Soal dan Pembahasan – Perhitungan Nilai Mutlak

Nilai mutlak adalah tanda yang digunakan untuk membuat suatu bilangan menjadi bernilai non-negatif. Arti dari non-negatif (tidak negatif) adalah nol atau positif. Notasi yang digunakan adalah garis tegak berpasangan | |. Secara matematis, nilai mutlak dari bilangan real $x$ didefinisikan sebagai berikut.
$|x| = \begin{cases} x,&\text{jika}~x \geq 0 \\ -x,&\text{jika}~x < 0 \end{cases}$

Baca: Soal dan Pembahasan – Persamaan Nilai Mutlak

Baca: Soal dan Pembahasan – Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Untuk memperkuat pemahaman mengenai dasar perhitungan nilai mutlak, berikut disajikan soal dan pembahasannya. Soal dikutip dari berbagai sumber (referensi). Soal juga dapat diunduh dalam format PDF melalui tautan berikut: Download (PDF, 153 KB).

Quote by B.J. Habibie

Tanpa cinta, kecerdasan itu berbahaya. Tanpa kecerdasan, cinta itu tak cukup.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1

Hasil dari $|12|-|-3| = \cdots \cdot$
A. $15$                    C. $9$                    E. $3$
B. $12$                    D. $6$

Pembahasan

Berdasarkan definisi nilai mutlak, diperoleh $\color{red}{|12|}-\color{red}{|-3|} = 12-3 = 9.$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 2

Hasil dari $\left|\dfrac{-24}{36}\right| \times |-6| = \cdots \cdot$
A. $-4$                   C. $2$                     E. $6$
B. $-2$                   D. $4$

Pembahasan

Berdasarkan definisi nilai mutlak, diperoleh
$\begin{aligned} \color{red}{\left|\dfrac{-24}{36}\right|} \times \color{red}{|-6|} & = \dfrac{24}{\cancelto{6}{36}} \times \cancel{6} \\ & = \dfrac{24}{6} = 4 \end{aligned}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 3

Hasil dari $-|-(-5)| = \cdots \cdot$
A. $-5$                  C. $5^{-1}$                     E. $5^2$
B. $5$                      D. $-5^{-1}$

Pembahasan

Berdasarkan definisi nilai mutlak, diperoleh
$-|\color{red}{-(-5)}| = -|\color{red}{5}| = -5$
Jadi, nilai dari $\boxed{-|-(-5)| = -5}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 4

Nilai dari $|-4|-|-6^2 \times 2| = \cdots \cdot$
A. $-68$                    C. $40$                  E. $76$
B. $-40$                   D. $68$

Pembahasan

Berdasarkan definisi nilai mutlak, diperoleh
$\begin{aligned} |-4|-|-6^2 \times 2| & = |-4|-|-72| \\ & = 4-72 = -68 \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\boxed{|-4|-|-6^2 \times 2| = -68}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 5

Di antara pernyataan-pernyataan berikut yang benar adalah $\cdots \cdot$

  1. $|x| + |-x| = 0$
  2. tanda nilai mutlak hanya berlaku untuk bilangan positif
  3. $|x| = 3$ hanya dipenuhi oleh $-3$ atau $3$
  4. $\dfrac{|-6| + 2|3|}{6} = 0$
  5. $|7^2 \times 2|-|-3^2|=107$

Pembahasan

Analisis setiap opsi yang tersedia.
Cek opsi A: Pernyataan salah
Untuk setiap $x \in \mathbb{R}$,
$$|x| + |-x| = |x| + |x| = \begin{cases} 2x,& \text{jika}~x \geq 0 \\ -2x, &\text{jika}~x < 0 \end{cases}$$Cek opsi B: Pernyataan salah
Berdasarkan definisi nilai mutlak, tanda mutlak juga berlaku untuk bilangan negatif dan nol, misalnya $|-3| = 3$.
Cek opsi C: Pernyataan benar
Substitusi $x = 3$ atau $x = -3$ mengakibatkan pernyataan menjadi benar, yaitu $|3| = |-3| = 3$.
Cek opsi D: Pernyataan salah
$\begin{aligned} \dfrac{|-6| + 2|3|}{6} & = \dfrac{6+2(3)}{6} \\ & = \dfrac{12}{6} = 2 \end{aligned}$
Cek opsi E: Pernyataan salah
$\begin{aligned} |7^2 \times 2|-|-3^2| & = |98|-|-9| \\ & = 98-9 = 89. \end{aligned}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 6

Hasil dari $|2\pi-5|-\dfrac{\pi}{2} = \cdots \cdot$
A. $\dfrac{3\pi -10}{5}$                     D. $\dfrac{10-3\pi}{2}$
B. $\dfrac{5+3\pi}{2}$                       E. $\dfrac{3\pi-10}{2}$
C. $\dfrac{5-3\pi}{2}$

Pembahasan

Perhatikan bahwa $2\pi -5$ bernilai positif sehingga tanda mutlak tidak mengubah bentuk.
$\begin{aligned} |2\pi-5|-\dfrac{\pi}{2} & = (2\pi -5)-\dfrac{\pi}{2} \\ & = \dfrac{4\pi -10-\pi}{2} \\ & = \dfrac{3\pi-10}{2} \end{aligned}$
Hasil dari $\boxed{|2\pi-5|-\dfrac{\pi}{2} = \dfrac{3\pi-10}{2}}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 7

Hasil dari $|2^{\pi}-\pi^2| = \cdots \cdot$
A. $2^{\pi + 1}-\pi$                         D. $\pi^2-2\pi$
B. $-2^{\pi}+\pi^2$                        E. $2^{\pi}+\pi^2$
C. $2^{\pi}+\pi$

Pembahasan

Perhatikan bahwa $2^{\pi} \approx 2^{3,14} \approx 8,\cdots$, sedangkan $\pi^2 \approx (3,14)^2 \approx 9,\cdots$ sehingga $2^{\pi} < \pi^2$. Dengan demikian, tanda mutlak mengubah bentuknya. Jadi, ditulis
$\boxed{|2^{\pi}-\pi^2| = -(2^{\pi}-\pi^2) = -2^{\pi}+\pi^2}$
(Jawaban B)

[collapse]

Baca Juga: Materi, Soal, dan Pembahasan – Fungsi Sepenggal 

Soal Nomor 8

Nilai dari $|\sqrt{5}-\sqrt3| = \cdots \cdot$
A. $\sqrt5 + \sqrt3$                      D. $\sqrt5-\sqrt3$
B. $2\sqrt3-\sqrt5$                    E. $\sqrt3-\sqrt5$
C. $2\sqrt5-\sqrt3$

Pembahasan

Karena $\sqrt5 > \sqrt3$, maka $\sqrt5-\sqrt3$ bernilai positif sehingga tanda mutlak tidak mengubah bentuknya. Jadi, ditulis $|\sqrt{5}-\sqrt3| = \sqrt5-\sqrt3.$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 9

Hasil dari $\left|\pi-\dfrac{23}{7}\right| = \cdots \cdot$
A. $\pi-\dfrac{23}{7}$                       D. $2\pi-\dfrac{23}{7}$
B. $-\pi+\dfrac{23}{7}$                   E. $\pi-\dfrac{46}{7}$
C. $\pi+\dfrac{23}{7}$

Pembahasan

Kisaran nilai $\pi$ adalah $\dfrac{22}{7}$. Karena itu, $\pi < \dfrac{23}{7}$ sehingga $\pi-\dfrac{23}{7}$ bernilai negatif. Berdasarkan definisi nilai mutlak, diperoleh
$\begin{aligned} \left|\pi-\dfrac{23}{7}\right| & = -\left(\pi-\dfrac{23}{7}\right) \\ & = -\pi+\dfrac{23}{7} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\left|\pi-\dfrac{23}{7}\right| = -\pi+\dfrac{23}{7}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 10

Hasil dari $\left|\dfrac{3}{2-\sqrt3}\right|$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{3}{2+\sqrt3}$                     D. $\dfrac{2+\sqrt3}{3}$
B. $\dfrac{3}{2-\sqrt3}$                     E. $\dfrac{3}{-2-\sqrt3}$
C. $\dfrac{3}{\sqrt3-2}$

Pembahasan

Karena $2 > \sqrt3 \approx 1,7$, maka $2-\sqrt3$ bernilai positif sehingga tanda mutlak tidak mengubah bentuk.
Dengan demikian,
$\boxed{\left|\dfrac{3}{2-\sqrt3}\right| = \dfrac{3}{2-\sqrt3}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 11

Hasil dari $|2 \times 4-10|-|1-2\times 3|$ $\times |1+2| = \cdots \cdot$
A. $-17$                   C. $7$                      E. $17$
B. $-13$                   D. $15$

Pembahasan

Berdasarkan definisi nilai mutlak, diperoleh
$\begin{aligned} & |2 \times 4-10|-|1-2\times 3| \times |1+2| \\ & = |8-10|-|1-6| \times |3| \\ & = |-2|-|-5| \times 3 \\ & = 2-5 \times 3 \\ & = 2-15 = -13 \end{aligned}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 12

Hasil dari $|5|-3\times \left|\dfrac{4}{-3}\right| + |-2|^2 = \cdots \cdot$
A. $13$                    C. $5$                       E. $1$
B. $9$                      D. $3$

Pembahasan

Berdasarkan definisi nilai mutlak, diperoleh
$\begin{aligned} & |5|-3\times \left|\dfrac{4}{-3}\right| + |-2|^2 \\ & = 5-\cancel{3} \times \dfrac{4}{\cancel{3}} + (2)^2 \\ & = 5-4+4 = 5 \end{aligned}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 13

Hasil dari $|-a| \times |a|-|-a|^2 \times (-2)$ $= \cdots \cdot$
A. $-3a^2$                     D. $3a^2$
B. $-a^2$                       E. $a^2+2a$
C. $a^2$

Pembahasan

Perhatikan bahwa $|x^2| = |-x^2| = x^2$ untuk setiap nilai $x$.
Untuk itu, diperoleh
$\begin{aligned} & \color{blue}{|-a| \times |a|}-|-a|^2 \times (-2) \\ & = |a^2|+2|a|^2 \\ & = a^2+2a^2 = 3a^2 \end{aligned}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 14

Nilai dari $|10+x-x^2|$ untuk $x=20$ adalah $\cdots \cdot$
A. $370$                     D. $410$
B. $380$                     E. $430$
C. $390$

Pembahasan

Substitusi $x = 20$ pada bentuk nilai mutlaknya.
$\begin{aligned} |10+\color{blue}{x}-\color{blue}{x}^2| & = |10+(20)-(20)^2| \\ & = |30-400| \\ & = 370 \end{aligned}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 15

Diketahui $f(x)=|x-5|$.
Nilai $f(0)+f(5)-$ $f(10)\times f(-2) = \cdots \cdot$
A. $-35$                  C. $30$                    E. $45$
B. $-30$                  D. $40$

Pembahasan

Diketahui $f(x)=|x-5|$ sehingga
$$\begin{aligned} & f(0)+f(5)-f(10)\times f(-2) \\ & = |0-5| + |5-5|-|10-5| \times |(-2)-5| \\ & = 5+0-5 \times 7 \\ &= 5-35=-30 \end{aligned}$$(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 16

Diketahui $f(x) = |2x-1|$ dan $g(x)=|5-x|$. Nilai $f(3)-g(3) = \cdots \cdot$
A. $7$                  C. $3$                 E. $1$
B. $5$                  D. $2$            

Pembahasan

Diketahui $f(x) = |2x-1|$ dan $g(x)=|5-x|$.
$\begin{aligned} f(3)-g(3) & = |2(3)-1|-|5-3| \\ & = |5|-|2| \\ & = 5-2 = 3 \end{aligned}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 17

Bentuk sederhana dari $|x+4|+|5-2x|-|x-2|$ untuk nilai $x>10$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2x+11$                 D. $-2x+11$
B. $2x+1$                   E. $-3x+11$
C. $2x-1$

Pembahasan

Diketahui $x > 10$.
Berdasarkan definisi nilai mutlak,
$$\begin{aligned} |x+4| & = \begin{cases} \color{red}{x+4},&\text{jika}~-x-4 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 4 \\ -x+4,&\text{jika}~x-4 < 0 \Leftrightarrow x < 4 \end{cases} \\ |5-2x| & = \begin{cases} 5-2x,&\text{jika}~5-2x \geq 0 \Leftrightarrow x \leq \frac52 \\ \color{red}{2x-5},&\text{jika}~5-2x< 0 \Leftrightarrow x > \frac52 \end{cases} \\ |x-2| & = \begin{cases} \color{red}{x-2},&\text{jika}~x-2 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 2 \\ -x+2,&\text{jika}~x-2<0 \Leftrightarrow x < 2 \end{cases} \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} & |x+4|+|5-2x|-|x-2| \\ & = (x+4)+(2x-5)-(x-2) \\ & = (x+2x-x)+(4-5+2) \\ & = 2x+1 \end{aligned}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 18

Bentuk sederhana dari $|3x-6|-|x-4||x+1|$ untuk nilai $2 < x < 4$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x^2-6x-2$
B. $x^2-6x+2$
C. $x^2-6x+10$
D. $x^2-10$
E. $x^2+2$

Pembahasan

Diketahui $2 < x < 4$ (nilai $x$ berada di antara $2$ dan $4$).
Berdasarkan definisi nilai mutlak, diperoleh
$$\begin{aligned} |3x-6| & = \begin{cases} \color{red}{3x-6},& \text{jika}~3x-6 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 2 \\ -3x+6,&\text{jika}~3x-6 < 0 \Leftrightarrow x < 2 \end{cases} \\ |x-4| & = \begin{cases} x-4,&\text{jika}~x-4 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 4 \\ \color{red}{-x+4},&\text{jika}~x-4< 0 \Leftrightarrow x < 4 \end{cases} \\ |x+1| & = \begin{cases} \color{red}{x+1},&\text{jika}~x+1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -1 \\ -x-1,&\text{jika}~x+1 < 0 \Leftrightarrow x < -1 \end{cases} \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} & |3x-6|-|x-4||x+1| \\ & = (3x-6)-(-x+4)(x+1) \\ & = (3x-6)-(-x^2-x+4x+4) \\ & = x^2-10 \end{aligned}$
Jadi, bentuk sederhana dari $|3x-6|-|x-4||x+1|$ untuk nilai $2 < x < 4$ adalah $\boxed{x^2-10}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 19

Bentuk sederhana dari $|2x-1|-4|0,5-x|+2|x+1|$ untuk $x>\dfrac12$ adalah $\cdots \cdot$
A. $3$                            D. $4x+1$
B. $2$                            E. $8x-1$
C. $4x-1$

Pembahasan

Gunakan definisi nilai mutlak.

  1. Untuk $x > \dfrac12$, diperoleh ekspresi $2x-1$ bernilai positif sehingga $|2x-1| = 2x-1.$
  2. Untuk $x > \dfrac12$, diperoleh ekspresi $0,5-x$ bernilai negatif sehingga $|0,5-x| = -(0,5-x) = x-0,5.$
  3. Untuk $x > \dfrac12$, diperoleh ekspresi $x+1$ bernilai positif sehingga $|x+1| = x+1.$

Dengan demikian, kita dapatkan
$\begin{aligned} & |2x-1|-4|0,5-x|+2|x+1| \\ & = (2x-1)-4(x-0,5)+2(x+1) \\ & = (2x-4x+2x)+(-1+2+2) \\ & = 3 \end{aligned}$
Jadi, bentuk sederhana dari $|2x-1|-4|0,5-x|+2|x+1|$ untuk $x>\dfrac12$ adalah $\boxed{3}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 20

Manakah dari ekspresi berikut yang tidak mungkin bernilai $0$?
A. $|x+1|$
B. $|x-1|-1$
C. $2|x-1|$
D. $-|x+1|+2$
E. $|x+1|+2$

Pembahasan

Cek Opsi A:
$|x+1|$ dapat bernilai $0$ bila diambil $x = -1$.
Cek Opsi B:
$|x-1|-1$ dapat bernilai $0$ bila diambil $x = 0$ atau $x = 2$.
Cek Opsi C:
$2|x-1|$ dapat bernilai $0$ bila diambil $x = 1$.
Cek Opsi D:
$-|x+1|+2$ dapat bernilai $0$ bila diambil $x = -3$ atau $x = 1$.
Cek Opsi E:
$|x+1|+2$ tidak mungkin bernilai $0$. Ini dikarenakan $|x+1|$ paling kecil bernilai $0$, yaitu ketika $x=-1$, dan bila ditambah dengan $2$, maka nilai terkecil yang mungkin adalah $0+2=2$.
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 21

Nilai terkecil yang mungkin dari ekspresi $|2-x|+|x-y|+|y-2.007|$ adalah $\cdots \cdot$
A. $985$                        D. $2.005$
B. $1.003$                      E. $2.009$
C. $1.004$ 

Pembahasan

Bentuk $|a-b|$ menyatakan selisih antara $a$ dan $b$ sehingga nilai $|2-x|+|x-y|+|y-2.007|$ akan sekecil mungkin saat $2 \leq x, y \leq 2.007.$ Ketika dipilih $x$ dan $y$ dalam interval tersebut (misalnya $x = 2$ dan $y = 2.007$), maka diperoleh bahwa nilai terkecilnya adalah $\boxed{2.005}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 22

Jika $|A| = 100,$ maka pernyataan berikut yang benar adalah $\cdots \cdot$
A. $A-|A| > 0$
B. $|A|-A<0$
C. $|A| + \dfrac{1}{A} > 0$
D. $|A|+A > 0$
E. $|A|-(A + 0,1) > 0$

Pembahasan

Perhatikan bahwa $|A| = 100$ menunjukkan bahwa ada dua nilai $A$ yang mungkin, yaitu $A = 100$ atau $A = -100.$
Cek opsi A:
Untuk $A = 100,$ diperoleh
$$\begin{aligned} A-|A| & > 0 \\ 100-100 & > 0 \\ 0 & > 0 && (\text{salah}) \end{aligned}$$Karena diperoleh pernyataan yang salah di akhir, maka kita simpulkan bahwa pernyataan pada opsi A salah.
Cek opsi B:
Untuk $A = 100,$ diperoleh
$$\begin{aligned} |A|-A & <0 \\ 100-100 & < 0 \\ 0 & < 0 && (\text{salah}) \end{aligned}$$Karena diperoleh pernyataan yang salah di akhir, maka kita simpulkan bahwa pernyataan pada opsi B salah.
Cek opsi C:
Untuk $A = 100,$ diperoleh
$$\begin{aligned} |A| + \dfrac{1}{A} & > 0 \\ 100 + \dfrac{1}{100} & > 0 \\ 100\dfrac{1}{100} & > 0 && (\text{benar}) \end{aligned}$$Untuk $A = -100,$ diperoleh
$$\begin{aligned} |A| + \dfrac{1}{A} & > 0 \\ 100 + \dfrac{1}{-100} & > 0 \\ 99\dfrac{99}{100} & > 0 && (\text{benar}) \end{aligned}$$Untuk kedua kasus nilai $A$ menghasilkan pernyataan yang benar. Jadi, pernyataan pada opsi C benar.
Cek opsi D:
Untuk $A = 100,$ diperoleh
$$\begin{aligned} |A|+A & > 0 \\ 100 + 100 & > 0 \\ 200 & > 0 && (\text{benar}) \end{aligned}$$Untuk $A = -100,$ diperoleh
$$\begin{aligned} |A|+A & > 0 \\ 100-100 & > 0 \\ 0 & > 0 && (\text{benar}) \end{aligned}$$Karena diperoleh pernyataan yang salah di akhir, maka kita simpulkan bahwa pernyataan pada opsi D salah.
Cek opsi E:
Untuk $A = 100,$ diperoleh
$$\begin{aligned} |A|-(A + 0,1) & > 0 \\ 100-(100+0,1) & > 0 \\ -0,1 & > 0 && (\text{salah}) \end{aligned}$$Karena diperoleh pernyataan yang salah di akhir, maka kita simpulkan bahwa pernyataan pada opsi E salah.
(Jawaban C)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 1

Tentukan hasil pengerjaan berikut.
a. $|-2||-12|-|6||-3^2|$
b. $\left|\dfrac{5}{-2} \times 3\right| |-24|\left(-\left|\dfrac16\right|\right)$

Pembahasan

Jawaban a)
$$\begin{aligned} \color{blue}{|-2|}\color{red}{|-12|}-\color{blue}{|6|}\color{red}{|-3^2|} & = (2)(12)-(6)(9) \\ & = 24-54 = -30 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{|-2||-12|-|6||-3^2| = -30}$
Jawaban b)
$\begin{aligned} & \color{blue}{\left|\dfrac{5}{-2} \times 3\right|}\color{red}{|-24|}\left(-\left|\dfrac16\right|\right) \\ & = \left(\dfrac{15}{\cancel{2}}\right)(\cancelto{2}{24})\left(-\dfrac{1}{\cancel{6}}\right) \\ & = 15 \times 2 \times (-1) = -30 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\left|\dfrac{5}{-2} \times 3\right| |-24|\left(-\left|\dfrac16\right|\right)= -30}$

[collapse]

Soal Nomor 2

Diketahui $f(x) = |3x + 9|$.
Tentukan nilai $f(-4) \times f(-1) + \dfrac{f(3)}{-3}.$

Pembahasan

Diketahui $f(x) = |3x+9|$.
Dengan demikian,
$\begin{aligned} f(-4) & = |3(-4)+9| = |-3| = 3 \\ f(-1) & = |3(-1)+9| = |6| = 6 \\ f(3) & = |3(3)+9| = |18| = 18 \end{aligned}$
Untuk itu, kita peroleh
$$\begin{aligned} f(-4) \times f(-1) + \dfrac{f(3)}{-3} & = 3 \times 6 + \dfrac{18}{-3} \\ & = 18 + (-6) = 12 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{f(-4) \times f(-1) + \dfrac{f(3)}{-3} =12}$

[collapse]

Soal Nomor 3

Diketahui $f(x)=|10-2x|$ dan $g(x)=|2x+6|$. Tentukan nilai:
a. $f(-4) \times g(-4)-(f(10))^2$;
b. $g(10)-f(-5)+f(-2)\times g(-2)$.

Pembahasan

Jawaban a)
Diketahui $f(x)=|10-2x|$ dan $g(x)=|2x+6|$.
Dengan demikian,
$$\begin{aligned} f(-4) & = |10-2(-4)| = |10 + 8| = 18 \\ g(-4) & = |2(-4)+6| = |-2| = 2 \\ f(10) & = |10-2(10)| = |-10| = 10 \end{aligned}$$Untuk itu, kita peroleh
$\begin{aligned} & f(-4) \times g(-4)-(f(10))^2 \\ & = 18 \times 2-(10)^2 \\ & = 36-100 = -64 \end{aligned}$
Jawaban b)
Diketahui $f(x)=|10-2x|$ dan $g(x)=|2x+6|$.
Dengan demikian,
$$\begin{aligned} g(10) & = |2(10)+6| = |26| = 26 \\ f(-5) & = |10-2(-5)| = |10+10| = 20 \\ f(-2) & = |10-2(-2)| = |10+4| = 14 \\ g(-2) & = |2(-2)+6| = |-4+6| = 2 \end{aligned}$$Untuk itu, kita peroleh
$\begin{aligned} & g(10)-f(-5)+f(-2)\times g(-2) \\ & = 26-20+14 \times 2 \\ & = 6 + 28 = 34 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $$\boxed{g(10)-f(-5)+f(-2)\times g(-2) = 34}$$

[collapse]

Soal Nomor 4

Tentukan bentuk sederhana dari $|x-1|+|x+2|-|9-3x|$ untuk nilai $x$ berikut.
a. $x < -2$
b. $-2<x<1$
c. $1<x<3$
d. $x>3$

Pembahasan

Jawaban a)
Diketahui $x < -2$.
Berdasarkan definisi nilai mutlak, diperoleh
$$\begin{aligned} |x-1| & = \begin{cases} x-1,&\text{jika}~x-1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 1 \\ \color{red}{-x+1},&\text{jika}~x-1<0 \Leftrightarrow x < 1 \end{cases} \\ |x+2| & = \begin{cases} x+2,&\text{jika}~x+2 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -2 \\ \color{red}{-x-2},&\text{jika}~x+2<0 \Leftrightarrow x < -2 \end{cases} \\ |9-3x| & = \begin{cases} \color{red}{9-3x},&\text{jika}~9-3x \geq 0 \Leftrightarrow x \leq 3 \\ -9+3x,&\text{jika}~9-3x < 0\Leftrightarrow x > 3 \end{cases} \end{aligned}$$Untuk itu, kita peroleh
$\begin{aligned} & |x-1|+|x+2|-|9-3x| \\ & = (-x+1)+(-x-2)-(9-3x) \\ & = (-x-x+3x)+(1-2-9) \\ & = x-10 \end{aligned}$
Jadi, bentuk sederhana dari $$\boxed{|x-1|+|x+2|-|9-3x| = x-10}$$Jawaban b)
Diketahui $-2 < x < 1$.
Berdasarkan definisi nilai mutlak, diperoleh
$$\begin{aligned} |x-1| & = \begin{cases} x-1,& \text{jika}~x-1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 1 \\ \color{red}{-x+1},& \text{jika}~x-1<0 \Leftrightarrow x < 1 \end{cases} \\ |x+2| & = \begin{cases} \color{red}{x+2},& \text{jika}~x+2 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -2 \\ -x-2,& \text{jika}~x+2<0 \Leftrightarrow x < -2 \end{cases} \\ |9-3x| & = \begin{cases} \color{red}{9-3x},& \text{jika}~9-3x \geq 0 \Leftrightarrow x \leq 3 \\ -9+3x,& \text{jika}~9-3x < 0\Leftrightarrow x > 3 \end{cases} \end{aligned}$$Untuk itu, kita peroleh
$\begin{aligned} & |x-1|+|x+2|-|9-3x| \\ & = (-x+1)+(x+2)-(9-3x) \\ & = (-x+x+3x)+(1+2-9) \\ & = 3x-6 \end{aligned}$
Jadi, bentuk sederhana dari $$\boxed{|x-1|+|x+2|-|9-3x| = 3x-6}$$Jawaban c)
Diketahui $1 < x < 3$.
Berdasarkan definisi nilai mutlak, diperoleh
$$\begin{aligned} |x-1| & = \begin{cases} \color{red}{x-1},& \text{jika}~x-1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 1 \\ -x+1,& \text{jika}~x-1<0 \Leftrightarrow x < 1 \end{cases} \\ |x+2| & = \begin{cases} \color{red}{x+2},& \text{jika}~x+2 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -2 \\ -x-2,& \text{jika}~x+2<0 \Leftrightarrow x < -2 \end{cases} \\ |9-3x| & = \begin{cases} \color{red}{9-3x},& \text{jika}~9-3x \geq 0 \Leftrightarrow x \leq 3 \\ -9+3x,& \text{jika}~9-3x < 0\Leftrightarrow x > 3 \end{cases} \end{aligned}$$Untuk itu, kita peroleh
$\begin{aligned} & |x-1|+|x+2|-|9-3x| \\ & = (x-1)+(x+2)-(9-3x) \\ & = (x+x+3x)+(-1+2-9) \\ & = 5x-8 \end{aligned}$
Jadi, bentuk sederhana dari $$\boxed{|x-1|+|x+2|-|9-3x| = 5x-8}$$Jawaban d)
Diketahui $x > 3$.
Berdasarkan definisi nilai mutlak, diperoleh
$$\begin{aligned} |x-1| & = \begin{cases} \color{red}{x-1},& \text{jika}~x-1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 1 \\ -x+1,& \text{jika}~x-1<0 \Leftrightarrow x < 1 \end{cases} \\ |x+2| & = \begin{cases} \color{red}{x+2},& \text{jika}~x+2 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -2 \\ -x-2,& \text{jika}~x+2<0 \Leftrightarrow x < -2 \end{cases} \\ |9-3x| & = \begin{cases} 9-3x,& \text{jika}~9-3x \geq 0 \Leftrightarrow x \leq 3 \\ \color{red}{-9+3x},& \text{jika}~9-3x < 0\Leftrightarrow x > 3 \end{cases} \end{aligned}$$Untuk itu, kita peroleh
$\begin{aligned} & |x-1|+|x+2|-|9-3x| \\ & = (x-1)+(x+2)-(-9+3x) \\ & = (x+x-3x)+(-1+2+9) \\ & = -x+10 \end{aligned}$
Jadi, bentuk sederhana dari $$\boxed{|x-1|+|x+2|-|9-3x| = -x+10}$$

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan – Soal Cerita (Aplikasi) Nilai Mutlak