Soal dan Pembahasan – Limit Fungsi Aljabar dan Trigonometri (Versi HOTS/Olimpiade)

Substitusi langsung $x = 4$ mengakibatkan munculnya bentuk taktentu $\dfrac{0}{0}.$
Dengan menggunakan metode pengalian akar sekawan sekaligus metode pemfaktoran, diperoleh
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 4} \dfrac{x^3-64}{\sqrt{x}- \sqrt{3\sqrt{x}-2}} \\ = & \lim_{x \to 4} \dfrac{x^3-64}{\sqrt{x}- \sqrt{3\sqrt{x}-2}} \times \dfrac{\sqrt{x}+ \sqrt{3\sqrt{x}- 2}}{\sqrt{x} + \sqrt{3\sqrt{x}-2}} \\ = & \lim_{x \to 4} \dfrac{(x^3-64)(\sqrt{x} + \sqrt{3\sqrt{x}-2})}{x-(3\sqrt{x}-2)} \\ = & \lim_{x \to 4} \dfrac{(x-4)(x^2+4x+16)(\sqrt{x} + \sqrt{3\sqrt{x}-2})}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}-1)} \\ = & \lim_{x \to 4} \dfrac{\cancel{(\sqrt{x}-2)}(\sqrt{x} + 2)(x^2+4x+16)(\sqrt{x} + \sqrt{3\sqrt{x}-2})}{\cancel{(\sqrt{x}-2)}(\sqrt{x}-1)} \\ = & \lim_{x \to 4} \dfrac{(\sqrt{x} + 2)(x^2+4x+16)(\sqrt{x} + \sqrt{3\sqrt{x}-2})}{\sqrt{x}-1} \\ = & \dfrac{(\sqrt{4} + 2)(4^2+4(4)+16)(\sqrt{4} + \sqrt{3\sqrt{4}-2})}{\sqrt{4}-1} \\ = & \dfrac{(2+2)(16+16+16)(2+2)}{2-1} \\ = & 4 \times 48 \times 4 = 768 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 4} \dfrac{x^3-64}{\sqrt{x}- \sqrt{3\sqrt{x}- 2}} = 768}.$
(Jawaban E)

Dengan menggunakan dalil L’Hospital, kita dapat menentukan persamaan yang melibatkan $a$ dan $b$ pada bentuk limit tersebut, dengan syarat substitusi langsung $x = 4$ menghasilkan bentuk taktentu $\dfrac{0}{0}.$ Ini berarti,
$\dfrac{4^2 + a\sqrt{4} + b}{4- 4} = \dfrac{2a + b + 16}{0} = \dfrac{0}{0}.$
Jadi, diperoleh persamaan $2a + b =-16$.
Selanjutnya, terapkan dalil L’Hospital (turunkan terhadap variabel $x$)
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 4} \dfrac{x^2 + a\sqrt{x} + b}{x-4} & = 5 \\ \stackrel{\text{L’H}}{\Rightarrow} \lim_{x \to 4} \dfrac{2x + \frac{1}{2\sqrt{x}}a}{1} & = 5 \\ 2(4) + \dfrac{1}{2\sqrt{4}}a & = 5 \\ 8 + \dfrac{1}{4}a & = 5 \\ a & = (5-8) \times 4 \\ a & =-12 \end{aligned}$
Substitusi $a =-12$ pada persamaan $2a + b =-16.$
$2(-12) + b =-16 \Leftrightarrow b = 8.$
Jadi, nilai $\boxed{a + b =-12 + 8 =-4}.$

Bentuk limit di atas dapat ditentukan dengan menggunakan Dalil L’Hospital, namun syaratnya ketika $x = b$ disubstitusikan menghasilkan bentuk taktentu $\dfrac{0}{0}$. 
Pada penyebut, jelas substitusi menghasilkan $0.$
Pada pembilang, 
$\begin{aligned} 4- \sqrt{a(x+b)} & = 0 \\ 4-\sqrt{a(b+b)} & = 0 \\-\sqrt{2ab} & =-4 \\ ab & = 8 && (\bigstar) \end{aligned}$
Terapkan dalil L’Hospital dengan cara menurunkan masing-masing pembilang dan penyebut terhadap variabel $x$. 
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to b} \dfrac{4- \sqrt{a(x+b)}} {b-x} & = b \\ \stackrel{\text{L’H}}{\Rightarrow} \lim_{x \to b} \dfrac{-\frac{1}{2}a(a(x+b))^{-\frac{1}{2}}} {-1} & = b \\ \text{Substitusi}~x = b & \\ \dfrac{a} {2\sqrt{a(b+b)}} & = b \\ a & = 2b\sqrt{2ab} \\ a^2 & = 4b^2 \cdot 2ab \\ a^2 & = 8ab^3 \\ a(a- 8b^3) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $a = 0$ (tidak memenuhi karena diberikan bahwa $a < 0$) atau $a = 8b^3$. 
Substitusi $a = 8b^3$ pada $\bigstar$, 
$\begin{aligned} ab & = 8 \\ (8b^3)b & = 8 \\ b^4 & = 1 \end{aligned}$
Diperoleh $b = 1$ (tidak memenuhi karena diberikan bahwa $b < 0$) atau $b =-1$ (memenuhi). 
Untuk $b =-1$, diperoleh $a = 8b^3 = 8(-1)^3 =-8$. 
Jadi, $\boxed{a-b=-8-(-1)=-7}.$
(Jawaban B)

Perhatikan bentuk $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)} {x^2} = 1$. Karena memiliki nilai limit berhingga, maka substitusi langsung $x = 0$ harus menghasilkan bentuk taktentu $\dfrac{0}{0}$. Ini mengimplikasikan
$\dfrac{\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x)} {\displaystyle \lim_{x \to 0} x^2} = 1$
sehingga mengharuskan $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) = 0}.$
(Jawaban B)

Dengan menggunakan sifat dasar limit, persamaan $\displaystyle \lim_{x \to a} [f(x)-3g(x)] = 2$ dapat kita tuliskan menjadi
$\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)- 3 \lim_{x \to a} g(x) = 2$
dan persamaan $\displaystyle \lim_{x \to a} [3f(x) + g(x)] = 1$ dapat kita tuliskan menjadi
$\displaystyle 3 \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x) = 1.$
Sekarang, misalkan $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = m$ dan $\displaystyle \lim_{x \to a} g(x) = n$, sehingga terbentuk SPLDV:
$\begin{cases} m-3n = 2 \\ 3m + n = 1 \end{cases}$
Selesaikan dengan metode gabungan. 
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} m- 3n & = 2 \\ 3m + n & = 1 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 3 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned} m-3n&=2 \\~9m+3n & = 3 \end{aligned} \\ & \rule{2.8 cm}{0.6pt} + \\ & \! \begin{aligned} 10m & = 5 \\ m & = \dfrac{5}{10} = \dfrac12 \end{aligned} \end{aligned}$
Untuk $m = \dfrac12$, diperoleh:
$\begin{aligned} 3m + n & = 1 \\ n & = 1- 3m \\ & = 1-3\left(\dfrac12\right) \\ & =-\dfrac12 \end{aligned}$
Ini berarti, $m = \displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = \dfrac12$ dan $n = \displaystyle \lim_{x \to a} g(x) =-\dfrac12.$ 
Dengan demikian, 
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to a} f(x)g(x) & = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x) \\ & = \dfrac{1}{2} \cdot \left(-\dfrac12\right) =-\dfrac14 \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)g(x) =-\dfrac14}.$
(Jawaban B)

Dengan menggunakan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
$\begin{aligned}&  \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{g(x)} {\sqrt{1-x}-1}\\  & = \lim_{x \to 0} \dfrac{g(x)} {\sqrt{1-x}-1} \times \dfrac{\sqrt{1-x} +1}{\sqrt{1-x} +1} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{g(x)(\sqrt{1-x} +1)} {(1-x)-1} \\ & =- \lim_{x \to 0} \dfrac{g(x)(\sqrt{1-x} +1)} {x} \\ & =-\lim_{x \to 0} \dfrac{g(x)} {x} \times \lim_{x \to 0} (\sqrt{1-x} +1) \\ & =-\dfrac12 \times (\sqrt{1-0}+1) \\ & =-1 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{g(x)} {\sqrt{1-x}-1} =-1}.$ 
(Jawaban C)

Dengan menggunakan substitusi langsung, diperoleh
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{\frac13Ax^3 + \frac12Bx^2-3x} {x^3-2x^2-9x+16} & = \dfrac{3}{10} \\ \dfrac{\frac13A(2)^3 + \frac12B(2)^2-3(2)} {(2)^3-2(2)^2-9(2)+16} & = \dfrac{3}{10} \\ \dfrac{\frac83A + 2B-6}{8- 8-18 + 16} & = \dfrac{3}{10} \\ \dfrac{\frac83 A + 2B- 6}{-2} \times \color{red}{\dfrac{-5}{-5}} & = \dfrac{3}{10} \\ \dfrac{-\frac{40}{3}A-10B + 30}{\cancel{10}} & = \dfrac{3}{\cancel{10}} \\-\frac{40}{3}A-10B + 30 & = 3 \\ \text{Kalikan kedua ruas dengan}~&(-3) \\ 40A + 30B-90 & =-9 \\ 40A + 30B & = 81 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{40A+30B = 81}.$
(Jawaban B)

Gunakan metode pengalian akar sekawan dua kali. 
Kalikan fungsinya dengan $\dfrac{\sqrt{7x^2+2\sqrt{x}} + \sqrt{11x^2- 2\sqrt{x}}} {\sqrt{7x^2+2\sqrt{x}} + \sqrt{11x^2-2\sqrt{x}}}$
sehingga didapat
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{(\sqrt{3x^2+\sqrt{x}}- \sqrt{5x^2-\sqrt{x}})(\sqrt{7x^2+2\sqrt{x}})} {(7x^2+2\sqrt{x})-(11x^2-2\sqrt{x})} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{(\sqrt{3x^2+\sqrt{x}}- \sqrt{5x^2-\sqrt{x}})(\sqrt{7x^2+2\sqrt{x}})} {-4x^2+4\sqrt{x}} \end{aligned}$$Selanjutnya, kalikan fungsinya dengan $\dfrac{\sqrt{3x^2+\sqrt{x}} + \sqrt{5x^2-\sqrt{x}}} {\sqrt{3x^2+\sqrt{x}} + \sqrt{5x^2-\sqrt{x}}}$
sehingga didapat
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\cancel{(-2x^2+2\sqrt{x})} (\sqrt{7x^2+2\sqrt{x}}) + \sqrt{11x^2-2\sqrt{x}})} {\cancelto{2}{(-4x^2+4\sqrt{x})} (\sqrt{(3x^2+\sqrt{x}} + \sqrt{5x^2-\sqrt{x}})}\\ & = \lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{7x^2+2\sqrt{x}}+ \sqrt{11x^2-2\sqrt{x}}}{2(\sqrt{3x^2+\sqrt{x}} + \sqrt{5x^2-\sqrt{x}})}\\ & =\dfrac{\sqrt{7(1)^2 + 2\sqrt{1}} + \sqrt{11(1)^2-2\sqrt{1}}} {2(\sqrt{3(1)^2 + \sqrt{1}} + \sqrt{5(1)^2-\sqrt1}} \\ & = \dfrac{3 + 3}{2(2+2)} = \dfrac68 = \dfrac34 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $$\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{3x^2+\sqrt{x}}-\sqrt{5x^2-\sqrt{x}}} {\sqrt{7x^2+2\sqrt{x}}- \sqrt{11x^2-2\sqrt{x}}} = \dfrac34}.$$(Jawaban E)

Tinjau $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x}} = b$.
Dengan menggunakan metode pengalian akar sekawan, didapat
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x}} & = b \\ \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x}} & \times \color{red}{ \dfrac{\sqrt{a+x} + \sqrt{a-x}}{\sqrt{a+x} + \sqrt{a-x}}} = b \\ \lim_{x \to 0} \dfrac{x(\sqrt{a+x} + \sqrt{a-x})}{(a+x)-(a-x)} & = b \\ \lim_{x \to 0} \dfrac{\cancel{x}(\sqrt{a+x} + \sqrt{a-x})}{2\cancel{x}} & = b \\ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{a+x} + \sqrt{a-x}}{2} & = b \\ \dfrac{\sqrt{a+0} + \sqrt{a-0}}{2} & = b \\ 2\sqrt{a} & = 2b \\ a^{\frac{1}{2}} & = b \end{aligned}$$Selanjutnya, tinjau $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{b+x}-\sqrt{b-x}}{x}.$
Dengan menggunakan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{b+x}-\sqrt{b-x}}{x} \\ = & \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{b+x}-\sqrt{b-x}}{x} \times \color{blue}{\dfrac{\sqrt{b+x} + \sqrt{b-x}}{\sqrt{b+x} + \sqrt{b-x}}} \\ = & \lim_{x \to 0} \dfrac{(b+x)-(b-x)}{x(\sqrt{b+x} + \sqrt{b-x})} \\ = & \lim_{x \to 0} \dfrac{2\cancel{x}}{\cancel{x}(\sqrt{b+x} + \sqrt{b-x})} \\ = & \lim_{x \to 0} \dfrac{2}{\sqrt{b+x} + \sqrt{b-x}} \\ = & \dfrac{2}{\sqrt{b+0} + \sqrt{b-0}} \\ = & \dfrac{2}{2\sqrt{b}} = \dfrac{1}{\sqrt{b}} \end{aligned}$$Substitusikan nilai $b = a^{\frac{1}{2}}$ sehingga diperoleh
$\dfrac{1}{\sqrt{b}} = b^{-\frac{1}{2}} = (a^{\frac{1}{2}})^{-\frac{1}{2}} = a^{-\frac{1}{4}}.$
Jadi, nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{b+x}- \sqrt{b-x}}{x} = a^{-\frac{1}{4}}.$
(Jawaban B)

Diketahui: $\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{ax^4+b}-2}{x-1} = A.$
Dengan menggunakan sejumlah sifat limit dasar, diperoleh
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{ax^4+b}-2x}{x^2+2x-3} \\ & = \lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{ax^4+b}-2-2x + 2}{(x+3)(x-1)} \\ & = \lim_{x \to 1} \dfrac{1}{x+3} \cdot \lim_{x \to 1} \left(\dfrac{\sqrt{ax^4+b}-2}{x-1}-\dfrac{2x-2}{x-1}\right) \\ & = \lim_{x \to 1} \dfrac{1}{x+3} \cdot \lim_{x \to 1} \left(\dfrac{\sqrt{ax^4+b}-2}{x-1}- \dfrac{2\cancel{(x-1)}}{\cancel{x-1}}\right) \\ & = \dfrac{1}{1+3} \cdot (A-2) \\ & = \dfrac{1}{4}(A-2) \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{ax^4+b}-2x}{x^2+2x-3} = \dfrac14(A-2)}.$
(Jawaban B)

Dari persamaan $\displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{ax^2+b}-8}{x-2} = A,$ kita ketahui bahwa limitnya ada, sehingga substitusi $x = 2$ pada bentuk $\dfrac{\sqrt{ax^2+b}- 8}{x- 2}$ seharusnya menghasilkan bentuk taktentu $\dfrac00$, ditulis
$\dfrac{\sqrt{a(2)^2+b}-8}{2-2} = \dfrac{\sqrt{4a+b}-8}{0} = \dfrac00$
Jadi, diperoleh persamaan
$\begin{aligned} \sqrt{4a+b}-8 & = 0 \\ \sqrt{4a+b} & = 8 \\ \text{Kuadratkan}&~\text{kedua ruas} \\ 4a+b & = 64 \end{aligned}$
Sekarang, dapat kita tulis
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt[3]{ax^2+b}-2x}{x^2+x-2} & = \dfrac{\sqrt[3]{a(2)^2+b}-2(2)}{(2)^2+2-2} \\ & = \dfrac{\sqrt[3]{4a+b}-4}{4} \\ & = \dfrac{\sqrt[3]{64}-4}{4} \\ & = \dfrac{4-4}{4} = 0 \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt[3]{ax^2+b}-2x}{x^2+x-2} = 0}.$
(Jawaban C)

Gunakan sifat pemfaktoran berikut.
$\boxed{a^2-b^2=(a+b)(a-b)}.$
Kita mulai dari bentuk limit yang ditanya, lalu kita arahkan supaya muncul bentuk limit yang diketahui.
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{t \to a} \dfrac{(|a|-1)^4-(|t|-1)^4}{t-a} \\ & = \lim_{t \to a} \dfrac{\left[(|a|-1)^2-(|t|-1)^2\right] \cdot \left[(|a|-1)^2+(|t|-1)^2\right]}{(t-a)(t+a)} \cdot (t+a) \\ & = -\lim_{t \to a} \dfrac{(|t|-1)^2-(|a|-1)^2}{t^2-a^2} \cdot \lim_{t \to a} \left[(\color{red}{t}+a) \cdot ((|a|-1)^2+(|\color{red}{t}|-1)^2)\right] \\ & = -M \cdot (\color{red}{a}+a)((|a|-1)^2+(|\color{red}{a}|-1)^2) \\ & = -M \cdot (2a) \cdot 2(|a|-1)^2 \\ & = -4aM(|a|-1)^2 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $$\boxed{\displaystyle \lim_{t \to a} \dfrac{(|a|-1)^4-(|t|-1)^4}{t-a} = -4aM(|a|-1)^2}.$$(Jawaban C)

Karena fungsi $\dfrac{x^2-x-b} {2-x}$ memiliki nilai limit untuk $x$ mendekati $2$, maka substitusi langsung $x = 2$ harus menghasilkan bentuk taktentu $\dfrac{0}{0}$ sehingga ditulis
$\dfrac{(2)^2-2-b} {2-2} = \dfrac{2-b} {2-2} = \dfrac{0}{0}.$
Dengan demikian, diperoleh $b = 2$. 
Selanjutnya, dapat ditentukan nilai $a$ sebagai berikut. 
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{x^2-x-2}{2-x} & = \lim_{x \to 2} \dfrac{\cancel{(x-2)}(x+1)} {-\cancel{(x-2)}} \\ & = \lim_{x \to 2} \dfrac{x+1}{-1} \\ & =-(2+1) =-3 \end{aligned}$$Diperoleh nilai $a =-3.$
Jadi, hasil dari $\boxed{b-a=2-(-3)=5}.$
(Jawaban E)

Agar fungsi tersebut memiliki nilai limit ketika $x$ mendekati $2$, substitusi $x=2$ harus membuat nilai fungsinya menjadi $\dfrac00$ (bentuk taktentu).
Pada pembilang, jelas $(2)^2-4 = 0$.
Pada penyebut,
$\sqrt{2p+q}-2 = 0 \Rightarrow 2p+q = 4.$
Selanjutnya, dengan menggunakan dalil L’Hospital pada bentuk limitnya, diperoleh
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{x^2-4}{\sqrt{px+q}-2} & = 8 \\ \stackrel{\text{L’H}}{\Rightarrow} \lim_{x \to 2} \dfrac{2x}{\dfrac{p}{2\sqrt{px+q}}} & = 8 \\ \dfrac{2(2)}{\dfrac{p}{2\sqrt{2p+q}}} & = 8 \\ 4(2\sqrt{2p+q}) & = 8p \\ \text{Substitusi}~& 2p+q=4 \\ 4(2\sqrt{4})&=8p \\ p & = 2 \end{aligned}$
Untuk itu, $2p+q= 4 \Rightarrow 2(2)+q=4 \Leftrightarrow q=0$.
Jadi, $\boxed{3p-5q=3(2)-5(0) = 6}.$
(Jawaban E)

Agar $\displaystyle \lim_{x \to 2} f(x)$ memiliki nilai, maka limit kiri dan limit kanannya harus sama. 
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 2^-} f(x) & = \lim_{x \to 2^+} f(x) \\ \lim_{x \to 2} (3x-p) & = \lim_{x \to 2} (2x+1) \\ 3(2)-p & = 2(2)+1 \\ 6-p & = 5 \\ p & = 1 \end{aligned}$
Jadi, nilai $p$ adalah $\boxed{1}.$
(Jawaban A)

Dengan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle & \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{5x^5 + 4 \sin^4 x}}{\sqrt{x^2+1}-1} \\ = & \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x^4\left(5x + 4 \dfrac{\sin^4 x}{x^4}\right)}}{\sqrt{x^2+1}-1} \times \color{blue}{\dfrac{\sqrt{x^2+1} + 1}{\sqrt{x^2+1} + 1}} \\ = & \lim_{x \to 0} \dfrac{x^2\sqrt{5x + 4 \dfrac{\sin^4 x}{x^4}} \cdot (\sqrt{x^2+1} + 1)}{(x^2 + 1)-1} \\ = & \lim_{x \to 0} \dfrac{x^2\sqrt{5x + 4 \dfrac{\sin^4 x}{x^4}} \cdot (\sqrt{x^2+1} + 1)}{x^2} \times \color{red}{\dfrac{\dfrac{1}{x^2}}{\dfrac{1}{x^2}}} \\ = & \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{5x + 4 \dfrac{\sin^4 x}{x^4}} \cdot (\sqrt{x^2+1} + 1)}{1} \\ = & \sqrt{5(0) + 4} \cdot (\sqrt{0^2+1} + 1) \\ = & \sqrt{4}(\sqrt{1}+1) = 4 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{5x^5 + 4 \sin^4 x}}{\sqrt{x^2+1}-1} = 4}.$
(Jawaban B)

Dengan menggunakan dalil L’Hospital, akan ditentukan nilai limitnya sebagai berikut. Ingat bahwa turunannya terhadap variabel $p$, sehingga $x$ dianggap sebagai konstanta.
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{p \to 0} \dfrac{f(x+2p)-f(x)}{2p} \\ & = \lim_{p \to 0} \dfrac{\sin^2 3(x+2p)-\sin^2 3x}{2p} \\ & = \lim_{p \to 0} \dfrac{\sin^2 (3x+6p)-\sin^2 3x}{2p} \\ & = \lim_{p \to 0} \dfrac{6 \cdot 2 \sin (3x+6p) \cos (3x+6p)-0}{2} \\ & = 6 \sin (3x + 0) \cos (3x + 0) \\ & = 6 \sin 3x \cos 3x \end{aligned}$$Jadi, nilai dari limitnya adalah $\boxed{6 \sin 3x \cos 3x}.$
(Jawaban D)

Misalkan $y = x-1$. 
Untuk $x \to 1$, maka $y \to 0.$
Dengan demikian, limit di atas dapat ditulis kembali menjadi
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 1} \sqrt{\dfrac{\tan \pi(x-1)-(x+1)(x-1)} {-4(x-1) + \sin 2\pi(x-1)}} \\ & = \sqrt{\lim_{y \to 0} \dfrac{\tan \pi y- (y+2)y} {-4y + \sin 2\pi y}} \\ & = \sqrt{\lim_{y \to 0} \dfrac{\frac{\tan \pi y} {y}-\frac{(y+2)y} {y}} {\frac{-4y} {y} + \frac{\sin 2\pi y} {y} }} \\ & = \sqrt{\dfrac{\pi-(0 + 2)} {-4 + 2\pi}} \\ & = \sqrt{\dfrac{\cancel{\pi-2}}{2\cancel{(\pi-2)}}} \\ & = \sqrt{\dfrac12} = \dfrac12\sqrt{2} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $$\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 1} \sqrt{\dfrac{\tan (\pi x-\pi)- (x^2-1)} {(4-4x) + \sin 2(\pi x-\pi)}} = \dfrac12\sqrt{2}}.$$(Jawaban C)

Diketahui $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos x-1}{ax \sin x + b} = 1$.
Karena limitnya ada, maka substitusi $x = 0$ pada fungsi seharusnya menghasilkan bentuk taktentu $\dfrac{0}{0}$.
Kita tuliskan:
$\begin{aligned} \dfrac{\cos 0-1}{a(0) \sin 0 + b} & = \dfrac00 \\ \dfrac{1-1}{0 + b} & = \dfrac00 \\ \dfrac{0}{0+b} & = \dfrac00 \end{aligned}$
Kita peroleh $b = 0$ agar persamaan terpenuhi.
Sekarang, persamaan limitnya dapat ditulis menjadi $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos x-1}{ax \sin x } = 1.$
Dengan mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan $(\cos x + 1)$, kita peroleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos x-1}{ax \sin x } \color{red}{\dfrac{\cos x + 1}{\cos x + 1}} & = 1 \\ \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos^2 x-1}{ax \sin x(\cos x +1)} & = 1 \\ -\dfrac{1}{a} \lim_{x \to 0} \dfrac{\color{blue}{\sin^2 x}}{x \sin x(\cos x + 1)} & = 1 \\ -\dfrac{1}{a} \cdot \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{\sin x} \cdot \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{\cos x + 1} & = 1 \\ -\dfrac{1}{a} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \dfrac{1}{\cos 0 + 1} & = 1 \\ -\dfrac{1}{2a} & = 1 \\ a & = -\dfrac12 \end{aligned}$$Catatan: $\color{blue}{\sin^2 x = 1-\cos^2 x}$
Jadi, nilai $\boxed{a+b=-\dfrac12+0=-\dfrac12}.$
(Jawaban C)

Dengan menggunakan aturan kosinus pada segitiga $AOB$ ditinjau dari titik $O$, diperoleh
$$\begin{aligned} |AB|^2 & = |AO|^2+|BO|^2-2 \cdot |AO| \cdot |BO| \cos t \\ & = r^2+r^2-2(r)(r) \cos t \\ & = \color{red}{2r^2(1-\cos t)} \end{aligned}$$Luas setengah lingkaran tersebut adalah
$\begin{aligned} E & = \dfrac12 \cdot \pi \cdot \left(\dfrac12 |AB|\right)^2 \\ & = \dfrac12 \pi \left(\dfrac{\color{red}{2r^2(1-\cos t)}}{4}\right) \\ & = \dfrac{\pi}{4} \cdot r^2(1-\cos t) \end{aligned}$
Luas segitiga sama sisi $AOB$ dapat ditentukan dengan Aturan Luas Segitiga Trigonometri, yaitu
$\begin{aligned} D & = \dfrac12 \cdot AO \cdot BO \cdot \sin t \\ & = \dfrac12 \cdot r \cdot r \cdot \sin t \\ & = \dfrac12r^2 \sin t \end{aligned}$
Dengan demikian,
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{E}{D} & = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{\dfrac{\pi}{8} \cdot \cancel{r^2}(1-\cos t)}{\dfrac12 \cdot \cancel{r^2} \sin t} \\ & = \dfrac{\pi}{2} \cdot \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{1-\cos t}{\sin t} \\ & = \dfrac{\pi}{2} \cdot \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{1-\cos t}{\sin t} \color{blue}{\times \dfrac{1+\cos t}{1+\cos t}} \\ & = \dfrac{\pi}{2} \cdot \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{1-\cos^2 t}{\sin t(1+\cos t)} \\ & = \dfrac{\pi}{2} \cdot \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{\cancelto{\sin t}{\sin^2 t}}{\cancel{\sin t}(1+\cos t)} \\ & = \dfrac{\pi}{2} \cdot \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{\sin t}{1+\cos t} \\ & = \dfrac{\pi}{2} \cdot \dfrac{\sin \dfrac{\pi}{2}}{1+\cos \dfrac{\pi}{2}} \\ & = \dfrac{\pi}{2} \cdot \dfrac{1}{0+1} = \dfrac{\pi}{2} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari limit itu adalah $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{E}{D} = \dfrac{\pi}{2}}.$
(Jawaban C)

Perhatikan bahwa substitusi langsung $x = 0$ pada fungsi menghasilkan bentuk taktentu, yaitu
$$\dfrac{f(2021)-f(2021)}{f(2020)-f(2020)} = \dfrac00.$$Dengan demikian, kita dapat menggunakan dalil L’Hospital. Turunkan masing-masing pembilang dan penyebut. Gunakan Aturan Rantai.
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{f(x^{2020} + 2x^{2019} + \cdots + 2020x + 2021)-f(2021)}{f(x^{2019} + 2x^{2018} + \cdots + 2019x + 2020)-f(2020)} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{(2020x^{2019} + 2 \cdot 2019x^{2018} + \cdots + 2020)(f'(x^{2020} + 2x^{2019} + \cdots + 2020x + 2021))-0}{(2019x^{2018} + 2 \cdot 2018x^{2017} + \cdots + 2019)(f'(x^{2019} + 2x^{2018} + \cdots + 2019x + 2020)-0} \\ & = \dfrac{(0 + 0 + \cdots + 2020)(f'(0+0+\cdots+0+2021))}{(0+0+\cdots+2019)(f'(0+0+\cdots+0+2020))} \\ & = \dfrac{2020f'(2021)}{2019f'(2020)} \\ & = \dfrac{2020(2019)}{2019(2020)} = 1 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari limit tersebut adalah $\boxed{1}.$
(Jawaban C)

Agar limit dari suatu fungsi ada dan berhingga, substitusi titik limitnya harus menghasilkan bentuk taktentu $\dfrac{0}{0}.$
Pada penyebut, jelas bahwa jika $x = a,$ maka $x- a  = a-a = 0.$
Tinjau pembilang fungsi tersebut.
$\begin{aligned} x^3 + (3-a)x-3a & = 0 \\ \text{Substitusi}~x = a & \\ a^3 + (3-a)a-3a & = 0 \\ a^3-a^2 & = 0 \\ a^2(a- 1) & = 0 \end{aligned}$
Persamaan terakhir menunjukkan bahwa $a = 0$ atau $a = 1$.
Jadi, nilai $a$ yang dimaksud adalah $\boxed{0}$ atau $\boxed{1}.$

Misalkan $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d, a \neq 0$.
Gunakan dalil L’Hospital pada $\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x-1} =-2$ dengan syarat $f(1) = 0$, yaitu
$\begin{aligned} & a(1)^3 + b(1)^2 + c(1) + d \\ & = a + b + c + d = 0. \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x-1} & =-2 \\ \lim_{x \to 1} f'(x) & =-2 \\ \lim_{x \to 1} (3ax^2 + 2bx + c) & =-2 \\ 3a(1)^2 + 2b(1) + c & =-2 \\ 3a + 2b + c & =-2. \end{aligned}$
Selanjutnya, gunakan dalil L’Hospital pada $\displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{f(x)}{x-3} = 10$ dengan syarat $f(3) = 0,$ yaitu
$\begin{aligned} & a(3)^3 + b(3)^2 + c(3) + d \\ & = 27a + 9b + 3c + d = 0 \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{f(x)}{x-3} & = 10 \\ \stackrel{\text{L’H}}{\Rightarrow} \lim_{x \to 3} f'(x) & = 10 \\ \lim_{x \to 3} (3ax^2 + 2bx + c) & = 10 \\ 3a(3)^2 + 2b(3) + c & = 10 \\ 27a + 6b + c & = 10. \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh SPLEV berikut.
$\begin{cases} a+b+c+d=0 \\ 3a+2b+c=-2 \\ 27a+9b+3c+d=0 \\ 27a+6b+c=10 \end{cases}$
Selesaikan sistem di atas sehingga didapat $a = 2, b =-9, c = 10$, dan $d =-3.$
Jadi, rumus fungsi $f(x)$ adalah $\boxed{f(x) = 2x^3-9x^2 + 10x-3}.$

Substitusi langsung $x = 0$ mengakibatkan munculnya bentuk taktentu $\dfrac{0}{0}$. 
Misalkan $y = \sqrt[3]{x}$. Ini berarti $y^3 = x$. Untuk $x$ mendekati $1$, nilai $y$ juga mendekati $1$. Dengan demikian, bentuk limit di atas ekuivalen dengan bentuk berikut. Selanjutnya, selesaikan dengan menggunakan metode pemfaktoran. 
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt[3]{x^2}-2\sqrt[3]{x} + 1}{(x-1)^2} & = \lim_{y \to 1} \dfrac{y^2-2y + 1}{(y^3-1)^2} \\ & = \lim_{y \to 1} \dfrac{\cancel{(y-1)^2}}{\cancel{(y-1)^2}(y^2+y+1)^2} \\ & = \lim_{y \to 1} \dfrac{1}{(y^2+y+1)^2} \\ & = \dfrac{1}{(1^2 + 1 + 1)^2} \\ & = \dfrac{1}{3^2} = \dfrac{1}{9} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt[3]{x^2}- 2\sqrt[3]{x} + 1}{(x-1)^2} = \dfrac{1}{9}}.$

Perhatikan bahwa $\displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{x^2+ax+b}{x^2+cx+d} = \dfrac12.$
Karena memiliki nilai limit, maka klaim bahwa substitusi langsung $x = 2$ mengakibatkan munculnya bentuk taktentu $\dfrac00$ sehingga
$$\begin{aligned} 4 + 2a + b & = 0 \Rightarrow 2a+b = -4 && (\cdots 1)\\ 4 + 2c + d & = 0 \Rightarrow 2c+d=-4 && (\cdots 2) \end{aligned}$$Selanjutnya, terapkan dalil L’Hospital.
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{x^2+ax+b}{x^2+cx+d} & = \dfrac12 \\ \stackrel{\text{L’H}}{\Rightarrow} \lim_{x \to 2} \dfrac{2x+a}{2x+c} & = \dfrac12 \\ \dfrac{2(2) + a}{2(2) + c} & = \dfrac12 \\ \dfrac{4+a}{4+c} & = \dfrac12 \\ 8 + 2a & = 4 + c \\ \color{red}{2a}~& \color{red}{= c-4} && (\cdots 3) \end{aligned}$$Karena $b, c, d$ membentuk barisan aritmetika, maka berlaku $\color{blue}{2c = b + d}.$
Dengan menjumlahkan persamaan $(1)$ dan $(2)$, kita peroleh
$$\begin{aligned} 2a + 2c + b + d & = -8 \\ \color{red}{(c-4)} + 2c + \color{blue}{2c} & = -8 \\ 5c & = -4 \\ c & = -\dfrac45 \end{aligned}$$Karena $c = -\dfrac45$, maka dari persamaan $2a = c-4$, kita peroleh nilai $a = -\dfrac{12}{5}.$
Dari persamaan $2a + b = -4$, substitusi $a = -\dfrac{12}{5}$ untuk mendapatkan $b = \dfrac45$.
Dari persamaan $2c + d = -4$, substitusi $c = -\dfrac45$ untuk mendapatkan $d = -\dfrac{12}{5}$.
Jadi, nilai $$\boxed{a + b + c + d = -\dfrac{12}{5} + \dfrac45 + \left(-\dfrac45\right) + \left(-\dfrac{12}{5}\right) = -\dfrac{24}{5}}.$$

Gunakan identitas trigonometri dan teorema limit trigonometri berikut. 
$\boxed{\begin{aligned} & \cos \theta = \sin \left(\dfrac{\pi} {2}-\theta\right) \\ & \cos^2 \theta = \sin^2 \left(\theta- \dfrac{\pi} {2}\right) \\ & \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin ax} {bx} = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin ax} {\tan bx} = \dfrac{a} {b} \end{aligned}}$
Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi} {2}} \dfrac{4(x-\pi) \cos^2 x} {\pi(\pi-2x) \tan (x-\frac{\pi} {2})} \\ &= \lim_{x \to \frac{\pi} {2}} \dfrac{4(x-\pi) \sin^2 \left(x-\frac{\pi} {2}\right)} {-2\pi\left(x-\frac{\pi} {2}\right) \tan (x-\frac{\pi} {2}} \\ & = \lim_{x \to \frac{\pi} {2}} \left(\dfrac{4(x-\pi)} {-2\pi} \cdot \dfrac{\sin \left(x-\frac{\pi} {2}\right)} {\left(x-\frac{\pi} {2}\right)} \cdot \dfrac{\sin \left(x-\frac{\pi} {2}\right)} {\tan \left(x-\frac{\pi} {2}\right)} \right) \\ & = \dfrac{4\left(\frac{\pi} {2}-\pi\right)} {-2\pi} \cdot 1 \cdot 1 = \dfrac{-2\pi} {-2\pi} = 1 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi} {2}} \dfrac{4(x-\pi) \cos^2 x} {\pi(\pi-2x) \tan (x-\frac{\pi} {2})}$ adalah $\boxed{1}.$

Fungsi tersebut akan kontinu di $x = 1$ apabila $\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x) = f(1) = 1.$
Sekarang, perhatikan bahwa untuk setiap $x \neq 1$, berlaku
$$\begin{aligned} &-1 \leq \sin \left(\dfrac{1}{x-1}\right) \leq 1 \\ &-(x-1)^2 \leq (x-1)^2 \sin \left(\dfrac{1}{x-1}\right) \leq (x-1)^2 \\ &-(x-1)^2 \leq f(x) \leq (x-1)^2 \end{aligned}$$Perhatikan bahwa 
$\displaystyle \lim_{x \to 1}-(x-1)^2 = \lim_{x \to 1}-(x-1)^2 = 0$
sehingga menurut teorema apit dalam konsep limit berlaku $\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x) = 0$. Ternyata kita peroleh bahwa $\lim_{x \to 1} f(x) \neq f(1).$ Dengan demikian, $f$ tidak kontinu di $x = 1$.

Alternatif I:
Dengan menggunakan teorema limit trigonometri bahwa  $\boxed{\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x} {x} = 1}$ dan juga perhatikan bahwa $x \sin \dfrac{1}{x}$ akan bernilai $0$ apabila $x \to 0$, maka kita peroleh
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin \left(x \sin \frac{1}{x} \right)} {x \sin \frac{1}{x}} = \lim_{a \to 0} \dfrac{\sin a} {a} = 0.$
Alternatif II:
Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} &-1 \leq \sin \dfrac{1}{x} \leq 1 \\ &-x \leq x \sin \dfrac{1}{x} \leq x \\ & 0 \leq \lim_{x \to 0} x \sin \dfrac{1}{x} \leq 0 \end{aligned}$
Dengan menggunakan Teorema Apit, dapat disimpulkan bahwa
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin \left(x \sin \frac{1}{x} \right)} {x \sin \frac{1}{x}} = 0$.

Agar $f$ memiliki limit di $x = 0$, haruslah berlaku
$\displaystyle \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x).$
Ekspresi pada ruas kiri persamaan di atas memberikan
$\displaystyle \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin (ax)} {x} = a.$
Ekspresi pada ruas kanan persamaan di atas memberikan
$\displaystyle \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0} (x + 1) = 1.$
Dapat disimpulkan bahwa agar $f$ memiliki limit di $x = 0$, nilai $a$ haruslah $\boxed{1}.$

Agar $f$ kontinu di $x = 0$, haruslah berlaku
$\displaystyle \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0).$
Untuk itu, dapat ditulis
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0^-} f(x) & = \lim_{x \to 0^+} f(x) \\ \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan (kx)} {x} & = \lim_{x \to 0} (3x+2k^2) \\ k & = 3(0) + 2k^2 \\ k & = 2k^2 \\ k(2k-1) & = 0 \end{aligned}$
Persamaan terakhir menunjukkan bahwa nilai $k = 0$ atau $k = \dfrac{1}{2}$. 
Jadi, agar $f$ kontinu di $x=0$, haruslah $\boxed{k \in \left\{0,\dfrac{1}{2}\right\}}.$

Perhatikan bahwa $\displaystyle \lim_{x \to 0} (a + \cos (bx))$ haruslah bernilai $0$ sebab jika hal ini tidak terjadi (katakanlah $\displaystyle \lim_{x \to 0} (a + \cos (bx)) = c \neq 0$), maka akan berakibat
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{a + \cos (bx)} {x^2} = \dfrac{c} {\displaystyle \lim_{x \to 0} x^2} = \infty.$
Jadi, kita dapat menuliskan
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} (a + \cos (bx)) & = 0 \\ a + \cos (0b) & = 0 \\ a + 1 & = 0 \\ a & =-1 \end{aligned}$
Karena sekarang bentuk limitnya menjadi $\dfrac{0}{0}$ saat substitusi $x = 0$, maka berlaku dalil L’Hospital, sehingga diperoleh
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{-b \sin (bx) } {2x} =-2.$
Terapkan dalil tersebut sekali lagi untuk memperoleh
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{-b^2 \cos (bx) } {2} & =-2 \\ \dfrac{-b^2 \cos (0b)} {2} & =-2 \\-b^2 & =-4 \\ b & = \pm 2. \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{a =1}$ dan $\boxed{b=\pm 2}.$

Nilai limit kiri dari fungsi $f$ untuk $x$ mendekati $0$ adalah sebagai berikut. 
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0^-} f(x) & = \lim_{x \to 0} (5x+1) \\ & = 5(0) + 1 = 1 \end{aligned}$
Agar limit fungsi $f(x)$ memiliki nilai saat $x$ mendekati $0$, haruslah $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} f(x) = 1.$
$$\begin{aligned} \lim_{x \to 0^+} f(x) & = 1 \\ \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos 3x- \cos kx} {6x^2} & = 1 \\ \lim_{x \to 0} \dfrac{-2 \sin \frac{1}{2}(3x + kx) \sin \frac{1}{2}(3x-kx)} {6x^2} & = 1 \\ \dfrac{-2}{6} \cdot \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin \frac{3+k}{2}x \sin \frac{3-k} {2}x} {x \cdot x} & = 1 \\-\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3+k} {2} \cdot \dfrac{3-k} {2}& = 1 \\ \dfrac{-(3+k) (3-k)} {12} & = 1 \\ k^2-9 & = 12 \\ k^2 & = 21 \\ k& = \pm \sqrt{21} \end{aligned}$$Jadi, nilai $k$ yang dimaksud adalah $\boxed{k = \pm \sqrt{21}}.$