Soal dan Pembahasan – Persamaan Eksponen

       Persamaan eksponen sebelumnya telah dibahas soal-soal dasarnya pada tautan berikut. 

Baca : Soal dan Pembahasan – Persamaan Pangkat (Eksponen) Sederhana

      Dalam bab yang sama, persamaan eksponen tingkat lanjut akan terlihat lebih kompleks. Oleh karena itu, persamaan eksponen tingkat dasar harus dikuasai terlebih dahulu. Sifat-sifat pangkat, akar, dan logaritma juga semestinya dipahami. Pada bagian ini, beberapa persamaan eksponen dapat diubah bentuknya menjadi persamaan kuadrat dengan melakukan pemisalan. Ciri-cirinya persamaan tersebut memuat $3$ suku dan satu sukunya adalah konstan (tidak memuat variabel). Ini merupakan salah satu cara yang sering dipakai untuk menyelesaikan persamaan eksponen. Adapun 2 ketentuan penyelesaian persamaan eksponen tingkat lanjut adalah sebagai berikut.

Ketentuan 1

Jika $f(x)^{g(x)} = 1$, maka ada $3$ kemungkinan, yaitu:
  1. $f(x) = 1$
  2. $f(x) = -1$, dengan syarat $g(x)$ genap
  3. $g(x) = 0$, dengan syarat $f(x) \neq 0$.

Ketentuan 2

Jika $f(x)^{g(x)} = f(x)^{h(x)}$, maka ada $4$ kemungkinan, yaitu:

  1. $f(x) = g(x)$
  2. $f(x) = 1$
  3. $f(x) = -1$, dengan syarat $g(x)$ dan $h(x)$ kedua-duanya ganjil atau kedua-duanya genap (memiliki paritas yang sama).
  4. $f(x) = 0$, dengan syarat $g(x)$ dan $h(x)$ keduanya positif.

Berikut ini juga disertakan sifat-sifat pangkat, akar, dan logaritma yang kerap dipakai guna menyelesaikan persamaan eksponen.

Sifat-sifat Pangkat

$$\begin{aligned} a^p & = \underbrace{a \times a \times a \times \cdots \times a}_{\text{sebanyak}~p} && (\text{sifat}~1) \\ a^p \times a^q & = a^{p+q} && (\text{sifat}~2) \\ a^p \div a^q & = a^{p-q} && (\text{sifat}~3) \\ (a^p)^q & = a^{pq} && (\text{sifat}~4) \\ a^p & = \dfrac{1}{a^{-p}},~\text{jika}~a \neq 0 && (\text{sifat}~5) \\ (a \times b)^p & = a^p \times b^p && (\text{sifat}~6) \\ \left(\dfrac{a}{b}\right)^p & = \dfrac{a^p}{b^p} && (\text{sifat}~7) \\ a^0 & = 1,~\text{jika}~a \neq 0 && (\text{sifat}~8) \\ 0^b & = 0,~\text{jika}~b > 0 && (\text{sifat}~9) \end{aligned}$$

Sifat-sifat Akar

$$\begin{aligned} \sqrt{a} \times \sqrt{b} & = \sqrt{ab} && (\text{sifat}~1) \\ \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} & = \sqrt{\dfrac{a}{b}},~\text{jika}~a \geq 0, b > 0 && (\text{sifat}~2) \\ \sqrt[n]{a^m} & = a^{\frac{m}{n}} && (\text{sifat}~3) \\ a\sqrt{c} + b\sqrt{c} & = (a+b)\sqrt{c} && (\text{sifat}~4) \\ a\sqrt{c}- b\sqrt{c} & = (a-b)\sqrt{c} && (\text{sifat}~5) \\ \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} & = \sqrt[mn]{a} && (\text{sifat}~6) \\ \sqrt{(a+b) \pm 2\sqrt{ab}} & = \sqrt{a} \pm \sqrt{b},~\text{jika}~a > b && (\text{sifat}~7) \end{aligned}$$

Sifat-sifat Logaritma

Perhatikan sebelumnya bahwa syarat $^p \log q$ terdefinisi adalah $p, q > 0$.
$$\begin{aligned} ^a \log a & = 1 && (\text{sifat}~1) \\ ^a \log b^c & = c \times ^a \log b && (\text{sifat}~2) \\ ^{a^d} \log b & = \dfrac{1}{d} \times ^a \log b && (\text{sifat}~3) \\ ^a \log (b \times c) & = ^a \log b + ^a \log c && (\text{sifat}~4) \\ ^a \log (b \div c) & = ^a \log b-^a \log c && (\text{sifat}~5) \\ ^a \log b \times ^b \log c & = ^a \log c && (\text{sifat}~6) \\ ^a \log b & = \dfrac{1}{^b \log a} && (\text{sifat}~7) \\ ^a \log b & = \dfrac{^c \log b}{^c \log a},~\text{untuk}~c > 0 && (\text{sifat}~8) \\ a^{^a \log b} & = b && (\text{sifat}~9) \end{aligned}$$

Berikut ini merupakan soal dan pembahasan mengenai persamaan eksponen yang dipelajari saat kelas X Matematika Peminatan.

Quote by Fiersa Besari

Enggak apa-apa. Namanya juga hidup, pasti ada masalah. Dipikirin sampai larut juga enggak akan mengubah keadaan. Istirahat dulu. Nanti cari cara lagi.

 Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1
Akar-akar persamaan $6^{x^2-x} = 2^{x+1}$ adalah $x_1$ dan $x_2$. Nilai dari $x_1+x_2$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1$                               D. $^6 \log 24$
B. $^6 \log 8$                       E. $^{12} \log 6$
C. $^6 \log 12$

Pembahasan

Dari persamaan yang diberikan, logaritmakan kedua ruas, lalu gunakan sifat logaritma dan eksponen untuk mencari nilai $x$.
$$\begin{aligned} \log 6^{x^2-x} & = \log 2^{x+1} \\ (x^2-x) \log 6 & = (x+1) \log 2 \\ x^2 \log 6-x \log 6 & = x \log 2 + \log 2 \\ x^2 \log 6-x \log 6-x \log 2-\log 2 & = 0 \\ (\log 6)x^2-(\log 6 + \log 2)x-\log 2 & = 0 \\ (\log 6)x^2-(\log 12)x-\log 2 & = 0 \end{aligned}$$Persamaan terakhir dapat dipandang sebagai persamaan kuadrat dengan koefisien $a = \log 6$, $b= -\log 12$, dan $c = -\log 2$.
Karena akarnya $x_1$ dan $x_2$, maka berdasarkan rumus jumlah akar, diperoleh
$x_1+x_2 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-\log 12}{\log 6} = ^6 \log 12$
Jadi, nilai dari $\boxed{x_1+x_2=^6 \log 12}$
(Jawaban C)

[collapse]

Baca : Soal dan Pembahasan – Fungsi Eksponen (Pangkat)

Soal Nomor 2
Nilai $x$ yang memenuhi $8^{x+1} = 24^{x-1}$ adalah $\cdots \cdot$

A. $1+6 \cdot ^2 \log 3$
B. $1+4 \cdot ^2 \log 3$
C. $1+6 \cdot ^3 \log 2$
D. $1+4 \cdot ^3 \log 2$
E. $1+6 \cdot ^5 \log 2$

Pembahasan

Dari persamaan yang diberikan, logaritmakan kedua ruas, lalu gunakan sifat logaritma dan eksponen untuk mencari nilai $x$.
$$\begin{aligned} \log 8^{x+1} & = \log 24^{x-1} \\ (x+1) \log 8 & = (x-1) \log 24 \\ x \log 8 + \log 8 & = x \log 24-\log 24 \\ x \log 8-x \log 24 & = -(\log 24 + \log 8) \\ x(\log 8-\log 24) & = -(\log 24+ \log 8) \\ x & = \dfrac{-(\log 24+\log 8)}{\log 8-\log 24} \\ & = \dfrac{\log 8 + \log 3+ \log 8}{\log 24-\log 8} \\ & = \dfrac{2 \log 8 + \log 3}{\log 3} \\ & = \dfrac{2 \log 2^3 + \log 3}{\log 3} \\ & = \dfrac{6 \log 2 + \log 3}{\log 3} \\ & = \dfrac{6 \log 2}{\log 3} + \dfrac{\log 3}{\log 3} \\ & = 1 + 6 \cdot ^3 \log 2 \end{aligned}$$Jadi, nilai $x$ yang memenuhi adalah $\boxed{1 + 6 \cdot ^3 \log 2}$
(Jawaban C)

[collapse]

Baca : Soal dan Pembahasan – Pangkat, Akar, dan Logaritma

Soal Nomor 3
Jika $t$ adalah bilangan real positif yang memenuhi $5^{t^4-1} = 3^{t^4-1}$, maka nilai dari $t^{2020}$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $-1$                    C. $1$                     E $2020$
B. $0$                       D. $2^{2020}$

Pembahasan

Persamaan $5^{t^4-1} = 3^{t^4-1}$ memuat basis yang berbeda, namun pangkatnya sama. Oleh karena itu, persamaan ini akan bernilai benar hanya pada saat pangkatnya bernilai $0$.
$\begin{aligned} t^4-1 & = 0 \\ (t^2+1)(t^2-1) & = 0 \\ (t^2+1)(t+1)(t-1) & = 0 \end{aligned}$
Persamaan $t^2+1 = 0$ tidak memiliki penyelesaian real (karena diskriminannya negatif). Oleh karena itu, kita hanya memperoleh dua nilai $t$, yaitu $t = -1$ atau $t = 1$, tetapi karena $t$ adalah bilangan real positif, maka $\boxed{t = 1}$.
Dengan demikian, nilai dari $\boxed{t^{2020} = 1^{2020} = 1}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 4
Himpunan penyelesaian dari $(2x-3)^{x+1} = 1$ adalah $\{x_1, x_2, x_3\}$. Nilai dari $x_1+x_2+x_3$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-1$                    C. $1$                     E. $4$
B. $0$                       D. $2$

Pembahasan

Persamaan di atas berbentuk $f(x)^{g(x)} = 1$ dengan $f(x) = 2x-3$ dan $g(x) = x+1$.
Berdasarkan Ketentuan 1 Persamaan Eksponen di atas, akan ada $3$ kemungkinan yang harus diselidiki sebagai penyelesaian persamaan tersebut.
Kemungkinan 1:
$\begin{aligned} f(x) & = 1 \\ 2x-3 & = 1 \\ 2x & = 4 \\ x & = 2~~(\color{blue}{\checkmark}) \end{aligned}$
Kemungkinan 2:
$\begin{aligned} f(x) & = -1 \\ 2x-3 & = -1 \\ 2x & = 2 \\ x & = 1~~(\color{blue}{\checkmark}) \end{aligned}$
Substitusi $x = 1$ pada $g(x) = x+1$ menghasilkan $g(1) = 1+1=2$. Karena hasilnya genap, maka nilai $x=1$ memenuhi.
Kemungkinan 3:
$\begin{aligned} g(x) & = 0 \\ x+1 & = 0 \\ x & = -1~~(\color{blue}{\checkmark}) \end{aligned}$
Substitusi $x = -1$ pada $f(x) = 2x-3$ menghasilkan $f(-1) = 2(-1) -3 = -5$. Karena hasilnya bukan nol, maka nilai $x=-1$ memenuhi.
Jadi, himpunan penyelesaian persamaan eksponen tersebut adalah $\{-1, 1, 2\}$, sehingga $\boxed{x_1+x_2+x_3 = -1+1+2 = 2}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 5
Jumlah semua nilai real $x$ positif yang memenuhi persamaan $x^{x^2-5x+6} = 1$ adalah $\cdots \cdot$
A. $4$                      C. $6$                   E. $9$
B. $5$                      D. $7$

Pembahasan

Persamaan di atas berbentuk $f(x)^{g(x)} = 1$ dengan $f(x) = x$ dan $g(x) = x^2-5x+6$. Berdasarkan Ketentuan 1 Persamaan Eksponen di atas, akan ada $3$ kemungkinan yang harus diselidiki sebagai penyelesaian persamaan tersebut.
Kemungkinan 1:
$\begin{aligned} f(x) & = 1 \\ \Rightarrow x & = 1~~(\color{blue}{\checkmark}) \end{aligned}$
Kemungkinan 2:
$\begin{aligned} f(x) & = -1 \\ \Rightarrow x & = -1~~(\color{blue}{\checkmark}) \end{aligned}$
Substitusi $x = -1$ pada $g(x) = x^2-5x+6$ menghasilkan $g(-1) = (-1)^2-5(-1)+6$ $= 1+5+6 = 12$. Karena hasilnya genap, maka nilai $x = -1$ memenuhi.
Kemungkinan 3:
$\begin{aligned} g(x) & = 0 \\ x^2-5x+6 & = 0 \\ (x-2)(x-3) & = 0 \\ x = 2~\text{atau}&~x = 3 \end{aligned}$
Kedua nilai $x$ ini tidak membuat $f(x) = x$ bernilai $0$ sehingga memenuhi persamaan.
Kita peroleh $4$ nilai $x$, yaitu $\{-1, \color{blue}{1, 2, 3}\}$. Untuk itu, jumlah semua nilai real $x$ positif sama dengan $\boxed{1+2+3 = 6}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 6
Himpunan penyelesaian persamaan $(x-4)^{4x} = (x-4)^{1+3x}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{1, 3, 4\}$                       D. $\{3, 4, 5\}$
B. $\{1, 3, 5\}$                       E. $\{4, 5\}$
C. $\{1, 3, 4, 5\}$

Pembahasan

Persamaan di atas berbentuk $f(x)^{g(x)} = f(x)^{h(x)}$ dengan $f(x) = x-4$, $g(x) = 4x$, dan $h(x) = 1+3x$.
Berdasarkan Ketentuan 2 Persamaan Eksponen di atas, akan ada $4$ kemungkinan yang harus diselidiki sebagai penyelesaian persamaan tersebut.
Kemungkinan 1:
$\begin{aligned} g(x) & = h(x) \\ 4x & = 1+3x \\ x & = 1~~(\color{blue}{\checkmark}) \end{aligned}$
Kemungkinan 2:
$\begin{aligned} f(x) & = 1 \\ x-4 & = 1\\ x & = 5~~(\color{blue}{\checkmark}) \end{aligned}$
Kemungkinan 3:
$\begin{aligned} f(x) & = -1 \\ x-4 & = -1 \\ x & = 3~~(\color{blue}{\checkmark}) \end{aligned}$
Nilai $x = 3$ ini memenuhi karena membuat $g(x)$ dan $h(x)$ menjadi sama-sama genap, yaitu $g(3) = 4(3) = 12$ dan $h(3) = 1 + 3(3) = 10$.
Kemungkinan 4:
$\begin{aligned} f(x) & = 0 \\ x-4 & = 0 \\ x & = 4~~(\color{blue}{\checkmark}) \end{aligned}$
Nilai $x = 4$ ini memenuhi karena membuat $g(x)$ dan $h(x)$ menjadi sama-sama positif, yaitu $g(4) = 4(4) = +16$ dan $h(4) = 1 + 3(4) = +13$.
Jadi, himpunan penyelesaian persamaan eksponen tersebut adalah $\boxed{\{1, 3, 4, 5\}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 7
Jika $3^x = 7^y = 63^z$, maka pernyataan berikut yang pasti benar adalah $\cdots \cdot$
A. $xz = yz + 2x$
B. $xy = 2yz + xz$
C. $x = y$
D. $z^2 = x^2+2xyz$
E. $xy = xz = yz$

Pembahasan

Dari persamaan $3^x = 7^y$, tarik logaritma pada kedua ruasnya.
$$\begin{aligned} \log 3^x & = \log 7^y \\ x \log 3 & = y \log 7 \\ \dfrac{x}{y} & = \dfrac{\log 7}{\log 3} && (\cdots 1) \end{aligned}$$Gunakan cara yang sama untuk persamaan $3^x = 63^z$.
$$\begin{aligned} \log 3^x & = \log 63^z \\ x \log 3 & = z \log 63 \\ x \log 3 & = z \log (3^2 \cdot 7) \\ x \log 3 & = 2z \log 3 + z \log 7 \\ (x-2z) \log 3 & = z \log 7 \\ \dfrac{x-2z}{z} & = \dfrac{\log 7}{\log 3} && (\cdots 2) \end{aligned}$$Dari persamaan $(1)$ dan $(2)$, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{x}{y} & = \dfrac{x-2z}{z} \\ xz & = y(x-2z) \\ xz & = xy-2yz \\ xy & = xz+2yz \end{aligned}$
Jadi, pernyataan yang pasti benar adalah $\boxed{xy=2yz+xz}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 8
Jika $3^{x+1} + 6(3^{x-2}) = 3^x + \dfrac{10}{3}$, maka nilai $4x^2-1$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0$                      C. $2$                    E. $5$
B. $1$                      D. $3$

Pembahasan

Munculkan bentuk $3^x$ pada suku-suku yang memuat variabel, lalu selesaikan dengan menggunakan aljabar biasa.
$$\begin{aligned} 3^{x+1} + 6(3^{x-2}) & = 3^x + \dfrac{10}{3} \\ (3^x \cdot 3) + 6(3^x \cdot 3^{-2}) & = 3^x + \dfrac{10}{3} \\ (3 \cdot 3^x) + 6\left(3^x \cdot \dfrac19\right) & = 3^x + \dfrac{10}{3} \\ (3 \cdot 3^x) + 6 \cdot 3^x + \dfrac23 & = 3^x + \dfrac{10}{3} \\ (3 \cdot 3^x) + 6 \cdot 3^x-3^x & = \dfrac{10}{3}-\dfrac23 \\ (3+6-1) \cdot 3^x & = \dfrac83 \\ 8 \cdot 3^x & = \dfrac83 \\ 3^x & = \dfrac13 = 3^{-1} \\ x & = -1 \end{aligned}$$Dengan demikian, nilai dari $\boxed{4x^2-1=4(-1)^2-1=3}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 9
Akar-akar persamaan $9^{x+1}-10 \cdot 3^x + 1 = 0$ adalah $x_1$ dan $x_2$. Jika $x_1 > x_2$, maka nilai dari $x_1-x_2 = \cdots \cdot$
A. $0$                    C. $2$                   E. $6$
B. $1$                    D. $3$

Pembahasan

Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} 9^{x+1}-10 \cdot 3^x + 1 &= 0 \\ 9^x \cdot 9-10 \cdot 3^x + 1 & = 0 \\ (3^2)^x \cdot 9-10 \cdot 3^x + 1 & = 0 \\ (\color{red}{3^x})^2 \cdot 9-10 \cdot \color{red}{3^x} + 1 & = 0 \end{aligned}$
Misalkan $a = 3^x$, maka kita peroleh persamaan kuadrat.
$\begin{aligned} 9a^2-10a+1 &= 0 \\ (9a-1)(a-1) & = 0 \\ a = \dfrac19~\text{atau}~a & = 1 \end{aligned}$
Untuk $a = \dfrac19$, diperoleh
$3^x = \dfrac19 = 3^{-2} \Rightarrow x = -2$
Untuk $a = 1$, diperoleh
$3^x = 1 = 3^0 \Rightarrow x = 0$
Karena $x_1 > x_2$, maka $x_1 = 0$ dan $x_2 = -2$, sehingga $\boxed{x_1-x_2=0-(-2)=2}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 10
Nilai-nilai $x$ yang memenuhi persamaan $2^{2x}-3 \cdot 2^{x+1} + 8 = 0$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x = 1$ atau $x = 2$
B. $x = -1$ atau $x = 2$
C. $x = -2$ atau $x = -1$
D. $x = -2$ atau $x = 1$
E. $x = 1$ saja

Pembahasan

Persamaan tersebut dapat diubah bentuknya menjadi persamaan kuadrat dengan terlebih dahulu memunculkan bentuk $2^x$ seperti berikut.
$\begin{aligned} 2^{2x}-3 \cdot 2^{x+1} + 8 & = 0 \\ (2^x)^2 -3 \cdot (2^x \cdot 2) + 8 & = 0 \\ (\color{red}{2^x})^2-6 \cdot \color{red}{2^x} + 8 & = 0 \end{aligned}$
Misalkan $\color{red}{a = 2^x}$, maka kita peroleh sebuah persamaan kuadrat dan dapat diselesaikan menggunakan pemfaktoran.
$\begin{aligned} \color{red}{a}^2-6\color{red}{a}+8 & = 0 \\ (a-4)(a-2) & = 0 \\ a = 4~\text{atau}~&a = 2 \end{aligned}$
Untuk $a =4$, diperoleh $2^x = 4 \Rightarrow x = 2$.
Untuk $a =2$, diperoleh $2^x = 2 \Rightarrow x = 1$.
Jadi, nilai-nilai $x$ yang memenuhi persamaan eksponen tersebut adalah $\boxed{x = 1}$ atau $\boxed{x = 2}$
(Jawaban A)

[collapse]

Baca : Soal dan Pembahasan – Persamaan Kuadrat

Soal Nomor 11
Jumlah akar-akar persamaan $5^{2x+1}-26 \cdot 5^{x} + 5 =0$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-\dfrac{26}{5}$                 C. $0$                     E. $\dfrac{26}{5}$
B. $-1$                     D. $1$

Pembahasan

Persamaan tersebut dapat diubah bentuknya menjadi persamaan kuadrat dengan terlebih dahulu memunculkan bentuk $5^x$ seperti berikut.
$\begin{aligned} 5^{2x+1}-26 \cdot 5^{x} + 5 & =0 \\ (5^{2x} \cdot 5) -26 \cdot 5^x + 5 & = 0 \\ 5 \cdot (\color{red}{5^x})^2-26 \cdot \color{red}{5^x} + 5 & = 0 \end{aligned}$
Misalkan $\color{red}{a = 5^x}$, maka kita peroleh sebuah persamaan kuadrat dan dapat diselesaikan menggunakan pemfaktoran.
$\begin{aligned} 5\color{red}{a}^2-26\color{red}{a}+5& = 0 \\ (5a-1)(a-5) & = 0 \\ a = \dfrac15~\text{atau}~&a = 5 \end{aligned}$
Untuk $a =\dfrac15$, diperoleh $5^x = \dfrac15 \Rightarrow x = -1$.
Untuk $a =5$, diperoleh $5^x = 5 \Rightarrow x = 1$.
Jadi, didapat $x_1 = -1$ dan $x_2 = 1$ (terbalik tidak masalah karena tidak mengubah hasil akhir nantinya), sehingga jumlah akarnya adalah $\boxed{x_1+x_2 = -1+1=0}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 12
Akar-akar persamaan $3^{2x+1}-28 \cdot 3^{x} + 9 =0$ adalah $x_1$ dan $x_2$. Jika $x_1>x_2$, maka nilai dari $3x_1-x_2=\cdots \cdot$
A. $-5$                     C. $4$                    E. $7$
B. $-1$                     D. $5$

Pembahasan

Persamaan tersebut dapat diubah bentuknya menjadi persamaan kuadrat dengan terlebih dahulu memunculkan bentuk $3^x$ seperti berikut.
$\begin{aligned} 3^{2x+1}-28 \cdot 3^{x} + 9 & =0 \\ (3^{2x} \cdot 3) -28 \cdot 3^x + 9 & = 0 \\ 3 \cdot (\color{red}{3^x})^2-28 \cdot \color{red}{3^x} + 9 & = 0 \end{aligned}$
Misalkan $\color{red}{a = 3^x}$, maka kita peroleh sebuah persamaan kuadrat dan dapat diselesaikan menggunakan pemfaktoran.
$\begin{aligned} 3\color{red}{a}^2-28\color{red}{a}+9& = 0 \\ (3a-1)(a-9) & = 0 \\ a = \dfrac13~\text{atau}~&a = 9 \end{aligned}$
Untuk $a =\dfrac13$, diperoleh $3^x = \dfrac13 \Rightarrow x = -1$.
Untuk $a =9$, diperoleh $3^x = 9 \Rightarrow x = 2$.
Karena $x_1 > x_2$, maka $x_1 = 2$ dan $x_2 = -1$, sehingga $\boxed{3x_1-x_2 = 3(2)-(-1)=7}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 13
Bila $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar persamaan $2^{2x}-6 \cdot 2^{x+1} + 32 =0$ dengan $x_1>x_2$, maka nilai $2x_1+x_2=\cdots \cdot$
A. $\dfrac14$                   C. $4$                     E. $16$
B. $\dfrac12$                   D. $8$

Pembahasan

Persamaan tersebut dapat diubah bentuknya menjadi persamaan kuadrat dengan terlebih dahulu memunculkan bentuk $2^x$ seperti berikut.
$\begin{aligned} 2^{2x}-6 \cdot 2^{x+1} + 32 & = 0 \\ (2^x)^2 -6 \cdot (2^x \cdot 2) + 32 & = 0 \\ (\color{red}{2^x})^2-12 \cdot \color{red}{2^x} + 32 & = 0 \end{aligned}$
Misalkan $\color{red}{a = 2^x}$, maka kita peroleh sebuah persamaan kuadrat dan dapat diselesaikan menggunakan pemfaktoran.
$\begin{aligned} \color{red}{a}^2-12\color{red}{a}+32 & = 0 \\ (a-4)(a-8) & = 0 \\ a = 4~\text{atau}~&a = 8 \end{aligned}$
Untuk $a =4$, diperoleh $2^x = 4 \Rightarrow x = 2$.
Untuk $a =8$, diperoleh $2^x = 8 \Rightarrow x = 3$.
Karena $x_1 > x_2$, maka $x_1 = 3$ dan $x_2 = 2$, sehingga $\boxed{2x_1+x_2 = 2(3)+2=8}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 14
Bila $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar persamaan $3^{4-x}+3^x-30=0$, maka nilai $x_1+x_2=\cdots \cdot$
A. $1$                               D. $4$
B. $^3 \log 10$                     E. $^3 \log 30$
C. $3$

Pembahasan

Persamaan tersebut dapat diubah bentuknya menjadi persamaan kuadrat dengan terlebih dahulu memunculkan bentuk $3^x$ seperti berikut.
$\begin{aligned} 3^{4-x}+3^x-30 & =0 \\ (3^4 \cdot 3^{-x}) + 3^x-30 & = 0 \\ 81 \cdot 3^{-x} + 3^x-30 & = 0 \\ \text{Kalikan kedua ruas}~&\text{dengan}~3^x \\ (81 \cdot 3^0) + (3^x)^2-30 \cdot 3^x & = 0 \\ (\color{red}{3^x})^2-30 \cdot \color{red}{3^x} + 81 & = 0 \end{aligned}$
Misalkan $\color{red}{a = 3^x}$, maka kita peroleh sebuah persamaan kuadrat dan dapat diselesaikan menggunakan pemfaktoran.
$\begin{aligned} \color{red}{a}^2-30\color{red}{a}+81& = 0 \\ (a-27)(a-3) & = 0 \\ a = 27~\text{atau}~&a = 3 \end{aligned}$
Untuk $a =27$, diperoleh $3^x = 27 \Rightarrow x = 3$.
Untuk $a =3$, diperoleh $3^x = 3 \Rightarrow x = 1$.
Jadi, kita peroleh $x_1 = 3$ dan $x_2 = 1$ (terbalik tidak menjadi masalah karena tidak mengubah hasil akhir nantinya), sehingga $\boxed{x_1+x_2 = 3+1=4}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 15
Jika $x_0$ adalah penyelesaian bulat dari $3 \cdot 10^{2x}-\dfrac{7}{10} \cdot 10^{x+1}+4 = 0$, maka nilai dari $x_0^{1000}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-1$                      D. $1000$
B. $0$                         E. $10^{1000}$
C. $1$

Pembahasan

Persamaan tersebut dapat diubah bentuknya menjadi persamaan kuadrat dengan terlebih dahulu memunculkan bentuk $10^x$ seperti berikut.
$\begin{aligned} 3 \cdot 10^{2x}-\dfrac{7}{10} \cdot 10^{x+1}+4 & = 0 \\ 3 \cdot (10^x)^2 -\dfrac{7}{\cancel{10}} \cdot (10^x \cdot \cancel{10}) + 4 & = 0 \\ 3 \cdot (\color{red}{10^x})^2-7 \cdot \color{red}{10^x} + 4 & = 0 \end{aligned}$
Misalkan $\color{red}{a = 10^x}$, maka kita peroleh sebuah persamaan kuadrat dan dapat diselesaikan menggunakan pemfaktoran.
$\begin{aligned} 3\color{red}{a}^2-7\color{red}{a}+4& = 0 \\ (3a-4)(a-1) & = 0 \\ a = \dfrac43~\text{atau}~&a = 1 \end{aligned}$
Untuk $a =\dfrac43$, diperoleh $10^x = \dfrac43 \Rightarrow x = \log \dfrac43$.
Untuk $a =1$, diperoleh $10^x = 1 \Rightarrow x = 0$.
Karena $x_0$ bulat, maka haruslah $x_0 = 0$, sehingga nilai dari $\boxed{x_0^{1000} = 0^{1000} = 0}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 16
Diketahui $3^{\frac{x}{5}} + 3^{\frac{x-10}{10}} = 84$. Misalkan banyak akar dari persamaan tersebut adalah $A$ dan jumlah akar-akarnya $B$. Nilai $A+B=\cdots \cdot$
A. $0$                    C. $12$                   E. $23$
B. $5$                    D. $21$

Pembahasan

Munculkan bentuk $3^{\frac{x}{10}}$ pada suku-suku yang memuat variabel, lalu lakukan pemisalan, dan selesaikan persamaan kuadrat yang terbentuk.
$$\begin{aligned} 3^{\frac{x}{5}} + 3^{\frac{x-10}{10}} & = 84 \\ 3^{\frac{x}{5}} + 3^{\frac{x}{10}-1} & = 84 \\ (3^{\frac{x}{10}})^2 + \dfrac13 \cdot 3^{\frac{x}{10}}-84 & = 0 \\ a^2+\dfrac13a-84 & = 0 && (\text{Misal}~a = 3^{\frac{x}{10}}) \\ 3a^2+a-252 & = 0 \\ (3a + 28)(a-9) & = 0 \end{aligned}$$Diperoleh $a = -\dfrac{28}{3}$ atau $a = 9$.
Substitusi kembali $a = 3^{\frac{x}{10}}$.
Kasus 1:
$3^{\frac{x}{10}} = -\dfrac{28}{3}~~(\color{red}{\text{X}})$
Tidak memiliki penyelesaian untuk $x$.
Kasus 2:
$\begin{aligned} 3^{\frac{x}{10}} & = 9 = 3^2 \\ \dfrac{x}{10} & = 2 \\ x & = 20 \end{aligned}$
Jadi, hanya ada $1$ akar penyelesaian, yaitu $x = 20$. Ini berarti, nilai $A = 1$ dan $B = 20$, sehingga $\boxed{A+B=1+20=21}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 17
Nilai $x$ yang menjadi penyelesaian persamaan $9^{\sqrt{x}+1} + 3^{1-2\sqrt{x}} = 28$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac18$                    C. $\dfrac12$                  E. $2$
B. $\dfrac14$                    D. $1$

Pembahasan

Munculkan bentuk $3^{\sqrt{x}}$ pada suku-suku yang memuat variabel, lalu lakukan pemisalan.
$\begin{aligned} 9^{\sqrt{x}+1} + 3^{1-2\sqrt{x}} & = 28 \\ 3^{2(\sqrt{x} + 1)} + 3^{1-2\sqrt{x}}-28 & = 0 \\ 3^{2\sqrt{x}} \cdot 3^2 + 3 \cdot 3^{-2\sqrt{x}}-28 & = 0 \\ 9 \cdot \color{blue}{3^{2\sqrt{x}}} + 3 \cdot (\color{blue}{3^{2\sqrt{x}}})^{-1}-28 & = 0 \end{aligned}$
Misalkan $a = 3^{2\sqrt{x}}$, maka kita peroleh
$\begin{aligned} 9a+3a^{-1}-28 & = 0 \\ \text{Kalikan kedua ruas}&~\text{dengan}~a \\ 9a^2+3-28a & = 0 \\ 9a^2-28a+3 & = 0 \\ (9a-1)(a-3) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $a = \dfrac19$ atau $a = 3$. Substitusi balik $a = 3^{2\sqrt{x}}$.
Kasus 1:
$\begin{aligned} 3^{2\sqrt{x}} & = \dfrac19 \\ 3^{2\sqrt{x}} & = 3^{-2} \\ 2\sqrt{x} & = -2 \\ \sqrt{x} & = -1~~(\color{red}{\text{X}}) \end{aligned}$
Tidak memiliki penyelesaian untuk $x$.
Kasus 2:
$\begin{aligned} 3^{2\sqrt{x}} & = 3 \\ 2\sqrt{x} & = 1 \\ \sqrt{x} & = \dfrac12 \\ x & = \dfrac14~~(\color{blue}{\checkmark}) \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ yang menjadi penyelesaian persamaan itu adalah $\boxed{\dfrac14}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 18
Panjang sisi miring suatu segitiga siku-siku adalah $2^{x+2}$. Jika panjang dua sisi lainnya adalah $4$ dan $2^{2x+1}$, maka nilai $x$ yang memenuhi adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac18$                    C. $\dfrac12$                   E. $2$
B. $\dfrac14$                    D. $1$

Pembahasan

Karena segitiga tersebut siku-siku, maka hubungan panjang ketiga sisinya dapat ditentukan dengan menggunakan rumus Pythagoras.
$\begin{aligned} (4)^2 + (2^{2x+1})^2 & = (2^{x+2})^2 \\ 16 + 2^{4x+2} & = 2^{2x + 4} \\ 16 + 2^{4x} \cdot 2^2 & = 2^{2x} \cdot 2^4 \\ 16 + (\color{red}{2^{2x}})^2 \cdot 4 & = \color{red}{2^{2x}} \cdot 16 \end{aligned}$
Misalkan $a = 2^{2x}$, maka kita peroleh persamaan kuadrat.
$\begin{aligned} 16 + 4a^2 &= 16a \\ 4a^2-16a+16 & = 0 \\ \text{Bagi kedua ruas}&~\text{dengan}~4 \\ a^2-4a+4 & = 0 \\ (a-2)^2 & = 0 \\ a & = 2 \end{aligned}$
Untuk $a = 2$, diperoleh
$2^{2x} = 2 = 2^1 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x = \dfrac12$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi adalah $\boxed{\dfrac12}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 19
Himpunan penyelesaian dari persamaan $5^{1+\sqrt{x^2-4x-1}} + 5^{\frac{5+4x-x^2}{2+\sqrt{x^2-4x-1}}} = 126$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{0, 1, 5\}$                   D. $\{1, 5\}$
B. $\{-1, 1, 5\}$                  E. $\{-1, 0, 1\}$
C. $\{-1, 5\}$

Pembahasan

Munculkan bentuk $5^{\sqrt{x^2-4x-1}}$ pada tiap suku yang memuat variabel, lalu lakukan pemisalan.
$$\begin{aligned} 5^{1+\sqrt{x^2-4x-1}} + 5^{\frac{5+4x-x^2}{2+\sqrt{x^2-4x-1}}} & = 126 \\ 5 \cdot 5^{\sqrt{x^2-4x-1}} + 5^{\frac{5+4x-x^2}{2+\sqrt{x^2-4x-1}} \cdot \frac{2-\sqrt{x^2-4x-1}}{2-\sqrt{x^2-4x-1}}} & = 126 \\ 5 \cdot 5^{\sqrt{x^2-4x-1}} + 5^{\frac{(5+4x-x^2)(2-\sqrt{x^2-4x-1})}{4-(x^2-4x-1)}} & = 126 \\ 5 \cdot 5^{\sqrt{x^2-4x-1}} + 5^{\frac{\cancel{(5+4x-x^2)}(2-\sqrt{x^2-4x-1})}{\cancel{5+4x-x^2}}} & = 126 \\ 5 \cdot 5^{\sqrt{x^2-4x-1}} + 5^{2-\sqrt{x^2-4x-1}} & = 126 \\ 5 \cdot 5^{\sqrt{x^2-4x-1}} + \dfrac{25}{5^{\sqrt{x^2-4x-1}}} & = 126 \end{aligned}$$Misalkan $a = 5^{\sqrt{x^2-4x-1}}$, maka kita peroleh
$\begin{aligned} 5a + \dfrac{25}{a}-126 & = 0 \\ 5a^2-126a+25 & = 0 && (\cdots \times a) \\ (5a-1)(a-25) & = 0 \\ a = \dfrac15~\text{atau}~&a = 25 \end{aligned}$
Substitusi balik $a$.
Kasus 1: $a = \dfrac15$
$\begin{aligned} 5^{\sqrt{x^2-4x-1}} & = \dfrac15 = 5^{-1} \\ \sqrt{x^2-4x-1} & = -1 \end{aligned}$
Persamaan terakhir tidak memiliki penyelesaian karena $\sqrt{x^2-4x-1} \geq 0$ untuk setiap bilangan real $x$.
Kasus 2: $a = 25$
$$\begin{aligned} 5^{\sqrt{x^2-4x-1}} & = 25 = 5^2 \\ \sqrt{x^2-4x-1} & = 2 \\ x^1-4x-1 & = 4 && (\text{Kuadratkan kedua ruas}) \\ x^2-4x-5 & = 0 \\ (x+1)(x-5) & = 0 \\ x = -1~\text{atau}~&x = 5 \end{aligned}$$Catatan: Nilai $x=1$ maupun $x=5$ memenuhi karena memenuhi syarat akar $x^2-4x-1 \geq 0$.
Jadi, himpunan penyelesaian persamaan eksponen tersebut adalah $\boxed{\{-1, 5\}}$

(Jawaban C)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Persamaan Irasional (Bentuk Akar)

Soal Nomor 20
Banyaknya penyelesaian real dari persamaan $$9^{x^2-3x+\frac12}+9^{x^2-3x} = -3-10(3^{x^2-3x})$$ adalah $\cdots \cdot$

A. $0$                      C. $2$                      E. $4$
B. $1$                      D. $3$

Pembahasan

Munculkan bentuk $3^{x^2-3x}$ pada suku-suku yang memuat variabel, lalu lakukan pemisalan untuk membentuk persamaan kuadrat dan selesaikan dengan pemfaktoran biasa.
$$\begin{aligned} 9^{x^2-3x+\frac12}+9^{x^2-3x} & = -3-10(3^{x^2-3x}) \\ (9^{x^2-3x} \cdot 9^{\frac12}) + (3^{x^2-3x})^2 +3+10(3^{x^2-3x}) & = 0 \\ 3 \cdot (3^{x^2-3x})^2 + (3{x^2-3x})^2 + 3 + 10(3^{x^2-3x}) & = 0 \end{aligned}$$Misalkan $a = 3^{x^2-3x}$. Kita akan peroleh
$\begin{aligned} 3a^2+a^2+3+10a & = 0 \\ 3a^2+10a+3 & = 0 \\ (3a+1)(a+3) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $a = -\dfrac13$ atau $a=-3$.
Substitusi kembali nilai $a$, diperoleh $3^{x^2-3x} = -\dfrac13$ atau $3^{x^2-3x} = -3$. Karena hasil pangkat seharusnya tidak mungkin negatif bila basisnya positif, maka keduanya tidak memiliki penyelesaian untuk $x$.
Jadi, banyaknya penyelesaian real dari persamaan eksponen tersebut adalah $\boxed{0}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 21
Jika $9^x + 9^{-x}-3^{2+x}+3^{2-x}+16=0$, maka nilai $3^x+3^{-x}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $3$ atau $4$                   D. $3$ atau $6$
B. $2$ atau $8$                   E. $4$ atau $5$
C. $2$ atau $7$

Pembahasan

Persamaan di atas dapat diubah bentuknya menggunakan sifat-sifat eksponen seperti berikut.
$$\begin{aligned} 9^x + 9^{-x}-3^{2+x}+3^{2-x}+16 & =0 \\ (3^2)^x + (3^2)^{-x}-(3^2 \cdot 3^x) + (3^2 \cdot 3^{-x}) + 16 & = 0 \\ 3^{2x} + 3^{-2x}-9 \cdot 3^x + 9 \cdot 3^{-x}+16 & = 0 \\ 3^{2x} + 3^{-2x} & = 9 \cdot 3^x-9 \cdot 3^{-x}-16 \\ 3^{2x} + 3^{-2x} & = 9(3^x-\cdot 3^{-x})-16 && (\cdots 1) \end{aligned}$$Sekarang, perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} (3^x-3^{-x})^2 & = 3^{2x}-2(3^x \cdot 3^{-x})+3^{-2x} \\ & = (3^{2x}+3^{-2x})-2(3^{0}) \\ & = (3^{2x}+3^{-2x})- 2 && (\cdots 2) \end{aligned}$$Dengan substitusi persamaan $(1)$ pada $(2)$, didapat
$$\begin{aligned} (3^x-3^{-x})^2 & = \color{red}{(9(3^x-\cdot 3^{-x})-16)}-2 \\ (3^x-3^{-x})^2 & = 9(3^x-\cdot 3^{-x})-18 \end{aligned}$$Misalkan $3^x-3^{-x} = a$, maka diperoleh persamaan kuadrat
$\begin{aligned}a^2 & =9a-18 \\ a^2-9a+18 &=0 \\ (a-6)(a-3) & =0 \end{aligned}$
Diperoleh $a=6$ atau $a=3$.
Ini menunjukkan bahwa nilai $3^x-3^{-x}$ adalah $3$ atau $6$.
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 22
Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar dari $9^{2x}+2 \cdot 3^{2x+1}+3^{2x+2}-3 \cdot 3^{2x+3}+c = 0$ serta $x_1+x_2 = 2 \cdot ^3 \log 2 + \dfrac12$, maka $c = \cdots \cdot$
A. $9\sqrt3$                 C. $16\sqrt3$                 E. $81$
B. $18$                     D. $48$

Pembahasan

Persamaan yang diberikan memuat bentuk eksponen $3^{2x}$ sehingga kita dapat melakukan pemisalan untuk memperoleh bentuk persamaan kuadrat.
$$\begin{aligned} 9^{2x}+2 \cdot 3^{2x+1}+3^{2x+2}-3 \cdot 3^{2x+3}+c & = 0 \\ (3^2)^{2x} + 2 \cdot (3^{2x} \cdot 3) + (3^{2x} \cdot 3^2)-3 \cdot (3^{2x} \cdot 3^3) + c & = 0 \\ (3^{2x})^2 + 6 \cdot 3^{2x} + 9 \cdot 3^{2x}-81 \cdot 3^{2x} + c & = 0 \end{aligned}$$Misalkan $3^{2x} = y$, sehingga diperoleh
$\begin{aligned} y^2 + 6y + 9y-81y + c & = 0 \\ y^2-66y+c & = 0 \end{aligned}$
Misalkan persamaan kuadrat ini memiliki akar $y_1$ dan $y_2$, sehingga hasil kali akarnya $y_1y_2 = \dfrac{c}{1} = c$.
Perhatikan bahwa $y_1 = 3^{2x_1}$ dan $y_2 = 3^{2x_2}$, serta diketahui $\color{red}{x_1+x_2 = 2 \cdot ^3 \log 2 + \dfrac12}$. Oleh karena itu, diperoleh
$\begin{aligned} c & = 3^{2x_1} \cdot 3^{2x_2} \\ & = 3^{2x_1+2x_2} \\ & = 3^{2(x_1+x_2)} \\ & = 3^{2\color{red}{(2 \cdot ^3 \log 2 + \dfrac12)}} \\ & = 3^{4 \cdot ^3 \log 2 + 1} \\ & = 3^{^3 \log 2^4 + ^3 \log 3} \\ & = 3^{^3 \log (2^4 \times 3)} \\ & = 3^{^3 \log 48} = 48 \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{c = 48}$
(Jawaban D)

[collapse]

Baca : Soal dan Pembahasan – Pangkat, Akar, dan Logaritma (Versi HOTS dan Olimpiade

Soal Nomor 23
Jumlah semua nilai real $x$ yang menjadi penyelesaian dari persamaan $$9^x-4 \cdot 3^x + 6-\dfrac{4}{3^x} + \dfrac{1}{9^x} = 0$$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-2$                    C. $0$                    E. $2$
B. $-1$                    D. $1$

Pembahasan

Alternatif 1:
$$\begin{aligned} 9^x-4 \cdot 3^x + 6-\dfrac{4}{3^x} + \dfrac{1}{9^x} & = 0 \\ (3^x)^2-4 \cdot 3^x + 6-\dfrac{4}{3^x} + \dfrac{1}{(3^x)^2} & = 0 \\ a^2-4a+6-\dfrac{4}{a}+\dfrac{1}{a^2} & = 0 && (\text{Misal}~a = 3^x) \\ \left(a^2+\dfrac{1}{a^2}\right)-4\left(a+\dfrac{1}{a}\right)+6 & = 0 \\ \left[\left(a+\dfrac{1}{a}\right)^2-2\right]-4\left(a+\dfrac{1}{a}\right)+6 & = 0 \\ \left(a+\dfrac{1}{a}\right)^2-4\left(a+\dfrac{1}{a}\right)+4 & = 0 \\ \left(a+\dfrac{1}{a}-2\right)^2 & = 0 && (\text{Pandang}~t^2-4t+4 = (t-2)^2) \\ a + \dfrac{1}{a}-2 & = 0 \\ a^2-2a+1 & = 0 && (\cdots \times a) \\ (a-1)^2 & = 0 \\ a-1 & = 0 \\ a & = 1 \\ 3^x & = 1 \\ x & = 0 \end{aligned}$$Jadi, satu-satunya nilai $x$ yang memenuhi persamaan eksponen tersebut adalah $x = 0$, sehingga jumlah semua nilai real $x$ yang dimaksud tersebut sama dengan $\boxed{0}$
Alternatif 2:
Pandang binomial berpangkat $4$ berikut.
$$\boxed{(a+b)^4 = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4}$$Jika diambil $a = 3^x$ dan $b = -1$, maka kita peroleh
$$\begin{aligned} (3^x-1)^4 & = (3^x)^4 + 4(3^x)^3(-1) + 6(3^x)^2(-1)^2 + 4(3^x)(-1)^3 + (-1)^4 \\ & = (9^x)^2-4(3^x)(3^x)^2+6(3^x)^2-4(3^x) + 1 \\ & = (9^x)\color{blue}{(9^x)}-4(3^x)\color{blue}{(9^x)}+6\color{blue}{(9^x)}-4(3^{-x})\color{blue}{(9^x)} + \color{blue}{(9^{x})}(9^{-x}) \\ & = \color{blue}{9^x}\color{red}{\left(9^x-4 \cdot 3^x + 6-\dfrac{4}{3^x}+\dfrac{1}{9^x}\right)} \end{aligned}$$Ekspresi yang ditandai dengan warna merah di atas sama dengan ruas kiri persamaan pada soal di atas, sehingga kita peroleh bahwa
$$\begin{aligned} 9^x-4 \cdot 3^x + 6-\dfrac{4}{3^x}+\dfrac{1}{9^x} & = 0 \\ \dfrac{1}{9^x}(3^x-1)^4 & = 0 \end{aligned}$$Persamaan $\dfrac{1}{9^x} = 0$ tidak memiliki penyelesaian untuk setiap bilangan real $x$. Oleh karena itu, satu-satunya penyelesaian adalah dari persamaan $(3^x-1)^4 = 0$, yaitu $3^x = 1 \Rightarrow x = 0$. Dengan kata lain, hanya ada $1$ nilai $x$ yang memenuhi.
Jadi, jumlah semua nilai real $x$ yang menjadi penyelesaian persamaan tersebut adalah $\boxed{0}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 24
Jumlah semua nilai $x$ yang memenuhi persamaan $3^{2x}-34(15^{x-1}) + 5^{2x} = 0$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-1$                   C. $1$                    E. $5$
B. $0$                      D. $2$

Pembahasan

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned}3^{2x}-34(15^{x-1}) + 5^{2x} & = 0 \\ (3^x)^2-34 \cdot 3^{x-1} \cdot 5^{x-1} + (5^x)^2 & = 0 \\ (3^x)^2-34 \cdot \dfrac{3^x}{3} \cdot \dfrac{5^x}{5} + (5^x)^2 & = 0 \\ (3^x)^2-\dfrac{34 \cdot 3^x \cdot 5^x}{15} + (5^x)^2 & = 0 \end{aligned}$$Misalkan $m = 3^x$ dan $n = 5^x$, maka kita peroleh $m^2-\dfrac{34}{15}mn + n^2 = 0$. Anggap ini sebagai persamaan kuadrat dengan variabel $m$. Berdasarkan rumus ABC dengan $a = 1$, $b = -\dfrac{34}{15}n$, dan $c = n^2$, diperoleh akar penyelesaiannya, yaitu
$$\begin{aligned} m & = \dfrac{\dfrac{34}{15}n \pm \sqrt{\left(-\dfrac{34}{15}n\right)^2-4(1)(n^2)}}{2(1)} \\ & = \dfrac{\dfrac{34}{15}n \pm \sqrt{\dfrac{2^2 \cdot 17^2 \cdot n^2}{15^2}-4n^2}}{2} \\ & = \dfrac{\dfrac{34}{15}n \pm \sqrt{4n^2 \left(\dfrac{17^2}{15^2}-1\right)}}{2} \\ & = \dfrac{\dfrac{34}{15}n \pm 2n\sqrt{\dfrac{17^2-15^2}{15^2}}}{2} \\ & = \dfrac{\dfrac{34}{15}n \pm 2n\sqrt{\dfrac{8^2}{15^2}}}{2} \\ & = \dfrac{\dfrac{34}{15}n \pm 2n \cdot \dfrac{8}{15}}{2} \\ & = \dfrac{17}{15}n \pm \dfrac{8}{15}n \end{aligned}$$Dengan demikian, kita peroleh dua nilai $m$, yaitu sebagai berikut.
($+$)
$\begin{aligned} m & = \dfrac{17}{15}n + \dfrac{8}{15}n = \dfrac{25}{15}n \\ m & = \dfrac53n \\ 3^x & = \dfrac53 \cdot 5^x \\ 3^{x+1} & = 5^{x+1} \end{aligned}$
Persamaan terakhir terpenuhi hanya pada saat $x_1 = -1$.
($-$)
$\begin{aligned} m & = \dfrac{17}{15}n- \dfrac{8}{15}n = \dfrac{9}{15}n \\ m & = \dfrac35n \\ 3^{x}& = \dfrac35 \cdot 5^x \\ 3^{x-1} & = 5^{x-1} \end{aligned}$
Persamaan terakhir terpenuhi hanya pada saat $x_2 = 1$.
Jadi, jumlah semua nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{x_1+x_2 = -1+1=0}$
(Jawaban B)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 1
Carilah nilai $x$ yang memenuhi persamaan eksponen berikut dengan menyatakan hasilnya sebagai pecahan desimal (bulatkan sampai 3 angka di belakang koma).
$$2^{16^x} = 16^{2^x}$$

Pembahasan

Samakan basisnya dengan menggunakan fakta bahwa $16 = 2^4$, lalu selesaikan dengan menyamakan pangkatnya. Prosedur ini akan dilakukan sampai dua kali agar diperoleh persamaan linear.
$$\begin{aligned} 2^{16^x} & = 16^{2^x} \\ 2^{16^x} & = (2^4)^{2^x} \\ 2^{\color{blue}{16^x}} & = 2^{\color{blue}{4 \cdot 2^x}} \\ \color{blue}{16^x} & = \color{blue}{4 \cdot 2^x} \\ (2^4)^x & = 2^2 \cdot 2^x \\ 2^{\color{red}{4x}} & = 2^{\color{red}{2+x}} \\ \color{red}{4x} & =\color{red}{2+x} \\ 3x & = 2 \\ x & = \dfrac23 \approx 0,667 \end{aligned}$$Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan eksponen tersebut adalah $\boxed{0,667}$

[collapse]

CategoriesEksponen dan Logaritma, AljabarTags, , , , , ,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *