Soal dan Pembahasan – Fungsi Trigonometri dan Grafiknya

Bentuk umum fungsi sinus tersebut adalah $y = a \sin kx$.
Periode:
Periode $y_1 = 5 \sin x$ dengan $k = 1$ adalah $P_1 = \dfrac{360^{\circ}}{1} = 360^{\circ}$, sedangkan periode $y_2 = \sin 5x$ dengan $k = 5$ adalah $P_2 = \dfrac{360^{\circ}}{5} = 72^{\circ}$.
Dapat disimpulkan bahwa periode $y_1$ sama dengan 5 kali periode $y_2$.
Amplitudo:
Amplitudo $y_1 = 5 \sin x$ dengan $a = 5$ adalah $A_1 = |a| = |5| = 5$, sedangkan amplitudo $y_2 = \sin 5x$ dengan $a = 1$ adalah $A_2 = |a| = |1| = 1$. Dapat disimpulkan bahwa amplitudo $y_1$ 5 kali amplitudo $y_2$.
Pernyataan yang benar ada pada pilihan E.

Apabila grafik memotong sumbu-$X$, maka nilai $f(x) = y = 0$. Dengan demikian,
$\begin{aligned} f(x) & = 2 \cos x \\ \Rightarrow 0 & = 2 \cos x \\ \Leftrightarrow \cos x & = 0 \end{aligned}$
Nilai $x$ yang membuat $\cos x$ bernilai 0 adalah $90^{\circ}.$
Jadi, titik potong grafiknya berkoordinat $\boxed{(90^{\circ}, 0)}$
(Jawaban D)

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Grafik di atas merupakan modifikasi grafik kosinus (karena grafiknya dimulai dari sumbu-$Y$) dengan bentuk umum $f(x) = a \cos kx.$
Grafik juga menunjukkan bahwa nilai maksimum fungsinya $\frac12$, sedangkan nilai minimumnya $-\frac12$ sehingga
$\begin{aligned} a & = \dfrac{\text{N. Maksimum} -\text{N. Minimum}}{2} \\ & = \dfrac{\frac12 -(-\frac12)}{2} = \dfrac12 \end{aligned}$
Saat $x = 0^{\circ}$, nilai fungsinya $\frac12$, lalu berulang kembali di $x = \pi$ sehingga periodenya $\pi$. Dengan demikian, $k = \dfrac{2\pi}{\text{Periode}}= \dfrac{2\pi}{\pi} = 2$.
Jadi, grafik fungsi di atas adalah grafik fungsi $\boxed{f(x) = \dfrac12 \cos 2x}$
(Jawaban C)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Beranjak dari grafik sinus yang memiliki bentuk umum $f(x) = a \sin kx$, kurva pada gambar tidak bergeser dan berawal dari titik $(0,0)$. Grafik juga menunjukkan bahwa nilai maksimum dan minimum fungsi adalah $4$ dan $-4$ sehingga
$\begin{aligned} a & = \dfrac{\text{N. Maksimum} -\text{N. Minimum}}{2} \\ & = \dfrac{4 -(-4)}{2} = 4 \end{aligned}$
Pada saat nilai $x = 180^{\circ}$, fungsi kembali bernilai $0$, lalu berulang kembali seperti sebelumnya sehingga periodenya adalah $180^{\circ}$, dan akibatnya $k = \dfrac{360^{\circ}}{180^{\circ}} = 2.$
Jadi, rumus fungsi $\boxed{f(x)=4 \sin 2x}$ dengan batas interval $0^{\circ} \leq x \leq 270^{\circ}.$
(Jawaban C)

Bentuk umum fungsi kosinus adalah $f(x) = a \cos kx$. karena $f(x) = -2 \cos 3x$, maka $a = -2$ dan $k = 3$.
Amplitudo grafiknya adalah $-(-a) = a = 2$ dan saat $x = 0^{\circ}$, nilai fungsinya adalah $f(0) = -2 \cos 3(0) = -2(1) = -2$
sehingga pilihan B, D, E tereliminasi.
Karena $k = 3$, maka periode fungsinya adalah 
$\begin{aligned} k &= \dfrac{2\pi}{\text{Periode}} \\ 3 & = \dfrac{2\pi}{\text{Periode}} \Leftrightarrow \text{Periode} = \dfrac{2}{3}\pi \end{aligned}$
Pada pilihan A, periode grafiknya adalah $\pi -(-\pi) = 2\pi$, sedangkan pada pilihan C, periode grafiknya dapat dilihat dengan observasi berikut: dari titik $x = 0$ ke titik $x = \pi$ terdapat 1,5 gelombang (1,5 lembah; 1,5 bukit) sehingga periodenya adalah $\dfrac{\pi -0}{1,5} = \dfrac{2}{3}\pi.$
Jadi, grafik fungsi $f(x) = -2 \cos 3x$ ditunjukkan pada pilihan C.

Beranjak dari grafik sinus: karena kurva bergeser (ke kiri) sejauh $\frac{\pi}{2}$, maka bentuk umum grafik fungsinya adalah $f(x) = y = a \sin k(x-c)$.
Untuk grafik ini, nilai $c$ yang menentukan pergeseran kurva adalah $-\frac{\pi}{2}$ (tandanya negatif, karena grafik bergeser ke kiri).
Dimulai dari titik $x = -\dfrac{\pi}{2}$ yang nilai fungsinya 0, grafik fungsi kembali bernilai $0$ dan berulang kembali di titik $x = \dfrac{3\pi}{2}$ sehingga periode grafik fungsinya adalah $\dfrac{3\pi}{2} – \left(-\dfrac{\pi}{2}\right) = 2\pi$.
Dengan demikian,
$k = \dfrac{2\pi}{\text{Periode}} = \dfrac{2\pi}{2\pi} = 1$
Nilai $a$ ditentukan oleh nilai maksimum dan nilai minimum fungsi, yakni
$\begin{aligned} a & = \dfrac{\text{N. Maksimum} -\text{N. Minimum}}{2} \\ & = \dfrac{2 -(-2)}{2} = 2 \end{aligned}$
Jadi, rumus grafik fungsinya adalah $$\boxed{f(x) = 2 \sin 1\left(x+\frac{\pi}{2}\right) = 2 \sin \left(x+\frac{\pi}{2}\right)}$$(Jawaban C)

Beranjak dari grafik sinus: karena kurva bergeser (ke kiri) sejauh $\frac{\pi}{4}$, maka bentuk umum grafik fungsinya adalah $f(x) = y = a \sin k(x-c)$.
Untuk grafik ini, nilai $c$ yang menentukan pergeseran kurva adalah $-\frac{\pi}{4}$.
Dimulai dari titik $x = -\frac{3\pi}{4}$ yang nilai fungsinya 0, grafik fungsi kembali bernilai $0$ dan berulang kembali di titik $x = \frac{\pi}{4}$ sehingga periode grafik fungsinya adalah $\dfrac{\pi}{4} – \left( -\dfrac{3\pi}{4}\right) = \pi.$
Dengan demikian,
$k = \dfrac{2\pi}{\text{Periode}} =  \dfrac{2\pi}{\pi} = 2.$
Nilai $a$ ditentukan oleh nilai maksimum dan nilai minimum fungsi, yakni
$\begin{aligned} a & = \dfrac{\text{N. Maksimum} -\text{N. Minimum}}{2} \\ & = \dfrac{2 -(-2)}{2} = 2 \end{aligned}$
Catatan: Pilihan ganda pada soal menunjukkan bahwa $a = -2$, artinya kurva sinus menurun, lalu menanjak. Ini menjadi alasan mengapa kita anggap kurva bergeser ke kiri.
Jadi, rumus grafik fungsinya adalah $$\boxed{f(x) = -2 \sin 2\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = -2 \sin \left(2x + \frac{\pi}{2}\right)}$$(Jawaban D)

Nilai $a$ ditentukan oleh nilai maksimum dan nilai minimum fungsi, yakni
$\begin{aligned} a & = \dfrac{\text{N. Maksimum} -\text{N. Minimum}}{2}\\ & = \dfrac{2 -(-2)}{2} = 2 \end{aligned}$
Grafik menunjukkan bahwa saat $x = 0$, nilai fungsinya $-2$, begitu juga saat $x = 2\pi$. Ini berarti, periode grafiknya adalah $2\pi$ sehingga dengan menggunakan rumus periode, diperoleh $2\pi = \dfrac{2\pi}{k} \Leftrightarrow k = 1.$
Jadi, $a$ dan $k$ berturut-turut adalah $\boxed{a=-2}$ dan $\boxed{k=1}$
(Jawaban A)

Agar $f(x) = \cos x + 3$ mencapai maksimum, maka $\cos x$ haruslah sebesar-besarnya, yaitu $\cos x = 1$. Untuk itu, $f_{\text{maks}}(x) = 1 + 3 = 4.$
Agar $f(x) = \cos x + 3$ mencapai minimum, maka $\cos x$ haruslah sekecil-kecilnya, yaitu $\cos x = -1$. Untuk itu, $f_{\text{min}}(x) = -1 + 3 = 2.$
Jadi, daerah hasil fungsi $f(x)$ adalah semua nilai (bilangan real) dari $2$ sampai $4$, atau secara matematis ditulis $\boxed{2 \leq f(x) \leq 4}$
(Jawaban E)

Nilai minimum $f(x) = 2 \sin \left(x – \dfrac{\pi}{3}\right) + 1$ tercapai ketika $\sin \left(x- \dfrac{\pi}{3}\right)$ bernilai sekecil-kecilnya, yaitu $\sin \left(x -\dfrac{\pi}{3}\right) = -1$. Untuk itu,
$f_{\text{min}}(x) = 2(-1) + 1 =-1.$
Jadi, nilai minimum $f(x)$ adalah $\boxed{-1}$
(Jawaban C)

Agar $f(x)=2 – 5 \sin \dfrac{\pi x}{6}$ , nilai $\sin \dfrac{\pi x}{6}$ haruslah sekecil mungkin (negatif). Karena nilai minimum sinus adalah $-1$, maka dalam hal ini
$\begin{aligned} \sin \dfrac{\pi x}{6} & = -1 \\  \sin \dfrac{\pi x}{6} & = \sin \dfrac{3\pi}{2} \\ \dfrac{\pi x}{6} &  = \dfrac{3\pi}{2} \\ \pi x & = 9\pi \\ x & = 9 \end{aligned}$
Nilai $x$ yang diperoleh berada di luar interval sehingga tidak memenuhi.
Di kasus lain,
$\begin{aligned} \sin \dfrac{\pi x}{6} & = -1 \\  \sin \dfrac{\pi x}{6} & = -\sin \dfrac{\pi}{2} \\ \dfrac{\pi x}{6} &  = -\dfrac{\pi}{2} \\ \pi x & = -3\pi \\ x & = -3 \end{aligned}$
Nilai $x = -3 = q$ ini memenuhi interval yang diberikan. Ini berarti, nilai maksimum $f(x)$ adalah
$\begin{aligned} f(-3) & = 2 -5 \sin \dfrac{\pi(-3)}{6} \\ &= 2 -5(-1) = 7 \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{p + q = 7 + (-3) = 4}$
(Jawaban D)

Nilai maksimum $f(x) = \sqrt2 \cos 3x + 1$ tercapai ketika $\cos 3x$ bernilai sebesar-besarnya, yaitu $\cos 3x = 1$. Untuk itu,
$f_{\text{maks}}(x) = p = \sqrt2 (1) + 1 = \sqrt2 + 1.$
Nilai minimum $f(x) = \sqrt2 \cos 3x + 1$ tercapai ketika $\cos 3x$ bernilai sekecil-kecilnya, yaitu $\cos 3x = -1$. Untuk itu,
$\begin{aligned} f_{\text{min}}(x) = q & = \sqrt2 (-1) + 1 \\ & = -\sqrt2 + 1 \end{aligned}$
Dengan demikian,
$$\begin{aligned} p^2+q^2 & = (\sqrt2 + 1)^2 + (-\sqrt2 + 1)^2 \\ & = (2 + \cancel{2\sqrt2} + 1) + (2 – \cancel{2\sqrt2} + 1) \\ & = 6 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{p^2+q^2=6}$
(Jawaban E)

Ketika kurva memotong sumbu-$X$, ordinatnya akan bernilai $0$ atau $f(x) = y = 0$. Untuk itu, kita peroleh
$\begin{aligned} f(x) & = -4 \sin 3x + 2 \\ \Rightarrow 0 & = -4 \sin 3x + 2 \\ -2 & = -4 \sin 3x \\ \sin 3x & = \dfrac{-2}{-4} = \dfrac12 \\ \sin 3x & = \sin 30^{\circ} \end{aligned}$
Perhatikan bahwa interval $x$ adalah $270^{\circ} \leq x \leq 360^{\circ}$.
Berdasarkan rumus persamaan dasar trigonometri, diperoleh:
Kemungkinan 1
$\begin{aligned} 3x & = 30^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = 10^{\circ} + k \cdot 120^{\circ} \end{aligned}$
Untuk $k = 0$, diperoleh $x = 10^{\circ}$.
Untuk $k = 1$, diperoleh $x = 130^{\circ}$.
Untuk $k = 2$, diperoleh $x = 250^{\circ}$.
Untuk $k = 3$, diperoleh $x = 370^{\circ}$.
Kita tidak peroleh nilai $x$ yang memenuhi interval yang diberikan.
Kemungkinan 2
$\begin{aligned} 3x & = (180-30)^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = 50^{\circ} + k \cdot 120^{\circ} \end{aligned}$
Untuk $k = 0$, diperoleh $x = 50^{\circ}$.
Untuk $k = 1$, diperoleh $x = 170^{\circ}$.
Untuk $k = 2$, diperoleh $\color{blue}{x = 290^{\circ}}$.
Untuk $k = 3$, diperoleh $x = 410^{\circ}$.
Kita peroleh hanya satu nilai $x$ yang memenuhi interval yang diberikan, yakni $\boxed{x = 290^{\circ}}$
(Jawaban C) 

Pertama, integralkan dulu rumus fungsi $f$ yang diberikan.
$$\begin{aligned} \displaystyle \int (3 \cos x-4 \sin x)~\text{d}x & = 3 \sin x-4(-\cos x) + C \\ & = 3 \sin x + 4 \cos x + C \end{aligned}$$Bentuk $3 \sin x + 4 \cos x$ dapat diubah menjadi $r \cos (x-p)$ dengan $r = \sqrt{4^2+3^2} = \sqrt{25} = 5$. Nilai $p$ tidak perlu dicari.
Catatan: Bentuk $a \cos x + b \sin x$ sama dengan $r \cos (x-p)$ dengan $r = \sqrt{a^2+b^2}$ dan $\tan p = \dfrac{b}{a}$, $-\pi \leq p \leq \pi.$
Kita peroleh, $f(x) = 5 \cos (x-p) + C.$
Nilai maksimum $f(x)$ tercapai saat $\cos (x-p)$ bernilai maksimum, yaitu $1$, sedangkan nilai minimumnya tercapai saat $\cos (x-p)$ bernilai minimum, yaitu $-1$.
Karena nilai maksimum dua kali nilai minimum $f(x)$, maka kita tulis
$$\begin{aligned} f_{\text{maks}}(x) & = 2(f_{\text{min}}(x)) \\ 5(1) + C & = 2(5(-1) + C) \\ 5+C & = -10+2C \\ C & = 15 \end{aligned}$$Jadi, rumus fungsi $f(x) = 3 \sin x + 4 \cos x + 15$ sehingga
$$\boxed{\begin{aligned} f(0) & = 3 \sin 0 + 4 \cos 0 + 15 \\ & = 3(0) + 4(1) + 15 = 19 \end{aligned}}$$(Jawaban C)

Jawaban a)
Bentuk umum fungsi sinus tersebut adalah $f(x) = a \sin kx$.
Karena fungsi $f(x)= 2 \sin 3x$, maka $a=2$ dan $k=3$.
1) Periode $=\dfrac{360^{\circ}}{k} = \dfrac{360^{\circ}}{3} = 120^{\circ}$
2) Nilai maksimum $= a = 2$
3) Nilai minimum $= -a = -2$
Jawaban b)
Bentuk umum fungsi kosinus tersebut adalah $f(x) = a \cos kx$.
Karena fungsi $f(x)= -3 \cos 2x$, maka $a=-3$ dan $k=2$.
1) Periode $=\dfrac{360^{\circ}}{k} = \dfrac{360^{\circ}}{2} = 180^{\circ}$
2) Nilai maksimum $= -a = -(-3)=3$
3) Nilai minimum $= a = -3$
Jawaban c)
Bentuk umum fungsi tangen tersebut adalah $f(x) = a \tan kx$.
Karena fungsi $f(x)= 4 \tan \dfrac13x$, maka $a=4$ dan $k=\dfrac13$.
1) Periode $=\dfrac{180^{\circ}}{k} = \dfrac{180^{\circ}}{\frac13} = 540^{\circ}$
2) Nilai maksimum $\infty$
3) Nilai minimum $-\infty$
Catatan: fungsi tangen tidak memiliki amplitudo dan nilai maksimum/minimumnya tak hingga (atau negatif tak hingga).

Jawaban a)
Perhatikan sketsa gambar berikut.

Apabila grafik di atas digeser ke arah kanan sehingga titik ujungnya di $(0,0)$, maka diperoleh grafik sinus berbentuk $f(x) = y = a \sin k(x -\theta)$. Diketahui bahwa nilai maksimum dan minimum fungsi pada grafik adalah $3~\text{dan}~-3$ sehingga
$\begin{aligned} a & = \dfrac{\text{N. Maksimum} -\text{N. Minimum}}{2} \\ & = \dfrac{3 –(-3)}{2} = 3 \end{aligned}$
Tampak juga bahwa periode grafiknya adalah $2\pi = 360^{\circ}$ sehingga
$k = \dfrac{2\pi}{\text{Periode}} = \dfrac{2\pi}{2\pi} = 1$
Karena pergeserannya ke arah kanan sebesar $\frac{\pi}{4}$, maka $\theta = -\dfrac{\pi}{4}$ (bertanda negatif bila digeser ke kanan) sehingga rumus fungsinya adalah $f(x) = 3 \sin \left(x + \dfrac{\pi}{4}\right).$
Jawaban b)
Perhatikan sketsa gambar berikut.

Apabila grafik di atas digeser ke arah kanan sehingga titik ujungnya di $(0,0)$, maka diperoleh grafik sinus berbentuk $f(x) = y = a \sin k(x -\theta)$. Diketahui bahwa nilai maksimum dan minimum fungsi pada grafik adalah $1~\text{dan}~-1$ sehingga
$\begin{aligned} a & = \dfrac{\text{N. Maksimum} -\text{N. Minimum}}{2} \\ &= \dfrac{1 –(-1)}{2} = 1 \end{aligned}$
Tampak juga bahwa periode grafiknya adalah $180^{\circ}$ sehingga
$k = \dfrac{360^{\circ}}{180^{\circ}} = 2$
Karena pergeserannya ke arah kanan sebesar $30^{\circ}$, maka $\theta = -30^{\circ}$ (bertanda negatif bila digeser ke kanan) sehingga rumus fungsinya adalah $f(x) =  \sin 2\left(x + 30^{\circ}\right)$.