Soal dan Pembahasan – Notasi Sigma

Dengan menggunakan sejumlah sifat-sifat operasi sumasi, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{n=1}^{30} (n^2+1) & = \sum_{n=1}^{15} (n^2+1) + \sum_{n=16}^{30} (n^2+1) \\ & = \sum_{n=1}^{15} (n^2+1) + \sum_{n=1}^{15} [(n+15)^2+1] \\ & = \sum_{n=1}^{15} (n^2+1 + (n+15)^2 + 1) \\ & = \sum_{n=1}^{15} (n^2+1 + (n^2+30n+225) + 1) \\ & = \sum_{n=1}^{15} (2n^2+30n+227). \end{aligned}$$Jadi, bentuk lain dari $\boxed{\displaystyle \sum_{n=1}^{30} (n^2+1) = \sum_{n=1}^{15} (2n^2+30n+227)}$
(Jawaban D)

Dengan menggunakan sifat operasi sumasi, diperoleh
$$\begin{aligned} & \displaystyle \sum_{p=1}^7 \dfrac{p^2+1}{p+1} + \sum_{p=-1}^5 (p+1) \\ & = \sum_{p=1}^7 \dfrac{p^2+1}{p+1} + \sum_{p=-1+2}^{5+2} ((p-2)+1) && (\text{S}5) \\ & = \sum_{p=1}^7 \dfrac{p^2+1}{p+1} + \sum_{p=1}^{7} (p-1) \\ & = \sum_{p=1}^7 \left(\dfrac{p^2+1}{p+1} + (p-1)\right) && (\text{S}3) \\ & = \sum_{p=1}^7 \left(\dfrac{(p^2+1)+(p-1)(p+1)}{p+1}\right) \\ & = \sum_{p=1}^7 \dfrac{(p^2+1)+(p^2-1)}{p+1} \\ & = \sum_{p=1}^7 \dfrac{2p^2}{p+1}. \end{aligned}$$Jadi, bentuk $\displaystyle \sum_{p=1}^7 \dfrac{p^2+1}{p+1} + \sum_{p=-1}^5 (p+1)$ jika dituliskan dalam satu buah notasi sigma adalah $\boxed{\sum_{p=1}^7 \dfrac{2p^2}{p+1}}$
(Jawaban D)

Dekomposisikan bentuk $\dfrac{1}{4i^2-1}$ terlebih dahulu.
$\begin{aligned} \dfrac{1}{4i^2-1} & = \dfrac{1}{(2i+1)(2i-1)} \\ & = \dfrac{A}{2i+1} + \dfrac{B}{2i-1} \\ & = \dfrac{A(2i-1) + B(2i+1)}{(2i+1)(2i-1)} \end{aligned}$
Dari sini, diperoleh $A(2i-1)+B(2i+1) = 1.$
Misalkan $i = -\dfrac12$ sehingga
$$\begin{aligned} A\left(2\left(-\dfrac12\right)-1\right) + B\left(2\left(-\dfrac12\right)+1\right) & = 1 \\ A(-2) + B(0) & = 1 \\ A & = -\dfrac12. \end{aligned}$$ Misalkan $i = \dfrac12$ sehingga
$$\begin{aligned} A\left(2\left(\dfrac12\right)-1\right) + B\left(2\left(\dfrac12\right)+1\right) & = 1 \\ A(0) + B(2) & = 1 \\ B & = \dfrac12. \end{aligned}$$Untuk itu, dapat ditulis
$$\begin{aligned} \dfrac{1}{4i^2-1} & = \dfrac{1}{(2i+1)(2i-1)} \\ & = \dfrac{-\frac12}{2i+1} + \dfrac{\frac12}{2i-1} \\ & = \dfrac12 \left(\dfrac{1}{2i-1}- \dfrac{1}{2i+1}\right) \end{aligned}$$Kembali ke dalam bentuk notasi sigma, lalu terapkan Prinsip Teleskopik.
$$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{i=1}^n \left(\dfrac{1}{4i^2-1}\right) & = \sum_{i=1}^n \left(\dfrac{1}{(2i+1)(2i-1)}\right) \\ & =\sum_{i=1}^n \dfrac12\left(\dfrac{1}{2i-1}- \dfrac{1}{2i+1}\right) \\ & = \dfrac12\left(\left(1- \cancel{\dfrac13}\right) + \left(\cancel{\dfrac13 – \dfrac15}\right) + \cdots + \left(\cancel{\dfrac{1}{2n-1}} -\dfrac{1}{2n+1}\right)\right) \\ & = \dfrac12 \left(1 -\dfrac{1}{2n+1}\right) \\ & = \dfrac12\left(\dfrac{2n}{2n+1}\right) \\ & = \dfrac{n}{2n+1} \end{aligned}$$Jadi, nilai $S$ bila dinyatakan dalam $n$ adalah $\boxed{\dfrac{n}{2n+1}}$
(Jawaban A)

Mean (rata-rata) dihitung dengan cara membagi jumlah nilai terhadap total frekuensi. Rata-ratanya dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} \overline{x} & = \dfrac{1(x) + 2(2x) + 3(3x) + \cdots + n(nx)}{x+2x+3x+\cdots+nx} \\ & = \dfrac{\cancel{x}(1 + 4 + 9 + \cdots + n^2)}{\cancel{x}(1+2+3+\cdots+n)} \\ & = \dfrac{\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2}{\displaystyle \sum_{k=1}^n k} \\ & = \dfrac{\bcancel{n(n+1)}(2n+1)}{\cancelto{3}{6}} \times \dfrac{\cancel{2}}{\bcancel{n(n+1)}} \\ & = \dfrac{2n+1}{3}. \end{aligned}$$Jadi, rata-rata dari data yang diberikan itu adalah $\boxed{\dfrac{2n+1}{3}}$
(Jawaban E)

Pertidaksamaan berikut diberlakukan.
$\displaystyle \sum_{k=1}^n (k-50) > 50$
Dengan menggunakan sifat operasi sigma, diperoleh
$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{k=1}^n k – \sum_{k=1}^n 50 & > 50 \\ \dfrac{n(n+1)}{2} – 50n & > 50 \\ n^2 + n – 100n & > 100 \\ n^2-99n-100 & > 0 \\ (n + 1)(n -100) & > 0 \end{aligned}$
Pembuat nol dari pertidaksamaan terakhir adalah $n = -1$ atau $n = 100.$ Karena bertanda lebih besar dari, maka penyelesaiannya adalah $n < -1~\text{atau}~n > 100.$
Karena $n$ tidak mungkin bernilai kurang dari $1$ (batas bawah notasi sigma), maka penyelesaiannya menjadi $n > 100$, atau ekuivalen dengan $n \geq 101$, dengan $n$ bilangan bulat.
(Jawaban B)

Dengan menggunakan sifat $1, 2, 3, 5$ operasi sumasi, diperoleh
$$\begin{aligned} & \displaystyle \sum_{k=1}^{10} (2k^2+8k+13) \\ & = \sum_{k=3}^{12} (2(k-2)^2+8(k-2)+13) \\ & = \sum_{k=3}^{12} (2(k^2-4k+4)+8k-16+13) \\ & = \sum_{k=3}^{12} (2k^2+5) \\ & = 2 \sum_{k=3}^{12} k^2 + \sum_{k=3}^{12} 5 \\ & = 2 \sum_{k=3}^{12} k^2 + \sum_{k=1}^{10} 5 \\ & = 2 \sum_{k=3}^{12} k^2 + 10(5) \\ & = 50 + 2 \displaystyle \sum_{k=3}^{12} k^2 \end{aligned}$$Jadi, bentuk yang ekuivalen dengan notasi sigma tersebut adalah $\boxed{50 + 2 \displaystyle \sum_{k=3}^{12} k^2}$
(Jawaban D)

Dengan menggunakan sifat operasi sumasi, diperoleh
$$\begin{aligned} & \displaystyle 2 \sum_{k=1}^n k(2k+5) + \sum_{k=1}^n (k+3) + 3n \\ & = \sum_{k=1}^n (4k^2+10k) + \sum_{k=1}^n (2k+6) + \sum_{k=1}^n 3 \\ & = \sum_{k=1}^n ((4k^2+10k)+(2k+6)+3) \\ & = \sum_{k=1}^n (4k^2+12k+9) \\ & = \sum_{k=1}^n (2k+3)^2 \end{aligned}$$Jadi, notasi sigma yang ekuivalen dengan $\displaystyle 2 \sum_{k=1}^n k(2k+5) + 2 \sum_{k=1}^n (k+3) + 3n$ adalah $\boxed{\sum_{k=1}^n (2k+3)^2}$
(Jawaban E)

Karena rumus barisan pada notasi sigmanya sama, maka bentuk notasinya dapat langsung digabungkan dengan menerapkan sifat operasi sumasi.
$\begin{aligned} & \displaystyle \sum_{n=4}^5 \dfrac{n^2-5n+6}{n^2-4n+4} + \sum_{n=6}^7 \dfrac{n^2-5n+6}{n^2-4n+4} \\ & = \sum_{n=4}^7 \dfrac{n^2-5n+6}{n^2-4n+4} \\ & = \sum_{n=4}^7 \dfrac{\cancel{(n-2)}(n-3)}{\cancel{(n-2)}(n-2)} \\ & = \sum_{n=4}^7 \dfrac{n-3}{n-2} \\ & = \dfrac{4-3}{4-2} + \dfrac{5-3}{5-2} + \dfrac{6-3}{6-2} + \dfrac{7-3}{7-2} \\ & = \dfrac12+\dfrac23+\dfrac34+\dfrac45 \\ & = \dfrac{1(30)+2(20)+3(15)+4(12)}{60} \\ & = \dfrac{163}{60} \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $$\boxed{\displaystyle \sum_{n=4}^5 \dfrac{n^2-5n+6}{n^2-4n+4} + \sum_{n=6}^7 \dfrac{n^2-5n+6}{n^2-4n+4} = \dfrac{163}{60}}$$(Jawaban C)

Jawaban a)
Tampak bahwa perubahan terjadi pada pangkat $x$, dengan pola bilangan ganjil. Dengan kata lain, $1, 3, 5, 7, 9$ merupakan barisan aritmetika dengan $a=1$ dan $b=2$, sehingga
$\begin{aligned} \text{U}_n & = a + (n-1)b \\ & = 1 + (n-1)(2) \\ & = 2n -1 \end{aligned}$
Perhatikan juga bahwa suku demi suku bersilang tanda (plus minus plus minus), sehingga dimunculkan bentuk $(-1)^{n+1}$ untuk $n$ ganjil pada suku pertama. Batas bawah notasi sigma bernilai $1$, sedangkan batas atasnya didapat dari banyaknya suku, yaitu $5$ sehingga 
$$\boxed{x -x^3 + x^5 -x^7 + x^9 = \displaystyle \sum_{n=1}^5 (-1)^{n+1}x^{2n-1}}$$Jawaban b)
Asumsikan deretnya berbentuk:
$2 + 5 + 8 + 11+14+17+20$
Deret di atas merupakan deret aritmetika dengan $a = 2$ dan $b = 3$, sehingga rumus suku ke-$n$ dinyatakan oleh
$\begin{aligned} \text{U}_n & = a + (n-1)b \\ & = 2 + (n-1)(3) \\ & = 3n -1 \end{aligned}$
Perhatikan juga bahwa suku demi suku bersilang tanda (minus plus minus plus), sehingga dimunculkan bentuk $(-1)^n$ untuk $n$ ganjil pada suku pertama. Batas bawah notasi sigma bernilai $1$, sedangkan batas atasnya didapat dari banyaknya suku, yaitu $7$ sehingga 
$$\boxed{\begin{aligned} -2 + 5 -8 + 11 -& 14 + 17 -20 \\ & = \displaystyle \sum_{n=1}^7 (-1)^n(3n-1) \end{aligned}}$$

Jawaban a)
Pada bentuk pengurangan dua suku yang melibatkan notasi sigma, notasi sigmanya dapat disatukan apabila batas atas dan batas bawahnya sama.
$\begin{aligned} & \displaystyle \sum_{a=1}^n (a^2+1) -\sum_{a=3}^{n+2} (3a-5) \\ & = \sum_{a=1}^n (a^2+1) -\sum_{a=3-2}^{n+2-2} (3(a+2)-5) \\ & = \sum_{a=1}^n (a^2+1)-\sum_{a=1}^{n} (3a+1) \\ & = \sum_{a=1}^n ((a^2+1) -(3a+1)) \\ & = \sum_{a=1}^n (a^2 -3a) \end{aligned}$
Jadi, bentuk satu notasi sigmanya adalah $\boxed{\displaystyle \sum_{a=1}^n (a^2 -3a)}$
Jawaban b)
Dalam operasi sumasi/sigma, berlaku
$\displaystyle \sum_{k = 1}^n k + \sum_{k = n + 1}^m k = \sum_{k=1}^m k$
Untuk itu, dapat kita tulis
$\begin{aligned} & \displaystyle \sum_{k=4}^n (k+2) + \sum_{k = n+3}^{15} k \\ & = \sum_{k=4}^n (k+2) + \sum_{k = n+3-2}^{15-2} (k+2) \\ & = \sum_{k=4}^n (k+2) + \sum_{k = n+1}^{13} (k+2) \\ & = \sum_{k=4}^{13} (k+2) \end{aligned}$
Jadi, bentuk satu notasi sigmanya adalah $\boxed{\displaystyle \sum_{k=4}^{13} (k+2)}$

Jawaban a)
Ubah deret ke dalam bentuk barisan, yaitu $-2, 1, 6, 13, 22, \cdots, 397$
Tinjau barisan bilangan kuadrat:
$1, 4, 9, 16, 25, \cdots$
yang memiliki rumus suku ke-$n$ 
$\text{U}_n = n^2.$
Dengan membandingkan nilai tiap suku pada kedua barisan itu, kita dapatkan bahwa suku pada barisan semula merupakan tiga kurangnya dari suku yang berpadanan pada barisan bilangan kuadrat, sehingga rumus suku ke-$n$ pada barisan
$-2, 1, 6, 13, 22, \cdots, 397$
adalah $\text{U}_n = n^2 -3.$
Suku terakhir adalah suku ke-$20$ karena
$\begin{aligned} 397 & = n^2 -3 \\ 400 & = n^2 \\ n & = \sqrt{400} = 20 \end{aligned}$
Untuk itu, notasi sigma dari deret di atas adalah
$\displaystyle \sum_{n=1}^{20} (n^2-3)$
Jawaban b)
Perhatikanlah bahwa setiap suku pada deret $$^a \log \dfrac{1}{x} + ^a \log \dfrac{1}{x^2} + ^a \log \dfrac{1}{x^3} + \cdots + ^a \log \dfrac{1}{x^{15}}$$ berubah pada nilai pangkat $x$ saja, yakni $1, 2, 3, \cdots, 15$, yang merupakan barisan aritmetika dengan rumus suku ke-$n$: $\text{U}_n = n.$
Dengan demikian, bentuk notasi sigma dari deret tersebut adalah
$\boxed{\displaystyle \sum_{n = 1}^{15} \left(^a \log \dfrac{1}{x^n}\right)}$

Pembuktian dari ruas kiri:
$$\begin{aligned}\displaystyle \sum_{n=1}^9 (2n-3) & = \sum_{n=1}^3 (2n-3) + \sum_{n=4}^6 (2n-3) + \sum_{n=7}^9 (2n-3) \\ & = \sum_{n=1}^3 (2n-3) + \sum_{n=4-3}^{6-3} (2(n+3)-3) + \sum_{n=7-6}^{9-6} (2(n+6)-3) \\ & = \sum_{n=1}^3 (2n-3) + \sum_{n=1}^3 (2n+3) + \sum_{n=1}^3 (2n+9) \\ & = \sum_{n=1}^3 ((2n-3)+(2n+3)+(2n+9)) \\ & = \sum_{n=1}^3 (6n+9) \\ & = \sum_{n=1}^3 3(2n+3) \\ & = 3 \sum_{n=1}^3 (2n+3) \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $\boxed{\displaystyle \sum_{n=1}^9 (2n-3) = 3 \sum_{n=1}^3 (2n+3)}$

Akan dibuktikan bahwa $$\displaystyle \sum_{i=1}^n (2i-1)^2 = \dfrac{n(2n-1)(2n+1)}{3}.$$Gunakan rumus operasi sumasi berikut.
$$\boxed{\begin{aligned} \displaystyle \sum_{k=1}^n k & = \dfrac{n(n+1)}{2} \\ \sum_{k=1}^n k^2 & = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{aligned}}$$Pembuktian dimulai dari ruas kiri.
$$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{i=1}^n (2i-1)^2 & = \sum_{i=1}^n (4i^2-4i+1) \\ & = 4 \sum_{i=1}^n i^2-4 \sum_{i=1}^n i + \sum_{i=1}^n 1 \\ & = \cancelto{2}{4} \cdot \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{\cancelto{3}{6}}-\cancelto{2}{4} \cdot \dfrac{n(n+1)}{\cancel{2}} + n \\ & = \dfrac{2n(n+1)(2n+1)}{3}-2n(n+1)+n \\ & = \dfrac{2n(n+1)(2n+1)-6n(n+1)+3n}{3} \\ & \text{Faktorkan}~n~\text{pada pembilang} \\ & = \dfrac{n(2(n+1)(2n+1)-6(n+1)+3)}{3} \\ & = \dfrac{n(2(2n^2+3n+1)-6n-3)}{3} \\ & = \dfrac{n(4n^2-1)}{3} \\ & = \dfrac{n(2n-1)(2n+1)}{3} \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $$\displaystyle \sum_{i=1}^n (2i-1)^2 = \dfrac{n(2n-1)(2n+1)}{3}.$$

Misalkan $S = \displaystyle \sum_{i=1}^{n} i \cdot 3^i.$ Kalikan kedua ruas dengan $3$ dan dengan menggunakan aturan pangkat, diperoleh
$$\begin{aligned} 3S & = 3 \displaystyle \sum_{i=1}^{n} i \cdot 3^i \\ & = \sum_{i=1}^{n} i \cdot 3^{i + 1}. \end{aligned}$$Kurangi persamaan $3S = \cdots$ dengan $S = \cdots$ sehingga didapat
$$\begin{aligned} 3S-S & = \displaystyle \sum_{i=1}^{n} i \cdot 3^{i + 1}-\sum_{i=1}^{n} i \cdot 3^i \\ 2S & = \left(\color{red}{1 \cdot 3^2} + \color{blue}{2 \cdot 3^3} + 3 \cdot 3^4 + \cdots + (n-1) \cdot 3^n + n \cdot 3^{n+1}\right)-\left(1 \cdot 3^1 + \color{red}{2 \cdot 3^2} + \color{blue}{3 \cdot 3^3} + \cdots + n \cdot 3^n\right) \\ 2S & = (1-2)3^2 + (2-3)3^3 + \cdots + ((n-(n+1))3^n + n \cdot 3^{n+1}-3 \\ 2S & = -3^2-3^3-\cdots-3^n + n \cdot 3^{n+1}-3 \\ 2S & = -\underbrace{(3^2 + 3^3 + \cdots + 3^n)}_{\text{deret geometri}} + n \cdot 3^{n+1}-3. \end{aligned}$$Ingat bahwa pada deret geometri, jumlah $n$ suku pertama dapat dicari dengan menggunakan $\text{S}_n = \dfrac{a(r^n-1)}{r-1}.$
Deret geometri di atas memiliki suku pertama $a = 3^2,$ rasio $r = 3,$ dan banyak sukunya $(n-1).$ Dengan demikian, didapat
$$\begin{aligned} 2S & = -\dfrac{3^2(3^{n-1}-1}{3-1} + n \cdot 3^{n+1}-3 \\ 2S & = -\dfrac{3^{n+1}-9}{2} + n \cdot 3^{n+1}-3 \\ 2S & = -\dfrac{3^{n+1}}{2} + n \cdot 3^{n+1}+\dfrac92-3 \\ 2S & = \left(n-\dfrac12\right)3^{n+1}+\dfrac32 \\ 2S & = \dfrac12(2n-1)3^{n+1} + \dfrac32 \\ S & = \dfrac{2n-1)3^{n+1} + 3}{4}. \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $$\displaystyle \sum_{i=1}^{n} i \cdot 3^i = \dfrac{(2n-1)3^{n+1} + 3}{4}.$$

Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} \dfrac{1}{k!}-\dfrac{1}{(k+1)!} & = \dfrac{(k+1)!-k!}{k!(k+1)!} \\ & = \dfrac{k!((k+1)-1)}{k!(k+1)!} \\ & = \dfrac{\cancel{k!} \cdot k}{\cancel{k!} \cdot (k+1)!} \\ & = \dfrac{k}{(k+1)!} \end{aligned}$
Dengan menggunakan sifat ini, kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{1}{2.015!} + \displaystyle \sum_{k=1}^{2.014} \dfrac{k}{(k+1)!} & = \dfrac{1}{2.015!} + \sum_{k=1}^{2.014} \left(\dfrac{1}{k!}-\dfrac{1}{(k+1)!}\right) \\ & = \dfrac{1}{2.015!} + \left(\dfrac{1}{1!}-\dfrac{1}{(1+1)!}\right)+\left(\dfrac{1}{2!}-\dfrac{1}{(2+1)!}\right)+\cdots+\left(\dfrac{1}{2.014!}-\dfrac{1}{(2.014+1)!}\right) \\ & = \dfrac{1}{2.015!} + \left(\dfrac{1}{1!}-\cancel{\dfrac{1}{2!}}\right)+\left(\cancel{\dfrac{1}{2!}}-\cancel{\dfrac{1}{3!}}\right)+\cdots+\left(\cancel{\dfrac{1}{2.014!}}-\dfrac{1}{2.015!}\right) \\ & = \dfrac{1}{2.015!} + \dfrac{1}{1!}-\dfrac{1}{2.015!} = 1 \end{aligned}$$Catatan: Dalam prosedur di atas, kita menerapkan prinsip teleskopik, yaitu suku-sukunya dibuat saling menghilangkan.

Gunakan rumus deret berikut.
$$\boxed{\begin{aligned} \displaystyle \sum_{k=1}^n 1 & = n \\ \sum_{k=1}^n k & = \dfrac{n(n+1)}{2} \\ \sum_{k=1}^n k^2 & = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{aligned}}$$Selanjutnya, akan dibuktikan persamaan di atas dimulai dari ruas kiri.
$$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{k=1}^n \left(k^3-(k-1)^3\right) & = \sum_{k=1}^n \left(k^3-(k^3-3k^2+3k-1)\right) \\ & = \sum_{k=1}^n \left(3k^2-3k+1\right) \\ & = 3 \sum_{k=1}^n k^2-3 \sum_{k=1}^n k + \sum_{k=1}^n 1 \\ & = \cancel{3} \cdot \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{\cancelto{2}{6}}-3 \cdot \dfrac{n(n+1)}{2} + n \\ & = \dfrac{2n^3 + 3n^2 + n}{2}-\dfrac{3n^2 + 3n}{2} + n \\ & = \dfrac{2n^3-2n}{2} + n \\ & = (n^3-n) + n \\ & = n^3 \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $$\boxed{\displaystyle \sum_{k=1}^n \left(k^3-(k-1)^3\right) = n^3}$$