Soal dan Pembahasan – Perhitungan Nilai Mutlak

Berdasarkan definisi nilai mutlak, diperoleh $\color{red}{|12|}-\color{red}{|-3|} = 12-3 = 9.$
(Jawaban C)

Berdasarkan definisi nilai mutlak, diperoleh
$\begin{aligned} \color{red}{\left|\dfrac{-24}{36}\right|} \times \color{red}{|-6|} & = \dfrac{24}{\cancelto{6}{36}} \times \cancel{6} \\ & = \dfrac{24}{6} = 4 \end{aligned}$
(Jawaban D)

Berdasarkan definisi nilai mutlak, diperoleh
$-|\color{red}{-(-5)}| = -|\color{red}{5}| = -5$
Jadi, nilai dari $\boxed{-|-(-5)| = -5}$
(Jawaban A)

Berdasarkan definisi nilai mutlak, diperoleh
$\begin{aligned} |-4|-|-6^2 \times 2| & = |-4|-|-72| \\ & = 4-72 = -68 \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\boxed{|-4|-|-6^2 \times 2| = -68}$
(Jawaban A)

Analisis setiap opsi yang tersedia.
Cek opsi A: Pernyataan salah
Untuk setiap $x \in \mathbb{R}$,
$$|x| + |-x| = |x| + |x| = \begin{cases} 2x,& \text{jika}~x \geq 0 \\ -2x, &\text{jika}~x < 0 \end{cases}$$Cek opsi B: Pernyataan salah
Berdasarkan definisi nilai mutlak, tanda mutlak juga berlaku untuk bilangan negatif dan nol, misalnya $|-3| = 3$.
Cek opsi C: Pernyataan benar
Substitusi $x = 3$ atau $x = -3$ mengakibatkan pernyataan menjadi benar, yaitu $|3| = |-3| = 3$.
Cek opsi D: Pernyataan salah
$\begin{aligned} \dfrac{|-6| + 2|3|}{6} & = \dfrac{6+2(3)}{6} \\ & = \dfrac{12}{6} = 2 \end{aligned}$
Cek opsi E: Pernyataan salah
$\begin{aligned} |7^2 \times 2|-|-3^2| & = |98|-|-9| \\ & = 98-9 = 89. \end{aligned}$
(Jawaban C)

Perhatikan bahwa $2\pi -5$ bernilai positif sehingga tanda mutlak tidak mengubah bentuk.
$\begin{aligned} |2\pi-5|-\dfrac{\pi}{2} & = (2\pi -5)-\dfrac{\pi}{2} \\ & = \dfrac{4\pi -10-\pi}{2} \\ & = \dfrac{3\pi-10}{2} \end{aligned}$
Hasil dari $\boxed{|2\pi-5|-\dfrac{\pi}{2} = \dfrac{3\pi-10}{2}}$
(Jawaban E)

Perhatikan bahwa $2^{\pi} \approx 2^{3,14} \approx 8,\cdots$, sedangkan $\pi^2 \approx (3,14)^2 \approx 9,\cdots$ sehingga $2^{\pi} < \pi^2$. Dengan demikian, tanda mutlak mengubah bentuknya. Jadi, ditulis
$\boxed{|2^{\pi}-\pi^2| = -(2^{\pi}-\pi^2) = -2^{\pi}+\pi^2}$
(Jawaban B)

Karena $\sqrt5 > \sqrt3$, maka $\sqrt5-\sqrt3$ bernilai positif sehingga tanda mutlak tidak mengubah bentuknya. Jadi, ditulis $|\sqrt{5}-\sqrt3| = \sqrt5-\sqrt3.$
(Jawaban D)

Kisaran nilai $\pi$ adalah $\dfrac{22}{7}$. Karena itu, $\pi < \dfrac{23}{7}$ sehingga $\pi-\dfrac{23}{7}$ bernilai negatif. Berdasarkan definisi nilai mutlak, diperoleh
$\begin{aligned} \left|\pi-\dfrac{23}{7}\right| & = -\left(\pi-\dfrac{23}{7}\right) \\ & = -\pi+\dfrac{23}{7} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\left|\pi-\dfrac{23}{7}\right| = -\pi+\dfrac{23}{7}}$
(Jawaban B)

Karena $2 > \sqrt3 \approx 1,7$, maka $2-\sqrt3$ bernilai positif sehingga tanda mutlak tidak mengubah bentuk.
Dengan demikian,
$\boxed{\left|\dfrac{3}{2-\sqrt3}\right| = \dfrac{3}{2-\sqrt3}}$
(Jawaban B)

Berdasarkan definisi nilai mutlak, diperoleh
$\begin{aligned} & |2 \times 4-10|-|1-2\times 3| \times |1+2| \\ & = |8-10|-|1-6| \times |3| \\ & = |-2|-|-5| \times 3 \\ & = 2-5 \times 3 \\ & = 2-15 = -13 \end{aligned}$
(Jawaban B)

Berdasarkan definisi nilai mutlak, diperoleh
$\begin{aligned} & |5|-3\times \left|\dfrac{4}{-3}\right| + |-2|^2 \\ & = 5-\cancel{3} \times \dfrac{4}{\cancel{3}} + (2)^2 \\ & = 5-4+4 = 5 \end{aligned}$
(Jawaban C)

Perhatikan bahwa $|x^2| = |-x^2| = x^2$ untuk setiap nilai $x$.
Untuk itu, diperoleh
$\begin{aligned} & \color{blue}{|-a| \times |a|}-|-a|^2 \times (-2) \\ & = |a^2|+2|a|^2 \\ & = a^2+2a^2 = 3a^2 \end{aligned}$
(Jawaban D)

Substitusi $x = 20$ pada bentuk nilai mutlaknya.
$\begin{aligned} |10+\color{blue}{x}-\color{blue}{x}^2| & = |10+(20)-(20)^2| \\ & = |30-400| \\ & = 370 \end{aligned}$
(Jawaban A)

Diketahui $f(x)=|x-5|$ sehingga
$$\begin{aligned} & f(0)+f(5)-f(10)\times f(-2) \\ & = |0-5| + |5-5|-|10-5| \times |(-2)-5| \\ & = 5+0-5 \times 7 \\ &= 5-35=-30 \end{aligned}$$(Jawaban B)

Diketahui $f(x) = |2x-1|$ dan $g(x)=|5-x|$.
$\begin{aligned} f(3)-g(3) & = |2(3)-1|-|5-3| \\ & = |5|-|2| \\ & = 5-2 = 3 \end{aligned}$
(Jawaban C)

Diketahui $x > 10$.
Berdasarkan definisi nilai mutlak,
$$\begin{aligned} |x+4| & = \begin{cases} \color{red}{x+4},&\text{jika}~-x-4 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 4 \\ -x+4,&\text{jika}~x-4 < 0 \Leftrightarrow x < 4 \end{cases} \\ |5-2x| & = \begin{cases} 5-2x,&\text{jika}~5-2x \geq 0 \Leftrightarrow x \leq \frac52 \\ \color{red}{2x-5},&\text{jika}~5-2x< 0 \Leftrightarrow x > \frac52 \end{cases} \\ |x-2| & = \begin{cases} \color{red}{x-2},&\text{jika}~x-2 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 2 \\ -x+2,&\text{jika}~x-2<0 \Leftrightarrow x < 2 \end{cases} \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} & |x+4|+|5-2x|-|x-2| \\ & = (x+4)+(2x-5)-(x-2) \\ & = (x+2x-x)+(4-5+2) \\ & = 2x+1 \end{aligned}$
(Jawaban B)

Diketahui $2 < x < 4$ (nilai $x$ berada di antara $2$ dan $4$).
Berdasarkan definisi nilai mutlak, diperoleh
$$\begin{aligned} |3x-6| & = \begin{cases} \color{red}{3x-6},& \text{jika}~3x-6 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 2 \\ -3x+6,&\text{jika}~3x-6 < 0 \Leftrightarrow x < 2 \end{cases} \\ |x-4| & = \begin{cases} x-4,&\text{jika}~x-4 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 4 \\ \color{red}{-x+4},&\text{jika}~x-4< 0 \Leftrightarrow x < 4 \end{cases} \\ |x+1| & = \begin{cases} \color{red}{x+1},&\text{jika}~x+1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -1 \\ -x-1,&\text{jika}~x+1 < 0 \Leftrightarrow x < -1 \end{cases} \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} & |3x-6|-|x-4||x+1| \\ & = (3x-6)-(-x+4)(x+1) \\ & = (3x-6)-(-x^2-x+4x+4) \\ & = x^2-10 \end{aligned}$
Jadi, bentuk sederhana dari $|3x-6|-|x-4||x+1|$ untuk nilai $2 < x < 4$ adalah $\boxed{x^2-10}$
(Jawaban D)

Gunakan definisi nilai mutlak.

1. Untuk $x > \dfrac12$, diperoleh ekspresi $2x-1$ bernilai positif sehingga $|2x-1| = 2x-1.$
2. Untuk $x > \dfrac12$, diperoleh ekspresi $0,5-x$ bernilai negatif sehingga $|0,5-x| = -(0,5-x) = x-0,5.$
3. Untuk $x > \dfrac12$, diperoleh ekspresi $x+1$ bernilai positif sehingga $|x+1| = x+1.$

Dengan demikian, kita dapatkan
$\begin{aligned} & |2x-1|-4|0,5-x|+2|x+1| \\ & = (2x-1)-4(x-0,5)+2(x+1) \\ & = (2x-4x+2x)+(-1+2+2) \\ & = 3 \end{aligned}$
Jadi, bentuk sederhana dari $|2x-1|-4|0,5-x|+2|x+1|$ untuk $x>\dfrac12$ adalah $\boxed{3}$
(Jawaban A)

Cek Opsi A:
$|x+1|$ dapat bernilai $0$ bila diambil $x = -1$.
Cek Opsi B:
$|x-1|-1$ dapat bernilai $0$ bila diambil $x = 0$ atau $x = 2$.
Cek Opsi C:
$2|x-1|$ dapat bernilai $0$ bila diambil $x = 1$.
Cek Opsi D:
$-|x+1|+2$ dapat bernilai $0$ bila diambil $x = -3$ atau $x = 1$.
Cek Opsi E:
$|x+1|+2$ tidak mungkin bernilai $0$. Ini dikarenakan $|x+1|$ paling kecil bernilai $0$, yaitu ketika $x=-1$, dan bila ditambah dengan $2$, maka nilai terkecil yang mungkin adalah $0+2=2$.
(Jawaban E)

Bentuk $|a-b|$ menyatakan selisih antara $a$ dan $b$ sehingga nilai $|2-x|+|x-y|+|y-2.007|$ akan sekecil mungkin saat $2 \leq x, y \leq 2.007.$ Ketika dipilih $x$ dan $y$ dalam interval tersebut (misalnya $x = 2$ dan $y = 2.007$), maka diperoleh bahwa nilai terkecilnya adalah $\boxed{2.005}$
(Jawaban D)

Perhatikan bahwa $|A| = 100$ menunjukkan bahwa ada dua nilai $A$ yang mungkin, yaitu $A = 100$ atau $A = -100.$
Cek opsi A:
Untuk $A = 100,$ diperoleh
$$\begin{aligned} A-|A| & > 0 \\ 100-100 & > 0 \\ 0 & > 0 && (\text{salah}) \end{aligned}$$Karena diperoleh pernyataan yang salah di akhir, maka kita simpulkan bahwa pernyataan pada opsi A salah.
Cek opsi B:
Untuk $A = 100,$ diperoleh
$$\begin{aligned} |A|-A & <0 \\ 100-100 & < 0 \\ 0 & < 0 && (\text{salah}) \end{aligned}$$Karena diperoleh pernyataan yang salah di akhir, maka kita simpulkan bahwa pernyataan pada opsi B salah.
Cek opsi C:
Untuk $A = 100,$ diperoleh
$$\begin{aligned} |A| + \dfrac{1}{A} & > 0 \\ 100 + \dfrac{1}{100} & > 0 \\ 100\dfrac{1}{100} & > 0 && (\text{benar}) \end{aligned}$$Untuk $A = -100,$ diperoleh
$$\begin{aligned} |A| + \dfrac{1}{A} & > 0 \\ 100 + \dfrac{1}{-100} & > 0 \\ 99\dfrac{99}{100} & > 0 && (\text{benar}) \end{aligned}$$Untuk kedua kasus nilai $A$ menghasilkan pernyataan yang benar. Jadi, pernyataan pada opsi C benar.
Cek opsi D:
Untuk $A = 100,$ diperoleh
$$\begin{aligned} |A|+A & > 0 \\ 100 + 100 & > 0 \\ 200 & > 0 && (\text{benar}) \end{aligned}$$Untuk $A = -100,$ diperoleh
$$\begin{aligned} |A|+A & > 0 \\ 100-100 & > 0 \\ 0 & > 0 && (\text{benar}) \end{aligned}$$Karena diperoleh pernyataan yang salah di akhir, maka kita simpulkan bahwa pernyataan pada opsi D salah.
Cek opsi E:
Untuk $A = 100,$ diperoleh
$$\begin{aligned} |A|-(A + 0,1) & > 0 \\ 100-(100+0,1) & > 0 \\ -0,1 & > 0 && (\text{salah}) \end{aligned}$$Karena diperoleh pernyataan yang salah di akhir, maka kita simpulkan bahwa pernyataan pada opsi E salah.
(Jawaban C)

Jawaban a)
$$\begin{aligned} \color{blue}{|-2|}\color{red}{|-12|}-\color{blue}{|6|}\color{red}{|-3^2|} & = (2)(12)-(6)(9) \\ & = 24-54 = -30 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{|-2||-12|-|6||-3^2| = -30}$
Jawaban b)
$\begin{aligned} & \color{blue}{\left|\dfrac{5}{-2} \times 3\right|}\color{red}{|-24|}\left(-\left|\dfrac16\right|\right) \\ & = \left(\dfrac{15}{\cancel{2}}\right)(\cancelto{2}{24})\left(-\dfrac{1}{\cancel{6}}\right) \\ & = 15 \times 2 \times (-1) = -30 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\left|\dfrac{5}{-2} \times 3\right| |-24|\left(-\left|\dfrac16\right|\right)= -30}$

Diketahui $f(x) = |3x+9|$.
Dengan demikian,
$\begin{aligned} f(-4) & = |3(-4)+9| = |-3| = 3 \\ f(-1) & = |3(-1)+9| = |6| = 6 \\ f(3) & = |3(3)+9| = |18| = 18 \end{aligned}$
Untuk itu, kita peroleh
$$\begin{aligned} f(-4) \times f(-1) + \dfrac{f(3)}{-3} & = 3 \times 6 + \dfrac{18}{-3} \\ & = 18 + (-6) = 12 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{f(-4) \times f(-1) + \dfrac{f(3)}{-3} =12}$

Jawaban a)
Diketahui $f(x)=|10-2x|$ dan $g(x)=|2x+6|$.
Dengan demikian,
$$\begin{aligned} f(-4) & = |10-2(-4)| = |10 + 8| = 18 \\ g(-4) & = |2(-4)+6| = |-2| = 2 \\ f(10) & = |10-2(10)| = |-10| = 10 \end{aligned}$$Untuk itu, kita peroleh
$\begin{aligned} & f(-4) \times g(-4)-(f(10))^2 \\ & = 18 \times 2-(10)^2 \\ & = 36-100 = -64 \end{aligned}$
Jawaban b)
Diketahui $f(x)=|10-2x|$ dan $g(x)=|2x+6|$.
Dengan demikian,
$$\begin{aligned} g(10) & = |2(10)+6| = |26| = 26 \\ f(-5) & = |10-2(-5)| = |10+10| = 20 \\ f(-2) & = |10-2(-2)| = |10+4| = 14 \\ g(-2) & = |2(-2)+6| = |-4+6| = 2 \end{aligned}$$Untuk itu, kita peroleh
$\begin{aligned} & g(10)-f(-5)+f(-2)\times g(-2) \\ & = 26-20+14 \times 2 \\ & = 6 + 28 = 34 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $$\boxed{g(10)-f(-5)+f(-2)\times g(-2) = 34}$$

Jawaban a)
Diketahui $x < -2$.
Berdasarkan definisi nilai mutlak, diperoleh
$$\begin{aligned} |x-1| & = \begin{cases} x-1,&\text{jika}~x-1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 1 \\ \color{red}{-x+1},&\text{jika}~x-1<0 \Leftrightarrow x < 1 \end{cases} \\ |x+2| & = \begin{cases} x+2,&\text{jika}~x+2 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -2 \\ \color{red}{-x-2},&\text{jika}~x+2<0 \Leftrightarrow x < -2 \end{cases} \\ |9-3x| & = \begin{cases} \color{red}{9-3x},&\text{jika}~9-3x \geq 0 \Leftrightarrow x \leq 3 \\ -9+3x,&\text{jika}~9-3x < 0\Leftrightarrow x > 3 \end{cases} \end{aligned}$$Untuk itu, kita peroleh
$\begin{aligned} & |x-1|+|x+2|-|9-3x| \\ & = (-x+1)+(-x-2)-(9-3x) \\ & = (-x-x+3x)+(1-2-9) \\ & = x-10 \end{aligned}$
Jadi, bentuk sederhana dari $$\boxed{|x-1|+|x+2|-|9-3x| = x-10}$$Jawaban b)
Diketahui $-2 < x < 1$.
Berdasarkan definisi nilai mutlak, diperoleh
$$\begin{aligned} |x-1| & = \begin{cases} x-1,& \text{jika}~x-1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 1 \\ \color{red}{-x+1},& \text{jika}~x-1<0 \Leftrightarrow x < 1 \end{cases} \\ |x+2| & = \begin{cases} \color{red}{x+2},& \text{jika}~x+2 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -2 \\ -x-2,& \text{jika}~x+2<0 \Leftrightarrow x < -2 \end{cases} \\ |9-3x| & = \begin{cases} \color{red}{9-3x},& \text{jika}~9-3x \geq 0 \Leftrightarrow x \leq 3 \\ -9+3x,& \text{jika}~9-3x < 0\Leftrightarrow x > 3 \end{cases} \end{aligned}$$Untuk itu, kita peroleh
$\begin{aligned} & |x-1|+|x+2|-|9-3x| \\ & = (-x+1)+(x+2)-(9-3x) \\ & = (-x+x+3x)+(1+2-9) \\ & = 3x-6 \end{aligned}$
Jadi, bentuk sederhana dari $$\boxed{|x-1|+|x+2|-|9-3x| = 3x-6}$$Jawaban c)
Diketahui $1 < x < 3$.
Berdasarkan definisi nilai mutlak, diperoleh
$$\begin{aligned} |x-1| & = \begin{cases} \color{red}{x-1},& \text{jika}~x-1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 1 \\ -x+1,& \text{jika}~x-1<0 \Leftrightarrow x < 1 \end{cases} \\ |x+2| & = \begin{cases} \color{red}{x+2},& \text{jika}~x+2 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -2 \\ -x-2,& \text{jika}~x+2<0 \Leftrightarrow x < -2 \end{cases} \\ |9-3x| & = \begin{cases} \color{red}{9-3x},& \text{jika}~9-3x \geq 0 \Leftrightarrow x \leq 3 \\ -9+3x,& \text{jika}~9-3x < 0\Leftrightarrow x > 3 \end{cases} \end{aligned}$$Untuk itu, kita peroleh
$\begin{aligned} & |x-1|+|x+2|-|9-3x| \\ & = (x-1)+(x+2)-(9-3x) \\ & = (x+x+3x)+(-1+2-9) \\ & = 5x-8 \end{aligned}$
Jadi, bentuk sederhana dari $$\boxed{|x-1|+|x+2|-|9-3x| = 5x-8}$$Jawaban d)
Diketahui $x > 3$.
Berdasarkan definisi nilai mutlak, diperoleh
$$\begin{aligned} |x-1| & = \begin{cases} \color{red}{x-1},& \text{jika}~x-1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 1 \\ -x+1,& \text{jika}~x-1<0 \Leftrightarrow x < 1 \end{cases} \\ |x+2| & = \begin{cases} \color{red}{x+2},& \text{jika}~x+2 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -2 \\ -x-2,& \text{jika}~x+2<0 \Leftrightarrow x < -2 \end{cases} \\ |9-3x| & = \begin{cases} 9-3x,& \text{jika}~9-3x \geq 0 \Leftrightarrow x \leq 3 \\ \color{red}{-9+3x},& \text{jika}~9-3x < 0\Leftrightarrow x > 3 \end{cases} \end{aligned}$$Untuk itu, kita peroleh
$\begin{aligned} & |x-1|+|x+2|-|9-3x| \\ & = (x-1)+(x+2)-(-9+3x) \\ & = (x+x-3x)+(-1+2+9) \\ & = -x+10 \end{aligned}$
Jadi, bentuk sederhana dari $$\boxed{|x-1|+|x+2|-|9-3x| = -x+10}$$