Soal dan Pembahasan – Garis Singgung Lingkaran (Tingkat SMP)

         Suatu garis memiliki $3$ kedudukan terhadap lingkaran. Perhatikan bahwa kata garis di sini selalu merujuk pada garis lurus. Tiga kedudukan tersebut adalah tidak berpotongan, bersinggungan, dan berpotongan di dua titik. Ketika garis memotong lingkaran di satu titik, kita sebut garis itu menyinggung lingkaran. Garis yang demikian kita namakan garis singgung (tangent line). Ada kalanya garis singgung lingkaran yang satu menyinggung lingkaran lainnya dan garis tersebutlah yang dinamakan garis singgung persekutuan (common tangent). Selanjutnya, garis singgung persekutuan dibedakan menjadi dua jenis, yaitu garis singgung persekutuan dalam (internal tangent line) dan luar (external tangent line).        

Baca Juga: Materi, Soal, dan Pembahasan – Teorema Ptolemy

       Di sini, kita secara khusus akan membahas soal-soal yang berkaitan dengan garis singgung lingkaran. Materi ini sejatinya dipelajari saat kelas 8 SMP. Untuk itu, ada baiknya bila teorinya dipelajari terlebih dahulu menggunakan buku paket atau referensi masing-masing. Sebelumnya, kita sudah harus menguasai Teorema Pythagoras dan permasalahan lingkaran dasar (unsur, keliling, luas).

Quote by Christiano Ronaldo

Ada dua hal yang akan menentukan hidupmu, yaitu kesabaranmu saat kamu tidak punya apa-apa, dan attitude-mu ketika kamu memiliki segalanya.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1
Dua buah lingkaran dengan pusat di titik $M$ dan $N$ masing-masing berjari-jari $R_1$ dan $R_2$. Jika jarak $MN > R_1$ dan $MN>R_2$, maka banyak garis singgung persekutuan dalam dan luar kedua lingkaran tersebut berturut-turut adalah $\cdots \cdot$
A. $2$ dan $2$                   C. $0$ dan $2$
B. $1$ dan $2$                   D. $2$ dan $1$

Pembahasan

Dua lingkaran yang dimaksud dapat disketsakan seperti berikut.

Kedua lingkaran tersebut dikatakan saling lepas. Kita dapat membuat $2$ garis singgung persekutuan dalam seperti berikut.

Selain itu, garis singgung persekutuan luarnya juga ada $2$, seperti tampak pada gambar berikut.

[collapse]

Soal Nomor 2
Perhatikan gambar berikut.

Diketahui $AB$ adalah garis singgung lingkaran yang berpusat di $O$. Jika besar $\angle OAB = x$ dan $\angle AOB = 2x$, maka nilai $x = \cdots \cdot$
A. $30^{\circ}$                      C. $60^{\circ}$
B. $45^{\circ}$                      D. $90^{\circ}$

Pembahasan

Karena $AB$ garis singgung lingkaran, maka $OB \perp AB$, berarti $\angle OBA = 90^{\circ}$. Jumlah sudut pada segitiga adalah $180^{\circ}$, sehingga
$\begin{aligned} \angle O + \angle A + \angle B & = 180^{\circ} \\ 2x + x + 90^{\circ} & = 180^{\circ} \\ 3x & = 90^{\circ} \\ x & = 30^{\circ} \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ sama dengan $\boxed{30^{\circ}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 3
Diberikan sebuah lingkaran dengan pusat di titik $O$. Titik $A$ dan $C$ terletak pada lingkaran sedemikian sehingga garis $CB$ dan $AB$ merupakan garis singgung lingkaran seperti tampak pada gambar.

Jika besar $\angle ABC = 70^{\circ}$, maka besar $\angle AOC = \cdots \cdot$
A. $55^{\circ}$                      C. $110^{\circ}$
B. $70^{\circ}$                      D. $150^{\circ}$

Pembahasan

Karena $AB$ dan $CB$ merupakan garis singgung lingkaran, maka $OC \perp CB$ dan $OA \perp AB$ sehingga besar $\angle OCB = \angle OAB = 90^{\circ}$.
Jumlah sudut pada layang-layang (atau segiempat, pada umumnya) adalah $360^{\circ}$, sehingga kita tuliskan
$\begin{aligned} \angle A + \angle B + \angle C + \angle O & = 360^{\circ} \\ 90^{\circ} + 70^{\circ} + 90^{\circ} + \angle O & = 360^{\circ} \\ 250^{\circ} + \angle O & = 360^{\circ} \\ \angle O & = 110^{\circ} \end{aligned}$
Jadi, besar sudut $AOC$ sama dengan $\boxed{110^{\circ}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 4

Pada gambar di atas, $AB$ dan $AC$ adalah garis singgung lingkaran dengan pusat $O$. Panjang $AO = 51~\text{cm}$ dan $OB = 24~\text{cm}$. Luas layang-layang $OBAC$ adalah $\cdots \cdot$
A. $540~\text{cm}^2$                     C. $1.080~\text{cm}^2$
B. $612~\text{cm}^2$                     D. $1.224~\text{cm}^2$

Pembahasan

Karena $AB$ merupakan garis singgung lingkaran, maka besar $\angle OBA = 90^{\circ}$ (siku-siku). Untuk itu, berlaku rumus Pythagoras pada $\triangle OBA$ untuk mencari panjang $AB$.
$\begin{aligned} AB & = \sqrt{AO^2-OB^2} \\ & = \sqrt{51^2-24^2} \\ & = \sqrt{9(17^2-8^2)} \\ & = 3 \times \sqrt{289-64} \\ & = 3 \times 15 = 45~\text{cm} \end{aligned}$
(Ingat Triple Pythagoras: $\textbf{(8, 15, 17)}$)
Luas segitiga $OBA$ dinyatakan oleh
$\begin{aligned} L_{\triangle OBA} & = \dfrac{OB \times AB}{2} \\ & = \dfrac{24 \times 45}{2} = 540~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Luas segitiga $OCA$ juga $540~\text{cm}^2$. Dengan demikian, luas layang-layang $OBAC$ sama dengan $\boxed{\begin{aligned} L_{\triangle OBA} + L_{\triangle OCA} = 540+540 \\ & =1.080~\text{cm}^2 \end{aligned}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Baca : Soal dan Pembahasan – Teorema Pythagoras

Soal Nomor 5
Jarak pusat dua buah lingkaran adalah $13~\text{cm}$ dan panjang salah satu jari-jarinya $2~\text{cm}$. Panjang garis singgung persekutuan luarnya $12~\text{cm}$. Panjang jari-jari lingkaran lainnya adalah $\cdots \cdot$
A. $3~\text{cm}$                    C. $5~\text{cm}$
B. $4~\text{cm}$                    D. $7~\text{cm}$

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} p & = 13~\text{cm} \\ r_k & = 2~\text{cm} \\ l & = 12~\text{cm} \end{aligned}$
Kita akan mencari nilai $r_b$, yang merupakan jari-jari lingkaran lain yang lebih besar ukurannya.
Berdasarkan rumus panjang garis singgung persekutuan luar, diperoleh
$\begin{aligned} l^2 & = p^2-(r_b-r_k)^2 \\ 12^2 & = 13^2-(r_b-2)^2 \\ 144 & = 169-(r_b-2)^2 \\ 25 & = (r_b-2)^2 \\ r_b-2 & = \sqrt{25} = 5 \\ r_b & = 7~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang jari-jari lingkaran lainnya adalah $\boxed{7~\text{cm}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 6

Pada gambar di atas, $CD$ adalah garis singgung persekutuan luar. Diketahui panjang jari-jari $AD = 15~\text{cm}$, ruas garis $CD = 16~\text{cm}$, dan ruas garis $AB = 20~\text{cm}$. Panjang jari-jari $BC$ adalah $\cdots \cdot$
A. $3~\text{cm}$                     C. $5~\text{cm}$
B. $4~\text{cm}$                     D. $8~\text{cm}$

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} r_b & = 15~\text{cm} \\ l & = CD = 16~\text{cm} \\ p & = AB = 20~\text{cm} \end{aligned}$
Kita akan mencari nilai $r_k$, yang merupakan panjang jari-jari $BC$ (lingkaran yang lebih kecil ukurannya).
Berdasarkan rumus panjang garis singgung persekutuan luar, kita peroleh
$\begin{aligned} l^2 & = p^2-(r_b-r_k)^2 \\ 16^2 & = 20^2-(15-r_k)^2 \\ 256 & = 400-(15-r_k)^2 \\ 144 & = (15-r_k)^2 \\ 12 & = 15-r_k \\ r_k & = 3~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang jari-jari $BC$ adalah $\boxed{3~\text{cm}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 7
Gambar di bawah ini adalah penampang $10$ buah drum berbentuk tabung yang masing-masing berjari-jari $21~\text{cm}$.

Panjang tali minimal yang diperlukan untuk mengikat $10$ buah drum tersebut dengan asumsi $\pi = \dfrac{22}{7}$ adalah $\cdots \cdot$

A. $276~\text{cm}$                   C. $486~\text{cm}$
B. $342~\text{cm}$                   D. $552~\text{cm}$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Panjang tali minimal sama dengan panjang $AB + CD + EF + GH$, ditambah dengan panjang busur $\newcommand{arc}[1]{\stackrel{\Large\frown}{#1}} \arc{BC} + \newcommand{arc}[1]{\stackrel{\Large\frown}{#1}} \arc{DE}+ \newcommand{arc}[1]{\stackrel{\Large\frown}{#1}} \arc{FG} + \newcommand{arc}[1]{\stackrel{\Large\frown}{#1}} \arc{HA}$.
Perhatikan bahwa $AB = EF = 8r = 8(21) = 168~\text{cm}$, sedangkan $EF = HA = 2r = 2(21) = 42~\text{cm}$.
Panjang busur $\newcommand{arc}[1]{\stackrel{\Large\frown}{#1}} \arc{BC}$ dinyatakan oleh
$\begin{aligned} p_{\newcommand{arc}[1]{\stackrel{\Large\frown}{#1}} \arc{BC}} & = \dfrac14 \times 2\pi r \\ & = \dfrac14 \times 2 \times \dfrac{22}{\cancel{7}} \times \cancelto{3}{21} \\ & = 33~\text{cm} \end{aligned}$
Perhatikan bahwa $\newcommand{arc}[1]{\stackrel{\Large\frown}{#1}} \arc{BC} = \newcommand{arc}[1]{\stackrel{\Large\frown}{#1}} \arc{DE} = \newcommand{arc}[1]{\stackrel{\Large\frown}{#1}} \arc{FG} = \newcommand{arc}[1]{\stackrel{\Large\frown}{#1}} \arc{HA} = 33~\text{cm}$.
Oleh karena itu, panjang tali minimal yang dimaksud sama dengan
$\begin{aligned} \ell & = 2(AB) + 2(EF) + 4(\newcommand{arc}[1]{\stackrel{\Large\frown}{#1}} \arc{BC}) \\ & = 2(168) + 2(42) + 4(33) \\ & = 336 + 84 + 132 = 552~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang tali minimal yang digunakan untuk mengikat drum adalah $\boxed{552~\text{cm}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Lingkaran (Tingkat SD)

Soal Nomor 8
Panjang jari-jari dua lingkaran masing-masing $3~\text{cm}$ dan $2~\text{cm}$. Panjang garis singgung persekutuan dalamnya $12~\text{cm}$. Jarak kedua pusatnya adalah $\cdots \cdot$
A. $\sqrt{119}~\text{cm}$                    C. $\sqrt{145}~\text{cm}$
B. $\sqrt{143}~\text{cm}$                    D. $\sqrt{169}~\text{cm}$

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} r_b & = 3~\text{cm} \\ r_k & 2~\text{cm} \\ d & = 12~\text{cm} \end{aligned}$
Kita akan mencari nilai $p$, yaitu jarak kedua pusat lingkaran.
Berdasarkan rumus panjang garis singgung persekutuan dalam, kita peroleh
$\begin{aligned} d^2 & = p^2-(r_b+r_k)^2 \\ 12^2 & = p^2-(3+2)^2 \\ 144 & = p^2-25 \\ p^2 & = 169 \\ p & = \sqrt{169}~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, jarak kedua pusat lingkaran itu adalah $\boxed{\sqrt{169}~\text{cm}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 9
Pada gambar di bawah, panjang jari-jari $OA = 16~\text{cm}$ dan panjang garis singgung $PA = 30~\text{cm}$.

Panjang $OP$ adalah $\cdots \cdot$

A. $16~\text{cm}$                   C. $25~\text{cm}$
B. $22~\text{cm}$                   D. $34~\text{cm}$

Pembahasan

Karena $AP$ merupakan garis singgung lingkaran, maka $OA \perp AP$. Oleh karena itu, berlaku Teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku $OAP$.
$\begin{aligned} OP & = \sqrt{OA^2+PA^2} \\ & = \sqrt{16^2 + 30^2} \\ & = \sqrt{256 + 900} \\ & = \sqrt{1.156} = 34~\text{cm} \end{aligned}$
Catatan: Dengan mengingat Tripel Pythagoras $(8, 15, 17) \Rightarrow (16, 30, 34)$, kita dapat dengan lebih mudah menentukan panjang $OP$.
Jadi, panjang $OP$ sama dengan $\boxed{34~\text{cm}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 10

Pada gambar di atas, $PA$ dan $PB$ adalah garis singgung lingkaran dengan pusat $O$. Panjang $OP = 50~\text{cm}$ dan $PA = 40~\text{cm}$. Panjang tali busur $AB$ adalah $\cdots \cdot$
A. $12~\text{cm}$                       C. $24~\text{cm}$
B. $18,75~\text{cm}$                 D. $48~\text{cm}$

Pembahasan

Karena $AP$ merupakan garis singgung, maka $OA \perp AP$, sehingga berlaku Teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku $OAP$.
$\begin{aligned} OA & = \sqrt{OP^2-PA^2} \\ & = \sqrt{50^2 + 40^2} \\ & = \sqrt{2.500-1.600} \\ & = \sqrt{900} = 30~\text{cm} \end{aligned}$
Catatan: Dengan mengingat Tripel Pythagoras $(3, 4, 5) \Rightarrow (30, 40, 50)$, kita dapat dengan lebih mudah menentukan panjang $OA$.
Luas $\triangle OAP$ dinyatakan oleh
$\begin{aligned} L_{\triangle OAP} & = \dfrac{OA \times PA}{2} \\ & = \dfrac{30 \times \cancelto{20}{40}}{\cancel{2} } = 600~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Ini berarti luas layang-layang $OAPB$ sama dengan $2 \times 600 = 1.200~\text{cm}^2$.
Sekarang, dengan menggunakan rumus luas layang-layang, diperoleh
$\begin{aligned} L_{OAPB} & = \dfrac{OP \times AB}{2} \\ 1.200 & = \dfrac{\cancelto{25}{50} \times AB}{\cancel{2}} \\ AB & = \dfrac{1.200}{25} = 48~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang tali busur $AB$ adalah $\boxed{48~\text{cm}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Lingkaran (Tingkat SMP)

Soal Nomor 11

Gambar di atas adalah penampang $15$ buah pipa paralon yang masing-masing berdiameter $14~\text{cm}$. Untuk $\pi=\dfrac{22}{7}$, panjang tali minimal untuk mengikat $15$ buah pipa paralon tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $168~\text{cm}$                  C. $240~\text{cm}$
B. $212~\text{cm}$                  D. $256~\text{cm}$

Pembahasan

Diketahui $d = 14~\text{cm}$, artinya $r = 7~\text{cm}$.
Perhatikan sketsa gambar berikut.

Karena ada $3$ belokan, maka sudut pusat di setiap belokan adalah $\dfrac{360^{\circ}}{3} = 120^{\circ}$.
Panjang busur $\newcommand{arc}[1]{\stackrel{\Large\frown}{#1}} \arc{AB}$ sama dengan
$\begin{aligned} \newcommand{arc}[1]{\stackrel{\Large\frown}{#1}} \arc{AB} & = \dfrac{120^{\circ}}{360^{\circ}} \times 2\pi r \\ & = \dfrac{1}{3} \times 2 \times \dfrac{22}{\cancel{7}} \times \cancel{7} \\ & = \dfrac{44}{3}~\text{cm} \end{aligned}$
Perhatikan bahwa $\newcommand{arc}[1]{\stackrel{\Large\frown}{#1}} \arc{AB} = \newcommand{arc}[1]{\stackrel{\Large\frown}{#1}} \arc{CD} = \newcommand{arc}[1]{\stackrel{\Large\frown}{#1}} \arc{EF} = \dfrac{44}{3}~\text{cm}$.
Jarak $BC$ sama dengan empat kali panjang diameter lingkaran.
$BC = 4d = 4(14) = 56~\text{cm}$
Perhatikan juga bahwa $BC = DE = FA = 56~\text{cm}$.
Panjang tali minimal yang digunakan sama dengan
$\begin{aligned} \ell & = 3(\newcommand{arc}[1]{\stackrel{\Large\frown}{#1}} \arc{AB}) + 3(BC) \\ & = \cancel{3}\left(\dfrac{44}{\cancel{3}}\right) + 3(56) \\ & = 44 + 168 = \color{red}{212~\text{cm}} \end{aligned}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 12
Panjang jari-jari dua lingkaran masing-masing $10~\text{cm}$ dan $2~\text{cm}$, sedangkan jarak kedua pusatnya $17~\text{cm}$. Panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $9~\text{cm}$                   C. $15~\text{cm}$
B. $12~\text{cm}$                 D. $20~\text{cm}$

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} r_b & = 10~\text{cm} \\ r_k & = 2~\text{cm} \\ p & = 17~\text{cm} \end{aligned}$
Kita akan mencari nilai $l$, yang merupakan panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran.
Berdasarkan rumus panjang garis singgung persekutuan luar, kita peroleh
$\begin{aligned} l^2 & = p^2-(r_b-r_k)^2 \\ & = 17^2-(10-2)^2 \\ & = 289-64 = 225 \\ l & = \sqrt{225} = 15~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran adalah $\boxed{15~\text{cm}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 13
Dua buah lingkaran masing-masing berjari-jari $5~\text{cm}$ dan $3~\text{cm}$. Jarak kedua pusatnya $10~\text{cm}$. Panjang garis singgung persekutuan dalamnya adalah $\cdots \cdot$
A. $6~\text{cm}$                  C. $15~\text{cm}$
B. $8~\text{cm}$                  D. $18~\text{cm}$

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} r_b & = 5~\text{cm} \\ r_k & = 3~\text{cm} \\ p & = 10~\text{cm} \end{aligned}$
Kita akan mencari nilai $d$, yang merupakan panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran.
Berdasarkan rumus panjang garis singgung persekutuan dalam, kita peroleh
$\begin{aligned} d^2 & = p^2-(r_b+r_k)^2 \\ & = 10^2-(5+3)^2 \\ & = 100-64 = 36 \\ d & =\sqrt{36} = 6~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran adalah $\boxed{6~\text{cm}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 14
Panjang jari-jari dua lingkaran adalah $14~\text{cm}$ dan $5~\text{cm}$. Panjang garis singgung persekutuan luarnya $12~\text{cm}$. Jarak kedua pusatnya adalah $\cdots \cdot$
A. $\sqrt{169}~\text{cm}$                 C. $\sqrt{208}~\text{cm}$
B. $\sqrt{199}~\text{cm}$                 D. $\sqrt{225}~\text{cm}$

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} r_b & = 14~\text{cm} \\ r_k & = 5~\text{cm} \\ l & = 12~\text{cm} \end{aligned}$
Kita akan mencari nilai $p$, yang merupakan jarak pusat kedua lingkaran.
Berdasarkan rumus panjang garis singgung persekutuan luar, kita peroleh
$\begin{aligned} l^2 & = p^2-(r_b-r_k)^2 \\ 12^2 & = p^2-(14-5)^2 \\ 144 & = p^2-81 \\ p^2 & = 225 \\ p & = \sqrt{225}~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, jarak pusat kedua lingkaran adalah $\boxed{\sqrt{225}~\text{cm}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 15

Pada gambar di atas, panjang jari-jari $PA = 5~\text{cm}$ dan $QB = 2~\text{cm}$. Panjang garis singgung persekutuan dalam $AB = 24~\text{cm}$. Jarak kedua pusatnya adalah $\cdots \cdot$
A. $10~\text{cm}$                   C. $26~\text{cm}$
B. $25~\text{cm}$                   D. $31~\text{cm}$

Pembahasan

Dari gambar, diketahui bahwa panjang jari-jari lingkaran besar $r_b = PA = 5~\text{cm}$ dan jari-jari lingkaran kecil $r_k = QB = 2~\text{cm}$. Diketahui juga bahwa $d = AB = 24~\text{cm}$.
Dengan menggunakan rumus panjang garis singgung persekutuan dalam, akan dicari jarak kedua pusat lingkaran $p$.
$\begin{aligned} d^2 & = p^2-(r_b+r_k)^2 \\ 24^2 & = p^2-(5+2)^2 \\ 576 & = p^2-49 \\ p^2 & = 576+49 = 625 \\ p & = \sqrt{625} = 25~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, jarak kedua pusat lingkaran adalah $\boxed{25~\text{cm}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 16
Jarak dua pusat lingkaran adalah $17~\text{cm}$, sedangkan panjang garis singgung persekutuan dalamnya $15~\text{cm}$. Panjang jari-jari salah satu lingkaran adalah $3~\text{cm}$. Panjang jari-jari lingkaran yang lain adalah $\cdots \cdot$
A. $3~\text{cm}$                   C. $6~\text{cm}$
B. $5~\text{cm}$                   D. $9~\text{cm}$

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} p & = 17~\text{cm} \\ d & = 15~\text{cm} \\ r_k & = 3~\text{cm} \end{aligned}$
Kita akan mencari nilai $r_b$, yang merupakan panjang jari-jari lingkaran lain yang ukurannya lebih besar.
Berdasarkan rumus panjang garis singgung persekutuan dalam, kita peroleh
$\begin{aligned} d^2 & = p^2-(r_b+r_k)^2 \\ 15^2 & = 17^2-(r_b + 3)^2 \\ 225 & = 289-(r_b+3)^2 \\ (r_b + 3)^2 & = 64 \\ r_b + 3 & = \sqrt{64} = 8 \\ r_b & =5~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang jari-jari lingkaran yang lain adalah $\boxed{5~\text{cm}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 17
Dua buah lingkaran masing-masing berjari-jari $15~\text{cm}$ dan $5~\text{cm}$. Panjang garis singgung persekutuan dalamnya $25~\text{cm}$. Jarak kedua pusatnya adalah $\cdots \cdot$
A. $\sqrt{225}~\text{cm}$                 C. $\sqrt{275}~\text{cm}$
B. $\sqrt{525}~\text{cm}$                 D. $\sqrt{1.025}~\text{cm}$

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} r_b & = 15~\text{cm} \\ r_k & = 5~\text{cm} \\ d & = 25~\text{cm} \end{aligned}$
Kita akan mencari nilai $p$, yang merupakan jarak pusat kedua lingkaran.
Berdasarkan rumus panjang garis singgung persekutuan dalam, kita peroleh
$\begin{aligned} d^2 & = p^2-(r_b+r_k)^2 \\ 25^2 & = p^2-(15+5)^2 \\ 625 & = p^2-400 \\ p^2 & = 225 \\ p & = \sqrt{225}~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, jarak pusat kedua lingkaran adalah $\boxed{\sqrt{225}~\text{cm}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 18
Perhatikan gambar berikut.

Dua buah lingkaran berpusat di titik $S$ dan $R$ diletakkan bersinggungan dengan garis $AB$ di titik $P$ dan $Q$. Ruas garis $SP$ dan $RQ$ sejajar. Jika panjang $SP =5~\text{cm}$ dan $RQ = 7~\text{cm}$, serta $SR = 14~\text{cm}$, maka luas trapesium $SPQR$ adalah $\cdots \cdot$
A. $12\sqrt3~\text{cm}^2$                   C. $48\sqrt3~\text{cm}^2$
B. $24\sqrt3~\text{cm}^2$                   D. $96\sqrt3~\text{cm}^2$

Pembahasan

Untuk mencari luas trapesium itu, kita harus mengetahui tinggi trapesium $PQ$ terlebih dahulu, yang merupakan garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran.
Diketahui:
$\begin{aligned} r_b & = RQ = 7~\text{cm} \\ r_k & = SP = 5~\text{cm} \\ p & = SR = 14~\text{cm} \end{aligned}$
Untuk itu, kita peroleh
$\begin{aligned} PQ^2 & = p^2-(r_b-r_k)^2 \\ & = 14^2-(7-5)^2 \\ & = 196-4 = 192 \\ PQ & = \sqrt{192} = \sqrt{64 \times 8} \\ & = 8\sqrt3~\text{cm} \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} L_{SPQR} & = \dfrac{SP + QR}{2} \times PQ \\ & = \dfrac{\cancelto{6}{5 + 7}}{\cancel{2}} \times 8\sqrt3 \\ & = 6 \times 8\sqrt3 = 48~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Jadi, luas trapesium $SPQR$ sama dengan $\boxed{48~\text{cm}^2}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 19
Perhatikan gambar berikut.

Ketiga garis tersebut menyinggung lingkaran dan berpotongan di titik $F$. Nilai $x$ yang memenuhi adalah $\cdots \cdot$
A. $5$                        C. $9$
B. $7$                        D. $14$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.

$B, D$ merupakan titik pusat kedua lingkaran. $AF, CF, EF$ merupakan tiga garis singgung lingkaran. Panjang jari-jari lingkaran dinotasikan $r_1$ dan $r_2$. Jarak pusat lingkaran ke titik $F$ sama dengan $s_1$ dan $s_2$.
Karena $AF, CF, EF$ garis singgung, maka sudut yang terbentuk siku-siku (lihat gambar di atas).
$\triangle ABF$ dan $\triangle ACF$ kongruen berdasarkan syarat SSA (side-side-angle) sehingga $AF = CF = 2x-7$.
$\triangle DEF$ dan $\triangle CDF$ juga kongruen berdasarkan syarat SSA (side-side-angle) sehingga $EF = CF = x$.
Oleh karena itu, diperoleh bahwa $2x-7 = x \Leftrightarrow x = 7$.
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi adalah $\boxed{7}$
(Jawaban B)

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan – Kesebangunan dan Kekongruenan

Soal Nomor 20
Perhatikan gambar berikut.
Panjang jari-jari ketiga lingkaran $A, B$, dan $C$ yang saling bersinggungan seperti tampak pada gambar di atas adalah sama, yaitu $5$ cm. Titik $P, A, B, C$, dan $Q$ segaris. Garis singgung lingkaran $C$, yaitu $PT$, memotong lingkaran $B$ di $R$ dan $S$. Panjang ruas garis $RS$ adalah $\cdots \cdot$
A. $5$ cm                      C. $9,5$ cm
B. $8$ cm                      D. $10$ cm
 

Pembahasan

Posisikan titik $O$ pada ruas garis $RS$ sehingga $BO$ sejajar dengan $CT$. Karena $PT$ garis singgung lingkaran $C$, maka $PT \perp CT$, begitu juga dengan $PO \perp BO$ seperti tampak pada gambar.
Berdasarkan prinsip kesebangunan pada segitiga $POB$ dan $PTC$, kita peroleh panjang $OB$ dengan cara berikut.
$$\begin{aligned} \dfrac{OB}{TC} & = \dfrac{PB}{PC} \\ \dfrac{OB}{5} & = \dfrac{15}{25} \\ \dfrac{OB}{5} & = \dfrac35 \\ OB & = 3~\text{cm} \end{aligned}$$Sekarang, perhatikan segitiga $RBS$. Berdasarkan rumus Pythagoras pada segitiga siku-siku $ROB$ dan $SOB$, kita peroleh
$$\begin{aligned} RO & = \sqrt{RB^2-OB^2} \\ & = \sqrt{5^2-3^2} \\ & = \sqrt{25-9} = \sqrt{16} = 4~\text{cm} \end{aligned}$$Dengan cara yang sama, akan didapat $SO = 4~\text{cm}$.
Dengan demikian, panjang ruas garis $RS$ sama dengan $\boxed{RO + SO = 4 + 4 = 8~\text{cm}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 1

Pada gambar di atas, $PA$ dan $PB$ merupakan garis singgung lingkaran dengan pusat $O$. Panjang $PA = 24~\text{cm}$ dan $OP = 30~\text{cm}$. Hitunglah:
a. panjang jari-jari $OB$;
b. luas $\triangle OPA$.

Pembahasan

Jawaban a)
Perhatikan bahwa panjang $PA = PB = 24~\text{cm}$.
Karena $PB$ merupakan garis singgung lingkaran, maka $OB \perp PB$, sehingga berlaku Teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku $OPB$ untuk mencari panjang jari-jari $OB$.
$\begin{aligned} OB & = \sqrt{OP^2-PB^2} \\ & = \sqrt{30^2-24^2} \\ & = \sqrt{900-576} \\ & = \sqrt{324} = 18~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang jari-jari $OB$ sama dengan $\boxed{18~\text{cm}}$
Jawaban b)
Perhatikan bahwa $OB = OA = 18~\text{cm}$.
Segitiga $OPA$ merupakan segitiga siku-siku di $A$, sehingga
$\begin{aligned} L_{\triangle OPA} & = \dfrac{OA \times PA}{2} \\ & = \dfrac{\cancelto{9}{18} \times 24}{\cancel{2}} = 216~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Jadi, luas segitiga $OPA$ sama dengan $\boxed{216~\text{cm}^2}$

[collapse]

Soal Nomor 2
Dua buah lingkaran yang berpusat di $M$ dan $N$ mempunyai panjang jari-jari $6~\text{cm}$ dan $3~\text{cm}$, serta jarak kedua pusatnya $15~\text{cm}$. Garis singgung persekutuan dalamnya menyinggung kedua lingkaran di titik $A$ dan $B$.
a. Buatlah sketsanya.
b. Hitunglah jarak terdekat kedua lingkaran.
c. Hitunglah panjang garis singgung $AB$.

Pembahasan

Jawaban a)
Sketsakan dua lingkaran besar, lingkaran kecil, dan garis singgung persekutuan dalamnya beserta panjang jari-jari masing-masing lingkaran dan garis singgung tersebut seperti berikut.

Jawaban b)
Jarak terdekat kedua lingkaran sama dengan jarak antarpusat dikurangi jumlah panjang jari-jari kedua lingkaran itu. Kita peroleh $\ell = 15-6-3 = 6~\text{cm}$. Jadi, jarak terdekat kedua lingkaran tersebut adalah $\boxed{6~\text{cm}}$
Jawaban c)
Diketahui:
$\begin{aligned} r_b & = 6~\text{cm} \\ r_k & = 3~\text{cm} \\ p & = 15~\text{cm} \end{aligned}$
Kita akan mencari nilai $d$, yang merupakan panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran.
Berdasarkan rumus panjang garis singgung persekutuan dalam, kita peroleh
$\begin{aligned} d^2 & = p^2-(r_b+r_k)^2 \\ & = 15^2-(6+3)^2 \\ & = 225-81 = 144 \\ d & =\sqrt{144} = 12~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran adalah $\boxed{12~\text{cm}}$

[collapse]

Soal Nomor 3
Panjang jari-jari dua lingkaran masing-masing $7~\text{cm}$ dan $23~\text{cm}$. Jarak kedua pusatnya $34~\text{cm}$. Hitunglah panjang garis singgung persekutuan luar dan dalamnya.

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} r_k & = 7~\text{cm} \\ r_b & = 23~\text{cm} \\ p & = 34~\text{cm} \end{aligned}$
Kita akan mencari nilai $l$ terlebih dahulu, yang merupakan panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran.
Berdasarkan rumus panjang garis singgung persekutuan luar, diperoleh
$\begin{aligned} l^2 & = p^2-(r_b-r_k)^2 \\ l^2 & = 34^2-(23-7)^2 \\ l^2 & = 1.156-256 \\ l^2 & = 900 \\ l & = \sqrt{900} = 30~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran itu adalah $\boxed{30~\text{cm}}$
Selanjutnya akan dicari panjang garis singgung persekutuan dalam $d$.
$\begin{aligned} d^2 & = p^2-(r_b+r_k)^2 \\ d^2 & = 34^2-(23+7)^2 \\ l^2 & = 1.156-900 \\ d^2 & = 256 \\ d & = \sqrt{256} = 16~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran itu adalah $\boxed{16~\text{cm}}$
 

[collapse]

Soal Nomor 4

Gambar di atas menunjukkan penampang $5$ buah paralon yang masing-masing berdiameter $20~\text{cm}$. Untuk $\pi = 3,14$, hitunglah panjang tali minimal yang digunakan untuk mengikat $5$ paralon tersebut.

Pembahasan

Diketahui $d = 20~\text{cm}$, artinya $r = 10~\text{cm}$.
Perhatikan sketsa gambar berikut.

Karena ada $2$ belokan, maka sudut pusat di setiap belokan adalah $\dfrac{360^{\circ}}{2} = 180^{\circ}$.
Panjang busur $\newcommand{arc}[1]{\stackrel{\Large\frown}{#1}} \arc{AB}$ sama dengan
$\begin{aligned} \newcommand{arc}[1]{\stackrel{\Large\frown}{#1}} \arc{AB} & = \dfrac{180^{\circ}}{360^{\circ}} \times 2\pi r \\ & = \dfrac{1}{\cancel{2}} \times \cancel{2} \times 3,14 \times 10 \\ & = 31,4~\text{cm} \end{aligned}$
Perhatikan bahwa $\newcommand{arc}[1]{\stackrel{\Large\frown}{#1}} \arc{AB} = \newcommand{arc}[1]{\stackrel{\Large\frown}{#1}} \arc{CD} = 31,4~\text{cm}$.
Jarak $BC$ sama dengan empat kali panjang diameter lingkaran.
$BC = 4d = 4(20) = 80~\text{cm}$
Perhatikan juga bahwa $BC = DA = 80~\text{cm}$.
Panjang tali minimal yang digunakan sama dengan
$\begin{aligned} \ell & = 2(\newcommand{arc}[1]{\stackrel{\Large\frown}{#1}} \arc{AB}) + 2(BC) \\ & = 2(31,4) + 2(80) \\ & = 62,8 + 160 = \color{red}{222,8~\text{cm}} \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 5

Gambar di atas menunjukkan penampang $21$ buah pipa berbentuk tabung yang masing-masing berjari-jari $42~\text{cm}$. Untuk $\pi = \dfrac{22}{7}$, hitunglah panjang tali minimal yang digunakan untuk mengikat paralon tersebut.

Pembahasan

Diketahui $r = 42~\text{cm}$.
Perhatikan sketsa gambar berikut.

Karena ada $3$ belokan, maka sudut pusat di setiap belokan adalah $\dfrac{360^{\circ}}{3} = 120^{\circ}$.
Panjang busur $\newcommand{arc}[1]{\stackrel{\Large\frown}{#1}} \arc{AB}$ sama dengan
$\begin{aligned} \newcommand{arc}[1]{\stackrel{\Large\frown}{#1}} \arc{AB} & = \dfrac{120^{\circ}}{360^{\circ}} \times 2\pi r \\ & = \dfrac{1}{\cancel{3}} \times 2 \times \dfrac{22}{\cancel{7}} \times \cancelto{2}{42} \\ & = 88~\text{cm} \end{aligned}$
Perhatikan bahwa $\newcommand{arc}[1]{\stackrel{\Large\frown}{#1}} \arc{AB} = \newcommand{arc}[1]{\stackrel{\Large\frown}{#1}} \arc{CD} = \newcommand{arc}[1]{\stackrel{\Large\frown}{#1}} \arc{EF} = 88~\text{cm}$.
Jarak $BC$ sama dengan lima kali panjang diameter lingkaran.
$BC = 5d = 5(2(42)) = 420~\text{cm}$
Perhatikan juga bahwa $BC = DE = FA = 420~\text{cm}$.
Panjang tali minimal yang digunakan sama dengan
$\begin{aligned} \ell & = 3(\newcommand{arc}[1]{\stackrel{\Large\frown}{#1}} \arc{AB}) + 3(BC) \\ & = 3(88) + 3(420) \\ & = 264 + 1.260 = \color{red}{1.524~\text{cm}} \end{aligned}$

[collapse]