Soal dan Pembahasan – Komposisi dan Invers Fungsi


Berikut ini adalah kumpulan beberapa soal mengenai komposisi dan invers fungsi.

Soal Nomor 1 (Soal UN Matematika SMA Tahun 2012)
Diketahui fungsi f(x) = 3x - 1 dan g(x) = 2x^2 - 3. Komposisi fungsi (g \circ f)(x) = \cdots
A. 9x^2 - 3x + 1
B. 9x^2 - 6x + 3
C. 9x^2 - 6x + 6
D. 18x^2 - 12x + 2
E. 18x^2 - 12x - 1

Penyelesaian

(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(3x - 1)
Karena fungsi g(x) = 2x^2 - 3, maka
g(3x - 1) = 2(3x - 1)^2 - 3 = 2(3x-1)(3x-1)-3
= 2(9x^2 - 3x - 3x + 1) - 3
= 18x^2 - 6x - 6x + 2 - 38
= 18x^2 - 12x - 1
Jadi, (g \circ f)(x) = 18x^2 - 12x - 1

[collapse]

Soal Nomor 2 (Soal UN Matematika SMA Tahun 2013)
Diketahui f(x) = x^2 - 4x + 2 dan g(x) = 3x + 5. Fungsi komposisi (f \circ g)(x) = \cdots
A. 3x^2 - 4x + 5
B. 3x^2 - 12x + 7
C. 3x^2 - 12x + 11
D. 9x^2 + 18x + 7
E. 9x^2 + 26x + 7

Penyelesaian

(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(3x + 5)
Karena f(x) = x^2 - 4x + 2, maka
f(3x-5) = (3x+5)^2 - 4(3x+5) + 2
= (9x^2 + 30x + 25) - 12x - 20 + 2
= 9x^2 + 18x + 7
Jadi, fungsi komposisi \boxed{(f \circ g)(x) = 9x^2 + 18x + 7} (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 3 (Soal UN Matematika SMA Tahun 2013)
Diketahui fungsi g(x) = \dfrac{x+1}{2x-3}, x \neq \dfrac{3}{2}. Invers fungsi g adalah g^{-1}(x) = \cdots
A. \dfrac{3x-1}{2x-1}, x \neq \dfrac{1}{2}
B. \dfrac{3x+1}{2x-1}, x \neq \dfrac{1}{2}
C. \dfrac{-3x-1}{2x-1}, x \neq \dfrac{1}{2}
D. \dfrac{3x-1}{2x+1}, x \neq \dfrac{1}{2}
E. \dfrac{-3x + 1}{2x+1}, x \neq \dfrac{1}{2}

Penyelesaian

Misalkan g(x) = y, sehingga fungsi g di atas dapat ditulis menjadi
y= \dfrac{x+1}{2x-3}
y(2x-3) = x + 1
2xy - 3y - x = 1
x(2y - 1) = 1 + 3y
x = \dfrac{1+3y}{2y-1} = \dfrac{3y + 1}{2x - 1}
f^{-1}(y) = \dfrac{3y + 1}{2y - 1}
f^{-1}(x) = \dfrac{3x + 1}{2x - 1}
Jadi, fungsi invers g adalah \boxed{\dfrac{3x + 1}{2x - 1}} dengan syarat x \neq \dfrac{1}{2}} (agar penyebutnya tak nol) (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 4 (Soal UN Matematika SMA Tahun 2014)
Diketahui f(x) = 4x + 2 dan g(x) = \dfrac{x-3}{x+1}, x \neq -1. Invers dari (g \circ f)(x) adalah \cdots
Penyelesaian:
A. (g \circ f)^{-1}(x) = \dfrac{4x+1}{3x+4}, x \neq -\dfrac{4}{3}
B. (g \circ f)^{-1}(x) = \dfrac{4x-1}{-3x+4}, x \neq -\dfrac{4}{3}
C. (g \circ f)^{-1}(x) = \dfrac{3x-1}{4x+4}, x \neq -1
D. (g \circ f)^{-1}(x) = \dfrac{3x+1}{4-4x}, x \neq 1
E. (g \circ f)^{-1}(x) = \dfrac{3x+4}{4x+4}, x \neq -1

Penyelesaian

(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(4x+2)
= \dfrac{(4x+2)-3}{(4x+2)+1} = \dfrac{4x-1}{4x+3}
Langkah selanjutnya adalah mencari invers dari fungsi komposisi f dan g. Misalkan y = (g \circ f)(x), sehingga
dapat ditulis
y = \dfrac{4x-1}{4x+3}
(Kalikan kedua ruas dengan 4x+3,
y(4x+3) = 4x - 1
4xy + 3y = 4x - 1
4xy - 4x = -3y - 1
x(4y - 4) = -3y - 1
x = \dfrac{-3y-1}{4y-4}
(f \circ g)(y)^{-1} = \dfrac{-3y-1}{4y-4}
(f \circ g)(x)^{-1} = \dfrac{-3x-1}{4x-4}
(f \circ g)(x)^{-1} = \dfrac{3x+1}{4-4x}
Jadi, invers dari (g \circ f)(x) adalah \boxed{(f \circ g)(x)^{-1} = \dfrac{3x+1}{4-4x}, x \neq 1} (Jawaban D)

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *