Soal dan Pembahasan – Pangkat, Akar, dan Logaritma

     Berikut ini merupakan soal mengenai pangkat, akar, dan logaritma (soal standar dengan tingkat LOTS dan MOTS) yang dikutip dari berbagai sumber referensi. Soal-soal berikut masing-masing telah disediakan pembahasannya.

Baca : Soal dan Pembahasan- Pangkat, Akar, dan Logaritma (Versi HOTS dan Olimpiade)

Today Quote

Don’t stop when you’re tired. STOP when you are done. 

Baca : Soal dan Pembahasan- Persamaan Pangkat (Eksponen) Sederhana

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1

Bentuk $10^9 \times 100^2 \times 1.000^{-3} \times 10.000^{-2}$ $\times 2.222^0$ dapat dinyatakan dalam basis $10$ menjadi $\cdots \cdot$
A. $10^{-8}$                C. $10^{-4}$              E. $10^4$
B. $10^{-6}$                D. $10^2$

Pembahasan

Perhatikan bahwa $100 = 10^2, 1.000 = 10^3, 10.000=10^4$, dan $a^0 = 1$ untuk $a \neq 0$ sehingga bentuk pangkat di atas dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} & 10^9 \times (10^2)^2 \times (10^3)^{-3} \times (10^4)^{-2} \times 1 \\ & = 10^9 \times 10^4 \times 10^{-9} \times 10^{-8} \\ & = 10^{9 + 4 + (-9) + (-8)} = 10^{-4} \end{aligned}$
Jadi, bentuk tersebut dapat ditulis menjadi basis $10$, yaitu $\boxed{10^{-4}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 2

Nilai dari $\dfrac{5 \times 10^{-6} \times 1.000.000}{(100)^{-3}}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $5 \times 10^{-6}$               D. $5 \times 10^{5}$
B. $5 \times 10^{-5}$               E. $5 \times 10^{6}$
C. $5 \times 10^{3}$

Pembahasan

Dengan menggunakan sifat-sifat pangkat beserta aturan notasi ilmiah, diperoleh
$$\begin{aligned}  \dfrac{5 \times 10^{-6} \times 1.000.000}{(100)^{-3}} & = \dfrac{5 \times 10^{-6} \times 10^6}{(10^2)^{-3}} \\ & = \dfrac{5 \times 10^{-6 + 6}} {10^{-6}} \\ & = 5 \times 10^{-6 + 6- (-6)} = \boxed{5 \times 10^6} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{5 \times 10^{-6} \times 1.000.000}{(100)^{-3}} = 5 \times 10^6}$
(Jawaban E) 

[collapse]

Soal Nomor 3

Bentuk sederhana dari $\left(\dfrac{9a^2b^{-1}c^3}{27a^{-1}b^2c^2}\right)^{-1}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{3b^3}{a^3c}$                       D. $\dfrac{b^3c}{3a^3}$
B. $\dfrac{3a^3}{b^3c}$                       E. $\dfrac{3a^3b^3}{c}$
C. $\dfrac{a^3c}{3b^3}$

Pembahasan

Sederhanakan dengan menggunakan sifat-sifat pangkat dan nyatakan dalam pangkat positif.
$\begin{aligned} \left(\dfrac{9a^2b^{-1}c^3}{27a^{-1}b^2c^2}\right)^{-1} & = \dfrac{27a^{-1}b^2c^2}{9a^2b^{-1}c^3} \\ & = 3a^{-1-2}b^{2-(-1)}c^{2-3} \\ & = 3a^{-3}b^3c^{-1} \\ & = \boxed{\dfrac{3b^3}{a^3c}} \end{aligned}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 4

Bentuk sederhana dari $\left(\dfrac{2x^{-1}y^2z^{-2}} {4xy^{-3}z^2}\right)^{-2}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{2x^4z^8}{y^{10}}$                        D. $\dfrac{2x^2z^4}{y^{5}}$
B. $\dfrac{4x^4z^8}{y^{10}}$                        E. $\dfrac{4x^2z^4}{y^{5}}$
C. $\dfrac{4x^4z^8}{y^{8}}$

Pembahasan

Sederhanakan dengan menggunakan sifat-sifat pangkat dan nyatakan dalam pangkat positif.
$$\begin{aligned} \left(\dfrac{2x^{-1}y^2z^{-2}} {4xy^{-3}z^2}\right)^{-2} & = \left(\dfrac{y^{2-(-3)}}{2x^{1-(-1)}z^{2-(-2)}}\right)^{-2} \\ & = \left(\dfrac{y^5}{2x^2z^4}\right)^{-2} \\ & = \left(\dfrac{2x^2z^4}{y ^5}\right)^2 \\ & = \boxed{\dfrac{4x^4z^8}{y^{10}}}\end{aligned}$$(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 5

$\left(\dfrac{x^{-1} + y^{-1}} {x^{-1}-y^{-1}}\right)^{-1}$ dalam bentuk pangkat positif adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{x-y}{x+y}$                        D. $\dfrac{x+y}{y-x}$
B. $\dfrac{y-x}{x+y}$                        E. $\dfrac{1}{x+y}$
C. $\dfrac{x+y}{x-y}$

Pembahasan

Ingat bahwa $x^{-1} = \dfrac{1}{x}$ untuk setiap $x \neq 0$. Untuk itu,
$\begin{aligned} \left(\dfrac{x^{-1} + y^{-1}} {x^{-1}-y^{-1}}\right)^{-1} & = \dfrac{x^{-1}-y^{-1}} {x^{-1}+y^{-1}} \\ & = \dfrac{\dfrac{1}{x}- \dfrac{1}{y}} {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \\ & = \dfrac{\dfrac{y-x} {\cancel{xy}}} {\dfrac{x+y} {\cancel{xy}}} = \dfrac{y-x}{x+y} \end{aligned}$ 
Jadi, bentuk pangkat positif dari $\left(\dfrac{x^{-1} + y^{-1}} {x^{-1}-y^{-1}}\right)^{-1}$ adalah $\boxed{\dfrac{y-x} {x+y}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 6

Diketahui $3^{2+x} = 45$, maka $3^{2x}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $9$                    C. $45$                E. $125$
B. $25$                 D. $81$

Pembahasan

Perhatikan bahwa persamaan $3^{2+x} = 45$ dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} \cancel{3^2} \cdot 3^x & = \cancel{3^2} \cdot 5 \\ 3^x & = 5 \\ \text{Kuadratkan}&~\text{kedua ruas} \\  (3^x)^2 & = 5^2 \\ 3^{2x} & = 25 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $3^{2x}$ adalah $\boxed{25}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 7

Jika $x > 0$ dan $x \neq 1$ memenuhi bentuk $x^{\frac{1}{p}} \cdot x^{\frac{1}{q}} = x^{\frac{1}{pq}}$ dengan $p$ dan $q$ bilangan rasional, maka hubungan antara $p$ dan $q$ adalah $\cdots \cdot$
A. $p+q=0$                   D. $p-q=1$
B. $p+q=1$                   E. $q-p=1$
C. $p-q=0$

Pembahasan

Dengan menggunakan sifat perpangkatan, diperoleh
$\begin{aligned} x^{\frac{1}{p}} \cdot x^{\frac{1}{q}} & = x^{\frac{1}{pq}} \\ x^{\frac{1}{p} + \frac{1}{q}} & = x^{\frac{1}{pq}} \end{aligned}$
Karena $x > 0$ dan $x \neq 1,$ maka persamaan terakhir berlaku jika pangkatnya sama.
$\begin{aligned} \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} & = \dfrac{1}{pq} \\ \dfrac{p+q} {\cancel{pq}} & = \dfrac{1}{\cancel{pq}} \\ p+q & = 1 \end{aligned}$ 
Jadi, hubungan antara $p$ dan $q$ dinyatakan oleh persamaan $\boxed{p + q = 1}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 8

Jika diketahui $x$ dan $y$ adalah bilangan real dengan $x > 1$ dan $y > 0, xy = x^y$, dan $\dfrac{x} {y} = x^{5y}$, maka $x^2 +3y = \cdots \cdot$
A. $14$                  C. $26$                E. $30$
B. $16$                  D. $28$

Pembahasan

Misalkan $xy = x^y$ disebut sebagai persamaan pertama, sedangkan $\dfrac{x} {y} = x^{5y}$ disebut sebagai persamaan kedua.
Pandang persamaan kedua.
$\begin{aligned} \dfrac{x}{y} & = x^{5y} \\ y & = \dfrac{x} {x^{5y}} = x^{1-5y} \end{aligned}$
Substitusikan ini ke persamaan pertama:
$\begin{aligned} x(x^{1-5y}) & = x^y \\ x^{2-5y} & = x^y \\ 2-5y & = y \\ y & =\dfrac{1}{3} \end{aligned}$
Substitusikan $y = \dfrac{1}{3}$ ke persamaan kedua sehingga diperoleh
$\begin{aligned} 3x & = x^{\frac{5}{3}} \\ ^x \log 3x & = \dfrac{5}{3} \\ ^x \log x + ^x \log 3 & =\dfrac{5}{3} \\ 1 + ^x \log 3 & = \dfrac{5}{3} \\ ^x \log 3 & = \dfrac{2}{3} \\ x & = 3^{\frac{3}{2}} = \sqrt{27} \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\boxed{x^2 + 3y = (\sqrt{27})^2 + 3\left(\dfrac{1}{3}\right) = 28}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 9

Nilai dari $\dfrac{1}{1+a^{p-q}} + \dfrac{1}{1+a^{q-p}}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1$                    C. $a^q$                  E. $a^p + a^q$
B. $a^p$                  D. $a^{p + q}$

Pembahasan

Dengan menggunakan sifat pangkat bahwa $\boxed{a^{m- n} = \dfrac{a^m}{a^n}}$, diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac{1}{1+a^{p-q}} + \dfrac{1}{1+a^{q-p}} & = \dfrac{1}{1 + \dfrac{a^p}{a^q}} + \dfrac{1}{1 + \dfrac{a^q}{a^p}} \\ & = \dfrac{1}{\dfrac{a^q}{a^q} + \dfrac{a^p}{a^q}} + \dfrac{1}{\dfrac{a^p}{a^p} + \dfrac{a^q}{a^p}} \\ & = \dfrac{1}{\dfrac{a^q + a^p}{a^q}} + \dfrac{1}{\dfrac{a^p + a^q}{a^p}} \\ & = \dfrac{a^q}{a^q + a^p} + \dfrac{a^p}{a^p + a^q} \\ & = \dfrac{a^p + a^q}{a^p + a^q} = 1 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{1}{1+a^{p-q}} + \dfrac{1}{1+a^{q-p}}=1}$
(Jawaban A) 

[collapse]

Soal Nomor 10

Panjang sisi miring suatu segitiga siku-siku adalah $2^{x+2}$. Jika panjang dua sisi yang lain adalah $4$ dan $2^{2x+1}$, maka nilai $x$ yang memenuhi adalah $\cdots \cdot$
A. $-\dfrac12$                   C. $\dfrac14$                 E. $1$
B. $0$                        D. $\dfrac12$

Pembahasan

Berdasarkan Teorema Pythagoras, berlaku
$\begin{aligned} 4^2 + (2^{2x+1})^2 & = (2^{x+2})^2 \\ 16 + 2^{4x+2} & = 2^{2x+4} \\ 16 + 2^{4x} \cdot 2^2 & = 2^{2x} \cdot 2^4 \\ 16 + (2^{2x})^2 \cdot 4 & = 16 \cdot 2^{2x} \end{aligned}$
Misalkan $2^{2x} =a$ sehingga diperoleh 
$$\begin{aligned} 16 + a^2 \cdot 4 & = 16a \\ 4a^2-16a + 16 & = 0 \\ a^2-4a + 4 & = 0 && (\text{kedua ruas dibagi 4}) \\ (a-2)^2 & = 0 \end{aligned}$$Jadi, diperoleh $a = 2$. Ini berarti, $2^{2x} = 2$, dan akibatnya nilai $x$ adalah $\boxed{\dfrac{1}{2}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 11

Jika $p = (x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{3}}-x^{-\frac{1}{3}})$ dan $q = (x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}})(x-x^{\frac{1}{3}})$, maka $\dfrac{p} {q} = \cdots \cdot$
A. $\sqrt{x^{-1}}$               C. $\sqrt[3]{x}$                E. $\sqrt[4]{x}$
B. $\sqrt[3]{x^{-1}}$               D. $\sqrt[3]{x}$

Pembahasan

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} \dfrac{p} {q} & = \dfrac{(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{3}}- x^{-\frac{1}{3}})} {(x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}})(x-x^{\frac{1}{3}})} \\ & = \dfrac{x(\cancel{(x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}})}\bcancel{(x^{\frac{1}{3}}-x^{-\frac{1}{3}})}} {\cancel{ (x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}})} x^{\frac{2}{3}}\bcancel{(x^{\frac{1}{3}}-x^{-\frac{1}{3}})}} \\ & = \dfrac{x} {x^{\frac{2}{3}}} = x^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{x} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\dfrac{p} {q} $ adalah $\boxed{\sqrt[3]{x}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 12

Jika $a+b=1$ dan $a^2 + b^2 = 2$, maka $a^4 + b^4 = \cdots \cdot$
A. $2\dfrac12$                  C. $3\dfrac12$                   E. $4\dfrac12$
B. $3\dfrac14$                  D. $4$

Pembahasan

Kuadratkan kedua ruas pada persamaan $a+b=1$ sehingga ditulis
$\begin{aligned} (a+b)^2 & = 1^2 \\  a^2 + b^2 + 2ab & = 1 \\ 2 + 2ab & = 1 \\ 2ab & =-1 \\ ab & =-\dfrac{1}{2} \end{aligned}$
Selanjutnya, dengan menggunakan kesimetrian bentuk pangkat, diperoleh
$\begin{aligned} a^4 + b^4 & = (a^2 + b^2)(a^2 + b^2)- 2(ab)^2 \\ & = (2)(2)- 2\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 \\ & = 4- 2 \times \dfrac{1}{4} \\ & = 4-\dfrac{1}{2} = 3\dfrac{1}{2} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{a^4 + b^4 = 3\dfrac{1}{2}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 13

Jika $a^x = b^y = c^z$ dan $b^2=ac$, maka $x = \cdots \cdot$
A. $\dfrac{2yz}{y+z}$                    D. $\dfrac{yz}{2y-z}$
B. $\dfrac{2yz}{2z-y}$                  E. $\dfrac{yz}{2z-y}$
C. $\dfrac{2yz}{2y-z}$

Pembahasan

Misalkan $a^x = b^y = c^z = k^{xyz}$ sehingga $a = k ^{yz}, b = k^{xz}$, dan $c = k^{xy}$
Dengan demikian, dari persamaan $b^2=ac$, berlaku
$\begin{aligned} (k^{xz})^2 & = k^{yz}k^{xy} \\ k^{2xz} & = k^{yz + xy} \\ 2xz & = yz + xy \\ x(2z-y) & = yz \\ x & = \dfrac{yz}{2z-y} \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{x = \dfrac{yz}{2z-y}}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 14

Bentuk $\dfrac{3\sqrt{3} + \sqrt{7}} {\sqrt{7}-2\sqrt{3}}$ dapat disederhanakan menjadi $\cdots \cdot$
A. $\sqrt{21}+5$
B. $\sqrt{21}-5$
C. $5-\sqrt{21}$
D. $-5-\sqrt{21}$
E. $\sqrt{5}+21$

Pembahasan

Akar sekawan dari $\sqrt{7}-2\sqrt{3}$ adalah $\sqrt{7} + 2\sqrt{3}$ sehingga dengan menggunakan perkalian akar sekawan, diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac{3\sqrt{3} + \sqrt{7}} {\sqrt{7}-2\sqrt{3}} & = \dfrac{3\sqrt{3} + \sqrt{7}} {\sqrt{7}-2\sqrt{3}} \times \dfrac{\sqrt{7} + 2\sqrt{3}}{\sqrt{7}+2\sqrt{3}} \\ & = \dfrac{3\sqrt{3} \cdot \sqrt{7} + 3\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} +\sqrt{7} \cdot \sqrt{7} + \sqrt{7} \cdot 2\sqrt{3}} {(\sqrt{7})^2- (2\sqrt{3})^2} \\ & = \dfrac{3\sqrt{21} + 18 + 7 + 2\sqrt{21}} {7-12} \\ & = \dfrac{5\sqrt{21} + 25}{-5} \\ & =-\dfrac{\cancel{5}(\sqrt{21}+5)}{\cancel{5}} \\ & =-(\sqrt{21} + 5) \\ & = -5- \sqrt{21} \end{aligned}$$Jadi, bentuk sederhana dari $\dfrac{3\sqrt{3} + \sqrt{7}} {\sqrt{7}-2\sqrt{3}}$ adalah $\boxed{-5- \sqrt{21}}$
(Jawaban D) 

[collapse]

Soal Nomor 15

Bentuk sederhana dari $\dfrac{\sqrt{3} + \sqrt{5}} {2\sqrt{3}-3\sqrt{5}}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{21+5\sqrt{15}} {33}$
B. $\dfrac{21-5\sqrt{15}} {33}$
C. $\dfrac{-21+5\sqrt{15}} {33}$
D. $\dfrac{-21-5\sqrt{15}} {33}$
E. $\dfrac{-33-5\sqrt{15}} {21}$

Pembahasan

Akar sekawan dari $2\sqrt{3}-3\sqrt{5}$ adalah $2\sqrt{3} + 3\sqrt{5}$ sehingga dengan menggunakan perkalian akar sekawan, diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac{\sqrt{3} + \sqrt{5}} {2\sqrt{3}-3\sqrt{5}} \\ & = \dfrac{\sqrt{3} + \sqrt{5}} {2\sqrt{3}- 3\sqrt{5}} \times \dfrac{2\sqrt{3} + 3\sqrt{5}} {2\sqrt{3} + 3\sqrt{5}} \\ & = \dfrac{\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3}+\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 2\sqrt{3} + \sqrt{5} \cdot 3\sqrt{5}} {(2\sqrt{3})^2-(3\sqrt{5})^2} \\ & = \dfrac{6 + 3\sqrt{15} + 2\sqrt{15} + 15}{12-45} \\ & = \dfrac{21+5\sqrt{15}} {-33} \\ & = \dfrac{-21-5\sqrt{15}} {33} \end{aligned}$$Jadi, bentuk sederhana dari $\dfrac{\sqrt{3} + \sqrt{5}} {2\sqrt{3}-3\sqrt{5}}$ adalah $\boxed{\dfrac{-21-5\sqrt{15}}{33}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 16

Bentuk sederhana dari $$\sqrt{72} + \sqrt{50} \times \sqrt{288}-\sqrt{200}$$ adalah $\cdots \cdot$
A. $4\sqrt2+40$                D. $-4\sqrt2+60$
B. $4\sqrt2+60$                E. $-4\sqrt2+120$
C. $4\sqrt2+120$

Pembahasan

Sederhanakan dengan menggunakan sifat-sifat akar.
$$\begin{aligned} &\sqrt{72} + \sqrt{50} \times \sqrt{288}- \sqrt{200} \\ & = \sqrt{36 \times 2} + \sqrt{25 \times 2} \times \sqrt{144 \times 2}-\sqrt{100 \times 2} \\ & = 6\sqrt{2} + 5\sqrt{2} \times 12\sqrt{2}- 10\sqrt{2} \\ & = 6\sqrt{2} + (5 \times 12) \times 2-10\sqrt{2} \\ & =-4\sqrt{2} + 120 \end{aligned}$$Jadi, bentuk sederhananya adalah $\boxed{-4\sqrt{2} + 120}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 17

Bentuk sederhana dari $$2\sqrt{2} + \sqrt{8} + \sqrt{32} + 2\sqrt{3} + \sqrt{12}$$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2\sqrt2+2\sqrt3$                D. $8\sqrt2+4\sqrt3$
B. $4\sqrt2+2\sqrt3$                E. $8\sqrt2+8\sqrt3$
C. $4\sqrt2+4\sqrt3$

Pembahasan

Sederhanakan bentuk akar yang ditandai dengan warna merah, kemudian operasikan dengan menggunakan sifat penjumlahan dan pengurangan bentuk akar. 
$$\begin{aligned} & 2\sqrt{2} + \color{red}{\sqrt{8}} + \color{red}{\sqrt{32}}+ 2\sqrt{3} + \color{red}{\sqrt{12}} \\ & = 2\sqrt{2} + \sqrt{4 \times 2} + \sqrt{16 \times 2} + 2\sqrt{3} + \sqrt{4 \times 3} \\ & = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} + 4\sqrt{2} + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} \\ & = (2+2+4)\sqrt{2} + (2+2)\sqrt{3} \\ & = 8\sqrt{2} + 4\sqrt{3} \end{aligned}$$Jadi, bentuk sederhananya adalah $\boxed{8\sqrt{2} + 4\sqrt{3}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 18

Bentuk sederhana dari $\sqrt{6 + \sqrt{20}}$ adalah $a + \sqrt{b}$ dengan $a, b$ bilangan bulat positif. Nilai dari $a + b = \cdots \cdot$
A. $4$                 C. $6$                E. $9$
B. $5$                 D. $8$

Pembahasan

Gunakan sifat berikut.
$\boxed{ \sqrt{(a+b) + 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}}$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} \sqrt{6 + \sqrt{20}} & = \sqrt{6 + \sqrt{4 \times 5}} \\ & = \sqrt{6 + 2\sqrt{5}} \\ & = \sqrt{(5 + 1) + 2\sqrt{5 \times 1}} \\ & = \sqrt{5} + \sqrt{1} \\ & = 1 + \sqrt{5} \end{aligned}$

Jadi,  bentuk sederhana dari  $\sqrt{6 + \sqrt{20}}$ adalah $\boxed{1 + \sqrt{5}}$ sehingga $a = 1$ dan $b = 5$, berarti $\boxed{a+b=1+5=6}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 19

Bentuk $\sqrt[4]{49-20\sqrt{6}}$ dapat disederhanakan menjadi $\cdots \cdot$
A. $\sqrt3+\sqrt2$               D. $-\sqrt3-\sqrt2$
B. $\sqrt3-\sqrt2$               E. $\sqrt5+\sqrt3+\sqrt2$
C. $\sqrt2-\sqrt3$

Pembahasan

Gunakan sifat akar berikut. 
$\boxed{\begin{aligned} & \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn] {a} \\ & \sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}} = \sqrt{a}- \sqrt{b} \end{aligned}}$
Dengan demikian, dapat ditulis
$$\begin{aligned} \sqrt[4]{49-20\sqrt{6}} & = \sqrt{\sqrt{49-20\sqrt{6}}} \\ & = \sqrt{\sqrt{49-2 \cdot 10\sqrt{6}}} \\ & = \sqrt{\sqrt{49- 2\sqrt{100 \cdot 6}}} \\ & = \sqrt{\sqrt{(25+24)-2\sqrt{25 \cdot 24}}} \\ & = \sqrt{\sqrt{25}-\sqrt{24}} \\ & = \sqrt{5-2\sqrt{6}} \\ & = \sqrt{(3+2)-2\sqrt{3 \cdot 2}} \\ & = \sqrt{3}-\sqrt{2} \end{aligned}$$Jadi, bentuk $\sqrt[4]{49-20\sqrt{6}}$ dapat disederhanakan menjadi $\boxed{\sqrt{3}- \sqrt{2}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 20

Jika $\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{9} = \dfrac{1}{2-\sqrt{3}}$, maka $a = \cdots \cdot$
A. $2$                     C. $8$                    E. $27$
B. $4$                     D. $16$

Pembahasan

Perhatikan bahwa ruas kanan persamaan di atas dapat ditulis sebagai berikut.
$\begin{aligned} \dfrac{1}{2-\sqrt{3}} & = \dfrac{1}{2-\sqrt{3}} \times \dfrac{2+\sqrt{3}} {2+\sqrt{3}} \\ & = \dfrac{2+\sqrt{3}}{4-3} \\ & = 2 + \sqrt{3} \end{aligned}$

Jadi, persamaannya dapat ditulis ulang menjadi
$\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{9} = 2 + \sqrt{3}$
Sekarang, perhatikan bahwa $\sqrt[4]{9} = \sqrt[4]{3^2} = \sqrt{3}$ sehingga haruslah
$\begin{aligned} \sqrt[4]{a} & = 2 \\ (\sqrt[4]{a})^4 & = 2^4 \\ a & = 16 \end{aligned}$
Dengan demikian, nilai $a$ yang memenuhi persamaan di atas adalah $\boxed{a = 16}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 21

Jika $3^{\frac{x}{y}}$ adalah penyederhanaan dari $\sqrt{3\sqrt{9\sqrt{27}}}$, maka nilai $x+y = \cdots \cdot$
A. $13$                   C. $19$                E. $29$
B. $17$                   D. $23$

Pembahasan

Perhatikan bahwa $3, 9, 27$ memiliki basis perpangkatan yang sama dan ingat bahwa $\boxed{\sqrt[m]{a^n} = a^{\frac{n}{m}}}$, sehingga
$\begin{aligned} \sqrt{3\sqrt{9\sqrt{27}}} & = \sqrt{3\sqrt{9\sqrt{3^3}}} \\ & = \sqrt{3\sqrt{9(3^{\frac{3}{2}})}} \\ & = \sqrt{3\sqrt{3^2(3^{\frac{3}{2}})}} \\ & = \sqrt{3\sqrt{3^{\frac{7}{2}}}} \\ & = \sqrt{3(3^{\frac{7}{4}})} \\ & = \sqrt{3^{\frac{11}{4}}}= 3^{\frac{11}{8}} \end{aligned}$
Jadi, bentuk sederhana dari $\sqrt{3\sqrt{9\sqrt{27}}}$ adalah $3^{\frac{11}{8}}$ sehingga diperoleh nilai $x = 11$ dan $y = 8$. Dengan demikian, $\boxed{x + y = 11 + 8 = 19}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 22

Bentuk $\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}} {\sqrt{2+\sqrt{3}}}$ dapat disederhanakan menjadi $\cdots \cdot$
A. $1$                        C. $3$                   E. $6$
B. $2$                       D. $4$

Pembahasan

Ingat bahwa $\boxed{\sqrt{(a+b) \pm 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} \pm \sqrt{b}}$
Untuk itu, dapat kita tuliskan

$$\begin{aligned} \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}} {\sqrt{2+\sqrt{3}}} & = \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}} {\sqrt{2+\sqrt{4 \cdot \frac{3}{4}}}} \\ & = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}} {\sqrt{2 + 2\sqrt{\frac{3}{4}}}} \\ & = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{\left(\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\right) + 2\sqrt{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}}}} \\ & = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{\frac{3}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}}} \times \dfrac{\sqrt{\frac{3}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}}}{\sqrt{\frac{3}{2}}- \sqrt{\frac{1}{2}}} \\ & = \dfrac{\sqrt{9}-\sqrt{3} + \sqrt{3}- \sqrt{1}} {\frac{3}{2}-\frac{1}{2}} \\ & = \dfrac{3-1}{1} = 2 \end{aligned}$$Jadi, bentuk sederhana dari $\boxed{\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}} {\sqrt{2+\sqrt{3}}} = 2}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 23

Bentuk sederhana dari $\dfrac{(\sqrt2-1)^{1-\sqrt3}}{(\sqrt2+1)^{1+\sqrt3}}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1-2\sqrt2$                    D. $3-3\sqrt2$
B. $2-2\sqrt2$                    E. $2\sqrt2$
C. $3-2\sqrt2$

Pembahasan

Sederhanakan dengan menerapkan sifat akar.
$$\begin{aligned}\dfrac{(\sqrt2-1)^{1-\sqrt3}}{(\sqrt2+1)^{1+\sqrt3}} & = \dfrac{\dfrac{\sqrt2-1}{(\sqrt2-1)^{\sqrt3}}}{(\sqrt2+1)(\sqrt2+1)^{\sqrt3}} \\ & = \dfrac{\sqrt2-1}{\color{red}{(\sqrt2-1)^{\sqrt3}}(\sqrt2+1)\color{red}{(\sqrt2+1)^{\sqrt3}}} \\ & = \dfrac{\sqrt2-1}{(\sqrt2+1)(2-1)^{\sqrt3}} \\ & = \dfrac{\sqrt2-1}{\sqrt2+1} \times \color{red}{\dfrac{\sqrt2-1}{\sqrt2-1}} \\ & = \dfrac{2-2\sqrt2 + 1}{2-1} \\ & = 3-2\sqrt2 \end{aligned}$$Jadi, bentuk sederhana dari $\dfrac{(\sqrt2-1)^{1-\sqrt3}}{(\sqrt2+1)^{1+\sqrt3}}$ adalah $\boxed{3- 2\sqrt2}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 24

Jika diketahui $\dfrac25 < x < \dfrac45$, maka nilai dari $$\sqrt{25x^2-20x+4} + \sqrt{25x^2-40x+16}$$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1$                     C. $3$                    E. $8$
B. $2$                     D. $4$

Pembahasan

Karena $\dfrac25 < x < \dfrac45$, maka kita peroleh $2 < 5x < 4,$ mengimplikasikan
$\begin{aligned} 5x > 2 & \Leftrightarrow 5x-2 > 0 && (\cdots 1) \\ 5x < 4 & \Leftrightarrow 5x-4 < 0 && (\cdots 2) \end{aligned}$$Dengan demikian,
$$\begin{aligned} & \sqrt{25x^2-20x+4} + \sqrt{25x^2-40x+16} \\ & = \sqrt{(5x-2)^2} + \sqrt{(5x-4)^2} \\ & = (5x-2)+(-(5x-4)) \\ & = 5x-2-5x+4 = 2 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $$\boxed{\sqrt{25x^2-20x+4} + \sqrt{25x^2-40x+16} = 2}$$(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 25

Diketahui $\log a = 2$ dan $\log b = 4$. Nilai dari $\dfrac{\sqrt{a} \cdot b^3}{a^3 \cdot \sqrt{b}}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $10^3$                     C. $10^6$                   E. $10^9$
B. $10^5$                     D. $10^7$

Pembahasan

Karena $\log a = 2$ dan $\log b = 4$, maka diperoleh $a = 10^2$ dan $b = 10^4$.
Dengan demikian,
$\begin{aligned} \dfrac{\sqrt{a} \cdot b^3}{a^3 \cdot \sqrt{b}} & = \dfrac{\sqrt{10^2} \cdot (10^4)^3}{(10^2)^3 \cdot \sqrt{10^4}} \\ & = \dfrac{10 \cdot 10^{12}}{10^6 \cdot 10^2} \\ & = \dfrac{10^{13}}{10^8} = 10^5 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{\sqrt{a} \cdot b^3}{a^3 \cdot \sqrt{b}} = 10^5}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 26

Diketahui $\log 3,16 = 0,5$. Nilai dari $(3,16)^4$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1$                              D. $1.000$
B. $10$                            E. $10.000$
C. $100$

Pembahasan

Dengan menggunakan hubungan pangkat dan logaritma beserta sifat-sifat eksponen, diperoleh
$$\begin{aligned} \log 3,16 & = 0,5 \\ 10^{0,5} & = 3,16 && (^a \log b = c \iff a^c = b) \\ (10^{0,5})^4 & = (3,16)^4 \\ 10^2 = 100 & = (3,16)^4 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{(3,16)^4 = 100}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 27

Apabila $a = 0,909090\cdots$ dan $b = 1,331,$ maka $^a \log b = \cdots \cdot$
A. $-3$                    C. $\dfrac13$                    E. $3$
B. $-1$                    D. $1$

Pembahasan

Ubah $a$ menjadi bentuk pecahan biasa sebagai berikut.
$\begin{aligned} a & = 0,909090\cdots \\ 100a & = 90,909090\cdots \\ & \rule{3 cm} {0.8pt}~- \\ 99a & = 90 \\ a & = \dfrac{90}{99} = \dfrac{10}{11} \end{aligned}$
Selanjutnya, $b = 1,331 = \dfrac{1.331}{1.000}.$
Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned} ^a \log b & = ^{\frac{10}{11}} \log \dfrac{1.331}{1.000} \\ & = ^{\frac{10}{11}} \log \left(\dfrac{11}{10}\right)^3 \\ & = 3 \times ^{\frac{10}{11}} \log \dfrac{11}{10} \bigstar\\ & =-3 \end{aligned}$

Jadi, nilai dari $\boxed{^a \log b =-3}$
NB: $\bigstar$ Gunakan sifat bahwa $\boxed{^{\frac{a}{b}} \log \dfrac{b} {a} =- ^{\frac{a} {b}} \log \dfrac{a}{b} =-1}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 28

Karakteristik $\log 1.234,56789$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1$                     C. $3$                   E. $9$
B. $2$                     D. $4$

Pembahasan

Nilai karakteristik logaritma ditentukan oleh numerusnya.
Jika diberikan $^a \log x = n$, maka: karakteristiknya 0 jika $1 < x < 10$, karakteristiknya 1 jika $10 < x < 100$,  karakteristiknya 2 jika $100 < x < 1.000$ dan seterusnya.
Karena numerus logaritmanya yaitu $1234,56789$, berada di antara $1.000$ dan $10.000$, maka ini berarti karakteristik logaritmanya adalah $\boxed{3}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 29

Nilai dari $\dfrac{^3 \log^2 18-^3 \log^2 2}{^3 \log 36}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0$                     C. $2$                   E. $4$
B. $1$                     D. $3$

Pembahasan

Gunakan sifat pemfaktoran berikut. $\boxed{a^2-b^2 = (a+b) (a-b)}$
Dalam hal ini, $a = ^3 \log 18$ dan $b = ^3 \log 2$ sehingga dapat ditulis
$\begin{aligned} & \dfrac{^3 \log^2 18-^3 \log^2 2}{^3 \log 36} \\ & = \dfrac{(^3 \log 18-^3 \log 2)(^3 \log 18 + ^3 \log 2)}{^3 \log 36} \\ & = \dfrac{(^3 \log \frac{18}{2})(^3 \log (18 \times 2))} {^3 \log 36} \\ & = \dfrac{(^3 \log 9)(\cancel{^3 \log 36})} {\cancel{^3 \log 36}} \\ & = ^3 \log 9 = 2 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{^3 \log^2 18-^3 \log^2 2}{^3 \log 36} = 2}$
(Jawaban C) 

[collapse]

Soal Nomor 30

Hasil dari $\dfrac{(^3 \log 45)^2-(^3 \log 5)^2}{^3 \log \sqrt[3]{15}}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $6$                    C. $12$                 E. $18$
B. $8$                    D. $16$

Pembahasan

Perhatikan bahwa bentuk pada pembilang dapat difaktorkan dengan mengikuti konsep: $a^2-b^2 = (a+b) (a-b)$ sehingga dapat ditulis
$$\begin{aligned} &\dfrac{(^3 \log 45)^2-(^3 \log 5)^2}{^3 \log \sqrt[3]{15}} \\ & = \dfrac{(^3 \log 45 + ^3 \log 5)(^3 \log 45-^3 \log 5)} {^3 \log 15^{\frac{1}{3}}} \\ & = \dfrac{(^3 \log 225)(^3 \log 9)} {\frac{1}{3} \cdot ^3 \log 15} \\ & = \dfrac{(^3 \log 15^2)(2)} {\frac{1}{3} \cdot ^3 \log 15} \\ & = \dfrac{(2)(2)\cancel{(^3 \log 15)}} {\frac{1}{3} \cdot \cancel{^3 \log 15}} = \dfrac{4}{\frac{1}{3}} = 12 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\dfrac{(^3 \log 45)^2-(^3 \log 5)^2}{^3 \log \sqrt[3]{15}}$ adalah $\boxed{12}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 31

Bentuk sederhana dari 
$\dfrac{^5 \log \sqrt{3} \cdot ^9 \log 125 + ^{16} \log 32}{^2 \log^2 8-^2 \log^2 2} = \cdots \cdot$
A. $\dfrac18$                    C. $\dfrac14$                   E. $1$
B. $\dfrac16$                    D. $\dfrac12$

Pembahasan

Ingat bahwa $^a \log^b c = (^a \log c)^b$. 
Dengan menggunakan sifat-sifat logaritma, diperoleh
$\begin{aligned} & \dfrac{^5 \log \sqrt{3} \cdot ^9 \log 125 + ^{16} \log 32}{^2 \log^2 8-^2 \log^2 2} \\ & = \dfrac{^5 \log 3^{\frac{1}{2}} \cdot ^{3^2} \log 5^3 + ^{2^4} \log 2^5}{(^2 \log 8 + ^2 \log 2)(^2 \log 8-^2 \log 2)} \\ & = \dfrac{\frac{1}{2} \cdot ^5 \log 3 \cdot \frac{3}{2} ^3 \log 5 + \frac{5}{4} ^2 \log 2}{(3 + 1)(3-1)} \\ & = \dfrac{\frac{3}{4} \cdot ^5 \log 5 + \frac{5}{4}} {4 \cdot 2} = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4} \end{aligned} $
Jadi, bentuk sederhana dari $\dfrac{^5 \log \sqrt{3} \cdot ^9 \log 125 + ^{16} \log 32}{^2 \log^2 8-^2 \log^2 2}$ adalah $\boxed{\dfrac{1}{4}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 32

Jika $a = 0,111\cdots$, maka nilai $^a \log 729 = \cdots \cdot$
A. $-9$                   C. $-1$                  E. $3$
B. $-3$                   D. $1$

Pembahasan

Ubah $0,111\cdots$ menjadi bentuk pecahan biasa terlebih dahulu. Perhatikan bahwa,
$\begin{cases} a & = 0,111\cdots && (\cdots 1) \\ 10a & = 1,111\cdots && (\cdots 2) \end{cases}$
Kurangi persamaan $(2)$ dengan persamaan $(1)$,
$\begin{aligned} 10a- a & = 1,111\cdots- 0,111\cdots \\ 9a & = 1 \\ a & = \dfrac{1}{9} = 9^{-1} \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} ^a \log 729 & = \! ^{9^{-1}} \log 9^3 \\ & = \dfrac{3}{-1} \cdot ^9 \log 9 =-3 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{^{0,111\cdots} \log 729 =-3}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 33

Hubungan antara kecepatan pompa sirkulasi dan kapasitas ditentukan oleh
$$R = 356.(10)^{0,000152G}$$dengan $R$ adalah kecepatan (putaran/menit) dan $G$ adalah kapasitas (galon/menit). Apabila $R = 500$, nilai $G$ yang memenuhi persamaan adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{\log 500+\log 356}{0,000152}$
B. $\dfrac{\log 500-\log 356}{0,000152}$
C. $\dfrac{\log 356-\log 500}{0,000152}$
D. $\dfrac{0,000152}{\log 500+\log 356}$
E. $\dfrac{0,000152}{\log 500-\log 356}$

Pembahasan

Diketahui bahwa $R = 356.(10)^{0,000152G}$ dan $R = 500$ sehingga selanjutnya dapat ditulis
$\begin{aligned} 500 & = 356 \cdot (10)^{0,000152G} \\ \dfrac{500}{356} & = 10^{0,000152G} \\ ^{10} \log \dfrac{500}{356} & = 0,000152G \\ \log 500-\log 356 & = 0,000152G \\ G & = \dfrac{\log 500-\log 356}{0,000152} \end{aligned}$
Jadi, nilai $G$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{G = \dfrac{\log 500- \log 356}{0,000152}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 34

Nilai dari $\dfrac{5^{^{25} \log 9}} {8^{^2 \log 3}} = \cdots \cdot$
A. $\dfrac13$                   C. $\dfrac15$                 E. $\dfrac19$
B. $\dfrac14$                   D. $\dfrac18$

Pembahasan

Gunakan sifat logaritma berikut. $\boxed{a^{^a \log b} = b}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} \dfrac{5^{^{25} \log 9}} {8^{^2 \log 3}} & = \dfrac{5^{^{\sqrt{25}} \log \sqrt{9}}}{8^{^{2^3} \log 3^3}} \\ & = \dfrac{5^{^5 \log 3}} {8^{^8 \log 27}} \\ & = \dfrac{3}{27} = \dfrac{1}{9} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{5^{^{25} \log 9}} {8^{^2 \log 3}} = \dfrac19}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 35

Bentuk $5^{^6 \log 7}$ senilai dengan $\cdots \cdot$
A. $7^{^6 \log 5}$                         D. $7^{^5 \log 6}$
B. $6^{^7 \log 5}$                         E. $6^{^5 \log 7}$
C. $5^{^7 \log 6}$

Pembahasan

Dengan menggunakan sifat-sifat logaritma, diperoleh
$$\begin{aligned} 5^{^6 \log 7} & = 5^{\dfrac{^5 \log 7}{^5 \log 6}} \\ & = \left(5^{^5 \log 7}\right)^{\dfrac{1}{^5 \log 6}} \\ & = 7^{^6 \log 5}. \end{aligned}$$Jadi, bentuk $5^{^6 \log 7}$ senilai dengan $\boxed{7^{^6 \log 5}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 36

Jika $m > 1, n > 1$, dan $x > 1$, maka bentuk sederhana dari $\dfrac{^n \log x} {1+ \! ^n \log m} = \cdots \cdot$
A. $^{mn} \log x$                   D. $^{x} \log mn$
B. $^{m+n} \log x$                 E. $^{x} \log \dfrac{m}{n}$
C. $^{m-n} \log x$

Pembahasan

$\begin{aligned} \dfrac{^n \log x} {1+ \! ^n \log m} & = \dfrac{^n \log x} {^n \log n + \! ^n \log m} \\ & = \dfrac{^n \log x} {^n \log mn} \\ & = \! ^{mn} \log x \end{aligned}$
Jadi, bentuk sederhana dari $\dfrac{^n \log x} {1+ \! ^n \log m}$ adalah $\boxed{^{mn} \log x}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 37

Diketahui $^5 \log 3 = a$ dan $^3 \log 4 = b$. Nilai dari $^4 \log 15 = \cdots \cdot$
A. $\dfrac{a+1}{ab}$                    D. $\dfrac{1-a}{ab}$
B. $\dfrac{a-1}{ab}$                     E. $\dfrac{ab}{a+1}$
C. $\dfrac{a+b}{ab}$

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} & ^5 \log 3 = a \iff ^3 \log 5 = \dfrac{1}{a} \\ & ^3 \log 4 = b \end{aligned}$
Ditanya: $^4 \log 15 = \cdots$
Gunakan sifat logaritma berikut. 
$\boxed{^a \log b = \dfrac{^c \log b} {^c \log a}}$
Dengan demikian, 
$\begin{aligned} ^4 \log 15 & = \dfrac{^3 \log 15}{^3 \log 4} \\ & = \dfrac{^3 \log (3 \times 5)}{^3 \log 4} \\ & = \dfrac{^3 \log 3 + ^3 \log 5}{^3 \log 4} \\ & = \dfrac{1 + \frac{1}{a}} {b} \\ & = \dfrac{1+\frac{1}{a}} {b} \times \dfrac{a} {a} \\ & = \dfrac{a + 1}{ab} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{^4 \log 15 = \dfrac{a+1}{ab}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 38

Diketahui $^2 \log 3 = a$ dan $^2 \log 5 = b$. Nilai dari $^9 \log 150$ dalam $a$ dan $b$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{1+a+2b}{2a}$              D. $\dfrac{1+2a+b}{2b}$
B. $\dfrac{1+a+2b}{2b}$              E. $\dfrac{1-a-2b}{2a}$
C. $\dfrac{1+2a+b}{2a}$

Pembahasan

Diketahui: 
$\begin{aligned} & ^2 \log 3 = a \\ &^2 \log 5 = b \end{aligned}$
Ditanya: $^9 \log 150$
Gunakan sifat logaritma berikut. 
$\boxed{^a \log b = \dfrac{^c \log b} {^c \log a}}$
Dengan demikian, 
$\begin{aligned} ^9 \log 150 & = \dfrac{^2 \log 150}{^2 \log 9} \\ & = \dfrac{^2 \log (2 \times 3 \times 5^2)} {^2 \log (3 \times 3)} \\ & = \dfrac{^2 \log 2 + ^2 \log 3 + 2 \cdot ^2 \log 5}{^2 \log 3 + ^2 \log 3} \\ & = \dfrac{1 + a + 2b}{2a} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $^9 \log 150$ dalam $a$ dan $b$ adalah $\boxed{\dfrac{1 + a + 2b}{2a}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 39

Jika nilai $^2 \log 3 = a$ dan $^3 \log 5 = b$, maka $^6 \log 15 = \cdots \cdot$
A. $\dfrac{a+b}{1+a}$                         D. $\dfrac{b(1+a)}{1+a}$
B. $\dfrac{ab}{1+a+b}$                  E. $\dfrac{a(1+b)}{1-a}$
C. $\dfrac{a(1+b)}{1+a}$

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} & ^2 \log 3 = a \iff ^3 \log 2 = \dfrac{1}{a} \\ & ^3 \log 5 = b \end{aligned}$
Ditanya: $^6 \log 15 = \cdots$
Dengan menggunakan cara yang sama, diperoleh
$\begin{aligned} ^6 \log 15 & = \dfrac{^3 \log 15}{^3 \log 6} \\ & = \dfrac{^3 \log (5 \times 3)} {^3 \log (3 \times 2)} \\ & = \dfrac{^3 \log 5 + ^3 \log 3}{^3 \log 3 + ^3 \log 2} \\ & = \dfrac{b+1}{1+\dfrac{1}{a}} \\ & = \dfrac{b+1}{1+\dfrac{1}{a}} \times \dfrac{a} {a} \\ & = \dfrac{a(1+b)} {1+a} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{^6 \log 15 = \dfrac{a(1+b)}{1+a}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 40

Jika $^6 \log 3 = x$ dan $^6 \log 2 = y$, maka $^6 \log \dfrac{2}{27}\sqrt{2}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{6x+3y}{2}$                D. $\dfrac{6x+6y}{2}$
B. $\dfrac{3x+6y}{2}$                E. $\dfrac{-6x+3y}{2}$
C. $\dfrac{3x+3y}{2}$

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} ^6 \log 3 & = x \\ ^6 \log 2 & = y \end{aligned}$
Ditanya: $^6 \log \dfrac{2}{27}\sqrt{2}.$
Dengan menggunakan sifat penjumlahan dan pengurangan logaritma, diperoleh

$$\begin{aligned} ^6 \log \dfrac{2}{27}\sqrt{2} & = ^6 \log 2\sqrt{2}-^6 \log 27 \\ & = ^6 \log 2 + ^6 \log 2^{\frac{1}{2}}-^6 \log 3^3 \\ & = ^6 \log 2 + \dfrac{1}{2} \cdot ^6 \log 2- 3 \cdot ^6 \log 3 \\ & = y + \dfrac{1}{2}y- 3x \\ & = \dfrac{3}{2}y-3x \\ & = \dfrac{-6x + 3y}{2} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{^6 \log \dfrac{2}{27}\sqrt{2} = \dfrac{-6x+3y}{2}}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 41

Jika $^{30} \log 3 = a$ dan $^{30} \log 5 = b$, maka $^{30} \log 4 = \cdots \cdot$
A. $2(2-a-b)$
B. $2(1-a-b)$
C. $2(1+a-b)$
D. $2+a+b$
E. $2-a-b$

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} ^{30} \log 3 &=a \\ ^{30} \log 5 & = b \end{aligned}$
Perhatikan bahwa $30 = 2 \times 3 \times 5$. Dengan menggunakan sifat-sifat logaritma, kita peroleh
$$\begin{aligned} ^{30} \log 30 & = ^{30} \log (2 \times 3 \times 5) \\ ^{30} \log 30 & = ^{30} \log 2 + ^{30} \log 3 + ^{30} \log 5 \\ 1 & = ^{30} \log 2 + a + b \\ ^{30} \log 2 & =1-a-b \\ 2 \times ^{30} \log 2 & = 2(1-a-b) \\ ^{30} \log 4 & = 2(1-a-b) \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $\boxed{^{30} \log 4=2(1-a-b)}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 42

Jika $60^a = 3$ dan $60^b = 5$, maka nilai dari $12^{\frac{1-a-b} {2-2b}} $ adalah $\cdots \cdot$
A. $1$                     C. $4$                  E. $8$
B. $2$                    D. $5$

Pembahasan

Diketahui:
$\boxed{\begin{aligned} 60^a = 3 & \iff a = ^{60} \log 3 \\ 60^b = 5 & \iff b = ^{60} \log 5 \end{aligned}}$
Sederhanakan dulu ekspresi pangkatnya. 
$$\begin{aligned} \dfrac{1-a-b} {2-2b} & = \dfrac{1-^{60} \log 3-^{60} \log 5}{2-2(^{60} \log 5)} \\ & = \dfrac{^{60} \log 60-^{60} \log 3-^{60} \log 5}{^{60} \log 60^2-^{60} \log 25} \\ & = \dfrac{^{60} \log (60 \div 3 \div 5)} {^{60} \log (3600 \div 25)} \\ & = \dfrac{^{60} \log 4}{^{60} \log 144} \\ & = ^{144} \log 4 = ^{12} \log 2 \end{aligned}$$Dengan demikian, dapat ditulis $12^{^{12} \log 2} = 2.$
Jadi, nilai dari $12^{\frac{1-a-b} {2-2b}}$ adalah $\boxed{2}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 43

Jika $\dfrac{^2 \log a} {^3 \log b} = m$ dan $\dfrac{^3 \log a} {^2 \log b} = n,$ dengan $a > 1$, maka $\dfrac{m} {n} = \cdots \cdot$
A. $^2 \log 3)$
B. $^3 \log 2$
C. $(^2 \log 3)^2$
D. $(^3 \log 2)^2$
E. $-(^2 \log 3)^2$

Pembahasan

Perhatikan bahwa $\dfrac{m} {n} = m \times \dfrac{1}{n}$ sehingga
$$\begin{aligned} \dfrac{m} {n} & = \dfrac{^2 \log a} {^3 \log b} \times \dfrac{^2 \log b} {^3 \log a} \\ & = \dfrac{\dfrac{^3 \log a} {^3 \log 2}} {^3 \log b} \times \dfrac{\dfrac{^3 \log b} {^3 \log 2}} {^3 \log a} \\ & = \dfrac{\cancel{^3 \log a \cdot ^3 \log b} } {^3 \log 2 \cdot ^3 \log 2} \times \dfrac{1}{\cancel{^3 \log b \cdot ^3 \log a}} \\ & = \dfrac{1}{(^3 \log 2)^2} = (^2 \log 3)^2 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{m} {n} = (^2 \log 3)^2}$
(Jawaban C)

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan- Fungsi Eksponen (Pangkat)

Soal Nomor 44

Jika $a > b > c > 1$, maka bentuk sederhana dari $\dfrac{^b \log a \cdot \! ^c \log a} {^b \log a + \! ^c \log a}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $^{bc} \log a$                   D. $^{ac} \log b$
B. $^{a} \log bc$                   E. $^{b} \log ac$
C. $^{ab} \log c$

Pembahasan

Gunakan sifat logaritma berikut.
$\boxed{\begin{aligned} ^a \log b \cdot \! ^b \log c & = \! ^a \log c \\ ^a \log b + \! ^a \log c & = \! ^a \log bc \\ ^a \log b & = \dfrac{^c \log b} {^c \log a}\end{aligned}}$
Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac{^b \log a \cdot \! ^c \log a} {^b \log a + \! ^c \log a} & = \dfrac{\dfrac{\log a} {\log b} \cdot \dfrac{\log a} {\log c}} {\dfrac{\log a} {\log b} + \dfrac{\log a} {\log c}} \\ & = \dfrac{\dfrac{\log^2 a} {\cancel{\log b \log c}}} {\dfrac{\log a \log c + \log a \log b}{\cancel{\log b \log c}} } \\ & = \dfrac{\log^2 a} {\log a \log c + \log a \log b} \\ & = \dfrac{\log^{\cancel{2}} a} {\cancel{\log a}(\log c + \log b)} \\ & = \dfrac{\log a} {\log c + \log b} \\ & = \dfrac{\log a} {\log bc} \\ & = \! ^{bc} \log a \end{aligned}$$Jadi, bentuk sederhana dari $\dfrac{^a \log b \cdot \! ^c \log a} {^b \log a + \! ^c \log a}$ adalah $\boxed{^{bc} \log a}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 45

Misalkan $^a \log b = 2, ^b \log c = 3$, dan $^c \log d = 4,$ maka nilai dari $^{abc} \log d$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac23$                 C. $\dfrac83$                 E. $\dfrac{16}{3}$
B. $\dfrac53$                 D. $\dfrac{10}{3}$

Pembahasan

Gunakan sifat logaritma berikut.
$\boxed{\begin{aligned} ^a \log bc & = \! ^a \log b + \! ^a \log c \\ ^a \log b & = \dfrac{^c \log b}{^c \log a}, c > 0 \\ ^a \log b \cdot \! ^b \log c & = \! ^a \log c \end{aligned}}$
Diketahui: $^a \log b = 2, ^b \log c = 3$, dan $^c \log d = 4$. Dengan menggunakan sifat perkalian logaritma, diperoleh
$\begin{aligned} ^a \log b \cdot ^b \log c & = 2 \cdot 3 \\ ^a \log c & = 6 \end{aligned}$
dan
$\begin{aligned} ^a \log b \cdot \! ^b \log c \cdot \! ^c \log d & = 2 \cdot 3 \cdot 4 \\ ^a \log d & = 24 \end{aligned}$
Untuk itu,
$\begin{aligned} ^{abc} \log d & = \dfrac{^a \log d}{^a \log (abc)} \\ & = \dfrac{^a \log d}{^a \log a + \! ^a \log b + ^a \log c} \\ & = \dfrac{24}{1+2+6} \\ & = \dfrac{24}{9} = \dfrac{8}{3} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $^{abc} \log d$ adalah $\boxed{\dfrac{8}{3}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 46

Jika $x = \dfrac{3}{9}$ dan $y = 0,111\cdots$, maka nilai dari $(^x \log y)a^{^a \log 10}$ dengan $a>1$ adalah $\cdots \cdot$
A. $20$                        D. $2a$
B. $10a$                      E. $\frac{1}{2}$
C. $2$

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} x & = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3} = 3^{-1} \\ y & = 0,111\cdots = \dfrac{1}{9} = 3^{-2}.  \end{aligned}$
Perhatikan bahwa bentuk $a^{^a \log b} = b$ untuk $a > 1$.
Dengan demikian,
$\begin{aligned} (^x \log y)a^{^a \log 10} & = (^{3^{-1}} \log 3^{-2}) \cdot 10 \\ & = \dfrac{-2}{-1} \cdot ^3 \log 3 \cdot 10 \\ & = 2 \cdot 1 \cdot 10 = 20 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $(^x \log y)a^{^a \log 10}$ adalah $\boxed{20}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 47

Jika $x>0$ dan $y>0$, maka $\dfrac{3-3 \log^2 xy} {1- \log x^3y^2 + 2 \log x\sqrt{y}} = \cdots \cdot$
A. $3+\log xy$                  D. $\dfrac{1}{3}$
B. $3 \log xy$                       E. $3$
C. $3 \log 10xy$

Pembahasan

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} & \dfrac{3-3 \log^2 xy} {1- \log x^3y^2 + 2 \log x\sqrt{y}} \\ & = \dfrac{3(1- \log^2 xy)} {1-(\log x^3y^2-\log (x\sqrt{y})^2)} \\ & = \dfrac{3\cancel{(1- \log xy)}(1 + \log xy)} {\cancel{1-\log xy}} \\ & = 3(1 + \log xy) \\ & = 3(\log 10 + \log xy) \\ & = 3 \log 10xy \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $$\boxed{\dfrac{3-3 \log^2 xy} {1- \log x^3y^2 + 2 \log x\sqrt{y}} = 3 \log 10xy}$$(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 48

Hasil dari $\dfrac{9-\log^2 a^3b^3}{1-\log a^5b^3 + 2 \log a^2b} = \cdots \cdot$
A. $9 + \log 10ab$
B. $3 + \log 10ab$
C. $3 + 3 \log ab$
D. $9 + 9 \log ab$
E. $\log ab$

Pembahasan

$\begin{aligned} & \dfrac{9-\log^2 a^3b^3}{1-\log a^5b^3 + 2 \log a^2b} \\ & = \dfrac{(3 + \log a^3b^3)(3-\log a^3b^3)}{1-\log a^5b^3 + \log a^4b^2} \\ & = \dfrac{(3 + 3 \log ab)(3-3 \log ab)}{1-\left(\log \dfrac{a^5b^3}{a^4b^2}\right)} \\ & = \dfrac{3(1 + \log ab) \cdot 3\cancel{(1-\log ab)}}{\cancel{1-\log ab}} \\ & = 9(1 + \log ab) \\ & = 9 + 9 \log ab \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $$\boxed{\dfrac{9- \log^2 a^3b^3}{1-\log a^5b^3 + 2 \log a^2b} = 9 + 9 \log ab}$$(Jawaban D)

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan – Persamaan Eksponen

Soal Nomor 49

Jika $x, y$, dan $z$ adalah bilangan bulat positif yang memenuhi
$$x^y \cdot z = \dfrac{3^{50} + 3^{17} \cdot 3^{33} + 3^{16} \cdot 3^{16} \cdot 3^{18} + 3^{11} \cdot 3^{12} \cdot 3^{13} \cdot 3^{14}}{11 \cdot 3^3 + 4 \cdot 3^4 + 13 \cdot 3^3}$$,maka nilai $x+y+z$ yang mungkin adalah $\cdots \cdot$
A. $51$                  C. $53$                E. $55$
B. $52$                  D. $54$

Pembahasan

Dengan memakai sifat-sifat eksponen, kita peroleh
$$\begin{aligned} x^y \cdot z & = \dfrac{3^{50} + 3^{17} \cdot 3^{33} + 3^{16} \cdot 3^{16} \cdot 3^{18} + 3^{11} \cdot 3^{12} \cdot 3^{13} \cdot 3^{14}}{11 \cdot 3^3 + 4 \cdot 3^4 + 13 \cdot 3^3} \\ & = \dfrac{3^{50} + 3^{17+33} + 3^{16+16+18} + 3^{11+12+13+14}}{11 \cdot 3^3 + 12 \cdot 3^3 + 13 \cdot 3^3} \\ & = \dfrac{3^{50} + 3^{50} + 3^{50} + 3^{50}}{(11+12+13) \cdot 3^3} \\ & = \dfrac{\cancel{4} \cdot 3^{50}}{\cancelto{9}{36} \cdot 3^3} \\ & = \dfrac{3^{50}}{3^2 \cdot 3^3} \\ & = 3^{50-2-3} = 3^{45} \end{aligned}$$Diperoleh $x^y \cdot z = 3^{45}$.
Dari bentuk ini, kita dapat menganalisis nilai $x, y$, dan $z$ sebagai berikut.

  1. Jika $x^y \cdot z = 3^{45}$, maka diperoleh $x = 3$, $y = 45$, dan $z = 1$ sehingga $x+y+z = 49$ (tidak menjadi opsi)
  2. Jika $x^y \cdot z = 3^{44} \cdot 3$, maka diperoleh $x = 3$, $y = 44$, dan $z = 3$ sehingga $x+y+z = 50$ (tidak menjadi opsi)
  3. Jika $x^y \cdot z = 3^{43} \cdot 9$, maka diperoleh $x = 3$, $y = 43$, dan $z = 9$ sehingga $\color{red}{x+y+z = 55}$.

Jadi, nilai $x+y+z$ yang mungkin adalah $\boxed{55}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 50

Jika $2^x = 2-\sqrt3$, maka $^{2+\sqrt3} \log 4^x = \cdots \cdot$
A. $-2$                      C. $1$                  E. $2$
B. $-\dfrac12$                   D. $\dfrac12$

Pembahasan

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} 2^x & = 2-\sqrt3 \\ 2^x(2+\sqrt3) & = (2-\sqrt3)(2+\sqrt3) \\ 2^x(2+\sqrt3) & = 4-3 = 1 \\ 2^x & = (2+\sqrt3)^{-1} \\ \text{Kuadratkan}&~\text{kedua ruas} \\ 4^x & = (2+\sqrt3)^{-2} \\ ^{2+\sqrt3} \log 4^x & = -2 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{^{2+\sqrt3} \log 4^x = -2}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 51

Dari bilangan berikut, manakah bilangan yang terbesar?
A. $2^{120}$                    D. $6^{60}$
B. $3^{100}$                    E. $15^{40}$
C. $4^{80}$

Pembahasan

Kelima bilangan berpangkat tersebut merupakan bilangan yang nilainya sangat besar sehingga tidak mungkin dihitung secara manual. Untuk menentukan urutan besar-kecilnya, kita bisa menyamakan pangkatnya. Perhatikan bahwa kelima pangkatnya merupakan kelipatan $20.$ Jadi, kita bisa membuat setiap pangkatnya menjadi $20$ seperti berikut.
$$\begin{aligned} 2^{120} & = (2^6)^{20} = 64^{20} \\ 3^{100} & = (3^5)^{20} = 243^{20} \\ 4^{80} & = (4^4)^{20} = 256^{20} \\ 6^{60} & = (6^3)^{20} = 216^{20} \\ 15^{40} & = (15^2)^{20} = 225^{20} \end{aligned}$$Dengan melihat basisnya saja, jelas bahwa $256^{20} = 4^{80}$ adalah bilangan yang terbesar di antara kelima bilangan itu.
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 52

Jika $43^x = 2.021$ dan $47^y = 2.021,$ maka nilai dari $\dfrac{x + 4xy + y}{2xy-x-y}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1$                        C. $3$                     E. $7$
B. $2$                       D. $5$

Pembahasan

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} 43^x = 2.021 & \Rightarrow 43^{xy} = 2.021^y \\ 47^y = 2.021 & \Rightarrow 47^{xy} = 2.021^x \end{aligned}$$Dengan mengalikan kedua persamaan itu sesuai ruasnya dan menggunakan sifat pangkat, diperoleh
$$\begin{aligned} 43^{xy} \cdot 47^{xy} & = 2.021^y \cdot 2.021^x \\ 2021^{xy} & = 2021^{x + y} \\ xy & = x + y. \end{aligned}$$Dengan demikian, didapat
$$\begin{aligned} \dfrac{x + 4xy + y}{2xy-x-y} & = \dfrac{(x + y) + 4xy}{2xy-(x+y)} \\ & = \dfrac{xy + 4xy}{2xy-xy} \\ & = \dfrac{5xy}{xy} \\ & = 5. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari ekspresi tersebut adalah $\boxed{5}$
(Jawaban D)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 1

Ubahlah bentuk berikut ke bentuk pangkat positif, kemudian hitunglah hasilnya.
a. $5^{-3}$
b. $4^{-2} \times 7^{-2}$
c. $\dfrac{8^{-6}} {8^{-2}}$
d. $(2^{-5})^{-2}$

Pembahasan

Perpangkatan negatif didefinisikan sebagai $\boxed{a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}} $
Jawaban a)
$5^{-3} = \dfrac{1}{5^3} = \dfrac{1}{5 \times 5 \times 5} = \dfrac{1}{125}$
Jawaban b)
$\begin{aligned} 4^{-2} \times 7^{-2} & = \dfrac{1}{4^2} \times \dfrac{1}{7^2} \\ & = \dfrac{1}{16} \times \dfrac{1}{49} = \dfrac{1}{784} \end{aligned}$
Jawaban c)
$\begin{aligned} \dfrac{8^{-6}} {8^{-2}} & = 8^{-6-(-2)} =8^{-4} \\ & = \dfrac{1}{8^4} = \dfrac{1}{8 \times 8 \times 8 \times 8}= \dfrac{1}{4.096} \end{aligned}$
Jawaban d)
$(2^{-5})^{-2} = 2^{-5 \times (-2)} = 2^{10} = 1.024$

[collapse]

Soal Nomor 2

Penulisan dalam bentuk baku (notasi ilmiah) adalah $a \times 10^n$ dengan $1 \leq a < 10$ dan $n$ bilangan bulat.
Nyatakan bilangan-bilangan berikut dalam bentuk baku.
a. $0,0053$
b. $0,00082$
c. $3^{-5}$
d. $\left(\dfrac{1}{2}\right)^8$
e. $1.329.000.000.000.000$
f. $9.880.034.000.000.000$

Pembahasan

Jawaban a)
$0,0053 = 5,3 \times 10^{-3}$
Jawaban b)
$0,00082 = 8,2 \times 10^{-4}$
Jawaban c)
$\begin{aligned} 3^{-5} = \dfrac{1}{3^5} & = \dfrac{1}{243} \approx 0,004115226 \\ & = 4,115226 \times 10^{-3} \end{aligned}$
Jawaban d)
$\begin{aligned} \left(\dfrac{1}{2}\right)^8 & = (0,5)^8 = (5 \times 10^{-1})^8 \\ & = 390.625 \times 10^{-8} \\ & = 3,90625 \times 10^{-3} \end{aligned}$
Jawaban e)
$1.329.000.000.000.000 = 1,329 \times 10^{15}$
Ada $12$ angka nol (dari belakang) dan $3$ angka di belakang koma sehingga pangkatnya adalah $12+3=15.$
Jawaban f)
$9.880.034.000.000$ $= 9,880034 \times 10^{12}$
Ada $6$ angka nol (dari belakang) dan $6$ angka di belakang koma sehingga pangkatnya adalah $6+6=12.$

[collapse]

Soal Nomor 3

Diketahui bahwa hasil $(12.345.678)^3$ adalah bilangan dengan $n$ angka. Berapakah nilai $n$?

Pembahasan

Perhatikan bahwa bilangan tersebut dapat kita ubah bentuknya sebagai berikut.
$$\begin{aligned} (12.345.678)^3 & = (1,2345678 \times 10^7)^3 \\ & = 1,2345678^3 \times 10^{21} \end{aligned}$$Selanjutnya, kita tahu bahwa nilai $1,2345678$ itu berada di antara $1$ dan $2$ sehingga dapat kita tuliskan sebagai berikut.
$$\begin{array}{rcccl} & 1 & 1,2345678 & < & 2 \\ 1^3 & < & 1,2345678^3 & < & 2^3 \\ 1 & < & 1,2345678^3 & < & 8 \\ 1 \times 10^{14} & < & 1,2345678^3 \times 10^{14} & < & 8 \times 10^{14} \end{array}$$Bilangan $1 \times 10^{14}$ dan $8 \times 10^{14}$ keduanya merupakan bilangan 15 angka (lihat pangkat 10-nya, lalu ditambah 1). Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa bilangan $1,2345678^3 \times 10^{14}$ juga pasti merupakan bilangan 15 angka.
Jadi, nilai $\boxed{n = 15}$

[collapse]

Soal Nomor 4

Tentukan hasil dari $\dfrac{5^{2-n}-(0,2)^n}{5^{1-n} + (0,2)^n}$.

Pembahasan

Dengan menggunakan sifat pangkat: $\boxed{\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}}$ dan definisi bahwa $\boxed{a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}}$, kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{5^{2-n}-(0,2)^n}{5^{1-n} + (0,2)^n} & = \dfrac{\dfrac{5^2}{5^n}-\left(\dfrac{1}{5}\right)^n}{\dfrac{5}{5^n} + \left(\dfrac{1}{5}\right)^n} \\ & = \dfrac{\dfrac{25}{5^n}-\dfrac{1}{5^n}}{\dfrac{5}{5^n} + \dfrac{1}{5^n}} \\ & = \dfrac{\dfrac{25-1}{\cancel{5^n}}}{\dfrac{5+1}{\cancel{5^n}}} \\ & = \dfrac{25-1}{5+1} = \dfrac{24}{6} = 4 \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $\boxed{\dfrac{5^{2-n}-(0,2)^n}{5^{1-n} + (0,2)^n} = 4}$

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan – Persamaan Logaritma

Soal Nomor 5

Dari lima bilangan: $1.000, 125, 1, \dfrac12,$ dan $\dfrac{1}{11},$ manakah bilangan yang termasuk bilangan berpangkat sempurna (perfect power)?
Catatan: Suatu bilangan asli $n$ disebut bilangan berpangkat sempurna jika terdapat bilangan bulat $k > 1$ dan $m > 1$ sedemikian sehingga $m^k = n.$ Selain itu, didefinisikan pula bahwa $0$ dan $1$ termasuk bilangan berpangkat sempurna karena $0^k = 0$ untuk setiap $k>0$ dan $1^k = 1$ untuk setiap $k.$

Pembahasan

Perhatikan bahwa $1.000 = 10^3$ dan $125 = 5^3,$ sedangkan $1$ didefinisikan sebagai bilangan berpangkat sempurna. Bilangan berpangkat sempurna harus berupa bilangan asli sehingga $\dfrac12$ maupun $\dfrac{1}{11}$ tidak termasuk. Jadi, bilangan berpangkat sempurna meliputi $1.000, 125,$ dan $1.$

[collapse]

Soal Nomor 6

Dalam suatu kotak terdapat bola hitam dan bola putih. Jika peluang muncul bola hitam adalah $\log x$ dan peluang muncul bola putih adalah $\log 2x$ , tentukan nilai $x^2 + 1$.

Pembahasan

Gunakan sifat logaritma berikut.
$\boxed{\begin{aligned} \log a + \log b & = \log bc \\ ^a \log b = c \iff b & = a^c \end{aligned}}$
Peluang mendapatkan bola hitam atau bola putih dinyatakan oleh
$\begin{aligned} \log x + \log 2x & = 1 \\ \log 2x^2 & = 1 \\ 2x^2 & = 10 \\ x^2 & = 5 \\ x^2 + 1 & = 6 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $x^2+1$ adalah $\boxed{6}$

[collapse]

2.8 4 votes
Article Rating

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini jika ada kesalahan pengetikan sekecil apa pun, seperti kesalahan pengetikan, kode LaTeX yang tidak berjalan, atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Subscribe
Notify of
guest

5 Comments
Newest
Oldest Most Voted
Inline Feedbacks
View all comments
Moch. Ariel Santoso

Bagus dalam penyampaian soalnya

dimas hanif arzaky

bagus dalam penyampaian pembahasan

Jeyma

tdk bisa didownload ya soalnya kak?

Mayang lestari

Bagus mudah dipahami

5
0
Would love your thoughts, please comment.x
()
x