Soal dan Pembahasan – Ujian Akhir Semester (UAS) Geometri Analitik Datar

[latexpage]Berikut ini adalah 6 soal UAS Geometri Analitik Datar (TA 2017/2018) yang diujikan pada bulan Januari 2018 oleh Drs. Dian Ahmad B.S., M.Si.

Soal Nomor 1
Sisi-sisi segitiga dibentuk oleh garis $2x + 3y + 4 = 0, x – y + 3 = 0$, dan $5x + 4y = 20$. Carilah persamaan garis tinggi pada segitiga tersebut.

Penyelesaian



Ingat konsep garis tinggi pada segitiga: membentuk sudut siku-siku jika ditarik dari satu titik sudut ke sisi di depannya. Ada 3 garis tinggi yang dapat dibentuk pada segitiga.
(Garis tinggi pertama)
Titik potong garis $2x + 3y + 4 = 0$ dan $x – y + 3 = 0$ adalah $\left(-\dfrac{13}{5}, \dfrac{2}{5}\right)$. Persamaan garis tinggi yang melalui titik $\left(-\dfrac{13}{5}, \dfrac{2}{5}\right)$ dan tegak lurus garis $5x + 4y = 20$ (gradien garis ini adalah $m_1 = -\dfrac{5}{4}$, berarti gradien garis tingginya adalah $m = \dfrac{4}{5}$), yaitu
$y = \dfrac{4}{5}\left(x + \dfrac{13}{5}\right) + \dfrac{2}{5} \Rightarrow 25y – 20x = 62$
(Silakan cari dua garis tinggi lainnya)

[collapse]

Soal Nomor 2
Carilah persamaan keluarga garis yang perpotongannya dengan dua sumbu koordinat membentuk segitiga yang luasnya 17 satuan luas.



Penyelesaian

Misal titik potong garis terhadap sumbu $X$ adalah $(0, b)$ dan terhadap sumbu $Y$ adalah $(a, 0)$. Karena segitiga yang terbentuk memiliki luas sebesar 17, maka haruslah
$\dfrac{ab} {2} = 17 \Rightarrow a = \dfrac{34}{b}$
Persamaan garis yang melalui $(0,b)$ dan $(a, 0)$ adalah
$\begin{aligned} & bx + ay = ab \\ & bx + \dfrac{34}{b}y= \dfrac{34}{b}b \\ & b^2x + 34y = 34b \end{aligned}$
Jadi, persamaan keluarga garis yang dimaksud adalah $b^2x + 34y = 34b$ dengan syarat $b \neq 0$ (karena bila demikian, maka tidak akan terbentuk segitiga).

[collapse]

Soal Nomor 3
Carilah persamaan lingkaran yang menyinggung garis $x + 2y = 3$ di titik $(-1, 2)$ dan berpusat pada sumbu $Y$.

Penyelesaian

Garis $x + 2y = 3$ menyinggung lingkaran di titik $(-1,2)$, sehingga bila ditarik garis baru yang melewati titik pusat lingkaran dan memotong garis ini, maka akan terbentuk sudut siku-siku.
Gradien garis $x + 2y = 3$ adalah $m_1 = -\dfrac{1}{2}$.
Jadi, gradien garis yang tegak lurus dengannya adalah $m = 2$
Persamaan garis yang bergradien $m = 2$ dan melewati titik $(-1, 2)$ adalah
$y = 2\left(x + 1\right) + 2 \Rightarrow -2x + y = 4$
Karena garis ini melewati titik pusat lingkaran dan pada soal diinformasikan bahwa titik pusat lingkaran berada pada sumbu $Y$, yang dapat diartikan koordinat titik pusat lingkaran adalah $(0, y_1)$, maka dapat ditulis,
$-2(0) + y_1 = 4 \Rightarrow y_1 = 4$
Diperoleh titik pusat lingkaran $(0,4)$.
Jarak titik pusat lingkaran ke titik $(-1,2)$ adalah jari-jari lingkaran $r$, yaitu
$r^2 = (0 + 1)^2 + (4 – 2)^2 = 5$
Jadi, persamaan lingkaran yang dimaksud adalah
$\boxed{x^2 + (y – 4)^2 = 5}$

[collapse]

Soal Nomor 4
Carilah persamaan lingkaran yang menyinggung garis $5x + y = 3$ di titik $(2, -7)$ dan berpusat pada garis $x – 2y = 19$

Penyelesaian

Garis $5x + y = 3$ menyinggung lingkaran di titik $(2,-7)$, sehingga bila ditarik garis baru yang melewati titik pusat lingkaran dan memotong garis ini, maka akan terbentuk sudut siku-siku.
Gradien garis $5x + y = 3$ adalah $m_1 = -5$.
Jadi, gradien garis yang tegak lurus dengannya adalah $m = \dfrac{1}{5}$
Persamaan garis yang bergradien $m = \dfrac{1}{5}$ dan melewati titik $(2,-7)$ adalah
$y = \dfrac{1}{5}\left(x – 2\right) – 7 \Rightarrow -x + 5y = -37$
Garis ini dan garis $x – 2y = 19$ keduanya melewati titik pusat lingkaran, sehingga titik potong kedua garis ini adalah titik pusat lingkaran.
$\begin{cases} -x + 5y = -37 \\ x – 2y = 19 \end{cases}$
Selesaikan SPL ini, yaitu $x = 7$ dan $y = -6$.
Diperoleh titik pusat lingkaran $(7,-6)$
Jarak titik pusat lingkaran ke titik $(2, -7)$ adalah jari-jari lingkaran $r$, yaitu
$r^2 = (7 – 2)^2 + (-6 + 7)^2 = 26$
Jadi, persamaan lingkaran yang dimaksud adalah
$\boxed{(x – 7)^2 + (y + 6)^2 = 26}$

[collapse]

Soal Nomor 5
Carilah persamaan lingkaran yang melalui titik-titik $(0,3), (2, 4)$, dan $(1, 0)$

Penyelesaian

Misalkan persamaan lingkarannya berbentuk $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$, sehingga dengan menyulihkan nilai $x$ dan $y$ berturut-turut sebagai suatu pasangan berurut $(0,3), (2,4)$, dan $(1,0)$, diperoleh suatu sistem persamaan linear tiga variabel berikut.
$\begin{cases} 0 + 3^2 + 0 + 3b + c = 0 \Rightarrow 3b + c = -9 \\ 2^2 + 4^2 + 2a + 4b + c = 0 \Rightarrow 2a + 4b + c = -16 \\ 1 + 0 + a + 0 + c = 0 \Rightarrow a + c = -1 \end{cases}$
Selesaikan SPLTV ini, sehingga nantinya diperoleh
$\begin{cases} a = -\dfrac{25}{7} \\ b = -\dfrac{27}{7} \\ c = \dfrac{18}{7} \end{cases}$
Jadi, persamaan lingkaran yang dimaksud adalah
$x^2 + y^2 – \dfrac{25}{7}x – \dfrac{27}{7}y + \dfrac{18}{7} = 0$
atau disederhanakan menjadi
$\boxed{7x^2 + 7y^2 – 25x – 27y + 18 = 0}$

[collapse]

Soal Nomor 6
Carilah persamaan yang baru dari lingkaran $x^2 + y^2 – 2x – 6y + 4 = 0$ setelah titik asal $O(0, 0)$ dipindahkan ke titik $O'(2, 3)$.

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} & x^2 + y^2 – 2x – 6y + 4 = 0 \\ & (x – 1)^2 + (y – 3)^2 = 6 \end{aligned}$ 
merupakan persamaan lingkaran berpusat di $(1,3)$ dan berjari-jari $\sqrt{6}$.
Karena titik asal dipindahkan dari titik $(0,0)$ ke $(2,3)$, maka titik pusat lingkaran berubah menjadi
$(1-2, 3-3) = (-1,0)$
dengan jari-jari yang masih sama seperti semula. Jadi, persamaan lingkaran setelah titik asal dipindah adalah
$\boxed{(x + 1)^2 + y^2 = 6}$

[collapse]