Soal dan Pembahasan – Relasi dan Fungsi (Tingkat SMP/Sederajat)

     Berikut ini merupakan soal dan pembahasan mengenai relasi dan fungsi yang dianjurkan untuk dipelajari oleh siswa tingkat SMP/Sederajat, terutama untuk menguatkan pemahaman konsep dan persiapan UNBK.

Baca: Soal dan Pembahasan- Gradien dan Persamaan Garis Lurus

Today Quote

Sukses hanya bagi mereka yang tetap semangat sekalipun halangan dan rintangan berat ada di depan mata.

Soal Nomor 1
Relasi yang tepat untuk menjelaskan hubungan himpunan $Q$ ke himpunan $P$ adalah $\cdots \cdot$
Diagram Panah dari Himpunan Q ke P
A. akar pangkat tiga dari
B. pangkat tiga dari
C. kuadrat dari
D. akar kuadrat dari

Pembahasan

Relasi yang tepat adalah “pangkat tiga dari”, sebagaimana dinyatakan oleh hubungan:
$1$ merupakan pangkat tiga dari $1$;
$8$ merupakan pangkat tiga dari $2$;
$27$ merupakan pangkat tiga dari $3$.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 2
Perhatikan diagram panah berikut!
Diagram Panah dari Himpunan K ke L
Relasi yang tepat dari himpunan K ke himpunan L adalah $\cdots \cdot$
A. dua kali dari
B. setengah dari
C. satu kurangnya dari
D. kurang dari

Pembahasan

Relasi yang tepat adalah “setengah dari”, sebagaimana dinyatakan oleh hubungan:
$-3$ merupakan setengah dari $-6$;
$-1$ merupakan setengah dari $-2$;
$1$ merupakan setengah dari $2$;
$2$ merupakan setengah dari $4$;
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 3
Relasi yang tepat untuk diagram berikut adalah $\cdots \cdot$
Diagram Panah dari Dua Buah Himpunan
A. lebih dari              C. setengah dari
B. kurang dari           D. kuadrat dari

Pembahasan

Relasi yang tepat adalah “setengah dari”, sebagaimana dinyatakan oleh hubungan:
$1$ merupakan setengah dari $2$;
$2$ merupakan setengah dari $4$;
$3$ merupakan setengah dari $6$;
$4$ merupakan setengah dari $8$, tetapi karena $8$ bukan anggota kodomain,maka $4$ tidak memiliki pasangan.
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 4 
Perhatikan diagram berikut ini!
Diagram Panah dari Himpunan A ke B
Relasi dari himpunan $A$ ke himpunan $B$ adalah $\cdots \cdot$

A. faktor dari               C. kurang dari
B. lebih dari                 D. setengah dari

Pembahasan

Diagram panah di atas dapat dinyatakan dalam bentuk himpunan pasangan berurut $\{1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (4, 4)\}$.
Perhatikan bahwa $1$ faktor dari $2, 3$, dan $4$; $2$ merupakan faktor dari $2$ dan $4$; $4$ merupakan faktor dari $4$.
Jadi, relasi yang sesuai untuk ini adalah FAKTOR DARI.
Catatan: faktor adalah bilangan asli yang membagi habis bilangan yang lain.
(Jawaban A)

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan- Konsep Garis dan Sudut (Tingkat SMP/Sederajat)

Soal Nomor 5 
Perhatikan relasi berikut!
1) $\{(1, a), (2, a), (3, a), (4, a)\}$
2) $\{(2, b), (3, c), (4, d), (2, e)\}$
3) $\{(3, 6), (4, 6), (5, 10), (3, 12)\}$
4) $\{(1, 5), (3, 7), (5, 9), (3, 11)\}$
Relasi di atas yang termasuk pemetaan adalah $\cdots \cdot$
A. 1             B. 2            C. 3             D. 4

Pembahasan

Pada bentuk pasangan berurut $(a, b)$, $a$ disebut anggota domain, sedangkan $b$ disebut anggota range.
Suatu relasi disebut sebagai pemetaan (fungsi) apabila setiap anggota domain mempunyai tepat satu (harus satu) pasangan dengan anggota kodomain.
Pada himpunan 1, semua anggota domain memiliki pasangan tepat satu ke kodomainnya, sehingga disebut fungsi.
Pada himpunan 2, anggota domain yakni 2 memiliki dua pasangan, sehingga bukan termasuk fungsi.
Pada himpunan 3, anggota domain yakni 3 memiliki dua pasangan, sehingga bukan termasuk fungsi.
Pada himpunan 4, anggota domain yakni 3 memiliki dua pasangan, sehingga bukan termasuk fungsi.
(Jawaban A) 

[collapse]

Soal Nomor 6
Dari keempat himpunan berikut:
$\begin{aligned} P & = \{(1, 1), (2, 0), (2, 1)\} \\ Q & = \{(1, 1), (3, 2), (5, 2)\} \\ R & = \{(5, a), (5, b), (4, c)\} \\ S & = \{(1, 6), (1, 5), (1, 4)\} \end{aligned}$
himpunan pasangan berurut yang merupakan pemetaan (fungsi) adalah $\cdots \cdot$
A. $P$           B. $Q$             C. $R$           D. $S$

Pembahasan

Suatu himpunan pasangan berurut termasuk fungsi apabila setiap anggota domain memiliki tepat satu pasangan ke anggota kodomain. 
Himpunan $P$ bukan termasuk fungsi karena anggota domain $2$ memiliki lebih dari satu pasangan, yakni pada pasangan berurut $(2, 0)$ dan $(2, 1)$. 
Himpunan $Q$ termasuk fungsi karena setiap anggota domain memiliki tepat satu pasang ke anggota kodomain. 
Himpunan $R$ bukan termasuk fungsi karena anggota domain $5$ memiliki lebih dari satu pasangan, yakni pada pasangan berurut $(5, a)$ dan $(5, b)$.
Himpunan $S$ bukan termasuk fungsi karena anggota domain $1$ memiliki lebih dari satu pasangan, yakni pada pasangan berurut $(1, 6), (1, 5)$ dan $(1, 4)$.
(Jawaban B)

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan- Himpunan (Tingkat SMP/Sederajat)

Soal Nomor 7
Diketahui $A=\{a,b,c\}$ dan $B=\{1,2,3,4,5\}$. Banyak pemetaan yang mungkin dari $A$ ke $B$ adalah $\cdots \cdot$
A. $15$                  C. $125$
B. $32$                  D. $243$

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} A & = \{a, b, c\} \\ B & = \{1,2,3,4,5\} \end{aligned}$
Kita peroleh $\text{n}(A) = 3$ dan $\text{n}(B) = 5$, sehingga banyak pemetaan yang mungkin dari $A$ ke $B$ adalah $\boxed{\text{n}(B)^{\text{n}(A)} = 5^3 = 125}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 8
Diketahui $A=\{\text{faktor dari 6}\}$ dan $B=\{\text{kelipatan 2 yang kurang dari 8}\}$. Banyak pemetaan yang mungkin dari $B$ ke $A$ adalah $\cdots \cdot$
A. $36$                     C. $81$
B. $64$                     D. $100$

Pembahasan

Tuliskan dulu seluruh anggota himpunan $A$ dan $B$. 
$\begin{aligned} A & = \{1, 2, 3, 6\} \\ B & = \{2, 4, 6\} \end{aligned}$
Kita peroleh $\text{n}(A) = 4$ dan $\text{n}(B) = 3$, sehingga banyak pemetaan yang mungkin dari $B$ ke $A$ adalah $\boxed{\text{n}(A)^{\text{n}(B)} = 4^3 = 64}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 9
Suatu fungsi didefinisikan dengan rumus $f(x)=3-5x$. Nilai $f(-4)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-23$                         C. $17$
B. $-17$                         D. $23$

Pembahasan

Diketahui: $f(x) = 3-5x$. 
Substitusikan $x =-4$, sehingga diperoleh
$f(-4) = 3-5(-4) = 3 + 20 = 23$
Jadi, hasil dari $\boxed{f(-4) = 23}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 10
Diketahui rumus fungsi $f(x)=6-3x$. Nilai dari $f(5)+f(-4)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $18$                        C. $-15$
B. $9$                          D. $-27$

Pembahasan

Diketahui: $f(x) = 6-3x$. 
Substitusikan $x = 5$, sehingga diperoleh
$f(5) = 6-3(5) = 6-15 =-9$
Substitusikan $x =-4$, sehingga diperoleh
$f(-4) = 6-3(-4) = 6 + 12 = 18$
Jadi, hasil dari $\boxed{f(5) + f(-4) =-9 + 18 = 9}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 11  
Diketahui fungsi $f(x) = 3x^2-2x-5$. Nilai $f\left(-\dfrac{1}{2}\right) = \cdots \cdot$
A. $-4\dfrac{1}{4}$                       C. $3\dfrac{1}{4}$
B. $-3\dfrac{1}{4}$                       D. $4\dfrac{1}{4}$

Pembahasan

Substitusikan nilai $x =-\dfrac{1}{2}$ pada fungsi $f$.
$\begin{aligned} f(x) & = 3x^2-2x-5 \\ f\left(-\dfrac{1}{2}\right) & = 3\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2-2\left(-\dfrac{1}{2}\right)-5 \\ & = 3 \times \dfrac{1}{4} + 1-5 \\ & = \dfrac{3}{4}-4 \\ & =-4\dfrac{1}{4} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{f\left(-\dfrac{1}{2}\right) =-4\dfrac{1}{4}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 12
Diketahui $f(x)=6x-5$. Nilai $f(3a+1)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $9a+1$                   C. $18a+1$
B. $9a-4$                   D. $18a-4$

Pembahasan

Diketahui: $f(x) = 6x- 5$. 
Substitusikan $x = 3a + 1$, sehingga diperoleh
$\begin{aligned} f(3a+1) & = 6(3a+1)-5 \\ & = 18a+6-5 \\ & = 18a+1 \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\boxed{f(3a+1) = 18a+1}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 13
Fungsi $f$ dinyatakan dengan $f(x)=3x+5$. Hasil dari $f(2b-3)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $5b+8$                  C. $6b-4$
B. $5b+2$                  D. $6b-15$

Pembahasan

Diketahui: $f(x) = 3x + 5$. 
Substitusikan $x = 2b-3$, sehingga diperoleh
$\begin{aligned} f(2b-3) & = 3(2b-3) + 5 \\ & = 6b-9 + 5 \\ & = 6b-4 \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\boxed{f(2b-3) = 6b- 4}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 14
Diketahui fungsi $f(x)$ linear. Jika fungsi $f(3x+2)=6x+10$, nilai $f(-5) = \cdots \cdot$
A. $-20$                       C. $16$
B. $-4$                         D. $19$

Pembahasan

Diketahui: $f(3x+2)=6x+10$
Akan dicari nilai $x$ yang membuat $3x + 2 =-5$ sebagai berikut. 
$\begin{aligned} 3x + 2 & =-5 \\ 3x & =-7 \\ x & =-\dfrac{7}{3} \end{aligned}$
Substitusikan $x =-\dfrac73$ pada $f(x)$, sehingga diperoleh
$\begin{aligned} f\left(\cancel{3}\left(-\dfrac{7}{\cancel{3}}\right) + 2\right) & = \cancelto{2}{6}\left(-\dfrac{7}{\cancel{3}}\right) + 10 \\ f(-7+2) & = 2(-7) + 10 \\ f(-5) & =-4 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{f(-5) =-4}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 15
Suatu fungsi dirumuskan oleh $f(3x+3)=(x-4)(x+10)$. Nilai dari $f(21)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $18$                          C. $32$
B. $22$                          D. $72$

Pembahasan

Diketahui: $f(3x+3)=(x-4)(x+10)$
Akan dicari nilai $x$ yang membuat $3x + 3 = 21$ sebagai berikut. 
$\begin{aligned} 3x + 3 & = 21 \\ 3x & = 18 \\ x & = \dfrac{18}{3} = 6 \end{aligned}$
Substitusikan $x = 6$ pada $f(x)$, sehingga diperoleh
$\begin{aligned} f(3(6)+3) & = (6-4)(6+10) \\ f(18+3) & = 2 \times 16 \\ f(21) & = 32 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{f(21) = 32}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 16
Diketahui rumus fungsi $f(x)=2x+5$. Jika $f(a)=11$, nilai $a$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2$            B. $3$              C. $5$             D. $6$

Pembahasan

Diketahui: $f(x) = 2x + 5$ dan $f(a) = 11$
Substitusikan $x = a$, sehingga diperoleh
$\begin{aligned} f(a) & = 2a + 5 \\ 11 & = 2a + 5 \\ 6 & = 2a \\ a & = 3 \end{aligned}$
Jadi, nilai $a$ adalah $\boxed{3}$
(Jawaban B)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Peluang (Tingkat SMP/Sederajat)

Soal Nomor 17
Suatu fungsi $f(x)=4x-1, f(a)=-9$, dan $f(2)=b$. Nilai $a-b$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-9$                         C. $5$
B. $-5$                         D. $9$

Pembahasan

Diketahui: $f(x) = 4x- 1$. 
Substitusikan $x = a$, sehingga diperoleh
$\begin{aligned} f(a) & = 4a-1 \\-9 & = 4a-1 \\-8 & = 4a \\ a & =-2 \end{aligned}$
Substitusikan $x = 2$, sehingga diperoleh
$f(2) = 4(2)-1 = 8-1 = 7$
Ini berarti, nilai $b$ adalah $7$. 
Dengan demikian, hasil dari $\boxed{a-b =-2-7 =-9}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 18
Fungsi $f$ dinyatakan dengan rumus $f(x)=4x+3$. Jika $f(a)=7$ dan $f(-2)=b$, maka nilai $a+b$ adalah $\cdots \cdot$
A. $6$                         C. $-4$
B. $4$                         D. $-6$

Pembahasan

Diketahui: $f(x) = 4x + 3$. 
Substitusikan $x = a$, sehingga diperoleh
$\begin{aligned} f(a) & = 4a + 3 \\ 7 & = 4a + 3 \\ 4 & = 4a \\ a & = 1 \end{aligned}$
Substitusikan $x =-2$, sehingga diperoleh
$f(2) = 4(-2) + 3 =-8+3 =-5$
Ini berarti, nilai $b$ adalah $-5$. 
Dengan demikian, hasil dari $\boxed{a+b = 1 +(-5) =-4}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 19
Diketahui rumus fungsi $f(x)=2x-3$. Jika $f(m)=5$ dan $f(-2)=n$, maka nilai $m+n$ adalah $\cdots \cdot$
A. $5$                           C. $-3$
B. $2$                           D. $-6$

Pembahasan

Diketahui: $f(x)= 2x-3$. 
Untuk $x = m$, diperoleh
$\begin{aligned} f(m) & = 2m-3 \\ 5 & = 2m-3 \\ 8 & = 2m \\ m & = 4 \end{aligned}$
Untuk $x =-2$, diperoleh
$f(-2) = 2(-2)-3 =-7$
sehingga nilai $n$ adalah $-7$. 
Jadi, nilai dari $\boxed{m+n=4+(-7)=-3}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 20
Suatu fungsi $f$ dirumuskan dengan $f(x)=px+q$. Jika $f(2)=5$ dan $f(-2)=-11$, nilai dari $f(-6) = \cdots \cdot$
A. $-27$                        C. $-9$
B. $-18$                        D. $-3$

Pembahasan

Untuk $x = 2$, diperoleh
$f(2) = 2p + q = 5$
Untuk $x =-2$, diperoleh
$f(-2) =-2p + q =-11$
Diperoleh SPLDV: $\begin{cases} 2p+q = 5 \\-2p+q=-11 \end{cases}$
Dengan menggunakan metode gabungan, diperoleh
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2p + q & = 5 \\-2p+q & =-11 \end{aligned} \\  \rule{2.5 cm}{0.8pt}- \\ \! \begin{aligned} 4p & = 16 \\ p & = 4 \end{aligned} \end{aligned}$
Selanjutnya, substitusikan $p=4$ pada salah satu persamaan, misalnya $2p+q=5$. 
$2(4)+q = 5 \Leftrightarrow q =-3$. 
Jadi, nilai $\boxed{p=4}$ dan $\boxed{q=-3}$.
Dengan demikian, $f(x) = 4x-3$.
Untuk $x=-6$, diperoleh
$\boxed{f(-6) = 4(-6)-3 =-27}$
(Jawaban A)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan- SPLDV

Soal Nomor 21
Perhatikan diagram panah berikut!
Diagram Panah dari Himpunan A ke B
Rumus fungsi dari $A$ ke $B$ adalah $\cdots \cdot$
A. $f(x)=2x+7$
B. $f(x)=5x-12$
C. $f(x)=3x-2$
D. $f(x)=2x+3$

Pembahasan

Uji setiap pilihan yang disediakan.
Pilihan A: $f(x) = 2x + 7$
Untuk $x = 6$, diperoleh $f(6) = 2(6) + 7 = 19$ (salah), seharusnya $15$.
Pilihan B: $f(x) = 5x- 12$
Untuk $x = 6$, diperoleh $f(6) = 5(6)-12 = 18$ (salah), seharusnya $15$.
Pilihan C: $f(x) = 3x- 2$
Untuk $x = 6$, diperoleh $f(6) = 3(6)-2= 16$ (salah), seharusnya $15$.
Pilihan D: $f(x) = 2x + 3$
Untuk $x = 5$, diperoleh $f(5) = 2(5) + 3 = 13$ (benar).
Untuk $x = 6$, diperoleh $f(5) = 2(6) + 3 = 15$ (benar).
Untuk $x = 8$, diperoleh $f(5) = 2(8) + 3 = 19$ (benar).
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 22
Perhatikan diagram panah berikut!
Diagram Panah dari Himpunan P ke Q
Rumus fungsi dari $P$ ke $Q$ adalah $\cdots \cdot$
A. $f(x)=4(2x+5)$
B. $f(x)=3(2x+3)$
C. $f(x)=2(3x+9)$
D. $f(x)=\dfrac12(6x+18)$

Pembahasan

Uji setiap pilihan yang disediakan.
Pilihan A: $f(x) = 4(2x + 5)$
Untuk $x = 2$, diperoleh $f(2) = 4(2(2) + 5) = 4(9) = 36$ (salah), seharusnya $21$.
Pilihan B: $f(x) = 3(2x+3)$
Untuk $x = 2$, diperoleh $f(2) = 3(2(2) + 3) = 3(7) = 21$ (benar).
Untuk $x = 6$, diperoleh $f(6) = 3(2(6) + 3) = 3(15) = 45$ (benar).
Untuk $x = 10$, diperoleh $f(10) = 3(2(10) + 3) = 3(23) = 69$ (benar).
Pilihan C: $f(x) = 2(3x + 9)$
Untuk $x = 2$, diperoleh $f(2) = 2(3(2) + 9) = 2(15) = 30$ (salah), seharusnya $21$.
Pilihan D: $f(x) =\dfrac12(6x + 18) = 3x + 9$
Untuk $x = 2$, diperoleh $f(2) = 3(2) + 9 = 15$ (salah), seharusnya $21$.
(Jawaban B)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Fungsi (Tingkat Lanjut)

Bagian Esai

Soal Nomor 1
Dari sketsa kurva berikut, manakah kurva yang mewakili suatu fungsi? Asumsikan domainnya adalah bilangan real.
a. Kurva Parabola
b. Kurva Sinus
c. Kurva Lingkaran
d. Kurva Kotak
e. Kurva Hati
f. Kurva Spiralg.
Kurva Hiperbola

Pembahasan

Suatu kurva yang digambarkan dalam bidang Kartesius dikatakan fungsi apabila setiap nilai $x$ tepat ada satu nilai $y$. Perhatikan bahwa sumbu horizontal disebut sebagai sumbu-$X$, sedangkan sumbu tegak disebut sebagai sumbu-$Y$. 
Mudahnya, kita buat garis putus-putus tegak yang memotong kurva. Bila kita menemukan lebih dari satu titik potong atau tidak ada titik potong sama sekali, maka kurva itu bukanlah grafik dari fungsi.
Jawaban a)
kurva Parabola
Kita hanya menemukan satu titik potong jika menarik garis putus-putus dari posisi manapun. Jadi, kurva itu mewakili suatu fungsi.
Jawaban b)
Kurva Sinus
Kita hanya menemukan satu titik potong jika menarik garis putus-putus dari posisi manapun. Jadi, kurva itu mewakili suatu fungsi.
Jawaban c)
Kurva Lingkaran
Kita menemukan dua titik potong jika menarik garis putus-putus dari posisi seperti di gambar. Jadi, kurva itu bukan mewakili suatu fungsi.
Jawaban d)
Kurva Kotak
Kita menemukan dua titik potong jika menarik garis putus-putus dari posisi seperti di gambar. Jadi, kurva itu bukan mewakili suatu fungsi.
Jawaban e)
Kurva Spiral
Kita menemukan tiga titik potong jika menarik garis putus-putus dari posisi seperti di gambar. Jadi, kurva itu bukan mewakili suatu fungsi.
Jawaban f)
Kurva Hiperbola
Kita menemukan dua titik potong jika menarik garis putus-putus dari posisi seperti di gambar. Selain itu, bila kita tarik garis putus-putus yang berimpit dengan sumbu-$Y$, kita tidak akan menemukan titik potong. Jadi, kurva itu bukan mewakili suatu fungsi.

[collapse]