Soal dan Pembahasan – Pangkat, Akar, dan Logaritma

Berikut ini merupakan soal mengenai pangkat, akar, dan logaritma yang dikutip dari berbagai sumber referensi. Soal-soal berikut masing-masing telah disediakan pembahasannya.

Soal Nomor 1
Ubahlah bentuk berikut ke bentuk pangkat positif, kemudian hitunglah hasilnya.
a) 5^{-3}
b) 4^{-2} \times 7^{-2}
c) \dfrac{8^{-6}} {8^{-2}}
d) (2^{-5})^{-2}

Penyelesaian

Perpangkatan negatif didefinisikan sebagai \boxed{a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}}
Jawaban a)
5^{-3} = \dfrac{1}{5^3} = \dfrac{1}{5 \times 5 \times 5} = \dfrac{1}{125}
Jawaban b)
\begin{aligned} 4^{-2} \times 7^{-2} & = \dfrac{1}{4^2} \times \dfrac{1}{7^2} \\ & = \dfrac{1}{16} \times \dfrac{1}{49} = \dfrac{1}{784} \end{aligned}
Jawaban c)
\begin{aligned} \dfrac{8^{-6}} {8^{-2}} & = 8^{-6-(-2)} =8^{-4} \\ & = \dfrac{1}{8^4} = \dfrac{1}{8 \times 8 \times 8 \times 8}= \dfrac{1}{4.096} \end{aligned}
Jawaban d)
(2^{-5})^{-2} = 2^{-5 \times (-2)} = 2^{10} = 1.024

[collapse]

Soal Nomor 2
Penulisan dalam bentuk baku (notasi ilmiah) adalah a \times 10^n dengan 1 \leq a < 10 dan n bilangan bulat.
Nyatakan bilangan-bilangan berikut dalam bentuk baku.
a) 0,0053
b) 0,00082
c) 3^{-5}
d) \left(\dfrac{1}{2}\right)^8

Penyelesaian

Jawaban a)
0,0053 = 5,3 \times 10^{-3}
Jawaban b)
0,00082 = 8,2 \times 10^{-4}
Jawaban c)
\begin{aligned} 3^{-5} = \dfrac{1}{3^5} & = \dfrac{1}{243} \approx 0,004115226 \\ & = 4,115226 \times 10^{-3} \end{aligned}
Jawaban d)
\begin{aligned} \left(\dfrac{1}{2}\right)^8 & = (0,5)^8 = (5 \times 10^{-1})^8 \\ & = 390.625 \times 10^{-8} = 3,90625 \times 10^{-3} \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 3
Nilai dari \dfrac{5 \times 10^{-6} \times 1.000.000}{(100)^{-3}} adalah \cdots

Penyelesaian

\begin{aligned}  & \dfrac{5 \times 10^{-6} \times 1.000.000}{(100)^{-3}} \\ & = \dfrac{5 \times 10^{-6} \times 10^6}{(10^2)^{-3}} \\ & = \dfrac{5 \times 10^{-6 + 6}} {10^{-6}} \\ & = 5 \times 10^{-6 + 6 - (-6)} = \boxed{5 \times 10^6} \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 4
Bentuk \dfrac{3\sqrt{3} + \sqrt{7}} {\sqrt{7}-2\sqrt{3}} dapat disederhanakan menjadi \cdots

Penyelesaian

Akar sekawan dari \sqrt{7} - 2\sqrt{3} adalah \sqrt{7} + 2\sqrt{3}, sehingga
\begin{aligned} & \dfrac{3\sqrt{3} + \sqrt{7}} {\sqrt{7}-2\sqrt{3}} \\ & = \dfrac{3\sqrt{3} + \sqrt{7}} {\sqrt{7}-2\sqrt{3}} \times \dfrac{\sqrt{7} + 2\sqrt{3}}{\sqrt{7}+2\sqrt{3}} \\ & = \dfrac{3\sqrt{3}.\sqrt{7} + 3\sqrt{3}. 2\sqrt{3} +\sqrt{7}. \sqrt{7} + \sqrt{7}. 2\sqrt{3}} {(\sqrt{7})^2 - (2\sqrt{3})^2} \\ & = \dfrac{3\sqrt{21} + 18 + 7 + 2\sqrt{21}} {7-12} \\ & = \dfrac{5\sqrt{21} + 25}{-5} \\ & = -\dfrac{\cancel{5}(\sqrt{21}+5)}{\cancel{5}} \\ & = -(\sqrt{21} + 5) \\ & = \boxed{-5 - \sqrt{21}} \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 5
Bentuk sederhana dari \dfrac{\sqrt{3} + \sqrt{5}} {2\sqrt{3} - 3\sqrt{5}} adalah \cdots

Penyelesaian

Akar sekawan dari 2\sqrt{3} - 3\sqrt{5} adalah 2\sqrt{3} + 3\sqrt{5}, sehingga
\begin{aligned} & \dfrac{\sqrt{3} + \sqrt{5}} {2\sqrt{3} - 3\sqrt{5}} \\ & = \dfrac{\sqrt{3} + \sqrt{5}} {2\sqrt{3} - 3\sqrt{5}} \times \dfrac{2\sqrt{3} + 3\sqrt{5}} {2\sqrt{3} + 3\sqrt{5}} \\ & = \dfrac{\sqrt{3}.2\sqrt{3}+\sqrt{3}.3\sqrt{5} + \sqrt{5}. 2\sqrt{3} + \sqrt{5}. 3\sqrt{5}} {(2\sqrt{3})^2 - (3\sqrt{5})^2} \\ & = \dfrac{6 + 3\sqrt{15} + 2\sqrt{15} + 15}{12-45} \\ & = \dfrac{21+5\sqrt{15}} {-33} \\ & = \boxed{\dfrac{-21-5\sqrt{15}} {33}} \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 6
Tentukan nilai x yang memenuhi ^x \log \left(\dfrac{2}{9}\right)^3 = -2

Penyelesaian

Berdasarkan hubungan pangkat dan logaritma, kita dapatkan
\begin{aligned} x^{-2} & = \left(\dfrac{2}{9}\right)^3 \\ (x^{-2})^{-\frac{1}{2}} & = \left(\left(\dfrac{2}{9}\right)^3\right)^{-\frac{1}{2}} \\ x & = \left( \dfrac{9}{2}\right)^{\frac{3}{2}} = \dfrac{27}{2\sqrt{2}} = \dfrac{27}{4}\sqrt{2} \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{x = \dfrac{27}{4}\sqrt{2}}

[collapse]

Soal Nomor 7
Diketahui ^5 \log 3 = a dan ^3 \log 4 = b. Nilai dari ^4 \log 15 = \cdots

Penyelesaian

Diketahui:
\begin{aligned} & ^5 \log 3 = a \iff ^3 \log 5 = \dfrac{1}{a} \\ & ^3 \log 4 = b \end{aligned}
Ditanya: ^4 \log 15 = \cdots
Gunakan sifat logaritma berikut. 
\boxed{^a \log b = \dfrac{^c \log b} {^c \log a}}
Dengan demikian, 
\begin{aligned} ^4 \log 15 & = \dfrac{^3 \log 15}{^3 \log 4} \\ & = \dfrac{^3 \log (3 \times 5)}{^3 \log 4} \\ & = \dfrac{^3 \log 3 + ^3 \log 5}{^3 \log 4} \\ & = \dfrac{1 + \frac{1}{a}} {b} \\ & = \dfrac{1+\frac{1}{a}} {b} \times \dfrac{a} {a} \\ & = \boxed{\dfrac{a + 1}{ab}} \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 8
Diketahui ^2 \log 3 = a dan ^2 \log 5 = b. Nilai dari ^9 \log 150 dalam a dan b adalah \cdots

Penyelesaian

Diketahui: 
\begin{aligned} & ^2 \log 3 = a \\ &^2 \log 5 = b \end{aligned}
Ditanya: ^9 \log 150
Gunakan sifat logaritma berikut. 
\boxed{^a \log b = \dfrac{^c \log b} {^c \log a}}
Dengan demikian, 
\begin{aligned} ^9 \log 150 & = \dfrac{^2 \log 150}{^2 \log 9} \\ & = \dfrac{^2 \log (2 \times 3 \times 5^2)} {^2 \log (3 \times 3)} \\ & = \dfrac{^2 \log 2 + ^2 \log 3 + 2.^2 \log 5}{^2 \log 3 + ^2 \log 3} \\ & = \boxed{\dfrac{1 + a + 2b}{2a}} \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 9
Bentuk sederhana dari \left(\dfrac{9a^2b^{-1}c^3}{27a^{-1}b^2c^2}\right)^{-1} adalah \cdots

Penyelesaian

\begin{aligned} \left(\dfrac{9a^2b^{-1}c^3}{27a^{-1}b^2c^2}\right)^{-1} & = \dfrac{27a^{-1}b^2c^2}{9a^2b^{-1}c^3} \\ & = 3a^{-1-2}b^{2-(-1)}c^{2-3} \\ & = 3a^{-3}b^3c^{-1} \\ & = \boxed{\dfrac{3b^3}{a^3c}} \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 10
Nilai dari \dfrac{^3 \log^2 18 - ^3 \log^2 2}{^3 \log 36} adalah \cdots

Penyelesaian

Gunakan sifat pemfaktoran berikut. \boxed{a^2-b^2 = (a+b) (a-b)}
Dalam hal ini, a = ^3 \log 18 dan b = ^3 \log 2, sehingga dapat ditulis
\begin{aligned} & \dfrac{^3 \log^2 18 - ^3 \log^2 2}{^3 \log 36} \\ & = \dfrac{(^3 \log 18 - ^3 \log 2)(^3 \log 18 + ^3 \log 2)}{^3 \log 36} \\ & = \dfrac{(^3 \log \frac{18}{2})(^3 \log (18 \times 2)} {^3 \log 36} \\ & = \dfrac{(\cancel{^3 \log 36})(^3 \log 9)} {\cancel{^3 \log 36}} \\ & = ^3 \log 9 = \boxed{2} \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 11
Bentuk sederhana dari
\left(\dfrac{2x^{-1}y^2z^{-2}} {4xy^{-3}z^2}\right)^{-2} adalah \cdots

Penyelesaian

\begin{aligned} \left(\dfrac{2x^{-1}y^2z^{-2}} {4xy^{-3}z^2}\right)^{-2} & = \left(\dfrac{y^{2-(-3)}}{2x^{1-(-1)}z^{2-(-2)}}\right)^{-2} \\ & = \left(\dfrac{y^5}{2x^2z^4}\right)^{-2} \\ & = \left(\dfrac{2x^2z^4}{y ^5}\right)^2 \\ & = \boxed{\dfrac{4x^4z^8}{y^{10}}}\end{aligned}
Catatan: Nilai pangkat pada bentuk sederhana ini harus bernilai positif.

[collapse]

Soal Nomor 12
Bentuk \sqrt[4]{49-20\sqrt{6}} dapat disederhanakan menjadi \cdots

Penyelesaian

Gunakan sifat akar berikut. 
\boxed{\begin{aligned} & \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn] {a} \\ & \sqrt{(a+b) - 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} - \sqrt{b} \end{aligned}}
Dengan demikian, dapat ditulis
\begin{aligned} \sqrt[4]{49-20\sqrt{6}} & = \sqrt{\sqrt{49-20\sqrt{6}}} \\ & = \sqrt{\sqrt{49-2.10\sqrt{6}}} \\ & = \sqrt{\sqrt{49 - 2\sqrt{100.6}}} \\ & = \sqrt{\sqrt{(25+24)-2\sqrt{25.24}}} \\ & = \sqrt{\sqrt{25} - \sqrt{24}} \\ & = \sqrt{5 - 2\sqrt{6}} \\ & = \sqrt{(3+2) - 2\sqrt{3.2}} \\ & = \sqrt{3} - \sqrt{2} \end{aligned}
Jadi, bentuk \sqrt[4]{49-20\sqrt{6}} dapat disederhanakan menjadi \sqrt{3} - \sqrt{2}.

[collapse]

Soal Nomor 13 (Soal UN Matematika Tapel 2006/2007)
Bentuk sederhana dari 2\sqrt{2} + \sqrt{8} + \sqrt{32} + 2\sqrt{3} + \sqrt{12} adalah \cdots

Penyelesaian

Sederhanakan bentuk akar yang ditandai dengan warna merah, kemudian operasikan dengan menggunakan sifat penjumlahan dan pengurangan bentuk akar. 
\begin{aligned} & 2\sqrt{2} + \begingroup \color{red} \sqrt{8} \endgroup + \begingroup \color{red} \sqrt{32} \endgroup + 2\sqrt{3} + \begingroup \color{red} \sqrt{12} \endgroup \\ & = 2\sqrt{2} + \sqrt{4 \times 2} + \sqrt{16 \times 2} + 2\sqrt{3} + \sqrt{4 \times 3} \\ & = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} + 4\sqrt{2} + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} \\ & = (2+2+4)\sqrt{2} + (2+2)\sqrt{3} \\ & = \boxed{8\sqrt{2} + 4\sqrt{3}} \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 14 (Soal UN Matematika Tapel 2007/2008)
Jika nilai ^2 \log 3 = a dan ^3 \log 5 = b, maka ^6 \log 15 = \cdots

Penyelesaian

Diketahui:
\begin{aligned} & ^2 \log 3 = a \iff ^3 \log 2 = \dfrac{1}{a} \\ & ^3 \log 5 = b \end{aligned}
Ditanya: ^6 \log 15 = \cdots
Dengan menggunakan cara yang sama, diperoleh
\begin{aligned} ^6 \log 15 & = \dfrac{^3 \log 15}{^3 \log 6} \\ & = \dfrac{^3 \log (5 \times 3)} {^3 \log (3 \times 2)} \\ & = \dfrac{^3 \log 5 + ^3 \log 3}{^3 \log 3 + ^3 \log 2} \\ & = \dfrac{b+1}{1+\dfrac{1}{a}} \\ & = \dfrac{b+1}{1+\dfrac{1}{a}} \times \dfrac{a} {a} \\ & = \boxed{\dfrac{a(1+b)} {1+a}} \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 15
Diketahui 3^{2+x} = 45, maka 3^{2x} adalah \cdots

Penyelesaian

Ingat bahwa jika a^x = b, maka x = ^a \log b
Perhatikan bahwa persamaan 3^{2+x} = 45 dapat ditulis menjadi
\begin{aligned} \cancel{3^2}.3^x & = \cancel{3^2}.5 \\ 3^x & = 5 \\ ^3 \log 5 & = x \\ 2 ^3 \log 5 & = 2x \\ ^3 \log 5^2 & = 2x \\ ^3 \log 25 & = 2x \\ 3^{2x} & = 25 \end{aligned}
Jadi, nilai dari 3^{2x} adalah 25.

[collapse]

Soal Nomor 16
Ubahlah bentuk pangkat berikut dalam basis 10.
10^9 \times 100^2 \times 1000^{-3} \times 10000^{-2} \times 2222^0

Penyelesaian

Perhatikan bahwa 100 = 10^2, 1000 = 10^3, 10000=10^4, dan a^0 = 1 untuk a \neq 0, sehingga bentuk pangkat di atas dapat ditulis menjadi
\begin{aligned} & 10^9 \times (10^2)^2 \times (10^3)^{-3} \times (10^4)^{-2} \times 1 \\ & = 10^9 \times 10^4 \times 10^{-9} \times 10^{-8} \\ & = 10^{9 + 4 + (-9) + (-8)} = \boxed{10^{-4} = \dfrac{1}{10^4}} \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 17
Sederhanakan bentuk akar berikut.
\sqrt{72} + \sqrt{50} \times \sqrt{288} - \sqrt{200}

Penyelesaian

\begin{aligned} &\sqrt{72} + \sqrt{50} \times \sqrt{288} - \sqrt{200} \\ & = \sqrt{36 \times 2} + \sqrt{25 \times 2} \times \sqrt{144 \times 2} - \sqrt{100 \times 2} \\ & = 6\sqrt{2} + 5\sqrt{2} \times 12\sqrt{2} - 10\sqrt{2} \\ & = 6\sqrt{2} + (5 \times 12) \times 2 - 10\sqrt{2} \\ & = -4\sqrt{2} + 120 \end{aligned}
Jadi, bentuk sederhananya adalah \boxed{-4\sqrt{2} + 120}

[collapse]

Soal Nomor 18
\left(\dfrac{x^{-1} + y^{-1}} {x^{-1}-y^{-1}}\right)^{-1} dalam bentuk pangkat positif adalah \cdots

Penyelesaian

Ingat bahwa x^{-1} = \dfrac{1}{x} sehingga
\begin{aligned} \left(\dfrac{x^{-1} + y^{-1}} {x^{-1}-y^{-1}}\right)^{-1} & = \dfrac{x^{-1}-y^{-1}} {x^{-1}+y^{-1}} \\ & = \dfrac{\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y}} {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \\ & = \dfrac{\dfrac{y-x} {\cancel{xy}}} {\dfrac{x+y} {\cancel{xy}}} = \dfrac{y-x}{x+y} \end{aligned} 
Jadi, bentuk pangkat positif dari \left(\dfrac{x^{-1} + y^{-1}} {x^{-1}-y^{-1}}\right)^{-1} adalah \boxed{\dfrac{y-x} {x+y}}.

[collapse]

Soal Nomor 19
Jika ^6 \log 3 = x dan ^6 \log 2 = y, maka ^6 \log \dfrac{2}{27}\sqrt{2} adalah \cdots

Penyelesaian

Diketahui:
\begin{aligned} ^6 \log 3 & = x \\ ^6 \log 2 & = y \end{aligned}
Ditanya: ^6 \log \dfrac{2}{27}\sqrt{2}
Dengan menggunakan sifat penjumlahan dan pengurangan logaritma, diperoleh
\begin{aligned} ^6 \log \dfrac{2}{27}\sqrt{2} & = ^6 \log 2\sqrt{2} - ^6 \log 27 \\ & = ^6 \log 2 + ^6 \log 2^{\frac{1}{2}} - ^6 \log 3^3 \\ & = ^6 \log 2 + \dfrac{1}{2}.^6 \log 2 - 3.^6 \log 3 \\ & = y + \dfrac{1}{2}y - 3x \\ & = \dfrac{3}{2}y - 3x \\ & = \dfrac{-6x + 3y}{2} \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 20
Jika x > 0 dan x \neq 1 memenuhi bentuk x^{\frac{1}{p}}. x^{\frac{1}{q}} = x^{\frac{1}{pq}}, di mana p dan q bilangan rasional, maka hubungan antara p dan q adalah \cdots

Penyelesaian

Dengan menggunakan sifat perpangkatan, diperoleh
\begin{aligned} x^{\frac{1}{p}}. x^{\frac{1}{q}} & = x^{\frac{1}{pq}} \\ x^{\frac{1}{p} + \frac{1}{q}} & = x^{\frac{1}{pq}} \end{aligned}
Selanjutnya, gunakan hubungan pangkat bahwa
\begin{aligned} \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} & = \dfrac{1}{pq} \\ \dfrac{p+q} {\cancel{pq}} & = \dfrac{1}{\cancel{pq}} \\ p+q & = 1 \end{aligned} 
Jadi, hubungan antara p dan q dinyatakan oleh persamaan \boxed{p + q = 1}.

[collapse]

Soal Nomor 21
Panjang sisi miring suatu segitiga siku-siku adalah 2^{x+2}. Jika panjang dua sisi yang lain adalah 4 dan 2^{2x+1}, maka nilai x yang memenuhi adalah \cdots

Penyelesaian

Berdasarkan Teorema Pythagoras, berlaku
\begin{aligned} 4^2 + (2^{2x+1})^2 & = (2^{x+2})^2 \\ 16 + 2^{4x+2} & = 2^{2x+4} \\ 16 + 2^{4x}. 2^2 & = 2^{2x}. 2^4 \\ & 16 + (2^{2x})^2. 4 & = 16.2^{2x} \end{aligned}
Misalkan 2^{2x} =a, sehingga diperoleh 
\begin{aligned} 16 + a^2.4 & = 16a \\ 4a^2 - 16a + 16 & = 0 \\ a^2 - 4a + 4 & = 0 && (\text{kedua ruas dibagi 4}) \\ (a - 2)^2 & = 0 \end{aligned}
Jadi, diperoleh a = 2. Ini berarti, 2^{2x} = 2, dan akibatnya nilai x adalah \boxed{\dfrac{1}{2}}.

[collapse]

Soal Nomor 22
Nilai x yang memenuhi persamaan 3^{2x+3}= \sqrt[3]{27^{x-5}} adalah \cdots

Penyelesaian

Dengan menggunakan sifat pangkat, diperoleh
\begin{aligned} 3^{2x+3} & = \sqrt[3]{(3^3)^{x-5}} \\ 3^{2x+3} & = 3^{3 \times (x-5) \times \frac{1}{3}} \\ \cancel{3}^{2x+3} & = \cancel{3}^{x-5} \\ 2x + 3 & = x - 5 \\ 2x - x & = -5 - 3 \\ x & = -8 \end{aligned}
Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan itu adalah \boxed{x=-8}.

[collapse]

Soal Nomor 23
Bentuk sederhana dari 
\dfrac{^5 \log \sqrt{3}. ^9 \log 125 + ^{16} \log 32}{^2 \log^2 8 - ^2 \log^2 2} = \cdots

Penyelesaian

Ingat bahwa ^a \log^b c = (^a \log c)^b
Dengan menggunakan sifat-sifat logaritma, diperoleh
\begin{aligned} & \dfrac{^5 \log \sqrt{3}. ^9 \log 125 + ^{16} \log 32}{^2 \log^2 8 - ^2 \log^2 2} \\ & = \dfrac{^5 \log 3^{\frac{1}{2}}. ^{3^2} \log 5^3 + ^{2^4} \log 2^5}{(^2 \log 8 + ^2 \log 2)(^2 \log 8 - ^2 \log 2)} \\ & = \dfrac{\frac{1}{2}. ^5 \log 3. \frac{3}{2} ^3 \log 5 + \frac{5}{4} ^2 \log 2}{(3 + 1)(3-1)} \\ & = \dfrac{\frac{3}{4}. ^5 \log 5 + \frac{5}{4}} {4.2} \\ & = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4} \end{aligned}
Jadi, bentuk sederhana dari \dfrac{^5 \log \sqrt{3}. ^9 \log 125 + ^{16} \log 32}{^2 \log^2 8 - ^2 \log^2 2} adalah \boxed{\dfrac{1}{4}}

[collapse]

Soal Nomor 24
Nilai x yang memenuhi persamaan \log \sqrt{^2 \log x + 8} = 1 adalah \cdots

Penyelesaian

Ingat bahwa prinsip logaritma adalah: a^c = b \iff ^a \log b = c.
Untuk itu, diperoleh
\begin{aligned} \log \sqrt{^2 \log x + 8} & = 1 \\ \cancel{\log} \sqrt{^2 \log x + 8} & = \cancel{\log} 10 \\ \sqrt{^2 \log x + 8} & = 10 \\ ^2 \log x + 8 & = 100 && (\text{Kuadratkan kedua ruas}) \\ ^2 \log x & = 92 \\ x &= 2^{92} \end{aligned}
Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan tersebut adalah x = 2^{92}.

[collapse]

Soal Nomor 25
Hubungan antara kecepatan pompa sirkulasi dan kapasitas ditentukan dengan
R = 356.(10)^{0,000152G}
dengan R adalah kecepatan (putaran/menit) dan G adalah kapasitas (galon/menit). Apabila R = 500, nilai G yang memenuhi persamaan adalah \cdots

Penyelesaian

Diketahui bahwa R = 356.(10)^{0,000152G} dan R = 500, sehingga selanjutnya dapat ditulis
\begin{aligned} 500 & = 356.(10)^{0,000152G} \\ \dfrac{500}{356} & = 10^{0,000152G} \\ ^{10} \log \dfrac{500}{356} & = 0,000152G \\ \log 500 - \log 356 & = 0,000152G \\ G & = \dfrac{\log 500 - \log 356}{0,000152} \end{aligned}
Jadi, nilai G yang memenuhi persamaan tersebut adalah \boxed{G & = \dfrac{\log 500 - \log 356}{0,000152}}.

[collapse]

Soal Nomor 26
Jika p = (x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{3}} - x^{-\frac{1}{3}}) dan q = (x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}})(x - x^{\frac{1}{3}}), maka \dfrac{p} {q} = \cdots

Penyelesaian

\begin{aligned} \dfrac{p} {q} & = \dfrac{(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{3}} - x^{-\frac{1}{3}})} {(x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}})(x - x^{\frac{1}{3}})} \\ & = \dfrac{x(\cancel{(x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}})}\bcancel{(x^{\frac{1}{3}} - x^{-\frac{1}{3}})}} {\cancel{ (x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}})} x^{\frac{2}{3}}\bcancel{(x^{\frac{1}{3}} - x^{-\frac{1}{3}})}} \\ & = \dfrac{x} {x^{\frac{2}{3}}} \\ & = x^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{x} \end{aligned}
Jadi, nilai dari \dfrac{p} {q} adalah \boxed{\sqrt[3]{x}}

[collapse]

Soal Nomor 27
Nilai x yang memenuhi 8^{x+1} = 24^{x-1} adalah \cdots

Penyelesaian

Persamaan berpangkat tersebut tidak dapat diselesaikan dengan cara standar karena 8 dan 24 tidak memiliki basis pangkat yang sama.
Logaritmakan kedua ruas, kemudian gunakan sifat-sifat logaritma untuk mencari nilai x sebagai berikut.
\begin{aligned} 8^{x+1} & = 24^{x-1} \\ \log 8^{x+1} & = \log 24^{x-1} \\ (x+1) \log 8 & = (x-1) \log 24 \\ x \log 8 + \log 8 & = x \log 24 - \log 24 \\ x \log 8 - x \log 24 & = -\log 24 - \log 8 \\ x(\log 8 - \log 24) & = -\log 24 - \log 8 \\ x & = \dfrac{-\log 24 - \log 8}{\log 8 - \log 24} = \dfrac{\log 24 + \log 8}{\log 24 - \log 8} \\ x & = \dfrac{\log (8 \times 3) + \log 8}{\log \frac{24}{8}} \\ x & = \dfrac{\log 8 + \log 3 + \log 8}{\log 3} \\ x & = \dfrac{2 \log 8 + \log 3}{\log 3} \\ x & = \dfrac{2 \log 2^3 + \log 3}{\log 3} \\ x & = \dfrac{6 \log 2 + \log 3}{\log 3} \\ x & = \dfrac{6 \log 2}{\log 3} + \dfrac{\log 3}{\log 3} \\ x & = 6.^3 \log 2 + 1 \end{aligned}
Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan berpangkat di atas adalah \boxed{x = 6.^3 \log 2 + 1}.

[collapse]

Soal Nomor 28
Nilai x yang memenuhi persamaan \dfrac{x^{\log 15x}} {27x^{\log 5x}} = 9 adalah \cdots

Penyelesaian

Dengan menggunakan sifat pangkat dan logaritma, diperoleh
\begin{aligned} \dfrac{x^{\log 15x}} {27x^{\log 5x}} & = 9 \\ \dfrac{1}{27} \times \dfrac{x^{\log 15x}} {x^{\log 5x}} & = 9 \\ x^{\log 15x - \log 5x} & = 9 \times 27 \\ x^{\log \frac{15\cancel{x} } {5\cancel{x}} & = 3^2 \times 3^3 \\ x^{\log 3} & = 3^5 \end{aligned}
Berdasarkan hubungan pangkat dan logaritma, bentuk terakhir dapat ditulis \begin{aligned} ^x \log 3^5 & = \log 3 \\ ^x \cancel{\log 3^5} & = ^{10^5} \cancel{\log 3^5}\\ x & = 10^5 = 100.000\end{aligned}
Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan tersebut adalah \boxed{x = 100.000}

[collapse]

Soal Nomor 29
Jika \sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{9} & = \dfrac{1}{2-\sqrt{3}}, maka a = \cdots

Penyelesaian

Perhatikan bahwa ruas kanan persamaan di atas dapat ditulis sebagai berikut.
\begin{aligned} \dfrac{1}{2-\sqrt{3}} & = \dfrac{1}{2-\sqrt{3}} \times \dfrac{2+\sqrt{3}} {2+\sqrt{3}} \\ & = \dfrac{2+\sqrt{3}}{4-3} \\ & = 2 + \sqrt{3} \end{aligned}

Jadi, persamaannya dapat ditulis ulang menjadi
\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{9} & = 2 + \sqrt{3}
Sekarang, perhatikan bahwa \sqrt[4]{9} = \sqrt[4]{3^2} = \sqrt{3}, sehingga haruslah
\begin{aligned} \sqrt[4]{a} & = 2 \\ (\sqrt[4]{a})^4 & = 2^4 \\ a & = 16 \end{aligned}
Dengan demikian, nilai a yang memenuhi persamaan di atas adalah \boxed{a = 16}

[collapse]

Soal Nomor 30
Jika 6(3^{40})(^2 \log a) + 3^{41}(^2 \log a) = 3^{43}, maka nilai a = \cdots

Penyelesaian

Dengan menggunakan sifat pangkat dan logaritma, diperoleh
\begin{aligned} 6(3^{40})(^2 \log a) + 3^{41}(^2 \log a) & = 3^{43} \\ 2.3(3^{40})(^2 \log a) + 3^{41}(^2 \log a) & = 3^{41}. 3^2 \\ 2\cancel{(3^{41})}(^2 \log a) + \cancel{3^{41}}(^2 \log a) & = \cancel{3^{41}}. 9 \\ 2(^2 \log a) + ^2 \log a & = 9 \\ 3(^2 \log a) & = 9 \\ ^2 \log a & = \dfrac{9}{3}=3 \\ a & = 2^3 = 8 \end{aligned}
Jadi, nilai a adalah 8.

[collapse]

Soal Nomor 31
Nilai dari \dfrac{5^{^{25} \log 9}} {8^{^2 \log 3}} = \cdots

Penyelesaian

Gunakan sifat logaritma berikut. \boxed{a^{^a \log b} = b}
Dengan demikian,
\begin{aligned} \dfrac{5^{^{25} \log 9}} {8^{^2 \log 3}} & = \dfrac{5^{^{\sqrt{25}} \log \sqrt{9}}}{8^{^{2^3} \log 3^3}} \\ & = \dfrac{5^{^5 \log 3}} {8^{^8 \log 27}} \\ & = \dfrac{3}{27} = \dfrac{1}{9} \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 32
Jika a = 0,111\cdots, maka nilai ^a \log 729 = \cdots

Penyelesaian

Ubah 0,111\cdots menjadi bentuk pecahan biasa terlebih dahulu. Perhatikan bahwa,
\begin{cases} a & = 0,111\cdots \\ 10a & = 1,111\cdots \end{cases}
Kurangi persamaan 2 (bawah) dengan persamaan 1 (atas),
\begin{aligned} 10a - a & = 1,111\cdots - 0,111\cdots \\ 9a & = 1 \\ a & = \dfrac{1}{9} = 9^{-1} \end{aligned}
Dengan demikian,
\begin{aligned} ^a \log 729 & = 9^{-1} \log 9^3 \\ & = \dfrac{3}{-1} ^9 \log 9 = -3 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{^{0,111\cdots} \log 729 = -3}

[collapse]

Soal Nomor 33
Jika m > 1, n > 1, dan x > 1, maka bentuk sederhana dari \dfrac{^n \log x} {1+^n \log m} = \cdots

Penyelesaian

\begin{aligned} \dfrac{^n \log x} {1+^n \log m} & = \dfrac{^n \log x} {^n \log n + ^n \log m} \\ & = \dfrac{^n \log x} {^n \log mn} \\ & = ^{mn} \log x \end{aligned}
Jadi, bentuk sederhana dari \dfrac{^n \log x} {1+^n \log m} adalah \boxed{^{mn} \log x}

[collapse]

Soal Nomor 34
Karakteristik \log 1234,56789 adalah \cdots

Penyelesaian

Nilai karakteristik logaritma ditentukan oleh numerusnya.
Jika diberikan ^a \log x = n, maka: karakteristiknya 0 jika 1 < x < 10, karakteristiknya 1 jika 10 < x < 100,  karakteristiknya 2 jika 100 < x < 1000 dan seterusnya.
Karena numerus logaritmanya yaitu 1234,56789, berada di antara 1.000 dan 10.000, maka ini berarti karakteristik logaritmanya adalah 3.

[collapse]

Soal Nomor 35
Jika a > b > c > 1, maka bentuk sederhana dari \dfrac{^a \log b. ^c \log a} {^b \log a + ^c \log a} adalah \cdots

Penyelesaian

Gunakan sifat logaritma berikut.
\boxed{\begin{aligned} ^a \log b. ^b \log c & = ^a \log c \\ ^a \log b + ^a \log c & = ^a \log bc \\ ^a \log b & = \dfrac{^c \log b} {^c \log a}\end{aligned}}
Dengan demikian, diperoleh
\begin{aligned} \dfrac{^a \log b. ^c \log a} {^b \log a + ^c \log a} & = \dfrac{\dfrac{\log a} {\log b}. \dfrac{\log a} {\log c}} {\dfrac{\log a} {\log b} + \dfrac{\log a} {\log c}} \\ & = \dfrac{\dfrac{\log^2 a} {\cancel{\log b \log c}}} {\dfrac{\log a \log c + \log a \log b}{\cancel{\log b \log c}} } \\ & = \dfrac{\log^2 a} {\log a \log c + \log a \log b} \\ & = \dfrac{\log^{\cancel{2}} a} {\cancel{\log a}(\log c + \log b)} \\ & = \dfrac{\log a} {\log c + \log b} \\ & = \dfrac{\log a} {\log bc} \\ & = ^{bc} \log a \end{aligned}
Jadi, bentuk sederhana dari \dfrac{^a \log b. ^c \log a} {^b \log a + ^c \log a} adalah \boxed{^{bc} \log a}

[collapse]

Soal Nomor 36
Jika a+b=1 dan a^2 + b^2 = 2, maka a^4 + b^4 = \cdots

Penyelesaian

Kuadratkan kedua ruas pada persamaan a+b=1, sehingga ditulis
\begin{aligned} (a+b)^2 & = 1^2 \\  a^2 + b^2 + 2ab & = 1 \\ 2 + 2ab & = 1 \\ 2ab & = -1 \\ ab & = -\dfrac{1}{2} \end{aligned}
Selanjutnya, dengan menggunakan kesimetrian bentuk pangkat, diperoleh
\begin{aligned} a^4 + b^4 & = (a^2 + b^2)(a^2 + b^2) - 2(ab)^2 \\ & = (2)(2) - 2\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 \\ & = 4 - 2 \times \dfrac{1}{4} \\ & = 4 - \dfrac{1}{2} = 3\dfrac{1}{2} \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{a^4 + b^4 = 3\dfrac{1}{2}}

[collapse]

Soal Nomor 37
Jika \dfrac{^2 \log a} {^3 \log b} = m dan \dfrac{^3 \log a} {^2 \log b} = n, a > 1, maka \dfrac{m} {n} = \cdots

Penyelesaian

Perhatikan bahwa \dfrac{m} {n} = m \times \dfrac{1}{n}, sehingga
\begin{aligned} \dfrac{m} {n} & = \dfrac{^2 \log a} {^3 \log b} \times \dfrac{^2 \log b} {^3 \log a} \\ & = \dfrac{\dfrac{^3 \log a} {^3 \log 2}} {^3 \log b} \times \dfrac{\dfrac{^3 \log b} {^3 \log 2}} {^3 \log a} \\ & = \dfrac{\cancel{^3 \log a. ^3 \log b} } {^3 \log 2. ^3 \log 2} \times \dfrac{1}{\cancel{^3 \log b. ^3 \log a}} \\ & = \dfrac{1}{(^3 \log 2)^2} = (^2 \log 3)^2 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \dfrac{m} {n} = (^2 \log 3)^2.

[collapse]

Soal Nomor 38
Hasil dari \dfrac{(^3 \log 45)^2 - (^3 \log 5)^2}{^3 \log \sqrt[3]{15}} adalah \cdots

Penyelesaian

Perhatikan bahwa bentuk pada pembilang dapat difaktorkan dengan mengikuti konsep: a^2-b^2 = (a+b) (a-b), sehingga dapat ditulis
\begin{aligned} &\dfrac{(^3 \log 45)^2 - (^3 \log 5)^2}{^3 \log \sqrt[3]{15}} \\ & = \dfrac{(^3 \log 45 + ^3 \log 5)(^3 \log 45 - ^3 \log 5)} {^3 \log 15^{\frac{1}{3}}} \\ & = \dfrac{(^3 \log 225)(^3 \log 9)} {\frac{1}{3}. ^3 \log 15} \\ & = \dfrac{(^3 \log 15^2)(2)} {\frac{1}{3}. ^3 \log 15} \\ & = \dfrac{(2)(2)\cancel{(^3 \log 15)}} {\frac{1}{3}. \cancel{^3 \log 15}} \\ & = \dfrac{4}{\frac{1}{3}} = 12 \end{aligned}
Jafi, nilai dari \dfrac{(^3 \log 45)^2 - (^3 \log 5)^2}{^3 \log \sqrt[3]{15}} adalah \boxed{12}.

[collapse]

Soal Nomor 39
Jika 60^a = 3 dan 60^b = 5, maka nilai dari 12^{\frac{1-a-b} {2-2b}} adalah \cdots

Penyelesaian

Diketahui:
\boxed{\begin{aligned} 60^a = 3 & \iff a = ^{60} \\ 60^b = 5 & \iff b = ^{60} \log 5 \end{aligned}}
Sederhanakan dulu ekspresi pangkatnya. 
\begin{aligned} \dfrac{1-a-b} {2-2b} & = \dfrac{1- ^{60} \log 3 - ^{60} \log 5}{2-2(^{60} \log 5)} \\ & = \dfrac{^{60} \log 60 - ^{60} \log 3 - ^{60} \log 5}{^{60} \log 60^2 - ^{60} \log 25} \\ & = \dfrac{^{60} \log (60 : 3 : 5)} {^{60} \log (3600 : 25)} \\ & = \dfrac{^{60} \log 4}{^{60} \log 144} \\ & = ^{144} \log 4 = ^{12} \log 2 \end{aligned}
Dengan demikian, dapat ditulis
12^{^{12} \log 2} = 2
Jadi, nilai dari 12^{\frac{1-a-b} {2-2b}} adalah \boxed{2}

[collapse]

Soal Nomor 40
Tentukan hasil dari \dfrac{5^{2-n} - (0,2)^n}{5^{1-n} + (0,2)^n}.

Penyelesaian

Dengan menggunakan sifat pangkat: \boxed{\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}} dan definisi bahwa \boxed{a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}}, kita peroleh
\begin{aligned} \dfrac{5^{2-n} - (0,2)^n}{5^{1-n} + (0,2)^n} & = \dfrac{\dfrac{5^2}{5^n} - \left(\dfrac{1}{5}\right)^n}{\dfrac{5}{5^n} + \left(\dfrac{1}{5}\right)^n} \\ & = \dfrac{\dfrac{25}{5^n} - \dfrac{1}{5^n}}{\dfrac{5}{5^n} + \dfrac{1}{5^n}} \\ & = \dfrac{\dfrac{25 -1}{\cancel{5^n}}}{\dfrac{5+1}{\cancel{5^n}}} \\ & = \dfrac{25-1}{5+1} = \dfrac{24}{6} = 4 \end{aligned}
Jadi, hasil dari \boxed{\dfrac{5^{2-n} - (0,2)^n}{5^{1-n} + (0,2)^n} = 4}

[collapse]

Soal Nomor 41
Jika 3^{\frac{x}{y}} adalah penyederhanaan dari \sqrt{3\sqrt{9\sqrt{27}}}}, tentukan nilai x+y.

Penyelesaian

Perhatikan bahwa 3, 9, 27 memiliki basis perpangkatan yang sama dan ingat bahwa \boxed{\sqrt[m]{a^n} = a^{\frac{n}{m}}}, sehingga
\begin{aligned} \sqrt{3\sqrt{9\sqrt{27}}}} & = \sqrt{3\sqrt{9\sqrt{3^3}}}} \\ & = \sqrt{3\sqrt{9(3^\frac{3}{2})}} \\ & = \sqrt{3\sqrt{3^2(3^\frac{3}{2})}} \\ & = \sqrt{3\sqrt{3^{\frac{7}{2}}} \\ & = \sqrt{3(3^{\frac{7}{4}})} \\ & = \sqrt{3^{\frac{11}{4}}}= 3^{\frac{11}{8}} \end{aligned}
Jadi, bentuk sederhana dari \sqrt{3\sqrt{9\sqrt{27}}}} adalah 3^{\frac{11}{8}}, sehingga diperoleh nilai x = 11 dan y = 8. Dengan demikian, \boxed{x + y = 11 + 8 = 19}

[collapse]

Soal Nomor 42
Tentukan nilai dari \dfrac{1}{1+a^{p-q}} + \dfrac{1}{1+a^{q-p}}

Penyelesaian

Dengan menggunakan sifat pangkat bahwa \boxed{a^{m - n} = \dfrac{a^m}{a^n}}, diperoleh
\begin{aligned} \dfrac{1}{1+a^{p-q}} + \dfrac{1}{1+a^{q-p}} & = \dfrac{1}{1 + \dfrac{a^p}{a^q}} + \dfrac{1}{1 + \dfrac{a^q}{a^p}} \\ & = \dfrac{1}{\dfrac{a^q}{a^q} + \dfrac{a^p}{a^q}} + \dfrac{1}{\dfrac{a^p}{a^p} + \dfrac{a^q}{a^p}} \\ & = \dfrac{1}{\dfrac{a^q + a^p}{a^q}} + \dfrac{1}{\dfrac{a^p + a^q}{a^p}} \\ & = \dfrac{a^q}{a^q + a^p} + \dfrac{a^p}{a^p + a^q} \\ & = \dfrac{a^p + a^q}{a^p + a^q} = 1 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\dfrac{1}{1+a^{p-q}} + \dfrac{1}{1+a^{q-p}}=1}

[collapse]

Soal Nomor 43 (Level Olimpiade)
Diketahui N = \dfrac{4}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt[4]{5} + 1)(\sqrt[8]{5} + 1)(\sqrt[16]{5} + 1)}
Carilah nilai dari (N + 1)^{48}

Penyelesaian

Kalikan N dengan \dfrac{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt[4]{5} - 1)(\sqrt[8]{5} - 1)(\sqrt[16]{5} - 1)}{(\sqrt{5} -1)(\sqrt[4]{5} - 1)(\sqrt[8]{5} - 1)(\sqrt[16]{5} -1)}} sehingga nantinya diperoleh
\begin{aligned} N & = \dfrac{\bcancel{4}\cancel{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt[4]{5} - 1)(\sqrt[8]{5} - 1)} (\sqrt[16]{5} - 1)}{\bcancel{(5-1)} \cancel{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt[4]{5} - 1)(\sqrt[8]{5} - 1)} } \\ & = \sqrt[16]{5} - 1 \end{aligned}
Dengan demikian,
\boxed{N + 1 = \sqrt[16]{5} \Rightarrow (N+1)^{48} = (5^{\frac{1}{16}})^{48} = 5^3 = 125}

[collapse]

Soal Nomor 44
Bila x = \sqrt{19-18\sqrt{3}}, carilah nilai \dfrac{x^4 - 6x^3 - 2x^2 + 18x + 23}{(x-4)^2+1}

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 45 
Sederhanakan: \dfrac{\sqrt[4]{86 - 14\sqrt{37}}}{\sqrt{9 - 2\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}} - \sqrt{6 + \sqrt{13 + 4\sqrt{3}}}}

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 46
Apabila a = 0,909090\cdots dan b = 1,331, maka ^a \log b = \cdots

Penyelesaian

Ubah a menjadi bentuk pecahan biasa sebagai berikut.
\begin{aligned} a & = 0,909090\cdots \\ 100a & = 90,909090\cdots \\ & \noindent \rule{5 cm} {0.8pt}~- \\ 99a & = 90 \\ a & = \dfrac{90}{99} = \dfrac{10}{11} \end{aligned}
Selanjutnya, b = 1,331 = \dfrac{1331}{1000}
Dengan demikian, dapat ditulis
\begin{aligned} ^a \log b & = ^{\frac{10}{11}} \log \dfrac{1331}{1000} \\ & = ^{\frac{10}{11}} \log \left(\dfrac{11}{10}\right)^3 \\ & = 3 \times ^{\frac{10}{11}} \log \dfrac{11}{10} \bigstar\\ & = -3 \end{aligned}

Jadi, nilai dari \boxed{^a \log b = -3}
NB: \bigstar Gunakan sifat bahwa \boxed{^{\frac{a}{b}} \log \dfrac{b} {a} = - ^{\frac{a} {b}} \log \dfrac{a}{b} = -1}

[collapse]

Soal Nomor 47
Jika diketahui x dan y adalah bilangan real dengan x > 1 dan y > 0, xy = x^y, dan \dfrac{x} {y} = x^{5y}, maka x^2 +3y = \cdots

Penyelesaian

Misalkan xy = x^y disebut sebagai persamaan pertama, sedangkan \dfrac{x} {y} = x^{5y} disebut sebagai persamaan kedua.
Pandang persamaan kedua.
\begin{aligned} \dfrac{x}{y} & = x^{5y} \\ y & = \dfrac{x} {x^{5y}} = x^{1-5y} \end{aligned}
Substitusikan ini ke persamaan pertama:
\begin{aligned} x(x^{1-5y}) & = x^y \\ x^{2-5y} & = x^y \\ 2 -5y & = y \\ y & =\dfrac{1}{3} \end{aligned}
Substitusikan y = \dfrac{1}{3} ke persamaan kedua, sehingga diperoleh
\begin{aligned} 3x & = x^{\frac{5}{3}} \\ ^x \log 3x & = \dfrac{5}{3} \\ ^x \log x + ^x \log 3 & =\dfrac{5}{3} \\ 1 + ^x \log 3 & = \dfrac{5}{3} \\ ^x \log 3 & = \dfrac{2}{3} \\ x & = 3^{\frac{3}{2}} = \sqrt{27} \end{aligned}
Dengan demikian,
\boxed{x^2 + 3y = (\sqrt{27})^2 + 3\left(\dfrac{1}{3}\right) = 28}

[collapse]

Soal Nomor 48
Jika ^4 \log ^4 \log x - ^4 \log ^4 \log ^4 \log 16 = 2, maka x = \cdots

Penyelesaian

\begin{aligned} ^4 \log ^4 \log x - ^4 \log ^ \4 \log ^4 \log 16 & = 2 \\ ^4 \log ^4 \log x - ^4 \log ^4 \log 2 & = 2 \\ ^4 \log ^4 \log x - ^4 \log \dfrac{1}{2} & = 2 \\ ^4 \log ^4 \log x - ^{2^2} \log 2^{-1} & = 2 \\ ^4 \log ^4 \log x + \dfrac{1}{2} & = 2 \\ ^4 \log ^4 \log x & = \dfrac{3}{2} \\ ^4 \log x & = 4^{\frac{3}{2}} = (2^2)^{\frac{3}{2}} = 8 \\ x = 4^8 \end{aligned}
Jadi, nilai dari x adalah \boxed{x = 4^8}

[collapse]

Soal Nomor 49
Persamaan ^{x^2-6x+14} \log (x-3) = ^{4x^2-4x+1} \log (x^2-6x+9) akan bernilai benar apabila nilai x adalah \cdots

Penyelesaian

Perhatikan ruas kanan persamaan tersebut. Dengan menggunakan sifat bahwa \boxed{a^n \log b^n = a \log b}, diperoleh
\begin{aligned} ^{4x^2-4x+1} \log (x^2-6x+9) & = ^{(2x-1)^2} \log (x-3)^2 \\ & = ^{2x-1} \log (x-3) \end{aligned}
Dengan demikian, persamaannya dapat ditulis sebagai berikut. \begin{aligned} ^{x^2-6x+14} \cancel{\log (x-3)} & = ^{2x-1} \cancel{\log (x-3)} \\ x^2-6x+14 & = 2x - 1 \\ x^2 - 8x + 15 & = 0 \\ (x-3)(x-5) & = 0 \end{aligned}
Diperoleh x = 3 atau x = 5
Sekarang, ingat bahwa numerus logaritma haruslah positif, sehingga x - 3 > 0 \iff \boxed{x > 3}
Untuk itu, hanya x = 5 yang memenuhi syarat ini, sehingga agar persamaan yang diberikan bernilai benar, nilai x adalah \boxed{x=5}.

[collapse]

Soal Nomor 50
Bentuk \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}} {\sqrt{2+\sqrt{3}}} dapat disederhanakan menjadi \cdots

Penyelesaian

Ingat bahwa \boxed{\sqrt{(a+b) \pm 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} \pm \sqrt{b}}.
Untuk itu, dapat kita tuliskan

\begin{aligned} \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}} {\sqrt{2+\sqrt{3}}} & = \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}} {\sqrt{2+\sqrt{4.\frac{3}{4}}}} \\ & = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}} {\sqrt{2 + 2\sqrt{\frac{3}{4}}}} \\ & = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{\left(\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\right) + 2\sqrt{\frac{3}{2}. \frac{1}{2}}}} \\ & = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{\frac{3}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}}} \times \dfrac{\sqrt{\frac{3}{2}} - \sqrt{\frac{1}{2}}}{\sqrt{\frac{3}{2}} - \sqrt{\frac{1}{2}}} \\ & = \dfrac{\sqrt{9} - \sqrt{3} + \sqrt{3} - \sqrt{1}} {\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} \\ & = \dfrac{3-1}{1} = 2 \end{aligned}
Jadi, bentuk sederhana dari \boxed{\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}} {\sqrt{2+\sqrt{3}}} = 2}

[collapse]

Soal Nomor 51
Diketahui \log 3,16 = 0,5. Nilai dari (3,16)^4 adalah \cdots

Penyelesaian

\begin{aligned} \log 3,16 & = 0,5 \\ 10^{0,5} & = 3,16 && (^a log b = c \iff a^c = b) \\ (10^{0,5})^4 & = (3,16)^4 && (\text{Pangkatkan 4 pada kedua ruas}) \\ 10^2 = 100 & = (3,16)^4 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{(3,16)^4 = 100}

[collapse]

Soal Nomor 52
Tentukan hasil dari
\dfrac{3^{2014} - 3^{2011} + 130}{3^{2011} + 5}

Penyelesaian

Dengan menggunakan pemfaktoran, kita peroleh
\begin{aligned} \dfrac{3^{2014} - 3^{2011} + 130}{3^{2011} + 5} & = \dfrac{3^{2011}(3^3 - 1) + 130}{3^{2011} + 5} \\ & = \dfrac{26 \cdot 3^{2011} + 130}{3^{2011} + 5} \\ & = \dfrac{26(\cancel{3^{2011} + 5})}{\cancel{3^{2011} + 5}} \\ & = 26 \end{aligned}
Jadi, hasil dari \boxed{\dfrac{3^{2014} - 3^{2011} + 130}{3^{2011} + 5} = 26}

[collapse]

Soal Nomor 53
Diketahui persamaan:
\begin{aligned} ^2 \log [^3 \log (^5 \log a)] & = ^3 \log [^5 \log (^2 \log b)] \\ & = ^5 \log [^2 \log (^3 \log c)] = 0 \end{aligned}
Nilai a + b + c = \cdots

Penyelesaian

Ingatlah sifat logaritma berikut. 
\boxed{\begin{aligned} ^a \log a & = 1 \\ ^a \log 1 & = 0 \\ ^a \log a^n & = n \end{aligned}}
Tinjau persamaan ^2 \log [^3 \log (^5 \log a)] = 0. Dengan menggunakan sifat di atas, diperoleh
\begin{aligned} ^3 \log (^5 \log a) & = 1 \\ ^5 \log a & = 3 \\ a & = 5^3 = 125 \end{aligned}
Tinjau persamaan ^3 \log [^5 \log (^2 \log b)] = 0. Dengan menggunakan sifat di atas, diperoleh
\begin{aligned} ^5 \log (^2 \log b) & = 1 \\ ^2 \log b & = 5 \\ b & = 2^5 = 32 \end{aligned}
Tinjau persamaan ^5 \log [^2 \log (^3 \log a)] = 0. Dengan menggunakan sifat di atas, diperoleh
\begin{aligned} ^2 \log (^3 \log c) & = 1 \\ ^3 \log c & = 2 \\ c & = 3^2 = 9 \end{aligned}
Dengan demikian, 
\boxed{a+b+c = 125+32+9= 166}

[collapse]

Soal Nomor 54
Hitunglah \dfrac{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)} {2^{32}-1}

Penyelesaian

Faktorkan penyebutnya, sehingga dapat ditulis
\begin{aligned} & \dfrac{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)} {2^{32}-1} \\ & = \dfrac{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)} {(2^{16}+1)(2^{16}-1)} \\ & = \dfrac{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)} {(2^{16}+1)(2^8+1)(2^8-1)} \\ & = \dfrac{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)} {(2^{16}+1)(2^8+1)(2^4+1)(2^4-1)} \\ & = \dfrac{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)} {(2^{16}+1)(2^8+1)(2^4+1)(2^2+1)(2^2-1)} \\ & = \dfrac{\cancel{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)}} {\cancel{(2^{16}+1)(2^8+1)(2^4+1)(2^2+1)(2+1)} (2-1)} \\ & = \dfrac{1}{2-1} = 1 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \dfrac{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)} {2^{32}-1} adalah \boxed{1}

[collapse]

Soal Nomor 55
Jika (5+4)(5^2+4^2)(5^4+4^4) = 5^x-2^y, maka nilai x+y = \cdots

Penyelesaian

\begin{aligned} & (5+4)(5^2+4^2)(5^4+4^4) \\ & = \dfrac{\cancel{5^2-4^2}}{5-4} \cdot \dfrac{\bcancel{5^4-4^4}}{\cancel{5^2-4^2}} \cdot \dfrac{5^8-4^8}{\bcancel{5^4-4^4}} \\ & = \dfrac{5^8-4^8}{5-4} \\ & = 5^8-4^8 = 5^8 - 2^{16} \end{aligned}
Jadi, diperoleh x = 8 dan y = 16, sehingga \boxed{x+y=8+16 = 24}

[collapse]

Soal Nomor 56
Bilangan real positif a, b, dan c memenuhi: a^{^3 \log 7} = 27, b^{^7 \log 11} = 49, dan c^{^{11} \log 25} = \sqrt{11}. Tentukan hasil dari
a^{(^3 \log 7)^2} + b^{(^7 \log 11)^2} + c^{(^{11} \log 25)^2}

Penyelesaian

Ingat sifat logaritma: \boxed{a^{^a \log b} = b}
Perhatikan bahwa:
\begin{aligned} a^{(^3 \log 7)^2} & = \left[a^{^3 \log 7}\right]^{^3 \log 7} \\ & = 27^{^3 \log 7} \\ & = (3^3)^{^3 \log 7} \\ & = 3^{^3 \log 7^3} = 7^3 = 343 \end{aligned}
Dengan prinsip yang sama, diperoleh
\begin{aligned} b^{(^7 \log 11)^2} & = \left[b^{^7 \log 11}\right]^{^7 \log 11} \\ & = 49^{^7 \log 11} \\ & = (7^2)^{^7 \log 11} \\ & = 7^{^7 \log 11^2} = 11^2 = 121 \end{aligned}
\begin{aligned} c^{(^{11} \log 25)^2} & = \left[c^{^{11} \log 25}\right]^{^11 \log 25} \\ & = (\sqrt{11})^{^{11} \log 25} \\ & = (11^{\frac{1}{2})^{^{11} \log 25} \\ & = 11^{^{11} \log 25^{\frac{1}{2}}} = 25^{\frac{1}{2}} = 5 \end{aligned}
Dengan demikian, diperoleh
\boxed{\begin{aligned} & a^{(^3 \log 7)^2} + b^{(^7 \log 11)^2} + c^{(^{11} \log 25)^2} \\ & = 343+121+5 = 469 \end{aligned}}

[collapse]

Soal Nomor 57 (Level Olimpiade)
Misal a,b,c, dan d adalah bilangan bulat positif yang memenuhi ^a \log b^2 = 3 dan ^c \log d^4 = 5, serta a-c=9, maka b-d=\cdots

Penyelesaian

Perhatikan bahwa,
\begin{aligned} & ^a \log b^2 = 3 \iff a^3 = b^2 \iff a = b^{\frac{2}{3}} \\ & ^c \log d^4 = 5 \iff c^5 = d^4 \iff c = d^{\frac{4}{5}} \end{aligned}
Karena a dan c harus berupa bilangan bulat positif, maka b dan d haruslah memenuhi persyaratan berikut.
b harus berupa bilangan kubik: 1, 8, 27, 64, 125, \cdots
Ini mengakibatkan nilai a berturut-turut adalah: 1, 4, 9, 16, 25, \cdots
d merupakan bilangan hasil pangkat lima: 1, 32, 243, 1.024, 3.125, \cdots
Ini mengakibatkan nilai c berturut-turut adalah: 1, 16, 81, 256, 625, \cdots
Karena diberikan a-c=9, maka nilai a dan c berturut-turut yang mungkin adalah 25 dan 16.
Jika a = 25, maka b = 125, sedangkan jika c = 16, maka d = 32, sehingga \boxed{b - d = 125 - 32 = 93}.

[collapse]

Soal Nomor 58 (Level Olimpiade)
Jika 9^x + 9^{-x} - 3^{2+x} + 3^{2-x} + 16 = 0, maka 3^x - 3^{-x} adalah \cdots

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
\begin{aligned} 9^x + 9^{-x} - 3^{2+x} + 3^{2-x} + 16 & = 0 \\ 3^{2x} + 3^{-2x} - 9 \cdot 3^x + 9 \cdot 3^{-x} + 16 & = 0 \\ 3^{2x} + 3^{-2x} & = 9 \cdot 3^x - 9 \cdot 3^{-x} - 16 \end{aligned}
Selanjutnya,
\begin{aligned} (3^x - 3^{-x})^2 & = (3^{2x} + 3^{-2x}) - 2 \\ & = (9 \cdot 3^x - 9 \cdot 3^{-x} - 16) - 2 \\ & = 9(3^x - 3^{-x}) - 18 \end{aligned}
Sekarang, misalkan 3^x - 3^{-x} = a, maka
\begin{aligned} a^2 & = 9a - 18 \\ a^2 - 9a + 18 & = 0 \\ (a - 6)(a-3) & = 0 \end{aligned}
Diperoleh a = 6 \lor a = 3
Ini berarti, \boxed{3^x - 3^{-x} = 6} atau \boxed{3^x - 3^{-x} = 3}

[collapse]

Soal Nomor 59 (Level Olimpiade) 
Sederhanakanlah
\begin{aligned} (\sqrt{5} + \sqrt{6} + \sqrt{7}) & (\sqrt{5} + \sqrt{6} - \sqrt{7}) \\ & (\sqrt{5} - \sqrt{6} + \sqrt{7}) (-\sqrt{5} + \sqrt{6} + \sqrt{7}) \end{aligned}

Penyelesaian

Gunakan sifat pemfaktoran a^2-b^2 = (a+b) (a-b) dan juga (a \pm b)^2 = a^2+b^2 \pm 2ab untuk menyederhanakan bentuk akar di atas. 
Perhatikan bahwa, 
\begin{aligned} & (\sqrt{5} + \sqrt{6} + \sqrt{7}) (\sqrt{5} + \sqrt{6} - \sqrt{7}) \\ & = (\sqrt{5}+\sqrt{6})^2 - (\sqrt{7})^2 \\ & = (5 + 6 + 2\sqrt{30}) - 7 \\ & = 4 + 2\sqrt{30} \end{aligned}
Selanjutnya, 
\begin{aligned} & (\sqrt{5} - \sqrt{6} + \sqrt{7}) (-\sqrt{5} + \sqrt{6} + \sqrt{7}) \\ & = [\sqrt{7} + (\sqrt{5} - \sqrt{6})][\sqrt{7} - (\sqrt{5} - \sqrt{6})] \\ & = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5} - \sqrt{6})^2 \\ & = 7 - (5 + 6 - 2\sqrt{30}) \\ & = -4 + 2\sqrt{30} \end{aligned}
Jadi, bentuk akar pada soal dapat ditulis menjadi
\begin{aligned} (4+2\sqrt{30}) (-4+2\sqrt{30}) & = (2\sqrt{30})^2 - 4^2 \\  & = 120 - 16 = 104 \end{aligned}
Dengan demikian, bentuk sederhananya adalah \boxed{104}

[collapse]

Soal Nomor 60 (Level Olimpiade) 
Carilah nilai
\dfrac{2.007^2 + 2.008^2 + 2.009^2 - 1.991^2 - 1.992^2- 1.993^2}{2^7 \cdot 5^2}

Penyelesaian

Dengan menggunakan sifat pemfaktoran: \boxed{a^2-b^2=(a+b) (a-b)}, diperoleh
\begin{aligned} & \dfrac{2.007^2 + 2.008^2 + 2.009^2 - 1.991^2 - 1.992^2- 1.993^2}{2^7 \cdot 5^2} \\ & = \dfrac{(2.009^2-1.991^2)+(2.008^2-1.992^2)+(2.007^2-1.993^2)} {2^7 \cdot 5^2} \\ & = \dfrac{(2.007+1.993)(2.007-1993)+(2.008+1.992)(2.008-1.992)}{2^7 \cdot 5^2}\\ & +\dfrac{(2.009+1.991)(2.009-1.991)} {2^7 \cdot 5^2} \\ & = \dfrac{4.000(14+16+18)} {2^7 \cdot 5^2} \\ & = \dfrac{2^2 \cdot 1.000 \cdot 48}{2^7 \cdot 5^2} \\ & = \dfrac{2^2 \cdot 2 \cdot 500 \cdot 2^4 \cdot 3}{2^7 \cdot 5^2} \\ & = \dfrac{\cancel{2^7} \cdot \bcancel{5^2} \cdot 20 \cdot 3}{\cancel{2^7} \cdot \bcancel{5^2}} \\ & = 20 \cdot 3 = 60 \end{aligned}
Jadi, nilai dari bentuk tersebut adalah \boxed{60}

[collapse]

Soal Nomor 61 (Level Olimpiade)
Jika A = \sqrt[5]{16} + \sqrt[5]{8} + \sqrt[5]{4} + \sqrt[5]{2} + 1, carilah nilai \left(1 + \dfrac{1}{A}\right)^{50}

Penyelesaian

Pandang
\begin{aligned} A & = \sqrt[5]{16} + \sqrt[5]{8} + \sqrt[5]{4} + \sqrt[5]{2} + 1 \\ \sqrt[5]{2}A & = \underbrace{\sqrt[5]{32}}_{= 2} + \sqrt[5]{16} + \sqrt[5]{8} + \sqrt[5]{4} + 1 \\ & = \sqrt[5]{16} + \sqrt[5]{8} + \sqrt[5]{4} + \sqrt[5]{2} + 2 \\ & \noindent \rule{5 cm}{0.8 pt}~- \\  (1 - \sqrt[5]{2})A & = -1 \Rightarrow A = \dfrac{1}{\sqrt[5]{2} - 1} \\  \dfrac{1}{A} & = \sqrt[5]{2} - 1 \\  \dfrac{1}{A} + 1 & = \sqrt[5]{2} = 2^{\frac{1}{5}} \end{aligned}
Jadi, \boxed{\left(1 + \dfrac{1}{A}\right)^{50} = (2^{\frac{1}{5}})^{50} = 2^{10} = 1.024}

[collapse]

\LARGE\fbox{\LARGE\fbox{SELAMAT BELAJAR}}

Ayo Beri Rating Postingan Ini

9 Balasan untuk “Soal dan Pembahasan – Pangkat, Akar, dan Logaritma”

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *