Soal dan Pembahasan – Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Diketahui $|x-1| < 2$.
Dengan menggunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak, diperoleh
$\begin{array}{rcccl} & ~ & |x-1| & < & 2 \\ -2 & < & x-1 & < & 2 \\ -2+1 & < & x & < & 2+1 \\ -1 & < & x & < & 3 \end{array}$
Jadi, nilai-nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan tersebut adalah $\boxed{-1 < x < 3}$
(Jawaban E)

Diketahui $|2x+5| \leq 6$.
Dengan menggunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak, diperoleh
$\begin{array}{rcccl} & ~ & |2x+5| & < & 6 \\ -6 & < & 2x+5 & < & 6 \\ -6-5 & < & 2x & < & 6-5 \\ -11 & < & 2x & < & 1 \\ -\dfrac{11}{2} & < & x & < & \dfrac12 \end{array}$
Jadi, HP dari pertidaksamaan tersebut adalah $\boxed{\left\{-\dfrac{11}{2} \leq x \leq \dfrac12\right\}}$
(Jawaban A)

Hindari bentuk pecahan pada pertidaksamaan di atas dengan mengalikan $4$ pada kedua ruasnya.
$\begin{aligned} \color{red}{4}\left|\dfrac{x}{4}+6\right| & \leq \color{red}{4}(0,5) \\ |x + 24| & \leq 2 \end{aligned}$
Dengan menggunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak, diperoleh
$\begin{array}{rcccl} & ~ & |x+24| & \leq & 2 \\ -2 & \leq & x+24 & \leq & 2 \\ -2-24 & \leq & x & \leq & 2-24 \\ -26 & \leq & x & \leq & -22 \end{array}$
Jadi, HP pertidaksamaan tersebut adalah $\boxed{\{x \mid -26 \leq x \leq -22\}}$
(Jawaban D)

Perhatikan bahwa nilai mutlak setiap bilangan tidak mungkin bernilai negatif, melainkan $0$ atau positif.
Pertidaksamaan $|2-x| > 0$ terpenuhi untuk setiap $x$ kecuali pembuat nol dari ruas kiri.
$|2-x| = 0 \Rightarrow 2-x = 0 \Leftrightarrow x = 2$
Jadi, HP pertidaksamaan tersebut adalah $\boxed{\{x \mid x \neq 2\}}$
(Jawaban A)

Diketahui $|3-5x| > 1$.
Dengan menggunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak, diperoleh
$\begin{aligned} 3-5x & < -1 \\ -5x & < -4 \\ x & > \dfrac45 \end{aligned}$
atau
$\begin{aligned} 3-5x & > 1 \\ -5x & > -2 \\ x & < \dfrac25 \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan itu adalah $x<\dfrac25$ atau $x>\dfrac45$.
(Jawaban A)

Diketahui $|2x-3| < 1$ dan $2x<3$.
Dengan menggunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak, diperoleh
$\begin{array}{rcccl} & ~ & |2x-3| & < & 1 \\ -1 & < & 2x-3 & < & 1 \\ -1+3 & < & 2x & < & 1+3 \\ 2 & < & 2x & < & 4 \\ 1 & < & x & < & 2 \end{array}$
Iriskan dengan $2x < 3 \Leftrightarrow x < \dfrac32$ sehingga dengan menggunakan bantuan garis bilangan berikut, diperoleh penyelesaian pertidaksamaannya adalah $\boxed{1 < x < \dfrac32}$

(Jawaban B)

Diketahui $|-x^2+2x-2|<2$.
Dengan menggunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak, diperoleh
$\begin{array}{rcccl} & ~ & |-x^2+2x-2| & < & 2 \\ -2 & < & -x^2+2x-2 & < & 2 \end{array}$
Pertidaksamaan terakhir ekuivalen dengan $-x^2+2x-2 > -2$ dan $-x^2+2x-2 < 2$.
Tinjau Kasus 1: $-x^2+2x-2 > -2$
Selesaikan pertidaksamaan.
$\begin{aligned} -x^2+2x-2 & > -2 \\ -x^2+2x & > 0 \\ x^2-2x & < 0 \\ x(x-2) & < 0 \end{aligned}$
Pembuat nol: $x = 0$ atau $x = 2$.
Penyelesaiannya adalah
$\boxed{\text{HP}_1 = \{x~|~0 < x < 2\}}$
Tinjau Kasus 2: $-x^2+2x-2 < 2$
Selesaikan pertidaksamaan.
$\begin{aligned} -x^2+2x-4& > 0 \\ x^2-2x+4 & < 0 \\ \color{red}{(x-1)^2-1}+4 & > 0 \\ (x-1)^2 & > -3 \end{aligned}$
Bilangan kuadrat memiliki nilai terkecil $0$ sehingga pertidaksamaan di atas terpenuhi untuk setiap nilai $x$.
$\boxed{\text{HP}_2 = \{x~|~x \in \mathbb{R}\}}$
Irisan dari kedua himpunan penyelesaian tersebut dinyatakan oleh
$\begin{aligned} \text{HP} & = \text{HP}_1 \cap \text{HP}_2 \\ & = \{x \mid 0 < x < 2\}. \end{aligned}$
(Jawaban D)

Diketahui $|x^2-x-2|<4$.
Pertidaksamaan di atas ekuivalen dengan $-4 < x^2-x-2 < 4$. Dengan kata lain, $x^2-x-2 > -4$ dan $x^2-x-2 < 4$.
Tinjau Kasus 1: $x^2-x-2 > -4$
Selesaikan pertidaksamaan.
$\begin{aligned} x^2-x-2 & > -4 \\ x^2-x+2 & > 0 \\ \color{red}{\left(x-\dfrac12\right)^2-\dfrac14}+2 & > 0 \\ \left(x-\dfrac12\right)^2 & > -\dfrac74 \end{aligned}$
Bilangan kuadrat memiliki nilai terkecil $0$ sehingga pertidaksamaan di atas terpenuhi untuk setiap nilai $x$.
$\boxed{\text{HP}_1 = \{x~|~x \in \mathbb{R}\}}$
Tinjau Kasus 2: $x^2-x-2 < 4$
Selesaikan pertidaksamaan.
$\begin{aligned} x^2-x-2 & < 4 \\ x^2-x-6 & < 0 \\ (x+2)(x-3) & < 0 \end{aligned}$
Pembuat nol: $x=-2$ atau $x=3$.
(Garis bil)
$\boxed{\text{HP}_2 = \{x~|-2 < x < 3\}}$
Irisan dari kedua himpunan penyelesaian tersebut bila dinyatakan dalam notasi himpuan adalah
$\begin{aligned} \text{HP} & = \text{HP}_1 \cap \text{HP}_2 \\ & = \{x~|-2 < x < 3\} \end{aligned}$
Notasi selang yang menjadi penyelesaian untuk nilai $x$ adalah $\boxed{(-2, 3)}$
(Jawaban B)

Diketahui $|x+8|-|3x-4| \geq 0$.
Pertidaksamaan di atas ekuivalen dengan $|x+8| \geq |3x-4|$.
Kuadratkan kedua ruas dan gunakan pemfaktoran $a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$.
$$\begin{aligned} (x+8)^2 & \geq (3x-4)^2 \\ (x+8)^2-(3x-4)^2 & \geq 0 \\ (\color{red}{(x+8)}+\color{blue}{(3x-4)})(\color{red}{(x+8)}-\color{blue}{(3x-4)}) & \geq 0 \\ (4x+4)(-2x+12) & \geq 0 \\ \text{Kalikan kedua ruas dengan}~&-1 \\ (4x+4)(2x-12) & \leq 0 \end{aligned}$$Pembuat nol:
$4x+4 = 0 \Leftrightarrow 4x = -4 \Leftrightarrow x = -1$
$2x-12 = 0 \Leftrightarrow 2x = 12 \Leftrightarrow x = 6$
Dengan demikian, himpunan penyelesaian persamaan nilai mutlak di atas adalah $\{x \mid -1 \leq x \leq 6\}$.
(Jawaban C)

Diketahui $$2|x-1| < |x+2| \Leftrightarrow |2x-2| < |x+2|.$$Kuadratkan kedua ruas, lalu sederhanakan. Gunakan pemfaktoran $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$ untuk mempersingkat pengerjaan.
$$\begin{aligned} (2x-2)^2 & < (x + 2)^2 \\ (2x-2)^2-(x+2)^2 & < 0 \\ (\color{red}{(2x-2)}+\color{blue}{(x+2)})(\color{red}{(2x-2)}-\color{blue}{(x+2)}) & < 0 \\ (3x)(x-4) & < 0 \end{aligned}$$
Diperoleh pembuat nol $x = 0$ atau $x=4$.
Penyelesaiannya adalah $0 < x < 4$.
(Jawaban C)

Diketahui $0 < |x-3| \leq 3$.
Pertidaksamaan di atas ekuivalen dengan $|x-3| > 0$ dan $|x-3| \leq 3$.
Tinjau Kasus 1: $|x-3| > 0$
Pertidaksamaan ini terpenuhi untuk setiap nilai $x$ kecuali pembuat nolnya, yakni $x=3$.
$\boxed{\text{HP}_1 = \{x~|~x \neq 3\}}$
Tinjau Kasus 2: $|x-3| \leq 3$
Selesaikan pertidaksamaan ini dengan menggunakan sifat.
$$\begin{array}{rcccl} & ~ & |x-3| & \leq & 3 \\ -3 & \leq & x-3 & \leq & 3 \\ -3+3 & \leq & x & \leq & 3+3 \\ 0 & \leq & x & \leq & 6 \end{array}$$
$\boxed{\text{HP}_2 = \{x~|~0 \leq x \leq 6\}}$
Irisan dari kedua himpunan penyelesaian tersebut dinyatakan oleh
$$\boxed{\begin{aligned} \text{HP} & = \text{HP}_1 \cap \text{HP}_2 \\ & = \{x~|~0 \leq x < 3~\text{atau}~3 < x \leq 6\} \end{aligned}}$$

(Jawaban B)

Diketahui $|x^2-2|-6+2x<0$.
Tinjau Kasus 1:
Misalkan $x^2-2 \geq 0 \Leftrightarrow (x-\sqrt2)(x+\sqrt2) \geq 0$
Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat di atas adalah
$x \leq -\sqrt2~\text{atau}~x \geq \sqrt2~~~(\bigstar)$
Dengan demikian, pertidaksamaan nilai mutlaknya dapat ditulis sebagai berikut.
$\begin{aligned} \color{blue}{(x^2-2)}-6+2x & < 0 \\ x^2+2x-8 & < 0 \\ (x+4)(x-2) & < 0 \end{aligned}$
Penyelesaiannya adalah
$-4 < x < 2~~~~(\bigstar \bigstar)$
Gunakan bantuan garis bilangan untuk membantu meninjau irisan dari $\bigstar$ dan $\bigstar \bigstar$.

$$\boxed{\text{HP}_1 = \{x~|-4 < x \leq -\sqrt2~\text{atau}~\sqrt2 \leq x < 2\}}$$Tinjau Kasus 2:
Misalkan $x^2-2 < 0 \Leftrightarrow (x-\sqrt2)(x+\sqrt2) < 0$
Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat di atas adalah
$-\sqrt2 < x < \sqrt2~~~(\bigstar)$
Dengan demikian, pertidaksamaan nilai mutlaknya dapat ditulis sebagai berikut.
$\begin{aligned} \color{blue}{-(x^2-2)}-6+2x & < 0 \\ -x^2+2x-4 & < 0 \\ x^2-2x+4 & > 0 \\ \color{red}{(x-1)^2- 1} + 4 & > 0 \\ (x-1)^2 & > -3 \end{aligned}$
Bilangan kuadrat memiliki nilai terkecil $0$ sehingga pertidaksamaan di atas terpenuhi untuk setiap nilai $x$. Penyelesaiannya adalah
$\boxed{x \in \mathbb{R}}~~~~(\bigstar \bigstar)$
Gunakan bantuan garis bilangan untuk membantu meninjau irisan dari $\bigstar$ dan $\bigstar \bigstar$.

$\boxed{\text{HP}_2 = \{x~|-\sqrt2 < x < \sqrt2\}}$
Gabungan dari kedua HP tersebut dinyatakan oleh
$\boxed{\begin{aligned} \text{HP} & = \text{HP}_1 \cup \text{HP}_2 \\ & = \{x \mid -4 < x < 2\} \end{aligned}}$

(Jawaban D)

Diketahui $|x-2|^2<4|x-2|+12$.
Misalkan $|x-2| = y$ sehingga pertidaksamaan nilai mutlak dapat ditulis sebagai berikut.
$\begin{aligned} y^2 & < 4y + 12 \\ y^2-4y-12 & < 0 \\ (y-6)(y+2) &< 0 \end{aligned}$
Penyelesaiannya adalah $-2 < y < 6$, yang artinya $y > -2$ dan $y < 6$.
Tinjau Kasus 1: $y > -2$.
Substitusi kembali $y = |x-2|$ sehingga diperoleh $|x-2| > -2$.
Pertidaksamaan ini terpenuhi untuk setiap nilai $x$, karena nilai mutlak bilangan apa pun pasti lebih dari bilangan negatif.
$\boxed{\text{HP}_1 = \{x~|~x \in \mathbb{R}\}}$
Tinjau Kasus 2: $y < 6$.
Substitusi kembali $y = |x-2|$ sehingga diperoleh
$\begin{array}{rcccl} & ~ & |x-2| & < & 6 \\ -6 & < & x-2 & < & 6 \\ -6+2 & < & x & < & 6+2 \\ -4 & < & x & < & 8 \end{array}$
Himpunan penyelesaiannya adalah
$\boxed{\text{HP}_2 = \{x~|-4 < x < 8\}}$
Irisan dari kedua himpunan penyelesaian tersebut dinyatakan oleh
$\boxed{\begin{aligned} \text{HP} & = \text{HP}_1 \cap \text{HP}_2 \\ & = \{x~|-4 < x < 8\} \end{aligned}}$
(Jawaban E)

Diketahui $|x^2-3| < 2x$.
Tinjau Kasus 1:
Misalkan $x^2-3 \geq 0 \Leftrightarrow (x-\sqrt3)(x+\sqrt3) \geq 0$
Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat di atas adalah
$x \leq -\sqrt3~\text{atau}~x \geq \sqrt3~~~(\bigstar)$
Dengan demikian, pertidaksamaan nilai mutlaknya dapat ditulis sebagai berikut.
$\begin{aligned} \color{blue}{(x^2-3)} & < 2x \\ x^2-2x-3 & < 0 \\ (x-3)(x+1) & < 0 \end{aligned}$
Penyelesaiannya adalah
$-1 < x < 3~~~~(\bigstar \bigstar)$
Gunakan bantuan garis bilangan untuk membantu meninjau irisan dari $\bigstar$ dan $\bigstar \bigstar$.

$\boxed{\text{HP}_1 = \{x~|~\sqrt3 \leq x < 3\}}$
Tinjau Kasus 2:
Misalkan $x^2-3 < 0 \Leftrightarrow (x-\sqrt3)(x+\sqrt3) < 0$
Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat di atas adalah
$-\sqrt3 < x < \sqrt3~~~(\bigstar)$
Dengan demikian, pertidaksamaan nilai mutlaknya dapat ditulis sebagai berikut.
$\begin{aligned} \color{blue}{-(x^2-3)} & < 2x \\ -x^2-2x+3 & < 0 \\ x^2+2x-3 & > 0 \\ (x+3)(x-1) & > 0 \end{aligned}$
Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat di atas adalah
$x < -3~\text{atau}~x > 1~~~(\bigstar \bigstar)$
Gunakan bantuan garis bilangan untuk membantu meninjau irisan dari $\bigstar$ dan $\bigstar \bigstar$.

$\boxed{\text{HP}_2 = \{x~|~1 < x < \sqrt3\}}$
Gabungan dari kedua HP tersebut dinyatakan oleh
$\boxed{\begin{aligned} \text{HP} & = \text{HP}_1 \cup \text{HP}_2 \\ & = \{x~|~1 < x < 3\} \end{aligned}}$
(Jawaban C)

Diketahui $|x^2-2| \leq 1$.
Tinjau Kasus 1:
Misalkan $x^2-2 \geq 0 \Leftrightarrow (x-\sqrt2)(x+\sqrt2) \geq 0$
Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat di atas adalah
$x \leq -\sqrt2~\text{atau}~x \geq \sqrt2~~~(\bigstar)$
Dengan demikian, pertidaksamaan nilai mutlaknya dapat ditulis sebagai berikut.
$\begin{aligned} \color{blue}{(x^2-2)} & \leq 1 \\ x^2-3 & \leq 0 \\ (x+\sqrt3)(x-\sqrt3) & \leq 0 \end{aligned}$
Penyelesaiannya adalah
$-\sqrt3 \leq x \leq \sqrt3~~~~(\bigstar \bigstar)$
Gunakan bantuan garis bilangan untuk membantu meninjau irisan dari $\bigstar$ dan $\bigstar \bigstar$.
$$\boxed{\text{HP}_1 = \{x~|-\sqrt3 \leq x \leq -\sqrt2~\text{atau}~\sqrt2 \leq x \leq \sqrt3\}}$$Tinjau Kasus 2:
Misalkan $x^2-2 < 0 \Leftrightarrow (x-\sqrt2)(x+\sqrt2) < 0$
Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat di atas adalah
$-\sqrt2 < x < \sqrt2~~~(\bigstar)$
Dengan demikian, pertidaksamaan nilai mutlaknya dapat ditulis sebagai berikut.
$\begin{aligned} \color{blue}{-(x^2-2)} & \leq 1 \\ -x^2+1 & \leq 0 \\ x^2-1 & \geq 0 \\ (x+1)(x-1) & \geq 0 \end{aligned}$
Penyelesaiannya adalah
$x \leq -1~\text{atau}~x \geq 1~~~(\bigstar \bigstar)$
Gunakan bantuan garis bilangan untuk membantu meninjau irisan dari $\bigstar$ dan $\bigstar \bigstar$.
$$\boxed{\text{HP}_2 = \{x~|-\sqrt2 < x \leq -1~\text{atau}~1 \leq x < \sqrt2\}}$$Gabungan dari kedua HP tersebut dinyatakan oleh
$$\boxed{\begin{aligned} \text{HP} & = \text{HP}_1 \cup \text{HP}_2 \\ & = \{x~|-\sqrt3 \leq x \leq -1~\text{atau}~1 \leq x \leq \sqrt3\} \end{aligned}}$$(Jawaban E)

Diketahui $\left|\dfrac{x+3}{x-3}\right| \leq 1$, yang ekuivalen dengan $\dfrac{|x+3|}{|x-3|} \leq 1$.
Kalikan kedua ruas dengan $|x-3|$ dengan syarat bahwa $x \neq 3$ (agar penyebut tidak bernilai $0$) sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} |x+3| & \leq |x-3| \\ (x+3)^2 & \leq (x-3)^2 \\ (\color{red}{x+3})^2-(\color{blue}{x-3})^2 & \leq 0 \\ (\color{red}{(x+3)}+\color{blue}{(x-3)})(\color{red}{(x+3)}-\color{blue}{(x-3)}) & \leq 0 \\ (2x)(6) & \leq 0 \\ x & \leq 0 && (\text{Bagi}~12) \end{aligned}$$
Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan nilai mutlak di atas adalah $\boxed{x \leq 0}$
(Jawaban C)

Karena $2\pi \approx 2(3,14) = 6,28$, maka pertidaksamaan di atas dapat ditulis menjadi $|x| \leq 6,28$. Karena $x$ berupa bilangan bulat, maka cukup kita tuliskan $|x| \leq 6$, ekuivalen dengan $-6 \leq x \leq 6$.
Banyaknya bilangan bulat dari $-6$ sampai $6$ adalah $\boxed{13}$
(Jawaban D)

Perhatikan bahwa nilai $\log (1-|t|)$ dapat ditentukan (terdefinisi) jika numerusnya bernilai positif.
$$\begin{aligned} 1-|t| & > 0 \\ |t| & < 1 \\ \left|\dfrac{x^2-3}{3x+7}\right| & < 1 \\ |x^2-3| & < |3x+7| \\ (|x^2-3|)^2 & < (|3x+7|)^2 \\ ((x^2-3) + (3x + 7))((x^2-3)-(3x+7)) & < 0 \\ (x^2+3x+4)(x^2-3x-10) & < 0 \\ \underbrace{(x^2+3x+4)}_{\text{definit positif}}(x-5)(x+2) & < 0 \\ (x-5)(x+2) & < 0 \\ -2 < x & < 5 \end{aligned}$$Jadi, nilai $\log (1-|t|)$ dapat ditentukan untuk $\boxed{-2 <x < 5}$
(Jawaban B)

Berdasarkan definisi nilai mutlak, kita tahu bahwa
$|x| = \begin{cases} x, &~\text{jika}~x \geq 0 \\ -x, &~\text{jika}~x < 0 \end{cases}$
Kasus $(1)$:
Misalkan $\color{blue}{x \geq 0}$. Dengan demikian, pertidaksamaan $|x+|x|| \leq x|x|$ dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} |x+\color{red}{x}| & \leq x\color{red}{(x)} \\ |2x| & \leq x^2 \\ \color{red}{2x} & \leq x^2 \\ 0 & \leq x^2-2x \\  x^2-2x & \geq 0 \\ x(x-2) & \geq 0 \\ x \leq 0~\text{atau}~&x \geq 2 \end{aligned}$
Irisan dari $\color{blue}{x \geq 0}$ dan $x \leq 0~\text{atau}~x \geq 2$ adalah $\boxed{x = 0~\text{atau}~x \geq 2}$
Kasus $(2)$:
Misalkan $\color{blue}{x < 0}$. Dengan demikian, pertidaksamaan $|x+|x|| \leq x|x|$ dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} |x+\color{red}{(-x)}| & \leq x\color{red}{(-x)} \\ 0 & \leq -x^2 \\ x^2 & \leq 0 \end{aligned}$
Penyelesaian dari pertidaksamaan di atas hanya $x = 0$, tetapi karena syarat $\color{blue}{x < 0}$, maka kasus ini tidak memiliki penyelesaian.
Kesimpulan:
Gabungan dari penyelesaian yang didapat pada kasus $(1)$ dan $(2)$ adalah $\boxed{x=0~\text{atau}~x \geq 2}$

Diketahui $||2x-1|-7| \geq 2$.
Perhatikan bahwa untuk interval $1 < x < 4$, ekspresi $2x-1$ selalu bernilai positif sehingga $|2x-1| = 2x-1$ (tanda mutlak dapat diabaikan).
Untuk itu, ditulis
$\begin{aligned} |\color{red}{(2x-1)}-7| & \geq 2 \\ |2x-8| & \geq 2 \end{aligned}$
Selanjutnya, perhatikan bahwa ekspresi $2x-8$ selalu bernilai negatif ketika $1 <x < 4$ sehingga $|2x-8| = -(2x-8)$.
Sekarang kita tuliskan
$\begin{aligned} -(2x-8) & \geq 2 \\ \Leftrightarrow -2x+8 &  \geq 2 \\ \Leftrightarrow x & \leq 3 \end{aligned}$
Iriskan dengan syarat $1 < x < 4$.
Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan nilai mutlak di atas adalah $\boxed{1 < x \leq 3}$

Diketahui $\dfrac{2-|x-1|}{|x-1|-1} \geq 0$.
Misalkan $|x-1| = y$ sehingga dapat kita tuliskan $\dfrac{2-y}{y-1} \geq 0$.
Kasus 1:
Misalkan $y-1 > 0 \Leftrightarrow y > 1$.
Kalikan kedua ruas dengan $y-1$ sehingga diperoleh
$2-y \geq 0 \Leftrightarrow y \leq 2.$
Irisan dari $y > 1$ dan $y \leq 2$ adalah $1 < y \leq 2$.
Substitusi kembali $y = |x-1|$ sehingga kita peroleh
$1 < |x-1| \leq 2$, artinya
$|x-1| > 1$ dan $|x-1| \leq 2.$
Kasus $(1a)$: $|x-1| > 1$
Dengan menggunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak, diperoleh
$x-1 < -1~\text{atau}~x-1 > 1$
atau disederhanakan menjadi
$\boxed{x < 0~\text{atau}~x > 2}$
Kasus $(1b)$: $|x-1| \leq 2$
Dengan menggunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak, diperoleh
$-2 \leq x-1 \leq 2$
atau disederhanakan menjadi
$\boxed{-1 \leq x \leq 3}$
Irisan dari $(1a)$ dan $(1b)$ adalah $\color{blue}{-1 \leq x < 0}$ atau $\color{blue}{2 < x \leq 3}$
Kasus $2$:
Tinjau kembali $\dfrac{2-y}{y-1} \geq 0$.
Misalkan $y-1 < 0 \Leftrightarrow y < 1$.
Kalikan kedua ruas dengan $y-1$ sehingga diperoleh
$2-y \leq 0 \Leftrightarrow y \geq 2.$
Irisan dari $y < 1$ dan $y \geq 2$ tidak ada sehingga himpunan penyelesaian untuk kasus ini kosong.
Jadi, penyelesaian untuk pertidaksamaan $\dfrac{2-|x-1|}{|x-1|-1} \geq 0$ adalah $\boxed{-1 \leq x < 0~\text{atau}~2 < x \leq 3}$

Perhatikan bahwa $x \neq 0$ sehingga $x$ pada pembilang dan penyebut dapat kita kanselasi.
$$\begin{aligned} \left|\dfrac{x^2+ax}{2x}\right| & < 27 \\ \left|\dfrac{\cancel{x}(x + a)}{2\cancel{x}}\right| & < 27 \\ \left|\dfrac{x+a}{2}\right| & < 27 \\ |x+a| & < 54 \\ -54 < x+a & < 54 \\ -54-a < x & < \color{blue}{54-a} \end{aligned}$$Diketahui bahwa HP pertidaksamaan adalah $\{x \mid -81 < x < \color{blue}{27}, x \neq 0\}.$ Jadi, dengan cukup memandang salah satu ruas (misalnya ruas kanan), kita peroleh bahwa
$$\begin{aligned} 54-a & = 27 \\ a & = 54-27 = 27. \end{aligned}$$Jadi, nilai $a$ adalah $\boxed{27}$