Soal dan Pembahasan – Pangkat, Akar, dan Logaritma Versi HOTS dan Olimpiade

Berikut ini merupakan soal mengenai pangkat, akar, dan logaritma (soal dengan tingkat HOTS dan Olimpiade) yang dikutip dari berbagai sumber referensi. Soal-soal berikut masing-masing telah disediakan pembahasannya.

Baca : Soal dan Pembahasan- Pangkat, Akar, dan Logaritma (Versi Standar)

Today Quote

Mensyukuri apa yang telah dimiliki adalah cara yang sederhana dan ampuh untuk mendapatkan hidup yang bahagia.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1
Diketahui persamaan:
$\begin{aligned} ^2 \log [^3 \log (^5 \log a)] & = ^3 \log [^5 \log (^2 \log b)] \\ & = ^5 \log [^2 \log (^3 \log c)] = 0 \end{aligned}$
Nilai $a + b + c = \cdots \cdot$
A. $125$                    C. $164$                  E. $168$
B. $157$                    D. $166$

Pembahasan

Ingatlah sifat logaritma berikut. 
$\boxed{\begin{aligned} ^a \log a & = 1 \\ ^a \log 1 & = 0 \\ ^a \log a^n & = n \end{aligned}}$
Tinjau persamaan $^2 \log [^3 \log (^5 \log a)] = 0$. Dengan menggunakan sifat di atas, diperoleh
$\begin{aligned} ^3 \log (^5 \log a) & = 1 \\ ^5 \log a & = 3 \\ a & = 5^3 = 125 \end{aligned}$
Tinjau persamaan $^3 \log [^5 \log (^2 \log b)] = 0$. Dengan menggunakan sifat di atas, diperoleh
$\begin{aligned} ^5 \log (^2 \log b) & = 1 \\ ^2 \log b & = 5 \\ b & = 2^5 = 32 \end{aligned}$
Tinjau persamaan $^5 \log [^2 \log (^3 \log a)] = 0$. Dengan menggunakan sifat di atas, diperoleh
$\begin{aligned} ^2 \log (^3 \log c) & = 1 \\ ^3 \log c & = 2 \\ c & = 3^2 = 9 \end{aligned}$
Dengan demikian, 
$\boxed{a+b+c = 125+32+9= 166}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 2
Jika $(5+4)(5^2+4^2)(5^4+4^4) = 5^x-2^y$, maka nilai $x+y = \cdots \cdot$
A. $8$                     C. $18$                 E. $30$
B. $16$                   D. $24$

Pembahasan

$\begin{aligned} & (5+4)(5^2+4^2)(5^4+4^4) \\ & = \dfrac{\cancel{5^2-4^2}}{5-4} \cdot \dfrac{\bcancel{5^4-4^4}}{\cancel{5^2-4^2}} \cdot \dfrac{5^8-4^8}{\bcancel{5^4-4^4}} \\ & = \dfrac{5^8-4^8}{5-4} \\ & = 5^8-4^8 = 5^8- 2^{16} \end{aligned}$
Jadi, diperoleh $x = 8$ dan $y = 16$, sehingga $\boxed{x+y=8+16 = 24}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 3
Diketahui $a$ dan $b$ adalah bilangan real yang memenuhi persamaan $a = \sqrt{\dfrac{2008b + 2009}{2010b-2011}} + \sqrt{\dfrac{2008b + 2009}{2011-2010b}}$ $+ 2020$. Nilai $a$ yang memenuhi adalah $\cdots \cdot$
A. $2008$                    D. $2011$
B. $2009$                    E. $2020$
C. $2010$

Pembahasan

Misalkan $x = \dfrac{2008b + 2009}{2010b-2011}$ sehingga $-x = \dfrac{2008b + 2009}{2011-2010b}$.
Dengan demikian, kita peroleh
$a = \sqrt{x} + \sqrt{-x} + 2020$.
Persamaan di atas berlaku hanya saat $x = 0$ supaya $a$ tetap real.
Untuk itu,
$\boxed{a = \sqrt{0} + \sqrt{0} + 2020 = 2020}$
(Jawaban E)

[collapse]

Baca : Soal dan Pembahasan- Persamaan Pangkat (Eksponen) Sederhana

Soal Nomor 4 
Misal $a,b,c$, dan $d$ adalah bilangan bulat positif yang memenuhi $^a \log b^2 = 3$ dan $^c \log d^4 = 5$, serta $a-c=9$, maka $b-d=\cdots \cdot$
A. $9$                      C. $32$                 E. $125$
B. $16$                    D. $93$

Pembahasan

Perhatikan bahwa,
$\begin{aligned} & ^a \log b^2 = 3 \iff a^3 = b^2 \iff a = b^{\frac{2}{3}} \\ & ^c \log d^4 = 5 \iff c^5 = d^4 \iff c = d^{\frac{4}{5}} \end{aligned}$
Karena $a$ dan $c$ harus berupa bilangan bulat positif, maka $b$ dan $d$ haruslah memenuhi persyaratan berikut.
$b$ harus berupa bilangan kubik: $1, 8, 27, 64, 125, \cdots$
Ini mengakibatkan nilai $a$ berturut-turut adalah: $1, 4, 9, 16, 25, \cdots$
$d$ merupakan bilangan hasil pangkat lima: $1, 32, 243, 1.024, 3.125, \cdots$
Ini mengakibatkan nilai $c$ berturut-turut adalah: $1, 16, 81, 256, 625, \cdots$
Karena diberikan $a-c=9$, maka nilai $a$ dan $c$ berturut-turut yang mungkin adalah $25$ dan $16$.
Jika $a = 25$, maka $b = 125$, sedangkan jika $c = 16$, maka $d = 32$, sehingga $\boxed{b- d = 125-32 = 93}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 5
Misalkan $x, y, z > 1$ dan $w > 0$. Jika $^x \log w = 4, ^y \log w = 5$, dan $^{xyz} \log w = 2$, maka nilai dari $^z \log w$ adalah $\cdots \cdot$
A. $10$                    C. $30$                 E. $50$
B. $20$                    D. $40$

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} ^x \log w & = 4 \iff ^w \log x = \dfrac{1}{4} \\ ^y \log w & = 5 \iff ^w \log y = \dfrac{1}{5} \end{aligned}$
Dengan menerapkan sifat logaritma pada persamaan $^{xyz} \log w = 2$, didapat
$$\begin{aligned} ^{xyz} \log w & = 2 \\ \dfrac{^w \log w}{^w \log (xyz)} & = 2 \\ \dfrac{^w \log w}{^w log x + ^w \log y + ^w \log z} & = 2 \\ \dfrac{1}{\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{5} + ^w \log z} & = 2 \\ \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{5} + ^w \log z & = \dfrac{1}{2} \\ ^w \log z & = \dfrac{1}{2}- \dfrac{1}{4}- \dfrac{1}{5} \\ ^w \log z & = \dfrac{10-5-4}{20} = \dfrac{1}{20} \\ ^z \log w = 20 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $^z \log w$ adalah $\boxed{20}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 6
Jika $6(3^{40})(^2 \log a) + 3^{41}(^2 \log a) = 3^{43}$, maka nilai $a$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{1}{8}$                  C. $4$                      E. $16$
B. $\dfrac{1}{4}$                  D. $8$      

Pembahasan

Misalkan $^2 \log a = x$, maka persamaan di atas dapat ditulis menjadi $6(3^{40})x + 3^{41}x = 3^{43}$.
Bagi kedua ruasnya dengan $3^{40}$, kemudian sederhanakan untuk mencari nilai $x$.
$\begin{aligned} \dfrac{6(\cancel{3^{40}})x}{\cancel{3^{40}}} + \dfrac{\cancelto{3^{3}}{3^{41}}x}{\cancel{3^{40}}} & = \dfrac{\cancelto{3^{3}}{3^{43}}}{\cancel{3^{40}}} \\ 6x + 3x & = 3^3 = 27 \\ 9x & = 27 \\ x & = 3 \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh $^2 \log a = 3$ sehingga $a = 2^3 = 8$. Jadi, nilai $a$ adalah $\boxed{8}$
(Jawaban D)

[collapse]

Baca : Soal dan Pembahasan- Fungsi Eksponen (Pangkat)

Soal Nomor 7
Nilai dari $\sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2-\sqrt{5}}-3$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-2$                   C. $1$                     E. $2$
B. $-1$                   D. $1,5$         

Pembahasan

Misalkan $\sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2-\sqrt{5}} = p$, maka
$$\begin{aligned} & \left(\sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2-\sqrt{5}}\right)^3 = p^3 \\ & (2 + \cancel{\sqrt{5}}) + (2-\cancel{\sqrt{5}}) + 3\sqrt[3]{(2 + \sqrt{5})(2-\sqrt{5})} \cdot p = p^3 \\ & 4 + 3\sqrt[3]{-1} \cdot p = p^3 \\ & 4- 3p = p^3 \end{aligned}$$Dengan menggunakan intuisi, nilai $p$ yang memenuhi adalah $p = 1$, karena $4- 3(1) = 1^3 \Leftrightarrow 1 = 1$.
Dengan demikian,
$\boxed{\sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2-\sqrt{5}}-3 = 1-3 =-2}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 8
Bentuk sederhana dari $1 \cdot 2^1 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \cdots + 2018 \cdot 2^{2018}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2019 \cdot 2^{2018} + 2$
B. $2019 \cdot 2^{2019} + 2$
C. $2018 \cdot 2^{2019} + 2$
D. $2017 \cdot 2^{2019} + 2$
E. $2018 \cdot 2^{2020} + 2$

Pembahasan

Misalkan:
$p = 1 \cdot 2^1 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3$ $+ \cdots + 2018 \cdot 2^{2018}$,
sehingga
$2p = 1 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2^3 + 3 \cdot 2^4$ $+ \cdots + 2018 \cdot 2^{2019}$
Kurangi kedua persamaan tersebut (atas ke bawah):

$$\begin{aligned} p & =-2 + (2-1) \cdot 2^2 + (2-3) \cdot 2^3 + (3-4) \cdot 2^4 \\ & + \cdots + (2017-2018) \cdot 2^{2018} + 2018 \cdot 2^{2019} \\ & =-2- 2^2-2^3-2^4-\cdots-2^{2018} + 2018 \cdot 2^{2019} \\ & =-(2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + \cdots + 2^{2018}) + 2018 \cdot 2^{2019} \\ & =-\left(\underbrace{\dfrac{2(2^{2018}-1)}{2- 1}}_{\text{Rumus}~\text{S}_n}\right) + 2018 \cdot 2^{2019} \\ & = 2018 \cdot 2^{2019}-2^{2019} + 2 \\ & = 2017 \cdot 2^{2019} + 2 \end{aligned}$$Jadi, bentuk sederhana darinya adalah $\boxed{2017 \cdot 2^{2019} + 2}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 9
Nilai dari $\sqrt{1+\sqrt{3 + \sqrt{13+4\sqrt{3}}}}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac16\sqrt2 + \dfrac12\sqrt2$
B. $\dfrac12\sqrt2 + \dfrac12\sqrt6$
C. $\dfrac16\sqrt2-\dfrac12\sqrt2$
D. $\dfrac12\sqrt6-\dfrac12\sqrt2$
E. $\dfrac12\sqrt2-\dfrac16\sqrt2$

Pembahasan

Gunakan salah satu sifat akar:
$\boxed{\sqrt{a} \pm \sqrt{b} = \sqrt{(a+b) \pm 2\sqrt{ab}}}$
Untuk itu, diperoleh
$\begin{aligned} & \sqrt{1+\sqrt{3 + \sqrt{13+4\sqrt{3}}}} \\ & = \sqrt{1+\sqrt{3 + \sqrt{13+2\sqrt{12}}}} \\ & = \sqrt{1+\sqrt{3 + \sqrt{(12+1)+2\sqrt{12 \cdot 1}}}} \\ & = \sqrt{1+\sqrt{3 + \sqrt{12} + \sqrt1}} \\ & = \sqrt{1 + \sqrt{4 + 2\sqrt3}} \\ & = \sqrt{1 + \sqrt{(3+1) + 2\sqrt{3 \cdot 1}}} \\ & = \sqrt{1 + \sqrt{3} + \sqrt{1}} \\ & = \sqrt{2 + \sqrt3} \\ & = \sqrt{2 + 2\sqrt{\dfrac34}} \\ & = \sqrt{\left(\dfrac32 + \dfrac12\right) + 2\sqrt{\dfrac32 \cdot \dfrac12}} \\ & = \sqrt{\dfrac32} + \sqrt{\dfrac12} \\ & = \dfrac12\sqrt6 + \dfrac12\sqrt2 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\sqrt{1+\sqrt{3 + \sqrt{13+4\sqrt{3}}}}$ adalah $\boxed{\frac12\sqrt2 + \frac12\sqrt6}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 10
Jika $x = \sqrt[3]{2+\sqrt5} + \sqrt[3]{2-\sqrt5}$ dan $y = 2019- \sqrt{\dfrac{2020^3-2018^3-2}{6}}$, maka $\cdots \cdot$
A. $x<y$
B. $x=y$
C. $x>y$
D. $x+y=2$
E. hubungan $x$ dan $y$ tak dapat ditentukan

Pembahasan

Pertama, akan disederhanakan bentuk $x$ terlebih dahulu.
Misalkan $a = 2 + \sqrt5$ dan $b = 2-\sqrt5$, sehingga $a+b = 4$ dan $ab = (2)^2- (\sqrt5)^2 =-1$.
Dengan demikian,
$\begin{aligned} x & = \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} \\ x^3 & = (\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})^3 \\ x^3 & = a + b + 3ab(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}) \\ x^3 & = 4 + 3(-1)(x) \\ 0 & = x^3 + 3x-4 \\ 0 & = (x-1)(x^2 + x + 4) \end{aligned}$
Karena $x^2+x+4$ definit positif, maka satu-satunya penyelesaian dari persamaan di atas adalah $x = 1$.
Selanjutnya, akan disederhanakan bentuk dari $y$. Untuk mempersingkat penulisan, kita misalkan $a = 2018$.
$$\begin{aligned} y & = 2019-\sqrt{\dfrac{2020^3-a^3-2}{6}} \\ & = 2019- \dfrac{1}{\sqrt6}\sqrt{(2020-a)(2020^2+a^2+2020 \cdot a)-2} \\ & = 2019- \dfrac{1}{\sqrt6}\sqrt{2((a+2)^2+a^2+(a+2) \cdot a)-2} \\ & = 2019-\dfrac{1}{\sqrt3}\sqrt{(a+2)^2+a^2+(a+2) \cdot a-1} \\ & = 2019-\dfrac{1}{\sqrt3}\sqrt{(a^2 + 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2)+a^2+(a+2) \cdot a-1} \\ & = 2019-\dfrac{1}{\sqrt3}\sqrt{(a^2 + 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2)+a^2+ a^2 + 2 \cdot a- 1} \\ & = 2019-\dfrac{1}{\sqrt3}\sqrt{(3 \cdot a^2 + 6 \cdot a + 3 } \\ & = 2019-\sqrt{a^2 + 2 \cdot a + 1} \\ & = 2019-\sqrt{(a + 1)^2} = 2019- \sqrt{(2018+1)^2} \\ & = 2019-2019 = 0 \end{aligned}$$Dengan demikian, $y = 0$.
Jadi, kesimpulan yang bisa ditarik adalah $\boxed{x > y}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 11
Bentuk sederhana dari $\sqrt[4]{\dfrac{3+2\sqrt2}{3-2\sqrt2}}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\sqrt2 + 1$                    D. $2\sqrt2 + 1$
B. $\sqrt2-1$                     E. $2\sqrt2-1$
C. $1-\sqrt2$

Pembahasan

Dengan menerapkan sifat akar:
$\boxed{\sqrt{(a+b) \pm 2\sqrt{ab}}}$
diperoleh
$\begin{aligned} \sqrt[4]{\dfrac{3+2\sqrt2}{3-2\sqrt2}} & = \sqrt[4]{\dfrac{(2+1)+2\sqrt{2 \cdot 1}}{(2+1)-2\sqrt{2 \cdot 1}}} \\ & = \sqrt[4]{\dfrac{(\sqrt2 + \sqrt1)^2}{(\sqrt2-\sqrt1)^2}} \\ & = \dfrac{\sqrt{\sqrt2+1}}{\sqrt{\sqrt2-1}} \times \color{red} {\dfrac{\sqrt{\sqrt2-1}}{\sqrt{\sqrt2-1}}} \\ & = \dfrac{\sqrt{2-1}}{\sqrt2-1} \\ & = \dfrac{1}{\sqrt2-1} \times \color{red} {\dfrac{\sqrt2+1}{\sqrt2+1}} \\ & = \dfrac{\sqrt2+1}{2-1} = \sqrt2+1 \end{aligned}$
Jadi, bentuk sederhana dari $\sqrt[4]{\dfrac{3+2\sqrt2}{3-2\sqrt2}}$ adalah $\boxed{\sqrt2+1}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 12
Jika $\dfrac{1}{\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5} = \dfrac{a\sqrt2 + b\sqrt3 + c\sqrt{30}}{12}$, maka nilai $a+b+c=\cdots \cdot$
A. $0$                       C. $2$                   E. $4$
B. $1$                       D. $3$         

Pembahasan

Dengan menerapkan konsep merasionalkan penyebut bentuk akar pada bentuk pecahan, kita dapatkan
$\begin{aligned} & \dfrac{1}{(\sqrt2+\sqrt3)+\sqrt5} \\ & = \dfrac{1}{(\sqrt2+\sqrt3)+\sqrt5} \times \color{red}{ \dfrac{(\sqrt2+\sqrt3)-\sqrt5}{(\sqrt2+\sqrt3)-\sqrt5}} \\ & = \dfrac{(\sqrt2+\sqrt3)-\sqrt5}{(\sqrt2+\sqrt3)^2-5} \\ & = \dfrac{(\sqrt2+\sqrt3)-\sqrt5}{(\cancel{2+3}+2\sqrt6)-\cancel{5}} \\ & = \dfrac{(\sqrt2+\sqrt3)-\sqrt5}{2\sqrt6} \times \color{red}{\dfrac{\sqrt6}{\sqrt6}} \\ & = \dfrac{\sqrt{12} + \sqrt{18}-\sqrt{30}}{12} \\ & = \dfrac{3\sqrt2 + 2\sqrt3-\sqrt{30}}{12} \end{aligned}$
Karena diketahui bahwa $\dfrac{1}{\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5} = \dfrac{a\sqrt2 + b\sqrt3 + c\sqrt{30}}{12}$, diperoleh bahwa $a=3, b = 2, c =-1$, sehingga $\boxed{a+b+c=3+2+(-1)=4}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 13
Bentuk sederhana dari $\sqrt{\dfrac{\sqrt{41} + 4}{\sqrt{41}-4}}- \sqrt{\dfrac{\sqrt{41}-4}{\sqrt{41} + 4}}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-\dfrac85$                  C. $\dfrac85$
B. $0$                     D. $2$                E. $5\sqrt{41}$

Pembahasan

Tinjau bentuk $\sqrt{\dfrac{\sqrt{41} + 4}{\sqrt{41}-4}}$
Dengan pengalian akar sekawan dan penggunaan sifat-sifat akar, diperoleh 
$\begin{aligned} & \sqrt{\dfrac{\sqrt{41} + 4}{\sqrt{41}-4}} \times \color{red}{\dfrac{\sqrt{41} + 4}{\sqrt{41} + 4}} \\ & = \dfrac{\sqrt{41 + 8\sqrt{41} + 16}}{\sqrt{41-16}} \\ & = \dfrac{\sqrt{57 + 8\sqrt{41}}}{5} \\ & = \dfrac{\sqrt{(41+16) + 2\sqrt{41 \times 16}}}{5} \\ & = \dfrac{\sqrt{41} + 4}{5} \end{aligned}$
Selanjutnya, tinjau bentuk $\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}- 4}{\sqrt{41} + 4}}$
Analog dengan cara di atas, diperoleh 
$\begin{aligned} & \sqrt{\dfrac{\sqrt{41}-4}{\sqrt{41} + 4}} \times \color{red}{\dfrac{\sqrt{41}-4}{\sqrt{41}-4}} \\ & = \dfrac{\sqrt{41-8\sqrt{41} + 16}}{\sqrt{41-16}} \\ & = \dfrac{\sqrt{57-8\sqrt{41}}}{5} \\ & = \dfrac{\sqrt{(41+16)- 2\sqrt{41 \times 16}}}{5} \\ & = \dfrac{\sqrt{41}-4}{5} \end{aligned}$
Dengan demikian, dapat kita tuliskan
$\begin{aligned} & \sqrt{\dfrac{\sqrt{41} + 4}{\sqrt{41}-4}}- \sqrt{\dfrac{\sqrt{41}-4}{\sqrt{41} + 4}} \\ & = \left(\dfrac{\sqrt{41} + 4}{5}\right)- \left(\dfrac{\sqrt{41}-4}{5}\right) \\ & = \dfrac45-\left(-\dfrac45\right) = \dfrac85 \end{aligned}$
Jadi, bentuk sederhana dari $\boxed{\sqrt{\dfrac{\sqrt{41} + 4}{\sqrt{41}-4}}- \sqrt{\dfrac{\sqrt{41}-4}{\sqrt{41} + 4}} = \dfrac85}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 14
Jika $$\sqrt{1 + ^2 \log x + \sqrt{1 + ^2 \log x + \sqrt{1 + ^2 \log x + \cdots}}} = 3$$, maka nilai dari $^{2x} \log 8 = \cdots \cdot$
A. $\dfrac14$                   C. $\dfrac12$                    E. $\dfrac32$
B. $\dfrac13$                   D. $\dfrac23$        

Pembahasan

Dari persamaan yang diberikan, kuadratkan kedua ruas sehingga diperoleh
$$1 + ^2 \log x + \sqrt{1 + ^2 \log x + \sqrt{1 + ^2 \log x + \cdots}} = 3^2 = 9$$Selanjutnya, substitusikan $\sqrt{1 + ^2 \log x + \sqrt{1 + ^2 \log x + \cdots}} = 3$ pada persamaan di atas, sehingga diperoleh
$\begin{aligned} 1 + ^2 \log x + 3 & = 9 \\ ^2 \log x & = 5 \\ x & = 2^5 \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\boxed{^{2x} \log 8 = ^{2(2^5)} \log 2^3 = \dfrac36 = \dfrac12}$
(Jawaban C)

[collapse]

Baca Juga: Konsep dan Contoh Soal Akar Ramanujan

Soal Nomor 15
Misalkan $\log$ dinotasikan sebagai logaritma dengan basis $10$. Nilai dari $5^{\log 2} + 2^{\log 5}-50^{\log 2}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0$                         D. $25$
B. $5^{\log 2}$                   E. $5^{\log 2 + \log 5}$
C. $1$

Pembahasan

Kita akan banyak menggunakan sifat logaritma berikut.
$\boxed{a^{^a \log b} = b}$
Untuk itu,
$\begin{aligned} & 5^{\log 2} + 2^{\log 5}-50^{\log 2} \\ & = 5^{\log 2} + 2^{\log 5}-(5^{\log 2} \cdot 10^{\log 2}) \\ & = 5^{\log 2} + 2^{\log 5}-(5^{\log 2} \cdot 2) \\ & = \color{red}{2^{\log 5}-5^{\log 2}} \end{aligned}$
Sekarang, perhatikan bahwa
$\begin{aligned} 2^{\log 5} & = (10^{\log 2})^{\log 5} \\ & = (10^{\log 5})^{\log 2} \\ & = 5^{\log 2} \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} \color{red}{2^{\log 5}-5^{\log 2}} & = 5^{\log 2}-5^{\log 2} = 0 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{5^{\log 2} + 2^{\log 5}-50^{\log 2} = 0}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 16
Nilai eksak dari $\dfrac{1}{10^{-2004}+1} + \dfrac{1}{10^{-2003}+1} + \dfrac{1}{10^{-2002}+1}+$ $\cdots + \dfrac{1}{10^{2002}+1} + \dfrac{1}{10^{2003}+1} + \dfrac{1}{10^{2004}+1}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2004$                        D. $2005,5$
B. $2004,5$                    E. $2006$
C. $2005$

Pembahasan

Perhatikan bahwa untuk setiap bilangan real $a$ berlaku
$$\begin{aligned} \dfrac{1}{10^{a}+1} + \dfrac{1}{10^{-a}+1} & = \dfrac{(10^a+1) + (10^{-a}+1)}{(10^a+1)(10^{-a}+1)} \\ & = \dfrac{2 + 10^a + 10^{-a}}{10^0 + 10^a + 10^{-a} + 1} \\ & = \dfrac{2 + 10^a + 10^{-a}}{2 + 10^a + 10^{-a}} \\ & = 1 \end{aligned}$$Dengan demikian, kita kelompokkan dua suku yang pangkatnya sama, namun berbeda tanda (dan hasilnya sama dengan $1$), lalu jumlahkan.
$$\begin{aligned} & \left(\dfrac{1}{10^{-2004}+1} + \dfrac{1}{10^{2004} + 1}\right) + \left(\dfrac{1}{10^{-2003}+1} + \dfrac{1}{10^{2003} + 1}\right) + \left(\dfrac{1}{10^{-2002}+1} + \dfrac{1}{10^{2002} + 1}\right) \\ & + \cdots + \left(\dfrac{1}{10^{-1}+1} + \dfrac{1}{10^{1} + 1}\right) + \dfrac{1}{10^0 + 1} \\ & = \underbrace{1+1+1+\cdots+1}_{\text{ada}~2004} + \dfrac{1}{1+1} \\ & = 2004 + \dfrac12 = 2004,5 \end{aligned}$$Jadi, nilai eksak dari perhitungan di atas adalah $\boxed{2004,5}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 17 (AHSME Problem)
Misalkan $p$ dan $q$ adalah bilangan positif yang memenuhi $$^9 \log p = ^{12} \log q = ^{16} \log (p+q)$$Berapakah nilai $\dfrac{q}{p}$?
A. $\dfrac43$                             D. $\dfrac12(1+\sqrt5)$
B. $\dfrac12(1+\sqrt3)$             E. $\dfrac{16}{9}$
C. $\dfrac85$

Pembahasan

Misalkan $$^9 \log p = ^{12} \log q = ^{16} \log (p+q) = t.$$Kita peroleh $p = 9^t$, $q = 12^t$, dan $p+q=16^t$.
Dengan demikian,
$\dfrac{q}{p} = \dfrac{12^t}{9^t} = \left(\dfrac43\right)^t$.
Perhatikan juga bahwa
$$\begin{aligned} \dfrac{p+q}{p} & = \dfrac{p}{p}+\dfrac{q}{p} \\ \dfrac{16^t}{9^t} & = 1+\left(\dfrac43\right)^t \\ \left(\dfrac43\right)^{2t} & = 1+\left(\dfrac43\right)^t \end{aligned}$$Sekarang, misalkan $\dfrac{q}{p} = \left(\dfrac43\right)^t = x$, maka kita peroleh persamaan kuadrat $$x^2 = 1+x \Rightarrow x^2-x-1 = 0$$Dengan rumus kuadrat (rumus ABC), didapat akar penyelesaiannya
$$\begin{aligned} x_{1, 2} & = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ & = \dfrac{1 \pm \sqrt{1-4(1)(-1)}}{2(1)} \\ & = \dfrac{1\pm \sqrt5}{2} \end{aligned}$$Karena $p$ dan $q$ bilangan positif, maka $\dfrac{q}{p}$ juga positif, sehingga tanda positif diambil
Jadi, diperoleh $\boxed{\dfrac{q}{p} = \dfrac{1+\sqrt5}{2} = \dfrac12(1+\sqrt5)}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 18
Jika $$x = \dfrac{2 \times 5^{197}(2^{197} \times 21^{200}-7^{200} \times 6^{198})}{7^{199}(2^{198} \times 15^{199} + 6^{199} \times 5^{197})}$$maka nilai dari $x^{1/4}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac13\sqrt[4]{7}$                          D. $\dfrac19\sqrt7$
B. $\dfrac13\sqrt7$                         E. $\dfrac73$
C. $\dfrac19\sqrt[4]{7}$

Pembahasan

Dengan menggunakan sifat distributif bilangan dan perpangkatan, kita akan peroleh
$$\begin{aligned} & \dfrac{2 \times 5^{197}(2^{197} \times 21^{200}-7^{200} \times 6^{198})}{7^{199}(2^{198} \times 15^{199} + 6^{199} \times 5^{197})} \\ & = \dfrac{2 \times 5^{197}(2^{197} \times 3^{200} \times 7^{200}-7^{200} \times 2^{198} \times 3^{198})}{7^{199}(2^{198} \times 3^{199} \times 5^{199} + 2^{199} \times 3^{199} \times 5^{197})} \\ & = \dfrac{\cancel{2^{198}} \times \bcancel{5^{197}} \times 7^{200} \times 3^{198}(3^2-2)}{7^{199} \times \cancel{2^{198}} \times 3^{199} \times \bcancel{5^{197}} \times (5^2 + 2)} \\ & = \dfrac73 \cdot \dfrac{7}{27} = \dfrac{7^2}{3^4} \end{aligned}$$Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} x^{1/4} & = \left(\dfrac{7^2}{3^4}\right)^{1/4} \\ & = \dfrac13\sqrt7 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{x^{1/4} = \dfrac13\sqrt7}$
(Jawaban B)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 1
Hitunglah $\dfrac{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)} {2^{32}-1}$

Pembahasan

Faktorkan penyebutnya, sehingga dapat ditulis
$$\begin{aligned} & \dfrac{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)} {2^{32}-1} \\ & = \dfrac{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)} {(2^{16}+1)(2^{16}-1)} \\ & = \dfrac{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)} {(2^{16}+1)(2^8+1)(2^8-1)} \\ & = \dfrac{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)} {(2^{16}+1)(2^8+1)(2^4+1)(2^4-1)} \\ & = \dfrac{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)} {(2^{16}+1)(2^8+1)(2^4+1)(2^2+1)(2^2-1)} \\ & = \dfrac{\cancel{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)}} {\cancel{(2^{16}+1)(2^8+1)(2^4+1)(2^2+1)(2+1)} (2-1)} \\ & = \dfrac{1}{2-1} = 1 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\dfrac{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)} {2^{32}-1}$ adalah $\boxed{1}$

[collapse]

Soal Nomor 2
Tentukan hasil dari
$\dfrac{3^{2014}-3^{2011} + 130}{3^{2011} + 5}$.

Pembahasan

Dengan menggunakan pemfaktoran, kita peroleh
$\begin{aligned} \dfrac{3^{2014}-3^{2011} + 130}{3^{2011} + 5} & = \dfrac{3^{2011}(3^3-1) + 130}{3^{2011} + 5} \\ & = \dfrac{26 \cdot 3^{2011} + 130}{3^{2011} + 5} \\ & = \dfrac{26(\cancel{3^{2011} + 5})}{\cancel{3^{2011} + 5}} \\ & = 26 \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\boxed{\dfrac{3^{2014}-3^{2011} + 130}{3^{2011} + 5} = 26}$

[collapse]

Soal Nomor 3
Tentukan bentuk sederhana dari
$\dfrac{3^{2008}(10^{2013} + 5^{2012} \times 2^{2011})}{5^{2012}(6^{2010} + 3^{2009} \times 2^{2008})}$.

Pembahasan

Dengan menggunakan sifat-sifat perpangkatan dan teknik pemfaktoran, diperoleh
$\begin{aligned} & \dfrac{3^{2008}(10^{2013} + 5^{2012} \times 2^{2011})}{5^{2012}(6^{2010} + 3^{2009} \times 2^{2008})} \\ & = \dfrac{3^{2008}(2^{2013} \times 5^{2013} + 5^{2012} \times 2^{2011})}{5^{2012}(2^{2010} \times 3^{2010} + 3^{2009} \times 2^{2008})} \\ & = \dfrac{\cancel{3^{2008} \times 5^{2012}}(2^{2013} \times 5 + 2^{2011})}{\cancel{5^{2012} \times 3^{2008}}(2^{2010} \times 3^{2} + 3 \times 2^{2008})} \\ & = \dfrac{2^{2013} \times 5 + 2^{2011}}{2^{2010} \times 3^2 + 3 \times 2^{2008}} \\ & = \dfrac{\bcancel{2^{2008}}(2^5 \times 5 + 2^3)}{\bcancel{2^{2008}}(2^2 \times 3^2 + 3)} \\ & = \dfrac{2^5 \times 5 + 2^3}{2^2 \times 3^2 + 3} \\ & = \dfrac{32 \times 5 + 8}{4 \times 9 + 3} \\ & = \dfrac{168}{39} = \dfrac{56}{13} \end{aligned}$

Jadi, bentuk sederhana dari pecahan tersebut adalah $\boxed{\dfrac{56}{13}}$

[collapse]

Soal Nomor 4
Diketahui $\log x = 6$ dan $\log y = 12$. Tentukan nilai dari $\log \sqrt{x\sqrt{y{\sqrt{x{\sqrt{y \cdots}}}}}}$.

Pembahasan

Misalkan $p = \log \sqrt{x\sqrt{y{\sqrt{x{\sqrt{y \cdots}}}}}}$, maka kita peroleh
$\begin{aligned} 10^p & = \sqrt{x\sqrt{y{\sqrt{x{\sqrt{y \cdots}}}}}} \\ \text{Kuadratkan}~&\text{kedua ruas} \\ 10^{2p} & = x\sqrt{y{\sqrt{x{\sqrt{y \cdots}}}}} \\ \text{Kuadratkan}~&\text{kedua ruas} \\ 10^{4p} & = x^2y\underbrace{\sqrt{x{\sqrt{y \cdots}}}}_{10^p} \\ 10^{4p} & = x^2y(10^p) \\ 10^{3p} & = x^2y \\ \log 10^{3p} & = \log x^2y \\ 3p \log 10 & = \log x^2 + \log y \\ 3p \cdot 1 & = 2(6) + 12 \\ 3p & = 12 + 12 \\ p & = 8 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\log \sqrt{x\sqrt{y{\sqrt{x{\sqrt{y \cdots}}}}}} = 8}$

[collapse]

Soal Nomor 5
Bilangan real positif $a, b$, dan $c$ memenuhi: $a^{^3 \log 7} = 27, b^{^7 \log 11} = 49$, dan $c^{^{11} \log 25} = \sqrt{11}$. Tentukan hasil dari
$a^{(^3 \log 7)^2} + b^{(^7 \log 11)^2} + c^{(^{11} \log 25)^2}$.

Pembahasan

Ingat sifat logaritma: $\boxed{a^{^a \log b} = b}$
Perhatikan bahwa:
$\begin{aligned} a^{(^3 \log 7)^2} & = \left[a^{^3 \log 7}\right]^{^3 \log 7} \\ & = 27^{^3 \log 7} \\ & = (3^3)^{^3 \log 7} \\ & = 3^{^3 \log 7^3} = 7^3 = 343 \end{aligned}$
Dengan prinsip yang sama, diperoleh
$\begin{aligned} b^{(^7 \log 11)^2} & = \left[b^{^7 \log 11}\right]^{^7 \log 11} \\ & = 49^{^7 \log 11} \\ & = (7^2)^{^7 \log 11} \\ & = 7^{^7 \log 11^2} = 11^2 = 121 \end{aligned}$
$\begin{aligned} c^{(^{11} \log 25)^2} & = \left[c^{^{11} \log 25}\right]^{^{11} \log 25} \\ & = (\sqrt{11})^{^{11} \log 25} \\ & = (11^{\frac{1}{2}})^{^{11} \log 25} \\ & = 11^{^{11} \log 25^{\frac{1}{2}}} = 25^{\frac{1}{2}} = 5 \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh
$\boxed{\begin{aligned} & a^{(^3 \log 7)^2} + b^{(^7 \log 11)^2} + c^{(^{11} \log 25)^2} \\ & = 343+121+5 = 469 \end{aligned}}$

[collapse]

Soal Nomor 6
Jika $9^x + 9^{-x}-3^{2+x} + 3^{2-x} + 16 = 0$, tentukan nilai dari $3^x-3^{-x}$.

Pembahasan

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} 9^x + 9^{-x}-3^{2+x} + 3^{2-x} + 16 & = 0 \\ 3^{2x} + 3^{-2x}-9 \cdot 3^x + 9 \cdot 3^{-x} + 16 & = 0 \\ 3^{2x} + 3^{-2x} & = 9 \cdot 3^x-9 \cdot 3^{-x}-16 \end{aligned}$$Selanjutnya,
$\begin{aligned} (3^x-3^{-x})^2 & = (3^{2x} + 3^{-2x})-2 \\ & = (9 \cdot 3^x-9 \cdot 3^{-x}-16)-2 \\ & = 9(3^x-3^{-x})- 18 \end{aligned}$
Sekarang, misalkan $3^x-3^{-x} = a$, maka
$\begin{aligned} a^2 & = 9a-18 \\ a^2-9a + 18 & = 0 \\ (a-6)(a-3) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $a = 6 \lor a = 3$
Ini berarti, $\boxed{3^x- 3^{-x} = 6}$ atau $\boxed{3^x-3^{-x} = 3}$

[collapse]

Soal Nomor 7
Sederhanakanlah
$(\sqrt{5} + \sqrt{6} + \sqrt{7})$ $(\sqrt{5} + \sqrt{6}- \sqrt{7})$ $(\sqrt{5}-\sqrt{6} + \sqrt{7})$ $(-\sqrt{5} + \sqrt{6} + \sqrt{7})$

Pembahasan

Gunakan sifat pemfaktoran $a^2-b^2 = (a+b) (a-b)$ dan juga $(a \pm b)^2 = a^2+b^2 \pm 2ab$ untuk menyederhanakan bentuk akar di atas. 
Perhatikan bahwa, 
$\begin{aligned} & (\sqrt{5} + \sqrt{6} + \sqrt{7}) (\sqrt{5} + \sqrt{6}- \sqrt{7}) \\ & = (\sqrt{5}+\sqrt{6})^2-(\sqrt{7})^2 \\ & = (5 + 6 + 2\sqrt{30})- 7 \\ & = 4 + 2\sqrt{30} \end{aligned}$
Selanjutnya, 
$\begin{aligned} & (\sqrt{5}-\sqrt{6} + \sqrt{7}) (-\sqrt{5} + \sqrt{6} + \sqrt{7}) \\ & = [\sqrt{7} + (\sqrt{5}-\sqrt{6})][\sqrt{7}-(\sqrt{5}-\sqrt{6})] \\ & = (\sqrt{7})^2-(\sqrt{5}-\sqrt{6})^2 \\ & = 7- (5 + 6-2\sqrt{30}) \\ & =-4 + 2\sqrt{30} \end{aligned}$
Jadi, bentuk akar pada soal dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} (4+2\sqrt{30}) (-4+2\sqrt{30}) & = (2\sqrt{30})^2-4^2 \\  & = 120-16 \\ & = 104 \end{aligned}$
Dengan demikian, bentuk sederhananya adalah $\boxed{104}$

[collapse]

Soal Nomor 8
Carilah nilai
$$\dfrac{2.007^2 + 2.008^2 + 2.009^2-1.991^2-1.992^2-1.993^2}{2^7 \cdot 5^2}$$

Pembahasan

Dengan menggunakan sifat pemfaktoran: $\boxed{a^2-b^2=(a+b) (a-b)} $, diperoleh
$$\begin{aligned} & \dfrac{2.007^2 + 2.008^2 + 2.009^2-1.991^2-1.992^2- 1.993^2}{2^7 \cdot 5^2} \\ & = \dfrac{(2.009^2-1.991^2)+(2.008^2-1.992^2)+(2.007^2-1.993^2)} {2^7 \cdot 5^2} \\ & = \dfrac{(2.007+1.993)(2.007-1993)+(2.008+1.992)(2.008-1.992)}{2^7 \cdot 5^2}\\ & +\dfrac{(2.009+1.991)(2.009-1.991)} {2^7 \cdot 5^2} \\ & = \dfrac{4.000(14+16+18)} {2^7 \cdot 5^2} \\ & = \dfrac{2^2 \cdot 1.000 \cdot 48}{2^7 \cdot 5^2} \\ & = \dfrac{2^2 \cdot 2 \cdot 500 \cdot 2^4 \cdot 3}{2^7 \cdot 5^2} \\ & = \dfrac{\cancel{2^7} \cdot \bcancel{5^2} \cdot 20 \cdot 3}{\cancel{2^7} \cdot \bcancel{5^2}} \\ & = 20 \cdot 3 = 60 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari bentuk tersebut adalah $\boxed{60}$

[collapse]

Soal Nomor 9
Jika $A = \sqrt[5]{16} + \sqrt[5]{8} + \sqrt[5]{4} + \sqrt[5]{2} + 1$, carilah nilai $\left(1 + \dfrac{1}{A}\right)^{50}$.

Pembahasan

Pandang
$\begin{aligned} A & = \sqrt[5]{16} + \sqrt[5]{8} + \sqrt[5]{4} + \sqrt[5]{2} + 1 \\ \sqrt[5]{2}A & = \underbrace{\sqrt[5]{32}}_{= 2} + \sqrt[5]{16} + \sqrt[5]{8} + \sqrt[5]{4} + 1 \\ & = \sqrt[5]{16} + \sqrt[5]{8} + \sqrt[5]{4} + \sqrt[5]{2} + 2 \\ & \rule{6 cm}{0.8 pt}~- \\  (1-\sqrt[5]{2})A & =-1 \Rightarrow A = \dfrac{1}{\sqrt[5]{2}-1} \\  \dfrac{1}{A} & = \sqrt[5]{2}-1 \\  \dfrac{1}{A} + 1 & = \sqrt[5]{2} = 2^{\frac{1}{5}} \end{aligned}$
Jadi, $\boxed{\left(1 + \dfrac{1}{A}\right)^{50} = (2^{\frac{1}{5}})^{50} = 2^{10} = 1.024}$

[collapse]

Baca : Soal dan Pembahasan – Persamaan Eksponen

Soal Nomor 10
Diketahui $a \log 2 + b \log 3 + c \log 5 + d \log 7 +$ $e \log 9 + f \log 11 = 2013$
Tentukan nilai dari $a + b + c + d + e + f$.

Pembahasan

Dengan menggunakan sifat logaritma
$\begin{aligned} n \cdot ^a \log b & = ^a \log b^n \\ ^a \log b + ^a \log c & = ^a \log bc \end{aligned}$
diperoleh
$$\begin{aligned} & a \log 2 + b \log 3 + c \log 5 + d \log 7 + e \log 9 +  f \log 11 = 2013 \\ & \log 2^a + \log 3^b + \log 5^c + \log 7^d + \log 9^e + \log 11^f  = 2013 \\ & \log (2^a3^b5^c7^d9^e11^f) = 2013 \\ & 2^a3^b5^c7^d9^e11^f = 10^{2013} \\ & 2^a3^b5^c7^d9^e11^f  = 2^{2013} \cdot 5^{2013} \end{aligned}$$Persamaan terakhir menunjukkan bahwa nilai $a = 2013$, $b = 0$, $c = 2013$, $d = $0, $e = 0$, dan $f = 0$.
Jadi, nilai dari 

$\begin{aligned} & a+b+c+d+e+f \\ & =2013+0+2013+0+0+0=4026 \end{aligned}$  

[collapse]

Soal Nomor 11
Diketahui $N = \dfrac{4}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt[4]{5} + 1)(\sqrt[8]{5} + 1)(\sqrt[16]{5} + 1)}$
Carilah nilai dari $(N + 1)^{48}$.

Pembahasan

Kalikan $N$ dengan
$\dfrac{(\sqrt{5}-1)(\sqrt[4]{5}-1)(\sqrt[8]{5}-1)(\sqrt[16]{5}-1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt[4]{5}-1)(\sqrt[8]{5}-1)(\sqrt[16]{5}-1)}$
sehingga nantinya diperoleh

$$\begin{aligned} N & = \dfrac{\bcancel{4}\cancel{(\sqrt{5}-1)(\sqrt[4]{5}-1)(\sqrt[8]{5}-1)} (\sqrt[16]{5}-1)}{\bcancel{(5-1)} \cancel{(\sqrt{5}-1)(\sqrt[4]{5}-1)(\sqrt[8]{5}-1)} } \\ & = \sqrt[16]{5}-1 \end{aligned}$$Dengan demikian,
$$\boxed{N + 1 = \sqrt[16]{5} \Rightarrow (N+1)^{48} = (5^{\frac{1}{16}})^{48} = 5^3 = 125}$$

[collapse]

Soal Nomor 12
Sederhanakan bentuk dari

$$\dfrac{1}{1 + \sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} + \cdots + \dfrac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$$

Pembahasan

Rasionalkan tiap sukunya sebagai berikut.
$$\begin{aligned} \dfrac{1}{1 + \sqrt{2}} & = \dfrac{1}{1 + \sqrt{2}} \times \dfrac{1-\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}} =-1 + \sqrt{2} \\ \dfrac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} & = \dfrac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} \times \dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} =-\sqrt{2} + \sqrt{3} \\ \dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} & = \dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} \times \dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{\sqrt{3}- \sqrt{4}} =-\sqrt{3} + \sqrt{4} \\ \cdots \cdots \cdots & \cdots \cdots  \\ \dfrac{1}{\sqrt{99} + \sqrt{100}} & = \dfrac{1}{\sqrt{99} + \sqrt{100}} \times \dfrac{\sqrt{99}-\sqrt{100}}{\sqrt{99}-\sqrt{100}} \\ & =-\sqrt{99} + \sqrt{100} \end{aligned}$$Dengan demikian, dapat ditulis
$$\begin{aligned} & \dfrac{1}{1 + \sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} + \cdots + \dfrac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}} \\ & = (-1 + \cancel{\sqrt{2}}) + (\cancel{-\sqrt{2}} + \cancel{\sqrt{3}}) + (\cancel{-\sqrt{3}} + \cancel{\sqrt{4}}) + \\ & \cdots + (\cancel{-\sqrt{99}} + \sqrt{100}) \\ & =-1 + \sqrt{100} = 9 \end{aligned}$$

[collapse]

Soal Nomor 13
Diberikan $A = ^6 \log 16$ dan $B = ^{12} \log 27$. Tentukan bilangan asli $a, b$, dan $c$ sehingga $(A+a)(B+b)=c$.

Pembahasan

Persamaan $(A+a)(B+b)=c$ diubah menjadi
$$\begin{aligned} (^6 \log 16 + ^6 \log 6^a)(^{12} \log 27 + ^{12} \log 12^b) & = c \\ (^6 \log (16 \cdot 6^a))(^{12} \log (27 \cdot 12^b)) & = c \\ (^6 \log (2^4 \cdot 2^a \cdot 3^a))(^{12} \log (3^3 \cdot 2^{2b} \cdot 3^b)) & = c \\ (^6 \log 2^{4+a}3^a)(^{12} \log 2^{2b}3^{3+b}) & = c \end{aligned}$$Berdasarkan sifat perkalian logaritma,
$\boxed{^a \log b \times ^b \log c = ^a \log c}$
numerus $2^{a+4}3^a$ harus berbentuk $12^k$ untuk $k$ bilangan asli. Karena $12 = 2^{\color{blue}{2}} \cdot 3^{\color{blue}{1}}$, maka kita peroleh
$\dfrac{a+4}{\color{blue}{2}} = \dfrac{a}{\color{blue}{1}} \Rightarrow a = 4$.
Selanjutnya, numerus $2^{2b}3^{3+b}$ harus berbentuk $6^k$ untuk $k$ bilangan asli. Karena $6 = 2^{\color{blue}{1}} \cdot 3^{\color{blue}{1}}$, maka kita peroleh
$\dfrac{2b}{\color{blue}{1}} = \dfrac{3+b}{\color{blue}{1}} \Rightarrow b = 3$.
Akibatnya,
$\begin{aligned} c & = (6 \log 2^{4+4}3^4)(^{12} \log 2^{2(3)}3^{3+3}) \\ & = (^6 \log 12^4)(^{12} \log 6^6) \\ & = (4)(6) = 24 \end{aligned}$
Jadi, nilai $a, b, c$ berturut-turut adalah $4, 3$, dan $24$.

[collapse]

Soal Nomor 14
Buktikan bahwa $^2 \log 3$ adalah bilangan irasional.

Pembahasan

Dengan menggunakan pembuktian kontradiksi, andaikan $^2 \log 3$ adalah bilangan rasional.
Misalkan $x = ^2 \log 3 = \dfrac{a}{b}$. Karena $x > 0$, maka $a$ dan $b$ dapat diasumsikan sebagai suatu bilangan bulat positif.
Perhatikan bahwa, $x = ^2 \log 3 \iff 2^x = 3$ (sesuai dengan definisi logaritma). Ini berarti, $2^{\frac{a}{b}} = 3$, sehingga $2^a = 3^b$.
Jika $a, b$ bilangan bulat positif, maka $2^a$ adalah bilangan genap, sedangkan $3^b$ adalah bilangan ganjil. Ini jelas kontradiksi, sehingga pengandaian harus diingkari. Jadi, terbukti bahwa $^2 \log 3$ adalah bilangan irasional. $\blacksquare$

[collapse]

Soal Nomor 15
Buktikan bahwa jika $p^2 = qr$, maka $^q \log p + ^r \log p = 2 \cdot~^q \log p \cdot~^r \log p$.

Pembahasan

Kita dapat nyatakan $p^2 = qr$ dalam bentuk logaritma, lalu gunakan sejumlah sifat logaritma untuk membuktikan pernyataan tersebut.
$\begin{aligned} ^p \log qr & = 2 \\ ^p \log q +~^p \log r & = 2 \\ \dfrac{1}{^q \log p}+\dfrac{1}{^r \log p} & = 2 \\ \dfrac{^r \log p +~^q \log p}{^q \log p \cdot~^r \log p} & = 2 \\ ^q \log p +~^r \log p & = 2 \cdot~^q \log p \cdot~^r \log p \end{aligned}$
(Terbukti)

[collapse]

Soal Nomor 16
Buktikan pernyataan berikut.
$3^{\sqrt{^3 \log 7}} = 7^{\sqrt{^7 \log 3}}$

Pembahasan

Gunakan definisi dan sifat logaritma berikut.
$\boxed{\begin{aligned} a^b & = c \iff ^a \log c = b \\ ^a \log b & = \dfrac{1}{^b \log a} \end{aligned}}$
Pembuktian dari ruas kiri.

Misalkan $^3 \log 7 = p$, sehingga
$7 = 3^p \Leftrightarrow 7^{\frac{1}{p}} = 3$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} 3^{\sqrt{^3 \log 7}} & = \left(7^{\frac{1}{p}}\right)^{\sqrt{p}} \\ & = 7^{\frac{\sqrt{p}}{p}} \\ &= 7^{\frac{1}{\sqrt{p}}} \\ & = 7^{\frac{1}{\sqrt{^3 \log 7}}} \\ & = 7^{\sqrt{^7 \log 3}} \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa
$\boxed{3^{\sqrt{^3 \log 7}} = 7^{\sqrt{^7 \log 3}}}$

[collapse]

Soal Nomor 17
Tentukan nilai dari
$$\dfrac{3^{2017} + 3^{2016}}{5-(2^{2016}-2^{2015}-2^{2014}-\cdots-4-2-1)}-3^{2016}$$

Pembahasan

Perhatikan bahwa
$$ 2^n-2^{n-1}-2^{n-2}-\cdots-2-1 = 1$$untuk setiap bilangan asli $n$, sehingga
$$2^{2016}-2^{2015}-2^{2014}-\cdots-4-2-1 = 1$$Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{3^{2017} + 3^{2016}}{5-(2^{2016}-2^{2015}-2^{2014}-\cdots-4-2-1)}-3^{2016} & = \dfrac{3^{2016} \cdot 3 + 3^{2016}}{5-1}-3^{2016} \\ & = \dfrac{3^{2016}\cancel{(3 + 1)}}{\cancel{4}}-3^{2016} \\ & = 3^{2016}-3^{2016} = 0 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $$\boxed{\dfrac{3^{2017} + 3^{2016}}{5-(2^{2016}-2^{2015}-2^{2014}-\cdots-4-2-1)}-3^{2016} = 0}$$

[collapse]

Soal Nomor 18
Diketahui $\dfrac{^f \log ab}{^f \log d} = \dfrac{1730}{9}$, $^{cd} \log ab = 173$, dan $^c \log b = -290$. Tentukan nilai dari $^c \log a$.

Pembahasan

Diketahui $^{cd} \log ab = 173$, berarti $ab = (cd)^{173}$.
Dari persamaan $\dfrac{^f \log ab}{^f \log d} = \dfrac{1730}{9}$, diperoleh
$$\begin{aligned} ^d \log ab & = \dfrac{1730}{9} \\ ^d \log (cd)^{173} & = \dfrac{1730}{9} \\ ^d \log c + 1 & = \dfrac{10}{9} \\ ^d \log c & = \dfrac19 \end{aligned}$$Selanjutnya, perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} ^d \log c \cdot \! ^c \log b & = \dfrac19 \cdot (-290) \\ ^d \log b & = -\dfrac{290}{9} \end{aligned}$$Berikutnya,
$$\begin{aligned} ^d \log ab & = \dfrac{1730}{9} \\ ^d \log a + \! ^d \log b & = \dfrac{1730}{9} \\ ^d \log a-\dfrac{290}{9} & = \dfrac{1730}{9} \\ ^d \log a & = \dfrac{2020}{9} \\ ^a \log d & = \dfrac{9}{2020} \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} ^a \log d \cdot \! ^d \log c & = \dfrac{9}{2020} \cdot \dfrac19 \\ ^a \log c & = \dfrac{1}{2020} \\ ^c \log a & = 2020 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{^c \log a = 2020}$

[collapse]

3 Replies to “Soal dan Pembahasan – Pangkat, Akar, dan Logaritma Versi HOTS dan Olimpiade”

Tinggalkan Balasan

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *