Soal dan Pembahasan Super Lengkap – Unsur, Keliling, dan Luas Lingkaran

       Lingkaran merupakan salah satu bangun datar sisi lengkung. Kita sering menemukan benda berbentuk lingkaran dalam kehidupan sehari-hari, misalnya jam dinding, roda kendaraan, tutup botol, lintasan putaran kipas angin, dan sebagainya. Dalam keseharian, lingkaran kerap kali disebut sebagai bulat. Dalam matematika sendiri, lingkaran adalah kurva yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu yang disebut sebagai titik pusat.
       Di sekolah dasar, kita mempelajari lingkaran dari tahap dasar, yaitu hanya sekadar mengenal unsur lingkaran serta mencari keliling dan luasnya menggunakan rumus. Nah untuk itu, berikut disajikan sejumlah soal dan pembahasan mengenai  unsur, keliling, dan luas lingkaran. Semoga bermanfaat dan dapat dijadikan referensi belajar.

Today Quote

Lelah dalam belajar itu biasa, tetapi jangan menyerah dalam belajar, ya! Tetap semangat, ganbatte!

Soal Teori

Gambar berikut diperuntukkan untuk menjawab soal nomor 1 – 3.

Soal Nomor 1
Ruas garis $AB$ pada gambar di atas dinamakan $\cdots \cdot$
A. jari-jari                        C. rusuk
B. diameter                    D. busur

Soal Nomor 2
Juring yang ditunjukkan pada gambar di atas adalah $\cdots \cdot$
A. garis $AB$                      C. daerah $DE$
B. garis $OB$                      D. daerah $BOC$

Soal Nomor 3
Berikut ini merupakan jari-jari lingkaran pada gambar di atas, kecuali $\cdots \cdot$
A. ruas garis $AO$
B. ruas garis $BO$
C. ruas garis $BC$
D. ruas garis $CO$

Soal Nomor 4
Panjang diameter sebuah lingkaran sama dengan $\cdots$ kali panjang jari-jarinya.
A. setengah                    C. dua
B. satu                           D. tiga

Soal Nomor 5
Titik yang terletak tepat di tengah lingkaran disebut $\cdots \cdot$
A. titik pusat                     C. titik potong
B. titik sumbu                   D. titik diameter

Soal Nomor 6
Sebuah juring lingkaran dibatasi oleh $\cdots \cdot$
A. $1$ jari-jari dan $1$ busur lingkaran 
B. $1$ jari-jari dan $2$ busur lingkaran
C. $2$ jari-jari dan $1$ busur lingkaran
D. $2$ jari-jari dan $2$ busur lingkaran

Kunci Jawaban

Soal Nomor 1: B
Soal Nomor 2: D
Soal Nomor 3: C
Soal Nomor 4: C
Soal Nomor 5: A
Soal Nomor 6:

[collapse]

Soal Hitungan

Soal Nomor 1
Sebuah hiasan dibuat berbentuk seperti setengah lingkaran.


Keliling hiasan itu adalah $\cdots \cdot$
A. $88~\text{cm}$                         C. $144~\text{cm}$
B. $116~\text{cm}$                       D. $176~\text{cm}$

Pembahasan

Diketahui: $r = 28~\text{cm}$.
Ditanya: $k = \cdots?$
Keliling hiasan sama dengan keliling setengah lingkaran ditambah panjang diameternya.
$\begin{aligned} k & = \pi \times d  + d \\ & = \dfrac{22}{\cancel{7}} \times \cancelto{4}{28} + (2 \times 28) \\ & = 88 + 56 \\ & = 144~\text{cm} \end{aligned}$

Jadi, keliling hiasan tersebut adalah $\boxed{144~\text{cm}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 2
Sebuah jam dinding yang berbentuk lingkaran memiliki panjang diameter $28~\text{cm}$. Keliling jam dinding tersebut adalah $\cdots \cdot \left(\pi = \dfrac{22}{7}\right)$
A. $86~\text{cm}$                         C. $90~\text{cm}$
B. $88~\text{cm}$                         D. $92~\text{cm}$

Pembahasan

Diketahui: $d = 28~\text{cm}$.
Ditanya: $k = \cdots?$
$\begin{aligned} k & = \pi \times d \\ & = \dfrac{22}{\cancel{7}} \times \cancelto{4}{28} \\ & = 22 \times 4 = 88~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, keliling jam dinding tersebut adalah $\boxed{88~\text{cm}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 3
Nathan memiliki hula hoop dengan keliling $220$ cm. Panjang jari-jari hula hoop itu adalah $\cdots \cdot \left(\pi = \dfrac{22}{7}\right)$
A. $28~\text{cm}$                            C. $35~\text{cm}$
B. $30~\text{cm}$                            D. $42~\text{cm}$

Pembahasan

Diketahui: $k = 220~\text{cm}$.
Ditanya: $r = \cdots?$
$\begin{aligned} k & = 2 \times \pi d\times r \\ 220 & = 2 \times \dfrac{22}{7} \times r \\ r & = \cancelto{10}{220} \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{7}{\cancel{22}} \\ r & = 10 \div 2 \times 7 = 35~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang jari-jari hula hoop itu adalah $\boxed{35~\text{cm}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 4
Ibu membuat taplak meja berbentuk lingkaran berdiameter $1,4~\text{m}$. Setelah selesai dibuat, ibu mengukur keliling taplak mejanya. Kelilingnya adalah $\cdots \cdot \left(\pi = \dfrac{22}{7}\right)$
A. $3,75~\text{m}$                          C. $4,20~\text{m}$
B. $4,00~\text{m}$                          D. $4,40~\text{m}$

Pembahasan

Diketahui: $d = 1,4~\text{m}$.
Ditanya: $k = \cdots?$
$\begin{aligned} k & = \pi \times d \\ & = \dfrac{22}{7} \times 1,4 \\ & = \dfrac{22}{\cancel{7}} \times \dfrac{\cancelto{2}{14}}{10} \\ & = \dfrac{44}{10} = 4,4~\text{m} \end{aligned}$
Jadi, keliling taplak meja tersebut adalah $\boxed{4,40~\text{m}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 5
Sebuah lapangan berbentuk lingkaran berdiameter $60~\text{m}$. Sukardi berlari mengelilingi lapangan tersebut sebanyak $3$ kali. Jarak yang ditempuhnya adalah $\cdots \cdot (\pi = 3,14)$
A. $562,5~\text{m}$                       C. $565,5~\text{m}$
B. $565,2~\text{m}$                       D. $565,8~\text{m}$

Pembahasan

Diketahui: $d = 60~\text{m}$.
Ditanya: $\text{jarak} = \cdots?$
Kita akan menghitung keliling lapangannya lebih dulu.
$\begin{aligned} k & = \pi \times d \\ & = 3,14 \times 60 \\ & = 188,4~\text{m} \end{aligned}$
Keliling lapangan tersebut adalah $188,4~\text{m}$. Karena Sukardi berputar sebanyak $3$ kali, maka jarak tempuhnya sama dengan $3$ kali keliling lapangan, yaitu
$\boxed{3 \times 188,4 = 565,2~\text{m}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 6
Sebuah sepeda motor mempunyai roda dengan panjang jari-jari $35~\text{cm}$. Roda itu berputar sebanyak $5.000$ kali. Jarak yang ditempuh oleh sepeda motor itu adalah $\cdots \cdot \left(\pi = \dfrac{22}{7}\right)$
A. $11,0~\text{km}$                          C. $14,0~\text{km}$
B. $12,5~\text{km}$                          D. $15,0~\text{km}$

Pembahasan

Diketahui: $r = 35~\text{cm}$.
Ditanya: $\text{jarak} = \cdots?$
Kita akan menghitung keliling rodanya lebih dulu.
$\begin{aligned} k & = 2 \times \pi \times r \\ & = 2 \times \dfrac{22}{\cancel{7}} \times \cancelto{5}{35} \\ & = 2 \times 22 \times 5 \\ & = 220~\text{cm} \end{aligned}$
Keliling roda sepeda motor tersebut adalah $220~\text{cm}$. Karena roda berputar sebanyak $5.000$ kali, maka jarak tempuhnya sama dengan $5.000$ kali keliling roda, yaitu
$\boxed{\begin{aligned} 5.000 \times 220 & = 1.100.000~\text{cm} \\ & = 11,0~\text{km} \end{aligned}}$
Catatan: $1~\text{km} = 100.000~\text{cm}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 7
Sebuah roda sepeda memiliki panjang jari-jari $30~\text{cm}$. Ketika sepeda dikayuh, roda tersebut berputar sebanyak $30$ kali. Jarak yang ditempuh sejauh $\cdots \cdot \left(\pi = 3,14\right)$
A. $55,52~\text{m}$                         C. $58,52~\text{m}$
B. $56,52~\text{m}$                         D. $62,52~\text{m}$

Pembahasan

Diketahui: $r = 30~\text{cm}$.
Ditanya: $\text{jarak} = \cdots?$
Kita akan menghitung keliling rodanya lebih dulu.
$\begin{aligned} k & = 2 \times \pi \times r \\ & = 2 \times 3,14 \times 30 \\ & = 188,4~\text{cm} \end{aligned}$
Keliling roda sepeda tersebut adalah $188,4~\text{cm}$. Karena roda berputar sebanyak $30$ kali, maka jarak tempuhnya sama dengan $30$ kali keliling roda, yaitu
$\boxed{\begin{aligned} 30 \times 188,4 & = 5.652~\text{cm} \\ & = 56,52~\text{m} \end{aligned}}$
Catatan: $1~\text{m} = 100~\text{cm}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 8
Sebuah taman berbentuk lingkaran dengan diameter $56~\text{m}$ akan ditanami rumput. Harga rumput adalah Rp7.500,00 per meter persegi. Biaya yang harus dikeluarkan pengelola untuk membeli rumput adalah $\cdots \cdot \left(\pi = \dfrac{22}{7}\right)$
A. Rp17.580.000,00
B. Rp18.350.000,00
C. Rp18.480.000,00
D. Rp18.560.000,00

Pembahasan

Diketahui: $d = 56~\text{m} \Leftrightarrow r = 28~\text{m}$.
Ditanya: $\text{biaya} = \cdots?$
Kita akan menghitung luas tamannya lebih dulu.
$\begin{aligned} L & = \pi \times r \times r \\ & = \dfrac{22}{\cancel{7}} \times \cancelto{4}{28} \times 28 \\ & = 22 \times 4 \times 28 = 2.464~\text{m}^2 \end{aligned}$
Luas taman tersebut adalah $2.464~\text{m}$. Karena untuk setiap meter persegi, biaya pembelian rumput sebesar Rp7.500,00, maka biaya totalnya menjadi
$\boxed{2.464 \times 7.500 = \text{Rp}18.480.000,00}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 9
Sebuah roda memiliki luas $616~\text{cm}^2$. Roda lainnya memiliki jari-jari yang panjangnya $3$ kali dari roda tersebut sehingga luasnya $\cdots \cdot$
A. $6.348~\text{cm}^2$                C. $3.696~\text{cm}^2$
B. $5.544~\text{cm}^2$                D. $1.848~\text{cm}^2$

Pembahasan

Roda pertama memiliki luas $616~\text{cm}^2$. Dapat kita tuliskan
$\color{red}{L_1 = \pi \times r \times r = 616~\text{cm}^2}$
Roda kedua memiliki jari-jari yang panjangnya $3$ kali dari jari-jari roda pertama sehingga
$\begin{aligned} L_2 & = \pi \times (3 \times r) \times (3 \times r) \\ & = 9 \times \color{red}{\pi \times r \times r} \\ & = 9 \times 616 = 5.544~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Jadi, luas roda lainnya itu adalah $\boxed{5.544~\text{cm}^2}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 10
Sebuah kolam renang berbentuk lingkaran dengan panjang diameter $40~\text{m}$. Kolam tersebut dikelilingi jalan setapak selebar $1~\text{m}$. Luas jalan setapak itu adalah $\cdots \cdot (\pi = 3,14)$
A. $244,34~\text{m}^2$
B. $250,18~\text{m}^2$
C. $252,34~\text{m}^2$
D. $254,34~\text{m}^2$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Untuk mencari luas jalan setapak, kita hanya perlu mengurangi luas lingkaran besar dengan luas lingkaran kecil.
Lingkaran kecil memiliki panjang diameter $40~\text{m}$, artinya panjang jari-jarinya $20~\text{m}$, sedangkan luas lingkaran besar memiliki jari-jari $20+1=21~\text{m}$. Selisih luasnya adalah
$\begin{aligned} L & = L_{\text{besar}}-L_{\text{kecil}} \\ & = \pi \times r_{besar} \times r_{\text{besar}}-\pi \times r_{besar} \times r_{\text{besar}} \\ & = 3,14 \times 21 \times 21-3,14 \times 20 \times 20 \\ & = 3,14 \times (21^2-20^2) \\ & = 3,14 \times (21+20) \times (21-20) \\ & = 3,14 \times 41 = 254,34~\text{m}^2 \end{aligned}$
Jadi, luas jalan setapak tersebut adalah $\boxed{254,34~\text{m}^2}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 11
Luas daerah pada bangun datar di bawah adalah $\cdots \cdot (\pi = 3,14)$

A. $942~\text{cm}^2$                       C. $1.884~\text{cm}^2$
B. $1.256~\text{cm}^2$                    D. $2.512~\text{cm}^2$

Pembahasan

Bangun tersebut merupakan seperempat lingkaran yang berjari-jari $ r = 40~\text{cm}$.
Luasnya dapat dihitung dengan cara berikut.
$\begin{aligned} L & = \dfrac14 \times \pi \times r \times r \\ & = \dfrac14 \times 3,14 \times 40 \times 40 \\ & = \dfrac{1}{\cancel{4}} \times 3,14 \times 100 \times \cancelto{4}{16} \\ & = 314 \times 4 = 1.256~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Jadi, luas daerah pada bangun datar itu adalah $\boxed{1.256~\text{cm}^2}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 12
Perhatikan gambar berikut.

Luas daerah yang diarsir adalah $\cdots \cdot \left(\pi = \dfrac{22}{7}\right)$
A. $924~\text{cm}^2$                        C. $369,6~\text{cm}^2$
B. $462~\text{cm}^2$                        D. $231~\text{cm}^2$

Pembahasan

Daerah yang diarsir merupakan $\dfrac38$ lingkaran yang berdiameter $d = 28~\text{cm}$ atau berjari-jari $r=14~\text{cm}$.
Luasnya dapat dihitung dengan cara berikut.
$\begin{aligned} L & = \dfrac38 \times \pi \times r \times r \\ & = \dfrac38 \times \dfrac{22}{\cancel{7}} \times \cancelto{2}{14} \times 14 \\ & = \dfrac38 \times 22 \times 2 \times 14 \\ & = 231~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Jadi, luas daerah yang diarsir itu adalah $\boxed{231~\text{cm}^2}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 13
Luas bangun di bawah adalah $\cdots \cdot (\pi = 3,14)$

A. $1.256~\text{cm}^2$                       C. $628~\text{cm}^2$
B. $835~\text{cm}^2$                           D. $345,5~\text{cm}^2$

Pembahasan

Bangun tersebut merupakan setengah lingkaran yang berjari-jari $ r = 20~\text{cm}$.
Luasnya dapat dihitung dengan cara berikut.
$\begin{aligned} L & = \dfrac12 \times \pi \times r \times r \\ & = \dfrac12 \times 3,14 \times 20 \times 20 \\ & = \dfrac{1}{\cancel{2}} \times 3,14 \times 100 \times \cancelto{2}{4} \\ & = 314 \times 2 = 628~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Jadi, luas bangun itu adalah $\boxed{628~\text{cm}^2}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 14
Luas bangun di bawah adalah $\cdots \cdot \left(\pi = \dfrac{22}{7}\right)$

A. $448~\text{cm}^2$                        C. $504~\text{cm}^2$
B. $494~\text{cm}^2$                        D. $620~\text{cm}^2$

Pembahasan

Bangun tersebut tersusun dari sebuah persegi dan empat buah setengah lingkaran yang kongruen (sama), dapat dianggap dua buah lingkaran utuh.
Persegi memiliki panjang sisi $14~\text{cm}$ dan jari-jari lingkarannya adalah $7~\text{cm}$.
$\begin{aligned} L & = L_{\square} + 2 \times L_{\text{O}} \\ & = (s \times s) + (\pi \times r \times r} \\ & = (14 \times 14) + 2 \times \left(\dfrac{22}{\cancel{7}} \times \cancel{7} \times 7\right) \\ & = 196 + 2 \times 154 \\ & = 196 + 308 = 504~text{cm}^2 \end{aligned}$
Jadi, luas bangun itu adalah $\boxed{504~\text{cm}^2}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 15
Sebuah lingkaran diletakkan di dalam sebuah persegi seperti terlihat pada gambar.

Luas daerah yang diarsir adalah $\cdots \cdot \left(\pi = \dfrac{22}{7}\right)$
A. $189~\text{cm}^2$                        C. $473~\text{cm}^2$
B. $378~\text{cm}^2$                        D. $568~\text{cm}^2$

Pembahasan

Bangun pada gambar memuat lingkaran dalam persegi. Lingkarannya berjari-jari $21~\text{cm}$ dan perseginya memiliki panjang sisi $2$ kali jari-jari lingkaran, yaitu $42~\text{cm}$.
Luas persegi itu adalah
$L_{\square} = s \times s = 42 \times 42 = 1.764~\text{cm}^2$
Luas lingkaran itu adalah
$\begin{aligned} L_{\text{O}} & = \pi \times r \times r \\ & = \dfrac{22}{\cancel{7}} \times \cancelto{3}{21} \times 21 \\ & = 22 \times 3 \times 21 = 1.386~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Luas empat daerah yang kongruen (sama) dapat dihitung dengan mengurangi luas persegi terhadap luas lingkaran.
$\begin{aligned} L & = L_{\square}-L_{\text{O}} \\ & = 1.764-1.386 = 378~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Luas daerah yang diarsir adalah $\dfrac{2}{4}$ bagiannya dari luas $L$, yaitu $\boxed{\dfrac24 \times 378 = 189~\text{cm}^2}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 16
Luas bangun datar berikut adalah $\cdots \cdot \left(\pi = \dfrac{22}{7}\right)$

A. $175~\text{cm}^2$                         C. $273~\text{cm}^2$
B. $252~\text{cm}^2$                         D. $350~\text{cm}^2$

Pembahasan

Bangun datar berbentuk “hati/heart” di atas tersusun dari sebuah persegi dengan panjang sisi $14~\text{cm}$ dan dua buah setengah lingkaran yang berdiameter $14~\text{cm}$ (panjang jari-jarinya $7~\text{cm}$). Ini berarti, dapat dianggap bahwa bangun tersebut tersusun dari sebuah persegi dan sebuah lingkaran. Luasnya adalah penjumlahan dari luas masing-masing bangun datar.
$\begin{aligned} L & = L_{\square} + L_{\text{O}} \\ & = (s \times s) + (\pi \times r \times r) \\ & = (14 \times 14) + \left(\dfrac{22}{\cancel{7}} \times \cancel{7} \times 7\right) \\ & = 196 + 154 = 350~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Jadi, luas bangun datar itu adalah $\boxed{350~\text{cm}^2}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 16
Perhatikan gambar berikut ini.

Luas daerah yang diarsir adalah $\cdots \cdot (\pi = 3,14)$
A. $41~\text{cm}^2$
B. $41,3~\text{cm}^2$
C. $41,5~\text{cm}^2$
D. $42,3~\text{cm}^2$

Pembahasan

Luas daerah yang diarsir sama dengan luas segitiga dikurangi luas lingkaran.
Luas segitiga dengan panjang alas $20~\text{cm}$ dan tinggi $12~\text{cm}$ adalah
$\begin{aligned} L_{\triangle} & = \dfrac{a \times t}{2} \\ & = \dfrac{20 \times \cancelto{6}{12}}{\cancel{2}} = 120~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Luas lingkaran berjari-jari $5~\text{cm}$ adalah
$\begin{aligned} L_{\text{O}} & = \pi \times r \times r \\ & = 3,14 \times 5 \times 5 = 78,5~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Dengan demikian, luas daerah yang diarsir adalah
$\boxed{L = 120-78,5 = 41,5~\text{cm}^2}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 17
Perhatikan gambar berikut ini.

Luas daerah yang diarsir adalah $\cdots \cdot$
A. $255~\text{cm}^2$                      C. $513~\text{cm}^2$
B. $471~\text{cm}^2$                      D. $525~\text{cm}^2$

Pembahasan

Tampak pada gambar terdapat tiga per empat lingkaran sebanyak dua buah yang disusun berdekatan. Karena $\dfrac34 + \dfrac34 = \dfrac64 = \dfrac32$, maka kita hanya perlu menghitung luas $\dfrac32$ lingkaran dengan panjang jari-jari $10~\text{cm}$, yakni
$\begin{aligned} L & = \dfrac32 \times \pi \times r \times r \\ & = \dfrac32 \times 3,14 \times 10 \times 10 \\ & = \dfrac{3}{\cancel{2}} \times \cancelto{157}{314} = 471~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah $\boxed{471~\text{cm}^2}$
(Jawaban B)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 18
Tentukan luas dari daerah yang diarsir berikut.

Pembahasan

Perhatikan gambar berikut.

Dengan memindahkan setengah lingkaran yang ada di bawah untuk mengisi setengah lingkaran yang kosong, kita peroleh setengah lingkaran utuh.
Luas setengah lingkaran yang berjari-jari $7$ cm adalah
$\begin{aligned} L & = \dfrac12 \times \pi \times r \times r \\ & = \dfrac{1}{\cancel{2}} \times \dfrac{\cancelto{11}{22}}{\cancel{7}} \times \cancel{7} \times 7 \\ & = 11 \times 7 = 77~\text{cm}^2 \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 19
Tentukan luas dari daerah yang diarsir berikut.

Pembahasan

Tampak pada gambar di atas ada sebuah setengah lingkaran besar dan dua buah setengah lingkaran kecil.
Luas setengah lingkaran besar tersebut ($r = 14~\text{cm}$) adalah
$\begin{aligned} L_{\text{Besar}} & = \dfrac{1}{\cancel{2}} \dfrac{\cancelto{11}{22}}{\cancel{7}} \times \cancelto{2}{14} \times 14 \\ & = 11 \times 2 \times 14 \\ & = 308~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Luas setengah lingkaran kecil ($r = 7~\text{cm}$) adalah
$\begin{aligned} L_{\text{Kecil}} & = \dfrac{1}{\cancel{2}} \times \dfrac{\cancelto{11}{22}}{\cancel{7}} \times \cancel{7} \times 7 \\ & = 11 \times 7 \\ & = 77~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Luas yang diarsir sama dengan luas setengah lingkaran besar dikurangi dua kali luas setengah lingkaran kecil.
$\begin{aligned} L_{\text{Arsir}} & = L_{\text{Besar}}-2 \times L_{\text{Kecil}} \\ & =308-2 \times 77 = 154~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Jadi, luas yang diarsir adalah $\boxed{154~\text{cm}^2}$

[collapse]

Soal Nomor 20
Tentukan luas dari daerah yang diarsir berikut.

Pembahasan

Dalam gambar, terdapat $3$ lingkaran dengan ukuran berbeda: besar, sedang, kecil.
Luas lingkaran besar ($r = \dfrac{28}{2} = 14~\text{cm}$) adalah
$\begin{aligned} L_{\text{besar}} & = \dfrac{22}{\cancel{7}} \times \cancelto{2}{14} \times 14 \\ & = 22 \times 2 \times 14 = 616~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Luas lingkaran sedang ($r = \dfrac{21}{2}~\text{cm}$) adalah
$\begin{aligned} L_{\text{sedang}} & = \dfrac{\cancelto{11}{22}}{\cancel{7}} \times \dfrac{\cancelto{3}{21}}{\cancel{2}} \times \dfrac{21}{2} \\ & = \dfrac{11 \times 3 \times 21}{2} = 346,5~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Luas lingkaran kecil ($r = \dfrac{7}{2}~\text{cm}$) adalah
$\begin{aligned} L_{\text{kecil}} & = \dfrac{\cancelto{11}{22}}{\cancel{7}} \times \dfrac{\cancel{7}}{\cancel{2}} \times \dfrac{7}{2} \\ & = \dfrac{11 \times 7}{2} = 38,5~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Luas daerah yang diarsir sama dengan luas lingkaran besar dikurangi luas lingkaran sedang lalu dikurangi luas lingkaran kecil.
$\begin{aligned} L & = L_{\text{besar}}- L_{\text{sedang}} + L_{\text{kecil}} \\ & = 616-346,5-38,5 = 308~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah $\boxed{308~\text{cm}^2}$

[collapse]

Soal Nomor 21
Tentukan luas dari daerah yang diarsir berikut.

Pembahasan

Dengan memindahkan setengah lingkaran yang ada di kanan untuk mengisi setengah lingkaran yang kosong, kita peroleh hanya tersisa setengah lingkaran utuh yang ada di dalam persegi.

Luas persegi itu ($s = 28~\text{cm}$) adalah
$\begin{aligned} L_{\square} & = s \times s \\ & = 28 \times 28 = 784~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Luas setengah lingkaran berjari-jari $14~\text{cm}$ adalah
$\begin{aligned} L_{\frac12\text{O}} & = \dfrac{1}{\cancel{2}} \times \dfrac{22}{\cancel{7}} \times \cancel{14} \times 14 \\ & = 22 \times 14 = 308~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Luas daerah yang diarsir sama dengan luas persegi dikurangi luas setengah lingkaran
$\begin{aligned} L & = L_{\square}-L_{\frac12\text{O}} \\ & = 784-308 = 476~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Jadi, luas arsirannya adalah $\boxed{476~\text{cm}^2}$

[collapse]

Soal Nomor 22
Tentukan luas daerah yang diarsir berikut.

Pembahasan

Luas daerah yang diarsir sama dengan luas lingkaran dikurangi luas belah ketupat.
Luas lingkaran dengan diameter $14$ cm atau berjari-jari $7$ cm adalah
$\begin{aligned} L_1 & = \pi \times r \times r \\ & = \dfrac{22}{\cancel{7}} \times \cancel{7} \times 7 \\ & = 154~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Luas belah ketupat dengan panjang kedua diagonalnya $14$ cm adalah
$\begin{aligned} L_2 & = \dfrac{d_1 \times d_2}{2} \\ & = \dfrac{\cancelto{7}{14} \times 14}{\cancel{2}} = 98~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah
$\boxed{L = L_1-L_2 = 154-98 = 56~\text{cm}^2}$

[collapse]

Soal Nomor 23
Hitunglah luas arsiran dari setiap gambar berikut.

Pembahasan

(Gambar 1)
Luas arsiran sama dengan luas persegi dikurangi luas seperempat lingkaran.
Persegi tersebut memiliki panjang sisi $20~\text{cm}$ sehingga luasnya
$L_{\square} = s \times s = 20 \times 20 = 400~\text{cm}^2$
Seperempat lingkarannya berjari-jari $10$ cm sehingga luasnya
$\begin{aligned} L_{\frac14\text{O}} & = \dfrac{1}{\cancel{4}} \times 3,14 \times \cancelto{5}{20} \times 20 \\ & = 314~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Dengan demikian, luas arsirannya adalah
$L_{\square}-L_{\frac14\text{O}} = 400-314 = 86~\text{cm}^2$
Gambar 2)
Luas daerah yang diarsir pada gambar 2 sama dengan dua kali dari luas daerah yang diarsir pada gambar 1.
Jadi, luas arsirannya adalah
$L = 2 \times 86 = 172~\text{cm}^2$
Gambar 3)
Luas yang diarsir (luas daun) sama dengan luas persegi dikurangi luas daerah arsiran pada gambar 2.
$L_{\text{daun}} = 400-172 = 228~\text{cm}^2$

[collapse]

Baca Juga: Cara Menghitung Luas Daun Beraturan dalam Matematika

Soal Nomor 24
Tentukan luas daerah yang diarsir berikut.

Pembahasan

Kita hanya perlu menghitung luas salah satu daun, lalu dikalikan $4$.
Seperti soal nomor sebelumnya, luas daun di dalam persegi dengan panjang sisi $7$ cm adalah
$\begin{aligned} L_{\text{daun}} & = L_{\square}-2 \times \left(L_{\square}-\dfrac14 \times L_{\text{O}}\right) \\ & = \dfrac12 \times L_{\text{O}}-L_{\square} \\ & = \dfrac{1}{\cancel{2}} \times \dfrac{\cancelto{11}{22}}{\cancel{7}} \times \cancel{7} \times 7-(7 \times 7) \\ & = 77-49 = 28~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Dengan demikian, luas yang diarsir adalah $\boxed{4 \times 28~\text{cm}^2 = 112~\text{cm}^2}$

[collapse]

Soal Nomor 25
Tentukan luas daerah yang diarsir berikut.

Pembahasan

Dari gambar, tampak sebuah daun dalam sebuah persegi berukuran $7$ cm.
Luas daerah di luar daun dapat dihitung seperti soal nomor sebelumnya, yaitu
$\begin{aligned} L_1 & = 2 \times \left(L_{\square}-L_{\frac14\text{O}}\right) \\ & = 2 \times \left(7 \times 7-\dfrac14 \times \dfrac{22}{\cancel{7}} \times \cancel{7} \times 7\right) \\ & = 2 \times (49-38,5) \\ & = 2 \times 10,5 = 21~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Daerah arsiran lainnya merupakan dua buah seperempat lingkaran yang sama sehingga bisa dianggap sebagai setengah lingkaran (berjari-jari $7$ cm). Luasnya adalah
$\begin{aligned} L_2 & = \dfrac12 \times \pi \times r \times r \\ & = \dfrac{1}{\cancel{2}} \times \dfrac{\cancelto{11}{22}}{\cancel{7}} \times \cancel{7} \times 7 \\ & = 77~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Jadi, luas keseluruhan daerah arsirannya adalah $\boxed{L = 21+77 = 98~\text{cm}^2}$

[collapse]

Soal Nomor 26
Empat unit drum diposisikan dan diikat dengan tali seperti gambar berikut.

Berapakah panjang tali minimum yang digunakan untuk mengikat keempat tong tersebut?

Pembahasan

Panjang tali berhubungan dengan keliling lingkaran yang dibentuk oleh tong tersebut.
Perhatikan gambar berikut.
Panjang busur $AB$ adalah seperempat dari keliling lingkaran berdiameter $20$ cm. Perhatikan bahwa ada total $4$ busur yang sama panjang sehingga bila digabungkan, kita hanya perlu mencari keliling lingkaran utuh.
$\begin{aligned} \text{Panjang Bu}\text{sur} & = \pi \times d \\ & = 3,14 \times 20 \\ & = 62,8~\text{cm} \end{aligned}$
Panjang tali minimum yang digunakan sama dengan jumlah panjang busur itu ditambah $4 \times 20 = 80~\text{cm}$ (lihat gambar), yaitu
$\text{Panjang Tali} = 62,8 + 80 = 142,8~\text{cm}$.

[collapse]

Soal Nomor 27
Hitunglah luas dari daerah yang diarsir (diwarna) berikut.

Pembahasan

Dari gambar, terdapat sebuah persegi panjang dengan panjang $112$ cm dan lebar $56$ cm, serta $12$ buah setengah lingkaran yang sama (bisa dianggap $6$ lingkaran utuh) dan lingkaran kosong (tak terarsir) di tengah persegi panjangnya.

Pindahkan dua buah setengah lingkaran untuk mengisi lingkaran putih (kosong) di tengah persegi panjang sehingga tersisa $5$ lingkaran utuh saja.
Luas persegi panjang adalah
$L = p \times l = 112 \times 56 = 6.272~\text{cm}^2$
Luas $5$ lingkaran utuh berjari-jari $14$ cm yang tersisa itu adalah
$\begin{aligned} L & = 5 \times \dfrac{22}{\cancel{7}} \times \cancelto{2}{14} \times 14 \\ & = 5 \times 22 \times 2 \times 14 = 3.080~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Jadi, luas keseluruhan arsirannya adalah $\boxed{6.272 + 3.080 = 9.352~\text{cm}^2}$ 

[collapse]

Soal Nomor 28
Diketahui dua buah lingkaran berjari-jari $14~\text{cm}$ dan $7~\text{cm}$ saling beririsan seperti gambar berikut.

Jika luas keseluruhan gabungan kedua lingkaran adalah $700~\text{cm}^2$, tentukan luas daerah hasil irisan dua lingkaran tersebut (daerah yang diarsir).

Pembahasan

Luas lingkaran dengan panjang jari-jari $14~\text{cm}$ adalah
$L_B = \dfrac{22}{\cancel{7}} \times \cancelto{2}{14} \times 14 = 616~\text{cm}^2$
Luas lingkaran dengan panjang jari-jari $7~\text{cm}$ adalah
$L_K = \dfrac{22}{\cancel{7}} \times \cancel{7} \times 7 = 154~\text{cm}^2 $
Luas keseluruhan gabungan dua lingkaran sama dengan luas masing-masing lingkaran dikurangi $2$ kali luas irisan $(L_I)$ lingkaran itu. Ini dikarenakan daerah irisannya berlapis dua.
Kita tuliskan,
$\begin{aligned} \text{Luas total} & = L_B + L_K – 2 \times L_I \\ 700 & = 616+154-2 \times L_I \\ 700 & = 770-2 \times L_I \\ 70 & = 2 \times L_I \\ L_I & = 35~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Jadi, luas daerah arsir (hasil irisan) adalah $\boxed{35~\text{cm}^2}$

[collapse]

Soal Nomor 29 (Soal OSN Tingkat Provinsi Tahun 2017)
Tentukan luas daerah yang diarsir berikut dengan menganggap $\pi = \dfrac{22}{7}$.

Pembahasan

Pertama, hitung luas persegi panjangnya.
$L_1 = p \times l = 4 \times 2 = 8~\text{cm}^2$
Kedua, hitung luas delapan lingkaran. Masing-masing lingkaran memiliki ukuran yang sama, yaitu berdiameter $1$ cm atau berjari-jari $\dfrac12$ cm.
$\begin{aligned} L_2 & = \cancelto{4}{8} \times \dfrac{\cancelto{11}{22}}{7} \times \dfrac{1}{\cancel{2}} \times \dfrac{1}{\cancel{2}} \\ & = 4 \times \dfrac{11}{7} = \dfrac{44}{7}~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Luas persegi panjang di luar kedelapan lingkaran tersebut adalah
$L = L_1-L_2 = 8-\dfrac{44}{7} = \dfrac{12}{7}~\text{cm}^2$
Sekarang, perhatikan gambar berikut.

Bila dihitung, kita akan menemukan $32$ bagian yang dimaksud dan hanya $20$ bagian yang terarsir.
Dengan demikian, luas daerah yang diarsir itu adalah
$\begin{aligned} L_{\text{Arsir}} & = \dfrac{\cancelto{5}{20}}{\cancelto{8}{32}} \times L \\ & = \dfrac{5}{8} \times \dfrac{12}{7} = \dfrac{15}{14}~\text{cm}^2 \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 30 (OSN SD Tahun 2010)
Empat lingkaran dengan perbandingan jari-jari $8 : 4 : 2 : 1$ bersinggungan pada suatu titik, seperti tampak pada gambar.

Tentukan perbandingan ukuran luas daerah yang diarsir dengan luas daerah yang tidak diarsir.

Pembahasan

Beri nama lingkaran: $A, B, C, D$ (terbesar ke terkecil).
Untuk mempermudah perhitungan, anggap panjang jari-jari lingkaran $A, B, C, D$ berturut-turut $8, 4, 2$, dan $1$.
Luas daerah yang diarsir adalah jumlah luas lingkaran $B$ dan $D$, yaitu
$\begin{aligned} L_{\text{Arsir}} & = L_B + L_D \\ & = \pi \times 4^2 + \pi \times 1^2 = 17 \times \pi \end{aligned}$
Luas daerah yang tidak diarsir adalah jumlah dari selisih luas lingkaran $A, B$ dan selisih luas lingkaran $C, D$.
$$\begin{aligned} L_{\text{Tidak Arsir}} & = (L_A-L_B)+(L_C-L_D) \\ & = (\pi \times 8^2- \pi \times 4^2) + (\pi \times 2^2-\pi \times 1^2) \\ & = 48 \times \pi+3 \times \pi \\ & = 51 \times \pi \end{aligned}$$Dengan demikian, perbandingan luas daerah yang diarsir dan tak diarsir adalah
$\begin{aligned} L_{\text{Arsir}} : L_{\text{Tidak Arsir}} & = 17 \times \cancel{\pi} : 51 \times \cancel{\pi} \\ & = 17 : 51 \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 31 
Sepuluh lingkaran identik disusun membentuk sebuah piramid (limas). Titik $A$ dan $B$ keduanya merupakan pusat dari dua lingkaran. Sebuah garis melalui kedua titik tersebut sehingga membagi bangun menjadi dua daerah terpisah: daerah merah di kiri dan daerah biru di kanan.

Berapakah perbandingan luas daerah biru terhadap luas daerah merah?

Pembahasan

Kita dapat susun daerah yang diarsir dengan menukarkan posisi tembereng yang terpotong sehingga seperti gambar berikut.

Tampak pada gambar di atas terdapat $6$ lingkaran biru identik dan $4$ lingkaran merah identik. Dengan demikian, perbandingan luas keduanya adalah $\boxed{6 : 4 = 3 : 2}$

[collapse]

CategoriesGeometri Analitik DatarTags, , , , , , , ,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *