Soal dan Pembahasan – Notasi Sigma

      Notasi sigma merupakan simbol yang dipakai untuk menyingkat penjumlahan sejumlah bilangan yang berpola tertentu. Simbol sigma yang dimaksud adalah $\displaystyle \sum$, yang dalam bahasa Inggris dikenal sebagai summation (disingkat “sum“), biasa kita menyebutnya dengan sumasi. Notasi sigma mulai diperkenalkan penggunaannya setelah siswa mempelajari materi mengenai barisan dan deret serta induksi matematika (kelas 11, berdasarkan Kurikulum 2013). Perhitungan yang melibatkan notasi sigma selanjutnya disebut sebagai operasi sumasi. Penggunaannya tampak semakin intensif ketika mempelajari matematika tingkat lanjut (advanced mathematics).
Catatan: Huruf kecil dari $\sum$ adalah $\sigma$ (keduanya sama-sama dibaca “sigma”)

Sifat-sifat operasi sumasi yang dipakai untuk menyelesaikan soal dapat dilihat di bawah ini. 

Sifat Operasi Sumasi

Misalkan $n$ bilangan bulat lebih dari 1.
Sifat 1: Konstanta Tunggal
Jika $c$ bilangan real (konstanta), maka berlaku $\displaystyle \sum_{i=1}^n c = nc$
Sifat 2: Pengabaian Konstanta 
Jika $c$ bilangan real (konstanta) dan $a_i$ rumus suatu barisan bilangan, maka berlaku $\displaystyle \sum_{i=1}^n ca_i = c\sum_{i=1}^n a_i$
Sifat 3: Kelinearan
Jika $a_i$ dan $b_i$ menyatakan rumus suatu barisan bilangan, maka berlaku
$\displaystyle \sum_{i=1}^n (a_i \pm b_i ) =
\sum_{i=1}^n a_i \pm \sum_{i=1}^n b_i$
Sifat 4: Kekontinuan Nilai
Jika $m$ bilangan bulat dengan $1 < m < n$ dan $a_i$ menyatakan rumus suatu barisan bilangan, maka berlaku
$\displaystyle \sum_{i=1}^n a_i = \sum_{i=1}^m a_i + \sum_{i=m+1}^n a_i$
Sifat 5: Keseimbangan Batasan
Jika $m, p$ bilangan bulat dengan $m, p \geq 1$ serta $a_i$ menyatakan rumus suatu barisan bilangan, maka berlaku
$\displaystyle \sum_{i = m}^n a_i = \sum_{i = m+p}^{n+p} a_{i – p}$
Kelima sifat notasi sigma di atas selanjutnya dapat diperluas konteksnya sampai pada bilangan bulat.

Beberapa rumus operasi sumasi (deret) yang banyak dipakai untuk menyelesaikan soal.

Rumus Operasi Sumasi (Deret)

$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{k=1}^n k & = \dfrac{n(n+1)}{2} \\ \sum_{k=1}^n k^2 & = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} \\ \sum_{k=1}^n k^3 & = \left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^2 \end{aligned}$

Untuk memantapkan pemahaman mengenai notasi sigma, berikut disajikan beberapa soal beserta pembahasannya. Semoga bermanfaat!

Today Quote

Ketika rasa ingin menyerah menghampiri, ingatlah sudah seberapa jauh Anda berjuang untuk tidak menyerah sebelum-sebelumnya.

Soal Nomor 1
Nilai dari $\displaystyle \sum_{k=1}^4 (k^2+2k) = \cdots \cdot$
A. $30$                     D. $60$
B. $40$                     E. $80$
C. $50$

Penyelesaian

Dengan menggunakan sifat operasi sumasi, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{k=1}^4 (k^2+2k) & = \sum_{k=1}^4 k^2 + \sum_{k=1}^4 2k && (\text{Sifat}~3) \\ & = \sum_{k=1}^4 k^2 + 2 \sum_{k=1}^4 k && (\text{Sifat}~2) \\ & = (1^2+2^2+3^2+4^2) + 2(1+2+3+4) \\ & = (1+4+9+16)+2(10) \\ & = 30+20 = 50 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \sum_{k=1}^4 (k^2+2k) = 50}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 2
Nilai dari $\displaystyle \sum_{i=4}^{51} (4i-5)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $5.030$                       D. $5.060$
B. $5.040$                       E. $5.070$
C. $5.050$

Penyelesaian

Gunakan sifat/rumus operasi sumasi berikut. 
$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{i=1}^n c & = cn \\ \sum_{i = 1}^n i & = 1+2+3+\cdots+n = \dfrac{n(n+1)} {2} \end{aligned}$
Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{i=4}^{51} (4i-5) & = 4 \sum_{i=4}^{51} i -\sum_{i=4}^{51} 5 \\ & = 4 \left(\sum_{i=1}^{51} i- \sum_{i=1}^3 i\right) -\left(\sum_{i=1}^{51} 5 -\sum_{i=1}^3 5\right) \\ & = 4\left(\dfrac{51 \times \cancelto{26}{52}}{\cancel{2}} -\dfrac{3 \times \cancelto{2}{4}}{\cancel{2}}\right) -[5(51) -5(3)] \\ & = 4(51 \times 26 -3 \times 2) -240 \\ & = 4(1.326 -6) -240 \\ & = 5.040 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \sum_{i=4}^{51} (4i-5) = 5.040}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 3
Ubahlah bentuk berikut ke dalam notasi sigma.
a. $x -x^3 + x^5 -x^7 + x^9$
b. $-2 + 5 -8 + 11 -14 + 17 -20$

Penyelesaian

Jawaban a)
Tampak bahwa perubahan terjadi pada pangkat $x$, dengan pola bilangan ganjil. Dengan kata lain, $1, 3, 5, 7, 9$ merupakan barisan aritmetika dengan $a=1$ dan $b=2$, sehingga
$\begin{aligned} \text{U}_n & = a + (n-1)b \\ & = 1 + (n-1)(2) \\ & = 2n -1 \end{aligned}$
Perhatikan juga bahwa suku demi suku bersilang tanda (plus minus plus minus), sehingga dimunculkan bentuk $(-1)^{n+1}$ untuk $n$ ganjil pada suku pertama. Batas bawah notasi sigma bernilai $1$, sedangkan batas atasnya didapat dari banyaknya suku, yaitu $5$, sehingga 
$\boxed{x -x^3 + x^5 -x^7 + x^9 = \displaystyle \sum_{n=1}^5 (-1)^{n+1}x^{2n-1}}$
Jawaban b)
Asumsikan deretnya berbentuk:
$2 + 5 + 8 + 11+14+17+20$
Deret di atas merupakan deret aritmetika dengan $a = 2$ dan $b = 3$, sehingga rumus suku ke-$n$ dinyatakan oleh
$\begin{aligned} \text{U}_n & = a + (n-1)b \\ & = 2 + (n-1)(3) \\ & = 3n -1 \end{aligned}$
Perhatikan juga bahwa suku demi suku bersilang tanda (minus plus minus plus), sehingga dimunculkan bentuk $(-1)^n$ untuk $n$ ganjil pada suku pertama. Batas bawah notasi sigma bernilai $1$, sedangkan batas atasnya didapat dari banyaknya suku, yaitu $7$, sehingga 
$\boxed{\begin{aligned} -2 + 5 -8 + 11 -& 14 + 17 -20 \\ & = \displaystyle \sum_{n=1}^7 (-1)^n(3n-1) \end{aligned}}$

[collapse]

Soal Nomor 4
Notasi sigma untuk menyatakan $2-6 + 10-14 + 18-\cdots + 130-134$ 
adalah $\cdots \cdot$
A. $ \displaystyle \sum_{k=1}^{34} (-1)^k2k$
B. $\displaystyle \sum_{k=1}^{34} (-1)^k(2(k+1))$
C. $\displaystyle \sum_{k=1}^{34} (-1)^{k+1} (3k-1)$
D. $\displaystyle \sum_{k=1}^{34} (-2)^k$
E. $\displaystyle \sum_{k=1}^{34}(-1)^{k+1}(4k-2)$

Penyelesaian

Deret tersebut terbentuk dari barisan aritmetika: $2, 6, 10, 14, 18, \cdots, 134$
Diketahui suku pertamanya $a=2$ dan beda antarsuku $b = 4$, sehingga
$\begin{aligned} \text{U}_n & = a + (n-1)b \\ & = 2 + (n-1)(4) = 4n -2 \end{aligned}$
Banyaknya suku pada barisan itu adalah
$134 = 4n – 2 \Leftrightarrow n = \dfrac{134+2}{4} = 34$
Barisan baru: $2, -6, 10, -14, \cdots, -134$
Karena untuk setiap suku genap, nilai suku pada barisan bernilai negatif, maka rumus suku ke-$n$ berubah menjadi
$\text{U}_n = (-1)^{n+1}(4n-2)$
Dengan demikian, notasi sigma dari deret yang terbentuk adalah $\boxed{\displaystyle \sum_{k=1}^{34} (-1)^{k+1}(4k-2)}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 5
Notasi sigma dari deret $-3-1+1+3+5+7+\cdots+25$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\displaystyle \sum_{n=1}^{30} (2n-5)$                    D. $\displaystyle \sum_{n=1}^{22} (2n-3)$
B. $\displaystyle \sum_{n=1}^{15} (2n-5)$                    E. $\displaystyle \sum_{n=1}^{20} (2^n-5)$
C. $\displaystyle \sum_{n=1}^{15} (2^n-3)$

Penyelesaian

Tinjau barisan aritmetika:
$-3, -1, 1, 3, 5, 7, \cdots, 25$ 
Diketahui: $a=-3$ dan $b=2$
Rumus suku ke-$n$ barisan di atas adalah
$\begin{aligned} \text{U}_n &= a + (n-1)b \\ & = -3 + (n-1)(2) \\ & = 2n -5 \end{aligned}$
Banyaknya suku pada barisan tersebut dinyatakan oleh
$25= 2n – 5 \Leftrightarrow n = \dfrac{25+5}{2} = 15$
Dengan demikian, notasi sigma dari deret $-3-1+1+3+5+7+\cdots+25$ adalah $\boxed{\displaystyle \sum_{n=1}^{15} (2n-5)} $
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 6
Notasi sigma yang ekuivalen dengan $\displaystyle \sum_{k=5}^{9} (2k-5)^2$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\displaystyle \sum_{k=1}^{5} (2k-5)^2$
B. $\displaystyle \sum_{k=1}^{5} (2k-3)^2$
C. $\displaystyle \sum_{k=1}^{5} 2k^2 + 5 \sum_{k=1}^5 (2k+1)$
D. $\displaystyle 4 \sum_{k=1}^{5} k^2 + 3 \sum_{k=1}^5 (4k+3)$
E. $\displaystyle 4 \sum_{k=1}^{5} k^2 + \sum_{k=1}^5 (4k+3)$

Penyelesaian

Gunakan sifat operasi sumasi berikut. 
$\boxed{\displaystyle \sum_{i = k}^n f(i) = \sum_{i = k + a}^{n + a} f(i -a)}$ 
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{k=5}^{9} (2k-5)^2 & = \sum_{k=5-4}^{9-4} (2(k+4)-5)^2 \\ & = \sum_{k=1}^5 (2k + 3)^2 \\ & = \sum_{k=1}^5 (4k^2 + 12x + 9) \\ & = \sum_{k=1}^5 (4k^2) + \sum_{k=1}^5 (12x + 9) \\ & = 4 \sum_{k=1}^5 k^2 + 3 \sum_{k=1}^5 (4x+3) \end{aligned}$
Jadi, Notasi sigma yang ekuivalen dengan $\displaystyle \sum_{k=5}^{9} (2k-5)^2$ adalah $\boxed{4 \sum_{k=1}^5 k^2 + 3 \sum_{k=1}^5 (4x+3)}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 7
Diketahui $\displaystyle \sum_{i=6}^{25} p_i = 10$. Nilai $\displaystyle \sum_{i=6}^{25} (2+p_i) = \cdots \cdot$
A. $50$                       C. $70$                   E. $90$
B. $60$                       D. $80$       

Penyelesaian

Gunakan sifat operasi sumasi berikut. 
$\boxed{\displaystyle \sum_{i=1}^n c = cn}$
Dengan demikian, kita peroleh
$\begin{aligned}\displaystyle \sum_{i=6}^{25} (2+p_i) & = \sum_{i=6}^{25} 2 + \sum_{i=6}^{25} p_i \\ & = \left(\sum_{i=1}^{25} 2 -\sum_{i=1}^{5} 2\right)+ \sum_{i=6}^{25} p_i \\ & = (2(25) -2(5)) + 10 \\ & = 40 + 10 = 50 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \sum_{i=6}^{25} (2+p_i) = 50}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 8
Bentuk $\displaystyle \sum_{n=1}^{10} (n^2-4)$ bila diubah ke dalam notasi sigma dengan batas atas $7$ menjadi $\cdots \cdot$
A. $\displaystyle \sum_{n=2}^{7} (n^2+7)$
B. $\displaystyle \sum_{n=2}^{7} (n^2-7)$
C. $\displaystyle \sum_{n=2}^{7} (n^2-4)$
D. $\displaystyle \sum_{n=2}^{7} (n^2+6n+13)$
E. $\displaystyle \sum_{n=-2}^{7} (n^2+6n+5)$

Penyelesaian

Gunakan sifat operasi sumasi berikut. 
$\boxed{\displaystyle \sum_{i = k}^n f(i) = \sum_{i = k + a}^{n + a} f(i -a)}$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{n=1}^{10} (n^2-4) & = \sum_{n=1-3}^{10-3} ((n+3)^2-4) \\ & = \sum_{n=-2}^7 (n^2+6n+5) \end{aligned}$
Jadi, bentuk $\displaystyle \sum_{n=1}^{10} (n^2-4)$ bila diubah ke dalam notasi sigma dengan batas atas 7 menjadi $\boxed{\displaystyle \sum_{n=-2}^{7} (n^2+6n+5)}$ 
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 9
Nilai $\displaystyle \sum_{k=1}^{p} (4k-15)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $4p^2-23p$                     D. $2p^2-13p$
B. $4p^2-13p$                     E. $2p^2-11p$
C. $2p^2-26p$

Penyelesaian

Gunakan sifat/rumus operasi sumasi berikut. 
$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{i=1}^n c & = cn \\ \sum_{i = 1}^n i & = 1+2+3+\cdots+n = \dfrac{n(n+1)} {2} \end{aligned}$ 
Dengan demikian, kita peroleh
$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{k=1}^{p} (4k-15) & = 4 \sum_{k=1}^p k- \sum_{k=1}^p 15 \\ & = \cancelto{2}{4} \cdot \dfrac{p(p+1)} {\cancel{2}} -15p \\ & = 2p(p+1) – 15p \\ & = 2p^2 -13p \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \sum_{k=1}^{p} (4k-15) = 2p^2-13p}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 10
Bentuk lain dari $\displaystyle \sum_{n=1}^{30} (n^2+1) = \cdots \cdot$
A. $\displaystyle \sum_{n=1}^{15} (2n^2+30n+224)$
B. $\displaystyle \sum_{n=1}^{15} (2n^2+30n+225)$
C. $\displaystyle \sum_{n=1}^{15} (2n^2+30n+226)$
D. $\displaystyle \sum_{n=1}^{15} (2n^2+30n+227)$
E. $\displaystyle \sum_{n=1}^{15} (2n^2+30n+230)$

Penyelesaian

Dengan menggunakan sejumlah sifat-sifat operasi sumasi, diperoleh
$\begin{aligned} & \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (n^2+1) \\ & = \sum_{n=1}^{15} (n^2+1) + \sum_{n=16}^{30} (n^2+1) \\ & = \sum_{n=1}^{15} (n^2+1) + \sum_{n=1}^{15} [(n+15)^2+1] \\ & = \sum_{n=1}^{15} (n^2+1 + (n+15)^2 + 1) \\ & = \sum_{n=1}^{15} (n^2+1 + (n^2+30n+225) + 1) \\ & = \sum_{n=1}^{15} (2n^2+30n+227) \end{aligned}$
Jadi, bentuk lain dari $\boxed{\displaystyle \sum_{n=1}^{30} (n^2+1) = \sum_{n=1}^{15} (2n^2+30n+227)}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 11
Diketahui bentuk penjumlahan dua buah notasi sigma $\displaystyle \sum_{p=1}^7 \dfrac{p^2+1}{p+1} + \sum_{p=-1}^5 (p+1)$. Jika dituliskan dalam satu buah notasi sigma, maka hasilnya adalah $\cdots \cdot$
A. $\displaystyle \sum_{p=1}^7 \dfrac{2p}{2p^2+1}$
B. $\displaystyle \sum_{p=1}^7 \dfrac{2p}{2p+1}$
C. $\displaystyle \sum_{p=1}^7 \dfrac{2}{p+1}$
D. $\displaystyle \sum_{p=1}^7 \dfrac{2p^2}{p+1}$
E. $\displaystyle \sum_{p=1}^7 \dfrac{2p}{p+1}$

Penyelesaian

Dengan menggunakan sifat operasi sumasi, diperoleh
$$\begin{aligned} & \displaystyle \sum_{p=1}^7 \dfrac{p^2+1}{p+1} + \sum_{p=-1}^5 (p+1) \\ & = \sum_{p=1}^7 \dfrac{p^2+1}{p+1} + \sum_{p=-1+2}^{5+2} ((p-2)+1) && (\text{S}5) \\ & = \sum_{p=1}^7 \dfrac{p^2+1}{p+1} + \sum_{p=1}^{7} (p-1) \\ & = \sum_{p=1}^7 \left(\dfrac{p^2+1}{p+1} + (p-1)\right) && (\text{S}3) \\ & = \sum_{p=1}^7 \left(\dfrac{(p^2+1)+(p-1)(p+1)}{p+1}\right) \\ & = \sum_{p=1}^7 \dfrac{(p^2+1)+(p^2-1)}{p+1} \\ & = \sum_{p=1}^7 \dfrac{2p^2}{p+1} \end{aligned}$$Jadi, bentuk $\displaystyle \sum_{p=1}^7 \dfrac{p^2+1}{p+1} + \sum_{p=-1}^5 (p+1)$ jika dituliskan dalam satu buah notasi sigma adalah $\boxed{\sum_{p=1}^7 \dfrac{2p^2}{p+1}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 12
Diketahui $S = \displaystyle \sum_{i=1}^n \left(\dfrac{1}{4i^2-1}\right)$
Nilai $S$ bila dinyatakan dalam $n$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{n}{2n+1}$                     D. $\dfrac{n}{2n-1}$
B. $\dfrac{1}{4n^2-1}$                   E. $\dfrac{2n-1}{2n+1}$
C. $\dfrac{2n}{2n+1}$

Penyelesaian

Dekomposisikan bentuk $\dfrac{1}{4i^2-1}$ terlebih dahulu.
$\begin{aligned} \dfrac{1}{4i^2-1} & = \dfrac{1}{(2i+1)(2i-1)} \\ & = \dfrac{A}{2i+1} + \dfrac{B}{2i-1} \\ & = \dfrac{A(2i-1) + B(2i+1)}{(2i+1)(2i-1)} \end{aligned}$
Dari sini, diperoleh
$A(2i-1)+B(2i+1) = 1$
Misalkan $i = -\dfrac12$, sehingga
$$\begin{aligned} A\left(2\left(-\dfrac12\right)-1\right) + B\left(2\left(-\dfrac12\right)+1\right) & = 1 \\ A(-2) + B(0) & = 1 \\ A & = -\dfrac12 \end{aligned}$$ Misalkan $i = \dfrac12$, sehingga
$\begin{aligned} A\left(2\left(\dfrac12\right)-1\right) + B\left(2\left(\dfrac12\right)+1\right) & = 1 \\ A(0) + B(2) & = 1 \\ B & = \dfrac12 \end{aligned}$
Untuk itu, dapat ditulis
$\begin{aligned} \dfrac{1}{4i^2-1} & = \dfrac{1}{(2i+1)(2i-1)} \\ & = \dfrac{-\frac12}{2i+1} + \dfrac{\frac12}{2i-1} \\ & = \dfrac12 \left(\dfrac{1}{2i-1}- \dfrac{1}{2i+1}\right) \end{aligned}$
Kembali ke dalam bentuk notasi sigma, lalu terapkan Prinsip Teleskopik.
$$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{i=1}^n \left(\dfrac{1}{4i^2-1}\right) & = \sum_{i=1}^n \left(\dfrac{1}{(2i+1)(2i-1)}\right) \\ & =\sum_{i=1}^n \dfrac12\left(\dfrac{1}{2i-1}- \dfrac{1}{2i+1}\right) \\ & = \dfrac12\left(\left(1- \cancel{\dfrac13}\right) + \left(\cancel{\dfrac13 – \dfrac15}\right) + \cdots + \left(\cancel{\dfrac{1}{2n-1}} -\dfrac{1}{2n+1}\right)\right) \\ & = \dfrac12 \left(1 -\dfrac{1}{2n+1}\right) \\ & = \dfrac12\left(\dfrac{2n}{2n+1}\right) \\ & = \dfrac{n}{2n+1} \end{aligned}$$Jadi, nilai $S$ bila dinyatakan dalam $n$ adalah $\boxed{\dfrac{n}{2n+1}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 13
Mean dari nilai $1, 2, 3, \cdots, n$ dengan masing-masing frekuensi $x, 2x, 3x, \cdots, nx$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{n-1}{2}$                      D. $\dfrac{2n+1}{6}$
B. $\dfrac{n}{2}$                              E. $\dfrac{2n+1}{3}$
C. $\dfrac{n+1}{2}$

Penyelesaian

Mean (rata-rata) dihitung dengan cara membagi jumlah nilai terhadap total frekuensi. Rata-ratanya dinyatakan oleh
$\begin{aligned} \overline{x} & = \dfrac{1(x) + 2(2x) + 3(3x) + \cdots + n(nx)}{x+2x+3x+\cdots+nx} \\ & = \dfrac{\cancel{x}(1 + 4 + 9 + \cdots + n^2)}{\cancel{x}(1+2+3+\cdots+n)} \\ & = \dfrac{\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2}{\displaystyle \sum_{k=1}^n k} \\ & = \dfrac{\bcancel{n(n+1)}(2n+1)}{\cancelto{3}{6}} \times \dfrac{\cancel{2}}{\bcancel{n(n+1)}} \\ & = \dfrac{2n+1}{3} \end{aligned}$
Jadi, mean dari data yang diberikan itu adalah $\boxed{\dfrac{2n+1}{3}}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 14
Untuk $n$ bilangan asli, deret berhingga $\displaystyle \sum_{k=1}^n (k-50)$ akan bernilai lebih besar dari $50$ jika $\cdots \cdot$
A. $n \geq 100$                     D. $1 \leq n \leq 101$
B. $n \geq 101$                     E. $1 < n < 101$
C. $n = 100$

Penyelesaian

Pertidaksamaan berikut diberlakukan.
$\displaystyle \sum_{k=1}^n (k-50) > 50$
Dengan menggunakan sifat operasi sigma, diperoleh
$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{k=1}^n k – \sum_{k=1}^n 50 & > 50 \\ \dfrac{n(n+1)}{2} – 50n & > 50 \\ n^2 + n – 100n & > 100 \\ n^2-99n-100 & > 0 \\ (n + 1)(n -100) & > 0 \end{aligned}$
Pembuat nol dari pertidaksamaan terakhir adalah $n = -1$ atau $n = 100$. Karena bertanda lebih besar dari, maka penyelesaiannya adalah $n < -1~\text{atau}~n > 100$
Karena $n$ tidak mungkin bernilai kurang dari $1$ (batas bawah notasi sigma), maka penyelesaiannya menjadi $n > 100$, atau ekuivalen dengan $n \geq 101$, dengan $n$ bilangan bulat.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 15
Notasi sigma yang ekuivalen dengan $\displaystyle 2 \sum_{k=1}^n k(2k+5) +2 \sum_{k=1}^n (k+3) + 3n$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\displaystyle \sum_{k=1}^n (4k^2+12k+3)$
B. $\displaystyle \sum_{k=1}^n (4k^2+10k+3)$
C. $\displaystyle \sum_{k=1}^n k(4k+9)$ 
D. $\displaystyle \sum_{k=1}^n (4k+3)^2$
E. $\displaystyle \sum_{k=1}^n (2k+3)^2$

Penyelesaian

Dengan menggunakan sifat operasi sumasi, diperoleh
$\begin{aligned} & \displaystyle 2 \sum_{k=1}^n k(2k+5) + \sum_{k=1}^n (k+3) + 3n \\ & = \sum_{k=1}^n (4k^2+10k) + \sum_{k=1}^n (2k+6) + \sum_{k=1}^n 3 \\ & = \sum_{k=1}^n ((4k^2+10k)+(2k+6)+3) \\ & = \sum_{k=1}^n (4k^2+12k+9) \\ & = \sum_{k=1}^n (2k+3)^2 \end{aligned}$
Jadi, notasi sigma yang ekuivalen dengan $\displaystyle 2 \sum_{k=1}^n k(2k+5) + 2 \sum_{k=1}^n (k+3) + 3n$ adalah $\boxed{\sum_{k=1}^n (2k+3)^2}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 16
Hasil dari $\displaystyle \sum_{n=4}^5 \dfrac{n^2-5n+6}{n^2-4n+4} + \sum_{n=6}^7 \dfrac{n^2-5n+6}{n^2-4n+4}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{169}{60}$                 D. $\dfrac{160}{60}$
B. $\dfrac{166}{60}$                 E. $\dfrac{157}{60}$
C. $\dfrac{163}{60}$

Penyelesaian

Karena rumus barisan pada notasi sigmanya sama, maka bentuk notasinya dapat langsung digabungkan dengan menerapkan sifat operasi sumasi.
$\begin{aligned} & \displaystyle \sum_{n=4}^5 \dfrac{n^2-5n+6}{n^2-4n+4} + \sum_{n=6}^7 \dfrac{n^2-5n+6}{n^2-4n+4} \\ & = \sum_{n=4}^7 \dfrac{n^2-5n+6}{n^2-4n+4} \\ & = \sum_{n=4}^7 \dfrac{\cancel{(n-2)}(n-3)}{\cancel{(n-2)}(n-2)} \\ & = \sum_{n=4}^7 \dfrac{n-3}{n-2} \\ & = \dfrac{4-3}{4-2} + \dfrac{5-3}{5-2} + \dfrac{6-3}{6-2} + \dfrac{7-3}{7-2} \\ & = \dfrac12+\dfrac23+\dfrac34+\dfrac45 \\ & = \dfrac{1(30)+2(20)+3(15)+4(12)}{60} \\ & = \dfrac{163}{60} \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $$\boxed{\displaystyle \sum_{n=4}^5 \dfrac{n^2-5n+6}{n^2-4n+4} + \sum_{n=6}^7 \dfrac{n^2-5n+6}{n^2-4n+4} = \dfrac{163}{60}}$$(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 17
Hasil dari $\displaystyle \sum_{p = 1}^{n} (3p-2)(2p+1)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac14n(4n^2+5n-3)$
B. $\dfrac12n(4n^2+5n-3)$
C. $4n^3+5n^2-3n$
D. $8n^3+10n^2-6n$
E. $16n^3+20n^2-12n$

Penyelesaian

Gunakan sifat-sifat notasi sigma dan rumus operasi sigma.
$$\begin{aligned} & \displaystyle \sum_{p = 1}^{n} (3p-2)(2p+1) \\ & = \sum_{p=1}^n (6p^2-p-2) \\ & = 6 \sum_{p=1}^n p^2-\sum_{p=1}^n p-\sum_{p=1}^n 2 \\ & =\cancelto{2}{6}\left(\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{\cancelto{2}{6}}\right)- \dfrac{n(n+1)}{2} -2n \\ & = \dfrac{2n(2n^2+3n+1)}{2}-\dfrac{n^2+n}{2}-\dfrac{4n}{2} \\ & = \dfrac{4n^3+6n^2+2n-n^2-n-4n}{2} \\ & = \dfrac{4n^3 + 5n^2-3n}{2} \\ & = \dfrac12n(4n^2+5n-3) \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $$\boxed{\displaystyle \sum_{p = 1}^{n} (3p-2)(2p+1) = \dfrac12n(4n^2+5n-3)}$$(Jawaban B)

[collapse]

Bagian Esai

Soal Nomor 18
Nyatakan operasi sigma berikut dalam satu notasi sigma.
a. $\displaystyle \sum_{a=1}^n (a^2+1)-\sum_{a=3}^{n+2} (3a-5)$
b. $\displaystyle \sum_{k=4}^n (k+2) + \sum_{k = n+3}^{15} k$

Penyelesaian

Jawaban a)
Pada bentuk pengurangan dua suku yang melibatkan notasi sigma, notasi sigmanya dapat disatukan apabila batas atas dan batas bawahnya sama.
$\begin{aligned} & \displaystyle \sum_{a=1}^n (a^2+1) -\sum_{a=3}^{n+2} (3a-5) \\ & = \sum_{a=1}^n (a^2+1) -\sum_{a=3-2}^{n+2-2} (3(a+2)-5) \\ & = \sum_{a=1}^n (a^2+1)-\sum_{a=1}^{n} (3a+1) \\ & = \sum_{a=1}^n ((a^2+1) -(3a+1)) \\ & = \sum_{a=1}^n (a^2 -3a) \end{aligned}$
Jadi, bentuk satu notasi sigmanya adalah $\boxed{\displaystyle \sum_{a=1}^n (a^2 -3a)}$
Jawaban b)
Dalam operasi sumasi/sigma, berlaku
$\displaystyle \sum_{k = 1}^n k + \sum_{k = n + 1}^m k = \sum_{k=1}^m k$
Untuk itu, dapat kita tulis
$\begin{aligned} & \displaystyle \sum_{k=4}^n (k+2) + \sum_{k = n+3}^{15} k \\ & = \sum_{k=4}^n (k+2) + \sum_{k = n+3-2}^{15-2} (k+2) \\ & = \sum_{k=4}^n (k+2) + \sum_{k = n+1}^{13} (k+2) \\ & = \sum_{k=4}^{13} (k+2) \end{aligned}$
Jadi, bentuk satu notasi sigmanya adalah $\boxed{\displaystyle \sum_{k=4}^{13} (k+2)}$.

[collapse]

Soal Nomor 19
Nyatakan deret berikut dalam notasi sigma.
$$\begin{aligned} & \text{a)}. -2+1+6+13+22+\cdots+397 \\ & \text{b)}. ^a \log \dfrac{1}{x} + ^a \log \dfrac{1}{x^2} + ^a \log \dfrac{1}{x^3} + \cdots + ^a \log \dfrac{1}{x^{15}} \end{aligned}$$

Penyelesaian

Jawaban a)
Ubah deret ke dalam bentuk barisan, yaitu $-2, 1, 6, 13, 22, \cdots, 397$
Tinjau barisan bilangan kuadrat:
$1, 4, 9, 16, 25, \cdots$
yang memiliki rumus suku ke-$n$ 
$\text{U}_n = n^2$
Dengan membandingkan nilai tiap suku pada kedua barisan itu, kita dapatkan bahwa suku pada barisan semula merupakan tiga kurangnya dari suku yang berpadanan pada barisan bilangan kuadrat, sehingga rumus suku ke-$n$ pada barisan
$-2, 1, 6, 13, 22, \cdots, 397$
adalah $\text{U}_n = n^2 -3$
Suku terakhir adalah suku ke-$20$ karena
$\begin{aligned} 397 & = n^2 -3 \\ 400 & = n^2 \\ n & = \sqrt{400} = 20 \end{aligned}$
Untuk itu, notasi sigma dari deret di atas adalah
$\displaystyle \sum_{n=1}^{20} (n^2-3)$
Jawaban b)
Perhatikanlah bahwa setiap suku pada deret $$^a \log \dfrac{1}{x} + ^a \log \dfrac{1}{x^2} + ^a \log \dfrac{1}{x^3} + \cdots + ^a \log \dfrac{1}{x^{15}}$$ berubah pada nilai pangkat $x$ saja, yakni $1, 2, 3, \cdots, 15$, yang merupakan barisan aritmetika dengan rumus suku ke-$n$: $\text{U}_n = n$.
Dengan demikian, bentuk notasi sigma dari deret tersebut adalah
$\boxed{\displaystyle \sum_{n = 1}^{15} \left(^a \log \dfrac{1}{x^n}\right)}$

[collapse]

Soal Nomor 20
Buktikan bahwa
$\displaystyle \sum_{n=1}^9 (2n-3) = 3 \sum_{n=1}^3 (2n+3)$

Penyelesaian

Pembuktian dari ruas kiri:
$$\begin{aligned}\displaystyle \sum_{n=1}^9 (2n-3) & = \sum_{n=1}^3 (2n-3) + \sum_{n=4}^6 (2n-3) + \sum_{n=7}^9 (2n-3) \\ & = \sum_{n=1}^3 (2n-3) + \sum_{n=4-3}^{6-3} (2(n+3)-3) + \sum_{n=7-6}^{9-6} (2(n+6)-3) \\ & = \sum_{n=1}^3 (2n-3) + \sum_{n=1}^3 (2n+3) + \sum_{n=1}^3 (2n+9) \\ & = \sum_{n=1}^3 ((2n-3)+(2n+3)+(2n+9)) \\ & = \sum_{n=1}^3 (6n+9) \\ & = \sum_{n=1}^3 3(2n+3) \\ & = 3 \sum_{n=1}^3 (2n+3) \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $\boxed{\displaystyle \sum_{n=1}^9 (2n-3) = 3 \sum_{n=1}^3 (2n+3)}$

[collapse]

Soal Nomor 21 ($\bigstar$)
Tentukan nilai dari $\dfrac{1}{2015!} + \displaystyle \sum_{k=1}^{2014} \dfrac{k}{(k+1)!}$

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} \dfrac{1}{k!}-\dfrac{1}{(k+1)!} & = \dfrac{(k+1)!-k!}{k!(k+1)!} \\ & = \dfrac{k!((k+1)-1)}{k!(k+1)!} \\ & = \dfrac{\cancel{k!} \cdot k}{\cancel{k!} \cdot (k+1)!} \\ & = \dfrac{k}{(k+1)!} \end{aligned}$
Dengan menggunakan sifat ini, kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{1}{2015!} + \displaystyle \sum_{k=1}^{2014} \dfrac{k}{(k+1)!} & = \dfrac{1}{2015!} + \sum_{k=1}^{2014} \left(\dfrac{1}{k!}-\dfrac{1}{(k+1)!}\right) \\ & = \dfrac{1}{2015!} + \left(\dfrac{1}{1!}-\dfrac{1}{(1+1)!}\right)+\left(\dfrac{1}{2!}-\dfrac{1}{(2+1)!}\right)+\cdots+\left(\dfrac{1}{2014!}-\dfrac{1}{(2014+1)!}\right) \\ & = \dfrac{1}{2015!} + \left(\dfrac{1}{1!}-\cancel{\dfrac{1}{2!}}\right)+\left(\cancel{\dfrac{1}{2!}}-\cancel{\dfrac{1}{3!}}\right)+\cdots+\left(\cancel{\dfrac{1}{2014!}}-\dfrac{1}{2015!}\right) \\ & = \dfrac{1}{2015!} + \dfrac{1}{1!}-\dfrac{1}{2015!} = 1 \end{aligned}$$Catatan: Dalam prosedur di atas, kita menerapkan prinsip teleskopik, yaitu suku-sukunya dibuat saling menghilangkan.
(Jawaban B)

[collapse]

CategoriesBarisan dan Deret, Notasi SigmaTags, , , , ,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *