Soal dan Pembahasan – Aplikasi Trigonometri

Jika dilihat dari gambar, yang ditanya adalah panjang sisi depan sudut $60^{\circ},$ sedangkan panjang hipotenusa diketahui. Dengan demikian, perbandingan trigonometri yang dapat digunakan adalah sinus, yakni
$\begin{aligned} \sin 60^{\circ} & = \dfrac{x}{18} \\ \dfrac{1}{2}\sqrt{3} & = \dfrac{x}{18} \\ x & = 18 \times \dfrac{1}{2}\sqrt{3} = 9\sqrt{3}. \end{aligned}$
Jadi, tinggi elang dari atas tanah adalah $9\sqrt{3}$ meter.
(Jawaban D)

Perhatikan gambar berikut.
Besar $\angle ABC$ sama dengan sudut $\alpha^{\circ}$ karena saling berseberangan. Dengan menggunakan konsep tangen, diperoleh
$\tan \alpha^{\circ} = \dfrac{45\sqrt{3}}{135} = \dfrac{1}{3}\sqrt{3} \Rightarrow \alpha^{\circ} = 30^{\circ}.$
Jadi, sudut depresi yang terbentuk adalah $\boxed{30^{\circ}}$
(Jawaban A)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Dengan menggunakan konsep tangen, diperoleh
$\begin{aligned} \tan 45^{\circ} & = \dfrac{BC} {AC} \\ BC & = AC \times \tan 45^{\circ} \\ BC & = 12 \times 1 = 12. \end{aligned}$
Tinggi tiang bendera ($t$) adalah jumlah dari panjang $BC$ dengan tinggi anak itu (yang terukur sampai mata), yaitu $t = 12 + 1,\!55 = 13,\!55~\text{m}.$
Catatan: $155$ cm = $1,\!55$ m. 
Jadi, tinggi tiang bendera tersebut adalah $\boxed{13,\!55~\text{meter}}$
(Jawaban C)

Permasalahan di atas dapat direpresentasikan oleh sketsa gambar berikut.
Karena $\sin 53^{\circ} = 0,\!8 = \dfrac{4}{5},$ maka $\tan 53^{\circ} = \dfrac{4}{\sqrt{5^2-4^2}} = \dfrac{4}{3}.$
Pada $\triangle ABD$, panjang $AD$ dapat ditentukan dengan menggunakan tangen, yaitu
$\begin{aligned} \tan 53^{\circ} & = \dfrac{AD} {AB} \\ AD & = AB \times \tan 53^{\circ} \\ AD & = 870 \times \dfrac{4}{3} = 1.160~\text{meter}. \end{aligned}$
Pada $\triangle ACD$, panjang $AC$ dapat ditentukan dengan menggunakan tangen, yaitu
$\begin{aligned} \tan 14^{\circ} & = \dfrac{AD} {AC} \\ AC & = \dfrac{AD} {\tan 14^{\circ}} \\ AC & = \dfrac{1.160}{0,\!25} = 4.640~\text{meter}. \end{aligned}$
Dengan demikian, 
$\begin{aligned}BC & = AC- AB \\ & = 4.640- 870 = 3.770.~\text{meter} \end{aligned}$
Jadi, panjang landasan pacu tersebut adalah $\boxed{3.770~\text{meter}}$
(Jawaban C)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
(Titik awal penarikan sudut selalu dimulai dari bagian sumbu-$X$ positif)
Panjang $AC$ selanjutnya dapat ditentukan dengan menggunakan aturan kosinus. 
$$\begin{aligned} AC^2 & = AB^2 + BC^2-2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos 60^{\circ} \\ AC^2 & = (200)^2 + (300)^2-2 \cdot 200 \cdot 300 \cdot \dfrac{1}{2} \\ AC^2 & = 40.000 + 90.000-60.000 \\ AC^2 & = 70.000 \\ AC & = \sqrt{70.000} = 100\sqrt{7} \end{aligned}$$Jadi, jarak antara Pelabuhan A ke Pelabuhan C adalah $\boxed{100\sqrt{7}~\text{mil}}$
(Jawaban C)

Perhatikan gambar berikut.
Misalkan titik $A$ adalah titik mula-mula dan titik $C$ merupakan titik pemberhentian kapal.
Perhatikan bahwa $\angle ABC = 90^{\circ} + 30^{\circ} = 120^{\circ}.$
Karena diketahui sisi-sudut-sisi, untuk mencari jarak yang dimaksud, yakni panjang $AC$, dapat menggunakan aturan kosinus.
$$\begin{aligned} AC^2 & = AB^2 + BC^2-2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle ABC \\ & = 120^2 + 100^2-2 \cdot 120 \cdot 100 \cdot \cos 120^{\circ} \\ & = 14.400 + 10.000-2 \cdot 120 \cdot 100 \cdot \left(-\dfrac12\right) \\ & = 24.400 + 12.000 \\ & = 36.400 = 100 \times 4 \times 91 \\ AC & = \sqrt{100 \times 4 \times 91} \\ & = 10 \times 2 \times \sqrt{91} = 20\sqrt{91}. \end{aligned}$$Jadi, jarak kapal dari mula-mula titik berlayar ke tempat pemberhentian adalah $\boxed{20\sqrt{91}}$ meter.
(Jawaban B)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Pada segitiga $ABC$ di atas, diketahui $AC = 16~\text{km},$ $CB = 24~\text{km},$ dan $\angle ACB = 60^{\circ}.$ Dengan menggunakan aturan kosinus, diperoleh
$$\begin{aligned} AB^2 & = AC^2 + CB^2-2 \cdot AC \cdot CB \cdot \cos 60^{\circ} \\ AB^2 & = (16)^2 + (24)^2-2 \cdot 16 \cdot 24 \cdot \dfrac{1}{2} \\ AB^2 & = 256 + 576-384 \\ AB^2 & = 448 \\ AB & = \sqrt{448} = 8\sqrt{7}. \end{aligned}$$Jadi, jarak A ke B adalah $\boxed{8\sqrt{7}~\text{km}}$
(Jawaban B)

Perhatikan segitiga siku-siku pada bagian yang diberi kotak.

Diketahui bahwa panjang sisi miring pada segitiga siku-siku tersebut adalah $2$ km. Untuk mencari panjang sisi tinggi $h,$ gunakan perbandingan sinus.
$$\begin{aligned} \sin 12^\circ & = \dfrac{\text{de}}{\text{mi}} \\ 0,20 & = \dfrac{h}{2} \\ h & = 2 \cdot 0,\!20 \\ h & = 0,\!4~\text{km} = 400~\text{m} \end{aligned}$$Jadi, ketinggian Kota Slawi dari Kota Tegal adalah $\boxed{400~\text{m}}$
(Jawaban A)

Sebelumnya, kita sudah mengetahui bahwa ketinggian Kota Tegal dari Kota Slawi adala $400~\text{m}.$
Selanjutnya, kita hanya perlu mencari ketinggian Desa Bojong dari Kota Slawi.
Perhatikan segitiga siku-siku pada bagian yang diberi kotak.
Diketahui bahwa panjang sisi miring pada segitiga siku-siku tersebut adalah $3$ km. Untuk mencari panjang sisi tinggi $h,$ gunakan perbandingan sinus.
$$\begin{aligned} \sin 12^\circ & = \dfrac{\text{de}}{\text{mi}} \\ 0,\!20 & = \dfrac{h}{3} \\ h & = 3 \cdot 0,\!20 \\ h & = 0,\!6~\text{km} = 600~\text{m} \end{aligned}$$Jadi, ketinggian Desa Bojong dari Kota Slawi adalah $600~\text{m}.$
Dengan demikian, ketinggian rumah nenek (diwakili oleh ketinggian Desa Bojong) dari Kota Tegal adalah $\boxed{400 + 600 = 1.000~\text{m}}$
(Jawaban B)

Perhatikan bahwa garis penghubung Bumi-bintang-Matahari membentuk segitiga siku-siku sehingga hubungan jarak dan besar sudut dapat ditentukan dengan perbandingan trigonometri.
Misalkan jarak Bumi ke Matahari sama dengan $x,$ jarak Matahari ke bintang sama dengan $y,$ dan jarak Bumi ke bintang sama dengan $z.$
Cek Opsi A: Pernyataan Salah
Diketahui $x = 1~\text{SA}$ dan $p^\circ = 15^\circ.$ Untuk mencari jarak bintang ke Bumi $(z),$ gunakan perbandingan sinus.
$$\begin{aligned} \sin p^\circ & = \dfrac{x}{z} \\ \sin 15^\circ & = \dfrac{1}{z} \\ 0,\!25 & = \dfrac{1}{z} \\ z & = \dfrac{1}{0,\!25} = 4~\text{SA} \end{aligned}$$Jadi, jarak bintang ke Bumi adalah $4~\text{SA}$ atau setara dengan $$4 \times 150~\text{juta km} = 600~\text{juta km}.$$Cek Opsi B: Pernyataan Salah
Diketahui $x = 1~\text{SA}$ dan $p^\circ = 20^\circ.$ Untuk mencari jarak bintang ke Bumi $(z),$ gunakan perbandingan sinus.
$$\begin{aligned} \sin p^\circ & = \dfrac{x}{z} \\ \sin 20^\circ & = \dfrac{1}{z} \\ 0,\!34 & = \dfrac{1}{z} \\ z & = \dfrac{1}{0,\!34} \approx 2,9~\text{SA} \end{aligned}$$Jadi, jarak bintang ke Bumi kira-kira $2,9~\text{SA}$ atau setara dengan $$2,\!9 \times 150~\text{juta km} = 435~\text{juta km}.$$Cek Opsi C: Pernyataan Benar
Diketahui $x = 2~\text{SA}$ dan $p^\circ = 15^\circ.$ Untuk mencari jarak bintang ke Bumi $(z),$ gunakan perbandingan sinus.
$$\begin{aligned} \sin p^\circ & = \dfrac{x}{z} \\ \sin 15^\circ & = \dfrac{2}{z} \\ 0,\!25 & = \dfrac{2}{z} \\ z & = \dfrac{2}{0,\!25} = 8~\text{SA} \end{aligned}$$Jadi, jarak bintang ke Bumi adalah $8~\text{SA}$ atau setara dengan $$8 \times  150~\text{juta km} = 1.200~\text{juta km}.$$Cek Opsi D: Pernyataan Salah
Diketahui $x = 2~\text{SA}$ dan $p^\circ = 15^\circ.$ Untuk mencari jarak bintang ke Matahari $(y),$ gunakan perbandingan tangen.
$$\begin{aligned} \tan p^\circ & = \dfrac{x}{y} \\ \tan 15^\circ & = \dfrac{2}{y} \\ 0,\!26 & = \dfrac{2}{y} \\ y & = \dfrac{2}{0,\!26} \approx 7,\!7~\text{SA} \end{aligned}$$Jadi, jarak bintang ke Matahari sekitar $7,7~\text{SA}$ atau setara dengan $$7,\!7 \times 150~\text{juta km} = 1.155~\text{juta km}.$$Cek Opsi E: Pernyataan Salah
Diketahui $x = 2~\text{SA}$ dan $p^\circ = 20^\circ.$ Untuk mencari jarak bintang ke Matahari $(y),$ gunakan perbandingan tangen.
$$\begin{aligned} \tan p^\circ & = \dfrac{x}{y} \\ \tan 20^\circ & = \dfrac{2}{y} \\ 0,\!36 & = \dfrac{2}{y} \\ y & = \dfrac{2}{0,\!36} \approx 5,\!6~\text{SA} \end{aligned}$$Jadi, jarak bintang ke Matahari sekitar $5,\!6~\text{SA}$ atau setara dengan $$5,\!6  \times 150~\text{juta km} = 840~\text{juta km}.$$Jadi, pernyataan yang benar dari lima pilihan yang diberikan adalah pernyataan pada opsi C.
(Jawaban C)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Misalkan $x$ adalah tinggi pohon terhitung dari titik yang setara dengan mata siswa itu. 
Dengan menggunakan konsep tangen, diperoleh
$\begin{aligned} \tan 30^{\circ} & = \dfrac{x} {4\sqrt{3}}\\ x & = 4\sqrt{3} \times \tan 30^{\circ} \\ & = 4\sqrt{3} \times \dfrac{1}{3}\sqrt{3} \\ & = \dfrac{4}{\cancel{3}} \times \cancel{3} = 4~\text{m}. \end{aligned}$
Tinggi pohon ($t$) didapat dari jumlah $x$ dengan tinggi siswa (yang terhitung sampai mata), yaitu $t = 4 + 1,\!6 = 5,\!6~\text{m}.$
Jadi, tinggi pohon tersebut adalah $\boxed{5,\!6~\text{meter}}$

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Pada $\triangle ACE$, panjang $AC$ dapat ditentukan dengan menggunakan tangen, yaitu
$\begin{aligned} \tan 20^{\circ} & = \dfrac{CE} {AC} \\ AC & = \dfrac{CE} {\tan 20^{\circ}} \\ AC & \approx \dfrac{4.000}{0,\!364} \approx 10.989~\text{meter}. \end{aligned}$
Pada $\triangle ABD,$ panjang $AB$ juga dapat ditentukan dengan menggunakan tangen, yaitu
$\begin{aligned} \tan 52^{\circ} & = \dfrac{BD} {AB} \\ AB & = \dfrac{BD} {\tan 52^{\circ}} \\ AB & \approx \dfrac{4.000}{1,\!23} \approx 3.252~\text{meter}. \end{aligned}$
Dengan demikian, 
$\begin{aligned} BC & = AC-AB \\ & = 10.989-3.252 = 7.737~\text{meter}. \end{aligned}$
Kecepatan pesawat itu adalah
$v = \dfrac{BC} {t} = \dfrac{7.737}{50} = 154,\!74~\text{m/detik}.$

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Ketinggian helikopter dari atas gedung adalah panjang $CD$. 
Tinjau segitiga $ABC$. Dengan menggunakan konsep tangen, kita peroleh
$\begin{aligned} \tan 30^{\circ} & = \dfrac{BC} {AB} \\ BC & = \tan 30^{\circ} \times AB \\ BC & = \dfrac{1}{3}\sqrt{3} \times 32 = \dfrac{32}{3}\sqrt{3}~\text{m}. \end{aligned}$
Berikutnya, tinjau segitiga $ABD$. Dengan menggunakan konsep tangen, kita peroleh
$\begin{aligned} \tan 45^{\circ} & = \dfrac{BD} {AB} \\ BD & = \tan 45^{\circ} \times AB \\ BD & = 1 \times 32 = 32~\text{m}.\end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} CD & = BD-BC \\ & = 32-\dfrac{32}{3}\sqrt{3} \\ & = 32\left(1-\dfrac{1}{3}\sqrt{3}\right)~\text{m}. \end{aligned}$
Jadi, tinggi helikopter dari atas gedung itu adalah $\boxed{32\left(1-\dfrac{1}{3}\sqrt{3}\right)~\text{meter}}$

Permasalahan di atas dapat direpresentasikan oleh sketsa gambar berikut ini.
Jarak terpendek dari bangunan ke jalan adalah panjang garis tinggi $CD$. 
Diketahui: $AB = 1~\text{km}.$
Dengan menggunakan konsep tangen pada segitiga $BCD$, diperoleh
$\tan 41^{\circ} = \dfrac{BD} {CD}~~~~~~~(1)$
Selanjutnya, dengan menggunakan konsep tangen pada segitiga $ACD$, diperoleh
$\tan 36^{\circ} = \dfrac{AD} {CD}~~~~~~~(2)$ 
Dengan menjumlahkan kedua persamaan di atas, diperoleh
$$\begin{aligned} \tan 41^{\circ} + \tan 36^{\circ} & = \dfrac{BD + AD} {CD} \\ 0,\!87 + 0,\!73 & = \dfrac{AB}{CD} \\ 1,\!6 & = \dfrac{1}{CD} \\ CD & = \dfrac{1}{1,\!6} = 0,\!625. \end{aligned}$$Jadi, jarak terpendek dari bangunan ke jalan tersebut adalah $\boxed{0,625~\text{km}}$

Sketsa gambar berikut merepresentasikan permasalahan di atas.
Misalkan $x$ adalah jarak dari posisi baru Sukardi setelah bergerak sejauh $12$ meter ke gedung itu. 
Dengan menggunakan konsep tangen pad segitiga $AOB$, diperoleh
$\begin{aligned} \tan 45^{\circ} & = \dfrac{OB} {AO} \\ OB & = AO \times \tan 45^{\circ} \\ OB & = (12 + x) \times 1 = 12 + x \\ x & = OB-12. \end{aligned}$ 
Selanjutnya, gunakan konsep tangen pada segitiga $COB.$ 
$\begin{aligned} \tan 60^{\circ} & = \dfrac{OB} {CO} \\ OB & = CO \times \tan 60^{\circ} \\ OB & = x \times \sqrt{3} = \sqrt{3}x \end{aligned}$ 
Dengan demikian, kita tuliskan
$$\begin{aligned} OB & = \sqrt{3}(OB- 12) \\ OB & = \sqrt{3}OB- 12\sqrt{3} \\ (\sqrt{3}-1)OB & = 12\sqrt{3} \\ OB & = \dfrac{12\sqrt{3}} {\sqrt{3}-1}  \color{red} {\times \dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}}  \\ OB & = \dfrac{\cancelto{6}{12}\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)} {\cancel{3-1}} \\ OB & = 6\sqrt{3}(\sqrt{3}+1) = 18 + 6\sqrt{3}. \end{aligned}$$Tinggi gedung adalah jumlah dari tinggi Sukardi ($180$ cm = $1,\!8$ m) ditambah panjang $BO$, yaitu $t = 1,\!8 + (18 + 6\sqrt{3}) = 19,\!8 + 6\sqrt{3}.$
Jadi, tinggi gedung itu adalah $\boxed{(19,\!8 + 6\sqrt{3})~\text{meter}}$