Soal dan Pembahasan – Pangkat, Akar, dan Logaritma Versi HOTS dan Olimpiade

Ingatlah sifat logaritma berikut. 
$\boxed{\begin{aligned} ^a \log a & = 1 \\ ^a \log 1 & = 0 \\ ^a \log a^n & = n \end{aligned}}$
Tinjau persamaan $^2 \log [^3 \log (^5 \log a)] = 0$. Dengan menggunakan sifat di atas, diperoleh
$\begin{aligned} ^3 \log (^5 \log a) & = 1 \\ ^5 \log a & = 3 \\ a & = 5^3 = 125. \end{aligned}$
Tinjau persamaan $^3 \log [^5 \log (^2 \log b)] = 0$. Dengan menggunakan sifat di atas, diperoleh
$\begin{aligned} ^5 \log (^2 \log b) & = 1 \\ ^2 \log b & = 5 \\ b & = 2^5 = 32. \end{aligned}$
Tinjau persamaan $^5 \log [^2 \log (^3 \log a)] = 0$. Dengan menggunakan sifat di atas, diperoleh
$\begin{aligned} ^2 \log (^3 \log c) & = 1 \\ ^3 \log c & = 2 \\ c & = 3^2 = 9. \end{aligned}$
Dengan demikian, $\boxed{a+b+c = 125+32+9= 166}$
(Jawaban D)

$\begin{aligned} & (5+4)(5^2+4^2)(5^4+4^4) \\ & = \dfrac{\cancel{5^2-4^2}}{5-4} \cdot \dfrac{\bcancel{5^4-4^4}}{\cancel{5^2-4^2}} \cdot \dfrac{5^8-4^8}{\bcancel{5^4-4^4}} \\ & = \dfrac{5^8-4^8}{5-4} \\ & = 5^8-4^8 = 5^8- 2^{16} \end{aligned}$
Jadi, diperoleh $x = 8$ dan $y = 16$ sehingga $\boxed{x+y=8+16 = 24}$
(Jawaban D)

Misalkan $x = \dfrac{2008b + 2009}{2010b-2011}$ sehingga $-x = \dfrac{2008b + 2009}{2011-2010b}$.
Dengan demikian, kita peroleh
$a = \sqrt{x} + \sqrt{-x} + 2020$.
Persamaan di atas berlaku hanya saat $x = 0$ supaya $a$ tetap real.
Untuk itu,
$\boxed{a = \sqrt{0} + \sqrt{0} + 2020 = 2020}$
(Jawaban E)

Perhatikan bahwa,
$$\begin{aligned} & ^a \log b^2 = 3 \iff a^3 = b^2 \iff a = b^{\frac{2}{3}} \\ & ^c \log d^4 = 5 \iff c^5 = d^4 \iff c = d^{\frac{4}{5}} \end{aligned}$$Karena $a$ dan $c$ harus berupa bilangan bulat positif, maka $b$ dan $d$ haruslah memenuhi persyaratan berikut.
$b$ harus berupa bilangan kubik: $1, 8, 27, 64, 125, \cdots$
Ini mengakibatkan nilai $a$ berturut-turut adalah: $1, 4, 9, 16, 25, \cdots$
$d$ merupakan bilangan hasil pangkat lima: $1, 32, 243, 1.024, 3.125, \cdots$
Ini mengakibatkan nilai $c$ berturut-turut adalah: $1, 16, 81, 256, 625, \cdots$
Karena diberikan $a-c=9$, maka nilai $a$ dan $c$ berturut-turut yang mungkin adalah $25$ dan $16$.
Jika $a = 25$, maka $b = 125$, sedangkan jika $c = 16$, maka $d = 32$ sehingga $\boxed{b- d = 125-32 = 93}$
(Jawaban D)

Diketahui:
$\begin{aligned} ^x \log w & = 4 \iff ^w \log x = \dfrac{1}{4} \\ ^y \log w & = 5 \iff ^w \log y = \dfrac{1}{5} \end{aligned}$
Dengan menerapkan sifat logaritma pada persamaan $^{xyz} \log w = 2$, didapat
$$\begin{aligned} ^{xyz} \log w & = 2 \\ \dfrac{^w \log w}{^w \log (xyz)} & = 2 \\ \dfrac{^w \log w}{^w log x + ^w \log y + ^w \log z} & = 2 \\ \dfrac{1}{\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{5} + ^w \log z} & = 2 \\ \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{5} + ^w \log z & = \dfrac{1}{2} \\ ^w \log z & = \dfrac{1}{2}- \dfrac{1}{4}- \dfrac{1}{5} \\ ^w \log z & = \dfrac{10-5-4}{20} = \dfrac{1}{20} \\ ^z \log w = 20. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $^z \log w$ adalah $\boxed{20}$
(Jawaban B)

Misalkan $^2 \log a = x$, maka persamaan di atas dapat ditulis menjadi $6(3^{40})x + 3^{41}x = 3^{43}$.
Bagi kedua ruasnya dengan $3^{40}$, kemudian sederhanakan untuk mencari nilai $x$.
$\begin{aligned} \dfrac{6(\cancel{3^{40}})x}{\cancel{3^{40}}} + \dfrac{\cancelto{3^{3}}{3^{41}}x}{\cancel{3^{40}}} & = \dfrac{\cancelto{3^{3}}{3^{43}}}{\cancel{3^{40}}} \\ 6x + 3x & = 3^3 = 27 \\ 9x & = 27 \\ x & = 3 \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh $^2 \log a = 3$ sehingga $a = 2^3 = 8$. Jadi, nilai $a$ adalah $\boxed{8}$
(Jawaban D)

Misalkan $\sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2-\sqrt{5}} = p$, maka
$$\begin{aligned} \left(\sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2-\sqrt{5}}\right)^3 & = p^3 \\ (2 + \cancel{\sqrt{5}}) + (2-\cancel{\sqrt{5}}) + 3\sqrt[3]{(2 + \sqrt{5})(2-\sqrt{5})} \cdot p & = p^3 \\ 4 + 3\sqrt[3]{-1} \cdot p & = p^3 \\ 4- 3p & = p^3. \end{aligned}$$Dengan menggunakan intuisi, nilai $p$ yang memenuhi adalah $p = 1$, karena $4- 3(1) = 1^3 \Leftrightarrow 1 = 1.$
Dengan demikian, $$\boxed{\sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2-\sqrt{5}}-3 = 1-3 =-2}$$(Jawaban A)

Misalkan:
$$p = 1 \cdot 2^1 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3+ \cdots + 2018 \cdot 2^{2018}$$sehingga
$$2p = 1 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2^3 + 3 \cdot 2^4+ \cdots + 2018 \cdot 2^{2019}.$$Kurangi kedua persamaan tersebut (atas ke bawah).
$$\begin{aligned} p & =-2 + (2-1) \cdot 2^2 + (2-3) \cdot 2^3 + (3-4) \cdot 2^4 \\ & + \cdots + (2017-2018) \cdot 2^{2018} + 2018 \cdot 2^{2019} \\ & =-2- 2^2-2^3-2^4-\cdots-2^{2018} + 2018 \cdot 2^{2019} \\ & =-(2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + \cdots + 2^{2018}) + 2018 \cdot 2^{2019} \\ & =-\left(\underbrace{\dfrac{2(2^{2018}-1)}{2- 1}}_{\text{Rumus}~\text{S}_n}\right) + 2018 \cdot 2^{2019} \\ & = 2018 \cdot 2^{2019}-2^{2019} + 2 \\ & = 2017 \cdot 2^{2019} + 2 \end{aligned}$$Jadi, bentuk sederhana darinya adalah $\boxed{2017 \cdot 2^{2019} + 2}$
(Jawaban D)

Gunakan salah satu sifat akar:
$\boxed{\sqrt{a} \pm \sqrt{b} = \sqrt{(a+b) \pm 2\sqrt{ab}}}$
Untuk itu, diperoleh
$$\begin{aligned} & \sqrt{1+\sqrt{3 + \sqrt{13+4\sqrt{3}}}} \\ & = \sqrt{1+\sqrt{3 + \sqrt{13+2\sqrt{12}}}} \\ & = \sqrt{1+\sqrt{3 + \sqrt{(12+1)+2\sqrt{12 \cdot 1}}}} \\ & = \sqrt{1+\sqrt{3 + \sqrt{12} + \sqrt1}} \\ & = \sqrt{1 + \sqrt{4 + 2\sqrt3}} \\ & = \sqrt{1 + \sqrt{(3+1) + 2\sqrt{3 \cdot 1}}} \\ & = \sqrt{1 + \sqrt{3} + \sqrt{1}} \\ & = \sqrt{2 + \sqrt3} \\ & = \sqrt{2 + 2\sqrt{\dfrac34}} \\ & = \sqrt{\left(\dfrac32 + \dfrac12\right) + 2\sqrt{\dfrac32 \cdot \dfrac12}} \\ & = \sqrt{\dfrac32} + \sqrt{\dfrac12} \\ & = \dfrac12\sqrt6 + \dfrac12\sqrt2 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\sqrt{1+\sqrt{3 + \sqrt{13+4\sqrt{3}}}}$ adalah $\boxed{\frac12\sqrt2 + \frac12\sqrt6}$
(Jawaban B)

Pertama, akan disederhanakan bentuk $x$ terlebih dahulu.
Misalkan $a = 2 + \sqrt5$ dan $b = 2-\sqrt5$ sehingga $a+b = 4$ dan $ab = (2)^2- (\sqrt5)^2 =-1$.
Dengan demikian,
$\begin{aligned} x & = \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} \\ x^3 & = (\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})^3 \\ x^3 & = a + b + 3ab(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}) \\ x^3 & = 4 + 3(-1)(x) \\ 0 & = x^3 + 3x-4 \\ 0 & = (x-1)(x^2 + x + 4). \end{aligned}$
Karena $x^2+x+4$ definit positif, maka satu-satunya penyelesaian dari persamaan di atas adalah $x = 1$.
Selanjutnya, akan disederhanakan bentuk dari $y$. Untuk mempersingkat penulisan, kita misalkan $a = 2018$.
$$\begin{aligned} y & = 2019-\sqrt{\dfrac{2020^3-a^3-2}{6}} \\ & = 2019- \dfrac{1}{\sqrt6}\sqrt{(2020-a)(2020^2+a^2+2020 \cdot a)-2} \\ & = 2019- \dfrac{1}{\sqrt6}\sqrt{2((a+2)^2+a^2+(a+2) \cdot a)-2} \\ & = 2019-\dfrac{1}{\sqrt3}\sqrt{(a+2)^2+a^2+(a+2) \cdot a-1} \\ & = 2019-\dfrac{1}{\sqrt3}\sqrt{(a^2 + 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2)+a^2+(a+2) \cdot a-1} \\ & = 2019-\dfrac{1}{\sqrt3}\sqrt{(a^2 + 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2)+a^2+ a^2 + 2 \cdot a- 1} \\ & = 2019-\dfrac{1}{\sqrt3}\sqrt{(3 \cdot a^2 + 6 \cdot a + 3 } \\ & = 2019-\sqrt{a^2 + 2 \cdot a + 1} \\ & = 2019-\sqrt{(a + 1)^2} = 2019- \sqrt{(2018+1)^2} \\ & = 2019-2019 = 0 \end{aligned}$$Dengan demikian, $y = 0$.
Jadi, kesimpulan yang bisa ditarik adalah $\boxed{x > y}$
(Jawaban C)

Faktorkan penyebutnya sehingga dapat ditulis
$$\begin{aligned} & \dfrac{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)} {2^{32}-1} \\ & = \dfrac{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)} {(2^{16}+1)(2^{16}-1)} \\ & = \dfrac{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)} {(2^{16}+1)(2^8+1)(2^8-1)} \\ & = \dfrac{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)} {(2^{16}+1)(2^8+1)(2^4+1)(2^4-1)} \\ & = \dfrac{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)} {(2^{16}+1)(2^8+1)(2^4+1)(2^2+1)(2^2-1)} \\ & = \dfrac{\cancel{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)}} {\cancel{(2^{16}+1)(2^8+1)(2^4+1)(2^2+1)(2+1)} (2-1)} \\ & = \dfrac{1}{2-1} = 1. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $$\dfrac{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)} {2^{32}-1}$$ adalah $\boxed{1}$

Dengan menggunakan pemfaktoran, kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{3^{2014}-3^{2011} + 130}{3^{2011} + 5} & = \dfrac{3^{2011}(3^3-1) + 130}{3^{2011} + 5} \\ & = \dfrac{26 \cdot 3^{2011} + 130}{3^{2011} + 5} \\ & = \dfrac{26(\cancel{3^{2011} + 5})}{\cancel{3^{2011} + 5}} \\ & = 26. \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $\boxed{\dfrac{3^{2014}-3^{2011} + 130}{3^{2011} + 5} = 26}$

Dengan menggunakan sifat-sifat perpangkatan dan teknik pemfaktoran, diperoleh
$$\begin{aligned} & \dfrac{3^{2008}(10^{2013} + 5^{2012} \times 2^{2011})}{5^{2012}(6^{2010} + 3^{2009} \times 2^{2008})} \\ & = \dfrac{3^{2008}(2^{2013} \times 5^{2013} + 5^{2012} \times 2^{2011})}{5^{2012}(2^{2010} \times 3^{2010} + 3^{2009} \times 2^{2008})} \\ & = \dfrac{\cancel{3^{2008} \times 5^{2012}}(2^{2013} \times 5 + 2^{2011})}{\cancel{5^{2012} \times 3^{2008}}(2^{2010} \times 3^{2} + 3 \times 2^{2008})} \\ & = \dfrac{2^{2013} \times 5 + 2^{2011}}{2^{2010} \times 3^2 + 3 \times 2^{2008}} \\ & = \dfrac{\bcancel{2^{2008}}(2^5 \times 5 + 2^3)}{\bcancel{2^{2008}}(2^2 \times 3^2 + 3)} \\ & = \dfrac{2^5 \times 5 + 2^3}{2^2 \times 3^2 + 3} \\ & = \dfrac{32 \times 5 + 8}{4 \times 9 + 3} \\ & = \dfrac{168}{39} = \dfrac{56}{13}. \end{aligned}$$Jadi, bentuk sederhana dari pecahan tersebut adalah $\boxed{\dfrac{56}{13}}$

Misalkan $p = \log \sqrt{x\sqrt{y{\sqrt{x{\sqrt{y \cdots}}}}}}$, maka kita peroleh
$\begin{aligned} 10^p & = \sqrt{x\sqrt{y{\sqrt{x{\sqrt{y \cdots}}}}}} \\ \text{Kuadratkan}~&\text{kedua ruas} \\ 10^{2p} & = x\sqrt{y{\sqrt{x{\sqrt{y \cdots}}}}} \\ \text{Kuadratkan}~&\text{kedua ruas} \\ 10^{4p} & = x^2y\underbrace{\sqrt{x{\sqrt{y \cdots}}}}_{10^p} \\ 10^{4p} & = x^2y(10^p) \\ 10^{3p} & = x^2y \\ \log 10^{3p} & = \log x^2y \\ 3p \log 10 & = \log x^2 + \log y \\ 3p \cdot 1 & = 2(6) + 12 \\ 3p & = 12 + 12 \\ p & = 8. \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\log \sqrt{x\sqrt{y{\sqrt{x{\sqrt{y \cdots}}}}}} = 8}$

Ingat sifat logaritma: $\boxed{a^{^a \log b} = b}$
Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} a^{(^3 \log 7)^2} & = \left[a^{^3 \log 7}\right]^{^3 \log 7} \\ & = 27^{^3 \log 7} \\ & = (3^3)^{^3 \log 7} \\ & = 3^{^3 \log 7^3} = 7^3 = 343. \end{aligned}$
Dengan prinsip yang sama, diperoleh
$\begin{aligned} b^{(^7 \log 11)^2} & = \left[b^{^7 \log 11}\right]^{^7 \log 11} \\ & = 49^{^7 \log 11} \\ & = (7^2)^{^7 \log 11} \\ & = 7^{^7 \log 11^2} = 11^2 = 121. \end{aligned}$
$\begin{aligned} c^{(^{11} \log 25)^2} & = \left[c^{^{11} \log 25}\right]^{^{11} \log 25} \\ & = (\sqrt{11})^{^{11} \log 25} \\ & = (11^{\frac{1}{2}})^{^{11} \log 25} \\ & = 11^{^{11} \log 25^{\frac{1}{2}}} = 25^{\frac{1}{2}} = 5. \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh
$\boxed{\begin{aligned} & a^{(^3 \log 7)^2} + b^{(^7 \log 11)^2} + c^{(^{11} \log 25)^2} \\ & = 343+121+5 = 469 \end{aligned}}$

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} 9^x + 9^{-x}-3^{2+x} + 3^{2-x} + 16 & = 0 \\ 3^{2x} + 3^{-2x}-9 \cdot 3^x + 9 \cdot 3^{-x} + 16 & = 0 \\ 3^{2x} + 3^{-2x} & = 9 \cdot 3^x-9 \cdot 3^{-x}-16 \end{aligned}$$Selanjutnya,
$$\begin{aligned} (3^x-3^{-x})^2 & = (3^{2x} + 3^{-2x})-2 \\ & = (9 \cdot 3^x-9 \cdot 3^{-x}-16)-2 \\ & = 9(3^x-3^{-x})- 18 \end{aligned}$$Sekarang, misalkan $3^x-3^{-x} = a$, maka
$\begin{aligned} a^2 & = 9a-18 \\ a^2-9a + 18 & = 0 \\ (a-6)(a-3) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $a = 6 \lor a = 3$
Ini berarti, $\boxed{3^x- 3^{-x} = 6}$ atau $\boxed{3^x-3^{-x} = 3}$

Gunakan definisi dan sifat logaritma berikut.
$\boxed{\begin{aligned} a^b & = c \iff ^a \log c = b \\ ^a \log b & = \dfrac{1}{^b \log a} \end{aligned}}$
Pembuktian dari ruas kiri.
Misalkan $^3 \log 7 = p$ sehingga
$7 = 3^p \Leftrightarrow 7^{\frac{1}{p}} = 3.$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} 3^{\sqrt{^3 \log 7}} & = \left(7^{\frac{1}{p}}\right)^{\sqrt{p}} \\ & = 7^{\frac{\sqrt{p}}{p}} \\ &= 7^{\frac{1}{\sqrt{p}}} \\ & = 7^{\frac{1}{\sqrt{^3 \log 7}}} \\ & = 7^{\sqrt{^7 \log 3}}. \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa
$\boxed{3^{\sqrt{^3 \log 7}} = 7^{\sqrt{^7 \log 3}}}$

Perhatikan bahwa
$$ 2^n-2^{n-1}-2^{n-2}-\cdots-2-1 = 1$$untuk setiap bilangan asli $n$ sehingga
$$2^{2016}-2^{2015}-2^{2014}-\cdots-4-2-1 = 1.$$Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{3^{2017} + 3^{2016}}{5-(2^{2016}-2^{2015}-2^{2014}-\cdots-4-2-1)}-3^{2016} & = \dfrac{3^{2016} \cdot 3 + 3^{2016}}{5-1}-3^{2016} \\ & = \dfrac{3^{2016}\cancel{(3 + 1)}}{\cancel{4}}-3^{2016} \\ & = 3^{2016}-3^{2016} = 0. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $$\boxed{\dfrac{3^{2017} + 3^{2016}}{5-(2^{2016}-2^{2015}-2^{2014}-\cdots-4-2-1)}-3^{2016} = 0}$$

Diketahui $^{cd} \log ab = 173$, berarti $ab = (cd)^{173}$.
Dari persamaan $\dfrac{^f \log ab}{^f \log d} = \dfrac{1730}{9}$, diperoleh
$$\begin{aligned} ^d \log ab & = \dfrac{1730}{9} \\ ^d \log (cd)^{173} & = \dfrac{1730}{9} \\ ^d \log c + 1 & = \dfrac{10}{9} \\ ^d \log c & = \dfrac19. \end{aligned}$$Selanjutnya, perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} ^d \log c \cdot \! ^c \log b & = \dfrac19 \cdot (-290) \\ ^d \log b & = -\dfrac{290}{9}. \end{aligned}$$Berikutnya,
$$\begin{aligned} ^d \log ab & = \dfrac{1730}{9} \\ ^d \log a + \! ^d \log b & = \dfrac{1730}{9} \\ ^d \log a-\dfrac{290}{9} & = \dfrac{1730}{9} \\ ^d \log a & = \dfrac{2020}{9} \\ ^a \log d & = \dfrac{9}{2020}. \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} ^a \log d \cdot \! ^d \log c & = \dfrac{9}{2020} \cdot \dfrac19 \\ ^a \log c & = \dfrac{1}{2020} \\ ^c \log a & = 2020. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{^c \log a = 2020}$

Cara Pertama: Logaritma
Diketahui dua persamaan berikut.
$$\begin{cases} 2^x & = 216 && (\cdots 1) \\ 3^y & = 216 && (\cdots 2) \end{cases}$$Perhatikan bahwa pada persamaan $(1)$ dan $(2),$ kita dapat ubah $216$ menjadi $6^3,$ kemudian menarik tanda logaritma pada kedua ruasnya.
Pada persamaan $(1),$ kita peroleh
$$\begin{aligned} 2^x & = 6^3 \\ \log 2^x & = \log 6^3 \\ x \log 2 & = 3 \log 6 \\ x & = \dfrac{3 \log 6}{\log 2} \\ \dfrac{1}{x} & = \dfrac{\log 2}{3 \log 6}. \end{aligned}$$Berikutnya, dengan cara yang serupa pada persamaan $(2),$ kita peroleh
$$\begin{aligned} 3^y & = 6^3 \\ \log 3^y & = \log 6^3 \\ y \log 3 & = 3 \log 6 \\ y & = \dfrac{3 \log 6}{\log 3} \\ \dfrac{1}{y} & = \dfrac{\log 3}{3 \log 6}. \end{aligned}$$Dengan demikian,
$$\begin{aligned} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} & = \dfrac{\log 2}{3 \log 6} + \dfrac{\log 3}{3 \log 6} \\ & = \dfrac{\cancel{\log 6}}{3 \cancel{\log 6}} \\ & = \dfrac13. \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} = \dfrac13}$
Cara Kedua:
Perhatikan bahwa $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{x + y}{xy}.$
Kita punya dua persamaan berikut.
$$\begin{cases} 2^x & = 216 = 6^3 && (\cdots 1) \\ 3^y & = 216 = 6^3 && (\cdots 2) \end{cases}$$Pada persamaan $(1),$ kita pangkatkan kedua ruas dengan $y.$ Pada persamaan $(2),$ kita pangkatkan kedua ruas dengan $x.$ Kita peroleh
$$\begin{aligned} \rightarrow (2^x)^y & = (6^3)^y \\ 2^{xy} & = 6^{3y} \\ \rightarrow (3^y)^x & = (6^3)^x \\ 3^{xy} & = 6^{3x}. \end{aligned}$$Kalikan hasilnya masing-masing sesuai ruas.
$$\begin{aligned} 2^{xy} \cdot 3^{xy} & = 6^{3y} \cdot 6^{3x} \\ (2 \cdot 3)^{xy} & = 6^{3x + 3y} \\ 6^{xy} & = 6^{3(x + y)} \\ xy & = 3(x + y) \\ \dfrac{x+y}{xy} & = \dfrac13. \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} = \dfrac13}$
Cara Ketiga:
Kita punya dua persamaan berikut.
$$\begin{cases} 2^x = 216 & \Rightarrow 2 = 216^{1/x} \\ 3^y = 216 & \Rightarrow 3 = 216^{1/y} \end{cases}$$Kalikan sesuai ruas dan kita peroleh
$$\begin{aligned} 2 \cdot 3 & = 216^{1/x} \cdot 216^{1/y} \\ 6 & = 216^{1/x + 1/y} \\ 6^1 & = 6^{3(1/x + 1/y)} \\ 1 & = 3\left(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}\right) \\ \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} & = \dfrac13. \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} = \dfrac13}$

Untuk $a$ suatu bilangan real, berlaku
$$\begin{aligned} \log x & = 3a \\ \log y & = -4a \\ \log z & = 5a. \end{aligned}$$Ingat bahwa $xyz = 100.$ Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} \log x + \log y + \log z & = 3a + (-4a) + 5a \\ \log xyz & = 4a \\ \log 100 & = 4a \\ 2 & = 4a \\ \dfrac12 & = a. \end{aligned}$$Substitusi nilai $a$ tersebut untuk mencari nilai $x, y, z.$
$$\begin{aligned} \log x = 3\left(\dfrac12\right) & \Rightarrow x = 10^{\frac32} \\ \log y = -4\left(\dfrac12\right) & \Rightarrow y = 10^{-2} \\ \log z = 5\left(\dfrac12\right) & \Rightarrow z = 10^{\frac52} \end{aligned}$$

Misalkan $2^x = 3^y = 12^z = a.$
Dengan demikian, kita peroleh beberapa persamaan berikut.
$$\begin{aligned} 2^x = a & \Rightarrow x = \! ^2 \log a \\ 3^y = a & \Rightarrow y = \! ^3 \log a \\ 12^z = a & \Rightarrow z = \! ^{12} \log a \end{aligned}$$Berikutnya, akan ditunjukkan bahwa $\dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{z}$ (pembuktian dari ruas kiri).
$$\begin{aligned} \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{y} & = \dfrac{2}{^2 \log a} + \dfrac{1}{^3 \log a} \\ & = 2 \cdot \! ^a \log 2 + \! ^a \log 3 \\ & = \! ^a \log 4 + \! ^a \log 3 \\ & = \! ^a \log (4 \cdot 3) \\ & = \! ^a \log 12 \\ & = \dfrac{1}{^{12} \log a} \\ & = \dfrac{1}{z} \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $\dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{z}.$

Misalkan $a^x = b^y = c^z = 64.$
Dengan demikian, kita peroleh beberapa persamaan berikut.
$$\begin{aligned} a^x = 64 & \Rightarrow x = \! ^a \log 64 \\ b^y = 64 & \Rightarrow y = \! ^b \log 64 \\ c^z = 64 & \Rightarrow z = \! ^{c} \log 64 \end{aligned}$$Perhatikan juga bahwa $^2 \log abc = 6$ mengimplikasikan bahwa $\color{red}{abc = 2^6 = 64}.$
Berikutnya, akan dicari nilai $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}.$
$$\begin{aligned} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} & = \dfrac{1}{^a \log 64} + \dfrac{1}{^b \log 64} + \dfrac{1}{^{c} \log 64} \\ & = \! ^{64} \log a + \! ^{64} \log b + \! ^{64} \log c \\ & = \! ^{64} \log \color{red}{abc} \\ & = \! ^{64} \log \color{red}{64} \\ & = 1 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = 1}$

Dengan menggunakan sifat logaritma, persamaan di atas dapat ditulis sebagai berikut.
$$\begin{aligned} \cancel{\log} (a-b)^2 & = \cancel{\log} ab \\ (a-b)^2 & = ab \\ a^2-2ab+b^2 & = ab \\ a^2-3ab+b^2 & = 0 \end{aligned}$$Jawaban a)
Untuk memunculkan bentuk $a : b = \dfrac{a}{b},$ bagi kedua ruas persamaan terakhir dengan $b^2.$
$$\begin{aligned} \dfrac{a^2-3ab+b^2}{b^2} & = \dfrac{0}{b^2} \\ \left(\dfrac{a}{b}\right)^2-3 \cdot \dfrac{a}{b} + 1 & = 0 \end{aligned}$$Misalkan $\dfrac{a}{b} = x.$ Kita peroleh
$$\begin{aligned} x^2-3x + 1 & = 0 \\ \left(x-\dfrac32\right)^2-\dfrac94+1 & = 0 \\ \left(x-\dfrac32\right)^2 & = \dfrac54 \\ x-\dfrac32 & = \pm \dfrac12\sqrt5 \\ x & = \pm \dfrac12\sqrt5 + \dfrac32 \\ x & = \dfrac{\pm \sqrt5 + 3}{2} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{a : b = (\pm \sqrt5 + 3) : 2}$
Jawaban b)
Perhatikan persamaan $a^2-3ab+b^2 = 0.$ Dengan menambahkan kedua ruas dengan $3ab,$ kemudian membagi kedua ruas dengan $ab,$ diperoleh
$$\begin{aligned} a^2 + b^2 & = 3ab \\ \dfrac{a^2 + b^2}{ab} & = 3. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{(a^2 + b^2) : ab = 3 : 1}$

Ide utamanya adalah memunculkan bentuk logaritma yang sama dengan menggunakan sifat kebalikan, kemudian lakukan pemisalan, sederhanakan, dan cari nilai logaritma tersebut.
$$\begin{aligned} ^a \log b^2 + \! ^b \log a^6 & = 13 \\ 2 \cdot \! ^a \log b + 6 \cdot \! ^b \log a & = 13 \\ 2 \cdot \! ^a \log b + 6 \cdot \! \dfrac{1}{^a \log b} & = 13 \end{aligned}$$Misalkan $^a \log b = x.$
$$\begin{aligned} 2x + \dfrac{6}{x}-13 & = 0 \\ \text{Kalikan kedua ruas}~&\text{dengan}~x \\ 2x^2-13x + 6 & = 0 \\ (2x-1)(x-6) & = 0 \end{aligned}$$Diperoleh $x = \dfrac12$ atau $x = 6.$
Perhatikan bahwa $x = \! ^a \log b.$ Karena $a > b > 1$ yang berarti bahwa basis logaritma lebih besar dari numerusnya, maka nilai $^a \log b$ tidak mungkin bernilai lebih dari $1.$ Jadi, nilai yang mungkin adalah $x = \! ^a \log b = \dfrac12$ sehingga $b = a^{\frac12}.$
Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac{a + b^4}{a^2 + b^2} & = \dfrac{a + (a^{\frac12})^4}{a^2 + (a^{\frac12})^2} \\ & = \dfrac{a + a^2}{a^2 + a} \\ & = 1. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{a + b^4}{a^2 + b^2} = 1}$

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} ^a \log g^3 = 2 & \Rightarrow g^3 = a^2 \Rightarrow g = a^{2/3} \\ ^m \log n^2 = 4 & \Rightarrow n^2 = m^4 \Rightarrow n = m^2 \end{aligned}$$Karena $g-n=45,$ maka kita peroleh
$$\begin{aligned} a^{2/3}-m^2 & = 45 \\ (a^{1/3}-m)(a^{1/3}+m) &= 45 \end{aligned}$$Tinjau bahwa $a$ dan $m$ adalah bilangan bulat positif sehingga $a^{1/3}-m$ pasti lebih kecil nilainya daripada $a^{1/3}+m.$
Gunakan kemungkinan perkalian 2 bilangan bulat yang menghasilkan $45.$
$$\begin{array}{|c|c|} \hline & a^{1/3}-m & a^{1/3}+m \\ \hline \text{Kemungkinan 1} & 1 & 45 \\ \hline \text{Kemungkinan 2} & 3 & 15 \\ \hline \text{Kemungkinan 3} & 5 & 9 \\ \hline \end{array}$$Pada kemungkinan $1,$ kita peroleh SPDV berikut.
$$\begin{cases} a^{1/3}-m & = 1 \\ a^{1/3}+m & = 45 \end{cases}$$Jumlahkan atau kurangkan kedua persamaan itu sehingga diperoleh penyelesaiannya, yaitu $a = 23^3 = 12.167$ dan $m = 22$ sehingga $a-m = 12.145.$
Dengan cara yang serupa, kemungkinan $2$ menghasilkan nilai $a = 9^3 = 729$ dan $m = 6$ sehingga $a-m=723.$
Kemungkinan $3$ menghasilkan nilai $a = 7^3 = 343$ dan $m = 2$ sehingga $a-m=341.$
Jadi, semua kemungkinan nilai $a-m$ dinyatakan sebagai anggota himpunan $\boxed{\{341, 723, 12.145\}}$

Misalkan $a = \sqrt{10+\sqrt1} + \sqrt{10-\sqrt1}.$ Ini berarti, $$a^2 = (10+1)+2\sqrt{100-1}+(10-1)=20+2\sqrt{99}$$atau $a = \sqrt{2} \cdot \sqrt{10+\sqrt{99}}.$ Dengan cara serupa, diperoleh
$$\begin{aligned}\sqrt{10+\sqrt2} + \sqrt{10-\sqrt2} & = \sqrt2 \cdot \sqrt{10+\sqrt{98}} \\ \sqrt{10+\sqrt3} + \sqrt{10-\sqrt3} & = \sqrt2 \cdot \sqrt{10+\sqrt{97}} \\ \cdots & = \cdots \\ \sqrt{10+\sqrt{99}} + \sqrt{10-\sqrt{99}} & = \sqrt2 \cdot \sqrt{10+\sqrt{1}}. \end{aligned}$$Misalkan
$$\begin{aligned} x & = \sqrt{10+\sqrt1} + \sqrt{10+\sqrt2} + \cdots + \sqrt{10+\sqrt{98}} + \sqrt{10+\sqrt{99}} \\ y & = \sqrt{10-\sqrt1}+\sqrt{10-\sqrt2}+\cdots+\sqrt{10-\sqrt{98}}+\sqrt{10-\sqrt{99}}. \end{aligned}$$Dengan demikian,
$$\begin{aligned} x + y & = \left(\sqrt{10+\sqrt1} + \sqrt{10-\sqrt1}\right) + \left(\sqrt{10+\sqrt2} + \sqrt{10-\sqrt2}\right) + \cdots + \left(\sqrt{10+\sqrt{99}} + \sqrt{10-\sqrt{99}}\right) \\ & = \sqrt2 \cdot \sqrt{10+\sqrt{99}} + \sqrt2 \cdot \sqrt{10+\sqrt{98}} + \cdots + \sqrt2 \cdot \sqrt{10+\sqrt{1}} \\ & = \sqrt2 \cdot \left(\sqrt{10+\sqrt{99}} + \sqrt{10+\sqrt{98}} + \cdots + \sqrt{10+\sqrt{1}}\right) \\ & = \sqrt2x. \end{aligned}$$Dari sini, diperoleh $x + y = \sqrt2x$ atau dapat ditulis $y = (\sqrt2-1)x.$ Akibatnya,
$$\dfrac{x}{y} = \dfrac{x}{(\sqrt2-1)x} = \dfrac{1}{\sqrt2-1} = \sqrt2+1.$$Jadi, bentuk paling sederhana dari $$\dfrac{\sqrt{10+\sqrt1} + \sqrt{10+\sqrt2} + \cdots + \sqrt{10+\sqrt{98}} + \sqrt{10+\sqrt{99}}}{\sqrt{10-\sqrt1} + \sqrt{10-\sqrt2}+\cdots+\sqrt{10-\sqrt{98}}+\sqrt{10-\sqrt{99}}}$$adalah $\boxed{\sqrt2+1}.$