Konsep dan Contoh Soal Akar Ramanujan

Berdasarkan bentuk umum Akar Ramanujan, diketahui bahwa
$\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x{\cdots}}}}} = x$
Dengan demikian, dapat kita selesaikan persamaan di atas seperti berikut.
$$\begin{aligned} x & = \sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{\cdots}}}}} \\ \text{Kuadratkan}~&\text{masing-masing ruas} \\ x^2 & = 4x + \color{blue}{\sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{\cdots}}}}}} \\ x^2 & = 4x + \color{blue}{x} \\ x^2 & = 5x \\ x^2-5x & = 0 \\ x(x-5) & = 0 \end{aligned}$$Diperoleh $x = 0$ atau $x = 5$.
Jadi, bilangan bulat positif yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{5}$.
(Jawaban D)

Misalkan
$x = \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{\cdots}}}}$
Kuadratkan kedua ruas untuk memperoleh
$x^2 = 3\color{red}{\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{\cdots}}}}}$
Bentuk yang ditandai dengan tanda warna merah di atas sama dengan $x$ sehingga kita tulis
$\begin{aligned} x^2 & = 3x \\ x^2-3x & = 0 \\ x(x-3) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $x=0$ atau $x=3$.
Karena bentuk $\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{\cdots}}}}$ jelas tidak mungkin bernilai $0$, maka kita simpulkan bahwa
$\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{\cdots}}}} = 3$
Dengan prinsip yang sama, kita akan memperoleh
$\begin{aligned} \sqrt{5\sqrt{5\sqrt{5\sqrt{\cdots}}}} & = 5 \\ \sqrt{8\sqrt{8\sqrt{8\sqrt{\cdots}}}} & = 8 \\ \sqrt{9\sqrt{9\sqrt{9\sqrt{\cdots}}}} & = 9 \end{aligned}$
Dengan demikian,
$ \begin{aligned} & \dfrac{2\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{\cdots}}}} \times 4\sqrt{5\sqrt{5\sqrt{5\sqrt{\cdots}}}}}{8\sqrt{9\sqrt{9\sqrt{9\sqrt{\cdots}}}}-4\sqrt{8\sqrt{8\sqrt{8\sqrt{\cdots}}}}} \\ & = \dfrac{2(\color{red}{3}) \times 4(\color{red}{5})}{8(\color{red}{9})-4(\color{red}{8})}  \\ & = \dfrac{6 \times 20}{72-32} = \dfrac{120}{40} = 3 \end{aligned}$
(Jawaban A)

Diketahui $$\sqrt{2016+\color{blue}{2007}\sqrt{2018+\color{red}{2009}\sqrt{2020+\color{red}{2011}\sqrt{2022+\cdots}}}}$$Berdasarkan formula umum Akar Bersarang Tak Berhingga Versi Ramanujan:
$$\boxed{x+n+a = \sqrt{ax + (n+a)^2 + x\sqrt{a(x+n) + (n+a)^2 + (x+n)\sqrt{\cdots}}}}$$kita peroleh $x = 2007$ (perhatikan ekspresi yang ditandai dengan warna biru) dan $n = 2$ (perhatikan beda pertambahannya pada ekspresi yang ditandai dengan warna merah).
Sekarang, kita dapatkan bahwa
$\begin{aligned} ax + (n+a)^2 & = 2016 \\ 2007a + (2+a)^2 & = 2016 \\ a^2+2011a-2012 & = 0 \\ (a+2012)(a-1) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $a = -2012$ atau $a = 1$.
Karena $a$ harus bernilai positif, maka kita hanya memilih $a = 1$.
Jadi, hasil dari akar bersarang tersebut adalah $\boxed{x+n+a=2007+2+1 = 2010}$
(Jawaban C)

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} 2 & = \sqrt4 \\ & = \sqrt{1 + \sqrt9} \\ & = \sqrt{1 + \sqrt{5 + \sqrt{16}}} \\ & = \sqrt{1 + \sqrt{5 + \sqrt{11 + \sqrt{25}}}} \\ & = \sqrt{1+\sqrt{5+\sqrt{11+\sqrt{19+\sqrt{36}}}}} \\ & = \sqrt{1+\sqrt{5+\sqrt{11+\sqrt{19+\sqrt{29 + \sqrt{49}}}}}} \\ & = \sqrt{1+\sqrt{5+\sqrt{11+\sqrt{19+\sqrt{29 + \sqrt{\cdots}}}}}} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari bentuk akar tersebut sama dengan $\boxed{2}$
(Jawaban C)

Diketahui $$\sqrt{2015+\color{blue}{2011}\sqrt{2016+\color{red}{2012}\sqrt{2017+\color{red}{2013}\sqrt{2018+\cdots}}}}$$Berdasarkan formula umum Akar Bersarang Tak Berhingga Versi Ramanujan:
$$\boxed{x+n+a = \sqrt{ax + (n+a)^2 + x\sqrt{a(x+n) + (n+a)^2 + (x+n)\sqrt{\cdots}}}}$$kita peroleh $x = 2011$ (perhatikan ekspresi yang ditandai dengan warna biru) dan $n = 1$ (perhatikan beda pertambahannya pada ekspresi yang ditandai dengan warna merah).
Sekarang, kita dapatkan bahwa
$\begin{aligned} ax + (n+a)^2 & = 2015 \\ 2011a + (1+a)^2 & = 2015 \\ a^2+2013a-2014 & = 0 \\ (a+2014)(a-1) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $a = -2014$ atau $a = 1$.
Karena $a$ harus bernilai positif, maka kita hanya memilih $a = 1$.
Jadi, hasil dari akar bersarang tersebut adalah $\boxed{x+n+a=2011+1+1 = 2013}$
(Jawaban C)

Misalkan $n$ bilangan real nonnegatif, berlaku bahwa
$$\begin{aligned} 2^n + 1 & = \sqrt{(2^n+1)^2} \\ & = \sqrt{4^n + 2 \cdot 2^n + 1} \\ & = \sqrt{4^n + \sqrt{(2 \cdot 2^n + 1)^2}} \\ & = \sqrt{4^n + \sqrt{4^{n+1} + 4 \cdot 2^n + 1}} \\ & = \sqrt{4^n + \sqrt{4^{n+1} + \sqrt{(4 \cdot 2^n + 1)^2}}} \\ & = \sqrt{4^n + \sqrt{4^{n+1} + \sqrt{4^{n+2} + 8 \cdot 2^n + 1}}} \\ & = \sqrt{4^n + \sqrt{4^{n+1} + \sqrt{4^{n+2} + \sqrt{\cdots}}}} \end{aligned}$$Ambil $n = 1$ sehingga kita peroleh
$\begin{aligned} 2^1+1 & = \sqrt{4 + \sqrt{4^2 + \sqrt{4^3 + \sqrt{\cdots}}}} \\ 3 & = \sqrt{4 + \sqrt{16 + \sqrt{64 + \sqrt{\cdots}}}} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\sqrt{4 + \sqrt{16 + \sqrt{64 + \sqrt{\cdots}}}} = 3}$
(Jawaban B)

Jelas bahwa $a = 0,333\cdots \cdot = \dfrac13$.
Selanjutnya, akan dicari nilai $b$ dengan menggunakan konsep akar Ramanujan.
Dari $b = \sqrt{72 + \sqrt{72 + \sqrt{72 + \cdots}}}$, kuadratkan kedua ruas, lalu faktorkan.
$$\begin{aligned} b^2 & = 72 + \underbrace{\sqrt{72 + \sqrt{72 + \sqrt{72 + \cdots}}}}_{b} \\ b^2 & = 72+b \\ b^2-b-72 & = 0 \\ (b-9)(b+8) & = 0 \end{aligned}$$Didapat $b=9$ atau $b=-8$. Nilai $b = -8$ tidak memenuhi karena hasil akar kuadrat tidak mungkin negatif. Jadi, $b = 9$.
Dengan demikian
$\begin{aligned} ^{b^{-1}} \log a & =~^{9^{-1}} \log \dfrac13 \\ & =~^{3^{-^2}} \log 3^{-1} \\ & = -1 \cdot \dfrac{1}{-2} \cdot~^3 \log 3 \\ & = \dfrac12 \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{^{b^{-1}} \log a = \dfrac12}$
(Jawaban C)

Misalkan $x = 2\sqrt{128 \div \sqrt{128 \div \sqrt{128 \div \sqrt{\cdots}}}}$
Kedua ruas dibagi $2$ dan kita peroleh
$\dfrac{x}{2} = \sqrt{128 \div \sqrt{128 \div \sqrt{128 \div \sqrt{\cdots}}}}$
Kuadratkan kedua ruas untuk memperoleh
$$\dfrac{x^2}{4} = 128 \div \underbrace{\sqrt{128 \div \sqrt{128 \div \sqrt{128 \div \sqrt{\cdots}}}}}_{\frac{x}{2}}$$Perhatikan bahwa bentuk akar bersarang tak berhingga pada persamaan terakhir sama dengan $\dfrac{x}{2}$ sehingga didapat
$\begin{aligned} \dfrac{x^2}{4} & = 128 \div \dfrac{x}{2} \\ \dfrac{x^2}{4} & = 128 \cdot \dfrac{2}{x} \\ x^3 & = 128 \cdot 2 \cdot 4 \\ x^3 & = 2^7 \cdot 2 \cdot 2^2 \\ x^3 & = 2^{10} \\ x & = 2^{\frac{10}{3}} = \sqrt[3]{2^{10}} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $$\boxed{2\sqrt{128 \div \sqrt{128 \div \sqrt{128 \div \sqrt{\cdots}}}} = \sqrt[3]{2^{10}}}$$(Jawaban B)

Misalkan $\textbf{a} = \sqrt{18 + \sqrt{18 + \sqrt{18 + \cdots}}}$ sehingga dengan menguadratkan kedua ruas, kita peroleh
$$\begin{aligned} \textbf{a}^2 & = 18 + \sqrt{18 + \sqrt{18 + \sqrt{18 + \cdots}}} \\ \textbf{a}^2 & = 18 + \textbf{a} \\ \textbf{a}^2-\textbf{a}-18 & = 0 \end{aligned}$$Dengan menggunakan rumus kuadrat (ABC), diperoleh
$\begin{aligned} \textbf{a} & = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ & = \dfrac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4(1)(-18)}}{2(1)} \\ & = \dfrac{1 \pm \sqrt{73}}{2} \end{aligned}$
Ambil $\textbf{a} = \dfrac{1+\sqrt{73}}{2}$ karena bernilai positif.
Selanjutnya, misalkan $\textbf{b} = \sqrt{18- \sqrt{18-\sqrt{18-\cdots}}}$ sehingga dengan menguadratkan kedua ruas, kita peroleh
$$\begin{aligned} \textbf{b}^2 & = 18-\sqrt{18- \sqrt{18-\sqrt{18- \cdots}}} \\ \textbf{b}^2 & = 18-\textbf{b} \\ \textbf{b}^2+\textbf{b}-18 & = 0 \end{aligned}$$Dengan menggunakan rumus kuadrat (ABC), diperoleh
$\begin{aligned} \textbf{b} & = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ & = \dfrac{-(1) \pm \sqrt{(1)^2-4(1)(-18)}}{2(1)} \\ & = \dfrac{-1 \pm \sqrt{73}}{2} \end{aligned}$
Ambil $\textbf{b} = \dfrac{-1+\sqrt{73}}{2}$ karena bernilai positif.
Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} & \sqrt{18 + \sqrt{18 + \sqrt{18 + \cdots}}}-\sqrt{18-\sqrt{18- \sqrt{18-\cdots}}} \\ & = \dfrac{1+\sqrt{73}}{2}-\dfrac{-1+\sqrt{73}}{2} = \dfrac{1+1}{2} = 1 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari perhitungan tersebut adalah $\boxed{1}$
(Jawaban A)

Dari persamaan yang diberikan, langkah pertama adalah menguadratkan kedua ruas sehingga kita akan peroleh
$$\begin{aligned} 2019 + 2019\sqrt{2019+2019\sqrt{2019+2019\sqrt{2019 + \cdots}}} & = Z^2 \\ 2019+2019Z & = Z^2 \\ 2019 & = Z^2-2019Z \\ 2019 & = Z(Z-2019) \\ \dfrac{2019}{Z-2019} & = Z \end{aligned}$$Jadi, bentuk yang sama dengan $Z$ adalah $\boxed{\dfrac{2019}{Z-2019}}$
(Jawaban B)

Langkah pertama ialah menguadratkan kedua ruas, lalu selesaikan bentuk aljabar yang didapat setelah ketakterhinggaan ditiadakan.
$$\begin{aligned} \left(\color{red}{\sqrt{4x^2 + \sqrt{4x^2 + \sqrt{4x^2 + \cdots}}}}\right)^2 & = 4^2 \\ 4x^2 + \color{red}{\sqrt{4x^2 + \sqrt{4x^2 + \cdots}}} & = 16 \\ 4x^2 + 4 & = 16 \\ 4x^2 & =12 \\ x^2 & = 3 \\ x & = \pm 3 \end{aligned}$$Jadi, nilai positif $x$ yang memenuhi adalah $\boxed{\sqrt3}$
(Jawaban D)

Misalkan $$\color{red}{x = \sqrt{3 + \sqrt{2 + \sqrt{3 + \sqrt{2 + \sqrt{3 + \cdots}}}}}}.$$Kuadratkan kedua ruas, lalu kita peroleh
$$\begin{aligned} x^2 & = 3 + \sqrt{2 + \sqrt{3 + \sqrt{2 + \sqrt{3 + \cdots}}}} \\ x^2-3 & = \sqrt{2 + \sqrt{3 + \sqrt{2 + \sqrt{3 + \cdots}}}} \end{aligned}$$Kuadratkan sekali lagi untuk mendapatkan
$$\begin{aligned} (x^2-3)^2 & = 2 + \color{red}{\sqrt{3 + \sqrt{2 + \sqrt{3 + \sqrt{2 + \cdots}}}}} \\ x^4-6x^2+9 & = 2 + x \\ x^4-6x^2-x+7 & = 0 \end{aligned}$$Jadi, disimpulkan bahwa bilangan itu merupakan salah satu akar dari persamaan $\boxed{x^4-6x^2-x+7=0}$
(Jawaban C)

Karena $\sqrt3 = \sqrt[4]{9}$, maka persamaan di atas ekuivalen dengan
$\sqrt[4]{9\sqrt[4]{9\sqrt[4]{9 \cdots \sqrt[4]{9\sqrt[4]{9}}}}} = a^{a-1}.$
Dimulai dari memangkatkan empat pada kedua ruas, lalu menggunakan sifat dasar eksponen, kita peroleh
$\begin{aligned} 9\sqrt[4]{9\sqrt[4]{9 \cdots \sqrt[4]{9\sqrt[4]{9}}}} & = \left(a^{a-1}\right)^4 \\ 9a^{a-1} & = a^{4a-4} \\ 9 & = \dfrac{a^{4a-4}}{a^{a-1}} \\ \left(\dfrac13\right)^{-2} & = a^{3a-3} \\ \left(\dfrac13\right)^{1-3} & = a^{3a-3} \end{aligned}$
Dari bentuk terakhir, jika dipilih $a = \dfrac13$, persamaan yang terbentuk pada basis dan pangkat bernilai benar. Jadi, nilai $\boxed{a = \dfrac13}$
(Jawaban B)

Misalkan
$$\sqrt{12 + \sqrt{12-\sqrt{12 +\sqrt{\cdots}}}} = x$$Kuadratkan kedua ruas dan kita peroleh
$$\begin{aligned} 12 + \sqrt{12-\sqrt{12 +\sqrt{12-\sqrt{\cdots}}}} & = x^2 \\ \sqrt{12-\sqrt{12 +\sqrt{12-\sqrt{\cdots}}}} & = x^2-12 \\ 12-\sqrt{12 + \sqrt{12-\sqrt{12 +\sqrt{\cdots}}}} & = (x^2-12)^2 && (\text{dikuadratkan kedua ruas}) \\ 12-x & = (x^2-12)^2 \\ 12-x & = x^4-24x^2+144 \\ x^4-24x^2+x+132 & = 0 \\ (x+4)(x-3)(x^2-x-11) & = 0 \end{aligned}$$Kita peroleh nilai bulat $x$ yang memenuhi persamaan terakhir adalah $\boxed{x = 3}$
(Jawaban B)

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} & 3 + \sqrt{3^2 + \sqrt{3^4 + \sqrt{3^8 + \sqrt{\cdots}}}} \\ & = 3 + \sqrt{3^2(1 + \sqrt{3^4(1 + \sqrt{3^8(1 + \sqrt{\cdots}}}} \\ & = 3 + 3\sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{\cdots}}}} \end{aligned}$$Sekarang lakukan pemisalan bahwa $$x = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{\cdots}}}}$$Jelas bahwa $x$ pasti bernilai positif.
Dengan menguadratkan kedua ruas, kita peroleh
$$\begin{aligned} x^2 & = 1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{\cdots}}}} \\ x^2 & = 1 + x \\ x^2-x-1 & = 0 \\ \left(x-\dfrac12\right)^2-\dfrac54 & = 0 \\ \left(x-\dfrac12\right)^2 & = \dfrac54 \\ x-\dfrac12 & = \sqrt{\dfrac54} = \dfrac12\sqrt5 && (\text{ambil nilai positif}) \\ x & = \dfrac{1+\sqrt5}{2}. \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} & 3 + 3\sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{\cdots}}}} \\ & = 3 + 3 \cdot \dfrac{1+\sqrt5}{2} \\ & = \dfrac62 + \dfrac{3 + 3\sqrt5}{2} \\ & = \dfrac{9 + 3\sqrt5}{2}. \end{aligned}$$Jadi, bentuk sederhananya adalah $\boxed{\dfrac{9 + 3\sqrt5}{2}}$

Misalkan $$S = \sqrt{a-b\sqrt{a+b\sqrt{a-b\sqrt{a+\cdots}}}}$$Akan dibuktikan bahwa $S = \sqrt{a-\dfrac34b^2}-\dfrac12b$.
Ide utamanya adalah menuliskan $S$ sebagai hasil akar kuadrat yang juga memuat $S$ berdasarkan permisalan yang dibuat.
$$\begin{aligned} S & = \sqrt{a-b\sqrt{a+bS}} \\ S^2 & = a-b\sqrt{a+bS} && (\text{Kedua ruas dikuadratkan}) \\ \dfrac{a-S^2}{b} & = \sqrt{a+bS} \\ \left(\dfrac{a-S^2}{b}\right)^2 & = a+bS && (\text{Kedua ruas dikuadratkan}) \\ \dfrac{a^2-2aS^2+S^4}{b^2} & = a+bS \\ a^2-2aS^2+S^4 & = ab^2 + b^3S \\ S^4-2aS^2-b^3S+a^2-ab^2 & = 0 \\ (S^2 + bS + b^2-a)(S^2-bS-a) & = 0 && (\text{Difaktorkan}) \end{aligned}$$Kita peroleh dua persamaan kuadrat.
$$\begin{cases} S^2 + bS + b^2-a & = 0 && (\cdots 1) \\ S^2-bS-a & = 0 && (\cdots 2) \end{cases}$$Berdasarkan rumus kuadrat (rumus ABC), penyelesaian persamaan kuadrat pertama adalah
$$\begin{aligned} S_{1, 2} & = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4(1)(b^2-a)}}{2(1)} \\ & = \dfrac{-b \pm \sqrt{4a-3b^2}}{2} \\ & = \dfrac{-b \pm 2\sqrt{a-\dfrac34b^2}}{2} \\ & = \pm \sqrt{a-\dfrac34b^2}-\dfrac12b\end{aligned}$$Karena nilai akar kuadrat tidak mungkin negatif, maka kita ambil tanda positif untuk nilai $S$ di atas sehingga didapat $$\boxed{S = \sqrt{a-\dfrac34b^2}-\dfrac12b}$$(Terbukti)