Soal dan Pembahasan – Aplikasi Trigonometri

Setelah mempelajari perbandingan trigonometri dasar, sudut istimewa, identitas trigonometri, aturan sinus, aturan cosinus, dan persamaan trigonometri, selanjutnya kita akan mempelajari aplikasi trigonometri. Sebelumnya, kita disarankan untuk menguasai terlebih dahulu submateri sebelumnya agar lebih mudah memahami penyelesaian soal mengenai aplikasi trigonometri.

Baca: Soal dan Pembahasan – Perbandingan Trigonometri (Dasar)

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa

Berikut ini penulis sajikan soal-soal beserta pembahasannya tentang aplikasi (soal cerita) materi Trigonometri. Soal-soal berikut dikumpulkan dari berbagai sumber, kemudian penulis rangkum dalam postingan ini. Semoga bermanfaat. 

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Pembuktian Identitas Trigonometri

Today Quote

Kegagalan adalah hal yang biasa. Hal yang luar biasa adalah bangkit dari kegagalan itu.

Soal Nomor 1
Seekor kelinci yang berada di lubang tanah tempat persembunyiannya melihat seekor elang yang sedang terbang dengan sudut $60^{\circ}$ (lihat gambar). Jika jarak antara kelinci dan elang adalah $18$ meter, maka tinggi elang dari atas tanah adalah $\cdots \cdot$ meter.

A. $\sqrt{3}$                              D. $9\sqrt{3}$
B. $3\sqrt{3}$                            E. $12\sqrt{3}$
C. $6\sqrt{3}$

Penyelesaian

Jika dilihat dari gambar, sisi depan sudut $60^{\circ}$ ditanyakan panjangnya dan sisi miring segitiga (hipotenusa) diketahui panjangnya. Dengan demikian, perbandingan trigonometri yang dapat digunakan adalah sinus, yakni
$\begin{aligned} \sin 60^{\circ} & = \dfrac{x}{18} \\ \dfrac{1}{2}\sqrt{3} & = \dfrac{x}{18} \\ x & = 18 \times \dfrac{1}{2}\sqrt{3} = 9\sqrt{3} \end{aligned}$
Jadi, tinggi elang dari atas tanah adalah $9\sqrt{3}$ meter.
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 2
Perhatikan gambar di bawah ini.

Diketahui seseorang yang berada di atas mercusuar dengan tinggi $45\sqrt{3}$ meter sedang mengamati sebuah objek di bawahnya dengan jarak antara objek dan mercusuar sejauh $135$ meter. Sudut depresi yang terbentuk adalah $\cdots \cdot$
A. $30^{\circ}$                      C. $60^{\circ}$               E. $180^{\circ}$
B. $45^{\circ}$                      D. $90^{\circ}$      

Penyelesaian

Perhatikan gambar berikut.

Besar $\angle ABC$ sama dengan sudut $\alpha^{\circ}$ karena saling berseberangan. Dengan menggunakan konsep tangen, diperoleh
$\tan \alpha^{\circ} = \dfrac{45\sqrt{3}}{135} = \dfrac{1}{3}\sqrt{3} \Rightarrow \alpha^{\circ} = 30^{\circ}$
Jadi, sudut depresi yang terbentuk adalah $\boxed{30^{\circ}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 3
Seorang siswa akan mengukur tinggi pohon yang berjarak $4\sqrt{3}$ m dari dirinya. Antara mata dengan puncak pohon tersebut terbentuk sudut elevasi $30^{\circ}$. Jika tinggi siswa tersebut terukur sampai mata adalah $1,6$ m, berapakah tinggi pohon?

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Misalkan $x$ adalah tinggi pohon terhitung dari titik yang setara dengan mata siswa itu. 
Dengan menggunakan konsep tangen, diperoleh
$\begin{aligned} \tan 30^{\circ} & = \dfrac{x} {4\sqrt{3}}\\ x & = 4\sqrt{3} \times \tan 30^{\circ} \\ & = 4\sqrt{3} \times \dfrac{1}{3}\sqrt{3} \\ & = \dfrac{4}{\cancel{3}} \times \cancel{3} = 4~\text{m} \end{aligned}$
Tinggi pohon ($t$) didapat dari jumlah $x$ dengan tinggi siswa (yang terhitung sampai mata), yaitu
$t = 4 + 1,6 = 5,6~\text{m}$
Jadi, tinggi pohon tersebut adalah $\boxed{5,6~\text{meter}}$

[collapse]

Soal Nomor 4
Seorang anak yang memiliki tinggi badan $155$ cm (terukur sampai ke mata) berdiri pada jarak $12$ m dari tiang bendera. Ia melihat puncak tiang bendera dengan sudut elevasi $45^{\circ}$. Tinggi tiang bendera itu adalah $\cdots \cdot$
A. $12,00$ m                     D. $21,50$ m
B. $12,55$ m                     E. $27,50$ m
C. $13,55$ m

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Dengan menggunakan konsep tangen, diperoleh
$\begin{aligned} \tan 45^{\circ} & = \dfrac{BC} {AC} \\ BC & = AC \times \tan 45^{\circ} \\ BC & = 12 \times 1 = 12 \end{aligned}$
Tinggi tiang bendera ($t$) adalah jumlah dari panjang $BC$ dengan tinggi anak itu (yang terukur sampai mata), yaitu $t = 12 + 1,55 = 13,55~\text{m}$. 
Catatan: $155$ cm = $1,55$ m. 
Jadi, tinggi tiang bendera tersebut adalah $\boxed{13,55~\text{meter}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 5
Suatu pesawat terbang dalam keadaan mendatar dengan ketinggian $4.000$ meter dari menara pengawas. Dalam $50$ detik, sudut elevasi pesawat berubah dari $20^{\circ}$ menjadi $52^{\circ}$ dilihat dari puncak menara pengawas. Tentukan kecepatan pesawat itu dalam satuan m/detik (Petunjuk: $\tan 20^{\circ} \approx 0,364$, $\tan 52^{\circ} \approx 1,23$).

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Pada $\triangle ACE$, panjang $AC$ dapat ditentukan dengan menggunakan tangen, yaitu
$\begin{aligned} \tan 20^{\circ} & = \dfrac{CE} {AC} \\ AC & = \dfrac{CE} {\tan 20^{\circ}} \\ AC & \approx \dfrac{4.000}{0,364} \approx 10.989~\text{meter} \end{aligned}$
Pada $\triangle ABD$, panjang $AB$ juga dapat ditentukan dengan menggunakan tangen, yaitu
$\begin{aligned} \tan 52^{\circ} & = \dfrac{BD} {AB} \\ AB & = \dfrac{BD} {\tan 52^{\circ}} \\ AB & \approx \dfrac{4.000}{1,23} \approx 3.252~\text{meter} \end{aligned}$
Dengan demikian, 
$\begin{aligned} BC & = AC -AB \\ & = 10.989 -3.252 = 7.737~\text{meter} \end{aligned}$
Kecepatan pesawat itu adalah
$v = \dfrac{BC} {t} = \dfrac{7.737}{50} = 154,74~\text{m/detik}$

[collapse]

Soal Nomor 6
Dari suatu titik pada bukit, tampak ujung-ujung suatu landasan pacu Bandara Kuala Namu yang sedang dibangun horizontal dengan sudut depresi $53^{\circ}$ dan $14^{\circ}$. Jarak ujung landasan yang lebih dekat sepanjang lereng bukit adalah $870$ meter. Jika $\sin 53^{\circ} = 0,8$ dan $\tan 14^{\circ} = 0,25$, maka panjang landasan pacu tersebut adalah $\cdots$ meter. 
A. $3.550$                     D. $3.800$
B. $3.750$                     E. $3.950$
C. $3.770$

Penyelesaian

Permasalahan di atas dapat direpresentasikan oleh sketsa gambar berikut.

Karena $\sin 53^{\circ} = 0,8 = \dfrac{4}{5}$, maka $\tan 53^{\circ} = \dfrac{4}{\sqrt{5^2-4^2}} = \dfrac{4}{3}$. 
Pada $\triangle ABD$, panjang $AD$ dapat ditentukan dengan menggunakan tangen, yaitu
$\begin{aligned} \tan 53^{\circ} & = \dfrac{AD} {AB} \\ AD & = AB \times \tan 53^{\circ} \\ AD & = 870 \times \dfrac{4}{3} = 1.160~\text{meter} \end{aligned}$
Pada $\triangle ACD$, panjang $AC$ dapat ditentukan dengan menggunakan tangen, yaitu
$\begin{aligned} \tan 14^{\circ} & = \dfrac{AD} {AC} \\ AC & = \dfrac{AD} {\tan 14^{\circ}} \\ AC & = \dfrac{1.160}{0,25} = 4.640~\text{meter} \end{aligned}$
Dengan demikjan, 
$\begin{aligned}BC & = AC – AB \\ & = 4.640 – 870 = 3.770~\text{meter} \end{aligned}$
Jadi, panjang landasan pacu tersebut adalah $\boxed{3.770~\text{meter}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 7
Sebuah kapal berlayar dari Pelabuhan A ke Pelabuhan B sejauh $200$ mil dengan arah $35^{\circ}$. Dari Pelabuhan B, kapal itu berlayar sejauh $300$ mil menuju Pelabuhan C dengan arah $155^{\circ}$. Jarak antara Pelabuhan A ke Pelabuhan C adalah $\cdots$ mil. 
A. $100\sqrt{2}$                  D. $100\sqrt{13}$
B. $100\sqrt{3}$                  E. $100\sqrt{19}$
C. $100\sqrt{7}$

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

(Titik awal penarikan sudut selalu dimulai dari bagian sumbu-$X$ positif)
Panjang $AC$ selanjutnya dapat ditentukan dengan menggunakan Aturan Cosinus
$\begin{aligned} AC^2 & = AB^2 + BC^2 -2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos 60^{\circ} \\ AC^2 & = (200)^2 + (300)^2 -2 \cdot 200 \cdot 300 \cdot \dfrac{1}{2} \\ AC^2 & = 40.000 + 90.000 -60.000 \\ AC^2 & = 70.000 \\ AC & = \sqrt{70.000} = 100\sqrt{7} \end{aligned}$
Jadi, jarak antara Pelabuhan A ke Pelabuhan C adalah $\boxed{100\sqrt{7}~\text{mil}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 8
Sebuah kapal laut berlayar ke arah timur sejauh $120$ km, kemudian memutar kemudi pada jurusan $30^{\circ}$ sejauh $100$ km hingga berhenti. Jarak kapal dari mula-mula titik berlayar ke tempat pemberhentian adalah $\cdots$ meter.
A. $25\sqrt{50}$                       D. $27\sqrt{66}$
B. $20\sqrt{91}$                       E. $24\sqrt{70}$
C. $24\sqrt{66}$

Penyelesaian

Perhatikan gambar berikut.

Misalkan titik $A$ adalah titik mula-mula dan titik $C$ merupakan titik pemberhentian kapal.

Perhatikan bahwa $\angle ABC = 90^{\circ} + 30^{\circ} = 120^{\circ}$
Karena diketahui sisi-sudut-sisi, maka untuk mencari jarak yang dimaksud, yakni panjang $AC$, dapat menggunakan Aturan Cosinus.
$$\begin{aligned} AC^2 & = AB^2 + BC^2 -2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle ABC \\ & = 120^2 + 100^2 -2 \cdot 120 \cdot 100 \cdot \cos 120^{\circ} \\ & = 14.400 + 10.000 -2 \cdot 120 \cdot 100 \cdot \left(-\dfrac12\right) \\ & = 24.400 + 12.000 \\ & = 36.400 = 100 \times 4 \times 91 \\ AC & = \sqrt{100 \times 4 \times 91} \\ & = 10 \times 2 \times \sqrt{91} = 20\sqrt{91} \end{aligned}$$Jadi, jarak kapal dari mula-mula titik berlayar ke tempat pemberhentian adalah $\boxed{20\sqrt{91}}$ meter.
(Jawaban B)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Persamaan Trigonometri

Soal Nomor 9
Sebuah mobil melaju dari tempat A sejauh $16$ km dengan arah $40^{\circ}$, kemudian berbelok sejauh $24$ km ke tempat B dengan arah $160^{\circ}$. Jarak A dan B adalah $\cdots$ km. 
A. $21$                                D. $32$
B. $8\sqrt{7}$                            E. $8\sqrt{19}$
C. $8\sqrt{10}$

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Pada segitiga $ABC$ di atas, diketahui $AC = 16~\text{km}$, $CB = 24~\text{km}$, dan $\angle ACB = 60^{\circ}$. Dengan menggunakan Aturan Cosinus, diperoleh
$\begin{aligned} AB^2 & = AC^2 + CB^2 -2 \cdot AC \cdot CB \cdot \cos 60^{\circ} \\ AB^2 & = (16)^2 + (24)^2 -2 \cdot 16 \cdot 24 \cdot \dfrac{1}{2} \\ AB^2 & = 256 + 576 -384 \\ AB^2 & = 448 \\ AB & = \sqrt{448} = 8\sqrt{7} \end{aligned}$ 
Jadi, jarak A ke B adalah $\boxed{8\sqrt{7}~\text{km}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 10
Perhatikan gambar berikut!

Gambar di atas menunjukkan seorang anak yang berada pada jarak $32$ meter dari kaki sebuah gedung. Ia mengamati puncak gedung dan helikopter di atasnya dengan sudut elevasi masing-masing $30^{\circ}$ dan $45^{\circ}$. Hitunglah tinggi helikopter tersebut dari atas gedung.

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Ketinggian helikopter dari atas gedung adalah panjang $CD$. 
Tinjau segitiga $ABC$. Dengan menggunakan konsep tangen, kita peroleh
$\begin{aligned} \tan 30^{\circ} & = \dfrac{BC} {AB} \\ BC & = \tan 30^{\circ} \times AB \\ BC & = \dfrac{1}{3}\sqrt{3} \times 32 = \dfrac{32}{3}\sqrt{3}~\text{m} \end{aligned}$
Berikutnya, tinjau segitiga $ABD$. Dengan menggunakan konsep tangen, kita peroleh
$\begin{aligned} \tan 45^{\circ} & = \dfrac{BD} {AB} \\ BD & = \tan 45^{\circ} \times AB \\ BD & = 1 \times 32 = 32~\text{m} \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} CD & = BD -BC \\ & = 32 -\dfrac{32}{3}\sqrt{3} \\ & = 32\left(1 -\dfrac{1}{3}\sqrt{3}\right)~\text{m} \end{aligned}$
Jadi, tinggi helikopter dari atas gedung itu adalah $\boxed{32\left(1 -\dfrac{1}{3}\sqrt{3}\right)~\text{meter}}$

[collapse]

Soal Nomor 11
Sebuah jalan menghubungkan selatan dan utara. Dari suatu titik pertama pada jalan, suatu bangunan memiliki arah timur $36^{\circ}$ utara dan titik kedua yang berjarak $1$ km dari titik pertama ke arah utara bangunan mempunyai arah selatan $41^{\circ}$ timur. Hitung jarak terpendek dari bangunan ke jalan tersebut. 
Asumsikan $\tan 41^{\circ} = 0,87$ dan $\tan 36^{\circ} = 0,73$.

Penyelesaian

Permasalahan di atas dapat direpresentasikan oleh sketsa gambar berikut ini.

Jarak terpendek dari bangunan ke jalan adalah panjang garis tinggi $CD$. 
Diketahui: $AB = 1~\text{km}$
Dengan menggunakan konsep tangen pada segitiga $BCD$, diperoleh
$\tan 41^{\circ} = \dfrac{BD} {CD}~~~~~~~~~(1)$
Selanjutnya, dengan menggunakan konsep tangen pada segitiga $ACD$, diperoleh
$\tan 36^{\circ} = \dfrac{AD} {CD}~~~~~~~~~(2)$ 
Dengan menjumlahkan kedua persamaan di atas, diperoleh
$$\begin{aligned} \tan 41^{\circ} + \tan 36^{\circ} & = \dfrac{BD + AD} {CD} \\ 0,87 + 0,73 & = \dfrac{AB}{CD} \\ 1,6 & = \dfrac{1}{CD} \\ CD & = \dfrac{1}{1,6} = 0,625 \end{aligned}$$
Jadi, jarak terpendek dari bangunan ke jalan tersebut adalah $\boxed{0,625~\text{km}}$

[collapse]

Soal Nomor 12
Sukardi dengan tinggi $180$ cm mengamati puncak gedung dengan sudut elevasi $45^{\circ}$. Ia kemudian berjalan sejauh $12$ meter mendekati gedung. Di posisi tersebut, Sukardi mengamati puncak gedung kembali dengan sudut elevasi $60^{\circ}$. Tentukan tinggi gedung tersebut.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Aturan Sinus, Aturan Cosinus, dan Luas Segitiga dalam Trigonometri

Penyelesaian

Sketsa gambar berikut merepresentasikan permasalahan di atas.

Misalkan $x$ adalah jarak dari posisi baru Sukardi setelah bergerak sejauh $12$ meter ke gedung itu. 
Dengan menggunakan konsep tangen pad segitiga $AOB$, diperoleh
$\begin{aligned} \tan 45^{\circ} & = \dfrac{OB} {AO} \\ OB & = AO \times \tan 45^{\circ} \\ OB & = (12 + x) \times 1 = 12 + x \\ x & = OB -12 \end{aligned}$ 
Selanjutnya, gunakan konsep tangen pada segitiga $COB$. 
$\begin{aligned} \tan 60^{\circ} & = \dfrac{OB} {CO} \\ OB & = CO \times \tan 60^{\circ} \\ OB & = x \times \sqrt{3} = \sqrt{3}x \end{aligned}$ 
Dengan demikian, kita tuliskan
$\begin{aligned} OB & = \sqrt{3}(OB – 12) \\ OB & = \sqrt{3}OB – 12\sqrt{3} \\ (\sqrt{3}-1)BO & = 12\sqrt{3} \\ BO & = \dfrac{12\sqrt{3}} {\sqrt{3}-1}  \color{red} {\times \dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}}  \\BO & = \dfrac{\cancelto{6}{12}\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)} {\cancel{3 -1}} \\ BO & = 6\sqrt{3}(\sqrt{3}+1) = 18 + 6\sqrt{3} \end{aligned}$
Tinggi gedung adalah jumlah dari tinggi Sukardi ($180$ cm = $1,8$ m) ditambah panjang $BO$, yaitu
$t = 1,8 + (18 + 6\sqrt{3}) = 19,8 + 6\sqrt{3}$
Jadi, tinggi gedung itu adalah $\boxed{(19,8 + 6\sqrt{3})~\text{meter}}$

[collapse]

Soal Nomor 13
Seorang pria berdiri di atas menara pada ketinggian tertentu. Pria tersebut mengamati sebuah truk dengan sudut depresi $\alpha$. Ketika nilai $\tan \alpha = 1$, terlihat bahwa truk bergerak maju menuju dasar menara. Sepuluh menit kemudian, sudut depresi dari truk berubah menjadi $\beta$, dengan nilai $\tan \beta = 5$. Jika truk bergerak dengan kecepatan tetap, maka waktu yang dibutuhkan truk untuk mencapai dasar menara adalah $\cdots$ detik. 
A. $100$                      C. $200$                    E. $300$
B. $150$                      D. $250$  

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut yang merepresentasikan permasalahan di atas.

Misalkan tinggi menara adalah $x$.
Jarak truk terhadap menara saat sudut depresinya $\alpha$ adalah $AC$
Karena $\tan \alpha = 1$, maka berlaku
$\dfrac{x} {AC} = 1 \Leftrightarrow x = AC$
Jarak truk terhadap menara saat sudut depresinya $\beta$ adalah $BC$
Karena $\tan \beta = 5$, maka berlaku
$\dfrac{x} {BC} = 5 \Leftrightarrow BC = \dfrac{1}{5}x$
Dengan demikian, setelah $10$ menit, truk telah bergerak sepanjang $AB$, yaitu
$\begin{aligned} AB & = AC -BC \\ & = x -\dfrac{1}{5}x = \dfrac{4}{5}x \end{aligned}$
Kecepatan truk saat berjalan $10$ menit itu adalah
$v = \dfrac{\text{jarak}} {\text{waktu}} = \dfrac{\frac{4}{5}x} {10} = \dfrac{2}{25}x$
Untuk itu, waktu yang diperlukan oleh truk untuk menempuh sisa jarak terhadap menara, yaitu $BC = \dfrac{1}{5}x$ adalah 
$\begin{aligned} v & = \dfrac{BC} {t} \Leftrightarrow t = \dfrac{BC} {v} \\ t & = \dfrac{\frac{1}{5}\cancel{x} } {\frac{2}{25}\cancel{x}} = \dfrac{5}{2}~\text{menit} \\ & = \dfrac{5}{\cancel{2}} \times \cancelto{30}{60}~\text{detik} = 150~\text{detik} \end{aligned}$
Jadi, waktu yang dibutuhkan truk untuk mencapai dasar menara adalah $\boxed{150~\text{detik}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 14
Dari atap sebuah gedung, Thanos melihat sebuah mobil sedan diparkir di sebelah barat dengan sudut depresi $60^{\circ}$. Tidak lama kemudian, dia melihat sebuah mobil minibus diparkir di sebelah selatan gedung dengan sudut depresi $45^{\circ}$. Jika jarak kedua mobil tersebut adalah $100$ m, maka jarak mobil minibus terhadap gedung adalah $\cdots$ m.
A. $50$                    D. $5$
B. $25$                    E. $\dfrac53\sqrt{3}$
C. $5\sqrt{3}$

Penyelesaian

Misalkan $x, y$ berturut-turut menyatakan jarak sedan dan minibus ke gedung, sedangkan $z$ menyatakan tinggi gedung.
Perhatikan gambar (sketsa) berikut.



Berdasarkan Teorema Pythagoras, berlaku: $x^2+y^2 = 100^2 =10.000$
Dengan menggunakan konsep perbandingan trigonometri, masing-masing didapat
$\begin{aligned} \tan 60^{\circ} & = \dfrac{x} {z} \\ \sqrt{3} & = \dfrac{x} {z} \\ \text{Kuadratkan}~&\text{kedua ruas} \\ 3 & = \dfrac{x^2}{z^2} \end{aligned}$
dan
$\begin{aligned} \tan 45^{\circ} & = \dfrac{y} {z} \\ 1 & = \dfrac{y} {z} \\ \text{Kuadratkan}~&\text{kedua ruas} \\ 1 & = \dfrac{y^2}{z^2} \end{aligned}$
Jumlahkan kedua persamaan di atas untuk memperoleh
$\begin{aligned} 3 + 1 & = \dfrac{x^2}{z^2} + \dfrac{y^2}{z^2} \\ 4 & = \dfrac{10.000}{z^2} \\ z^2 & = \dfrac{10.000}{4} = 2.500 \\ z & = 50~\text{m} \end{aligned}$
Jadi, tinggi gedung itu adalah $\boxed{50~\text{meter}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 15
Adi dan Budi merupakan sahabat karib. Suatu malam, mereka berada di rumah masing-masing. Jarak kedua rumah adalah $2$ km. Adi mengirim pesan singkat kepada Budi bahwa dia sedang berdiri menghadap rumah Budi dan bermain pistol laser hijau yang kuat dan ditembakkan dengan sudut elevasi $75^{\circ}$ ke awan yang berada di langit antara kedua rumahnya sehingga mengenai awan. Budi beranjak berdiri di depan rumah sambil mengamati titik hijau di awan menggunakan klinometer dan terbaca sudut yang terbentuk $45^{\circ}$. Tinggi awan yang ditembak Adi adalah $\cdots$ km.
A. $\frac{1}{3}(\sqrt{3} -1)$
B. $\frac{1}{3}(\sqrt{3} + 1)$
C. $\frac{1}{3}(3 -\sqrt{3})$
D. $\frac{1}{3}(\sqrt{3} + 3)$
E. $(\sqrt{3} + 1)$

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Tinjau segitiga $ABD$.
Dengan menggunakan konsep tangen, diperoleh
$\tan 45^{\circ} = \dfrac{t}{x} \Leftrightarrow 1 = \dfrac{t}{x} \Leftrightarrow x = t$
Sekarang, tinjau segitiga $BCD$.
Dengan prinsip yang sama, diperoleh
$$\begin{aligned} \tan 75^{\circ} & = \dfrac{t}{x-2} \\ \tan (45 + 30)^{\circ} & = \dfrac{t}{t -2} \\ \dfrac{\tan 45^{\circ} + \tan 30^{\circ}}{1 -\tan 45^{\circ} \tan 30^{\circ}} & = \dfrac{t}{t-2} \\ \dfrac{1 + \frac{1}{3}\sqrt{3}}{1 -1 \cdot \frac{1}{3}\sqrt{3}} & = \dfrac{t}{t -2} \\ \dfrac{3 + \sqrt{3}}{3 -\sqrt{3}} & = \dfrac{t}{t-2} \\ (3 + \sqrt{3})(2-t) & = t(3 -\sqrt{3}) \\ 6 + 2\sqrt{3} -3t- \sqrt{3}t & = 3t – \sqrt{3}t \\ 6t & = 6 + 2\sqrt{3} \\ t & = \dfrac{1}{6}(6 + 2\sqrt{3}) \\ t & = \dfrac{1}{3}(\sqrt{3} + 3)~\text{km}\end{aligned}$$
Jadi, tinggi awan yang ditembak Ali adalah $\boxed{\dfrac{1}{3}(\sqrt{3} + 3)~\text{km}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 16
Seorang anak diminta untuk mengukur tinggi tiang listrik yang ada di depan sekolahnya dengan menggunakan klinometer. Pada posisi berdiri pertama dengan melihat ujung atas tiang listrik, terlihat klinometer menunjuk sudut $30^{\circ}$. Kemudian dia bergerak mendekati tiang listrik sejauh $18$ m dan terlihat klinometer menunjuk sudut $45^{\circ}$. Tinggi tiang listrik tersebut adalah $\cdots \cdot$ m.

A. $18\sqrt{3}$
B. $(18\sqrt{3} -18)$
C. $(9\sqrt{3} + 18)$
D. $(9\sqrt{3} + 27)$
E. $(18\sqrt{3} + 27)$

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Misalkan panjang $AC = x$ dan $AD = y$.
Pada segitiga $ADC$, berlaku
$\begin{aligned} \tan 45^{\circ} & = \dfrac{AC}{AD} \\ 1 & = \dfrac{x}{y} \\ x & = y \end{aligned}$
Pada segitiga $ABC$, berlaku
$\begin{aligned} \tan 30^{\circ} & = \dfrac{AC}{AB} \\ \dfrac{1}{3}\sqrt{3} & = \dfrac{x}{y + 18} \\ \dfrac{1}{3}\sqrt{3} & = \dfrac{x}{x + 18} \\ \dfrac{1}{3}\sqrt{3}(x + 18) & = x \\ \left(1 -\dfrac{1}{3}\sqrt{3}\right)x & = 6\sqrt{3} \\ x & = \dfrac{6\sqrt{3}}{1 -\frac{1}{3}\sqrt{3} } = \dfrac{18\sqrt{3}}{3- \sqrt{3}} \\ x & = \dfrac{18\sqrt{3}}{3 -\sqrt{3}} \times \dfrac{3+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}} \\ x & = \dfrac{18\sqrt{3}(3+\sqrt{3})}{9-3} \\ x & = 3\sqrt{3}(3+\sqrt{3}) \\ x & = (9\sqrt{3} + 9)~\text{m} \end{aligned}$
Jadi, tinggi tiang listrik tersebut adalah $(9\sqrt{3} + 9)$ meter.

[collapse]

Soal Nomor 17
Perhatikan gambar berikut.

Gambar (a) menunjukkan gerak semu matahari yang menyatakan kedudukan matahari sepanjang tahun dilihat dari bumi. Pada tanggal $21$ Maret dan $23$ September, matahari akan berada di atas Khatulistiwa. Pada tanggal $21$ Juni, matahari akan berada di daerah belahan bumi utara dengan garis lintang $23,5^{\circ}$ LU, sedangkan pada tanggal 22 Desember, matahari akan berada di daerah belahan bumi selatan dengan garis lintang $23,5^{\circ}$ LS. Jika gerak semu matahari merupakan grafik sinusoidal seperti gambar di atas dan gambar (b) menunjukkan kota Lima, ibu kota negara Peru yang terletak di koordinat $11,75^{\circ}$ LS, maka diperkirakan matahari akan tepat berada di atas kota Lima pada pukul $12$ siang pada pukul $\cdots \cdot$
A. $8$ Oktober
B. $13$ Oktober
C. $23$ Oktober
D. $7$ November
E. $22$ November

Penyelesaian

Grafik sinus di atas memiliki amplitudo $23,5$ tanpa pergeseran, sehingga rumus fungsinya dapat dinyatakan oleh
$y = a \sin x = 23,5 \sin x$
Kota Lima berada di titik $(x, 11,75)$, sehingga substitusi menghasilkan
$\begin{aligned} 11,75 & = 23,5 \sin x \\ \sin x & = \dfrac{11,75}{23,5} = \dfrac12 \end{aligned}$
Dari sini, diperoleh $x = 30^{\circ}$.
Waktu yang dibutuhkan untuk matahari melakukan pergerakan adalah
$\begin{aligned} t & = \dfrac{30^{\circ}}{180^{\circ}} \times [23~\text{Sept}-21~\text{Maret}] \\ & = \dfrac16 \times [\color{red}{7 + 31 + 30 + 31 + 31 + 29 + 21}] \\ & = \dfrac16 \times 180 = 30 \end{aligned}$
Perhatikan bahwa jumlah hari dari tanggal $23$ September sampai $21$ Maret terhitung pada bagian yang diberi warna merah di atas.
$30$ hari dari tanggal $23$ September adalah $23$ Oktober. Jadi, matahari akan tepat berada di atas kota Lima pada pukul $12$ siang pada tanggal $23$ Oktober.
(Jawaban C) 

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Penerapan Identitas Trigonometri

CategoriesTrigonometriTags, , , , , , , , ,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *