Soal dan Pembahasan – Pangkat, Akar, dan Logaritma

     Berikut ini merupakan soal mengenai pangkat, akar, dan logaritma (soal standar dengan tingkat LOTS dan MOTS) yang dikutip dari berbagai sumber referensi. Soal-soal berikut masing-masing telah disediakan pembahasannya.

Baca : Soal dan Pembahasan- Pangkat, Akar, dan Logaritma (Versi HOTS dan Olimpiade

Today Quote

Don’t stop when you’re tired. STOP when you are done. 

Baca : Soal dan Pembahasan- Persamaan Pangkat (Eksponen) Sederhana

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1
Bentuk $10^9 \times 100^2 \times 1000^{-3} \times 10000^{-2}$ $\times 2222^0$ dapat dinyatakan dalam basis $10$ menjadi $\cdots \cdot$
A. $10^{-8}$                C. $10^{-4}$              E. $10^4$
B. $10^{-6}$                D. $10^2$

Pembahasan

Perhatikan bahwa $100 = 10^2, 1000 = 10^3, 10000=10^4$, dan $a^0 = 1$ untuk $a \neq 0$, sehingga bentuk pangkat di atas dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} & 10^9 \times (10^2)^2 \times (10^3)^{-3} \times (10^4)^{-2} \times 1 \\ & = 10^9 \times 10^4 \times 10^{-9} \times 10^{-8} \\ & = 10^{9 + 4 + (-9) + (-8)} = 10^{-4} \end{aligned}$
Jadi, bentuk tersebut dapat ditulis menjadi basis $10$, yaitu $\boxed{10^{-4}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 2
Nilai dari $\dfrac{5 \times 10^{-6} \times 1.000.000}{(100)^{-3}}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $5 \times 10^{-6}$               D. $5 \times 10^{5}$
B. $5 \times 10^{-5}$               E. $5 \times 10^{6}$
C. $5 \times 10^{3}$

Pembahasan

Dengan menggunakan sifat-sifat pangkat beserta aturan notasi ilmiah, diperoleh
$\begin{aligned}  & \dfrac{5 \times 10^{-6} \times 1.000.000}{(100)^{-3}} \\ & = \dfrac{5 \times 10^{-6} \times 10^6}{(10^2)^{-3}} \\ & = \dfrac{5 \times 10^{-6 + 6}} {10^{-6}} \\ & = 5 \times 10^{-6 + 6- (-6)} = \boxed{5 \times 10^6} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{5 \times 10^{-6} \times 1.000.000}{(100)^{-3}} = 5 \times 10^6}$
(Jawaban E) 

[collapse]

Soal Nomor 3
Bentuk sederhana dari $\left(\dfrac{9a^2b^{-1}c^3}{27a^{-1}b^2c^2}\right)^{-1}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{3b^3}{a^3c}$                       D. $\dfrac{b^3c}{3a^3}$
B. $\dfrac{3a^3}{b^3c}$                       E. $\dfrac{3a^3b^3}{c}$
C. $\dfrac{a^3c}{3b^3}$

Pembahasan

Sederhanakan dengan menggunakan sifat-sifat pangkat dan nyatakan dalam pangkat positif.
$\begin{aligned} \left(\dfrac{9a^2b^{-1}c^3}{27a^{-1}b^2c^2}\right)^{-1} & = \dfrac{27a^{-1}b^2c^2}{9a^2b^{-1}c^3} \\ & = 3a^{-1-2}b^{2-(-1)}c^{2-3} \\ & = 3a^{-3}b^3c^{-1} \\ & = \boxed{\dfrac{3b^3}{a^3c}} \end{aligned}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 4
Bentuk sederhana dari
$\left(\dfrac{2x^{-1}y^2z^{-2}} {4xy^{-3}z^2}\right)^{-2}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{2x^4z^8}{y^{10}}$                        D. $\dfrac{2x^2z^4}{y^{5}}$
B. $\dfrac{4x^4z^8}{y^{10}}$                        E. $\dfrac{4x^2z^4}{y^{5}}$
C. $\dfrac{4x^4z^8}{y^{8}}$

Pembahasan

Sederhanakan dengan menggunakan sifat-sifat pangkat dan nyatakan dalam pangkat positif.
$\begin{aligned} \left(\dfrac{2x^{-1}y^2z^{-2}} {4xy^{-3}z^2}\right)^{-2} & = \left(\dfrac{y^{2-(-3)}}{2x^{1-(-1)}z^{2-(-2)}}\right)^{-2} \\ & = \left(\dfrac{y^5}{2x^2z^4}\right)^{-2} \\ & = \left(\dfrac{2x^2z^4}{y ^5}\right)^2 \\ & = \boxed{\dfrac{4x^4z^8}{y^{10}}}\end{aligned}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 5
$\left(\dfrac{x^{-1} + y^{-1}} {x^{-1}-y^{-1}}\right)^{-1}$ dalam bentuk pangkat positif adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{x-y}{x+y}$                        D. $\dfrac{x+y}{y-x}$
B. $\dfrac{y-x}{x+y}$                        E. $\dfrac{1}{x+y}$
C. $\dfrac{x+y}{x-y}$

Pembahasan

Ingat bahwa $x^{-1} = \dfrac{1}{x}$ untuk setiap $x \neq 0$. Untuk itu,
$\begin{aligned} \left(\dfrac{x^{-1} + y^{-1}} {x^{-1}-y^{-1}}\right)^{-1} & = \dfrac{x^{-1}-y^{-1}} {x^{-1}+y^{-1}} \\ & = \dfrac{\dfrac{1}{x}- \dfrac{1}{y}} {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \\ & = \dfrac{\dfrac{y-x} {\cancel{xy}}} {\dfrac{x+y} {\cancel{xy}}} = \dfrac{y-x}{x+y} \end{aligned}$ 
Jadi, bentuk pangkat positif dari $\left(\dfrac{x^{-1} + y^{-1}} {x^{-1}-y^{-1}}\right)^{-1}$ adalah $\boxed{\dfrac{y-x} {x+y}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 6
Diketahui $3^{2+x} = 45$, maka $3^{2x}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $9$                   C. $45$                E. $125$
B. $25$                 D. $81$

Pembahasan

Perhatikan bahwa persamaan $3^{2+x} = 45$ dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} \cancel{3^2} \cdot 3^x & = \cancel{3^2} \cdot 5 \\ 3^x & = 5 \\ \text{Kuadratkan}&~\text{kedua ruas} \\  (3^x)^2 & = 5^2 \\ 3^{2x} & = 25 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $3^{2x}$ adalah $\boxed{25}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 7
Jika $x > 0$ dan $x \neq 1$ memenuhi bentuk $x^{\frac{1}{p}} \cdot x^{\frac{1}{q}} = x^{\frac{1}{pq}}$, di mana $p$ dan $q$ bilangan rasional, maka hubungan antara $p$ dan $q$ adalah $\cdots \cdot$
A. $p+q=0$                   D. $p-q=1$
B. $p+q=1$                   E. $q-p=1$
C. $p-q=0$

Pembahasan

Dengan menggunakan sifat perpangkatan, diperoleh
$\begin{aligned} x^{\frac{1}{p}} \cdot x^{\frac{1}{q}} & = x^{\frac{1}{pq}} \\ x^{\frac{1}{p} + \frac{1}{q}} & = x^{\frac{1}{pq}} \end{aligned}$
Selanjutnya, gunakan hubungan pangkat bahwa
$\begin{aligned} \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} & = \dfrac{1}{pq} \\ \dfrac{p+q} {\cancel{pq}} & = \dfrac{1}{\cancel{pq}} \\ p+q & = 1 \end{aligned}$ 
Jadi, hubungan antara $p$ dan $q$ dinyatakan oleh persamaan $\boxed{p + q = 1}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 8
Jika diketahui $x$ dan $y$ adalah bilangan real dengan $x > 1$ dan $y > 0, xy = x^y$, dan $\dfrac{x} {y} = x^{5y}$, maka $x^2 +3y = \cdots \cdot$
A. $14$                  C. $26$                E. $30$
B. $16$                  D. $28$

Pembahasan

Misalkan $xy = x^y$ disebut sebagai persamaan pertama, sedangkan $\dfrac{x} {y} = x^{5y}$ disebut sebagai persamaan kedua.
Pandang persamaan kedua.
$\begin{aligned} \dfrac{x}{y} & = x^{5y} \\ y & = \dfrac{x} {x^{5y}} = x^{1-5y} \end{aligned}$
Substitusikan ini ke persamaan pertama:
$\begin{aligned} x(x^{1-5y}) & = x^y \\ x^{2-5y} & = x^y \\ 2-5y & = y \\ y & =\dfrac{1}{3} \end{aligned}$
Substitusikan $y = \dfrac{1}{3}$ ke persamaan kedua, sehingga diperoleh
$\begin{aligned} 3x & = x^{\frac{5}{3}} \\ ^x \log 3x & = \dfrac{5}{3} \\ ^x \log x + ^x \log 3 & =\dfrac{5}{3} \\ 1 + ^x \log 3 & = \dfrac{5}{3} \\ ^x \log 3 & = \dfrac{2}{3} \\ x & = 3^{\frac{3}{2}} = \sqrt{27} \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\boxed{x^2 + 3y = (\sqrt{27})^2 + 3\left(\dfrac{1}{3}\right) = 28}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 9
Nilai dari $\dfrac{1}{1+a^{p-q}} + \dfrac{1}{1+a^{q-p}}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1$                    C. $a^q$                  E. $a^p + a^q$
B. $a^p$                D. $a^{p + q}$

Pembahasan

Dengan menggunakan sifat pangkat bahwa $\boxed{a^{m- n} = \dfrac{a^m}{a^n}}$, diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac{1}{1+a^{p-q}} + \dfrac{1}{1+a^{q-p}} & = \dfrac{1}{1 + \dfrac{a^p}{a^q}} + \dfrac{1}{1 + \dfrac{a^q}{a^p}} \\ & = \dfrac{1}{\dfrac{a^q}{a^q} + \dfrac{a^p}{a^q}} + \dfrac{1}{\dfrac{a^p}{a^p} + \dfrac{a^q}{a^p}} \\ & = \dfrac{1}{\dfrac{a^q + a^p}{a^q}} + \dfrac{1}{\dfrac{a^p + a^q}{a^p}} \\ & = \dfrac{a^q}{a^q + a^p} + \dfrac{a^p}{a^p + a^q} \\ & = \dfrac{a^p + a^q}{a^p + a^q} = 1 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{1}{1+a^{p-q}} + \dfrac{1}{1+a^{q-p}}=1}$
(Jawaban A) 

[collapse]

Soal Nomor 10
Panjang sisi miring suatu segitiga siku-siku adalah $2^{x+2}$. Jika panjang dua sisi yang lain adalah $4$ dan $2^{2x+1}$, maka nilai $x$ yang memenuhi adalah $\cdots \cdot$
A. $-\dfrac12$                   C. $\dfrac14$                 E. $1$
B. $0$                       D. $\dfrac12$

Pembahasan

Berdasarkan Teorema Pythagoras, berlaku
$\begin{aligned} 4^2 + (2^{2x+1})^2 & = (2^{x+2})^2 \\ 16 + 2^{4x+2} & = 2^{2x+4} \\ 16 + 2^{4x} \cdot 2^2 & = 2^{2x} \cdot 2^4 \\ 16 + (2^{2x})^2 \cdot 4 & = 16 \cdot 2^{2x} \end{aligned}$
Misalkan $2^{2x} =a$, sehingga diperoleh 
$$\begin{aligned} 16 + a^2 \cdot 4 & = 16a \\ 4a^2-16a + 16 & = 0 \\ a^2-4a + 4 & = 0 && (\text{kedua ruas dibagi 4}) \\ (a-2)^2 & = 0 \end{aligned}$$Jadi, diperoleh $a = 2$. Ini berarti, $2^{2x} = 2$, dan akibatnya nilai $x$ adalah $\boxed{\dfrac{1}{2}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 11
Jika $p = (x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{3}}-x^{-\frac{1}{3}})$ dan $q = (x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}})(x-x^{\frac{1}{3}})$, maka $\dfrac{p} {q} = \cdots \cdot$
A. $\sqrt{x^{-1}}$               C. $\sqrt[3]{x}$                E. $\sqrt[4]{x}$
B. $\sqrt[3]{x^{-1}}$               D. $\sqrt[3]{x}$

Pembahasan

$\begin{aligned} \dfrac{p} {q} & = \dfrac{(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{3}}- x^{-\frac{1}{3}})} {(x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}})(x-x^{\frac{1}{3}})} \\ & = \dfrac{x(\cancel{(x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}})}\bcancel{(x^{\frac{1}{3}}-x^{-\frac{1}{3}})}} {\cancel{ (x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}})} x^{\frac{2}{3}}\bcancel{(x^{\frac{1}{3}}-x^{-\frac{1}{3}})}} \\ & = \dfrac{x} {x^{\frac{2}{3}}} \\ & = x^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{x} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\dfrac{p} {q} $ adalah $\boxed{\sqrt[3]{x}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 12
Jika $a+b=1$ dan $a^2 + b^2 = 2$, maka $a^4 + b^4 = \cdots \cdot$
A. $2\dfrac12$                  C. $3\dfrac12$                   E. $4\dfrac12$
B. $3\dfrac14$                  E. $4$

Pembahasan

Kuadratkan kedua ruas pada persamaan $a+b=1$, sehingga ditulis
$\begin{aligned} (a+b)^2 & = 1^2 \\  a^2 + b^2 + 2ab & = 1 \\ 2 + 2ab & = 1 \\ 2ab & =-1 \\ ab & =-\dfrac{1}{2} \end{aligned}$
Selanjutnya, dengan menggunakan kesimetrian bentuk pangkat, diperoleh
$\begin{aligned} a^4 + b^4 & = (a^2 + b^2)(a^2 + b^2)- 2(ab)^2 \\ & = (2)(2)- 2\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 \\ & = 4- 2 \times \dfrac{1}{4} \\ & = 4-\dfrac{1}{2} = 3\dfrac{1}{2} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{a^4 + b^4 = 3\dfrac{1}{2}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 13
Jika $a^x = b^y = c^z$ dan $b^2=ac$, maka $x = \cdots \cdot$
A. $\dfrac{2yz}{y+z}$                    D. $\dfrac{yz}{2y-z}$
B. $\dfrac{2yz}{2z-y}$                  E. $\dfrac{yz}{2z-y}$
C. $\dfrac{2yz}{2y-z}$

Pembahasan

Misalkan $a^x = b^y = c^z = k^{xyz}$, sehingga $a = k ^{yz}, b = k^{xz}$, dan $c = k^{xy}$
Dengan demikian, dari persamaan $b^2=ac$, berlaku
$\begin{aligned} (k^{xz})^2 & = k^{yz}k^{xy} \\ k^{2xz} & = k^{yz + xy} \\ 2xz & = yz + xy \\ x(2z-y) & = yz \\ x & = \dfrac{yz}{2z-y} \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{x = \dfrac{yz}{2z-y}}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 14
Bentuk $\dfrac{3\sqrt{3} + \sqrt{7}} {\sqrt{7}-2\sqrt{3}}$ dapat disederhanakan menjadi $\cdots \cdot$
A. $\sqrt{21}+5$
B. $\sqrt{21}-5$
C. $5-\sqrt{21}$
D. $-5-\sqrt{21}$
E. $\sqrt{5}+21$

Pembahasan

Akar sekawan dari $\sqrt{7}-2\sqrt{3}$ adalah $\sqrt{7} + 2\sqrt{3}$ sehingga dengan menggunakan perkalian akar sekawan, diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac{3\sqrt{3} + \sqrt{7}} {\sqrt{7}-2\sqrt{3}} & = \dfrac{3\sqrt{3} + \sqrt{7}} {\sqrt{7}-2\sqrt{3}} \times \dfrac{\sqrt{7} + 2\sqrt{3}}{\sqrt{7}+2\sqrt{3}} \\ & = \dfrac{3\sqrt{3} \cdot \sqrt{7} + 3\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} +\sqrt{7} \cdot \sqrt{7} + \sqrt{7} \cdot 2\sqrt{3}} {(\sqrt{7})^2- (2\sqrt{3})^2} \\ & = \dfrac{3\sqrt{21} + 18 + 7 + 2\sqrt{21}} {7-12} \\ & = \dfrac{5\sqrt{21} + 25}{-5} \\ & =-\dfrac{\cancel{5}(\sqrt{21}+5)}{\cancel{5}} \\ & =-(\sqrt{21} + 5) \\ & = -5- \sqrt{21} \end{aligned}$$Jadi, bentuk sederhana dari $\dfrac{3\sqrt{3} + \sqrt{7}} {\sqrt{7}-2\sqrt{3}}$ adalah $\boxed{-5- \sqrt{21}}
(Jawaban D) 

[collapse]

Soal Nomor 15
Bentuk sederhana dari $\dfrac{\sqrt{3} + \sqrt{5}} {2\sqrt{3}-3\sqrt{5}}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{21+5\sqrt{15}} {33}$
B. $\dfrac{21-5\sqrt{15}} {33}$
C. $\dfrac{-21+5\sqrt{15}} {33}$
D. $\dfrac{-21-5\sqrt{15}} {33}$
E. $\dfrac{-33-5\sqrt{15}} {21}$

Pembahasan

Akar sekawan dari $2\sqrt{3}-3\sqrt{5}$ adalah $2\sqrt{3} + 3\sqrt{5}$ sehingga dengan menggunakan perkalian akar sekawan, diperoleh
$$\begin{aligned} & \dfrac{\sqrt{3} + \sqrt{5}} {2\sqrt{3}-3\sqrt{5}} \\ & = \dfrac{\sqrt{3} + \sqrt{5}} {2\sqrt{3}- 3\sqrt{5}} \times \dfrac{2\sqrt{3} + 3\sqrt{5}} {2\sqrt{3} + 3\sqrt{5}} \\ & = \dfrac{\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3}+\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 2\sqrt{3} + \sqrt{5} \cdot 3\sqrt{5}} {(2\sqrt{3})^2-(3\sqrt{5})^2} \\ & = \dfrac{6 + 3\sqrt{15} + 2\sqrt{15} + 15}{12-45} \\ & = \dfrac{21+5\sqrt{15}} {-33} \\ & = \dfrac{-21-5\sqrt{15}} {33} \end{aligned}$$Jadi, bentuk sederhana dari $\dfrac{\sqrt{3} + \sqrt{5}} {2\sqrt{3}-3\sqrt{5}}$ adalah $\boxed{\dfrac{-21-5\sqrt{15}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 16
Bentuk sederhana dari $\sqrt{72} + \sqrt{50} \times$ $\sqrt{288}-\sqrt{200}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $4\sqrt2+40$                D. $-4\sqrt2+60$
B. $4\sqrt2+60$                E. $-4\sqrt2+120$
C. $4\sqrt2+120$

Pembahasan

$$\begin{aligned} &\sqrt{72} + \sqrt{50} \times \sqrt{288}- \sqrt{200} \\ & = \sqrt{36 \times 2} + \sqrt{25 \times 2} \times \sqrt{144 \times 2}-\sqrt{100 \times 2} \\ & = 6\sqrt{2} + 5\sqrt{2} \times 12\sqrt{2}- 10\sqrt{2} \\ & = 6\sqrt{2} + (5 \times 12) \times 2-10\sqrt{2} \\ & =-4\sqrt{2} + 120 \end{aligned}$$Jadi, bentuk sederhananya adalah $\boxed{-4\sqrt{2} + 120}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 17 
Bentuk sederhana dari $2\sqrt{2} + \sqrt{8} + \sqrt{32} + 2\sqrt{3} + \sqrt{12}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2\sqrt2+2\sqrt3$                D. $8\sqrt2+4\sqrt3$
B. $4\sqrt2+2\sqrt3$                E. $8\sqrt2+8\sqrt3$
C. $4\sqrt2+4\sqrt3$

Pembahasan

Sederhanakan bentuk akar yang ditandai dengan warna merah, kemudian operasikan dengan menggunakan sifat penjumlahan dan pengurangan bentuk akar
$$\begin{aligned} & 2\sqrt{2} + \color{red}{\sqrt{8}} + \color{red}{\sqrt{32}}+ 2\sqrt{3} + \color{red}{\sqrt{12}} \\ & = 2\sqrt{2} + \sqrt{4 \times 2} + \sqrt{16 \times 2} + 2\sqrt{3} + \sqrt{4 \times 3} \\ & = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} + 4\sqrt{2} + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} \\ & = (2+2+4)\sqrt{2} + (2+2)\sqrt{3} \\ & = 8\sqrt{2} + 4\sqrt{3} \end{aligned}$$Jadi, bentuk sederhananya adalah $\boxed{8\sqrt{2} + 4\sqrt{3}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 18
Bentuk sederhana dari $\sqrt{6 + \sqrt{20}}$ adalah $a + \sqrt{b}$ dengan $a, b$ bilangan bulat positif. Nilai dari $a + b = \cdots \cdot$
A. $4$                 C. $6$                E. $9$
B. $5$                 D. $8$

Pembahasan

Gunakan sifat berikut.
$\boxed{ \sqrt{(a+b) + 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}}$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} \sqrt{6 + \sqrt{20}} & = \sqrt{6 + \sqrt{4 \times 5}} \\ & = \sqrt{6 + 2\sqrt{5}} \\ & = \sqrt{(5 + 1) + 2\sqrt{5 \times 1}} \\ & = \sqrt{5} + \sqrt{1} \\ & = 1 + \sqrt{5} \end{aligned}$

Jadi,  bentuk sederhana dari  $\sqrt{6 + \sqrt{20}}$ adalah $\boxed{1 + \sqrt{5}}$ sehingga $a = 1$ dan $b = 5$, berarti $\boxed{a+b=1+5=6}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 19
Bentuk $\sqrt[4]{49-20\sqrt{6}}$ dapat disederhanakan menjadi $\cdots \cdot$
A. $\sqrt3+\sqrt2$                 D. $-\sqrt3-\sqrt2$
B. $\sqrt3-\sqrt2$                  E. $\sqrt5+\sqrt3+\sqrt2$
C. $\sqrt2-\sqrt3$

Pembahasan

Gunakan sifat akar berikut. 
$\boxed{\begin{aligned} & \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn] {a} \\ & \sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}} = \sqrt{a}- \sqrt{b} \end{aligned}}$
Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned} \sqrt[4]{49-20\sqrt{6}} & = \sqrt{\sqrt{49-20\sqrt{6}}} \\ & = \sqrt{\sqrt{49-2 \cdot 10\sqrt{6}}} \\ & = \sqrt{\sqrt{49- 2\sqrt{100 \cdot 6}}} \\ & = \sqrt{\sqrt{(25+24)-2\sqrt{25 \cdot 24}}} \\ & = \sqrt{\sqrt{25}-\sqrt{24}} \\ & = \sqrt{5-2\sqrt{6}} \\ & = \sqrt{(3+2)-2\sqrt{3 \cdot 2}} \\ & = \sqrt{3}-\sqrt{2} \end{aligned}$
Jadi, bentuk $\sqrt[4]{49-20\sqrt{6}}$ dapat disederhanakan menjadi $\boxed{\sqrt{3}- \sqrt{2}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 20
Jika $\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{9} = \dfrac{1}{2-\sqrt{3}}$, maka $a = \cdots \cdot$
A. $2$                  C. $8$                  E. $27$
B. $4$                  D. $16$

Pembahasan

Perhatikan bahwa ruas kanan persamaan di atas dapat ditulis sebagai berikut.
$\begin{aligned} \dfrac{1}{2-\sqrt{3}} & = \dfrac{1}{2-\sqrt{3}} \times \dfrac{2+\sqrt{3}} {2+\sqrt{3}} \\ & = \dfrac{2+\sqrt{3}}{4-3} \\ & = 2 + \sqrt{3} \end{aligned}$

Jadi, persamaannya dapat ditulis ulang menjadi
$\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{9} = 2 + \sqrt{3}$
Sekarang, perhatikan bahwa $\sqrt[4]{9} = \sqrt[4]{3^2} = \sqrt{3}$, sehingga haruslah
$\begin{aligned} \sqrt[4]{a} & = 2 \\ (\sqrt[4]{a})^4 & = 2^4 \\ a & = 16 \end{aligned}$
Dengan demikian, nilai $a$ yang memenuhi persamaan di atas adalah $\boxed{a = 16}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 21
Jika $3^{\frac{x}{y}}$ adalah penyederhanaan dari $\sqrt{3\sqrt{9\sqrt{27}}}$, maka nilai $x+y = \cdots \cdot$
A. $13$                   C. $19$                E. $29$
B. $17$                   D. $23$

Pembahasan

Perhatikan bahwa $3, 9, 27$ memiliki basis perpangkatan yang sama dan ingat bahwa $\boxed{\sqrt[m]{a^n} = a^{\frac{n}{m}}}$, sehingga
$\begin{aligned} \sqrt{3\sqrt{9\sqrt{27}}} & = \sqrt{3\sqrt{9\sqrt{3^3}}} \\ & = \sqrt{3\sqrt{9(3^{\frac{3}{2}})}} \\ & = \sqrt{3\sqrt{3^2(3^{\frac{3}{2}})}} \\ & = \sqrt{3\sqrt{3^{\frac{7}{2}}}} \\ & = \sqrt{3(3^{\frac{7}{4}})} \\ & = \sqrt{3^{\frac{11}{4}}}= 3^{\frac{11}{8}} \end{aligned}$
Jadi, bentuk sederhana dari $\sqrt{3\sqrt{9\sqrt{27}}}$ adalah $3^{\frac{11}{8}}$, sehingga diperoleh nilai $x = 11$ dan $y = 8$. Dengan demikian, $\boxed{x + y = 11 + 8 = 19}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 22
Bentuk $\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}} {\sqrt{2+\sqrt{3}}}$ dapat disederhanakan menjadi $\cdots \cdot$
A. $1$                    C. $3$                E. $6$
B. $2$                    D. $4$

Pembahasan

Ingat bahwa $\boxed{\sqrt{(a+b) \pm 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} \pm \sqrt{b}}$.
Untuk itu, dapat kita tuliskan

$\begin{aligned} \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}} {\sqrt{2+\sqrt{3}}} & = \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}} {\sqrt{2+\sqrt{4 \cdot \frac{3}{4}}}} \\ & = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}} {\sqrt{2 + 2\sqrt{\frac{3}{4}}}} \\ & = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{\left(\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\right) + 2\sqrt{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}}}} \\ & = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{\frac{3}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}}} \times \dfrac{\sqrt{\frac{3}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}}}{\sqrt{\frac{3}{2}}- \sqrt{\frac{1}{2}}} \\ & = \dfrac{\sqrt{9}-\sqrt{3} + \sqrt{3}- \sqrt{1}} {\frac{3}{2}-\frac{1}{2}} \\ & = \dfrac{3-1}{1} = 2 \end{aligned}$
Jadi, bentuk sederhana dari $\boxed{\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}} {\sqrt{2+\sqrt{3}}} = 2}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 23
Bentuk sederhana dari $\dfrac{(\sqrt2-1)^{1-\sqrt3}}{(\sqrt2+1)^{1+\sqrt3}}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1-2\sqrt2$                 D. $3-3\sqrt2$
B. $2-2\sqrt2$                 E. $2\sqrt2$
C. $3-2\sqrt2$

Pembahasan

Sederhanakan dengan menerapkan sifat akar.
$$\begin{aligned}\dfrac{(\sqrt2-1)^{1-\sqrt3}}{(\sqrt2+1)^{1+\sqrt3}} & = \dfrac{\dfrac{\sqrt2-1}{(\sqrt2-1)^{\sqrt3}}}{(\sqrt2+1)(\sqrt2+1)^{\sqrt3}} \\ & = \dfrac{\sqrt2-1}{\color{red}{(\sqrt2-1)^{\sqrt3}}(\sqrt2+1)\color{red}{(\sqrt2+1)^{\sqrt3}}} \\ & = \dfrac{\sqrt2-1}{(\sqrt2+1)(2-1)^{\sqrt3}} \\ & = \dfrac{\sqrt2-1}{\sqrt2+1} \times \color{red}{\dfrac{\sqrt2-1}{\sqrt2-1}} \\ & = \dfrac{2-2\sqrt2 + 1}{2-1} \\ & = 3-2\sqrt2 \end{aligned}$$Jadi, bentuk sederhana dari $\dfrac{(\sqrt2-1)^{1-\sqrt3}}{(\sqrt2+1)^{1+\sqrt3}}$ adalah $\boxed{3- 2\sqrt2}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 24
Jika diketahui $\dfrac25 < x < \dfrac45$, maka nilai dari $\sqrt{25x^2-20x+4} + \sqrt{25x^2-40x+16}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1$                     C. $3$                    E. $8$
B. $2$                     D. $4$

Pembahasan

Karena $\dfrac25 < x < \dfrac45$, maka kita peroleh $2 < 5x < 4$, mengimplikasikan
$\begin{aligned} 5x > 2 \Leftrightarrow 5x-2 > 0 & (\cdots 1) \\ 5x < 4 \Leftrightarrow 5x-4 < 0 & (\cdots 2) \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} & \sqrt{25x^2-20x+4} + \sqrt{25x^2-40x+16} \\ & = \sqrt{(5x-2)^2} + \sqrt{(5x-4)^2} \\ & = (5x-2)+(-(5x-4)) \\ & = 5x-2-5x+4 = 2 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $$\boxed{\sqrt{25x^2-20x+4} + \sqrt{25x^2-40x+16} = 2}$$(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 25
Diketahui $\log a = 2$ dan $\log b = 4$. Nilai dari $\dfrac{\sqrt{a} \cdot b^3}{a^3 \cdot \sqrt{b}}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $10^3$                     C. $10^6$                   E. $10^9$
B. $10^5$                     D. $10^7$

Pembahasan

Karena $\log a = 2$ dan $\log b = 4$, maka diperoleh $a = 10^2$ dan $b = 10^4$.
Dengan demikian,
$\begin{aligned} \dfrac{\sqrt{a} \cdot b^3}{a^3 \cdot \sqrt{b}} & = \sqrt{\sqrt{10^2} \cdot (10^4)^3}{(10^2)^3 \cdot \sqrt{10^4}} \\ & = \dfrac{10 \cdot 10^{12}}{10^6 \cdot 10^2} \\ & = \dfrac{10^{13}}{10^8} = 10^5 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{\sqrt{a} \cdot b^3}{a^3 \cdot \sqrt{b}} = 10^5}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 26
Diketahui $\log 3,16 = 0,5$. Nilai dari $(3,16)^4$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1$                       D. $1.000$
B. $10$                     E. $10.000$
C. $100$

Pembahasan

Dengan menggunakan hubungan pangkat dan logaritma beserta sifat-sifat eksponen, diperoleh
$$\begin{aligned} \log 3,16 & = 0,5 \\ 10^{0,5} & = 3,16 && (^a \log b = c \iff a^c = b) \\ (10^{0,5})^4 & = (3,16)^4 \\ 10^2 = 100 & = (3,16)^4 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{(3,16)^4 = 100}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 27
Nilai $x$ yang memenuhi $^x \log \left(\dfrac{2}{9}\right)^3 =-2$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{27}{2}$                      D. $\dfrac{27}{4}\sqrt2$
B. $\dfrac{27}{4}$                      E. $\dfrac{27}{8}\sqrt2$
C. $\dfrac{27}{2}\sqrt2$

Pembahasan

Berdasarkan hubungan pangkat dan logaritma beserta sifat-sifat eksponen, kita dapatkan
$\begin{aligned} x^{-2} & = \left(\dfrac{2}{9}\right)^3 \\ (x^{-2})^{-\frac{1}{2}} & = \left(\left(\dfrac{2}{9}\right)^3\right)^{-\frac{1}{2}} \\ x & = \left( \dfrac{9}{2}\right)^{\frac{3}{2}} = \dfrac{27}{2\sqrt{2}} = \dfrac{27}{4}\sqrt{2} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{x = \dfrac{27}{4}\sqrt{2}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 28
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $\log \sqrt{^2 \log x + 8} = 1$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2^{82}$                 C. $2^{90}$                  E. $4^{92}$
B. $2^{84}$                 D. $2^{92}$

Pembahasan

Ingat bahwa prinsip logaritma adalah: $a^c = b \iff ^a \log b = c$.
Untuk itu, diperoleh
$$\begin{aligned} \log \sqrt{^2 \log x + 8} & = 1 \\ \cancel{\log} \sqrt{^2 \log x + 8} & = \cancel{\log} 10 \\ \sqrt{^2 \log x + 8} & = 10 \\ ^2 \log x + 8 & = 100 && (\text{Kuadratkan kedua ruas}) \\ ^2 \log x & = 92 \\ x &= 2^{92} \end{aligned}$$Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{x = 2^{92}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 29
Apabila $a = 0,909090\cdots$ dan $b = 1,331$, maka $^a \log b = \cdots \cdot$
A. $-3$                 C. $\dfrac13$                   E. $3$
B. $-1$                 D. $1$

Pembahasan

Ubah $a$ menjadi bentuk pecahan biasa sebagai berikut.
$\begin{aligned} a & = 0,909090\cdots \\ 100a & = 90,909090\cdots \\ & \rule{3 cm} {0.8pt}~- \\ 99a & = 90 \\ a & = \dfrac{90}{99} = \dfrac{10}{11} \end{aligned}$
Selanjutnya, $b = 1,331 = \dfrac{1331}{1000}$
Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned} ^a \log b & = ^{\frac{10}{11}} \log \dfrac{1331}{1000} \\ & = ^{\frac{10}{11}} \log \left(\dfrac{11}{10}\right)^3 \\ & = 3 \times ^{\frac{10}{11}} \log \dfrac{11}{10} \bigstar\\ & =-3 \end{aligned}$

Jadi, nilai dari $\boxed{^a \log b =-3}$
NB: $\bigstar$ Gunakan sifat bahwa $\boxed{^{\frac{a}{b}} \log \dfrac{b} {a} =- ^{\frac{a} {b}} \log \dfrac{a}{b} =-1}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 30
Karakteristik $\log 1234,56789$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1$                   C. $3$                E. $9$
B. $2$                   D. $4$

Pembahasan

Nilai karakteristik logaritma ditentukan oleh numerusnya.
Jika diberikan $^a \log x = n$, maka: karakteristiknya 0 jika $1 < x < 10$, karakteristiknya 1 jika $10 < x < 100$,  karakteristiknya 2 jika $100 < x < 1000$ dan seterusnya.
Karena numerus logaritmanya yaitu $1234,56789$, berada di antara $1.000$ dan $10.000$, maka ini berarti karakteristik logaritmanya adalah $\boxed{3}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 31
Nilai dari $\dfrac{^3 \log^2 18-^3 \log^2 2}{^3 \log 36}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0$                   C. $2$                 E. $4$
B. $1$                   D. $3$

Pembahasan

Gunakan sifat pemfaktoran berikut. $\boxed{a^2-b^2 = (a+b) (a-b)}$
Dalam hal ini, $a = ^3 \log 18$ dan $b = ^3 \log 2$, sehingga dapat ditulis
$\begin{aligned} & \dfrac{^3 \log^2 18-^3 \log^2 2}{^3 \log 36} \\ & = \dfrac{(^3 \log 18-^3 \log 2)(^3 \log 18 + ^3 \log 2)}{^3 \log 36} \\ & = \dfrac{(^3 \log \frac{18}{2})(^3 \log (18 \times 2))} {^3 \log 36} \\ & = \dfrac{(^3 \log 9)(\cancel{^3 \log 36})} {\cancel{^3 \log 36}} \\ & = ^3 \log 9 = 2 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{^3 \log^2 18-^3 \log^2 2}{^3 \log 36} = 2}$
(Jawaban C) 

[collapse]

Soal Nomor 32
Hasil dari $\dfrac{(^3 \log 45)^2-(^3 \log 5)^2}{^3 \log \sqrt[3]{15}}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $6$                  C. $12$              E. $18$
B. $8$                  D. $16$

Pembahasan

Perhatikan bahwa bentuk pada pembilang dapat difaktorkan dengan mengikuti konsep: $a^2-b^2 = (a+b) (a-b)$, sehingga dapat ditulis
$\begin{aligned} &\dfrac{(^3 \log 45)^2-(^3 \log 5)^2}{^3 \log \sqrt[3]{15}} \\ & = \dfrac{(^3 \log 45 + ^3 \log 5)(^3 \log 45-^3 \log 5)} {^3 \log 15^{\frac{1}{3}}} \\ & = \dfrac{(^3 \log 225)(^3 \log 9)} {\frac{1}{3} \cdot ^3 \log 15} \\ & = \dfrac{(^3 \log 15^2)(2)} {\frac{1}{3} \cdot ^3 \log 15} \\ & = \dfrac{(2)(2)\cancel{(^3 \log 15)}} {\frac{1}{3} \cdot \cancel{^3 \log 15}} = \dfrac{4}{\frac{1}{3}} = 12 \end{aligned}$
Jafi, nilai dari $\dfrac{(^3 \log 45)^2-(^3 \log 5)^2}{^3 \log \sqrt[3]{15}}$ adalah $\boxed{12}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 33
Bentuk sederhana dari 
$\dfrac{^5 \log \sqrt{3} \cdot ^9 \log 125 + ^{16} \log 32}{^2 \log^2 8-^2 \log^2 2} = \cdots \cdot$
A. $\dfrac18$                 C. $\dfrac14$                E. $1$
B. $\dfrac16$                 D. $\dfrac12$

Pembahasan

Ingat bahwa $^a \log^b c = (^a \log c)^b$. 
Dengan menggunakan sifat-sifat logaritma, diperoleh
$\begin{aligned} & \dfrac{^5 \log \sqrt{3} \cdot ^9 \log 125 + ^{16} \log 32}{^2 \log^2 8-^2 \log^2 2} \\ & = \dfrac{^5 \log 3^{\frac{1}{2}} \cdot ^{3^2} \log 5^3 + ^{2^4} \log 2^5}{(^2 \log 8 + ^2 \log 2)(^2 \log 8-^2 \log 2)} \\ & = \dfrac{\frac{1}{2} \cdot ^5 \log 3 \cdot \frac{3}{2} ^3 \log 5 + \frac{5}{4} ^2 \log 2}{(3 + 1)(3-1)} \\ & = \dfrac{\frac{3}{4} \cdot ^5 \log 5 + \frac{5}{4}} {4 \cdot 2} = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4} \end{aligned} $
Jadi, bentuk sederhana dari $\dfrac{^5 \log \sqrt{3} \cdot ^9 \log 125 + ^{16} \log 32}{^2 \log^2 8-^2 \log^2 2}$ adalah $\boxed{\dfrac{1}{4}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 34
Jika $a = 0,111\cdots$, maka nilai $^a \log 729 = \cdots \cdot$
A. $-9$                 C. $-1$                 E. $3$
B. $-3$                 D. $1$

Pembahasan

Ubah $0,111\cdots$ menjadi bentuk pecahan biasa terlebih dahulu. Perhatikan bahwa,
$\begin{cases} a & = 0,111\cdots && (\cdots 1) \\ 10a & = 1,111\cdots && (\cdots 2) \end{cases}$
Kurangi persamaan $(2)$ dengan persamaan $(1)$,
$\begin{aligned} 10a- a & = 1,111\cdots- 0,111\cdots \\ 9a & = 1 \\ a & = \dfrac{1}{9} = 9^{-1} \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} ^a \log 729 & = 9^{-1} \log 9^3 \\ & = \dfrac{3}{-1} ^9 \log 9 =-3 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{^{0,111\cdots} \log 729 =-3}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 35
Hubungan antara kecepatan pompa sirkulasi dan kapasitas ditentukan dengan
$R = 356.(10)^{0,000152G}$
dengan $R$ adalah kecepatan (putaran/menit) dan $G$ adalah kapasitas (galon/menit). Apabila $R = 500$, nilai $G$ yang memenuhi persamaan adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{\log 500+\log 356}{0,000152}$
B. $\dfrac{\log 500-\log 356}{0,000152}$
C. $\dfrac{\log 356-\log 500}{0,000152}$
D. $\dfrac{0,000152}{\log 500+\log 356}$
E. $\dfrac{0,000152}{\log 500-\log 356}$

Pembahasan

Diketahui bahwa $R = 356.(10)^{0,000152G}$ dan $R = 500$, sehingga selanjutnya dapat ditulis
$\begin{aligned} 500 & = 356 \cdot (10)^{0,000152G} \\ \dfrac{500}{356} & = 10^{0,000152G} \\ ^{10} \log \dfrac{500}{356} & = 0,000152G \\ \log 500-\log 356 & = 0,000152G \\ G & = \dfrac{\log 500-\log 356}{0,000152} \end{aligned}$
Jadi, nilai $G$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{G = \dfrac{\log 500- \log 356}{0,000152}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 36
Nilai dari $\dfrac{5^{^{25} \log 9}} {8^{^2 \log 3}} = \cdots \cdot$
A. $\dfrac13$                C. $\dfrac15$              E. $\dfrac19$
B. $\dfrac14$                D. $\dfrac18$

Pembahasan

Gunakan sifat logaritma berikut. $\boxed{a^{^a \log b} = b}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} \dfrac{5^{^{25} \log 9}} {8^{^2 \log 3}} & = \dfrac{5^{^{\sqrt{25}} \log \sqrt{9}}}{8^{^{2^3} \log 3^3}} \\ & = \dfrac{5^{^5 \log 3}} {8^{^8 \log 27}} \\ & = \dfrac{3}{27} = \dfrac{1}{9} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{5^{^{25} \log 9}} {8^{^2 \log 3}} = \dfrac19}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 37
Jika $m > 1, n > 1$, dan $x > 1$, maka bentuk sederhana dari $\dfrac{^n \log x} {1+^n \log m} = \cdots \cdot$
A. $^{mn} \log x$                   D. $^{x} \log mn$
B. $^{m+n} \log x$                 E. $^{x} \log \dfrac{m}{n}$
C. $^{m-n} \log x$

Pembahasan

$\begin{aligned} \dfrac{^n \log x} {1+^n \log m} & = \dfrac{^n \log x} {^n \log n + ^n \log m} \\ & = \dfrac{^n \log x} {^n \log mn} \\ & = ^{mn} \log x \end{aligned}$
Jadi, bentuk sederhana dari $\dfrac{^n \log x} {1+^n \log m}$ adalah $\boxed{^{mn} \log x}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 38
Jika $^4 \log ^4 \log x-^4 \log ^4 \log ^4 \log 16 = 2$, maka $x = \cdots \cdot$
A. $4^2$                  C. $4^8$                 E. $4^{32}$
B. $4^4$                  D. $4^{16}$

Pembahasan

$$\begin{aligned} ^4 \log ^4 \log x-^4 \log ^4 \log ^4 \log 16 & = 2 \\ ^4 \log ^4 \log x-^4 \log ^4 \log 2 & = 2 \\ ^4 \log ^4 \log x-^4 \log \dfrac{1}{2} & = 2 \\ ^4 \log ^4 \log x-^{2^2} \log 2^{-1} & = 2 \\ ^4 \log ^4 \log x + \dfrac{1}{2} & = 2 \\ ^4 \log ^4 \log x & = \dfrac{3}{2} \\ ^4 \log x & = 4^{\frac{3}{2}} = (2^2)^{\frac{3}{2}} = 8 \\ x = 4^8 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $x$ adalah $\boxed{x = 4^8}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 39
Diketahui $^5 \log 3 = a$ dan $^3 \log 4 = b$. Nilai dari $^4 \log 15 = \cdots \cdot$
A. $\dfrac{a+1}{ab}$                 D. $\dfrac{1-a}{ab}$
B. $\dfrac{a-1}{ab}$                  E. $\dfrac{ab}{a+1}$
C. $\dfrac{a+b}{ab}$

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} & ^5 \log 3 = a \iff ^3 \log 5 = \dfrac{1}{a} \\ & ^3 \log 4 = b \end{aligned}$
Ditanya: $^4 \log 15 = \cdots$
Gunakan sifat logaritma berikut. 
$\boxed{^a \log b = \dfrac{^c \log b} {^c \log a}}$
Dengan demikian, 
$\begin{aligned} ^4 \log 15 & = \dfrac{^3 \log 15}{^3 \log 4} \\ & = \dfrac{^3 \log (3 \times 5)}{^3 \log 4} \\ & = \dfrac{^3 \log 3 + ^3 \log 5}{^3 \log 4} \\ & = \dfrac{1 + \frac{1}{a}} {b} \\ & = \dfrac{1+\frac{1}{a}} {b} \times \dfrac{a} {a} \\ & = \dfrac{a + 1}{ab} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{^4 \log 15 = \dfrac{a+1}{ab}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 40
Diketahui $^2 \log 3 = a$ dan $^2 \log 5 = b$. Nilai dari $^9 \log 150$ dalam $a$ dan $b$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{1+a+2b}{2a}$              D. $\dfrac{1+2a+b}{2b}$
B. $\dfrac{1+a+2b}{2b}$              E. $\dfrac{1-a-2b}{2a}$
C. $\dfrac{1+2a+b}{2a}$

Pembahasan

Diketahui: 
$\begin{aligned} & ^2 \log 3 = a \\ &^2 \log 5 = b \end{aligned}$
Ditanya: $^9 \log 150$
Gunakan sifat logaritma berikut. 
$\boxed{^a \log b = \dfrac{^c \log b} {^c \log a}}$
Dengan demikian, 
$\begin{aligned} ^9 \log 150 & = \dfrac{^2 \log 150}{^2 \log 9} \\ & = \dfrac{^2 \log (2 \times 3 \times 5^2)} {^2 \log (3 \times 3)} \\ & = \dfrac{^2 \log 2 + ^2 \log 3 + 2 \cdot ^2 \log 5}{^2 \log 3 + ^2 \log 3} \\ & = \dfrac{1 + a + 2b}{2a} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $^9 \log 150$ dalam $a$ dan $b$ adalah $\boxed{\dfrac{1 + a + 2b}{2a}}
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 41 
Jika nilai $^2 \log 3 = a$ dan $^3 \log 5 = b$, maka $^6 \log 15 = \cdots \cdot$
A. $\dfrac{a+b}{1+a}$                         D. $\dfrac{b(1+a)}{1+a}$
B. $\dfrac{ab}{1+a+b}$                E. $\dfrac{a(1+b)}{1-a}$
C. $\dfrac{a(1+b)}{1+a}$

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} & ^2 \log 3 = a \iff ^3 \log 2 = \dfrac{1}{a} \\ & ^3 \log 5 = b \end{aligned}$
Ditanya: $^6 \log 15 = \cdots$
Dengan menggunakan cara yang sama, diperoleh
$\begin{aligned} ^6 \log 15 & = \dfrac{^3 \log 15}{^3 \log 6} \\ & = \dfrac{^3 \log (5 \times 3)} {^3 \log (3 \times 2)} \\ & = \dfrac{^3 \log 5 + ^3 \log 3}{^3 \log 3 + ^3 \log 2} \\ & = \dfrac{b+1}{1+\dfrac{1}{a}} \\ & = \dfrac{b+1}{1+\dfrac{1}{a}} \times \dfrac{a} {a} \\ & = \boxed{\dfrac{a(1+b)} {1+a}} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{^6 \log 15 = \dfrac{a(1+b)}{1+a}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 42
Jika $^6 \log 3 = x$ dan $^6 \log 2 = y$, maka $^6 \log \dfrac{2}{27}\sqrt{2}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{6x+3y}{2}$                D. $\dfrac{6x+6y}{2}$
B. $\dfrac{3x+6y}{2}$                E. $\dfrac{-6x+3y}{2}$
C. $\dfrac{3x+3y}{2}$

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} ^6 \log 3 & = x \\ ^6 \log 2 & = y \end{aligned}$
Ditanya: $^6 \log \dfrac{2}{27}\sqrt{2}$
Dengan menggunakan sifat penjumlahan dan pengurangan logaritma, diperoleh
$$\begin{aligned} ^6 \log \dfrac{2}{27}\sqrt{2} & = ^6 \log 2\sqrt{2}-^6 \log 27 \\ & = ^6 \log 2 + ^6 \log 2^{\frac{1}{2}}-^6 \log 3^3 \\ & = ^6 \log 2 + \dfrac{1}{2} \cdot ^6 \log 2- 3 \cdot ^6 \log 3 \\ & = y + \dfrac{1}{2}y- 3x \\ & = \dfrac{3}{2}y-3x \\ & = \dfrac{-6x + 3y}{2} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{^6 \log \dfrac{2}{27}\sqrt{2} = \dfrac{-6x+3y}{2}}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 43
Jika $^{30} \log 3 = a$ dan $^{30} \log 5 = b$, maka $^{30} \log 4 = \cdots \cdot$
A. $2(2-a-b)$
B. $2(1-a-b)$
C. $2(1+a-b)$
D. $2+a+b$
E. $2-a-b$

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} ^{30} \log 3 &=a \\ ^{30} \log 5 & = b \end{aligned}$
Perhatikan bahwa $30 = 2 \times 3 \times 5$. Dengan menggunakan sifat-sifat logaritma, kita peroleh
$\begin{aligned} ^{30} \log 30 & = ^{30} \log (2 \times 3 \times 5) \\ ^{30} \log 30 & = ^{30} \log 2 + ^{30} \log 3 + ^{30} \log 5 \\ 1 & = ^{30} \log 2 + a + b \\ ^{30} \log 2 & =1-a-b \\ 2 \times ^{30} \log 2 & = 2(1-a-b) \\ ^{30} \log 4 & = 2(1-a-b) \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\boxed{^{30} \log 4=2(1-a-b)}$
(Jawaban B)

[collapse]

Join yuk: Telegram- Komunitas dan Aliansi Matematika Indonesia

Soal Nomor 44
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $\dfrac{x^{\log 15x}} {27x^{\log 5x}} = 9$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1.000$                     D. $1.000.000$
B. $10.000$                   E. $10.000.000$
C. $100.000$

Pembahasan

Dengan menggunakan sifat pangkat dan logaritma, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{x^{\log 15x}} {27x^{\log 5x}} & = 9 \\ \dfrac{1}{27} \times \dfrac{x^{\log 15x}} {x^{\log 5x}} & = 9 \\ x^{\log 15x-\log 5x} & = 9 \times 27 \\ x^{\log \frac{15\cancel{x} } {5\cancel{x}}} & = 3^2 \times 3^3 \\ x^{\log 3} & = 3^5 \end{aligned}$
Berdasarkan hubungan pangkat dan logaritma, bentuk terakhir dapat ditulis $\begin{aligned} ^x \log 3^5 & = \log 3 \\ ^x \cancel{\log 3^5} & = ^{10^5} \cancel{\log 3^5}\\ x & = 10^5 = 100.000\end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{x = 100.000}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 45
Jika $6(3^{40})(^2 \log a) + 3^{41}(^2 \log a) = 3^{43}$, maka nilai $a = \cdots \cdot$
A. $2$                  C. $8$                E. $16$
B. $3$                  D. $9$

Pembahasan

Dengan menggunakan sifat pangkat dan logaritma, diperoleh
$\begin{aligned} 6(3^{40})(^2 \log a) + 3^{41}(^2 \log a) & = 3^{43} \\ 2.3(3^{40})(^2 \log a) + 3^{41}(^2 \log a) & = 3^{41} \cdot 3^2 \\ 2\cancel{(3^{41})}(^2 \log a) + \cancel{3^{41}}(^2 \log a) & = \cancel{3^{41}} \cdot 9 \\ 2(^2 \log a) + ^2 \log a & = 9 \\ 3(^2 \log a) & = 9 \\ ^2 \log a & = \dfrac{9}{3}=3 \\ a & = 2^3 = 8 \end{aligned}$
Jadi, nilai $a$ adalah $\boxed{8}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 46
Jika $60^a = 3$ dan $60^b = 5$, maka nilai dari $12^{\frac{1-a-b} {2-2b}} $ adalah $\cdots \cdot$
A. $1$                  C. $4$                E. $8$
B. $2$                  D. $5$

Pembahasan

Diketahui:
$\boxed{\begin{aligned} 60^a = 3 & \iff a = ^{60} \\ 60^b = 5 & \iff b = ^{60} \log 5 \end{aligned}}$
Sederhanakan dulu ekspresi pangkatnya. 
$\begin{aligned} \dfrac{1-a-b} {2-2b} & = \dfrac{1-^{60} \log 3-^{60} \log 5}{2-2(^{60} \log 5)} \\ & = \dfrac{^{60} \log 60-^{60} \log 3-^{60} \log 5}{^{60} \log 60^2-^{60} \log 25} \\ & = \dfrac{^{60} \log (60 \div 3 \div 5)} {^{60} \log (3600 \div 25)} \\ & = \dfrac{^{60} \log 4}{^{60} \log 144} \\ & = ^{144} \log 4 = ^{12} \log 2 \end{aligned}$
Dengan demikian, dapat ditulis
$12^{^{12} \log 2} = 2$
Jadi, nilai dari $12^{\frac{1-a-b} {2-2b}}$ adalah $\boxed{2}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 47
Jika $\dfrac{^2 \log a} {^3 \log b} = m$ dan $\dfrac{^3 \log a} {^2 \log b} = n$, dengan $a > 1$, maka $\dfrac{m} {n} = \cdots \cdot$
A. $^2 \log 3)$
B. $^3 \log 2$
C. $(^2 \log 3)^2$
D. $(^3 \log 2)^2$
E. $-(^2 \log 3)^2$

Pembahasan

Perhatikan bahwa $\dfrac{m} {n} = m \times \dfrac{1}{n}$, sehingga
$\begin{aligned} \dfrac{m} {n} & = \dfrac{^2 \log a} {^3 \log b} \times \dfrac{^2 \log b} {^3 \log a} \\ & = \dfrac{\dfrac{^3 \log a} {^3 \log 2}} {^3 \log b} \times \dfrac{\dfrac{^3 \log b} {^3 \log 2}} {^3 \log a} \\ & = \dfrac{\cancel{^3 \log a \cdot ^3 \log b} } {^3 \log 2 \cdot ^3 \log 2} \times \dfrac{1}{\cancel{^3 \log b \cdot ^3 \log a}} \\ & = \dfrac{1}{(^3 \log 2)^2} = (^2 \log 3)^2 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{m} {n} = (^2 \log 3)^2}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 48
Nilai $x$ yang memenuhi $8^{x+1} = 24^{x-1}$ adalah $a \cdot ^3 \log 2 + b$ dengan $a, b$ bilangan bulat positif. Nilai dari $a + b = \cdots \cdot$
A. $3$                   C. $6$                  E. $9$
B. $5$                   D. $7$

Pembahasan

Persamaan berpangkat tersebut tidak dapat diselesaikan dengan cara standar karena $8$ dan $24$ tidak memiliki basis pangkat yang sama.
Logaritmakan kedua ruas, kemudian gunakan sifat-sifat logaritma untuk mencari nilai $x$ sebagai berikut.
$$\begin{aligned} 8^{x+1} & = 24^{x-1} \\ \log 8^{x+1} & = \log 24^{x-1} \\ (x+1) \log 8 & = (x-1) \log 24 \\ x \log 8 + \log 8 & = x \log 24-\log 24 \\ x \log 8- x \log 24 & =-\log 24-\log 8 \\ x(\log 8-\log 24) & =-\log 24-\log 8 \\ x & = \dfrac{-\log 24-\log 8}{\log 8-\log 24} = \dfrac{\log 24 + \log 8}{\log 24-\log 8} \\ x & = \dfrac{\log (8 \times 3) + \log 8}{\log \frac{24}{8}} \\ x & = \dfrac{\log 8 + \log 3 + \log 8}{\log 3} \\ x & = \dfrac{2 \log 8 + \log 3}{\log 3} \\ x & = \dfrac{2 \log 2^3 + \log 3}{\log 3} \\ x & = \dfrac{6 \log 2 + \log 3}{\log 3} \\ x & = \dfrac{6 \log 2}{\log 3} + \dfrac{\log 3}{\log 3} \\ x & = 6 \cdot ^3 \log 2 + 1 \end{aligned}$$Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan berpangkat di atas adalah $\boxed{x = 6 \cdot ^3 \log 2 + 1}$, sehingga $a = 6$ dan $b = 1$, dan itu artinya, $\boxed{a + b = 6 + 1 = 7}$
(Jawaban D)

[collapse]

Baca : Soal dan Pembahasan- Fungsi Eksponen (Pangkat)

Soal Nomor 49
Jika $a > b > c > 1$, maka bentuk sederhana dari $\dfrac{^a \log b \cdot ^c \log a} {^b \log a + ^c \log a}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $^{bc} \log a$                   D. $^{ac} \log b$
B. $^{a} \log bc$                   E. $^{b} \log ac$
C. $^{ab} \log c$

Pembahasan

Gunakan sifat logaritma berikut.
$\boxed{\begin{aligned} ^a \log b \cdot ^b \log c & = ^a \log c \\ ^a \log b + ^a \log c & = ^a \log bc \\ ^a \log b & = \dfrac{^c \log b} {^c \log a}\end{aligned}}$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{^a \log b \cdot ^c \log a} {^b \log a + ^c \log a} & = \dfrac{\dfrac{\log a} {\log b} \cdot \dfrac{\log a} {\log c}} {\dfrac{\log a} {\log b} + \dfrac{\log a} {\log c}} \\ & = \dfrac{\dfrac{\log^2 a} {\cancel{\log b \log c}}} {\dfrac{\log a \log c + \log a \log b}{\cancel{\log b \log c}} } \\ & = \dfrac{\log^2 a} {\log a \log c + \log a \log b} \\ & = \dfrac{\log^{\cancel{2}} a} {\cancel{\log a}(\log c + \log b)} \\ & = \dfrac{\log a} {\log c + \log b} \\ & = \dfrac{\log a} {\log bc} \\ & = ^{bc} \log a \end{aligned}$
Jadi, bentuk sederhana dari $\dfrac{^a \log b \cdot ^c \log a} {^b \log a + ^c \log a}$ adalah $\boxed{^{bc} \log a}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 50
Persamaan $^{x^2-6x+14} \log (x-3) = ^{4x^2-4x+1} \log (x^2-6x+9)$ akan bernilai benar apabila nilai $x$ adalah $\cdots \cdot$
A. $3$                           D. $-3$ atau $5$
B. $5$                           E. $5$ atau $7$
C. $3$ atau $5$

Pembahasan

Perhatikan ruas kanan persamaan tersebut. Dengan menggunakan sifat bahwa $\boxed{a^n \log b^n = a \log b}$, diperoleh
$$\begin{aligned} ^{4x^2-4x+1} \log (x^2-6x+9) & = ^{(2x-1)^2} \log (x-3)^2 \\ & = ^{2x-1} \log (x-3) \end{aligned}$$Dengan demikian, persamaannya dapat ditulis sebagai berikut. $\begin{aligned} ^{x^2-6x+14} \cancel{\log (x-3)} & = ^{2x-1} \cancel{\log (x-3)} \\ x^2-6x+14 & = 2x-1 \\ x^2-8x + 15 & = 0 \\ (x-3)(x-5) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $x = 3$ atau $x = 5$
Sekarang, ingat bahwa numerus logaritma haruslah positif, sehingga $x-3 > 0 \iff \boxed{x > 3}$
Untuk itu, hanya $x = 5$ yang memenuhi syarat ini, sehingga agar persamaan yang diberikan bernilai benar, nilai $x$ adalah $\boxed{x=5}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 51
Misalkan $^a \log b = 2, ^b \log c = 3$, dan $^c \log d = 4$, maka nilai dari $^{abc} \log d$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac23$                 C. $\dfrac83$                 E. $\dfrac{16}{3}$
B. $\dfrac53$                 D. $\dfrac{10}{3}$

Pembahasan

Gunakan sifat logaritma berikut.
$\boxed{\begin{aligned} ^a \log bc & = ^a \log b + ^a \log c \\ ^a \log b & = \dfrac{^c \log b}{^c \log a}, c > 0 \\ ^a \log b \cdot ^b \log c & = ^a \log c \end{aligned}}$
Diketahui: $^a \log b = 2, ^b \log c = 3$, dan $^c \log d = 4$. Dengan menggunakan sifat perkalian logaritma, diperoleh
$\begin{aligned} ^a \log b \cdot ^b \log c & = 2 \cdot 3 \\ ^a \log c & = 6 \end{aligned}$
dan
$\begin{aligned} ^a \log b \cdot ^b \log c \cdot ^c \log d & = 2 \cdot 3 \cdot 4 \\ ^a \log d & = 24 \end{aligned}$
Untuk itu,
$\begin{aligned} ^{abc} \log d & = \dfrac{^a \log d}{^a \log (abc)} \\ & = \dfrac{^a \log d}{^a \log a + ^a \log b + ^a \log c} \\ & = \dfrac{24}{1+2+6} \\ & = \dfrac{24}{9} = \dfrac{8}{3} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $^{abc} \log d$ adalah $\boxed{\dfrac{8}{3}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 52
Jika $x = \dfrac{3}{9}$ dan $y = 0,111\cdots$, maka nilai dari $(^x \log y)a^{^a \log 10}$ dengan $a>1$ adalah $\cdots \cdot$
A. $20$                        D. $2a$
B. $10a$                      E. $\frac{1}{2}$
C. $2$

Pembahasan

Diketahui
$\begin{aligned} x & = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3} = 3^{-1} \\ y & = 0,111\cdots = \dfrac{1}{9} = 3^{-2} \end{aligned}$
Perhatikan bahwa bentuk $a^{^a \log b} = b$ untuk $a > 1$.
Dengan demikian,
$\begin{aligned} (^x \log y)a^{^a \log 10} & = (^{3^{-1}} \log 3^{-2}) \cdot 10 \\ & = \dfrac{-2}{-1} \cdot ^3 \log 3 \cdot 10 \\ & = 2 \cdot 1 \cdot 10 = 20 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $(^x \log y)a^{^a \log 10}$ adalah $\boxed{20}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 53
Jika $x>0$ dan $y>0$, maka $\dfrac{3-3 \log^2 xy} {1- \log x^3y^2 + 2 \log x\sqrt{y}} = \cdots \cdot$
A. $3+\log xy$                  D. $\dfrac{1}{3}$
B. $3 \log xy$                      E. $3$
C. $3 \log 10xy$

Pembahasan

$\begin{aligned} & \dfrac{3-3 \log^2 xy} {1- \log x^3y^2 + 2 \log x\sqrt{y}} \\ & = \dfrac{3(1- \log^2 xy)} {1-(\log x^3y^2-\log (x\sqrt{y})^2)} \\ & = \dfrac{3\cancel{(1- \log xy)}(1 + \log xy)} {\cancel{1-\log xy}} \\ & = 3(1 + \log xy) \\ & = 3(\log 10 + \log xy) \\ & = 3 \log 10xy \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{3-3 \log^2 xy} {1- \log x^3y^2 + 2 \log x\sqrt{y}} = 3 \log 10xy}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 54
Hasil dari $\dfrac{9-\log^2 a^3b^3}{1-\log a^5b^3 + 2 \log a^2b} = \cdots \cdot$
A. $9 + \log 10ab$
B. $3 + \log 10ab$
C. $3 + 3 \log ab$
D. $9 + 9 \log ab$
E. $\log ab$

Pembahasan

$\begin{aligned} & \dfrac{9-\log^2 a^3b^3}{1-\log a^5b^3 + 2 \log a^2b} \\ & = \dfrac{(3 + \log a^3b^3)(3-\log a^3b^3)}{1-\log a^5b^3 + \log a^4b^2} \\ & = \dfrac{(3 + 3 \log ab)(3-3 \log ab)}{1-\left(\log \dfrac{a^5b^3}{a^4b^2}\right)} \\ & = \dfrac{3(1 + \log ab) \cdot 3\cancel{(1-\log ab)}}{\cancel{1-\log ab}} \\ & = 9(1 + \log ab) \\ & = 9 + 9 \log ab \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{9- \log^2 a^3b^3}{1-\log a^5b^3 + 2 \log a^2b} = 9 + 9 \log ab}$

[collapse]

Soal Nomor 55
Jika $u=x^2$ dan $^x \log 10 = ^u \log (5u-40)$, maka nilai $u$ adalah $\cdots \cdot$
A. $25$                    C. $27$                   E. $29$
B. $26$                    D. $28$          

Pembahasan

Substitusikan $u=x^2$ pada persamaan logaritma tersebut. 
$\begin{aligned} ^x \log 10 & = ^u \log (5u-40) \\ ^x \log 10 & = ^{x^2} \log (5u-40) \\ ^x \log 10 & = \dfrac{1}{2} \cdot ^x \log (5u-40) \\ \bcancel{^x \log} 10 & = \bcancel{^x \log} \sqrt{5u-40} \\ 10 & = \sqrt{5u-40} \\ \text{Kuadratkan}~&\text{kedua ruas} \\ 10^2 & = (\sqrt{5u-40})^2 \\ 100 & = 5u-40 \\ 140 & = 5u \\ u & = \dfrac{140}{5} = 28 \end{aligned}$
Jadi, nilai $u$ adalah $\boxed{28}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 56
Jika $x \log 2- y \log 3 + z \log 5 = 10$ maka $2x + 8y-3z = \cdots \cdot$
A. $-20$                  C. $0$                 E. $20$
B. $-10$                  D. $10$        

Pembahasan

Dengan menggunakan sifat logaritma, diperoleh
$\begin{aligned} x \log 2-y \log 3 + z \log 5 & = 10 \\ \log 2^x-\log 3^y + \log 5^z & = 10 \\ \cancel{\log} \left(\dfrac{2^x \cdot 5^z} {3^y}\right) & = \cancel{\log} 10^{10} \\ \dfrac{2^x \cdot 5^z} {3^y} & = 10^{10} \end{aligned}$
Karena $2, 3, 5$ merupakan bilangan prima, maka bentuk pecahan $\dfrac{2^x \cdot 5^z} {3^y}$ sudah dalam bentuk paling sederhana. Ini berarti $3^y$ haruslah bernilai $1$ (jika tidak, hasilnya akan berupa pecahan). 
Jadi, $y$ yang memenuhi adalah $0$.
Untuk itu, 
$2^x \cdot 5^z = 10^{10}$
Pilih $x = z = 10$, sehingga
$2^{10} \cdot 5^{10} = (2 \cdot 5)^{10} = 10^{10}$
Jadi, hasil dari
$\boxed{\begin{aligned} 2x + 8y-3z & = 2(10) + 8(0)- 3(10) \\ &  =-10 \end{aligned}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 57
Jika $x \neq y$ memenuhi persamaan $5x ^3 \log 2^y = x ^3 \log 2^x + y ^3 \log 2^{4y}$, maka nilai $\dfrac{x}{y}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1$                   C. $3$                 E. $5$
B. $2$                   D. $4$           

Pembahasan

Sederhanakan persamaan yang diberikan.
$\begin{aligned} 5x~^3 \log 2^y & = x~^3 \log 2^x + y~^3 \log 2^{4y} \\ 5xy ~\cancel{^3 \log 2} & = x^2~\cancel{^3 \log 2} + 4y^2~\cancel{^3 \log 2} \\ 5xy & = x^2 + 4y^2 \\ x^2-5xy + 4y^2 & = 0 \\ (x-y)(x-4y) & = 0 \end{aligned}$
Persamaan terakhir menunjukkan bahwa $x = y$ atau $x = 4y$, tetapi karena diberikan bahwa $x \neq y$ (pada soal), maka dipilih $x = 4y$. Dengan demikian,
$\boxed{\dfrac{x}{y} = \dfrac{4y}{y} = 4}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 58
Jika $b > 1, x > 0$ dan $(2x)^{^b \log 2} = (3x)^{^b \log 3}$, maka $x = \cdots \cdot$
A. $\dfrac{1}{216}$               C. $1$               E. $216$        
B. $\dfrac16$                   D. $6$     

Pembahasan

Logaritmakan kedua ruas, kemudian sederhanakan dengan menggunakan sifat-sifat logaritma.
$$\begin{aligned} (2x)^{^b \log 2} & = (3x)^{^b \log 3} \\ ^b \log (2x)^{^b \log 2} & = ^b \log (3x)^{^b \log 3} \\ ^b log 2 \cdot ^b \log 2x & = ^b \log 3 \cdot ^b \log 3x \\ ^b log 2 \cdot (^b \log 2 + ^b \log x) & = ^b \log 3 \cdot (^b \log 3 + ^b \log x) \\ (^b \log 2)^2 + ^b log 2 \cdot ^b \log x & = (^b \log 3)^2 + ^b log 3 \cdot ^b \log x \\ (^b \log 2)^2-(^b \log 3)^2 &= ^b \log 3 \cdot ^b \log x-^b \log 2 \cdot ^b \log x \\ (^b \log 2 + ^b \log 3)(^b \log 2-^b \log 3) & = ^b \log x(^b \log 3-^b \log 2) \\ ^b \log 6 \cdot \cancel{^b \log \dfrac23} & = ^b \log x \cdot (-1) \cancel{^b \log \dfrac23} \\ \cancel{^b \log} 6 & = \cancel{^b \log} x^{-1} \\ x^{-1} & = 6 \\ x & = \dfrac16 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $x$ adalah $\boxed{\dfrac16}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 59
Jika $x, y$, dan $z$ adalah bilangan bulat positif yang memenuhi
$$x^y \cdot z = \dfrac{3^{50} + 3^{17} \cdot 3^{33} + 3^{16} \cdot 3^{16} \cdot 3^{18} + 3^{11} \cdot 3^{12} \cdot 3^{13} \cdot 3^{14}}{11 \cdot 3^3 + 4 \cdot 3^4 + 13 \cdot 3^3}$$,maka nilai $x+y+z$ yang mungkin adalah $\cdots \cdot$
A. $51$                  C. $53$                E. $55$
B. $52$                  D. $54$

Pembahasan

Dengan memakai sifat-sifat eksponen, kita peroleh
$$\begin{aligned} x^y \cdot z & = \dfrac{3^{50} + 3^{17} \cdot 3^{33} + 3^{16} \cdot 3^{16} \cdot 3^{18} + 3^{11} \cdot 3^{12} \cdot 3^{13} \cdot 3^{14}}{11 \cdot 3^3 + 4 \cdot 3^4 + 13 \cdot 3^3} \\ & = \dfrac{3^{50} + 3^{17+33} + 3^{16+16+18} + 3^{11+12+13+14}}{11 \cdot 3^3 + 12 \cdot 3^3 + 13 \cdot 3^3} \\ & = \dfrac{3^{50} + 3^{50} + 3^{50} + 3^{50}}{(11+12+13) \cdot 3^3} \\ & = \dfrac{\cancel{4} \cdot 3^{50}}{\cancelto{9}{36} \cdot 3^3} \\ & = \dfrac{3^{50}}{3^2 \cdot 3^3} \\ & = 3^{50-2-3} = 3^{45} \end{aligned}$$Diperoleh $x^y \cdot z = 3^{45}$.
Dari bentuk ini, kita dapat menganalisis nilai $x, y$, dan $z$ sebagai berikut.

  1. Jika $x^y \cdot z = 3^{45}$, maka diperoleh $x = 3$, $y = 45$, dan $z = 1$, sehingga $x+y+z = 49$ (tidak menjadi opsi)
  2. Jika $x^y \cdot z = 3^{44} \cdot 3$, maka diperoleh $x = 3$, $y = 44$, dan $z = 3$, sehingga $x+y+z = 50$ (tidak menjadi opsi)
  3. Jika $x^y \cdot z = 3^{43} \cdot 9$, maka diperoleh $x = 3$, $y = 43$, dan $z = 9$, sehingga $\color{red}{x+y+z = 55}$.

Jadi, nilai $x+y+z$ yang mungkin adalah $\boxed{55}$
(Jawaban E)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 1
Ubahlah bentuk berikut ke bentuk pangkat positif, kemudian hitunglah hasilnya.
a. $5^{-3}$
b. $4^{-2} \times 7^{-2}$
c. $\dfrac{8^{-6}} {8^{-2}}$
d. $(2^{-5})^{-2}$

Pembahasan

Perpangkatan negatif didefinisikan sebagai $\boxed{a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}} $
Jawaban a)
$5^{-3} = \dfrac{1}{5^3} = \dfrac{1}{5 \times 5 \times 5} = \dfrac{1}{125}$
Jawaban b)
$\begin{aligned} 4^{-2} \times 7^{-2} & = \dfrac{1}{4^2} \times \dfrac{1}{7^2} \\ & = \dfrac{1}{16} \times \dfrac{1}{49} = \dfrac{1}{784} \end{aligned}$
Jawaban c)
$\begin{aligned} \dfrac{8^{-6}} {8^{-2}} & = 8^{-6-(-2)} =8^{-4} \\ & = \dfrac{1}{8^4} = \dfrac{1}{8 \times 8 \times 8 \times 8}= \dfrac{1}{4.096} \end{aligned}$
Jawaban d)
$(2^{-5})^{-2} = 2^{-5 \times (-2)} = 2^{10} = 1.024$

[collapse]

Soal Nomor 2
Penulisan dalam bentuk baku (notasi ilmiah) adalah $a \times 10^n$ dengan $1 \leq a < 10$ dan $n$ bilangan bulat.
Nyatakan bilangan-bilangan berikut dalam bentuk baku.
a. $0,0053$
b. $0,00082$
c. $3^{-5}$
d. $\left(\dfrac{1}{2}\right)^8$
e. $1 329 000 000 000 000$
f. $9 880 034 000 000 000$

Pembahasan

Jawaban a)
$0,0053 = 5,3 \times 10^{-3}$
Jawaban b)
$0,00082 = 8,2 \times 10^{-4}$
Jawaban c)
$\begin{aligned} 3^{-5} = \dfrac{1}{3^5} & = \dfrac{1}{243} \approx 0,004115226 \\ & = 4,115226 \times 10^{-3} \end{aligned}$
Jawaban d)
$\begin{aligned} \left(\dfrac{1}{2}\right)^8 & = (0,5)^8 = (5 \times 10^{-1})^8 \\ & = 390.625 \times 10^{-8} \\ & = 3,90625 \times 10^{-3} \end{aligned}$
Jawaban e)
$1 329 000 000 000 000 = 1,329 \times 10^{15}$
Ada $12$ angka nol (dari belakang) dan $3$ angka di belakang koma sehingga pangkatnya adalah $12+3=15$.
Jawaban f)
$9 880 034 000 000$ $= 9,880034 \times 10^{12}$
Ada $6$ angka nol (dari belakang) dan $6$ angka di belakang koma sehingga pangkatnya adalah $6+6=15$.

[collapse]

Soal Nomor 3
Tentukan hasil dari $\dfrac{5^{2-n}-(0,2)^n}{5^{1-n} + (0,2)^n}$.

Pembahasan

Dengan menggunakan sifat pangkat: $\boxed{\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}}$ dan definisi bahwa $\boxed{a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}}$, kita peroleh
$\begin{aligned} \dfrac{5^{2-n}-(0,2)^n}{5^{1-n} + (0,2)^n} & = \dfrac{\dfrac{5^2}{5^n}-\left(\dfrac{1}{5}\right)^n}{\dfrac{5}{5^n} + \left(\dfrac{1}{5}\right)^n} \\ & = \dfrac{\dfrac{25}{5^n}-\dfrac{1}{5^n}}{\dfrac{5}{5^n} + \dfrac{1}{5^n}} \\ & = \dfrac{\dfrac{25-1}{\cancel{5^n}}}{\dfrac{5+1}{\cancel{5^n}}} \\ & = \dfrac{25-1}{5+1} = \dfrac{24}{6} = 4 \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\boxed{\dfrac{5^{2-n}-(0,2)^n}{5^{1-n} + (0,2)^n} = 4}$

[collapse]

Soal Nomor 4 (Soal Aplikasi Peluang dan Logaritma)
Dalam suatu kotak terdapat bola hitam dan bola putih. Jika peluang muncul bola hitam adalah $\log x$ dan peluang muncul bola putih adalah $\log 2x$ , tentukan nilai $x^2 + 1$.

Pembahasan

Gunakan sifat logaritma berikut.
$\boxed{\begin{aligned} \log a + \log b & = \log bc \\ ^a \log b = c \iff b & = a^c \end{aligned}}$
Peluang mendapatkan bola hitam atau bola putih dinyatakan oleh
$\begin{aligned} \log x + \log 2x & = 1 \\ \log 2x^2 & = 1 \\ 2x^2 & = 10 \\ x^2 & = 5 \\ x^2 + 1 & = 6 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $x^2+1$ adalah $\boxed{6}$

[collapse]

CategoriesEksponen dan LogaritmaTags, , , , , , , , ,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *