Materi, Soal, dan Pembahasan – Persamaan Trigonometri Berbentuk a cos x + b sin x = c

       Sebelumnya, kita sudah mempelajari persamaan trigonometri dasar dan lanjutan. Soal-soal beserta pembahasannya dapat dilihat pada tautan berikut.      

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Persamaan Trigonometri

        Persamaan trigonometri berbentuk $a \cos x + b \sin x = c$ untuk bilangan real tak nol $a, b, c$ dapat diselesaikan dengan syarat $a^2+b^2 \geq c^2$. Bentuk tersebut ekuivalen dengan $r \cos (x-p)$ dengan keterangan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} r & = \sqrt{a^2+b^2} \\ \tan p & = \dfrac{b}{a}, -\pi \leq x \leq \pi \end{aligned}$$Perhatikan bahwa besar sudut $p$ yang akan diambil tergantung dari tanda kepositivan koefisien $\cos x$ dan $\sin x$ mengikuti tabel berikut.
$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Koef.}~\cos x & \text{Koef.}~\sin x & \text{Kuad}\text{ran}~p \\ \hline + & + & I \\ \hline + & – & II \\ \hline – & – & III \\ \hline – & + & IV \\ \hline \end{array}$$Bukti:
Ekspansi dari bentuk $k \cos (x-\alpha)$ dengan menggunakan identitas selisih sudut adalah sebagai berikut.
$$\begin{aligned} k \cos (x-\alpha) & = k \left(\cos x \cos \alpha + \sin x \sin \alpha\right) \\ & = (k \cos \alpha) \cos x + (k \sin \alpha) \sin x \end{aligned}$$Misal
$$\begin{cases} a & = k \cos \alpha \\ b & = k \sin \alpha \end{cases}$$Kedua persamaan dibandingkan dan kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{k \sin \alpha}{k \cos \alpha} & = \dfrac{b}{a} \\ \tan \alpha & = \dfrac{b}{a} \end{aligned}$$Kedua persamaan dikuadratkan, lalu dijumlahkan, dan kita peroleh
$$\begin{aligned} (k^2 \cos^2 \alpha)+(k^2 \sin^2 \alpha) & = a^2+b^2 \\ k^2(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) & = a^2+b^2 \\ k^2(1) & = a^2+b^2 \\ k & = \sqrt{a^2+b^2} \end{aligned}$$(Terbukti)

Baca: Soal dan Pembahasan – Perbandingan Trigonometri (Dasar)

Perhatikan beberapa contoh soal tentang cara mengubah bentuk trigonometri tersebut.

Contoh 1
Ubah $\sqrt3 \cos x + \sin x$ menjadi bentuk $r \cos (x-p)$.
Diketahui $a = \sqrt3$ dan $b=1$, sehingga
$$\begin{aligned} r & = \sqrt{a^2+b^2} \\ & = \sqrt{(\sqrt3)^2 + (1)^2} \\ & = \sqrt{3+1} = \color{red}{2} \\ \tan p & = \dfrac{b}{a} = \dfrac{1}{\sqrt3} = \dfrac13\sqrt3 \\ p & = \color{blue}{30^{\circ}} \end{aligned}$$Kita simpulkan bahwa $p$ berada di kuadran pertama karena $a$ dan $b$ bertanda positif.
Dengan demikian, bentuk $\sqrt3 \cos x + \sin x$ sama dengan bentuk $\color{blue}{2} \cos (x-\color{red}{30^{\circ}})$.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa

Contoh 2
Ubah $\sin x + \cos x$ menjadi bentuk $r \cos (x-p)$.
Diketahui $a = 1$ dan $b=1$, sehingga
$$\begin{aligned} r & = \sqrt{a^2+b^2} \\ & = \sqrt{(1)^2 + (1)^2} \\ & = \sqrt{1+1} = \color{red}{\sqrt2} \\ \tan p & = \dfrac{b}{a} = \dfrac{1}{1} = 1 \\ p & = \color{blue}{45^{\circ}} \end{aligned}$$Kita simpulkan bahwa $p$ berada di kuadran pertama karena $a$ dan $b$ bertanda positif.
Dengan demikian, bentuk $\sin x + \cos x$ sama dengan bentuk $\color{blue}{\sqrt2} \cos (x-\color{red}{45^{\circ}})$.

Contoh 3
Ubah $\cos x -\sqrt3 \sin x$ menjadi bentuk $r \cos (x-p)$.

Diketahui $a = 1$ dan $b=-\sqrt3$, sehingga
$$\begin{aligned} r & = \sqrt{a^2+b^2} \\ & = \sqrt{(1)^2 + (-\sqrt3)^2} \\ & = \sqrt{1+3} = \color{red}{2} \\ \tan p & = \dfrac{b}{a} = \dfrac{-\sqrt3}{1} = -\sqrt3 \\ p & = 300^{\circ}~\text{atau}~\color{blue}{p = -60^{\circ}} \end{aligned}$$Kita simpulkan bahwa $p$ berada di kuadran keempat karena $a$ bertanda positif dan $b$ bertanda negatif.
Dengan demikian, bentuk $\cos x -\sqrt3 \sin x$ sama dengan bentuk $\color{blue}{2} \cos (x+\color{red}{60^{\circ}})$.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Aplikasi Trigonometri

Menentukan Nilai Optimum Fungsi $y = a \cos x + b \sin x$.

Jika diberikan fungsi trigonometri berbentuk $y = a \cos x + b \sin x$, maka nilai optimumnya ditentukan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} y_{\text{min}} & = \sqrt{a^2+b^2} \\ y_{\text{maks}} & = -\sqrt{a^2+b^2} \end{aligned}$$Berikut ini merupakan soal dan pembahasan eksklusif tentang penyelesaian persamaan trigonometri berbentuk $a \cos x + b \sin x = c$. Semoga bermanfaat.

Quote by Sir Martin Hairer

Maths is truth. Once you discover something in maths, it applies to all eternity.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1
Himpunan penyelesaian dari persamaan $\sqrt3 \cos x-\sin x = \sqrt2$ untuk $0 < x < 360^{\circ}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{15^{\circ}, 75^{\circ}\}$
B. $\{15^{\circ}, 285^{\circ}\}$
C. $\{15^{\circ}, 315^{\circ}\}$
D. $\{75^{\circ}, 285^{\circ}\}$
E. $\{75^{\circ}, 315^{\circ}\}$

Diketahui $\sqrt3 \cos x-\sin x = \sqrt2$.
Alternatif 1:
Misalkan $\tan A = \sqrt3$, berarti $A = 60^{\circ}$. Persamaan dapat ditulis menjadi
$$\begin{aligned} \tan A \cos x-\sin x & = \sqrt2 \\ \dfrac{\sin A}{\cos A} \cos x-\sin x & = \sqrt2 \\ \sin A \cos x-\cos A \sin x & = \sqrt2 \cos A && (\text{Kalikan}~\cos A) \\ \sin (A-x) & = \sqrt2 \cos A \\ \sin (60^{\circ}-x) & = \sqrt2 \cos 60^{\circ} && (\text{Substitusi}~A = 60^{\circ}) \\ -\sin (x-60^{\circ}) & = \dfrac12\sqrt2 \\ \sin (x-60^{\circ}) & = \sin -45^{\circ} \\ \Rightaarrow x-60^{\circ} & = -45^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = 15^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = \underbrace{15^{\circ}}_{k = 0} \\ \Rightaarrow x-60^{\circ} & = (180-(-45^{\circ})) + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = 285^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = \underbrace{285^{\circ}}_{k = 0} \end{aligned}$$Diperoleh HP = $\{15^{\circ}, 285^{\circ}\}$.
Alternatif 2:
Diketahui $a = \sqrt3$ dan $b=-1$, serta $c = \sqrt2$.
Perhatikan bahwa $a^2+b^2 \geq c^2$ yang artinya persamaan tersebut memiliki penyelesaian.
$$\begin{aligned} r & = \sqrt{a^2+b^2} \\ & = \sqrt{(\sqrt3)^2 + (-1)^2} \\ & = \sqrt{3+1} = \color{red}{2} \\ \tan p & = \dfrac{b}{a} = \dfrac{-1}{\sqrt3} = -\dfrac13\sqrt3 \\ p & = 330^{\circ}~\text{atau}~\color{blue}{p = -30^{\circ}} \end{aligned}$$Kita simpulkan bahwa $p$ berada di kuadran keempat karena $a$ bertanda positif dan $b$ bertanda negatif.
Dengan demikian, bentuk $\sqrt3 \cos x -\sin x$ sama dengan bentuk $\color{blue}{2} \cos (x+\color{red}{30^{\circ}})$.
Jadi, persamaan berubah menjadi $$2 \cos (x + 30^{\circ}) = \sqrt2.$$
Sekarang, akan diselesaikan dengan menggunakan rumus persamaan dasar trigonometri.
$$\begin{aligned} \cos (x + 30^{\circ}) & = \dfrac12\sqrt2 \\ \cos (x + 30^{\circ}) & = \cos 45^{\circ} \\ \Rightarrow x + 30^{\circ} & = 45^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = 15^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = \underbrace{15^{\circ}}_{k = 0} \\ x + 30^{\circ} & = -45^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = -75^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = \underbrace{285^{\circ}}_{k = 1} \end{aligned}$$Jadi, HP persamaan trigonometri tersebut adalah $\boxed{\{15^{\circ}, 285^{\circ}\}}$
(Jawaban B) [/spoiler]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Pembuktian Identitas Trigonometri

Soal Nomor
Nilai maksimum dari $y = 3 \cos x + 4 \sin x$ adalah $\cdots \cdot$
A. $4$                     C. $6$                  E. $25$
B. $5$                     D. $9$

Diketahui koefisien $\cos x$ dan $\sin x$ berturut-turut adalah $a = 3$ dan $b = 4$, sehingga nilai maksimumnya adalah
$$\begin{aligned} y_{\text{maks}} & = \sqrt{a^2+b^2} \\ & = \sqrt{3^2+4^2} \\ & = \sqrt{25} = 5 \end{aligned}$$Jadi, nilai maksimum dari $y = 3 \cos x + 4 \sin x$ adalah $\boxed{5}$
(Jawaban B) [/spoiler]

Soal Nomor
Nilai minimum dari $y = -5 \sin x-12 \cos x + 8$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-13$                    C. $-5$                    E. $21$
B. $-8$                      D. $13$

Diketahui $y = -5 \sin x-12 \cos x + 8.$
Pertama, kita akan mencari nilai minimum dari $z = -5 \sin x-12 \cos x$, yaitu
$$\begin{aligned} z_{\text{maks}} & = -\sqrt{(-5)^2+(-12)^2} \\ & = -\sqrt{25+144} = -13 \end{aligned}$$Dengan demikian, nilai minimum dari $y$ adalah
$$\begin{aligned} y_{\text{min}} & = z_{\text{min}} + 8 \\ & = -13 + 8 = -5 \end{aligned}$$(Jawaban C) [/spoiler]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Aturan Sinus, Aturan Cosinus, dan Luas Segitiga dalam Trigonometri

Soal Nomor
Misalkan nilai maksimum dan minimum dari $y = a \sin x-b\cos x$ berturut-turut adalah $k$ dan $m$. Nilai dari $k + m = \cdots \cdot$
A. $0$
B. $\sqrt{a^2-b^2}$
C. $\sqrt{a^2+b^2}$
D. $2\sqrt{a^2+b^2}$
C. $a^2+b^2$

Diketahui $y = a \sin x-b \cos x$.
Nilai maksimumnya adalah
$$k = \sqrt{a^2+(-b)^2} = \sqrt{a^2+b^2}$$Nilai minimumnya adalah $$m = -\sqrt{a^2+(-b)^2} = -\sqrt{a^2+b^2}$$Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} k+m & = \sqrt{a^2+b^2} + \left(-\sqrt{a^2+b^2}\right) \\ & = 0 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{k+m=0}$
(Jawaban A) [/spoiler]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Fungsi Trigonometri dan Grafiknya

Bagian Uraian

Soal Nomor
Selesaikan persamaan trigonometri berikut untuk $0 \leq x \leq 360^{\circ}$.
$$\sqrt6 \sin x + \sqrt2 \cos x = 2$$

Alternatif I: Menggunakan Konsep
Perhatikan bahwa persamaan di atas dapat ditulis sebagai berikut.
$$\begin{aligned} \sqrt6 \sin x + \sqrt2 \cos x & = 2 \\ \sqrt2(\sqrt3 \sin x + \cos x) & = 2 \\ \color{blue}{\sqrt3} \sin x + \cos x & = \sqrt2 \end{aligned}$$Misalkan $\tan A = \sqrt3$, sehingga $A = 60^{\circ}$. Oleh karena itu, kita tuliskan
$$\begin{aligned} \color{blue}{\tan A} \sin x + \cos x & = \sqrt2 \\ \dfrac{\sin A}{\cos A} \sin x + \cos x & = \sqrt2 \\ \sin A \sin x + \cos x \cos A & = \sqrt2 \cos A && (\text{Kali}~\cos A) \\ \cos (x-A) & = \sqrt2 \cos A \\ \Rightarrow \sin (x + 60^{\circ}) & = \sqrt2 \cos 60^{\circ} \\ \cos (x-60^{\circ}) & = \dfrac12\sqrt2 \\ \cos (x-60^{\circ}) & = \cos 45^{\circ} \\ \Rightarrow x-60^{\circ} & = 45^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = 105^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = \underbrace{105^{\circ}}_{k=0} \\ \Rightarrow x-60^{\circ} & = -45^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = 15^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = \underbrace{15^{\circ}}_{k=0} \end{aligned}$$Jadi, penyelesaian persamaan trigonometri tersebut adalah $x = 15^{\circ}$ atau $x = 105^{\circ}$. [/spoiler]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Penerapan Identitas Trigonometri