Materi, Soal, dan Pembahasan – Persamaan Trigonometri Berbentuk a cos x + b sin x = c

       Sebelumnya, kita sudah mempelajari persamaan trigonometri dasar dan lanjutan. Soal-soal beserta pembahasannya dapat dilihat pada tautan berikut.      

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Persamaan Trigonometri

        Persamaan trigonometri berbentuk $a \cos x + b \sin x = c$ untuk bilangan real tak nol $a, b, c$ dapat diselesaikan dengan syarat $a^2+b^2 \geq c^2$. Bentuk tersebut ekuivalen dengan $k \cos (x-p)$ dengan keterangan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} k & = \sqrt{a^2+b^2} \\ \tan p & = \dfrac{b}{a}, -\pi \leq x \leq \pi \end{aligned}$$Selain itu, bisa juga dituliskan dalam bentuk $k \sin (x+p)$ dengan keterangan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} k & = \sqrt{a^2+b^2} \\ \tan p & = \dfrac{a}{b}, -\pi \leq x \leq \pi \end{aligned}$$Perbedaannya hanya pada bentuk perbandingan tangennya. Perhatikan juga bahwa besar sudut $p$ yang akan diambil tergantung dari tanda kepositivan koefisien $\cos x$ dan $\sin x$ mengikuti tabel berikut.

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Koef.}~\cos x & \text{Koef.}~\sin x & \text{Kuad}\text{ran}~p \\ \hline + & + & \text{I} \\ \hline – & + & \text{II} \\ \hline – & – & \text{III} \\ \hline + & – & \text{IV} \\ \hline \end{array}$$Bukti:
Ekspansi dari bentuk $k \cos (x-p)$ dengan menggunakan identitas selisih sudut adalah sebagai berikut.
$$\begin{aligned} k \cos (x-p) & = k \left(\cos x \cos p + \sin x \sin p\right) \\ & = (k \cos p) \cos x + (k \sin p) \sin x \end{aligned}$$Misal
$$\begin{cases} a = k \cos p \\ b = k \sin p \end{cases}$$Kedua persamaan dibandingkan dan kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{k \sin p}{k \cos p} & = \dfrac{b}{a} \\ \tan p & = \dfrac{b}{a} \end{aligned}$$Kedua persamaan dikuadratkan, lalu dijumlahkan, dan kita peroleh
$$\begin{aligned} (k^2 \cos^2 p)+(k^2 \sin^2 p) & = a^2+b^2 \\ k^2(\cos^2 p + \sin^2 p) & = a^2+b^2 \\ k^2(1) & = a^2+b^2 \\ k & = \sqrt{a^2+b^2} \end{aligned}$$

Ekspansi dari bentuk $k \sin (x+p)$ dengan menggunakan identitas selisih sudut adalah sebagai berikut.
$$\begin{aligned} k \sin (x+p) & = k \left(\sin x \cos p + \cos x \sin p\right) \\ & = (k \cos p) \sin x + (k \sin p) \cos x \end{aligned}$$Misal
$$\begin{cases} a = k \sin p \\ b = k \cos p \end{cases}$$Kedua persamaan dibandingkan dan kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{k \sin p}{k \cos p} & = \dfrac{a}{b} \\ \tan p & = \dfrac{a}{b} \end{aligned}$$Kedua persamaan dikuadratkan, lalu dijumlahkan, dan kita peroleh
$$\begin{aligned} (k^2 \cos^2 p)+(k^2 \sin^2 p) & = a^2+b^2 \\ k^2(\cos^2 p + \sin^2 p) & = a^2+b^2 \\ k^2(1) & = a^2+b^2 \\ k & = \sqrt{a^2+b^2} \end{aligned}$$(Terbukti)

Baca: Soal dan Pembahasan – Perbandingan Trigonometri (Dasar)

Perhatikan beberapa contoh soal tentang cara mengubah bentuk trigonometri tersebut.

Contoh 1
Ubah $\sqrt3 \cos x + \sin x$ menjadi bentuk $r \cos (x-p)$.

Diketahui $a = \sqrt3$ dan $b=1$, sehingga
$$\begin{aligned} r & = \sqrt{a^2+b^2} \\ & = \sqrt{(\sqrt3)^2 + (1)^2} \\ & = \sqrt{3+1} = \color{red}{2} \\ \tan p & = \dfrac{b}{a} = \dfrac{1}{\sqrt3} = \dfrac13\sqrt3 \\ p & = \color{blue}{30^{\circ}} \end{aligned}$$Kita simpulkan bahwa $p$ berada di kuadran pertama karena $a$ dan $b$ bertanda positif.
Dengan demikian, bentuk $\sqrt3 \cos x + \sin x$ sama dengan bentuk $\color{blue}{2} \cos (x-\color{red}{30^{\circ}})$.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa

Contoh 2
Ubah $\sin x + \cos x$ menjadi bentuk $r \cos (x-p)$.

Diketahui $a = 1$ dan $b=1$, sehingga
$$\begin{aligned} r & = \sqrt{a^2+b^2} \\ & = \sqrt{(1)^2 + (1)^2} \\ & = \sqrt{1+1} = \color{red}{\sqrt2} \\ \tan p & = \dfrac{b}{a} = \dfrac{1}{1} = 1 \\ p & = \color{blue}{45^{\circ}} \end{aligned}$$Kita simpulkan bahwa $p$ berada di kuadran pertama karena $a$ dan $b$ bertanda positif.
Dengan demikian, bentuk $\sin x + \cos x$ sama dengan bentuk $\color{blue}{\sqrt2} \cos (x-\color{red}{45^{\circ}})$.

Contoh 3
Ubah $\cos x -\sqrt3 \sin x$ menjadi bentuk $r \cos (x-p)$.

Diketahui $a = 1$ dan $b=-\sqrt3$, sehingga
$$\begin{aligned} r & = \sqrt{a^2+b^2} \\ & = \sqrt{(1)^2 + (-\sqrt3)^2} \\ & = \sqrt{1+3} = \color{red}{2} \\ \tan p & = \dfrac{b}{a} = \dfrac{-\sqrt3}{1} = -\sqrt3 \\ p & = 300^{\circ}~\text{atau}~\color{blue}{p = -60^{\circ}} \end{aligned}$$Kita simpulkan bahwa $p$ berada di kuadran keempat karena $a$ bertanda positif dan $b$ bertanda negatif.
Dengan demikian, bentuk $\cos x -\sqrt3 \sin x$ sama dengan bentuk $\color{blue}{2} \cos (x+\color{red}{60^{\circ}})$.

Selain menggunakan rumus tersebut, kita juga dapat menggunakan cara lain, yaitu dengan memunculkan bentuk tangen sudut yang senilai dengan koefisien $\cos x$ atau $\sin x$, kemudian menggunakan identitas penjumlahan atau selisih sudut untuk mengubahnya menjadi persamaan dasar trigonometri sederhana. Pada pembahasan soal, cara ini kita sebut sebagai Alternatif 1, sedangkan cara yang melibatkan penggunaan rumus seperti penjelasan di atas disebut sebagai Alternatif 2.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Aplikasi Trigonometri

Menentukan Nilai Optimum Fungsi
y = a cos x + b sin x

Jika diberikan fungsi trigonometri berbentuk $y = a \cos x + b \sin x$, maka nilai optimumnya ditentukan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} y_{\text{maks}} & = \sqrt{a^2+b^2} \\ y_{\text{min}} & = -\sqrt{a^2+b^2} \end{aligned}$$Berikut ini merupakan soal dan pembahasan eksklusif tentang penyelesaian persamaan trigonometri berbentuk $a \cos x + b \sin x = c$. Semoga bermanfaat.

Quote by Sir Martin Hairer

Maths is truth. Once you discover something in maths, it applies to all eternity.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1
Persamaan $(p-3) \cos x + (p-1) \sin x = p+1$ dapat diselesaikan untuk $p$ dalam batas $\cdots \cdot$
A. $-9 \le p \le -1$
B. $-9 \le p \le 1$
C. $1 \le p \le 9$
D. $p \le 1$ atau $p \ge 9$
E. $p \le -9$ atau $p \ge 1$

Pembahasan

Persamaan berbentuk $a \cos x + b \sin x = c$ memiliki penyelesaian apabila $a^2 + b^2 \geq c^2$.
Dengan demikian, agar persamaan $(p-3) \cos x + (p-1) \sin x = p+1$ memiliki penyelesaian, maka
$$\begin{aligned} (p-3)^2 + (p-1)^2 \ge (p+1)^2 \\ (p^2-6p+9)+(p^2-2p+1) \ge p^2+2p+1 \\ 2p^2-8p+10 \ge p^2+2p+1 \\ p^2-10p+9 \ge 0 \\ (p-1)(p-9) \ge 0 \end{aligned}$$Dari pertidaksamaan terakhir, diperoleh $p \le 1$ atau $p \ge 9$.
Jadi, nilai $p$ harus berada pada batas $\boxed{p \le 1~\text{atau}~p \ge 9}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 2
Batas-batas nilai $p$ agar persamaan $(p-2) \cos x-(p-1) \sin x = p$ untuk $x \in \mathbb{R}$ dapat diselesaikan adalah $\cdots \cdot$
A. $-2 \le p \le 3$
B. $1 \le p \le 5$
C. $p \le 1$ atau $p \ge 5$
D. $p \le -5$ atau $p \ge 1$
E. $p \le 2$ atau $p \ge 3$

Pembahasan

Persamaan berbentuk $a \cos x + b \sin x = c$ memiliki penyelesaian apabila $a^2 + b^2 \geq c^2$.
Dengan demikian, agar persamaan $(p-2) \cos x-(p-1) \sin x = p$ memiliki penyelesaian, maka
$$\begin{aligned} (p-2)^2 + (-(p-1))^2 \ge p^2 \\ (p^2-4p+4)+(p^2-2p+1) \ge p^2 \\ 2p^2-6p+5 \ge p^2 \\ p^2-6p+5 \ge 0 \\ (p-5)(p-1) \ge 0 \end{aligned}$$Dari pertidaksamaan terakhir, diperoleh $p \le 1$ atau $p \ge 5$.
Jadi, nilai $p$ harus berada pada batas $\boxed{p \le 1~\text{atau}~p \ge 5}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 3
Himpunan penyelesaian dari $-\sin x + \cos x = 1$ untuk $0 \leq x \leq 360^{\circ}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{0^{\circ}, 90^{\circ}, 270^{\circ}\}$
B. $\{0^{\circ}, 90^{\circ}, 270^{\circ}, 360^{\circ}\}$
C. $\{0^{\circ}, 90^{\circ}, 360^{\circ}\}$
D. $\{0^{\circ}, 270^{\circ}, 360^{\circ}\}$
E. $\{90^{\circ}, 180^{\circ}, 270^{\circ}\}$

Pembahasan

Diketahui $-\sin x + \cos x = 1.$
Alternatif 1:
Misalkan $\tan A = 1$, berarti $A = 45^{\circ}$. Persamaan dapat ditulis menjadi
$$\begin{aligned} 1 \cdot \cos x-\sin x & = 1 \\ \tan A \cos x-\sin x & = 1 \\ \dfrac{\sin A}{\cos A} \cos x-\sin x & = 1 \\ \sin A \cos x-\cos A \sin x & = 1 \cdot \cos A && (\text{Kalikan}~\cos A) \\ \sin (A-x) & = \cos A \\ \sin (45^{\circ}-x) & = \cos 45^{\circ} && (\text{Substitusi}~A = 45^{\circ}) \\ -\sin (x-45^{\circ}) & = \dfrac12\sqrt2 \\ \sin (x-45^{\circ}) & = \sin -45^{\circ} \\ \Rightarrow x-45^{\circ} & = -45^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = k \cdot 360^{\circ} \\ x & = \underbrace{0^{\circ}}_{k = 0}, \underbrace{360^{\circ}}_{k = 1} \\ \Rightarrow x-45^{\circ} & = (180-(-45^{\circ})) + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = 270^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = \underbrace{270^{\circ}}_{k = 0} \end{aligned}$$Diperoleh HP = $\{0^{\circ}, 270^{\circ}, 360^{\circ}\}$.
Alternatif 2:
Diketahui $a = 1$ dan $b=-1$, serta $c = 1$.
Perhatikan bahwa $a^2+b^2 \geq c^2$ yang artinya persamaan tersebut memiliki penyelesaian.
$$\begin{aligned} r & = \sqrt{a^2+b^2} \\ & = \sqrt{(1)^2 + (-1)^2} \\ & = \sqrt{1+1} = \color{blue}{\sqrt2} \\ \tan p & = \dfrac{b}{a} = \dfrac{-1}{1} = -1 \\ p & = 315^{\circ}~\text{atau}~\color{red}{p = -45^{\circ}} \end{aligned}$$Kita simpulkan bahwa $p$ berada di kuadran keempat karena $a$ bertanda positif dan $b$ bertanda negatif.
Dengan demikian, bentuk $-\sin x + \cos x$ sama dengan bentuk $\color{blue}{\sqrt2} \cos (x \color{red}{+45^{\circ}})$.
Jadi, persamaan berubah menjadi $$\sqrt2 \cos (x + 45^{\circ}) = 1.$$Sekarang, akan diselesaikan dengan menggunakan rumus persamaan dasar trigonometri.
$$\begin{aligned} \cos (x + 45^{\circ}) & = \dfrac12\sqrt2 \\ \cos (x + 45^{\circ}) & = \cos 45^{\circ} \\ \Rightarrow x + 45^{\circ} & = 45^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = k \cdot 360^{\circ} \\ x & = \underbrace{0^{\circ}}_{k = 0}, \underbrace{360^{\circ}}_{k = 1} \\ \Rightarrow x + 45^{\circ} & = -45^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = -90^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = \underbrace{270^{\circ}}_{k = 1} \end{aligned}$$Diperoleh HP = $\{0^{\circ}, 270^{\circ}, 360^{\circ}\}$.
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 4
Himpunan penyelesaian dari persamaan $\sqrt3 \cos x-\sin x = \sqrt2$ untuk $0 < x < 360^{\circ}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{15^{\circ}, 75^{\circ}\}$                     D. $\{75^{\circ}, 285^{\circ}\}$
B. $\{15^{\circ}, 285^{\circ}\}$                   E. $\{75^{\circ}, 315^{\circ}\}$
C. $\{15^{\circ}, 315^{\circ}\}$

Pembahasan

Diketahui $\sqrt3 \cos x-\sin x = \sqrt2$.
Alternatif 1:
Misalkan $\tan A = \sqrt3$, berarti $A = 60^{\circ}$. Persamaan dapat ditulis menjadi
$$\begin{aligned} \tan A \cos x-\sin x & = \sqrt2 \\ \dfrac{\sin A}{\cos A} \cos x-\sin x & = \sqrt2 \\ \sin A \cos x-\cos A \sin x & = \sqrt2 \cos A && (\text{Kalikan}~\cos A) \\ \sin (A-x) & = \sqrt2 \cos A \\ \sin (60^{\circ}-x) & = \sqrt2 \cos 60^{\circ} && (\text{Substitusi}~A = 60^{\circ}) \\ -\sin (x-60^{\circ}) & = \dfrac12\sqrt2 \\ \sin (x-60^{\circ}) & = \sin -45^{\circ} \\ \Rightarrow x-60^{\circ} & = -45^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = 15^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = \underbrace{15^{\circ}}_{k = 0} \\ \Rightarrow x-60^{\circ} & = (180-(-45^{\circ})) + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = 285^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = \underbrace{285^{\circ}}_{k = 0} \end{aligned}$$Diperoleh HP = $\{15^{\circ}, 285^{\circ}\}$.
Alternatif 2:
Diketahui $a = \sqrt3$ dan $b=-1$, serta $c = \sqrt2$.
Perhatikan bahwa $a^2+b^2 \geq c^2$ yang artinya persamaan tersebut memiliki penyelesaian.
$$\begin{aligned} r & = \sqrt{a^2+b^2} \\ & = \sqrt{(\sqrt3)^2 + (-1)^2} \\ & = \sqrt{3+1} = \color{blue}{2} \\ \tan p & = \dfrac{b}{a} = \dfrac{-1}{\sqrt3} = -\dfrac13\sqrt3 \\ p & = 330^{\circ}~\text{atau}~\color{red}{p = -30^{\circ}} \end{aligned}$$Kita simpulkan bahwa $p$ berada di kuadran keempat karena $a$ bertanda positif dan $b$ bertanda negatif.
Dengan demikian, bentuk $\sqrt3 \cos x -\sin x$ sama dengan bentuk $\color{blue}{2} \cos (x\color{red}{+30^{\circ}})$.
Jadi, persamaan berubah menjadi $$2 \cos (x + 30^{\circ}) = \sqrt2.$$Sekarang, akan diselesaikan dengan menggunakan rumus persamaan dasar trigonometri.
$$\begin{aligned} \cos (x + 30^{\circ}) & = \dfrac12\sqrt2 \\ \cos (x + 30^{\circ}) & = \cos 45^{\circ} \\ \Rightarrow x + 30^{\circ} & = 45^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = 15^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = \underbrace{15^{\circ}}_{k = 0} \\ x + 30^{\circ} & = -45^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = -75^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = \underbrace{285^{\circ}}_{k = 1} \end{aligned}$$Jadi, HP persamaan trigonometri tersebut adalah $\boxed{\{15^{\circ}, 285^{\circ}\}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 5
Himpunan penyelesaian dari $2\sqrt3 \cos 2x-4 \sin x \cos x = 2$ untuk $0 \leq x \leq 2\pi$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\left\{\dfrac14\pi, \dfrac56\pi, \dfrac{13}{12}\pi, \dfrac{13}{6}\pi \right\}$
B. $\left\{\dfrac16\pi, \dfrac12\pi, \dfrac34\pi, \dfrac{3}{2}\pi \right\}$
C. $\left\{\dfrac{1}{12}\pi, \dfrac34\pi, \dfrac{13}{12}\pi, \dfrac74\pi \right\}$
D. $\left\{\dfrac{3}{4}\pi, \dfrac56\pi, \dfrac{13}{12}\pi, \dfrac53\pi\right\}$
E. $\left\{\dfrac{1}{12}\pi, \dfrac{3}{4}\pi, \dfrac{13}{12}\pi, \dfrac74\pi \right\}$

Pembahasan

Persamaan dapat disederhanakan (dibagi 2), lalu digunakan identitas sudut ganda.
$$\begin{aligned} \sqrt3 \cos 2x-2 \sin x \cos x & = 1 \\ \sqrt3 \cos 2x-\sin 2x & = 1 \end{aligned}$$Alternatif 1:
Misalkan $\tan A = \sqrt3$, berarti $A = 60^{\circ}$. Persamaan dapat ditulis menjadi
$$\begin{aligned} \tan A \cos 2x-\sin 2x & = 1 \\ \dfrac{\sin A}{\cos A} \cos 2x-\sin 2x & = 1 \\ \sin A \cos 2x-\cos A \sin 2x & = 1 \cdot \cos A && (\text{Kalikan}~\cos A) \\ \sin (A-2x) & = \cos A \\ \sin (60^{\circ}-2x) & = \cos 60^{\circ} && (\text{Substitusi}~A = 60^{\circ}) \\ -\sin (2x-60^{\circ}) & = \dfrac12 \\ \sin (2x-60^{\circ}) & = \sin -30^{\circ} \\ \Rightarrow 2x-60^{\circ} & = -30^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ 2x & = 30^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = 15^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \\ x & = \underbrace{15^{\circ}}_{k = 0}, \underbrace{195^{\circ}}_{k = 1} \\ \Rightarrow 2x-60^{\circ} & = (180^{\circ}-(-30^{\circ})) + k \cdot 360^{\circ} \\ 2x & = 270^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = 135^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \\ x & = \underbrace{135^{\circ}}_{k = 0}, \underbrace{315^{\circ}}_{k = 1} \end{aligned}$$Alternatif 2:

Diketahui $a = \sqrt3$ dan $b=-1$, serta $c = 1.$
Perhatikan bahwa $a^2+b^2 \geq c^2$ yang artinya persamaan tersebut memiliki penyelesaian.
$$\begin{aligned} r & = \sqrt{a^2+b^2} \\ & = \sqrt{(\sqrt3)^2 + (-1)^2} \\ & = \sqrt{3+1} = \color{red}{2} \\ \tan p & = \dfrac{b}{a} = \dfrac{-1}{\sqrt3} = -\dfrac13\sqrt3 \\ p & = 330^{\circ}~\text{atau}~\color{blue}{p = -30^{\circ}} \end{aligned}$$Kita simpulkan bahwa $p$ berada di kuadran keempat karena $a$ bertanda positif dan $b$ bertanda negatif.
Dengan demikian, bentuk $\sqrt3 \cos 2x -\sin 2x$ sama dengan bentuk $\color{blue}{2} \cos (2x+\color{red}{30^{\circ}})$.
Jadi, persamaan berubah menjadi $$2 \cos (2x + 30^{\circ}) = 1.$$Sekarang, akan diselesaikan dengan menggunakan rumus persamaan dasar trigonometri.
$$\begin{aligned} \cos (2x + 30^{\circ}) & = \dfrac12 \\ \cos (2x + 30^{\circ}) & = \cos 60^{\circ} \\ \Rightarrow 2x + 30^{\circ} & = 60^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ 2x & = 30^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = 15^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \\ x & = \underbrace{15^{\circ}}_{k = 0}, \underbrace{195^{\circ}}_{k=1} \\ \Rightarrow 2x + 30^{\circ} & = -60^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ 2x & = -90^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = -45^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \\ x & = \underbrace{135^{\circ}}_{k = 1}, \underbrace{315^{\circ}}_{k=2} \end{aligned}$$Konversi ke satuan radian:
$$\begin{aligned} 15^{\circ} & = \dfrac{15}{180}\pi = \dfrac{1}{12}\pi \\ 135^{\circ} & = \dfrac{135}{180}\pi = \dfrac{3}{4}\pi \\ 195^{\circ} & = \dfrac{195}{180}\pi = \dfrac{13}{12}\pi \\ 315^{\circ} & = \dfrac{315}{180}\pi = \dfrac{7}{4}\pi \end{aligned}$$Jadi, HP persamaan trigonometri tersebut adalah $\boxed{\left\{\dfrac{1}{12}\pi, \dfrac34\pi, \dfrac{13}{12}\pi, \dfrac74\pi \right\}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Pembuktian Identitas Trigonometri

Soal Nomor 6
Nilai maksimum dari $y = 3 \cos x + 4 \sin x$ adalah $\cdots \cdot$
A. $4$                     C. $6$                  E. $25$
B. $5$                     D. $9$

Pembahasan

Diketahui koefisien $\cos x$ dan $\sin x$ berturut-turut adalah $a = 3$ dan $b = 4$, sehingga nilai maksimumnya adalah
$$\begin{aligned} y_{\text{maks}} & = \sqrt{a^2+b^2} \\ & = \sqrt{3^2+4^2} \\ & = \sqrt{25} = 5 \end{aligned}$$Jadi, nilai maksimum dari $y = 3 \cos x + 4 \sin x$ adalah $\boxed{5}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 7
Nilai minimum dari $y = -5 \sin x-12 \cos x + 8$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-13$                    C. $-5$                    E. $21$
B. $-8$                      D. $13$

Pembahasan

Diketahui $y = -5 \sin x-12 \cos x + 8.$
Pertama, kita akan mencari nilai minimum dari $z = -5 \sin x-12 \cos x$, yaitu
$$\begin{aligned} z_{\text{min}} & = -\sqrt{(-5)^2+(-12)^2} \\ & = -\sqrt{25+144} = -13 \end{aligned}$$Dengan demikian, nilai minimum dari $y$ adalah
$$\begin{aligned} y_{\text{min}} & = z_{\text{min}} + 8 \\ & = -13 + 8 = -5 \end{aligned}$$(Jawaban C)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Aturan Sinus, Aturan Cosinus, dan Luas Segitiga dalam Trigonometri

Soal Nomor 8
Misalkan nilai maksimum dan minimum dari $y = a \sin x-b\cos x$ berturut-turut adalah $k$ dan $m$. Nilai dari $k + m = \cdots \cdot$
A. $0$                               D. $2\sqrt{a^2+b^2}$
B. $\sqrt{a^2-b^2}$                 E. $a^2+b^2$
C. $\sqrt{a^2+b^2}$

Pembahasan

Diketahui $y = a \sin x-b \cos x$.
Nilai maksimumnya adalah
$$k = \sqrt{a^2+(-b)^2} = \sqrt{a^2+b^2}$$Nilai minimumnya adalah $$m = -\sqrt{a^2+(-b)^2} = -\sqrt{a^2+b^2}$$Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} k+m & = \sqrt{a^2+b^2} + \left(-\sqrt{a^2+b^2}\right) \\ & = 0 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{k+m=0}$
(Jawaban A)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Fungsi Trigonometri dan Grafiknya

Soal Nomor 9
Jika $3 \sin x + 4 \cos y = 5$, maka nilai maksimum dari $3 \cos x + 4 \sin y$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2\sqrt3$                        D. $3\sqrt3$
B. $2\sqrt6$                        E. $3\sqrt6$
C. $3\sqrt2$

Pembahasan

Diketahui $3 \sin x + 4 \cos y = 5$. Kuadratkan kedua ruas dan kita peroleh
$$\begin{aligned} (3 \sin x + 4 \cos y)^2 & = 5^2 \\ 9 \sin^2 x + 24 \sin x \cos y + 16 \cos^2 y & = 25 && (\cdots 1) \end{aligned}$$Misalkan $3 \cos x + 4 \sin y = k$, maka bila kedua ruas persamaan ini dikuadratkan, diperoleh
$$\begin{aligned} (3 \cos x + 4 \sin y)^2 & = k^2 \\ 9 \cos^2 x + 24 \cos x \sin y + 16 \sin^2 y & = k^2 && (\cdots 2) \end{aligned}$$Apabila persamaan $(1)$ dan $(2)$ dijumlahkan, didapat
$$\begin{aligned} 9(\sin^2 x + \cos^2 x) + 24(\sin x \cos y + \cos x \sin y) + 16(\cos^2 y + \sin^2 y) & = 25 + k^2 \\ 9(1) + 24 \sin (x+y) + 16(1) & = 25 + k^2 \\ 25 + 24 \sin (x+y) & = 25 + k^2 \\ 24 \sin (x+y) & = k^2 \end{aligned}$$Agar $k$ maksimum, maka $\sin (x+y)$ harus dibuat maksimum juga. Nilai maksimum dari $\sin (x + y)$ adalah $1$, sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} 24 \cdot 1 & = k^2 \\ k & = \pm \sqrt{24} \\ k & = \pm 2\sqrt6 \end{aligned}$$Karena $k$ harus diambil maksimum, maka pilih $k = 2\sqrt6$. Jadi, nilai maksimum dari $3 \cos x + 4 \sin y$ adalah $\boxed{2\sqrt6}$
(Jawaban B)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 1
Selesaikan persamaan trigonometri berikut untuk $0 \leq x \leq 360^{\circ}$.
$$\sqrt6 \sin x + \sqrt2 \cos x = 2$$

Pembahasan

Alternatif 1: 
Perhatikan bahwa persamaan di atas dapat ditulis sebagai berikut.
$$\begin{aligned} \sqrt6 \sin x + \sqrt2 \cos x & = 2 \\ \sqrt2(\sqrt3 \sin x + \cos x) & = 2 \\ \color{blue}{\sqrt3} \sin x + \cos x & = \sqrt2 \end{aligned}$$Misalkan $\tan A = \sqrt3$, sehingga $A = 60^{\circ}$. Oleh karena itu, kita tuliskan
$$\begin{aligned} \color{blue}{\tan A} \sin x + \cos x & = \sqrt2 \\ \dfrac{\sin A}{\cos A} \sin x + \cos x & = \sqrt2 \\ \sin A \sin x + \cos x \cos A & = \sqrt2 \cos A && (\text{Kali}~\cos A) \\ \cos (x-A) & = \sqrt2 \cos A \\ \Rightarrow \sin (x + 60^{\circ}) & = \sqrt2 \cos 60^{\circ} \\ \cos (x-60^{\circ}) & = \dfrac12\sqrt2 \\ \cos (x-60^{\circ}) & = \cos 45^{\circ} \\ \Rightarrow x-60^{\circ} & = 45^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = 105^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = \underbrace{105^{\circ}}_{k=0} \\ \Rightarrow x-60^{\circ} & = -45^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = 15^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = \underbrace{15^{\circ}}_{k=0} \end{aligned}$$Alternatif 2:
Diketahui $a = \sqrt2$ dan $b=\sqrt6$, serta $c = 2$.
Perhatikan bahwa $a^2+b^2 \geq c^2$ yang artinya persamaan tersebut memiliki penyelesaian.
$$\begin{aligned} r & = \sqrt{a^2+b^2} \\ & = \sqrt{(\sqrt2)^2 + (\sqrt6)^2} \\ & = \sqrt{2+6} = \color{blue}{2\sqrt2} \\ \tan p & = \dfrac{b}{a} = \dfrac{\sqrt6}{\sqrt2} = \sqrt3 \\ p & = \color{red}{60^{\circ}} \end{aligned}$$Kita simpulkan bahwa $p$ berada di kuadran pertama karena $a$ dan $b$ keduanya bertanda positif.
Dengan demikian, bentuk $\sqrt6 \sin x + \sqrt2 \cos x$ sama dengan bentuk $\color{blue}{2\sqrt2} \cos (x-\color{red}{60^{\circ}})$.
Jadi, persamaan berubah menjadi $$2\sqrt2 \cos (x-60^{\circ}) = 2.$$Sekarang, akan diselesaikan dengan menggunakan rumus persamaan dasar trigonometri.
$$\begin{aligned} \cos (x-60^{\circ}) & = \dfrac12\sqrt2 \\ \cos (x-60^{\circ}) & = \cos 45^{\circ} \\ \Rightarrow x-60^{\circ} & = 45^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = 105^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = \underbrace{105^{\circ}}_{k = 0} \\ x-60^{\circ} & = -45^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = 15^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = \underbrace{15^{\circ}}_{k = 0} \end{aligned}$$
Jadi, penyelesaian persamaan trigonometri tersebut adalah $x = 15^{\circ}$ atau $x = 105^{\circ}$.

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Penerapan Identitas Trigonometri

Soal Nomor 2
Pada gambar berikut, $\triangle ABC$ siku-siku di $C$ dan $f(\theta) = a + \sqrt3b$.

  1. Buktikan bahwa $f(\theta) = 5 \cos \theta + 5\sqrt3 \sin \theta$.
  2. Nyatakan $f(\theta)$ ke dalam $k \cos (\theta-\alpha)$ dengan $k > 0$.
  3. Tentukan nilai maksimum dari $f(\theta)$.
  4. Tentukan nilai $\theta$ agar $f(\theta)$ maksimum.

Pembahasan

Jawaban a)
Dari gambar segitiga di atas, diketahui bahwa
$$\begin{aligned} \sin \theta & = \dfrac{b}{5} \Leftrightarrow b = 5 \sin \theta \\ \cos \theta & = \dfrac{a}{5} \Leftrightarrow a = 5 \cos \theta \end{aligned}$$Substitusikan nilai $a$ dan $b$ ini pada $f(\theta) = a+\sqrt3b$, sehingga diperoleh $f(\theta) = 5 \cos \theta + 5\sqrt3 \sin \theta$. (Terbukti)
Jawaban b)
Diketahui $f(\theta) = 5 \cos \theta + 5\sqrt3 \sin \theta$.
Karena $a = 5$ dan $b = 5\sqrt3$, maka
$$\begin{aligned} k & = \sqrt{(5)^2 + (5\sqrt3)^2} = \sqrt{25+75} = 10 \\ \tan \alpha & = \dfrac{b}{a} = \dfrac{5\sqrt3}{5} = \sqrt3 \Rightarrow \alpha = 60^{\circ} \end{aligned}$$Perhatikan bahwa $\alpha$ berada di kuadran pertama, karena nilai $a$ dan $b$ keduanya positif.
Dengan demikian, diperoleh $f(\theta) = 10 \cos (\theta-60^{\circ})$.
Jawaban c)
$f(\theta)$ mencapai nilai maksimum ketika $\cos (\theta-60^{\circ})$ bernilai maksimum, yaitu $1$. Dengan demikian, $f_{\text{maks}}(\theta) = 10(1) = 10$.
Jawaban d)
Agar $\cos (\theta-60^{\circ})$ bernilai $1$, maka nilai $\boxed{\theta = 60^{\circ}}$, mengingat $\cos 0^{\circ} = 1$.

[collapse]

3 Replies to “Materi, Soal, dan Pembahasan – Persamaan Trigonometri Berbentuk a cos x + b sin x = c”

  1. Selamat pagi Kak,
    Terima kasih untuk blog yang luar biasa ini Kak, saya jadi banyak belajar sari sini.

    Mau tanya untuk rumus “Menentukan Nilai Optimum Fungsi” antara yg tersedia di ringkasan materi bagian atas halaman ini dengan yang terdapat pada pembahasan soal nomor 8 apakah sudah sesuai rumus min dan maks nya (penggunaan tanda negatif di luar kurung nya) ?

    Atau kah memang beda penggunaannya?
    Atau hanya kebalik aja penulisan yang ada di ringkasan materinya (Ymin dan Y maks)?

    Terima kasih Kak, good luck!

Tinggalkan Balasan

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *