Pembuktian Identitas Trigonometri

       Trigonometri merupakan salah satu bagian dari keluarga besar matematika yang dipelajari siswa pada tingkat SMA/Sederajat. Trigonometri merupakan cabang ilmu matematika yang mempelajari hubungan panjang sisi dan besar sudut dalam suatu segitiga. Dalam trigonometri, dikenal 6 istilah yang selanjutnya disebut sebagai perbandingan trigonometri, yaitu sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan cotangen. Tiga perbandingan trigonometri pertama (sinus, cosinus, dan tangen) paling banyak digunakan nantinya. 
        Trigonometri memiliki identitas. Identitas yang dimaksud adalah kalimat terbuka berupa persamaan yang melibatkan perbandingan trigonometri dan berlaku untuk setiap variabel (peubah) yang dipilih. Contoh identitas trigonometri yang paling dikenal adalah Identitas Pythagoras, yaitu $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Identitas trigonometri diturunkan dari definisi atau teorema tertentu, sehingga perlu dibuktikan kebenarannya. 
      Untuk itu, berikut penulis sertakan sejumlah soal tentang pembuktian identitas trigonometri yang dapat dijadikan referensi belajar untuk memahami lebih lanjut tentang materi yang bersangkutan. 
       Dalam pembuktian tersebut, tercantum kalimat “pembuktian dari ruas kiri“. Ini artinya, kita membuktikan pernyataan dimulai dari bentuk pada ruas kiri persamaan untuk membuktikan ruas kanannya. Boleh juga kita membuktikannya dimulai dari bentuk di ruas kanan untuk mendapatkan bentuk di ruas kiri. Biasanya pembuktian dimulai dari bentuk yang rumit untuk membuktikan bentuk yang lebih sederhana.

Today Quote

Tuhan lebih tahu kapan waktu terbaik untuk mengiyakan segala kerja keras yang kamu usahakan. 

Soal Nomor 1
Buktikan identitas trigonometri berikut. 
$\dfrac{2 – \sec^2 A} {\sec^2 A} = 1 – 2 \sin^2 A$

Bukti

Identitas trigonometri yang digunakan:
$$\boxed{\begin{aligned} \cos x & = \dfrac{1}{\sec x} && (\text{Identitas Kebalikan}) \\ \sin^2 x + \cos^2 x & = 1 && (\text{Identitas_Pythagoras}) \end{aligned}}$$
Pembuktian dari ruas kiri:
$\begin{aligned} \dfrac{2 – \sec^2 A} {\sec^2 A} & = \dfrac{2}{\sec^2 A} – \dfrac{\sec^2 A} {\sec^2 A} \\ & = 2(\cos^2 A) – 1 \\ & = 2(1 – \sin^2 A) – 1 \\ & = 1 – 2 \sin^2 A \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa $\dfrac{2 – \sec^2 A} {\sec^2 A} = 1 – 2 \sin^2 A$

[collapse]

Soal Nomor 2
Buktikan identitas trigonometri berikut. 
$$(\sin A + \cos A)^2 – (\sin A – \cos A)^2 = 4 \sin A \cos A$$

Bukti

Pembuktian dari ruas kiri:
$\begin{aligned} & (\sin A + \cos A)^2 – (\sin A – \cos A)^2 \\ =& (\cancel{\sin^2 A} + 2 \sin A \cos A + \bcancel{\cos^2 A} ) \\ & – (\cancel{\sin^2 A} – 2 \sin A \cos A + \bcancel{\cos^2 A}) \\ = & 2 \sin A \cos A – (-2 \sin A \cos A) \\ = & 4 \sin A \cos A \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa $$(\sin A + \cos A)^2 – (\sin A – \cos A)^2 = 4 \sin A \cos A$$

[collapse]

Soal Nomor 3
Buktikan identitas trigonometri berikut. 
$\dfrac{\sec^2 \theta – 1}{\sec^2 \theta} = \sin^2 \theta$

Bukti

Identitas yang digunakan:
$$\boxed{\begin{aligned} \sin^2 x + \cos^2 x &= 1 && (\text{Identitas_Pythagoras}) \\ \dfrac{1}{\sec x} & = \cos x && (\text{Identitas Kebalikan}) \end{aligned}}$$
Pembuktian dari ruas kiri:
$\begin{aligned} \dfrac{\sec^2 \theta – 1}{\sec^2 \theta} & = \dfrac{\sec^2 \theta} {\sec^2 \theta} – \dfrac{1}{\sec^2 \theta} \\ & = 1 – \cos^2 \theta \\ & = \sin^2 \theta \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa $\dfrac{\sec^2 \theta – 1}{\sec^2 \theta} = \sin^2 \theta$

[collapse]

Soal Nomor 4
Buktikan identitas trigonometri berikut. 
$\dfrac{\sin A} {1 – \cos A} = \dfrac{1 + \cos A} {\sin A}$

Bukti

Identitas yang digunakan:
$$\boxed{\sin^2 x + \cos x = 1~~(\text{Identitas_Pythagoras})}$$
Pembuktian dari ruas kiri:
$\begin{aligned} \dfrac{\sin A} {1 – \cos A} & = \dfrac{\sin A} {1 – \cos A} \times \dfrac{1 + \cos A} {1 + \cos A} \\ & = \dfrac{\sin A(1 + \cos A)} {1 – \cos^2 A} \\ & = \dfrac{\cancel{\sin A}(1 + \cos A)} {\sin^{\cancel{2}} A} \\ & = \dfrac{1 + \cos A} {\sin A} \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa $\dfrac{\sin A} {1 – \cos A} = \dfrac{1 + \cos A} {\sin A}$

[collapse]

Soal Nomor 5
Buktikan identitas trigonometri berikut. 
$\sin A + \cos A \cot A = \csc A$

Bukti

Identitas yang digunakan:
$$\boxed{\begin{aligned} \cot x & = \dfrac{\cos x} {\sin x} && (\text{Identitas Perbandingan}) \\ \csc x & = \dfrac{1}{\sin x} && (\text{Identitas Kebalikan}) \\ \sin^2 x + \cos^2 x & = 1 && (\text{Identitas_Pythagoras}) \end{aligned}}$$
Pembuktian dari ruas kiri:
$$\begin{aligned} \sin A + \cos A \cot A & = \sin A + \cos A \left(\dfrac{\cos A} {\sin A}\right) \\ & = \sin A + \dfrac{\cos^2 A} {\sin A} \\ & = \dfrac{\sin^2 A + \cos^2 A} {\sin A} \\ & = \dfrac{1}{\sin A} = \csc A \end{aligned}$$
Jadi, terbukti bahwa $\sin A + \cos A \cot A = \csc A$

[collapse]

Soal Nomor 6
Buktikan identitas trigonometri berikut. 
$\csc A + \cot A = \dfrac{\sin A} {1- \cos A}$

Bukti

Identitas yang digunakan:
$$\boxed{\begin{aligned} \cot x & = \dfrac{\cos x} {\sin x} && (\text{Identitas Perbandingan}) \\ \csc x & = \dfrac{1}{\sin x} && (\text{Identitas Kebalikan}) \\ \sin^2 x + \cos^2 x & = 1 && (\text{Identitas_Pythagoras}) \end{aligned}}$$
Pembuktian dari ruas kanan:
$\begin{aligned} \dfrac{\sin A} {1- \cos A} & = \dfrac{\sin A} {1- \cos A} \times \dfrac{1 + \cos A} {1 + \cos A} \\ & = \dfrac{\sin A(1 + \cos A)} {1 – \cos^2 A} \\ & = \dfrac{\cancel{\sin A}(1 + \cos A)} {\sin^{\cancel{2}} A} \\ & = \dfrac{1 + \cos A} {\sin A} \\ & = \csc A + \cot A \end{aligned}$ 
Jadi, terbukti bahwa $\csc A + \cot A = \dfrac{\sin A} {1- \cos A}$

[collapse]

Soal Nomor 7
Buktikan identitas trigonometri berikut.
$\sin A \csc A – \sin^2 A = \cos^2 A$

Bukti

Identitas trigonometri yang digunakan:
$$\boxed{\begin{aligned} \csc x & = \dfrac{1}{\sin x} && (\text{Identitas Kebalikan}) \\ \cos^2 x + \sin^2 x & = 1 && (\text{Identitas_Pythagoras}) \end{aligned}}$$
Pembuktian dari ruas kiri:
$\begin{aligned} \sin A \csc A – \sin^2 A & = \sin A \cdot \dfrac{1}{\sin A} – \sin^2 A \\ & = 1 – \sin^2 A = \cos^2 A \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa $\sin A \csc A – \sin^2 A = \cos^2 A$

[collapse]

Soal Nomor 8
Buktikan identitas trigonometri berikut.
$(\csc A + \cot A)(1 – \cos A) = \sin A$

Bukti

Identitas trigonometri yang digunakan:
$$\boxed{\begin{aligned} \csc x & = \dfrac{1}{\sin x} && (\text{Identitas Kebalikan}) \\ \cot x & = \dfrac{\cos x}{\sin x} && (\text{Identitas Perbandingan}) \\ \cos^2 x + \sin^2 x & = 1 && (\text{Identitas_Pythagoras}) \end{aligned}}$$
Pembuktian dari ruas kiri:
$\begin{aligned} & (\csc A + \cot A)(1 – \cos A) \\ & = \csc A – \csc A \cos A + \cot A – \cot A \cos A \\ & = \dfrac{1}{\sin A} – \dfrac{\cos A}{\sin A} + \cot A – \dfrac{\cos A}{\sin A} \cdot \cos A \\ & = \dfrac{1}{\sin A} – \cot A + \cot A – \dfrac{\cos^2 A}{\sin A} \\ & = \dfrac{1 – \cos^2 A}{\sin A} \\ & = \dfrac{\sin^2 A}{\sin A} = \sin A \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa $(\csc A + \cot A)(1 – \cos A) = \sin A$

[collapse]

Soal Nomor 9
Buktikan identitas trigonometri berikut.
$\tan^2 A – \sin^2 A = \tan^2 A \sin^2 A$

Bukti

Identitas trigonometri yang digunakan:
$$\boxed{\begin{aligned} \tan x & = \dfrac{\sin x}{\cos x} && (\text{Identitas Perbandingan}) \\ \sec x & = \dfrac{1}{\cos x} && (\text{Identitas Kebalikan}) \\ \tan^2 x & = \sec^2 x – 1 && (\text{Identitas_Pythagoras}) \end{aligned}}$$
Pembuktian dari ruas kiri:
$\begin{aligned} \tan^2 A – \sin^2 A & = \dfrac{\sin^2 A}{\cos^2 A} – \sin^2 A \\ & = \sin^2 A(\sec^2 A – 1) \\ & = \sin^2 A \tan^2 A \\ & = \tan^2 A \sin^2 x \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa $\tan^2 A – \sin^2 A = \tan^2 A \sin^2 A$

[collapse]

Soal Nomor 10
Buktikan identitas trigonometri berikut. 
$\tan A \cos^4 A + \cot A \sin^4 A = \sin A \cos A$

Bukti

Identitas yang digunakan:
$$\boxed{\begin{aligned} \tan x & = \dfrac{\sin x} {\cos x} && (\text{Identitas Perbandingan}) \\ \cot x & = \dfrac{\cos x} {\sin x} && (\text{Identitas Perbandingan}) \\ \sin^2 x + \cos^2 x & = 1 && (\text{Identitas_Pythagoras}) \end{aligned}}$$ 
Pembuktian dari ruas kiri:
$\begin{aligned} & \tan A \cos^4 A + \cot A \sin^4 A \\ = & \dfrac{\sin A} {\cos A} \cdot \cos^4 A + \dfrac{\cos A} {\sin A} \cdot \sin^4 A \\ = & \sin A \cos^3 A + \cos A \sin^3 A \\ = & \sin A \cos A(\cos^2 A + \sin^2 A) \\ = & \sin A \cos A(1) = \sin A \cos A \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa $\tan A \cos^4 A + \cot A \sin^4 A = \sin A \cos A$

[collapse]

Soal Nomor 11
Buktikan identitas trigonometri berikut. 
$\dfrac{\sin^2 A} {\cos^2 A} – \dfrac{\cos^2 A} {\sin^2 A} = \sec^2 A – \csc^2 A$

Bukti

Identitas trigonometri yang digunakan:
$$\boxed{\begin{aligned} \csc x & = \dfrac{1}{\sin x} && (\text{Identitas Kebalikan}) \\ \sec x & = \dfrac{1}{\cos x} && (\text{Identitas Kebalikan}) \\ \sin^2 x + \cos^2 x & = 1 && (\text{Identitas_Pythagoras}) \end{aligned}}$$ 
Pembuktian dari ruas kiri:
$\begin{aligned} & \dfrac{\sin^2 A} {\cos^2 A} – \dfrac{\cos^2 A} {\sin^2 A} \\ & = \dfrac{\cos^4 A – \sin^4 A} {\cos^2 A \sin^2 A} \\ & = \dfrac{(\cos^2 A – \sin^2 A)(\cos^2 A + \sin^2 A)} {\cos^2 A \sin^2 A} \\ & = \dfrac{(\cos^2 A – \sin^2 A)(1)} {\cos^2 A~\sin^2 A} \\ & = \dfrac{\cancel{\cos^2 A}} {\cancel{\cos^2 A} ~\sin^2 A} – \dfrac{\bcancel{\sin^2 A}} {\cos^2 A~\bcancel{\sin^2 A}} \\ & = \dfrac{1}{\cos^2 A} – \dfrac{1}{\sin^2 A} \\ & = \sec^2 A – \csc^2 A \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa $\dfrac{\sin^2 A} {\cos^2 A} – \dfrac{\cos^2 A} {\sin^2 A} = \sec^2 A – \csc^2 A$

[collapse]

Soal Nomor 12
Buktikan identitas trigonometri berikut. 
$\dfrac{\sin^2 A – \sin^2 B} {\cos^2 A \cos^2 B} = \tan^2 A – \tan^2 B$

Bukti

Identitas trigonometri yang digunakan:
$$\boxed{\begin{aligned} \tan x & = \dfrac{\sin x} {\cos x} && (\text{Identitas Perbandingan}) \\ \sec x & = \dfrac{1}{\cos x} && (\text{Identitas Kebalikan}) \\ \sec^2 x & = 1 + \tan^2 x && (\text{Identitas_Pythagoras}) \end{aligned}}$$
Pembuktian dari ruas kiri:
$$\begin{aligned} & \dfrac{\sin^2 A – \sin^2 B} {\cos^2 A \cos^2 B} \\ & = \dfrac{\sin^2 A}{\cos^2 A \cos^2 B} – \dfrac{\sin^2 B} {\cos^2 A \cos^2 B}\\ & = \dfrac{\sin^2 A} {\cos^2 A} \cdot \dfrac{1}{\cos^2 B} – \dfrac{\sin^2 B} {\cos^2 B} \cdot \dfrac{1}{\cos^2 A} \\ & = \tan^2 A(\sec^2 B) – \tan^2 B(\sec^2 A) \\ & = \tan^2 A(1 + \tan^2 B) – \tan^2 B(1 + \tan^2 A) \\ & = \tan^2 A + \cancel{\tan^2 A \tan^2 B} – \tan^2 B – \cancel{\tan^2 A \tan^2 B} \\ & = \tan^2 A – \tan^2 B \end{aligned}$$
Jadi, terbukti bahwa $\dfrac{\sin^2 A – \sin^2 B} {\cos^2 A \cos^2 B} = \tan^2 A – \tan^2 B$

[collapse]

Soal Nomor 13
Buktikan identitas trigonometri berikut. 
$\cos^2 A + \cot^2 A \cos^2 A = \cot^2 A$

Bukti

Identitas trigonometri yang digunakan:
$$\boxed{\begin{aligned} 1 + \cot^2 x & = \csc^2 x && (\text{Identitas_Pythagoras}) \\ \csc x & = \dfrac{1}{\sin x} && (\text{Identitas Kebalikan}) \\ \cot x & = \dfrac{\cos x} {\sin x} && (\text{Identitas Perbandingan}) \end{aligned}}$$
Pembuktian dari ruas kiri:
$\begin{aligned} & \cos^2 A + \cot^2 A \cos^2 A \\ & = \cos^2 A(1 + \cot^2 A) \\ & = \cos^2 A(\csc^2 A) \\ & = \cos^2 A \cdot \dfrac{1}{\sin^2 A} \\ & = \cot^2 A \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa $\cos^2 A + \cot^2 A \cos^2 A = \cot^2 A$

[collapse]

Soal Nomor 14
Buktikan identitas trigonometri berikut
$\dfrac{1 + \sec A} {\tan A + \sin A} = \csc A$

Bukti

Identitas trigonometri yang digunakan:
$$\boxed{\begin{aligned} \sec x & = \dfrac{1}{\cos x} && (\text{Identitas Kebalikan}) \\ \tan x & = \dfrac{\sin x} {\cos x} && (\text{Identitas Perbandingan}) \end{aligned}}$$
Pembuktian dari ruas kiri: 
$\begin{aligned} \dfrac{1 + \sec A} {\tan A + \sin A} & = \dfrac{1 + \frac{1}{\cos A}} {\frac{\sin A} {\cos A} + \sin A} \\ & = \dfrac{\cos A + 1}{\sin A + \sin A \cos A} \\ & = \dfrac{\cancel{\cos A + 1}} {\sin A(\cancel{1 + \cos A}) } \\ & = \dfrac{1}{\sin A} = \csc A \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa $\dfrac{1 + \sec A} {\tan A + \sin A} = \csc A$

[collapse]

Soal Nomor 15
Buktikan identitas trigonometri berikut. 
$\dfrac{1 + \sin x} {1 – \sin x} = (\sec x + \tan x)^2$

Bukti

Identitas trigonometri yang digunakan:
$$\boxed{\begin{aligned} \sin^2 x + \cos^2 x & = 1 && (\text{Identitas_Pythagoras}) \\ \sec x & = \dfrac{1}{\cos x} && (\text{Identitas Kebalikan}) \\ \tan x & = \dfrac{\sin x} {\cos x} && (\text{Identitas Perbandingan}) \end{aligned}}$$ 
Pembuktian dari ruas kiri:
$\begin{aligned} \dfrac{1 + \sin x} {1 – \sin x} & = \dfrac{1 + \sin x} {1 – \sin x} \times \dfrac{1 + \sin x} {1 + \sin x} \\ & = \dfrac{1 + 2 \sin x + \sin^2 x} {1 – \sin^2 x} \\ & = \dfrac{1 + 2 \sin x + \sin^2 x} {\cos ^2 x} \\ & = \dfrac{1}{\cos^2 x} + \dfrac{2 \sin x} {\cos^2 x} + \dfrac{\sin^2 x} {\cos^2 x} \\ & = \sec^2 x + 2 \sec x \tan x + \tan^2 x \\ & = (\sec x + \tan x)^2 \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa $\dfrac{1 + \sin x} {1 – \sin x} = (\sec x + \tan x)^2$

[collapse]

Soal Nomor 16
Buktikan identitas trigonometri berikut.
$\tan A = \dfrac12 \sin 2A(1+\tan^2 A)$

Bukti

Gunakan identitas trigonometri berikut. 
$\boxed{\begin{aligned} \sin 2x & = 2 \sin x \cos x \\ \tan^2 x + 1 & = \sec^2 x \end{aligned} }$
Pembuktian dari ruas kanan:
$\begin{aligned} & \dfrac12 \sin 2A(1+\tan^2 A) \\ & = \dfrac12(2 \sin A \cos A) (1+\tan^2 A) \\ & = (\sin A \cos A) (1+\tan^2 A) \\ & = (\sin A \cos A) (\sec^2 A) \\ & = \dfrac{\sin A \cancel{\cos A}} {\cancelto{\cos A} {\cos^2 A}} \\ & = \dfrac{\sin A} {\cos A} = \tan A \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa $\tan A = \dfrac12 \sin 2A(1+\tan^2 A)$

[collapse]

Soal Nomor 17
Buktikan identitas trigonometri berikut. 
$\tan^2 A = 1 – \cos 2A(1 + \tan^2 A)$

Bukti

Gunakan identitas trigonometri berikut. 
$\boxed{\begin{aligned} 1+\tan^2 x & = \sec^2 x \\ \cos 2x & = 1 – 2 \sin^2 x \\ \sec x & = \dfrac{1}{\cos x} \end{aligned}}$
Pembuktian dari ruas kanan:
$\begin{aligned} & 1 – \cos 2A(1 + \tan^2 A) \\ & = 1 – \cos 2A(\sec^2 A) \\ & = 1 – \dfrac{1 – 2 \sin^2 A}{\cos^2 A} \\ & = 1 – \dfrac{1}{\cos^2 A} + \dfrac{2 \sin^2 A} {\cos^2 A} \\ & = 1 – \sec^2 A + 2 \tan^2 A \\ & = 1 – (1+\tan^2 A) + 2 \tan^2 A \\ & = \tan^2 A \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa $\tan^2 A = 1 – \cos 2A(1 + \tan^2 A)$

[collapse]

Soal Nomor 18
Buktikan identitas trigonometri berikut. 
$$\tan^6 A = \tan^4 A \cdot \sec^2 A – \tan^2 A \cdot \sec^2 A + \sec^2 A – 1$$

Bukti

Gunakan identitas trigonometri berikut. 
$\boxed{\tan^2 x + 1 = \sec^2 x}$
Pembuktian dari ruas kanan:
$$\begin{aligned} & \tan^4 A \cdot \sec^2 A – \tan^2 A \cdot \sec^2 A + \sec^2 A – 1 \\ & = \tan^4 A \cdot \sec^2 A – \tan^2 A \cdot \sec^2 A + \tan^2 A \\ & = \tan^2 A(\tan^2 A \sec^2 A – \sec^2 A + 1) \\ & = \tan^2 A((\sec^2 A)(\tan^2 A – 1)+1) \\ & = \tan^2 A((\tan^2 A + 1)(\tan^2 A – 1)+1) \\ & = \tan^2 A(\tan^4 A – 1 + 1) \\ & = \tan^6 A \end{aligned}$$
Jadi, terbukti bahwa $$\tan^6 A = \tan^4 A \cdot \sec^2 A – \tan^2 A \cdot \sec^2 A + \sec^2 A – 1$$

[collapse]

Soal Nomor 19
Buktikan identitas trigonometri berikut.
$\tan (A – B) = \dfrac{\sin 2A – \sin 2B} {\cos 2A + \cos 2B}$

Bukti

Gunakan identitas trigonometri berikut. 
$$\boxed{\begin{aligned} \sin x – \sin y & = 2 \cos \dfrac12(x + y) \sin \dfrac12(x-y) \\ \cos x + \cos y & = 2 \cos \dfrac12(x + y) \cos \dfrac12(x-y) \\ \tan x & = \dfrac{\sin x} {\cos x} \end{aligned}}$$
Pembuktian dari ruas kanan:
$$\begin{aligned} \dfrac{\sin 2A – \sin 2B} {\cos 2A + \cos 2B} & = \dfrac{2 \cos \dfrac12(2A + 2B) \sin \dfrac12(2A-2B)} {2 \cos \dfrac12(2A+2B) \cos \dfrac12(2A-2B)} \\ & = \dfrac{\cancel{2 \cos (A+B)} \sin (A-B)} {\cancel{2 \cos (A+B)} \cos (A-B)} \\ & = \dfrac{\sin (A-B)} {\cos (A-B)} = \tan (A-B) \end{aligned}$$
Jadi, terbukti bahwa $\tan (A – B) = \dfrac{\sin 2A – \sin 2B} {\cos 2A + \cos 2B}$

[collapse]

Soal Nomor 20
Buktikan identitas trigonometri berikut.
$\cot 2A = \dfrac{\sin A – \sin 3A} {\cos 3A – \cos A}$

Bukti

Gunakan identitas trigonometri berikut. 
$$\boxed{\begin{aligned} \sin x – \sin y & = 2 \cos \dfrac12(x + y) \sin \dfrac12(x-y) \\ \cos x – \cos y & = -2 \sin \dfrac12(x + y) \sin \dfrac12(x-y) \\ \sin (-x) & = -\sin x \\ \cot x & = \dfrac{\cos x} {\sin x} \end{aligned}}$$ 
Pembuktian dari ruas kanan:
$$\begin{aligned} \dfrac{\sin A – \sin 3A} {\cos 3A – \cos A} & = \dfrac{2 \cos \dfrac12(A + 3A) \sin \dfrac12(A-3A)} {-2 \sin \dfrac12(3A + A) \sin \dfrac12(3A – A)} \\ & = \dfrac{2 \cos 2A \sin (-A)} {-2 \sin 2A \sin A} \\ & = \dfrac{\cancel{-2 \sin A} \cos 2A} {\cancel{-2 \sin A} \sin 2A} \\ & = \dfrac{\cos 2A} {\sin 2A} = \cot 2A \end{aligned}$$
Jadi, terbukti bahwa $\cot 2A = \dfrac{\sin A – \sin 3A} {\cos 3A – \cos A}$

[collapse]

Soal Nomor 21
Buktikan identitas trigonometri berikut. 
$\dfrac{1 – \cos 2A + \sin A} {\sin 2A + \cos A} =\tan A$

Bukti

Identitas trigonometri yang digunakan:
$$\boxed{\begin{aligned} \cos 2x & = \cos^2 x – \sin^2 x && (\text{Identitas Sudut_Ganda}) \\ \sin 2x &= 2 \sin x \cos x && (\text{Identitas Sudut_Ganda}) \\ \sin^2 x + \cos^2 x &= 1 && (\text{Identitas_Pythagoras}) \\ \tan x & = \dfrac{\sin x} {\cos x} && (\text{Identitas Perbandingan}) \end{aligned}}$$
Pembuktian dari ruas kiri:
$$\begin{aligned} \dfrac{1 – \cos 2A + \sin A} {\sin 2A + \cos A} & = \dfrac{1 – (\cos^2 A – \sin^2 A) + \sin A} {(2 \sin A \cos A) + \cos A} \\ & = \dfrac{(1 – \cos^2 A) + \sin^2 A + \sin A} {\cos A(2 \sin A + 1)} \\ & = \dfrac{\sin^2 A + \sin^2 A + \sin A} {\cos A(2 \sin A + 1)} \\ & = \dfrac{\sin A\cancel{(2 \sin A + 1)}} {\cos A\cancel{(2 \sin A + 1)}} \\ & = \dfrac{\sin A} {\cos A} = \tan A \end{aligned}$$
Jadi, terbukti bahwa $\dfrac{1 – \cos 2A + \sin A} {\sin 2A + \cos A} =\tan A$

[collapse]

Soal Nomor 22
Buktikan identitas trigonometri berikut.
$\csc 2A + \cot 2A = \cot A$

Bukti

Identitas trigonometri yang digunakan:
$$\boxed{\begin{aligned} \cos 2x &= \cos^2 x – \sin^2 x && (\text{Identitas Sudut_Ganda}) \\ \sin 2x & = 2 \sin x \cos x && (\text{Identitas Sudut_Ganda}) \\ \sin^2 x + \cos^2 x & = 1 && (\text{Identitas_Pythagoras}) \\ \csc x = \dfrac{1}{\sin x} &(\text{Identitas Kebalikan}) \\ \cot x & = \dfrac{\cos x} {\sin x} && (\text{Identitas Perbandingan}) \end{aligned}}$$ 
Pembuktian dari ruas kiri:
$\begin{aligned} \csc 2A + \cot 2A & = \dfrac{1}{\sin 2A} + \dfrac{\cos 2A} {\sin 2A} \\ & = \dfrac{1 + (\cos^2 A – \sin^2 A)} {2 \sin A \cos A} \\ & = \dfrac{(1 – \sin^2 A) + \cos^2 A} {2 \sin A \cos A} \\ & = \dfrac{2 \cos^2 A} {2 \sin A \cos A} \\ & = \dfrac{\cos A} {\sin A} = \cot A \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa $\csc 2A + \cot 2A = \cot A$

[collapse]

Soal Nomor 23
Buktikan identitas trigonometri berikut.
$\dfrac{2 \sin (A-B)} {\cos (A-B)-\cos (A+B)} = \cot B – \cot A$

Bukti

Ingat rumus jumlah dan selisih sudut:
$\boxed{\begin{aligned} \sin (x \pm y) & = \sin x \cos y \pm \cos x \sin y \\ \cos (x \pm y) & = \cos x \cos y \mp \sin x \sin y \end{aligned}}$
Identitas trigonometri yang digunakan:
$ \cot x = \dfrac{\cos x} {\sin x} $
Pembuktian dari ruas kiri:
$$\begin{aligned} & \dfrac{2 \sin (A-B)} {\cos (A-B)-\cos (A+B)} \\ & = \dfrac{2 (\sin A \cos B – \sin B \cos A)} {(\cancel{\cos A \cos B} + \sin A \sin B) – (\cancel{\cos A \cos B} – \sin A \sin B)} \\ & = \dfrac{\cancel{2}(\sin A \cos B – \sin B \cos A)} {\cancel{2} \sin A \sin B} \\ & = \dfrac{\sin A \cos B – \sin B \cos A} {\sin A \sin B} \\ & = \dfrac{\cancel{\sin A} \cos B} {\cancel{\sin A} \sin B} – \dfrac{\cancel{\sin B} \cos A} {\sin A \cancel{\sin B}} \\ & = \dfrac{\cos B} {\sin B} – \dfrac{\cos A} {\sin A} \\ & = \cot B – \cot A \end{aligned}$$
Jadi, terbukti bahwa $\dfrac{2 \sin (A-B)} {\cos (A-B)-\cos (A+B)} = \cot B – \cot A$

[collapse]

Soal Nomor 24
Buktikan identitas trigonometri berikut. 
$\tan A – \cot A = \dfrac{1 – 2 \sin^2 A} {\sin A \cos A}$

Bukti

Identitas trigonometri yang digunakan:
$$\boxed{\begin{aligned} \tan x & = \dfrac{\sin x} {\cos x} && (\text{Identitas Perbandingan}) \\ \cot x & = \dfrac{\cos x}{\sin x} && (\text{Identitas Perbandingan}) \\ \sin^2 x + \cos^2 x & = 1 && (\text{Identitas_Pythagoras}) \end{aligned}}$$
Pembuktian dari ruas kiri:
$\begin{aligned} \tan A – \cot A & = \dfrac{\sin A} {\cos A} – \dfrac{\cos A} {\sin A} \\ & = \dfrac{\sin^2 A – \cos^2 A} {\sin A \cos A} \\ & = \dfrac{(1 – \cos^2 A) – \cos^2 A} {\sin A \cos A} \\ & = \dfrac{1 – 2 \cos^2 A} {\sin A \cos A} \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa $\tan A – \cot A = \dfrac{1 – 2 \sin^2 A} {\sin A \cos A}$

[collapse]

Soal Nomor 25
Buktikan identitas trigonometri berikut. 
$1 – \tan^2 A= \cos 2A \sec^2 A$

Bukti

Identitas trigonometri yang digunakan:
$$\boxed{\begin{aligned} \cos 2x & = \cos^2 x – \sin^2 x && (\text{Identitas Sudut_Ganda}) \\ \sec x & =\dfrac{1}{\cos x} && (\text{Identitas Kebalikan}) \\ \tan x & = \dfrac{\sin x} {\cos x} && (\text{Identitas Perbandingan}) \end{aligned}}$$
Pembuktian dari ruas kanan:
$\begin{aligned} \cos 2A \sec^2 A & = (\cos^2 A – \sin^2 A) \cdot \dfrac{1}{\cos^2 A} \\ & = 1 – \dfrac{\sin^2 A} {\cos^2 A} \\ & = 1 – \tan^2 A \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa $1 – \tan^2 A= \cos 2A \sec^2 A$

[collapse]

Soal Nomor 26
Buktikan identitas trigonometri berikut.
$\dfrac{\sin \left(A + \frac{\pi} {4}\right)} {\cos \left(A + \frac{\pi} {4}\right)} + \dfrac{\cos \left(A + \frac{\pi} {4}\right)} {\sin \left(A + \frac{\pi} {4}\right)} = 2 \sec 2A$

Bukti

Ingat nilai perbandingan trigonometri untuk sudut di berbagai kuadran:
$\sin (2x + 90^{\circ}) = \cos 2x$
Identitas trigonometri yang digunakan:
$$\boxed{\begin{aligned} \sin^2 x + \cos^2 x & = 1 && (\text{Identitas_Pythagoras}) \\ \sin 2x & = 2 \sin x \cos x && (\text{Identitas Sudut_Ganda}) \\ \sec x &  = \dfrac{1}{\cos x} && (\text{Identitas Kebalikan}) \end{aligned}}$$
Pembuktian dari ruas kiri:
$\begin{aligned} & \dfrac{\sin \left(A + \frac{\pi} {4}\right)} {\cos \left(A + \frac{\pi} {4}\right)} + \dfrac{\cos \left(A + \frac{\pi} {4}\right)} {\sin \left(A + \frac{\pi} {4}\right)} \\ & = \dfrac{\sin^2 \left(A + \frac{\pi} {4}\right) + \cos^2 \left(A + \frac{\pi} {4}\right)}{\sin \left(A + \frac{\pi} {4}\right) \cdot \cos \left(A + \frac{\pi} {4}\right)} \\ & = \dfrac{1}{\sin \left(A + \frac{\pi} {4}\right) \cdot \cos \left(A + \frac{\pi} {4}\right)} \\ & = \dfrac{2}{\sin 2\left(A + \frac{\pi} {4}\right)} \\ & = \dfrac{2}{\sin \left(2A + \frac{\pi} {2}\right)} \\ & = \dfrac{2}{\cos 2A} = 2 \sec 2A \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa $\dfrac{\sin \left(A + \frac{\pi} {4}\right)} {\cos \left(A + \frac{\pi} {4}\right)} + \dfrac{\cos \left(A + \frac{\pi} {4}\right)} {\sin \left(A + \frac{\pi} {4}\right)} = 2 \sec 2A$

[collapse]

Soal Nomor 27
Buktikan identitas trigonometri berikut.
$\dfrac{\sin 4A} {1 + \cos 4A} = \tan 2A$

Bukti

Identitas trigonometri yang digunakan:
$$\boxed{\begin{aligned} \sin 2x & = 2 \sin x \cos x && (\text{Identitas Sudut_Ganda}) \\ \cos 2x & = \cos^2 x – \sin^2 x && (\text{Identitas Sudut_Ganda}) \\ \sin^2 x + \cos^2 x & = 1 && (\text{Identitas_Pythagoras}) \\ \tan x & = \dfrac{\sin x} {\cos x} && (\text{Identitas Perbandingan}) \end{aligned}}$$
Pembuktian dari ruas kiri:
$\begin{aligned} \dfrac{\sin 4A} {1 + \cos 4A} & = \dfrac{2 \sin 2A \cos 2A} {1 + (\cos^2 2A – \sin^2 2A)} \\ & = \dfrac{2 \sin 2A \cos 2A} {(1 – \sin^2 2A) + \cos^2 2A} \\ & = \dfrac{2 \sin 2A \cos 2A} {2 \cos^2 2A} \\ & = \dfrac{\sin 2A} {\cos 2A} = \tan 2A \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa $\dfrac{\sin 4A} {1 + \cos 4A} = \tan 2A$

[collapse]

Soal Nomor 28
Buktikan identitas trigonometri berikut.
$\begin{aligned} (\cos 2a + \cos 4a & + \cos 6a) \sin a \\ & = \cos 4a \sin 3a \end{aligned}$

Bukti

Identitas trigonometri yang digunakan
$$\boxed{\begin{aligned} \cos A + \cos B & = 2 \cos \left(\dfrac{A + B}{2}\right) \cos \left(\dfrac{A-B}{2}\right) \\ \cos A \sin B & = \dfrac12\left(\sin (A + B) + \sin (A-B)\right) \end{aligned}}$$
Pembuktian dari ruas kiri:

$$\begin{aligned} & (\cos 2a + \cos 4a + \cos 6a) \sin a \\ & = \left(\cos 4a + 2 \cos \left(\dfrac{2a+6a}{2}\right) \cos \left(\dfrac{6a-2a}{2}\right)\right) \sin a \\ & = (\cos 4a + 2 \cos 4a \cos 2a) \sin a \\ & = \cos 4a(1 + 2 \cos 2a) \sin a \\ & = \cos 4a(\sin a + 2 \cos 2a \sin a) \\ & = \cos 4a(\sin a + \cancel{2} \cdot \dfrac{1}{\cancel{2}}(\sin (a+2a) + \sin (a-2a))) \\ & = \cos 4a(\cancel{\sin a} \sin 3a~ \cancel{\sin (-a)}) \\ & = \cos 4a \sin 3a \end{aligned}$$
Jadi, terbukti bahwa
$\begin{aligned} (\cos 2a + \cos 4a & + \cos 6a) \sin a \\ & = \cos 4a \sin 3a \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 29
Buktikan identitas trigonometri berikut.
$2 \sin A \cos (A + 30^{\circ}) = \sin(2A + 30^{\circ}) – \dfrac12$

Bukti

Gunakan identitas trigonometri berikut.
$\boxed{\begin{aligned} \cos (A + B) & = \cos A \cos B – \sin A \sin B \\ \sin 2A & = 2 \sin A \cos A \\ 1 – \cos 2A & = 2 \sin^2 A \\ \sin(A + B) & = \sin A \cos B + \sin B \cos A \end{aligned}}$
Pembuktian dari ruas kiri:
$\begin{aligned} & 2 \sin A \cos (A + 30^{\circ}) \\ & = 2 \sin A(\cos A \cos 30^{\circ} – \sin A \sin 30^{\circ}) \\ & = 2 \sin A\left(\dfrac12\sqrt3 \cos A – \dfrac12 \sin A\right) \\ & = \dfrac12\sqrt3(2 \sin A \cos A) – \dfrac12(\sin^2 A) \\ & = \dfrac12\sqrt3(\sin 2A) – \dfrac12(1 – \cos 2A) \\ & = \dfrac12\sqrt3(\sin 2A) – \dfrac12 + \dfrac12 \cos 2A \\ & = (\sin 2A \cos 30^{\circ} + \cos 2A \sin 30^{\circ}) – \dfrac12 \\ & = \sin (2A + 30^{\circ}) – \dfrac12 \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa 
$2 \sin A \cos (A + 30^{\circ}) = \sin(2A + 30^{\circ}) – \dfrac12$

[collapse]

Soal Nomor 30
Buktikan identitas trigonometri berikut.
$2 \cos \left(\dfrac{\pi}{4} + A\right) \cos \left(\dfrac{3\pi}{4} – A \right) = -1 +\sin 2A$

Bukti

Gunakan identitas trigonometri berikut.
$$\boxed{\begin{aligned} 2 \cos A \cos B & = \cos (A+B) + \cos (A-B) \\ \sin x & = \cos (90^{\circ} – x) = \cos (x – 90^{\circ}) \end{aligned}}$$
Pembuktian dari ruas kiri:
$\begin{aligned} & 2 \cos \left(\dfrac{\pi}{4} + A\right) \cos \left(\dfrac{3\pi}{4} – A \right) \\ & = \cos \left(\left(\dfrac{\pi}{4}+A\right) + \left(\dfrac{3\pi}{4} – A\right)\right) \\ & + \cos \left(\left(\dfrac{\pi}{4} + A\right) – \left(\dfrac{3\pi}{4} – A\right)\right) \\ & = \cos \pi + \cos \left(-\dfrac{\pi}{2} + 2A\right) \\ & = -1 + \sin 2A \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa $$2 \cos \left(\dfrac{\pi}{4} + A\right) \cos \left(\dfrac{3\pi}{4} – A \right) = -1 +\sin 2A$$

[collapse]

Soal Nomor 31
Buktikan identitas trigonometri berikut.
$\begin{aligned} \sin^4 x -\cos^4 x & = 1 -2(\sin x \cos x)^2\\ &  -2 \cos^4 x \end{aligned}$

Bukti

Gunakan identitas trigonometri berikut.
$$\boxed{\sin^2 x + \cos^2 x = 1~~~~(\text{Identitas_Pythagoras})}$$
Pembuktian dari ruas kanan:
$$\begin{aligned} & 1 -2(\sin x \cos x)^2 – 2 \cos^4 x \\ & = 1 -2 \sin^2 x \cos^2 x -2 \cos^4 x \\ & = (\sin^2 x + \cos^2 x) -2(1- \cos^2 x)(\cos^2 x) -2 \cos^4 x \\ & = (\sin^2 x + \cos^2 x) -2 \cos^2 x + \cancel{2 \cos^4 x -2 \cos^4 x} \\ & = \sin^2 x -\cos^2 x \\ & = (\sin^2 x -\cos^2 x)(1) \\ & = (\sin^2 x -\cos^2 x) (\sin^2 x + \cos^2 x) \\ & = \sin^4 x -\cos^4 x \end{aligned}$$
Jadi, terbukti bahwa $\begin{aligned} \sin^4 x -\cos^4 x & = 1 -2(\sin x \cos x)^2\\ &  -2 \cos^4 x \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 32
Buktikan identitas trigonometri berikut.
$\cos^6 x + 3 \sin^2 x \cos^2 x + \sin^6 x = 1$

Bukti

Gunakan hasil penjabaran binomial berpangkat tiga dan identitas trigonometri berikut.
$$\boxed{\begin{aligned} (a+b)^3 & = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \\ \sin^2 x + \cos^2 x & = 1 && (\text{Identitas_Pythagoras}) \end{aligned}}$$
Pembuktian dari ruas kanan:
$$\begin{aligned} 1 & = 1^3 \\ & = (sin^2 x + \cos^2 x)^3 \\ & = \sin^6 x + \cos^6 x + 3 sin^4 x \cos^2 x + 3 \sin^2 x \cos^4 x \\ & = \sin^6 x + \cos^6 x + 3 \sin^2 x \cos^2 x(\sin^2 x + \cos^2 x) \\ & = \sin^6 x + \cos^6 x + 3 \sin^2 x \cos^2 x(1) \\ & = \cos^6 x + 3 \sin^2 x \cos^2 x + \sin^6 x \end{aligned}$$
Jadi, terbukti bahwa $\cos^6 x + 3 \sin^2 x \cos^2 x + \sin^6 x = 1$

[collapse]

Soal Nomor 33
Buktikan identitas trigonometri berikut.
$\dfrac{\tan x- \sin x}{\sin^3 x} = \dfrac{1}{\cos x(1 + \cos x)}$

Bukti

Gunakan identitas trigonometri berikut.
$$\boxed{\begin{aligned} \tan x & = \dfrac{\sin x}{\cos x} && (\text{Identitas Perbandingan}) \\ \sin^2 x + \cos^2 x & = 1 && (\text{Identitas_Pythagoras}) \end{aligned}}$$
Pembuktian dari ruas kiri:
$$\begin{aligned} \dfrac{\tan x- \sin x}{\sin^3 x} & = \dfrac{\dfrac{\sin x}{\cos x}- \sin x}{\sin^3 x} \times \color{red}{\dfrac{\cos x}{\cos x}} \\ & = \dfrac{\sin x -\sin x \cos x}{\sin^3 x \cos x} \\ & = \dfrac{\cancel{\sin x}(1 -\cos x)}{\cancelto{\sin^2 x}{\sin^3 x} \cos x} \\ & = \dfrac{1-\cos x}{\sin^2 x \cos x} \\ & = \dfrac{1- \cos x}{(1 – \cos^2 x) \cos x} \\ & = \dfrac{\cancel{1- \cos x}}{\cancel{(1 -\cos x)}(1 + \cos x)\cos x} \\ & = \dfrac{1}{\cos x(1 + \cos x)} \end{aligned}$$
Jadi, terbukti bahwa $\dfrac{\tan x- \sin x}{\sin^3 x} = \dfrac{1}{\cos x(1 + \cos x)}$ 

[collapse]

Soal Nomor 34
Buktikan identitas trigonometri berikut.
$\begin{aligned} & \dfrac{\cot x-\tan x}{(\cos x-\sin x)(\cot x+\tan x)} \\ & = \sin x + \cos x \end{aligned}$

Bukti

Gunakan identitas trigonometri berikut.
$$\boxed{\begin{aligned} \tan x & = \dfrac{\sin x}{\cos x} && (\text{Identitas Perbandingan}) \\ \cot x & = \dfrac{\cos x}{\sin x} && (\text{Identitas Perbandingan}) \\ \sin^2 x + \cos^2 x & = 1 && (\text{Identitas_Pythagoras}) \end{aligned}}$$
Pembuktian dari ruas kiri:
$\begin{aligned} & \dfrac{\cot x-\tan x}{(\cos x-\sin x)(\cot x+\tan x)} \\ & = \dfrac{\dfrac{\cos x}{\sin x}-\dfrac{\sin x}{\cos x}}{(\cos x-\sin x)\left(\dfrac{\cos x}{\sin x}+ \dfrac{\sin x}{\cos x}\right)} \\ & = \dfrac{\dfrac{cos^2 x- \sin^2 x}{\cancel{\sin x \cos x}}}{(\cos x-\sin x)\left(\dfrac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cancel{\sin x \cos x}}\right)} \\ & = \dfrac{\cos^2 x- \sin^2 x}{(\cos x-\sin x)(\sin^2 x + \cos^2 x)} \\ & = \dfrac{(\cos x + \sin x)\cancel{(\cos x- \sin x)}}{\cancel{(\cos x-\sin x)}(1)} \\ & = \sin x + \cos x \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa $\begin{aligned} & \dfrac{\cot x-\tan x}{(\cos x-\sin x)(\cot x+\tan x)} \\ & = \sin x + \cos x \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 35
Buktikan identitas trigonometri berikut.
$\dfrac{(\tan x-1)(\tan x + \cot x)}{\tan x- \cot x} = \dfrac{\tan^2 x+1}{\tan x +1}$

Bukti

Gunakan identitas trigonometri berikut.
$\boxed{\tan x \cot x = 1~~~~~(\text{Identitas Kebalikan})}$
Pembuktian dari ruas kanan:
$$\begin{aligned} \dfrac{\tan^2 x +1}{\tan x +1} & = \dfrac{\tan^2 x + \tan x \cot x}{\tan x + \tan x \cot x} \\ & = \dfrac{\cancel{\tan x}(\tan x + \cot x)}{\cancel{\tan x}(1 + \cot x)} \\ & = \dfrac{\tan x + \cot x}{1+\cot x} \times \color{red}{\dfrac{\tan x-\cot x}{\tan x-\cot x}} \\ & = \dfrac{(\tan x + \cot x)(\tan x -\cot x)}{(\tan x-\cot x)(1+\cot x)} \times \color{blue}{\dfrac{\tan x- 1}{\tan x-1}} \\ & = \dfrac{(\tan x + \cot x)(\tan x-\cot x)(\tan x-1)}{(\tan x-\cot x)(\tan x \cancel{-1 + \tan x \cos x} -\cot x)} \\ & = \dfrac{(\tan x + \cot x)\cancel{(\tan x-\cot x)}(\tan x-1)}{(\tan x-\cot x)\cancel{(\tan x – \cot x)}} \\ & = \dfrac{(\tan x -1)(\tan x + \cot x)}{\tan x-\cot x} \end{aligned}$$
Jadi, terbukti bahwa $\dfrac{(\tan x-1)(\tan x + \cot x)}{\tan x- \cot x} = \dfrac{\tan^2 x+1}{\tan x +1}$

[collapse]

CategoriesTrigonometriTags, , , , , , , ,

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *