Soal dan Pembahasan – Pangkat, Akar, dan Logaritma Versi HOTS dan Olimpiade

Berikut ini merupakan soal mengenai pangkat, akar, dan logaritma (soal dengan tingkat HOTS dan Olimpiade) yang dikutip dari berbagai sumber referensi. Soal-soal berikut masing-masing telah disediakan pembahasannya.

Baca : Soal dan Pembahasan – Pangkat, Akar, dan Logaritma (Versi Standar)

Today Quote

Mensyukuri apa yang telah dimiliki adalah cara yang sederhana dan ampuh untuk mendapatkan hidup yang bahagia.

Soal Nomor 1
Tentukan hasil dari
$\dfrac{3^{2014} -3^{2011} + 130}{3^{2011} + 5}$.

Pembahasan

Dengan menggunakan pemfaktoran, kita peroleh
$\begin{aligned} \dfrac{3^{2014} -3^{2011} + 130}{3^{2011} + 5} & = \dfrac{3^{2011}(3^3 -1) + 130}{3^{2011} + 5} \\ & = \dfrac{26 \cdot 3^{2011} + 130}{3^{2011} + 5} \\ & = \dfrac{26(\cancel{3^{2011} + 5})}{\cancel{3^{2011} + 5}} \\ & = 26 \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\boxed{\dfrac{3^{2014} -3^{2011} + 130}{3^{2011} + 5} = 26}$

[collapse]

Soal Nomor 2
Diketahui persamaan:
$\begin{aligned} ^2 \log [^3 \log (^5 \log a)] & = ^3 \log [^5 \log (^2 \log b)] \\ & = ^5 \log [^2 \log (^3 \log c)] = 0 \end{aligned} $
Nilai $a + b + c = \cdots \cdot$

Pembahasan

Ingatlah sifat logaritma berikut. 
$\boxed{\begin{aligned} ^a \log a & = 1 \\ ^a \log 1 & = 0 \\ ^a \log a^n & = n \end{aligned}}$
Tinjau persamaan $^2 \log [^3 \log (^5 \log a)] = 0$. Dengan menggunakan sifat di atas, diperoleh
$\begin{aligned} ^3 \log (^5 \log a) & = 1 \\ ^5 \log a & = 3 \\ a & = 5^3 = 125 \end{aligned}$
Tinjau persamaan $^3 \log [^5 \log (^2 \log b)] = 0$. Dengan menggunakan sifat di atas, diperoleh
$\begin{aligned} ^5 \log (^2 \log b) & = 1 \\ ^2 \log b & = 5 \\ b & = 2^5 = 32 \end{aligned}$
Tinjau persamaan $^5 \log [^2 \log (^3 \log a)] = 0$. Dengan menggunakan sifat di atas, diperoleh
$\begin{aligned} ^2 \log (^3 \log c) & = 1 \\ ^3 \log c & = 2 \\ c & = 3^2 = 9 \end{aligned}$
Dengan demikian, 
$\boxed{a+b+c = 125+32+9= 166}$

[collapse]

Soal Nomor 3
Hitunglah $\dfrac{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)} {2^{32}-1}$

Pembahasan

Faktorkan penyebutnya, sehingga dapat ditulis
$$\begin{aligned} & \dfrac{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)} {2^{32}-1} \\ & = \dfrac{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)} {(2^{16}+1)(2^{16}-1)} \\ & = \dfrac{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)} {(2^{16}+1)(2^8+1)(2^8-1)} \\ & = \dfrac{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)} {(2^{16}+1)(2^8+1)(2^4+1)(2^4-1)} \\ & = \dfrac{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)} {(2^{16}+1)(2^8+1)(2^4+1)(2^2+1)(2^2-1)} \\ & = \dfrac{\cancel{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)}} {\cancel{(2^{16}+1)(2^8+1)(2^4+1)(2^2+1)(2+1)} (2-1)} \\ & = \dfrac{1}{2-1} = 1 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\dfrac{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)} {2^{32}-1}$ adalah $\boxed{1}$

[collapse]

Soal Nomor 4
Jika $(5+4)(5^2+4^2)(5^4+4^4) = 5^x-2^y$, maka nilai $x+y = \cdots \cdot$

Pembahasan

$\begin{aligned} & (5+4)(5^2+4^2)(5^4+4^4) \\ & = \dfrac{\cancel{5^2-4^2}}{5-4} \cdot \dfrac{\bcancel{5^4-4^4}}{\cancel{5^2-4^2}} \cdot \dfrac{5^8-4^8}{\bcancel{5^4-4^4}} \\ & = \dfrac{5^8-4^8}{5-4} \\ & = 5^8-4^8 = 5^8 – 2^{16} \end{aligned}$
Jadi, diperoleh $x = 8$ dan $y = 16$, sehingga $\boxed{x+y=8+16 = 24}$

[collapse]

Baca : Soal dan Pembahasan – Persamaan Pangkat (Eksponen) Sederhana

Soal Nomor 5
Bilangan real positif $a, b$, dan $c$ memenuhi: $a^{^3 \log 7} = 27, b^{^7 \log 11} = 49$, dan $c^{^{11} \log 25} = \sqrt{11}$. Tentukan hasil dari
$a^{(^3 \log 7)^2} + b^{(^7 \log 11)^2} + c^{(^{11} \log 25)^2}$.

Pembahasan

Ingat sifat logaritma: $\boxed{a^{^a \log b} = b}$
Perhatikan bahwa:
$\begin{aligned} a^{(^3 \log 7)^2} & = \left[a^{^3 \log 7}\right]^{^3 \log 7} \\ & = 27^{^3 \log 7} \\ & = (3^3)^{^3 \log 7} \\ & = 3^{^3 \log 7^3} = 7^3 = 343 \end{aligned}$
Dengan prinsip yang sama, diperoleh
$\begin{aligned} b^{(^7 \log 11)^2} & = \left[b^{^7 \log 11}\right]^{^7 \log 11} \\ & = 49^{^7 \log 11} \\ & = (7^2)^{^7 \log 11} \\ & = 7^{^7 \log 11^2} = 11^2 = 121 \end{aligned}$
$\begin{aligned} c^{(^{11} \log 25)^2} & = \left[c^{^{11} \log 25}\right]^{^{11} \log 25} \\ & = (\sqrt{11})^{^{11} \log 25} \\ & = (11^{\frac{1}{2}})^{^{11} \log 25} \\ & = 11^{^{11} \log 25^{\frac{1}{2}}} = 25^{\frac{1}{2}} = 5 \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh
$\boxed{\begin{aligned} & a^{(^3 \log 7)^2} + b^{(^7 \log 11)^2} + c^{(^{11} \log 25)^2} \\ & = 343+121+5 = 469 \end{aligned}}$

[collapse]

Soal Nomor 6 
Misal $a,b,c$, dan $d$ adalah bilangan bulat positif yang memenuhi $^a \log b^2 = 3$ dan $^c \log d^4 = 5$, serta $a-c=9$, maka $b-d=\cdots \cdot$

Pembahasan

Perhatikan bahwa,
$\begin{aligned} & ^a \log b^2 = 3 \iff a^3 = b^2 \iff a = b^{\frac{2}{3}} \\ & ^c \log d^4 = 5 \iff c^5 = d^4 \iff c = d^{\frac{4}{5}} \end{aligned}$
Karena $a$ dan $c$ harus berupa bilangan bulat positif, maka $b$ dan $d$ haruslah memenuhi persyaratan berikut.
$b$ harus berupa bilangan kubik: $1, 8, 27, 64, 125, \cdots$
Ini mengakibatkan nilai $a$ berturut-turut adalah: $1, 4, 9, 16, 25, \cdots$
$d$ merupakan bilangan hasil pangkat lima: $1, 32, 243, 1.024, 3.125, \cdots$
Ini mengakibatkan nilai $c$ berturut-turut adalah: $1, 16, 81, 256, 625, \cdots$
Karena diberikan $a-c=9$, maka nilai $a$ dan $c$ berturut-turut yang mungkin adalah $25$ dan $16$.
Jika $a = 25$, maka $b = 125$, sedangkan jika $c = 16$, maka $d = 32$, sehingga $\boxed{b – d = 125 -32 = 93}$.

[collapse]

Soal Nomor 7
Jika $9^x + 9^{-x} -3^{2+x} + 3^{2-x} + 16 = 0$, maka $3^x -3^{-x}$ adalah $\cdots \cdot$

Pembahasan

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} 9^x + 9^{-x} -3^{2+x} + 3^{2-x} + 16 & = 0 \\ 3^{2x} + 3^{-2x} -9 \cdot 3^x + 9 \cdot 3^{-x} + 16 & = 0 \\ 3^{2x} + 3^{-2x} & = 9 \cdot 3^x -9 \cdot 3^{-x} -16 \end{aligned}$$Selanjutnya,
$\begin{aligned} (3^x -3^{-x})^2 & = (3^{2x} + 3^{-2x}) -2 \\ & = (9 \cdot 3^x -9 \cdot 3^{-x} -16) -2 \\ & = 9(3^x -3^{-x}) – 18 \end{aligned}$
Sekarang, misalkan $3^x -3^{-x} = a$, maka
$\begin{aligned} a^2 & = 9a -18 \\ a^2 -9a + 18 & = 0 \\ (a -6)(a-3) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $a = 6 \lor a = 3$
Ini berarti, $\boxed{3^x – 3^{-x} = 6}$ atau $\boxed{3^x -3^{-x} = 3}$

[collapse]

Soal Nomor 8
Sederhanakanlah
$(\sqrt{5} + \sqrt{6} + \sqrt{7})$ $(\sqrt{5} + \sqrt{6}- \sqrt{7})$ $(\sqrt{5} -\sqrt{6} + \sqrt{7})$ $(-\sqrt{5} + \sqrt{6} + \sqrt{7})$

Pembahasan

Gunakan sifat pemfaktoran $a^2-b^2 = (a+b) (a-b)$ dan juga $(a \pm b)^2 = a^2+b^2 \pm 2ab$ untuk menyederhanakan bentuk akar di atas. 
Perhatikan bahwa, 
$\begin{aligned} & (\sqrt{5} + \sqrt{6} + \sqrt{7}) (\sqrt{5} + \sqrt{6}- \sqrt{7}) \\ & = (\sqrt{5}+\sqrt{6})^2 -(\sqrt{7})^2 \\ & = (5 + 6 + 2\sqrt{30})- 7 \\ & = 4 + 2\sqrt{30} \end{aligned}$
Selanjutnya, 
$\begin{aligned} & (\sqrt{5} -\sqrt{6} + \sqrt{7}) (-\sqrt{5} + \sqrt{6} + \sqrt{7}) \\ & = [\sqrt{7} + (\sqrt{5} -\sqrt{6})][\sqrt{7} -(\sqrt{5} -\sqrt{6})] \\ & = (\sqrt{7})^2 -(\sqrt{5} -\sqrt{6})^2 \\ & = 7 – (5 + 6 -2\sqrt{30}) \\ & = -4 + 2\sqrt{30} \end{aligned}$
Jadi, bentuk akar pada soal dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} (4+2\sqrt{30}) (-4+2\sqrt{30}) & = (2\sqrt{30})^2 -4^2 \\  & = 120 -16 \\ & = 104 \end{aligned}$
Dengan demikian, bentuk sederhananya adalah $\boxed{104}$

[collapse]

Soal Nomor 9
Carilah nilai
$$\dfrac{2.007^2 + 2.008^2 + 2.009^2 -1.991^2 – 1.992^2-1.993^2}{2^7 \cdot 5^2}$$

Pembahasan

Dengan menggunakan sifat pemfaktoran: $\boxed{a^2-b^2=(a+b) (a-b)} $, diperoleh
$$\begin{aligned} & \dfrac{2.007^2 + 2.008^2 + 2.009^2 -1.991^2 -1.992^2- 1.993^2}{2^7 \cdot 5^2} \\ & = \dfrac{(2.009^2-1.991^2)+(2.008^2-1.992^2)+(2.007^2-1.993^2)} {2^7 \cdot 5^2} \\ & = \dfrac{(2.007+1.993)(2.007-1993)+(2.008+1.992)(2.008-1.992)}{2^7 \cdot 5^2}\\ & +\dfrac{(2.009+1.991)(2.009-1.991)} {2^7 \cdot 5^2} \\ & = \dfrac{4.000(14+16+18)} {2^7 \cdot 5^2} \\ & = \dfrac{2^2 \cdot 1.000 \cdot 48}{2^7 \cdot 5^2} \\ & = \dfrac{2^2 \cdot 2 \cdot 500 \cdot 2^4 \cdot 3}{2^7 \cdot 5^2} \\ & = \dfrac{\cancel{2^7} \cdot \bcancel{5^2} \cdot 20 \cdot 3}{\cancel{2^7} \cdot \bcancel{5^2}} \\ & = 20 \cdot 3 = 60 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari bentuk tersebut adalah $\boxed{60}$

[collapse]

Soal Nomor 10
Jika $A = \sqrt[5]{16} + \sqrt[5]{8} + \sqrt[5]{4} + \sqrt[5]{2} + 1$, carilah nilai $\left(1 + \dfrac{1}{A}\right)^{50}$.

Pembahasan

Pandang
$\begin{aligned} A & = \sqrt[5]{16} + \sqrt[5]{8} + \sqrt[5]{4} + \sqrt[5]{2} + 1 \\ \sqrt[5]{2}A & = \underbrace{\sqrt[5]{32}}_{= 2} + \sqrt[5]{16} + \sqrt[5]{8} + \sqrt[5]{4} + 1 \\ & = \sqrt[5]{16} + \sqrt[5]{8} + \sqrt[5]{4} + \sqrt[5]{2} + 2 \\ & \rule{6 cm}{0.8 pt}~- \\  (1 -\sqrt[5]{2})A & = -1 \Rightarrow A = \dfrac{1}{\sqrt[5]{2} -1} \\  \dfrac{1}{A} & = \sqrt[5]{2} -1 \\  \dfrac{1}{A} + 1 & = \sqrt[5]{2} = 2^{\frac{1}{5}} \end{aligned}$
Jadi, $\boxed{\left(1 + \dfrac{1}{A}\right)^{50} = (2^{\frac{1}{5}})^{50} = 2^{10} = 1.024}$

[collapse]

Soal Nomor 11
Misalkan $x, y, z > 1$ dan $w > 0$. Jika $^x \log w = 4, ^y \log w = 5$, dan $^{xyz} \log w = 2$, maka nilai dari $^z \log w$ adalah $\cdots \cdot$

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} ^x \log w & = 4 \iff ^w \log x = \dfrac{1}{4} \\ ^y \log w & = 5 \iff ^w \log y = \dfrac{1}{5} \end{aligned}$
Dengan menerapkan sifat logaritma pada persamaan $^{xyz} \log w = 2$, didapat
$$\begin{aligned} ^{xyz} \log w & = 2 \\ \dfrac{^w \log w}{^w \log (xyz)} & = 2 \\ \dfrac{^w \log w}{^w log x + ^w \log y + ^w \log z} & = 2 \\ \dfrac{1}{\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{5} + ^w \log z} & = 2 \\ \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{5} + ^w \log z & = \dfrac{1}{2} \\ ^w \log z & = \dfrac{1}{2} – \dfrac{1}{4}- \dfrac{1}{5} \\ ^w \log z & = \dfrac{10-5-4}{20} = \dfrac{1}{20} \\ ^z \log w = 20 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $^z \log w$ adalah $\boxed{20}$ 

[collapse]

Soal Nomor 12
Diketahui
$\begin{aligned} a \log 2 + b \log 3 + c \log 5 &  + d \log 7 + e \log 9 + \\ &  f \log 11 = 2013 \end{aligned}$
Tentukan nilai dari $a + b + c + d + e + f$.

Pembahasan

Dengan menggunakan sifat logaritma
$\begin{aligned} n \cdot ^a \log b & = ^a \log b^n \\ ^a \log b + ^a \log c & = ^a \log bc \end{aligned}$
diperoleh
$$\begin{aligned} & a \log 2 + b \log 3 + c \log 5 + d \log 7 + e \log 9 +  f \log 11 = 2013 \\ & \log 2^a + \log 3^b + \log 5^c + \log 7^d + \log 9^e + \log 11^f  = 2013 \\ & \log (2^a3^b5^c7^d9^e11^f) = 2013 \\ & 2^a3^b5^c7^d9^e11^f = 10^{2013} \\ & 2^a3^b5^c7^d9^e11^f  = 2^{2013} \cdot 5^{2013} \end{aligned}$$Persamaan terakhir menunjukkan bahwa nilai $a = 2013$, $b = 0$, $c = 2013$, $d = $0, $e = 0$, dan $f = 0$.
Jadi, nilai dari 

$\begin{aligned} & a+b+c+d+e+f \\ & =2013+0+2013+0+0+0=4026 \end{aligned}$  

[collapse]

Soal Nomor 13
Jika $6(3^{40})(^2 \log a) + 3^{41}(^2 \log a) = 3^{43}$, maka nilai $a$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{1}{8}$                  C. $4$                      E. $16$
B. $\dfrac{1}{4}$                  D. $8$      

Pembahasan

Misalkan $^2 \log a = x$, maka persamaan di atas dapat ditulis menjadi $6(3^{40})x + 3^{41}x = 3^{43}$.
Bagi kedua ruasnya dengan $3^{40}$, kemudian sederhanakan untuk mencari nilai $x$.
$\begin{aligned} \dfrac{6(\cancel{3^{40}})x}{\cancel{3^{40}}} + \dfrac{\cancelto{3^{3}}{3^{41}}x}{\cancel{3^{40}}} & = \dfrac{\cancelto{3^{3}}{3^{43}}}{\cancel{3^{40}}} \\ 6x + 3x & = 3^3 = 27 \\ 9x & = 27 \\ x & = 3 \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh $^2 \log a = 3$ sehingga $a = 2^3 = 8$. Jadi, nilai $a$ adalah $\boxed{8}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 14
Buktikan bahwa $^2 \log 3$ adalah bilangan irasional.

Pembahasan

Dengan menggunakan pembuktian kontradiksi, andaikan $^2 \log 3$ adalah bilangan rasional.
Misalkan $x = ^2 \log 3 = \dfrac{a}{b}$. Karena $x > 0$, maka $a$ dan $b$ dapat diasumsikan sebagai suatu bilangan bulat positif.
Perhatikan bahwa, $x = ^2 \log 3 \iff 2^x = 3$ (sesuai dengan definisi logaritma). Ini berarti, $2^{\frac{a}{b}} = 3$, sehingga $2^a = 3^b$.
Jika $a, b$ bilangan bulat positif, maka $2^a$ adalah bilangan genap, sedangkan $3^b$ adalah bilangan ganjil. Ini jelas kontradiksi, sehingga pengandaian harus diingkari. Jadi, terbukti bahwa $^2 \log 3$ adalah bilangan irasional. $\blacksquare$

[collapse]

Soal Nomor 15
Diketahui $N = \dfrac{4}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt[4]{5} + 1)(\sqrt[8]{5} + 1)(\sqrt[16]{5} + 1)}$
Carilah nilai dari $(N + 1)^{48}$.

Pembahasan

Kalikan $N$ dengan
$\dfrac{(\sqrt{5} -1)(\sqrt[4]{5} -1)(\sqrt[8]{5} -1)(\sqrt[16]{5} -1)}{(\sqrt{5} -1)(\sqrt[4]{5} -1)(\sqrt[8]{5} -1)(\sqrt[16]{5} -1)}$
sehingga nantinya diperoleh

$$\begin{aligned} N & = \dfrac{\bcancel{4}\cancel{(\sqrt{5} -1)(\sqrt[4]{5} -1)(\sqrt[8]{5} -1)} (\sqrt[16]{5} -1)}{\bcancel{(5-1)} \cancel{(\sqrt{5} -1)(\sqrt[4]{5} -1)(\sqrt[8]{5} -1)} } \\ & = \sqrt[16]{5} -1 \end{aligned}$$Dengan demikian,
$$\boxed{N + 1 = \sqrt[16]{5} \Rightarrow (N+1)^{48} = (5^{\frac{1}{16}})^{48} = 5^3 = 125}$$

[collapse]

Soal Nomor 16
Buktikan bahwa jika $p^2 = qr$, maka $^q \log p + ^r \log p = 2 \cdot~^q \log p \cdot~^r \log p$.

Pembahasan

Kita dapat nyatakan $p^2 = qr$ dalam bentuk logaritma, lalu gunakan sejumlah sifat logaritma untuk membuktikan pernyataan tersebut.
$\begin{aligned} ^p \log qr & = 2 \\ ^p \log q +~^p \log r & = 2 \\ \dfrac{1}{^q \log p}+\dfrac{1}{^r \log p} & = 2 \\ \dfrac{^r \log p +~^q \log p}{^q \log p \cdot~^r \log p} & = 2 \\ ^q \log p +~^r \log p & = 2 \cdot~^q \log p \cdot~^r \log p \end{aligned}$
(Terbukti)

[collapse]

Soal Nomor 17
Sederhanakan bentuk dari

$$\dfrac{1}{1 + \sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} + \cdots + \dfrac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$$

Pembahasan

Rasionalkan tiap sukunya sebagai berikut.
$$\begin{aligned} \dfrac{1}{1 + \sqrt{2}} & = \dfrac{1}{1 + \sqrt{2}} \times \dfrac{1 -\sqrt{2}}{1 -\sqrt{2}} = -1 + \sqrt{2} \\ \dfrac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} & = \dfrac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} \times \dfrac{\sqrt{2} -\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} = -\sqrt{2} + \sqrt{3} \\ \dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} & = \dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} \times \dfrac{\sqrt{3} -\sqrt{4}}{\sqrt{3}- \sqrt{4}} = -\sqrt{3} + \sqrt{4} \\ \cdots \cdots \cdots & \cdots \cdots  \\ \dfrac{1}{\sqrt{99} + \sqrt{100}} & = \dfrac{1}{\sqrt{99} + \sqrt{100}} \times \dfrac{\sqrt{99} -\sqrt{100}}{\sqrt{99} -\sqrt{100}} \\ & = -\sqrt{99} + \sqrt{100} \end{aligned}$$Dengan demikian, dapat ditulis
$$\begin{aligned} & \dfrac{1}{1 + \sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} + \cdots + \dfrac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}} \\ & = (-1 + \cancel{\sqrt{2}}) + (\cancel{-\sqrt{2}} + \cancel{\sqrt{3}}) + (\cancel{-\sqrt{3}} + \cancel{\sqrt{4}}) + \\ & \cdots + (\cancel{-\sqrt{99}} + \sqrt{100}) \\ & = -1 + \sqrt{100} = 9 \end{aligned}$$

[collapse]

Soal Nomor 18
Nilai dari $\sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 -\sqrt{5}} -3$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-2$                   C. $1$                     E. $2$
B. $-1$                   D. $1,5$         

Pembahasan

Misalkan $\sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 -\sqrt{5}} = p$, maka
$$\begin{aligned} & \left(\sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 -\sqrt{5}}\right)^3 = p^3 \\ & (2 + \cancel{\sqrt{5}}) + (2 -\cancel{\sqrt{5}}) + 3\sqrt[3]{(2 + \sqrt{5})(2 -\sqrt{5})} \cdot p = p^3 \\ & 4 + 3\sqrt[3]{-1} \cdot p = p^3 \\ & 4- 3p = p^3 \end{aligned}$$Dengan menggunakan intuisi, nilai $p$ yang memenuhi adalah $p = 1$, karena $4- 3(1) = 1^3 \Leftrightarrow 1 = 1$.
Dengan demikian,
$\boxed{\sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 -\sqrt{5}} -3 = 1 -3 = -2}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 19
Diketahui $\log x = 6$ dan $\log y = 12$. Tentukan nilai dari $\log \sqrt{x\sqrt{y{\sqrt{x{\sqrt{y \cdots}}}}}}$.

Pembahasan

Misalkan $p = \log \sqrt{x\sqrt{y{\sqrt{x{\sqrt{y \cdots}}}}}}$, maka kita peroleh
$\begin{aligned} 10^p & = \sqrt{x\sqrt{y{\sqrt{x{\sqrt{y \cdots}}}}}} \\ \text{Kuadratkan}~&\text{kedua ruas} \\ 10^{2p} & = x\sqrt{y{\sqrt{x{\sqrt{y \cdots}}}}} \\ \text{Kuadratkan}~&\text{kedua ruas} \\ 10^{4p} & = x^2y\underbrace{\sqrt{x{\sqrt{y \cdots}}}}_{10^p} \\ 10^{4p} & = x^2y(10^p) \\ 10^{3p} & = x^2y \\ \log 10^{3p} & = \log x^2y \\ 3p \log 10 & = \log x^2 + \log y \\ 3p \cdot 1 & = 2(6) + 12 \\ 3p & = 12 + 12 \\ p & = 8 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\log \sqrt{x\sqrt{y{\sqrt{x{\sqrt{y \cdots}}}}}} = 8}$

[collapse]

Soal Nomor 20
Bentuk sederhana dari $1 \cdot 2^1 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \cdots + 2018 \cdot 2^{2018}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2019 \cdot 2^{2018} + 2$
B. $2019 \cdot 2^{2019} + 2$
C. $2018 \cdot 2^{2019} + 2$
D. $2017 \cdot 2^{2019} + 2$
E. $2018 \cdot 2^{2020} + 2$

Pembahasan

Misalkan:
$p = 1 \cdot 2^1 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3$ $+ \cdots + 2018 \cdot 2^{2018}$,
sehingga
$2p = 1 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2^3 + 3 \cdot 2^4$ $+ \cdots + 2018 \cdot 2^{2019}$
Kurangi kedua persamaan tersebut (atas ke bawah):

$$\begin{aligned} p & = -2 + (2-1) \cdot 2^2 + (2-3) \cdot 2^3 + (3-4) \cdot 2^4 \\ & + \cdots + (2017-2018) \cdot 2^{2018} + 2018 \cdot 2^{2019} \\ & = -2- 2^2 -2^3 -2^4 -\cdots -2^{2018} + 2018 \cdot 2^{2019} \\ & = -(2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + \cdots + 2^{2018}) + 2018 \cdot 2^{2019} \\ & = -\left(\underbrace{\dfrac{2(2^{2018} -1)}{2- 1}}_{\text{Rumus}~\text{S}_n}\right) + 2018 \cdot 2^{2019} \\ & = 2018 \cdot 2^{2019} -2^{2019} + 2 \\ & = 2017 \cdot 2^{2019} + 2 \end{aligned}$$Jadi, bentuk sederhana darinya adalah $\boxed{2017 \cdot 2^{2019} + 2}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 21
Nilai dari $\sqrt{1+\sqrt{3 + \sqrt{13+4\sqrt{3}}}}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac16\sqrt2 + \dfrac12\sqrt2$
B. $\dfrac12\sqrt2 + \dfrac12\sqrt6$
C. $\dfrac16\sqrt2 -\dfrac12\sqrt2$
D. $\dfrac12\sqrt6 -\dfrac12\sqrt2$
E. $\dfrac12\sqrt2 -\dfrac16\sqrt2$

Pembahasan

Gunakan salah satu sifat akar:
$\boxed{\sqrt{a} \pm \sqrt{b} = \sqrt{(a+b) \pm 2\sqrt{ab}}}$
Untuk itu, diperoleh
$\begin{aligned} & \sqrt{1+\sqrt{3 + \sqrt{13+4\sqrt{3}}}} \\ & = \sqrt{1+\sqrt{3 + \sqrt{13+2\sqrt{12}}}} \\ & = \sqrt{1+\sqrt{3 + \sqrt{(12+1)+2\sqrt{12 \cdot 1}}}} \\ & = \sqrt{1+\sqrt{3 + \sqrt{12} + \sqrt1}} \\ & = \sqrt{1 + \sqrt{4 + 2\sqrt3}} \\ & = \sqrt{1 + \sqrt{(3+1) + 2\sqrt{3 \cdot 1}}} \\ & = \sqrt{1 + \sqrt{3} + \sqrt{1}} \\ & = \sqrt{2 + \sqrt3} \\ & = \sqrt{2 + 2\sqrt{\dfrac34}} \\ & = \sqrt{\left(\dfrac32 + \dfrac12\right) + 2\sqrt{\dfrac32 \cdot \dfrac12}} \\ & = \sqrt{\dfrac32} + \sqrt{\dfrac12} \\ & = \dfrac12\sqrt6 + \dfrac12\sqrt2 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\sqrt{1+\sqrt{3 + \sqrt{13+4\sqrt{3}}}}$ adalah $\boxed{\frac12\sqrt2 + \frac12\sqrt6}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 22
Jika $x = \sqrt[3]{2+\sqrt5} + \sqrt[3]{2-\sqrt5}$ dan $y = 2019- \sqrt{\dfrac{2020^3-2018^3-2}{6}}$, maka $\cdots \cdot$
A. $x<y$
B. $x=y$
C. $x>y$
D. $x+y=2$
E. hubungan $x$ dan $y$ tak dapat ditentukan

Pembahasan

Pertama, akan disederhanakan bentuk $x$ terlebih dahulu.
Misalkan $a = 2 + \sqrt5$ dan $b = 2 -\sqrt5$, sehingga $a+b = 4$ dan $ab = (2)^2 – (\sqrt5)^2 = -1$.
Dengan demikian,
$\begin{aligned} x & = \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} \\ x^3 & = (\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})^3 \\ x^3 & = a + b + 3ab(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}) \\ x^3 & = 4 + 3(-1)(x) \\ 0 & = x^3 + 3x -4 \\ 0 & = (x-1)(x^2 + x + 4) \end{aligned}$
Karena $x^2+x+4$ definit positif, maka satu-satunya penyelesaian dari persamaan di atas adalah $x = 1$.
Selanjutnya, akan disederhanakan bentuk dari $y$. Untuk mempersingkat penulisan, kita misalkan $a = 2018$.
$$\begin{aligned} y & = 2019 -\sqrt{\dfrac{2020^3-a^3-2}{6}} \\ & = 2019- \dfrac{1}{\sqrt6}\sqrt{(2020-a)(2020^2+a^2+2020 \cdot a) -2} \\ & = 2019- \dfrac{1}{\sqrt6}\sqrt{2((a+2)^2+a^2+(a+2) \cdot a) -2} \\ & = 2019 -\dfrac{1}{\sqrt3}\sqrt{(a+2)^2+a^2+(a+2) \cdot a -1} \\ & = 2019 -\dfrac{1}{\sqrt3}\sqrt{(a^2 + 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2)+a^2+(a+2) \cdot a -1} \\ & = 2019 -\dfrac{1}{\sqrt3}\sqrt{(a^2 + 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2)+a^2+ a^2 + 2 \cdot a- 1} \\ & = 2019 -\dfrac{1}{\sqrt3}\sqrt{(3 \cdot a^2 + 6 \cdot a + 3 } \\ & = 2019-\sqrt{a^2 + 2 \cdot a + 1} \\ & = 2019 -\sqrt{(a + 1)^2} = 2019- \sqrt{(2018+1)^2} \\ & = 2019 -2019 = 0 \end{aligned}$$Dengan demikian, $y = 0$.
Jadi, kesimpulan yang bisa ditarik adalah $\boxed{x > y}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 23
Bentuk sederhana dari $\sqrt[4]{\dfrac{3+2\sqrt2}{3-2\sqrt2}}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\sqrt2 + 1$                    D. $2\sqrt2 + 1$
B. $\sqrt2-1$                     E. $2\sqrt2-1$
C. $1-\sqrt2$

Pembahasan

Dengan menerapkan sifat akar:
$\boxed{\sqrt{(a+b) \pm 2\sqrt{ab}}}$
diperoleh
$\begin{aligned} \sqrt[4]{\dfrac{3+2\sqrt2}{3-2\sqrt2}} & = \sqrt[4]{\dfrac{(2+1)+2\sqrt{2 \cdot 1}}{(2+1)-2\sqrt{2 \cdot 1}}} \\ & = \sqrt[4]{\dfrac{(\sqrt2 + \sqrt1)^2}{(\sqrt2 -\sqrt1)^2}} \\ & = \dfrac{\sqrt{\sqrt2+1}}{\sqrt{\sqrt2-1}} \times \color{red} {\dfrac{\sqrt{\sqrt2-1}}{\sqrt{\sqrt2-1}}} \\ & = \dfrac{\sqrt{2-1}}{\sqrt2-1} \\ & = \dfrac{1}{\sqrt2 -1} \times \color{red} {\dfrac{\sqrt2+1}{\sqrt2+1}} \\ & = \dfrac{\sqrt2+1}{2-1} = \sqrt2+1 \end{aligned}$
Jadi, bentuk sederhana dari $\sqrt[4]{\dfrac{3+2\sqrt2}{3-2\sqrt2}}$ adalah $\boxed{\sqrt2+1}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 24
Jika $\dfrac{1}{\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5} = \dfrac{a\sqrt2 + b\sqrt3 + c\sqrt{30}}{12}$, maka nilai $a+b+c=\cdots \cdot$
A. $0$                       C. $2$                   E. $4$
B. $1$                       D. $3$         

Pembahasan

Dengan menerapkan konsep merasionalkan penyebut bentuk akar pada bentuk pecahan, kita dapatkan
$\begin{aligned} & \dfrac{1}{(\sqrt2+\sqrt3)+\sqrt5} \\ & = \dfrac{1}{(\sqrt2+\sqrt3)+\sqrt5} \times \color{red}{ \dfrac{(\sqrt2+\sqrt3)-\sqrt5}{(\sqrt+\sqrt3)-\sqrt5}} \\ & = \dfrac{(\sqrt2+\sqrt3)-\sqrt5}{(\sqrt2+\sqrt3)^2-5} \\ & = \dfrac{(\sqrt2+\sqrt3)-\sqrt5}{(\cancel{2+3}+2\sqrt6)-\cancel{5}} \\ & = \dfrac{(\sqrt2+\sqrt3)-\sqrt5}{2\sqrt6} \times \color{red}{\dfrac{\sqrt6}{\sqrt6}} \\ & = \dfrac{\sqrt{12} + \sqrt{18} -\sqrt{30}}{12} \\ & = \dfrac{3\sqrt2 + 2\sqrt3 -\sqrt{30}}{12} \end{aligned}$
Karena diketahui bahwa $\dfrac{1}{\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5} = \dfrac{a\sqrt2 + b\sqrt3 + c\sqrt{30}}{12}$, diperoleh bahwa $a=3, b = 2, c = -1$, sehingga $\boxed{a+b+c=3+2+(-1)=4}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 25
Bentuk sederhana dari $\sqrt{\dfrac{\sqrt{41} + 4}{\sqrt{41} -4}}- \sqrt{\dfrac{\sqrt{41} -4}{\sqrt{41} + 4}}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-\dfrac85$                  C. $\dfrac85$
B. $0$                     D. $2$                E. $5\sqrt{41}$

Pembahasan

Tinjau bentuk $\sqrt{\dfrac{\sqrt{41} + 4}{\sqrt{41} -4}}$
Dengan pengalian akar sekawan dan penggunaan sifat-sifat akar, diperoleh 
$\begin{aligned} & \sqrt{\dfrac{\sqrt{41} + 4}{\sqrt{41} -4}} \times \color{red}{\dfrac{\sqrt{41} + 4}{\sqrt{41} + 4}} \\ & = \dfrac{\sqrt{41 + 8\sqrt{41} + 16}}{\sqrt{41 -16}} \\ & = \dfrac{\sqrt{57 + 8\sqrt{41}}}{5} \\ & = \dfrac{\sqrt{(41+16) + 2\sqrt{41 \times 16}}}{5} \\ & = \dfrac{\sqrt{41} + 4}{5} \end{aligned}$
Selanjutnya, tinjau bentuk $\sqrt{\dfrac{\sqrt{41} – 4}{\sqrt{41} + 4}}$
Analog dengan cara di atas, diperoleh 
$\begin{aligned} & \sqrt{\dfrac{\sqrt{41} -4}{\sqrt{41} + 4}} \times \color{red}{\dfrac{\sqrt{41} -4}{\sqrt{41} -4}} \\ & = \dfrac{\sqrt{41 -8\sqrt{41} + 16}}{\sqrt{41 -16}} \\ & = \dfrac{\sqrt{57 -8\sqrt{41}}}{5} \\ & = \dfrac{\sqrt{(41+16) – 2\sqrt{41 \times 16}}}{5} \\ & = \dfrac{\sqrt{41} -4}{5} \end{aligned}$
Dengan demikian, dapat kita tuliskan
$\begin{aligned} & \sqrt{\dfrac{\sqrt{41} + 4}{\sqrt{41} -4}}- \sqrt{\dfrac{\sqrt{41} -4}{\sqrt{41} + 4}} \\ & = \left(\dfrac{\sqrt{41} + 4}{5}\right) – \left(\dfrac{\sqrt{41}-4}{5}\right) \\ & = \dfrac45 -\left(-\dfrac45\right) = \dfrac85 \end{aligned}$
Jadi, bentuk sederhana dari $\boxed{\sqrt{\dfrac{\sqrt{41} + 4}{\sqrt{41} -4}}- \sqrt{\dfrac{\sqrt{41} -4}{\sqrt{41} + 4}} = \dfrac85}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 26
Jika $$\sqrt{1 + ^2 \log x + \sqrt{1 + ^2 \log x + \sqrt{1 + ^2 \log x + \cdots}}} = 3$$, maka nilai dari $^{2x} \log 8 = \cdots \cdot$
A. $\dfrac14$                   C. $\dfrac12$                    E. $\dfrac32$
B. $\dfrac13$                   D. $\dfrac23$        

Pembahasan

Dari persamaan yang diberikan, kuadratkan kedua ruas sehingga diperoleh
$$1 + ^2 \log x + \sqrt{1 + ^2 \log x + \sqrt{1 + ^2 \log x + \cdots}} = 3^2 = 9$$Selanjutnya, substitusikan $\sqrt{1 + ^2 \log x + \sqrt{1 + ^2 \log x + \cdots}} = 3$ pada persamaan di atas, sehingga diperoleh
$\begin{aligned} 1 + ^2 \log x + 3 & = 9 \\ ^2 \log x & = 5 \\ x & = 2^5 \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\boxed{^{2x} \log 8 = ^{2(2^5)} \log 2^3 = \dfrac36 = \dfrac12}$
(Jawaban C)

[collapse]

Baca Juga: Konsep dan Contoh Soal Akar Ramanujan

Soal Nomor 27
Buktikan pernyataan berikut.
$3^{\sqrt{^3 \log 7}} = 7^{\sqrt{^7 \log 3}}$

Pembahasan

Gunakan definisi dan sifat logaritma berikut.
$\boxed{\begin{aligned} a^b & = c \iff ^a \log c = b \\ ^a \log b & = \dfrac{1}{^b \log a} \end{aligned}}$
Pembuktian dari ruas kiri.

Misalkan $^3 \log 7 = p$, sehingga
$7 = 3^p \Leftrightarrow 7^{\frac{1}{p}} = 3$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} 3^{\sqrt{^3 \log 7}} & = \left(7^{\frac{1}{p}}\right)^{\sqrt{p}} \\ & = 7^{\frac{\sqrt{p}}{p}} \\ &= 7^{\frac{1}{\sqrt{p}}} \\ & = 7^{\frac{1}{\sqrt{^3 \log 7}}} \\ & = 7^{\sqrt{^7 \log 3}} \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa
$\boxed{3^{\sqrt{^3 \log 7}} = 7^{\sqrt{^7 \log 3}}}$

[collapse]

Soal Nomor 28
Tentukan bentuk sederhana dari
$\dfrac{3^{2008}(10^{2013} + 5^{2012} \times 2^{2011})}{5^{2012}(6^{2010} + 3^{2009} \times 2^{2008})}$.

Pembahasan

Dengan menggunakan sifat-sifat perpangkatan dan teknik pemfaktoran, diperoleh
$\begin{aligned} & \dfrac{3^{2008}(10^{2013} + 5^{2012} \times 2^{2011})}{5^{2012}(6^{2010} + 3^{2009} \times 2^{2008})} \\ & = \dfrac{3^{2008}(2^{2013} \times 5^{2013} + 5^{2012} \times 2^{2011})}{5^{2012}(2^{2010} \times 3^{2010} + 3^{2009} \times 2^{2008})} \\ & = \dfrac{\cancel{3^{2008} \times 5^{2012}}(2^{2013} \times 5 + 2^{2011})}{\cancel{5^{2012} \times 3^{2008}}(2^{2010} \times 3^{2} + 3 \times 2^{2008})} \\ & = \dfrac{2^{2013} \times 5 + 2^{2011}}{2^{2010} \times 3^2 + 3 \times 2^{2008}} \\ & = \dfrac{\bcancel{2^{2008}}(2^5 \times 5 + 2^3)}{\bcancel{2^{2008}}(2^2 \times 3^2 + 3)} \\ & = \dfrac{2^5 \times 5 + 2^3}{2^2 \times 3^2 + 3} \\ & = \dfrac{32 \times 5 + 8}{4 \times 9 + 3} \\ & = \dfrac{168}{39} = \dfrac{56}{13} \end{aligned}$

Jadi, bentuk sederhana dari pecahan tersebut adalah $\boxed{\dfrac{56}{13}}$

[collapse]

CategoriesEksponen dan LogaritmaTags, , , , , , , ,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *