Soal dan Pembahasan – Integral Lipat Dua

  Integral berulang (kadang juga dikenal sebagai integral ganda atau integral lipat) adalah materi kalkulus lanjut yang dipelajari secara mendalam untuk menganalisis masalah luas dan volume baik pada bidang dua dimensi maupun tiga dimensi. Untuk memberikan pemahaman kepada pembaca tentang materi tersebut, berikut disajikan beberapa soal terkait terkhusus untuk integral lipat dua, yaitu integral dengan dua simbol sekaligus.

      Catatan: Pembaca diharapkan sudah menguasai teknik pengintegralan (aturan umum, substitusi polinomial dan trigonometri, integrasi parsial, dekomposisi pecahan parsial, dan teknik integrasi tingkat tinggi lainnya) serta memahami perhitungan integral tentu, karena pada postingan/penjelasan berikut ini, tidak dijabarkan secara rinci, tetapi bila Anda memiliki pertanyaan, jangan sungkan untuk bertanya melalui kolom komentar.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Luas Daerah Menggunakan Integral

Today Quote

Orang-orang yang berhenti belajar akan menjadi budak dari masa lalu, sedangkan orang-orang yang mau terus belajar akan menjadi raja di masa depan.

Soal Nomor 1
Hitunglah $\displaystyle \int_{0}^{2} \int_{0}^{1} (x^2 + 2y)~\text{d}x~\text{d}y$.

Pembahasan

Dengan menggunakan aturan pengintegralan, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \int_{0}^{2} \int_{0}^{1} (x^2 + 2y)~\text{d}x~\text{d}y & = \int_{0}^{2} \left[\dfrac{1}{3}x^3 + 2xy\right]_{0}^{1}~\text{d}y \\ & =\displaystyle \int_{0}^{2} \left[\left(\dfrac{1}{3} + 2y\right)- 0\right]~\text{d}y \\ & =\left[\dfrac{1}{3}y + y^2\right]_{0}^{2} \\ & = \dfrac{2}{3} + 4- 0 = \dfrac{14}{3} \end{aligned}$$Jadi, $\boxed{\displaystyle \int_{0}^{2} \int_{0}^{1} (x^2 + 2y)~\text{d}x~\text{d}y = \dfrac{14}{3}}$

[collapse]

Soal Nomor 2
Hitunglah $\displaystyle \int_{3}^{4} \int_{1}^{2} \dfrac{\text{d}y~\text{d}x}{(x+y)^2}$.

Pembahasan

Tahap integrasi pertama adalah dengan menganggap $x$ sebagai suatu konstanta dan integrasikan integrannya terhadap variabel $y$ (menggunakan teknik substitusi), sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \int_{3}^{4} \int_{1}^{2} \dfrac{\text{d}y~\text{d}x}{(x+y)^2} & = \displaystyle -\int_{3}^{4} \left[\dfrac{1}{x+y}\right]_{1}^{2}~\text{d}x \\ & = \displaystyle \int_{3}^{4} \left(\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x+2} \right)~\text{d}x \\ & = \left[\ln (x+1)- \ln (x+2)\right]_{3}^{4} \\ & = \left[\ln \left(\dfrac{x+1}{x+2} \right) \right]_{3}^{4} \\ & = \ln \dfrac{5}{6}- \ln \dfrac{4}{5} \\ & = \ln \dfrac{25}{24} \end{aligned}$$Jadi, $\boxed{\displaystyle \int_{3}^{4} \int_{1}^{2} \dfrac{\text{d}y~\text{d}x}{(x+y)^2} = \ln \dfrac{25}{24}}$

[collapse]

Soal Nomor 3
Hitunglah $\displaystyle \int_{0}^{1} \int_{x}^{1} (x + y)~\text{d}y~\text{d}x$.

Pembahasan

Dengan menggunakan aturan pengintegralan, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \int_{0}^{1} \int_{x}^{1} (x + y)~\text{d}y~\text{d}x & = \int_{0}^{1} \left[xy + \dfrac{1}{2}y^2\right]_{x}^{1}~\text{d}x \\ & =\displaystyle \int_{0}^{1} \left[\left(x + \dfrac{1}{2}\right)- \left(x^2 + \dfrac{1}{2}x^2\right)\right]~\text{d}x \\ & =\displaystyle \int_{0}^{1} \left(x- \dfrac{3}{2}x^2 + \dfrac{1}{2}\right)~\text{d}x \\ & =\left[\dfrac{1}{2}x^2- \dfrac{1}{2}x^3 + \dfrac{1}{2}x \right]_{0}^{1} = \dfrac{1}{2} \end{aligned}$$Jadi, $\boxed{\displaystyle \int_{0}^{1} \int_{x}^{1} (x + y)~\text{d}y~\text{d}x = \dfrac{1}{2}}$

[collapse]

Soal Nomor 4
Hitunglah $\displaystyle \int_{1}^{\ln 8} \int_{0}^{\ln y}e^{x + y}~\text{d}x~\text{d}y$.

Pembahasan

Gunakan teknik integrasi parsial
$\boxed{\int uv’ = uv- \int u’v}$
Dengan demikian, kita dapatkan
$$\begin{aligned} \displaystyle \int_{1}^{\ln 8} \int_{0}^{\ln y}e^{x + y}~\text{d}x \text{d}y & = \int_{1}^{\ln 8}\left[e^{x+y}\right]_{0}^{\ln y} \\ & =\int_{1}^{\ln 8} (e^{\ln y + y}- e^y)~\text{d}y \\ & =\int_{1}^{\ln 8} (ye^y- e^y)~\text{d}y \\ & = \left[ye^y- 2e^y\right]_1^{\ln 8} && (\text{Gunakan Teknik Inte}\text{gral Parsial}) \\  &= \left[e^y(y- 2)\right]_1^{\ln 8} \\ & = e^{\ln 8}(\ln 8- 2)- (e(1-2)) \\ & = 8(\ln 8- 2) + e \\ & = 8 \ln 8- 16 + e \end{aligned}$$Catatan: $\boxed{a^{^a \log b} = b~~|~~\ln a = ^e \log a}$
Jadi, $\boxed{\int_{1}{\ln 8} \int_{0}^{\ln y}e^{x + y}~\text{d}x~\text{d}y = 8 \ln 8- 16 + e}$

[collapse]

Soal Nomor 5
Hitunglah $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{x} x \sin y~\text{d}y~\text{d}x$.

Pembahasan

Dengan menggunakan aturan pengintegralan, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{x} x \sin y~\text{d}y~\text{d}x & = \int_{0}^{\pi} \left[-x \cos y\right]_{0}^{x}~\text{d}x \\ & = \int_{0}^{\pi} (-x \cos x + x)~\text{d}x \\ & = \left[-x \sin x- \cos x + \dfrac{1}{2}x^2\right]_{0}^{\pi} && (\text{Gunakan Teknik Inte}\text{gral Parsial}) \\ &=-\pi \sin \pi- \cos \pi + \dfrac{1}{2}\pi^2- (0- 1 + 0) \\ & = 2 + \dfrac{1}{2}\pi^2 \end{aligned}$$Jadi, $$\boxed{\displaystyle \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{x} x \sin y~\text{d}y~ \text{d}x = 2 + \dfrac{1}{2}\pi^2}$$

[collapse]

Soal Nomor 6
Hitung nilai integral lipat dua yang ditunjukkan atas $R$.
$$\begin{aligned} \text{a}. & \displaystyle \iint\limits_R xy^2~\text{d}A; R = \{(x, y) : 0 \leq x \leq 1, -1 \leq y \leq 1\} \\ \text{b}. & \displaystyle \iint\limits_R (x^2+y^2)~\text{d}A; R = \{(x, y) : -1 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 2\} \end{aligned}$$

Pembahasan

Jawaban a)
Sajikan integral lipat dua tersebut beserta batas integrasinya sesuai dengan $R$, lalu integralkan.
$$\begin{aligned} \displaystyle \int_{-1}^1 \int_0^1 xy^2~\text{d}x~\text{d}y & = \int_{-1}^1 y^2 \left[\dfrac12x^2\right]_0^1~\text{d}y \\ & = \int_{-1}^1 y^2 \left(\dfrac12\right)~\text{d}y \\ & = \dfrac12 \cdot \dfrac13 \left[y^3\right]_{-1}^1 \\ & = \dfrac16(1-(-1)) \\ & = \dfrac16(2) = \dfrac13 \end{aligned}$$Jadi, nilai integral lipat dua tersebut adalah $\boxed{\dfrac13}$
Jawaban b)
Sajikan integral lipat dua tersebut beserta batas integrasinya sesuai dengan $R$, lalu integralkan.
$$\begin{aligned} \displaystyle \int_{0}^2 \int_{-1}^1 (x^2+y^2)~\text{d}x~\text{d}y & = \int_{0}^2 \left[\dfrac13x^3+xy^2\right]_{-1}^1~\text{d}y \\ & = \int_{0}^2 \left[\dfrac13+y^2-\left(-\dfrac13-y^2\right)\right]~\text{d}y \\ & = \int_0^2 \left(\dfrac23 + 2y^2\right)~\text{d}y \\ & = \left[\dfrac23y + \dfrac23y^3\right]_0^2 \\ & = \dfrac23(2+2^3)-0 \\ & = \dfrac{20}{3} \end{aligned}$$Jadi, nilai integral lipat dua tersebut adalah $\boxed{\dfrac{20}{3}}$

[collapse]

Soal Nomor 7
Hitung luas daerah yang dibatasi oleh garis $x + y = 2$ dan $2y = x + 4$ dengan menggunakan integral lipat dua.

Pembahasan

Garis $x + y = 2$ ekuivalen dengan $x = 2- y$, sedangkan garis $2y = x + 4$ ekuivalen dengan $x = 2y- 4$. Titik potong kedua garis ini adalah $(0, 2)$. Grafiknya adalah sebagai berikut.
Luas daerah yang dimaksud adalah
$$\begin{aligned} A & = \displaystyle \iint\limits_D \text{d}A \\ & = \int_{0}^{2} \int_{x = 2y- 4}^{x = 2- y} \text{d}x~\text{d}y \\ & = \int_{0}^{2} [(2-y)- (2y-4)]~\text{d}y \\ & = \int_{0}^{2} (6- 3y)~\text{d}y \\ &= \left[6y- \dfrac{3}{2}y^2 \right]_{0}^{2} \\ & = (12- 6)- 0 = 6 \end{aligned}$$Jadi, luas daerah yang dimaksud adalah $6$ satuan luas.

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Integral dengan Metode Substitusi Aljabar dan Trigonometri

Soal Nomor 8
Hitunglah integral berikut dengan mengubahnya terlebih dahulu dalam sistem koordinat kutub.
$$\displaystyle \int_{D} \int 2xy~\text{d}A$$ $D$ adalah luas daerah pada kuadran pertama di antara lingkaran berjari-jari $2$ dan lingkaran berjari-jari $5$ yang berpusat di titik asal.

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.



Daerah $D$ yang dimaksud adalah daerah yang diarsir warna merah pada gambar di atas.
Langkah pertama adalah kita mencari dulu batas atas dan batas bawah integral. Karena luas yang dicari berada di antara lingkaran berjari-jari $2$ dan $5$ satuan, maka kita peroleh pertidaksamaan $2 \leq r \leq 5$. Selain itu, kita juga mencari luas daerah hanya pada kuadran pertamanya, jadi didapat pertidaksamaan $0 \leq \theta \leq \dfrac{\pi}{2}$
Ingat konversi: $x = r \cos \theta$ dan $y = r \sin \theta$ serta $\text{d}A = r ~\text{d}r~\text{d}\theta$ (dalam koordinat polar), sehingga kita rumuskan
$$\begin{aligned} \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{2}^{5} 2(r \cos \theta)(r \sin \theta)r~\text{d}r~\text{d}\theta & = \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{2}^{5} r^3 \sin 2\theta~\text{d}r~\text{d}\theta \\ & = \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left[\dfrac{1}{4}r^4 \sin 2\theta\right]_{2}^{5}~\text{d}\theta \\ & = \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{609}{4} \sin 2\theta~\text{d}\theta \\ & = \left[-\dfrac{609}{8} \cos 2\theta\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\ & = \dfrac{609}{4} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $$\boxed{\displaystyle \int_{D} \int 2xy~\text{d}A = \dfrac{609}{4}}$$

[collapse]

Soal Nomor 9
Rumuskan integral untuk mencari luas daerah yang dibatasi oleh kurva polar $r = 3 + 2 \sin \theta$ yang berada di luar lingkaran $r = 2$.

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Luas daerah yang dimaksud adalah daerah yang diarsir warna kuning pada gambar di atas. Langkah pertama adalah mencari titik potong kedua grafik yang diberikan. Untuk mencarinya, buatlah persamaan berikut.
$3 + 2 \sin \theta = 2 \Leftrightarrow \sin \theta =-\dfrac{1}{2}$
Diperoleh $\theta = \dfrac{7\pi}{6}$ atau $\theta = \dfrac{11\pi}{6}$.
Perlu dicatat bahwa $-\dfrac{\pi}{6}$ ekuivalen dengan $\dfrac{11\pi}{6}$ . Ini sangat penting karena kita membutuhkan nilai $\theta$ yang menutupi daerah yang diarsir saat bergerak dari batas bawah ke batas atas. Bila kita menggunakan $\dfrac{11\pi}{6}$, maka kita justru akan mencari luas pada proyeksi sebaliknya (menuju sumbu-$Y$ negatif). Jadi, kita peroleh batas pertidaksamaan
$\dfrac{-\pi}{6} \leq \theta \leq \dfrac{7\pi}{6}$
$2 \leq r \leq 3 + 2 \sin \theta$
Jadi, luas daerah $D$ dinyatakan oleh
$$\boxed{\displaystyle \int_{\frac{-\pi}{6}}^{\frac{7\pi}{6}} \int_{2}^{3 + 2 \sin \theta} r~\text{d}r~\text{d}\theta}$$

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Volume Benda Putar Menggunakan Integral

Tinggalkan Balasan

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *