Soal dan Pembahasan – Pangkat, Akar, dan Logaritma Versi HOTS dan Olimpiade

Berikut ini merupakan soal mengenai pangkat, akar, dan logaritma (soal dengan tingkat HOTS dan Olimpiade) yang dikutip dari berbagai sumber referensi. Soal-soal berikut masing-masing telah disediakan pembahasannya.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Pangkat, Akar, dan Logaritma (Standar)

Today Quote

Aku berjuang hanya untuk dua hal: ORANG TUA yang harus bahagia di masa tua dan CINTA yang akan mendampingku selamanya.

Soal Nomor 1
Tentukan hasil dari
$\dfrac{3^{2014} – 3^{2011} + 130}{3^{2011} + 5}$

Penyelesaian

Dengan menggunakan pemfaktoran, kita peroleh
$\begin{aligned} \dfrac{3^{2014} – 3^{2011} + 130}{3^{2011} + 5} & = \dfrac{3^{2011}(3^3 – 1) + 130}{3^{2011} + 5} \\ & = \dfrac{26 \cdot 3^{2011} + 130}{3^{2011} + 5} \\ & = \dfrac{26(\cancel{3^{2011} + 5})}{\cancel{3^{2011} + 5}} \\ & = 26 \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\boxed{\dfrac{3^{2014} – 3^{2011} + 130}{3^{2011} + 5} = 26}$

[collapse]

Soal Nomor 2
Diketahui persamaan:
$\begin{aligned} ^2 \log [^3 \log (^5 \log a)] & = ^3 \log [^5 \log (^2 \log b)] \\ & = ^5 \log [^2 \log (^3 \log c)] = 0 \end{aligned} $
Nilai $a + b + c = \cdots$

Penyelesaian

Ingatlah sifat logaritma berikut. 
$\boxed{\begin{aligned} ^a \log a & = 1 \\ ^a \log 1 & = 0 \\ ^a \log a^n & = n \end{aligned}}$
Tinjau persamaan $^2 \log [^3 \log (^5 \log a)] = 0$. Dengan menggunakan sifat di atas, diperoleh
$\begin{aligned} ^3 \log (^5 \log a) & = 1 \\ ^5 \log a & = 3 \\ a & = 5^3 = 125 \end{aligned}$
Tinjau persamaan $^3 \log [^5 \log (^2 \log b)] = 0$. Dengan menggunakan sifat di atas, diperoleh
$\begin{aligned} ^5 \log (^2 \log b) & = 1 \\ ^2 \log b & = 5 \\ b & = 2^5 = 32 \end{aligned}$
Tinjau persamaan $^5 \log [^2 \log (^3 \log a)] = 0$. Dengan menggunakan sifat di atas, diperoleh
$\begin{aligned} ^2 \log (^3 \log c) & = 1 \\ ^3 \log c & = 2 \\ c & = 3^2 = 9 \end{aligned}$
Dengan demikian, 
$\boxed{a+b+c = 125+32+9= 166}$

[collapse]

Soal Nomor 3
Hitunglah $\dfrac{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)} {2^{32}-1}$

Penyelesaian

Faktorkan penyebutnya, sehingga dapat ditulis
$$\begin{aligned} & \dfrac{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)} {2^{32}-1} \\ & = \dfrac{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)} {(2^{16}+1)(2^{16}-1)} \\ & = \dfrac{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)} {(2^{16}+1)(2^8+1)(2^8-1)} \\ & = \dfrac{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)} {(2^{16}+1)(2^8+1)(2^4+1)(2^4-1)} \\ & = \dfrac{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)} {(2^{16}+1)(2^8+1)(2^4+1)(2^2+1)(2^2-1)} \\ & = \dfrac{\cancel{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)}} {\cancel{(2^{16}+1)(2^8+1)(2^4+1)(2^2+1)(2+1)} (2-1)} \\ & = \dfrac{1}{2-1} = 1 \end{aligned}$$
Jadi, nilai dari $\dfrac{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)} {2^{32}-1}$ adalah $\boxed{1}$

[collapse]

Soal Nomor 4
Jika $(5+4)(5^2+4^2)(5^4+4^4) = 5^x-2^y$, maka nilai $x+y = \cdots$

Penyelesaian

$\begin{aligned} & (5+4)(5^2+4^2)(5^4+4^4) \\ & = \dfrac{\cancel{5^2-4^2}}{5-4} \cdot \dfrac{\bcancel{5^4-4^4}}{\cancel{5^2-4^2}} \cdot \dfrac{5^8-4^8}{\bcancel{5^4-4^4}} \\ & = \dfrac{5^8-4^8}{5-4} \\ & = 5^8-4^8 = 5^8 – 2^{16} \end{aligned}$
Jadi, diperoleh $x = 8$ dan $y = 16$, sehingga $\boxed{x+y=8+16 = 24}$

[collapse]

Soal Nomor 5
Bilangan real positif $a, b$, dan $c$ memenuhi: $a^{^3 \log 7} = 27, b^{^7 \log 11} = 49$, dan $c^{^{11} \log 25} = \sqrt{11}$. Tentukan hasil dari
$a^{(^3 \log 7)^2} + b^{(^7 \log 11)^2} + c^{(^{11} \log 25)^2} $

Penyelesaian

Ingat sifat logaritma: $\boxed{a^{^a \log b} = b}$
Perhatikan bahwa:
$\begin{aligned} a^{(^3 \log 7)^2} & = \left[a^{^3 \log 7}\right]^{^3 \log 7} \\ & = 27^{^3 \log 7} \\ & = (3^3)^{^3 \log 7} \\ & = 3^{^3 \log 7^3} = 7^3 = 343 \end{aligned}$
Dengan prinsip yang sama, diperoleh
$\begin{aligned} b^{(^7 \log 11)^2} & = \left[b^{^7 \log 11}\right]^{^7 \log 11} \\ & = 49^{^7 \log 11} \\ & = (7^2)^{^7 \log 11} \\ & = 7^{^7 \log 11^2} = 11^2 = 121 \end{aligned}$
$\begin{aligned} c^{(^{11} \log 25)^2} & = \left[c^{^{11} \log 25}\right]^{^{11} \log 25} \\ & = (\sqrt{11})^{^{11} \log 25} \\ & = (11^{\frac{1}{2}})^{^{11} \log 25} \\ & = 11^{^{11} \log 25^{\frac{1}{2}}} = 25^{\frac{1}{2}} = 5 \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh
$\boxed{\begin{aligned} & a^{(^3 \log 7)^2} + b^{(^7 \log 11)^2} + c^{(^{11} \log 25)^2} \\ & = 343+121+5 = 469 \end{aligned}}$

[collapse]

Soal Nomor 6 
Misal $a,b,c$, dan $d$ adalah bilangan bulat positif yang memenuhi $^a \log b^2 = 3$ dan $^c \log d^4 = 5$, serta $a-c=9$, maka $b-d=\cdots$

Penyelesaian

Perhatikan bahwa,
$\begin{aligned} & ^a \log b^2 = 3 \iff a^3 = b^2 \iff a = b^{\frac{2}{3}} \\ & ^c \log d^4 = 5 \iff c^5 = d^4 \iff c = d^{\frac{4}{5}} \end{aligned}$
Karena $a$ dan $c$ harus berupa bilangan bulat positif, maka $b$ dan $d$ haruslah memenuhi persyaratan berikut.
$b$ harus berupa bilangan kubik: $1, 8, 27, 64, 125, \cdots$
Ini mengakibatkan nilai $a$ berturut-turut adalah: $1, 4, 9, 16, 25, \cdots$
$d$ merupakan bilangan hasil pangkat lima: $1, 32, 243, 1.024, 3.125, \cdots$
Ini mengakibatkan nilai $c$ berturut-turut adalah: $1, 16, 81, 256, 625, \cdots$
Karena diberikan $a-c=9$, maka nilai $a$ dan $c$ berturut-turut yang mungkin adalah $25$ dan $16$.
Jika $a = 25$, maka $b = 125$, sedangkan jika $c = 16$, maka $d = 32$, sehingga $\boxed{b – d = 125 – 32 = 93}$.

[collapse]

Soal Nomor 7
Jika $9^x + 9^{-x} – 3^{2+x} + 3^{2-x} + 16 = 0$, maka $3^x – 3^{-x}$ adalah $\cdots$

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} 9^x + 9^{-x} – 3^{2+x} + 3^{2-x} + 16 & = 0 \\ 3^{2x} + 3^{-2x} – 9 \cdot 3^x + 9 \cdot 3^{-x} + 16 & = 0 \\ 3^{2x} + 3^{-2x} & = 9 \cdot 3^x – 9 \cdot 3^{-x} – 16 \end{aligned}$$
Selanjutnya,
$\begin{aligned} (3^x – 3^{-x})^2 & = (3^{2x} + 3^{-2x}) – 2 \\ & = (9 \cdot 3^x – 9 \cdot 3^{-x} – 16) – 2 \\ & = 9(3^x – 3^{-x}) – 18 \end{aligned}$
Sekarang, misalkan $3^x – 3^{-x} = a$, maka
$\begin{aligned} a^2 & = 9a – 18 \\ a^2 – 9a + 18 & = 0 \\ (a – 6)(a-3) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $a = 6 \lor a = 3$
Ini berarti, $\boxed{3^x – 3^{-x} = 6}$ atau $\boxed{3^x – 3^{-x} = 3}$

[collapse]

Soal Nomor 8
Sederhanakanlah
$$\begin{aligned} (\sqrt{5} + \sqrt{6} + \sqrt{7}) & (\sqrt{5} + \sqrt{6} – \sqrt{7}) \\ & (\sqrt{5} – \sqrt{6} + \sqrt{7}) (-\sqrt{5} + \sqrt{6} + \sqrt{7}) \end{aligned}$$

Penyelesaian

Gunakan sifat pemfaktoran $a^2-b^2 = (a+b) (a-b)$ dan juga $(a \pm b)^2 = a^2+b^2 \pm 2ab$ untuk menyederhanakan bentuk akar di atas. 
Perhatikan bahwa, 
$\begin{aligned} & (\sqrt{5} + \sqrt{6} + \sqrt{7}) (\sqrt{5} + \sqrt{6} – \sqrt{7}) \\ & = (\sqrt{5}+\sqrt{6})^2 – (\sqrt{7})^2 \\ & = (5 + 6 + 2\sqrt{30}) – 7 \\ & = 4 + 2\sqrt{30} \end{aligned}$
Selanjutnya, 
$\begin{aligned} & (\sqrt{5} – \sqrt{6} + \sqrt{7}) (-\sqrt{5} + \sqrt{6} + \sqrt{7}) \\ & = [\sqrt{7} + (\sqrt{5} – \sqrt{6})][\sqrt{7} – (\sqrt{5} – \sqrt{6})] \\ & = (\sqrt{7})^2 – (\sqrt{5} – \sqrt{6})^2 \\ & = 7 – (5 + 6 – 2\sqrt{30}) \\ & = -4 + 2\sqrt{30} \end{aligned}$
Jadi, bentuk akar pada soal dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} (4+2\sqrt{30}) (-4+2\sqrt{30}) & = (2\sqrt{30})^2 – 4^2 \\  & = 120 – 16 = 104 \end{aligned}$
Dengan demikian, bentuk sederhananya adalah $\boxed{104}$

[collapse]

Soal Nomor 9
Carilah nilai
$$\dfrac{2.007^2 + 2.008^2 + 2.009^2 – 1.991^2 – 1.992^2- 1.993^2}{2^7 \cdot 5^2}$$

Penyelesaian

Dengan menggunakan sifat pemfaktoran: $\boxed{a^2-b^2=(a+b) (a-b)} $, diperoleh
$$\begin{aligned} & \dfrac{2.007^2 + 2.008^2 + 2.009^2 – 1.991^2 – 1.992^2- 1.993^2}{2^7 \cdot 5^2} \\ & = \dfrac{(2.009^2-1.991^2)+(2.008^2-1.992^2)+(2.007^2-1.993^2)} {2^7 \cdot 5^2} \\ & = \dfrac{(2.007+1.993)(2.007-1993)+(2.008+1.992)(2.008-1.992)}{2^7 \cdot 5^2}\\ & +\dfrac{(2.009+1.991)(2.009-1.991)} {2^7 \cdot 5^2} \\ & = \dfrac{4.000(14+16+18)} {2^7 \cdot 5^2} \\ & = \dfrac{2^2 \cdot 1.000 \cdot 48}{2^7 \cdot 5^2} \\ & = \dfrac{2^2 \cdot 2 \cdot 500 \cdot 2^4 \cdot 3}{2^7 \cdot 5^2} \\ & = \dfrac{\cancel{2^7} \cdot \bcancel{5^2} \cdot 20 \cdot 3}{\cancel{2^7} \cdot \bcancel{5^2}} \\ & = 20 \cdot 3 = 60 \end{aligned}$$
Jadi, nilai dari bentuk tersebut adalah $\boxed{60}$

[collapse]

Soal Nomor 10
Jika $A = \sqrt[5]{16} + \sqrt[5]{8} + \sqrt[5]{4} + \sqrt[5]{2} + 1$, carilah nilai $\left(1 + \dfrac{1}{A}\right)^{50}$

Penyelesaian

Pandang
$\begin{aligned} A & = \sqrt[5]{16} + \sqrt[5]{8} + \sqrt[5]{4} + \sqrt[5]{2} + 1 \\ \sqrt[5]{2}A & = \underbrace{\sqrt[5]{32}}_{= 2} + \sqrt[5]{16} + \sqrt[5]{8} + \sqrt[5]{4} + 1 \\ & = \sqrt[5]{16} + \sqrt[5]{8} + \sqrt[5]{4} + \sqrt[5]{2} + 2 \\ & \rule{4 cm}{0.8 pt}~- \\  (1 – \sqrt[5]{2})A & = -1 \Rightarrow A = \dfrac{1}{\sqrt[5]{2} – 1} \\  \dfrac{1}{A} & = \sqrt[5]{2} – 1 \\  \dfrac{1}{A} + 1 & = \sqrt[5]{2} = 2^{\frac{1}{5}} \end{aligned}$
Jadi, $\boxed{\left(1 + \dfrac{1}{A}\right)^{50} = (2^{\frac{1}{5}})^{50} = 2^{10} = 1.024}$

[collapse]

Soal Nomor 11
Misalkan $x, y, z > 1$ dan $w > 0$. Jika $^x \log w = 4, ^y \log w = 5$, dan $^{xyz} \log w = 2$, maka nilai dari $^z \log w$ adalah $\cdots$

Penyelesaian

Diketahui:
$\begin{aligned} ^x \log w & = 4 \iff ^w \log x = \dfrac{1}{4} \\ ^y \log w & = 5 \iff ^w \log y = \dfrac{1}{5} \end{aligned}$
Dengan menerapkan sifat logaritma pada persamaan $^{xyz} \log w = 2$, didapat
$$\begin{aligned} ^{xyz} \log w & = 2 \\ \dfrac{^w \log w}{^w \log (xyz)} & = 2 \\ \dfrac{^w \log w}{^w log x + ^w \log y + ^w \log z} & = 2 \\ \dfrac{1}{\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{5} + ^w \log z} & = 2 \\ \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{5} + ^w \log z & = \dfrac{1}{2} \\ ^w \log z & = \dfrac{1}{2} – \dfrac{1}{4} – \dfrac{1}{5} \\ ^w \log z & = \dfrac{10-5-4}{20} = \dfrac{1}{20} \\ ^z \log w = 20 \end{aligned}$$
Jadi, nilai dari $^z \log w$ adalah $\boxed{20}$ 

[collapse]

Soal Nomor 12
Diketahui
$\begin{aligned} a \log 2 + b \log 3 + c \log 5 &  + d \log 7 + e \log 9 + \\ &  f \log 11 = 2013 \end{aligned}$
Tentukan nilai dari $a + b + c + d + e + f$

Penyelesaian

Dengan menggunakan sifat logaritma
$\begin{aligned} n \cdot ^a \log b & = ^a \log b^n \\ ^a \log b + ^a \log c & = ^a \log bc \end{aligned}$
diperoleh
$$\begin{aligned} & a \log 2 + b \log 3 + c \log 5 + d \log 7 + e \log 9 +  f \log 11 = 2013 \\ & \log 2^a + \log 3^b + \log 5^c + \log 7^d + \log 9^e + \log 11^f  = 2013 \\ & \log (2^a3^b5^c7^d9^e11^f) = 2013 \\ & 2^a3^b5^c7^d9^e11^f = 10^{2013} \\ & 2^a3^b5^c7^d9^e11^f  = 2^{2013} \cdot 5^{2013} \end{aligned}$$
Persamaan terakhir menunjukkan bahwa nilai $a = 2013, b = 0, c = 2013, d = 0, e = 0$, dan $f = 0$
Jadi, nilai dari 

$\begin{aligned} & a+b+c+d+e+f \\ & =2013+0+2013+0+0+0=4026 \end{aligned}$  

[collapse]

Soal Nomor 13
Jika $6(3^{40})(^2 \log a) + 3^{41}(^2 \log a) = 3^{43}$, maka nilai $a$ adalah $\cdots$
A. $\dfrac{1}{8}$    B. $\dfrac{1}{4}$    C. $4$       D. $8$      E. $16$

Penyelesaian

Misalkan $^2 \log a = x$, maka persamaan di atas dapat ditulis menjadi $6(3^{40})x + 3^{41}x = 3^{43}$.
Bagi kedua ruasnya dengan $3^{40}$, kemudian sederhanakan untuk mencari nilai $x$.
$\begin{aligned} \dfrac{6(\cancel{3^{40}})x}{\cancel{3^{40}}} + \dfrac{\cancelto{3^{3}}{3^{41}}x}{\cancel{3^{40}}} & = \dfrac{\cancelto{3^{3}}{3^{43}}}{\cancel{3^{40}}} \\ 6x + 3x & = 3^3 = 27 \\ 9x & = 27 \\ x & = 3 \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh $^2 \log a = 3$ sehingga $a = 2^3 = 8$. Jadi, nilai $a$ adalah $\boxed{8}$ (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 14
Buktikan bahwa $^2 \log 3$ adalah bilangan irasional.

Penyelesaian

Dengan menggunakan pembuktian kontradiksi, andaikan $^2 \log 3$ adalah bilangan rasional.
Misalkan $x = ^2 \log 3 = \dfrac{a}{b}$. Karena $x > 0$, maka $a$ dan $b$ dapat diasumsikan sebagai suatu bilangan bulat positif.
Perhatikan bahwa, $x = ^2 \log 3 \iff 2^x = 3$ (sesuai dengan definisi logaritma). Ini berarti, $2^{\frac{a}{b}} = 3$, sehingga $2^a = 3^b$.
Jika $a, b$ bilangan bulat positif, maka $2^a$ adalah bilangan genap, sedangkan $3^b$ adalah bilangan ganjil. Ini jelas kontradiksi, sehingga pengandaian harus diingkari. Jadi, terbukti bahwa $^2 \log 3$ adalah bilangan irasional. $\blacksquare$

[collapse]

Soal Nomor 15
Diketahui $N = \dfrac{4}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt[4]{5} + 1)(\sqrt[8]{5} + 1)(\sqrt[16]{5} + 1)}$
Carilah nilai dari $(N + 1)^{48}$

Penyelesaian

Kalikan $N$ dengan
$\dfrac{(\sqrt{5} – 1)(\sqrt[4]{5} – 1)(\sqrt[8]{5} – 1)(\sqrt[16]{5} – 1)}{(\sqrt{5} -1)(\sqrt[4]{5} – 1)(\sqrt[8]{5} – 1)(\sqrt[16]{5} -1)}$ sehingga nantinya diperoleh

$\begin{aligned} N & = \dfrac{\bcancel{4}\cancel{(\sqrt{5} – 1)(\sqrt[4]{5} – 1)(\sqrt[8]{5} – 1)} (\sqrt[16]{5} – 1)}{\bcancel{(5-1)} \cancel{(\sqrt{5} – 1)(\sqrt[4]{5} – 1)(\sqrt[8]{5} – 1)} } \\ & = \sqrt[16]{5} – 1 \end{aligned}$
Dengan demikian,
$$\boxed{N + 1 = \sqrt[16]{5} \Rightarrow (N+1)^{48} = (5^{\frac{1}{16}})^{48} = 5^3 = 125}$$

[collapse]

Soal Nomor 16
Bila $x = \sqrt{19-18\sqrt{3}}$, carilah nilai $\dfrac{x^4 – 6x^3 – 2x^2 + 18x + 23}{(x-4)^2+1}$

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 17
Sederhanakan: $\dfrac{\sqrt[4]{86 – 14\sqrt{37}}}{\sqrt{9 – 2\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}} – \sqrt{6 + \sqrt{13 + 4\sqrt{3}}}}$

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 18
Sederhanakan bentuk dari

$$\dfrac{1}{1 + \sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} + \cdots + \dfrac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$$

Penyelesaian

Rasionalkan tiap sukunya sebagai berikut.
$$\begin{aligned} \dfrac{1}{1 + \sqrt{2}} & = \dfrac{1}{1 + \sqrt{2}} \times \dfrac{1 – \sqrt{2}}{1 – \sqrt{2}} = -1 + \sqrt{2} \\ \dfrac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} & = \dfrac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} \times \dfrac{\sqrt{2} – \sqrt{3}}{\sqrt{2} – \sqrt{3}} = -\sqrt{2} + \sqrt{3} \\ \dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} & = \dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} \times \dfrac{\sqrt{3} – \sqrt{4}}{\sqrt{3} – \sqrt{4}} = -\sqrt{3} + \sqrt{4} \\ \cdots \cdots \cdots & \cdots \cdots  \\ \dfrac{1}{\sqrt{99} + \sqrt{100}} & = \dfrac{1}{\sqrt{99} + \sqrt{100}} \times \dfrac{\sqrt{99} – \sqrt{100}}{\sqrt{99} – \sqrt{100}} \\ & = -\sqrt{99} + \sqrt{100} \end{aligned}$$
Dengan demikian, dapat ditulis
$$\begin{aligned} & \dfrac{1}{1 + \sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} + \cdots + \dfrac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}} \\ & = (-1 + \cancel{\sqrt{2}}) + (\cancel{-\sqrt{2}} + \cancel{\sqrt{3}}) + (\cancel{-\sqrt{3}} + \cancel{\sqrt{4}}) + \\ & \cdots + (\cancel{-\sqrt{99}} + \sqrt{100}) \\ & = -1 + \sqrt{100} = 9 \end{aligned}$$

[collapse]

Soal Nomor 19
Nilai dari $\sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 – \sqrt{5}} – 3$ adalah $\cdots$
A. $-2$       B. $-1$        C. $1$         D. $1,5$         E. $2$

Penyelesaian

Misalkan $\sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 – \sqrt{5}} = p$, maka
$$\begin{aligned} & \left(\sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 – \sqrt{5}}\right)^3 = p^3 \\ & (2 + \cancel{\sqrt{5}}) + (2 – \cancel{\sqrt{5}}) + 3\sqrt[3]{(2 + \sqrt{5})(2 – \sqrt{5})} \cdot p = p^3 \\ & 4 + 3\sqrt[3]{-1} \cdot p = p^3 \\ & 4 – 3p = p^3 \end{aligned}$$
Dengan menggunakan intuisi, nilai $p$ yang memenuhi adalah $p = 1$, karena $4 – 3(1) = 1^3 \Leftrightarrow 1 = 1$.
Dengan demikian,
$\boxed{\sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 – \sqrt{5}} – 3 = 1 – 3 = -2}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 20
Diketahui $\log x = 6$ dan $\log y = 12$. Tentukan nilai dari $\log \sqrt{x\sqrt{y{\sqrt{x{\sqrt{y \cdots}}}}}}$

Penyelesaian

Misalkan $p = \log \sqrt{x\sqrt{y{\sqrt{x{\sqrt{y \cdots}}}}}}$, maka kita peroleh
$\begin{aligned} 10^p & = \sqrt{x\sqrt{y{\sqrt{x{\sqrt{y \cdots}}}}}} \\ \text{Kuadratkan}~&\text{kedua ruas} \\ 10^{2p} & = x\sqrt{y{\sqrt{x{\sqrt{y \cdots}}}}} \\ \text{Kuadratkan}~&\text{kedua ruas} \\ 10^{4p} & = x^2y\underbrace{\sqrt{x{\sqrt{y \cdots}}}}_{10^p} \\ 10^{4p} & = x^2y(10^p) \\ 10^{3p} & = x^2y \\ \log 10^{3p} & = \log x^2y \\ 3p \log 10 & = \log x^2 + \log y \\ 3p \cdot 1 & = 2(6) + 12 \\ 3p & = 12 + 12 \\ p & = 8 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\log \sqrt{x\sqrt{y{\sqrt{x{\sqrt{y \cdots}}}}}} = 8}$

[collapse]

Soal Nomor 21
Bentuk sederhana dari $1 \cdot 2^1 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \cdots + 2018 \cdot 2^{2018}$ adalah
A. $2019 \cdot 2^{2018} + 2$
B. $2019 \cdot 2^{2019} + 2$
C. $2018 \cdot 2^{2019} + 2$
D. $2017 \cdot 2^{2019} + 2$
E. $2018 \cdot 2^{2020} + 2$

Penyelesaian

Misalkan:
$$p = 1 \cdot 2^1 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \cdots + 2018 \cdot 2^{2018}$$,
sehingga
$$2p = 1 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2^3 + 3 \cdot 2^4 + \cdots + 2018 \cdot 2^{2019}$$
Kurangi kedua persamaan tersebut (atas ke bawah):
$$\begin{aligned} p & = -2 + (2-1) \cdot 2^2 + (2-3) \cdot 2^3 + (3-4) \cdot 2^4 \\ & + \cdots + (2017-2018) \cdot 2^{2018} + 2018 \cdot 2^{2019} \\ & = -2 – 2^2 – 2^3 – 2^4 – \cdots – 2^{2018} + 2018 \cdot 2^{2019} \\ & = -(2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + \cdots + 2^{2018}) + 2018 \cdot 2^{2019} \\ & = -\left(\underbrace{\dfrac{2(2^{2018} – 1)}{2 – 1}}_{\text{Rumus}~\text{S}_n}\right) + 2018 \cdot 2^{2019} \\ & = 2018 \cdot 2^{2019} – 2^{2019} + 2 \\ & = 2017 \cdot 2^{2019} + 2 \end{aligned}$$
Jadi, bentuk sederhana darinya adalah $\boxed{2017 \cdot 2^{2019} + 2}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 22
Nilai dari $\sqrt{1+\sqrt{3 + \sqrt{13+4\sqrt{3}}}}$ adalah $\cdots$
A. $\frac16\sqrt2 + \frac12\sqrt2$
B. $\frac12\sqrt2 + \frac12\sqrt6$
C. $\frac16\sqrt2 – \frac12\sqrt2$
D. $\frac12\sqrt6 – \frac12\sqrt2$
E. $\frac12\sqrt2 – \frac16\sqrt2$

Penyelesaian

Gunakan salah satu sifat akar:
$\boxed{\sqrt{a} \pm \sqrt{b} = \sqrt{(a+b) \pm 2\sqrt{ab}}}$
Untuk itu, diperoleh
$\begin{aligned} & \sqrt{1+\sqrt{3 + \sqrt{13+4\sqrt{3}}}} \\ & = \sqrt{1+\sqrt{3 + \sqrt{13+2\sqrt{12}}}} \\ & = \sqrt{1+\sqrt{3 + \sqrt{(12+1)+2\sqrt{12 \cdot 1}}}} \\ & = \sqrt{1+\sqrt{3 + \sqrt{12} + \sqrt1}} \\ & = \sqrt{1 + \sqrt{4 + 2\sqrt3}} \\ & = \sqrt{1 + \sqrt{(3+1) + 2\sqrt{3 \cdot 1}}} \\ & = \sqrt{1 + \sqrt{3} + \sqrt{1}} \\ & = \sqrt{2 + \sqrt3} \\ & = \sqrt{2 + 2\sqrt{\dfrac34}} \\ & = \sqrt{\left(\dfrac32 + \dfrac12\right) + 2\sqrt{\dfrac32 \cdot \dfrac12}} \\ & = \sqrt{\dfrac32} + \sqrt{\dfrac12} \\ & = \dfrac12\sqrt6 + \dfrac12\sqrt2 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\sqrt{1+\sqrt{3 + \sqrt{13+4\sqrt{3}}}}$ adalah $\boxed{\frac12\sqrt2 + \frac12\sqrt6}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 23
Jika $x = \sqrt[3]{2+\sqrt5} + \sqrt[3]{2-\sqrt5}$ dan $y = 2019 – \sqrt{\dfrac{2020^3-2018^3-2}{6}}$, maka $\cdots$
A. $x<y$
B. $x=y$
C. $x>y$
D. $x+y=2$
E. hubungan $x$ dan $y$ tak dapat ditentukan

Penyelesaian

Pertama, akan disederhanakan bentuk $x$ terlebih dahulu.
Misalkan $a = 2 + \sqrt5$ dan $b = 2 – \sqrt5$, sehingga $a+b = 4$ dan $ab = (2)^2 – (\sqrt5)^2 = -1$.
Dengan demikian,
$\begin{aligned} x & = \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} \\ x^3 & = (\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})^3 \\ x^3 & = a + b + 3ab(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}) \\ x^3 & = 4 + 3(-1)(x) \\ 0 & = x^3 + 3x – 4 \\ 0 & = (x-1)(x^2 + x + 4) \end{aligned}$
Karena $x^2+x+4$ definit positif, maka satu-satunya penyelesaian dari persamaan di atas adalah $x = 1$.
Selanjutnya, akan disederhanakan bentuk dari $y$. Untuk mempersingkat penulisan, kita misalkan $a = 2018$.
$$\begin{aligned} y & = 2019 – \sqrt{\dfrac{2020^3-a^3-2}{6}} \\ & = 2019 – \dfrac{1}{\sqrt6}\sqrt{(2020-a)(2020^2+a^2+2020 \cdot a) – 2} \\ & = 2019 – \dfrac{1}{\sqrt6}\sqrt{2((a+2)^2+a^2+(a+2) \cdot a) – 2} \\ & = 2019 – \dfrac{1}{\sqrt3}\sqrt{(a+2)^2+a^2+(a+2) \cdot a – 1} \\ & = 2019 – \dfrac{1}{\sqrt3}\sqrt{(a^2 + 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2)+a^2+(a+2) \cdot a – 1} \\ & = 2019 – \dfrac{1}{\sqrt3}\sqrt{(a^2 + 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2)+a^2+ a^2 + 2 \cdot a – 1} \\ & = 2019 – \dfrac{1}{\sqrt3}\sqrt{(3 \cdot a^2 + 6 \cdot a + 3 } \\ & = 2019 – \sqrt{a^2 + 2 \cdot a + 1} \\ & = 2019 – \sqrt{(a + 1)^2} = 2019 – \sqrt{(2018+1)^2} \\ & = 2019 – 2019 = 0 \end{aligned}$$
Dengan demikian, $y = 0$.
Jadi, kesimpulan yang bisa ditarik adalah $\boxed{x > y}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 24
Bentuk sederhana dari $\sqrt[4]{\dfrac{3+2\sqrt2}{3-2\sqrt2}}$ adalah $\cdots$
A. $\sqrt2 + 1$                    D. $2\sqrt2 + 1$
B. $\sqrt2-1$                     E. $2\sqrt2-1$
C. $1-\sqrt2$

Penyelesaian

Dengan menerapkan sifat akar:
$\boxed{\sqrt{(a+b) \pm 2\sqrt{ab}}}$
diperoleh
$\begin{aligned} \sqrt[4]{\dfrac{3+2\sqrt2}{3-2\sqrt2}} & = \sqrt[4]{\dfrac{(2+1)+2\sqrt{2 \cdot 1}}{(2+1)-2\sqrt{2 \cdot 1}}} \\ & = \sqrt[4]{\dfrac{(\sqrt2 + \sqrt1)^2}{(\sqrt2 – \sqrt1)^2}} \\ & = \dfrac{\sqrt{\sqrt2+1}}{\sqrt{\sqrt2-1}} \times \color{red} {\dfrac{\sqrt{\sqrt2-1}}{\sqrt{\sqrt2-1}}} \\ & = \dfrac{\sqrt{2-1}}{\sqrt2-1} \\ & = \dfrac{1}{\sqrt2 – 1} \times \color{red} {\dfrac{\sqrt2+1}{\sqrt2+1}} \\ & = \dfrac{\sqrt2+1}{2-1} = \sqrt2+1 \end{aligned}$
Jadi, bentuk sederhana dari $\sqrt[4]{\dfrac{3+2\sqrt2}{3-2\sqrt2}}$ adalah $\boxed{\sqrt2+1}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 25
Jika $\dfrac{1}{\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5} = \dfrac{a\sqrt2 + b\sqrt3 + c\sqrt{30}}{12}$, maka nilai $a+b+c=\cdots$
A. $0$        B. $1$       C. $2$          D. $3$         E. $4$

Penyelesaian

Dengan menerapkan konsep merasionalkan penyebut bentuk akar pada bentuk pecahan, kita dapatkan
$\begin{aligned} & \dfrac{1}{(\sqrt2+\sqrt3)+\sqrt5} \\ & = \dfrac{1}{(\sqrt2+\sqrt3)+\sqrt5} \times \color{red}{ \dfrac{(\sqrt2+\sqrt3)-\sqrt5}{(\sqrt+\sqrt3)-\sqrt5}} \\ & = \dfrac{(\sqrt2+\sqrt3)-\sqrt5}{(\sqrt2+\sqrt3)^2-5} \\ & = \dfrac{(\sqrt2+\sqrt3)-\sqrt5}{(\cancel{2+3}+2\sqrt6)-\cancel{5}} \\ & = \dfrac{(\sqrt2+\sqrt3)-\sqrt5}{2\sqrt6} \times \color{red}{\dfrac{\sqrt6}{\sqrt6}} \\ & = \dfrac{\sqrt{12} + \sqrt{18} – \sqrt{30}}{12} \\ & = \dfrac{3\sqrt2 + 2\sqrt3 – \sqrt{30}}{12} \end{aligned}$
Karena diketahui bahwa $\dfrac{1}{\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5} = \dfrac{a\sqrt2 + b\sqrt3 + c\sqrt{30}}{12}$, diperoleh bahwa $a=3, b = 2, c = -1$, sehingga $\boxed{a+b+c=3+2+(-1)=4}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 26
Bentuk sederhana dari $\sqrt{\dfrac{\sqrt{41} + 4}{\sqrt{41} – 4}} – \sqrt{\dfrac{\sqrt{41} – 4}{\sqrt{41} + 4}}$ adalah $\cdots$
A. $-\dfrac85$         B. $0$         C. $\dfrac85$        D. $2$         E. $5\sqrt{41}$

Penyelesaian

Tinjau bentuk $\sqrt{\dfrac{\sqrt{41} + 4}{\sqrt{41} – 4}}$
Dengan pengalian akar sekawan dan penggunaan sifat-sifat akar, diperoleh 
$\begin{aligned} & \sqrt{\dfrac{\sqrt{41} + 4}{\sqrt{41} – 4}} \times \color{red}{\dfrac{\sqrt{41} + 4}{\sqrt{41} + 4}} \\ & = \dfrac{\sqrt{41 + 8\sqrt{41} + 16}}{\sqrt{41 – 16}} \\ & = \dfrac{\sqrt{57 + 8\sqrt{41}}}{5} \\ & = \dfrac{\sqrt{(41+16) + 2\sqrt{41 \times 16}}}{5} \\ & = \dfrac{\sqrt{41} + 4}{5} \end{aligned}$
Selanjutnya, tinjau bentuk $\sqrt{\dfrac{\sqrt{41} – 4}{\sqrt{41} + 4}}$
Analog dengan cara di atas, diperoleh 
$\begin{aligned} & \sqrt{\dfrac{\sqrt{41} – 4}{\sqrt{41} + 4}} \times \color{red}{\dfrac{\sqrt{41} – 4}{\sqrt{41} – 4}} \\ & = \dfrac{\sqrt{41 – 8\sqrt{41} + 16}}{\sqrt{41 – 16}} \\ & = \dfrac{\sqrt{57 – 8\sqrt{41}}}{5} \\ & = \dfrac{\sqrt{(41+16) – 2\sqrt{41 \times 16}}}{5} \\ & = \dfrac{\sqrt{41} – 4}{5} \end{aligned}$
Dengan demikian, dapat kita tuliskan
$\begin{aligned} & \sqrt{\dfrac{\sqrt{41} + 4}{\sqrt{41} – 4}} – \sqrt{\dfrac{\sqrt{41} – 4}{\sqrt{41} + 4}} \\ & = \left(\dfrac{\sqrt{41} + 4}{5}\right) – \left(\dfrac{\sqrt{41}-4}{5}\right) \\ & = \dfrac45 – \left(-\dfrac45\right) = \dfrac85 \end{aligned}$
Jadi, bentuk sederhana dari $\boxed{\sqrt{\dfrac{\sqrt{41} + 4}{\sqrt{41} – 4}} – \sqrt{\dfrac{\sqrt{41} – 4}{\sqrt{41} + 4}} = \dfrac85}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 27
Jika $$\sqrt{1 + ^2 \log x + \sqrt{1 + ^2 \log x + \sqrt{1 + ^2 \log x + \cdots}}} = 3$$, maka nilai dari $^{2x} \log 8 = \cdots$
A. $\dfrac14$        B. $\dfrac13$        C. $\dfrac12$          D. $\dfrac23$        E. $\dfrac32$

Penyelesaian

Dari persamaan yang diberikan, kuadratkan kedua ruas sehingga diperoleh
$$1 + ^2 \log x + \sqrt{1 + ^2 \log x + \sqrt{1 + ^2 \log x + \cdots}} = 3^2 = 9$$
Selanjutnya, substitusikan $\sqrt{1 + ^2 \log x + \sqrt{1 + ^2 \log x + \cdots}} = 3$ pada persamaan di atas, sehingga diperoleh
$\begin{aligned} 1 + ^2 \log x + 3 & = 9 \\ ^2 \log x & = 5 \\ x & = 2^5 \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\boxed{^{2x} \log 8 = ^{2(2^5)} \log 2^3 = \dfrac36 = \dfrac12}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 28
Nilai dari 
$$\sqrt{2015+2011\sqrt{2016+2012\sqrt{2017+2013\sqrt{2018+2014\sqrt{2019+2015\sqrt{2020+\cdots}}}}}}$$
adalah $\cdots$
A. $2013$                        D. $2016$
B. $2014$                        E. $2017$
C. $2015$

Penyelesaian

Perhatikanlah bahwa
$$\begin{aligned} 2013 & = \sqrt{2013^2} \\ & = \sqrt{4052169} \\ & = \sqrt{2015 + 4050154} \\ & = \sqrt{2015 + 2011(2014)} \\ & =\sqrt{2015 + 2011\sqrt{2014^2}} \\ & = \sqrt{2015 + 2011\sqrt{4056196}} \\ & = \sqrt{2015 + 2011\sqrt{2016+4054180}} \\ & = \sqrt{2015 + 2011\sqrt{2016+2012(2015)}}\\ & = \sqrt{2015 + 2011\sqrt{2016+2012\sqrt{2015^2}}} \\ & = \sqrt{2015 + 2011\sqrt{2016+2012\sqrt{4060225}}} \\ & = \sqrt{2015 + 2011\sqrt{2016+2012\sqrt{2017+4058208}}} \\ & = \sqrt{2015 + 2011\sqrt{2016+2012\sqrt{2017+2013(2016)}}}\\ & = \sqrt{2015 + 2011\sqrt{2016+2012\sqrt{2017+2013\sqrt{2016^2}}}}\\ & = \sqrt{2015 + 2011\sqrt{2016+2012\sqrt{2017+2013\sqrt{4064256}}}}\\ & = \sqrt{2015 + 2011\sqrt{2016+2012\sqrt{2017+2013\sqrt{2018+4062238}}}} \\ & = \sqrt{2015 + 2011\sqrt{2016+2012\sqrt{2017+2013\sqrt{2018+2014(2017)}}}} \\ & = \sqrt{2015 + 2011\sqrt{2016+2012\sqrt{2017+2013\sqrt{2018+2014\sqrt{2017^2}}}}} \\ & = \sqrt{2015 + 2011\sqrt{2016+2012\sqrt{2017+2013\sqrt{2018+2014\sqrt{4068289}}}}} \\ & = \sqrt{2015 + 2011\sqrt{2016+2012\sqrt{2017+2013\sqrt{2018+2014\sqrt{2019+4066270}}}}} \\ & = \sqrt{2015 + 2011\sqrt{2016+2012\sqrt{2017+2013\sqrt{2018+2014\sqrt{2019+2015(2018)}}}}} \\ & = \sqrt{2015 + 2011\sqrt{2016+2012\sqrt{2017+2013\sqrt{2018+2014\sqrt{2019+2015\sqrt{2018^2}}}}}} \\ & =\sqrt{2015 + 2011\sqrt{2016+2012\sqrt{2017+2013\sqrt{2018+2014\sqrt{2019+2015\sqrt{2018^2}}}}}} \\ & = \cdots \cdots \end{aligned}$$
Apabila dilanjutkan, kita telah dapat mendeduksi dengan melihat pola yang terbentuk bahwa
$$\boxed{2013 = \sqrt{2015+2011\sqrt{2016+2012\sqrt{2017+2013\sqrt{2018+2014\sqrt{2019+2015\sqrt{2020+\cdots}}}}}}}$$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 29
Buktikan pernyataan berikut.
$3^{\sqrt{^3 \log 7}} = 7^{\sqrt{^7 \log 3}}$

Penyelesaian

Gunakan definisi dan sifat logaritma berikut.
$\boxed{\begin{aligned} a^b & = c \iff ^a \log c = b \\ ^a \log b & = \dfrac{1}{^b \log a} \end{aligned}}$
Pembuktian dari ruas kiri.

Misalkan $^3 \log 7 = p$, sehingga
$7 = 3^p \Leftrightarrow 7^{\frac{1}{p}} = 3$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} 3^{\sqrt{^3 \log 7}} & = \left(7^{\frac{1}{p}}\right)^{\sqrt{p}} \\ & = 7^{\frac{\sqrt{p}}{p}} \\ &= 7^{\frac{1}{\sqrt{p}}} \\ & = 7^{\frac{1}{\sqrt{^3 \log 7}}} \\ & = 7^{\sqrt{^7 \log 3}} \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa
$\boxed{3^{\sqrt{^3 \log 7}} = 7^{\sqrt{^7 \log 3}}}$

[collapse]

CategoriesEksponen dan LogaritmaTags, , , , , , , ,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *