Soal dan Pembahasan – Konsep Garis dan Sudut (Tingkat SMP/Sederajat)

Jumlah sudut dalam setiap segitiga adalah $180^{\circ}$. Diketahui $\angle P=45^{\circ}$ dan $\angle Q=45^{\circ}$ sehingga
$\angle R = (180-45-45)^{\circ} = 90^{\circ}.$
Karena salah satu sudut segitiga memiliki besar $90^{\circ}$, segitiga $PQR$ merupakan segitiga siku-siku. Karena ada dua sudut yang sama besar, segitiga $PQR$ adalah segitiga sama kaki. Dengan demikian, $PQR$ merupakan segitiga siku-siku sama kaki.
(Jawaban D)

Pilihan A: 
$\angle 1$ dan $\angle 5$ merupakan pasangan sudut luar berseberangan. 
Pilihan B:
$\angle 2$ dan $\angle 5$ tidak memiliki nama hubungan sudut.
Pilihan C:
$\angle 4$ dan $\angle 5$ merupakan pasangan sudut luar sepihak. 
Pilihan D:
$\angle 4$ dan $\angle 6$ merupakan pasangan sudut luar berseberangan.
(Jawaban C)

$\angle P_1$ dan $\angle Q_4$ merupakan pasangan sudut luar sepihak sehingga jumlah besar kedua sudutnya $180^{\circ}.$
$\begin{aligned} \angle P_1 +\angle Q_4 & = 180^{\circ} \\ 130^{\circ} +\angle Q_4 & = 180^{\circ} \\ \angle Q_4 & = 50^{\circ} \end{aligned}$
Jadi, besar $\boxed{\angle Q_4 = 50^{\circ}}$
(Jawaban C)

Sudut $POR$ dan sudut $QOR$ merupakan pasangan sudut berpelurus sehingga berlaku
$\begin{aligned} \angle POR + \angle QOR & = 180^{\circ} \\ 4x^{\circ} + 2x^{\circ} & = 180^{\circ} \\ 6x^{\circ} & = 180^{\circ} \\ x & = 30. \end{aligned}$
Besar sudut $QOR$ adalah $\boxed{2x^{\circ} = 2(30)^{\circ} = 60^{\circ}}$
(Jawaban C)

Sudut $KLN$ dan sudut $MLN$ merupakan pasangan sudut berpelurus sehingga berlaku
$\begin{aligned} \angle KLN + \angle MLN & = 180^{\circ} \\ (3x+15)^{\circ} + (2x+10)^{\circ} & = 180^{\circ} \\ (5x+25)^{\circ} & = 180^{\circ} \\ 5x^{\circ} & = 155^\circ \\  x & = 31. \end{aligned}$
Pelurus sudut $KLN$ adalah sudut $MLN.$
Besar sudut $MLN$ adalah $\boxed{(2x+10)^{\circ} = (2(31)+10) ^{\circ} = 72^{\circ}}$
(Jawaban B)

Misalkan besar sudut kedua adalah $x$, maka besar sudut pertama adalah $8x.$ Karena keduanya berpelurus, jumlah sudutnya membentuk $180^{\circ}$ sehingga ditulis
$\begin{aligned} x+8x=180^{\circ} & \Leftrightarrow 9x = 180^{\circ} \\ &  \Leftrightarrow x = 20^{\circ}. \end{aligned}$
Dengan demikian, besar sudut pertama adalah $\boxed{8x = 8(20^{\circ}) = 160^{\circ}}$, sedangkan besar sudut kedua adalah $\boxed{x = 20^{\circ}}$
(Jawaban B)

Sudut $4x$ dan $(6x – 40^{\circ})$ sehadap sehingga besar sudutnya sama. Jadi, kita tulis
$\begin{aligned} 4x & = 6x -40^{\circ} \\ -2x & = -40^{\circ} \\ x & = 20^{\circ}. \end{aligned}$
Dengan demikian, $4x = 4(20^{\circ}) = 80^{\circ}.$ Pelurus sudutnya adalah $180^{\circ} -80^{\circ} = 100^{\circ}.$
Karena $100^{\circ}, 55^{\circ}$, dan $y$ merupakan besar tiga sudut dalam segitiga, berlaku $y = (180-100-55)^{\circ} = 25^{\circ}.$
Jadi, nilai $y$ adalah $\boxed{25^{\circ}}$
(Jawaban C)

Tarik garis baru yang sejajar dengan kedua garis yang ada seperti tampak pada gambar berikut.

Perhatikan bahwa sudut $27^{\circ}, 35^{\circ},$ dan $x$ membentuk sudut berpelurus sehingga
$x = (180-27-35)^{\circ} = 118^{\circ}.$
Jadi, besar sudut $x$ adalah $\boxed{118^{\circ}}$
(Jawaban C)

Bentuklah segitiga siku-siku seperti gambar berikut.
Besar sudut $DEC$ adalah $(180-142)^{\circ} = 38^{\circ}.$
Dari gambar, diperoleh
$\begin{aligned} \angle BCA &= (180-90-42)^{\circ} = 48^{\circ} \\ \angle DCE & = (180-90-38) = 52^{\circ}. \end{aligned}$
Sudut $DEC, DCE$, dan sudut $x$ membentuk sudut berpelurus sehingga berlaku
$x = (180-48-52)^{\circ} = 80^{\circ}.$
Jadi, besar sudut $x$ adalah $\boxed{80^{\circ}}$
(Jawaban B)

Sudut nomor $1$ dan $4$ merupakan sudut berseberangan sehingga besar sudutnya sama. 
Sudut nomor $4$ dan $5$ merupakan sudut sehadap sehingga besar sudutnya juga sama. 
Dengan demikian, $\angle 1 = \angle 4 = \angle 5 = 95^{\circ}.$
Sudut nomor $2$ dan $6$ saling berpelurus sehingga
$\begin{aligned} \angle 6 & = 180^\circ -\angle 2 \\ &  = (180-110)^{\circ} \\ & = 70^{\circ}. \end{aligned}$
Sudut nomor $3, 5,$ dan $6$ merupakan tiga sudut dalam segitiga sehingga jumlah sudutnya $180^{\circ}.$ Dengan demikian,
$\begin{aligned} \angle 3 & = 180^\circ -\angle 5 -\angle 6 \\ & = (180 -95-70)^{\circ} = 15^{\circ}. \end{aligned}$
Jadi, besar sudut nomor $3$ adalah $\boxed{15^{\circ}}$
(Jawaban B)

Sudut $ABC$ dan sudut $DBC$ merupakan pasangan sudut berpelurus sehingga
$\begin{aligned} \angle ABC & = 180^\circ -\angle DBC \\ & = (180-140)^{\circ} \\ & = 40^{\circ}. \end{aligned}$
Jumlah ketiga sudut dalam segitiga adalah $180^{\circ}$ sehingga
$\begin{aligned} \angle BAC + \angle ABC + \angle BCA & = 180^{\circ} \\ (y + 10^{\circ}) + 40^{\circ} + (2y + 10^{\circ}) & = 180^{\circ} \\ 3y + 60^{\circ} & = 180^{\circ} \\ 3y & = 120^{\circ} \\ y & = 40^{\circ}. \end{aligned}$
Besar sudut $BAC$ adalah $\boxed{y + 10^{\circ} = 40^{\circ} + 10^{\circ} = 50^{\circ}}$
(Jawaban C)

Dalam belah ketupat, jumlah besar sudut $A$ dan sudut $B$ adalah $180^{\circ}$. Karena $\angle A = \angle C,$ diperoleh
$\begin{aligned} \angle C & = \dfrac{1}{1+2} \times 180^{\circ} \\ & = \dfrac{1}{3} \times 180^{\circ} = 60^{\circ}. \end{aligned}$
Jadi, besar sudut $C$ adalah $\boxed{60^{\circ}}$
(Jawaban A)

$\angle BAC$ dan $\angle BOC$ menghadap busur yang sama, yaitu busur $BC$. $\angle BAC$ merupakan sudut keliling, sedangkan $\angle BOC$ merupakan sudut pusat. Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} \angle BOC & = 2 \times \angle BAC \\ &  = 2 \times 40^{\circ} \\ & = 80^{\circ}. \end{aligned}$
Jadi, besar sudut $BOC$ adalah $\boxed{80^{\circ}}$
(Jawaban D)

$\angle ACB$ dan $\angle AOB$ menghadap busur yang sama, yaitu busur $AB.$ $\angle ACB$ merupakan sudut keliling, sedangkan $\angle AOB$ merupakan sudut pusat. Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} \angle AOB & = 2 \times \angle ACB \\ & = 2 \times 30^{\circ} \\ & = 60^{\circ}. \end{aligned}$
Jadi, besar sudut $AOB$ adalah $\boxed{60^{\circ}}$
(Jawaban D)

Diketahui $\angle BOC = 105^{\circ}$. Perhatikan bahwa sudut $BOC$ dan sudut $BOE$ merupakan pasangan sudut yang saling berpelurus (jumlah sudutnya $180^{\circ}$) sehingga 
$\begin{aligned} \angle BOE &  = 180^{\circ} -\angle BOC \\ &  = (180-105)^{\circ} \\ & = 75^{\circ}. \end{aligned}$
Sekarang, perhatikan bahwa sudut $BOE$ dan sudut $EDB$ menghadap busur yang sama, yaitu busur $EB$, dengan sudut $BOE$ sebagai sudut pusat, sedangkan sudut $EDB$ sebagai sudut keliling. Dengan demikian, berlaku
$\begin{aligned} \angle EDB & = \dfrac{1}{2} \times \angle BOE \\ & = \dfrac12 \times 75^{\circ} \\ & = 37,5^{\circ}. \end{aligned}$
Jadi, besar sudut $EDB$ adalah $\boxed{37,5^{\circ}}$
(Jawaban A)

Diketahui $\angle BOC = 74^{\circ}$. Perhatikan bahwa sudut $BOC$ dan sudut $AOB$ merupakan pasangan sudut yang saling berpelurus (jumlah sudutnya $180^{\circ}$) sehingga 
$\begin{aligned} \angle AOB & = 180^{\circ} -\angle BOC \\ &  = (180-74)^{\circ} \\ & = 106^{\circ}. \end{aligned}$
Sekarang, perhatikan bahwa sudut $AOB$ dan sudut $ADB$ menghadap busur yang sama, yaitu busur $AB$, dengan sudut $AOB$ sebagai sudut pusat, sedangkan sudut $ADB$ sebagai sudut keliling. Dengan demikian, berlaku
$\begin{aligned} \angle ADB & = \dfrac{1}{2} \times \angle AOB \\ & = \dfrac12 \times 106^{\circ} \\ & = 53^{\circ}. \end{aligned}$
Jadi, besar sudut $ADB$ adalah $\boxed{53^{\circ}}$
(Jawaban B)

Karena $r = AO = BO$, segitiga $AOB$ merupakan segitiga sama kaki sehingga $\angle ABO = \angle BAO = 25^{\circ}.$
Jumlah sudut dalam segitiga adalah $180^{\circ},$ berarti
$\angle AOB = (180-25-25)^{\circ} = 130^{\circ}.$
Perhatikan bahwa sudut $AOB$ dan sudut $ACB$ menghadap busur yang sama, yaitu busur $AB$. Sudut $AOB$ sebagai sudut pusat, sedangkan sudut $ACB$ sebagai sudut keliling. Untuk itu, berlaku
$\begin{aligned} \angle ACB & = \dfrac12 \times \angle AOB \\ & = \dfrac12 \times 130^{\circ} = 65^{\circ}. \end{aligned}$
Jadi, besar sudut $ACB$ adalah $\boxed{65^{\circ}}$
(Jawaban B)

Sudut $AEB, ADB$, dan $ACB$ merupakan sudut keliling yang semuanya menghadap busur yang sama, yaitu busur $AB$. Untuk itu, besar sudutnya juga sama. Misalkan $\angle AEB = \angle ADB = \angle ACB = x$ sehingga
$\begin{aligned} \angle AEB+ \angle ADB+ \angle ACB & =228^{\circ} \\ x+x+x & = 228^{\circ} \\ 3x & = 228^{\circ} \\ x & = 76^{\circ}. \end{aligned}$
Perhatikan bahwa sudut $APB$ merupakan sudut pusat yang juga menghadap busur $AB$ sehingga berlaku
$\angle APB = 2x = 2(76^{\circ}) = 152^{\circ}.$
Jadi, besar sudut $APB$ adalah $\boxed{152^{\circ}}$
(Jawaban B)

Buat titik baru, sebut saja titik $P$ seperti gambar.

Karena sudut $KAL$ dan $LBM$ berturut-turut menghadap busur $KL$ dan $LM$, sudut $KPM$ yang menghadap busur $KL + LM = KM$ memiliki besar $\angle KAL + \angle LBM = 38^{\circ} + 24^{\circ} = 62^{\circ}.$
Perhatikan segi empat tali busur $KLMP$. Sudut $KLM$ dan sudut $KPM$ saling berhadapan sehingga jumlah besar sudutnya $180^{\circ}.$
Dengan demikian, kita peroleh
$\begin{aligned} \angle KLM & = 180^{\circ}- \angle KPM \\ & = (180-62)^{\circ} = 118^{\circ}. \end{aligned}$
Jadi, besar sudut $KLM$ adalah $\boxed{118^{\circ}}$
(Jawaban B)

Diketahui $\angle AOC = 112^{\circ}$. 
Perhatikan bahwa sudut $AOC$ dan sudut $ADC$ menghadap busur yang sama, yaitu $AC$. Sudut $AOC$ sebagai sudut pusat, sedangkan sudut $ADC$ sebagai sudut keliling. Dengan demikian, berlaku
$\begin{aligned} \angle ADC & = \dfrac12 \times \angle AOC \\ & = \dfrac12 \times 112^{\circ} \\ & = 56^{\circ}. \end{aligned}$
Perhatikan segi empat tali busur $ABCD$. Sudut $ABC$ dan sudut $ADC$ saling berhadapan sehingga jumlah besar sudutnya $180^{\circ}.$
Dengan demikian, kita peroleh
$\begin{aligned} \angle ABC & = 180^{\circ} -\angle ADC \\ & = (180-56)^{\circ} \\ & = 124^{\circ}. \end{aligned}$
Jadi, besar sudut $ABC$ adalah $\boxed{124^{\circ}}$
(Jawaban A)

Diketahui $\angle COD = 48^{\circ}$. 
Perhatikan bahwa sudut $COD$ dan sudut $AOC$ berpelurus sehingga
$\begin{aligned} \angle AOC & = 180^{\circ} -\angle COD \\ &  = (180-48)^{\circ} \\ & = 132^{\circ}. \end{aligned}$
Perhatikan juga bahwa sudut $AOC$ dan sudut $AEC$ menghadap busur yang sama, yaitu $AC$. Sudut $AOC$ sebagai sudut pusat, sedangkan sudut $AEC$ sebagai sudut keliling. Dengan demikian, berlaku
$\begin{aligned} \angle AEC & = \dfrac12 \times \angle AOC \\ & = \dfrac12 \times 132^{\circ} \\ & = 66^{\circ}. \end{aligned}$
Perhatikan segi empat tali busur $ABCE$. Sudut $ABC$ dan sudut $AEC$ saling berhadapan sehingga jumlah besar sudutnya $180^{\circ}.$
Dengan demikian, kita peroleh
$\begin{aligned} \angle ABC & = 180^{\circ} -\angle AEC \\ &  = (180-66)^{\circ} \\ &  = 114^{\circ}. \end{aligned}$
Jadi, besar sudut $ABC$ adalah $\boxed{114^{\circ}}$
(Jawaban B)

Perhatikan bahwa $r$ dan $s$ merupakan dua sudut yang saling berpelurus sehingga $r^{\circ}+ s^{\circ}= 180^{\circ}$ atau dapat ditulis $s=180-r.$
Untuk itu, kita tuliskan
$\begin{aligned} \dfrac{r}{r+s} & = \dfrac58 \\ \dfrac{r}{r+(180-r)} & = \dfrac58 \\ \dfrac{r}{180} & = \dfrac58 \\ r & = \dfrac{180 \times 5}{8} = 112,\!5. \end{aligned}$
Jadi, nilai $r$ sesuai gambar di atas adalah $\boxed{r = 112,\!5}$
(Jawaban B)

Untuk menentukan sudut terkecil yang dibentuk oleh jarum jam, gunakan formula berikut.
$\boxed{(\text{jam} \times 30^{\circ})~\text{selisih}~\left(\text{menit} \times \dfrac{11^{\circ}}{2}\right)}$
Dengan demikian, diperoleh $7 \times 30^{\circ} = 210^{\circ}$ dan $\cancelto{6}{12} \times \dfrac{11^{\circ}}{\cancel{2}} = 66^{\circ}.$
Jadi, besar sudut terkecilnya adalah $\boxed{210^{\circ}-66^{\circ} = 144^{\circ}}$
(Jawaban C)

Untuk menentukan sudut terkecil yang dibentuk oleh jarum jam, gunakan formula berikut.
$\boxed{(\text{jam} \times 30^{\circ})~\text{selisih}~\left(\text{menit} \times \dfrac{11^{\circ}}{2}\right)}$
Dengan demikian, diperoleh $11 \times 30^{\circ} = 330^{\circ}$ dan $49 \times \dfrac{11^{\circ}}{2} = 269,5^{\circ}.$
Jadi, besar sudut terkecilnya adalah $\boxed{330^{\circ}-269,5^{\circ} = 60,5^{\circ}}$
(Jawaban C)

Pada segisembilan, besar sudut masing-masing juring pembentuknya adalah $\dfrac{360^{\circ}}{9} = 40^{\circ}.$ Karena segitiga yang terbentuk dari juring tersebut berbentuk segitiga sama kaki, besar sudut kakinya adalah
$\dfrac{180^{\circ}-40^{\circ}}{2} = 70^{\circ}.$
Catatan: Jumlah sudut dalam segitiga adalah $180^{\circ}.$
Untuk itu, besar tiap sudut yang terbentuk oleh segisembilan adalah $2 \times 70^{\circ} = 140^{\circ}.$
Perhatikan gambar berikut untuk lebih jelasnya.
Catatan: Besar semua sudut pada segitiga sama sisi adalah $60^{\circ}.$
Besar sebuah sudut merah muda itu adalah
$360^{\circ}-60^{\circ}-60^{\circ}-140^{\circ} = 100^{\circ}.$
Karena ada $9$ sudut yang sama, jumlahnya sebesar $9 \times 100^{\circ} = 900^{\circ}.$
(Jawaban C)

Dengan menggunakan prinsip sudut yang saling bertolak belakang, kita peroleh
$\begin{aligned} \angle 1 & = \angle2 \\ \angle 3 & = \angle 4 \\ \angle 5 & = \angle 6 \\ \angle 7 & = \angle 8. \end{aligned}$
Kita akan menggunakan fakta bahwa jumlah besar sudut dalam segi empat sembarang selalu $360^{\circ}$. segi empat yang dipakai adalah segi empat yang dibatasi oleh keempat garis pada gambar.
Dengan menggunakan $\angle 2, \angle 3, \angle 6$, dan $\angle 7$, diperoleh
$$\begin{aligned} (180^{\circ}-\angle 2) + (180^{\circ}-\angle 3) + (180^{\circ}-\angle 6) + (180^{\circ}-\angle 7) & = 360^{\circ} \\ -\angle 2-\angle 3-\angle 6-\angle 7 & = -360^{\circ} \\ \angle 2 + \angle 3 + \angle 6 + \angle 7 & = 360^{\circ}. \end{aligned}$$Berdasarkan prinsip sudut bertolak belakang tadi, kita peroleh juga
$\angle 1 + \angle 4 + \angle 5 + \angle 8 = 360^{\circ}.$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} \angle 1 + \angle 2 + \cdots + \angle 8 & = 360^{\circ} + 360^{\circ} \\ & = 720^{\circ}. \end{aligned}$
(Jawaban C)

Kita beri nama setiap titik sudut yang ada seperti gambar di bawah.
Perlu diketahui sebelumnya bahwa jumlah sudut pada segitiga adalah $180^{\circ},$ segi empat $360^{\circ},$ dan segi lima $540^{\circ}.$
Misalkan, $x, y, z$ adalah besar sudut pada segitiga biru sedemikian sehingga $x+y+z=180^{\circ}.$
Pada segi empat $ABCD,$ berlaku
$\angle 3 + \angle 4 + \angle 5 + x = 360^{\circ}.$
Pada segitiga $EFG$, berlaku
$\angle 1 + \angle 2 + y = 180^{\circ}.$
Pada segi lima $HIJKL$, berlaku
$\angle 6 + \angle 7 + \angle 8 + \angle 9 + z = 540^{\circ}.$
Sekarang, jumlahkan ketiga persamaan tersebut dan kita peroleh
$$\begin{aligned} \angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + \cdots + \angle 9 + (x + y + z) & = 360^{\circ}+180^{\circ}+540^{\circ} \\ \angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + \cdots + \angle 9 + \cancel{180^{\circ}} & = 900^{\circ} + \cancel{180^{\circ}} \\ \angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + \cdots + \angle 9 & = 900^{\circ}. \end{aligned}$$Jadi, hasil penjumlahan kesembilan sudut tersebut adalah $\boxed{900^{\circ}}$
(Jawaban C)

Perlu diperhatikan bahwa
$$\boxed{\begin{aligned} \textbf{Jumlah Su}\textbf{dut Seg}\textbf{itiga} & = 180^{\circ} \\ \textbf{Jumlah Su}\textbf{dut Seg}\textbf{iempat} & = 360^{\circ} \end{aligned}}$$Diketahui $a+b=105^{\circ}.$
Karena itu, pada $\triangle ABG$, didapat
$\begin{aligned} \angle A & = 180^{\circ}-(a+b) \\ & = 180^{\circ}-105^{\circ}=75^{\circ}. \end{aligned}$
Karena $ABCD$ jajar genjang, besar sudut $\color{blue}{b+q = 180^{\circ}-75^{\circ} = 105^{\circ}}.$
Pada $\triangle EFG$, besar $\angle EGF = \angle AGB = a$ (karena bertolak belakang) sehingga $\color{red}{r+s = 180^{\circ}-a}.$
Sekarang, perhatikan segi empat $BCDG$ yang jumlah semua sudutnya adalah $360^{\circ}.$
$$\begin{aligned} \angle B + \angle C + \angle D + \angle G & = 360^{\circ} \\ q + p + (b + q) + (180^{\circ}-a) & = 360^{\circ} \\ \color{red}{(180^{\circ}-a)}+p+q & = 360^{\circ}-\color{blue}{(b+q)} \\ \color{red}{(r+s)}+p+q & = 360^{\circ}-\color{blue}{105^{\circ}} \\ p+q+r+s & = 255^{\circ} \end{aligned}$$Jadi, jumlah sudut $\boxed{p+q+r+s=255^{\circ}}$
(Jawaban C)

Perhatikan gambar berikut.
Posisikan titik $A, B$, dan $C$ seperti gambar.  Tarik garis $AC$ (warna merah). Panjang garis $AB$ dan $AC$ adalah sama sehingga segitiga $ABC$ sama kaki. Karena $\angle BAC$ siku-siku, $\angle ABC = \angle BCA = 45^\circ.$ Ini berarti, jumlah besar sudut $B$ dan $C$ adalah $\boxed{45^\circ}$
(Jawaban C)

Ada $3$ kemungkinan berbeda untuk besar $\angle BAC$ berdasarkan penempatan posisi titik sudut segitiga seperti yang tampak pada gambar berikut.

Ingat bahwa besar sudut di depan sisi segitiga yang sama panjang adalah sama. Jumlah sudut dalam segitiga adalah $180^\circ.$
Diketahui $\angle ABC = \angle B = x^\circ.$ Kita akan mencari besar $\angle BAC = \angle A$ untuk masing-masing kemungkinan. 
Kemungkinan 1:
$\angle B = \angle C =  x^\circ$ sehingga
$$\begin{aligned} \angle A & = 180^\circ-(\angle B + \angle C) \\ & = 180^\circ-(x^\circ+x^\circ) \\ & = \color{red}{180^\circ-2x^\circ}. \end{aligned}$$Kemungkinan 2:
$\angle B = \angle A =  \color{blue}{x^\circ}$ karena kedua sudutnya terletak di sisi yang panjangnya sama.
Kemungkinan 3:
$\angle B = x^\circ$, sedangkan $\angle A = \angle C$ sehingga dapat kita tuliskan
$$\begin{aligned} \angle A & = \dfrac{180^\circ-\angle B}{2} \\ & =  \color{green}{\dfrac{180^\circ-x^\circ}{2}}. \end{aligned}$$Karena diketahui jumlah semua kemungkinan besar $\angle BAC$ adalah $240^\circ,$ kita peroleh
$$\begin{aligned} \color{red}{(180^\circ-2x^\circ)} + \color{blue}{x^\circ} + \color{green}{\dfrac{180^\circ-x^\circ}{2}} & = 240^\circ \\ -x^\circ + \dfrac{180^\circ-x^\circ}{2} & = 60^\circ \\ -2x^\circ + (180^\circ-x^\circ) & = 120^\circ \\ -3x^\circ & = -60^\circ \\ x & = 20. \end{aligned}$$Jadi, nilai $x$ adalah $\boxed{20}$
(Jawaban B)

Perhatikan bahwa jumlah sudut yang mengitari titik pusat lingkaran bernilai $360^\circ$ (satu putaran penuh) sehingga kita tuliskan
$$\begin{aligned} x^\circ + 3x^\circ + 200^\circ & = 360^\circ \\ 4x^\circ & = 160^\circ \\ x & = 40. \end{aligned}$$Perhatikan $\triangle ACD$ dengan $\angle ACD = 40^\circ.$ Diketahui bahwa $AC = DC$ karena keduanya merupakan jari-jari lingkaran sehingga segitiga itu sama kaki dengan
$$\angle DAC = \dfrac{180^\circ-40^\circ}{2} = 70^\circ.$$Hal yang sama juga berlaku untuk $\triangle BCA$ dengan $\angle BCA = 120^\circ.$  Diketahui bahwa $AC = BC$ karena keduanya merupakan jari-jari lingkaran sehingga segitiga itu sama kaki dengan
$$\angle BAC = \dfrac{180^\circ-120^\circ}{2} = 30^\circ.$$Dengan demikian, rasio dari $\angle DAC : \angle BAC$ adalah $\boxed{70^\circ : 30^\circ = 7 : 3}$
(Jawaban E)

Ada beberapa konsep yang perlu diketahui terkait jumlah sudut pada segitiga, segi empat, segi lima, dan segi enam.

1. Jumlah sudut pada segitiga sama dengan $180^\circ.$
2. Jumlah sudut pada segi empat sama dengan $360^\circ.$
3. Jumlah sudut pada segi lima sama dengan $540^\circ.$
4. Jumlah sudut pada segi enam sama dengan $720^\circ.$

Dari gambar, terdapat segitiga sama sisi, segi lima beraturan, persegi, dan segi enam beraturan (dari kiri ke kanan). Karena jumlah sudut pada segi lima beraturan sama dengan $540^\circ,$ maka setiap sudutnya memiliki besar $540 \div 5 = 108^\circ.$ Perhatikan bahwa $AB$ sejajar dengan $VW$ sehingga $\alpha = \angle V = 108^\circ.$
Berikutnya, kita akan mencari besar sudut $\beta.$ Dimulai dari titik sudut $Y,$ kita bisa peroleh $\angle EYF = (180^\circ-108^\circ) \div 2^\circ = 36^\circ.$ Pada segi enam beraturan, besar sudut masing-masingnya adalah $720^\circ \div 6 = 120^\circ$ sehingga $\angle FGH = 180^\circ-120^\circ = 60^\circ$ (sudut berpelurus). Hal demikian juga berlaku untuk $\angle FHG = 60^\circ.$ Karena $FGH$ adalah segitiga sehingga jumlah sudut di dalamnya harus $180^\circ$, $\angle HFG$ juga memiliki besar $60^\circ.$ Berikutnya, kita bisa dapatkan $\angle EFY = 30^\circ$ (sudut berpelurus). Pada $\triangle YEF,$ $\angle YEF = 180^\circ-36^\circ-30^\circ = 114^\circ.$ Akibatnya, $\angle DEX = 114^\circ$ karena sudut berseberangan. $WDEX$ adalah segi empat sehingga jumlah sudutnya $360^\circ.$
$$\begin{aligned} \beta + 90^\circ + 108^\circ + 114^\circ & = 360^\circ \\ \beta + 312^\circ & = 360^\circ \\ \beta & = 48^\circ \end{aligned}$$Jadi, besar sudut $\alpha + \beta$ sama dengan $\boxed{108^\circ + 48^\circ = 156^\circ}$
(Jawaban E)

Konstruksikan gambarnya seperti berikut. Sebagai pelengkap, garis bagi adalah garis yang membagi sudut menjadi dua sama besar.
Sesuai dengan definisi tersebut, sudut (terkecil) yang dibentuk oleh garis bagi terhadap salah satu ruas garis adalah $30^\circ.$ Karena garis diagonal membagi sudutnya menjadi dua sama besar lagi, besar sudut terkecil yang dibentuk oleh garis isogonal terhadap garis bagi itu adalah $30^\circ \div 2 = 15^\circ.$
(Jawaban E)

Jawaban a)
$ABCD$ merupakan segi empat tali busur lingkaran sehingga jumlah sudut yang berhadapan sama dengan $180^{\circ}.$
$\begin{aligned} x + 120^{\circ} & = 180^{\circ} \Leftrightarrow x = 60^{\circ} \\ y + 88^{\circ} & = 180^{\circ} \Leftrightarrow y = 92^{\circ} \end{aligned}$
Jadi, besar sudut yang ditandai dengan huruf $x$ dan $y$ berturut-turut adalah $80^{\circ}$ dan $92^{\circ}.$
Jawaban b)
$ABCD$ merupakan segi empat tali busur lingkaran sehingga jumlah sudut yang berhadapan sama dengan $180^{\circ}.$
Sudut $A$ berhadapan dengan sudut $C,$ artinya jumlah dari besar kedua sudutnya sama dengan $180^{\circ}.$ Bisa dikatakan bahwa besar $a$ sama dengan besar sudut pelurus $DCB$, yaitu $122^{\circ}$. Selanjutnya,
$76^{\circ} + b = 180^{\circ} \Leftrightarrow b = 104^{\circ}.$
Jadi, besar sudut yang ditandai dengan huruf $a$ dan $b$ berturut-turut adalah $122^{\circ}$ dan $104^{\circ}.$
Jawaban c)
$ABCD$ merupakan segi empat tali busur lingkaran sehingga jumlah sudut yang berhadapan sama dengan $180^{\circ}.$
$\begin{aligned} x + 140^{\circ} & = 180^{\circ} \Leftrightarrow x = 40^{\circ} \\ y + 135^{\circ} & = 180^{\circ} \Leftrightarrow y = 45^{\circ} \end{aligned}$
Jadi, besar sudut yang ditandai dengan huruf $x$ dan $y$ berturut-turut adalah $40^{\circ}$ dan $45^{\circ}.$
Jawaban d)
$ABCD$ merupakan segi empat tali busur lingkaran sehingga jumlah sudut yang berhadapan sama dengan $180^{\circ}.$
Sudut $B$ berhadapan dengan sudut $D,$ artinya jumlah dari besar kedua sudutnya sama dengan $180^{\circ}.$ Bisa dikatakan bahwa besar $y$ sama dengan besar sudut pelurus $ADC$, yaitu $100^{\circ}.$ Selanjutnya,
$\begin{aligned} x + 2x & = 180^{\circ} \\ 3x & = 180^{\circ} \\ x &= 60^{\circ}. \end{aligned}$
Jadi, besar sudut yang diwakili huruf $x$ dan $y$ berturut-turut adalah $60^{\circ}$ dan $100^{\circ}.$
Jawaban e)
Karena sudut-sudut tersebut terbentuk dari segi empat tali busur lingkaran, berlaku
$\begin{aligned} x + 2x & = 180^{\circ} \Leftrightarrow x = 60^{\circ} \\ 4y+y & = 180^{\circ} \Leftrightarrow y = 36^{\circ}. \end{aligned}$
Jadi, besar sudut yang diwakili oleh huruf $x$ dan $y$ berturut-turut adalah $60^{\circ}$ dan $36^{\circ}.$
Jawaban f)
$ABCD$ merupakan segi empat tali busur lingkaran sehingga berlaku $x+3x=180^{\circ} \Leftrightarrow x = 45^{\circ}.$
Karena $B$ merupakan sudut keliling yang menghadap busur $AC$, sedangkan $AOC$ adalah sudut pusatnya, berlaku
$a = \angle AOC = 2x = 2(45^{\circ}) = 90^{\circ}.$
Jadi, besar sudut yang diwakili oleh huruf $x$ dan $a$ berturut-turut adalah $45^{\circ}$ dan $90^{\circ}.$