30x + 25) - 12x - 20 + 2
= 9x^2 + 18x + 7
Jadi, fungsi komposisi \boxed{(f \circ g)(x) = 9x^2 + 18x + 7} (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 3 (Soal UN Matematika SMA Tahun 2013)
Diketahui fungsi g(x) = \dfrac{x+1}{2x-3}, x \neq \dfrac{3}{2}. Invers fungsi g adalah g^{-1}(x) = \cdots
A. \dfrac{3x-1}{2x-1}, x \neq \dfrac{1}{2}
B. \dfrac{3x+1}{2x-1}, x \neq \dfrac{1}{2}
C. \dfrac{-3x-1}{2x-1}, x \neq \dfrac{1}{2}
D. \dfrac{3x-1}{2x+1}, x \neq -\dfrac{1}{2}
E. \dfrac{-3x + 1}{2x+1}, x \neq -\dfrac{1}{2}

Penyelesaian

Misalkan g(x) = y, sehingga fungsi g di atas dapat ditulis menjadi
y= \dfrac{x+1}{2x-3}
y(2x-3) = x + 1
2xy - 3y - x = 1
x(2y - 1) = 1 + 3y
x = \dfrac{1+3y}{2y-1} = \dfrac{3y + 1}{2x - 1}
f^{-1}(y) = \dfrac{3y + 1}{2y - 1}
f^{-1}(x) = \dfrac{3x + 1}{2x - 1}
Jadi, fungsi invers g adalah \boxed{\dfrac{3x + 1}{2x - 1}} dengan syarat x \neq \dfrac{1}{2}} (agar penyebutnya tak nol) (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 4 (Soal UN Matematika SMA Tahun 2014)
Diketahui f(x) = 4x + 2 dan g(x) = \dfrac{x-3}{x+1}, x \neq -1. Invers dari (g \circ f)(x) adalah \cdots
A. (g \circ f)^{-1}(x) = \dfrac{4x+1}{3x+4}, x \neq -\dfrac{4}{3}
B. (g \circ f)^{-1}(x) = \dfrac{4x-1}{-3x+4}, x \neq -\dfrac{4}{3}
C. (g \circ f)^{-1}(x) = \dfrac{3x-1}{4x+4}, x \neq -1
D. (g \circ f)^{-1}(x) = \dfrac{3x+1}{4-4x}, x \neq 1
E. (g \circ f)^{-1}(x) = \dfrac{3x+4}{4x+4}, x \neq -1

Penyelesaian

(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(4x+2)
= \dfrac{(4x+2)-3}{(4x+2)+1} = \dfrac{4x-1}{4x+3}
Langkah selanjutnya adalah mencari invers dari fungsi komposisi f dan g. Misalkan y = (g \circ f)(x), sehingga
dapat ditulis
y = \dfrac{4x-1}{4x+3}
(Kalikan kedua ruas dengan 4x+3,
y(4x+3) = 4x - 1
4xy + 3y = 4x - 1
4xy - 4x = -3y - 1
x(4y - 4) = -3y - 1
x = \dfrac{-3y-1}{4y-4}
(f \circ g)(y)^{-1} = \dfrac{-3y-1}{4y-4}
(f \circ g)(x)^{-1} = \dfrac{-3x-1}{4x-4}
(f \circ g)(x)^{-1} = \dfrac{3x+1}{4-4x}
Jadi, invers dari (g \circ f)(x) adalah \boxed{(f \circ g)(x)^{-1} = \dfrac{3x+1}{4-4x}, x \neq 1} (Jawaban D) 

[collapse]

Soal Nomor 5
Jika g^{-1} adalah invers dari g(x) = \dfrac{8 - 3x} {4 - x}, x \neq 4, maka nilai g^{-1}(4) = \cdots

Penyelesaian

Akan dicari invers dari fungsi g. Misalkan g(x) = y, maka diperoleh
\begin{aligned} y & = \dfrac{8 - 3x}{4 - x} \\ y(4-x) & = 8 - 3x \\ 4y - xy + 3x & = 8 \\ x(3 - y) & = 8-4y \\ x = g^{-1}(y) & = \dfrac{8-4y} {3-y} \\ g^{-1}(x) & = \dfrac{8-4x} {3-x} \end{aligned}
Jadi, invers fungsi g adalah
g^{-1}(x) = \dfrac{8-4x} {3-x}
sehingga
\boxed{g^{-1}(4) = \dfrac{8-4(4)}{3-4}= 8}

[collapse]

Soal Nomor 6
Diketahui f(x) = \dfrac{5-4x} {7x-3}. Bila f^{-1}(x) adalah invers dari f(x), maka f^{-1}(x)= \cdots

Penyelesaian

Misalkan f(x) = y, maka diperoleh
\begin{aligned} y & = \dfrac{5-4x} {7x-3} \\ y(7x-3) & = 5-4x \\ 7xy - 3y + 4x & = 5 \\ x(7y + 4) & = 5 + 3y \\ x = f^{-1}(y) & = \dfrac{5+3y} {7y+4} \\ f^{-1}(x) & = \dfrac{5+3x} {7x+4} \end{aligned}
Jadi, invers dari fungsi f(x) adalah
\boxed{f^{-1}(x) = \dfrac{5+3x}{7x+4}}

[collapse]

Soal Nomor 7
Diketahui g(x) = 2x - 4 dan (f \circ g) (x) = \dfrac{7x+3}{5x-9}. Nilai dari f(2)= \cdots

Penyelesaian

Diketahui g(x) = 2x - 4, sehingga
(f \circ g) (x) = f(g(x)) = f(2x-4) = \dfrac{7x+3}{5x-9}
Agar, f(2) = f(2x-4) terpenuhi, maka haruslah persamaan 2 = 2x-4 berlaku, sehingga nilai x = 3. Selanjutnya,
\begin{aligned} f(2(3) - 4) &= \dfrac{7(3)+3}{5(3)-9} \\ f(2) & = 4 \end{aligned}
Jadi, nilai dari f(2) adalah 4.

[collapse]

Soal Nomor 8
Diketahui fungsi f = \{(1, 2), (2,3), (3,4), (4,5)\}, dan (g \circ f) = \{(1,5), (2,6), (3,7), (4,8)\}, maka g^{-1}(7) = \cdots

Penyelesaian

Perhatikan bahwa fungsi f mengaitkan 1 ke 2, sedangkan fungsi komposisi f \circ g mengaitkan 1 ke 5. Ini berarti fungsi g mengaitkan 2 ke 5 (ingat kembali pengertian komposisi fungsi). Analog dengan ini, fungsi g mengaitkan 3 ke 6, 4 ke 7, dan 5 ke 8 atau ditulis
g = \{(2,5), (3,6), (4,7), (5,8)\}
sehingga
g^{-1} = \{(5,2), (6,3), \boxed{(7,4)}, (8,5)\}
Jadi, g^{-1}(7) = 4.

[collapse]

Soal Nomor 9
Jika f\left(\dfrac{3}{2x-3}\right) = \dfrac{2x+3}{x+4}, maka nilai f^{-1}(1) adalah \cdots

Penyelesaian

Misalkan f^{-1}(1) = a, maka f(a) = 1. Diketahui f\left(\dfrac{3}{2x-3}\right) = \dfrac{2x+3}{x+4}
sehingga untuk a = \dfrac{3}{2x-3}, maka haruslah
\begin{aligned} \dfrac{2x+3}{x+4} & = 1 \\ 2x+3 & = x + 4 \\ x & = 1 \end{aligned}
Dengan demikian,
a = \dfrac{3}{2x-3} = \dfrac{3}{2(1)-3} = \dfrac{3}{-1} = -3
Jadi, nilai dari f^{-1}(1) = -3

[collapse]

Soal Nomor 10
Diketahui f(x) = 2x - 1 dan (g \circ f) (x) = 4x^2 - 10x + 5. Nilai g(-1) adalah \cdots

Penyelesaian

Diketahui f(x) = 2x - 1, sehingga dapat ditulis
\begin{aligned} (g \circ f) (x) = g(f(x)) = & = 4x^2-10x+5 \\ g(2x-1) & = 4x^2-10x+5 \end{aligned}
Dalam hal ini, 2x - 1 = -1 karena yang ditanyakan adalah g(-1), dan selanjutnya diperoleh
\begin{aligned} 2x & = 0 \\ x & = 0 \end{aligned}
Jadi, untuk x = 0, didapat
g(-1) = 4(0)^2 - 10(0) + 5 = 5
Jadi, nilai dari g(-1) adalah 5.

[collapse]

Soal Nomor 11
Diketahui f: x \mapsto \mathbb{R} (baca: fungsi f memetakan x ke himpunan bilangan real) dengan f(x) = 5^{2x} +3. Invers fungsi f(x) adalah \cdots

Penyelesaian

Ingat konsep logaritma dan invers berikut.
\boxed{\begin{aligned} & ^a \log x = b \Rightarrow a^b = x \\ & ^a \log x^n = n. ^a \log x \\ & f(x) = y \Rightarrow f^{-1}(y) = x \end{aligned}}
Misalkan f(x) = y, maka dapat ditulis
\begin{aligned} y & = 5^{2x} +3 \\ 5^{2x} & = y - 3 \\ ^5 \log (y - 3)& = 2x \\ x & = \dfrac{1}{2}(^5 \log (y - 3)) \\ x & = ^5 \log (y - 3)^{\frac{1}{2}} \\ f^{-1}(y) & = ^5 \log \sqrt{y - 3}\\ f^{-1}(x) & = ^5 \log \sqrt{x - 3} \end{aligned}
Jadi, invers dari fungsi f(x) adalah \boxed{f^{-1}(x) = ^5 \log \sqrt{x - 3}}

[collapse]

Soal Nomor 12
Jika g(x - 2) = 2x - 3 dan (f \circ g) (x -2) = 4x^2 - 8x + 3, maka f(-3) = \cdots

Penyelesaian

Alternatif 1:
Diketahui g(x - 2)= 2x-3, sehingga
\begin{aligned} (f \circ g) (x-2) = f(g(x-2)) \\ & = f(2x-3) = 4x^2 - 8x + 3 \end{aligned}
Dalam hal ini, 2x - 3 = -3 atau nantinya diperoleh x = 0, karena yang ditanyakan adalah f(-3).
Jadi, untuk x = 0, diperoleh
f(-3) = 4(0)^2 - 8(0) + 3 = 3
Alternatif 2: Membentuk unsur fungsi
\begin{aligned} (f \circ g) (x - 2) = f(g(x-2)) & = f(2x-3) = 4x^2 - 8x + 3 \\ f(2x-3) & = (2x - 3)^2 + 4x - 6 \\ f(2x-3) & = (2x-3)^2 + 2(x-3) \\ f(x) & = x^2 + 2x \end{aligned}
Jadi, haruslah f(-3) = (-3)^2 + 2(-3)= 9 - 6 = 3

[collapse]

Soal Nomor 13
Diketahui (g^{-1} \circ f^{-1}) (x) = -2x + 4 dengan f^{-1} dan g^{-1} berturut-turut adalah invers fungsi f dan g. Jika f(x) = \dfrac{-x-2}{2x-10}, x \neq 5, maka g(6)=\cdots

Penyelesaian

Diketahui bahwa
(g^{-1} \circ f^{-1}) (x) = (f \circ g)^{-1}(x) = -2x + 4
Misalkan (f \circ g)^{-1}(x) = y, maka diperoleh
\begin{aligned} y & = -2x + 4 \\ y - 4 & = -2x \\ x& = \dfrac{4 - y} {2} \end{aligned}
Jadi, diperoleh (f \circ g) (x) = f(g(x)) = \dfrac{4-x} {2}
Sekarang, misalkan g(x) = y, dan diketahui juga f(x) = \dfrac{-x-2}{2x-10}, maka didapat
\begin{aligned} f(y) & = \dfrac{4-x} {2} \\ \dfrac{-y-2}{2y-10} & = \dfrac{4-x}{2} \\ -2y - 4 & = -2xy + 8y + 10x - 40 \\ y(-10 + 2x) & = 10x - 36 \\ y = g(x) & = \dfrac{10x-36}{-10+2x} \end{aligned}
Jadi,
\boxed{g(6) = \dfrac{10(6)-36}{-10+2(6)} = \dfrac{24}{2} = 12}

[collapse]

Soal Nomor 14
Diketahui fungsi f(x) = \dfrac{2x-4}{5-x}, x \neq 5, dan g(x) = 3x + 7. Fungsi invers dari (g \circ f) (x) = \cdots

Penyelesaian

Akan dicari (g \circ f) (x) sebagai berikut.
\begin{aligned} (g \circ f) (x) &= g(f(x)) \\ & = g\left(\dfrac{2x-4}{5-x}\right) \\ & = 3\left(\dfrac{2x-4}{5-x}\right) +7 \\ & = \dfrac{6x-12}{5-x} + \dfrac{7(5 - x)} {5-x} \\ & = \dfrac{-x+23}{5-x} \end{aligned}
Misalkan y = (g \circ f) (x), maka diperoleh
\begin{aligned} y & = \dfrac{-x+23}{5-x} \\ 5y - xy & = -x + 23 \\ 5y - 23 & = x(-1 + y) \\ x = (g \circ f)^{-1} (y) & = \dfrac{5y-23}{-1+y} \end{aligned}
Jadi, diperoleh
\boxed{(g \circ f)^{-1}(x) = \dfrac{5x-23}{-1+x}}

[collapse]

Soal Nomor 15
Diketahui fungsi f(x) = 3x+4 dan g(x) = \dfrac{4x-5}{2x+1}, x \neq -\dfrac{1}{5}. Invers (f \circ g) (x) adalah \cdots

Penyelesaian

Akan dicari (f \circ g) (x) sebagai berikut.
\begin{aligned} (f \circ g) (x) & = f(g(x)) \\ & = f\left(\dfrac{4x-5}{2x+1}\right) \\ & = 3\left(\dfrac{4x-5}{2x+1}\right) +4 \\ & = \dfrac{12x-15}{2x+1} + \dfrac{4(2x+1)} {2x+1} \\ & = \dfrac{20x-11}{2x+1} \end{aligned}
Sekarang, misalkan y = (f \circ g) (x), maka diperoleh
\begin{aligned} y &= \dfrac{20x-11}{2x+1} \\ y(2x+1) & = 20x-11 \\ 2xy + y & = 20x -11 \\ y + 11 & = 20x - 2xy \\ y + 11 & = x(-2y + 20) \\ x  = (f \circ g)^{-1}(y) &  = \dfrac{y+11}{-2y+20} \end{aligned}
Jadi, diperoleh invers (f \circ g) (x), yaitu
\boxed{(f \circ g)^{-1}(x) = \dfrac{x+11}{-2x+20}, x \neq 10}

[collapse]

Soal Nomor 16
Diketahui f(x) = 2-x dan g(x) = 2x + a + 1. Jika (f \circ g) (x) = (g \circ f) (x), berapa nilai a?

Penyelesaian

Informasi pada soal memberikan
\begin{aligned} (f \circ g) (x) & = (g \circ f) (x) \\ f(g(x)) & = g(f(x)) \\ f(2x + a + 1) & = g(2-x) \\ 2 - (2x + a + 1) & = 2(2-x) +a + 1 \\ 2-2x-a-1 & = 4 - 2x + a + 1 \\ -a + 1 & = a + 5 \\ -2a & = 4 \\ a & = -2 \end{aligned}

Jadi, nilai a adalah -2.

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini

7 Balasan untuk “Soal dan Pembahasan – Komposisi dan Invers Fungsi”

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *