Soal dan Pembahasan – Aturan Sinus, Aturan Cosinus, dan Luas Segitiga dalam Trigonometri

     Aturan Sinus dan Aturan Cosinus merupakan dua aturan yang menghubungkan panjang sisi dan besar sudut dalam segitiga sembarang dengan menggunakan konsep trigonometri. Sesuai dengan namanya, Aturan Sinus melibatkan fungsi sinus, sama halnya dengan Aturan Cosinus. Selain itu, luas segitiga ternyata dapat ditentukan dengan menggunakan bantuan trigonometri, yaitu didasarkan pada besar sudut dan panjang dua sisi yang mengapitnya.

Aturan Sinus

Aturan Sinus (Law of Sines atau Sines Law/Rule) adalah teorema berupa persamaan yang menghubungkan nilai sinus sudut dalam segitiga dengan panjang sisi di depannya dalam bentuk perbandingan.
Jika diberikan segitiga sembarang $ABC$ seperti gambar, maka berlaku persamaan berikut.
$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = d$

Aturan Cosinus

Aturan Cosinus (Law of Cosines atau Cosines Formula/Rule) adalah teorema yang digunakan untuk menentukan panjang sisi depan suatu sudut dengan menggunakan hubungan dua panjang sisi pengapit sudut tersebut dan nilai cosinusnya.


Pada segitiga $ABC$ di atas, berlaku
$\begin{aligned} a^2 & = b^2 + c^2 – 2bc \cos \alpha \\ b^2 & = a^2 + c^2 – 2ac \cos \beta \\ c^2 & = a^2 + b^2 – 2ab \cos \gamma \end{aligned}$

Aturan Luas Segitiga dalam Trigonometri

Misalkan $\triangle ABC$ segitiga sembarang seperti gambar.

Dengan demikian, luas $\triangle ABC$ dapat dihitung dengan rumus berikut apabila diketahui panjang dua sisi segitiga beserta besar sudut pengapitnya.
$\begin{aligned} L_{\triangle ABC} & = \dfrac12 ab \sin C \\ & =  \dfrac12 bc \sin A \\ & = \dfrac12 ac \sin B \end{aligned}$
Luas segitiga juga dapat dihitung bila diketahui panjang satu sisi dan besar tiga sudutnya.
$\begin{aligned} L_{\triangle ABC} & = \dfrac{a^2 \sin B \sin C}{2 \sin A} \\ & = \dfrac{b^2 \sin A \sin C}{2 \sin B} \\ & = \dfrac{c^2 \sin A \sin B}{2 \sin C}  \end{aligned}$

Untuk memahami lebih dalam mengenai materi ini, berikut disediakan soal dan pembahasannya. Semoga bermanfaat!

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Perbandingan Trigonometri Dasar

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1
Diketahui $\triangle ABC$ dengan panjang sisi $a = 4~\text{cm}$, $\angle A = 120^{\circ}$, dan $\angle B = 30^{\circ}$. Panjang sisi $c = \cdots \cdot$
A. $2\sqrt2~\text{cm}$                  D. $\dfrac34\sqrt2~\text{cm}$
B. $\dfrac43\sqrt3~\text{cm}$                 E. $\sqrt3~\text{cm}$
C. $\dfrac34\sqrt3~\text{cm}$

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Karena jumlah besar sudut dalam segitiga selalu $180^{\circ}$, maka $\angle C = (180-120-30)^{\circ} = 30^{\circ}$.
Selanjutnya, dengan menggunakan Aturan Sinus, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{a}{\sin A} & = \dfrac{c}{\sin C} \\ \dfrac{4}{\sin 120^{\circ}} & = \dfrac{c}{\sin 30^{\circ}} \\ \dfrac{4}{\cancel{\frac12}\sqrt3} & = \dfrac{c}{\cancel{\frac12}} \\ c & = \dfrac{4}{\sqrt3} = \dfrac43\sqrt3~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang sisi $\boxed{c = \dfrac43\sqrt3~\text{cm}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 2
Panjang sisi-sisi pada $\triangle ABC$ berbanding $6 : 5 : 4$. Cosinus sudut yang terbesar dari segitiga tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac12$         B. $\dfrac23$         C. $\dfrac34$          D. $\dfrac45$        E. $\dfrac56$

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.


Kita misalkan $AC = 6, AB = 5$, dan $BC = 4$.
Dengan menggunakan Aturan Cosinus, nilai masing-masing cosinus sudut dapat ditentukan karena panjang ketiga sisi segitiganya telah diketahui.
Cosinus sudut $A$ adalah
$\begin{aligned} \cos A & = \dfrac{AC^2+AB^2-BC^2}{2 \cdot AC \cdot AB} \\ & = \dfrac{6^2+5^2-4^2}{2 \cdot 6 \cdot 5} \\ & = \dfrac{36+25-16}{60} \\ & = \dfrac{45}{60} = \dfrac23 \end{aligned}$
Cosinus sudut $B$ adalah
$\begin{aligned} \cos B & = \dfrac{AB^2+BC^2-AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} \\ & = \dfrac{5^2+4^2-6^2}{2 \cdot 5 \cdot 4} \\ & = \dfrac{25+16-36}{40} \\ & = \dfrac{5}{40} = \dfrac18 \end{aligned}$
Cosinus sudut $C$ adalah
$\begin{aligned} \cos A & = \dfrac{AC^2+BC^2-AB^2}{2 \cdot AC \cdot BC} \\ & = \dfrac{6^2+4^2-5^2}{2 \cdot 6 \cdot 4} \\ & = \dfrac{36+16-25}{48} \\ & = \dfrac{27}{48} = \dfrac{9}{16} \end{aligned}$
Karena $\dfrac18 < \dfrac{9}{16} < \dfrac34$, maka cosinus sudut terbesar adalah pada sudut $A$, yaitu $\cos A = \dfrac34$.
Tips: Semakin kecil panjang sisi depan sudut pada segitiga, maka nilai cosinus sudutnya akan semakin besar.
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 3
Jika panjang sisi-sisi segitiga $ABC$ berturut-turut adalah $AB=4~\text{cm}$, $BC=6~\text{cm}$, dan $AC=5~\text{cm}$, sedangkan $\angle BAC = \alpha$, $\angle ABC = \beta$, dan $\angle BCA = \gamma$, maka $\sin \alpha : \sin \beta : \sin \gamma = \cdots \cdot$
A. $4 : 5 : 6$                D. $4 : 6 : 5$
B. $5 : 6 : 4$                E. $6 : 4 : 5$
C. $6 : 5 : 4$

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Dengan menggunakan Aturan Sinus, diperoleh persamaan
$\dfrac{AB}{\sin \gamma} = \dfrac{BC}{\sin \alpha} = \dfrac{AC}{\sin \beta}$
Berdasarkan aturan tersebut, diketahui bahwa nilai sinus sudut sebanding dengan panjang sisi di depan sudutnya. Sisi depan sudut $\alpha$ adalah $BC$, sisi depan sudut $\beta$ adalah $AC$, dan sisi depan sudut $\gamma$ adalah $AB$.
Dalam kasus ini, dapat kita tulis
$\boxed{\begin{aligned} \sin \alpha : \sin \beta : \sin \gamma & = BC : AC : AB \\ & = 6 : 5 : 4 \end{aligned}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 4
Dalam sebuah lingkaran yang berjari-jari $8~\text{cm}$ dibuat segi-$12$ beraturan. Panjang sisi segi-12 beraturan tersebut adalah $\cdots~\text{cm}$.
A. $8\sqrt{2 -\sqrt3}$          
B. $8\sqrt{2 -\sqrt2}$          
C. $8\sqrt{3 -\sqrt2}$
D. $8\sqrt{3 -\sqrt3}$
E. $8\sqrt{3 + \sqrt2}$

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Pada segitiga $OAB$, diketahui bahwa $r = OB = OA = 8~\text{cm}$ serta $\angle AOB = 360^{\circ} \div 12 = 30^{\circ}$. Panjang sisi $AB$ dapat dihitung dengan menggunakan Aturan Cosinus.
$\begin{aligned} AB^2 & = OA^2+OB^2 -2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos 30^{\circ} \\ AB^2 & = 8^2+8^2-2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot \dfrac12\sqrt3 \\ AB^2 & = 128- 64\sqrt3 \\ AB^2 & = 64(2 -\sqrt3) \\ AB & = 8\sqrt{2-\sqrt3}~\text{cm}\end{aligned}$
Jadi, panjang sisi segi-$12$ beraturan tersebut adalah $\boxed{8\sqrt{2-\sqrt3}~\text{cm}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Aplikasi Trigonometri

Soal Nomor 5
Nilai $\cos \theta$ pada gambar di bawah adalah $\cdots \cdot$

A. $-1$        B. $-\dfrac57$        C. $-\dfrac23$         D. $1$       E. $\dfrac23$

Penyelesaian

Tarik garis dari titik $A$ ke titik $C$, sebut saja garis $AC$.
Perhatikan bahwa $\angle ABC = \theta$, sehingga besar sudut di hadapannya adalah $\angle ADC = 180^{\circ} – \theta$
Catatan: Jumlah sudut yang berhadapan pada segiempat tali busur lingkaran adalah $\color{red}{180^{\circ}}$
Dengan menggunakan Aturan Cosinus pada $\triangle ABC$ dan $\triangle ADC$, diperoleh kesamaan panjang $AC$, yakni
$\begin{aligned} & AB^2+BC^2- & 2(AB)(BC) \cos \theta \\ & = AD^2+CD^2-2(AD)(CD) \cos (180^{\circ}-\theta) \end{aligned}$
Diketahui bahwa $AB = 1$, $BC = 2$, $CD = 3$, dan $AD = 4$, serta $\cos (180^{\circ}-\theta) = -\cos \theta$, sehingga
$\begin{aligned} & (1)^2+(2)^2 & -2(1)(2) \cos \theta \\ & = (4)^2+(3)^2-2(3)(4)(-\cos \theta) \end{aligned}$
Selanjutnya, kita peroleh
$\begin{aligned} 5-4 \cos \theta & = 25+24 \cos \theta \\ 28 \cos \theta & = -20 \\ \cos \theta & = -\dfrac{20}{28} = -\dfrac57 \end{aligned}$

Jadi, nilai $\boxed{\cos \theta = -\dfrac57}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 6
Perhatikan gambar segiempat $PQRS$ berikut.

Panjang $RS = \cdots \cdot$
A. $6\sqrt2~\text{cm}$             D. $9\sqrt2~\text{cm}$
B. $6\sqrt3~\text{cm}$             E. $9\sqrt3~\text{cm}$
C. $12~\text{cm}$

Penyelesaian

Pada segitiga $PQS$, panjang $QS$ dapat dihitung dengan menggunakan Aturan Cosinus, yakni
$\begin{aligned} QS^2 & = PS^2+PQ^2-2 \cdot PS \cdot PQ \cdot \cos 30^{\circ} \\ & = 9^2+(9\sqrt3)^2-2 \cdot 9 \cdot 9\sqrt3 \cdot \dfrac12\sqrt3 \\ & = 81 + 243 – 243 \\ QS & = \sqrt{81} = 9~\text{cm} \end{aligned}$
Selanjutnya, gunakan Aturan Sinus pada segitiga $QRS$ untuk mencari panjang $RS$.
$\begin{aligned} \dfrac{QS}{\sin 60^{\circ}} & = \dfrac{RS}{\sin 90^{\circ}} \\ \dfrac{9}{\frac12\sqrt3} & = \dfrac{RS}{1} \\ RS & = \dfrac{18}{\sqrt3} = 6\sqrt3~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang $\boxed{RS = 6\sqrt3~\text{cm}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 7
Pada $\triangle PQR$, diketahui besar $\angle Q = 45^{\circ}$ dan garis tinggi dari titik $R$. Jika $QR = a$ dan $PT = a\sqrt2$, maka panjang $PR$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2a\sqrt2$                       D. $\dfrac12a\sqrt{10}$
B. $\dfrac12a\sqrt5$                      E. $a\sqrt2$
C. $2$

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Panjang $RT$ dapat ditentukan dengan menggunakan Aturan Sinus pada segitiga $QRT$.
$\begin{aligned} \dfrac{QR}{\sin 90^{\circ}} & = \dfrac{RT}{\sin 45^{\circ}} \\ \dfrac{a}{1} & = \dfrac{RT}{\frac12\sqrt2} \\ RT & = \dfrac12a\sqrt2 \end{aligned}$
Berikutnya, panjang $PR$ dapat ditentukan dengan menggunakan Teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku $PRT$
$\begin{aligned} PR^2 & = PT^2 + RT^2 \\ & = (a\sqrt2)^2+ \left(\dfrac12a\sqrt2\right)^2 \\ & = 2a^2 + \dfrac12a^2 \\ & = \dfrac52a^2 \\ PR & = \sqrt{\dfrac52a^2} = \dfrac12a\sqrt{10} \end{aligned}$
Jadi, panjang $PR$ adalah $\boxed{\dfrac12a\sqrt{10}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 8
Luas segi-$12$ beraturan dengan masing-masing panjang sisinya $4~\text{cm}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $(96+48\sqrt3)~\text{cm}^2$           
B. $(24+12\sqrt3)~\text{cm}^2$           
C. $(24\sqrt3+12)~\text{cm}^2$
D. $(96\sqrt3+48)~\text{cm}^2$
E. $(96\sqrt3+12)~\text{cm}^2$

Penyelesaian

Perhatikan segi-$12$ beraturan dan potongannya berupa segitiga sama kaki berikut.

Besar sudut $BAC$ adalah $\dfrac{360^{\circ}}{12} = 30^{\circ}$, sehingga besar sudut kakinya adalah $\dfrac{180^{\circ}-30^{\circ}}{2} = 75^{\circ}$. Dengan menggunakan Aturan Sinus, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{x}{\sin 75^{\circ}} & = \dfrac{4}{\sin 30^{\circ}} \\ \dfrac{x}{\sin (45+30)^{\circ}} & = \dfrac{4}{\frac12} \\ \dfrac{x}{\sin 45^{\circ} \cos 30^{\circ} + \cos 45^{\circ} \sin 30^{\circ}} & = 8 \end{aligned}$
Selanjutnya, diperoleh
$\begin{aligned} x & = 8(\sin 45^{\circ} \cos 30^{\circ} + \cos 45^{\circ} \sin 30^{\circ}) \\ x & = 8\left(\dfrac12\sqrt2 \cdot \dfrac12\sqrt3 + \dfrac12\sqrt2 \cdot \dfrac12\right) \\ x & = 8\left(\dfrac14\sqrt6 + \dfrac14\sqrt2\right) \\ x & = 2\sqrt6 + 2\sqrt2 = [2(\sqrt6+\sqrt2)]~\text{cm} \end{aligned}$

Luas segitiga $ABC$ pada gambar di atas adalah
$\begin{aligned} L_{\triangle ABC} & = \dfrac12 \cdot x \cdot x \cdot \sin 30^{\circ} \\ & = \dfrac12 \cdot 4(\sqrt6+\sqrt2)^2 \cdot \dfrac12 \\ & = (\sqrt6 + \sqrt2)^2 \\ & = 8 + 2\sqrt12 = (8 + 4\sqrt3)~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Dua belas segitiga kongruen seperti segitiga $ABC$ memiliki total luas yang sama dengan segi-$12$ beraturan, yaitu
$\begin{aligned} L & = 12 \cdot L_{\triangle ABC} \\ & = 12 \cdot (8+4\sqrt3) \\ & = (96+48\sqrt3)~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Jadi, luas segi-$12$ beraturan tersebut adalah $\boxed{96+48\sqrt3~\text{cm}^2}$ 
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 9
Sebuah mobil melaju dari tempat $A$ sejauh $16~\text{km}$ dengan arah $40^{\circ}$, kemudian berbelok sejauh $24~\text{km}$ ke tempat $B$ dengan arah $160^{\circ}$. Jarak $A$ dan $B$ adalah $\cdots \cdot$
A. $21~\text{km}$                    D. $32~\text{km}$
B. $8\sqrt7~\text{km}$                E. $8\sqrt{19}~\text{km}$
C. $8\sqrt{10}~\text{km}$

Penyelesaian

Posisikan titik $C$ dan gunakan garis bantu seperti gambar di bawah.

Dari gambar, diperoleh bahwa $\angle ACB = 20^{\circ} + 40^{\circ} = 60^{\circ}$. Selanjutnya dengan menggunakan Aturan Cosinus, diperoleh
$$\begin{aligned} AB^2 & = AC^2+BC^2-2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos \angle ACB \\ AB^2 & = 16^2+24^2-2 \cdot 16 \cdot 24 \cdot \cos 60^{\circ} \\ AB^2 & = 256+576-768 \cdot \dfrac12 \\ AB^2 & = 448 \\ AB & = \sqrt{448} = \sqrt{64 \times 7} = 8\sqrt7~\text{km} \end{aligned}$$Jadi, jarak $A$ dan $B$ adalah $\boxed{8\sqrt7~\text{km}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 10
Keliling suatu segienam beraturan adalah $84~\text{cm}$. Luas segienam tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $588\sqrt3~\text{cm}^2$             D. $245\sqrt3~\text{cm}^2$
B. $392\sqrt3~\text{cm}^2$             E. $147\sqrt3~\text{cm}^2$
C. $294\sqrt3~\text{cm}^2$

Penyelesaian

Ada dua cara untuk menentukan luas segienam tersebut, yaitu menggunakan Teorema Pythagoras dan Aturan Luas Segitiga dalam Trigonometri.
Cara 1: Teorema Pythagoras
Perhatikan sketsa gambar berikut.

Karena keliling segienam beraturan tersebut $84~\text{cm}$, maka panjang sisinya adalah $84 \div 6 = 14~\text{cm}$
Tarik garis tinggi dari titik pusat segienam tersebut ke salah satu sisi.
Misalkan panjang garis tinggi ini adalah $t$, maka dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} t & = \sqrt{14^2-7^2} \\ & = \sqrt{196-49} = \sqrt{147} = 7\sqrt3~\text{cm} \end{aligned}$
Dengan demikian, luas segienam tersebut dapat ditentukan, karena luasnya 6 kali luas segitiga pembentuknya.
$\begin{aligned} L_{\text{segienam}} & = 6 \times L_{\triangle} \\ & = 6 \times \dfrac12 \times 14 \times 7\sqrt3 \\ & = 294\sqrt3~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Jadi, luas segienam tersebut adalah $\boxed{294\sqrt3~\text{cm}^2}$
Cara 2: Aturan Luas Segitiga dalam Trigonometri
Perhatikan sketsa gambar berikut.

Panjang $r = 84 \div 6 = 14~\text{cm}$ dan $n = 6$ (karena segi-6). Luas segienam tersebut adalah
$\begin{aligned} L_{\text{segienam}} & = n \left(\dfrac12r^2 \sin \dfrac{360^{\circ}}{n}\right) \\ & = \cancelto{3}{6}\left(\dfrac{1}{\cancel{2}}(14)^2 \sin \dfrac{360^{\circ}}{6}\right) \\ & = 3(196)\left(\dfrac12\sqrt3\right) \\ & = 294\sqrt3~\text{cm}^2 \end{aligned}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 11
Luas segi-$12$ beraturan dengan masing-masing panjang sisinya $4~\text{cm}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $(96+48\sqrt3)~\text{cm}^2$
B. $(24+12\sqrt3)~\text{cm}^2$
C. $(24\sqrt3+12)~\text{cm}^2$
D. $(96\sqrt3+48)~\text{cm}^2$
E. $(96\sqrt3+12)~\text{cm}^2$

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar segi-$\color{red}{12}$ berikut.

Tinjau satu segitiga dari dua belas segitiga sama kaki yang kongruen.
Besar sudut $O$ adalah $\dfrac{360^{\circ}}{\color{red}{12}} = 30^{\circ}$
Karena $\triangle OAB$ sama kaki (panjang $OA = OB$), maka haruslah dua sudut lainnya sebesar $\dfrac{180^{\circ}-30^{\circ}}{2} = 75^{\circ}$.
Gunakan Aturan Sinus dan ingat kembali bahwa $\sin 30^{\circ} = \dfrac12$ dan $\sin 75^{\circ} = \dfrac14(\sqrt6 + \sqrt2)$.
$\begin{aligned} \dfrac{OA}{\sin 75^{\circ}} & = \dfrac{AB}{\sin 30^{\circ}} \\ \dfrac{x}{\frac14(\sqrt6+\sqrt2)} & = \dfrac{4}{\frac12} \\ x & = 2(\sqrt6 + \sqrt2)~\text{cm} \end{aligned}$
Dengan menggunakan Aturan Luas Segitiga pada Trigonometri, diperoleh
$\begin{aligned} L_{OAB} & = \dfrac12 \cdot OA \cdot OB \cdot \sin 30^{\circ} \\ & = \dfrac12 \cdot 2(\sqrt6 + \sqrt2) \cdot 2(\sqrt6 + \sqrt2) \cdot \dfrac12 \\ & = (\sqrt6+\sqrt2)(\sqrt6+\sqrt2) \\ & = (\sqrt6)^2+2(\sqrt6)(\sqrt2) + (\sqrt2)^2 \\ & = (8+4\sqrt3)~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Karena ada $12$ segitiga yang kongruen, maka
$\begin{aligned} L_{\text{segi}-12} & = 12 \times (8+4\sqrt3) \\ & = (96+48\sqrt3)~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Jadi, luas segi-$12$ beraturan tersebut adalah $\boxed{(96+48\sqrt3)~\text{cm}^2}$
(Jawaban A)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Pembuktian Identitas Trigonometri

Bagian Uraian

Soal Nomor 12
Buktikan bahwa dalam segitiga sembarang $ABC$ berlaku $\dfrac{a -b}{c} = \dfrac{\sin A -\sin B}{\sin C}$.

Penyelesaian

Dalam segitiga sembarang $ABC$, berlaku
$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}$
Dalam bentuk lain, ditulis
$a = \dfrac{b \sin A}{\sin B}$ dan $c = \dfrac{b \sin C}{\sin B}$
Dengan demikian, kita dapatkan
$\begin{aligned} \dfrac{a-b}{c} & = \dfrac{\dfrac{b \sin A}{\sin B} -b}{\dfrac{b \sin C}{\sin B}} \\ & = \dfrac{\dfrac{b \sin A}{\cancel{\sin B}} -\dfrac{b \sin B}{\cancel{\sin B}}}{\dfrac{b \sin C}{\cancel{\sin B}}} \\ & = \dfrac{b \sin A -b \sin B}{b \sin C} \\ & = \dfrac{\sin A -\sin B}{\sin C} \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa dalam segitiga sembarang $ABC$ berlaku $\dfrac{a -b}{c} = \dfrac{\sin A -\sin B}{\sin C}$.

[collapse]

Soal Nomor 13
Buktikan bahwa luas segiempat tali busur $ABCD$ pada gambar di bawah adalah $L = \dfrac12(ab + cd) \sin \theta$

Penyelesaian

Dengan menerapkan konsep luas segitiga dalam trigonometri, diperoleh
$\begin{aligned} L_{\triangle ABD} & = \dfrac12 cd \sin \theta \\ L_{\triangle BCD} & = \dfrac12 ab \sin C \end{aligned}$
Pada segiempat tali busur, jumlah besar sudut yang saling berhadapan adalah $180^{\circ}$, sehingga
$\theta + \angle C = 180^{\circ} \iff \angle C = 180^{\circ} – \theta$
Dengan demikian, luas segitiga $BCD$ dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} L_{\triangle BCD} & = \dfrac12 ab \sin (180^{\circ} – \theta) \\ & = \dfrac12 ab \sin \theta \end{aligned}$
Ini berarti, luas segiempat $ABCD$ adalah
$\begin{aligned} L_{ABCD} & = L_{\triangle ABD} + L_{\triangle BCD} \\ & = \dfrac12 cd \sin \theta + \dfrac12 ab \sin \theta \\ & = \dfrac12(ab+cd) \sin \theta \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa luas segiempat tali busur $ABCD$ itu adalah $\boxed{L_{ABCD} = \dfrac12(ab + cd) \sin \theta}$

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Persamaan Trigonometri

Soal Nomor 14
Pada gambar di bawah, $ABCD$ adalah segiempat tali busur lingkaran (besar sudut yang berhadapan jumlahnya $180^{\circ}$). Buktikan bahwa
$\cos \theta = \dfrac{c^2+d^2-a^2-b^2}{2(ab+cd)}$

Penyelesaian

Jika pada segiempat $ABCD$ itu ditarik garis $BD$, maka dengan menggunakan Aturan Cosinus pada $\triangle ABD$ dan $\triangle BCD$, diperoleh
$\begin{cases} BD^2 = c^2+d^2-2cd \cos \theta~~~~(\cdots 1) \\ BD^2 = a^2+b^2-2ab \cos C~~~~(\cdots 2) \end{cases}$
Pada segiempat tali busur, jumlah besar sudut yang saling berhadapan adalah $180^{\circ}$, sehingga
$\theta + \angle C = 180^{\circ} \iff \angle C = 180^{\circ} -\theta$
Persamaan $2$ selanjutnya dapat diubah menjadi
$BD^2 = a^2+b^2-2ab \cos (180^{\circ}-\theta)$
Dengan menggunakan konsep relasi sudut, diperoleh
$BD^2 = a^2+b^2+2ab \cos \theta~~~(\cdots 3)$
Sekarang, eliminasi $BD^2$ pada persamaan $1$ dan $3$, sehingga kita peroleh
$c^2+d^2-2cd \cos \theta -a^2-b^2-2ab \cos \theta = 0$
Substitusi nilai masing-masing:
$\begin{aligned} -2 \cos \theta(ab + cd) & = a^2+b^2-c^2-d^2 \\ -2\cos \theta & = \dfrac{a^2+b^2-c^2-d^2}{ab+cd} \\ \cos \theta & = \dfrac{c^2+d^2-a^2-b^2}{2(ab+cd)} \end{aligned}$

Jadi, terbukti bahwa $\boxed{\cos \theta = \dfrac{c^2+d^2-a^2-b^2}{2(ab+cd)}}$

[collapse]

Soal Nomor 15
Diketahui $\triangle ABC$ dengan $CD$ adalah garis berat, yaitu garis yang membagi dua sama panjang sisi $AB$. Dengan menggunakan Aturan Cosinus, buktikan bahwa:
a. $CD^2 = \dfrac12a^2 + \dfrac12b^2 -\dfrac14c^2$
b. $4CD^2 = a^2+b^2+2ab \cos C$

Penyelesaian

Jawaban a)
.Perhatikan bahwa $\angle ADC + \angle BDC = 180^{\circ}$ (kedua sudut saling berpelurus), dan dapat juga kita tulis $\angle BDC = 180^{\circ} -\angle ADC$. Dengan menggunakan Aturan Cosinus pada $\triangle ADC$ dan $\triangle BDC$, diperoleh dua persamaan, yakni
$$\begin{cases} b^2 = \frac14c^2 + CD^2 -2 \cdot \dfrac12 \cdot c \cdot CD \cos \angle ADC \\ a^2 = \frac14c^2 + CD^2 -2 \cdot \dfrac12 \cdot c \cdot CD \cos \angle (180^{\circ}-ADC) \end{cases}$$Perhatikan juga bahwa $\cos \angle (180^{\circ}-ADC) = -\cos ADC$. Ini berarti,
$$\begin{cases} b^2 = \frac14c^2 + CD^2 -2 \cdot \frac12 \cdot c \cdot CD \cos \angle ADC \\ a^2 = \frac14c^2 + CD^2 + 2 \cdot \frac12 \cdot c \cdot CD \cos ADC \end{cases}$$Jumlahkan kedua persamaan di atas, sehingga diperoleh
$\begin{aligned} b^2+a^2 & = \dfrac12c^2 + 2CD^2 \\ 2CD^2 & = a^2+b^2-\dfrac12c^2 \\ CD^2 & = \dfrac12 a^2+\dfrac12b^2-\dfrac14c^2 \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa $CD^2 = \dfrac12a^2 + \dfrac12b^2 -\dfrac14c^2$
Jawaban b)
Dengan menggunakan Aturan Cosinus terhadap sisi $AB$, diperoleh
$c^2 = a^2+b^2-2ab \cos C$
Berdasarkan jawaban a, diketahui bahwa 
$CD^2 = \dfrac12a^2 + \dfrac12b^2 -\dfrac14c^2$
Persamaan ini ekuivalen dengan 
$4CD^2 = 2a^2 + 2b^2 -c^2$
Substitusikan $c^2 = a^2+b^2-2ab \cos C$, didapat
$\begin{aligned} 4CD^2 & = 2a^2 + 2b^2 -(a^2+b^2-2ab \cos C) \\ & = a^2+b^2 + 2ab \cos C \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa $4CD^2 = a^2+b^2+2ab \cos C$

[collapse]

Soal Nomor 16
Buktikan bahwa luas segiempat $ABCD$ sembarang pada gambar di bawah adalah $L = \dfrac12 \cdot AC \cdot BD \cdot \sin \theta$

Penyelesaian

Luas segiempat $ABCD$ dapat dihitung dengan menjumlahkan luas dari empat segitiga penyusunnya. Luas masing-masing segitiga dapat ditentukan dengan menggunakan Aturan Sinus (ingat bahwa $\sin (180^{\circ} -\theta) = \sin \theta$)
$\begin{aligned} L_{\triangle CDP} & = \dfrac12 \cdot CP \cdot DP \cdot \sin \theta \\ L_{\triangle BCP} & = \dfrac12 \cdot CP \cdot BP \cdot \sin \theta \\ L_{\triangle ABP} & = \dfrac12 \cdot AP \cdot BP \cdot \sin \theta \\ L_{\triangle ADP} & = \dfrac12 \cdot AP \cdot DP \cdot \sin \theta \end{aligned}$
Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} L_{ABCD} & = L_{\triangle CDP} + L_{\triangle BCP} + L_{\triangle ABP} + L_{\triangle ADP} \\ & = \dfrac12 \cdot CP \cdot DP \cdot \sin \theta + \dfrac12 \cdot CP \cdot BP \cdot \sin \theta \\ & + \dfrac12 \cdot AP \cdot BP \cdot \sin \theta + \dfrac12 \cdot AP \cdot DP \cdot \sin \theta \\ & = \dfrac12 \sin \theta(CP(DP+BP)+AP(BP+DP)) \\ & = \dfrac12 \sin \theta(CP \cdot BD + AP \cdot BD) \\ & = \dfrac12 \sin \theta \cdot BD(CP + AP) \\ & = \dfrac12 \sin \theta \cdot BD \cdot AC \\ & = \dfrac12 \cdot AC \cdot BD \cdot \sin \theta \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa luas segiempat $ABCD$ tersebut adalah $\boxed{L_{ABCD} = \dfrac12 \cdot AC \cdot BD \cdot \sin \theta}$

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Penerapan Identitas Trigonometri

CategoriesTrigonometriTags, , , , ,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *