Soal dan Pembahasan – Transformasi (Geometri)

Berikut ini adalah soal bab TRANSFORMASI yang diambil dari buku berjudul “Geometri Transformasi” oleh Rawuh (dengan sedikit modifikasi dan perbaikan).

Soal Nomor 1
Andaikan g dan h dua garis yang sejajar pada bidang Euclides V. A sebuah titik yang terletak di tengah antara g dan h. Sebuah T padanan dengan daerah asal g didefinisikan sebagai berikut.
Apabila P \in g, maka P' = T(P) = \overleftrightarrow{PA} \cap h
a) Apakah daerah nilai T?
b) Apabila D \in g, E \in g, D \in E, buktikan bahwa D'E'= DE; D' = T(D), E' = T(E)
c) Apakah T injektif?

Penyelesaian

Lukislah garis g dan h sebagai berikut (h sejajar dengan g).

Letakkan titik P pada garis g. Posisikan titik A di tengah-tengah antara kedua garis itu. Tarik garis lurus yang melalui titik A dan P, sehingga nantinya garis tersebut memotong garis h. Titik potongnya adalah P' = T(P) dan merupakan daerah nilai (range) T.
Jawaban a)
Daerah nilai T adalah garis h.
Jawaban b)
Perhatikan gambar berikut.

Perhatikan segitiga ADE dan AD'E'. Diketahui bahwa \angle DAE = \angle D'AE' karena sudutnya bertolak belakang dan DA = AD' serta EA = AE' (sebab A berada di tengah-tengah garis g dan h). Berdasarkan teorema kekongruenan segitiga, dapat dikatakan bahwa kedua segitiga ini kongruen (sisi-sudut-sisi). Oleh karena itu, haruslah D'E' = DE (terbukti).
Jawaban c)
Akan dibuktikan T injektif.
Perhatikan gambar berikut.

Ambil dua titik X dan Y pada g, dengan X \neq Y. Akan ditunjukkan bahwa T(X) \neq T(Y) dengan menggunakan kontradiksi. Andaikan T(X) = T(Y).
Perhatikan bahwa T(X) = \overleftrightarrow{XA} \cap H dan T(Y)=\overleftrightarrow{YA} \cap H. Dalam hal ini, \overleftrightarrow{XA} dan \overleftrightarrow{YA} memiliki dua titik sekutu (titik potong), yaitu titik A dan T(X) = T(Y) (dari pengandaian). Ini berarti, garis \overleftrightarrow{XA} berhimpit dengan garis \overleftrightarrow{YA}, sehingga haruslah X = Y. Hal ini menghasilkan kontradiksi, sebab pada redaksi awal telah dikatakan bahwa X \neq Y. Jadi, pengandaian diingkari. Dengan demikian, T(X) \neq T(Y) dan dapat disimpulkan bahwa T injektif (terbukti) \blacksquare.

[collapse]

Soal Nomor 2
Diketahui sebuah titik K dan ruas garis \overline{AB} dengan K \notin \overline{AB}. Ada sebuah garis g sehingga g \parallel \overleftrightarrow{AB} dan jarak antara K dan \overleftrightarrow{AB} adalah dua kali lebih panjang daripada jarak antara K dan g. Diberikan padanan T dengan daerah asal \overline{AB} dan daerah nilai g sehingga apabila P \in \overline{AB}, maka T(P) = P' = \overleftrightarrow{KP} \cap g.
a) Apakah bentuk himpunan peta-peta P' jika P bergerak pada \overline{AB}?
b) Buktikan bahwa T injektif.
c) Apabila E dan F dua titik pada \overline{AB}, apa yang dapat dikatakan mengenai jarak E'F' jika E' = T(E) dan F'= T(F)?

Penyelesaian

Perhatikan gambar transformasi T berikut dengan P'K = 2KP

Jawaban a)
Diketahui bahwa K \notin \overline{AB}, g // \overleftrightarrow{AB}, T : \overline{AB} \to g
Karena P \in \overline{AB} dan T(P) = P' = \overleftrightarrow{AB} \cap g, maka P' \in g. Jadi, himpunan peta-peta P' adalah ruas garis pada g.
Jawaban b)
Akan dibuktikan T injektif.
Ambil dua titik X dan Y pada g, dengan X \neq Y. Akan ditunjukkan bahwa T(X) \neq T(Y) dengan menggunakan kontradiksi. Andaikan T(X) = T(Y).
Perhatikan bahwa T(X) = \overleftrightarrow{KX} \cap g dan T(Y)=\overleftrightarrow{KY} \cap g. Dalam hal ini, \overleftrightarrow{KX} dan \overleftrightarrow{KY} memiliki dua titik sekutu (titik potong), yaitu titik K dan T(X) = T(Y) (dari pengandaian). Ini berarti, garis \overleftrightarrow{KX} berhimpit dengan garis \overleftrightarrow{KY}, sehingga haruslah X = Y. Hal ini menghasilkan kontradiksi, sebab pada redaksi awal telah dikatakan bahwa X \neq Y. Jadi, pengandaian diingkari. Dengan demikian, T(X) \neq T(Y) dan dapat disimpulkan bahwa T injektif (terbukti) \blacksquare.
Jawaban c)

Diketahui E, F \in \overleftrightarrow{AB}, maka E', F' \in g sehingga EF \parallel E'F'.
Perhatikan segitiga \KE'F' dan KEF.
Diketahui bahwa
\dfrac{F'K} {FK} = \dfrac{E'K} {EK} = \dfrac{1}{2} dan \angle EKF = \angle E'KF sebab kedua sudutnya saling bertolak belakang. Jadi, kedua segitiga itu kongruen.
Akibatnya,
\dfrac{E'F'} {EF} = \dfrac{F'K} {FK} = \dfrac{E'K} {EK} = \dfrac{1}{2}
yang berarti E'F' = \dfrac{1}{2}EF.
Jadi, jarak E'F' adalah setengah kali jarak EF.

[collapse]

Soal Nomor 3
Diketahui tiga titik A, R, S berlainan dan tidak segaris. Ada padanan T yang didefinisikan sebagai berikut.
Diberikan T(A) = A, T(P) = P', sehingga P titik tengah \overline{AP'}
a) Lukislah R' = T(R).
b) Lukislah Z sehingga T(Z) = S
c) Apakah T suatu transformasi?

Penyelesaian

Jawaban a dan b)

Jawaban c)
Untuk membuktikan bahwa T transformasi, harus dibuktikan bahwa T surjektif dan injektif.
i) T surjektif
T surjektif jika \forall Y \in V terdapat prapeta X sehingga Y = T(X). Jika Y = A, maka prapetanya adalah A sendiri, karena T(A) = A. Apabila Y \neq1 A, maka terdapat X tunggal dengan X \in \overline{AY} sehingga AX = AY. Didapat X titik tengah \overline{AY}. Artinya, Y =T(X). Dapat disimpulkan bahwa untuk setiap Y \in V terdapat prapeta X sehingga Y = T(X). Jadi, T surjektif.
ii) T injektif
Ambil titik P, Q \neq A, P \neq Q, P, Q, A tidak segaris (kolinear). Andaikan T(P) = T(Q).
Oleh karena T(P) \in \overleftrightarrow{AP} dan T(Q) \in \overleftrightarrow{AQ}, maka dalam hal ini \overleftrightarrow{AP} dan \overleftrightarrow{AQ} memiliki dua titik sekutu, yaitu A dan T(P) = T(Q). Ini berarti kedua garis itu berimpit, sehingga haruslah Q \in \overleftrightarrow{AP}. Dengan kata lain, P, Q, A segaris dan ini jelas kontradiksi dengan redaksi awal. Pengandaian salah dan harus diingkari. Jadi, T(P) \neq T(Q). Berarti, T injektif.
Berdasarkan (i) dan (ii), T adalah suatu transformasi.

[collapse]

Soal Nomor 4
Diketahui P = (0,0), C_1 = \{(x, y)~ |~ x^2+y^2 = 1\}, dan C_2 = \{(x, y)~|~x^2+y^2 = 25\}.
T : C_1 \mapsto C_2 sdalah suatu padanan yang didefinisikan sebagai berikut.
Apabila X \in C_1, maka T(X) = X' = \overrightarrow{PX} \cap C_2.
a) Apabila A = (0,1), tentukan T(A)
b) Tentukan prapeta dari B(4,3)
c) Apabila Z sembarang titik pada daerah asal T, tentukan jarak ZZ' dengan Z' = T(Z).
d) Apabila E dan F dua titik pada daerah asal T, apa yang dapat dikatakan tentang jarak E'F'?

Penyelesaian


Jawaban a)
Posisikan titik A(0,1) pada koordinat Kartesius. Titik A terletak pada C_1. Tarik garis yang melalui titik A dan P sedemikian sehingga memotong C_2 di (0,5) (tepat pads sumbu Y. Jadi, T(A) = (0,5).
Jawaban b)
Perhatikan gambar berikut.

Perhatikan segitiga APC dan PQB. Kedua segitiga ini sebangun sehingga berlaku
\begin{aligned} & \dfrac{PC} {PQ} = \dfrac{PA} {PB} = \dfrac{AC} {BQ} \\ & \dfrac{PC} {PQ} = \dfrac{PA} {PB} \Leftrightarrow \dfrac{PC} {4} = \dfrac{1}{5} \\ & PC = \dfrac{4}{5} \\ & \dfrac{AC} {BQ} = \dfrac{PA} {PB} \Leftrightarrow \dfrac{AC} {3}= \dfrac{1}{5} \\ & AC = \dfrac{3}{5} \end{aligned}
Jadi, prapeta B adalah A = \left(\dfrac{4}{5}, \dfrac{3}{5}\right)
Jawaban c)
Misalkan Z berada pada C_1 dan Z' berada pada C_2 sedemikian sehingga Z' = T(Z). Karena PZ = 1 (jari-jari lingkaran kecil 1) dan PZ' = 5 (jari-jari lingkaran besar 5), maka jarak ZZ' dapat dinyatakan sebagai
|ZZ'| = 5 - 1 = 4
Jawaban d)
Misalkan E, F \in C_1,E \neq F.
Panjang busur EF dinyatakan sebagai
|EF| = \dfrac{\angle EPF} {2\pi}. (2\pi(1)) = \angle EPF
Selanjutnya, E' = T(E) dan F'= T(F). Panjang busur E'F' dinyatakan sebagai
|E'F'| = \dfrac{\angle E'PF'} {2\pi}. (2\pi(5)) = 5\angle E'PF'
Karena P, E, E' segaris dan juga P, F, F' segaris, maka besar sudut E'PF' sama dengan besar sudut EPF, sehingga
|E'F'| = 5\angle E'PF' = 5\angle EPF = 5|EF|
Jadi, panjang busur E'F' sama dengan 5 kali panjang busur EF

[collapse]

Soal Nomor 5
Diketahui f : V \mapsto V dengan V adalah suatu bidang Euclides. Jika P(x, y), maka f(P) = (|x|, |y|)
a) Tentukan f(A) jika A = (-3,6)
b) Tentukan semua prapeta dari titik B(4,2)
c) Apakah bentuk daerah nilai f?
d) Apakah f suatu transformasi?

Penyelesaian

Jawaban a)
Jika A(-3,6), maka berdasarkan definisi fungsi f, f(A) = (|-3|, |6|) = (3,6).
Jawaban b)
Dalam hal ini, harus dicari prapeta A(x, y) sedemikian sehingga f(A) = B = (4,2). Koordinat A yang mungkin ada 4, yaitu (4,2), (4,-2), (-4, 2), (-4,-2).
Jawaban c)
Daerah nilai f adalah himpunan semua titik-titik di kuadran I, sumbu koordinat positif, atau titik pangkal (titik asal (0,0)).
Jawaban d)
Ambil dua titik, misalnya A_1 = (3,5) \in V, A_2 = (3,-5) \in V. Jelas bahwa A_1 \neq A_2, tetapi f(A_1) = f(A_2) = (3,5). Jadi, terdapat A_1 \neq A_2, tetapi f(A_1) = f(A_2) sehingga dapat dikatakan bahwa f tidak injektif. Oleh karenanya,f bukanlah suatu transformasi.

[collapse]

Soal Nomor 6
Diketahui fungsi g : \text{sumbu X} \mapsto V di mana V bidang Euclides, didefinisikan sebagai berikut.
Apabila P(x, 0), maka g(P) =(x, x^2)
a) Tentukan peta A(3,0) oleh g
b) Apakah R(-14,196) anggota dari daerah nilai (daerah hasil/range) g?
c) Apakah g surjektif?
d) Gambarlah daerah nilai g.

Penyelesaian

Jawaban a)
Peta A(3,0) oleh g adalah g(A) = (3, 3^2) = (3,9).
Jawaban b)
R(-14,196) adalah daerah nilai g karena R mempunyai prapeta, yaitu (-14,0).
Jawaban c)
Ambil titik A' \in V dengan A'(a, b) dan b = a^2. Jelas terdapat A(a, 0) sehingga g(A) = A'. Jadi, g surjektif.
Jawaban d)

[collapse]

Soal Nomor 7
Suatu transformasi T : V \mapsto V didefinisikan sebagai berikut.
Apabila P(x, y), maka
i) T(P) = (x + 1, y), untuk x \geq 0
ii) T(P) = (x - 1, y), untuk x>0
a) Apakah T injektif?
b) Apakah T suatu transformasi?

Penyelesaian

Jawaban a)
Ambil titik P(x_1,y_1) dan Q(x_2,y_2) sehingga P \neq Q. Akan dibuktikan T(P) \neq T(Q).
Karena P \neq Q, maka x_1 \neq x_2 ATAU y_1 \neq y_2.
i) Untuk x \geq 0
T(P) = (x_1+1,y_1) dan T(Q) = (x_2+1,y_2)
Jelas x_1\neq x_2 mengimplikasikan x_1+1\neq x_2+1 atau y_1 \neq y_2. Jadi, T(P) \neq T(Q)
ii) Untuk x < 0
T(P) = (x_1-1,y_1) dan T(Q) = (x_2-1,y_2)
Jelas x_1\neq x_2 mengimplikasikan x_1-1\neq x_2-1 atau y_1 \neq y_2. Jadi, T(P) \neq T(Q)
Berdasarkan i) dan ii), dapat disimpulkan bahwa T injektif.
Jawaban b)
Untuk menunjukkan bahwa T suatu transformasi, harus ditunjukkan bahwa T injektif dan surjektif. T telah dibuktikan injektif pada jawaban a. Selanjutnya, akan ditunjukkan T surjektif.
i) Untuk x \geq 0
Andaikan A = (x', y')
Jika A memiliki prapeta B(x, y), maka haruslah berlaku T(A) = (x' + 1, y'). Jadi, x'+1=x, y'= y
atau
\begin{cases} x'=x-1 \\ y'=y \end{cases}
Jelas T(x-1,y) = ((x-1)+1,y) = (x, y)
Oleh karena x', y' selalu ada untuk sembarang nilai x, y, x \geq 0, maka A selalu ada sehingga T(A) = B.
ii) Untuk x < 0
Andaikan A = (x', y')
Jika A memiliki prapeta B(x, y), maka haruslah berlaku T(A) = (x' - 1, y'). Jadi, x'-1=x, y'= y
atau
\begin{cases} x'=x+1\\ y'=y \end{cases}
Jelas T(x+1,y) = ((x+1)-1,y) = (x, y)
Oleh karena x', y' selalu ada untuk sembarang nilai x, y, x < 0, maka A selalu ada sehingga T(A) = B.
Dari i) dan ii), disimpulkan bahwa T surjektif.
Untuk ini, T transformasi sebab bersifat surjektif dan injektif.

[collapse]

Soal Nomor 8
Diketahui sebuah garis S dan titik-titik A, B, C diposisikan seperti pada gambar.

Diketahui T : V \mapsto V didefinisikan sebagai berikut.
i) Jika P \in S, maka T(P) = P
ii) Jika P \in S, maka T(P) = P' sedemikian hingga garis S adalah sumbu ruas \overline{PP'}
a) Lukislah A' = T(A), B' = T(B)
b) Lukislah prapeta titik C.
c) Apakah T suatu transformasi?
d) Buktikan bahwa A'B' = AB.

Penyelesaian

Jawaban a dan b)

Jawaban c)
Akan ditunjukkan bahwa T transformasi, yaitu dengan menunjukkan bahwa T surjektif dan injektif.
Jelas setiap P pada V, ada prapeta P', sehingga T(P) = P'. Jika P \in S, maka P' = P dan jika P \notin S, maka P' adalah cermin dari P terhadap sumbu S. Jadi, T surjektif.
Untuk P, Q \in S, P \neq Q, jelas P' \neq Q'. Untuk P \notin S, ambillah dua titik A, B \notin S, A \neq B. Kita akan menyelidiki kedudukan A' dan B'. Andaikan A' = B'.
Karena S adalah sumbu ruas garis AA', maka S tegak lurus AA' dan karena S adalah sumbu dari ruas garis BB', maka S tegak lurus BB'.
Karena A'=B' dan kedua garis tegak lurus S, maka AA' dan BB' haruslah berimpit. Akibatnya, A = B. Ini suatu kontradiksi karena redaksi awal mengatakan bahwa A \neq B. Jadi, pengandaian diingkari, dan T injektif.
Dari kedua ini, dapat disimpulkan bahwa T suatu transformasi.
Jawaban d)
Akan dibuktikan A'B' = AB.

Misal D titik potong garis S dengan ruas garis \overline{A'A} dan E titik potong garis S dengan ruas garis \overline{B'B}. Perhatikan segitiga A'DE dan ADE.
A'D = AD (berdasarkan definisi S sebagai sumbu \overline{A'A} sehingga D tepat di tengah \overline{A'A}).
Juga diketahui bahwa \angle A'DE = \angle ADE = 90^{\circ} (karena S sumbu \overline{A'A}, maka S \perp \overline{A'A}). Berdasarkan teorema kekongruenan sisi-sudut-sisi, segitiga A'DE kongruen dengan segitiga ADE. Akibatnya, A'E = AE dan \angle A'ED = \angle AED.
Sekarang, perhatikan segitiga A'B'E dan ABE.
Diketahui A'E = AE~~~~~(i)
dan B'E = BE~~~~~(ii)
(berdasarkan definisi S sebagai sumbu \overline{B'B} sehingga E tepat di tengah \overline{B'B}).
Karena S sumbu \overline{B'B}, maka S \perp \overline{B'B} dan dapat ditulis
\begin{aligned} & \angle B'ED = \angle BED = 90^{\circ} \\ & \angle B'EA = \angle B'ED - \angle A'ED \\ & \angle BEA = \angle BED - \angle AED = \angle B'ED - \angle A'ED \end{aligned}
Berakibat
\angle B'EA = \angle BEA~~~~~~~~(iii)
Berdasarkan (i), (ii), dan (iii), maka menurut teorema kekongruenan sudut-sisi-sudut, segitiga A'B'E kongruen dengan segitiga ABE. Akibatnya, A'B' = AB (terbukti) \blacksquare.

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini

2 Balasan untuk “Soal dan Pembahasan – Transformasi (Geometri)”

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *