Soal dan Pembahasan – Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Pertidaksamaan nilai mutlak adalah pertidaksamaan yang memuat variabel di dalam notasi mutlak. Masalah yang muncul dalam materi ini adalah penentuan penyelesaian pertidaksamaan tersebut. Penyelesaian yang dimaksud adalah nilai-nilai variabel yang membuat pertidaksamaan bernilai benar. Materi ini merupakan lanjutan dari perhitungan nilai mutlak dan persamaan nilai mutlak sehingga penguasaan materi yang bersangkutan harus dipastikan terlebih dahulu.

Baca : Soal dan Pembahasan – Perhitungan Nilai Mutlak

Baca : Soal dan Pembahasan – Persamaan Nilai Mutlak

Berikut disajikan soal dan pembahasan terkait pertidaksamaan nilai mutlak. Soal juga dapat diunduh dengan mengklik tautan berikut: Download (PDF, 133 KB). Semoga bermanfaat dan dapat dijadikan referensi untuk belajar. 

Quote by Winston Churchill

Success is not final, failure is not fatal. It is the courage to continue that counts.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1

Nilai-nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $|x-1|<2$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x \leq -1$                      D. $-3<x<1$
B. $x \leq 3$                         E. $-1<x<3$
C. $x > -1$

Pembahasan

Diketahui $|x-1| < 2$.
Dengan menggunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak, diperoleh
$\begin{array}{rcccl} & ~ & |x-1| & < & 2 \\ -2 & < & x-1 & < & 2 \\ -2+1 & < & x & < & 2+1 \\ -1 & < & x & < & 3 \end{array}$
Jadi, nilai-nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan tersebut adalah $\boxed{-1 < x < 3}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 2

Himpunan penyelesaian dari $|2x+5| \leq 6$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\left\{x \mid -\dfrac{11}{2} \leq x \leq \dfrac12\right\}$
B. $\left\{x \mid -\dfrac{11}{2} \leq x \leq -\dfrac12\right\}$
C. $\left\{x \mid \dfrac{1}{2} \leq x \leq \dfrac{11}{2}\right\}$
D. $\left\{x \mid -\dfrac{11}{2} \leq x \leq \dfrac{11}{2}\right\}$
E. $\left\{x \mid x \leq -\dfrac{11}{2}~\text{atau}~ x \geq \dfrac12\right\}$

Pembahasan

Diketahui $|2x+5| \leq 6$.
Dengan menggunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak, diperoleh
$\begin{array}{rcccl} & ~ & |2x+5| & < & 6 \\ -6 & < & 2x+5 & < & 6 \\ -6-5 & < & 2x & < & 6-5 \\ -11 & < & 2x & < & 1 \\ -\dfrac{11}{2} & < & x & < & \dfrac12 \end{array}$
Jadi, HP dari pertidaksamaan tersebut adalah $\boxed{\left\{-\dfrac{11}{2} \leq x \leq \dfrac12\right\}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 3

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $\left|\dfrac{x}{4}+6\right| \leq 0,5$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{x \mid x \leq -26\}$
B. $\{x \mid x \leq -22\}$
C. $\{x \mid x \geq -26\}$
D. $\{x \mid -26 \leq x \leq -22\}$
E. $\{x \mid x \leq -26~\text{atau}~x \geq -22\}$

Pembahasan

Hindari bentuk pecahan pada pertidaksamaan di atas dengan mengalikan $4$ pada kedua ruasnya.
$\begin{aligned} \color{red}{4}\left|\dfrac{x}{4}+6\right| & \leq \color{red}{4}(0,5) \\ |x + 24| & \leq 2 \end{aligned}$
Dengan menggunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak, diperoleh
$\begin{array}{rcccl} & ~ & |x+24| & \leq & 2 \\ -2 & \leq & x+24 & \leq & 2 \\ -2-24 & \leq & x & \leq & 2-24 \\ -26 & \leq & x & \leq & -22 \end{array}$
Jadi, HP pertidaksamaan tersebut adalah $\boxed{\{x \mid -26 \leq x \leq -22\}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Ketidaksamaan dan Pertidaksamaan (Bagian Dasar)

Soal Nomor 4

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $|2-x|>0$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{x \mid x \neq 2\}$
B. $\{x \mid x \in \mathbb{R}\}$
C. $\{x \mid x = 2\}$
D. $\{x \mid -2<x<6\}$
E. $\{x \mid x<-2~\text{atau}~x>6\}$

Pembahasan

Perhatikan bahwa nilai mutlak setiap bilangan tidak mungkin bernilai negatif, melainkan $0$ atau positif.
Pertidaksamaan $|2-x| > 0$ terpenuhi untuk setiap $x$ kecuali pembuat nol dari ruas kiri.
$|2-x| = 0 \Rightarrow 2-x = 0 \Leftrightarrow x = 2$
Jadi, HP pertidaksamaan tersebut adalah $\boxed{\{x \mid x \neq 2\}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 5

Jika $|3-5x|>1$, maka nilai $x$ yang memenuhi adalah $\cdots \cdot$
A. $x <\dfrac25$ atau $x > \dfrac45$
B. $\dfrac25<x<\dfrac45$
C. $x < -\dfrac25$ atau $x > \dfrac25$
D. $x < \dfrac13$ atau $x>1$
E. $x > \dfrac45$

Pembahasan

Diketahui $|3-5x| > 1$.
Dengan menggunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak, diperoleh
$\begin{aligned} 3-5x & < -1 \\ -5x & < -4 \\ x & > \dfrac45 \end{aligned}$
atau
$\begin{aligned} 3-5x & > 1 \\ -5x & > -2 \\ x & < \dfrac25 \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan itu adalah $x<\dfrac25$ atau $x>\dfrac45$.
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 6

Jika $|2x-3|<1$ dan $2x < 3$, maka $\cdots \cdot$
A. $1 < x < 2$                            D. $x > \dfrac32$
B. $1 < x < \dfrac32$                         E. $x > 2$
C. $x < \dfrac32$

Pembahasan

Diketahui $|2x-3| < 1$ dan $2x<3$.
Dengan menggunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak, diperoleh
$\begin{array}{rcccl} & ~ & |2x-3| & < & 1 \\ -1 & < & 2x-3 & < & 1 \\ -1+3 & < & 2x & < & 1+3 \\ 2 & < & 2x & < & 4 \\ 1 & < & x & < & 2 \end{array}$
Iriskan dengan $2x < 3 \Leftrightarrow x < \dfrac32$ sehingga dengan menggunakan bantuan garis bilangan berikut, diperoleh penyelesaian pertidaksamaannya adalah $\boxed{1 < x < \dfrac32}$

(Jawaban B)

[collapse]

Baca Juga: Materi, Soal, dan Pembahasan – Fungsi Sepenggal 

Soal Nomor 7

Nilai-nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $|-x^2+2x-2|<2$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-\infty < x < 2$              D. $0 < x < 2$
B. $0 < x < \infty$                  E. $-2 < x < 2$
C. $-2 < x < 0$

Pembahasan

Diketahui $|-x^2+2x-2|<2$.
Dengan menggunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak, diperoleh
$\begin{array}{rcccl} & ~ & |-x^2+2x-2| & < & 2 \\ -2 & < & -x^2+2x-2 & < & 2 \end{array}$
Pertidaksamaan terakhir ekuivalen dengan $-x^2+2x-2 > -2$ dan $-x^2+2x-2 < 2$.
Tinjau Kasus 1: $-x^2+2x-2 > -2$
Selesaikan pertidaksamaan.
$\begin{aligned} -x^2+2x-2 & > -2 \\ -x^2+2x & > 0 \\ x^2-2x & < 0 \\ x(x-2) & < 0 \end{aligned}$
Pembuat nol: $x = 0$ atau $x = 2$.
Penyelesaiannya adalah
$\boxed{\text{HP}_1 = \{x~|~0 < x < 2\}}$
Tinjau Kasus 2: $-x^2+2x-2 < 2$
Selesaikan pertidaksamaan.
$\begin{aligned} -x^2+2x-4& > 0 \\ x^2-2x+4 & < 0 \\ \color{red}{(x-1)^2-1}+4 & > 0 \\ (x-1)^2 & > -3 \end{aligned}$
Bilangan kuadrat memiliki nilai terkecil $0$ sehingga pertidaksamaan di atas terpenuhi untuk setiap nilai $x$.
$\boxed{\text{HP}_2 = \{x~|~x \in \mathbb{R}\}}$
Irisan dari kedua himpunan penyelesaian tersebut dinyatakan oleh
$\begin{aligned} \text{HP} & = \text{HP}_1 \cap \text{HP}_2 \\ & = \{x \mid 0 < x < 2\}. \end{aligned}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 8

Nilai-nilai $x$ dalam penulisan notasi selang yang memenuhi pertidaksamaan $|x^2-x-2| < 4$ adalah $\cdots \cdot$
A. $(-3, 2)$                       D. $(-5, 1)$
B. $(-2, 3)$                       E. $(-1, 6)$
C. $(-1, 5)$

Pembahasan

Diketahui $|x^2-x-2|<4$.
Pertidaksamaan di atas ekuivalen dengan $-4 < x^2-x-2 < 4$. Dengan kata lain, $x^2-x-2 > -4$ dan $x^2-x-2 < 4$.
Tinjau Kasus 1: $x^2-x-2 > -4$
Selesaikan pertidaksamaan.
$\begin{aligned} x^2-x-2 & > -4 \\ x^2-x+2 & > 0 \\ \color{red}{\left(x-\dfrac12\right)^2-\dfrac14}+2 & > 0 \\ \left(x-\dfrac12\right)^2 & > -\dfrac74 \end{aligned}$
Bilangan kuadrat memiliki nilai terkecil $0$ sehingga pertidaksamaan di atas terpenuhi untuk setiap nilai $x$.
$\boxed{\text{HP}_1 = \{x~|~x \in \mathbb{R}\}}$
Tinjau Kasus 2: $x^2-x-2 < 4$
Selesaikan pertidaksamaan.
$\begin{aligned} x^2-x-2 & < 4 \\ x^2-x-6 & < 0 \\ (x+2)(x-3) & < 0 \end{aligned}$
Pembuat nol: $x=-2$ atau $x=3$.
(Garis bil)
$\boxed{\text{HP}_2 = \{x~|-2 < x < 3\}}$
Irisan dari kedua himpunan penyelesaian tersebut bila dinyatakan dalam notasi himpuan adalah
$\begin{aligned} \text{HP} & = \text{HP}_1 \cap \text{HP}_2 \\ & = \{x~|-2 < x < 3\} \end{aligned}$
Notasi selang yang menjadi penyelesaian untuk nilai $x$ adalah $\boxed{(-2, 3)}$

(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 9

Himpunan semua nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $|x+8|-|3x-4| \geq 0$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{x \mid x \geq -8\}$
B. $\left\{x \mid x \leq \dfrac43\right\}$
C. $\{x \mid -1 \leq x \leq 6\}$
D. $\left\{x \mid -8 \leq x \leq \dfrac43\right\}$
E. $\{x \mid x \leq -1~\text{atau}~x \geq 6\}$

Pembahasan

Diketahui $|x+8|-|3x-4| \geq 0$.
Pertidaksamaan di atas ekuivalen dengan $|x+8| \geq |3x-4|$.
Kuadratkan kedua ruas dan gunakan pemfaktoran $a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$.
$$\begin{aligned} (x+8)^2 & \geq (3x-4)^2 \\ (x+8)^2-(3x-4)^2 & \geq 0 \\ (\color{red}{(x+8)}+\color{blue}{(3x-4)})(\color{red}{(x+8)}-\color{blue}{(3x-4)}) & \geq 0 \\ (4x+4)(-2x+12) & \geq 0 \\ \text{Kalikan kedua ruas dengan}~&-1 \\ (4x+4)(2x-12) & \leq 0 \end{aligned}$$Pembuat nol:
$4x+4 = 0 \Leftrightarrow 4x = -4 \Leftrightarrow x = -1$
$2x-12 = 0 \Leftrightarrow 2x = 12 \Leftrightarrow x = 6$
Dengan demikian, himpunan penyelesaian persamaan nilai mutlak di atas adalah $\{x \mid -1 \leq x \leq 6\}$.
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 10

Jika $2|x-1| < |x+2|$, maka nilai-nilai $x$ yang memenuhi adalah $\cdots \cdot$
A. $-2 < x < 0$
B. $0 <x<2$
C. $0<x<4$
D. $x<0$ atau $x > 4$
E. $0<x<\infty$ atau $-\infty<x<4$

Pembahasan

Diketahui $$2|x-1| < |x+2| \Leftrightarrow |2x-2| < |x+2|.$$Kuadratkan kedua ruas, lalu sederhanakan. Gunakan pemfaktoran $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$ untuk mempersingkat pengerjaan.
$$\begin{aligned} (2x-2)^2 & < (x + 2)^2 \\ (2x-2)^2-(x+2)^2 & < 0 \\ (\color{red}{(2x-2)}+\color{blue}{(x+2)})(\color{red}{(2x-2)}-\color{blue}{(x+2)}) & < 0 \\ (3x)(x-4) & < 0 \end{aligned}$$
Diperoleh pembuat nol $x = 0$ atau $x=4$.
Penyelesaiannya adalah $0 < x < 4$.

(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 11

Semua nilai $x$ yang memenuhi $0 < |x-3| \leq 3$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0<x<3$ atau $3<x<6$
B. $0\leq x<3$ atau $3<x \leq 6$
C. $0<x \leq 3$ atau $3<x<6$
D. $0 \leq x \leq 3$ atau $3<x \leq 6$
E. $0 \leq x \leq 3$ atau $3<x<6$

Pembahasan

Diketahui $0 < |x-3| \leq 3$.
Pertidaksamaan di atas ekuivalen dengan $|x-3| > 0$ dan $|x-3| \leq 3$.
Tinjau Kasus 1: $|x-3| > 0$
Pertidaksamaan ini terpenuhi untuk setiap nilai $x$ kecuali pembuat nolnya, yakni $x=3$.
$\boxed{\text{HP}_1 = \{x~|~x \neq 3\}}$
Tinjau Kasus 2: $|x-3| \leq 3$
Selesaikan pertidaksamaan ini dengan menggunakan sifat.
$$\begin{array}{rcccl} & ~ & |x-3| & \leq & 3 \\ -3 & \leq & x-3 & \leq & 3 \\ -3+3 & \leq & x & \leq & 3+3 \\ 0 & \leq & x & \leq & 6 \end{array}$$
$\boxed{\text{HP}_2 = \{x~|~0 \leq x \leq 6\}}$
Irisan dari kedua himpunan penyelesaian tersebut dinyatakan oleh
$$\boxed{\begin{aligned} \text{HP} & = \text{HP}_1 \cap \text{HP}_2 \\ & = \{x~|~0 \leq x < 3~\text{atau}~3 < x \leq 6\} \end{aligned}}$$




(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 12

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $|x^2-2|-6+2x<0$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{x~|-4<x<13\}$
B. $\{x~|~x<3\}$
C. $\{x~|~x>-4\}$
D. $\{x~|-4<x<2\}$
E. $\{x~|~x<2\}$

Pembahasan

Diketahui $|x^2-2|-6+2x<0$.
Tinjau Kasus 1:
Misalkan $x^2-2 \geq 0 \Leftrightarrow (x-\sqrt2)(x+\sqrt2) \geq 0$
Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat di atas adalah
$x \leq -\sqrt2~\text{atau}~x \geq \sqrt2~~~(\bigstar)$
Dengan demikian, pertidaksamaan nilai mutlaknya dapat ditulis sebagai berikut.
$\begin{aligned} \color{blue}{(x^2-2)}-6+2x & < 0 \\ x^2+2x-8 & < 0 \\ (x+4)(x-2) & < 0 \end{aligned}$
Penyelesaiannya adalah
$-4 < x < 2~~~~(\bigstar \bigstar)$
Gunakan bantuan garis bilangan untuk membantu meninjau irisan dari $\bigstar$ dan $\bigstar \bigstar$.

$$\boxed{\text{HP}_1 = \{x~|-4 < x \leq -\sqrt2~\text{atau}~\sqrt2 \leq x < 2\}}$$Tinjau Kasus 2:
Misalkan $x^2-2 < 0 \Leftrightarrow (x-\sqrt2)(x+\sqrt2) < 0$
Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat di atas adalah
$-\sqrt2 < x < \sqrt2~~~(\bigstar)$
Dengan demikian, pertidaksamaan nilai mutlaknya dapat ditulis sebagai berikut.
$\begin{aligned} \color{blue}{-(x^2-2)}-6+2x & < 0 \\ -x^2+2x-4 & < 0 \\ x^2-2x+4 & > 0 \\ \color{red}{(x-1)^2- 1} + 4 & > 0 \\ (x-1)^2 & > -3 \end{aligned}$
Bilangan kuadrat memiliki nilai terkecil $0$ sehingga pertidaksamaan di atas terpenuhi untuk setiap nilai $x$. Penyelesaiannya adalah
$\boxed{x \in \mathbb{R}}~~~~(\bigstar \bigstar)$
Gunakan bantuan garis bilangan untuk membantu meninjau irisan dari $\bigstar$ dan $\bigstar \bigstar$.

$\boxed{\text{HP}_2 = \{x~|-\sqrt2 < x < \sqrt2\}}$

Gabungan dari kedua HP tersebut dinyatakan oleh
$\boxed{\begin{aligned} \text{HP} & = \text{HP}_1 \cup \text{HP}_2 \\ & = \{x \mid -4 < x < 2\} \end{aligned}}$

(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 13

Himpunan semua nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $|x-2|^2<4|x-2|+12$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{~~\}$
B. $\{x \mid -8<x<4\}$
C. $\{x \mid x<8\}$
D. $\{x \mid x \in \mathbb{R}\}$
E. $\{x \mid -4<x<8\}$

Pembahasan

Diketahui $|x-2|^2<4|x-2|+12$.
Misalkan $|x-2| = y$ sehingga pertidaksamaan nilai mutlak dapat ditulis sebagai berikut.
$\begin{aligned} y^2 & < 4y + 12 \\ y^2-4y-12 & < 0 \\ (y-6)(y+2) &< 0 \end{aligned}$
Penyelesaiannya adalah $-2 < y < 6$, yang artinya $y > -2$ dan $y < 6$.
Tinjau Kasus 1: $y > -2$.
Substitusi kembali $y = |x-2|$ sehingga diperoleh $|x-2| > -2$.
Pertidaksamaan ini terpenuhi untuk setiap nilai $x$, karena nilai mutlak bilangan apa pun pasti lebih dari bilangan negatif.
$\boxed{\text{HP}_1 = \{x~|~x \in \mathbb{R}\}}$
Tinjau Kasus 2: $y < 6$.
Substitusi kembali $y = |x-2|$ sehingga diperoleh
$\begin{array}{rcccl} & ~ & |x-2| & < & 6 \\ -6 & < & x-2 & < & 6 \\ -6+2 & < & x & < & 6+2 \\ -4 & < & x & < & 8 \end{array}$
Himpunan penyelesaiannya adalah
$\boxed{\text{HP}_2 = \{x~|-4 < x < 8\}}$
Irisan dari kedua himpunan penyelesaian tersebut dinyatakan oleh
$\boxed{\begin{aligned} \text{HP} & = \text{HP}_1 \cap \text{HP}_2 \\ & = \{x~|-4 < x < 8\} \end{aligned}}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 14

Solusi dari $|x^2-3| < 2x$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-1<x<3$
B. $-3<x<1$
C. $1<x < 3$
D. $-3<x<-1$ atau $1<x<3$
E. $x>1$

Pembahasan

Diketahui $|x^2-3| < 2x$.
Tinjau Kasus 1:
Misalkan $x^2-3 \geq 0 \Leftrightarrow (x-\sqrt3)(x+\sqrt3) \geq 0$
Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat di atas adalah
$x \leq -\sqrt3~\text{atau}~x \geq \sqrt3~~~(\bigstar)$
Dengan demikian, pertidaksamaan nilai mutlaknya dapat ditulis sebagai berikut.
$\begin{aligned} \color{blue}{(x^2-3)} & < 2x \\ x^2-2x-3 & < 0 \\ (x-3)(x+1) & < 0 \end{aligned}$
Penyelesaiannya adalah
$-1 < x < 3~~~~(\bigstar \bigstar)$
Gunakan bantuan garis bilangan untuk membantu meninjau irisan dari $\bigstar$ dan $\bigstar \bigstar$.

$\boxed{\text{HP}_1 = \{x~|~\sqrt3 \leq x < 3\}}$

Tinjau Kasus 2:
Misalkan $x^2-3 < 0 \Leftrightarrow (x-\sqrt3)(x+\sqrt3) < 0$
Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat di atas adalah
$-\sqrt3 < x < \sqrt3~~~(\bigstar)$
Dengan demikian, pertidaksamaan nilai mutlaknya dapat ditulis sebagai berikut.
$\begin{aligned} \color{blue}{-(x^2-3)} & < 2x \\ -x^2-2x+3 & < 0 \\ x^2+2x-3 & > 0 \\ (x+3)(x-1) & > 0 \end{aligned}$
Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat di atas adalah
$x < -3~\text{atau}~x > 1~~~(\bigstar \bigstar)$
Gunakan bantuan garis bilangan untuk membantu meninjau irisan dari $\bigstar$ dan $\bigstar \bigstar$.

$\boxed{\text{HP}_2 = \{x~|~1 < x < \sqrt3\}}$
Gabungan dari kedua HP tersebut dinyatakan oleh
$\boxed{\begin{aligned} \text{HP} & = \text{HP}_1 \cup \text{HP}_2 \\ & = \{x~|~1 < x < 3\} \end{aligned}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 15

Nilai-nilai $x$ yang memenuhi $|x^2-2| \leq 1$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-\sqrt3 \leq x \leq \sqrt3$
B. $-1 \leq x \leq 1$
C. $1 \leq x \leq \sqrt3$
D. $x \leq -1$ atau $x \geq 1$
E. $-\sqrt3 \leq x \leq -1$ atau $1 \leq x \leq \sqrt3$

Pembahasan

Diketahui $|x^2-2| \leq 1$.
Tinjau Kasus 1:
Misalkan $x^2-2 \geq 0 \Leftrightarrow (x-\sqrt2)(x+\sqrt2) \geq 0$
Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat di atas adalah
$x \leq -\sqrt2~\text{atau}~x \geq \sqrt2~~~(\bigstar)$
Dengan demikian, pertidaksamaan nilai mutlaknya dapat ditulis sebagai berikut.
$\begin{aligned} \color{blue}{(x^2-2)} & \leq 1 \\ x^2-3 & \leq 0 \\ (x+\sqrt3)(x-\sqrt3) & \leq 0 \end{aligned}$
Penyelesaiannya adalah
$-\sqrt3 \leq x \leq \sqrt3~~~~(\bigstar \bigstar)$
Gunakan bantuan garis bilangan untuk membantu meninjau irisan dari $\bigstar$ dan $\bigstar \bigstar$.
$$\boxed{\text{HP}_1 = \{x~|-\sqrt3 \leq x \leq -\sqrt2~\text{atau}~\sqrt2 \leq x \leq \sqrt3\}}$$Tinjau Kasus 2:
Misalkan $x^2-2 < 0 \Leftrightarrow (x-\sqrt2)(x+\sqrt2) < 0$
Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat di atas adalah
$-\sqrt2 < x < \sqrt2~~~(\bigstar)$
Dengan demikian, pertidaksamaan nilai mutlaknya dapat ditulis sebagai berikut.
$\begin{aligned} \color{blue}{-(x^2-2)} & \leq 1 \\ -x^2+1 & \leq 0 \\ x^2-1 & \geq 0 \\ (x+1)(x-1) & \geq 0 \end{aligned}$
Penyelesaiannya adalah
$x \leq -1~\text{atau}~x \geq 1~~~(\bigstar \bigstar)$
Gunakan bantuan garis bilangan untuk membantu meninjau irisan dari $\bigstar$ dan $\bigstar \bigstar$.
$$\boxed{\text{HP}_2 = \{x~|-\sqrt2 < x \leq -1~\text{atau}~1 \leq x < \sqrt2\}}$$Gabungan dari kedua HP tersebut dinyatakan oleh
$$\boxed{\begin{aligned} \text{HP} & = \text{HP}_1 \cup \text{HP}_2 \\ & = \{x~|-\sqrt3 \leq x \leq -1~\text{atau}~1 \leq x \leq \sqrt3\} \end{aligned}}$$(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 16

Penyelesaian pertidaksamaan $\left|\dfrac{x+3}{x-3}\right| \leq 1$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x < 3$                           D. $x > 1$
B. $x < 0$                           E. $x \geq 1$
C. $x \leq 0$

Pembahasan

Diketahui $\left|\dfrac{x+3}{x-3}\right| \leq 1$, yang ekuivalen dengan $\dfrac{|x+3|}{|x-3|} \leq 1$.
Kalikan kedua ruas dengan $|x-3|$ dengan syarat bahwa $x \neq 3$ (agar penyebut tidak bernilai $0$) sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} |x+3| & \leq |x-3| \\ (x+3)^2 & \leq (x-3)^2 \\ (\color{red}{x+3})^2-(\color{blue}{x-3})^2 & \leq 0 \\ (\color{red}{(x+3)}+\color{blue}{(x-3)})(\color{red}{(x+3)}-\color{blue}{(x-3)}) & \leq 0 \\ (2x)(6) & \leq 0 \\ x & \leq 0 && (\text{Bagi}~12) \end{aligned}$$
Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan nilai mutlak di atas adalah $\boxed{x \leq 0}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 17

Banyaknya bilangan bulat $x$ yang memenuhi $|x| \leq 2\pi$ adalah $\cdots \cdot$
A. $6$                        D. $13$
B. $11$                      E. lebih dari $13$
C. $12$

Pembahasan

Karena $2\pi \approx 2(3,14) = 6,28$, maka pertidaksamaan di atas dapat ditulis menjadi $|x| \leq 6,28$. Karena $x$ berupa bilangan bulat, maka cukup kita tuliskan $|x| \leq 6$, ekuivalen dengan $-6 \leq x \leq 6$.
Banyaknya bilangan bulat dari $-6$ sampai $6$ adalah $\boxed{13}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 18
Jika $t = \dfrac{x^2-3}{3x+7},$ maka nilai $\log (1-|t|)$ dapat ditentukan untuk $\cdots \cdot$
A. $2 < x < 6$
B. $-2 <x < 5$
C. $-2 < x \le 6$
D. $x \le -2$ atau $x > 6$
E. $x < -1$ atau $x > 3$

Pembahasan

Perhatikan bahwa nilai $\log (1-|t|)$ dapat ditentukan (terdefinisi) jika numerusnya bernilai positif.
$$\begin{aligned} 1-|t| & > 0 \\ |t| & < 1 \\ \left|\dfrac{x^2-3}{3x+7}\right| & < 1 \\ |x^2-3| & < |3x+7| \\ (|x^2-3|)^2 & < (|3x+7|)^2 \\ ((x^2-3) + (3x + 7))((x^2-3)-(3x+7)) & < 0 \\ (x^2+3x+4)(x^2-3x-10) & < 0 \\ \underbrace{(x^2+3x+4)}_{\text{definit positif}}(x-5)(x+2) & < 0 \\ (x-5)(x+2) & < 0 \\ -2 < x & < 5 \end{aligned}$$Jadi, nilai $\log (1-|t|)$ dapat ditentukan untuk $\boxed{-2 <x < 5}$
(Jawaban B)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 1

Tentukan penyelesaian dari $|x+|x|| \leq x|x|$.

Pembahasan

Berdasarkan definisi nilai mutlak, kita tahu bahwa
$|x| = \begin{cases} x, &~\text{jika}~x \geq 0 \\ -x, &~\text{jika}~x < 0 \end{cases}$
Kasus $(1)$:
Misalkan $\color{blue}{x \geq 0}$. Dengan demikian, pertidaksamaan $|x+|x|| \leq x|x|$ dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} |x+\color{red}{x}| & \leq x\color{red}{(x)} \\ |2x| & \leq x^2 \\ \color{red}{2x} & \leq x^2 \\ 0 & \leq x^2-2x \\  x^2-2x & \geq 0 \\ x(x-2) & \geq 0 \\ x \leq 0~\text{atau}~&x \geq 2 \end{aligned}$
Irisan dari $\color{blue}{x \geq 0}$ dan $x \leq 0~\text{atau}~x \geq 2$ adalah $\boxed{x = 0~\text{atau}~x \geq 2}$
Kasus $(2)$:
Misalkan $\color{blue}{x < 0}$. Dengan demikian, pertidaksamaan $|x+|x|| \leq x|x|$ dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} |x+\color{red}{(-x)}| & \leq x\color{red}{(-x)} \\ 0 & \leq -x^2 \\ x^2 & \leq 0 \end{aligned}$
Penyelesaian dari pertidaksamaan di atas hanya $x = 0$, tetapi karena syarat $\color{blue}{x < 0}$, maka kasus ini tidak memiliki penyelesaian.
Kesimpulan:
Gabungan dari penyelesaian yang didapat pada kasus $(1)$ dan $(2)$ adalah $\boxed{x=0~\text{atau}~x \geq 2}$

[collapse]

Soal Nomor 2

Untuk $1 < x < 4$, tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $||2x-1|-7| \geq 2$.

Pembahasan

Diketahui $||2x-1|-7| \geq 2$.
Perhatikan bahwa untuk interval $1 < x < 4$, ekspresi $2x-1$ selalu bernilai positif sehingga $|2x-1| = 2x-1$ (tanda mutlak dapat diabaikan).
Untuk itu, ditulis
$\begin{aligned} |\color{red}{(2x-1)}-7| & \geq 2 \\ |2x-8| & \geq 2 \end{aligned}$
Selanjutnya, perhatikan bahwa ekspresi $2x-8$ selalu bernilai negatif ketika $1 <x < 4$ sehingga $|2x-8| = -(2x-8)$.
Sekarang kita tuliskan
$\begin{aligned} -(2x-8) & \geq 2 \\ \Leftrightarrow -2x+8 &  \geq 2 \\ \Leftrightarrow x & \leq 3 \end{aligned}$
Iriskan dengan syarat $1 < x < 4$.
Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan nilai mutlak di atas adalah $\boxed{1 < x \leq 3}$

[collapse]

Soal Nomor 3

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $\dfrac{2-|x-1|}{|x-1|-1} \geq 0$.

Pembahasan

Diketahui $\dfrac{2-|x-1|}{|x-1|-1} \geq 0$.
Misalkan $|x-1| = y$ sehingga dapat kita tuliskan $\dfrac{2-y}{y-1} \geq 0$.
Kasus 1:
Misalkan $y-1 > 0 \Leftrightarrow y > 1$.
Kalikan kedua ruas dengan $y-1$ sehingga diperoleh
$2-y \geq 0 \Leftrightarrow y \leq 2.$
Irisan dari $y > 1$ dan $y \leq 2$ adalah $1 < y \leq 2$.
Substitusi kembali $y = |x-1|$ sehingga kita peroleh
$1 < |x-1| \leq 2$, artinya
$|x-1| > 1$ dan $|x-1| \leq 2.$
Kasus $(1a)$: $|x-1| > 1$
Dengan menggunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak, diperoleh
$x-1 < -1~\text{atau}~x-1 > 1$
atau disederhanakan menjadi
$\boxed{x < 0~\text{atau}~x > 2}$
Kasus $(1b)$: $|x-1| \leq 2$
Dengan menggunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak, diperoleh
$-2 \leq x-1 \leq 2$
atau disederhanakan menjadi
$\boxed{-1 \leq x \leq 3}$
Irisan dari $(1a)$ dan $(1b)$ adalah $\color{blue}{-1 \leq x < 0}$ atau $\color{blue}{2 < x \leq 3}$
Kasus $2$:
Tinjau kembali $\dfrac{2-y}{y-1} \geq 0$.
Misalkan $y-1 < 0 \Leftrightarrow y < 1$.
Kalikan kedua ruas dengan $y-1$ sehingga diperoleh
$2-y \leq 0 \Leftrightarrow y \geq 2.$
Irisan dari $y < 1$ dan $y \geq 2$ tidak ada sehingga himpunan penyelesaian untuk kasus ini kosong.
Jadi, penyelesaian untuk pertidaksamaan $\dfrac{2-|x-1|}{|x-1|-1} \geq 0$ adalah $\boxed{-1 \leq x < 0~\text{atau}~2 < x \leq 3}$

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan – Soal Cerita (Aplikasi) Nilai Mutlak

Soal Nomor 4

Diketahui himpunan penyelesaian $\left|\dfrac{x^2+ax}{2x}\right| < 27$ adalah $\{x \mid -81 < x < 27, x \neq 0\}.$ Tentukan nilai $a.$

Pembahasan

Perhatikan bahwa $x \neq 0$ sehingga $x$ pada pembilang dan penyebut dapat kita kanselasi.
$$\begin{aligned} \left|\dfrac{x^2+ax}{2x}\right| & < 27 \\ \left|\dfrac{\cancel{x}(x + a)}{2\cancel{x}}\right| & < 27 \\ \left|\dfrac{x+a}{2}\right| & < 27 \\ |x+a| & < 54 \\ -54 < x+a & < 54 \\ -54-a < x & < \color{blue}{54-a} \end{aligned}$$Diketahui bahwa HP pertidaksamaan adalah $\{x \mid -81 < x < \color{blue}{27}, x \neq 0\}.$ Jadi, dengan cukup memandang salah satu ruas (misalnya ruas kanan), kita peroleh bahwa
$$\begin{aligned} 54-a & = 27 \\ a & = 54-27 = 27. \end{aligned}$$Jadi, nilai $a$ adalah $\boxed{27}$

[collapse]

4 4 votes
Article Rating

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Subscribe
Notify of
guest

44 Comments
Newest
Oldest Most Voted
Inline Feedbacks
View all comments
jack

lebih membantu dari materi daripada guru yang cuma ngasih penjelasan secuil tapi soalnya next level

Last edited 30 days ago by jack
Ofdddff

$\left|\dfrac{x^2+ax}{2x}\right| < 27$

Last edited 3 months ago by Ofdddff
Ofdddff

P

ddddalmtn

Kak, mau nanya. Kenapa soal nomor 13 bisa y > -2? Kan y+2=0, y=-2 trus lambang awalnya itu <, bukannya otomatis y<-2?

lxmoncandxyy

Kak, aku nggak paham yang nomor 12 🙁 Kenapa dari x2-2 tandanya bisa jadi “lebih dari/sama dengan”? Terus kok (x2-2) -6+2x < 0 bisa jadi x2 +2x -8 < 0? Bukannya kurung itu gabole dihapus ya? Makasih sebelumnya, Kak

lxmoncandxyy

OH NGGAK JADI, definisi yaa?

coco

nomor 9 itu kenapa harus di kali -1 ya? kalau misal ga dikali sama saja ngga si?

???

maksudnya no.4 gmn ya????di caranya hasilnya 2,tapi kok pas kunci jawabannya bukan 2???

haris

halo pak, maaf untuk no 16 maksudnya dibagi 12 lalu menghasilkan 0 itu bagaimana ya pak? terimakasih

sabrina math brain

asik sih ini, ngeliat ini langsung jadi paham , bissa buat latihan juga ini soal soal nya

crunchyy

pak, mau tanya nih yang soal no.8, tinjau kasus 1,
x^2-x-2>0
(x-1/2)^2-1/4+2>0
saya kurang ngerti yang bagian x^2 berubah jadi (x-1/2)^2-1/4, 1/2 dan 1/4 nya itu darimana asalnya ya pak kalo yang itu, makasih soal soalnya pak 😀

crunchyy

sama soal no.9, itu kan kalikan kedua ruas, saya bingung kenapa (4x-4) kok gak dikalikan -1 juga, makasih pak, sorry banyak nanya ;D

crunchyy

ooh ok, temakasih ya pak!!

pakdel

Pak mohon maaf, yg no 12 tinjau kasus 2 kok x^2 – 2 < 0 memiliki penyelesaian persamaan kuadrat (bintang 1), sya kira yg memenuhi itu hanya angka 1? Mohon penjelasannya pak

pakdel

ehh ga jadi nanya pak, maaf salah hehe

Ade latifah

kak kalau bentuk sederhana nilai mutlak |x+5| – |x-3| untuk nilai -5<x<3 itu gimana cara ngerjainnya kk

Ade latifah

Terima kasih kk:), sangat membantu.

Aeden Jizra Seii

Terimakasih kak membantu sekali. Cuma mau tanya kenapa yg no 13 yg tinjauan kasus y> -2 kenapa nilainya bil real kak ? Tdk dibuat sampe penyelesaianya ?

Ifan

|3x-1|-|x+2|<2

Kalau begini cara penyelesaiannya bagaimana ya?

Zaroh Khoerunisa

|x + 1|^2 −| x + 1 |− 2 > 0
Kak tau ga ini cara mengerjakannya bagaimana?

Yosi

misalkan lx+1l = p, maka soal menjadi p^2-p-2>0,,,faktorkan, lalu buat daerah pada garis bilangan, didapat p 2. selanjutnya ganti p = lx + 1l, selesaikan dengan teorema pertidaksamaan nilai mutlak

Brigitta

Pak, maaf nomor 2 tidak bisa diklik pembahasannya.

Ahmad

Mohon Maaf mas, izin yah download soal soalnya nilai mutlak dll. Semoga sukses selalu. Trims

Dina mardiah

Tidak ada yang salah dalam pengetikan dan juga yang lain nya.

pak yo

untuk pertidaksamaan ini soal no 12. habis tinjau kasus 2 tiga baris terakhir tanda ketidaksamaan harusnya > bukan <

pak yo

mas di materi persamaan mutlak (bukan disini)
no 8 : x = -3 tidak memenuhi
terus hanya ada tiga kemungkinan interval
no 10 : x = 8 juga tidak memenuhi